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Disciplina: Tópicos Especiais I Profª Drª Rogéria Gaudencio do Rêgo

Curso de Matemática – UFPBVIRTUAL rogeria@mat.ufpb.br

Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle (www.ead.ufpb.br)

Site do Curso: www.mat.ufpb.br/ead Site da UFPBVIRTUAL: www.virtual.ufpb.br

Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257

Carga horária: 60 horas Créditos: 04 Ementa

A construção do conceito de número; A estrutura do Sistema de Numeração Decimal; Operações aritméticas básicas com números naturais e racionais; Operações aritméticas básicas com números inteiros. Descrição

Durante muito tempo acreditou-se que os alunos aprendiam acumulando informações transmitidas pelo professor, que trabalhava os conteúdos seguindo, em geral, o mesmo modelo utilizado por aqueles que o ensinaram anos antes. As deficiências observadas na aprendizagem eram justificadas por uma pretensa incapacidade ou falta de interesse dos alunos, não se refletindo suficientemente acerca da complexidade do processo. As pesquisas na área da Psicologia Cognitiva, realizadas a partir da segunda metade do século passado, tentam responder às muitas questões postas, sem negar a importância do desenvolvimento de conhecimentos do tipo conteudinal ou procedimental, mas priorizando a compreensão do que se aprende. A aprendizagem pela compreensão é um processo pessoal e intransferível e ocorre no interior do indivíduo, embora esteja relacionado a aspectos externos a ele. Suas ligações com o mundo possibilitam o estabelecimento de conexões entre fatos e a organização de ideias e dados, internalizando-os em níveis cada vez maiores de complexidade e generalização.

Considerando como base para a construção do conhecimento os princípios construtivistas, compreende-se que a aprendizagem ocorre através da ordenação e coordenação de ações efetuadas sobre objetos concretos aumentando-se, gradativamente, o nível de abstração e de formalização. A interação social é indispensável ao processo, devendo-se estimular o aluno a manifestar o raciocínio que utiliza em seus procedimentos matemáticos, a discutir ideias e trocar experiências. Ao professor cabe o importante papel de mediação entre aquilo que o aluno sabe e o que se objetiva que ele aprenda. Na etapa de mediação na formação de conceitos matemáticos, o material concreto tem grande importância e a partir de sua utilização de forma planejada, os alunos podem superar as ideias que fazem parte do senso comum de que a Matemática é difícil e que apenas pessoas com mentes particularmente privilegiadas teriam acesso às ideias que fazem parte deste campo de conhecimento. O ensino é estruturado por meio da formação inicial de modelos, imagens e esquemas, resultantes das ações executadas sobre o material, sobre os quais os professores passam a trabalhar, melhorando os níveis de aprendizagem e a relação dos alunos com a Matemática. Como todo e qualquer recurso pedagógico, a utilização do material concreto em sala de aula exige cuidados básicos. Em primeiro lugar, é necessário dar ao aluno um tempo para que ele conheça e explore informalmente o material. Considerando os objetivos de seu uso, o professor atua como mediador, orientando os alunos a questionarem, colocarem suas dúvidas e raciocínios e socializarem com os colegas suas ideias, procedimentos e conclusões. Os diferentes processos e estratégias, formais ou informais, utilizados nas atividades e resolução de problemas devem ser explorados, discutindo-se coletivamente suas potencialidades e limitações. O professor guia os alunos na descoberta de fatos específicos, através de questões ou desafios, incentivando-os a registrarem, individualmente ou em grupo, o conhecimento por eles elaborado.

As atividades devem ser planejadas de acordo com objetivos claros e serem suficientemente abertas para modificações no decorrer de seu desenvolvimento, permitindo a conexão com o que já foi estudado ou a estruturação da base do que estará sendo explorado em unidades futuras. É fundamental que o professor conheça bem o conteúdo e o material que irá trabalhar com os alunos, de modo a explorá-lo de forma

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eficiente, em toda a sua potencialidade, fazendo uso do bom senso para adequá-lo às necessidades e especificidades da turma.

Os materiais de apoio às atividades aqui sugeridas podem ser confeccionados com itens de baixo custo (cartolina, emborrachado, cartão, cola branca, fitas adesivas, entre outros) e de fácil obtenção. Algumas das propostas aqui apresentadas já são conhecidas da maior parte dos educadores, mas foram lembradas em razão de seu grande valor pedagógico. Algumas leituras complementares serão indicadas, possibilitando o aprofundamento e complementação dos aspectos didáticos, bem como servir como fonte de pesquisa para o planejamento de novas atividades.

Objetivos

Nesta Unidade do Curso, apresentaremos sugestões de atividades que estão voltadas para o

desenvolvimento de conceitos específicos de Matemática e de habilidades que visam ampliar a formação geral do aluno, explorando-se: (i) sua capacidade de expressão e comunicação de ideias matemáticas; (ii) estratégias de resolução de problemas; (iii) estimativas e cálculos mentais; (iv) métodos de investigação científica e uso da notação matemática; (v) a concentração, raciocínio, perseverança e criatividade; (vi) a troca de ideias em atividades de grupo e (vii) a compreensão de regras e a formação de conceitos.

Unidades Temática Integradas

Unidade I Construção do Conceito de Número

Nesta Unidade exploramos os elementos básicos pertinentes ao processo de construção do conceito de número pelo aluno, discutindo questões de natureza social e cultural a ele inerentes e sugerindo atividades diversas.

Unidade II A Estrutura do Sistema de Numeração Decimal (SND)

Nesta Unidade discutimos a estrutura do SND e sua importância para a apreensão das ideias e procedimentos algorítmicos das operações básicas, explorando as propriedades gerais do SND e sua relação com outros sistemas, com o objetivo de destacar as vantagens de seu uso.

Unidade III Operações Aritméticas Básicas com Números Naturais

Nesta Unidade exploramos as operações aritméticas básicas (adição, subtração, multiplicação e

divisão) com números naturais, considerando as ideias a elas associadas e formas de instrumentalização para o trabalho com algoritmos. Unidade IV Operações Aritméticas Básicas com Números Racionais

Nesta Unidade ampliamos o trabalho com as operações aritméticas básicas, envolvendo o conjunto

dos números racionais. Discutimos as dificuldades de elaboração dos conceitos relativos a esse conjunto e trazemos sugestões para o trabalho didático em sala de aula. Unidade V Operações Aritméticas Básicas com Números Inteiros

Nesta Unidade continuamos com a discussão acerca das operações aritméticas básicas, considerando

o conjunto dos números inteiros. Destacamos os trabalhos que tratam dos obstáculos à construção dos conceitos relativos a esse conjunto numérico e apresentamos diferentes abordagens para seu ensino, apontando para algumas de suas vantagens e desvantagens.

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Unidade I A Construção do Conceito de Número 1. Situando a temática Como você responderia à questão: “o que é número?” De acordo com Toledo e Toledo (1997), grandes pensadores enfrentaram dificuldades para respondê-la, nem sempre estando de acordo sobre o assunto, ou sendo suficientemente esclarecedores, a exemplo de Baltzer (1814-1887): “É a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie”; Russel (1872-1970): “É a classe de todas as classes equivalentes a uma classe” e Kant (1724-1804): “É a adição sucessiva de uma unidade”. Até cerca de 1960, a maior parte dos professores limitava-se a transmitir aos alunos noções relativas ao conhecimento social dos números, como as palavras e símbolos ou signos que usamos para nos referirmos às quantidades e ao resultado das contagens de rotina. Com o Movimento da Matemática Moderna, implantado no Brasil nas décadas de 1960 e 1970, passou-se a enfatizar a linguagem da Teoria dos Conjuntos no ensino desde a fase elementar, entendendo que o trabalho com noções ligadas a conjuntos facilitava a construção do conceito de número pela criança.

O que se viu, entretanto, foi um trabalho puramente abstrato, que os alunos das séries iniciais não tinham condições de acompanhar. Hoje, feita uma avaliação dos acertos e erros dessa visão, conclui-se que a criança precisa trabalhar com coleções de objetos, os quais possa manipular, observar, descobrir propriedades por semelhanças ou diferenças, estabelecer correspondências um a um entre seus elementos para comparar quantidades, enfim, criando todo tipo de relações que a leve aos poucos à construção do conceito de número.

2. Problematizando a Temática

Muitas pessoas, ao verem uma criança pequena recitando a sequência de números de 1 a 10 ou até 20, afirmam que elas já sabem contar. Qual a sua opinião sobre essa ideia? Sabemos que a correspondência 1 a 1 é quase intuitiva e dispensa contagem. Por exemplo, ao entrar em uma sala de aula, posso facilmente identificar se há mais alunos ou mais carteiras, sem que precise saber quantos alunos ou carteiras há na sala. Como faço isso? Você costuma utilizar essa forma de quantificação em seu cotidiano? Se sim, exemplifique-a.

3. Conhecendo a Temática

3.1 A construção do conceito de número O contato informal que a criança tem com os números, a exemplo de sua idade, número de sua casa,

de irmãos, entre outros, proporciona experiências que lhe possibilitam estabelecer hipóteses a respeito do processo de representação de quantidades. Mas, embora saiba dizer qual a sua idade, mostrando dedos na quantidade correspondente, ou saiba dizer em que dia do mês estamos, isto não significa que a criança tenha formado o conceito de número.

Para Kamii (1984, p. 19), “o conceito de número é uma síntese de dois tipos de relação que a criança elabora entre os objetos. Uma é a ordem e a outra a inclusão hierárquica”. A ordem corresponde à nossa necessidade lógica de estabelecer uma organização (não necessariamente espacial) entre os objetos, para termos certeza de que todos eles foram contados e nenhum deles foi contado mais de uma vez. A inclusão hierárquica é a capacidade de perceber que o “um” está incluído no “dois”, o “dois” no “três” e assim por diante. Envolvendo a inclusão hierárquica temos a conexidade, que corresponde à compreensão de que todos os números consecutivos estão ligados entre si pela operação “+ 1” (por exemplo: “dois” é “1+1”; “três” é “2+1”, ..., “trinta” é “29+1”).

Uma das ideias necessárias à construção do conceito de número é a de conservação de quantidades, tanto discretas quanto contínuas. No caso do conceito de número natural, a criança deve estar segura de que a quantidade de elementos permanece a mesma quando se modifica seu arranjo espacial. Ou seja, se coloco seis tampinhas em fileira, uma ao lado da outra, ainda terei seis tampinhas se afastá-las umas das outras, aumentando “o tamanho” da fileira. A conservação de quantidades depende da capacidade de reversibilidade desenvolvida pela criança, associada à sua capacidade de fazer e desfazer mentalmente a mesma ação, no caso, juntar ou separar as tampas. A capacidade de reversibilidade facilitará, adiante, o estabelecimento de relações entre operações inversas, pela criança.

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Todos nós chegamos ao conceito de número a partir dos variados tipos de relações que fazemos entre duas ou mais coleções de objetos. É, portanto, uma tarefa individual, que não depende do ensino direto. Dessa forma, para ajudar as crianças nessa caminhada, é preciso colocá-la em contato com situações que a envolvam e estimulem a buscar soluções, estabelecer relações e realizar operações – como comparação de quantidades, classificação e seriação – que fundamentam o conceito de número.

A classificação é uma operação lógica de fundamental importância que nos ajuda a organizar a realidade que nos cerca. Estamos sempre realizando classificações, quer concretamente, quer mentalmente. Para classificar trabalhamos com as relações de pertinência e de inclusão de classes. A primeira acontece quando relacionamos cada elemento com a classe à qual pertence, por ser semelhante aos demais elementos dessa classe. Por exemplo, ao olhar um animal, digo que é um gato se ele se assemelha aos animais que constituem, para mim, a classe dos gatos. A segunda relação ocorre quando relacionamos uma subclasse com uma classe maior em que ela se encaixa. Por exemplo, a classe dos gatos poderia constituir uma subclasse relativa à classe dos mamíferos, ou à classe dos animais domésticos. Inicia-se o trabalho com a classificação, incentivando-se a observação de atributos, observando-se semelhanças e diferenças entre os objetos de uma coleção. Aos poucos os alunos descobrem:

- a relação de pertinência entre um elemento e uma coleção; - o estabelecimento de agrupamentos, de acordo com um critério; - a inclusão entre subcoleções pertencentes à mesma coleção e - a formação de classes.

Dialogando e Construindo Conhecimento

Atividade: Como poderia classificar seus colegas de turma, estabelecendo pelo menos três classes distintas? Represente sua classificação com um diagrama de árvore, identificando os critérios utilizados, justificando sua pertinência, de modo que ninguém pudesse fazer parte, ao mesmo tempo, de duas classes distintas.

Uma vez que consigam trabalhar bem com as semelhanças entre os elementos de conjuntos, os

alunos estarão prontos para descobrirem semelhanças entre os próprios conjuntos, no que se refere à quantidade de elementos. A seriação envolve uma organização de elementos não pela semelhança, mas por alguma diferença entre eles, compreendendo uma tarefa relacionada à organização da realidade tão fundamental quanto a classificação. Dizemos que estamos seriando os elementos de uma coleção quando estabelecemos entre eles uma relação de diferença que possa ser quantificada, permitindo que os elementos sejam colocados em ordem crescente ou decrescente.

Obtemos, assim, uma fila, na qual cada elemento tem seu lugar bem definido, e a relação que se

estabelece entre ele e seus antecessores e sucessores tem as propriedades recíproca (ou anti-simétrica) ou transitiva. O primeiro caso ocorre quando, invertendo-se a ordem da fila, a ordem de comparação também é invertida (por exemplo, organizando uma coleção de lápis “do maior para o menor”, onde o 1° é maior que o 2°, este maior que o 3° e assim por diante, invertendo-se a ordem da fila inverte-se também a relação entre eles, ou seja, o 1° passa a ser menor que o 2°, este menor que o 3°, etc.).

