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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA E

ENGENHARIA DE PETRÓLEO (PPGCEP) FÍSICA APLICADA À EXPLORAÇÃO E À PRODUÇÃO DE PETRÓLEO E GÁS

NATURAL (FAP)

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

SIMULAÇÃO DE FLUXO NO MEIO POROSO UTILIZANDO O FLUENT

Adriano Almeida Ferreira

Orientador: Prof. Dr. Liacir dos Santos Lucena

Natal/RN, Junho 2009

Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN

ADRIANO ALMEIDA FERREIRA


Dissertação apresentada ao Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo - PPGCEP da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciência e Engenharia de Petróleo.

Liacir dos Santos Lucena - Orientador

Natal/RN, Junho 2009



Por

ADRIANO ALMEIDA FERREIRA

Dissertação aprovada para a obtenção do título de Mestre no Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo – PPGCEP, pela banca examinadora formada por:

Presidente: ________________________________________________

Prof. Dr. Liacir dos Santos Lucena – Orientador, UFRN

Membro: ________________________________________________

Prof. Dr. Luciano Rodrigues da Silva, UFRN

Membro: ________________________________________________

Prof. Dr. Francisco Edcarlos Alves Leite , UFERSA

_________________________________________

Coordenador - PPGCEP Prof. Dr. Wilson da Mata, UFRN

Natal, 29 de mês Junho de 2009

Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 iii


FERREIRA, Adriano Almeida – Simulação de Fluxo no Meio Poroso Utilizando o Fluent. Dissertação de Mestrado, UFRN, Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo. Àrea de Concentração: Física Aplicada à Exploração e à Produção De Petróleo E Gás Natural (Fap), Natal, Brasil. Orientador: Prof. Liacir dos Santos Lucena

RESUMO

A complexidade do fenômeno do fluxo de um fluido em meios porosos causa uma dificuldade em sua descrição explícita. Diferente nos casos em que o fluxo se dar através de uma tubulação, onde é possível medir o comprimento e diâmetro da tubulação, bem como determinar sua capacidade de escoamento em função da pressão, a qual é uma tarefa complicada em meios porosos. Todavia, tentamos aborda de maneira clara as equações utilizadas para conjeturar o comportamento do fluxo de fluido no meio poroso. Fizemos uso do Gambit para criar uma geometria fractal e com o Fluent demos as condições de contornos desejadas para analisar os dados. A malha criada foi triangular, ela faz interações com os discos, de raios diferentes, colocados como obstáculos na geometria. Este trabalho apresenta os resultados de uma simulação com fluxo de fluidos viscosos (óleo-líquido). O óleo flui em um meios porosos construído em 2D. A avaliação do comportamento do escoamento do fluido no interior do meio poroso foi realizada com gráficos, imagens e resultados numéricos utilizados para diferentes análises de dados. O estudo desenvolvido foi visando o comportamento da permeabilidade (k) em relação a diferentes dimensões Fractais. Levando em conta a conservação da porosidade e o aumento da Fractalidade com a distribuição dos discos. Os resultados mostraram que k diminui quando aumentamos os números dos discos, apesar de que a porosidade é a mesma para todas as gerações da primeira simulação, ou seja, a permeabilidade diminui quando aumentamos a fractalidade. Pois, existem fortes turbulências no fluxo cada vez que aumentamos a quantidade dos discos e isso dificulta a passagem do mesmo para a saída. Estes resultados permitiram por em evidência o quão a permeabilidade (k) é afetada em um meio poroso com obstáculos distribuídos de maneira diversificada. Verificamos também que k decresce quando aumentamos a variação da pressão (∆P) no interior da geometria. Portanto, diante dos resultados e da ausência de subsídios bibliográficos sobre outras teorias, o trabalho aqui realizado pode ser considerado possivelmente uma forma inédita de se explicar e refletir como a permeabilidade é modificada quando aumentamos a dimensão fractal em um meio poroso.

PALAVRAS-CHAVES: Fluido, Fractal, Meio Poroso, Simulação e Permeabilidade.

Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 iv


ABSTRACT

The complexity of the Phenomenon of fluid flow in porous way causes a difficulty in its explicit description. Different in the cases where the flow is given through a pipe, where it is possible to measure the length and diameter of the pipe and to determine their ability to flow as a function of pressure, which is a complicated task in porous way. However, we try to approach clearly the equations used to conjecture the behavior of fluid flow in porous way. We made use of the Gambit to create a fractal geometry with the fluent we give the contour´s conditions we would want to analyze the data. The triangular mesh was created; it makes interactions with the discs of different rays, as barriers putted in the geometry. This work presents the results of a simulation with a flow of viscous fluids (oil-liquid). The oil flows in a porous way constructed in 2D. The behavior evaluation of the fluid flow inside the porous way was realized with graphics, images and numerical results used for different datas analysis. The study was aimed in relation at the behavior of permeability (k) for different fractal dimensions. Taking into account the preservation of porosity and increasing the fractal distribution of the discs. The results showed that k decreases when we increase the numbers of discs, although the porosity is the same for all generations of the first simulation, in other words, the permeability decreases when we increase the fractality. Well, there are strong turbulence in the flow each time we increase the number of discs and this hinders the passage of the same to the exit. These results permitted to put in evidence how the permeability (k) is affected in a porous way with obstacles distributed in a diversified form. We also note that k decreases when we increase the pressure variation (∆P) within geometry. So, in front of the results and the absence of bibliographic subsidies about other theories, the work realized here can possibly by considered the unpublished form to explain and reflect on how the permeability is changed when increasing the fractal dimension in a porous way.

Key words: Fluid, Fractal, Porous way, Simulation and Permeability

Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 v


“Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não são círculos, o

som do latido não é contínuo e nem o raio viaja em linha reta.”

( Benoit Mandelbrot, em seu livro “ The Fractal Geometry of Nature” – 1983)

Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 vi


DEDICATÓRIA

Dedico essa dissertação em memória ao meu irmão, Fernando Wagner de Almeida, por toda sua determinação, coragem, compreensão e respeito pela vida.

Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 vii


AGRADECIMENTOS

Ao meu Deus por está sempre presente na minha vida.

Aos meus pais, que são meu alicerce na construção de cada obra que faço durante

minha trajetória.

Ao meu orientado, o Professor Dr. Liacir dos Santos Lucena, por fazer parte e

compreender situações que a vida nos impõe como parte dela e pela competente orientação

na elaboração desta dissertação e por todo profissionalismo, ensinamentos e confiança,

depositada em mim, no decorrer do curso.

Aos meus sobrinhos que estão cada dia mais presente na minha vida. Sempre me

descontraindo mediante a realidade.

Ao meu avô João Gomes de Almeida que vibrava muito pelo meu sucesso nos

estudos.

A minha Tia Maria Veronilda de Almeida. A meu primo Tony Tayrone de

Almeida Raulino por esta sempre me ajudando.

A Samyr Silva B. Jácome por todas as horas de preocupações e de ajudas em

relação a esse trabalho.

A todos os meus amigos por acreditarem no meu potencial. Principalmente a

Eduardo Júnior e Albery Lucio da Silva.

A Professora Auta Stella de Medeiros Germano pelo apoio e por ser um tipo de

anjo de luz na minha vida. A Ana Patrícia Alves Ferreira por ser uma amiga verdadeira.

Aos Professores Idalmir de Souza, Milton, Vamberto Dias, Francisco de Assis P.

Piolho, Valdomiro Morais, Auta Stella, José Ronaldo, Josélio Rafael, Carlos Ruiz e

Thomas Dumelow por tudo que fizeram durante a minha graduação.

Por fim, a todos que contribuíram para essa realização e a família PPGCEP.

Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 viii


ÍNDICE

RESUMO.............................................................................................................................iv

ABSTRACT..........................................................................................................................v

DEDICATÓRIA..................................................................................................................vii

AGRADECIMENTOS.......................................................................................................viii

ÍNDICE DE FIGURAS........................................................................................................xi

ÍNDÍCE DE TABELAS.....................................................................................................xiv

Capítulo I

1. Introdução Geral..............................................................................................................02

1.1. Justificativa e relevância...............................................................................................03

1.2. Problema da Pesquisa...................................................................................................05

1.3. Objetivo........................................................................................................................07

1.3.1 Objetivos Gerais.........................................................................................................08

1.3.2 Objetivos Específicos.................................................................................................08

1.4. Roteiro de Dissertação..................................................................................................08

Capítulo II

2. Aspectos Teóricos...........................................................................................................11

2.1 Caracterizando o Fluido................................................................................................11

2.1.1. Tipos de Fluidos........................................................................................................12

2.1.2. Porosidade.................................................................................................................14

2.1.3. Lei de Darcy..............................................................................................................15

Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 ix


2.1.4. Equação de Navier-Stokes.........................................................................................17

2.1.5. Fractais......................................................................................................................33

2.1.6. Fractais Aleatórios.....................................................................................................41

Capítulo III

3.1. Fluent............................................................................................................................44

3.2. Delineamento/Modelagem da Simulação.....................................................................46

3.3. Gambit..........................................................................................................................52

Capítulo IV

4.1. Seleção de Valores Representativos para a Simulação................................................59

4.2. Avaliando a Dimensão Fractal.....................................................................................68

4.3. Analise da Permeabilidade de Fluxo............................................................................69

Capítulo V

5.1. Conclusão.....................................................................................................................78

5.2. Perspectivas..................................................................................................................79

Referências..........................................................................................................................80

Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 x


ÍNDICE DE FIGURAS

Capítulo I

1. Introdução Geral

Capítulo II

2. Aspectos Teóricos

Figura (2.1) – Forças tangenciais aplicadas ás faces de um corpo sólido..........................11 Figura (2.2) - Experimento da Lei de Darcy para fluxo de água.......................................16 Figura (2.3) - Exemplo de um Fractal auto similar infinito.................................................34 Figura (2.4) - Exemplo de um galho de árvore Fractal.......................................................35 Figura (2.5) - Movimento de uma partícula no espaço........................................................35 Figura (2.6) - Olhando para uma parte no certo intervalo de tempo do movimento de uma partícula no espaço..............................................................................................................36 Figura (2.7) - Exemplo de como começa a gerar um Fractal Peano Curve.........................36 Figura (2.8) - Seqüência de como começa a gerar um Fractal Peano Curve.......................37 Figura (2.9) - Mostra um quadrado de dimensão Fractal dois, gerado por uma linha de dimensão um........................................................................................................................37 Figura (2.10) - Exemplificando uma maneira de calcular a dimensão Fractal de qualquer objeto começando por uma linha.........................................................................................37 Figura (2.11) – Exemplificando uma maneira de calcular a dimensão Fractal de qualquer objeto pegando um quadrado e um triângulo......................................................................38 Figura (2.12) – Exemplificando uma maneira de calcular a dimensão Fractal de qualquer objeto pegando um cubo......................................................................................................38 Figura (2.13) – Exemplificando o calcular da dimensão Fractal.........................................39 Figura (2.14) – Exemplificando o cálculo da dimensão Fractal Koch Snowflake..............39

Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 xi


Figura (2.15) – Exemplificando como calcular da dimensão Fractal usando o método das caixas...................................................................................................................................40 Figura (2.16) – Exemplificando como calcular da dimensão Fractal usando o método das caixas colocando o fractal em caixas de diferentes tamanhos.............................................41

Figura (2.17) – Exemplo Fractais aleatórios.......................................................................42

Capítulo III

3. Metodologia Experimental

Figura (3.1) - Primeira janela quando abrimos o FLUET para encontramos a geometria feita no GAMBIT ..............................................................................................................45 Figura (3.2) – Primeira janela quando abrimos o FLUET como a função Grid de leitura dos dados advindos do GAMBIT........................................................................................46 Figura (3.3) - Primeira janela quando abrimos o FLUET com as funções de contornos...46 Figura (3.4) - Primeira janela quando abrimos o GAMBIT nela contém todas as funções que se necessita para fazer as geometrias e enviar para a memória do computador em uso........................................................................................................................................53 Figura (3.4.a) - Cria um ponto no espaço............................................................................53 Figura (3.4.b) - Cria os vértices da geometria.....................................................................54 Figura (3.4.c) - Cria as faces................................................................................................54 Figura (3.4.d) - Cria as interações da malha com os vértices..............................................55 Figura (3.5) - Figura ilustrando como vai ficando a geometria depois dos comandos........56 Figura (3.6) - Figura ilustrando como vai ficando a geometria depois dos comandos........56 Figura (3.4.f) - Cria as condições de contorno....................................................................57

Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 xii


Capítulo IV

4. Resultados e Discussões

Figura (4.1) - Referente a primeira geração da simulação. Ela representa os valores da velocidade do fluxo que entrar da esquerda (aonde fica a escala) para direita. (Imagens retirada do Software FLUENT)...........................................................................................61 Figura (4.2) - Referente a segunda geração da simulação. Ela representa os valores da velocidade do fluxo que entrada esquerda (aonde fica a escala) para direita. (Imagens retirada do Software FLUENT)...........................................................................................62 Figura (4.3) - Referente a terceira geração da simulação. Ela representa os valores da velocidade do fluxo que entrar da esquerda (aonde fica a escala) para direita. (Imagens retirada do Software FLUENT)...........................................................................................63 Figura (4.4) - Referente a quarta geração da simulação. Ela representa os valores da velocidade do fluxo que entrar da esquerda (aonde fica a escala) para direita. (Imagens retirada do Software FLUENT)...........................................................................................64 Figura (4.5) - Referente a quinta geração da simulação. Ela representa os valores da velocidade do fluxo que entrar da esquerda (aonde fica a escala) para direita. (Imagens retirada do Software FLUENT)...........................................................................................65 Figura (4.6) - Referente a sexta geração da simulação. Ela representa os valores da velocidade do fluxo que entrar da esquerda (aonde fica a escala) para direita. (Imagens retirada do Software FLUENT)...........................................................................................66 Figura (4.7) - Referente a sétima geração da simulação. Ela representa os valores da velocidade do fluxo que entrar da esquerda (aonde fica a escala) para direita. (Imagens retirada do Software FLUENT)...........................................................................................67 Figura (4.8) - Referente a sétima geração da simulação onde a variação da pressão é de 10 atm. Cada seta representa os vetores da velocidade do fluxo. (Imagens retirada do Software FLUENT).............................................................................................................72 Figura (4.9) - Referente a sétima geração da simulação onde a variação da pressão é de 11 atm. Cada seta representa os vetores da velocidade do fluxo. (Imagens retirada do Software FLUENT).............................................................................................................72

Figura (4.10) - Referente a sétima geração da simulação onde a variação da pressão é de

12 atm. Cada seta representa os vetores da velocidade do fluxo. (Imagens retirada do

Software FLUENT).............................................................................................................73

Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 xiii


Figura (4.11) - Referente a sétima geração da simulação onde a variação da pressão é de 13 atm. Cada seta representa os vetores da velocidade do fluxo. (Imagens retirada do Software FLUENT).............................................................................................................73 Figura (4.12) – Referente a sétima geração da simulação onde a variação da pressão é de 14 atm. Cada seta representa os vetores da velocidade do fluxo. (Imagens retirada do Software FLUENT).............................................................................................................74 Figura (4.13) - Número de Reynolds da sétima geração verifica-se que o fluxo do fluido é turbulento ou instável (Imagens retirada do Software FLUENT).......................................76

Capítulo V

5. Conclusão

ÍNDICE DE TABELAS

Capítulo I


Capítulo II


Tabela (2.1) – Definição da equação matemática dos fluidos Newtonianos e Não- Newtonianos........13

Capítulo III


Tabela (3.1): Tabela das Áreas e dos Raios dos discos.......................................................49

Tabela (3.2): Tabela ilustrativa das distribuições dos discos até a sexta geração...............52

Capítulo IV


Capítulo V

5. Conclusão

Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 xiv


ÍNDICE DE GRÁFICOS

Capítulo I


Capítulo II


Capítulo III


Capítulo IV


Gráfico (4.1) - Gráfico do número de caixas não vazias (N) por largura das caixas (L).

Para L = 10 mm N vale aproximadamente 167. Para L = 5mm N vale aproximadamente

502. Para L = 1 mm N é aproximadamente 3064................................................................69

Gráfico (4.2) - Referente a permeabilidade do fluxo em um meio poroso fractal com

relação a geração quarta, quinta, sexta e sétima da simulação............................................71

Gráfico (4.3) - Gráfico de como a permeabilidade é alterada em função do aumento da

variação da pressão. Mostra do declínio da permeabilidade do fluxo quando aumentamos a

variação da pressão para 11, 12, 13 e 14 atm......................................................................75

Capítulo V

5. Conclusão

Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 xv


NOMENCLATURA

τ - Tensão de Cisalhamento

F - Força aplicada na direção do escoamento

S - Área de superfície exposta ao cisalhamento

γ - Taxa de Cisalhamento

v∆ - Diferença de velocidade entre duas camadas de fluido adjacente

y∆ - Distância duas camadas de fluido adjacente

µ - Viscosidade dinâmica

aµ -Viscosidade aparente

NR - Numero de Reynolds

ρ - Densidade do fluido

η - Coeficiente de viscosidade

ν = u - Velocidade média de escoamento

d - diâmetro do tubo

φ - Porosidade

tV - Volume total

pV - Volume poroso

eφ - Porosidade efetiva

iV - Volume de poros interconectados

tV - Volume total.

Q - Volume total do fluido por unidade de tempo

µ – Viscosidade

L - Comprimento do meio poroso

A – Área

P – Pressão

K - Constante de proporcionalidade absoluta

aK - Constante de proporcionalidade efetiva

ϕ - o potencial de fluxo do fluído

Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 xvi


s - a trajetória de fluxo

q - a vazão volumétrica através do meio poroso

γ - Peso específico do fluído

z e zo - Alturas em relação a um nível de referência arbitrário

p e po - São pressões atuantes nos níveis z e zo, respectivamente

ρ - Massa especifica do fluído;

β - Coeficiente de resistência inercial ou de fluxo não newtoniano

qs - Fluxo de calor

k, - condutividade térmica do meio

T - Temperatura

cp - Capacidade calorífica do fluído

T0 - Temperatura de referência;

M – Massa molecular

Z - Fator de compressibilidade

R - Temperatura universal

D - Dimensão fractal

N - Número de forma idêntica.

h – Tamanho do lado de cada caixa

Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 xvii

___________________________________

Capítulo I

Introdução Geral

___________________________________

Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Introdução

Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 2

CAPÍTULO I. INTRODUÇÃO GERAL

1. Introdução

À medida que a humanidade cresce, em números de habitantes, surge à

necessidade de aumentar as fontes energéticas que estão sempre impulsionando o

desenvolvimento da sociedade. Pois é notória a importância das transformações de

energia no nosso cotidiano. Um, entre vários exemplos que poderia ser citado, é o

combustível utilizado pelos meios de transportes para facilitar o deslocamento das

pessoas e de matéria prima.

Logo, o funcionamento desses meios de transportes só é possível com a

utilização de alguma fonte de energia. Com isso, surge o desafio de produzir,

transformar ou extrair da natureza fontes que supram as necessidades energéticas da

sociedade.

A primeira vista pode parecer uma tarefa complicada vencer um desafio tão

grandioso. Grandioso por que há uma diversidade muito grande de mecanismos, em

nosso meio, que necessitam da utilização de energia para poderem funciona.

Proporcionando, com isso, um alto índice de consumo de energia. Mas com união de

idéias e força de vontade se consergue êxito em qualquer desafio.

Pensando assim, o presente trabalho converge para uma parte do problema, no

mar de sugestões que podem ser levantadas, que seria o aumento na produção de

Petróleo. Pois é sabido que o petróleo é uma das principais fontes convencionais de

energia da sociedade moderna. Além do mais, quando refinado ele se transforma

também em querosene, óleo diesel, óleo lubrificante, solvente, tintas, asfalto, plástico,

borracha sintética, fibras, produtos de limpeza, gelatinas, remédios, explosivos e

fertilizantes.

Com isso, expandir as reservas de Petróleo é essencial para uma sociedade

moderna. É o que diferentes nações estão preocupadas em fazer e até brigam com todo

ímpeto de violência por isso. Pois já observaram que é necessária uma estabilidade no

setor energético para favorecer o seu País em busca de um desenvolvimento, que ocorra

de maneira sólida.

Destarte, a busca pela produção do “ouro negro” está cada vez mais valiosa. E é

visando tal valor que esse trabalho se fundamenta, ou seja, todo alicerce contínuo



teórico do mesmo está direcionado para tentar refletir sobre o aumento na produção do

Petróleo.

Para isso, recorreremos aos conhecimentos teóricos da Hidrodinâmica que é uma

das áreas que a Física tem de mais provocante e encantadora. Com o domínio da

hidrodinâmica vem a possibilidade de explicar, talvez de modo geral, o vôo de uma ave,

a trajetória de uma bola de futebol, as ondas atrás de um barco, a ação de um

instrumento de sopro e entender como ocorre o fluxo do fluido no meio poroso. Este

último é o nosso principal interesse.

Apesa que a Hidrodinâmica estuda a matéria em bulk, sem se preocupar sobre

sua natureza microscópica. Olha apenas para um nível macroscópico de descrição é

fato do cotidiano, mas revela uma reflexão de verdade bem profunda.

Outra área de conhecimento bastante aplicada é a Mecânica Estatística. Pois, a

turbulência do fluido parece requerer uma relevância nas aplicabilidades estatísticas

para sua descrição e compreensão. Sabendo que a união da eletrodinâmica,

termodinâmica e hidrodinâmica têm um forte elo com a Mecânica, a qual hoje é usada

em qualquer sistema de muitas unidades que interagem entre si e com o sistema.

Então, devemos usar os conhecimentos teóricos e o Solfware Fluent para

alcançar uma simulação cheia de boas reflexões. Já que eles caracterizam uma leitura

autosuficiente da dinâmica de um fluido em um meio posoro, guiados por propriedades

como a densidade, viscosidade, pressão, tensão superficial, entre outras.

