despacho dinâmico de frota de caminhões heterogênea em

Universidade Federal de Minas GeraisPrograma de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

Despacho Dinâmico de Frota deCaminhões Heterogênea em Minas a

Céu Aberto via AlgoritmosEvolucionários Multiobjetivo

Rafael Frederico Alexandre

Tese submetida à banca examinadora designada pelo Colegi-ado do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétricada Universidade Federal de Minas Gerais, como parte dosrequisitos necessários à obtenção do grau de doutor em En-genharia Elétrica.

Orientador: Prof. Dr. João Antônio de VasconcelosCoorientador: Prof. Dr. Felipe Campelo França Pinto

Belo Horizonte, 02 de setembro de 2015

Dedicatória

Aos meus pais e familiares pelo apoio incondici-onal.

iii

Agradecimentos

Apenas minha dedicação individual não permitiria que este trabalho fosse con-cluído. Todo o conhecimento foi construído durante a minha trajetória profissional,acadêmica e, principalmente, como na minha trajetória como cidadão. A conclusãodesta tese contou com importantes apoios e incentivos, sem os quais não teria se tor-nado uma realidade. A todos, deixo aqui o meu sincero agradecimento:

• a Deus, sempre ao meu lado durante esta caminhada;

• aos meus pais, Eli e Conceição, que estiveram sempre comigo, ensinando-me,apoiando-me, amando-me incondicionalmente;

• ao meu irmão Wagner, por sempre perder as partidas de futebol após horas ehoras de trabalho;

• ao meu sobrinho Samuel, por sempre me receber com um sorriso e brincadeiras;

• ao meu professor orientador, Dr. João Antônio de Vasconcelos, por todas asoportunidades, pela orientação e acompanhamento incansáveis ao longo de todoo processo, quer nas inúmeras questões relacionadas ao laboratório quer na leiturae revisão do texto. Enfim, por ser a pessoa que me deu todas as oportunidades esuporte de que precisei. Serei eternamente grato;

• ao meu professor coorientador, Dr. Felipe Campelo, por estar sempre disponívelpara ajudar no que fosse preciso, pelas proveitosas discussões sobre o problema,e enorme ajuda nos ensaios experimentais, pelos conselhos e sugestões, além daspalavras de ânimo que imprimia sempre que achava necessário;

• ao meu supervisor durante o estágio sanduíche, professor Carlos M. Fonseca,por me receber em seu laboratório e fornecer todo o suporte necessário para arealização da pesquisa. Não tenho palavras para expressar o quão importante foia experiência;

• a todos os professores e funcionários ligados ao PPGEE, que estavam sempredispostos a atender e ajudar no que fosse necessário;

• à Priscila, minha grande incentivadora, por todo o apoio sempre que necessário;

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• à Priscilla, que, de uma forma carinhosa e compreensiva, sempre acreditou emmeu potencial e me deu força em todos os momentos;

• aos colegas do Laboratório de Computação Evolucionária (LCE), pelas discussõestão proveitosas das quais sempre surgiam ideias e soluções para os problemas;

• aos colegas do Evolutionary and Complex Systems (ECOS), em especial, à Andreia,Pedro e Felipe, por terem me recebido tão bem e pela companhia durante asrefeições e jogos da Acadêmica;

• aos colegas do Operations Research and Complex Systems Laboratory (ORCS), pelasdiscussões e companhia durante os happy hours;

• a todos da Pedro Nunes, em especial ao Sérgio Tadeu, pela convivência e amizade;

• aos amigos, especialmente ao Marlon e ao Leo, por todo o apoio e por entenderas ausências;

• à Hérica, por todo incentivo e pela inteira disponibilidade para fazer a revisão dotexto. Não me esquecerei dos "1.437 balões";

• à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), Uni-versidade Federal de Minas Gerais (UFMG) e Universidade Federal de Ouro Preto(UFOP), pela oportunidade de desenvolvimento desse trabalho;

• a todos os colegas da UFOP, por todo o apoio concedido e pela ajuda na liberaçãopara concretizar este trabalho;

• a todos que, de uma forma ou de outra, de perto ou de longe, ajudaram-me aperseverar nesta difícil – mas apaixonante – caminhada da pesquisa.

Sumário

Abstract xiii

Lista de Figuras xvi

Lista de Tabelas xvii

1 Introdução 11.1 O Problema de Despacho de Caminhões em Minas a Céu Aberto . . . . 11.2 Objetivos do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Contribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Organização da Tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Problema de Despacho de Caminhões em Minas a Céu Aberto 72.1 Contextualização do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Justificativa para Uso de Algoritmos de Otimização . . . . . . . . 102.2 Revisão Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Estratégias de Despacho de Caminhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Modelo Multiobjetivo para o Problema de Despacho de Caminhões . . . 17

2.4.1 Variáveis de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.2 Modelo Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Características do Modelo Matemático Proposto . . . . . . . . . . . . . . 252.6 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Algoritmos Evolucionários Multiobjetivo 293.1 Introdução à Computação Evolucionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Otimização Multiobjetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.1 Formulação Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.2 Pareto Dominância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Métricas de Desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.1 Cobertura de Dois Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.2 Distância Geracional Invertida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3.3 Hipervolume ou S-Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3.4 Função de Realização Empírica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

vii

viii

4 Algoritmo para classificação de soluções em fronteiras não-dominadas 414.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Trabalhos Relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 Descrição do Algoritmo Proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3.1 Subprocedimento para Classificação em um Espaço Biobjetivo . . 464.3.2 Subprocedimento para Classificação em um Espaço k-objetivo . . 494.3.3 Análise de Complexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.4 Experimentos Computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4.1 Testes com Populações com Fronteiras Pré-definidas . . . . . . . 554.4.2 Testes com Populações Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.4.3 Experimentos com Algoritmos de Classificação Acoplados ao

NSGA-II e NSGA-III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.5 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5 Algoritmos Projetados para Solucionar o Problema de Despacho de Veículos 635.1 Algoritmo Genético Multiobjetivo - Representação por Tupla 1 (MOGA-

TR1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.1.1 Procedimento para Criar a População Inicial . . . . . . . . . . . . 645.1.2 Operadores de Cruzamento e Mutação . . . . . . . . . . . . . . . 655.1.3 Algoritmo MOGA-TR1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2 Algoritmo Genético Multiobjetivo - Representação por Tupla 2 (MOGA-TR2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.2.1 Operador Path-Relinking (PRO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2.2 Algoritmo MOGA-TR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.3 Heurística Gulosa para o Despacho de Caminhões . . . . . . . . . . . . . 715.4 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6 Resultados e Discussões 776.1 Instâncias de Teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2 Avaliação das Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.3 Análise do Espaço dos Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.4 Parâmetros dos Algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.5 Projeto Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.5.1 Resultados Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.5.2 Outras Análises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.5.3 Função de Realização Empírica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.6 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7 Conclusões 917.1 Contribuições da Tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.2 Sugestões para Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Apêndice 95

ix

A Instâncias de Testes 95A.1 Cenário 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95A.2 Cenário 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96A.3 Cenário 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97A.4 Cenário 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Referências Bibliográficas 108

Resumo

Este trabalho analisa o problema de despacho dinâmico de uma frota de caminhõesheterogênea em minas a céu aberto, visando a minimização do custo operacional dafrota e maximização da produção da mina, sujeito às restrições operacionais do sis-tema. Pelas características do problema ser multiobjetivo, dinâmico e discreto, elefoi abordado utilizando-se de algoritmos evolucionários, construídos especialmenteneste trabalho para tratar o problema analisado. Dois algoritmos evolucionários forampropostos: MOGA-TR1, que usa operadores de cruzamento e mutação especialmenteprojetados para o problema; e MOGA-TR2, que usa uma estratégia conhecida comoPath-Relinking para gerar novas soluções candidatas. Além disto, um procedimentode classificação das soluções em fronteiras não-dominadas, chamado Labeling-OrientedNon-dominated Sorting Algorithm (LONSA), foi proposto neste trabalho para tornar osalgoritmos evolucionários mais eficientes em termos de custo computacional. Nos tes-tes realizados comparativamente com nove outros métodos de classificação de soluçõesnão-dominadas, o LONSA mostrou-se ser tão eficiente quanto os melhores métodosatualmente encontrados na literatura. Para testes e validação dos algoritmos MOGA-TR1 e MOGA-TR2, quatro cenários de minas a céu aberto foram considerados. Osresultados obtidos por estes algoritmos foram comparados entre si e com os obtidospor uma Heurística Gulosa. As conclusões obtidas são de que os algoritmos propostossão promissores e se adaptam bem à solução de problemas de despacho dinâmico decaminhões heterogêneos em minas a céu aberto.

Palavras-chave: Planejamento Operacional, Despacho de caminhões, Minas a CéuAberto, Otimização Multiobjetivo, Algoritmos Evolucionários, Ordenação por Domi-nância.

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Abstract

This study analyzes the dynamic dispatch problem of a heterogeneous fleet of trucksin open-pit mines, in order to minimize the operating cost of the fleet and maximizethe mine production, subject to the operational constraints of the system. Due to theoptimization problem’s characteristics be multiobjective, discrete and dynamic, it wastreated using evolutionary algorithms, especially designed in this study to address theproblem analyzed. Two evolutionary algorithms were proposed: MOGA-TR1, whichuses specialized crossover and mutation operators designed for this particular problem;and MOGA-TR2, which uses Path-Relinking to generate new solutions. Furthermore,a procedure for sorting solutions in non-dominated fronts, named here as Labeling-Oriented Non-dominated Sorting Algorithm (LONSA), was proposed in this workto make the evolutionary algorithms most efficient in terms of computational cost.Comparing the results obtained by nine other methods for classifying solutions in non-dominated fronts, LONSA has proved to be as efficient as the best currently proposedmethods in literature. For testing and validation of the MOGA-TR1 and MOGA-TR2algorithms, four scenarios of open-pit mines were considered. The results obtained bythese algorithms were compared with each other and with those obtained by a greedyheuristic. The conclusions obtained are that the proposed algorithms are promisingand appropriated to solve dynamic dispatching problems of heterogeneous trucks inopen-pit mines.

keywords: Operational Planning, Dispatch of Trucks, Open-Pit Mines, Multiobjec-tive Optimization, Evolutionary Algorithms, Non-dominated Sorting Algorithms.

xiii

Lista de Figuras

2.1 Exemplo de operação em mina a céu aberto. . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Ciclo dos caminhões e seus cinco possíveis estados. . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Conjunto de possíveis combinações para um cenário de mina hipotético.As colunas indicam os possíveis destinos dos caminhões. Na horizontal,possíveis conjuntos de seis despachos para cada caminhão. . . . . . . . . 11

2.4 Estratégias de despacho de caminhões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Rotas entre os locais de carga e descarga de uma mina hipotética. Oslocais 1 e 2 representam frentes de minério, 3 e 4 frentes de estéril, 5 e 6britadores e, finalmente, 7 e 8 pilhas de estéril. . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1 Mapeamento do espaço viável no espaço de objetivos. . . . . . . . . . . . 33

