Download - Caderno do aluno matemática 1ª serie 2º bimestre

Caro(a) aluno(a), Neste Caderno voc ir estudar o conceito de funo, que traduz uma relao de interdependncia entre duas grandezas. Explora-se, principalmente, as funes de 1o e de 2o grau, e suas aplicaes em diferentes contextos. A ideia de funo est presente na Matemtica, mas sobretudo em situaes do dia a dia que envolvem grandezas e suas relaes. Em qualquer movimento, seja o de uma pedra que cai, ou de um carro que participa de uma corrida, verificamos uma relao entre tempo e espao; o permetro de um quadrado uma funo de seu lado; o valor que se paga ao taxista dado em funo do quilmetro rodado. Enfim, as funes permitem analisar os fenmenos da natureza e as mais variadas atividades humanas, por isso, compreender esse conceito fundamental para desenvolver a capacidade de argumentar e intervir nesse mundo em constante transformao. Bons estudos! Faa das aulas de Matemtica um espao de investigao e conhecimento!Coordenadoria de Estudos e Normas Pedaggicas CENP Secretaria da Educao do Estado de So Paulo Equipe Tcnica de Matemtica

Matemtica - 1a srie - Volume 2

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 1 FUNES COMO RELAES DE INTERDEPENDNCIA: MLTIPLOS EXEMPLOS

Leitura e Anlise de Texto Grandezas e funes A altura de uma rvore que plantamos no quintal ao longo do tempo, o peso de uma pessoa ao longo de sua vida, o preo do barril de petrleo a cada dia, a produo de automveis de um pas ano aps ano, a temperatura de um refrigerante colocado em uma geladeira, o preo a pagar por uma corrida de txi so alguns exemplos de grandezas. Duas grandezas x e y podem variar de modo interdependente, de tal forma que assumam valores inter-relacionados. Quando, deixando variar livremente os valores de uma grandeza x, notamos que os valores de outra grandeza y tambm variam, de tal forma que a cada valor de x corresponde um e somente um valor de y, ento dizemos que y uma funo de x; dizemos ainda que x a varivel independente e y a varivel dependente. Por exemplo: a) a rea A de um quadrado uma funo de seu lado x; deixando os valores de x variarem livremente (naturalmente, x no pode assumir valores negativos), ento os valores de A variaro em funo de x, e escrevemos A = f(x). No caso, temos: A = f(x) = x2. b) a altura H de uma pessoa uma funo de sua idade t; podemos escrever H = f(t), sendo certo que a cada valor de t corresponda um nico valor de H. No caso, no sabemos exprimir a relao de interdependncia f(t) por meio de uma frmula. Quando x e y so duas grandezas diretamente proporcionais, elas aumentam ou diminuem y simultnea e proporcionalmente, ou seja, a razo __ constante, e resulta que y = k . x (k uma x constante). Quando x e y so duas grandezas inversamente proporcionais, sempre que uma delas aumenta, a outra diminui na mesma proporo, e vice-versa, de modo que o produto k das duas permanece constante: x . y = k, ou seja, y = __ onde k uma constante no nula. x Quando observamos os valores de duas grandezas interdependentes x e y, e notamos que um aumento no valor de x acarreta um aumento no valor de y, ou ento, um aumento no valor de x provoca uma diminuio no valor de y, somos tentados a dizer que x e y variam de modo diretamente proporcional, no primeiro caso, ou inversamente proporcional, no segundo. Entretanto, tais afirmaes nem sempre so corretas, uma vez que, como visto anteriormente, a proporcionalidade direta exige mais do que um aumento simultneo nos valores y de x e y; pois preciso que a razo __ seja constante e resulte em y = kx (k uma constante). x Analogamente, a proporcionalidade inversa mais do que uma diminuio nos valores de uma das grandezas, quando o outro aumenta; necessrio que o produto dos valores de x e y permanea constante, ou seja, x . y = k (k constante).3


VOC APRENDEU? 1. Em cada um dos casos apresentados a seguir, verifique se h ou no proporcionalidade. Se existir, expresse tal fato algebricamente, indicando o valor da constante de proporcionalidade. Em caso negativo, justifique sua resposta. a) A altura a de uma pessoa diretamente proporcional sua idade t?

b) A massa m de uma pessoa diretamente proporcional sua idade t?

c) O permetro p de um quadrado diretamente proporcional ao seu lado a?

d) A diagonal d de um quadrado diretamente proporcional ao seu lado a?

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e) O comprimento C de uma circunferncia diretamente proporcional ao seu dimetro d?