1.1 Justificativa e Relevância

Mediante o que foi dito, as razões que justificam abordar o tema é tentar

contribuir para um aumento do Petróleo nas referidas indústrias. Tendo em vista que um

reservatório, quando entra em processo de explotação, corresponde somente a trinta por

cento do Petróleo existente no subsolo. Com isso, precisamos de novas técnicas ou

estratégias para tentar elevar a porcentagem de extração do referido óleo.

E essa necessidade de aumento surge divido ao alto índice de utilização do

Petróleo em nosso país e no mundo. Como afirma Edivan Pinto, Marluce Melo e Maria

Luisa Mendonça: “Recentes estudos sobre os impactos causados pelos combustíveis

fósseis contribuíram para colocar o tema dos biocombustíveis na ordem do dia.

Atualmente, a matriz energética é composta por petróleo (35%), carvão (23%) e gás



natural (21%). Apenas dez dos países mais ricos consomem cerca de 80% da energia

produzida no mundo. Entre estes, os Estados Unidos são responsáveis por 25% da

poluição atmosférica. Analistas estimam que, dentro de 25 anos, a demanda mundial por

petróleo, gás natural e carvão tenham um aumento de 80%”. Lembrando que a presente

dissertação visa somente a preocupação com o aumento na produção do Petróleo.

Logo, simular como o mesmo se propaga no subsolo é um bom começo para

uma compreensão, que tenha como objetivo alcança metas para alavancar o crescimento

da produção das indústrias petrolíferas. Pois uma simulação significa a técnica de

estudar o comportamento e reações de determinados sistemas através de modelos. “Ato

ou efeito de Simular. Experiência ou ensaio realizado com o auxílio de modelos

(AURÉLIO, 2002).”

O software usado nos oferece uma simulação de processos que nos permite fazer

uma análise de sistemas sem a necessidade de interferi no mesmo. Todas as mudanças e

conseqüências, por mais profundas que sejam, ocorrerão apenas com o modelo

computacional e não com o sistema real. Levando em conta que o trabalho feito,

também nos proporcionando a possibilidade de estudos continuados e diversificados,

coisa que o sistema real não permite.

A simulação do fluxo de fluido através de meios porosos é importante, pois

existem muitas situações diárias que vão desde recuperação de petróleo até estudos

teóricos e experimentais praticados há muito tempo. Além do mais, devido ao meio

poroso exibi muitas propriedades interessantes, como heterogeneidade e diferentes

poros, que são difícies de serem interpretadas numericamente.

Com isso, visamos também ampliar o desenvolvimento econômico que é um

processo complexo de mudanças e transformações sociais. Como diz Góes Pacheco -

“Através do qual a sociedade torna-se capaz de produzir maior quantidade de bens e

serviços, destinados a satisfazer as sempre crescentes e diversificadas necessidades

humanas. De modo mais simples, pode-se dizer que o desenvolvimento econômico é o

processo de crescimento da economia de uma nação, que implica mudanças qualitativas

associadas, como melhores condições de vida para a população”.

Portanto, o presente trabalho é justificável pois fizemos um grande esforço

adicional de pesquisa, para aperfeiçoar a caracterização e simulação dos reservatórios,

de forma a promover uma recuperação suplementar, garantindo uma produção mais



eficiente e construímos uma nova geração de simuladores fazendo uso da plataforma de

trabalho, software FLUENT, incorporando conceitos modernos, tais como, leis de

fractalidade para melhor caracterizar a influência das escalas nas rochas [25]. Fazendo

todas as preparações da geometria do meio poroso - incorporando os novos conceitos -

geração da malha da rede utilizando o GAMBIT. E por fim resolvemos o problema

utilizando o FLUENT, que analisa os resultados e os refina se necessário.

1.2 Problema da Pesquisa

O primeiro passo para se obter certa quantidade de Petróleo é inteirar-se do

paradeiro do mesmo no subsolo. Existem maneiras que facilitam e comprovam uma

grande possibilidade de localização dele.

Como, por exemplo, os métodos Geofísicos que utilizam dados de rochas

localizadas na sub-superfície e também o método sísmico que se baseia na emissão de

ondas sísmicas artificiais em sub-superfície, ou no mar, geradas por explosivos, ar

comprimido ou pela queda de pesos ou vibradores e depois de percorrerem

determinadas distâncias no interior da crosta terrestre e serem refletidas ou refratadas

nas descontinuidades existentes, as ondas retornam à superfície sendo captadas por

sensores(Geofones ou Hidrofones), entre outros. Depois da localização e caracterização

do reservatório pensa-se em extrair o óleo até a superfície.

O segundo passo tem que responder da melhor maneira possível a seguinte

pergunta: qual a elevação mais adequada para determinado reservatório? A pergunta se

faz com predominância em relação aos reservatórios, pois são raros os que produzem

por surgencia. Com isso, temos que conhecer os metodos de elevação artificiais para

uma escolha que melhor se enquadre com o reservatório, pois existem vários fatores que

devem ser levados em conta na seleção do método de elevação. Fatores como a

existência de água no reservatório, ou um grande excesso de Gás, entre outros fatores.

Os métodos de elevação mais comuns na indústria do petróleo são: Gás-lift

Contínuo (GLC); Bombeio Centrífugo Submerso (BCS); Bombeio Mecânico com

Hastes (BM) e Bombeio por Cavidades Progressivas (BCP). Vamos escrever de

maneira sucinta cada um dos métodos.

O GLC baseia-se na injeção contínua de gás a alta pressão na coluna de

produção [35]. A intenção é aumenta a pressão na coluna de produção. Pois quando isso

acontecer aumenta um pouco a vazão.



No Bombeio Centrífugo Submerso (BCS) coloca-se um motor na superfície. O

motor funciona como transformador de energia elétrica em energia mecânica para uma

bomba centífuga que está conectado por um cabo ao motor. A bomba está localizada na

subsuperfície e transmite a energia mecânica para o fluido sob forma de pressão.

Já no Bombeio Mecânico com Hastes (BM) a energia vem do movimento

rotativo de um motor elétrico ou de uma combustão interna que é transformado em

movimento alternativo por uma unidade de bombeio localizada próxima à cabeça do

poço. Uma coluna de hastes transmite o movimento alternativo para o fundo do poço,

acionando uma bomba que eleva os fluidos produzidos pelo reservatório para a

superfície.

E no Bombeio por Cavidades Progressivas (BCP) a transferência de energia ao

fluido é feita através de uma bomba de cavidades progressivas. É uma bomba de

deslocamento positivo que trabalha imersa em poço de petróleo, constituída de rotor e

estator.

Mas, os conhecimentos citados, nos quatros últimos parágrafos, não são

suficientes para garantir uma produção satisfatória do combustível líquido natural

constituído quase só de hidrocarbonetos. Pois, sabe-se que o período de vida de um

reservatório representa a extração de trinta por cento da totalidade líquida do mesmo, ou

seja, apenas trinta por cento dele chega até a nossa superfície. Como diz Thomas [35]:

“estimativas feitas em diversos locais têm conduzido a um fator de recuperação médio

de cerca de 30%, considerando-se apenas processos convencionais de recuperação, ou

seja, de todo o óleo já descoberto, cerca de 30% pode ser recuperado por processos

convencionais de recuperação”. Logo, apresentar uma maneira que cresça essa

porcentagem seria muito louvável para todas as indústrias petrolíficas pois grande parte

das reservas estão em declínio de produção.

É pensando assim que surge uma pergunta pertinente: como retirar parte dos

setenta por cento do Petróleo que permanece no subsolo? Esse trabalho mostra, através

do software FLUENT que simula o fluxo do fluido no meio poroso, uma visualização

gráfica e visual de como possivelmente se comporta o fluxo em um reservatório.

Estudando como se propaga o fluxo do fluido nas rochas, levando em conta

suas Leis, e simulando como se propaga tais fluxos no subsolo, acreditamos está

contribuindo para um acréscimo na produção do petróleo. Pois entendendo como o



fluxo se propaga no meio poroso e tentando visualizar os vetores da velocidade e as

pressões em todo o sistema, como consta nas figuras 4.11; 4.12; 4.13; 4.14 e 4.15, fica

uma segurança maior para adotar estratégias de extração, ou escolher um local

apropriado para a perfuração de um poço. E consequentemente uma possibilidade de

melhoria na produção.

Destarde, como se propaga o fluxo de óleo no subsolo? Como na natureza

muitos fenômenos acontecem de maneira aleatória. Como por exemplo, um rebanho de

pássaros, quando são assustados por alguma coisa, voam de maneira aleatória e com

uma sincronia perfeita. Outro exemplo seria uma palmeira, onde as copas crescem de

forma fractal. Com isso, acatamos a ideia de que o fluxo do fluido também se comporta

de maneira aleatória e fractal. Mediante disso fizemos uma simulação no FLUENT com

base nesse pensamento para obtenção de dados que venham proporcionar reflexões

proveitosas a respeito do fluxo de Petróleo no subsolo.

1.3 Objetivo

As simulações feitas neste trabalho vão ter um nível de aprofundamento

realizado em duas dimensões. Devido aos poucos trabalhos, em nosso país, utilizando o

software FLUENT fica válido o estudo como um incentivo inicial. Não como algo

acabado, mas como um incentivo a utilização das simulações para as indústrias de

Petróleo.

Contudo, o que é um Software? Entende-se como software “uma seqüência de

instruções a serem seguidas e/ou executadas, na manipulação, redirecionamento ou

modificação de um dado/informação ou acontecimento. Software também é o nome

dado ao comportamento exibido por essa seqüência de instruções quando executada em

um computador ou máquina semelhante”.

Estudar como se processa o fluxo do Petróleo no subsolo partindo de

observações feitas na natureza e levando em conta os conhecimentos teóricos. Tentando

aproveitar a junção das teorias com os fenômenos observados na simulação e depois

associá-los a prática das indústrias petrolíferas.

Simular no software FLUENT o comportamento do fluxo de óleo em meios

porosos Fractais. Tentando tirar o máximo de clareza para uma visão menos abstrata no

que diz respeito ao fluxo do fluido em meios porosos. Tendo em vista que o fluxo do

petróleo acontece no subsolo e não temos como ver os caminhos percorridos por ele.



Caracterizar o perfil do poço com as ferramentas que o FLUENT dispõe, como

por exemplo, o GRAMBIT. Este por sua vez nos permite: fazer uma simulação de como

ocorre o fluxo no subsolo, além de sólida capacidade de modelagem, limitar as zonas

nas cessões, gravar os dados para uma nova exploração e qualificação nos exames, entre

outras permissões. Com isso, acreditamos está contribuindo com o desenvolvimento de

uma nova visão e conhecimento para as indústrias petrolíferas.

1.3.1 Objetivos Gerais

O objetivo geral é criar um simulador alternativo pertencente a uma nova

geração de simuladores que implante conceitos modernos (Exemplo leis de escala e

fractalidade) em sua análise utilizando o software FLUENT para simular o fenômeno de

escoamento em meios porosos. Além disso, a simulação fica amarzenada no sofltware e

pode ser testada várias vezes mudando os valores das viscosidades, pressão e

porosidades para diferentes composições.

