Diseno de redes en modelos de hub conestructura de arbol

Justo Puerto Albandoz, Ana Belen Ramos Gallego yAntonio Manuel Rodrıguez Chıa

Departamento de Estadıstica e I.O.Universidad de Sevilla

Priego de Cordoba. 27-29 de Septiembre de 2013

Indice

IntroduccionMotivacionHipotesis del ModeloModelo THP. Contreras et al. (2007)Modelo THPL. Contreras et al.(2009)

Problema de orden con asignacion simpleModelo THP con ordenModelo THPL con ordenModelo THP con variables de coberturaModelo THPL con variables de cobertura

Orden en el arbol

Problema de Localizacion de Concentradores

A = {a1, . . . , aM}wij flujo del origen i al destino j.

Nuestro problema

Problemas de localizacion de concentradores con asignacion unicadonde p concentradores se localizan en una red y se conectan pormedio de un arbol no dirigido

Hipotesis del Modelo

I Modelo sin capacidades.

I Cada nodo esta asignado a un unico concentrador y todo el flujoentre nodos debe usar las conexiones entre concentradores paracircular.

I La estructura de costes no necesita satisfacer la desigualdadtriangular.

I El numero de concentradores esta fijado de antemano(3 ≤ p ≤M − 1).

Queremos

I Localizar p concentradores (a coste nulo o igual).

I Definir un arbol entre ellos (a coste nulo o igual).

I Asignar cada nodo no concentrador a un unico nodoconcentrador.

Modelo THP. Contreras et al. (2007)

I ykm =

{1 si el arco (k,m) enlaza dos concentradores,0 en caso contrario,

I xikm =cantidad de flujo con origen i que circula a traves del arco (k,m)

I zik =

{1 Si un nodo i es asignado al concentrador k,0 en caso contrario,

mın

M∑i=1

M∑k=1

(cikOi + ckiDi)zik +

M∑i=1

M∑k=1

M∑m=1

m 6=k

αckmxikm

s.a

M∑k=1

zik = 1, ∀i = 1, . . . ,M,

M∑k=1

zkk = p,

zkm + ykm ≤ zmm, ∀k,m = 1, . . . ,M ∀m > k,

zmk + ykm ≤ zkk, ∀k,m = 1, . . . ,M ∀m > k,

xikm + ximk ≤ Oiykm, ∀i, k,m = 1, . . . ,M ∀m > k,

Oizik +

M∑m=1

m 6=k

ximk =

M∑m=1

m 6=k

xikm +

M∑m=1

Wimzmk, ∀i, k = 1, . . . ,M i 6= k,

M∑k=1

M∑m=1

m 6=k

ykm = p− 1,

xikm ≥ 0, ∀i, k,m = 1, . . . ,M, k 6= m,

zik ∈ 0, 1, ∀i, k = 1, . . . ,M,

ykm ∈ 0, 1, ∀k,m = 1, . . . ,M, ∀m > k.

Modelo THPL. Contreras et al. (2009)

I ykm =

{1 si el arco (k,m) enlaza dos concentradores,0 en caso contrario,

I xikmj ={1 si el flujo del i-j atraviesa el arco de concentradores(k,m),0 en caso contrario,

I zik =

{1 Si un nodo i es asignado al concentrador k,0 en caso contrario,

mın

M∑i=1

M∑k=1

(cikOi + ckiDi)zik +

M∑i=1

M∑j=1

M∑k=1

M∑m=1

m 6=k

αWijckmxikmj

s.a

M∑k=1

zik = 1, ∀i = 1, . . . ,M,

M∑k=1

zkk = p,

M∑m=1

m 6=k

xikmj + zjk −M∑

m=1

m 6=k

ximkj − zik = 0, ∀i, j, k = 1, . . . ,M i 6= j k 6= j,

xikmj + ximkj ≤ ykm, ∀i, j, k = 1, . . . ,M ∀m > k,

M∑k=1

M∑m=1

m6=k

ykm = p− 1,

Modelos con orden

I ci(X) := mınk∈X cikI σX es una permutacion de {1, . . . ,M}

cσX(1)(X) ≤ cσX(2)(X) ≤ · · · ≤ cσX(M)(X)

Problema discreto de la mediana ordenada (DOMP)

mınX⊆A , |X|=N

M∑i=1

λicσX(i)(X) .

con λ = (λ1, . . . , λM ) y λi ≥ 0, i = 1, . . . ,M .