2. As tabelas a seguir relacionam pares de grandezas. Indique se existe ou no proporcionalidade (direta ou inversa). a) Produo de automveis e produo de tratores (anual, em milhares). Pases Automveis Tratores A 100 8 B 150 12 C 200 16 D 225 18 E 250 20 F 300 24 G 350 28 H 400 32 I 450 36

b) rea destinada agricultura e rea destinada pecuria (em 1 000 km2). Pases Agricultura Pecuria A 80 60 B 100 70 C 110 80 D 120 98 E 150 100 F 160 124 G 180 128 H 200 132 I 250 136

c) Produto Interno Bruto (PIB, em milhes de dlares) e ndice de Desenvolvimento Humano (IDH). Pases PIB IDH A 300 0,90 B 400 0,92 C 510 0,80 D 620 0,88 E 750 0,78 F 760 0,89 G 880 0,91 H 1 000 0,80 I 1 100 0,86

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d) Expectativa de vida (em anos) e ndice de analfabetismo (% da populao). Pases Expectativa de vida ndice de analfabetismo A 67 11 B 68 10 C 69 9 D 70 8 E 71 7 F 72 6 G 73 5 H 74 4 I 75 3

3. Um prmio P da loteria deve ser dividido em partes iguais, cabendo um valor x a cada um dos n ganhadores. Considerando um prmio P de R$ 400 000,00, preencha a tabela a seguir e expresse a relao de interdependncia entre x e n. n x 1 2 3 4 5 8 10 20

4. Para cortar a grama de um canteiro quadrado de 5 m de lado, um jardineiro cobrou R$ 20,00. Mantida a proporo, para cortar a grama de um canteiro quadrado de 15 m de lado, quanto o jardineiro dever cobrar? A quantia a cobrar C diretamente proporcional medida x do lado do canteiro quadrado?

LIO DE CASA 1. A tabela a seguir relaciona os valores de trs grandezas, x, y e z, que variam de modo inter-relacionado: x y z 1 7 300 3 21 100 4 28 75 5 35 606

10 70 30

15 105 20

40 280 7,5

50 350 6

150 1 050 2


Verifique se os diversos pares de grandezas (x e y, y e z, x e z) so diretamente ou inversamente proporcionais. Justifique sua resposta.

2. Quando uma pedra abandonada em queda livre (sem considerar a resistncia do ar ao movimento), a distncia vertical d que ela percorre em queda diretamente proporcional ao quadrado do tempo t de queda, ou seja, d = k . t2. Observando-se que aps 1 segundo de queda a pedra caiu 4,9 metros, pergunta-se: a) Qual o valor da constante de proporcionalidade k?

b) Qual ser a distncia vertical percorrida aps 5 segundos?

c) Quanto tempo a pedra levar para cair 49 metros?

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VOC APRENDEU?

Grficos de funes1. O valor a ser pago por uma pessoa para abastecer com combustvel seu automvel varia proporcionalmente em funo da quantidade de litros de combustvel colocada. Isso significa dizer que o preo uma funo da quantidade de litros de combustvel que abastece o automvel. Vamos imaginar que o litro da gasolina custe R$ 2,50. Denotando por P o preo a ser pago e por a quantidade de litros de gasolina com que um automvel abastecido, pede-se: a) Complete a tabela abaixo que relaciona P com . P 0 1 2 3 4 6

b) Qual o preo a ser pago quando se abastece o carro com 10 litros?

c) Calcule a diferena entre os preos a serem pagos quando se abastece um carro com 15 e 16 litros.

d) Observando a tabela, conclumos que P e so grandezas diretamente proporcionais, isto , P = constante = k, ou seja, P = f() = k . . Determine o valor de k.

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e) Na funo y = f(x), o conjunto de pontos (x;y) do plano cartesiano em que y = f(x) constitui o grfico da funo. Construa, em um plano cartesiano, o grfico da funo P = f().

PESQUISA INDIVIDUAL

1. As funes na forma y = f(x) = kx representam situaes em que esto envolvidas duas grandezas, x e y, diretamente proporcionais. Elabore quatro situaes distintas envolvendo duas grandezas diretamente proporcionais e construa seus respectivos grficos cartesianos. Com base em sua observao a respeito dos grficos, escreva o que eles tm em comum.

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2. Fixada a temperatura T, a presso P e o volume V de um gs variam segundo a sentena P . V = k (k uma constante). Faa uma pesquisa sobre essa relao e esboce o grfico de P em funo de V. (Dica: voc poder pesquisar sobre esse assunto em livros de Qumica.)