1.3.2 Objetivos Específicos

O objetivo específico é analisar o efeito global no movimento de óleo e

gás em reservatório de petróleo no que diz respeito à extração e recuperação de

petróleo. Faremos isso, observando como se comporta a permeabilidade (k) com o

aumento na quantidade de discos no meio poroso, porém conservando a mesma

porosidade para todas as gerações.

1.4 Roteiro de Dissertação

A estrutura do trabalho está distribuída em partes, mas que todas elas estão

interligadas e fundidas de maneira que as partes obtiveram uma complementação uma

da outra formando um todo.

A primeira contém a introdução geral, onde foi abordado o problema da

pesquisa e os motivos pelos quais concordamos para o desenvolvimento deste trabalho.

Além de conter os objetivos que se pretende alcançar e as justificativas relevantes para

o tema proposto. Nesta parte você, além de ter uma visão de como vai ser o trabalho,

tem também a possibilidade de concordar com a fundamentação e construção do esboço

do mesmo.



Na segunda, encontram-se as fundamentações teóricas. Com elas analisaremos

os testes feitos na simulação com mais segurança de estarmos condizente com o natural

dos poços. Apesar de que a simulação é feita em duas dimensões e o fluxo no real se dar

em três dimensões. Os fundamentos teóricos são regidos no que existe de mais moderno

na literatura. Podemos citar: a Lei de Darcy que fundamenta fluxo de fluido em meios

porosos e a equações de Navier Stok que conceitua as mudanças no momento e

aceleração de uma partícula fluída são simplesmente o produto das mudanças na

pressão e forças viscosas dissipativas atuando dentro do fluido

A terceira se encarrega de explicar o funcionamento do software FLUENT,

como foi feita a simulação, porque o Fluent é importante nesses testes e quais as

vantagens da utilização do mesmo. Também contida nesta parte está o GAMBIT que

cria os modelos geométricos e depois permite que o FLUENT rode os comandos

desejados para obter os dados da simulação.

E na quarta, então os resultados das reproduções ou representações do

funcionamento do processo da simulação. Como também as conclusões que

fundamentam os conhecimentos teóricos contidos na própria dissertação. Contém os

gráficos, figuras e dados da simulção.

A última parte apresenta as conclusões e as recomendações que julgamos

necessárias. É a parte mais preciosa do trabalho, pois fica concentrada toda importância

dos resultados da pesquisa e propostas para a continuação da mesma.

___________________________________

Capítulo II

Aspectos teóricos

___________________________________

Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos


CAPÍTULO II. ASPECTOS TEÓRICOS

Neste capítulo, são apresentados os principais aspectos teóricos que

fundamentaram a compreensão do método proposto.

2.1 Caracterizando o Fluido

O conceito de fluido, de maneira grosseira, é algo que flui. Esse algo é

caracterizado como um gás, um líquido ou um plasma. Devido não possuir uma forma

fixa, o fluido não tem resistência à deformação, permitindo com isso que ele flua.

Então, todo o sistema que não tenha forma fixa, quando submetido a uma força, na

escala de tempo de interesse é considerado como fluido.

Observe que se aplicarmos duas forças tangenciais de sentido contrário as faces

de um corpo sólido, figura 2.1, o mesmo sofre uma deformação até certo ponto e chega

a um novo ponto de equilíbrio. Quando retirarmos as forças o sólido volta à sua forma

original. Com o fluido é diferente, as forças provocam uma deformação contínua, ou

seja, um fluido não reassume a sua forma original quando extraímos as forças externas.

Figura (2.1) - Forças tangenciais aplicadas ás faces de um corpo sólido (Machado,2002)

Logo, um fluido não produz uma força elástica que seja de sentido contrário ao

cisalhamento. Força de cisalhamento é uma força aplicada paralelamente à superfície,

criando deformação internamente em direção angular. Em decorrente a isso ele escoa

devido a qualquer tensão tangencial.

Tensão de Cisalhamento e Taxa de cisalhamento são dois termos de valores

conceituais que nos ajudaram para compreender o fenômeno do cisalhamento e a

definição de viscosidade.

A Tensão de Cisalhamento é a ração de uma força sobre a área cisalhante,

necessária para manter o escoamento do fluido [25]. O atrito entre as interações do

fluido com meio é quem requere a tensão, que pode ser expressa por:



S

F=τ

(2.1)

Onde F é a força aplicada na direção do escoamento e S é a área de superfície exposta

ao cisalhamento.

A Taxa de Cisalhamento é a razão da variação da velocidade das partículas

como a variação da distância entre elas, que pode ser expressa por:

y

v

∆

∆=γ

(2.2)

Onde v∆ é a diferença de velocidade entre duas camadas de fluido adjacente e y∆ é a

distância entre elas.

2.1.1. Tipos de Fluidos

Os Fluidos são classificados em dois tipos Newtonianos e não-Newtonianos.

Newtonianos quando a viscosidade é única e absoluta. Isso acontece quando a razão

entre a tensão de cisalhamento e a taxa de cisalhamento é constante. Podemos citar

como exemplos de fluidos Newtoniano, os gases e todos os sistemas homogêneos e

monofáticos. O fluido Newtoniano é definido matematicamente pela equação:

γ

τµ =

(2.3)

onde µ, denominada de viscosidade dinâmica, τ é a tensão de cisalhamento e γ

é taxa de cisalhamento.

Para viscosidade cinemática )(ν temos a viscosidade dinâmica do fluido

dividida pela massa específica )(ρ .

Já os não-Newtonianos a viscosidade não é constante, ou seja, a viscosidade va-

ria com a magnitude da taxa de cisalhamento. Um exemplo deste tipo de fluido é o

Petróleo. O fluido Não-Newtoniano é regido matematicamente pela equação:



γ

τµ =a

(2.4)

Onde, aµ é denominada de viscosidade aparente, τ é a tensão de cisalhamento e

γ é taxa de cisalhamento.

Newtoniano Não-Newtoniano

γ

τµ =

γ

τµ =a

Tabela 2.1: Definição da equação matemática dos fluidos Newtonianos e Não- Newtonianos.

O fluxo do escoamento de fluidos se comporta de duas maneiras: permanente e

transiente ou transitória. No primeiro o escoamento é estável e a velocidade permanece

constante, em um ponto, para um certo intervalo de tempo. No segundo a velocidade em

um ponto varia ao intervalo de tempo considerado.

Porém os engenheiros referem-se a dois tipos de fluidos: o laminar e o

turbulento. Eles foram caracterizados por Reynolds que mostrou que fluidos com baixa

rapidez fazem o escoamento laminar, também chamado de escoamento viscoso e em

altas velocidades o escoamento se transforma Turbulento.

Numero de Reynolds:

É definido por:

η

νρdN R =

(2.5)

onde ρ é a densidade do fluido, η é o coeficiente de viscosidade, ν o modulo da

velocidade média de escoamento pra frente e d o diâmetro do tubo. Verifica-se

experimentalmente que o escoamento de um fluido qualquer será:

Laminar se NR < 2.000;

Turbulento se NR > 3.000 e

Instável, isto é, fica alternando de um regime para outro, se 2.000 < NR< 3.000.



2.1.2. Porosidade

A palavra poro está inserida em nosso meio social desde muito certo. Um

exemplo disso é quando falamos que estamos suando através dos poros. Mas, o que é

poro? Cada um dos pequenos orifícios em certas matérias sólidas, ou seja, espaços

vazios em um meio. Então pensando um pouco mais concluímos que nosso corpo é

poroso. Logo depois, surgi à palavra porosidade em nosso vocabulário. Levando para os

meios rochosos, pois eles são caracterizados porosos. Por ter descontinuidades em seu

interior, essas descontinuidades recebem o nome de vazios ou poros. A porosidade de

uma rocha é a razão entre o volume dos espaços vazios e o volume total da formação

rochosa.

Matematicamente:

t

p

V

V=φ

(2.6)

onde tV é o volume total e pV é o volume poroso.

A porosidade absoluta é a razão entre o volume de todos os poros e o volume

total da rocha.

A razão entre o volume dos poros interconectados e o volume total da rocha dá-

se o nome de porosidade efetiva [35]. A porosidade efetiva é o parâmetro realmente

importante para a indústria do petróleo, pois representa o volume máximo de fluido que

pode ser extraído da rocha, visto que nos poros isolados o fluido está confinado e não

pode ser extraído. A porosidade efetiva ( eφ ) representa o espaço ocupado pelo fluido,

que este pode ser deslocado através do meio poroso que se encontra. Visto que é uma

relação entre os espaços vazios interconectados de uma rocha com o seu volume total.

A fórmula que caracteriza a porosidade efetiva é dada por:

t

i

eV

V=φ

(2.7)



Onde: eφ é a porosidade efetiva; iV é o volume de poros interconectados e tV é o volume

total.

2.1.3. Lei de Darcy

A teoria de escoamento monofásico laminar lento de fluídos através de um

meio poroso homogêneo é baseada num experimento clássico originalmente

desenvolvido por DARCY (1856), chamada lei de Darcy. Observando a purificação da

água que se dava pelo processo de filtração com areia, ele concluiu que existia uma

relação direta entre a vazão da água que atravessava os grãos de areia, a diferença de

carga relativa a vazão e a área que representava as dimensões do meio poroso. E

formulou a relação matemática que servi de base para todo o estudo feito sobre o fluxo

em meios porosos [01]:

L

hhkAQ

)12( −−=

(2.8)

O sinal negativo indica que a velocidade é na direção oposta a de maior pressão.

A variação de altura também pode ser expressa em termos de variação de pressão de

entrada e saída. A constante de proporcionalidade K é a condutividade hidráulica que

mede a permeabilidade do meio poroso.

Em reservatórios de petróleo, fluidos em fases diferentes escoam separadamente

através dos poros das rochas, em regimes de escoamento lentos, tal como ocorre neste

tipo de fenômeno. Então, nos anos de 1930, Muskat generalizou a lei de Darcy para

escoamentos bifásicos, introduzindo o conceito de permeabilidade relativa, que é uma

grandeza adimensional variando entre 0 e 1 e que multiplica a permeabilidade absoluta.

)( 21 PPA

LQK

−=

µ

(2.9)

onde Q é volume total de fluido que atravessa o filtro por unidade de tempo, µ é a

viscosidade e L e o comprimento do meio poroso, A é a seção transversal por onde

passa o fluxo e P é a pressão.



A permeabilidade é uma constate de proporcionalidade do meio poroso, e esta

pode ser: absoluta (K), quando existe apenas um fluido no interior da rocha; efetiva

( aK ), que ocorre quando no interior da rocha existem mais de um fluido sendo desse

modo definida como a facilidade com que cada um dos fluidos se move no interior da

rocha. O conceito de permeabilidade relativa pode assumi a formula:

K

KK a

ra =

(2.10)

A permeabilidade absoluta depende principalmente (ou, em situações ideais,

unicamente) da saturação do fluido. Em geral, é uma função não-linear da saturação,

pois cada fluído dificulta o movimento do outro.

