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Professora Geraldine Página 1

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Disciplina: Cálculo I Professora: Geraldine Silveira Lima http://matematica-no-mundo.webnode.com

LISTA 3

Equações Diferenciais, R.Kent Nagle

Capítulo 4.2

Nos problemas ache uma solução para a

equação diferencial dada:

1. " 6 ' 9 0y y y

2. 2 " 7 ' 4 0y y y

3. " ' 2 0y y y

4. " 5 ' 6 0y y y

11. 4 " 20 ' 25 0w w w

1. 3 31 2

t tc e c te

3. 21 2

t tc e c e

11. 5 5

2 21 2

t t

c e c te

Nos problemas resolva o problema de

valor inicial dado:

13. " 2 ' 8 0; (0) 3, '(0) 12y y y y y

14. " ' 0; (0) 2, '(0) 1y y y y

15. " 4 ' 5 0; ( 1) 3, '( 1) 9y y y y y

16. " 4 ' 3 0; (0) 1, '(0) 1/ 3y y y y y

17. " 2 ' 2 0; (0) 0, '(0) 3z z z z z

13. 43 te

15. 5( 1) ( 1)2 t te e

17. 1 3 1 33

2

t te e

26. Problemas de valor de fronteira.

Quando os valores de uma solução para

uma equação diferencial são especificados

em dois pontos diferentes, essas condições

são chamadas de Condições de fronteira.

(Ao contrário, as condições iniciais

especificam os valores de uma função e

sua derivada no mesmo ponto). A

finalidade deste exercício é mostrar que,

para problemas de valor de fronteira, não

há teorema de existência-unicidade que

seja semelhante ao Teorema 1. Dado que

cada solução para

( ) " 0I y y

tem a forma 1 2( ) cosy t c t c sent ,

onde C1 e C2 são constantes arbitrárias,

mostre que

a) Existe uma solução única para (I) que

satisfaz as condições de limite y(0)

=2 e ( / 2) 0y ;

b) Não existe uma única solução para

(I) que satisfaz as condições y(0)=2

e ( ) 0y

c) Existem infinitamente muitas

soluções para (I) que satisfazem

y(0)=2 e ( ) 2y .

35. Para cada uma das seguintes funções,

determine se as três funções dadas são LD

ou LI em ( , ) .

a) 21 2 3( ) 1; ( ) ; ( ) .y t y t t y t t

b) 2 21 2 3( ) 3; ( ) 5 ; ( ) cos .y t y t sen t y t t

43. Resolva o problema de valor inicial:

"' ' 0;

(0) 2, '(0) 3 "(0) 1

y y

y y e y

44. Resolva o problema de valor inicial:

"' 2 " ' 2 0;

(0) 2, '(0) 3 "(0) 5

y y y y

y y e y

Capítulo 4.3

Nos problemas abaixo, a equação auxiliar

determina raízes complexas. Ache a

solução geral.

1. " 0y y

2. " 9 0y y

3. " 10 ' 26 0y y y

4. " 6 ' 10 0z z z

5. " 4 ' 7 0y y y

solu

ções


Capítulo 4.4 – pg136

Soluções:


Nos problemas

Nos problemas 15 a 22, determine se o conjunto de funções dado é LI no intervalo . 2 2

1 2 315. ( ) , ( ) , ( ) 4 3f x x f x x f x x x

1 2 316. ( ) 0, ( ) , ( ) xf x f x x f x e

2 2

1 2 317. ( ) 5, ( ) cos , ( )f x f x x f x sen x

2

1 2 318. ( ) cos 2 , ( ) 1, ( ) cosf x x f x f x x

1 2 319. ( ) , ( ) 1, ( ) 3f x x f x x f x x

1 220. ( ) 2 , ( ) 2f x x f x x

Nos problemas 23 a 30, verifique se as funções dadas formam u conjunto fundamental de

soluções da equação diferencial no intervalo indicado. Construa a solução geral.

3 423. y'' ' 12 0; , ( , )x xy y e e em

24. y'' 4 ' 0; cosh 2 , 2 ( , )y x senh x em

25. y'' 2 ' 5 0; cos 2 , 2 ( , )x xy y e x e sen x em

2 226. 4y'' 4 ' 0; , ( , )

x x

y y e xe em

2 3 427. '' 6 ' 12 0; , (0, )x y xy y x x em

228. x y''+x ´ 0; cos(ln ), (ln ) ( , )y y x sen x em

3 2 2 229. x y'''+6x '' 4 ' 4 0; , , ln (0, )y xy y x x x x em

(4)30. y + '' 0; 1, cos , ( , )y x x senx em

Exercícios Dennis Zill – pg 172

Nos problemas de 1 a 12, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial.

Suponha um intervalo apropriado.


Nos problemas de 1 a 16, a função indicada y1(x) é uma solução da equação diferencial dada.

Encontre uma segunda solução para as seguintes equações:

111. xy" +y' =0; y = lnx

12 2

112. 2x y" +y =0; y = lnxx

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