didatica da matemática - limite

8/14/2019 didatica da matemtica - limite

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Universidade Federal de Santa Catarina

Departamento de Engenharia de Produo e SistemasPrograma de Ps-Graduao em Engenharia de Produo

IVANETE ZUCHI

A ABORDAGEM DO CONCEITO DE LIMITE VIA SEQUNCIADIDTICA: do ambiente lpis papel ao ambiente computacional

Tese de Doutorado

Florianpolis2005


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IVANETE ZUCHI


Tese apresentada ao programa de Ps-Graduao

em Engenharia de Produo da Universidade Federal deSanta Catarina como requisito parcial para a obteno do

grau de doutora em Engenharia de Produo.

Orientadora: Mirian Buss Gonalves, Dra.

Co-Orientadora: Neri Terezinha Both Carvalho, Dra.

Florianpolis2005


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i

IVANETE ZUCHI


Esta Tese foi julgada adequada para a obteno do ttulo de DOUTORA EMENGENHARIA DE PRODUO e aprovada em sua forma final pelo Programa de

Ps-Graduao em Engenharia de Produoda Universidade Federal de Santa Catarina.

____________________________________

Prof. Edson Pacheco Paladini, Dr.

Coordenador do Curso

Banca Examinadora:

___________________________________Profa Mirian Buss Gonalves, Dra

Orientadora

____________________________________Profa Neri Terezinha Both Carvalho, DraCo-orientadora

___________________________________Profa Karin Cristina Siqueira Ramos, DraExaminadora Externa

_________________________________Prof. Rogrio de Aguiar, Dr.Membro

______________________________Profa Marilena Bittar, DraExaminadora Externa

____________________________Prof. Edson Tadeu Bez, Dr.Moderador


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ii

Aos meus Pais, Anselma e Zeferino, pessoas

humildes e simples, que apesar de todas as

dificuldades conseguiram dar o que h de mais

precioso para um filho: os princpios

familiares. Minha retribuio lhes oferecer

esse fruto, o qual vocs ajudaram a plantar.


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iii

AGRADECIMENTOS

Agradeo primeiramente a minha orientadora Mirian, a luz que iluminou meu caminho pela longa

estrada do conhecimento. Obrigada pela confiana e dedicao.

Agradeo muito a Professora Neri pelas preciosas contribuies dadas na rea de Educao Matemtica.

A minha famlia, minha base de amor, meu acalanto.

Ao meu namorado Adriano, por seu amor, respeito e, principalmente, por suportar a ausncia e mesmo

na distncia se fazer presente.

professora e amiga Maria Bernadete, pelo desafio de aplicar a seqncia didtica em sua turma.

Obrigada pela confiana. Sua contribuio e incentivo foi fundamental nesse trabalho.

s professoras e amigas Katiani e Renata que acompanharam o trabalho desde a observao em classe

e possibilitaram a experimentao do prottipo em suas classes. Obrigada pelo incentivo e pelas contribuies

importantes.

Aos professores Pricles, Werner e Dario, os quais possibilitaram a realizao da aplicao desse

trabalho em suas classes.

Ao meu grande amigo de todas as horas, Rogrio. Obrigada pelas correes, pelo acompanhamento nas

experimentaes, pelas dicas, por ouvir meus lamentos e ter sempre uma palavra de incentivo.

A todos alunos que participaram desse trabalho o meu muito obrigada. Vocs foram os atores principais

dessa cena.

A nossa turma do almoo, Rogrio, Maria, Marnei, Gracieli,Eliane, Simes, Luiz e Carla, pelos

momentos de descontrao e pela alegria de suas companhias. Em especial, ao Rogrio pela sugesto do nome

do Sistema.

Por fim, mas no menos importante, agradeo aos meus amigos, os quais fazem parte da minha famlia:

Mari, Marcelo, Di, Sergio, Sandra e Ro, por sempre estarem presentes, independente de qualquer situao.


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iv

Orao do Professor

Dai-me, Senhor, o dom de ensinar,

Dai-me esta graa que vem do amor.

Mas, antes do ensinar, Senhor,

Dai-me o dom de aprender.

Aprender a ensinar

Aprender o amor de ensinar.

Que o meu ensinar seja simples, humano e alegre, como o amor.

De aprender sempre.

Que eu persevere mais no aprender do que no ensinar.

Que minha sabedoria ilumine e no apenas brilhe

Que o meu saber no domine ningum, mas leve verdade.

Que meus conhecimentos no produzam orgulho,

Mas cresam e se abasteam da humildade.

Que minhas palavras no firam e nem sejam dissimuladas,

Mas animem as faces de quem procura a luz.

Que a minha voz nunca assuste,

Mas seja a pregao da esperana.

Que eu aprenda que quem no me entende

Precisa ainda mais de mim,

E que nunca lhe destine a presuno de ser melhor.

Dai-me, Senhor, tambm a sabedoria do desaprender,

Para que eu possa trazer o novo, a esperana,

E no ser um perpetuador das desiluses.

Dai-me, Senhor, a sabedoria do aprender

Deixai-me ensinar para distribuir a sabedoria do amor.Antonio Pedro Schlindwein


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v

RREESSUUMMOO

ZUCHI, Ivanete. A ABORDAGEM DO CONCEITO DE LIMITE VIA SEQUNCIA

DIDTICA: do ambiente lpis papel ao ambiente computacional. 2005. 254 f. Tese

(Doutorado em Engenharia de Produo) Programa de Ps-Graduao em Engenharia de

Produo, UFSC, Florianpolis.

As dificuldades relativas ao ensino e aprendizagem do clculo so,

freqentemente, objetos de pesquisa em nvel nacional e internacional. Estas pesquisas

abordam o problema sob diversas perspectivas e em vrios contextos, oferecendo

elementos que permitam a anlise das dificuldades detectadas. Este trabalho parte das

premissas que h um obstculo no processo de ensino-aprendizagem do conceito de limite

e o desenvolvimento de uma nova metodologia pode contribuir de maneira significativa

no contedo em questo.

Com esse entendimento, o presente trabalho visa realizar um estudo sobre as

dificuldades de ensino-aprendizagem do conceito de limite e propor alternativas para

minimiz-las. Estas alternativas envolvem a integrao de duas reas: a Didtica da

Matemtica e a Inteligncia Artificial (IA).

A Teoria das Situaes, proposta por Brousseau, foi o referencial terico da

concepo e aplicao de uma seqncia didtica do conceito de limite. Essa seqncia

foi desenvolvida, inicialmente, no ambiente lpis e papel e aps num ambiente

informatizado utilizando-se os recursos da Inteligncia Artificial.

O uso dos recursos da IA na educao possibilitou o desenvolvimento de

pesquisas dedicadas aos Sistemas Tutoriais Inteligentes. Um dos objetivos desses tutoriais

criar condies favorveis construo, pelo aluno, de conhecimentos aceitveis

referentes a um objeto de ensino, assegurando-lhefeedbackpermanente. Desenvolver uma


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vi

seqncia didtica em um sistema tutorial inteligente constitui uma ferramenta, em

potencial, para o ensino-aprendizagem do conceito de limite.

O diferencial introduzido na metodologia aqui proposta a conexo do conceito de

limite sob a tica da aproximao e cinemtica que pode ser realizada atravs dos recursos

do sistema tutorial inteligente e ou at mesmo numa seqncia didtica no ambiente lpis

e papel. As seqncias didticas foram aplicadas em turmas do Centro Tecnolgico da

Universidade Estadual de Santa Catarina. Com os resultados obtidos nas experimentaes

realizadas foi possvel identificar as contribuies desse trabalho no processo de ensino e

aprendizagem do conceito de limite.

Palavras Chaves

Ensino-Aprendizagem do Conceito de Limite. Sistemas Tutoriais Inteligentes.

Seqncia Didtica.


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vii

ABSTRACT

The BOARDING Of the CONCEPT OF LIMIT saw DIDACTICS SEQUENCE:

of the surrounding pencil paper to the computational environment. 2005. Thesis

(Doctorate in Engineering of Production) Program of Post Graduation in Engineering of

Production, UFSC, Florianpolis.

The relative difficulties to education and learning of the calculation are,

frequently, objects of research in national and international level. These researchapproaches the problem under diverse perspectives and in some contexts, offering

elements that allow the analysis of the detected difficulties. This work has left of the

premises that an obstacle in the process of teach-learning of the limit concept has and the

development of a new methodology can contribute in significant way in the content in

question.

With this agreement, the present work aims at to carry through a study on the

difficulties of teach-learning of the limit concept and to consider alternatives to minimize

them. These alternatives involve the integration of two areas: the Didactics of the

Mathematics and Artificial Intelligence (AI).

The theory of Situation, proposal for Brousseau, was the theoretical referential of

the conception and application of a didactic sequence of the limit concept. This sequence

was developed, initially, in the surrounding pencil and paper and after in a informatics

environment using the resources of Artificial Intelligence.

The use of the resources of Artificial Intelligence in the education made possible

the development of dedicated research to the Intelligent Tutorial Systems. One of the

objectives of these tutorial ones is to create conditions favorable to the construction, for

the pupil, of referring acceptable knowledge to an education object, assuring to it


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viii

feedback permanent. To develop a didactic sequence in an intelligent tutorial system can

constitutes a tool, in potential, for the teach-learning of the limit concept

The differential introduced in the methodology proposal is the connection of the

concept of limit under the optics of the approach and kinematics that can be carried

through the resources of the intelligent tutorial system and or ties exactly in a didactic

sequence in the surrounding pencil and paper here. The didactics sequences they had been

applied in classrooms, of the Technological Center of the State University of Santa

Catarina. With the results gotten in the carried through experimentations it is possible to

identify to the contributions of this work in the education process and learning of the limit

concept.