O segundo caso ocorre quando, estabelecendo-se uma relação entre o primeiro elemento de uma fila

e o segundo e, depois, entre o segundo e o terceiro, pode-se concluir qual a relação entre o primeiro e o terceiro (por exemplo: em uma coleção em que A é menor que B e B é menor que C, podemos concluir que A é menor que C). Em relação ao conceito de número, se considerarmos a ordem crescente de quantidade de elementos, qualquer conjunto de três elementos que imaginarmos estará colocado depois de qualquer conjunto de dois elementos e antes de qualquer conjunto com quatro elementos.

Para se organizar uma fila com os elementos de uma coleção, podemos utilizar ainda a ideia de

sequência, na qual consideramos as diferenças de natureza qualitativa não permitindo, portanto, ordenação crescente ou decrescente. Neste caso, consideramos uma grandeza não-quantificável como principal atributo para a formação de uma fila (como cor, forma ou material) repetindo-se padrões. Algumas sequências, como

Dica: Veja no conjunto de propostas intitulado “Atividades com tampas” (na Plataforma), as que poderiam ser desenvolvidas com os alunos das séries iniciais do Ensino Fundamental e que estariam direcionadas para as descobertas descritas.

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o alfabeto, são construções culturais, desconhecemos sua regra de formação, mas são úteis para organizarmos nosso dia-a-dia.

Dialogando e Construindo Conhecimento

Atividade 1: Atividade: analise em um livro de Matemática dos anos iniciais (1° ou 2° anos) do Ensino Fundamental o trabalho proposto para a construção do conceito de número, observando se: a) ele leva a criança a estabelecer relações entre os elementos de coleções dadas; b) cria situações desafiadoras que motivem o aluno a comparar quantidades; c) prioriza apenas a memorização dos signos relativos aos números.

Elabore um Relatório de avaliação, justificando as respostas dadas nos itens acima apresentados.

3.2 As dificuldades de construção do conceito: aspectos culturais

Os aspectos apontados no item anterior, de natureza lógico-matemática, compreendem apenas uma parte dos conhecimentos necessários para a construção do conceito de número pelo aluno. Outro tipo de conhecimento igualmente necessário é de natureza sóciocultural e diz respeito à forma como cada grupo social representa por escrito ou oralmente os números. Por exemplo, embora usemos, assim como os norte-americanos o mesmo símbolo para registrar a quantidade de elementos de um conjunto com cinco objetos, isto é o “5”, nós o leríamos como “cinco” enquanto os norte-americanos o leriam como “five”. O “nome” do número é um conhecimento de natureza cultural e não demanda uma compreensão, mas a memorização de um conjunto de informações, do mesmo modo que a forma de grafar os números não tem uma justificativa lógica, sendo também uma construção cultural. Deste modo, é natural que uma criança que está começando a trabalhar com a representação dos números, produza seu “espelhamento”, isto é, faça um “�”, no lugar do “3” pois embora tenha percebido as características peculiares da escrita deste número, ainda não internalizou completamente sua posição correta. Por outro lado, embora o sistema de numeração que utilizamos (do qual trataremos detalhadamente na unidade II) tenha características que o tornam muito mais eficiente do ponto de vista da operacionalização, em comparação, por exemplo, com o Sistema de Numeração Romano, sua estrutura, do ponto de vista da linguagem, não é interativa e leva o aluno a levantar hipóteses inadequadas. Para ilustrar nossa colocação, basta observar a frequência com que os alunos, que ainda se encontram em processo de construção do conceito de número, escrevem o número “504” quando solicitados a registrarem a quantidade “cinquenta e quatro”. A hipótese que levantam é de que há uma relação direta entre a linguagem falada e a escrita e que, se dizemos “cinquenta e quatro”, ambos os números devem estar presentes no registro, ou seja o “50” e o “4”, resultando em “504”. Por outro lado, não há qualquer relação entre, por exemplo, a palavra “onze” e a dezena somada a uma unidade, o mesmo ocorrendo com o doze, o treze e assim por diante – apenas a partir do dezesseis há uma relação aditiva na linguagem. Vale destacar que a criança necessita, ainda, mesmo que tenha compreendido a organização entre as ordens em um número (observando o padrão de repetição nas unidades, depois nas dezenas, etc. – “vai do 1 ao 0 em cada ordem”), precisará aprender uma nova palavra para cada novo múltiplo de dez. Tal necessidade é facilmente observada quando uma criança procede da seguinte forma ao contar: “... vinte e oito, vinte e nove, vinte e dez ...”. Ao ser informada que deveria dizer “trinta” e não “vinte e dez”, continua a contagem dizendo: “... trinta e sete, trinta e oito, trinta e nove, trinta e dez,...” e o processo se repete a cada novo múltiplo de dez. Será que a mesma dificuldade é vivenciada por todas as crianças ou algumas têm vantagens sobre as nossas, considerando a estrutura da língua falada em seu país? Para entendermos a influência que tal aspecto cultural poderia oferecer no processo de compreensão do conceito de número e da apreensão da estrutura do Sistema de Numeração Decimal, vamos observar como dizemos os números em japonês: 1 é “iti”

Dica: Podemos propor para uma criança uma atividade com sequências, oferecendo-lhe barbante e pedaços de canudos coloridos de refrigerante (cortados com cerca de 1 cm), para que ela faça colares, repetindo padrões de cores como, por exemplo: duas peças azuis, uma branca e duas verdes; duas peças azuis, duas brancas e duas verdes, e assim por diante.

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2 é “ni” 3 é “san” 4 é “shi” ou “yon” 5 é “go” 6 é “roku” (o “ro” lido como em “tesouro”) 7 é “shiti” ou “nana” 8 é “hati” 9 é “kyu” ou “ku” e 10 é “juu” Observe agora como se diz o 20: “ni-juu”; o 22 se diz “ni-juu-ni”; o 23 é “ni-juu-san”; o 30 se diz “san-juu”; o 36 se diz” san-juu-roku”, e assim por diante. O processo se repetiria para números múltiplos da centena, isto é, como 100 em japonês diz-se “hyaku”, 200 seria “ni-hyaku”; 300 seria “san-hyaku”, e do mesmo modo para as demais centenas. Uma nova palavra seria necessária apenas para o mil, que se lê “sen”, ou seja, a cada nova potência de 10 e não para cada múltiplo de 10, como em nossa língua. 4. Avaliando o que foi construído

Considerando os exemplos dados, como diríamos 57 em japonês? E 99? E o número cento e quinze? Que vantagens a língua japonesa oferece quando comparada à nossa língua, no que diz respeito à forma como lemos os números? Quais das suas características peculiares poderiam auxiliar a criança quanto à construção do conceito de número ou a perceber mais facilmente as regularidades na estruturação da sequência numérica dos naturais? 5. Referências KAMII, Constance. A criança e o número. São Paulo: Papirus, 1984. RÊGO, Rogéria; RÊGO, Rômulo. Matematicativa II. João Pessoa: EDUFPB, 2004. TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática da Matemática: como dois e dois. São Paulo: FTD, 1997.

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Unidade II A Estrutura do Sistema de Numeração Decimal (SND) 1. Situando a Temática

Como você sabe, utilizamos dez símbolos, chamados “dígitos” ou “algarismos”, para representar

qualquer número em nosso sistema de numeração. A palavra “dígito” deriva da palavra “digitus”, que em latim significa “dedo”, o que nos remete à origem histórica do uso dos dedos no processo de contagem. Já a palavra “algarismo” vem do nome de um matemático e astrônomo árabe que viveu no século IX, chamado Mohammed ibm-Musa al-Khowarizmi, que escreveu um livro no qual explicava detalhadamente o sistema de numeração criado pelos hindus, ainda por volta do século V. O livro, intitulado “Sobre a arte hindu de calcular”, passou a ser referência, depois de traduzido para o latim, a todos os europeus que desejavam conhecer um sistema de numeração que apresentava diversas vantagens, quando comparado com o romano, até então utilizado na Europa.

Apesar das vantagens, o sistema de numeração criado pelos hindus e divulgado pelos árabes, só passou a ser utilizado em larga escala na Europa a partir do século XVI, pois era grande o poder da Igreja Apostólica Romana, que proibia o uso do sistema indoarábico. A resistência não perdurou, entretanto, diante das inúmeras qualidades presentes no novo sistema de numeração.

2. Problematizando a Temática

Quais as principais diferenças entre o sistema de numeração romana e o sistema de numeração decimal indoarábico? Qual o objetivo de continuarmos trabalhando com o sistema de numeração romano em sala de aula se quase não se faz mais uso desse sistema no nosso dia-a-dia?

Atividade 3: Faça um Relatório com suas conclusões às questões propostas acima. Elabore um roteiro de trabalho com números romanos em sala de aula, identificando sua aplicabilidade social e justificando sua permanência no currículo escolar, caso encontre argumentos para isso.

3. Conhecendo a Temática

3.1 As propriedades do SND

Antes de iniciarmos a discussão acerca das características do Sistema de Numeração Decimal, jogue com alguém o jogo proposto em seguida. Procure registrar todas as observações importantes que fizer ao longo do procedimento.

JOGO: CONQUISTE UMA CENTENA Material: cédulas de 1, 10 e 100 (ou fichas numeradas com esses mesmos valores); fichas numeradas

de 0 a 9 e colocadas em um saco ou sacola opaco; ou pode-se ainda jogar com um ou dois dados comuns, em substituição às fichas numeradas.

Objetivo: vivenciar os agrupamentos que caracterizam o sistema de numeração decimal (em cada ordem o número de elementos deve ser inferior a dez – o acúmulo de dez unidades de uma mesma ordem implica na necessidade de troca das mesmas por um elemento da ordem imediatamente superior). Tal ação, quando compreendida pelo aluno, facilitará a compreensão do algoritmo formal da adição.

Procedimento: na sua vez de participar, cada aluno sorteia uma ficha, devolvendo-a depois ao saco, recebendo a quantia correspondente de cédulas de 1. No caso de usar um ou dois dados, pega-se o número sorteado – no caso de um dado – em cédulas de 1; ou o correspondente à soma dos dois números sorteados – se forem utilizados dois dados. Toda vez que completar uma dezena de cédulas de 1 o participante deverá trocá-las por uma cédula de 10. Se não o fizer e outro participante notar a necessidade de troca, este ficará com a cédula de 10 depois da troca efetuada. Ganha quem primeiro conseguir reunir 10 cédulas de 10 e trocá-las por uma cédula de 100.

VARIANTE: o jogo pode ser repetido, realizando-se trocas de cédulas de maior valor por cédulas de menor valor. Cada participante iniciaria o jogo com uma cédula de 100, ganhando o jogo quem primeiro conseguisse se livrar de todas as suas cédulas, fazendo no máximo uma troca em cada rodada. Neste caso, o objetivo do jogo seria a vivência das trocas de elementos de uma ordem por uma dezena de elementos da ordem imediatamente inferior, ação que facilitará, quando compreendida, a compreensão do algoritmo formal da subtração.

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Compare os registros que você fez com os dos colegas e discuta as propriedades que conseguiram identificar por meio do jogo e sua importância para a compreensão da estrutura do SND e para a aprendizagem dos procedimentos algorítmicos das operações aritméticas básicas.

3.2 Para além dos agrupamentos: o valor posicional

Para aprofundar a discussão acerca de características do sistema decimal, sugerimos a seguinte atividade, intitulada “QUAL É O MAIOR NÚMERO”? (RÊGO, Rogéria; RÊGO, Rômulo. Matematicativa II. João Pessoa: EDUFPB, 2004)

Atividade individual ou em duplas Tópicos abordados: compreensão de características do sistema decimal (em especial a ideia de Valor Posicional); Prática da leitura e registro de números e a comparação de seus valores (qual o maior; qual o menor; quanto a mais; quanto a menos, etc.); Raciocínio multiplicativo. Material necessário: cartões numerados de 0 a 9 (três cartões de cada algarismo, totalizando trinta cartões); papel, caneta e uma sacola ou caixa para os cartões. Procedimento: cada aluno traça em seu papel três linhas horizontais uma ao lado da outra, como na ilustração seguinte.

O professor, ou um dos alunos, sorteia um dos cartões numerados, mostrando-o para a turma. Cada aluno escolhe em qual de suas três linhas colocará o número mostrado. O cartão é devolvido à sacola e o processo é repetido mais duas vezes. Após todas as linhas terem sido preenchidas, os números obtidos pelos alunos são colocados no quadro e comparados, ganhando ponto no jogo os alunos que obtiveram o maior número.

Questões a serem investigadas: (i) Pode-se complementar a atividade analisando com os alunos se há ou não outros números que poderiam ser formados com os algarismos sorteados mas que não foram obtidos por nenhum aluno. (ii) Qual o maior número par que podemos formar? Qual o menor? Qual o maior número ímpar? Qual o maior múltiplo de 3? Qual o maior múltiplo de 5? Ou ainda: (iii) Quantos números podem ser formados utilizando-se três algarismos, sem repetição (raciocínio multiplicativo)? Quantos números diferentes podemos formar se os algarismos puderem ser repetidos?

As questões de aprofundamento permitem uma exploração maior de todas as potencialidades da atividade, evitando-se o uso do jogo pelo jogo na sala de aula, o que compromete a riqueza dessa estratégia como mais um recurso metodológico do qual o professor pode lançar mão para motivar a turma e possibilitar a compreensão de conceitos matemáticos. As variantes do jogo ampliam sua aplicabilidade permitindo, além da complementação e articulação de conteúdos em uma mesma série, seu desenvolvimento em outras séries, efetuando-se as adaptações necessárias ao material e/ou ao conjunto de regras. VARIANTES: I - Posteriormente pode-se realizar a atividade buscando-se obter o menor número; ou ainda, trabalhar com quatro (ou cinco) linhas horizontal sorteando-se quatro (ou cinco, respectivamente) algarismos, enriquecendo a atividade, uma vez que quanto maior o número de casas maior a quantidade de números que podem ser formados, diminuindo as chances de vários alunos escreverem o mesmo número. II - Pode-se trabalhar ainda da seguinte forma: os alunos traçarão dois conjuntos de três linhas, formando dois números de três algarismos, como indicado abaixo, após serem sorteados seis números.

