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DIMENSIONAMENTO DE LAJES MISTAS EXECUTADAS

COM CHAPAS PERFILADAS DA MARCA COLABORANTE

Documento de apoio ao projectista

Documento solicitado por:

COLABORANTE – Perfilagem de Chapa, Lda.

Julho / 2006

Rua Dr. Roberto Frias – 4200-465 PORTO – NIPC 600 027 716 – Tel. (+351) 225 081 814 – Fax (+351) 225 081 835 – http://www.fe.up.pt/~labest




Julho / 2006



Autores:

Prof. Joaquim Figueiras

Prof. Rui Faria

Eng. José Santos

FEUP / LABEST ― Julho / 2006 Documento de apoio ao projectista i

DIMENSIONAMENTO DE LAJES MISTAS EXECUTADAS COM CHAPAS

PERFILADAS DA MARCA COLABORANTE


SUMÁRIO

Este relatório resulta do contrato celebrado entre o LABEST – Laboratório do Betão Estrutural

e a COLABORANTE – Perfilagem de Chapa, Lda., e apresenta o resultado da Fase 2 do Plano de

Trabalhos correspondente à realização de um documento de apoio ao projectista.

O documento começa com uma breve introdução alusiva às potencialidades das lajes mistas. O

corpo principal do relatório é composto por várias secções, sendo de destacar: i) as disposições

construtivas; ii) as indicações complementares; iii) a caracterização mecânica dos materiais e a

caracterização das lajes mistas; iv) a verificação da segurança do ponto de vista regulamentar; v) as

tabelas para dimensionamento e vi) dois exemplos de dimensionamento.

Com este documento o projectista terá toda a informação necessária para o projecto de lajes

mistas com o perfil PC65 da marca COLABORANTE.

FEUP / LABEST ― Julho / 2006 Documento de apoio ao projectista ii

FEUP / LABEST ― Julho / 2006 Documento de apoio ao projectista iii

ÍNDICE

1. Introdução ................................................................................................ 1

1.1 Concepção de lajes mistas .....................................................................1

1.2 Campo de aplicação ............................................................................1

1.3 Outras aplicações .............................................................................. 1

2. Disposições construtivas ................................................................................ 3

3. Indicações complementares ........................................................................... 7

3.1 Aumento da resistência de corte longitudinal ............................................. 7

3.2 Protecção ao fogo .............................................................................. 8

3.3 Isolamento acústico ............................................................................ 8

4. Características mecânicas e geométricas das chapas, do betão e da secção mista ........ 11

4.1 Características mecânicas .................................................................. 11

4.2 Características geométricas ................................................................ 12

5. Elementos de cálculo ................................................................................. 17

5.1 Fase mista ..................................................................................... 17

5.2 Fase de cofragem ............................................................................ 24

6. Tabelas de dimensionamento ....................................................................... 25

6.1 Pressupostos .................................................................................. 25

6.2 Tabelas ......................................................................................... 26

7. Exemplo de dimensionamento ...................................................................... 29

7.1 Exemplo 1: Laje simplesmente apoiada .................................................. 29

7.2 Exemplo 2: Laje contínua ................................................................... 40

8. Conclusões .............................................................................................. 51

9. Referências ............................................................................................. 53

FEUP / LABEST ― Julho / 2006 Documento de apoio ao projectista iv

FEUP / LABEST ― Julho / 2006 Documento de apoio ao projectista 1

1. INTRODUÇÃO

1.1 Concepção de lajes mistas

Uma laje mista é o resultado da associação de uma chapa de aço, a que é sobreposta uma

camada de betão. Na fase inicial do processo construtivo a chapa funciona como uma cofragem para

colocação do betão, e após o endurecimento deste último intervêm como uma armadura de tracção

para momentos positivos. Assim, para resistir a momentos flectores positivos o betão funciona à

compressão e o aço da chapa à tracção, garantido o conjunto um binário de forças resistente. A

principal diferença para o betão armado consiste na aderência entre os dois materiais, que no caso

de lajes mistas necessita de uma verificação e atenção específicas. A chapa perfilada PC65 da

COLABORANTE apresenta características apropriadas para que em obra a respectiva ligação ao betão

seja adequada.

1.2 Campo de aplicação

As lajes mistas aço-betão com chapa perfilada apresentam diversas vantagens relativamente a

soluções tradicionais, na medida em que como as chapas de aço são mais leves do que as cofragens

convencionais, o respectivo manuseamento e colocação em obra são consideravelmente mais fácil e

rápida. Por outro lado, dado que a chapa perfilada além de armadura resistente é ela própria uma

cofragem autoportante deixa de ser necessária a fase da descofragem, e a utilização de

escoramentos é muito reduzida ou mesmo dispensada. Uma vez que as lajes são nervuradas existe

ainda uma redução do volume e peso de betão, por comparação com uma laje maciça da mesma

espessura.

Atendendo a estes aspectos a utilização de lajes mistas aço-betão proporciona uma assinalável

rapidez de montagem, assegurando economias significativas na construção em muitas situações

práticas. Esta solução construtiva tem aplicação em edifícios habitacionais, bem como em

superfícies comerciais, ou ainda em oficinas, indústrias e parques de estacionamento.

1.3 Outras aplicações

Para além do campo de aplicação das lajes mistas aço-betão, a chapa perfilada PC65 da

COLABORANTE pode ser usada sob diversas formas nas estruturas, contribuindo ou não para a sua

resistência. Uma das aplicações está relacionada com o respectivo funcionamento como mera

cofragem autoportante em lajes ou em vigas mistas. Um exemplo prático desta aplicação são as

lajes de tabuleiros de pontes.


2. Disposições construtivas

O Eurocódigo 4 – Parte 1.1 impõe alguns limites ao nível da secção de betão e ao nível das

condições de apoio da chapa perfilada para uma correcta utilização de uma laje mista aço-betão.

Espessuras mínimas:

Em relação à secção transversal são definidas as seguintes espessuras mínimas:

- para lajes sem funções de contraventamento ver Fig. 1.

80

40

Fig. 1 – Espessuras mínimas [mm] da secção transversal de uma laje sem funções de contraventamento.

- para lajes com funções de diafragma ver Fig. 2.

50

90

Fig. 2 – Espessuras mínimas [mm] da secção transversal de uma laje com funções de diafragma.

Condições de apoio:

Ao nível das condições de apoio de cada chapa perfilada são definidas as seguintes distâncias

mínimas:

- apoio em vigas de aço ou betão ver Fig. 3 e Fig. 4, respectivamente.

50505075

75

5050

a) Apoio extremo b) Apoio intermédio largo c) Apoio intermédio estreito

Fig. 3 – Distâncias mínimas [mm] de apoio da chapa em vigas metálicas.


50

7550

5075

5050


Fig. 4 – Distâncias mínimas [mm] de apoio da chapa em vigas de betão armado.

- para apoio em vigas de outros materiais ver na Fig. 5.

10070 70 70 70

70100


Fig. 5 – Distâncias mínimas [mm] de apoio da chapa para outros materiais.

Armaduras:

No betão são necessárias armaduras com diversas finalidades:

- É requerida uma armadura de distribuição para atender à retracção do betão e à distribuição de

cargas pontuais que deve ser colocada a 25 mm da superfície superior de betão (ver Fig. 6).

25

Fig. 6 – Armadura de distribuição.

- Podem existir ainda armaduras para garantir a continuidade e limitar a fendilhação sobre os apoios

intermédios (momentos flectores negativos). Para vãos não muito distintos a armadura de

continuidade deve ser prolongada para além do apoio de cerca de 1/3 do vão, e colocada a uma

profundidade de 25 mm como especificado na Fig. 7.


25

L2L1

0.3x(L1+L2)

Fig. 7 – Prolongamento da armadura de continuidade sobre os apoios intermédios para vãos aproximadamente iguais.

- A meio vão para um aumento de resistência aos momentos flectores positivos. Estas últimas podem

ainda ser necessárias para satisfazer o estado limite relativo à resistência ao fogo. Caso existam,

devem ser colocadas centradas nas respectivas nervuras e elevadas 30 mm em relação à chapa

perfilada (ver Fig. 8), podendo ser interrompidas na zona dos apoios.

30

Fig. 8 – Disposição da armadura adicional para momentos positivos.

Na Fig. 9 representam-se esquematicamente as três armaduras mencionadas.

ARMADURA ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO

ARMADURA NO APOIO

Fig. 9 – Disposição de todas as armaduras.


Fixações:

As chapas devem ser fixadas em todos os apoios definitivos. No mínimo, deve existir uma

fixação por cada duas nervuras de chapa perfilada (ver Fig. 10). Contudo fica ao critério do

projectista a definição deste parâmetro tendo em conta as cargas de construção previstas, e

essencialmente a acção do vento. No caso de apoio em vigas metálicas é corrente o uso de

conectores e de parafusos auto-roscantes para a execução destas fixações. Para apoio em vigas de

betão se estas foram executadas em estado prévio, também é corrente o uso de parafusos auto-

roscantes; caso a betonagem das vigas e das lajes mistas seja conjunta a chapa perfilada terá de ser

fixada à cofragem das vigas através de elementos removíveis após a betonagem, que não poderão

danificar a laje mista.

Fig. 10 – Fixação das chapas nos apoios (usando conectores soldados).

A Fig. 11 mostra a largura mínima de apoio de um escoramento provisório: 80 mm.

80

L/2L/2

Fig. 11 – Apoio das chapas em escoramentos provisórios.

Na fase de betonagem é necessário garantir que os extremos da laje sejam vedados para

evitar a fuga do betão e assegurar a possibilidade de uma correcta vibração do betão. É corrente o

uso de remates de chapa metálica adequados à geometria específica das chapas perfiladas, que a

COLABORANTE também se encontra em condições de fornecer.


3. INDICAÇÕES COMPLEMENTARES

3.1 Aumento da resistência de corte longitudinal

Com frequência em lajes mistas com mais de 2m de vão a carga que, para além do peso

próprio, pode ser aplicada à laje vem limitada pela resistência ao esforço de corte longitudinal

mobilizável na interface chapa-betão.

Esta limitação pode, no entanto, ser ultrapassada mediante a colocação de conectores tipo

perno com cabeça nas extremidades do vão, soldados através da chapa às vigas metálicas de apoio

(ver Fig. 12). Soluções recorrendo a outro tipo de conectores são também viáveis.

LS

VSd

FSd

dp

Fig. 12 – Conector tipo perno na extremidade.

No Subcapítulo 9.7.4 do EC4 – Parte 1.1 é exposto que os referidos conectores devem ser

dimensionados para uma força de corte igual à força instalada na chapa perfilada em estado limite

último.

A resistência ao corte de um conector tipo perno é determinada a partir do valor mínimo

estabelecido pelas seguintes três expressões:

- dypdoRdpb ftdkP ,, ⋅⋅⋅= ϕ (Expressão 9.10 do EC4 – Parte 1.1);

- tV

uRd k

dfP ⋅

⋅⋅⋅⋅

=γπ

48.0 2

(Expressão 6.18 do EC4 – Parte 1.1);

- tV

cmckRd k

EfdP ⋅

⋅⋅⋅⋅=

γα 229.0

(Expressão 6.19 do EC4 – Parte 1.1).

sendo:

- 0.61 ≤+=dodakϕ (Expressão 9.11 do EC4 – Parte 1.1)


-

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

≤<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

se ,

3 se

41

4,12.0

dh

dh

dh

ksc

scsc

ϕ (Expressões 6.20 e 6.21 do EC4 – Parte 1.1)

- ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅= 17.0

p

sc

p

o

rt h

hhb

nk (Expressão 6.23 do EC4 – Parte 1.1)

3.2 Protecção ao fogo

O EC4 – Parte 1.2 estabelece no Subcapítulo 2.1.2 os seguintes critérios de verificação num

fogo: E (integridade), I (isolamento) e R (resistência mecânica).