Key words:

Teach-learning of the Limit Concept. Intelligent Tutorial Systems. Didactics Sequence.


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ix

SSUUMMRRIIOO

RESUMO ...................................................................................................................... v

ABSTRACT .................................................................................................................. vii

LISTA DE FIGURAS ................................................................................................... xiv

LISTA DE QUADROS E TABELAS .......................................................................... xvi

LISTA DE GRFICOS................................................................................................. xvii

1. INTRODUO E PROBLEMTICA...................................................................... 18

1.1 Justificativa .......................................................................................................... 18

1.2 Objetivos.............................................................................................................. 21

1.2.1 Objetivo geral ............................................................................................. 21

1.2.2 Objetivos especficos................................................................................... 22

1.3 Metodologia......................................................................................................... 22

1.4 Delimitao de Nosso Estudo.............................................................................. 23

1.5 Estrutura do Trabalho........................................................................................... 24

2. QUADRO TERICO................................................................................................ 262.1 Teoria das Situaes............................................................................................. 26

2.2 Obstculos Epistemolgicos................................................................................ 28

2.3 Engenharia Didtica............................................................................................. 33

3. HISTRIA DO CLCULO....................................................................................... 37

3.1 Introduo............................................................................................................. 37

3.2 Uma Histria de Muitas Incertezas, Tentativas, Conflitos e Contribuies........ 383.2.1 Os primrdios.............................................................................................. 38

3.2.2 Sculo XVII................................................................................................. 41

3.2.3 Sculo XVIII............................................................................................... 44

3.2.4 Sculo XIX e XX........................................................................................ 47

3.3 Uma Sntese Histrica da Construo do Conceito de Limite............................. 50

3.4 Aplicaes do Clculo.......................................................................................... 55


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x

4. O ENSINO DO CONCEITO DE LIMITE NA TICA DOS LIVROS

DIDTICOS...................................................................................................................

57

4.1 Introduo............................................................................................................. 57

4.2 Os Critrios para a Anlise dos Livros ................................................................ 58

4.3 A Anlise de Alguns Livros Didticos ................................................................ 59

5. PRIMEIRA EXPERIMENTAO-Ambiente Lpis e Papel.................................... 71

5.1 Introduo............................................................................................................. 71

5.2 Justificativas das Escolhas Realizadas................................................................. 725.2.1 A escolha da universidade........................................................................... 72

5.2.2 A escolha das turmas................................................................................... 72

5.2.3 Modo de realizao...................................................................................... 73

5.3 A Metodologia Utilizada...................................................................................... 73

5.3.1 A organizao do trabalho dos alunos e as regras de ensino....................... 73

5.3.2 Estrutura de controle das atividades realizadas pelos estudantes................ 75

5.4 Resultados da Observao em Classe................................................................... 75

5.4.1 Principais dificuldades registradas.............................................................. 76

5.4.2 Questionamento........................................................................................... 78

5.5 Concepo e Aplicao da Seqncia Didtica.................................................... 80

5.5.1 Apresentao da seqncia ......................................................................... 80

5.5.2 Primeira sesso: resoluo de uma situao problema ............................... 80

5.5.2.1 Atividade proposta .......................................................................... 81

5.5.3 Segunda sesso: situaes envolvendo um fixo ...................................... 81


5.5.4 Terceira sesso: definio de limite-demonstrao .................................... 82


5.6 Anlise a Priori .................................................................................................... 82

5.6.1 Anlise a priori da primeira sesso.............................................................. 82

5.6.2 Anlise a priori da segunda sesso.............................................................. 85

5.6.2.1 Anlise a priori primeira situao................................................. 85

5.6.2.2 Anlise a priori segunda situao................................................. 86


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xi

5.6.3 Anlise a priori da terceira sesso............................................................... 87

5.6.4 O contedo em jogo ................................................................................... 885.6.5 Concluso da anlise a priori da seqncia didtica proposta................... 88

5.7 Anlise a Posteriori ............................................................................................. 89

5.7.1 Introduo ................................................................................................... 89

5.7.2 Anlise a posteriori da primeira sesso ...................................................... 90

5.7.3 Institucionalizao da primeira sesso ....................................................... 101

5.7.4 Anlise a posteriori da segunda sesso ..................................................... 102

5.7.4.1 Anlise a posteriori primeira situao ......................................... 1035.7.4.2 Anlise a posteriori segunda situao ......................................... 108

5.7.5 Institucionalizao da segunda sesso ........................................................ 111

5.7.6 Anlise a posteriori da terceira sesso ....................................................... 113

5.7.7 Institucionalizao da terceira sesso.......................................................... 115

5.8 Sntese dos Resultados da Aplicao da Seqncia Didtica ............................. 115

6. INTELIGNCIA ARTIFICIAL E SISTEMAS ESPECIALISTAS ......................... 118

6.1 Inteligncia Artificial .......................................................................................... 118

6.2 Sistemas Especialistas ......................................................................................... 120

6.2.1 Introduo ................................................................................................... 120

6.2.2 Caractersticas de um sistema especialista.................................................. 121

6.2.3 Estrutura de um sistema especialista .......................................................... 122

6.2.4 Pessoas envolvidas na construo de sistemas especialistas....................... 125

6.2.5 Representao do conhecimento ................................................................ 126

6.3 Sistemas Especialistas do Ponto de Vista Educacional ....................................... 127

6.3.1 Exemplos de programas de ensino que utilizam os recursos da IA............ 132

7. DESENVOLVIMENTO DA SEQNCIA DIDTICA NUM AMBIENTE

COMPUTACIONAL .................................................................................................... 137

7.1 Introduo ............................................................................................................ 137

7.2 Estrutura do Horos .............................................................................................. 138


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xii

7.2.1 Mdulo do histrico ................................................................................... 138

7.2.2 Mdulo do ponto de vista cinemtico......................................................... 1417.2.3 Mdulo do ponto de vista de aproximao................................................. 143

7.3 Navegao Livre.................................................................................................. 152

7.4 A Contribuio dos Recursos da IA no Desenvolvimento da Seqncia

Didtica e as Limitaes do Prottipo ........................................................................... 156

7.5 Propostas de Utilizao do Horos ....................................................................... 158

7.5.1 Ponto de vista de aproximao.................................................................... 158

7.5.2 Ponto de vista cinemtico ........................................................................... 160

8. SEGUNDA EXPERIMENTAO Ambiente Computacional.............................. 162

8.1 Introduo ............................................................................................................ 162

8.2 Justificativas das Escolhas Realizadas................................................................. 162

8.2.1 A escolha das turmas .................................................................................. 162

8.2.2 Modo de realizao..................................................................................... 163

8.3 A Metodologia Utilizada ..................................................................................... 1658.3.1 A organizao do trabalho e as regras de ensino........................................ 165

8.3.2 Estrutura de controle das atividades realizadas pelos estudantes ............... 166

8.4 Apresentao da Seqncia em um Ambiente Computacional ........................... 167

8.4.1 Primeiro mdulo: um pouco de histria do clculo................................... 167

8.4.2 Segundo mdulo: limite do ponto de vista cinemtico .............................. 168

8.4.2.1 Atividade proposta ......................................................................... 168

8.4.3 Terceiro mdulo: limite do ponto de vista de aproximao ....................... 169

8.4.3.1 Atividade proposta ......................................................................... 169

8.5 Anlise a Priori .................................................................................................... 170

8.5.1 Anlise a priori do primeiro mdulo .......................................................... 170

8.5.2 Anlise a priori do segundo mdulo .......................................................... 170

8.5.2.1 Primeira situao: monitorada pelo prottipo ................................ 170

8.5.2.2 Segunda situao: ambiente lpis e papel ...................................... 171

8.5.3 Anlise do terceiro mdulo ........................................................................ 172

8.5.3.1 Primeira situao: problema da conta telefnica ............................ 172


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xiv

LLIISSTTAA DDEE FFIIGGUURRAASS

Figura 3.1: Quadratura do segmento parablico............................................................. 40

Figura 3.2: Quadratura da parbola................................................................................ 44

Figura 4.1: Seqncia de contedo apresentada por Thomas......................................... 60

Figura 4.2: Seqncia do contedo apresentada por Flemming e Gonalves................ 62

Figura 4.3: Seqncia de contedo apresentada por Leithold........................................ 65

Figura 4.4: Seqncia de contedo apresentada por Courant......................................... 67

Figura 4.5: Seqncia de contedo apresentada por Swokowsky.................................. 68

Figura 5.1: Organizao da seqncia didtica.............................................................. 80

Figura 5.2: Representao grfica da dupla D................................................................ 96

Figura 5.3: Representao grfica da dupla B................................................................ 97

Figura 5.4: Representao grfica apresentada pela Dupla D........................................ 99

Figura 6.1: Resoluo de problemas por Especialista Humano..................................... 122

Figura 6.2: Resoluo de problemas por Sistemas Especialistas................................... 123

Figura 7.1: Estrutura do Horos....................................................................................... 138

Figura 7.2: Tela do Histrico.......................................................................................... 139