I λ = (1, 1, . . . , 1), N -median problem.

I λ = (0, 0, . . . , 0, 1), N -center problem.

I λ = (µ, µ, . . . , µ, 1) µ-centdian problem (0 < µ < 1).

I λ = (0, . . . , 0, 1, . . . , 1), k−centrum problem.

I λ = (0, . . . , 0, 1, . . . , 1, 0, . . . , 0), (k1 + k2)-trimmed mean problem.

I λ = (1, . . . , 1, 0, . . . , 0, 1, . . . , 1), (k1 + k2)-trimmed anti-mean.

I λ = (2, 0, . . . , 0, 1), new problems.

Modelo THP con orden

I ykm =

{1 si el arco (k,m) enlaza dos concentradores,0 en caso contrario,

I xikm =cantidad de flujo con origen i que circula a traves del arco (k,m)

I zlik =

1 Si un nodo i es asignado al concentrador k,

y∑j cikwij es el l-esimo valor mas pequeno

en el vector de costes del primer modulo,0 en caso contrario,

I λl = factor de correccion en la l-esima posicion,

mın

M∑l=1

M∑i=1

M∑k=1

λl(cikOi + ckiDi)zlik +

M∑i=1

M∑k=1

M∑m=1

m6=k

αckmxikm

s.a

M∑l=1

M∑k=1

zlik = 1, ∀i = 1, . . . ,M

M∑i=1

M∑k=1

zlik ≤ 1, ∀l = 1, . . . ,M,

M∑l=1

M∑k=1

zlkk = p,

M∑l=1

zlkm + ykm ≤M∑l=1

zlmm, ∀k,m = 1, . . . ,M ∀m > k,

M∑l=1

zlmk + ykm ≤M∑l=1

zlkk, ∀k,m = 1, . . . ,M ∀m > k,

M∑i=1

M∑k=1

M∑j=1

zlikcikwij ≤M∑i=1

M∑k=1

M∑j=1

zl+1ik cikwij , ∀l = 1, . . . ,M − 1

xikm + ximk ≤ Oiykm, ∀i, k,m = 1, . . . ,M ∀m > k,

Oizlik +

M∑m=1

m 6=k

ximk =

M∑m=1

m 6=k

xikm +

M∑m=1

wim

M∑l=1

zlmk, ∀i, k = 1, . . . ,M i 6= k,

M∑k=1

M∑m=1

m 6=k

ykm = p− 1,

xikm ≥ 0, ∀i, k,m = 1, . . . ,M, k 6= m,

zlik ∈ 0, 1, ∀l, i, k = 1, . . . ,M,

ykm ∈ 0, 1, ∀k,m = 1, . . . ,M, ∀m > k.

Modelo THPL con orden

I ykm =

{1 si el arco (k,m) enlaza dos concentradores,0 en caso contrario,

I xikmj ={1 si el flujo del i-j atraviesa el arco de concentradores (k,m),0 en caso contrario,