De acordo com o Subcapítulo 4.3.2 do EC4 – Parte 1.2, lajes mistas sem protecção especial ao

fogo e dimensionadas de acordo com o EC4 – Parte 1.1, como é o caso das lajes executadas com a

chapa perfilada PC 65 da COLABORANTE, apresentam resistência ao fogo de pelo menos 30 minutos

quando se usa o critério R.

No caso de se pretender adoptar lajes mistas com resistência ao fogo superior a 30 minutos

poder-se-á recorrer a uma ou mais das seguintes medidas:

- Colocação de armaduras adicionais dispostas longitudinalmente no interior das nervuras e

com a protecção oferecida pelo betão (Fig. 8);

- Adopção de protecções na face inferior da chapa perfilada através de:

- Tectos falsos adequados (por exemplo, com recurso a placas de gesso cartonado);

- Projecção de argamassa;

- Pintura com tinta intumescente.

3.3 Isolamento acústico

A avaliação do desempenho acústico foi efectuada recorrendo a modelos de simulação do

comportamento acústico de lajes em geral. Assim sendo os resultados obtidos não são mais do que

estimativas do desempenho acústico orientadoras da selecção e cálculo deste tipo de produtos.

Tanto o isolamento a sons de percussão como a absorção sonora são correntes para as

características de massa e revestimento apresentadas. Entendeu-se assim subdividir o

comportamento acústico segundo duas perspectivas:

- Solução simples (apenas a laje mista);

- Solução composta, em que além da laje mista é adoptada uma laje flutuante e/ou um tecto

falso complementares.


Solução simples

A redução sonora a Sons Aéreos é descrita pelo índice de redução sonoro a sons aéreos - Rw

(NP EN 20140-3:1998) de que se apresenta na Tabela 1 a estimativa de variação em função da

espessura total da laje.

Tabela 1 – Estimativa do índice de redução sonoro a sons aéreos - Rw.

H [cm] 12 14 16 18 20

Rw [dB] 45 48 50 52 53

Incerteza do modelo de cálculo

para intervalo de confiança de 95% ± 1.5 ± 1.7 ± 2.1 ± 2.5 ± 2.9

O isolamento sonoro a Sons de Percussão do sistema simples deve ser considerado apenas

como referencial pois para potenciar esta característica acústica deve-se recorrer a uma solução do

sistema composto. É descrito pelo índice de isolamento sonoro a sons de percussão - Lnw

(NP EN ISSO 140-6:2000), de que se apresenta na Tabela 2 a estimativa de variação em função da

espessura total da laje.

Tabela 2 – Estimativa do índice de isolamento sonoro a sons de percussão - Lnw.

H [cm] 12 14 16 18 20

Lnw [dB] 75 72 69 67 67

Incerteza do modelo para intervalo

de confiança de 95% ± 2.6 ± 1.9 ± 1.1 ± 0.9 ± 0.8

A Absorção Sonora do sistema simples - αSabine - retrata apenas as características das

superfícies de acabamento, ou seja superiormente o betão afagado e inferiormente a chapa lacada

rigidamente apoiada. Os valores apresentados na Tabela 3 foram adaptados de ensaios publicados, e

expressam a absorção sonora média das frequências centrais de banda de oitava de 500Hz, 1000Hz e

2000Hz - α Sabine media.

Tabela 3 – Absorção sonora -α Sabine.

Betão afagado Chapa lacada rigidamente apoiada

α Sabine media 0.05 0.03

Solução composta

A solução composta permite sob o ponto de vista acústico potenciar o comportamento deste

sistema, quer ao nível da redução sonora a sons aéreos e de percussão, quer ao nível da absorção

sonora. Os valores de incremento de desempenho acústico foram calculados com base em

especificações correntes, e destinam-se apenas a dar indicação do potencial de desempenho

acústico deste tipo de lajes mistas e soluções complementares.


Na Tabela 4 apresentam-se estimativas dos acréscimos da solução composta relativamente à

solução simples caracterizada nas tabelas anteriores.

Tabela 4 – Incremento de desempenho acústico.

Δ Rw [dB] Δ Lnw [dB] Δ αSabine media

Lajeta flutuante de betonilha armada com

fibra de vidro sobre elemento resiliente com

atravancamento total de 10cm.

5 18 0.40

(alcatifa)

Tecto falso à base de gesso cartonado com

caixa de ar não inferior a 15cm dotada de

manta fonoabsorvente.

8 9 0.70

(fibras projectadas)

Composição mista com base na laje e tecto

referidos aplicados em simultâneo. 10 22

0.40 (alcatifa)

0.70 (fibras projectadas)


4. Características mecânicas e geométricas das chapas, do betão e da secção

mista

4.1 Características mecânicas

Chapa PC65

- Fabrico: A folha de aço de carbono de qualidade estrutural é revestida por um banho quente

contínuo de zinco

- Norma: ................................................................................................... EN 10147

- Classe mínima: ......................................................................................... S280GD+Z

- Valor característico mínimo da tensão de cedência do aço da chapa : .............. fyb = fyp = 280 MPa

- Valor característico mínimo da tensão de rotura do aço da chapa: ........................ fu = 360 MPa

- Módulo de elasticidade do aço da chapa: ....................................................... E = 210 GPa

- Massa do revestimento de zinco: .................................................................... 275 g/m2

- Espessura do revestimento de zinco: .......................................................... 0.02 mm/face

- Coeficiente parcial de segurança para estados limites últimos: ................... γa = γm0 = γm1 = 1.00

Betão

- Classe mínima: ............................................................................................ C20/25

- Valor característico mínimo da tensão de rotura do betão à compressão aos 28 dias

de idade: ............................................................................................ fCK = 20 MPa

- Peso volúmico do betão armado: .................................................................... 25 kN/m3

- Peso volúmico do betão armado fresco: ............................................................ 26 kN/m3

- Coeficiente parcial de segurança para estados limites últimos: ................................ γC = 1.50

Aço em varão ou rede electrossoldada

- Classe: ......................................................................................................... A500

- Valor característico da tensão de cedência à tracção do aço das armaduras: .......... fyk = 500 MPa

- Coeficiente parcial de segurança para estados limites últimos: ................................. γS = 1.15


4.2 Características geométricas

Chapa PC65

A geometria de uma chapa perfilada PC65 está ilustrada na Fig. 13.

23 8

21596

655

565º

45

Fig. 13 – Geometria [mm] de uma unidade de chapa perfilada Colaborante PC 65.

Existem 4.65 nervuras/m (9.3 almas/m). Na Tabela 5 apresenta-se a espessura de cálculo e o

peso próprio desta chapa por unidade de área.

Tabela 5 - Peso próprio de cálculo da chapa perfilada Colaborante PC 65.

Chapa Espessura de cálculo [mm]

Peso próprio [kN/m2]

e = 0,8 mm 0.76 0.09

e = 1,0 mm 0.96 0.11

e – espessura comercial da chapa

Para a verificação aos estados limites em que a chapa perfilada intervém como elemento

estrutural sem a colaboração do betão – fase de cofragem – ou em funcionamento conjuntamente

com aquele material – fase mista - é fundamental conhecer as propriedades geométricas da

correspondente secção transversal. Como se ilustra na Secção 5, para cada verificação a realizar

será necessário considerar uma secção transversal de chapa diferente. Esta situação deve-se, por um

lado, à necessidade de considerar os fenómenos de instabilidade na fase de cofragem da chapa

(habitual em estruturas metálicas) e, por outro lado, à ausência de regras claras no EC4, sobre as

verificações em fase mista. Apresentam-se de seguida as propriedades geométricas a considerar em

cada uma das secções transversais. Por simplificação, nas Figuras 13 a 17, serão apenas exibidas

duas nervuras.

- Secção A: serve para verificar a resistência da chapa aos momentos flectores positivos de cálculo

em fase de cofragem, e para determinação da flecha em serviço em fase definitiva.

yG

Fig. 14 – Secção transversal A.


Tabela 6 – Propriedades geométricas da Secção transversal A.

yG – Posição do eixo neutro da secção transversal da chapa;

IP – Momento de inércia da secção transversal da chapa por metro de largura;

Wp – Módulo de flexão da secção transversal da chapa por metro de largura.

- Secção B: serve para verificar a resistência da chapa a momentos flectores negativos de cálculo em

fase de cofragem.

yG

Fig. 15 – Secção transversal B.

Tabela 7 - Propriedades geométricas da Secção transversal B.

- Secção C: serve para verificar a resistência da chapa ao esforço transverso de cálculo na fase de

cofragem, os momentos flectores positivos de cálculo em fase mista e a flecha de serviço na fase

mista.

yG

Fig. 16 – Secção transversal C.

Tabela 8 - Propriedades geométricas da Secção transversal C.

AP – Área da secção transversal da chapa por metro de largura.

Chapa yG [cm] Ip [cm4/m] Wp [cm3/m]

e = 0,8 mm 3.32 49 15

e = 1,0 mm 3.50 65 19

Chapa yG [cm] Ip [cm4/m] Wp [cm3/m]

e = 0,8 mm 4.52 56 12

e = 1,0 mm 4.40 76 17

Chapa yG [cm] Ap [cm2/m] Ip [cm4/m]

e = 0,8 mm 4.24 7.44 64

e = 1,0 mm 4.25 9.40 81


- Secção D: serve para verificar a resistência ao esforço transverso de cálculo em fase mista.

yG

Fig. 17 – Secção transversal D.

Tabela 9 - Propriedades geométricas da Secção transversal D.

ASl = AP – Área da secção transversal da chapa;

bw – somatório das larguras das nervuras ao nível do centro de gravidade por metro de largura.

- Secção E: serve para verificar a resistência ao esforço de corte longitudinal de cálculo em fase

mista.

yG

Fig. 18 – Secção transversal E.

Tabela 10 - Propriedades geométricas da Secção transversal E.

Laje mista com chapa PC65

Peso próprio (G) das lajes mistas em função da respectiva espessura total (H):

Tabela 11 – Peso próprio das lajes.

Chapa yG [cm] Asl [cm2/m] bw [cm/m]

e = 0,8 mm 2.86 4.06 36.4

e = 1,0 mm 2.86 5.14 36.4

Chapa yG [cm] Ap [cm2/m]

e = 0,8 mm 3.85 10.52

e = 1,0 mm 3.86 13.30

H [cm] 12 14 16 18 20

G [kN/m2] 2.1 2.6 3.1 3.6 4.1


Área da lajeta de betão acima das nervuras (Act) em função da espessura total (H) da laje

mista:

Tabela 12 – Área de lajeta.

Parâmetros m e k para a verificação da resistência de cálculo ao esforço de corte longitudinal

em função da chapa (conforme o Relatório dos Ensaios Experimentais):

Tabela 13 – Parâmetros m e k.