Figura 7.3: Princpio de Cavalieri................................................................................... 140

Figura 7.3: Ponto de vista cinemtico............................................................................. 141

Figura 7.5: Velocidade mdia no primeiro intervalo...................................................... 142

Figura 7.6: Velocidade mdia no segundo intervalo...................................................... 142

Figura 7.7: Tela 1............................................................................................................ 144

Figura 7.8: Tela 2............................................................................................................ 145

Figura 7.9: Tela 3............................................................................................................ 145Figura 7.10: Tela 4.......................................................................................................... 146

Figura 7.11: Tela 5.......................................................................................................... 147

Figura 7.12: Tela 6.......................................................................................................... 147

Figura 7.13: Tela 7.......................................................................................................... 147

Figura 7.14: Tela 8.......................................................................................................... 148

Figura 7.15: Tela 9.......................................................................................................... 149

Figura 7.16: Tela 10........................................................................................................ 150


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xv

Figura 7.17: Tela 11........................................................................................................ 151

Figura 7.18: Tela 12........................................................................................................ 151Figura 7.19: Tela 13........................................................................................................ 152

Figura 7.20: Tela 14........................................................................................................ 153

Figura 7.21: Tela 15........................................................................................................ 153

Figura 7.22: Tela 16........................................................................................................ 154

Figura 7.23: Tela 17........................................................................................................ 154

Figura 8.1: A estratgia de inequaes apresentada por uma dupla da turma A............ 184

Figura 8.2: A estratgia dos extremos apresentada por uma dupla da turma A............ 185Figura 8.3: Resoluo da segunda situao realizada por uma dupla da turma A........ 186

Figura 8.4: Resoluo apresentada por uma dupla da turma B............ ............ ............ 189

Figura 8.5: Resoluo da atividade de limite por uma dupla da turma B....................... 191


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xvi

LLIISSTTAA DDEE QQUUAADDRROOSS EE TTAABBEELLAASS

Quadro 5.1: Primeira sesso..................................................................................... 81

Quadro 5.2: Segunda sesso.................................................................................... 82

Quadro 5.3: Terceira sesso..................................................................................... 82

Quadro 5.4: A funo em cena................................................................................. 90

Quadro 5.5: Resoluo da funo apresentada pela dupla B.................................... 91

Quadro 5.6: Resoluo da funo apresentada pela dupla D.................................... 91

Quadro 5.7: Resoluo da funo apresentada pela dupla C.................................... 92

Quadro 5.8: A inequao em cena.................................... ....................................... 92

Quadro 5.9: Resoluo da inequao apresentada pela dupla A.............................. 93

Quadro 5.10: Resoluo da inequao apresentada pela dupla D............................ 94Quadro 5.11: Representao grfica.............................. .......................................... 95

Quadro 5.12: Relao entre epsilon e delta.............................. ............................... 98

Quadro 5.13: Segunda sesso- situao 1.............................. .................................. 103

Quadro 5.14: identificao das variveis apresentada pela dupla A........................ 104

Quadro 5.15: Resoluo da primeira situao apresentada pela dupla C................. 106

Quadro 5.16: Resoluo da primeira situao apresentada pela dupla B................. 107

Quadro 5.17: Resoluo da primeira situao apresentada pela dupla A................. 107

Quadro 5.18: Segunda sesso- situao 2................. ................. ............................. 108

Quadro 5.19: Resoluo da segunda situao apresentada pela dupla A................. 110Quadro 5.20: Resoluo da segunda situao apresentada pela dupla B................. 110

Quadro 5.21: Resoluo da segunda situao apresentada pela dupla B................. 111

Quadro 5.22: Questionamento realizado pela professora................. ....................... 111

Quadro 5.23 Resoluo apresentada pela professora................. ............................ 112

Quadro 5.24: Resoluo terceira sesso apresentada pela dupla C................. ........ 114

Quadro 8.1: Problema da queda de um objeto.......................................................... 169

Quadro 8.2: Problema da conta telefnica............................................................... 169

Quadro 8.3: Problema da construo da estrada....................................................... 170

Quadro 8.4: Exemplo do carro de frmula I.............................................................175

Quadro 8.5: Resoluo apresentada por uma dupla da turma B............................... 178

Quadro 8.6: Resoluo apresentada por uma dupla da turma C............................... 179

Quadro 8.7: Resoluo apresentada por uma dupla da turma D............................... 179

Quadro 8.8: Resoluo dada por uma dupla da turma D.......................................... 180

Quadro 8.9: Resoluo de uma dupla da turma D.................................................... 180

Quadro 8.10: Resoluo dada por uma dupla da turma A........................................ 182

Quadro 8.11: Resoluo de uma dupla da turma D.................................................. 183

Quadro 8.12: Resoluo das inequaes por uma dupla da turma B........................ 190

Tabela 3.1: dados da corrida............................... ..................................................... 39

Tabela 4.1: anlise dos livros segundo os critrios destacados................................ 68


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xvii

LISTA DE GRFICOS

Grfico 8.1: velocidade mdia do intervalo AB....................................................... 168

Grfico 8.2 - percentual de aprovao do histrico.................................................. 174

Grfico 8.3: percentual da aprovao das estratgias dinmicas............................. 175

Grfico 8.4: Interface turma A...................................................... ........................... 194

Grfico 8.5: Interface turma B...................................................... ........................... 194

Grfico 8.6: Interface turma C...................................................... ........................... 195

Grfico 8.7: Interface turma D...................................................... ........................... 195

Grfico 8.8: Avaliao do produto turma A.......................................................... 196

Grfico 8.9: Avaliao do produto turma B.......................................................... 197

Grfico 8.10: Avaliao do produto turma C........................................................ 198

Grfico 8.11: Avaliao do produto turma D........................................................ 199

Grfico 8.12: Coerncia do diagnstico................................................................... 200

Grfico 8.13: fatores das dificuldades...................................................................... 201

Grfico 8.14: Auxlio na aprendizagem com a insero do prottipo...................... 202

Grfico 8.15: Contribuies do prottipo Horos...................................................... 202


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IIInnntttrrroooddduuuooo eee PPPrrrooobbbllleeemmmtttiiicccaaa 18

11.. IINNTTRROODDUUOO EE PPRROOBBLLEEMMTTIICCAA

1.1 JUSTIFICATIVA

As dificuldades relativas ao ensino e aprendizagem do conceito de limite so hmuito conhecidas. Estas dificuldades so encontradas ao longo da histria da Matemtica, que

data de mais de 2500 anos, envolvendo os processos de conceitualizao e instrumentalizao

do limite.

H vrias pesquisas, em nvel nacional e internacional, que tratam das dificuldades do

ensino-aprendizagem do clculo. Estas pesquisas abordam o problema sob diversas

perspectivas e em vrios contextos, oferecendo elementos que permitem a anlise das

dificuldades detectadas. Algumas pesquisas problematizam a apresentao formal dos

enunciados matemticos, de modo linearizado numa cadeia de resultados, que parecem no

admitir discusses. Encontramos, por exemplo, no trabalho de Tall (1991 apudSAD 1999)

que, abordagens correntes para o ensino superior tendem a proporcionar aos alunos o produto

do pensamento matemtico, enquanto o processo do pensar matemtico relegado. No se

costuma focalizar, de um modo geral, a trajetria completa do pensamento matemtico

avanado desde o ato criativo de considerar o contexto do problema que leva formulao de

conjecturas, constituio das afirmaes e justificativas, ao estgio final de refinamentos,resultados e provas.

Na prtica escolar da disciplina de Clculo Diferencial e Integral e nas investigaes

sobre os obstculos do conceito de limite foi possvel constatar que os alunos apresentam

dificuldades para entender o conceito de limite. Pesquisas realizadas em Educao

Matemtica apontam e analisam essas dificuldades.

A grande dificuldade do ensino e aprendizagem do conceito de limite, que seradica no somente em sua riqueza e complexidade, mas tambm no fato deque os aspectos cognitivos implicados no podem ser gerados simplesmente


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a partir da definio matemtica, que pode ser memorizada. A primeiranoo que se tem de limite uma noo dinmica de aproximao e amaneira que se utiliza o conceito para resolver problemas est relacionadano somente com a definio, mas com propriedades de um aspecto intuitivodo conceito. Isso explica por que muitos alunos acreditam compreender oconceito de limite sem haver adquirido as implicaes do conceito formal.(CORNU,1991 e SIERPINSKA, 1985, apud DAVOGLIO, 2002, p. 12).

O ensino do contedo de limite abordado geralmente no primeiro ano dos cursos de

Matemtica, Engenharias e reas afins. Esse objeto de estudo abordado com maior ou menor

profundidade, de acordo com o objetivo de cada curso. A importncia do ensino do conceito

de limite inquestionvel, pois ele a fundamentao das aplicaes do clculo, que surgemno contexto da derivada e integral. O grande avano do clculo, historicamente, foi possvel

no momento da formalizao do limite e aps isso, vrias aplicaes surgiram. Atualmente,

com o avano da tecnologia, vrias reas se desenvolveram graas ao clculo, tal como

compactao de impresses digitais, previso de tempo, representao de dados, entre outras.

Segundo Anton (2000) o limite o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos do clculo

esto baseados.