VOC APRENDEU? 1. O preo P a cobrar em uma corrida de txi composto por uma quantia a fixada, igual para todas as corridas, mais uma parcela varivel, que diretamente proporcional ao nmero x de quilmetros rodados: P = a + bx (b o custo de cada quilmetro rodado). Em certa cidade, temos P = 15 + 0,8x (P em reais e x em km). a) Qual o preo a cobrar por uma corrida de 12 km?

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b) Calcule a diferena entre os preos de duas corridas, uma de 20 km e outra de 21 km.

c) Esboce o grfico de P em funo de x.

2. Na casa de uma famlia que gasta cerca de 0,5 kg de gs de cozinha por dia, a massa de gs m contida em um botijo domstico de 13 kg varia com o tempo de acordo com a frmula m = 13 0,5t, onde t o tempo em dias. a) Calcule o nmero de dias necessrios para um consumo de 6 kg de gs.

b) Calcule a massa de gs que resta em um botijo aps 10 dias de uso.

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c) Esboce o grfico de m em funo de t.

LIO DE CASA

1. O grfico a seguir mostra o nvel da gua armazenada em uma barragem, ao longo de um ano. Analise atentamente o grfico e responda s questes a seguir.nvel (m) 100 90 80

10 tempo

a) Qual foi o menor nvel de gua armazenada na barragem? E o maior?

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b) Quantas vezes no ano a barragem atingiu o nvel de 40 m? E o nvel de 95 m?

2. O nmero N de dias necessrios para esvaziar um reservatrio de gua de 20 000 depende do consumo dirio de gua. Se o consumo for de x litros por dia, ento os valores de N e x devem satisfazer condio N.x = 20 000. a) Calcule os valores de N para x1 = 500 por dia e para x2 = 800 por dia.

b) Esboce o grfico de N em funo de x.

3. Considere duas grandezas, x e y, diretamente proporcionais. Sabe-se que o ponto (4,12) pertence ao grfico da funo que relaciona essas grandezas. a) Escreva a sentena que relaciona x e y.

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b) Construa o grfico dessa funo.

c) Qual o valor de f(2)?

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 2 FUNES DE 1o GRAU: SIGNIFICADO, GRFICOS, CRESCIMENTO, DECRESCIMENTO, TAXASVOC APRENDEU?

Funes de 1o grau: significado1. Sempre que expressamos por meio de variveis uma situao de interdependncia envolvendo duas grandezas diretamente proporcionais, chegamos a uma funo de 1o grau. De modo geral, uma funo de 1o grau expressa por uma frmula do tipo f(x) = ax + b, onde a e b so constantes, sendo a % 0. Convm ressaltar que uma funo de 1o grau em que b = 0 representa uma proporcionalidade direta entre f(x) e x, pois f(x) = ax. Quando b % 0, a diferena f(x) b diretamente proporcional a x, pois f(x) b = ax. As retas A, B, C, D e E so os grficos de funes do tipo f(x) = ax + b. Determine os valores de a e b em cada um dos cinco casos apresentados e indique o(s) que representa(m) a variao de grandezas diretamente proporcionais.E y C

B A

4 2 2 1 0 2 3

D

x

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2. O grfico a seguir mostra a relao entre a quantidade x de litros de xampu produzida e o custo C(x), em R$, da produo caseira.

C(x)

520 500

0

10

x

a) Qual o possvel motivo de um gasto de R$ 500,00 quando ainda no se est produzindo xampu?

b) Qual a funo C(x) = ax + b representada no grfico? Essa sentena da interdependncia entre o custo C e a quantidade produzida x vlida para qualquer valor de x?

c) Qual o gasto para se produzir 1 500 litros de xampu?

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d) Quantos litros de xampu podem ser produzidos com R$ 10 000,00?

e) Qual a variao no gasto para a produo de cada litro adicional de xampu?

3. As funes de custos simples para um negcio consistem em duas partes: o custo fixo, cujo valor independente de quantas unidades de certo produto produzido (exemplo: aluguel), e os custos variveis, que dependem do nmero de produtos produzidos. Denominando C(x) o custo total da produo de um nmero x de produtos, CF(x) o custo fixo e CV(x) o custo varivel, podemos escrever que C = CF + CV. Suponha que para uma fotocopiadora o custo por cpia reproduzida seja de R$ 0,05 e que o custo fixo de seu negcio seja de R$ 2 000,00. a) Escreva a expresso relativa ao custo fixo, CF.

b) Escreva a sentena que relaciona CV e x.

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c) Escreva a sentena que relaciona C e x.

d) Em um mesmo plano cartesiano, construa os grficos de cada funo apresentada nos itens anteriores.

