Notas de aula – Física II; Profs Ricardo e Amauri
Calor e Primeira Lei 1
CALOR E PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA
Calor – é a energia transferida de um corpo para outro em virtude, basicamente, de uma
diferença de temperatura.
1 – Capacidade Calorífica e Calor Específico
A quantidade de calor necessária para alterar a temperatura de um corpo de massa m é dada pela
seguinte equação:
Q = m c T , (1)
onde c é o calor específico e T é a variação de temperatura sofrida pelo corpo. A unidade de
calor é o Joule (SI), representada pela letra J.
Da Eq. (1) podemos concluir que o calor Q é negativo se o corpo esfria ou positivo se aquece.
Para isto é necessário que calor saia do corpo ou entre nele.
A capacidade calorífica, que significa a quantidade necessária de calor para elevar de um grau a
temperatura do corpo, é definida da seguinte maneira:
C = m c. (2)
Levando (2) em (1), obtemos que Q = CT.
A unidade de capacidade calorífica é J/K ou J/°C. O calor específico, por outro lado, é J/kg.K.
Em muitos livros é comum a utilização da caloria (cal) como unidade de medida para o calor.
1 cal = 4,184 J.
Por último temos a capacidade calorífica por mol, denominada de Capacidade Calorífica Molar,
definida da seguinte maneira:
Cm = M c , (3)
onde M é a massa molecular da substância.
Sendo cagua > careia, explique porque durante o dia o vento vem do oceano para o continente e a
noite faz o caminho inverso.
A Tabela 1 mostra algumas substâncias com seus respectivos calores específicos.
Substância c (kJ/kg.K) Substância c (kJ/kg.K)
Alumínio 0,900 Prata 0,233
Chumbo 0,128 Tungstênio 0,134
Cobre 0,386 Água 4,18
Gelo 2,05 Álcool etílico 2,4
Ouro 0,126 Mercúrio 0,14
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Calor e Primeira Lei 2
2 – Mudança de fase e calor latente.
Mudança de fase – é a mudança de um estado físico de uma substância. Nesta mudança, o corpo
não altera sua temperatura, pois toda energia recebida pelo corpo está sendo utilizada para
reordenar as moléculas que forma a substância.
O calor necessário para que ocorra a mudança de fase de uma substância de massa m é:
Qf, v =m.Lf, v. (5)
Lf e Lv é o calor latente relacionado com a fusão e de vaporização, respectivamente. Lembrando
que a vaporização pode ser lenta (evaporação pode ocorrer a temperatura mesmo abaixo de
100ºC) ou rápida (ebulição ocorre quando as bolhas são formadas no interior do líquido e quando
a pressão dessas fica maior que a atmosfera elas se expandem e estouram na superfície.
Calorímetro – é um equipamento utilizado para determinar o calor específico de uma
substância. Ele consiste simplesmente de um recipiente isolado termicamente.
Considere um corpo de massa m e temperatura inicial Ti. Este corpo é colocado num calorímetro
(Figura 1) de massa mc e temperatura inicial Tci contendo uma quantidade de água de massa ma a
uma temperatura inicial Tai. Vamos calcular a temperatura final que todos os corpos ficam após
atingir o equilíbrio termodinâmico considerando que Ti > Tci = Tai.
Fig. 1 – Corpo de massa m numa temperatura Ti é colocado dentro de um calorímetro com uma temperatura
menor. O corpo cederá calor ao calorímetro até que estes fiquem com uma temperatura final de equilíbrio Tf.
O calor que o corpo cede (adotado como negativo) a água e ao calorímetro até atingir a
temperatura final Tf é:
| Qced |= mc(Ti – Tf ). Veja que aqui utilizamos Ti – Tf para que o módulo do calor cedido seja
positivo.
Este calor é igual àquele que o sistema calorímetro + água recebe (calor positivo), ou seja:
Qrec = maca(Tf - Tai) + mccc(Tf - Tci).
Como |Qced| = Qrec, obtemos:
)()()( cifccaifaafi TTcmTTcmTTmc . (4)
Da Eq. (4) podemos obter o valor de c.
água
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Calor e Primeira Lei 3
Nota: Podemos dizer que Qrec + Qced = 0. Aqui podemos fazer sempre a temperatura final –
temperatura inicial. O resultado é também a equação (4). Mas cuidado. Faça o exemplo abaixo e
veja se você entendeu.