Apesar de sua grande importncia, o conceito de limite muitas vezes constitui-se o

grande gargalo do ensino de clculo. Muitos alunos saem de um curso de clculo sem

entend-lo e nem sequer relacionar com derivada e integral, que so, geralmente, os conceitos

adjacentes, apresentados nos livros didticos e na grade curricular. Podemos perceber que h

uma grande dificuldade na aprendizagem do conceito de limite quando se introduz esse,

intuitivamente, pela cinemtica e, aps se apresenta a definio, formalmente, utilizando o

ponto de vista de aproximao (, ). De acordo com Brolezzi (2004), alguns educadores

defendem a idia de adiar as abstraes mais fortes, como, por exemplo, dar a definio de

limite pelo ponto de vista de aproximao. O que parece que adiar, para os alunos dos

cursos superiores, conceitos importantes pode apenas atrasar um desenvolvimento e dificultar

que avancem. Ocorre que as idias do Clculo no so apenas conseqncias, mas causas de

idias importantes (BROLEZZI, 2004, p. 3).

As consideraes j mencionadas permitem-nos destacar uma primeira hiptese de

pesquisa:

[H 1 ] H um obstculo de ensino- aprendizagem no conceito de limite


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Pesquisas no ensino de clculo tm sido desenvolvidas na tentativa de diagnosticar tais

problemas e novas prticas metodolgicas tm sido testadas e analisadas, sob diversasperspectivas e dentro de diversos contextos, como por exemplo, o uso de computadores.

De acordo com DAmbrsio (2002), a tecnologia, entendida como a convergncia do

saber (cincia) e do fazer (tcnica), e a matemtica so intrnsecas busca solidria de

sobreviver e transcender. A gerao do conhecimento matemtico no pode ser dissociada da

tecnologia disponvel.

H bem pouco tempo atrs, a pergunta era: possvel utilizar o computador no ensino?

Haja vista a crescente utilizao dessa ferramenta pela sociedade atual, com sua presena cada

vez mais marcante nos diversos servios oferecidos populao, a questo central hoje passa

a ser: como potencializar as atividades de ensino inseridas em um ambiente informatizado?

Ao mesmo tempo em que as novas tecnologias tm favorecido surpreendentes

representaes do conhecimento, a anlise e a adaptao s novas necessidades educativas

requerem um suporte terico capaz de proporcionar meios e condies para estimular o

constante avano e adequar as novas tecnologias ao desenvolvimento dos indivduos. Um dos

grandes desafios saber como usar estes recursos de maneira adequada. Isto exigir dos

educadores novas metodologias de ensino que favoream o desenvolvimento de habilidades e

procedimentos com os quais o educando possa se reconhecer e se orientar nesse mundo do

conhecimento em constante movimento.

A Didtica da Matemtica tem um papel relevante na busca de novas alternativas de

ensino. Segundo Artigue (1988) ela o estudo dos processos de transmisso e da aquisio de

conhecimentos em Matemtica, em situaes escolar ou universitria. Ela descreve e analisa

as dificuldades encontradas e prope meios para ajudar os professores e alunos a super-las.

A Inteligncia Artificial (IA), um campo de estudo que tenta explicar e simular o

comportamento inteligente em termos de processos computacionais (SCHALKOFF, 1990

apud RUSSEL & NORVING, 1995). A IA surge como uma das tcnicas eficientes na

construo de ambientes computacionais de aprendizagem, pois possui vrios mecanismos a

serem aplicados no ambiente, entre os quais podemos destacar a modelagem do estudante e a

possibilidade de promover o diagnstico do usurio.


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Os Sistemas Tutorias Inteligentes (ITS-Intelligent Tutorial Systems) so programas de

computador com propsitos educacionais e que incorporam tcnicas de IA, geralmente,utilizando-se da tecnologia educacional. Um dos objetivos principais comunicar o

conhecimento e/ou as estratgias para o estudante resolver problemas dentro de um

determinado domnio.

A escolha em se trabalhar com recursos da Inteligncia Artificial aplicados Educao

conseqncia do fato que desde 1995 a autora do presente trabalho integrante do

GEIAAM (Grupo de Estudos de Informtica Aplicada Matemtica) do departamento da

Matemtica-UFSC, cujo objetivo principal utilizar as potencialidades da IA na construo

de pequenos sistemas especialistas em contedos especficos de Matemtica, visando

minimizar as dificuldades apresentadas pelos alunos desta disciplina. Desde ento a autora se

interessou por essa linha de pesquisa e desenvolveu ferramentas, baseadas em tcnicas de

Inteligncia Artificial, que auxiliassem nesta questo.

Nossa escolha, ao trabalhar com os recursos da IA, repousa sobre uma segunda

hiptese de pesquisa:

[H2]-Com a utilizao de um sistema tutorial inteligente possvel desenvolver

um ambiente de aprendizagem onde os estudantes consigam superar as dificuldades

relativas ao conceito de limite.

1.2 OBJETIVOS

1. 2.1 Objetivo geral

Pretende o presente trabalho realizar um estudo sobre as dificuldades de ensino e

aprendizagem do conceito de limite e propor alternativas que possam minimizar tais

dificuldades.


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1. 2.2 Objetivos especficos

Realizar um estudo sobre os obstculos presentes na histria do surgimento do

conceito de limite;

Analisar, nos livros didticos, como o conceito de limite apresentado;

Observar, em classe, as principais dificuldades na construo do conceito de

limite;

Desenvolver uma seqncia didtica do conceito de limite e aplicar em uma

classe;

Desenvolver e aplicar uma seqncia didtica do conceito de limite em um

ambiente informatizado.

1.3 METODOLOGIA

Para atingir os objetivos propostos trabalharemos com a integrao de duas reas: a

Didtica da Matemtica e a Inteligncia Artificial.

Assim, em um primeiro momento, a Teoria das Situaes, proposta por Brousseau

(1986), nos fornecer fundamentos para propor uma seqncia didtica do conceito de limite,

em sala de aula. Posteriormente, integrar essa fundamentao com a aplicao das tcnicas de

Inteligncia Artificial para desenvolver uma seqncia didtica em um sistema tutorial

inteligente, o qual poder ser uma ferramenta em potencial para o ensino e aprendizagem do

conceito de limite.

A metodologia adotada a Engenharia Didtica (ARTIGUE, 1988), que envolve as

seguintes fases:

1. Anlise preliminar: Caracteriza-se pelo levantamento das concepes envolvidas,

que buscam referncias tericas que fundamentem a pesquisa. Nesta etapa faremosuma explanao do referencial terico da Didtica da Matemtica, Histria do


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Clculo, Inteligncia Artificial e Sistemas Especialistas. Tambm realizamos a

anlise de alguns livros didticos e observao em classe das dificuldadesapresentadas por estudantes no processo de ensino e aprendizagem do conceito de

limite.

2. Concepo e Anlise a priori: Essa etapa tem como objetivo elaborar seqncias

pertinentes de aprendizagem, tendo como meta, ao mesmo tempo, os alunos e o

problema didtico proposto. Aqui se encontra a concepo e anlise de uma

seqncia didtica no ambiente lpis e papel e tambm far parte a concepo e

anlise de uma seqncia no ambiente computacional.3. Experimentao: fase em que se aplica a seqncia didtica a uma determinada

populao de estudantes.

4. Anlise a posteriori: corresponde anlise do conjunto dos dados obtidos na fase

da experimentao e s observaes realizadas durante a aplicao da seqncia. O

confronto das anlises a priori e a posteriori fundamenta a validao das hipteses

formuladas.

No sentido de contribuir, inicialmente, para um aprofundamento dos objetivos

propostos, e levando em considerao as hipteses apresentadas, abordaremos a seguir as

questes de pesquisa.

1.4 DELIMITAO DE NOSSO ESTUDO

As questes relativas a hiptese de pesquisa [H 1 ] so:

[Q1a]- Quais so as dificuldades de aprendizagem do conceito de limite?

[Q1b] - Quais foram os obstculos e problemas envolvidos no surgimento de limite?

[Q1c] - Como, nos livros didticos, introduzido o conceito de limite?


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[Q1d]- A aplicao de uma seqncia didtica adequada pode contribuir para a

aprendizagem da definio de limite sob o ponto de vista de aproximao?

Levando em considerao que as respostas das questes apresentadas, anteriormente,

constituem-se uma referncia para estudar a segunda hiptese de pesquisa [H2], apresentamos

como questes norteadoras relacionadas a essa, as seguintes:

[Q2a] - A utilizao de um ambiente computacional poder fornecer mecanismos com

o intuito de minimizar as dificuldades de aprendizagem do conceito de limite do ponto de

vista de aproximao e cinemtica?

[Q2b] - Que contribuies podem advir da utilizao de recursos da Inteligncia

Artificial no processo de ensino-aprendizagem da definio de limite?

Uma questo integradora das hipteses [H1] e [H2] a seguinte:

[Q3] - Que situaes didticas podem ser criadas no sentido de favorecer o processo

de ensino-aprendizagem do conceito de limite?

Estruturamos este trabalho de maneira a ser possvel explorar as questes de pesquisa,

com as devidas fundamentaes tericas e metodolgicas utilizadas, adotando a seguinte

seqncia para o corpo do trabalho.

1.5 ESTRUTURA DO TRABALHO

Nesse captulo, de carter introdutrio, foram apresentados a introduo, a

problemtica, os objetivos, a metodologia e a estrutura do presente trabalho.