3.2 No gráfico (a), a representação gráfica da região dominada pelas soluçõesda fronteira Pareto (região cinza claro). A região destacada em verme-lho define o espaço dominado por α. A solução β ilustra uma soluçãoutópica. No gráfico (b), as soluções são ordenadas em fronteiras. . . . . . 35

3.3 Exemplos de fronteiras de um problema multiobjetivo (espaço dos obje-tivos): (a) soluções distribuídas uniformemente e (b) poucas soluções econcentradas em algumas regiões do espaço. . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 O valor do indicador de Hipervolume corresponde ao volume da regiãoconstituída pelos pontos que dominam um ponto de referência Pre f . . . . 38

4.1 Uma população com 21 soluções de um problema de minimização emum espaço biobjetivo. As soluções foram classificadas em três fronteirasnão-dominadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2 Subprocedimento para identificar o conjunto de soluções não-dominadasem um espaço biobjetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 Subprocedimento para identificar o conjunto de soluções não-dominadasem um espaço 3-objetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

xv

xvi

4.4 Ilustração do Algoritmo 5, considerando n = 8, k = 3 e m = 2. Os valoresdos objetivos são gerados no intervalo [1,9]. A identificação das linhasrefere-se ao pseudocódigo do Algoritmo 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5 Número de comparações dos dez algoritmos de classificação para popu-lações com número de fronteiras pré-definido. . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.6 Tempo computacional dos dez algoritmos de classificação para popula-ções com número de fronteiras pré-definido. . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.7 Número de comparações dos dez algoritmos de classificação para popu-lações aleatórias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.8 Tempo computacional dos dez algoritmos de classificação para popula-ções aleatórias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.9 Número de comparações dos dez algoritmos de classificação para popu-lações aleatórias com 300, 500 e 1.000 soluções e diferentes objetivos. . . 59

4.10 Tempo computacional dos dez algoritmos de classificação para popula-ções aleatórias com 300, 500 e 1.000 soluções e diferentes objetivos. . . . 60

4.11 Soluções não-dominadas encontradas em uma execução do NSGA-II eNSGA-III para o problema DTLZ1 com dois e três objetivos. . . . . . . . 61

4.12 Média, desvio padrão e erro padrão do número de comparações doNSGA-II (2 objetivos) e NSGA-III (5 e 10 objetivos) para dez algorit-mos de classificação de soluções em fronteiras não-dominadas para oproblema DTLZ1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.13 Média, desvio padrão e erro padrão do tempo computacional do NSGA-II (2 objetivos) e NSGA-III (5 e 10 objetivos) para dez algoritmos declassificação de soluções em fronteiras não-dominadas para o problemaDTLZ1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.1 Representação das matrizes que compõem possíveis frotas de caminhões.A figura (a) e (b) ilustram a combinação de uma frota com 3 e 4 caminhões,respectivamente. Em (c), a combinação gerada a partir da concatenaçãode S e B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.1 Análise do espaço de busca considerando as duas funções objetivo defi-nidas no modelo matemático. A produção é apresentada em termos demaximização. Cada gráfico mostra os resultados das instâncias de testeda Tabela 6.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2 Convergência do algoritmo DTGH para cada instância de testes consi-derada. A produção é apresentada em termos de maximização. . . . . . 83

6.3 Hipervolume médio para os algoritmos MOGA-TR1 e MOGA-TR2 paracada instância de testes considerada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.4 IGD médio para os algoritmos MOGA-TR1 e MOGA-TR2 para cadainstância de testes considerada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.5 Instância de Mina 1: diferenças entre as EAFs. . . . . . . . . . . . . . . . 866.6 Instância de Mina 2: diferenças entre as EAFs. . . . . . . . . . . . . . . . 866.7 Instância de Mina 3: diferenças entre as EAFs. . . . . . . . . . . . . . . . 876.8 Instância de Mina 4: diferenças entre as EAFs. . . . . . . . . . . . . . . . 876.9 Tempo computacional dos algoritmos MOGA-TR1 e MOGA-TR2. . . . . 88

Lista de Tabelas

2.1 Principais trabalhos pesquisados com identificação de suas funções ob-jetivo objetivos e restrições / características. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1 Trabalhos relevantes sobre procedimentos de classificação de soluçõesem fronteiras não-dominadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Média e desvio padrão do tempo computacional e número de compa-rações de 33 populações aleatórias com 300, 500 e 1.000 soluções. Osmelhores resultados estão destacados em negrito. . . . . . . . . . . . . . 59

6.1 Instâncias de Teste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.2 Resultados da métrica de desempenho CS para os algoritmos MOGA-

TR1, MOGA-TR2 e DTGH. Estão destacados em negrito os métodos commelhor resultado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.3 Estatísticas da métrica de desempenho CS: resultados do teste F, paravalidação da premissa de igualdade de variâncias, e teste-t para 33 exe-cuções. A coluna GL corresponde aos graus de liberdade do teste-t. . . . 82

6.4 MOGA-TR1 x MOGA-TR2: Hipervolume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.5 MOGA-TR1 x MOGA-TR2: IGD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.6 Estatísticas das métricas de desempenho Hipervolume e IGD: resultados

do teste F, para validação da premissa de igualdade de variâncias, e teste-t para 33 execuções. A coluna GL corresponde aos graus de liberdadedo teste-t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.7 Resultados das hipóteses de teste (α = 0,05). . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

A.1 Características de qualidade esperadas no britador do Cenário A.1. . . . 96A.2 Características de qualidade presentes nas frentes de lavra do Cenário A.1. 96A.3 Alocação das pás carregadeiras nas frentes de lavra do Cenário A.1. . . . 96A.4 Distâncias entre as frentes de lavra, o britador e a pilha de estéril do

Cenário A.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96A.5 Características de qualidade presentes nas frentes de lavra do Cenário A.2. 97A.6 Características de qualidades do Cenário A.3. . . . . . . . . . . . . . . . . 97A.7 Características de qualidade presentes nas frentes de lavra do Cenário A.3. 98A.8 Alocação das pás carregadeiras nas frentes de lavra do Cenário A.3. . . . 98A.9 Distâncias entre as frentes de lavra e o britador do Cenário A.3. . . . . . 98A.10 Definição dos caminhões do Cenário A.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99A.11 Pás carregadeiras do Cenário A.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99A.12 Distância entre os locais do Cenário A.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

xvii

Lista de Abreviações

2PPLS-VNS Two-phase Pareto Local Search with VNS

AT Activity Trucks

BMO Binary Mutation Operator

BNS Better Non-dominated Sorting

CIP Create initial population

CPO Cut-Point Operator

CS Coverage of Two Sets

DS Deductive Sort

DTGH Dispatch Truck Greedy Heuristic

EA Evolutionary Algorithms

EAF Empirical Attainment Function

EC Evolutionary Computation

ENS-BS Efficient Non-dominated Sort - Binary Search

ENS-SS Efficient Non-dominated Sort - Sequential Search

EP Evolutionary Programming

ES Evolution Strategies

FNDS Fast Non-dominated Sort

FTA Fixed Truck Assignment

xix

xx

GA Genetic Algorithm

GDT Get Dominance Tree

GP Genetic Programming

GRASP Greedy Randomized Adaptive Search Procedures

IGD Inverted Generational Distance

LONSA Labeling-Oriented Non-dominated Sorting Algorithm

m-OPMOPP Multiobjective Open-Pit-Mining Operational Planning Problem

MF Make Fleet

MO Multiobjective Optimization

MODEA Multi-Objective Differential Evolution Algorithm

MOEA Multiobjective Evolutionary Algorithm

MOGA Multi-Objective Genetic Algorithm

MOGA-TR1 Multi-Objective Genetic Algorithm - Tuple Representation 1

MOGA-TR2 Multi-Objective Genetic Algorithm - Tuple Representation 2

MOP Multiobjective Optimization Problems

MOVNS Multi-objective Variable Neighborhood Search

MSC Minimising Shovel Saturation

MSWT Minimising Shovel Waiting Time

MT Mak Tree

MT Maximize Trucks

MTCT Minimization of Truck Cycle Times

MTMP Maximising Truck Momentary Productivity

MTWT Minimising Truck Waiting Time

NDT Non-Dominated Tree

xxi

NSGA Non-dominated Sorting Genetic Algorithm

OPMOPP Open-Pit-Mining Operational Planning Problem

PAES Pareto Archived Evolution Strategy

PR Path-Relinking

PRO Path-Relinking Operator

SPEA Strength Pareto Evolutionary Algorithm

VNS Variable Neighborhood Search

Capítulo 1

Introdução

Este capítulo apresenta os principais motivadores, objetivos pretendidos com estetrabalho e define a organização do texto apresentado.

1.1 O Problema de Despacho de Caminhões em Minas a

Céu Aberto

A realidade do mercado globalizado atual exige das empresas redução contínua decustos e maximização da produção. Sendo assim, espera-se que empresas com grandenúmero de equipamentos desejam utilizá-los de maneira ótima, reduzindo ao máximoo seu tempo ocioso.

O investimento em equipamentos, nas empresas do setor de mineração, é um fatorde grande importância, principalmente devido ao seu alto custo. Em uma mineradora,existe um elevado custo operacional, devido ao transporte do material (minério ouestéril), que está localizado em uma frente de lavra até o seu destino, normalmenteum britador ou pilhas de estoque. Esse transporte tem custo significativo, chegando arepresentar de 50 a 60% do custo operacional total da mina (Alarie e Gamache, 2002;Ercelebi e Bascetin, 2009). Assim, é importante utilizar os recursos de transporte demaneira eficiente, uma vez que esse uso torna também mais eficaz o uso de outrosequipamentos, como as pás carregadeiras, evitando a ociosidade dos mesmos.

No contexto de uma mina a céu aberto, temos o problema de despacho de caminhões,ou seja, despachá-los de forma a atender às necessidades da mineradora, visandoutilizar os recursos da forma mais eficiente possível. Este problema ocorre em diversosoutros contextos, tanto na indústria de mineração como fora dela, especialmente emqualquer companhia que precisa gerenciar uma frota de veículos, por exemplo, nasoperações de terraplanagem (Lin et al., 2012), entrega de produtos de petróleo (Chu

2 1 Introdução

et al., 2012), serviços de emergência (Gendreau et al., 2006) ou mesmo transporte dematérias-primas (Rego e Roucairol, 1995).

O problema de despacho de caminhões em minas a céu aberto consiste em respon-der basicamente à seguinte pergunta: qual é o destino de cada caminhão após concluiruma dada tarefa? O responsável por responder a esta questão deve procurar atenderàs necessidades da mina, utilizando os recursos disponíveis de forma eficiente. Sendoassim, a resposta para esta questão deve levar em consideração uma série de variáveiscomo: tipo de material produzido, qualidade esperada do minério, tempo de desloca-mento até o próximo local e, até mesmo, prever possíveis filas de caminhões. Comoos investimentos em equipamentos (caminhões, pás carregadeiras e britadores) sãosignificativos, é importante que os recursos disponíveis numa mina sejam utilizadosda melhor forma possível. Sendo assim, o despacho dos caminhões deve acontecer deforma criteriosa para garantir o uso eficiente dos recursos.