Ganha quem obtiver a maior soma (ou a menor soma). A operação de adição pode ser substituída pela subtração e o objetivo passaria a ser obter a maior diferença ou a menor diferença. Se optar pela multiplicação, o número de algarismos do multiplicador pode ser reduzido, caso seja conveniente.

Faça o registro de todas as observações que fizer ao longo do jogo – dúvidas, hipóteses, constatações, etc. Compare os registros que você fez com os dos colegas e discuta as propriedades que

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conseguiram identificar por meio do jogo e sua importância para a compreensão da estrutura do SND e para a aprendizagem dos procedimentos algorítmicos das operações aritméticas básicas.

Para melhor planejar as atividades de Matemática que irá realizar com seus alunos, é importante fazer um levantamento acerca de quais são os conhecimentos que o aluno já possui (quanto à leitura, representação e compreensão dos números e operações). Com os alunos que estão iniciando o processo de aprendizagem do sistema de numeração, sugere-se evitar o processo linear adotado nas escolas regulares: primeiro o aluno aprende a ler e escrever os números de 1 a 10, depois de 1 a 20, e assim por diante. Melhor é explorar elementos do dia a dia, a exemplo de calendários, fitas métricas e trenas, que possibilitem ao aluno analisar os padrões e regularidades de nosso sistema numérico, tentando compreender como os números são gerados, uma vez conhecidos os elementos básicos (os algarismos de 0 a 9).

Por exemplo, pode-se propor que os alunos observem em uma fita métrica, quais os números que terminam com o algarismo 9, destacando-os em uma folha de papel e observando o que eles têm em comum e de diferente. Repetir o procedimento para os números terminados em outro algarismo, como 6, por exemplo, comparando-os entre si e com os destacados anteriormente, vendo as diferenças e semelhanças entre eles, tentando estabelecer critérios gerais.

3.3 A criação do zero

Observando-se as ideias matemáticas envolvidas nas duas atividades propostas nos itens anteriores, você lidou com duas características fundamentais no SND: os agrupamentos de dez em dez e o valor posicional. Os agrupamentos em grupos de dez em dez distinguem as ordens de um número – ou seja, dez unidades agrupadas equivalem a uma dezena; dez dezenas agrupadas equivalem a uma centena, e assim por diante – e tem origem no uso das duas mãos para contagem. Por esta razão dizemos que nosso sistema é de “base 10” ou decimal. O valor posicional indica o valor de um algarismo em um número, o que depende da posição que nele ocupa. Assim, o 5 no número 253 não equivale a 5 unidades mas a 5 dezenas, ou seja, a 50 unidades. Uma terceira característica, pouco evidente à primeira vista, mas extremamente importante para todo o resto, é que o sistema desenvolvido pelos hindus tem o zero, o que não ocorre com o sistema de numeração romano, por exemplo. O zero foi criado muito tempo depois dos demais números e o primeiro registro de um símbolo para ele aparece em escritos datados por volta do século III a.C.

Ampliando seu Conhecimento Estas três características: ser de base dez; posicional e ter um zero, tornam o sistema de numeração decimal extremamente prático, o que levou a seu uso em quase todo o mundo nos dias de hoje. 4. Avaliando o que foi construído

Para verificar se você realmente entendeu as características e regras do nosso sistema de numeração, procure responder às seguintes questões: Considerando-se o número 705, pergunta-se : a) Qual o algarismo das centenas? b) Quantas centenas contém o número 705? c) Qual o algarismo das dezenas? d) Quantas dezenas contém o número 705? e) Qual o algarismo das unidades? f) Quantas unidades contém o número 705? Responda as mesmas questões, considerando os números: 3.178 e 2.000, acrescentando as questões pertinentes à unidade de milhar.

Dica: você pode encontrar informações interessantes sobre a origem do zero no site: http://www.somatematica.com.br/historia/zero.php A origem de vários outros elementos da história da Matemática podem ser encontrados em: http://www.somatematica.com.br/historia.php

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1) Considerando-se os algarismos 4, 1 e 5, pergunta-se: qual o menor número de três algarismos que podemos formar com eles, sem que nenhum algarismo seja repetido? E qual o menor número que poderíamos formar, nas mesmas condições, com os algarismos 6, 0 e 3? 2) Qual o maior número de 4 algarismos que podemos formar, considerando os 10 algarismos de nosso sistema, se pudermos repetir algarismos? E sem repetição? E o menor número de quatro algarismos que podemos formar (com repetição e sem repetição)? 3) Faça uma análise crítica do Plano de Aula sobre “O uso da Calculadora e o Sistema de Numeração”, que está no endereço indicado abaixo, considerando, para sua análise, sua concepção pessoal sobre o uso de calculadoras em sala de aula, apresentando argumentos em defesa dela. http://revistaescola.abril.com.br/online/planosdeaula/ensino-fundamental1/PlanoAula_277767.shtml, 5. Referências

KAMII, Constance. A criança e o número. São Paulo: Papirus, 1984. RÊGO, Rogéria; RÊGO, Rômulo. Matematicativa II. João Pessoa: EDUFPB, 2004. TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática da Matemática: como dois e dois. São Paulo: FTD, 1997.

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Unidade III Operações Aritméticas Básicas com Números Naturais

1. Situando a Temática

Observando a quantidade de símbolos utilizados pelos romanos para escrever qualquer número, é fácil perceber a vantagem de trabalharmos com nosso sistema de numeração. Se para escrevermos o número 99 usamos apenas dois símbolos, os romanos necessitariam de quatro: XCIX. Para o número 88 precisaríamos de oito símbolos: LXXXVIII.

Se apenas para escrever os números o sistema romano já não era simples, imagine como seria usá-lo na realização de operações. Como o sistema romano não era posicional, pelo menos com o mesmo significado que a palavra tem no SND, não havia como proceder a um alinhamento que facilitasse os cálculos, como fazemos, por exemplo, no algoritmo da adição usual. Para adicionarmos 99 a 88, precisaríamos decompor ambos os números, fazer os agrupamentos necessários e depois compor o resultado.

Tal dificuldade, observada na adição, seria ampliada em operações como a multiplicação ou divisão. Na verdade, para realizar cálculos os romanos utilizavam um ábaco de fichas, mas ainda assim as operações eram demasiadamente complexas e eram realizadas apenas por especialistas no manuseio desse aparelho. Tais dificuldades de cálculo só seriam superadas com a adoção do sistema de numeração indoarábico.

2. Problematizando a Temática

Qual o conhecimento matemático que o aluno leva para a sala de aula? Qual a contribuição que o conhecimento matemático sistematizado/ampliado/construído na escola pode dar à formação do aluno? Essas questões nos ajudam a refletir sobre os motivos que justificam a construção do conhecimento escolar e, no caso específico da Matemática, dentre algumas das possíveis razões, duas se destacam: (i) o caráter formativo deste campo do conhecimento, uma vez que poderá auxiliar o aluno a desenvolver seu raciocínio através da ampliação de sua capacidade de observar dados, comparar informações, estabelecer hipóteses, analisar padrões, entre outros pontos e (ii) seu aspecto instrumental, pois a Matemática constitui hoje uma importante ferramenta para a veiculação de informações e a resolução de problemas aplicados nas mais diversas áreas.

Considerando estes dois aspectos, passamos a questionar acerca da maneira mais adequada para abordar conceitos centrais da Matemática, de modo que estes sejam construídos/reconstruídos de forma significativa pelo aluno. Apesar de, em geral, não trazer para a sala de aula um conhecimento sistematizado, o aluno lida em suas relações diárias, em geral, com uma enorme gama de elementos matemáticos. Estes devem ser considerados pelo professor como elementos de ligação entre aquilo que o aluno sabe e o que ele irá aprender, facilitando o processo de aprendizagem e o tornando significativo.

3. Conhecendo a Temática

Algumas vezes há, por parte do professor, muita ansiedade para agilizar a sistematização do conhecimento informal do aluno, através do enunciado de propriedades, regras e algoritmos tradicionais, esquecendo-se de valorizar a atribuição de significados aos conteúdos estudados. Diante dos desafios postos, como organizar o ensino de modo a possibilitar uma construção efetiva de conhecimentos, compreendendo que é possível aprender Matemática em qualquer idade?

Alguns métodos e instrumentos têm-se mostrado mais eficientes que outros nesse processo, tratando-se dos conteúdos matemáticos das séries iniciais. Um material que pode ser utilizado com bastante sucesso para o trabalho com as operações aritméticas básicas, foi elaborado por um grupo de pesquisadores da UFPE: o “dinheiro chinês”. Convém lembrar, entretanto, que a discussão e solução dos problemas de aprendizagem não podem ser reduzidas às questões meramente didático-metodológicas, embora seja essa perspectiva que enfatizamos no presente texto. 3.1 Conhecendo o dinheiro chinês

Constituído por cédulas correspondentes a potências de 10, isto é, cédulas de 1, 10, 100, 1000, etc.

(e, posteriormente, incluindo-se moedas de 0,10 e 0,01, para o trabalho com números decimais), o “dinheiro chinês” auxilia o aluno a compreender características importantes do sistema de numeração decimal e a realizar operações numéricas, tendo a oportunidade de agir e refletir sobre suas ações. Uma vantagem desse material sobre outros tipos de materiais utilizados para trabalhar o sistema de numeração decimal, em

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especial com adultos, é que o mesmo oportuniza a valorização das experiências pessoais dos alunos em seu dia-a-dia, quando eles realizam ações de compra e venda.

Depois de estruturados os elementos iniciais do sistema de numeração decimal, o “dinheiro chinês” poderá ser explorado em diversas ações que facilitarão a sistematização das principais características de nosso sistema e as operações com números naturais e decimais.

3.2 O dinheiro chinês e o Sistema de Numeração Decimal

Antes de iniciar o trabalho com as cédulas do dinheiro chinês convém destacar, para os alunos, as

diferenças entre as cédulas utilizadas nesse “sistema” e as cédulas de nosso sistema monetário. É importante também lembrar que, embora estejamos chamando o sistema de cédulas que iremos utilizar de chinês, não é assim o sistema monetário adotado na China. O nome dado a esse sistema artificial, criado como paralelo ao SND, pode, inclusive, ser escolhido pelos próprios alunos.

Antes de iniciar a discussão das características do dinheiro chinês, resolva as seguintes situações: 1- De quantas maneiras distintas podemos ter a importância de $38,00, usando cédulas do dinheiro chinês? Soluções: podemos ter 38 cédulas de 1 ou 2 cédulas de 10 e 18 de 1 ou 3 cédulas de 10 e 8 de 1 2- Idem para a quantia $ 125,00. Soluções: podemos ter 125 cédulas de 1 ou 12 de 10 e 5 de 1 ou 11 de 10 e 15 de 1 ou 10 de 10 e 25 de 1. Podemos ter ainda 1 de 10 e 115 de 1 ou 1 de 100, 2 de 10 e 5 de 1ou, ainda, 1 de 100 e 25 de 1 . Como poderíamos saber se todas as opções foram identificadas?

Questão: em qual combinação, em cada uma das questões anteriores, utilizamos a menor quantidade de cédulas? Solução: é fácil observar que a menor quantidade de células corresponde à representação do número no sistema de numeração decimal, através do quadro de valor de lugar (QVL), isto é: C D U 1 2 5 Discutir com os alunos a seguinte questão: se eu tenho 23 cédulas de 1 e 17 cédulas de 10, teria como representar o total que possuo usando um único número sem pensar em termos de agrupamentos (mesmo que efetivamente não realizasse as trocas)? Propor diversas outras ações de representação de quantidades dadas com cédulas e vice versa, preferencialmente valores associados ao dia a dia do aluno (por exemplo: o valor do salário mínimo; gasto diário com alimentos; etc.).

Utilizar recortes de jornal e revistas trabalhando-se a leitura de valores apresentados em notícias diversas. Por exemplo, a que valor corresponde R$ 3,4 milhões (o número escrito com todos os algarismos)? E R$ 3,5 bi? (iniciar com situações mais simples e ir ampliando o universo de valores analisados). Nesta fase de leitura e representação de valores numéricos podem ser acrescentadas às cédulas do dinheiro chinês as moedas de 10 centavos e 1 centavo (feitas em cartolina ou EVA). Um ótimo material de apoio para essas ações (de codificação e decodificação de valores e suas representações) são os encartes com ofertas de supermercados e farmácias. As atividades apresentadas visam explorar com o aluno características específicas de nosso sistema de numeração, a exemplo do valor posicional, valor relativo e absoluto, leitura e interpretação de números, entre outros. Para vivenciar as ações de troca e agrupamento, propor questões como: a) Uma cédula de 10 pode ser trocada por quantas de 1, sem que se mude o total? Quantas cédulas de 1

posso trocar por uma de dez, sem modificar o total? b) Uma cédula de 100 pode ser trocada por quantas de 10? E por quantas de 1? c) Se eu tenho $125 e troco uma de minhas cédulas de dez por cédulas de 1, eu fico com mais dinheiro? O

valor total é o mesmo? E se eu trocasse a cédula de 100 por dez cédulas de dez? O que muda de uma situação para outra? (a quantidade de cédulas? o valor total?).