O segundo captulo apresenta a fundamentao terica, baseada na teoria de Situaes,

desenvolvida por Brousseau (1986) e a descrio detalhada da metodologia de EngenhariaDidtica.


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No terceiro captulo apresenta-se o contexto histrico do surgimento do conceito do

limite com o intuito de investigar os problemas e os obstculos presentes no desenvolvimentodo clculo.

No quarto captulo apresenta-se uma anlise de alguns livros didticos de Clculo

Diferencial e Integral com o intuito de investigar como o conceito de limite abordado.

No quinto captulo apresenta-se a primeira seqncia didtica concebida com o intuito

de minimizar as dificuldades e obstculos levantados, bem como a sua anlise a priori e a

posteriori.

No sexto captulo apresenta-se a fundamentao terica para o desenvolvimento de

uma seqncia didtica em um ambiente informatizado.

No stimo captulo explana-se o desenvolvimento da seqncia didtica implementada

em ambiente informatizado resultando no prottipo denominado Horos.

No oitavo captulo explana-se os experimentos realizados do prottipo Horos bemcomo os resultados oriundos dessa experimentao.

As concluses oriundas da integrao das reas da Didtica da Matemtica e da

Inteligncia Artificial para o ensino e aprendizagem do conceito de limite encontram-se

relatadas no nono captulo.

Na seqncia so apresentadas as referncias bibliogrficas utilizadas na presente

pesquisa, bem como os anexos e apndices que fazem parte da mesma.


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2.1 TEORIA DAS SITUAES

A teoria das Situaes Didticas desenvolvida por Brousseau (1986) representa uma

referncia para o processo de aprendizagem Matemtica em sala de aula envolvendo

professor, aluno e conhecimento matemtico. No de nosso interesse esgotar essa teoria,

mas descrever alguns pontos que nortearo nossa pesquisa.

O significado do saber matemtico escolar para o estudante est diretamente

relacionado com a forma com que o contedo lhe apresentado. O envolvimento do aluno

depender da estruturao das diferentes atividades de aprendizagem por meio de uma

situao didtica.

Por meio da noo de situaes didticas possvel desenvolver uma srie de

atividades previstas para o ensino da matemtica, cada qual voltada para o desenvolvimento

de uma competncia ou habilidade associada a essa disciplina. A criao de uma situao

didtica pode ser iniciada pela escolha de um problema colocado para despertar a motivao

do aluno.

Segundo Brousseau (1998), uma situao a-didtica deve levar o aluno a agir, falar,

refletir, e evoluir por si prprio. O aluno sabe perfeitamente que o problema foi escolhido para

levar a adquirir um conhecimento novo, mas sabe igualmente que esse conhecimento

inteiramente justificado pela lgica interna da situao e que ele pode constru-lo sem fazer

apelo a razes didticas. O conhecimento considerado adquirido pelo aluno quando esse for

capaz de aplic-lo por si prprio a situaes com que se depara fora do contexto do ensino e

na ausncia de qualquer indicao intencional..

O professor procura transmitir ao aluno uma situao a-didtica queprovoque nele a interao mais independente e mais fecunda possvel. Para


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isso, comunica ou abstm-se de comunicar, conforme os casos, informaes,questes, mtodos de aprendizagem, heursticas, etc. O professor estenvolvido num jogo com o sistema de interaes do aluno com os problemasque ele lhe coloca. Este jogo ou situao mais vasta a situao didtica.(BROUSSEAU, 1996, p.50)

De acordo com esta teoria o papel do professor no se limita a simples comunicao

de um conhecimento, mas a devoluo de um bom problema.

A devoluo aqui tem o significado de transferncia de responsabilidade,uma atividade na qual o professor, alm de comunicar o enunciado, procuraagir de tal forma que o aluno aceite o desafio de resolv-lo como se o

problema fosse seu, e no somente porque o professor quer. Se o aluno tomapara si a convico de sua necessidade de resoluo do problema, ou seja, seele aceita participar desse desafio intelectual e se ele consegue sucesso nesseseu empreendimento, ento inicia-se o processo da aprendizagem. (PAIS,2001, p.12)

Diversas etapas esto envolvidas no processo que permeia o caminho da devoluo do

problema e a efetiva aprendizagem. importante a anlise de certos tipos particulares de

situaes didticas, que esto presentes nesse processo.

De acordo com Brousseau (1986) uma boa situao a-didtica permite ao aluno

construir os conhecimentos, dando-lhe ao mesmo instante, um significado. Nessa situao

evidencia-se um processo envolvendo quatro fases: situao de ao, situao de formulao,

situao da validao e a situao da institucionalizao.

Uma situao de ao aquela em que o aluno, que se encontra ativamente

empenhado na busca de soluo de um problema, realiza determinadas aes mais imediatas,

que resultam na produo de um conhecimento de natureza mais operacional. Uma boasituao de ao deve permitir ao aluno julgar o resultado de sua ao e ajust-la, sem a

interveno do professor. Durante o processo dessa situao deve instaurar-se um verdadeiro

dilogo entre o aluno e a situao proposta.

Na Situao de formulao o aluno j utiliza, na soluo do problema estudado, alguns

modelos ou esquemas tericos explcitos alm de mostrar um evidente trabalho com

informaes tericas de uma forma bem mais elaborada, podendo ainda utilizar uma

linguagem mais apropriada para viabilizar esse uso da teoria.


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A validao emprica obtida nas situaes anteriores no suficiente. O aluno deve

mostrar que o modelo que ele criou, anteriormente, vlido. As situaes de validao soaquelas em que o aluno j utiliza alguns mecanismos de prova e onde o saber usado com

essa finalidade.

Uma vez construdo e validado, o novo conhecimento far parte do saber matemtico

institucionalizado na classe. Nesta fase ocorre a chamada situao de institucionalizao sob a

responsabilidade do professor, que aquela que visa estabelecer o carter de objetividade e

universalidade do conhecimento.

O funcionamento das situaes didticas ocorre sob o controle de regras e de

condies que constituem a noo de contrato didtico. Assim, uma situao de ensino pode

ser observada atravs das relaes que se movimentam entre trs plos inter-relacionados:

professor, aluno e saber.

Segundo Brousseau (1998) a identificao e a caracterizao de um obstculo so

essenciais anlise e construo de uma situao didtica. Por isso, na seqncia, estaremos

explanando alguns tpicos desse assunto.

2.2 OBSTCULOS EPISTEMOLGICOS

Conhecer os obstculos epistemolgicos relacionados a um saber matemtico

fundamental para a elaborao de uma engenharia didtica (explanada em 2.3). A matemtica

vista como cincia apresenta uma regularidade, aparentemente, que parece no ter erros ou

rupturas, demonstrando uma certa linearidade. Essa regularidade s existe na fase final da

formulao do texto matemtico.

Bachelard (1996) em sua obraA Formao do Esprito Cientfico, publicada em 1938,

dizia que a evoluo do conhecimento passa pela rejeio de conhecimentos anteriores e


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aparecimento de obstculos. Esses obstculos que aparecem na fase da criao no esto

expostos na redao do saber. Aparecem na fase da aprendizagem e sntese do conhecimentoe no na fase de seu registro histrico.Todos os avanos, retrocessos, dvidas e erros

cometidos na hora de fazer a conjectura, no aparecem no resultado final apresentado pelo

texto cientfico.

Por certo os obstculos aparecem num momento bem mais ntimo do processo, no esto expostos na textualizao do saber matemtico, masesto presentes nos diversos labirintos que o matemtico mergulha para asntese do conhecimento que elabora. No caso da matemtica os conceitos

epistemolgicos aparecem com mais intensidade no fenmeno daaprendizagem escolar. Quando o aluno, na interface com o saber escolar,deixa aflorar com toda intensidade toda uma bagagem de conhecimentoainda fortemente impregnado pelo cotidiano. Assim, por exemplo, a noode generalidade ainda est sendo usada no sentido do cotidiano, o rigor nomesmo sentido, a lgica ainda no tem a mesma preciso no contexto damatemtica.(PAIS, 2004, p.41).

Segundo Bachelard (1971), na educao, a noo de obstculo pedaggico tambm

desconhecida.

Fico sempre chocado com o fato de que os professores de cincias, maisainda que os demais, se isso possvel, no compreendam que no secompreenda. Pouco numerosos so aqueles que esquadrinharam a psicologiado erro, da ignorncia e da irreflexo (...) os professores imaginam que oesprito cientfico comea com uma cultura desleixada ao duplicar uma aula,que se pode fazer compreender uma demonstrao repetindo-a ponto a

ponto. No meditaram sobre o fato de que o adolescente chega aula possuidor de conhecimentos empricos j constitudos. Trata-se ento, node adquirir uma cultura experimental, mas de mudar de cultura experimentalde inverter os obstculos j antepostos pela vida quotidiana. (BACHELARD,1971, p. 56).

Os obstculos epistemolgicos tm, por um lado, razes histricas e culturais, e por

outro esto relacionados dimenso social da aprendizagem. Muitos deles so representaes

elaboradas pelo imaginrio do sujeito cognitivo. a que surgem dificuldades decorrentes de

conhecimentos anteriores, bloqueando a evoluo da aprendizagem.

