Ensino Superior2.2 Implicao e EquivalnciaAmintas Paiva AfonsoLgica Matemtica e Computacional

Implicao LgicaDefinio:Dadas as proposies compostas P e Q, diz-se que ocorre uma implicao lgica (ou relao de implicao) entre P e Q quando a proposio condicional P Q uma tautologia.

Notao: P Q

Implicao Lgica Portanto, dizemos que P Q quando nas respectivas tabelas-verdade dessas duas proposies no aparece V na ltima coluna de P e F na ltima coluna de Q, com V e F em uma mesma linha, isto , no ocorre P e Q com valores lgicos simultneos respectivamente V e F. Em particular, toda proposio implica uma tautologia e somente uma contradio implica outra contradio.

Implicao LgicaExemplos:a) 3 = 2 + 1 3 = (2 + 1).Podemos usar o smbolo , pois a proposio condicional: 3 = 2 + 1 3= (2 + 1) verdadeira.

b) No podemos escrever que 3 > 2 3 > 4, pois a proposio condicional: 3 > 2 3 > 4 falsa.

Implicao LgicaObservao: Os smbolos e tm significados diferentes: O smbolo entre duas proposies dadas indica uma relao, isto , que a proposio condicional associada uma tautologia, enquanto realiza uma operao entre proposies dando origem a uma nova proposio p q (que pode conter valores lgicos V ou F.

Propriedade Reflexiva:P(p,q,r,...) P(p,q,r,...)Propriedade Transitiva:Se P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...) E Q(p,q,r,...) R(p,q,r,...), ENTOP(p,q,r,...) R(p,q,r,...)

p ^ q, p v q, p q p q p ^ q p v q p qV V V V VV F F V F F V F V FF F F F VExemplo

Exemplop ^ q, p v q, p q p q p ^ q p v q p qV V V V VV F F V F F V F V FF F F F VAssim, diz-se que p ^ q p v qe p ^ q p q

Exemplop ^ q, p v q, p q p q p ^ q p v q p qV V V V VV F F V F F V F V FF F F F VREGRA DE INFERNCIA: p p v q(Adio)

Exemplop ^ q, p v q, p q p q p ^ q p v q p qV V V V VV F F V F F V F V FF F F F VREGRA DE INFERNCIA: q p v q(Adio)

Exemplop ^ q, p v q, p q p q p ^ q p v q p qV V V V VV F F V F F V F V FF F F F VREGRA DE INFERNCIA: p ^ q p(Simplificao)

Exemplop ^ q, p v q, p q p q p ^ q p v q p qV V V V VV F F V F F V F V FF F F F VREGRA DE INFERNCIA: p ^ q q(Simplificao)

Implicaop q p qp q q pPROVE!

Implicao(p v q) ^ ~p q(p v q) ^ ~q pREGRA DE INFERNCIA: SILOGISMO DISJUNTIVO

Implicao(p q) ^ p qREGRA MODUS ponens(p q) ^ ~q ~pREGRA MODUS tollens

Teorema: A proposio P(p,q,r,...) IMPLICA a proposio Q(p,q,r,...) se e somente se a condicional P Q tautolgica. P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...) se e somente se: V(P Q) = V (tautolgica).

Exemplo de Implicao e TautologiaP(p,q,r,...) Q(p,q,r,...) se e somente se: V(P Q) = V (tautolgica). A condicional:(p q) ^ (q ^ r) (p r) Tautologia.

Logo, deduz-se a implicao lgica:(p q) ^ (q ^ r) p r(Regra do SILOGISMO HIPOTTICO)

Implicao LgicaExemplo: Mostrar que (p ^ q) pComo (p ^ q) p uma tautologia, ento (p ^ q) p, isto , ocorre a implicao lgica.

p qp ^ qVVVVFFFVFFFF

Implicao Lgica1. As tabelas-verdade das proposies p ^ q, p v q, p q so:VVFFp ^ q p v q e p ^ q p qFVFVFVFFVVFVFVVFA proposio p ^ q verdadeira (V)somente na linha 1 e, nesta linha, as proposies p v q e p q tambmso verdadeiras (V). Logo, a primeiraposio implica cada uma das outrasposies, isto :VVV

pqp ^ qp v qp q

Implicao LgicaAs mesmas tabelas-verdade tambm demonstram as importantes Regras de Inferncia:p p v q e q p v q (Adio)p ^ q p e p ^ q q (Simplificao)VVFFFVFVFVFFVVFVFVVFVVV

pqp ^ qp v qp q

Implicao Lgica

Implicao Lgica2. As tabelas-verdade das proposies p q, p q, q p so:VVFFp q p q e p q q pFVFVFVVFFVVVVVVFA proposio p q verdadeira (V)nas linhas 1 e 4 e, nestas linhas, as proposies p q e q p tambmso verdadeiras (V). Logo, a primeiraposio implica cada uma das outrasduas posies, isto :VVVVVV

pqp qp qq p

Implicao Lgica3. A tabela-verdade da proposio (p v q) ^ ~p :VVFF (p v q) ^ ~p q ,