Exemplo 1: Calcule a temperatura final de equilíbrio quando 100 g de vapor a 120ºC é colocado
em 5 kg de água a 20ºC. Todo o sistema está isolado.
1º método: Qrec = | Qced|. O módulo de Qced se aplica a todos os termos do calor cedido.
)100()100120()20( favvvvvfaa TcmLmcmTcm
CTTT fff º3,32)100(41801,022570001,0)100120(18401,0)20(41805
2º método: Qrec + Qced = 0.
0)()()20( v
ffavvv
v
i
v
fvvfaa TTcmLmTTcmTcm
0)100()120100()20( favvvvvfaa TcmLmcmTcm ; colocando os respectivos valores
dos parâmetros na equação, obtemos, mais uma vez, Tf = 32,3ºC
Exemplo 2: Um pedaço de gelo de 200g a 0°C foi colocado em 500g de água a 20°C. O sistema
está num vaso que tem capacidade calorífica desprezível e está termicamente isolado. (a) qual a
temperatura final de equilíbrio e (b) quanto gelo foi derretido?
Solução: Antes é necessário saber se a quantidade de gelo é capaz de derreter completamente. Se
sim, então ele chegou a 0°C, pelo menos!
Quantidade necessária de calor para o gelo derreter a 0°C.
Q1 = m.Lf = 0,2.333,5x103 = 66700J.
O calor recebido pelo gelo foi fornecido pela água. Se este não for suficiente para derreter todo
gelo, então, já podemos dizer que a temperatura final é 0°C.
Quantidade de calor necessário para a água chegar a 0°C.
Q2 = ma.ca.(Ti – Tf) = 0,5.4180.(20 – 0) = 41800 J.
Como Q2 < Q1, então o gelo não será completamente derretido e a temperatura de equilíbrio é
0°C! Então
41800 = m.Lf m = 41800/333500 = 0,125 kg ou 125 g é a quantidade de gelo derretido.
Quais as outras possibilidades que poderíamos ter para este tipo de problema?
Observação: No Exemplo 1 consideramos que o vapor d’água se transforma em água numa
temperatura igual ou abaixo de 100ºC. Como você pode garantir isso?
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Calor e Primeira Lei 4
Curiosidade: Fases da água (http://www.physicalgeography.net/fundamentals/8a.html)
A única forma
das moléculas de
água se unirem.
água no estado
sólido(forma
ordenada)
água no estado
líquido (forma
semi-ordenada)
água no estado
de vapor
3 – A Primeira Lei da Termodinâmica
O calor líquido (Q) adicionado a um sistema é igual à variação de energia interna (U) do
sistema mais o trabalho (W) realizado pelo sistema. Esta Lei é uma lei de conservação de
energia. Matematicamente ela é dada por:
Q = U + W . (6)
U > 0 normalmente está relacionada com o aumento de temperatura e/ou mudança de fase.
U < 0 decréscimo de temperatura.
W > 0 o sistema realiza trabalho – um gás se expandindo e empurrando um pistão é um ótimo
exemplo.
W < 0 trabalho realizado sobre o sistema – um gás sendo comprimido.
Q > 0 calor entra no sistema.
Q < 0 calor sai do sistema.
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Calor e Primeira Lei 5
A variação de energia interna só depende do estado final e do estado inicial (por isto é
considerada uma função de estado assim como P, V e T), porém, Q e W dependem do caminho
tomado para sair de um estado e ir para outro, logo não são consideradas funções de estado.
Se escrevermos
dQ = dU + dW, (7)
podemos dizer que dU é uma diferencial mas dQ e dW são apenas quantidades infinitesimais
adicionadas ao sistema. Isso se deve ao fato dU depender apenas da temperatura.
4 – A Energia Interna de um Gás
A energia cinética total de um gás é: K = 3nRT/2.
Se esta é a única energia do gás, então
U = 3nRT/2.
Isto só é possível se considerarmos que o gás é formado por átomos. Caso o gás seja composto
por moléculas, então a rotação destas deve ser considera no cálculo da energia cinética. Devemos
ter em mente que a energia interna só depende da temperatura que o gás se encontra. Assim, se
existe uma variação de temperatura, a variação da energia interna só depende destas
temperaturas e não do caminho como estas temperaturas foram variadas.
Expansão livre adiabática
A energia interna depende ou não do volume que ele ocupa?