Inércia das lajes mistas considerando para o betão uma secção não fissurada [cm4/m]

(homogeneização em aço):

Tabela 14 – Inércia não fissurada.

H [cm]

e [mm]

12 14 16 18 20

xu [cm] 4.98 5.89 6.83 7.79 8.76

Icu [cm4/m] 0.8

730 1152 1731 2496 3475

xu [cm] 5.06 5.99 6.93 7.90 8.87

Icu [cm4/m] 1.0

761 1197 1794 2581 3585

xu – profundidade do eixo neutro

Valores obtidos com um coeficiente de homogeneização médio n = Ea / Ec = 14,

sendo Ea o módulo de elasticidade do aço da chapa e Ec o módulo de elasticidade do betão.

Inércia das lajes mistas considerando para o betão uma secção fissurada [cm4/m]

(homogeneização em aço):

Tabela 15 – Inércia fissurada.

H [cm]

e [mm]

12 14 16 18 20

xc [cm] 3.11 3.59 4.02 4.41 4.78

Icc [cm4/m] 0.8

296 457 664 919 1221

xc [cm] 3.39 3.92 4.40 4.84 5.26

Icc [cm4/m] 1.0

352 544 792 1097 1462

xc – profundidade do eixo neutro

Valores obtidos com n = Ea / Ec = 14.

H [cm] 12 14 16 18 20

Act [cm2] 550 750 950 1150 1350

Chapa m [N/mm2] k [N/mm2]

e = 0,8 mm 87.46 0.1047

e = 1,0 mm 147.40 0.0551


5. ELEMENTOS DE CÁLCULO

Apesar da maioria dos aspectos referidos nesta Secção estarem descritos no Eurocódigo 4,

procedeu-se a uma particularização das verificações a realizar ao caso da chapa perfilada PC65, pelo

que o conteúdo aqui expresso deve ser entendido exclusivamente no contexto deste perfil.

O Capítulo 9.3 do EC4 – Parte 1.1 refere as seguintes situações a serem consideradas para o

dimensionamento de uma laje mista:

- quando a laje funciona em fase mista.

- quando a chapa perfilada funciona em fase de cofragem;

5.1 Fase mista

A verificação da segurança de uma laje em fase mista integra o controlo dos seguintes estados

limites:

- Estados Limites de Serviço: fendilhação do betão e flecha da laje;

- Estados Limites Últimos: a segurança ao momento flector positivo, ao momento flector

negativo, ao esforço transverso, ao esforço de corte longitudinal e ao punçoamento.

O Subcapítulo 9.3.3 do EC4 - Parte 1.1, referente às acções, reencaminha o projectista para o

EC1 – Parte 1.1. As acções a considerar são, em geral: os pesos próprios da laje, das paredes

divisórias, dos revestimentos, e de outras cargas permanentes bem como as sobrecargas e outras

acções variáveis.

5.1.1 Estados Limites de Serviço

Os estados limites de serviço referentes ao controlo da fendilhação de betão e da flecha da

laje estão regulamentados no Capítulo 9.8 do EC4 - Parte 1.1. O Subcapítulo 9.4.2 do EC4 – Parte 1.1

sugere a adopção de uma análise linear elástica para a determinação dos esforços referentes aos

estados limites de serviço.

5.1.1.1 Fendilhação do betão

A fendilhação do betão devida aos momentos flectores negativos está regulamentada no

Subcapítulo 9.8.1 do EC4 – Parte 1.1, que por sua vez reencaminha o projectista para o Capítulo 7.3

do EC2 – Parte 1.1 que fornece as seguintes opções: determinação de uma armadura mínima sem

cálculo directo, ou cálculo da largura de fendas no betão para verificar se esta excede ou não o

limite pré-estabelecido.


Como se verá na Secção 4.2.2 do presente documento existe a possibilidade de o projectista

dimensionar uma laje mista contínua como uma série de lajes simplesmente apoiadas. Nesse caso o

Subcapítulo 9.8.1 do EC4 – Parte 1.1 impõe uma quantidade mínima de armadura, que corresponde a

0.4% ou 0.2% da secção consoante se disponha ou não de escoramento durante o processo

construtivo.

Para atender à retracção do betão e à distribuição de cargas pontuais deve ser usada na face

superior da laje uma armadura mínima de 0.1% da secção em ambas as direcções, com um mínimo

de 0.80 cm2/m, por direcção (Subcapítulo 9.2.1 do EC4 - Parte 1.1).

As percentagens referem-se à área de betão acima das nervuras (lajeta). As armaduras e/ou

redes electrossoldadas a colocar serão da classe A500, posicionadas a 25 mm da superfície de betão.

5.1.1.2 Flecha

Esta verificação está regulamentada no Subcapítulo 9.8.2 do EC4 – Parte 1.1, que indica que o

projectista tem duas possibilidades de controlar a flecha da laje em fase mista:

a) por via indirecta, recorrendo à razão vão / altura útil (l/d) cujos valores limite estão

definidos na tabela 7.4N do Subcapítulo 7.4.2 do EC2 – Parte 1.1 (considerar betão

levemente solicitado, isto é, com ρ=0.5%). Posteriormente recomenda-se que o projectista

corrija o valor obtido na tabela com a relação de tensões expressa pela razão: 310/σS

(expressão 7.17), sendo σS a tensão na chapa ao nível do correspondente centro de

gravidade da secção transversal, calculada para a combinação rara e considerando para a

secção de betão a inércia fissurada. A secção transversal a usar para a chapa PC65 é a

Secção transversal A, uma vez que é a que corresponde aproximadamente a um ρ=0.5% na

maioria das lajes;

b) por via directa, calculando a flecha. Para o momento de inércia da secção de betão pode

tomar-se a média dos valores da secção não fissurada e da secção fissurada. Para o

coeficiente de homogeneização (n=Ea/Ec) adopta-se a média dos valores a curto prazo e a

longo prazo. O EC4 – Parte 1.1 não estabelece limites máximos para as flechas, devendo o

projectista impor limites adequados ou basear-se no EC2 ou no EC3.

5.1.2 Estados Limites Últimos

Estes estados limites estão regulamentados no Capítulo 9.7 do EC4 - Parte 1.1. O Subcapítulo

9.4.2 do EC4 – Parte 1.1 permite a utilização dos seguintes métodos de análise para os estados

limites últimos:

- análise linear elástica;

- análise rígido-plástica global, desde que a secção tenha adequada ductilidade;

- análise elasto-plástica, tendo em conta o comportamento não linear do material.


Dadas as propriedades muito próprias destas lajes o EC4 permite ainda:

- redistribuir os momentos negativos nos apoios até 30%, aumentando os respectivos

momentos positivos nos vãos adjacentes, desde que os efeitos da fendilhação do betão não

tenham sido tidos em conta na determinação dos esforços de cálculo;

- usar análise plástica sem verificar a capacidade de rotação se o vão for inferior a 3 m e o aço

utilizado seja da classe C (EC2 – Parte 1.1);

- dimensionar uma laje contínua como uma série de lajes simplesmente apoiadas, desde que

se coloque sobre os apoios intermédios uma armadura mínima (ver 4.2.1.1).

A combinação de acções a utilizar é:

pSd = γG · G + γQ · Q

sendo:

- pSd a carga para verificação ao estado limite último em fase mista;

- γG = 1.35 o factor de segurança parcial relativo às acções permanentes;

- γQ = 1.50 o factor de segurança parcial relativo às acções variáveis;

- G o valor característico das acções permanentes;

- Q o valor característico das acções variáveis.

5.1.2.1 Momento flector positivo

O Subcapítulo 9.7.2 do EC4 – Parte 1.1 aborda a determinação de capacidade resistente à

flexão, sendo que para momentos flectores positivos e para a chapa PC65 se aplica o seguinte

procedimento, baseado na Fig. 19:

1. Determinação da profundidade do eixo neutro plástico (xpl):

bf

fA

x

c

ck

a

ypp

pl⋅⋅

⋅=

γ

γ

85.0

2. Determinação do momento flector resistente (Mp,Rd):

( )plpa

yppRdp xd

fAM 5.0, −⋅⋅=

γ


sendo:

- Ap a área da chapa perfilada (Secção transversal C);

- fyp a resistência à tracção da chapa;

- γa o coeficiente de segurança da chapa;

- fck o valor da resistência característica do betão;

- γc o coeficiente parcial de segurança relativo ao betão;

- b a largura de laje em análise (normalmente 1 m);

- dp a profundidade do centro de gravidade da chapa.

A Secção transversal a utilizar é a C pois corresponde à secção bruta retirando as bossas.

1 – eixo que passa pelo centro de gravidade da chapa

Fig. 19 – Distribuição de tensões para momentos positivos para o perfil PC65.

5.1.2.2 Momento flector negativo

No Subcapítulo 9.7.2 do EC4 – Parte 1.1 é referida a determinação da resistência da laje mista

aos momentos flectores negativos, desprezando para tal a contribuição da chapa perfilada. O

procedimento a utilizar, baseado na Fig. 20, é o seguinte:

1. Determinação da profundidade do eixo neutro plástico (xpl):

cc

ck

s

sks

plb

f

fA

x⋅⋅

⋅=

γ

γ

85.0

2. Determinação do momento flector resistente (Mp,Rd):

( )plss

sksRdp xd

fAM 5.0, −⋅⋅=

γ

sendo:

- As a área da armadura;

- fsk a resistência característica à tracção da armadura;

- γs o coeficiente parcial de segurança relativo ao aço das armaduras;

- fck a resistência à compressão característica do betão;

- γc o coeficiente de segurança do betão;

- bc = 25.6cm/m a largura das nervuras formadas a partir de um perfil PC65;

- ds a altura útil da armadura.


Fig. 20 – Distribuição de tensões para momentos positivos para o perfil PC65.

5.1.2.3 Esforço transverso

O Subcapítulo 9.7.5 do EC4 – Parte 1.1 remete para o Subcapítulo 6.2.2 do EC2 – Parte 1.1 a

determinação da capacidade resistente da laje mista ao esforço transverso, cuja expressão para

elementos sem armaduras de corte é:

( ) dbvdbfkCV wwcklcRdcRd ⋅⋅≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅= min31

,, 100 ρ

onde:

- c

cRdCγ18.0

, = é uma tensão de referência [MPa];

- γc: coeficiente parcial de segurança do betão;

- 0.22001 ≤+=d

k ;

- d é a altura útil da chapa de aço [mm] (Secção transversal D, pois é a que corresponde à

armadura que contribui para a resistência ao esforço transverso);

- 02.0≤⋅

=db

A

w

sllρ ;

- Asl é armadura na zona traccionada;

- bw = 364 mm /m é a largura da nervura ao nível do centro das bossas num perfil PC65 [mm]

(Secção transversal D);

- fck: resistência característica do betão à compressão [MPa];

- 21

23

min 035.0 ckfkv ⋅⋅= .

Esta fórmula para determinação do esforço transverso resistente não foi concebida para este

tipo de lajes, em que a armadura é muito distribuída e pouco aderente. Deve o projectista

considerar apenas a parte da secção transversal que resiste ao esforço transverso. Recomenda-se o

uso da Secção transversal D na presença de momentos flectores positivos. Sobre apoios intermédios

(momentos flectores negativos) deve usar-se a armadura de continuidade.