Figura (2.2) - Experimento da Lei de Darcy para fluxo de água (Adalberto,2006). Como a velocidade média u pode ser definida por

_

u = Q/A_

(2.11)

a lei de Darcy se transforma em



_ u =

k

µ

p2 p1− ρgh+

h

−

(2.12)

Esta equação pode ser generalizada na forma diferencial, fazendo-se h tender a

zero (SHEIDEGGER, 1974),

∇u = ( p - ρ g)k

µ−

(2.13)

onde g é o vetor na direção da gravidade e com a magnitude da aceleração da gravidade.

2.1.4. Equação de Navier-Stokes

As equações de Navier-Stokes descrevem o fluxo do fluido no meio

poroso. Fluxo que se dá através de substâncias fluidas como os líquidos e os gases.

Estas equações segundo a literatura estabelecem que o produto das mudanças na pressão

e forças dissipativas que atuam dentro do fluido causa mudanças no momento e na

aceleração das partículas do fluido.

As equações de Navier-Stokes são equações diferenciais que descrevem o

movimento do fluido como já foi dito. “Estas equações, diferentes das equações

algébricas, não procuram estabelecer uma relação entre as variáveis de interesse (por

exemplo: velocidade e pressão), em vez disto, elas estabelecem relações entre as taxas

de variação ou fluxo destas quantidades. Em termos matemáticos, estas razões

correspondem a suas derivadas. As equações de Navier-Stokes para o caso mais simples

de um fluido ideal com viscosidade zero, estabelecem que a aceleração (a razão de

variação da velocidade) é proporcional a derivada da pressão interna”.

Para situações como, é o caso dessa dissertação, as soluções das equações de

Navier-Stokes frequentemente devem ser encontradas com a ajuda de computadores.

Este é um campo da ciência conhecido como CFD, sigla do inglês Computational Fluid

Dynamics ou Dinâmica dos Fluidos Computacional.



Antes de entrar nos detalhes da equação de Navier-Stokes, é necessário fazer

várias suposições à cerca dos fluidos. A primeira é será que o fluido escorre dentro de

um meio contínuo? Será que o próprio fluxo é um meio contínuo? Isto é, será que ele

não contém vazio, como por exemplo, bolhas dissolvidas no gás, ou que ele não

consiste de partículas como da neblina. Outra hipótese necessária é que todas as

variáveis de interesse tais como pressão, velocidade, densidade, temperatura, etc., são

diferenciáveis (isto é, não tem transição de fase).

De uma maneira geral h deixa de ser simplesmente uma altura geométrica e

passa a ser o potencial hidráulico, ou seja, a energia total do volume do fluido. Segundo

o teorema de Bernoulli a energia total permanece constante ao longo do fluxo de fluido,

para um fluxo constante e irrotacional de um fluido ideal. Portanto,

(2.14)

A energia h é a energia total que o fluido possui e que corresponde a soma das

energias ocasionadas pela pressão (piezométrica), pela velocidade (cinética) e pela

posição (altimétrica).

Substituindo h na equação teremos:

,

,

No interior das rochas podemos admitir a energia cinética como sendo

desprezível, portanto nossa equação fica:

=>



A constante K pode ser escrita em função das propriedades de densidade e

viscosidade do fluido, , a equação da vazão torna-se:

, .

A lei de Darcy leva em conta um escoamento laminar em um meio poroso

homogêneo. Darcy considera ainda o meio como sendo isotrópico. Porém para

considerar o meio como sendo homogêneo deve-se estabelecer uma escala de

homogeneidade compatível com as dimensões do meio.

Generalizando a equação de Darcy para a forma diferencial:

(2.15)

Inicialmente a Lei de Darcy, como descrita acima, foi aplicada para escoamentos

unidimensionais, no entanto ela pode ser aplicada a escoamentos em mais de uma

dimensão. Em escoamentos tridimensionais a Lei de Darcy fica:

(2.16)

Onde K passa a ser o tensor de condutividade hidráulica e grad[H] é o gradiente

de carga hidráulica que indica como ela varia em cada uma das três dimensões.

, e .

Se levarmos em conta a anisotropia do meio poroso teremos as equações:

,

,

.



Ou simplesmente, , i=1,2 e 3.

Levam em conta os efeitos térmicos, comportamento de fase e muitos outros

processos. Estas equações são muito complexas e levariam várias horas para resolver

um modelo da ordem de 10 5 , imagine da ordem de 10 11 , torna-se impraticável. A

grande dificuldade de resolver estas equações é porque a maioria dos reservatórios tem

uma geometria, do espaço poroso, altamente complicado, o fluxo na escala equivalente

aos poros é governado pela equação de Navier-Stokes.

As propriedades macroscópicas de um único fluido podem ser estimadas

utilizando a lei de Darcy. Caso haja a presença de dois fluidos a lei de Darcy se aplica

para cada um. Porém, é levada em conta a saturação que corresponde à fração do espaço

poroso ocupado por cada um dos fluidos e a permeabilidade relativa que representa a

redução do fluxo devido à presença do outro fluido.

O fluido também é governado por duas leis de conservação: a conservação da

massa, admitindo que o fluido seja incompressível; e a taxa de mudança de volume do

fluido deve ser equilibrada com a variação do espaço ocupado pelo mesmo, estas duas

leis de conservação combinadas com a lei de Darcy formam a base de muitas

simulações numéricas do fluxo de fluidos em reservatórios.

Parece até que o problema de predizer o fluxo do reservatório pode ser

solucionado através das equações acima sem muita dificuldade. Pois complicações

podem surgir como o efeito térmico quando a água fria é injetada no poço que está a

uma temperatura em torno de 80ºC, outra complicação é o comportamento de fase como

a vaporização ou a compressibilidade do fluido.

A interação entre corpos (avião, navio, carros, edifícios, vasos sangüíneos,

difusores radiais, ...) e fluidos (ar, água, óleo, sangue, gases, ...) é descrita pela

Mecânica dos Fluidos, especificamente por um conjunto de equações diferenciais

parciais, denominadas equações de Navier-Stokes. Essas equações surgem da aplicação

da segunda Lei de Newton, F = ma , onde m é a massa e a é o vetor aceleração, a

um elemento de fluido de massa infinitesimal, dm, que escoa com certa velocidade V

no qual age a força de gravidade F e as forças g de superfície F (força de pressão e

atrito), surgindo s a equação (2.14).



dt

VddmFF sg =+

(2.17)

O desenvolvimento da segunda lei de Newton, equação (2.14) resulta nas

equações de Navier-Stokes, que na forma compacta escreve-se,

(2.18)

onde v é o vetor velocidade, apresentado neste documento em coordenadas

kwjviu)))

++=∇

(2.19)

cartesianas, g é o módulo da aceleração da gravidade, p é a pressão, µ é a

viscosidade dinâmica associada as forças de atrito e ρ é a densidade do fluido. Assim,

resolver as equações de Navier-Stokes resume-se em determinar as seguintes funções

soluções: u(t, x, y, z), v(t, x, y, z), w(t, x, y, z), p(t, x, y, z) e (t, x, y, z), onde u, v e w

são as componentes do vetor velocidade nas direções x, y e z, respectivamente [27].

A descrição matemática detalhada para a mecânica de fluido, no interior do

espaço poroso, é baseada no pressuposto de que nós temos o fluxo estacionário em

condições isotérmicas e o fluido é contínuo. Então a continuidade e a equação de

Navier-Stokes se reduzem a:

0. =∇ u

(2.20)

uPuu 2∇+−∇=∇ µρ

(2.21)



onde ρ é a densidade do fluido e u e p são a velocidade local e a pressão do campo

respectivamente. Neste trabalho foi usada a condição de fronteira antiderrapante na

escolha da interface sólida do fluido. Os efeitos finais do campo do fluxo estabelecidos

no interior da estrutura do poro são minimizados ao se atribuir na entrada e na saída

para as duas faces opostas. Na entrada é especificada uma velocidade de fluxo constante

na direção normal de contorno com valor de 0,00 m/s. Enquanto, que a taxa de variação

da presão é admitida em valores desejados. (gradiente da condição de contorno).

Quanto aos fenômenos de transporte de fluídos envolvidos no processo pode ser

considerado, dependendo do simulador, o seguinte: a) Fluxo viscoso de um fluído

através de um meio poroso, onde se utiliza a lei de Darcy (eq. 1) para fluxo em regime

laminar. A lei de Darcy é recomendada para valores de Re (Reynolds) abaixo de 1, e

excepcionalmente, até 10, segundo algumas literaturas aqui estudadas.

s

kv s

s∂

∂−=

ϕ

µ

(2.22)

onde:

A

qvs =

Sendo que:

vs = velocidade aparente do fluído;

aK = permeabilidade efetiva do meio ao fluído considerado;

µ = a viscosidade do fluído;

ϕ = o potencial de fluxo do fluído;

s = a trajetória de fluxo;

q = a vazão volumétrica através do meio poroso;

A = a área da seção transversal onde ocorre o fluxo.



O potencial de fluxo de um fluído, também chamado de potencial de fluxo,

potencial de um fluído ou simplesmente de potencial é definido pela equação (2.23).

)( 0

0

zzdp

p

p

−+= ∫ γϕ

(2.23)

Sendo que:

ϕ = o potencial de fluxo do fluído;

γ = o peso específico do fluído;

z e zo = alturas em relação a um nível de referência arbitrário;

p e po = são pressões atuantes nos níveis z e zo, respectivamente.

Para escoamento em meios porosos em que os efeitos gravitacionais são

desprezíveis, como é caso de reservatório de petróleo, a lei de Darcy pode ser escrita

para meios isotrópicos como uma relação linear entre a velocidade aparente de fluxo e o

gradiente de pressão, dada por

s

pkv s

s∂

∂−=

µ

ou

pk

V ∇−=µ

onde V é o vetor de velocidade aparente com os componentes u e v nas direções x e y

para o caso bidimensional e ∇ é o operador matemático gradiente. .

Para meios anisotrópicos, ficamos com:

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

z

pk

y

pk

x

pkv iiii 321

1

µ



onde i=1, 2, e 3 representam as direções (coordenadas) x, y e z. kij, representa o tensor

permeabilidade de segunda ordem, considerado simétrico.

Quando não for garantida a linearidade entre a velocidade aparente de fluxo e o

gradiente de pressão, originam-se os escoamentos “não-darcinianos” ocasionados por

altas velocidades, efeitos moleculares e iônicos ou comportamento não-newtoniano do

fluído. Neste caso se obtém curvas cujos coeficientes são determinados

experimentalmente. Tal procedimento foi realizado por Forchheimer em 1901, que

sugeriu a inclusão de um termo de segunda ordem na equação de Darcy para

escoamento de altas velocidades. A lei de Forchheimer em regime turbulento (eq. 2.24)

– engloba efeitos de turbulência e de inércia;

2ss

s

vvkds

dpβρ

µ−=−

(2.24)

Sendo que:

v = velocidade de fluxo de um fluído;

ka = permeabilidade efetiva do meio ao fluído considerado;

µ = a viscosidade do fluído;

ρ = a massa especifica do fluído;

β = coeficiente de resistência inercial ou de fluxo não newtoniano;

s = a trajetória de fluxo

b) Transferência de calor. Nesse caso podem ser utilizadas as leis de

Transferência de calor no meio poroso pelo processo de: Condução, onde o fluxo de

calor é conduzido pela lei de Fourier (eq. 2.25);

s

Tkqs

∂

∂−= ,

(2.25)



Sendo que:

qs = fluxo de calor;

k, = condutividade térmica do meio;

T = a temperatura;

s = a trajetória de fluxo de calor

e Convecção, onde a lei de transporte de calor é formulada juntamente com o

conceito de capacidade calorífica do fluído (eq. 2.26).