Observação: se desejar, já incluir as relações entre as cédulas e as moedas. 3.3 A adição e a subtração com o dinheiro chinês

O trabalho com o dinheiro chinês possibilita a introdução simultânea da operação de adição com e

sem reserva, assim como a de subtração com e sem reserva. Para isto, propor questões significativas, que possam ser resolvidas através da mediação inicial com o material (o dinheiro chinês). É importante destacar

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que, depois de realizadas as operações, a representação dos resultados através de um número não pode envolver mais de nove cédulas de cada tipo. Por exemplo:

1- Dois irmãos gastaram em um mercado $32 um e $25 o outro em compras. Quanto os dois gastaram

juntos? 2- No dia seguinte um dos rapazes pagou sua conta de água, no valor de $16. Qual o gasto dos rapazes

nos dois dias? 3- Se juntos os dois tinham inicialmente $98. Quanto eles têm agora, após as compras e o pagamento da

conta de água? 4- Do dinheiro que sobrou, quanto faltaria para os dois poderem comprar $45 de cimento para ajudar na

reforma da casa? 5- Se um dos irmãos, Pedro, tinha inicialmente $53 e o outro, José, tinha $45, quanto Pedro tinha a

mais que José? 6- Você já observou como muitas vezes nos passam o troco em uma compra: se tivermos que pagar 17

reais e dermos uma cédula de 50 reais, o caixa dá 1, outra e mais uma cédula de 1 real e em seguida dá uma cédula de 10, e outra, e outra. O caixa não usa o algoritmo formal da subtração.

7- Como poderíamos resolver o problema 3, usando o método adotado pelo caixa? 8- Como poderíamos fazer mentalmente a operação da questão 2? Por onde começar a realizar a

operação? Pelas centenas, dezenas ou unidades? Por que?

Na resolução das questões apresentadas acima, discutir com os alunos os procedimentos adotados nas resoluções, propor novas questões de aprofundamento, estabelecer relações entre as soluções apresentadas, entre outras. Realizar diversas operações de adição e subtração usando inicialmente apenas o material concreto – dinheiro chinês, depois ter o cuidado de registrar cada ação no quadro, no algoritmo formal, e depois trabalhar apenas com os registros, só recorrendo ao material concreto quando necessário. Discutir com os alunos a possibilidade de utilização de outros procedimentos de cálculo, que não os tradicionalmente adotados e explorados no ensino regular. Por que não fazer as subtrações usando o método discutido na questão 7?

O registro das ações é de fundamental importância para o desenvolvimento da capacidade de abstração dos alunos e de interpretação de notações matemáticas, bem como para a compreensão dos algoritmos. Exemplo de adição sem reserva: (a solução do problema 1 da página anterior). Representando a quantia gasta pelo primeiro irmão no mercado:

Representando a quantia gasta pelo segundo irmão em compras:

Juntando as duas quantidades:

Verificar com os alunos se há necessidade de realizar alguma troca (considerando-se a característica dos agrupamentos). 3.3.1 A adição com reserva

Resolução do problema 2.

Representando o gasto do primeiro dia com compras.

10 10 10 1 1

10 10 1 1 1 1 1

10 10 10 1 1

10 10 1 1 1 1 1

10 10 10 1 1

10 10 1 1 1 1 1

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Representando o gasto com a conta de água. Calculando o gasto total nos dois dias:

Como há necessidade de troca, realizá-la, como indicado acima, totalizando 7 cédulas de 10 e 4 de 1. É importante discutir em cada situação envolvendo a adição, se há necessidade ou não de realizar trocas, para que o total possa ser representado em nosso sistema de numeração. Realizar outras operações de adição, antes de dar prosseguimento à resolução das questões envolvendo subtração.

Exemplo de operação de subtração sem reserva: (resolução da questão 3)

Representando com cédulas a quantia inicial dos irmãos ($98):

Retirando a quantia gasta, como indicado acima:

Representando a quantia que sobrou:

Apresentar várias situações problema envolvendo a operação de adição sem e com reserva, não esquecendo de realizar os respectivos registros facilitando a compreensão e uso dos algoritmos formais.

É importante observar para os alunos que as operações que foram realizadas com dinheiro chinês valem para outros materiais, a exemplo do material dourado, considerando-se que uma dezena corresponde sempre a dez unidades e uma centena a dez dezenas e assim por diante. Realizar diversos outros problemas envolvendo outras situações que não o dinheiro, para identificar possíveis dificuldades com as ideias trabalhadas até então. 3.3.2 A adição e subtração de números decimais

Para introduzir a adição com números decimais podemos incorporar, às cédulas do dinheiro chinês,

moedas de $0,10 e de $0,01, explicitando a relação destas com a unidade adotada.

10 1 1 1 11 1

10 10 10 1 1

10 10 1 1 1

10 10 10 1 1

10

1

10 10 10 1 1

10 10 10 10 1

1

10 10 10 1 1

10 10 1 1 1 1 1

10 1 1 1 11 1

10

10 10 1 1 1 1

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1- Quantas moedas de $0,10 valem uma cédula de $1? Por quantas moedas de $0,01 podemos trocar uma moeda de $0,10? E uma cédula de $1? Assim, uma moeda de $0,10 corresponde a um décimo da unidade adotada, bem como a moeda de

$0,01 corresponde a um centésimo da unidade. As operações envolvendo os algoritmos formais de adição com números decimais podem ser trabalhados de maneira significativa, usando-se panfletos de supermercado, propondo-se situações de compra e venda de mercadorias e a manipulação de cédulas e moedas do dinheiro chinês, sempre que necessário. Atividade: Explore a representação de outras situações envolvendo a adição (com e sem reserva) considerando como materiais de apoio o Material Dourado e o Ábaco (aberto e vertical), comparando e explicitando as vantagens e limitações de cada material. Sugestão: visite o site: http://educar.sc.usp.br/matematica/m2l2.htm#l2a1

Ampliando seu Conhecimento 3.4 A operação de subtração de naturais

Aqui iremos nos referir especificamente às diferentes ideias associadas à operação de subtração, uma

vez que o procedimento algorítmico foi indicado junto com o da adição (com o uso do dinheiro chinês), trabalhando-se paralelamente com o material concreto. A primeira delas, a ideia de “tirar”, é a mais explorada em sala de aula, na resolução de problemas do tipo padrão (Pedro tinha 15 figurinhas. Ele perdeu 7 figuras para Carlos, em uma partida de bafo. Com quantas figuras Pedro ficou?).

A segunda ideia, de “comparar”, envolve, como a própria denominação indica, a comparação entre duas quantidades, o que pode ser facilmente compreendido a partir da observação de um exemplo de problema do tipo padrão que a envolve: “Carlos tem 15 anos e sua irmã Marta tem 7. Quantos anos Carlos tem a mais que sua irmã? - ou poderíamos perguntar: Quantos anos Marta tem a menos do que Carlos?"

Menos explorada com os alunos que a ideia anterior, as dificuldades de resolução de problemas, como o exemplificado acima, decorrem não apenas da pouca familiaridade do aluno com situações dessa natureza, mas, muitas vezes, de entraves oriundos da forma como o professor reforça alguns termos presentes em problemas envolvendo outras operações. Por exemplo, ao trabalhar com a adição, o professor afirma: “Toda vez que aparecer a palavra mais em um problema, ele é de somar”. O aluno responderia, então, à questão relativa à quantos anos Carlos tem a mais que Marta, por meio de uma adição feita com os dois valores (15 + 7).

A terceira ideia, de “completar”, é bastante comum em situações do cotidiano (“Se tenho R$0,75, de quanto ainda preciso para pagar a passagem do ônibus até minha casa, se ela custa R$1,20?”) e deve ser explorada por meio de questões diversas, tanto por meio de sua representação com materiais concretos quanto envolvendo procedimentos algorítmicos.

Algumas considerações adicionais devem ser feitas em relação à subtração: 1) Ao trabalhar com cada uma das ideias associadas à subtração, a partir da proposição de

problemas, deixe que o aluno tente resolver o que lhe foi pedido, utilizando estratégias pessoais ou convencionais de cálculo. Observe não apenas o resultado que ele obteve, mas o processo que utilizou, o que lhe permitirá identificar qual a compreensão que o aluno possui, após ler e interpretar o problema; qual o procedimento que ele utiliza, identificando sua aproximação com o(s) algoritmo(s) formal(is); quais as limitações e potencialidades da estratégia que usou, entre outros elementos; 2) Muitos professores que lecionam nas séries iniciais do Ensino Fundamental aprenderam a subtrair utilizando o algoritmo da compensação (por exemplo, ao subtrair 59 de 134, o professor faz: “9 para 14, 5; vai um; 6 para 13, 7. Resposta: 75”) e têm dificuldade para trabalhar com os alunos o método das trocas, hoje predominantemente apresentado nos livros didáticos e que é de mais fácil compreensão para o aluno, uma

DICA: No endereço abaixo indicado você encontra uma reportagem que trata de estratégias que visam facilitar a compreensão das operações envolvendo números decimais. Leia e amplie sua formação docente, enriquecendo seu repertório teórico e metodológico. http://revistaescola.abril.com.br/edicoes/0178/aberto/mt_244510.shtml

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vez que ele domine as características centrais do SND. Se a preocupação é que o aluno atribua significado a tudo o que aprende, é importante que compreenda cada passo dos procedimentos algorítmicos que utiliza; 3) É importante possibilitar aos alunos a aprendizagem do uso da calculadora para resolver problemas envolvendo as operações de adição e subtração (ou ambas), enfatizando-se, nestes momentos, mais a leitura, interpretação e resolução dos problemas do que os cálculos efetuados. Este compreende um bom uso da calculadora, recurso didático que, como qualquer outro, pode ser um excelente aliado do professor no processo de ensino, se bem utilizado (pensando-se nos objetivos e forma de seu uso). 3.5 A multiplicação de números naturais

Assim como a subtração tem associada a ela vários significados (tirar, comparar e completar), à

operação de multiplicação podem ser associados os seguintes significados: a multiplicação como uma soma de parcelas iguais; a multiplicação como área; a multiplicação associada à ideia de proporcionalidade e a multiplicação como conjunto de possibilidades. No primeiro caso, é fácil utilizar o dinheiro chinês para representar a multiplicação, em situações significativas, partindo-se de casos mais simples para mais complexos.

Por exemplo, pagando cinco prestações iguais a $115, qual o valor final de minha compra? (estabelecer relações entre a adição de cinco parcelas e a multiplicação). Com o dinheiro chinês a decomposição é explícita, o que facilita a compreensão dos resultados obtidos. O algoritmo formal pode ser introduzido sem problemas, através deste significado da multiplicação e a(s) decomposição(ões) necessárias. Exemplo: 5 x 115 =

= 5 x (100 + 10 + 5) = 5 x 100 + 5 x 10 + 5 x 5 (verificar e realizar as trocas necessárias, associando-

as com os respectivos registros no algoritmo). No algoritmo: 1 1 5 100 + 10 + 5 x 5 x 5 Fazendo 5 x (5 de 1) teremos 25 de 1(precisamos trocar vinte das cédulas de 1 por duas de 10, que

juntaremos com as de 10 que teremos quando fizermos 5 x 10). Assim, teremos 50 + 20 = 70 (não há necessidade de troca) e, finalmente 5 de 100, totalizando 575.

Para trabalharmos a ideia de multiplicação como área, utilizamos papel quadriculado para introduzir a ideia e somente depois trabalhar com a área de figuras simples com medidas decimais. Neste momento, é interessante trabalhar com as unidades de medida lineares e de área no sistema métrico decimal, estabelecendo a relação entre as unidades nos sistemas de medida e o sistema de numeração decimal em situações do dia a dia (metros quadrados de piso necessários para pavimentar a sala de aula; de tecido para fazer uma toalha de mesa ou uma bandeira, etc.);

Para o trabalho com a multiplicação como conjunto de possibilidades, pode-se introduzir o uso do raciocínio multiplicativo, apresentando-se registros através de tabelas de dupla entrada e diagramas de árvore (quantas combinações diferentes de roupa posso fazer combinando duas calças e três camisas?);

O estudo da multiplicação associada à ideia de proporcionalidade pode ser iniciado com o preenchimento de tabelas com duas variáveis relacionadas, a partir da proposição de questões significativas. As tabelas podem ser utilizadas para o traçado de gráficos de barra ou de linha, explorando-se o significado de escalas e representações de dados (se por um pãozinho pago 20 centavos, quanto pagaria por 27 pãezinhos, se o dono da padaria não me der nenhum desconto? Se para fazer um bolo para quatro pessoas,

100 10

100 10

100 10

100 10

100 10

1 11 1 1

1 11 1 1

1 11 1 1

1 11 1 1

1 11 1 1

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necessito de 6 ovos, ½ quilo de farinha de trigo e ½ quilo de açúcar, de quanto material precisaria para fazer um bolo para 10 pessoas?). 3.5.1 As principais dificuldades do algoritmo da multiplicação

As principais dificuldades em geral apresentadas pelos alunos quando do trabalho com a

multiplicação dizem respeito à sistematização do uso do algoritmo formal, que envolve principalmente agilidade com a multiplicação dos números de 1 a 9 (memorização e uso da tabuada). Como proporcionar tal agilidade? Em geral os alunos não manifestam muita dificuldade quanto à descoberta e memorização dos valores envolvidos nas tabuadas de 1 a 5. Os problemas envolvem as tabuadas a partir do 6. Para evitar ou proporcionar a superação de tais dificuldades, destacar as relações entre as diversas tabuadas já aprendidas e as seguintes. Por exemplo, juntando as tabuadas do 1 e do 3 tenho a tabuada do 4.

1 x 1 = 1 3 x 1 = 3 4 x 1 = 4 (1+3) 1 x 2 = 2 3 x 2 = 6 4 x 2 = 8 (2+6) 1 x 3 = 3 3 x 3 = 9 4 x 3 = 12 (3+9), etc.