I zlik =

1 Si un nodo i es asignado al concentrador k,

y∑j cikwij es el l-esimo valor mas pequeno

en el vector de costes del primer modulo,0 en caso contrario,

I λl = factor de correccion en la l-esima posicion

mın

M∑l=1

M∑i=1

M∑k=1

λl(cikOi + ckiDi)zlik +

M∑i=1

M∑j=1

M∑k=1

M∑m=1

m 6=k

αWijckmxikmj

s.a

M∑l=1

M∑k=1

zlik = 1, ∀i = 1, . . . ,M,

M∑i=1

M∑k=1

zlik ≤ 1, ∀l = 1, . . . ,M,

M∑l=1

M∑k=1

zlkk = p,

M∑m=1

m 6=k

xikmj +

M∑l=1

zljk −M∑

m=1

m 6=k

ximkj −M∑l=1

zlik = 0, ∀i, j, k = 1, . . . ,M i 6= j k 6= j,

M∑j=1

M∑k=1

M∑m=1

zlikcikwij ≤M∑j=1

M∑k=1

M∑m=1

zl+1ik cikwij , ∀l = 1, . . . ,M − 1

xikmj + ximkj ≤ ykm, ∀i, j, k = 1, . . . ,M ∀m > k,

M∑k=1

M∑m=1

m6=k

ykm = p− 1,

xikmj ≥ 0, ∀i, j, k,m = 1, . . . ,M, k 6= m,

zlik ∈ 0, 1, ∀l, i, k = 1, . . . ,M,

ykm ∈ 0, 1, ∀k,m = 1, . . . ,M, ∀m > k.

Formulation basada en variables de cobertura

Consideramos la secuencia no decreciente:

c(0) := 0 < c(1) < c(2) < · · · < c(G) := max1≤j,k,m≤M

{M∑j=1

wijcik}.

Dada una solucion factible consideramos las siguientes variables(i = 1, . . . ,M y h = 1, . . . , G):

uih :=

{1 es el i-esimo coste de asignacion mas pequeno es al menos c(h),

0 otherwise.

Eli-esimo coste de asignacion mas pequeno es igual a c(h) sı y solosı uih = 1 y ui,h+1 = 0.

(u)i,h =

1 λ12 λ23 λ34 λ45 λ56 λ6...

...M − 2 λM−2M − 1 λM−1M λM

c(1) c(2) c(3) . . . c(G−2) c(G−1) c(G)

1 0 0 . . . 0 0 01 0 0 . . . 0 0 01 0 0 . . . 0 0 01 0 0 . . . 0 0 01 1 1 . . . 0 0 01 1 1 . . . 0 0 0...

......

......

......

1 1 1 . . . 0 0 01 1 1 . . . 1 0 01 1 1 . . . 1 1 0

La funcion objetivo es:

M∑i=1

G∑h=1

λi · (c(h) − c(h−1)) · uih.

Imponiendo el siguiente grupo de restricciones de orden:

uih ≤ ui+1,h i = 1, . . . ,M − 1; h = 1, . . . , G .

La relacion que vincula las variables u y z es:

M∑i=1

uih =

M∑i=1

M∑k=1∑M

j=1 wijcik≥c(h)

zik, ∀h = 1, . . . , G

Modelo THP con variables de cobertura

I ykm =

{1 si el arco (k,m) enlaza dos concentradores,0 en caso contrario,

I uih =

{1 si el i-esimo coste de asignacion es al menos c(h),0 en caso contrario,

I xikm =cantidad de flujo con origen i que circula a traves del arco (k,m)

I zik =

{1 Si un nodo i es asignado al concentrador k,0 en caso contrario,

mın

M∑l=1

G∑h=2

λl(ch − ch−1)ul,h +

M∑i=1

M∑k=1

(ckiDi)zik +

M∑i=1

M∑k=1

M∑m=1

m 6=k

αckmxikm

s.a

M∑k=1

zik = 1, ∀i = 1, . . . ,M,

M∑k=1

zkk = p,

zkm + ykm ≤ zmm, ∀k,m = 1, . . . ,M ∀m > k,

zmk + ykm ≤ zkk, ∀k,m = 1, . . . ,M ∀m > k,

xikm + ximk ≤ Oiykm, ∀i, k,m = 1, . . . ,M ∀m > k,

Oizik +

M∑m=1

m 6=k

ximk =

M∑m=1

m 6=k

xikm +

M∑m=1

Wimzmk, ∀i, k = 1, . . . ,M i 6= k,

M∑l=1

ulh =

M∑j=1

M∑k=1∑M

m=1 wijcik≥c(h)

zik, ∀h = 1, . . . , G,

M∑k=1

M∑m=1

m 6=k

ykm = p− 1,

xikm ≥ 0, ∀i, k,m = 1, . . . ,M, k 6= m,

zik ∈ 0, 1, ∀i, k = 1, . . . ,M,

ykm ∈ 0, 1, ∀k,m = 1, . . . ,M, ∀m > k.