)( 0TTvcq sps −=

(2.26)

Sendo que:

qs = fluxo de calor;

cp = capacidade calorífica do fluído;

T0 = uma temperatura de referência;

v = velocidade de fluxo de um fluído;

s = a trajetória de fluxo de calor

O uso de equações de estado apropriadas para representar o comportamento dos

fluídos e da rocha é de fundamental importância na obtenção das equações diferenciais

que rege o fenômeno de escoamento de fluídos em reservatório: a) Fluídos. Para fluidos

normalmente se emprega uma lei que relacione a massa especifica (ρ) com a pressão

(p). Isso se faz através da equação da compressibilidade, segundo a definição da

compressibilidade isotérmica de um fluído compressível (eq. 2.27) ou para líquido de

compressibilidade constante (eq. 2.28) ou de compressibilidade constante e baixa (eq.

2.29).

pp

V

Vc

∂

∂=

∂

∂−=

ρ

ρ

11

(2.27)



)(0

0ppce

−= ρρ

(2.28)

[ ])(1 00 ppc −+= ρρ

(2.29)

Para os gases aplica-se a chamada lei dos gases real (eq. 2.30) ou ideal (eq.2.31).

Que normalmente se emprega uma lei que relacione a pressão (p) com a massa

molecular (M), o fator de compressibilidade (Z), a temperatura universal (R) e a

temperatura (T).

ZRT

pM=ρ

(2.30)

RT

pM=ρ

(2.31)

b) para a representação da rocha se faz uso da equação da compressibilidade

efetiva da formação cf (eq. 2.32). Sendo φ é a porosidade.

pc f

∂

∂=

φ

φ

1

(2.32)

Outras equações podem ser usadas dependendo do que se deseje do simulador e

do processo de recuperação do petróleo adotado (injeção de água, de vapor, de

polímero, etc.).



Combinando as equações correspondentes às leis básicas, aos do fenômeno e as

de estado, obtém-se geralmente um sistema de equações diferencias parciais não

lineares acopladas, no caso de escoamento multifásico, que rege o comportamento do

sistema de difícil solução analítica sendo normalmente resolvida utilizando métodos

numéricos computacionais como a técnica das diferenças finitas, originando a

denominação de simuladores numéricos de reservatórios.

Para se obter a equação da continuidade procede-se com a análise da

conservação da massa utilizando um elemento de meio poroso (um paralelepípedo com

dimensões ∆x, ∆y e ∆z) através do qual ocorre o fluxo de um fluído que o satura

completamente. A massa total acumulada dentro do meio poroso durante um intervalo

de tempo ∆t é a diferença entre a massa que entrou e massa que saiu para cada direção

de fluxo de fluído considerada ∆x, ∆y e ∆z. Ou seja:

[ ] [ ][ ]zzzzz

yyyyyxxxxx

qqt

qqtqqtacumuladatotalMassa

∆+

∆+∆+

−∆

+−∆+−∆=

)()(

)()()()(__

ρρ

ρρρρ

(2.33)

De outra forma a variação de massa dentro do elemento do meio poroso pode ser

obtida por meio do balanço de materiais. Ou seja a massa total acumulada é a diferença

entre a massa que existente no meio poroso no final e no início do intervalo considerado

∆t. Ou seja:

[ ]tttzyxacumuladatotalMassa )()(__ φρφρ −∆∆∆= ∆+

(2.34)

Fazendo-se a igualdade entre as equações (2.33) e (2.34) e dividindo a expressão

obtida por (∆x.∆y.∆z.∆t). Sabendo-se que o quociente entre a vazão q e a área através

da qual ocorre o fluxo é por definição, a velocidade aparente do fluído. Dessa forma a

equação resultante é:

[ ] [ ] [ ]

t

vvz

vvy

vvx

ttt

zzzzzyyyyyxxxxx

∆

−

=−∆

+−∆

+−∆

∆+

∆+∆+∆+

)()(

)()(1

)()(1

)()(1

φρφρ

ρρρρρρ

(2.35)



Fazendo ∆x, ∆y, ∆z e ∆t tenderem a zero e aplicando a definição de limite de

uma equação para a eq.(2.35), resulta na equação da continuidade, eq.(2.36):

tv

zv

yv

xzyx

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ )()()()(

φρρρρ

(2.36)

A equação (2.36) representa então, o balanço de massa de fluído através do meio

poroso que diz: “a diferença entre a massa que entra e a massa que sai nas três direções

de fluxo é igual à variação de massa dentro do meio poroso”. Em geral para um volume

de controle elementar de controle, temos:

=

±

−

volume

nomassa

deiação

deTaxa

reaçõesa

devidomassa

deganho

ouPerda

volume

dosai

quemassa

deFluxo

volume

noentra

quemassa

deFluxo

_

_var

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

A segunda etapa é a associação da lei que rege o fenômeno de transporte de

fluído no meio poroso, a lei de Darcy dada pela eq.(2.22). Esta lei relaciona a

velocidade aparente de um fluído com a perda de carga, o gradiente de pressão, ou

genericamente com os gradientes de potencial. Sendo s a trajetória do fluxo, k a

permeabilidade do meio poroso na direção do fluxo, γ o peso específico do fluído, µ a

viscosidade do fluído e ϕ o potencial do fluxo, na direção x do fluxo temos então:

x

kv x

x∂

∂−=

ϕ

µ

(2.37)

e analogamente para as demais direções y e z de fluxos. Substituindo essas

equações na equação da continuidade, eq.(2.36), obtêm-se:

tz

k

zy

k

yx

k

x

zyx

∂

∂=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂ )(φρϕ

µ

γρ

ϕ

µ

γρ

ϕ

µ

γρ

(2.38)



A forma desta equação da continuidade é bastante geral. Para produzir as

diferentes situações em que um reservatório de petróleo pode se encontrar é necessário

fazer algumas simplificações como, por exemplo, no caso em que os efeitos

gravitacionais são desprezíveis sobre o fluxo (fluxo horizontal), o potencial ϕ pode ser

substituído pelo quociente entre a pressão e o peso específico (p/γ), resultando na

equação diferencial para a equação da continuidade, eq.(2.39):

tz

pk

zy

pk

yx

pk

x

zyx

∂

∂=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂ )(φρ

µρ

µρ

µρ

(2.39)

Finalmente são introduzidas na equação da continuidade as equações de estado,

ou seja, as equações que representam as compressibilidades dos fluídos e da rocha. Para

cada analise escolhe-se a equação de estado adequada. Para fluxo de líquidos usa-se as

equações da compressibilidade dos fluídos, eq. (2.40):

pc

∂

∂=

ρ

ρ

1

(2.40)

que desdobrada em função de x, resulta em

xcx

p

∂

∂=

∂

∂ ρρ

1

(2.41)

e analogamente em função de y e z. Substituindo na equação da continuidade, eq.(2.39)

resulta na eq. (2.42)

tzc

k

zyc

k

yxc

k

x

zyx

∂

∂=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂ )(111 φρρ

µ

ρ

µ

ρ

µ

(2.42)

o lado direito da eq. (2.42) nos dá:



ttt ∂

∂+

∂

∂=

∂

∂ φρ

ρφφρ )(

(2.43)

da equação da compressibilidade dos fluídos, eq.(2.40), obtém-se:

tct

p

∂

∂=

∂

∂ ρ

ρ

1

(2.44)

e da definição da compressibilidade efetiva da formação, eq.(2.33), obtém-se:

t

pc

tf

∂

∂=

∂

∂φ

φ

(2.45)

combinando a eq.(2.44) e a eq.(2.45), resulta em:

tcc

tf

∂

∂=

∂

∂ ρ

ρφ

φ 1

(2.46)

substituindo a eq.(2.46) na eq.(2.43), resulta em:

tcc

ctf

∂

∂+=

∂

∂ ρφφρ )()(

(2.47)

a soma da compressibilidade do fluído com a compressibilidade da formação é

denominada de compressibilidade total e é representada por ct. Logo a eq.(2.47) fica:



tc

c

t

t

∂

∂=

∂

∂ ρφφρ )(

(2.48)

substituindo a eq.(2.48) na eq.(2.42), ficamos com:

tc

c

zc

k

zyc

k

yxc

k

x

tzyx

∂

∂=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂ ρφρ

µ

ρ

µ

ρ

µ

111

(2.49)

Considerando a compressibilidade e a viscosidade do fluído constante, a

eq.(2.49) fica como:

tc

zk

zyk

yxk

xtzyx

∂

∂=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂ ρφµ

ρρρ

(2.50)

para meios homogêneos e isotrópicos, ou seja, kx = ky = kz = k, ficamos com a equação

da forma:

tk

c

zyx

t

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ ρφµρρρ2

2

2

2

2

2

(2.51)

escrevendo a equação (2.51) em termos de medidas de pressão, ou seja, para a primeira

parcela do primeiro membro desta, temos que:

22

2

2

2

2

2

2

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

x

pc

x

pc

x

p

xc

x

pc

x

pc

xxxxρρ

ρρρ

ρρ

(2.52)

e similarmente para as demais direções (y e z).



No entanto, para valores pequenos para a compressibilidade dos líquidos “c” e

baixos gradientes de pressão (o que é comum acontecer) a última parcela do segundo

membro da eq. (2.52) tende a si anular.

O segundo membro da eq.(2.51) também se escreve como:

t

pc

k

c

tk

c tt

∂

∂=

∂

∂ρ

φµρφµ

(2.53)

fazendo uso da definição de constante de difusividade hidráulica η, eq.(2.54):

cc

k

φµη =

(2.54)

substituindo as eq.(2.52), eq.(2.53) e eq.(2.54) na eq.(2.51), ficamos com a equação

diferencial parcial do escoamento em meios porosos, equação da difusividade

hidráulica. Onde somente um fluído satura o meio poroso:

tz

p

y

p

x

p

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ ρ

η

12

2

2

2

2

2

(2.55)

Para meios saturados completamente por água e óleo, e considerando que apenas

o óleo flua, a equação (2.55) continua sendo válida, desde que se façam as seguintes

correções:

twwoot cScScc ++=

(2.56)

e okk =

(2.57)



2.1.5. Fractais

Quando observamos a natureza e tudo que a constitui ficamos

impressionados com tanta diversidade. Indo mais além, agora pense que um objeto pode

assumir formas diferentes. Para isso basta levar em conta as escalas na observação.

Exemplo: um caju, fruta típica do nordeste, quando está em um ponto bem alto do

cajueiro pode ser tratado como um ponto. Depois que amadurecer o caju despenca e

choca-se contra o solo, ficando mais próximo podemos observar seu formato. Sob uma

lente, veremos os diversos poros do mesmo e sob um microscópio podemos observar as

células que o constituem. Assim, um mesmo objeto pode ser diferentemente descrito e

compreendido, quando observado em escalas espaciais distintas.