Na expansão livre, o gás não troca calor com o ambiente, logo Q = 0. Também, como o vácuo no
lado direito (Figura 2) não oferece qualquer resistência a sua expansão, temos W = 0. Logo, U
= 0, ou seja, não ocorre qualquer variação de temperatura. Isto vale quando a pressão dentro do
vasilhame é pequena.
Na expansão, espera-se que a energia potencial de interação aumente pois a distância entre as
moléculas aumentam, conseqüentemente, a energia cinètica diminui, logo a temperatura também.
Para um gás ideal, isto não foi verificado.
Fig. 2 – Quando a torneira for aberta o gás se expandirá rapidamente até ocupar os dois compartimentos sob a
mesma pressão.
Vácuo Gás
parede abiabática
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Calor e Primeira Lei 6
5 – Trabalho e Diagrama PV de um Gás
Aplicações da 1a Lei da Termodinâmica.
Suponha um gás confinado num cilindro. Se o gás se expande, o trabalho realizado por ele sobre
o pistão de área A é:
dW = F.dx = PA.dx = PdV. (8)
Nota: o trabalho é o produto interno entre a força e o deslocamento de um corpo F.dx. Se o
deslocamento não está no mesmo sentido da força, então o trabalho é negativo.
Da Eq. (8), podemos escrever que o trabalho é dado por:
f
i
V
VPdVW (9).
O que é fundamental para se calcular o trabalho a partir da Eq. (9) é saber como a pressão varia
com V! Veja também que o trabalho é igual à área sob a curva de P contra V.
Exemplos:
Processo isobárico (Figura 4, caminho 1 2 ou 4 3): Se o volume do gás aumenta a pressão
constante de um volume V1 para um volume V2, a temperatura aumenta pois saímos o gás sai de
uma isotérmica para outra e para que isto ocorra, calor é adicionado. Então
Q > 0 e U > 0.
).( 12
2
1
VVPPdVWV
V > 0.
Fig. 3 – Quando o pistão se move
para direita, o volume aumenta de
um valor dV = A dx, onde dx é o
deslocamento infinitesil do pistão e
A é a sua área
Fig. 4 – O gráfico mostra 3 situações distintas
para um gás sair do estado 1 para o estado 3
diretamente (processo isotérmico) ou via os
estados 2 ou 4. Como o trabalho é igual a área
sob a curva, então em cada um dos caminhos, o
trabalho é diferente.
VOLUME
PR
ES
SÃ
O
Notas de aula – Física II; Profs Ricardo e Amauri
Calor e Primeira Lei 7
Processo isocórico (Figura 4, caminho 1 4 ou 2 3):
Como V é constante, dV = 0 e conseqüentemente o trabalho também o é. Outro motivo é que não
existe qualquer área sob esta curva. (Figura 4). Assim, pela 1a Lei, Q = U.
W = 0 J;
Q = U.
Processo isotérmico (Figura 4, caminho 1 3): T constante.
.ln1
22
1
2
1 V
VnRTdV
V
nRTPdVW
V
V
V
V
W = Q, pois Uf – Ui = 0.
Ciclo Completo
Se o ciclo for inverso, o W < 0.
No caso de uma variação que não esteja incluído nos processos acima, faz-se necessário
determinar como é a função de P em relação à V e aplicar na Eq. 8. Outra maneira, é calcular a
área sob a curva se o ciclo não é completo ou a área da figura que é limitada pelas curvas para
um ciclo completo. Este último, na realidade, não passar de uma integração.
Exemplo:
Suponha que um litro de um gás está a 1 atm e sofre uma expansão até o volume de 3l e pressão
de 2atm. Em seguida, a pressão é reduzida para 1 atm porém com volume igual a 6l. Calcule o
trabalho total realizado por este gás.
Este problema será resolvido de duas formas, uma por
integração, outra por simples cálculo direto da área sob
a curva. Veja que estes dois estágios não se enquadram
em quaisquer daqueles processos apresentados
anteriormente.
1 2 3
V (l) 1 3 6
P (atm) 1 2 1
WT = W12 + W23 + W34 + W41
WT = P1.(V2 – V1) + 0 + P3.(V4 – V3) + 0
WT = (P1 – P3).(V2 – V1).
Que é a área do retângulo. Aqui, usamos do
fato que V4 = V1, V2 = V3, P4 = P3 e P2 = P1.