Deste modo, se sei as tabuadas de 1 e de 5 (ou de 2 e 3; ou a de 3) posso facilmente construir a de 6. Se sei as de 2 e de 5 posso obter a de 7 de modo imediato e assim por diante. Do mesmo modo que nas operações de adição e de subtração, é importante explorar com os alunos o uso da calculadora para resolver problemas envolvendo multiplicações (no cálculo de áreas, somas de parcelas iguais, etc.). Do mesmo modo, para que o aluno ganhe agilidade no cálculo mental relativo à multiplicação, jogos podem ser realizados na sala de aula, a exemplo do dominó ou bingo com essa operação.

Atividade: uma atividade interessante relacionada à multiplicação compreende a exploração das Barras de Napier em sala de aula (texto na plataforma). Trabalhe com as barras em diversas multiplicações, como as propostas no texto e justifique matematicamente o funcionamento das barras, traçando um paralelo com o algoritmo formal da multiplicação.

3.6 A divisão de números naturais Embora possam compreender ações vivenciadas pelos alunos no cotidiano, nem sempre as situações práticas consideradas envolvem o conceito matemático de divisão, que se baseia na distribuição de uma quantidade em partes iguais. Posso, por exemplo, dividir 9 biscoitos entre 3 pessoas, de modo que uma receba 2, outro 4 e outro 3 biscoitos, de acordo com critérios que eu estabelecer. Se falo na divisão matemática de 9 (biscoitos) por 3 (pessoas), a resposta será 3 (biscoitos) e não outra. Dizemos que o corpo humano está dividido em três partes (cabeça, tronco e membros), mas estas não têm mesmo tamanho. Além disso, dois modelos distintos podem ser associados à divisão: o modelo partitivo e o modelo quotativo. O primeiro se apresenta quando temos que determinar, dada uma quantidade e o número de partes em que ela deve ser fracionada, qual o “tamanho” de cada uma destas partes. Por exemplo, este modelo serviria de base para a resolução da seguinte situação: se tenho 15 bolachas para dividir entre meus três filhos, quantas bolachas caberão a cada um deles? O segundo modelo estaria presente na situação: preciso fazer ramalhetes, cada um com 5 rosas. Se tenho 45 rosas, quantos ramalhetes poderei fazer? Embora ambas as situações sejam resolvidas por uma operação de divisão, elas compreendem ações cognitivas distintas, o que é fácil observar se analisamos as relações entre as variáveis envolvidas e o modo como estas estão presentes nas respostas. No primeiro caso, biscoitos divididos entre filhos resulta em x biscoitos por filho. No segundo, rosas divididas em grupos de cinco rosas resulta em x ramalhetes. No primeiro descobrimos quantos elementos há em cada grupo formado (no exemplo, quantos biscoitos caberão a cada filho); no segundo, quantos grupos podem ser formados, dada sua quantidade de elementos, ou seja, considerando o exemplo dado, quantos grupos de 5 rosas “cabem” ou “estão contidos” em 45 rosas. Uma vez entendida a distinção entre os dois modelos, é importante lembrar que ambos devem ser trabalhados em sala de aula, entendendo as dificuldades específicas de cada um. Isso se reflete inclusive na compreensão do algoritmo tradicional da divisão, pois embora o partitivo seja mais natural para o aluno, uma vez que suas ações práticas de divisão se baseiam predominantemente neste tipo de modelo, o algoritmo se estrutura segundo o modelo quotativo. Quando fazemos a operação 25 : 4, procuramos identificar quantas vezes o 4 “cabe” no 25, o que compreende um jogo de adivinhação para o aluno, em especial para os que não têm muita agilidade mental com a tabuada.

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O algoritmo da divisão apresenta ainda uma característica especial. Embora nas outras operações o processo mais prático seja aquele em que se começa a operar a partir das ordens das unidades, na divisão ocorre o inverso: é mais prático começar a dividir pelas ordens mais elevadas do número que está sendo dividido. Para que o aluno compreenda e internalize esta ordem, é interessante propor inicialmente operações em que ele necessariamente precisa começar a operar pela ordem mais elevada como, por exemplo, 812 : 5. Como no caso das demais operações, o algoritmo só deverá ser utilizado quando não for possível efetuar a operação mentalmente e o cálculo deve estar sempre ligado a uma situação problema (as contas não devem “cair do céu” sobre a cabeça dos alunos). Do mesmo modo, os primeiros cálculos devem ser efetuados com o apoio do material concreto (material dourado ou dinheiro chinês), sem inicialmente estabelecer paralelo com o algoritmo, o que deverá ser feito após algumas ações. Vamos acompanhar o seguinte exemplo, relativo ao cálculo sugerido anteriormente. Para efetuar a operação com o dinheiro chinês, o aluno teria 8 cédulas de 100, para repartir em 5 partes iguais. Uma vez feita a primeira distribuição possível (uma cédula de 100 para cada uma das cinco partes), sobrariam 3 cédulas, que devem ser trocadas por cédulas de 10 para que a operação possa continuar a ser feita. Realizada a troca, o aluno dispõe de 31 cédulas de 10 (as trinta resultantes da troca e uma que já fazia parte do número), e distribuindo estas cédulas em cinco partes iguais, caberão 6 cédulas de 10 para cada parte, restando uma cédula de 10. Trocando a cédula de 10 que sobrou, por cédulas de 1, o aluno teria 12 cédulas de 1 (as dez resultantes da troca mais as duas que o número já possuía). Continuando a distribuição, caberiam 2 cédulas para cada grupo, restando 2 cédulas de 1. Uma vez efetuadas diversas operações desta natureza com o apoio do material concreto, estas deverão ter cada passo registrado no algoritmo. É importante que nos primeiros registros, as ordens dos algarismos sejam indicadas acima destes (no caso do dividendo) e abaixo dos algarismos do quociente, como indicado abaixo, o que facilita a compreensão da necessidade de colocação de zeros no quociente, em alguns casos.

O registro pode ser feito pelo método longo (em que cada subtração é apresentada), ou breve (em que apenas a diferença é registrada), a critério do aluno. Se necessário, de acordo com o domínio que o aluno tem da tabuada, os nove primeiros múltiplos do divisor podem ser escritos por ele ao lado do algoritmo da divisão (como indicado acima), o que lhe dará segurança na hora de efetuar o cálculo, bem como levará a uma maior agilidade mental, posteriormente. Uma maior ou menor necessidade de registros, uma maior ou menor rapidez de cálculo, entre outros elementos relativos aos procedimentos algoritmos variam de aluno para aluno, bem como mudam para um mesmo aluno, de acordo com sua experiência. O professor precisa compreender e aceitar que a heterogeneidade é uma realidade em qualquer turma, mesmo que ela seja constituída por apenas um aluno: nós não aprendemos do mesmo modo, todo o tempo. 4. Avaliando o que foi construído

No texto “Alunos de 3ª e 5ª séries resolvendo problemas de divisão com resto diferente de zero: o efeito de representações simbólicas, significados e escolarização” (acesso no endereço eletrônico abaixo indicado), as autoras discutem pontos importantes acerca do ensino/aprendizagem da divisão. Leia o texto e faça um resumo crítico, destacando os pontos que considerou mais relevantes. http://www.anped.org.br/reunioes/29ra/trabalhos/trabalho/GT19-1693--Int.pdf

5. Referências

RÊGO, Rogéria; RÊGO, Rômulo. Matematicativa II. João Pessoa: EDUFPB, 2004. TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática da Matemática: como dois e dois. São Paulo: FTD, 1997.

C D U 8 1 2 5 5 1 6 2 3 1 C D U 3 0 1 2 1 0 (2)

1 x 5 = 5 2 x 5 = 10 3 x 5 = 15 4 x 5 = 20 5 x 5 = 25 6 x 5 = 30 7 x 5 = 35 8 x 5 = 40 9 x 5 = 45

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Unidade IV Operações Aritméticas Básicas com Números Racionais

1. Situando a Temática

Uma das questões mais frequentes feitas por nossos alunos em sala de aula é: “para que serve isso?”. Em especial em relação aos conteúdos de Matemática, muitas vezes trabalhados de modo artificial e distante da realidade e dos conhecimentos que construiu fora da escola, perguntas dessa natureza surgem e precisam ser respondidas pelo professor, promovendo a compreensão daquilo que o aluno aprende e evitando a memorização de informações ou a mecanização de procedimentos sem significado.

Na direção da construção de conceitos de modo significativo, é importante proporcionar ao aluno experiências diversificadas relacionadas a um mesmo conteúdo; o trabalho inicial com materiais concretos e a correspondente reflexão acerca de suas ações sobre estes materiais; a elaboração de formas de representação pessoal, na direção das convencionais; o incentivo ao levantamento e verificação de hipóteses; a busca por regularidades e padrões, entre outras.

Ampliando seu conhecimento

No caso específico dos números racionais, seja em sua representação decimal ou fracionária,

compreender sua origem histórica, bem como sua importância e uso em situações práticas, ou sua relação com tópicos como proporcionalidade ou porcentagem, auxiliarão o professor a não apenas selecionar o que será mais importante enfatizar, mas também o planejamento da sequência didática a ser adotada.

2. Problematizando a Temática

Antes de iniciar o estudo dos números racionais, na forma fracionária, é interessante que o aluno trabalhe com materiais concretos diversos, de natureza contínua ou discreta, dividindo-os em partes iguais (como bolas de massa de modelar, coleções de fichas ou tampinhas, recortes de figuras), comparando os resultados obtidos. Devem ser questionados sobre como verificar se as partes são realmente iguais, se há outras alternativas para tais divisões, se depois é possível recompor a grandeza inicial, juntando-se as partes, entre outras.

3. Conhecendo a Temática

A complexidade do conceito de número racional, e as consequentes dificuldades de seu ensino e aprendizagem, tem levado à produção de pesquisas visando melhorar a compreensão acerca da natureza dos processos envolvidos em especial na elaboração do conceito de fração, das dificuldades enfrentadas pelos alunos ao operar com números fracionários, dentre outras.

Dialogando e Construindo Conhecimento 3.1 Iniciando o estudo de frações

Tradicionalmente, o estudo de frações tem início com a exploração das relações parte/todo em grandezas de natureza contínua, sendo esta ideia a mais frequentemente abordada, mesmo que não esteja clara para o professor a razão desta opção. É interessante que o estudo tenha início explorando-se grandezas

IMPORTANTE: as justificativas, bem como os objetivos para o ensino de qualquer conteúdo devem ser frutos da reflexão do professor, considerando aspectos como o uso no cotidiano, sua importância para a formação cognitiva do aluno, sua relação com outros conceitos matemáticos, etc., evitando-se falsas aplicações ou motivações artificiais internas à própria disciplina (“você vai precisar disso quando for estudar tal conteúdo...”)

DICA: um interessante artigo com algumas dessas pesquisas, intitulado “Uma experiência de ensino de fração articulado ao decimal e à porcentagem”, da autoria de Vilma Silva, Ozileide Silva, Rute Borba, Maria Cecília Aguiar e José Maria Lima, pode ser encontrado no Nº 8 da Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática, de junho de 2000.

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contínuas, pelas razões que serão expostas adiante, embora a abordagem parte/todo não seja a mais indicada, como veremos em seguida.

Dialogando e Construindo Conhecimento

Depois de discutir tais situações, propor aos alunos a seguinte tarefa: - Pegar uma folha de papel e dividi-la em duas partes iguais (experimente fazer a divisão de diversas

maneiras diferentes). Como poderíamos representar o resultado de nossa divisão? - Fazer o mesmo para uma folha de mesmo tamanho, considerando agora uma divisão em 3, 4, 5, 6

ou mais partes iguais; com duas folhas de papel considerando a divisão em 2, 3 ou mais partes iguais; ou ainda um número maior de folhas de papel em quantas partes iguais desejar, representando o resultado após cada divisão.

- Explorar a contagem das frações, oralmente, reconstituindo as unidades consideradas (ex: 1/3, 2/3, 3/3 (que corresponde ao inteiro)), iniciando informalmente a equivalência de frações e sua relação com o inteiro, bem como a adição de frações de mesmo denominador.

Ampliando seu Conhecimento

Outras figuras (como quadrados, triângulos equiláteros, círculos, hexágonos regulares, etc.) podem

ser fracionadas em diferentes números de partes iguais e exploradas pelos alunos, considerando a equivalência entre as suas diversas partes, por meio da decomposição e da composição dessas figuras. A equivalência pode ser verificada pelo aluno por sobreposição das partes e é sempre interessante que o aluno recomponha as partes, verificando que pode obter novamente o inteiro. O aluno pode explorar, por exemplo, as possíveis combinações de partes que geram o inteiro como, por exemplo, 1/3 + 1/3 + 1/6 + 1/6 = 1, ou, ½ + ¼ + ¼ = 1, entre outras possibilidades.

Em seguida, medir o comprimento de um objeto da sala (por exemplo, a largura de sua carteira),

usando a folha de papel e, caso necessário, partes dela, de modo que o comprimento total seja representado. Solicitar que o aluno registre seu resultado e verifique se, com base nessa informação, seria possível alguém repetir o processo de medição, sabendo qual o tamanho da folha de papel que ele usou.

Esta abordagem e representação inicial de frações ocorre por meio da compreensão da fração como

uma divisão indicada, ou seja, a fração 1/2 corresponde ao resultado da divisão da folha de papel em duas partes iguais; 1/3 corresponde ao resultado da divisão de uma folha em três partes iguais e assim por diante. Desta forma, podemos evitar os problemas que normalmente surgem quando a abordagem é feita considerando-se “uma parte tomada em tantas partes em que a figura foi dividida” (relação parte/todo), e posteriormente é apresentada uma fração do tipo: 5/3. Em situações como essa o aluno questiona, confuso: “como podemos dividir uma figura em três partes iguais e tomar cinco delas?”.