Os caminhões que operam nas mineradoras possuem elevada capacidade de trans-porte (até 400 toneladas) e têm custo significativo para aquisição e operação (US$ 3-5milhões por unidade). Nas últimas décadas, a redução dos custos de transporte foialcançado principalmente pela expansão de escala, ou seja, através do aumento dacapacidade dos caminhões e pás carregadeiras (Ta et al., 2013). No entanto, parece queo limite das capacidades desses recursos foi atingido e as oportunidades para redu-ção dos custos estão associados à produtividade dos equipamentos, planejamento dotransporte e estratégias de despacho utilizadas (Mena et al., 2013). Portanto, os pesqui-sadores têm realizado grandes esforços para alcançar altos níveis de eficiência e eficáciano despacho de caminhões, que se traduzem em lucratividade e, por conseguinte, emmaior produtividade.

Para minimizar o risco de não atendimento aos compromissos contratuais de en-trega de minério, devido às incertezas operacionais, os responsáveis pelo planejamentooperacional da mina podem acrescentar um maior número de caminhões que são neces-sários para a operação. Essa abordagem pode levar ao uso ineficiente dos caminhões,pois existe possibilidade de ocorrerem filas no momento do carregamento. No entanto,uma operação com baixo número de caminhões pode gerar ociosidade das pás carrega-deiras, ou mesmo não cumprir com as metas de produção. Assim, sistemas de despachode caminhões são úteis para os gestores a fim de determinar de maneira eficiente o usodos caminhões ou justificar um orçamento adequado para a frota. Segundo Kolonjaet al. (1993), sistemas de despacho possuem capacidade de melhorar a produtividadedos equipamentos dentro de uma mina, permitindo, assim, um ganho operacional,

1.2 Objetivos do Trabalho 3

pois reduz o tempo de espera (filas), tem melhor monitoramento dos equipamentos eum maior controle de qualidade do produto produzido. Contudo, o uso eficiente dosequipamentos disponíveis para operação depende da estratégia de despacho utilizadae da complexidade do sistema.

Em alguns casos, múltiplos objetivos devem ser considerados simultaneamente emuma mineradora ao se realizar o despacho dos caminhões. Por exemplo, ao despacharum caminhão para determinado local da mina, pode-se levar à maximização da produ-ção (massa transportada). Contudo, esse despacho pode não ser o ideal, uma vez que aqualidade do produto que está sendo produzido não é a esperada, ou até mesmo podegerar uma fila que é indesejada, pois reduz a produtividade dos equipamentos (Bastos,2010). Sendo assim, ferramentas de otimização multiobjetivo são desejáveis a fim deencontrar soluções eficientes que atendam às necessidades de mineração, respeitandoas condições operacionais impostas. Este trabalho insere-se neste contexto no qual osseus principais objetivos são descritos na próxima seção.

1.2 Objetivos do Trabalho

O objetivo deste trabalho é estudar, modelar e solucionar o problema de despachodinâmico de frota de caminhões heterogênea em minas a céu aberto, com enfoque naotimização de múltiplos objetivos. Para esse fim, algoritmos evolucionários multiob-jetivo serão utilizados como ferramentas para solucionar o problema, mais especifica-mente com o objetivo de minimizar o custo médio de operação da frota de caminhões edespachá-los de forma eficiente em busca de maximizar a produção. A hipótese consi-derada neste trabalho é que esses algoritmos possam encontrar soluções eficientes parao problema.

Como objetivos específicos do trabalho, têm-se:

• definir um modelo matemático multiobjetivo para o problema;

• propor codificações inovadoras para representação das soluções, apresentandooperadores especialistas para sua manipulação;

• implementar um algoritmo eficiente para ordenação de soluções em fronteirasnão-dominadas para problemas multiobjetivo;

4 1 Introdução

• utilizar um simulador de cenários de minas que possibilite avaliar soluções cons-truídas por algoritmos especialistas;

• investigar a dimensão do espaço de busca e identificar o conjunto de soluçõesnão-dominadas para as instâncias de teste utilizadas;

• apresentar os resultados obtidos pelos algoritmos propostos nesta tese para solu-cionar o problema de despacho de frota de caminhões heterogênea em minas acéu aberto em termos de métricas de desempenho.

1.3 Contribuições

Entre as principais contribuições obtidas com o desenvolvimento desta tese pode-mos destacar: i) a proposta de um modelo matemático para o problema de despachode frota de caminhões heterogênea em minas a céu aberto; iii) dois algoritmos multiob-jetivo para solucionar o problema tratado nesta tese; e iv) um algoritmo para classificarsoluções em fronteiras não-dominadas, para problemas com dois ou mais objetivos,utilizando o conceito de Pareto dominância com o objetivo de melhorar o desempenhocomputacional de algoritmos multiobjetivo. Até o presente momento, duas publica-ções foram geradas como fruto deste trabalho. Além disso, outros dois trabalhos foramsubmetidos para periódicos especializados. Os trabalhos são:

• Alexandre, R.F., Barbosa, C.H.N.R. and Vasconcelos, J.A. (2014). LONSA: ALabeling-Oriented Non-dominated Sorting Algorithm for Evolutionary Many-Objective Optimization, pp 1–14.

• Alexandre, R.F., Campelo, F. and Vasconcelos, J.A. (2015). Two New Evolutio-nary Algorithms for the Multi-objective Open-Pit Mining Operational PlanningProblem, pp 1–12.

• Alexandre, R.F., Campelo, F., Fonseca, C.M. and Vasconcelos, J.A. (2014). Acomparative study of algorithms for solving the Multiobjective Open-Pit MiningOperational Planning Problems. In Gaspar-Cunha, A., A. C. C. C., editor, Procee-dings, Part II, volume 9019 of Lecture Notes in Computer Science, pages 433-447.Springer. Evolutionary Multi-Criterion Optimization - 8th International Confe-rence, EMO 2015, Guimarães, Portugal, 29 de Março a 1 de abril, 2015.

1.4 Organização da Tese 5

• Alexandre, R.F., Mendes, J.B., Campelo ,F.C., and Vasconcelos, J.A. (2014) SIM-MIM: uma ferramenta para simulação, otimização e auxílio à tomada de decisõesem ambientes de minas a céu aberto. XLVI Simpósio Brasileiro de PesquisaOperacional (SBPO). 16 - 19 de setembro, 2014, Salvador (BA), Brasil.

1.4 Organização da Tese

O presente texto está dividido em sete capítulos. No primeiro capítulo em ques-tão, uma breve introdução ao tema da tese é dada para contextualização, motivação ejustificativas. No capítulo 2, o problema de despacho de caminhões em minas a céuaberto é discutido bem como são apresentadas, uma revisão bibliográfica, a formu-lação matemática multiobjetivo do problema e a dimensão do espaço de busca. Osprincipais conceitos da Computação Evolucionária são discutidos no capítulo 3. Alémdisso, as principais definições de problemas de otimização multiobjetivo são apresen-tadas. Um algoritmo denominado Labeling-Oriented Non-dominated Sorting Algorithm(LONSA), que tem como objetivo classificar soluções em fronteiras não-dominadas, éapresentado no capítulo 4, bem como um estudo comparativo entre o LONSA e outrosalgoritmos disponíveis na literatura especializada. O capítulo 5 apresenta três algorit-mos propostos para solucionar o problema de despacho de caminhões. A avaliação dosalgoritmos propostos no trabalho é discutida no capítulo 6 e, por fim, as consideraçõesfinais são relacionadas no capítulo 7.

Capítulo 2

Problema de Despacho de Caminhõesem Minas a Céu Aberto

Este capítulo tem por objetivo apresentar e discutir o problema de despacho decaminhões em minas a céu aberto, descrevendo as suas principais características, bemcomo as soluções encontradas na literatura para solucioná-lo. Além disso, é definidoo modelo matemático multiobjetivo do problema, que contempla os objetivos e asprincipais restrições identificadas na literatura.

2.1 Contextualização do Problema

O problema de planejamento operacional em minas a céu aberto (Open-Pit MiningOperational Planning Problem - OPMOPP) consiste basicamente em: i) definir quais sãoos locais da mina onde as pás carregadeiras serão alocadas e; ii) realizar o despachoeficiente dos caminhões, ênfase desse trabalho. Além disso, o minério extraído deveatender a um conjunto de características de qualidade desejado (Souza et al., 2010).

De acordo com as características físicas do minério, a forma e profundidade doslocais de onde ele é explorado se diferenciam basicamente em:

• Extração Subterrânea: para exploração de minério localizados a centenas oumilhares de metros abaixo da superfície terrestre;

• Extração de Superfície: o minério está próximo à superfície de exploração. Ge-ralmente, a extração de superfície permite uma operação mais segura e barataquando comparada à extração subterrânea.

8 2 Problema de Despacho de Caminhões em Minas a Céu Aberto

Uma mina a céu aberto, objeto de estudo deste trabalho, é um tipo de mina desuperfície. Essas minas possuem frentes de lavra, ou seja, os locais onde estão sendorealizadas as extrações de recursos minerais (ouro, prata, ferro etc.) que possuem umvalor comercial. Entretanto, é natural que ocorra a retirada de um material que nãopossui valor comercial para que se tenha acesso a um local onde existam recursosminerais de maior valor. A este material que não possui valor comercial damos o nomede estéril.

O material retirado das frentes de lavra é transportado por uma frota de caminhõesnormalmente heterogênea (caminhões de porte diferentes), que tem como objetivoconduzir esses recursos até os britadores, pilhas de estoque ou pilhas de estéril. Osbritadores são equipamentos da mina responsáveis por receber os recursos mineraisque possuem valor econômico. Esse recurso mineral recebido é quebrado em blocosmenores para que possa ser enviado a uma usina de beneficiamento. Em alguns casos,pode ocorrer, por alguma necessidade operacional da mina ou até mesmo pela quebrade um britador, a existência das chamadas "pilhas de estoque". Nesse caso, o recursomineral é depositado nessas pilhas para uso futuro. No caso da extração de estéril omaterial é transportado para as locais especialmente definidos para seu armazenamentochamados de pilhas de estéril.

Os caminhões possuem como principais características a velocidade média exercida,sua capacidade de carga e também o seu porte. A velocidade dos caminhões varia deacordo com as condições operacionais das rotas, relevo da mina e também de acordocom a massa que está sendo transportada. Por exemplo, caso um caminhão estejaoperando vazio, a velocidade dele será superior às mesmas condições de operação casoo mesmo esteja carregado. A sua capacidade de carga indica o limite máximo, emtoneladas, que o caminhão é capaz de transportar. Normalmente as minas operam comcaminhões que possuem diferentes capacidades de carga. O porte do caminhão definea sua compatibilidade com os equipamentos responsáveis pelo seu carregamento, ouseja, as pás carregadeiras. Sendo assim, os caminhões podem ser carregados apenaspor pás carregadeiras que são compatíveis com o seu porte.