Andrade, Zylbersztajn e Ferrari (2002) destacam que os obstculos epistemolgicos

so obstculos pedaggicos, uma vez que podem obstruir a atividade racional do aluno. Esses

referenciam Santos (1991) que destaca que o conhecimento geral um conhecimento vago,que imobiliza o pensamento e fornece respostas vagas, fixas, seguras e gerais a qualquer


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questionamento. O problema pode ser mais grave quando a idia do geral aparece

imediatamente adaptada idia do comum. Na aritmtica, por exemplo, um estudante aprendeque o produto de dois nmeros inteiros positivos, a e b (a1 e b1) sempre maior do que

cada fator. Isso pode ser uma dificuldade aprendizagem das propriedades do produto de dois

nmeros racionais, para os quais a proposio nem sempre verdadeira. Ainda na rea de

nmeros racionais, a diviso de um nmero inteiro positivo por um nmero menor do que um

cujo resultado maior do que o dividendo. Nesse caso, o conhecimento anterior, no cotidiano

no refletido, traz a idia intuitiva de que o resultado da diviso sempre menor do que o

dividendo.

Muitas vezes tambm o excesso de simbologia gera dificuldades para o aluno,

chegando inclusive a impedir que ele compreenda a idia representada pelo smbolo. Esta

dificuldade, gerada freqentemente por uma apresentao inadequada da linguagem

matemtica, bastante lamentvel, pois ela foi desenvolvida justamente com a inteno

oposta. A linguagem matemtica foi desenvolvida para facilitar a comunicao do

conhecimento matemtico entre as pessoas. Entretanto, quando abusamos do uso de smbolos

e no nos preocupamos em trabalhar a compreenso dos mesmos, clareando o seu significado,

conseguimos o efeito contrrio: dificultamos o processo de aprendizagem da matemtica.

No apenas os piores alunos da turma, mas at estudantes bem inteligentes, podem ter averso lgebra. H sempre alguma coisa de arbitrrio eartificial numa notao e o aprendizado de uma nova notao constitui umasobrecarga para a memria. O estudante inteligente recusar aceitar estenus se ele no notar nisso nenhuma compensao. A sua averso pelalgebra se justificar se no lhe for dada ampla oportunidade para que ele seconvena, por sua prpria experincia, de que a linguagem dos smbolos

matemticos ajuda o raciocnio. Auxili-lo nessa experincia constitui umadas mais importantes tarefas do professor. (POLYA, 1995, p. 101).

No plano escolar, o risco de ocorrer uma generalizao precipitada reside na tentativa

de transformar o saber cotidiano em saber cientfico. Mas, se o ensino de uma proposio

matemtica foi iniciado pelo aspecto de sua generalidade, a chance para ocorrer um

conhecimento vago imensa. Quer dizer, a ordem da construo epistemolgica da

generalidade no se inicia pelo fato geral em si. Ela deve ser conjecturada a partir de casos

particulares e por meio de um lento processo que envolve indagaes, reflexes, avanos eretrocessos, culminando em uma demonstrao como sntese de elaborao do saber.


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A noo dos obstculos epistemolgicos pode ser estudada dentro do desenvolvimento

histrico do pensamento cientifico e dentro da prtica da educao.

Segundo Trouche (1996), isto introduz uma primeira distino entre os obstculos

reconhecidos dentro do desenvolvimento histrico e aqueles reconhecidos dentro da prtica da

educao. Os obstculos epistemolgicos dentro da prtica educacional podem ser

pesquisados a partir da noo da transposio didtica, a partir de estudos de situaes de

classes ou de produes de estudantes.

Brousseau (1998) distingue trs tipos de obstculos:

Os obstculos epistemolgicos: relativos resistncia de um saber mal

adaptado;

Os obstculos didticos: relativos s escolhas do sistema de ensino;

Os obstculos de origem ontognica: relativos capacidade cognitiva dos

estudantes.

Cornu (1992, apudTrouche, 1996) cita outros, tais como:

Os obstculos sociais - relativos a classe social, ao nvel cultural e religio;

Os obstculos tcnicos De acordo com Cornu (1992), os obstculos de

origem tcnica so os obstculos que podem ser ultrapassados graas a uma

contribuio material, tecnolgica ou tcnica. Por exemplo, as calculadoras de

bolso ou os computadores ajudam a ultrapassar certos obstculos tcnicos e

permitem fazer clculos precisos e numerosos.

Em relao aos obstculos relativos ao conceito de limite, objeto de nossa pesquisa,

Sierpinska (1985, apud Artigue, 1990) em suas investigaes, destaca os seguintes

obstculos:

O horror ao infinito - refuta ou evita o infinito (em particular a transferncia

automtica dos mtodos de lgebra das grandezas finitas s grandezas infinitas,

a associao da passagem do limite a um movimento fsico, a umareaproximao...);


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Os obstculos relativos ao conceito de funo - confuso de funes /

seqncias de valores, redues montonas; Os obstculos geomtricos - o limite somente um objeto geomtrico, no

pode ser visto como um quadro de aproximao numrica;

Os obstculos lgicos relativos presena de quantificadores de ordem;

Os obstculos do smbolo relativo resistncia a introduo de um smbolo

especfico para o limite.

Cornu (1991, apudTrouche, 1996) tambm descreve cinco obstculos:

A transposio numrica relativa dificuldade de se abstrair do contexto

geomtrico e cinemtico para trabalhar sobre os nmeros;

Aspectos metafsicos - vertigem ao infinito;

A noo do infinitamente pequeno ou do infinitamente grande;

A idia que o limite no pode ser perturbado;

Convergncia montona.

Trouche (1996) incorpora os obstculos relativos ao conceito de limite, citados

anteriormente, nos seguintes obstculos:

Os obstculos atomistas que abrange os obstculos dos infinitamente

pequenos de Cornu e os obstculos da confuso de funes de Sierpinska;

Os obstculos geomtricos uma curva tende a se aproximar de sua assntota;

Os obstculos cinemticos montonos a idia do limite associada a uma

aproximao numrica;

Os obstculos algbricos a transferncia automtica dos mtodos de lgebra

das grandezas finitas s grandezas infinitas;

Os obstculos lgicos o controle da varivel precede da funo: muito

maior que a simples localizao de eventuais quantificadores.

De acordo com Trouche (1996), os obstculos geomtricos, cinemtico- montono e

lgico so relativos ao ponto de vista cinemtico; os obstculos algbricos so relativos ao

ponto de vista numrico. O obstculo atomista mais difcil de associar a um ponto de vista

ou outro. Ele pode ser compatvel com o ponto de vista cinemtico se uma funo


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estritamente crescente, podemos dizer que para todo acrscimo da varivel haver um

acrscimo no nulo da funo, mesmo sendo muito pequeno. Pode ser compatvel com oponto de vista de aproximao: o pode representar um real positivo, o menor possvel. Os

diferentes obstculos tm entre eles mesmos relaes complexas. Os obstculos cinemtico-

montono e lgico apresentam uma grande coerncia (TROUCHE, 1996, p. 159).

Em nossa prtica escolar na disciplina de Clculo Diferencial e Integral e em nossas

investigaes sobre os obstculos do conceito de limite foi possvel constatar que os alunos

apresentam dificuldades para entender o conceito de limite. Pesquisas realizadas em Educao

Matemtica apontam e analisam essas dificuldades.

Pesquisas tm mostrado que os estudantes possuem concepes espontneas

pessoais, oriundas de suas experincias pessoais. Assim, por exemplo, a expresso tende a

pode ser interpretada de vrias maneiras, como aproximar mantendo distncia, aproximar

sem alcanar, aproximar alcanando, enquanto a palavra limite tem o sentido de no poder

ser ultrapassado, embora possa ser interpretado como alcana mas no ultrapassa ou no se

ultrapassa e nem se alcana (CORNU, 1991, apudDAVOGLIO, 2002).

Os efeitos didticos de uma seqncia didtica bem elaborada caracterizam-se como

momentos decisivos para o sucesso e para a continuidade da aprendizagem de um

determinado contedo. Para a elaborao das seqncias didticas utilizaremos a metodologia

da Engenharia Didtica.

2.3 ENGENHARIA DIDTICA

A Didtica da Matemtica tem um papel relevante na busca de novas alternativas de

ensino.

A pesquisa em Didtica da Matemtica se prope, como primeiro grandefoco de interesse, a entender melhor os processos didticos e os fenmenosque estes originam, tanto aqueles que acontecem na aula como fora dela.Parte-se do princpio de que unicamente a partir de uma melhor


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compreenso desses processos que podero ser propostas aes e meiosconcretos para melhorar o estudo da Matemtica. Do mesmo modo quedevemos entender melhor o funcionamento do corpo humano para avanarem medicina, tambm devemos entender melhor o que um processo deestudo, para poder dar respostas slidas s dificuldades didticas com asquais se enfrentam, dia aps dia, todos aqueles que estudam Matemtica, ouque ajudam outros a estud-la sejam alunos, professores, pais ou

profissionais de outras reas. (CHEVALLARD, 2001, p.58).

Um dos trabalhos mais interessantes realizados pelo professor tem sido o de escolher

ou organizar seqncias de atividades que explorem um domnio do conhecimento. Estas

seqncias de ensino aparecem, tambm, como um dos principais objetos da Engenharia

Didtica.

Para Brousseau (1986, apud Douady, 1990) uma das finalidades das Escolas

organizar, em condies normais para os alunos e aceitveis para os professores, a preparao

de protocolos de experincias, a observao de fenmenos didticos, a coleta e tratamento de

numerosas informaes, de toda sorte, sobre o comportamento dos alunos em situao escolar

durante um perodo.