FVFVVVFVFFVVFFFVEsta proposio verdadeira (V)somente na linha 3 e, nesta linha, a proposio q tambm verdadeira.Logo, subsiste a implicao lgica:

pqp v q~p(p v q) ^ ~p

Implicao Lgica4. A tabela-verdade da proposio (p q) ^ p so:VVFF (p q) ^ p q ,

denominada Regra Modus ponens.FVFVFVVVFVFFEsta proposio verdadeira (V)somente na linha 1 e, nesta linha, a proposio q tambm verdadeira.Logo, subsiste a implicao lgica:VVVV

pqp q(p q) ^ p

Implicao Lgica5. As tabelas-verdade das proposies (p q) ^ ~q e ~p so:VVFF (p q) ^ ~q ~p ,

denominada Regra do Modus tollens.As mesmas tabelas-verdade tambm mostram que ~p implica p q, isto : ~p p qFVFVFVVVVFVFFFVFEsta proposio verdadeira (V)somente na linha 4 e, nesta linha, a proposio ~p tambm verdadeira.Logo, subsiste a implicao lgica:FFVVVVVV

pqp q~q(pq) ^ ~q~p

6 Lista de Exerccios

Equivalncia LgicaDefinio: Dadas as proposies compostas P e Q, diz-se que ocorre uma equivalncia lgica entre P e Q quando suas tabelas-verdade forem idnticas.

Notao: P Q ou P Q (L-se: "P equivalente a Q")

Equivalncia LgicaNotao:P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...)P equivalente a QSe as proposies P(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...)so ambas TAUTOLOGIAS, ou ento, so CONTRADIES, ento so EQUIVALENTES.

Equivalncia - PropriedadesPropriedade Reflexiva:P(p,q,r,...) P(p,q,r,...)Propriedade Simtrica:Se P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...) ENTO Q(p,q,r,...) P(p,q,r,...)

Equivalncia - PropriedadesPropriedade Transitiva:Se P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...) EQ(p,q,r,...) R(p,q,r,...) ENTOP(p,q,r,...) R(p,q,r,...) .

Exemplo - Equivalncia Lgica~~p p (Regra da dupla negao)p ~p ~~p V F VF V F

~p p p (Regra de Clavius)p ~p ~p p V F VF V FExemplo - Equivalncia Lgica

Exemplo - Equivalncia Lgicap p ^ q p q (Regra da absoro)p q p ^ q pp ^ q p qV V V V VV F F F F F V F V VF F F V V

Equivalncia Lgicap q ~p v qp q (p q) ^ (q p)p q (p ^ q) v (~p ^ ~q)PROVE!

Tautologia Equivalncia LgicaTeorema: P(p,q,r,...) EQUIVALENTE Q(p,q,r,...) se e somente se a bicondicional P Q tautolgica. P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...) se e somente se: V(P Q) = V (tautolgica).

Tautologia e Equivalncia LgicaP(p,q,r,...) Q(p,q,r,...) se e somente se: V(P Q) = V (tautolgica). DEMONSTRAO:Se P(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) SO EQUIVALENTES ento tm tabelas-verdadeidnticas, e por conseguinte o valor lgico da bicondicional sempre Verdade

A bicondicional:(p ^ ~q r) (p q) e sendo V(r) = F Tautologia.