A Figura 2.1 ilustra um cenário com os principais componentes de uma mina quesão abordados neste trabalho. Cada uma das frentes de lavra existentes possui umrecurso explorado que, por sua vez, é caracterizado por um conjunto de elementosquímicos que são de interesse da usina de beneficiamento do minério. Normalmenteexiste um conjunto de frentes de lavra maior que o número de pás carregadeiras dis-poníveis para operação. Logo, saber em qual frente de lavra deve ser alocada uma

2.1 Contextualização do Problema 9

determinada pá carregadeira é um dos problemas abordados por diversos trabalhos,como Coelho et al. (2012), Pantuza Júnior (2011), Amaral e Pinto (2010) e Souza et al.(2010). Essas pás carregadeiras possuem produtividade dada por toneladas de recursomineral extraída por hora de trabalho. Outro aspecto importante é a compatibilidadedas pás carregadeiras com os caminhões. Como a frota de caminhões de uma mine-radora pode ser heterogênea, não é qualquer pá carregadeira que é capaz de carregarum caminhão. Logo, ao enviar um caminhão para uma determinada frente de lavra, éimportante saber se a pá carregadeira alocada nessa frente de lavra é compatível como caminhão que está sendo enviado. A quantidade produzida esperada e a qualidadedo minério são computadas no(s) britador(es).

.

...

% 𝑆𝑖𝑂2%𝐹𝑒

% 𝑆𝑖

% 𝐶𝑎

Figura 2.1: Exemplo de operação em mina a céu aberto.

O fato de existir uma grande quantidade de caminhões disponíveis em uma minanão significa que todos eles serão utilizados. Reduzir a frota de caminhões em opera-ção é importante para se evitar a sua baixa produtividade, por exemplo, parados emuma fila, aguardando que uma pá carregadeira esteja disponível para que ele possa sercarregado. Nesse caso, poderia ser mais interessante designar o caminhão para manu-tenção preventiva, evitando um custo maior com manutenções corretivas. Entretanto,ao reduzir o número de caminhões em operação deve ser mantida as regras contratuaiscom o cliente, ou seja, atender às suas necessidades mesmo que os caminhões possuam


produtividade abaixo do esperado.

A Figura 2.2 ilustra os possíveis estados de um caminhão operando em uma mina.Ao iniciar a operação, cada caminhão solicita um despacho que indica para qual seráo seu próximo destino (frente de lavra). Ao receber a informação de seu destino, essecaminhão desloca-se vazio (1) até a frente de lavra onde será carregado. O temponecessário para se deslocar do local de origem até o seu destino é calculado com baseem sua velocidade média deslocando-se vazio e a distância entre a origem e o seudestino. Ao chegar em seu destino, o caminhão aguarda em uma fila (2) até que apá carregadeira esteja disponível para carregá-lo. O caminhão há mais tempo na filaserá o primeiro a ser carregado. O tempo necessário para carregar um caminhão (3) écalculado com base em sua capacidade de carga e na produtividade da pá carregadeira.Após finalizar o carregamento, o caminhão solicita um novo despacho, no qual, seráindicado o seu próximo destino, ou seja, uma pilha de estéril caso o material carregadoseja estéril, ou um britador, caso o material seja minério. Assim, o caminhão desloca-secarregado até o seu destino (4). O tempo de deslocamento do caminhão carregado écalculado com base em sua velocidade média carregado e a distância entre a origem eo destino. Por fim, o caminhão chega ao destino e descarrega o material transportado(5). Esse conjunto de eventos é chamado de "ciclo do caminhão". O tempo total de umciclo do caminhão é calculado somando o tempo dos cinco eventos realizados por ele.

Figura 2.2: Ciclo dos caminhões e seus cinco possíveis estados.

2.1.1 Justificativa para Uso de Algoritmos de Otimização

As possíveis alternativas de despacho (soluções) durante a operação da mina per-mitem enquadrar este problema na classe dos problemas combinatórios. O número desoluções cresce conforme as características do cenário de mina, e a avaliação de todas

2.1 Contextualização do Problema 11

elas resulta em um alto custo computacional, tornando o uso de técnicas de otimizaçãopara a solução desse problema uma alternativa necessária e interessante (Souza et al.,2010).

A dimensão do espaço de busca do problema considera o número de frentes delavra, de britadores, de pilhas de estéril, o tamanho da frota de caminhões e o númerode ciclos que cada caminhão deve realizar durante a operação. A Figura 2.3 ilustra aspossíveis combinações para uma operação que realiza seis despachos (3 ciclos) paracada caminhão do cenário de mina hipotético. Neste exemplo, considera-se um cenáriocom três frentes de lavra (Fr1, Fr2 e Fr3), dois britadores (Br1 e Br2) e um conjunto detrês caminhões em operação (C1, C2 e C3). Inicialmente, os caminhões C1, C2 e C3 estãovazios (Despacho #1) e podem ser despachados para qualquer frente de lavra. Assim,o despacho #1 indica todas as possibilidades de destino para a frota de caminhões. Odespacho #2 considera que os caminhões chegaram aos seus destinos (frente de lavra)e foram carregados por uma pá carregadeira. Logo após, cada um deles deve serdespachado para um dos britadores (Br1 ou Br2). As possíveis combinações de destinossão apresentadas para os três caminhões.

𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶1 𝐶2 𝐶3

𝐹𝑟1 𝐹𝑟1 𝐹𝑟1





...

...

...



𝐵𝑟1 𝐵𝑟1 𝐵𝑟1





...

...



...






...

...








...

...



...

𝐶1 𝐶2 𝐶3






...

...








...

...



...

...

...

Figura 2.3: Conjunto de possíveis combinações para um cenário de mina hipotético.As colunas indicam os possíveis destinos dos caminhões. Na horizontal, possíveisconjuntos de seis despachos para cada caminhão.

A combinação dessas diferentes possibilidades de despacho permite estimar o nú-mero total de possíveis soluções candidatas para o problema. A Expressão (2.1) podeser utilizada para calcular esse número de possibilidades:


N =

n∏(|F||c| ∗ |D||c|) = (|F| ∗ |D|)n∗|c| (2.1)

em que n é o número de ciclos considerados para cada caminhão, F é o conjunto defrentes de lavra, D é o conjunto de possíveis destinos (britadores e pilhas de estéril) e C, oconjunto de caminhões da frota. O operador | . | retorna a cardinalidade de um conjunto.Considerando um cenário hipotético simplificado, que possua três frentes de lavra, umbritador, uma pilha de estéril e uma frota de quatro caminhões; e considerando umconjunto de três ciclos para cada caminhão, o número de possíveis combinações éaproximadamente 2. 18×109. O acréscimo de um caminhão na frota faria o conjunto depossíveis soluções crescer mais de 100 vezes, resultando em um conjunto de 4. 70×1011

possíveis combinações. Mesmo que cada avaliação custe apenas um milissegundo, aenumeração de todas as possíveis soluções para esse caso levaria 604,6 horas, o quetorna impossível avaliar todas as combinações em tempo real.

2.2 Revisão Bibliográfica

O problema de despacho de caminhões não é exclusivo do setor de mineração.Como já foi dito, indústrias que utilizam frotas de transporte lidam com problemassemelhantes. Embora o objetivo deste trabalho se concentre em despachar uma frotade caminhões que operam em minas a céu aberto, a metodologia pode ser utilizadapara qualquer aplicação que envolva frotas de caminhões que exijam despacho eficiente,como, por exemplo, coleta de lixo em grandes cidades.

Em Newman et al. (2010) apresenta-se uma revisão sobre o planejamento de mina.No trabalho, os autores discutem diversas técnicas que abordam o despacho de cami-nhões em minas. As técnicas de despacho de caminhões em minas a céu aberto podemser classificadas em dois grupos: i) despacho frente fixa, no qual os caminhões operamem uma mesma rota durante todo o tempo de operação e; ii) despacho dinâmico, em que,a cada solicitação de despacho, a rota mais apropriada naquele instante é atribuída aocaminhão (Ahangaran et al., 2012). Essa tese de doutorado aborda o despacho dinâmicode caminhões, uma vez que esta estratégia é mais eficiente (Alarie e Gamache, 2002;Subtil et al., 2011; Bastos et al., 2011).

2.2 Revisão Bibliográfica 13

Os estudos disponíveis na literatura definem o problema de despacho de cami-nhões com ênfase em diferentes aspectos. Alguns, porém, concentram-se em definiro tamanho ideal da frota de caminhões para determinada mina (Ta et al., 2013; Menaet al., 2013; Souza et al., 2010). Tendo definido a frota de caminhões para a operação,o número de viagens que cada caminhão deve realizar para cada frente de lavra éobjeto de interesse. No entanto, a ordem em que as viagens devem ocorrer nem sempreé definida. Além disso, nem todos os trabalhos consideram a qualidade do minérioproduzido (Ta et al., 2013; Bastos et al., 2011; Ercelebi e Bascetin, 2009).

Diversos estudos que tratam do problema de despacho de caminhões empregamtécnicas de simulação para avaliar as estratégias utilizadas. Alguns desses estudos uti-lizam softwares de simulação, como ARENA (Mena et al., 2013), CYCLONE (Lin et al.,2012) ou SimEvents (Bastos et al., 2011). Esses softwares, embora sejam amplamente uti-lizados por pesquisadores, não permitem o controle de todas as variáveis do problemade forma simples, ou o processo de integração com outros sistemas computacionaisse torna uma tarefa complexa. Outros trabalhos propõem softwares especialistas emsimulação de ambientes de minas a céu aberto (Ta et al., 2013; Coelho et al., 2012; Men-des, 2013; Alexandre, 2010). Assim, um sistema desenvolvido para simular a operaçãode uma mina e que possua uma interface bem definida com softwares de otimização édesejado.

Alguns autores apresentam trabalhos que consideram uma frota de caminhõeshomogênea (Lin et al., 2012; Ercelebi e Bascetin, 2009), ou seja, não definem restrições decompatibilidade entre os caminhões em operação e as pás carregadeiras. Grandes minasgeralmente trabalham com frotas de caminhões heterogêneas (Ta et al., 2013; Mena et al.,2013; Coelho et al., 2012; Bastos et al., 2011; Souza et al., 2010; Ahangaran et al., 2012)e, assim, algoritmos especialistas para despachar caminhões devem considerar o seuporte para alocá-los corretamente.

Os pesquisadores abordam o problema sob diversas óticas, nas quais, alguns delesbuscam maximizar: produção (minério e estéril) (Chanda e Dagdelen, 1995; Ta et al.,2005; Souza et al., 2010; Coelho et al., 2012), qualidade do minério produzido (Whitee Olson, 1986; Chanda e Dagdelen, 1995; Alvarenga, 1997) e, uso dos caminhões e páscarregadeiras (Subtil et al., 2011). Em outros casos, procuram minimizar: tempo defila dos caminhões (Alvarenga, 1997; Mendes, 2013), tamanho da frota de transporte(White e Olson, 1986; Ta et al., 2005; Ercelebi e Bascetin, 2009; Souza et al., 2010; Coelhoet al., 2012) ou mesmo a distância percorrida dos veículos (Mendes, 2013). É importantedestacar que a grande parte dos estudos buscam maximizar a produção na mina.