A Engenharia Didtica vista como metodologia de pesquisa, caracteriza-se por um

esquema experimental baseado em realizaes didticas em classe, isto , sobre a concepo,

a realizao, a observao e a anlise de seqncias de ensino - seqncias didticas

(ARTIGUE, 1988).

Para a mesma autora o procedimento experimental da engenharia didtica composto

de quatro fases:

1. Anlise preliminar: Caracteriza-se pelo levantamento das concepes envolvidas,

que buscam referncias tericas que fundamentem a pesquisa.

2. Concepo e Anlise a priori: ponto-chave da metodologia. Essa etapa tem como

objetivo elaborar seqncias pertinentes de aprendizagem, tendo como meta, ao

mesmo tempo, os alunos e o problema didtico proposto. Apresenta vrios

componentes, tais como: estudo epistemolgico, o significado matemtico (objeto

de estudo), levantamento de condutas dos alunos. Nesta etapa atua-se sobre um

determinado nmero de variveis pertinentes ao assunto a ser pesquisado tendo

como objetivo determinar em que as escolhas das variveis possibilitam controlar


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incertezas, tentativas, discordncias e contribuies convincentes de vrios personagens

ilustres, ao longo da histria, como veremos a seguir.


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HHHiiissstttrrriiiaaa dddooo CCClllcccuuulllooo 37

33.. HHIISSTTRRIIAA DDOO CCLLCCUULLOO

3.1 INTRODUO

A origem das idias fundamentais do Clculo Diferencial e Integral encontra-se na

histria da Matemtica grega. Os gregos possuam, j na poca em que Euclides escrevia "OsElementos", quase todos os fundamentos para desenvolver o Clculo, mas ficaram presos por

algumas concepes restritivas. Foram os gregos os primeiros a procurar a compreenso dos

fenmenos ligados ao infinito, ao contnuo, ao infinitesimal, em busca de uma explicao para

o movimento e as transformaes dos seres. Da idia de movimento vieram os primeiros

conceitos do Clculo Diferencial e Integral (BROLEZZI,1999).

Segundo Boyer (1974), o Clculo teve sua origem nas dificuldades encontradas pelos

antigos Matemticos gregos na tentativa de expressar suas idias intuitivas sobre as razes ou

propores de segmentos de retas, que vagamente reconheciam como contnuas, em termos de

nmeros, que consideravam discretos.

Os principais conceitos de clculo: derivada, continuidade, integral, convergncia,

divergncia, entre outros, so definidos em termos de limite. Limite o conceito mais

fundamental do clculo. De fato, limite o que distingue, no nvel mais bsico, o clculo da

lgebra, geometria e o resto da matemtica. Portanto, em termos de desenvolvimentoordenado e lgico do Clculo, limite deve vir primeiro. Entretanto, o registro histrico

justamente o oposto. Por vrios sculos, as noes de limites eram confusas, com idias vagas

e algumas vezes filosficas sobre o infinito e com intuio geomtrica subjetiva e indefinida.

O termo limite, que atualmente usamos decorrente do iluminismo na Europa no final do

sculo XVIII e incio do sculo XIX.

A seguir, apresentado um pouco da histria do limite.


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3.2 UMA HISTRIA DE MUITAS INCERTEZAS, TENTATIVAS, CONFLITOS E

CONTRIBUIES

3.2.1 Os Primrdios

Os debates acerca do infinito so anteriores a Plato e Aristtoles e marcaram

presena nas escolas gregas. Um dos precursores foi Zeno de Elea (sculo V a.C). Ele

mostrou que se o conceito de contnuo e de infinita diviso fossem aplicados ao movimentode qualquer corpo, ento o movimento no existe. Zeno exps sua argumentao com base

em situaes, que ficaram conhecidas como os paradoxos de Zeno.

O primeiro paradoxo, a Dicotomia, diz que antes que um objeto possa percorrer uma distncia dada, deve percorrer a primeira metade dessadistncia; mas antes disso, deve percorrer o primeiro quarto; e antes disso,o primeiro oitavo e, assim por diante, atravs de uma infinidade desubdivises. O corredor que quer pr-se em movimento precisa fazerinfinitos contatos num tempo finito; mas impossvel exaurir uma coleo

infinita, logo impossvel iniciar o movimento (BOYER, 1974, p.55)

O segundo paradoxo, Aquiles e a Tartaruga, semelhante ao primeiro, apenas a

subdiviso infinita progressiva em vez de regressiva que pode ser formulado assim: suponha

que Aquiles deve disputar uma corrida com a tartaruga. Sendo de longe a mais lenta dos dois,

a tartaruga autorizada a comear num ponto a certa distncia frente. Aquiles jamais

conseguir alcanar seu adversrio, afirma Zeno. Para isso, ele precisa chegar ao ponto de

partida. A esta altura, a tartaruga ter avanado at algum ponto adiante na pista de corridas. E

quando Aquiles alcanar este ponto, a tartaruga ter avanado ainda mais. bvio, afirmaZeno, que a srie interminvel. Haver sempre alguma distncia, por menor que seja, entre

os dois competidores. (MORRIS, 1998).

Segundo Morris (1998, p.24) saber algumas coisas sobre as razes por que Zeno

criou seu paradoxo no nos ajuda a compreend-lo. Para tal, preciso estudar o paradoxo em

si. Portanto, descreveremos a seguir o problema:

Vamos supor que Aquiles corre exatamente duas vezes mais depressa que atartaruga (...). Alm disso, vamos presumir que a vantagem dada tartaruga de 10 metros e que Aquiles precisa exatamente de um segundo para


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completar a primeira fase da corrida; isto , para chegar ao ponto de partidada tartaruga. fcil de ver que a dianteira da tartaruga ter sido reduzida acinco metros nesse ponto. Se Aquiles capaz de correr 10m por segundo,a tartaruga correr com metade dessa velocidade. Como a dianteira datartaruga foi reduzida pela metade, bvio que Aquiles precisar apenas demeio segundo para completar a segunda fase. A transposio da terceiraexigir um quarto de segundo, ao passo que a quarta vai demandar umoitavo de segundo, e assim por diante. (MORRIS, 1998, p.24)

A tabela 3.1 apresenta os dados do nmero de voltas por unidade de tempo:

Tabela 3.1: dados da corrida

volta 1 2 3 4 5 6 ...t(s) 1 1/8 1/16 1/32 ...

Se somarmos ento o tempo total transcorrido em qualquer fase da corrida,

verificamos que a soma 3/2 segundo aps duas voltas, 7/4 segundo aps trs, 15/8 aps

quatro e assim por diante.

A impresso que se tem de que o tempo total se aproxima cada vez mais de dois

segundos. Na realidade, Aquiles alcanaria a tartaruga exatamente nesse intervalo de tempo,

nas condies descritas.

Zeno no disse que Aquiles seria incapaz de alcanar a tartaruga numtempo finito. Sabia perfeitamente que era exatamente isso que aconteceria. Oque Zeno disse realmente foi que era impossvel para Aquiles efetuar umnmero infinito de atos. (MORRIS,1998, p.25)

Podemos encontrar tambm a idia de limite envolvida, na antiguidade, com o

conceito de reas. Matemticos sugeriram que se tentasse inscrever e circunscrever figurasretilneas em uma figura curva, e ir multiplicando-se indefinidamente o nmero de lados; mas

no sabiam como terminar o argumento, pois no conheciam o conceito de limite. Segundo

Arquimedes foi Eudoxo quem forneceu o lema que serviu de base para o mtodo da exausto.

Este lema diz que, dadas duas grandezas que tm uma razo (nenhuma delas sendo zero),

pode-se achar um mltiplo de qualquer delas que seja maior que a outra. Do axioma de

Eudoxo (ou Arquimedes) verificamos uma proposio que formava a base do mtodo de

exausto dos gregos, da seguinte forma:


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Se de uma grandeza qualquer subtrairmos uma parte no menor que suametade e do resto novamente subtrai-se no menos que a metade e se esse

processo de subtrao continuado, finalmente restar uma grandeza menorque qualquer grandeza da mesma espcie (BOYER, 1974, p. 67).

Esta proposio que chamaremos de propriedade de exausto equivale formulao

moderna seguinte:

Se M uma grandeza dada, uma grandeza prefixada de mesma espcie e r

uma razo tal que r2

1< 1, ento podemos achar um inteiro N tal que

N. Isto , a propriedade de exausto equivale adizer que 0)1(lim =

n

nrM . Ainda mais, os gregos usaram essa

propriedade para provar teoremas sobre reas e volumes de figurascurvilneas. (BOYER, 1974, p. 67).

Na Quadratura da parbola, Arquimedes calculou a rea do segmento parablico. Ele

inscreveu sucessivos tringulos no segmento de parbola, calculou a rea desses tringulos e

obteve valores cada vez mais prximos do pretendido, somando as reas dos sucessivos

tringulos (ver figura 3.1). Assim demonstrou que a rea do segmento de parbola igual a

4/3 da rea do tringulo com a mesma base e com a mesma altura do segmento. No entanto

Arquimedes no prolongou as somas at ao infinito. Ele deduziu o seu valor demonstrando

que no pode ser nem maior, nem menor que a proporo de 4/3 (SERRA, 2002).