4. As retas A, B e C so representaes grficas da funo f(x) = mx, que um caso particular da funo f(x) = mx + n, quando n = 0. Determine o valor de m, em cada um dos trs casos, no espao a seguir.y B A 4 C

3

2

5 x

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5. Analisando as funes obtidas na atividade anterior, responda: a) As funes f(x) = mx que tm como grficos as retas B e C possuem m > 0. Em casos assim, quanto maior o valor de m, a reta estar mais em p ou mais deitada?

b) Como podemos saber se uma reta est inclinada para a direita ou para a esquerda apenas observando o valor de m na sua equao?

6. A conta de um almoo em um restaurante composta pelo valor total das despesas com comida e bebida, mais 10% sobre esse valor, que corresponde aos gastos com servios, alm de uma taxa fixa de R$ 10,00 de couvert artstico para os msicos.19


a) Chamando de x os gastos com comida e bebida (em R$) e de y o valor total da conta (em R$), determine uma sentena do tipo y = mx + n que represente a relao entre x e y.

b) Faa um grfico no plano cartesiano para representar a funo encontrada no item anterior.

7. A empresa Negcios da China S.A. tem um custo dirio de R$ 200,00 com salrios e manuteno. Cada item produzido custa R$ 2,00 e vendido a R$ 5,00. a) Escreva a sentena matemtica que relaciona o custo dirio de produo C para x itens produzidos. b) A receita R da empresa representa o dinheiro recolhido pela venda de seus produtos. Escreva a sentena matemtica que relaciona a receita R para x itens produzidos. c) Construa, em um mesmo plano, os grficos das funes custo C e receita R. d) O ponto de interseo entre os grficos de R e C, em economia, chama-se ponto de equilbrio, isto , quando o custo e a receita so iguais: R = C.20


Encontre o ponto de equilbrio dessa empresa, ou seja, a quantidade de produtos que devem ser produzidos diariamente para garantir que no haja prejuzo. Analise o grfico e indique esse ponto.

8. O grfico a seguir indica o valor de um determinado tributo territorial em funo da rea de uma propriedade.Tributo (em R$)

1 000 800 500 200 800 4 000 3 800 rea da propriedade (em m2)

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a) Qual o valor do imposto a ser pago por uma propriedade de 800 m?

b) Existe algum tamanho de propriedade (em m) cujo imposto cobrado seja exatamente R$ 500,00?

c) Determine uma sentena do tipo y = mx + n, com y sendo o tributo em R$, e x a rea em m, vlida para o intervalo 800 x < 3 800.

Desafio! Analise a situao da Atividade 8, apresentada na seo Voc Aprendeu?, para o intervalo x 3 800. Argumente sobre a afirmao de que a inteno desse tributo territorial cobrar mais imposto por m2 para propriedades maiores do que 3 800 m2.

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LIO DE CASA

1. Celsius, Fahrenheit e Kelvin so as trs escalas de temperatura mais utilizadas. Sendo C o valor da temperatura em grau Celsius, F a mesma temperatura medida em grau Fahrenheit e K a medida da mesma em Kelvin, para converter uma temperatura de uma escala para outra, temos os seguintes fatos fundamentais: nasescalasCelsiuseKelvin,otamanhodograuomesmo,havendoapenasumdeslocamento da origem, que na escala Celsius no 0 e na escala Kelvin no 273; naescalaCelsius,atemperaturadefusodogelo0 e a de ebulio da gua 100; naescalaFahrenheit,atemperaturadefusodogelo32 e a de ebulio da gua de 212. Com base nestas informaes:373 100 212

ebulio da gua

K

C

F

273 Kelvin

0 Celsius

32 Fahrenheit

fuso do gelo

a) Demonstre que, para transformar uma temperatura dada em grau Celsius para Kelvin, a regra K = C + 273.

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b) Demonstre que, para transformar uma temperatura apresentada em grau Celsius para grau Fahrenheit, a regra F = 1,8C + 32.

c) Calcule a quantos graus Celsius corresponde uma temperatura de 95 F.

d) Calcule a quantos graus correspondem 300 K na escala Fahrenheit.

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2. O grfico a seguir indica a produo brasileira de petrleo, em milhes de barris, nos anos de 2004 e 2005:Produo (milhes de barris)

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535 04 05 Ano

Admitindo que a taxa de crescimento do perodo 2004-2005 manteve-se no perodo 2005-2006, calcule o valor aproximado da produo mdia anual, em milhes de barris, no ano de 2006.

3. A figura a seguir ilustra uma folha de lato que ser usada na montagem de uma pea:x + 10 x x 2x + 4 x x 2x + 4

a) Determine todos os valores possveis de x (em metros) para que o permetro da folha seja maior ou igual a 64 m.