5.1.2.4 Esforço de corte longitudinal

O Subcapítulo 9.7.3 do EC4 – Parte 1.1 apresenta dois métodos de cálculo para a verificação

da resistência ao esforço de corte longitudinal de uma laje mista: o método m-k e o método da

conexão parcial. De acordo com os dados disponíveis apenas será usado o método m-k. A respectiva

fórmula é:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅

⋅⋅= k

LbAmdb

VS

p

VS

pRdl γ,

onde:

- Vl,Rd é o esforço de corte longitudinal resistente [N];

- b é a largura em análise (usualmente 1m) [mm];

- dp é a distância do centro de gravidade da chapa à superfície superior de betão [mm];

- γVS = 1.25 é o coeficiente de segurança da conexão;

- Ap é a área efectiva da Secção transversal A da chapa [mm2];

- m e k são os parâmetros do método obtidos dos ensaios experimentais para o tipo de laje em

estudo [N/mm2].

- LS é o vão de corte [mm];

Segundo o EC4 LS deve ser tomado como:

- L/4 para cargas uniformemente distribuídas e lajes simplesmente apoiadas. Refere ainda o

EC4 que para lajes contínuas pode ser usado um vão L’ isostaticamente equivalente; assim

para vãos internos L’ = 0.8 L e para vãos externos L’ = 0.9 L;

- a distância entre a carga e o apoio para cargas concentradas dispostas simetricamente;

- para outros carregamentos deve ser baseado em ensaios, ou tomado como o cociente entre o

momento máximo e o esforço transverso máximo.

A secção transversal a utilizar é a Secção transversal E, dado que os parâmetros m e k foram

obtidos dos ensaios usando as propriedades mecânicas da secção transversal bruta.

5.1.2.5 Punçoamento

O Subcapítulo 9.7.6 do EC4 – Parte 1.1 remete para o Subcapítulo 6.4.4 do EC2 – Parte 1.1 a

determinação da capacidade resistente ao punçoamento de uma laje mista, sendo então:

( ) min31

,, 100 vfkCv cklcRdcRd ≥⋅⋅⋅⋅= ρ

cujos diferentes parâmetros e símbolos já foram descritos na Secção 5.2.2.3.


O valor da tensão de corte actuante de cálculo vEd é:

duV

vi

EdEd ⋅

⋅= β

sendo:

- β um parâmetro que tem em conta a excentricidade da carga (consultar Subcapítulo 6.4.4 do

EC2 – Parte 1.1).

- VEd o esforço de corte actuante de cálculo no perímetro crítico considerado;

- ui o perímetro de controlo;

- d a altura útil.

O perímetro crítico é definido no Subcapítulo 9.7.6 do EC4 – Parte 1.1, tal como ilustrado na

Fig. 21.

Secção A-A

Fig. 21 – Definição do perímetro critico para o punçoamento.


5.2 Fase de cofragem

A verificação da segurança de uma chapa perfilada em fase de cofragem enquadra-se no

âmbito do Eurocódigo 3 referente a estruturas metálicas. Assim é necessário controlar:

5.2.1 Estado Limite de Serviço

Isto é, a flecha (Capítulo 9.6 do EC4 - Parte 1.1);

5.2.2 Estados Limites Últimos

Isto é, a segurança envolvendo:

- momentos flectores positivos e negativos (Subcapítulo 6.1.4.1 do EC3 - Parte 1.3);

- esforço transverso (Subcapítulo 6.1.5 do EC3 - Parte 1.3);

- forças transversais locais (Subcapítulo 6.1.7.3 do EC3 - Parte 1.3);

- combinação de esforço transverso com momentos flectores (Subcapítulo 6.1.10 do

EC3 - Parte 1.3);

- combinação de forças transversais locais com momentos flectores (Subcapítulo 6.1.11

do EC3 - Parte 1.3).

Na maioria das situações práticas estas verificações servem apenas para decidir a quantidade

de escoramento a colocar.

Em relação ao método de análise, o Subcapítulo 9.4.1 do EC4 – Parte 1.1 reencaminha o

projectista para o EC3 – Parte 1.3. Assinala-se que no Subcapítulo 9.4.1 do EC4 – Parte 1.1 o

projectista é impedido de redistribuir os momentos flectores em fase de cofragem quando são

usados escoramentos na fase de cofragem.


6. TABELAS DE DIMENSIONAMENTO

6.1 Pressupostos

Em relação ao dimensionamento da laje mista, foram adoptadas as seguintes condições:

- Redistribuição de esforços no momento negativo sobre apoio interior de 30%;

- Determinação dos momentos negativos sobre os apoios contínuos realizada na secção de face

do apoio. Supôs-se esta a 5 cm do centro do apoio;

- Determinação do esforço transverso numa secção distante da face apoio de uma distância

correspondente à altura útil da laje. Supôs-se 15 cm, o somatório da altura útil da laje com

a distância da face do apoio ao seu centro.

- Recobrimento das armaduras de continuidade: 25 mm.

- Betões C20/25 e C30/37, e Aço A500;

- Outras cargas permanentes (revestimentos, divisórias, etc.) são integradas na parcela da

sobrecarga;

- Recobrimento da armadura: c = 20 mm (a adicionar posteriormente revestimentos);

- Estados Limites considerados:

- Serviço: fendilhação do betão (wk = 0.4 mm, Ø = 10 mm) e deformação da laje através

da razão vão/altura útil (l/d especificado no EC2);

- Últimos: momentos flectores; esforço transverso e esforço de corte longitudinal.

Em relação ao dimensionamento da chapa como cofragem, foram admitidos as seguintes

hipóteses:

- Cargas de construção: Q = 1.75 kN/m2 (ver Exemplos 1 e 2 da Secção 7). Carga adicional ao

peso próprio dos materiais a considerar na fase de betonagem (ver EC1 - Parte 1.6,

Subcapítulo 4.11.2);

- Categoria 2 em relação às condições de apoio da chapa perfilada no suporte (tal implica um

apoio com pelo menos 100 mm) e la = 10 mm;

- Estados Limites considerados:

- Serviço: deformação (L/180);

- Últimos: momentos flectores; esforço transverso, forças transversais locais.

As tabelas para lajes com mais de um vão partem do princípio que os vãos são

aproximadamente iguais e que existe uma continuidade física da chapa perfilada no apoio central.

Foi considerada alternância de sobrecargas.

Uma vez que nas lajes contínuas a influência da resistências ao momento flector negativo e ao

esforço transverso são importantes e, para estas a contribuição da classe de betão é fundamental,

foram elaboradas duas tabelas para o caso de lajes contínuas, correspondentes a dois betões

diferentes.


6.2 Tabelas

6.2.1 Espessura de chapa e = 0.8 mm

Tabela 16 – Tabelas de dimensionamento directo para lajes com chapa de e = 0.8 mm.

C20/25 C30/37

H [cm] H [cm] H [cm] L [m]

12 14 16 18 20 L [m]

12 14 16 18 20 L [m]

12 14 16 18 20

1.4 20.2 22.8 25.3 27.6 29.8 1.4 12.4 15.0 17.7 20.4 23.1 1,4 15.6 19.0 22.3 25.7 29.1

1.6 16.3 19.7 21.8 23.8 25.7 1.6 10.4 12.7 14.9 17.1 19.4 1,6 13.2 16.0 18.9 21.7 24.6

1.8 13.0 16.2 19.1 20.8 22.4 1.8 8.9 10.8 12.7 14.6 16.5 1,8 11.3 13.8 16.2 18.7 21.1

2.0 10.7 13.3 15.9 18.4 19.8 2.0 8.3 9.3 11.0 12.6 14.3 2,0 10.5 12.0 14.1 16.2 18.3

2.2 8.8 11.0 13.2 15.4 17.6 2.2 7.9 8.2 9.6 11.0 12.5 2,2 9.9 10.5 12.4 14.3 16.1

2.4 7.4 9.3 11.1 13.0 14.8 2.4 7.5 7.8 8.4 9.7 11.0 2,4 9.2 9.9 11.0 12.6 14.3

2.6 6.3 7.9 9.5 11.0 12.6 2.6 7.3 7.4 7.6 8.6 9.7 2,6 7.9 9.4 9.8 11.3 12.7

2.8 5.4 6.8 8.1 9.5 10.8 2.8 6.8 7.1 7.2 7.7 8.6 2,8 6.8 8.5 9.3 10.1 11.4

3.0 4.7 5.9 7.0 8.2 9.4 3.0 5.9 6.8 6.9 7.0 7.7 3,0 5.9 7.4 8.9 9.2 10.3

3.2 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 3.2 5.2 6.5 6.6 6.7 6.9 3,2 5.2 6.5 7.8 8.8 9.3

3.4 3.5 4.4 5.3 6.2 7.1 3.4 4.5 5.7 6.4 6.4 6.4 3,4 4.6 5.7 6.8 8.0 8.6

3.6 2.8 3.9 4.6 5.4 6.2 3.6 3.8 5.1 6.1 6.2 6.2 3,6 4.0 5.1 6.1 7.1 8.1

3.8 2.1 3.4 4.1 4.8 5.4 3.8 3.2 4.5 5.4 5.9 5.9 3,8 3.6 4.5 5.4 6.3 7.2

4.0 - 2.7 3.6 4.2 4.8 4.0 2.6 4.0 4.8 5.6 5.7 4,0 3.2 4.0 4.8 5.6 6.4

4.2 - - 3.1 3.7 4.2 4.2 2.2 3.6 4.3 5.0 5.5 4,2 2.9 3.6 4.3 5.0 5.7

4.4 - - 2.5 3.2 3.7 4.4 - 3.2 3.8 4.5 5.1 4,4 2.5 3.2 3.8 4.5 5.1

4.6 - - - 2.8 3.2 4.6 - 2.7 3.4 4.0 4.6 4,6 - 2.9 3.4 4.0 4.6

4.8 - - - 2.3 2.8 4.8 - 2.3 3.1 3.6 4.1 4,8 - 2.6 3.1 3.6 4.1

5.0 - - - - 2.4 5.0 - - 2.8 3.2 3.7 5,0 - - 2.8 3.2 3.7

Ver Legenda pág.28


6.2.2 Espessura de chapa e = 1.0 mm

Tabela 17 – Tabelas de dimensionamento directo para lajes com chapa e = 1.0 mm.