A influência das escalas oferece um subsídio para melhor entendermos e

analisarmos um problema. Esse ponto de vista levou a motivação para a criação do

chamado método de multiescala, ele permite a integralização do conhecimento,

adquirido ao longo das diversas escalas espaciais, que sejam relevantes para o estudo de

um determinado problema.

A abordagem multiescala tem dois bons instigadores importantes: “a

sistematização de relações entre as escalas (permitida pelo estabelecimento da ciência

dos fractais), bem como o progressivo aumento de poder computacional à disposição

dos pesquisadores.”

Benoit Mandelbrot para descrever um objecto geométrico que nunca perde a sua

estrutura qualquer que seja a distância de visão. Deriva do adjetivo fractus, do verbo

frangere, que significa quebrar. Mandelbrot classificou desta forma os seus objetos de

estudo como Fractal.

Um Fractal tem uma dimensão não inteira. As dimensões fracionárias tornaram-

se uma forma de quantificar qualidades que, de outro modo, permaneceriam sem

dimensão precisa: o grau de irregularidade ou tortuosidade de um objeto. Uma linha de

costa sinuosa, por exemplo, impossibilita a sua medição em termos de comprimento,

mas possui um grau determinado de irregularidade.

A palavra fractal acima de tudo significa auto-semelhante. A auto-semelhança é

a simetria através das escalas, ou seja, um objeto possui auto-semelhança se apresenta

sempre o mesmo aspecto a qualquer escala em que seja observado. Se repararmos, todas



as formas geométricas ortodoxas perdem a sua estrutura quando são ampliadas ou

diminuídas. Um círculo numa escala muito maior não é nada mais do que uma reta.

Basta ter em mente que à apenas 500 anos se pensava que a Terra era plana. Isto

acontece porque à escala humana não vemos mais do que uma linha reta no horizonte.

No entanto a maior parte dos objetos com que lidamos no nosso dia-a-dia não é

reta, nem esferas, nem cones. Olhando, por exemplo, para um tronco de uma árvore

verificamos que é extremamente rugoso e irregular. Se observarmos um pequeno

pedaço desse tronco ao microscópio observa novas rugosidades e irregularidades que

antes não tínhamos observado. No entanto esta imagem assemelha-se bastante à

anterior. È esta irregularidade regular que caracteriza um fractal.

Outra característica do Fractal é a complexidade infinita, ou seja, prende-se com

o fato de o processo gerador dos fractais é recursivo, tendo um número infinito de

interações.

As imagens de fractais geradas por computador são os resultados de interações,

operadas num sistema não linear, de forma recursiva e que possibilitam a quem os

observam, imagens de grande beleza e a compreensão desses mesmos sistemas.

Portanto, os objetos fractais se caracterizam pela auto-similaridade infinita, ou

seja, não importa as dimensões escalares espaciais em que estejam sendo observadas

suas aparências são semelhantes. Ver figura 2.3

Figura (2.3) – Exemplo de um Fractal auto similar infinito (Benoit, chapter.1988)

O fato de que qualquer pequena parte de um objeto será muito semelhante com o

objeto inteiro foi observado por Benoit Mandelbrol. Ele chamou tais formas de Fractais.

Logo, Fractais são figuras com uma infinita quantidade de detalhes e quando ampliadas,

não se tornam mais simples, mas continuam tão complexas como eram, sem ampliação.



Na natureza, você pode encontrá-los em toda parte. Qualquer ramo de árvore,

quando ampliado, parece com toda a árvore. A teoria dos Fractais foi desenvolvida para

estudar a natureza e agora é utilizada em uma variedade de outras aplicações.

Figura (2.4) – Exemplo de um galho de árvore Fractal (Benoit, chapter.1988)

Para tornar mais realista os Fractais usamos um tipo diferente de auto-

similaridade chamada de Browniana. Em 1828, Robert Brown estava estudando o

movimento das partículas microscópicas quando descobriu o que ele depois chamou de

movimento Browniano. Brown observou se parcelamos a trajetória de uma partícula

em determinados intervalos de tempo, vemos uma trajetória fragmentada com linhas

aleatórias localizadas no espaço.

Figura (2.5) – Movimento de uma partícula no espaço (Benoit, chapter.1988)

Agora, tome uma dessas linhas em intervalos de tempo menor para os locais das

parcelas. O que perceberemos são linhas compostas por fragmentos menores. Se

olharmos uma dessas linhas verá que ela é composta de pequenas outras linhas também.

No entanto, esta auto-semelhança é diferente da auta-similaridade. Apesar de cada linha

ser formada de pequenas linhas.



Figura (2.6) – Olhando para uma parte no certo intervalo de tempo do movimento de uma partícula no espaço (Benoit, chapter.1988)

O conceito de dimensão surgiu da necessidade de explicar formas geométricas

na natureza que não correspondia ao usual, ou seja, todos sabem que a dimensão de um

ponto é zero, de uma linha 1, de um quadrado 2 e de um cubo que é 3. Mas a dimensão

de um Fractal não necessariamente é um número inteiro.

Considere um Fractal chamado de Peano Curve. Ele é gerado com uma linha e

depois coloque um retângulo como mostra a figura 2.7. Em seguida para cada linha é

feito o mesmo formato da figura 2.8. Ao repetir continuamente até o infinito obtemos

um quadrado no final como consta a figura 2.9. Com isso, encontramos um problema. O

Fractal é constituído por linhas, de modo que a dimensão topológica é um. No entanto, é

impreciso uma vez que a forma tem dimensão dois, pois é um quadrado. Com isso,

temos que usar o conhecimento de dimensão Fractal para sabermos o valor da dimensão

desse problema.

Figura (2.7) – Exemplo de como começa a gerar um Fractal Peano Curve (Benoit, chapter.1988)



Figura (2.8) – Seqüência de como começa a gerar um Fractal Peano Curve (Benoit, chapter.1988)

Figura (2.9) – Mostra um quadrado de dimensão Fractal dois, gerado por uma linha de dimensão um (Benoit, chapter.1988)

Uma maneira de calcular a dimensão fractal está na vantagem de usar a auto

similaridade. Por exemplo, suponha que tenha um segmento de linha e claro que a

dimensão é um. Se você olhar ampliando em duas vezes, verá dois idênticos segmentos

de linha. Vamos usar uma variável D para dimensão e N para o número de forma

idêntica.

Figura (2.10) – Exemplificando uma maneira de calcular a dimensão Fractal de qualquer objeto começando por uma linha (Benoit, chapter.1988)

Agora vamos pegar um quadrado e um triângulo. Quando ampliamos

percebemos quatro formas idênticas em ambos.



Figura (2.11) – Exemplificando uma maneira de calcular a dimensão Fractal de qualquer objeto pegando um quadrado e um triângulo (Benoit, chapter.1988)

Por fim, tome um cubo. Mais uma vez, enalteça duas vezes. Agora, teremos

oitos cubos idênticos.

Figura (2.12) – Exemplificando uma maneira de calcular a dimensão Fractal de qualquer objeto pegando um cubo (Benoit, chapter.1988)

Com estes três exemplos percebemos que existe um padrão claro, ou seja,

sempre que ampliamos e elevamos a potência da dimensão obtemos a seguinte forma

numérica:

eD = N

(2.58)

Resolvendo esta equação para D. Encontramos facilmente:

D = log N / log e

(2.59)



Usando esta fórmula, podemos agora calcular dimensão fractal para alguns

fractais. Pelo Peano Curva, você vê que na fase inicial da forma, existem 9 segmentos

idênticos linha (N = 9). Cada um deles é 1 / 3 do tamanho do segmento inicial da linha,

para a ampliação é de 3 (e = 3).

Figura (2.13) – Exemplificando o calcular da dimensão Fractal (Benoit, chapter.1988)

Usando a fórmula (2.59), nós achamos que D = log 9 / log 3 = 2. Uma vez que a

forma final é um quadrado, isto é exatamente aquilo que esperava.

Agora, dê uma olhada em outro fractal, chamado de Koch Snowflake. Nele,

você pode ver quatro idênticos snowflakes (N = 4). Cada um deles é 1 / 3 de todo o

floco de neve, então E = 3.

Figura (2.14) – Exemplificando o cálculo da dimensão Fractal Koch Snowflake (Benoit, chapter.1988)

Calcular a dimensão fractal, temos: D = log 4 / log 3 = 1,26. A dimensão é uma

fração. Algo diferente da geometria euclidiana.

Para calcular a dimensão fractal de um objeto basta usar um método simples

(Método das Caixas). Considere colocar o fractal numa folha de papel milimetrado,



onde o lado de cada caixa é tamanho h. Em vez de encontrar o tamanho exato do fractal

contamos o número de caixas que não estão vazias. Deixe que este número seja N.

Fazendo as caixas menores dá-lhe mais detalhes, que é o mesmo que aumentar a

ampliação. De fato, a ampliação, é igual a 1 / h. No método já citado que encontramos a

fórmula (2.59) para a dimensão fractal é D = log N / log e. Com este método, podemos

alterar a fórmula para:

D = log N / log (1/h)

(2.60)

Com isso, fica fácil calcular a dimensão fractal. Por exemplo:

Figura (2.15) – Exemplificando como calcular da dimensão Fractal usando o método das caixas

(Benoit, chapter.1988).

Usando o método das caixas, nós colocamos o fractal numa folha de papel

milimetrado. Para este fractal, usamos caixas com tamanhos 1 / 3 e 1 / 9.



Figura (2.16) – Exemplificando como calcular da dimensão Fractal usando o método das caixas

colocando o fractal em caixas de diferentes tamanhos (Benoit, chapter.1988)

No primeiro caso, 5 caixas não estão vazias. No segundo caso, existem 25 casas

se fizer no terceiro ficaríamos com 125. Usando esses números, verificamos que no

primeiro caso, D = log 5 / log [1 / (1 / 3)] = 1,46. Se você fizer isso para o segundo caso,

você verá que a resposta é a mesma, o que significa que a nossa dimensão é exata.

2.1.6. Fractais Aleatórios

Existe também Fractais que não são semelhantes. È o caso dos Fractais

Estatísticos. Esses têm formas pouca evidente de auto-similaridade. O estatístico possui

medidas numéricas ou estatísticas que são preservadas em diferentes escalas. Como é o

caso de nossa simulação em que as medidas dos raios dos discos são de diferentes

escalas, e esse obedece a uma lei de potência. Ver tabela 3.1. Com isso, as definições de

fractais geralmente implicam alguma forma de auto-similaridade estatística (mesmo a

dimensão fractal é uma medida numérica preservada em diferentes escalas). Fractais

aleatórios são exemplos de fractais que possuem auto-similaridade estatística, mas não

são exatamente nem quase auto-similares como mostra a figura logo a baixo.



Figura (2.17) – Exemplo Fractais aleatórios.

A idéia de Fractal já foi abordada anteriormente, mas o que é a estatística?