Em Lin et al. (2012) utiliza-se um Algoritmo Genético (GA) (Coello et al., 2007) parasolucionar o problema de gestão da frotas de caminhões em operações de terrapla-nagem. O problema, apesar de ser aplicado à operação de movimentação de terra, ésemelhante ao problema de despacho de caminhões em minas a céu aberto. O trabalhode Bastos et al. (2011) apresenta um algoritmo que usa funções de probabilidade, asquais variam em função do tempo, para selecionar os destinos dos caminhões. O algo-ritmo é comparado com uma heurística gulosa chamada de Minimization of Truck CycleTimes (MTCT). Entretanto, os autores analisam apenas a produção da mina sem consi-derar importantes características, como a qualidade do minério produzido. O trabalhode Subtil et al. (2011) propõe uma abordagem de múltiplos estágios para o despachodinâmico de caminhões em ambientes reais de minas a céu aberto. A primeira etapa doalgoritmo proposto define o número ideal de caminhões, que atende às necessidadesde produção, utilizando um modelo de programação linear robusta. A segunda etapautiliza uma heurística dinâmica para despachar os caminhões, utilizando simulaçãocomputacional e técnicas de otimização multiobjetivo e de tomada de decisão. Outracontribuição relevante deste trabalho é que, assim como em Souza et al. (2010), os auto-res divulgaram os benchmarks para realização de testes computacionais, considerandodados coletados de um ambiente real de mineração.

A maioria dos trabalhos apresenta estudos que abordam o problema de despachode caminhões formulado como de otimização mono-objetivo. Entretanto, trabalhosrecentes, utilizam abordagens multiobjetivo para solucionar o problema (Souza et al.,2010; Coelho et al., 2012; Mendes, 2013). Nesses casos, algoritmos de otimização quetratam de problemas multiobjetivo são utilizados a fim de se considerar todos os objeti-vos do problema simultaneamente. Algumas heurísticas determinísticas são discutidasno trabalho de Alarie e Gamache (2002). Por outro lado, alguns estudos aplicam heu-rísticas não determinísticas para solucionar o problema em busca de determinaçãodo número de viagens que cada caminhão deve realizar e, ao mesmo tempo, reduziro número de caminhões em operação (Souza et al., 2010; Coelho et al., 2012). EmSouza et al. (2010) apresenta-se um algoritmo híbrido que combina as características deduas meta-heurísticas: Greedy Randomized Adaptive Search Procedures (GRASP) e VariableNeighborhood Search (VNS). Uma continuidade do trabalho é proposta por Coelho et al.(2012) em que é apresentada uma comparação entre três algoritmos para solucionar oproblema de despacho de caminhões, formulado com três objetivos distintos: (i) desvioem relação às metas de produção; (ii) desvio em relação a metas de qualidade do mi-nério produzido; e (iii) número de caminhões necessários para atender às necessidadesde produção. Os algoritmos considerados no trabalho são conhecidos como Two-phase

2.3 Estratégias de Despacho de Caminhões 15

Pareto Local Search with VNS (2PPLS-VNS), Multi-objective Variable Neighborhood Search(MOVNS) e Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II (NSGA-II).

2.3 Estratégias de Despacho de Caminhões

Segundo Krause e Musingwini (2007), o problema de planejamento operacional demina a céu aberto pode ser dividido em duas fases distintas. Entretanto, essas fasespossuem grande relação. A primeira delas está associada à definição dos locais ideaispara alocar as pás carregadeiras e dimensionar o tamanho da frota de caminhões afim de atingir à produção esperada. A segunda etapa do problema está relacionadaà definição da sequência ideal de despacho dos caminhões. Alarie e Gamache (2002)afirmam em seu trabalho que a estimativa incorreta do tamanho da frota a ser utilizadaem uma operação pode levar a problemas como superdimensionamento causando filasnas frentes de lavra, ou também ao problema de subdimensionamento, causando umabaixa utilidade das pás carregadeiras e produtividade da mina.

Possível alocação

Escolhida


Não compatível


Prioridade 1

Prioridade 2

Prioridade 3

Prioridade 4

Prioridade N

(a) 1 caminhão para várias carregadeiras (b) Vários caminhões para 1 carregadeira


03

02

N(c) Vários caminhões para várias carregadeiras




01

Seq

uên

cia

de

des

pac

hos

rea

liza

dos

Figura 2.4: Estratégias de despacho de caminhões.

No trabalho de Alarie e Gamache (2002) são apresentadas três estratégias distintaspara despachar caminhões. A primeira delas, ilustrada pela Figura 2.4(a), apresentaum caminhão que deve ser despachado e um conjunto de pás carregadeiras paraquais ele pode ser despachado. Essa estratégia procura despachar o caminhão paraa frente de lavra onde exista uma pá carregadeira compatível de modo a maximizaros benefícios do caminhão. Tais benefícios são escolhidos a critério do algoritmode despacho de caminhões. Alguns desses critérios, utilizados pelos algoritmos dedespacho de caminhões, são apresentados no trabalho de Subtil et al. (2011):


• Alocação Fixa dos Caminhões (Fixed Truck Assignment - FTA): essa abordagemdespacha o caminhão para uma determinada pá carregadeira, levando em con-siderações o número de viagens que devem ser realizadas e os critérios de qua-lidade. Ao iniciar a operação da mina, cada caminhão recebe a identificação deuma rota (Britador ↔ Frente de minério ou Pilha de estéril ↔ Frente de estéril ) e,durante todo tempo de operação, transporta o material nessa rota. Apesar dafacilidade do método, é natural que ocorram filas nas frentes de lavra. Aindasegundo os autores, esse método pode ser utilizado para um estudo comparativoentre heurísticas adotadas para solucionar o problema.

• Minimizar Tempo de Espera do Caminhão (Minimize Truck Waiting Time - MTWT):esse critério procura despachar o caminhão para a pá carregadeira que minimizao tempo em que ele estará pronto para ser carregado. Nesse caso, o tempo de filados caminhões não é considerado. O problema é que essa abordagem pode levara um grande número de viagens às frentes de lavra mais próximas, subutilizandoas pás carregadeiras que estão alocadas à frentes de lavra mais distantes dosbritadores.

• Maximizar Caminhões (Maximize Trucks - MT): essa estratégia busca despachar ocaminhão para a frente de lavra onde ele será atendido mais rapidamente. Paraisso, é considerado o tempo que o caminhão leva para se deslocar até à frentede lavra e, também, o tempo em que a pá carregadeira estará disponível. Essaestratégia reduz o tempo de fila mas pode causar uma produção desequilibradaentre às frentes de lavra, por exemplo, não atingindo as metas de qualidade.

• Minimizar Tempo de Espera da Carregadeira (Minimize Shovel Waiting Time -MSWT): essa abordagem visa despachar o caminhão para a frente de lavra quepossui a pá carregadeira ociosa há mais tempo. Entretanto, esta opção podereduzir a produção, uma vez que os caminhões podem ser despachados para asfrentes de lavra mais distantes, aumentando o tempo de ciclo.

• Maximizar a Produtividade Momentânea do Caminhão (Maximize Truck Momen-tary Productivity - MTMP): nesse caso, o caminhão é despachado considerando arelação entre a sua capacidade de transporte e o tempo necessário para seu des-locamento até cada frente de lavra. Nesse caso, pode ocorrer um maior númerode despachos para as frentes de lavra mais próximas.

• Minimizar a Saturação das Carregadeiras (Minimize Shovel Saturation - MSC): essaabordagem procura despachar os caminhões para a pá carregadeira em intervalos

2.4 Modelo Multiobjetivo para o Problema de Despacho de Caminhões 17

de tempo iguais, procurando evitar a sua ociosidade. Entretanto, pode ocorrerfilas de caminhões nas frentes de lavra que estão mais próximas dos britadoresou das pilhas de estéril.

A Figura 2.4(b) apresenta uma estratégia focada nas prioridades das pás carregadei-ras. Elas são ordenadas por prioridade que são definidas pelo algoritmo de despacho,e os caminhões são despachados para a pá carregadeira de maior prioridade, de formaa maximizar sua produção. A Figura 2.4(c) ilustra a estratégia em que o problemaé modelado e resolvido como um problema de transporte. Nesse caso pode-se fazeranalogia aos problemas de transporte ao associar cada caminhão a um fornecedor, ecada carregadeira é vista como um centro de demanda. Assim, é definida a quantidademínima de minério que cada carregadeira deve produzir, necessitando, portanto, decaminhões para transportar este minério até o seu destino. Assim, os caminhões sãodespachados a fim de atender às demandas de produção e, além disso, reduzir o tempode fila.

2.4 Modelo Multiobjetivo para o Problema de Despacho

de Caminhões

Esta seção apresenta o modelo matemático multiobjetivo para o problema de despa-cho de caminhões em minas a céu aberto. Nesse trabalho considera-se que as máquinasde carga estão previamente alocadas às frentes de lavra e dada uma frota de caminhões,procura-se despachá-los de forma eficiente respeitando às restrições operacionais. Ini-cialmente, as variáveis de otimização são definidas (Seção 2.4.1) e, logo após, o modelomatemático é apresentado (Seção 2.4.2).

2.4.1 Variáveis de Otimização

As variáveis de otimização para o problema de despacho de caminhões são repre-sentadas por uma matriz S = [~V|D], na qual ~V é um vetor coluna de tamanho |T| × 1e D uma matriz |T| × m, em que m representa o número de despachos. O vetor ~V e amatriz D são ilustradas, a seguir, em (2.2) e (2.3).


~V =[v1 v2 . . . v|T|

]T(2.2)

D =

d11 d12 . . . d1m

d21 d22 . . . d2m

......

. . .

...

d|T|1 d|T|2 . . . d|T|m

(2.3)

O vetor ~V ∈ 0,1|T| representa a disponibilidade dos caminhões, em que a t-ésimaposição de ~V indica se o caminhão está em operação (vt = 1) ou não (vt = 0). Cadacélula dt j da matriz D, em que t ∈ 1,. . ,|T| e j ∈ 1,. . ,m, é composta por uma tupla(α,β) que representa os locais de carga e descarga, respectivamente. Cada local de umamina possui um identificador único. Ao definir a rota de um caminhão, duas possíveissituações podem ocorrer:

1. Caminhão em um local de carga: seja α o local atual do caminhão, a rota a serpercorrida por ele é identificada por α e o local de destino β (rota α ↔ β). Oslocais α e β são identificados pela célula dt j da matriz D;

2. Caminhão em um local de descarga: neste caso, a rota do caminhão é identificadapelo seu local corrente β, da célula dt j da matriz D, e o seu destino é identificadopor α da célula dt( j+1). Assim a rota percorrida será β↔ α.

Além disso, é necessário assegurar que: (i) se α é uma frente de minério, β deve serum britador; e (ii) se α é uma frente de estéril, β deve ser uma pilha de estéril.