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b) Determine todos os valores possveis de x (em metros) para que a soma dos comprimentos representados em vermelho seja menor que a soma dos demais comprimentos que completam o permetro da folha.

4. A velocidade V de um carro varia conforme o grfico a seguir:V(m/s)

10

0

10

20

30

tempo (s)

Escreva as trs sentenas matemticas que representam a velocidade do carro em funo do tempo como descrito no grfico apresentado.

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 3 FUNES DE 2o GRAU: SIGNIFICADO, GRFICOS, INTERSEES COM OS EIXOS, VRTICES, SINAIS

Leitura e Anlise de Texto Grandeza proporcional ao quadrado de outra: a funo de 2o grau f(x) = ax 2 Um exemplo da relao de interdependncia entre duas grandezas x e y em que y y diretamente proporcional ao quadrado de x, isto , __ = constante = k, ou seja, y = kx 2, pox2 demos obter quando uma pedra abandonada em queda livre. A distncia vertical d que a pedra percorre diretamente proporcional ao quadrado do tempo de queda, ou seja, temos d = kt2; sendo, neste caso, o valor de k = 4,9 (metade da acelerao da gravidade do local). De modo geral, a relao y = kx2 serve de base para iniciar o estudo das funes de o 2 grau, cuja forma geral f(x) = ax 2 + bx + c (a % 0). Este ser o tema desta Situao de Aprendizagem. Acompanhe, atentamente, as discusses propostas pelo seu professor.

VOC APRENDEU? 1. Construa, no espao a seguir, em um mesmo plano cartesiano, os grficos das seguintes funes a, b, c e d, e em outro plano os grficos das funes e, f, g e h.

a) f(x) = x2 b) f(x) = 2x2 c) f(x) = 10x2 d) f(x) = 1 2 x 10

e) f(x) = x2 f ) f(x) = 2x2 g) f(x) = 10x2 h) f(x) = 1 2 x 1028 Procure esboar os grficos comparando uns aos outros, sem necessariamente recorrer a tabelas com valores de x e de y. Em vez disso, leve em considerao os valores relativos aos coeficientes de x2.


Desafio! Mostre que a curva do grfico de f(x) = x2 no tem um bico na origem do sistema de coordenadas, ou seja, ela tangencia suavemente o eixo x.

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Deslocamentos verticais: a funo f(x) = ax2 + v Quando a proporcionalidade entre y e x2 ocorre a partir de um valor inicial v, ento y v = kx2, ou seja, y = kx2 + v. Em casos como este, o grfico de f(x) = kx2 + v continua a ser uma parbola, mas seus pontos so deslocados, em relao ao conhecido grfico de y = kx2, na direo do eixo y de um valor v: para cima, se v > 0, ou para baixo, se v < 0.

y f(x) = kx + v2

y = kx2

v

v

0

x

Uma situao como esta ocorre, por exemplo, quando calculamos a distncia d de uma pedra abandonada a certa altura h at o solo:

4,9t2

h

d = h 4,9t2

30


Neste caso temos, ento, d = h 4,9t2, ou seja, h d = 4,9t2. Podemos observar, a seguir, alguns grficos de funes desse tipo.22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 4 3 2 1 2 4 6 8 10 12 14 16 y y = 3x2 + 7

y = 3x2 y = 3x2 5 0 1 2 y = 3x2 + 5 y = 3x2 4 3 4 x

2. Construa os grficos das funes a, b, c e d em um mesmo plano cartesiano e os grficos das funes e, f e g, em outro plano cartesiano, indicando, em cada caso, as coordenadas do vrtice. a) f(x) = x2 + 1 b) f(x) = x2 + 3 c) f(x) = x2 1 d) f(x) = x2 3 e) f(x) = 2x2 + 1 f ) f(x) = 3x2 5 g) f(x) = 0,5x2 + 7

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Deslocamentos horizontais: a funo f(x) = a(x h)2 Outra proporcionalidade direta entre uma grandeza e o quadrado de outra grandeza ocorre quando temos y diretamente proporcional no a x2, mas a (x h)2. Neste caso, temos y = k(x h)2 e o grfico correspondente anlogo ao de y = kx2, deslocado horizontalmente de h unidades, para a direita, se h > 0, ou para a esquerda, se h < 0.19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 y

y = (x + 3)2

y = x2

y = (x 3)2 x

9

8

7

1 1 0 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Um exemplo de situao anloga sugerida acima ocorre quando a grandeza y diretamente proporcional ao quadrado da variao no valor de x a partir de certo valor inicial h. Por exemplo, sendo E a energia elstica armazenada em uma mola distendida de x unidades a partir de seu comprimento normal, ento E = kx2; naturalmente, se x = 0, ento E = 0. Entretanto, se a escala para medir a distenso da mola tal que temos E = 0 para x = h, ento quando a mola estiver distendida de (x h), sua energia E ser tal que E = k(x h)2.E=0 h E = k(x h)2 x