Para motivar o estudo de frações, uma situação concreta pode ser estabelecida: - Medir o comprimento de alguns objetos da sala de aula usando como unidade de medida

uma caneta esferográfica. Questões exploratórias: 1- É sempre possível usar uma quantidade exata de vezes uma mesma caneta para medir

qualquer objeto da sala? 2- Caso o objeto tenha um comprimento diferente de um número exato de vezes o

comprimento da caneta, como representar a parte que falta? 3- E se usamos outro objeto como unidade de medida? O número que representa o

comprimento do que estamos medindo vai mudar? Vai ser maior ou menor? Será que corresponde a um número exato de vezes o comprimento do objeto que estamos usando como unidade de medida? Como podemos dar a informação sobre a parte que falta, sem causar qualquer confusão, para uma pessoa que for medir o mesmo objeto usando a unidade de medida que consideramos?

Para ampliar esse trabalho informal, explorar bastante o “quadro de frações” (versão disponibilizada na plataforma), verificando as relações de equivalência entre diferentes frações da unidade considerada, a comparação informal entre frações de mesmo denominador ou de denominadores diferentes, etc.

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Dois elementos são fundamentais para a compreensão da ideia de fração: (1°) que estamos nos referindo sempre a uma unidade, que está sendo considerada naquele momento (e que pode variar, dependendo de nossa conveniência – por exemplo, posso, em um momento considerar o metro como sendo minha unidade e em outro momento considerar o quilômetro);

e (2°) a necessidade de que a unidade considerada esteja dividida em partes iguais – já que na linguagem coloquial o termo divisão não é sempre usado com essa concepção.

A ideia de metade faz parte do “repertório” de conhecimentos da criança quando ela ingressa na escola embora ela não seja, necessariamente, matematicamente precisa, isto é, equivalente a duas partes iguais de uma unidade (as crianças dizem, às vezes: “eu fico com a metade maior”). Para Nunes e Bryant (1997), a ideia de “metade” tem papel central no processo de quantificação “porque oferece às crianças a oportunidade de usar relações lógicas que elas já entendem em comparação parte-parte (“igual a” ou “maior que”) no novo domínio de parte/todo: elas podem facilmente distinguir entre metade, mais da metade e menos da metade” (p.216). Os autores alertam, no entanto, que crianças menores podem se confundir no processo de comparação entre metades que não têm a mesma aparência (por exemplo, comparando as metades de dois retângulos iguais, sendo um deles divido ao meio ao longo da diagonal e o outro verticalmente) sendo necessário, neste caso, reconstruírem o processo de corte para entenderem a equivalência entre as duas metades. 3.2 – Frações de grandezas discretas

O trabalho com grandezas contínuas, como as barras, quadrados, triângulos e outras figuras, ou

segmentos de reta, é relativamente mais simples do que o trabalho com grandezas discretas. Com uma unidade de natureza contínua, como um retângulo ou um segmento de reta, o aluno só precisa lidar com a unidade e a representação de partes desta. Ao trabalhar com frações de grandezas discretas, além da unidade e da fração considerada desta unidade, pode ser associado um terceiro valor numérico que representa tal fração. Por exemplo: 1/3 de 21 canetas corresponde a 7 canetas, enquanto 1/3 de uma barra de chocolate corresponde a “1/3 de uma barra de chocolate”.

Para as ações iniciais de cálculo de frações de grandezas discretas é interessante que o aluno faça uso de materiais manipulativos, a exemplo de fichas, sementes, palitos, ou outros materiais, e associe sua ação com o que já aprendeu sobre frações de grandezas contínuas. Diante da necessidade de calcular 1/3 de 15 fichas coloridas, por exemplo, o aluno pode fazer a distribuição como ilustrada abaixo.

Ele coloca uma ficha em cada uma das três divisões da unidade (no caso, a barra), prosseguindo

desta forma até que todas as fichas sejam distribuídas, contando o total correspondente a 1/3 delas (5 unidades). O procedimento pode se repetir para outras frações ou outras quantidades de fichas, questionando para o aluno se haveria outra maneira de descobrir a quantidade de fichas correspondente a cada fração da quantidade considerada, sem fazer uso do material concreto, para que ele perceba a relação da operação a ser realizada com a divisão.

A ação inversa deve ser explorada, questionando-se agora: “se sei qual é a quantidade que

corresponde a 1/3 das fichas, como poderia descobrir a quantidade total?” (nesse caso, considerando a ilustração anterior, as duas outras partes poderiam ser cobertas antes de ser formulada a questão).

A comparação de quantidades correspondentes a frações de uma mesma grandeza discreta pode ser realizada inicialmente com o apoio do material concreto. Por exemplo, para saber quem tem mais fichas, se alguém que possui 3/8 ou o que tem 1/3 de um total de 24 fichas, o aluno pode fazer a distribuição sobre as partes da unidade do modelo contínuo – com o “quadro de frações”, como indicado abaixo, e efetuar a contagem e a comparação dos resultados correspondentes.

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Depois de efetuar várias comparações semelhantes o aluno deve ser estimulado a identificar um procedimento que lhe permita descobrir a solução das questões propostas sem fazer uso do material concreto. Nesse caso, calculando inicialmente cada fração do total separadamente e depois comparando os valores numéricos que as representam, ou ainda pela observação das situações finais com o material concreto e a relação com o caso das grandezas contínuas. Por meio da reflexão acerca das ações realizadas com o material, espera-se que o aluno descubra regras que lhe permitam comparar frações de mesmo numerador (a maior delas será a de menor denominador) e frações de mesmo denominador (a maior delas será a de maior numerador).

Outras situações-problema: 1- Distribua igualmente 16 palitos que estão inicialmente em um copo branco, entre dois copos verdes, verifique a quantidade obtida em cada copo, identifique e registre as frações obtidas. 2- Retorne todos os palitos para o copo branco e agora distribua-os igualmente em 4 copos azuis, verifique a quantidade obtida em cada copo, identifique e registre as frações obtidas. Pergunta-se: (i) Que fração do total inicial é maior: 1/2 ou 1/4? Por que? 1/2 ou 2/4? Por que? 1/2 ou 3/4? Por que? 3- Qual a quantidade de palitos correspondentes a 3/4 do total? E a 1/2? 4- Em uma sala de aula, 3/4 dos alunos correspondem a 24 crianças. Quantas crianças há, ao todo, na classe? Como representar e resolver a situação concretamente?

3.3 – Operações com frações

Vamos considerar as diversas situações envolvidas nas operações com frações, estabelecendo

paralelo com representações com a manipulação de materiais concretos que facilitarão a compreensão das ideias pelo aluno e possibilitarão a construção de modelos mentais que lhe permitirão realizar operações formais na ausência do referencial utilizado como materiais manipulativos, a exemplo do quadro ou disco de frações, dentre outros.

3.3.1 – Adição e Subtração Recomenda-se iniciar o trabalho com as operações de adição e subtração, trabalhando-se com frações que têm mesmo denominador, ou pelos casos em que um denominador é múltiplo do outro (e fica fácil estabelecer a relação de equivalência entre as frações, por sobreposição ou comparação). É importante sempre partir de uma situação problema, que possibilite ao aluno atribuir significado à operação. Recomenda-se, ainda, realizar as primeiras operações com o apoio do material concreto e posteriormente trabalhar apenas com os registros formais das ações. Usando o material concreto (barras de frações), representar as operações abaixo indicadas, registrando o resultado correspondente: 1) 1/3 + 1/3 (resposta: 2/3) 2) 1 – 1/3 (começando com a busca da fração equivalente a um, com denominador 3, que é a fração 3/3, segue que 3/3 – 1/3 = 2/3. 3) 3/8 -1/4 = 3/8 – 2/8 = 1/8

=

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IMPORTANTE: depois de realizar várias operações da mesma natureza que as aqui apresentadas como exemplo, verificar se os alunos conseguiram generalizar as ideias envolvidas nas ações que realizou com o material concreto (adições e subtrações de frações com denominadores como os indicados no início deste item do texto. Peça-lhes que produzam um texto no qual registrem suas observações com suas próprias palavras. Nos casos em que a equivalência das frações envolvidas nas operações não é imediata (um denominador não é igual ou múltiplo do outro) é importante que os alunos tenham trabalhado antes diversas situações de identificação de equivalência utilizando as barras de frações. O trabalho pode ser feito por meio do registro, pelo aluno, das diversas frações que conseguir identificar. Por exemplo, registrando que 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10, etc. Propor, com base no registro dos alunos, questões do tipo: “Que fração com denominador igual a 32 seria equivalente às frações1/2, 2/4, etc.?”. Pedir que o aluno justifique sua resposta. A referência mais simples para a equivalência é dada pelo produto dos dois números dos denominadores das frações iniciais. Na operação 1/2 + 1/3, o aluno precisa identificar o denominador 6 (ou outro valor múltiplo de 6), como referência para a determinação das frações equivalentes às dadas, ou seja, verificando que1/2 é equivalente a 3/6 e que 1/3 é equivalente 2/6, efetuando a adição como no caso em que as frações têm mesmo denominador. O mesmo procedimento vale para a subtração. CONSIDERAÇÕES GERAIS: em uma perspectiva mais tradicional de ensino das operações de adição e multiplicação de frações, exploram-se antes os conceitos de múltiplo, divisor e mínimo divisor comum (MDC), que são complexos e implicam em problemas de aprendizagem, aumentando as referências negativas que o aluno constrói culturalmente em relação às operações com números racionais. As operações, se trabalhadas por meio da noção de fração equivalente, serão simplificadas, tanto do ponto de vista de quem ensina quanto de quem aprende.

Dialogando e Construindo Conhecimento

3.3.2 – Multiplicação e Divisão de frações A multiplicação de frações demanda estratégias metodológicas diversas, dependendo dos valores numéricos envolvidos. Deste modo, iremos analisar as situações diferentes com as quais podemos lidar, diferenciando cada caso. 1) A multiplicação de um número natural por uma fração: pode ser elaborada como uma ampliação da multiplicação de naturais, compreendida como “adição de parcelas iguais”, como no seguinte exemplo:4 X 1/5 = 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 4/5 (ou seja, 4 x 1/5 corresponde a “4 de 1/5”) 2) A multiplicação de uma fração por um número natural segue o mesmo princípio (relação entre o símbolo “x” e a expressão “de”). É fundamental que o aluno trabalhe vários exemplos com o material concreto para poder estabelecer, ele mesmo, a generalização pertinente, uma vez que, para ele, não faria sentido a afirmação de que este caso segue como o primeiro, em razão da “comutatividade da multiplicação”. Por exemplo, para calcularmos 3/8 x 4, procuramos quanto é 3/8 “de” 4, como ilustrado abaixo. Dadas as 4 unidades, podemos pensar nelas como um todo e dividir esse todo em 8 partes iguais, como indicado na segunda figura, abaixo.

Atividade: Visite o site da Revista Nova Escola (endereço eletrônico indicado abaixo) e observe o Plano de Aula apresentado para o trabalho envolvendo a relação entre frações e números decimais. Analise-o quanto à adequação da proposta que apresenta e complemente-o, indicando a associação que poderia ser feita, ainda, com a ideia de porcentagem. http://revistaescola.abril.com.br/online/planosdeaula/ensino-fundamental1/PlanoAula 277770.shtml

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Considerando 3/8 da figura formada pela união das 4 unidades e comparando esse total com a unidade original, vemos que 3/8 de 4 unidades correspondem a 1 unidade e 1/2, ou seja, a 3/2 da unidade original. Esse procedimento não é tão simples para o aluno, pois ele precisa lidar com duas unidades distintas (a original e a formada pela composição dessas 4 unidades), estabelecendo comparação entre partes de uma unidade e partes da outra. 3) A multiplicação de duas frações: a operação 2/3 x 1/2 (que equivale a calcular 2/3 “de” 1/2) pode ser representada concretamente como indicado abaixo. Dada a unidade, Inicialmente identificamos que parte corresponde a 1/2 da unidade, como indicado abaixo,

Em seguida calculamos 2/3 da parte pintada da figura acima. Finalmente, precisamos estabelecer a relação da última parte obtida, em relação à unidade, ou seja,

precisamos identificar a que fração da unidade correspondem as duas partes com listras horizontais da figura acima (pela ilustração abaixo, podemos ver que a resposta é 2/6).

Devemos trabalhar com outros exemplos, partindo sempre de situações-problema, as quais

possibilitarão ao aluno a atribuição de significados para o conteúdo estudado e o material concreto é, inicialmente, fundamental para que o aluno possa estabelecer comparações (por sobreposição), levantar hipóteses e fazer generalizações. Após realizar várias operações como as exemplificadas nos itens anteriores, verificar se os alunos conseguiram abstrair os procedimentos gerais para a multiplicação envolvendo frações, registrando-os com suas próprias palavras.

No caso da divisão, podemos explorar inicialmente a operação entre um número inteiro e um fracionário, por meio do modelo quotativo da divisão, como no caso dos naturais, ou seja, identificando quantas vezes a parte fracionária cabe no número considerado, começando sempre com as situações mais simples e fáceis de serem representadas concretamente. Assim, para dividir 1 por 1/3, o aluno precisa verificar quantas vezes a fração 1/3 está contida na unidade (no caso, três vezes). Ou seja, 1 : 1/3 = 3. De modo semelhante, 2 : 1/3 = 6, pois a fração 1/3 está contida seis vezes nas duas unidades. Na divisão de uma fração por um número natural, lançamos mão do modelo partitivo, ou seja, a ideia de repartir em partes iguais. Deste modo, para realizarmos a divisão de 1/4 por 2 (por exemplo, para identificar a quantidade de bolo que caberia a João e a Maria, dividindo-se ¼ de um bolo entre eles, em duas partes iguais, faríamos como indicado na ilustração abaixo). Para a divisão de duas frações, é importante apresentar e discutir com o aluno algumas situações que possam ser representadas concreta e facilmente, para que ele possa posteriormente, sozinho, estabelecer o procedimento geral para a operação, evitando a memorização de uma regra estabelecida pelo professor e que, portanto, ele aceita, mas não compreende. Nesse caso, o modelo que é utilizado é o quotativo e o que se faz é identificar quantas vezes a segunda fração (divisor) está contida na primeira (dividendo), ou que parte da segunda fração, está contida na primeira, como veremos nos exemplos que seguem. i) 3/2 : 1/4 Representando 3/2 da unidade, temos: Na figura abaixo temos a representação de 1/4 da unidade.