Logo, deduz-se a equivalncia lgica:(p ^ ~q r) (p q) (Demonstrao por Absurdo)P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...) se e somente se: V(P Q) = V (tautolgica). Ex. Tautologia e Equivalncia Lgica

Proposies associadas a uma condicionalDefinio: Dada a condicional p q, chamam-se PROPOSIES ASSOCIADAS a p q,as 3 seguintes proposies condicionais que contm p e q: Proposio RECPROCA de p q: q p Proposio CONTRRIA de p q: ~p ~q Proposio CONTRAPOSITIVA de p q: ~q ~p

Proposies associadas a uma condicionalp q p q qp ~p ~q ~q ~pV V V V V VV F F V V F F V V F F VF F V V V V As tabelas-verdade dessas 4 proposies:

Proposies associadas a uma condicionalp q p q qp ~p ~q ~q~pV V V V V VV F F V V F F V V F F VF F V V V V As tabelas-verdade dessas 4 proposies:Equivalentes

Proposies associadas a uma condicionalp q p q qp ~p ~q ~q ~pV V V V V VV F F V V F F V V F F VF F V V V V As tabelas-verdade dessas 4 proposies:Equivalentes

Proposies associadas a uma condicionalp q p q qp ~p ~q ~q ~pV V V V V VV F F V V F F V V F F VF F V V V V As tabelas-verdade dessas 4 proposies:NO Equivalentes

Proposies associadas a uma condicionalp q p q qp ~p ~q ~q ~pV V V V V VV F F V V F F V V F F VF F V V V V As tabelas-verdade dessas 4 proposies:NO Equivalentes

Outras Denominaes Proposio CONTRRIA de p q: ~p ~qTambm chamada de INVERSA de p q Proposio CONTRAPOSITIVA de p q: ~q ~pTambm chamada de CONTRA-RECPROCA, j que a contrria da recproca. p q tambm chamada de DIRETA.

Exemplo Achar a contrapositiva da condicional: Se x menor que 0, ento x no positivo.p: x menor que 0.q: x positivo.Condicional: p ~qContrapositiva: ~~q ~pPorm: ~~q -> ~p q ~pLing.corrente: Se x positivo, ento x no < que 0.

Negao conjunta de 2 proposiesDefinio:A proposio no p e no q (~p ^ ~q)Notao: p qp q ~p ~ q p qV V F F FV F F V F F V V F F F F V V V

Negao disjuntas de 2 proposiesDefinio:A proposio no p ou no q (~p v ~q)Notao: p qp q ~p ~ q p qV V F F FV F F V V F V V F V F F V V V

Equivalncia LgicaTeoremasA proposio P logicamente equivalente proposio Q, ou seja, (P Q), sempre que o bicondicional (P Q) uma tautologia.

Equivalncia LgicaExemplo:Mostrar que (p q) ^ (q p) e (p q) so equivalentes.Tabelas-verdade idnticasLogo, (p q) ^ (q p) (p q)

p qp qq p(p q) ^ (q p)p qVVVVVVVFFVFFFVVFFFFFVVVV

Equivalncia LgicaExemplo:Mostrar que (p ^ q) ~(~p v ~q)Como (p ^ q) ~(~p v ~q) uma tautologia, ento (p ^ q) ~(~p v ~q), isto , ocorre a equivalncia lgica.

p qp ^ q~ p~q~p v ~q~(~p v~q)ABVVVFFFVVVFFFVVFVFVFVFVFVFFFVVVFV

Equivalncia Lgica

Equivalncia LgicaUma diferena importantssima entre a implicao e equivalncia reside no fato de que, na implicao, s h o caminho de ida, no existe o de volta. Ou melhor, toda equivalncia uma implicao lgica por natureza. Diferentemente, a implicao no se trata necessariamente de uma equivalncia lgica. Podemos ento dizer que toda equivalncia uma implicao lgica, mas nem toda implicao uma equivalncia lgica.

Equivalncia LgicaAssim: p ^ q p (certo) O caminho de volta pode estar errado se desejado:p p ^ q (errado) Na equivalncia, pode-se ir e vir entre duas proposies. Temos: (~p v q) (p q)O caminho de volta seria perfeitamente vlido: (p q) (~p v q)

Equivalncia LgicaEm outras palavras:Dizer que p ^ q p a mesma coisa que afirmar que p ^ q p Porm, p ^ q p no a mesma coisa de dizer que p p ^ q

Equivalncia LgicaAs proposies P e Q so equivalentes quando apresentam tabelas verdades idnticas.Indicamos que p equivalente a q do seguinte modo: p q.Exemplos:(p q) ^ ( q p) p qp q ~( p ^ ~ q ) ~p v q

Equivalncia LgicaExerccio:Dizer que Andr artista ou Bernardo no engenheiro logicamente equivalente a dizer que:a) Andr artista se e somente Bernardo no engenheiro.b) Se Andr artista, ento Bernardo no engenheiro.c) Se Andr no artista, ento Bernardo engenheiro.d) Se Bernardo engenheiro, ento Andr artista.e) Andr no artista e Bernardo engenheiro.Resoluo: Na expresso temos ~p v q p q ~q ~pTemos duas possibilidades de equivalncia p q: Se Andr no artista , ento Bernardo no engenheiro. Porm no temos essa opo.~q ~p: Se Bernardo engenheiro, ento Andr artista. Logo reposta letra d).