0 E=0

x E = kx2

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E

E = k(x h)

2

E

E = kx2

x 0 h

x 0

3. Construa em um mesmo plano cartesiano os grficos das funes a, b, c e d e em outro plano cartesiano os grficos das funes e, f e g, indicando as coordenadas do vrtice de cada uma delas. a) f(x) = (x + 1)2 b) f(x) = (x + 3)2 c) f(x) = (x 1)2 d) f(x) = (x 3)2 e) f(x) = (x 5)2 f ) f(x) = 2(x + 3)2 g) f(x) = 3(x 1)2

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Deslocamentos verticais e/ou horizontais: a funo f(x) = a(x h)2 + v No caso mais geral possvel, podemos ter a variao nos valores de uma grandeza y, a partir de certo valor v, diretamente proporcional ao quadrado da variao nos valores de x, a partir de certo valor h: em outras palavras, y v = k (x h)2. Uma funo deste tipo tal que f(x) = k (x h)2 + v, e tem como grfico tambm uma parbola, deslocada horizontalmente de um valor h em relao parbola y = kx2 e deslocada verticalmente de um valor v em relao parbola y = k (x h)2. O vrtice da parbola o ponto de coordenadas (h;v). O grfico a seguir traduz o que acima se afirmou:y

f(x) = k(x h)2 + v

v f(x) = kx2 f(x) = k(x h)2 x h

Observe abaixo alguns exemplos de grficos de funes desse tipo:y y = 5(x 3)2 + 8

y = 3x2 7

16 14 12 10 8 6 4 2 0

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5

1 2 4 y = 3(x + 1)2 + 9 6 8 10 12 y = 3x2 + 7 14 16

4

3

2

y = 5(x 3)2 8 y = 5(x 6)2 + 3

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4. Construa os grficos das seguintes funes e indique as coordenadas do vrtice de cada uma delas: a) f(x) = (x + 1)2 + 1 b) f(x) = (x + 3)2 1 c) f(x) = (x 1)2 1 d) f(x) = (x 3)2 + 2

LIO DE CASA 1. Determine as coordenadas do vrtice dos grficos das seguintes funes e verifique se a funo assume um valor mximo ou um valor mnimo em cada uma delas. a) f(x) = (x + 3)2 1 2 b) f(x) = (x 2)2 5 2

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c) f(x) = (x 1)2 + 2

d) f(x) = x

1 2 3 2 4

e) f(x) = (x 4)2

f ) f(x) = x2 + 2

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VOC APRENDEU? 1. Sabemos que o grfico de f(x) = ax2 + bx + c, sendo a % 0, uma parbola. A reta vertical que passa pelo vrtice da parbola seu eixo de simetria. Observe os grficos seguintes: (I) f(x) = x2 4y 5 4 3 2 2 4 3 1 1 0 1 1 2 3 4 Eixo de simetria em x = 0 2 3 4 x 1 4 3 2

(II) f(x) = x2 + 2x = (x + 1)2 1y

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 x 1 2 Eixo de simetria em x = 1

a) Na funo (I), quando x = 1, qual o valor correspondente de y?

b) Na funo (II), quando x = 3, qual o valor correspondente de y?

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c) Complete a tabela com o valor correspondente de x ou de y. x y x y 3 1 6 16 2 2 4 12 5 27 5 21

Funo I Funo II

2. Abaixo est representado o grfico da funo f(x) = x2 + 4x = (x 2)2 + 4.y V m x 0 1 n 4

a) Quais so as coordenadas do ponto V, vrtice da parbola?

b) Quais so os valores de m e n, indicados na figura?

38


3. Determine a expresso algbrica de cada uma das funes de 2o grau representadas pelos seguintes grficos:Grfico 3 y Grfico 1 y Grfico 2 y 8 8 7 6 5 4 0 4 2 x 4 0 2 x 3 2 1 4 3 2 1 0 1 1 2 2 3 4 x

4. Considere as funes de 2o grau f(x) = ax2 + bx + c indicadas a seguir. Descubra se as equaes de 2o grau correspondentes tm duas, uma ou nenhuma raiz real calculando o valor da ordenada yv do vrtice da parbola, que o grfico da funo. Ou seja, determine o nmero de razes de cada equao sem resolv-las. a) f(x) = 3x2 + 12x + 11