C20/25 C30/37


12 14 16 18 20 L [m]

12 14 16 18 20 L [m]

12 14 16 18 20

1.4 21.9 24.9 27.6 30.1 32.6 1.4 12.4 15.0 17.7 20.4 23.0 1.4 15.6 18.9 22.3 25.7 29.1

1.6 19.0 21.5 23.8 26.0 28.0 1.6 10.4 12.6 14.9 17.1 19.4 1.6 13.2 16.0 18.9 21.7 24.6

1.8 16.6 18.8 20.8 22.7 24.5 1.8 8.9 10.8 12.7 14.6 16.5 1.8 11.3 13.8 16.2 18.6 21.1

2.0 14.8 16.7 18.5 20.1 21.7 2.0 8.3 9.3 11.0 12.6 14.3 2.0 10.5 12.0 14.1 16.2 18.3

2.2 13.3 15.0 16.5 18.0 19.4 2.2 7.9 8.2 9.6 11.0 12.5 2.2 9.9 10.5 12.4 14.2 16.1

2.4 11.9 13.5 14.9 16.2 17.4 2.4 7.5 7.8 8.4 9.7 11.0 2.4 9.4 9.9 11.0 12.6 14.3

2.6 10.0 12.3 13.5 14.7 15.8 2.6 7.2 7.4 7.6 8.6 9.7 2.6 9.0 9.4 9.8 11.2 12.7

2.8 8.5 10.6 12.4 13.4 14.4 2.8 7.1 7.1 7.2 7.6 8.6 2.8 8.7 9.0 9.3 10.1 11.4

3.0 7.2 9.0 10.8 12.3 13.2 3.0 6.5 6.8 6.9 7.0 7.7 3.0 8.4 8.6 8.9 9.1 10.3

3.2 6.2 7.8 9.3 10.9 12.2 3.2 5.4 6.6 6.6 6.7 6.9 3.2 8.0 8.3 8.5 8.7 9.3

3.4 5.3 6.7 8.1 9.4 10.7 3.4 4.5 6.5 6.4 6.4 6.4 3.4 7.0 8.1 8.2 8.4 8.6

3.6 4.1 5.8 7.0 8.2 9.3 3.6 3.8 6.1 6.2 6.1 6.1 3.6 6.1 7.6 7.9 8.1 8.2

3.8 3.2 5.1 6.1 7.1 8.1 3.8 3.2 5.2 6.0 5.9 5.9 3.8 5.4 6.7 7.7 7.8 7.9

4.0 2.4 4.1 5.3 6.2 7.1 4.0 2.6 4.4 5.9 5.8 5.7 4.0 4.7 5.9 7.1 7.5 7.6

4.2 - 3.2 4.6 5.4 6.2 4.2 2.2 3.8 5.7 5.6 5.5 4.2 4.2 5.3 6.3 7.3 7.4

4.4 - 2.4 4.0 4.7 5.4 4.4 - 3.2 5.0 5.5 5.3 4.4 3.7 4.7 5.6 6.5 7.2

4.6 - - 3.1 4.1 4.7 4.6 - 2.7 4.3 5.4 5.2 4.6 2.9 4.1 5.0 5.8 6.6

4.8 - - 2.3 3.6 4.1 4.8 - 2.3 3.7 5.2 5.1 4.8 2.3 3.7 4.4 5.2 5.9

5.0 - - - 2.9 3.6 5.0 - - 3.2 4.6 5.0 5.0 - 3.2 3.9 4.6 5.3

Ver Legenda pág. 28


Legenda:

L - Distância entre apoios [m];

H – Espessura total da laje [cm];

Os valores presentes nas tabelas representam os valores característicos da totalidade das

acções adicionais a aplicar, para além do peso próprio da laje (qk) em kN/m2.

Factores que limitam o dimensionamento:

- Esforço transverso vertical (VRdc)

– Esforço de corte longitudinal (VL,Rd)

– Flecha em serviço (l/d)

- Momento negativo de continuidade no apoio central (MRd-)

Necessidade de escoramento:

- Necessidade de um prumo de escoramento

- Necessidade de dois prumos de escoramento

- Necessidade de três prumos de escoramento

6.2.3 Armaduras de distribuição (A500)

Tabela 18 – Armadura de distribuição.

6.2.4 Armaduras de fendilhação (Ø10, A500)

Tabela 19 – Armadura de fendilhação.

H [cm] 12 14 16 18 20

ASdist [cm2/m] 0.8 0.8 1.0 1.2 1.4

H [cm] 12 14 16 18 20

e = 0.8 mm 3.0 3.7 4.0 4.1 4.9 AS

fend [cm2/m] e = 1.0 mm 3.1 3.7 4.4 5.0 5.0


7. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO

Os exemplos que se seguem destinam-se a ilustrar o dimensionamento de lajes mistas

executadas com chapas perfiladas PC65 da COLABORANTE. Num edifício industrial, pretendem-se

construir duas lajes mistas:

- uma laje simplesmente apoiada com 2.6 m de vão, sujeita uma carga permanente adicional

de 1.0 kN/m2 (revestimentos) e uma sobrecarga de utilização de 5.0 kN/m2 (Exemplo 1);

- uma laje contínua com dois tramos iguais, cada com 2.6 m submetida a uma carga

permanente, para além do peso próprio da laje de 2.5kN/m2 (revestimentos e paredes divisórias) e

uma sobrecarga de utilização de 5.0 kN/m2 (Exemplo 2).

O betão a utilizar será da classe C20/25 e o aço da classe A500.

7.1 Exemplo 1: Laje simplesmente apoiada

As tabelas de dimensionamento partem do princípio que toda a carga adicional ao peso

próprio da laje é incluída na sobrecarga. Neste caso existem revestimentos e paredes divisórias. Para

se obterem das tabelas valores coerentes deve-se multiplicar as restantes cargas permanentes por

um factor de γG / γQ = 1.35 / 1.50, vindo a sobrecarga total: 1.0 x 1.35 / 1.5 + 5.0 = 5.9 kN /m2.

De acordo com as tabelas de dimensionamento da Secção 6.2, seria necessário uma laje de

12 cm de espessura total com uma chapa de espessura e = 0.8 mm. A mesma tabela indica a

necessidade de uma linha de escoramento na fase de cofragem.

Dado tratar-se de um caso corrente (sem limitação especial de flechas e fendilhação) é

possível, com os valores indicados nas tabelas de pré-dimensionamento, considerar a estrutura

dimensionada. Considerando o projectista de interesse verificar os pressupostos utilizados na

elaboração das tabelas, poderá encarar os valores das tabelas como indicativos e efectuar as

verificações expressas na Secção 5 deste documento. A título ilustrativo procede-se em seguida às

verificações a realizar, e que permite justificar as conclusões que acabam de ser obtidas apenas com

as tabelas.


7.1.1 Fase mista / Dimensionamento da laje (Perfil PC65, e = 0.8 mm)

7.1.1.1 Estados Limites de Serviço

Fendilhação do betão

A armadura de distribuição vale:

mcmA

mcmmcmA

mcmAA

distS

distS

ctdistS

/80.0

/80.0/55.0550001.0

/80.0%1.0

2,

22,

2,

=

≥=×=

≥×=

Flecha

De acordo com a Secção 5.1.1.2 a flecha poderá ser verificada através da comparação da

razão vão / altura útil (l/d) com um valor limite. No Subcapítulo 7.4.2 do EC2 – Parte 1.1

encontra-se l/d ≤ 26.

Dados:

l = 2.6 m = 260 cm;

ht = 12 cm;

yG= 3.32 cm (altura do centro de gravidade da Secção Transversal A);

d = ht - yG= 12 – 3.32 = 8.68 cm;

xC = 3.11 cm (profundidade do eixo neutro da secção mista fissurada);

I = 296 cm4; (inércia da secção mista fissurada).

Cálculos:

p = G + Q = (2.1 + 1.0) + 5.0 = 8.1 kN/m2

mmkNlpM rara /.85.66.21.8125.0125.0 22 =××=⋅⋅=+

( ) MPakPaxdIM

CS 129128829100

11.368.81029623.6)(

8==

−×

×=−⋅=

−σ

4.2129310310

===S

Sk

σσ

0.3068.8

260==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

dl

4.624.2260lim

=×=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Sk

dl

dl

σ

Verificação:

OK 62.430.0 ∴≤


7.1.1.2 Estados Limites Últimos

De acordo com a Secção 5.1.2 as cargas a utilizar são:

G = 2.1+ 1.0 = 3.1 kN / m2;

Q = 5.0 kN/m2.

A carga total vem:

pSd = 1.35 x 3.1 + 1.5 x 5.0 = 11.7 kN/m2

Os esforços máximos foram obtidos para uma faixa de 1m de largura de laje (Fig. 21 a 23):

pSd

Fig. 22 – Carga aplicada.

9.9 Fig. 23 – Momentos flectores.

15.2

-15.2 Fig. 24 – Esforços transversos para.

Assim os esforços máximos são: MSd = 9.9 kN.m/m e VSd = 15.2 kN/m.

Momento flector positivo

Dados:

Ap = 7.44 cm2;

fyp = 280 MPa;

γa = 1.00;

fck = 20 MPa;

γC = 1.5;

b = 1.0 m;

ht = 12 cm;

yG = 4.24 cm;

dp = ht – yG = 12 - 4.24 = 7.76 cm;


Cálculo do momento flector positivo resistente de cálculo:

cmmx pl 84.10184.00.1

5.12085.0

00.12801044.7 4

==××

××=

−

( ) mmkNM Rdp /.2.141084.15.01076.700.1102801044.7 22

34

, =××−×⋅×

××= −−−

Verificação:

9.9 ≤ 14.2 OK∴

Esforço transverso

Dados:

γC = 1.5;

MPaC cRd 12.05.118.0

, == ;

ht = 12 cm;

yG = 2.86 cm;

dp = ht – yG = 12 – 2.86 = 9.14 cm = 91.4 mm;

0.20.248.24.91

2001 =≤=+=k ;

Asl = 4.06 cm2;

bw = 36.4 cm/m = 364 mm;

02.0012.014.94.36

06.4≤=

×=

⋅=

pw

sll db

Aρ

fck = 20 MPa;

MPafkv ck 44.0200.2035.0035.0 21

23

21

23

min =××=⋅⋅=

Cálculo do esforço transverso resistente de cálculo:

( )kNNV

V

cRd

cRd

0.232303214639230324.9136444.04.9136420012.01000.212.0

,

31

,

==≥=

××≥××××××=

Verificação:

OK 23.015.2 ∴≤


Esforço de corte longitudinal

Dados:

b = 1000 mm/m;

yG = 3.85 cm;

dp = ht – yG = 12 – 3.85 = 8.15 cm = 81.5 mm;

γVS = 1.25;

Ap = 10.52 cm2/m = 1052 mm2/m;

m = 87.46 N/mm2;

k = 0.1047 N/mm2;

LS = L' / 4 = 2.60 / 4 = 0.65 m = 650 mm;

Cálculos do esforço de corte longitudinal resistente de cálculo:

kNNV Rdl 1.16160561047.06501000105246.87

25.15.811000

, ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

××

××

=

Verificação:

OK 16.115.2 ∴≤

Desenho para obra

Na Fig. 25, mostra-se um corte transversal da solução adoptada:

25

2600

AQ38

Fig. 25 – Corte transversal.


7.1.2 Fase de cofragem / Verificação da cofragem (Perfil PC65, e = 0.8 mm)

7.1.2.1 Estado Limite de Serviço

Este estado limite está regulamentado no Capítulo 9.6 do EC4 - Parte 1.1. De acordo com esse

Capítulo é apenas necessário verificar a flecha (δS). As acções a considerar são o peso próprio da

chapa e do betão fresco.

A combinação de acções a usar é:

pSd = γG · G’ = 1.00 x (1.04 x 2.1) = 2.2 kN/m2

onde:

- pSd é a carga em serviço para verificação da flecha (Fig. 40);

- γG = 1.00 é o factor de segurança parcial referente a acções permanentes;

- G’ = 1.04 x G é o peso próprio da chapa e do betão armado fresco.

1.30 1.30

pSd

Fig. 26 – Carregamento para a verificação da flecha em fase de cofragem.