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Verificando quantas vezes a fração 1/4 está contida na fração 3/2 vemos que a resposta é 6. ii) 3/8 : 1/3 Neste exemplo, a relação não pode ser feita de maneira direta. Inicialmente representamos 3/8 da unidade, como indicado abaixo. Em seguida, representamos 1/3 da mesma unidade. Para facilitar a identificação do número de vezes que a fração 1/3 está contida na fração 3/8, ou que porção da fração 1/3 está contida na fração 3/8, substituímos as duas frações por frações equivalentes a elas, ambas com o mesmo denominador, no caso, dividindo a unidade em 24 partes iguais. Assim, vemos que 3/8 equivalem a 9/24. Já a fração 1/3 equivale a 8/24. Deste modo, 9/8 da fração 8/24 estão contidos na fração 9/24 (ou seja, cabe 1 inteiro e 1/8 da fração 8/24 na fração 9/24). Mais uma vez, é importante observar que o aluno precisa lidar, nesse caso, com duas unidades ao mesmo tempo. A unidade original e a “unidade” correspondente à fração 1/3 (que equivale a 8/24), precisando estabelecer as comparações pertinentes, sem perder de vista a qual unidade se refere a cada instante. Se reduzirmos as duas frações a frações de mesmo denominador, trabalhando com as que lhes são equivalentes, o aluno poderá extrapolar o procedimento utilizado na multiplicação, para o caso da divisão. Na multiplicação multiplicamos os numeradores e os denominadores das duas frações e o mesmo fazemos na divisão, com as frações reduzidas a um denominador comum, isto é, dividimos os numeradores e dividimos os denominadores. Ou seja: 9/24 : 8/24 = (9:8)/(24:24) = (9/8) : 1 = 9/8 Com esse procedimento, evitamos o uso da regra “repete-se a primeira fração e multiplica-se pelo inverso da segunda”, uma vez que sua justificativa em geral não é apresentada e, quando apresentada, nem sempre é compreendida pelo aluno. Além da relação parte/todo, é fundamental explorar com os alunos outros significados que podem ser associados a uma fração, como a divisão indicada. Para fortalecer a compreensão dessa ideia, poderíamos solicitar ao aluno para efetuar a divisão correspondente em uma calculadora (numerador dividido pelo denominador), o que o levaria a estabelecer relação entre a representação fracionária e decimal de um número racional. A comparação de frações é, inclusive, mais fácil de ser estabelecida se por meio da comparação entre suas representações decimais. Outra ideia igualmente importante é a da fração como um ponto na reta numérica. Para consolidar essa ideia o aluno pode, como forma complementar ao processo de comparação de frações, exercitar a localização de frações dadas, na reta numérica, estreitando seu contato com os conjuntos dos naturais e dos racionais, estabelecendo relações entre eles.

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Para, por exemplo, localizar as frações 3/5 e 5/3 na reta numérica, procedemos como indicado nas ilustrações abaixo, seguindo o modelo parte/todo, ou seja, dividindo cada unidade o número de vezes indicado pelo denominador da fração, contando o número de divisões correspondentes ao seu numerador. Localizando separadamente duas ou mais frações (em duas ou mais retas distintas, alinhadas como indicado acima), fica mais fácil para o aluno estabelecer comparações, o que é interessante proceder considerando diversas situações distintas (frações de mesmo denominador; de mesmo denominador; de denominadores diferentes, reduzindo-as antes a frações equivalentes com mesmo denominador) 4. Avaliando o que foi construído Leia o texto: “Concepções de futuros professores sobre a multiplicação de números inteiros”, de Claudia Laus Angelo, UFPel/UNIPAMPA, acessível no endereço eletrônico abaixo indicado. No texto a autora afirma que o resultado obtido na investigação “fez com que a professora questionasse as metodologias utilizadas para a apresentação do assunto em aula e a própria formulação da questão (de pesquisa)”. Que modificações na questão e na metodologia você poderia propor, para melhorar a aprendizagem dos licenciandos em relação ao tema? Como faria para avaliar se suas sugestões surtiram efeito? Justifique sua resposta. http://www.sbem.com.br/files/ix_enem/Relato_de_Experiencia/Trabalhos/RE84996560991T.doc

5. Referências

NUNES, Terezinha; BRYANT, Peter. Crianças fazendo matemática. Porto Alegre: Artes Médicas, 1997. TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática da Matemática: como dois e dois. São Paulo: FTD, 1997.

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Unidade V Operações Aritméticas Básicas com Números Inteiros 1. Situando a Temática

Um dos conteúdos centrais da segunda fase do Ensino Fundamental, cujo estudo é iniciado

geralmente no 7° ano do Ensino Fundamental, os números inteiros compreendem fonte de grandes problemas de aprendizagem. Segundo Brousseau (in TRINDADE, 1996), três tipos de obstáculos apresentam-se no sistema didático: os de origem ontogênica (decorrentes de limitações no desenvolvimento do sujeito, dentre elas as de ordem fisiológica) os de natureza didática (que dependem da forma como se trabalha o conteúdo, do ponto de vista educativo) e os de natureza epistemológica (inevitáveis por serem inerentes ao conceito considerado). Dentre os obstáculos de natureza epistemológica, relativos à compreensão dos números negativos, Trindade (1996) destaca: 1- Inaptidão do aluno para manipular quantidades negativas isoladas (necessidade de distinção entre o

símbolo da operação e o sinal do número: como operar - 5 - 7?); 2- Dificuldade para atribuir sentido às quantidades negativas isoladas (o que representa –5?); 3- Dificuldade para unificar a reta (lados positivos e negativos como parte de um todo: concepção do zero

como ausência de valor e não como origem da reta); 4- A ambiguidade de dois zeros (a ideia de que existe um zero positivo e um negativo ( + 0 e – 0)); 5- Estagnação no estágio das operações concretas (quantidades negativas não poderiam ser operadas

significativamente); 6- Desejo de modelos unificantes (regras da adição ampliadas para a multiplicação, por exemplo); Conhecer os diferentes tipos de obstáculos relacionados a um conceito matemático, em especial os de natureza epistemológica e didática, possibilita ao professor identificar e compreender a natureza dos diferentes problemas de aprendizagem que podem surgir na sala de aula e contribuir para sua superação, possibilitando ao aluno construir conhecimento atribuindo significado àquilo que aprende.

Ampliando seu conhecimento

Dialogando e Construindo Conhecimento

2. Problematizando a Temática

Considerando-se os elementos apresentados no item anterior, é importante identificar de que maneira o conteúdo é ou pode ser trabalhado em sala de aula para, a partir da análise de cada modelo, selecionar aquele(s) que se constitui(em) como mais adequado(s) para uma construção significativa dos conceitos relativos aos números inteiros. No item seguinte apresentaremos tais modelos, os quais nos permitem discutir e compreender questões pertinentes ao campo dos obstáculos metodológicos, lembrando a importância de considerarmos, no processo de ensino, os obstáculos de natureza ontogênica e epistemológica.

3. Conhecendo a Temática

Os obstáculos didáticos estão associados à forma como os conteúdos são desenvolvidos em sala de aula, e dependem das escolhas feitas pelo professor para o trabalho com o conteúdo. Neste texto, apresentaremos diferentes metodologias que são ou podem vir a ser adotadas pelo professor, ao abordar o conteúdo “números inteiros”, considerando-se suas potencialidades e limitações.

DICA: você encontra no site da Revista Nova Escola, da Editora Abril, um Plano de Aula voltado para a introdução do estudo de números inteiros em sala de aula: http://revistaescola.abril.com.br/online/planosdeaula/ensino-fundamental2/PlanoAula_279240.shtml

Atividade 1: Leia o texto “SONDANDO E INTERVINDO NA COMPREENSÃO DE CONCEITOS: O CASO DOS NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS”, de BORBA, Rute Elizabete de Souza Rosa – UFPE, acessando-o no endereço abaixo indicado, destacando as principais ideias da autora sobre o tema. http://www.anped.org.br/reunioes/27/gt19/t1912.pdf

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3.1 Modelo baseado na análise de padrões numéricos

O modelo com base na análise de padrões numéricos compreende o preenchimento de tabelas pelo aluno, envolvendo as quatro operações e números positivos e negativos. As tabelas numéricas são propostas fixando-se uma coluna e variando a sequência numérica da outra e o aluno as complementa observando o comportamento da sequência numérica resultante.

É interessante iniciar o trabalho com tabelas cujos primeiros resultados sejam familiares ao aluno, fixando-se na primeira coluna um número positivo e variando os valores da segunda coluna como indicado nos exemplos abaixo. É importante que o aluno trabalhe com o preenchimento de tabelas com diversos valores para A (por exemplo: 1, 2, 3, 4, 5, etc.), para que ele possa ter uma quantidade de dados significativa, a partir dos quais produzirá generalizações (relativas ao que ocorre quando, por exemplo, somamos um número positivo com um negativo).

A primeira tabela, nos exemplos dados, cobre situações que envolvem a adição (e subtração) de dois números positivos - já familiar ao aluno – e a adição (e subtração) de números positivos com números negativos. Na tabela seguinte inicia-se com a adição (e subtração) de números positivos com negativos (introduzida na tabela anterior), introduzindo-se a adição (e subtração) de dois números negativos, faltando ainda o caso da adição de um número negativo com um positivo.

Tabela 1: valor fixo na primeira coluna

Tabela 2: valor fixo na segunda coluna

Observação: as colunas (A + B) e (A – B) podem estar inicialmente todas em branco ou estar parcialmente preenchidas, como no exemplo. Na coluna A + B, os valores a partir da terceira linha podem ser encontrados a partir da observação de tabelas previamente preenchidas pelos alunos, semelhantes à primeira do exemplo, envolvendo os valores em questão (no caso, em que o A é 2 e em que o A é 1).

Considerações gerais quanto às potencialidades e limitações do modelo: envolve uma abordagem interessante e rica, do ponto de vista da formação do aluno que é a análise de padrões e sua generalização; por outro lado, o modelo não possibilita ao aluno a atribuição de significado às operações envolvendo números inteiros.

A B A + B A – B 4 4 8 0 4 3 7 1 4 2 6 2 4 1 5 3 4 0 4 4 4 -1 ? ? 4 -2 ? ? 4 -3 ? ? 4 -4 ? ? 4 -5 ? ? 4 -6 ? ?

A B A + B A - B 4 -3 1 7 3 -3 0 6 2 -3 -1 5 1 -3 -2 4 0 -3 -3 3 -1 -3 ? ? -2 -3 ? ? -3 -3 ? ? -4 -3 ? ? -5 -3 ? ? -6 -3 ? ?

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Dialogando e Construindo Conhecimento

Elabore tabelas semelhantes, envolvendo as operações de multiplicação e divisão, de modo que o aluno inicie o trabalho de preenchimento das colunas a partir de situações numéricas que lhe sejam familiares e que todas as possibilidades sejam consideradas (produto de dois números positivos; de um positivo e um negativo; de dois negativos e de um negativo e um positivo). Identifique as potencialidades e as limitações desse modelo, além da apontada no parágrafo anterior a esta Atividade.

3.2 Modelo usando material concreto: fichas de duas cores O modelo se baseia na manipulação e análise de resultados de um conjunto de fichas em duas cores distintas (uma para representar os números positivos e outra para os negativos). As operações de adição, subtração e multiplicação se baseiam, em alguns casos, como veremos adiante, na obtenção de “zeros”, representados por um conjunto com a mesma quantidade de fichas de cada uma das duas cores. Assim, se usamos a cor cinza para representar valores negativos e a cor branca para representar valores positivos, teríamos um “zero” concretamente representado se juntarmos a mesma quantidade de fichas cinzas e brancas. Nessa abordagem, a compreensão de como os zeros podem ser gerados e a necessidade de gerá-los, dependendo da situação proposta, é fundamental. O mesmo vale para a relação entre as fichas das duas cores, isto é, uma ficha branca “anula” uma cinza e vice-versa. No caso da adição, vamos considerar todas as possibilidades de combinação entre números positivos e negativos. A operação se dá representando-se cada valor envolvido na adição, separadamente, na cor correspondente, juntando-se as fichas e verificando se há necessidade de realizar cancelamentos, antes de registrar o resultado final. 1) adição de dois números positivos: por exemplo, a adição (4 + 5), pode ser representada como ilustrado abaixo e o resultado já é familiar ao aluno. 2) adição de um número positivo e um negativo (ou o contrário): por exemplo, a adição (4 + (-3)), seria representada como indicado na ilustração que segue, onde, juntando-se os valores representados por fichas cinzas e brancas e feitos os devidos cancelamentos, tem-se como resultado uma ficha branca (ou seja, 1). 3) adição de dois números negativos: em uma adição do tipo (-4 + (-3)), bastaria o aluno representar cada valor separadamente e depois juntá-los, fazendo uma contagem direta, pois não há cancelamentos a serem feitos, isto é, juntando 4 marcadores cinza com 3 marcadores cinza, temos como resultado 7 marcadores cinza, que representam o número -7. Após trabalhar com diversas adições, via representação concreta com as fichas das duas cores, envolvendo números positivos e negativos diferentes, é importante que o aluno procure sistematizar suas observações e conclusões, indicando as generalizações que poderia fazer.

Atividade 1: Nas tabelas acima, foram atendidos os casos envolvendo a operação entre (i) dois números positivos; (ii) entre um número positivo e um negativo; (iii) entre dois negativos. Como poderia ser a terceira tabela, de modo a considerar o caso que falta: a operação entre um número negativo e um positivo.