Equivalncia LgicaExerccio:Dizer que Pedro no pedreiro ou Paulo paulista, do ponto de vista lgico, o mesmo que dizer que::a) Se Pedro pedreiro, ento Paulo paulista.b) Se Paulo paulista, ento Pedro pedreiro.c) Se Pedro no pedreiro, ento Paulo paulista.d) Se Pedro pedreiro, ento Paulo no paulista.e) Se Pedro no pedreiro, ento Paulo no paulista.Resoluo: Na expresso temos ~p v q p qp q: Se Pedro pedreiro, ento Paulo paulista. Letra a).

Equivalncia LgicaExerccio:Dizer que no verdade que Pedro pobre e Alberto alto, logicamente equivalente a dizer que verdade que:Pedro no pobre ou Alberto no alto. Pedro no pobre e Alberto no alto. Pedro pobre ou Alberto no alto. se Pedro no pobre, ento Alberto alto. se Pedro no pobre, ento Alberto no alto.p: Pedro pobre q: Alberto alto A proposio Pedro pobre e Alberto alto.(p ^ q)

Equivalncia LgicaLogo, dizer que no verdade que Pedro pobre e Alberto alto negar toda a proposio Pedro pobre e Alberto alto. A, escrevendo a nossa proposio composta em linguagem simblica: ~(p ^ q)

Agora, vamos demonstrar na tabela-verdade...

Equivalncia LgicaResposta correta: a) ~(p ^ q) ~p v ~q Ou, no bom portugus, podemos dizer que:No verdade que Pedro pobre e Alberto alto logicamente equivalente a dizer que Pedro no pobre ou Alberto no alto

ExercciosA negao da afirmao condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" :a) se no estiver chovendo, eu levo o guarda-chuvab) no est chovendo e eu levo o guarda-chuvac) no est chovendo e eu no levo o guarda-chuvad) se estiver chovendo, eu no levo o guarda-chuvae) est chovendo e eu no levo o guarda-chuva

Exerccios2.Chama-se tautologia a toda proposio que sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compem. Um exemplo de tautologia :se Joo alto, ento Joo alto ou Guilherme gordo b) se Joo alto, ento Joo alto e Guilherme gordoc) se Joo alto ou Guilherme gordo, ento Guilherme gordod) se Joo alto ou Guilherme gordo, ento Joo alto e Guilherme gordoe) se Joo alto ou no alto, ento Guilherme gordo

Exerccios3. Considere as afirmaes: A) se Patrcia uma boa amiga, Vtor diz a verdade; B) se Vtor diz a verdade, Helena no uma boa amiga; C) se Helena no uma boa amiga, Patrcia uma boa amiga. A anlise do encadeamento lgico dessas trs afirmaes permite concluir que elas: implicam necessariamente que Patrcia uma boa amiga b) so consistentes entre si, quer Patrcia seja uma boa amiga, quer Patrcia no seja uma boa amigac) implicam necessariamente que Vtor diz a verdade e que Helena no uma boa amigad) so equivalentes a dizer que Patrcia uma boa amigae) so inconsistentes entre si

Exerccios4. Se Rodrigo mentiu, ento ele culpado. Logo: Rodrigo culpado. se Rodrigo no mentiu, ento ele no culpado. Rodrigo mentiu. se Rodrigo no culpado, ento ele no mentiu. se Rodrigo culpado, ento ele mentiu.

Exerccios4. Se Rodrigo mentiu, ento ele culpado. Logo: Rodrigo culpado. se Rodrigo no mentiu, ento ele no culpado. Rodrigo mentiu. se Rodrigo no culpado, ento ele no mentiu. se Rodrigo culpado, ento ele mentiu.

Exerccios5. Se voc se esforar, ento ir vencer. Logo: mesmo que se esforce, voc no vencer. seu esforo condio necessria para vencer. se voc no se esforar, ento no ir vencer. voc vencer s se se esforar. seu esforo condio suficiente para vencer.

Exerccios5. Se voc se esforar, ento ir vencer. Logo: mesmo que se esforce, voc no vencer. seu esforo condio necessria para vencer. se voc no se esforar, ento no ir vencer. voc vencer s se se esforar. seu esforo condio suficiente para vencer.

7 Lista de Exerccios