A Figura 2.5 ilustra um exemplo de cenário de mina e, a partir dele, uma soluçãohipotética S1 foi criada. Essa solução possui 5 caminhões (3 ativos e 2 inativos) e umconjunto com 4 despachos para cada caminhão (m = 4).


𝐶𝑐 é o c-ésimo britador

𝑂𝑜 é a o-ésima frente de minério

𝑊𝑤 é a w-ésima frente de estéril

𝐸𝑒 é a e-ésima pilha de estéril

3 = 𝑊1

6 = 𝐶𝑐

1 = 𝑂1

4 = 𝑊𝑤

5 = 𝐶1

2 = 𝑂0

7 = 𝐸1

Locais

8 = 𝐸𝑒

...1 2 3 4

5 6 7 8

... ...

.........

Figura 2.5: Rotas entre os locais de carga e descarga de uma mina hipotética. Os locais 1e 2 representam frentes de minério, 3 e 4 frentes de estéril, 5 e 6 britadores e, finalmente,7 e 8 pilhas de estéril.

S1 =

Truck − d1 d2 d3 d4

1 1 (1,5) (2,5) (1,6) (3,8)

2 0 (3,8) (2,5) (1,5) (3,7)

3 1 (2,6) (3,7) (4,8) (1,6)

4 1 (2,5) (1,6) (3,8) (2,6)

5 0 (4,8) (2,7) (1,5) (3,7)

(2.4)

Para melhor entendimento de S1, vamos considerar a linha referente ao caminhão3 (linha 3), que está disponível para operação (coluna 1). Suponha que o caminhão 3,ao iniciar a operação, está no local 5 (β). Assim, ele deve se mover do local 5 para olocal 2, identificado por α da célula d31. Assim o caminhão deve percorrer a rota 5↔2(ou, de forma genérica, β ↔ α). Em seguida, o caminhão deve se dirigir ao local 6,identificado por β da célula d31, percorrendo a rota 2↔6 (ou, de forma genérica, α↔ β).A sequência de todas as rotas recebidas pelo caminhão são, respectivamente: 5↔2,2↔6, 6↔3, 3↔7, 7↔4, 4↔8, 8↔1, 1↔6.

O t-ésimo vetor de decisão, em que t é uma linha de S, ou seja, St = st1,st2,st3,. . . ,st j,em que j = m + 1, pertence ao espaço:


Ω = 0,11,(A,B)2,(A,B)3,. . . ,(A,B) j (2.5)

em que A = α ∈ N∗ | α ≤ nP, B = β ∈ N∗ | nP < β ≤ (nP + nD) na qual nP representao número de locais de carga (frentes de minério + frentes de estéril) e nD, o número delocais de descarga (britadores + pilhas de estéril). Isto, porque nas instância de teste,os locais de carga são numerados de 1 a nP e os de descarga de nP + 1 a nP + nD.

2.4.2 Modelo Matemático

A formulação matemática para o problema de otimização multiobjetivo propostoneste trabalho é expressa pelas equações (2.6)–(2.8).

Minimizar: ~F(S) = [ f1(S);− f2(S)] (2.6)

sujeito a: gi(S) ≤ 0; ∀ i = 1,. . ,6 (2.7)

h(S) = 0; (2.8)

em que ~F é um vetor de dois objetivos, gi(S) são as restrições de desigualdade e h(S)restrições de igualdade. A seguir, apresentamos as definições das funções objetivo e derestrições envolvidas no modelo matemático adotado neste trabalho.

Funções objetivo

Os objetivos considerados neste trabalho foram: i) minimizar o custo médio de ope-ração da frota de caminhões, considerando uma frota heterogênea (2.9); e ii) maximizaro transporte de minério e estéril (2.10). É importante destacar que o minério recebidonos britadores e o estéril recebido nas pilhas de estéril são calculados em função damatriz de despachos S, e esses cálculos são realizados por um simulador de operaçãoda mina similar aos propostos por Alexandre (2010), Mena et al. (2013) e Mendes (2013).

A primeira função objetivo é apresentada na equação (2.9).


f1(S) =∑∀t∈T

st1 × ut × top (2.9)

T: conjunto de caminhões;st1 : um elemento da matriz S que indica se o t-ésimo caminhão está ativo para

operação (st1 = 1) ou não (st1 = 0);ut: custo médio por hora de operação do t-ésimo caminhão;top: tempo de operação;

A segunda função objetivo é apresentada na equação (2.10).

f2(S) =∑∀o∈O

∑∀c∈C

xoc(S) +∑∀w∈W

∑∀e∈E

xwe(S) (2.10)

C: conjunto de britadores;E: conjunto de pilhas de estéril;O: conjunto de frentes de minério;W: conjunto de frentes de estéril;xoc: minério recebido no c-ésimo britador a partir da o-ésima frente de minério (em

toneladas) durante o tempo de operação top;xwe: estéril recebido na e-ésima pilha de estéril a partir da w-ésima frente de estéril

(em toneladas) durante o tempo de operação top;

A seguir, apresentamos o conjunto de restrições do modelo matemático adotadoneste trabalho.

Restrições: limites de desvio de qualidade química

As restrições (2.11)–(2.12) verificam se o teor de cada parâmetro de qualidade q,encontrado no produto final em cada britador c, está dentro do intervalo aceitável. Éimportante ressaltar que estas restrições são aplicadas para cada parâmetro de quali-dade e, também, para cada britador da mina.


g1(S)qc =∑∀o∈O

(qlqc − qqo) × xoc(S) ≤ 0 ∀q ∈ Q;∀c ∈ C (2.11)


(qqo − quqc) × xoc(S) ≤ 0 ∀q ∈ Q;∀c ∈ C (2.12)

C: conjunto de britadores;O: conjunto de frentes de minério;Q: conjunto de elementos químicos do minério;

qlqc: limite inferior da concentração (%) do q-ésimo elemento químico no c-ésimobritador;

quqc: limite superior da concentração (%) do q-ésimo elemento químico no c-ésimobritador;

qqo: concentração química (%) do q-ésimo elemento químico oriundo da o-ésimafrente de minério;

xoc: minério recebido no c-ésimo britador oriundo da o-ésima frente de minério(em toneladas) durante o tempo de operação top;

Restrições: limites de desvio de produção

Cada frente de lavra possui uma restrição operacional que normalmente ocorredevido às pás carregadeiras que ali se encontram ou pelo material que está sendoextraído. As equações (2.13)–(2.14) definem os limites de produção de minério e estérilproduzidos em cada frente de lavra p. Assim, essa produção deve satisfazer aos limitesinferiores e superiores.

g3(S)p =∑∀s∈S

cls × ysp − xp(S) ≤ 0 ∀p ∈ P (2.13)

g4(S)p = xp(S) −∑∀s∈S

cus × ysp ≤ 0 ∀p ∈ P (2.14)


O: conjunto de frentes de minério;W: conjunto de frentes de estéril;P: conjunto de frentes formado por O

⋃W;

S: conjunto de pás carregadeiras;cls: limite inferior de produção (em toneladas) da s-ésima pá carregadeira

durante o tempo de operação top;cus: limite superior de produção (em toneladas) da s-ésima pá carregadeira

durante o tempo de operação top;xp: produção (em toneladas) da p-ésima frente de lavra durante o tempo de

operação top;ysp ∈ 0,1: uma variável binária que indica se s-ésima pá carregadeira opera na

p-ésima frente de lavra (ysp = 1) ou não (ysp = 0);

Restrições: limites da relação minério/estéril

As equações (2.15)–(2.16) definem os limites aceitáveis para a relação entre a pro-dução de minério e estéril.

g5(S) =

∑∀o∈O

∑∀c∈C

xoc(S)∑∀w∈W

∑∀e∈E

xwe(S)− rowu ≤ 0 (2.15)

g6(S) = rowl −

∑∀o∈O

∑∀c∈C

xoc(S)∑∀w∈W

∑∀e∈E

xwe(S)≤ 0 (2.16)

C: conjunto de britadores;E: conjunto de pilhas de estéril;O: conjunto de frentes de minério;W: conjunto de frentes de estéril;

rowl: relação mínima entre minério/estéril;rowu: relação máxima entre minério/estéril;

xoc: minério recebido no c-ésimo britador a partir da o-ésima frente de minério(em toneladas) durante o tempo de operação top;

xwe: estéril recebido na e-ésima pilha de estéril a partir da w-ésima frente de estéril(em toneladas) durante o tempo de operação top;


Restrição: compatibilidade entre caminhões e pás carregadeiras

Em minas a céu aberto, é necessário que exista compatibilidade entre os caminhõese as pás carregadeiras utilizadas na operação. Assim, os caminhões devem ser des-pachados para uma frente de lavra onde exista uma pá carregadeira compatível. Aequação (2.17) define essa compatibilidade.

h1(S) = ysp(S) + ytp(S) − 2yts(S) = 0 ∀s ∈ S;∀p ∈ P;∀t ∈ T; (2.17)

ysp ∈ 0,1: um parâmetro binário que indica se s-ésima pá carregadeira opera nap-ésima frente de lavra (ysp = 1) ou não (ysp = 0);

ytp ∈ 0,1: um parâmetro binário que indica se o t-ésimo caminhão pode operar nap-ésima frente de lavra (ytp = 1) ou não (ytp = 0);

yts ∈ 0,1: um parâmetro binário que indica se o t-ésimo caminhão é compatívelcom a s-ésima pá carregadeira (yts = 1) ou não (yts = 0).

Além das restrições descritas matematicamente, deve ser observado que os diversosparâmetros (limites inferiores e superiores de produção, de qualidade do minério, customédio por hora de operação e dimensões dos diversos conjuntos) devem satisfazer àscondições de positividade estabelecidas pelas equações (2.18) e (2.19) e devem respeitarà condição (2.20).

|C|, |E|, |O|, |W|, |Q|, |S|, |T| > 0 (2.18)

cls, cus, qlqc, quqc, ut > 0 ∀s ∈ S;∀q ∈ Q;∀c ∈ C;∀t ∈ T (2.19)

cus ≥ cls, quqc ≥ qlqc, rowu ≥ rowl ∀s ∈ S;∀q ∈ Q;∀c ∈ C (2.20)

2.5 Características do Modelo Matemático Proposto 25

2.5 Características do Modelo Matemático Proposto

O modelo matemático proposto nesse trabalho, detalhado nos tópicos anteriores,pode ser, então, sintetizado como:

Minimizar: f1(S) =∑∀t∈T

st1 × ut × top (2.21)

Maximizar: f2(S) =∑∀o∈O

∑∀c∈C

xoc(S) +∑∀w∈W

∑∀e∈E

xwe(S) (2.22)

sujeito a: g1(S)qc =∑∀o∈O

(qlqc − qqo) × xoc(S) ≤ 0 ∀q ∈ Q;∀c ∈ C (2.23)


(qqo − quqc) × xoc(S) ≤ 0 ∀q ∈ Q;∀c ∈ C (2.24)

g3(S)p =∑∀s∈S

cls × ysp − xp(S) ≤ 0 ∀p ∈ P (2.25)

g4(S)p = xp(S) −∑∀s∈S

cus × ysp ≤ 0 ∀p ∈ P (2.26)

g5(S) =

∑∀o∈O

∑∀c∈C

xoc(S)∑∀w∈W

∑∀e∈E

xwe(S)− rowu ≤ 0 (2.27)

g6(S) = rowl −

∑∀o∈O

∑∀c∈C

xoc(S)∑∀w∈W

∑∀e∈E

xwe(S)≤ 0 (2.28)

h1(S) = ysp(S) + ytp(S) − 2yts(S) = 0 ∀s ∈ S;∀p ∈ P;∀t ∈ T; (2.29)

A bibliografia especializada fornece grande número de trabalhos que tratam doproblema de planejamento operacional em minas a céu aberto. Entre os trabalhospesquisados, foram selecionados os que possuem enfoque no despacho dinâmico decaminhões, que é a ênfase deste trabalho. Assim, para facilitar a comparação entre omodelo matemático proposto neste trabalho e os demais modelos encontrados na lite-ratura, a Tabela 2.1, semelhante à proposta por Mendes (2013), foi criada apresentandoas principais características dos modelos.