39


b) f(x) = 3x2 12x + 15

c) f(x) = 2x2 16x + 5

d) f(x) = 2x2 + 10x 13

e) f(x) = 11x2 5x +

1 2

f ) f(x) = 4x2 + 12x 9

40


5. Determine as razes da equao de 2o grau ax2 + bx + c = 0 e o sinal da funo f(x) = ax2 + bx + c, para todos os valores possveis de x, em cada um dos casos apresentados: a) 3x2 + 12x + 11 = 0

b) 4x2 + 12x 9 = 0

c) 2x2 + 10x 13 = 0

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LIO DE CASA

1. O grfico a seguir representa o rendimento bruto R(q) de uma empresa em funo da quantidade q de produtos fabricados mensalmente. Os valores de R so expressos em milhares de reais e a quantidade produzida q em milhares de unidades. Sabe-se que a curva representada uma parbola.R(q) 64

0

16

q

A partir das informaes contidas no grfico, responda: a) Qual a expresso algbrica da funo R(q)?

b) Qual o rendimento bruto mximo?

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c) Qual a quantidade produzida que maximiza o rendimento bruto da empresa?

d) Qual o rendimento bruto que a empresa obtm para a produo de 15 000 unidades? E de 20 000 unidades? Como interpretar este ltimo resultado?

2. Determine, para as funes a seguir, os valores mximos ou mnimos atingidos em cada caso, indicando o valor de x em tais extremos. a) f(x) = 3(x 12)2 + 100

b) f(x) = x2 + 10

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c) f(x) = x2 + 6x + 9

d) f(x) = 3x2 + 30x + 75

e) f(x) = x2 + 10x

f ) f(x) = x2 + 8x + 21

44


45


?

!

SITUAO DE APRENDIZAGEM 4 PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNES DE 2o GRAU EM MLTIPLOS CONTEXTOS; PROBLEMAS DE MXIMOS E MNIMOS

So vrios os contextos de nossa vida em que o conhecimento sobre as funes de 2o grau nos permite organizar, avaliar e prever o comportamento de certos fenmenos, sejam eles sociais ou naturais. O foco desta Situao de Aprendizagem abordar alguns desses problemas, aplicando o que foi aprendido na Situao de Aprendizagem anterior.

VOC APRENDEU? 1. Na administrao de uma empresa, procuram-se estabelecer relaes matemticas entre as grandezas envolvidas, tendo em vista a otimizao da produo, ou seja, a busca de um custo mnimo ou de um rendimento mximo. Naturalmente, as relaes obtidas decorrem de certas hipteses sobre o modo de produo, que envolvem tanto a proporcionalidade direta quanto a inversa, a proporcionalidade entre uma grandeza e o quadrado de outra, o crescimento exponencial, entre outras possibilidades. Uma disciplina que trata da formulao de modelos matemticos (frmulas) para representar tais relaes de interdependncia chama-se Pesquisa Operacional. Suponha que em certa empresa de produtos eletrnicos a organizao da produo seja tal que o custo total C para produzir uma quantidade q de determinado produto seja apresentado pela funo C(q) = q2 1 000q + 800 000 (C em reais, q em unidades do produto). a) Determine o nvel de produo (valor de q) que minimiza o custo total C e calcule o valor do custo mnimo.

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b) Represente o grfico de C(q).

c) Para q = 0, o custo igual a R$ 800 000,00. Como pode ser interpretado tal fato?

d) Qual o nvel de produo que corresponde a um custo de R$ 800 000,00?

e) Do ponto de vista do custo, tanto faz um nvel de produo q = 300 ou um nvel de produo q = 700. E do ponto de vista do rendimento bruto (faturamento da empresa)?

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2. Para delimitar um galinheiro em um amplo quintal, dispe-se de 80 m (lineares) de uma tela. Deseja-se usar completamente a tela disponvel e a regio cercada deve ser um retngulo. Fixado o permetro, so inmeras as possibilidades para os lados do retngulo, como podemos perceber nos exemplos a seguir.

15 m 25 m 23 m 10 m 30 m

17 m

A rea A do retngulo uma funo do comprimento de seus lados. Entre todas as possibilidades para os lados, procura-se, naturalmente, aquela que corresponde maior rea possvel para o retngulo.40 x x

Dessa forma: a) Quais devem ser as medidas dos lados do retngulo para que sua rea seja a maior possvel?

b) Qual o valor da rea mxima?