1
WT
V
P
2
3 4
P1
P3
V2 V1
0 1 2 3 4 5 6 7
Volume (l)
0
1
2
3
Pre
ssã
o (
atm
)
1
2
3
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Calor e Primeira Lei 8
Vemos que entre 1 e 2 e entre 2 e 3, a variação da pressão com o volume se dá através de duas
retas. Assim, é necessário determinar as equações das retas.
Entre 1 e 2: A reta que descreve o processo entre 1 e 2 é dada pela seguinte equação:
P12(V) = ½ V + ½ = ½(V + 1) .
Cálculo do trabalho:
atmlWVVdVV
WdVVPW .322
12
1)( 12
3
1
23
112
2
112
Para o processo entre 2 e 3, temos a seguinte equação que relaciona P e V: P(V) = - V/3 +3.
Assim, o trabalho entre 2 e 3 é obtido da seguinte forma:
atmlWVVdVVWdVVPW .5,4.36
33
)( 23
6
3
26
323
3
223
Assim, o trabalho total realizado pelo gás é a soma de cada um dos trabalhos, ou seja, 7,5 l.atm.
Cálculo do trabalho via cálculo da área sob a curva.
Neste caso, os processos entre 1 e 2 e entre 2 e 3 compreendem dois trapézios. A área do
primeiro trapézio que corresponde ao primeiro processo é obtido pela seguinte equação:
atmlW .3)13(2
)21(12
Para o processo entre 2 e 3, temos:
atmlW .5,4)36(2
)12(23
Logo, o trabalho total, como era de se esperar, vale 7,5 l.atm.
6 – Capacidades Calorifícas e Teorema da Equipartição da Energia
Até agora não fizemos qualquer menção com relação à capacidade calorífica de um corpo. Se um
gás é aquecido até uma temperatura T a volume constante, todo calor fornecido a este gás é
transformado em energia interna, pois o trabalho realizado pelo gás é zero. Porém, ao ser
aquecido até T isobaricamente, mais calor é necessário pois, simultaneamente, será realizado
trabalho. Logo, podemos dizer que C a volume constante (CV) é menor que C a pressão
constante (CP).
CP > CV.
Matematicamente podemos escrever que:
QV = CV T = U (10)
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Calor e Primeira Lei 9
ou dU = CV dT CV = dU/dT (11)
Para P constante, temos:
VPUTCQ PP
ou
PdVdUdTCP (12)
da Eq. (4), temos que V = nRT/P e consequentemente (Supondo P e n constantes) podemos
derivar a seguinte equação:
dV/dT = nR/P. (13)
Levando Eq. (13) na Eq. (12) e usando a Eq. (11), obtemos:
nRCCnRdTdTCdTC VPVP . (14)
A Eq. (14) relaciona as duas capacidades caloríficas. Veja, que CP – CV = nR .
Para um gás monoatômico,
U = 3nRT/2.
Utilizando Eq. (11) e (14), obtemos:
CV = 3nR/2 e CP = 5nR/2.
Preste atenção: Variação de energia interna é igual a Cv(Tf – Ti),
independente do processo !!!!!!
Teorema da Eqüipartição da Energia
Quando uma substância estiver em equilíbrio, a energia média associada a cada grau de liberdade
da molécula é kT/2 por molécula ou RT/2 por mol.
No caso de um gás formado por uma molécula diatômica, podemos dizer que, além dos três
graus de liberdade (translacional em x, y e z) que ela tem, podemos agora acrescentar mais 2
relacionados com a rotação da molécula em torno de dois eixos (x´ e y´) perpendiculares ao eixo
da molécula z´.
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Calor e Primeira Lei 10
y
x
z´
Centro de massa
Para 5 graus de liberdade, temos:
CV = 5nR/2 e CP = 7nR/2
Para um sólido, na maior parte deles, a capacidade calorífica molar (Cm = C/n) obedece a Lei de
Dulong-Pepit, ou seja:
Cm = 3R = 24,9 J/mol.K
Isto equivale a 6 graus de liberdade!
7 – A Expansão Adiabática Quase-Estática de um Gás
Neste caso o gás se expande adiabaticamente de um ponto (P1, V1) até um ponto (P2, V2) sem
realizar troca de calor com a vizinhança. Neste processo o gás esfria-se ao transformar sua
energia interna U completamente em trabalho, pois o Q = 0. Este processo está representado na
Figura 6. O cálculo do trabalho realizado pelo gás é obtido a partir da Eq. (9).