Para organizar a tabela de forma a facilitar a compreensão, os trabalhos utilizadospara fins de comparação foram codificados da seguinte forma:


• 01 - White e Olson (1986);

• 02 - Alvarenga (1997);

• 03 - Fioroni et al. (2008);

• 04 - Ercelebi e Bascetin (2009);

• 05 - Souza et al. (2010);

• 06 - Subtil et al. (2011);

• 07 - Bastos et al. (2011);

• 08 - Coelho et al. (2012);

• 09 - Mendes (2013);

• 10 - Contempla o modelo proposto neste trabalho, detalhado na Seção 2.4.2.

Algumas considerações relacionadas à Tabela 2.1 devem ser destacadas: (i) a grandemaioria dos trabalhos considera a produção de minério e estéril de alguma maneira,seja diretamente em seus objetivos (60% dos trabalhos) ou indiretamente através dedesvio de produção (20% dos trabalhos); (ii) todos os trabalhos apresentam algum tipode restrição, embora nem todos apresentem a formulação matemática.; (iii) apenas ostrabalhos 08 e 09 tratam do problema utilizando uma metodologia multiobjetivo. Osdemais trabalhos, embora considerem mais de um objetivo, utilizam outras técnicascomo, por exemplo, programação por metas (Coello et al., 2007).

2.6 Conclusões

Esse capítulo apresentou o problema de despacho de caminhões em minas a céuaberto e, devido à sua natureza combinatória, justificou-se o uso de técnicas de oti-mização para solucioná-lo. Além disso, foi apresentada uma fórmula fechada quepossibilita estimar o número total de possíveis soluções candidatas para o problemade despacho de caminhões em minas a céu aberto. A revisão bibliográfica apresentouos principais trabalhos que abordam o problema estudado onde foi constatado quediferentes técnicas de otimização e simulação são adotadas pelos pesquisadores.

2.6 Conclusões 27

Tabela 2.1: Principais trabalhos pesquisados com identificação de suas funções objetivoobjetivos e restrições / características.

Critérios avaliados na comparação Modelos Matemáticos Contemplados(conforme codificação apresentada)

Objetivos 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

Max. qualidade do minério X X X X XMin. tamanho da frota de caminhões X X X XMax. produção (minério e estéril) X X X X X XMin. tempo de fila dos caminhões X X XMin. custo de alocação das pás carregadeiras XMin. desvios de produção X XMin. custo médio de operação da frota de caminhões XMin. ociosidade das pás carregadeiras XMin. distância percorrida dos caminhões XTotal de objetivos 2 3 3 2 3 3 1 3 2 2

Restrições / Características 01 02 03 04 05 06 07 08 08 10

Relação estéril/minério X X X X X X XLimites de qualidade do minério X X X X X XLimites de produção das frentes de lavra X X X X X X X XLimites de produtividade das pás carregadeiras X X X X X X XAlocação de pás carregadeiras por frente de lavra X X X XCompatibilidade entre equipamentos X X X X X X XLimite de tamanho da frota dos caminhões X XAlocação de várias pás carregadeiras por frente delavra

X X

Operação com vários britadores X X XNúmero de viagens dos caminhões XTotal de restrições / características 3 1 7 1 6 6 2 6 8 7

Um modelo matemático biobjetivo, que será tratado neste trabalho, foi apresentadoe as variáveis de otimização foram definidas. Esse modelo matemático apresentouas seguintes particularidades: (i) minimizar o custo médio de operação da frota decaminhões; (ii) maximizar a produção na mina (minério e estéril); (iii) controlar a qua-lidade do minério produzido; (iv) definir limites de produção; (v) estabelecer relaçãoentre minério/estéril produzido; e (vi) definir compatibilidade entre os caminhões e páscarregadeiras.

Embora o problema seja tratado em diversos trabalhos foi possível notar que ospesquisadores o abordam sob diferentes óticas. Esse fato pode ser constatado ao


analisar a Tabela 2.1, na qual os modelos matemáticos disponíveis na literatura sãocomparados ao modelo apresentado nesse trabalho.

Capítulo 3

Algoritmos EvolucionáriosMultiobjetivo

Neste capítulo apresenta-se os principais conceitos de Algoritmos Evolucionários(Evolutionary Algorithms - EAs) que são importantes para o entendimento deste tra-balho. Também será discutida a aplicação destes algoritmos no âmbito da OtimizaçãoMultiobjetivo.

3.1 Introdução à Computação Evolucionária

A Computação Evolucionária (Evolutionary Computation - EC) constitui um conjuntode métodos estocásticos de otimização, inspirados na evolução natural, e amplamentediscutidos na literatura especializada. Entre as principais razões de interesse dospesquisadores por essa área, podemos citar o surgimento de algoritmos capazes deencontrar soluções eficientes para problemas de natureza combinatória e, além disso,à aplicabilidade das meta-heurísticas1 propostas.

Entre as diversas propostas de meta-heurísticas da EC podemos destacar: Progra-mação Evolucionária (Evolutionary Programming - EP), proposta por Fogel et al. (1966);Estratégias Evolutivas (Evolution Strategies - ES), desenvolvida por Rechenberg (1965);Algoritmos Genéticos (Genetic Algorithms - GAs), originado dos trabalhos de Holland(1975), passando a ser mais discutidos a partir da publicação do trabalho de Goldberg(1989); e Programação Genética (Genetic Programming - GP), proposta por Koza (1992).Nesta tese, será dada ênfase às principais características dos GAs.

Os GAs são meta-heurísticas inspiradas nos princípios da seleção natural e da gené-tica (Coello et al., 2007). Esses algoritmos trabalham com um conjunto de indivíduos,

1Meta-heurística são heurísticas desenvolvidas com o objetivo de constituírem técnicas baseadas emoperações suficientemente gerais para serem aplicadas problemas combinatórios (Cunha et al., 2012).

30 3 Algoritmos Evolucionários Multiobjetivo

usualmente chamados de população, que passam por um processo de evolução aolongo de sucessivas iterações conhecidas como gerações. Esse processo de evoluçãoutiliza dois tipos de operadores. O primeiro deles, conhecido como seleção, é res-ponsável por selecionar os indivíduos mais bem adaptados ao "habitat"(problema), ouseja, que possuem maior aptidão (fitness). O segundo, conhecido como reprodução, éresponsável por criar novos indivíduos a partir dos previamente selecionados. Paraessa finalidade, os GAs possuem dois operadores: cruzamento, que efetua a trocade informação entre dois indivíduos conduzindo à criação de dois novos indivíduos(descendentes); e mutação, que atua sobre os descendentes realizando pequenas alte-rações aleatórias. Após aplicar esses operadores calcula-se a aptidão de cada um dosdescendentes gerados e um procedimento, conhecido como elitismo, é aplicado a fimde garantir que o melhor indivíduo seja mantido durante todo o processo evolutivo.Para isso, se o indivíduo da população de uma geração t é mais apto que todos osindivíduos da população em uma geração t+1, ele é recuperado e inserido nessa popu-lação da geração t + 1. Como os algoritmos normalmente trabalham com populaçõesde tamanho fixo, este procedimento obriga a eliminar um dos descendentes criados. Oobjetivo dessa classe de algoritmos é se basear nesse processo evolutivo para solucio-nar problemas de otimização (Cunha et al., 2012). A estrutura de um GA é ilustradano Algoritmo 1 em que podemos observar um processo iterativo que gera sucessivaspopulações (passos 4 a 11).

Algoritmo 1: Estrutura Genérica de um Algoritmo Genético (GA)Entrada: NG : número de geraçõesEntrada: pSize : tamanho da populaçãoSaída: ind : indivíduo com melhor aptidão

1 t← 02 ~Pt ← criaPopulacaoInicial(pSize)3 avaliar(~Pt)4 repita5 ~P ′

t ← selecao(~Pt)6 ~P ′

t ← cruzamento(~P ′

t )7 ~Pt+1 ← mutacao(~P ′

t )8 avaliar(~Pt+1)9 ~Pt+1 ← elitismo(~Pt+1,~Pt)

10 t← t + 111 até t ≤ NG12 ind← individuoComMelhorAptidao(~Pt)13 retorna ind

Algumas importantes considerações em relação aos GAs devem ser destacadas. Sãoelas:

3.2 Otimização Multiobjetivo 31

• Indivíduos: normalmente representados por um vetor ~x = x1,x2,. . . ,xnT, em que

n é o número de variáveis. Devem ser projetados especialmente para o problemaa ser resolvido. Uma codificação inadequada pode levar a uma convergênciaprematura do algoritmo (Coello et al., 2007).

• Operadores: a presença de soluções não factíveis, geradas normalmente pelosoperadores de cruzamento e mutação, devem ser, se possível, evitadas. Nestecaso, é necessário se preocupar em projetar operadores genéticos eficientes paramanipulação dos indivíduos (Michalewicz, 1996).

• Aplicação: não devem ser empregados em contextos onde exista algum método deotimização determinístico capaz de resolver o problema em tempo computacionalsatisfatório.

• Convergência: os indivíduos de uma determinada população são selecionadospara compor a população da próxima geração conforme o processo de elitismo.Assim, os indivíduos que possuem melhor aptidão são copiados para a populaçãoda próxima geração gerando, dessa forma, uma pressão que conduz o processode convergência para melhores valores de função (Cunha et al., 2012).

A eficiência e as características de métodos baseados em EC são discutidas emdiversos trabalhos. Entre eles, podemos citar Vasconcelos et al. (2001), Coello et al.(2007) e Cunha et al. (2012). Nas próximas seções, serão discutidas a aplicação dos GAsno âmbito da otimização multiobjetivo.

3.2 Otimização Multiobjetivo

A Otimização Multiobjetivo (Multiobjective Optimization - MO) procura solucionarproblemas que, por natureza, tem mais de um objetivo a ser minimizado ou maximi-zado. Na MO, busca-se por um conjunto de soluções não-dominadas, também conhe-cido como conjunto Pareto, obtido no processo de otimização simultânea de todos osobjetivos.