A flecha (δS) é calculada com uma expressão do tipo:

mmmIELp

apa

SdS 519.010519.0

1053102103.12.20092.0 3

86

44=×=

×××

××=

⋅⋅

⋅= −−

δ

onde:

- a = 0.0092 é um factor adimensional dependente do esquema estrutural (= 5/384 para lajes

simplesmente apoiadas na betonagem);

- L = 2.6 / 2 = 1.3 m é vão teórico entre apoios (para este fim os escoramentos são

considerados apoios);

- Ea = 210 GPa é o módulo de elasticidade do aço da chapa;

-

4532

56492

cmII

IBp

Ap

p =+

=+

= é o valor médio do momento de inércia das secções

transversais A e B.

O valor máximo recomendado para a flecha é:

δS,max = L/180 = 1.3/180 = 0.00722 m = 7.22 mm

A verificação final vem então:

OKmmmm ∴≤ 22.7519.0



Estes estados limites estão regulamentados no Capítulo 9.5 do EC4 - Parte 1.1. De acordo com

este Capítulo o projectista deve utilizar o EC3 - Parte 1.3 para realizar as correspondentes

verificações de segurança, que são detalhadas no respectivo Capítulo 6.

As acções a considerar estão definidas no Subcapítulo 9.3.2 do EC4 - Parte 1.1, isto é:

- Peso próprio do betão fresco e da chapa de aço (G’ = 1.04 x G = 1.04 x 2.1 = 2.2 kN/m2);

- Cargas de construção de acordo com o EC1 - Parte 1.6, Subcapítulo 4.11.2;

Qca = 1.0 kN/m2 é pessoal e ferramentas;

Qcc = 0 kN/m2 equipamento não permanente;

Qcf = 0.75 kN/m2 cargas em estruturas com estados temporários.

- Cargas de armazenamento, quando existam (0 kN/m2);

- Cargas devido ao efeito de “ponding” (amontoamento), quando necessário.

Como mmmmS 1210120650.0 ==<<=

10hδ , o efeito de “ponding” pode ser ignorado.

A combinação de acções a utilizar é:

pSd = γG · G’ + γQ · Q = 1.35 x 2.2 + 1.5 x 1.75 = 5.60 kN/m2

sendo:

- pSd a carga para verificação ao estado limite último em fase de cofragem;

- γG = 1.35 o factor de segurança parcial das acções permanentes;

- γQ = 1.50 o factor de segurança parcial das acções variáveis;

- G’ = 1.04 x G o peso próprio da chapa e do betão armado fresco;

- Q = Qca + Qcf = 1.0 + 0.75 = 1.75 kN/m2 o somatório das carga de construção, de

armazenamento e de “ponding”.

Para a obtenção dos esforços máximos em fase de cofragem (momentos flectores e esforços

transversos de cálculo) realizaram-se as seguintes combinações numa faixa de 1m de largura de laje:

- Combinação 1 (Fig. 27 e Fig. 28):

pSd

Fig. 27 – Combinação 1.

0.91 Fig. 28 – Momentos flectores para Combinação 1.


- Combinação 2 (Fig.28 a 30):

pSd


-1.18

Fig. 30 – Momentos flectores para Combinação 2.

-4.55

4.55

Fig. 31 – Esforço transverso para Combinação 2.

Os esforços máximos são: MSd+ = 0.91 kN.m/m, MSd

- = -1.18 kN.m/m e VSd = 4.55 kN/m.


No Subcapítulo 6.1.4.1 do EC3 - Parte 1.3 é apresentada a seguinte fórmula de cálculo do

momento flector resistente:

0m

ypeff fWγ

⋅=Rdc,M mmkN /.20.4

00.1102801015 36

=×××

=−

sendo:

- Weff = 15 cm3/m o módulo eficaz de flexão da secção da chapa perfilada (Secção transversal A);

- fyp = 280 MPa a resistência à tracção da chapa;

- γm0 = 1.00 o coeficiente parcial de segurança relativo ao aço da chapa.

Para o cálculo do módulo eficaz (Weff) é necessário retirar as zonas susceptíveis de

instabilização (chapa perfilada da classe 4). Este aspecto, referido no Subcapítulo 5.5.2 do EC3 –

Parte 1.3, reencaminha o projectista para o Capítulo 4.4 do EC3 – Parte 1.5. A secção transversal A

representa já a secção final eficaz da chapa perfilada já sem a contribuição das zonas susceptíveis

de instabilização quando a secção é sujeita a momentos flectores positivos.

Verificação:

0.91 kN.m/m < 4.20 kN.m/m OK∴


Momento flector negativo

Para determinação do momento flector negativo resistente de cálculo a verificação

processa-se de forma idêntica à anterior, mas considerando para a chapa PC65 a Secção

transversal B.

Dados:

Weff = 12 cm3/m;

fyp = 280 MPa;

γm0 = 1.00.

O momento flector resistente negativo vale:

mmkN /.36.300.1

102801012 36=

×××=

−

Rdc,M

Verificação:

1.18 kN.m/m < 3.36 kN.m/m OK∴

Esforço transverso

No Subcapítulo 6.1.5 do EC3 - Parte 1.3 é apresentada a seguinte fórmula de cálculo do

esforço transverso resistente por alma:

0

sin

m

bvw ft

h

γφ

⋅⋅=Rdb,V almakN /63.2

00.1

101621076.0º65sin

1094.1 332

=××××

×

=

−−

mKN /4.2463.23.9 =×=Rdb,V

sendo:

- hw = 1.94 cm a altura do perfil descontando a zona das bossas;

- Ø = 65 º o ângulo de inclinação entre a alma e o banzo;

- t = 0.76 mm a espessura da chapa, retirando a espessura de zincagem;

- fbv = 0.58 x fyb = 0.58 x 280 = 162 MPa a resistência ao corte da chapa considerando

instabilização da chapa perfilada. O valor de fbv está definido na Tabela 6.1 do EC3 – Parte 1.3.

- γm0 = 1.00 o coeficiente parcial de segurança relativo ao aço da chapa.

Verificação:

4.55 kN/m < 24.4 kN/m OK∴


Forças transversais locais

No Subcapítulo 6.1.7.3 do EC3 - Parte 1.3 é apresentada a seguinte fórmula de cálculo da

força transversal resistente por alma:

1

22

904.202.05.01.01

m

ayb t

ltrEft

γ

φα⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅⋅⋅⋅

=Rdw,R

( )

00.1

90654.2

96.01002.05.0

96.051.011021028076.015.0

232

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅××××

=Rdw,R

almaN /1432=Rdw,R

mkN /3.1314321000

3.9=×=Rdw,R

sendo:

- t = 0.76 mm a espessura da chapa, retirando a espessura de zincagem [mm];

- fyb = 280 MPa a resistência à tracção do aço da chapa [MPa];

- E = 210 GPa o módulo de elasticidade do aço da chapa [MPa];

- r = 5 mm o raio interno de conformação da chapa nos cantos [mm];

- Ø = 65 º o ângulo de inclinação entre a alma e o banzo [º];

- γm1 = 1.00 o coeficiente parcial de segurança relativo ao aço da chapa;

- Os parâmetros α = 0.15 e la = 10mm dependem da profundidade de chapa que realmente

apoia no suporte (viga ou outro). Neste caso, admitiu-se categoria 2.

Verificação:

4.55 kN/m < 13.3 kN/m OK∴

Combinação de esforço transverso com o momento flector

No caso do esforço transverso actuante de cálculo, VEd, ser superior a 50% do esforço

transverso resistente, Vw,Rd, é necessário verificar a interacção do momento flector com o esforço

transverso. No Subcapítulo 6.1.10 do EC3 - Parte 1.3 é apresentada a seguinte fórmula de interacção

que é importante sobre os apoios contínuos:

0.112

12

,,

,

,

, ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

Rdw

Ed

Rdpl

Rdf

Rdy

Edy

VV

MM

MM


sendo:

- M y,Ed o momento flector actuante de cálculo;

- M y,Rd o momento flector resistente calculado de acordo com 4.1.2.2;

- M f,Rd o momento resistente plástico da secção considerando apenas a contribuição dos

banzos: (≈ 60% M y,Rd para e = 0.8 mm e ≈ 70% M y,Rd para e = 1.0 mm);

- M pl,Rd o momento resistente plástico da secção considerada em 4.1.2.2;

- V Ed o esforço transverso actuante de cálculo;

- V w,Rd o esforço transverso resistente calculado de acordo com 4.1.2.3.

Como V Ed ≤ 0.5 Vw,Rd (4.55 ≤ 12.2) não é necessário verificar esta interacção.

Combinação da força transversal local com o momento flector

No Subcapítulo 6.1.11 do EC3 - Parte 1.3 é apresentada a seguinte fórmula de interacção da

força transversal local com o momento flector, que é importante sobre os apoios contínuos:

25.1,,

≤+Rdw

Ed

Rdc

Ed

RF

MM

25.13.13

55.436.318.1

≤+

OK∴≤ 25.169.0

sendo:

- M,Ed = 1.18 kN.m/m o momento flector actuante de cálculo;

- M c,Rd = 3.36 kN.m/m o momento flector resistente calculado de acordo com 4.1.2.2;

- FEd = 4.55 kN/m a força transversal local actuante de cálculo;

- Rw,Rd = 13.3 kN/m a força transversal resistente calculada de acordo com 4.1.2.4.

Nota: esta verificação devia rigorosamente ser realizada com valores de FEd e MEd relativos à

mesma combinação de acções. Contudo a simplificação utilizada está do lado da

segurança.


7.2 Exemplo 2: Laje contínua

A sobrecarga total vem: 2.5 x 1.35 / 1.5 + 5.0 = 7.25 kN /m2. De acordo com as tabelas de

dimensionamento da Secção 6.2, seria necessário uma laje de 12 cm de espessura total com uma

chapa de espessura e = 0.8 mm. A mesma tabela indica a necessidade de uma linha de escoramento

na fase de cofragem.

Dado tratar-se de um caso corrente é possível com os valores indicados nas tabelas de pré-

dimensionamento considerar a estrutura dimensionada. Apenas a título ilustrativo procede-se em

seguida às verificações a realizar num caso geral, e que permite justificar as conclusões que acabam

de ser obtidas apenas com as tabelas.

Uma vez que esta laje mista é idêntica ao Exemplo 1, alguns cálculos serão omitidos,

apresentando-se apenas o resultado final.

7.2.1 Fase mista / Dimensionamento da laje (Perfil PC65, e = 0.8 mm)

7.2.1.1 Estados Limites de Serviço

Fendilhação do betão

De acordo com a Secção 5.1.1.1 será determinada a armadura mínima a colocar sobre os

apoios intermédios sem cálculo directo. No Subcapítulo 7.3.2 do EC2 – Parte 1.1 encontra-se a

seguinte expressão:

cteffctcSS AfKKA ⋅⋅⋅=⋅ .min, σ

onde:

- AS,min é a área mínima de armadura que garante uma abertura de fendas pretendida;

- σS é a tensão máxima admissível na armadura;

- KC é um coeficiente que tem em conta a distribuição de tensões na secção;

- K é um coeficiente que considera o efeito de tensões não uniformes auto equilibradas;

- Act é a área de betão traccionado (lajeta).