Modelo THPL con variables de cobertura

I ykm =

{1 si el arco (k,m) enlaza dos concentradores,0 en caso contrario,

I uih =

{1 si el i-esimo coste de asignacion es al menos c(h),0 en caso contrario,

I xikmj ={1 si el flujo del i-j atraviesa el arco de concentradores(k,m),0 en caso contrario,

I zik =

{1 Si un nodo i es asignado al concentrador k,0 en caso contrario,

mın

M∑l=1

G∑h=2

λl(crh − crh−1)ul,h +

M∑i=1

M∑k=1

(ckiDi)zik +

M∑i=1

M∑j=1

M∑k=1

M∑m=1

m 6=k

αWijckmxikmj

s.a

M∑k=1

zik = 1, ∀i = 1, . . . ,M,

M∑k=1

zkk = p,

M∑m=1

m 6=k

xikmj + zjk −M∑j=1

m 6=k

ximkj − zik = 0, ∀i, j, k = 1, . . . ,M i 6= j k 6= j,

xikmj + ximkj ≤ ykm, ∀i, j, k = 1, . . . ,M ∀m > k,

M∑l=1

ulh =

M∑j=1

M∑k=1∑M

j=1 wijcik≥c(h)

zik, ∀h = 1, . . . , G,

M∑k=1

M∑m=1

m6=k

ykm = p− 1,

xikmj ≥ 0, ∀i, j, k,m = 1, . . . ,M, k 6= m,

zik ∈ 0, 1, ∀i, k = 1, . . . ,M,

ykm ∈ 0, 1, ∀k,m = 1, . . . ,M, ∀m > k.

Orden en el arbol

I ykm =

{1 si el arco (k,m) enlaza dos concentradores,0 en caso contrario,

I ulkm ={1 si el coste total del flujo por (k,m) esta en posicion l-esima,0 en caso contrario,

I xlikmj = 1 si el flujo del i-j atraviesa el arco de concentradores(k,m),y el coste del flujo total por ese arco esta en posicion l-esima,

0 en caso contrario,

I plkm =flujo total del arco (k,m) si su coste esta en posicion l-esima,

I zik = si el nodo i es asignado al concentrador k.

mın

M∑i=1

M∑k=1

(cikOi + ckiDi)zik +

p−1∑l=1

λl

M∑k=1

M∑m=1

m 6=k

αckmplkm

s.a

M∑k=1

zik = 1, ∀i = 1, . . . ,M,

M∑k=1

zkk = p,

M∑m=1

m 6=k

xlikmj + zjk −M∑

m=1

m 6=k

xlimkj − zik = 0, ∀l, i, j, k = 1, . . . ,M i 6= j k 6= j,

xlikmj + xlimkj ≤ ykm, ∀l, i, j, k = 1, . . . ,M ∀m > k,

M∑k=1

M∑m=1

m6=k

ykm = p− 1,

plkm =

M∑i=1

M∑j=1

wijxlikmj , ∀l, k,m = 1, . . . ,M,

plkm ≤M∑i=1

M∑j=1

wijulikm, ∀l, k,m = 1, . . . ,M,

M∑k=1

M∑l=1

ulikm = 1, ∀l = 1, . . . ,M,

M∑l=1

ulikm ≤ 1, ∀k,m = 1, . . . ,M,

M∑l=1

M∑k=1

M∑m=1

ulikm = p− 1,

xlikmj ≤ ulikm, ∀l, i, k,m, j = 1, . . . ,M,

M∑k=1

M∑m=1

ckmplkm ≤

M∑k=1

M∑m=1

ckmpl+1km , ∀l = 1, . . . , p− 2,

xlikmj ≥ 0, ∀l, i, k,m, j = 1, . . . ,M, ∀m > k