Figura 3.1 quadratura do segmento parablicoFonte:site1

1 http://www.copernico.bo.it/iperold/aree/Segmento%20parabolico.html


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Para calcular a rea do crculo, Arquimedes (287-212 a.C), considerou polgonos

inscritos de nmero de lados 6, 12,...96. Fez o mesmo com polgonos circunscritos econseguiu assim mostrar que a rea do crculo est entre dois valores determinados, ou seja,

menor que a dos polgonos circunscritos e maior que a dos polgonos inscritos.

O mtodo da exausto o fundamento de um dos processos essenciais do clculo

infinitesimal. No entanto, enquanto que no clculo soma-se um nmero infinito de parcelas

(no caso do crculo teramos um polgono com um nmero infinito de lados), Arquimedes

nunca considerou que as somas tivessem uma infinidade de termos. Para poder definir a soma

de uma srie infinita era necessrio desenvolver o conceito de nmero real que os gregos no

possuam. A noo de limite pressupe a considerao do infinito que esteve sempre excludo

da matemtica grega, mesmo em Arquimedes. No entanto, o seu trabalho foi, provavelmente,

o mais forte incentivo para o desenvolvimento posterior das idias de limite e de infinito.

3.2.2 Sculo XVII

No sculo XVII, os matemticos estavam preocupados com uma grande variedade de

problemas prticos relacionados com reas da arte, mecnica, construo de canais,

aproveitamento de energia hidrulica em moinhos de gua, construo naval estimulada pelas

grandes navegaes, construo de relgios, etc. Essas necessidades estimulavam a atividade

cientfica e matemtica.

A matemtica grega, nesta poca, teve um grande enfoque devido a publicao detradues em latim dos Elementos de Euclides e das Cnicas de Apolnio. Habilidades

matemticas foram desenvolvidas, permitindo estudos mais aprofundados da obra de

Arquimedes.

Os astrnomos Johannes Kepler (1571-1630) e Galileo Galilei (1564-1642)

foram os primeiros a abandonar a estrutura de demonstrao introduzida por

Arquimedes em troca do uso dos indivisveis (ou quantidades infinitamente

pequenas). Kepler aplicou suas idias no clculo de reas e volumes,utilizando a noo de que eles eram compostos de uma quantidade


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infinita de retas ou planos, enquanto Galileu usou conceitos semelhantes

no desenvolvimento dos princpios da cinemtica estudo dos movimentos.(BARON, 1985b, p.11).

Galileu aps compreender a definio da velocidade mdia, tenta compreender qual a

velocidade de um objeto em queda em cada instante, entre dois momentos aproximados por

uma distncia infinitamente pequena durante a queda. Essa que mais tarde seria definida

como a velocidade instantnea (MONTEIRO, 2004).

Cavalieri (1598-1647) utilizou o conceito dos indivisveis para comparar reas evolumes. Para ele, um plano era constitudo de um nmero infinito de retas paralelas

eqidistantes, e um slido de um nmero infinito de planos paralelos. Uma reta (ou plano)

chamada regula move-se paralelamente a si prpria, gerando intersees (retas ou planos) em

cada uma das figuras (plano ou slido), at ela coincidir com suas bases. Estas intersees

(segmentos de reta ou sees planas) constituem os elementos, ou indivisveis, que compem

a totalidade das figuras.

Blaise Pascal (1623-1662) deu a sua contribuio aos indivisveis de Cavalieri

colocando a necessidade de distribuir os indivisveis uniformemente. No caso de retas e

planos, eles seriam distribudos de tal modo que as distncias entre eles fossem iguais.

John Wallis (1616-1703) introduziu o smbolo para representar muitaslinhas (ou paralelogramos) constituindo uma superfcie plana: assim, se B a base de um tringulo e A a sua altura, ser o nmero de linhas na

superfcie. O comprimento total das retas 2

Be a altura de cada

paralelogramo

A; segue-se que a rea dos tringulos

22

ABAB=

.

claro que a concepo de Wallis sobre o era dualista, ora funcionandocomo um nmero infinitamente grande, ora sujeito s operaes ordinriasda aritmtica. (BARON, 1985b, p. 23).

O smbolo que atualmente usamos para representar o infinito () uma curva

chamada, tecnicamente, de lemniscata. Esse smbolo foi usado nas obras de sees cnicas.

Neste perodo, ele foi usado para simbolizar o infinito ou a eternidade em uma variedade de

contextos. Por exemplo, nas cartas de tar ele representava o ilusionista ou mago. O infinito


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inspirou sentimentos de temor, futilidade e medo e foi por muito tempo refutado pelos

matemticos (RUCKER, 1982).

Muitos dos problemas foram resolvidos atravs de mtodos geomtricos, como por

exemplo, slidos eram divididos em fatias, superfcies cilndricas eram utilizadas para formar

retngulos e reas planas giradas em torno de eixos (no mesmo plano) para formar uma

variedade de slidos novos. Todos esses mtodos foram necessrios e interessantes para

resolver certos tipos de problemas, entretanto com o advento da notao algbrica tornaram-se

logo obsoletos.

Baron (1985), referindo-se a esses mtodos, comenta: um dos defeitos de mtodos

como este repousa no fato de que as solues dependem de propriedades especiais da curva

considerada, e desta forma cria bastante dificuldade para serem generalizadas (BARON,

1985b, p.30),

Nesse sculo, Descartes (15961650) e Fermat (1601-1665) introduziram as

coordenadas cartesianas. Foi possvel transformar problemas geomtricos em problemas

algbricos e estudar analiticamente funes. A Matemtica recebe assim um grande impulso,

nomeadamente na sua aplicabilidade a outras cincias - os cientistas passam, a partir de

observaes ou experincias realizadas, a procurar determinar a frmula ou funo que

relaciona as variveis em estudo.

Uma das importantes contribuies de Fermat foi um mtodo de encontrar mximos e

mnimos. Para curvas polinomiais da forma )(xfy = ele notou um modo muito engenhoso

para encontrar pontos em que a funo assume um mximo ou um mnimo. Ele comparou o

valor de )(xf num ponto com o valor )( Exf + num ponto vizinho. Em geral esses valores

sero bem distintos, mas num alto ou num baixo de uma curva suave a variao ser quase

imperceptvel. Portanto para achar os pontos de mximos e mnimos Fermat igualava )(xf e

)( Exf + , percebendo que os valores, embora no exatamente iguais, so quase todos iguais.

Quanto menor o intervalo E entre os dois pontos mais perto chega a pseudo-equao de ser

uma verdadeira equao; por isso, Fermat, depois de dividir tudo porE fazia 0=E . Os

resultados lhe davam as abscissas dos pontos de mximo e mnimo do polinmio. Aqui em


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essncia tem-se o processo hoje chamado de diferenciao pois o mtodo de Fermat equivale

a achar ( )g x = E

xfExfE

)()(lim0

+

e aps fazer ( ) 0g x = .

Evidentemente, Fermat no tinha o conceito de limite, mas por outro ladoseu mtodo para mximos e mnimos se assemelha ao usado no Clculohoje, s que agora se usa, em geral, o smbolo h ou x em lugar do E doFermat. O processo de Fermat de mudar ligeiramente a varivel econsiderar valores vizinhos a essncia da anlise infinitesimal (BOYER,1986, p. 255).

O estudo da curvatura comeou, pode-se dizer, com as investigaes de Huygens(1596-1687), sobre o relgio pendular. Nesta poca no existia uma frmula geral para o raio

da curvatura. A frmula geral foi publicada em 1694 por Jacob Bernoulli. Ele descobriu que

precisava de uma medida de curvatura em seus estudos sobre a fora adquirida por uma barra

elstica sob ao de foras externas (...) importante notar que Bernoulli considera o centro

da curvatura f como a posio limite de encontro de duas normais nos pontos a e b da

curva. Na figura 3.2, supe-se que o arco

ab seja infinitamente pequeno.

Figura 3.2: quadratura da parbolaFonte (Baron, 1985e)

3.2.3 Sculo XVIII

O sculo XVII caracterizou-se pela construo de sistemas filosficos baseados na

idia de que s se chegaria ao saber caso se chegasse a certeza de que novos conhecimentos

pudessem ser dedutivamente derivados. J no sculo XVIII renuncia-se a esse procedimento,

com base em Newton (1642-1727), que propunha a anlise em vez da deduo como

procedimento para a obteno do conhecimento (ANDERY et al, 1996).


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muito similar ao de Fermat. Porm Newton, como Fermat, no utilizou o limite. Por outro

lado, em seuPrincipia Mathematica, seu maior trabalho em Matemtica e Cincia, ele foi oprimeiro a reconhecer, a necessidade do limite. No comeo do livro I do Principia, Newton

tentou dar uma formulao precisa do conceito de limite.

Newton havia descoberto o papel preliminar que o limite teria no Clculo, sendo essa

a semente da definio moderna. Infelizmente, para a fundamentao rigorosa do Clculo,

durante muitas dcadas, ningum examinou as sugestes que Newton havia fornecido.

Durante o sculo XVIII, uma ateno muito pequena foi dada s fundamentaes do

Clculo, especialmente ao limite e seus detalhes. Maclaurin defendeu o tratamento dos fluxos

de Newton com argumentos similares ao de Fermat que somente Arquimedes ocasionalmente

tinha usado.

DAlembert (1717 - 1783) era o nico cientista da poca que reconheceu

explicitamente a centralidade do limite no Clculo. Em sua famosa Encyclopdie eleafir

didatica da matemática - limite

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