Dados:

σS = 360 MPa (wk = 0.4 mm e Ø = 10 mm);

Kc = 0.5;

K = 1.0;

fct,eff = 2.6 MPa;

Act = 550 cm2/m.


Cálculo:

60

mcmA

A

S

S

/99.1

5506.20.15.032

min,

min,

=⇔

×××=×

A armadura de distribuição vale:

mcmA

mcmmcmA

mcmAA

distS

distS

ctdistS

/80.0

/80.0/55.0550001.0

/80.0%1.0

2,

22,

2,

=

≥=×=

≥×=

Flecha

De acordo com a Secção 5.1.1.2 a flecha poderá ser verificada através da comparação da

razão vão / altura útil (l/d) com um valor limite. No Subcapítulo 7.4.2 do EC2 – Parte 1.1

encontra-se l/d ≤ 26.

Dados:

l = 2.6 m = 260 cm;

ht = 12 cm;

yG= 3.32 cm (altura do centro de gravidade da Secção Transversal A);

d = ht - yG= 12 – 3.32 = 8.68 cm;

xC = 3.11 cm (profundidade do eixo neutro da secção mista fissurada);

I = 296 cm4; (inércia da secção mista fissurada).

Cálculos:

p = G + Q = (2.1 + 2.5) + 5.0 = 9.6 kN/m2

mmkNlpM rara /.23.66.26.9096.0096.0 22 =××=⋅⋅=+

( ) MPaKPaxdIM

CS 117117233100

11.368.81029623.6)(

8==

−×

×=−⋅=

−σ

6.2117310310

===S

Sk

σσ

0.3068.8

260==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

dl

6.676.2260lim

=×=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Sk

dl

dl

σ

Verificação:

OK 67.630.0 ∴≤



De acordo com a Secção 5.1.2 as cargas a utilizar são:

G = 2.1+ 2.5 = 4.6 kN / m2;

Q = 5.0 kN/m2.

A carga total vem:

pSd = 1.35 x 4.6 + 1.5 x 5.0 = 13.7 kN/m2

Para a obtenção dos esforços máximos realizaram-se as seguintes combinações numa faixa de

1m de largura de laje:

- Momento flector negativo máximo (Fig. 29 e 30):

pSd


11.6


- Momento flector positivo e esforços transversos máximos (Fig. 30, 31, 32):

1.5Q

1.35G



-21.0

14.6

Fig. 36 – Esforços transversos para Combinação 2.

O momento negativo no apoio intermédio será redistribuído de 30%, limitando-o a

8.12 kN.m/m (Fig. 37).


-8.12

7.88

-7.07

Fig. 37 – Momentos flectores redistribuídos.

14.7

-21.0 Fig. 38 – Esforços transversos após redistribuição.

É prática corrente no dimensionamento de elementos de betão armado:

- a determinação dos momentos negativos sobre os apoios contínuos ser realizada na secção

de face do apoio. Neste caso supôs-se um apoio de 10 cm, por isso os momentos flectores negativos

foram avaliados a 5 cm do centro do apoio;

- a determinação do esforço transverso ocorrer a uma distância da face apoio igual à altura

útil da laje. Neste caso supôs-se que o somatório da altura útil da laje com a distância da face do

apoio ao seu centro era 15 cm. Esta simplificação apenas foi considerada no apoio central.

Assim os esforços máximos são (Fig. 33 e 34):

MSd- = -7.07 kN.m/m e MSd

+ = 7.88 kN.m/m;

VSdint = 18.8 kN/m e VSd

ext = 14.7 kN/m.


Idêntico ao Exemplo 1:

mmkNM Rdp /.2.14, =

Verificação:

7.88 ≤ 14.2 OK∴


Dados:

fsk = 500 MPa;

γs = 1.15;

fck = 20 MPa;

γC = 1.5;

bc = 25.6cm/m;

c = 3 cm (≈ 25 mm de recobrimento)

ht = 12 cm;

ds = ht – c = 12 - 3 = 9.0 cm;


Cálculo da armadura de continuidade para resistência ao momento flector negativo:

s

s

pl AA

x 9.149106.25

5.12085.0

15.1500

2=

×××

×=

−

( )224

23

,

22.21022.2

9.1495.0100.915.11050007.7

cmmA

AA

MM

s

ss

RdpSd

=×≥⇔

××−×⋅×

×≤⇔

≤

−

−

−

Esforço transverso

Dados:

γC = 1.5;

MPaC cRd 12.05.118.0

, == ;

ht = 12 cm;

c = 3.0 cm;

dp = ht – yG = 12 – 3.0 = 9.0 cm = 90 mm;

0.20.249.2902001 =≤=+=k ;

Asl = 2.22 cm2 (armadura longitudinal na zona traccionada);

bw = 36.4 cm/m = 364 mm;

02.00068.00.94.36

22.2≤=

×=

⋅=

pw

sll db

Aρ

fck = 20 MPa;

MPafkv ck 44.0200.2035.0035.0 21

23

21

23

min =××=⋅⋅=

Cálculo do esforço transverso resistente de cálculo:

( )kNNV

V

cRd

cRd

8.181876714414187679036444.090364200068.01000.212.0

,

31

,

==≥=

××≥××××××=

Verificação:

OK 18.818.8 ∴≤


Esforço de corte longitudinal

Dados:

b = 1000 mm/m;

yG = 3.85 cm;

dp = ht – yG = 12 – 3.85 = 8.15 cm = 81.5 mm;

γVS = 1.25;

Ap = 10.52 cm2/m = 1052 mm2/m;

m = 87.46 N/mm2;

k = 0.1047 N/mm2;

L' = 0.9 x L = 0.9 x 2.6 = 2.34 m;

LS = L' / 4 = 2.34 / 4 = 0.585 m = 585 mm;

Cálculos do esforço de corte longitudinal resistente de cálculo:

kNNV Rdl 1.17170811047.05851000105246.87

25.15.811000

, ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

××

××

=

No caso de uma laje contínua (sem interrupções / sobreposições de chapa nos apoios) apenas

há corte longitudinal nos apoios extremos, donde:

Verificação:

OK 17.114.7 ∴≤

Na Fig. 39, mostra-se um corte transversal da solução adoptada:

1600

25

2600 2600

Ø8//0.20 AQ38AQ38

Fig. 39 – Corte transversal.


7.2.2 Fase de cofragem / Verificação da cofragem (Perfil PC65, e = 0.8 mm)

7.2.2.1 Estado Limite de Serviço

O valor de pSd é idêntico ao Exemplo 1: pSd = 2.2 kN/m2.

1.30 1.30 1.30 1.30

pSd

Fig. 40 – Carregamento para a verificação da flecha em fase de cofragem.

A flecha (δS) é calculada com uma expressão do tipo:

mmmIELp

apa

SdS 367.010367.0

1053102103.12.20065.0 3

86

44=×=

×××

××=

⋅⋅

⋅= −−

δ

onde:

- a = 0.0065 é um factor adimensional dependente do esquema estrutural (= 5/384 para lajes

simplesmente apoiadas na betonagem);

- L = 2.6 / 2 = 1.3 m é vão teórico entre apoios (para este fim os escoramentos são

considerados apoios);

- Ea = 210 GPa é o módulo de elasticidade do aço da chapa;

-

4532

56492

cmII

IBp

Ap

p =+

=+

= é o valor médio do momento de inércia das secções

transversais A e B.

O valor máximo recomendado para a flecha é:

δS,max = L/180 = 1.3/180 = 0.00722 m = 7.22 mm

A verificação final vem então:

OK 7.22mm0.367mm ∴≤



O valor das acções é idêntico ao Exemplo 1. Assim: pSd = 5.60 kN/m2.

Para a obtenção dos esforços máximos em fase de cofragem (momentos flectores e esforços

transversos de cálculo) realizaram-se as seguintes combinações numa faixa de 1m de largura de laje:

- Momento flector positivo máximo (Fig. 41 e Fig. 42):

pSd pSd



- Momento flector negativo máximo (Fig. 43 e Fig. 44):

pSd pSd


-1.14


- Esforço transverso máximo (Fig. 45 e Fig. 46):

pSd


-4.42 -4.42 Fig. 46 – Esforço transverso para Combinação 3.

Os esforços máximos são: MSd+ = 0.94 kN.m/m, MSd

- = -1.14 kN.m/m e VSd = 4.42 kN/m.




=Rdc,M mmkN /.20.4

Verificação:

0.94 kN.m/m < 4.20 kN.m/m OK∴



=Rdc,M mmkN /.36.3

Verificação:

1.14 kN.m/m < 3.36 kN.m/m OK∴

Esforço transverso


mKN /4.24=Rdb,V

Verificação:

4.42 kN/m < 24.4 kN/m OK∴

Forças transversais locais


mkN /3.13=Rdw,R

Verificação:

4.42 kN/m < 13.3 kN/m OK∴

Combinação de esforço transverso com o momento flector

Como V Ed ≤ 0.5 Vw,Rd (4.42 ≤ 12.2) não é necessário verificar esta interacção.


Combinação da força transversal local com o momento flector

No Subcapítulo 6.1.11 do EC3 - Parte 1.3 é apresentada a seguinte fórmula de interacção da

força transversal local com o momento flector, que é importante sobre os apoios contínuos:

25.1,,

≤+Rdw

Ed

Rdc

Ed

RF

MM

25.13.13

42.436.314.1

≤+

OK∴≤ 25.167.0

sendo:

- M,Ed = 1.14 kN.m/m o momento flector actuante de cálculo;

- M c,Rd = 3.36 kN.m/m o momento flector resistente calculado de acordo com 4.1.2.2;

- FEd = 4.42 kN/m a força transversal local actuante de cálculo;

- Rw,Rd = 13.3 kN/m a força transversal resistente calculada de acordo com 4.1.2.4.

Nota: esta verificação devia rigorosamente ser realizada com valores de FEd e MEd relativos à

mesma combinação de acções. Contudo a simplificação utilizada está do lado da

segurança.


8. CONCLUSÕES

Com a elaboração deste relatório:

- Ficou evidenciada a aplicabilidade das lajes mistas;

- Sintetizaram-se as disposições construtivas a aplicar às lajes mistas;

- Forneceram-se breves indicações relativas ao uso de conectores, à protecção ao fogo e ao

isolamento acústico. Em relação a este último aspecto deve recordar-se que os valores

apresentados são apenas indicativos uma vez que resultam de cálculos em modelos de

simulação do comportamento acústico de lajes em geral;

- Indicaram-se as características mecânicas e geométricas dos materiais e das lajes mistas com

chapa perfilada PC65 para um completo dimensionamento estrutural;

- Explicaram-se detalhadamente todas as fases de um cálculo estrutural de acordo com a

regulamentação em vigor;

- Apresentam-se tabelas de dimensionamento directo e as bases para a sua obtenção;

- Exemplificaram-se aplicações práticas do dimensionamento e da verificação da segurança

estrutural de lajes mistas com perfil PC65 da COLABORANTE.