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3. Deseja-se murar (cercar com muros) um terreno retangular utilizando-se uma parede j existente no terreno. Sabe-se que o comprimento do muro que ser construdo para cercar os outros trs lados do terreno 36 m.Parede x

a) Expresse a rea A desse terreno em funo de x (medida de um dos lados do retngulo).

b) Construa o grfico de A em funo do lado x.

c) Calcule a rea mxima que o terreno cercado pode ter e suas respectivas dimenses.

4. Um criador de gado tem um bezerro de determinada raa para vender. Esse bezerro pesa atualmente 200 kg e engorda 2 kg por dia. Inicialmente, o criador acha que, quanto mais tempo esperar para vender o bezerro, melhor ser, pois o bezerro ganhar mais peso. Entretanto, um de seus funcionrios lembra ao criador de que o preo da venda, que hoje de R$ 50,00 por kg, est caindo R$ 0,40 por dia. A escolha da melhor data para vender o bezerro depende, ento, de49


duas variveis: a engorda diria e a queda nos preos pagos por kg. Com base nas informaes fornecidas, mantida a situao atual, pede-se: a) Determine a melhor data para vender o bezerro, contada a partir de hoje.

b) Calcule o valor em R$ que ser arrecadado em tal venda.

c) Faa um grfico que represente o valor y a ser arrecadado pelo criador na venda do bezerro (em R$) em funo do tempo x de espera (em dias).

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d) Determine quantos dias levar para que o total arrecadado pelo criador seja igual a zero.

5. Um foguete, que lanado de uma base militar, apresenta um defeito em pleno voo e, segundo os clculos, dever cair sobre uma regio habitada. O grfico a seguir representa a trajetria desse foguete, sendo x e y dados em metros. O grfico tambm apresenta a trajetria praticamente retilnea de um mssil que foi lanado da mesma base para interceptar o foguete e evitar um possvel desastre. Suponha que a trajetria do mssil seja dada pela funo y = 40x.

y 3 600 y = 40x

60

120

x

a) Com base nos dados do grfico, encontre a sentena que representa a trajetria do foguete.

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b) Calcule a que altura do solo o mssil interceptar o foguete.

LIO DE CASA 1. Em determinado pas ocorreu uma epidemia provocada por uma espcie de vrus. Inicialmente, foram detectadas 2 000 pessoas infectadas. A estimativa dos epidemiologistas a de que o nmero N de doentes cresa at o valor mximo L, que dever ocorrer aps seis semanas do aparecimento do vrus, devendo decrescer a partir de ento. Supe-se que a diferena N(t) L seja diretamente proporcional ao quadrado da diferena entre t e 6, ou seja, quando dobra a distncia entre t e 6 (que ser o pico da doena), a queda no nmero de infectados torna-se 4 vezes maior: N(t) = k(t 6)2 + L (k uma constante) Com base nesse modelo, e sabendo que duas semanas aps o incio da epidemia havia 2 100 pessoas infectadas, responda: a) Quais so os valores de k e L?

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b) Como o grfico de N(t)?

c) Qual ser o nmero mximo de pessoas infectadas?

d) Depois de quantas semanas o nmero de infectados cair a zero?

2. Em um ambiente, a velocidade V de crescimento de uma populao N , em cada instante, diretamente proporcional ao valor de N, e tambm diferena entre um valor limite L, estimado como o mximo admissvel para uma vida sustentvel no ambiente em questo. O valor de N em cada instante corresponde a V = k . N.(L N), sendo k uma constante positiva. Podemos dizer, ento, que a velocidade V uma funo de N, expressa pela frmula V = f(N) = k.N.(L N), ou seja, V = f(N) = kN2 + kL . N.53


Supondo L = 100 000 habitantes e sabendo que, para N = 10 000, a velocidade de crescimento igual a 900 habitantes por ano, determine: a) o valor da constante k;

b) para quais valores de N a velocidade de crescimento igual a zero;

c) para quais valores de N a velocidade de crescimento da populao positiva, ou seja, a populao cresce, e para quais valores de N a velocidade de crescimento negativa, ou seja, a populao decresce;

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d) para qual valor de N a velocidade de crescimento mxima;

e) o grfico de V em funo de N.

3. Um empresrio possui duas lojas de roupas. Entre os anos de 2000 e 2005, a receita R1 de uma das lojas, em milhares de reais, foi modelada pela funo R1 = 0,7t2+ 3,4t + 4, onde t representa o tempo em anos. Durante o mesmo perodo, a receita R2, da segunda loja, em milhares de reais, foi modelada pela funo R2 = 0,8t + 300. Escreva uma funo que representa a receita total das duas lojas, indicada por Rt, verifique se essa receita possui um valor mximo ou mnimo e determine esse valor.

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Download - Caderno do aluno matemática 1ª serie 2º bimestre

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