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No caso da subtração, vamos também analisar o que ocorre em todas as combinações de operação entre números positivos e negativos. 1) Como podemos representar uma subtração envolvendo um número positivo e um número negativo como, por exemplo, 4 – (-3) = ? A questão é, se tenho 4 marcadores positivos, como posso tirar 3 negativos? Para solucionar o problema, teríamos que utilizar a ideia da geração de zeros, isto é, precisaria acrescentar às quatro fichas brancas iniciais, a quantidade de fichas necessárias para tirar 3 negativas. Isto é, devemos acrescentar 3 fichas brancas e três cinzas às 4 brancas (o que não altera o valor total inicial). Após somar “zero” fichas ao 4, e tirar as três fichas cinza (correspondentes ao -3), temos como resultado 7 fichas brancas, que representa a diferença final. 2) No caso da subtração de um número positivo de um negativo como, por exemplo, (-3 – 4), a questão é oposta à anterior: se tenho 3 fichas cinza, como posso tirar delas 4 fichas brancas? Para tal, precisaria acrescentar 4 fichas brancas e 4 fichas cinza, juntando um “zero” ao -4 e, em seguida, retirar as 4 fichas brancas (correspondentes ao 4), o que resultaria em 7 fichas cinza, isto é, -7. 3) No caso da subtração de dois números negativos como, por exemplo, -4 – (-6), a situação pode ser resolvida do seguinte modo: se tenho 4 fichas cinza e preciso tirar seis fichas cinza, bastaria acrescentar 2 brancas e 2 cinzas, juntando um “zero” ao -4, e retirar as 6 fichas cinza da subtração, restando 2 fichas brancas (2, que é a diferença entre os dois números). Restam duas fichas brancas (que corresponde à diferença entre os dois números, isto é, 2). A mesma observação feita acerca da adição vale para o caso da subtração. Depois de explorar diversas situações semelhantes às aqui apresentadas como exemplo, o aluno deve procurar produzir generalizações acerca das ações que realizou com o material concreto, de modo a poder obter procedimentos que lhe permitam subtrair dois números inteiros quaisquer sem o auxílio de fichas.

Ampliando seu Conhecimento A MULTIPLICAÇÃO DE INTEIROS Na multiplicação de dois números inteiros, se o primeiro termo é positivo, ele representaria a ação de somar, em um número de vezes igual ao seu valor, parcelas iguais ao segundo valor (multiplicando), ou seja,

Situação inicial

Juntando-se os “zeros”

Retirando-se o valor desejado

Situação inicial

Juntando-se os “zeros”

Retirando-se o valor desejado

Situação inicial

Juntando-se os “zeros”

Retirando-se o valor desejado

DICA: No site da Revista Nova Escola, você encontra uma reportagem interessante, intitulada “Sem medo dos números negativos”, onde a Profa. Leda Maria Bastoni Talavera descreve uma régua operatória que possibilita o trabalho com as operações de adição e subtração, sobre uma reta numerada (endereço eletrônico indicado abaixo). É importante, depois de confeccionar e utilizar a régua em sala de aula, pedir que os alunos elaborem uma explicação acerca de como a régua funciona. http://revistaescola.abril.com.br/edicoes/0133/aberto/mt 249329.shtml

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se temos 3 x 2, o resultado será o conjunto de fichas obtidas com a adição de 3 conjuntos de duas fichas brancas, como indicado na ilustração, resultando em 6 fichas brancas (isto é, 6). Se temos 3 x (-4), o resultado seria dado pela junção de 3 conjuntos de 4 fichas cinza, resultando em 12 fichas cinza (isto é, -12). Se o primeiro número da multiplicação é negativo, realizaríamos a retirada de conjuntos de números positivos ou negativos, nas quantidades indicadas pelos valores absolutos do multiplicando, ou seja, para realizar a multiplicação -3 x 2, precisamos retirar 3 conjuntos de duas fichas. A questão é: de onde retiramos a quantidade indicada, se não tenho inicialmente nenhuma ficha? O que possibilitaria a realização da ação seria partir do “zero”, constituído por 6 fichas brancas e 6 cinzas. Retirados os três conjuntos com 2 fichas brancas teríamos como resultado 6 fichas cinza (-6). Na multiplicação -3 x (-4), começaríamos gerando o “zero” formado por 12 fichas brancas e 12 fichas cinza e, depois de tirar 3 conjuntos de 4 fichas cinza, restariam 12 fichas brancas (12). Em ambos os casos, partimos da ideia de geração de “zeros”. Assim, a multiplicação onde o multiplicador é negativo, deve partir da geração de zeros envolvendo tantas fichas quanto necessário para a retirada que se deseja fazer. Como no caso da adição e subtração, faz-se necessária a promoção da análise dos procedimentos e dos resultados obtidos e sua generalização pelos alunos.

Ampliando seu Conhecimento A DIVISÃO DE INTEIROS A divisão de números inteiros em geral não resulta em um número inteiro mas a representação com as fichas pode ser feita para a maior parte dos casos. Na divisão de dois números positivos ou de um número negativo por um positivo, o modelo adotado é o partitivo e não gera dificuldades de compreensão. Por exemplo a divisão de 8 fichas brancas em duas partes iguais resulta em dois grupos de 4 fichas brancas (isto é, 8 : 2 = 4). Se dividimos 12 fichas cinza em três partes iguais, obtemos três grupos de fichas cinza, com 4 fichas cada (ou seja, -12 : 3 = -4). Se dividimos dois números negativos podemos adotar o modelo quotativo, ou seja, verificamos quantas vezes o divisor está contido no dividendo. Assim, -8 dividido por -2 é igual a 4 porque -2 está contido 4 vezes no -8. Porém, não há uma justificativa plausível para a representação usando as fichas coloridas para o caso de termos uma divisão de um número positivo por um negativo. 3.3 Abordagens tradicionais Duas abordagens relativamente comuns em livros do Ensino Fundamental que abordam números inteiros, compreendem (i) uma tentativa de “contextualização” das operações e (ii) o destaque de regras gerais de manipulação de números inteiros, enunciadas e seguidas de inúmeros exemplos numéricos. As operações de adição, subtração e multiplicação, no primeiro caso, são apresentadas através de situações envolvendo elementos do cotidiano (créditos, débitos, temperaturas, etc.). No caso das operações de adição e subtração os elementos são razoavelmente bem assimilados, mas, no caso da multiplicação, a complexidade implica em problemas de compreensão e a divisão segue como operação inversa da divisão, sem apelo a contextos do cotidiano ou internos à própria Matemática. Algumas associações, como a estabelecida entre números positivos e saldos e entre números negativos e dívidas pode facilitar a compreensão do resultado de algumas operações entre esses números, mas pode confundir na hora em que o aluno precisar estabelecer uma compreensão entre eles. Por exemplo, o que é maior, uma dívida de 5 reais (que, no caso, seria representada por -5) ou uma dívida de 10 reais (no caso, representada por -10)? A necessidade de mudança da(s) ideia(s) que serve(m) de base para a construção

DICA 1: No endereço eletrônico indicado abaixo, você encontra um artigo sobre o uso dessa abordagem, com um interessante modelo de fichas coloridas para serem produzidas para o trabalho com os números inteiros em sala de aula. http://educar.sc.usp.br/experimentoteca/matematica/matematica_fundamental/1f_numeros_inteiros_p.pdf DICA 2: A dissertação de Mestrado intitulada “A multiplicação de números inteiros relativos no “ábaco dos inteiros”: uma investigação com alunos do 7° ano de escolaridade”, acessível no endereço eletrônico indicado abaixo, você pode encontrar uma discussão teórica aprofundada sobre o tema. http://repositorium.sdum.uminho.pt/bitstream/1822/3496/1/Tese.pdf

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de um conceito, em geral implica em dificuldades de aprendizagem e na necessidade de cuidados especiais por parte de quem ensina. No segundo caso, a aplicação de regras que devem ser memorizadas pelo aluno como, por exemplo: “o produto de dois números de mesmo sinal resulta em um número positivo, correspondente ao produto de seus módulos”, não possibilita a atribuição de significados às operações ou a construção de modelos mentais que facilitem a realização dos cálculos e a compreensão do conteúdo. Como a quantidade de informações a serem memorizadas é grande, o aluno usa as regras com relativa eficácia em um tempo imediato, mas em pouco tempo passa a confundir as relações entre os números nas diversas operações, afirmando coisas somo, “3 – 8 é -11 porque 3 e 8 é 11, e mais com menos é menos” . 3. Sugestões de jogos para o trabalho com números inteiros

1) ADIÇÃO DE INTEIROS I (RÊGO e RÊGO, 2004) Material: tabuleiro 8x8 e 66 fichas preenchidas do seguinte modo: 5 fichas de cada um dos seguintes números: 0, 1, 2, 3 e 4; 4 fichas de cada um dos seguintes números: 5, 6, 7 e 8; 3 fichas de cada um dos seguintes números: -1, -2, -3, -4, -5; 2 fichas de cada um dos seguintes números: 9 e –10; 2 fichas com o número 10; 1 ficha com o número 15; 1 ficha com um asterisco (ou qualquer outro símbolo, que a distinga das fichas numeradas) 1 ficha com a letra H e outra com a letra V. Procedimento: antes de iniciar o jogo, separar as duas fichas com letras, misturar as outras e distribuí-las no tabuleiro (todas as casas ficam preenchidas). As fichas com letras são sorteadas, uma para cada participante, indicando, para toda a partida, quem jogará nas linhas horizontais (H) e quem jogará nas linhas verticais (V). O primeiro a jogar escolhe na linha (horizontal ou vertical, dependendo se o mesmo tem a ficha H ou a ficha V, respectivamente) em que está o asterisco, um número qualquer, retira o número para si e coloca o asterisco no lugar da ficha retirada. Passa a vez para a outra pessoa, que joga do mesmo modo, até que não seja possível realizar mais nenhuma jogada. No final do jogo os dois participantes somam seus pontos, ganhando quem obtiver a pontuação mais alta. Variantes: I) Pode-se jogar ganhando quem fizer menos pontos; II) Dependendo do nível dos jogadores, pode-se ainda optar por utilizar: a) tabuleiros menores (5x5 ou 6x6, por exemplo) ou b) fichas com operações, do tipo: -3 x 4; - 5 - 2; -7 + 3, etc. (os participantes precisariam realizar as diversas operações para poder comparar os resultados e efetuar sua escolha). Como em qualquer jogo utilizado com fim educativo, é importante não perder de vista a intencionalidade de formação do aluno, identificando os objetivos educacionais que se pretende alcançar com o jogo e, sempre que possível, explorando suas potencialidades associando-os a outras metodologias de ensino (como a resolução de problemas) e promovendo o registro das observações e conclusões pelos alunos. No caso do jogo acima sugerido, é importante que o professor observe as estratégias que o aluno utiliza ao jogar e ao realizar a contagem final de pontos, observando a compreensão do aluno quanto aos conceitos envolvidos no jogo. 2) ADIÇÃO DE INTEIROS II (RÊGO e RÊGO, 2004) Material: fita numerada de -12 a 12 (Figura abaixo); um marcador para cada participante e roleta dividida em nove partes iguais e numeradas de –4 a 4, incluindo-se o zero (ou de –6 a 6, incluindo o zero). Procedimento: no início do jogo são colocados os dois marcadores sobre o número zero. Cada participante, em sua jogada gira a roleta: se o número sorteado for positivo, deve-se mover o marcador para a direita; se for negativo, para a esquerda, a partir da posição em que se encontrava na última jogada (o valor é somado ao número em que o marcador se encontra). Por exemplo, o marcador se encontra na casa de número –5 e foi sorteado o número 6, o marcador irá para a casa de número 1. Se o número sorteado fosse –3, o marcador iria para a casa de número –8. Se a operação escolhida pelos jogadores for a subtração de inteiros, as direções serão invertidas, isto é, se o número sorteado na roleta for positivo o marcador se desloca para a esquerda e, se negativo, o marcador é deslocado para a direita. Por exemplo, o marcador se encontra na casa de número –5 e foi sorteado o número 6, o marcador irá para a casa de número -11. Se o número sorteado fosse –3, o marcador iria para a casa de número –2. Objetivo do jogo: ganha o jogo quem conseguir sair primeiro por uma das extremidades da fita numerada.

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

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Observação: se usado para introduzir a adição ou subtração de inteiros, é essencial que sejam feitos registros do valor inicial, o valor sorteado e a posição final de cada marcador, após cada jogada, em uma tabela. Analisando os resultados o aluno poderá chegar às regras gerais dessas operações. As operações de adição e subtração de inteiros poderão, deste modo, ser interpretadas como deslocamentos sobre a reta real, um dos possíveis modelos para elas.

Dialogando e Construindo Conhecimento 4. Avaliando o que foi construído

No artigo intitulado “UM ESTUDO SOBRE A PRODUÇÃO DE SIGNIFICADOS PARA

NÚMEROS RELATIVOS”, de Viviane Cristina Almada de Oliveira e Ana Clara Santos Araújo, as autoras apresentam o resultado de avaliações que fizeram de livros-texto de Matemática e um estudo-de-caso, relativo ao tema. Selecione um livro do 7º ano do Ensino Fundamental e analise a forma de apresentação das operações com números inteiros adotada pelo(s) autor(es), considerando a pertinência da abordagem metodológica por ele escolhida e discutindo suas vantagens e possíveis problemas para a aprendizagem.

5. Referências

RÊGO, Rogéria; RÊGO, Rômulo. Matematicativa II. João Pessoa: EDUFPB, 2004.

DICA: quando se trata do uso de jogos em sala de aula, não podemos perder de vista a necessidade de um planejamento que nos permita ter claros os objetivos didáticos de sua utilização, evitando-se o uso do jogo pelo jogo.