Em relação ao cálculo estrutural destaca-se:

- A necessidade de considerar diferentes secções transversais de chapa conforme a verificação

estrutural em causa. Esta situação deveu-se, por um lado, à necessidade de considerar os

fenómenos de instabilidade na fase de cofragem da chapa (habitual em estruturas metálicas)

e, por outro lado, à ausência de regras claras no EC4, sobre as verificações em fase mista;

- A verificação ao esforço de corte longitudinal, em lajes contínuas apenas é necessária nos

apoios exteriores, já que nos apoios de continuidade existe um equilíbrio deste esforço,

entre os dois tramos adjacentes;

- A elevada importância da resistência de cálculo do esforço transverso vertical e do momento

flector negativo em lajes mistas contínuas. Este facto deve-se à reduzida largura das

nervuras do perfil PC65, sendo que uma forma de ultrapassar o problema é aumentar a

classe do betão. Sendo assim para o caso de lajes contínuas foram elaboradas duas tabelas

correspondentes a duas classes diferentes de betões.

A finalizar relembra-se a necessidade de uma execução cuidada em obra de todas as etapas do

processo construtivo.


9. REFERÊNCIAS

- EUROCODE 0: Basis of structural design, Abril 2002.

- EUROCODE 1: Actions on structures. Part 1.6: General actions – Actions during execution,

Março 2003.

- EUROCODE 2: Design of concrete structures. Part 1.1: General rules and rules buildings, Abril

2004.

- EUROCODE 3: Design of steel structures. Part 1.1: General Rules and rules for buildings, Maio

2005.

- EUROCODE 3: Design of steel structures. Part 1.3: General Rules. Supplementary rules for

cold-formed members and sheeting, Julho 2004.

- EUROCODE 3: Design of steel structures. Part 1.5: Plated structural elements, Dezembro 2004.

- EUROCODE 4: Design of Composite Steel and Concrete Structures. Part 1.1: General Rules and

Rules for Buildings, Dezembro 2004.

- EUROCODE 4: Design of Composite Steel and Concrete Structures. Part 1.2: General Rules –

Sctructural Fire Design, Maio 2003.

- Rui Faria - Pavimentos Mistos Aço-Betão, Análise e Dimensionamento - Curso de Formação e

Especialização em Projecto de Estruturas de Betão – Porto, 1997.

- Ph. Beguin et L. Sokol – Application de l’Éurocode 4 et de l’Éurocode 3, Partie 1.3.

Dimensionnement des Dalles Mixtes. Première Partie: Dimensionnement de la tôle profilée

utilisée comme coffrage - Revue Construction Métallique, nº 1, 1995.

- Ph. Beguin, M. Crisinel et L. Sokol – Application de l’Éurocode 4-DAN. Dimensionnement des

Dalles Mixtes. Deuxième Partie: Dimensionnement de dalles mixtes en phase définitive mixte –

Revue Construction Métallique, nº 2, 1995.

- R. P. Johnson and D. Anderson – Designer’s Handbook to Eurocode 4. Part 1.1: Design of

Composite Steel and Concrete Structures – Thomas Telford Services Ltd - London, 1993.

- Figueiras, Joaquim; Faria, Rui; Santos, José – Análise do comportamento e dimensionamento

de lajes mistas com chapas perfiladas PC 65: Relatório dos Ensaios para determinação da

resistência ao corte longitudinal – LABEST – Porto, FEUP, 2006.


Porto e FEUP, 28 de Julho de 2006

Os autores:

Rua Dr. Roberto Frias – 4200-465 PORTO – NIPC 600 027 716 – Tel. (+351) 225 081 814 – Fax (+351) 225 081 835 – http://www.fe.up.pt/~labest



Documento de apoio ao projectista – Tabelas extra

Agosto / 2006



Autores:

Prof. Joaquim Figueiras

Prof. Rui Faria

Eng. José Santos

FEUP / LABEST ― Agosto / 2006 Documento de apoio ao projectista – Tabelas extra 26’

6.2’ Tabelas

6.2.1’ Espessura de chapa e = 0.9 mm

Tabela 16’ – Tabelas de dimensionamento directo para lajes com chapa de e = 0.9 mm.

C20/25 C30/37


12 14 16 18 20 L [m]

12 14 16 18 20 L [m]

12 14 16 18 20

1.4 20.8 23.6 26.2 28.6 30.9 1.4 12.4 15.0 17.7 20.4 23.1 1.4 15.6 18.9 22.3 25.7 29.1

1.6 17.8 20.3 22.5 24.6 26.6 1.6 10.4 12.6 14.9 17.1 19.4 1.6 13.2 16.0 18.9 21.7 24.6

1.8 14.2 17.7 19.7 21.5 23.2 1.8 8.9 10.8 12.7 14.6 16.5 1.8 11.3 13.8 16.2 18.6 21.1

2.0 11.6 14.5 17.3 19.0 20.5 2.0 8.3 9.3 11.0 12.6 14.3 2.0 10.5 12.0 14.1 16.2 18.3

2.2 9.6 12.0 14.4 16.8 18.3 2.2 7.9 8.2 9.6 11.0 12.5 2.2 9.9 10.5 12.4 14.2 16.1

2.4 8.1 10.1 12.1 14.1 16.2 2.4 7.5 7.8 8.4 9.7 11.0 2.4 9.4 9.9 11.0 12.6 14.3

2.6 6.9 8.6 10.3 12.0 13.7 2.6 7.3 7.4 7.6 8.6 9.7 2.6 8.5 9.4 9.8 11.3 12.7

2.8 5.9 7.4 8.9 10.3 11.8 2.8 7.1 7.1 7.2 7.6 8.6 2.8 7.4 9.0 9.3 10.1 11.4

3.0 5.1 6.4 7.7 8.9 10.2 3.0 6.4 6.8 6.9 7.0 7.7 3.0 6.4 8.0 8.9 9.2 10.3

3.2 4.4 5.5 6.6 7.8 8.9 3.2 5.4 6.6 6.6 6.7 6.9 3.2 5.6 7.0 8.4 8.7 9.3

3.4 3.9 4.8 5.8 6.8 7.7 3.4 4.5 6.2 6.4 6.4 6.4 3.4 5.0 6.2 7.4 8.4 8.6

3.6 3.3 4.2 5.1 5.9 6.8 3.6 3.8 5.5 6.2 6.1 6.1 3.6 4.4 5.5 6.6 7.7 8.2

3.8 2.5 3.7 4.5 5.2 6.0 3.8 3.2 4.9 5.9 5.9 5.9 3.8 3.9 4.9 5.9 6.8 7.8

4.0 - 3.3 3.9 4.6 5.2 4.0 2.6 4.4 5.2 5.8 5.7 4.0 3.5 4.4 5.2 6.1 7.0

4.2 - 2.4 3.4 4.0 4.6 4.2 2.2 3.8 4.7 5.5 5.5 4.2 3.1 3.9 4.7 5.5 6.2

4.4 - - 3.0 3.5 4.1 4.4 - 3.2 4.2 4.9 5.3 4.4 2.8 3.5 4.2 4.9 5.6

4.6 - - 2.3 3.1 3.6 4.6 - 2.7 3.8 4.4 5.0 4.6 2.3 3.1 3.8 4.4 5.0

4.8 - - - 2.7 3.1 4.8 - 2.3 3.4 3.9 4.5 4.8 - 2.8 3.4 3.9 4.5

5.0 - - - 2.1 2.7 5.0 - - 3.0 3.5 4.0 5.0 - 2.5 3.0 3.5 4.0

Ver Legenda pág.28 do Relatório Original

Observação: Os valores de m e k utilizados na elaboração destas tabelas são os obtidos nos ensaios com chapa de espessura e = 0.8 mm.

FEUP / LABEST ― Agosto / 2006 Documento de apoio ao projectista – Tabelas extra 27’

6.2.2’ Espessura de chapa e = 1.2 mm

Tabela 17’ – Tabelas de dimensionamento directo para lajes com chapa e = 1.2 mm.

C20/25 C30/37


12 14 16 18 20 L [m]

12 14 16 18 20 L [m]

12 14 16 18 20

1.4 23.2 26.3 29.2 31.9 34.5 1.4 12.3 15.0 17.7 20.4 23.0 1.4 15.5 18.9 22.3 25.7 29.1

1.6 20.0 22.7 25.2 27.5 29.7 1.6 10.4 12.6 14.9 17.1 19.4 1.6 13.1 16.0 18.8 21.7 24.6

1.8 17.6 19.9 22.1 24.1 26.0 1.8 8.9 10.8 12.7 14.6 16.5 1.8 11.3 13.7 16.2 18.6 21.1

2.0 15.6 17.7 19.6 21.3 23.0 2.0 8.3 9.3 11.0 12.6 14.3 2.0 10.4 11.9 14.1 16.2 18.3

2.2 14.0 15.9 17.5 19.1 20.6 2.2 7.9 8.2 9.6 11.0 12.4 2.2 9.9 10.5 12.4 14.2 16.1

2.4 12.7 14.3 15.8 17.2 18.5 2.4 7.5 7.7 8.4 9.7 10.9 2.4 9.4 9.9 10.9 12.6 14.2

2.6 11.6 13.0 14.4 15.7 16.8 2.6 7.2 7.4 7.5 8.6 9.7 2.6 9.0 9.4 9.8 11.2 12.7

2.8 10.1 11.9 13.2 14.3 15.4 2.8 7.0 7.0 7.2 7.6 8.6 2.8 8.7 9.0 9.3 10.1 11.4

3.0 8.7 10.9 12.1 13.1 14.1 3.0 6.5 6.8 6.9 7.0 7.7 3.0 8.4 8.6 8.9 9.1 10.3

3.2 7.5 9.4 11.2 12.1 13.0 3.2 5.4 6.6 6.6 6.6 6.9 3.2 8.3 8.3 8.5 8.7 9.3

3.4 6.2 8.1 9.8 11.2 12.0 3.4 4.5 6.5 6.3 6.4 6.4 3.4 7.7 8.0 8.2 8.4 8.5

3.6 4.8 7.1 8.5 9.9 11.1 3.6 3.8 6.1 6.2 6.1 6.1 3.6 6.6 7.8 7.9 8.0 8.2

3.8 3.7 6.2 7.4 8.7 9.9 3.8 3.1 5.2 6.0 5.9 5.9 3.8 5.7 7.7 7.7 7.8 7.9

4.0 2.8 5.2 6.5 7.6 8.7 4.0 2.6 4.4 5.9 5.7 5.7 4.0 4.9 7.2 7.5 7.5 7.6

4.2 2.1 4.1 5.7 6.7 7.7 4.2 2.2 3.7 5.7 5.6 5.5 4.2 4.2 6.4 7.3 7.3 7.4

4.4 - 3.1 5.1 5.9 6.8 4.4 - 3.2 4.9 5.5 5.3 4.4 3.7 5.7 6.8 7.1 7.1

4.6 - 2.3 4.2 5.2 5.9 4.6 - 2.7 4.3 5.4 5.2 4.6 3.2 5.1 6.1 7.0 6.9

4.8 - - 3.3 4.6 5.2 4.8 - 2.3 3.7 5.4 5.1 4.8 2.7 4.5 5.5 6.4 6.8

5.0 - - 2.6 4.0 4.6 5.0 - - 3.1 4.7 5.0 5.0 2.4 4.0 4.9 5.7 6.5

Ver Legenda pág. 28 do Relatório Original

Observação: Os valores de m e k utilizados na elaboração destas tabelas são os obtidos nos ensaios com chapa de espessura e = 1.0 mm.

dimensionamento de lajes mistas ... - …colaborante.pt/files/colaborante_tabelas_2.pdffig. 4 –...

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