Da 1a Lei da Termodinâmica, temos:
dQ = CV dT + PdV, ou
0 , dividindo por
0
V V
V
dVC dT nRT T C
V
dT nR dV
T C V
. (15)
Levando CP – CV = nR na Eq. (15). obtemos:
010
V
dV
C
C
T
dT
V
dV
C
CC
T
dT
V
P
V
VP . (16)
Integrando a Eq. (16), obtemos:
Fig. 5 – Modelo de um halter rígido de uma molécula
diatômica de um gás. Não é considerada rotação em
torno do eixo da molécula, pois, para isto seria
necessário considera-la rugosa para que num choque
com outra molécula, acontecer a rotação.
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Calor e Primeira Lei 11
cteVTcteVT ).ln(ln)1(ln 1 , (17)
onde = CP/CV.. Podemos reescrever a Eq. (17) da seguinte maneira:
TV -1
=cte . (18) mas,
ctePVcteVnR
PV 1 . (19)
Fig. 6 – As linhas mais finas representam as isotermas T1 e T2. A curva mais grossa representa o processo
adiabático. O trabalho no processo adiabático é igual a área sob a curva adiabática que liga 1 a 2.
Com relação a cte da Eq. (19), podemos dizer que ela é igual a:
...2211 VPVPPV = cte
Exercício: obter a equação envolvendo a temperatura e a pressão.
Uma maneira de obter o trabalho adiabático é levar a Eq. (19) na Eq. (9) e resolver a integral.
Outra maneira é resolver a seguinte equação:
dW = PdV = -CV dT, pois dQ = 0,
ou
TCWdTCPdVW VadVad , (20)
onde admitimos que a capacidade calorífica a volume constante é constante.
Um detalhe sobre a Eq. (20) é que, numa expansão adiabática, Tfinal < Tinicial o que resulta num
trabalho positivo e um conseqüente esfriamento deste.
VOLUME
PR
ES
SÃ
O
T1
T2
(P , V )
(P , V )W
Adiabática entre os pontos 1 e 2
Comportamento de P com relação a V para
um processo adiabático
Notas de aula – Física II; Profs Ricardo e Amauri
Calor e Primeira Lei 12
Podemos abrir a Eq. (20) para obter o Wad em função de P e V. Da Lei dos Gases Ideais e da
Eq. (20), temos:
22112211
12 VPVPCC
C
nR
VP
nR
VPCTTCW
VP
VVVad
1
1 22112211
VPVPWVPVP
C
CCW ad
V
VPad (21)
A equação (21) pode ser obtida, de uma forma mais complicada, a partir da integração direta da
definição de trabalho e fazendo uso da equação (19), ou seja:
11
2211
1 2
1
2
1
2
1
VPVPVcte
VdVctePdVW
V
V
V
V
V
Vad
Para chegar na equação acima, fizemos uso do fato que 2211 VPVPcte .
Exercícios:
1) Um grama de água se transforma em 1671 cm3 quando ocorre o processo de ebulição a uma
pressão constante de 1 atm. Calcule a) o trabalho realizado pela água quando ela se transforma
em vapor e b) o aumento da sua energia interna.
Resposta: a) 169 J; b) 2087 J.
2) Um gás realiza dois processos. No primeiro, o volume permanece constante a 0,200 m3 e a
pressão cresce de 2,00 x105 Pa até 5,00 x10
5 Pa. O segundo processo é uma compressão até o
volume 0,120 m3 sob pressão constante de 5,00 x10
5 Pa. a) Desenhe um diagrama PV mostrando
estes dois processos e b) calcule o trabalho total realizado pelo gás nos dois processos.
Resposta: a) 0 J; b) –4,00 x 104 J.
....aproveite e obtenha o calor e a variação de energia em cada processo!
3) Um mol de um gás ideal inicialmente a 4,00 atm e 350 K sofre uma expansão adiabática até
1,50 vezes seu volume inicial. Calcule a temperatura e a pressão no estado final sabendo que o
gás é a) monoatômico; b) diatômico com CV = 2,5R.
Resposta: a) 267,8 K e 2,03 atm; b) 298 K e 2,27 atm.
4) Qual a variação da energia interna do gás monoatômico e o trabalho para o exercício acima?
Resposta: -1025 J e 1025 J.