Segundo Rao (1999), a estatística é uma ciência que estuda e pesquisa sobre: o

levantamento de dados com a máxima quantidade de informação possível para um dado

custo; o processamento de dados para a quantificação da quantidade de incerteza

existente na resposta para um determinado problema; a tomada de decisões sob

condições de incerteza, sob o menor risco possível. Finalmente, a estatística tem sido

utilizada na pesquisa científica, para a otimização de recursos econômicos, para o

aumento da qualidade e produtividade, na otimização em análise de decisões, em

questões judiciais, previsões e em muitas outras áreas.

___________________________________

Capítulo III

Metodologia Experimental

___________________________________

Dissertação de Mestrado PPGCEP/UFRN Metodologia

Adriano Almeida Ferreira, Junho/2009 44

CAPÍTULO III - METODOLOGIA EXPERIMENTAL

3.1 FLUENT

O FLUENT é um Software de computador muito utilizado por fornecedores do

comércio computacional à distância. Ele é mais usado pelas indústrias, devido suas

aplicações, pois o mesmo emprega técnicas de modelagens com coordenadas aplicadas

propriamente aos projetos das indústrias.

O FLUENT é um programa de computador avançado que modela o fluxo do

fluido no interior das geometrias estocásticas escolhidas nas simulações. Exibe uma

visão clara dos complexos resultados de tais geometrias. É um programa comercial

especialmente desenvolvido para resolver problemas de fluxo de fluidos baseado na

técnica numérica CFD. A análise de simulações de CFD pelo programa FLUENT

mostrou-se eficaz para uma variedade enorme de projetos de pesquisa, simplificando o

trabalho, pois dispensa a necessidade de se realizar teste com modelos em laboratório ou

no campo. Fornece também os gráficos e pinturas das propriedades das variáveis como

densidade, velocidade e pressão do fluido no meio inserido com uma facilidade relativa.

Ele também permite que repita ou concerte seus testes. Um fato importante é que

é escrito em linguagem de computador C, e isso nos fornece manuseá-lo de maneira

flexiva, ressaltando que todos os dados são armazenados em memória dinâmica e

verdadeira. Toda eficiência na estrutura e todo o controle acontece através do Software.

Anotar que o GAMBIT é um processador para modelar a geração da situação desejada,

ou seja, a geometria do meio e a geração da malha do reticulado.

O FLUENT é um pacote de software de CFD para simular os problemas de

fluxo de fluidos. Usa o método do volume finito para resolver as equações que

governam o movimento do fluido. Fazendo isso com potencialidade, que incluem

suportes em duas dimensões 2D e em três dimensões 3D, em malhas quadrada e

triangular e incluindo todos os registros das variáveis de diferentes composições

químicas.



O pacote FLUENT resolve numericamente a equação de Navier – Stokes para

condições de contorno previamente estabelecidas, de acordo com a problemática a ser

resolvida.

Uma vez entendido todo o processo físico, matemático e de engenharia

envolvidos nas pesquisas das indústrias petrolíferas, uma das etapas importante da

pesquisa é compreender passo a passo a utilização do software e ajustá-lo para resolver

o problema de uma visualização e uma reflexão melhor do fluxo do fluido no subsolo.

Figura (3.1) – Primeira janela quando abrimos o FLUET para encontramos a geometria feita no

GAMBIT (Programa FLUENT)

É a primeira tela que aparece quando abrimos o Software FLUENT. Nela

encontram-se todas as ferramentas para o desenvolvimento das utilidades do Soft.

A primeira coisa a se fazer é entrar em File para executar o comando Read. Feito

isto, o FLUENT faz um reconhecimento do Programa produzido no Gambit. Depois,

pode-se validar a leitura do programa com a função Grid, uma espécie de verificação

dos comandos que foram reconhecidos. Continuando, deve-se informar a leitura ao

FLUENT . Ver figura



Figura (3.2) – Primeira janela quando abrimos o FLUET como a função Grid de leitura dos

dados advindos do GAMBIT (Programa FLUENT)

Mediante o que foi dito, agora é só ir moldando as condições de acordo com os

objetivos a serem desenvolvidos. Por exemplo, em define pode-se escolher o modelo

das soluções, o material que quiser utilizar como água, ar, óleo, entre outros, as

condições de contornos e outras. (Ver figura 3.3).

Figura (3.3) – Primeira janela quando abrimos o FLUET com as funções de contornos

(Programa FLUENT)

3.2 DELINEAMENTO/ MODELAGEM DA SIMULAÇÃO

O desenvolvimento desta atividade teve como ponto de partida a idealização de

um modelo. Tal modelo foi idealizado obedecendo a uma lei de potência.

Fiz-se à malha com o formato de um retângulo com dois mil metros na direção

Y e três mil metros na direção do verto X. Com isso, se obtém uma área de seis milhões



metros quadrado. Depois calculou-se uma porcentagem de vinte por cento de sessenta

mil que deu doze mil. Esse foi dividido por dois dando igual a seis mil, que seria a soma

das áreas dos discos A e B. Então para sabermos o raio dos discos dividiu-se a área

(6.000 m2) pelo valor de pi e o valor encontrado da divisão fez-se a raiz quadrada. Para

gerar uma nova distribuição, pegou-se um dos discos e dividiu-se por quatro, o

resultado será o valor da nova Área dos próximos discos. E para saber o valor dos raios

desses novos discos é só dividir o valor da área pelo o valor de pi e fazer a raiz quadrada

do resultado da divisão. Veja de maneira ilustrativa, como foi idealizada a primeira

simulação, logo abaixo.

A = π R2 (3.1)

6.000.000 = 3,14 R2

R2 = 14,3

000.000.6

R2 = 1910,8

R = 437,13 m

dividindo a área de um dos discos por quatro é igual a ,

observe que o novo valor da área de um disco é 1.500.000 m2, pois foi dividido

6.000.000 m2 em quatro vezes.

A = π R2

1.500.000 = 3,14R2

R2 = 14,3

000.500.1



R = 218,54 m que é o valor dos novos raios.

Depois pega-se a metade do discos que dividimos em quatro, que no caso são

dois discos . Dividi-se um desses outros discos por quatro

e o outro por quatro também , observe que o novo

valor d a área é 375.000 m2 pois dividimos 1.500.000 m2 em quatro. Logo,

A = π R2

375.000 = 3,14R2

R2 = 14,3

000.375

R = 109,282 m que é o valor dos novos raios.

Repetindo os passos que acabaram de serem feitos, compreende-se que a

próxima geração vai fica: dividindo dividindo

dividindo dividindo



Assim, obtêm-se os valores dos raios que se deseja. Na experiência, fica-se

com os valores motrados na tabela abaixo (3.1)

Esfera Área Raio

Área = 6.000.000

m2

R = 437,13 m

Área = 1.500.000

m2

R = 218,54 m

Área = 375.000 m2

R = 109,282 m

Área = 93.750 m2

R = 54,6412 m

Área = 234.375m2

R = 27,321 m

Área = 5.859,375

m2

R = 13,66 m

Área =

1.464,843m2

R = 6,83m

Área = 366,21m2 R = 3,415

Tabela (3.1): Tabela das Áreas e dos Raios dos discos.

Atribuindo cada passo o nome de gerações, fica-se com as seguintes descrições:

na primeira geração tem dois discos de raios 437,13m; na segunda geração um disco de

raio 437,13m e quatro de raios 218,54m; na terceira um disco de raio 437,13m, dois de

raios 218,54m e oito de raios 109,282m; na quarta um disco de raio 437,13m, dois de

raios 218,54m, quatro de raios 109,282m e dezesseis de 54,6412 m; na quinta um disco

de raio 437,13m, dois de raios 218,54m, quatro de raios 109,282m, oito de 54,6412 m e

trinta e dois com raio de 27,321m; na sexta geração um disco de raio 437,13m, dois de

raios 218,54m, quatro de raios 109,282m, oito de 54,6412 m, dezesseis de 27,321m e

sessenta e quatro com raio de 13,66m; na sétima geração um disco de raio 437,13m,



dois de raios 218,54m, quatro de raios 109,282m, oito de 54,6412 m, dezesseis de

27,321m, trinta e dois com raio de 13,66m e cento e vinte e oito com raio de 6,83 m e

na na oitava geração um disco de raio 437,13m, dois de raios 218,54m, quatro de raios

109,282m, oito de 54,6412 m, dezesseis de 27,321m, trinta e dois com raio de 13,66m ,

sessenta e quatro com raio de 6,83 m e duzentos e cinquenta e seis de raio 3,415. Veja

logo a baixo de maneira ilustrativa a distribuição dos discos até a sexta geração.

Primeira Geração

Segunda Geração

Terceira Geração



Quarta Geração

Quinta Geração



Sexta Geração

Tabela (3.2): Tabela ilustrativa das distribuições dos discos até a sexta geração.

3.3 GAMBIT

O GAMBIT é um processador para modelar a geração da situação desejada, ou

seja, a geometria do meio e a geração da malha do reticulado. A primeira tela que

aparece quando abrimos o Gambit é a seguinte:



Figura (3.4) – Primeira janela quando abrimos o GAMBIT nela contém todas as funções que se

necessita para fazer as geometrias e enviar para a memória do computador em uso (Programa Gambit)

Com ela, modela-se a simulação que foi idealizada em um meio poroso fractal.

Veja passo a passo a construção da geometria a seguir.

Primeiro criou-se os pontos em um espaço 2D com o primeiro comando. (Ver

figura 3.4a), com ele fornece-se as coordenadas para localizar pontos no espaço. Depois

produziu-se os vértices com o segundo comando (ver figura 3.4b), onde o mesmo pode

ser real ou virtual. Por fim, com o terceiro comando, criam-se as faces (Ver figura 3.4c).

Pode-se também colocar o nome que desejar para os pontos, os vértices e as faces.

Figura (3.4.a) – Cria um ponto no espaço (Programa Gambit)



Figura (3.4.b) – Cria os vértices da geometria (Programa Gambit)

Figura (3.4.c) – Cria as faces (Programa Gambit)

Agora, fornece-se aos vértices as quantidades de pontos, do próprio vértice, para

interagir com a malha desejada. Faz-se isso com os seguintes comandos:



Figura (3.4.d) – Cria as interações da malha com os vértices (Programa Gambit)

Na parte esquerda da figura (3.4.d) os comandos deixam a simulação, como

mostram as ilustrações 3.1e 3.2 logo abaixo.



Figura (3.5) – Figura ilustrando como vai ficando a geometria depois dos comandos.

Figura (3.6) – Figura ilustrando como vai ficando a geometria depois dos comandos.

Com os próximos dois comandos, pode-se definir as condições de contorno.

Exemplo, se desejar colocar um dos vértices como entrada ou saída de fluxo. Na

simulação, criou-se um retângulo com um dos vértices a entrada, o lado paralelo a é o

vértice da saída e os perpendiculares ao da entrada são paredes. Em seguida, colocou-se

discos distribuídos de maneira aleatória e com tamanhos diferentes na parte interna do

retângulo como paredes.



Figura (3.4.f) – Cria as condições de contorno (Programa Gambit)

Os dados foram emitidos através do FLUENT. O Software já fornece os

resultados do fluxo de massa por intervalo de tempo na entrada e na saída da geometria.

Para isso basta utilizar com o comando Report.

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