Em muitos problemas de otimização multiobjetivo (Multiobjective Optimization Pro-blems - MOPs) é desejável determinar um conjunto de soluções que representem oconjunto Pareto, isto é, deseja-se encontrar soluções que, no espaço dos objetivos, se-jam as mais próximas possíveis do conjunto Pareto e sejam, ao mesmo tempo, as mais


dispersas possíveis. Com esse propósito, algoritmos evolucionários multiobjetivo têmgerado resultados que demonstram serem adequados para solucionar problemas deotimização multiobjetivo complexos (Coello et al., 2007; Zitzler et al., 2002; Li e Zhang,2009; Deb e Jain, 2014). Esses algoritmos lidam com os problemas multiobjetivo, utili-zando os princípios básicos do processo evolutivo introduzidos por Holland (1975). Ouseja, uma população evolui por meio dos chamados operadores evolucionários (atribui-ção de fitness, seleção, cruzamento, mutação e elitismo) (Coelho et al., 2012), nos quaisos Algoritmos Genéticos Multiobjetivo (Multiobjective Genetic Algorithms (MOGAs)) seenquadram. Em geral, os MOEAs pertencem a uma família chamada Pareto-based, queutilizam o conceito dominância Pareto como fundamento para ordenar soluções e guiarsua busca. Problemas de natureza multiobjetivo são de grande interesse da comuni-dade e vêm sendo tratados em diversos trabalhos como: Pereira et al. (2014), Barbosaet al. (2013), Mendes et al. (2013), Assis et al. (2013), Coelho et al. (2012), Sanches et al.(2014), Ishibuchi e Murata (1998), Ahuja et al. (2007) e Taboada et al. (2008).

Nas seções a seguir, serão apresentadas a formulação matemática para MOPs e asprincipais definições relacionadas. Além disso, será definido o conceito de dominânciaPareto.

3.2.1 Formulação Matemática

Nesta tese, a formulação de um Problema de Otimização Multiobjetivo (Multiobjec-tive Optimization Problems - MOPs), conforme Miettinen (1999), é dada a seguir:

Definição 1. Um MOP, em termos de minimização, consiste em:

Minimizar: ~F(~x) = [ f1(~x); f2(~x),. . . , fm(~x)] (3.1)

sujeito a: ~G(~x) = [g1(~x); g2(~x),. . . ,gk(~x)] ≤ 0 (3.2)~H(~x) = [h1(~x); h2(~x),. . . ,h j(~x)] = 0 (3.3)

~x ∈ Rn (3.4)

em que ~F(~x) é o vetor de funções objetivo com m elementos tal que m ≥ 2, ~x = x1,x2,. . . ,xnT é

um vetor de n variáveis de decisão emRn. O vetor ~G(~x) representa o conjunto de k restrições dedesigualdade e ~H(~x), um conjunto de j restrições de igualdade. Cabe ressaltar que se uma funçãoobjetivo fi deve ser maximizada, então podemos minimizar a função − fi, que é equivalente àmaximização de fi.


Definição 2. Seja Rn o espaço euclidiano, podemos definir o espaço viável como sendo:

X = ~x ∈ Rn| ∀ α ∈ 1,2,. . . ,k ∧ ∀ β ∈ 1,2,. . . , j, gα(~x) ≤ 0 ∧ hβ(~x) = 0 (3.5)

em que X é a região do Rn onde todas as restrições do problema, sejam elas de igualdade oudesigualdade, são satisfeitas.

Definição 3. As funções objetivo ~F(~x) definem um espaço m-dimensional Y. Para cada solução~x ∈ X, existe um ponto y ∈ Y. Assim, Y define a região do espaço dos objetivos, imagem doespaço viável, a qual pode ser expressa por:

Y = ~F(X) =⋃~x ∈ X

~F(~x) (3.6)

A Figura 3.1(a) mostra o espaço viável emR2 e a Figura 3.1(b) mostra no espaço dosobjetivos a imagem correspondente ao espaço viável.

𝑥1

𝑥2

𝑓1

𝑓2

X

𝐹 X

Y

ℝ𝑛 ℝ𝑚

Figura 3.1: Mapeamento do espaço viável no espaço de objetivos.

3.2.2 Pareto Dominância

Diferentemente da otimização mono-objetivo, em que a função objetivo é escalar eos algoritmos buscam por uma única solução, na otimização multiobjetivo, o propósito


consiste em determinar o conjunto de soluções Pareto ótimas. O conceito de Pareto-otimalidade, proposto por Vilfredo Pareto em 1896, consiste em um estado onde não épossível melhorar uma dada solução em termos de um objetivo sem causar uma degra-dação em termos de outro. As soluções de um problema de otimização multiobjetivo,ou soluções de Pareto, são as melhores entre as quais não existe um ordenamento, ouseja, não há como definir, a partir da avaliação das funções objetivo, que uma soluçãoé melhor que a outra. O conceito de Pareto ótimo é amplamente discutido na litera-tura especializada por autores como Miettinen (1999), Deb et al. (2002a) e Coello et al.(2007). Para ordenar as soluções de um conjunto é utilizado o conceito de dominânciaapresentado a seguir.

Definição 4. Critério de dominância (minimização): Um vetor ~u = (u1,. . . ,un) domina outrovetor ~v = (v1,. . . ,vn) (denotado por ~u 4 ~v) se ~ui é menor ou igual a ~vi para i = 1,2,. . . ,n, e éestritamente menor que ~v em ao menos um índice j, ou seja,

∀ i ∈ 1,2,. . . ,n | ui ≤ vi ∧ ∃ j ∈ 1,2,. . . ,n | u j < v j (3.7)

O conjunto de soluções não-dominadas é conhecido como conjunto Pareto ótimo. Aseguir, serão apresentadas algumas definições para melhor compreensão do conjuntoPareto ótimo.

Definição 5. Solução Pareto ótimo: uma solução ~u∗ ∈ X é Pareto ótima se não existe outrasolução ~u ∈ X em que fi(~u) ≤ fi(~u∗) para todo i ∈ 1,2,. . . ,m, e f j(~u) < f j(~u∗) para ao menosum índice j, em que j ∈ 1,2,. . . ,m. Nesse caso, a solução ~u∗ é dita não-dominada ou soluçãoeficiente.

Definição 6. Conjunto Pareto ótimo (F ∗): seja o espaço factível X, o conjunto Pareto ótimo édefinido como:

F∗ =

~u∗ ∈ X | ¬∃ ~u ∈ X, ~u 4 ~u∗)

(3.8)

Definição 7. Fronteira Pareto ótimo (PF ∗): uma fronteira Pareto ótima PF ∗ é a imagem deF∗, ou seja, PF ∗ = ~F(F ∗). Matematicamente, é descrita como:

PF ∗ =(

f1(~u), f2(~u),. . . , fm(~u))| ∀ ~u ∈ F ∗

(3.9)

Definição 8. Ponto utópico: o vetor utópico β de um MOP é definido, elemento a elemento,


como:

βi = fi(~xβ

i ), ∀i ∈ 1,. . . ,m (3.10)

em que:

~x βi = arg min

~x∈Xfi(~x), ∀i ∈ 1,. . . ,m (3.11)

A ponto utópico corresponde ao mínimo para todos os objetivos e tipicamente não é uma soluçãoviável. Ou seja, via de regra, β não é um ponto pertencente a Y.

A Figura 3.2 ilustra as definições relativas a Pareto dominância apresentadas nestetrabalho. O gráfico (a) ilustra uma solução utópica β. Além disso, apresenta, emvermelho, soluções dominadas por pelo menos uma solução Pareto ótima. Em cinzaescuro, destaca-se a região em que as soluções ali presentes são dominadas pela soluçãoα. O gráfico (b) ilustra a ordenação das soluções em fronteiras.

*

*

***

**

*

𝑓1

𝑓2

(α)

(𝛽)

ℱ1 = 𝑃ℱ∗ =ℱ2 =ℱ3 =

α =𝛽 =

𝑓1

𝑓2

*

*

*

***

**

*

Figura 3.2: No gráfico (a), a representação gráfica da região dominada pelas soluções dafronteira Pareto (região cinza claro). A região destacada em vermelho define o espaçodominado por α. A solução β ilustra uma solução utópica. No gráfico (b), as soluçõessão ordenadas em fronteiras.


3.3 Métricas de Desempenho

As soluções obtidas por algoritmos evolucionários multiobjetivo devem possuirduas características: (i) ser o mais próximo da fronteira Pareto ótima do problema(muitas vezes desconhecida ou estimada); e (ii) cobrir uniformemente toda a extensãoda fronteira Pareto ótima. Essas características são conhecidas na literatura comoconvergência e diversidade, respectivamente. A Figura 3.3 ilustra essas características.

𝑓1

𝑓2

𝑓1

𝑓2

Figura 3.3: Exemplos de fronteiras de um problema multiobjetivo (espaço dos objeti-vos): (a) soluções distribuídas uniformemente e (b) poucas soluções e concentradas emalgumas regiões do espaço.

Obter boas soluções dentro de um tempo computacional curto é também uma ques-tão importante, especialmente em situações como o despacho de caminhões em minasa céu aberto, em que contingências – por exemplo, falhas mecânicas dos equipamentosou atrasos – podem exigir a execução da otimização por várias vezes durante um únicodia, devido a mudanças nas condições da operação.

Para avaliar os algoritmos propostos entre si no que diz respeito à convergênciae diversidade das soluções, serão utilizadas as métricas de desempenho descritas aseguir.

3.3.1 Cobertura de Dois Conjuntos

O indicador de qualidade conhecido como Cobertura de Dois Conjuntos (Coverageof Two Sets - CS) (Zitzler e Thiele, 1999) quantifica a dominância da soluções não-dominadas obtidas por um algoritmo sobre as soluções obtidas pelo outro. O valor doindicador pode ser definido como:

3.3 Métricas de Desempenho 37

CS(H1,H2) =

∣∣∣a′′ ∈ H2; ∃ a′ ∈ H1 : a′ 4 a′′∣∣∣∣∣∣H2

∣∣∣ (3.12)

em que H1 e H2 são dois conjuntos de soluções no espaço dos objetivos, e a′ 4 a′′

significa que a′ cobre a′′, isto é, a′ domina a′′ ou a′ = a′′. A função CS mapeia o par(H1,H2) para o intervalo [0,1], em que H1 e H2 denotam a fronteira Pareto resultantedos algoritmos 1 e 2, respectivamente. O valor CS (H1,H2) = 1 implica que todos ospontos em H2 são dominados ou iguais aos pontos de H1. O oposto, CS (H1,H2) = 0,representa a situação onde nenhum dos pontos de H2 é coberto pelo conjunto H1.Observe que tanto CS (H1,H2) e CS (H2,H1) necessitam de ser calculados de maneiraindependente, uma vez que eles não são complementares.

3.3.2 Distância Geracional Invertida

A métrica chamada Distância Geracional Invertida (Inverted Generational Distance- IGD) (Zitzler et al., 2003) considera um conjunto de pontos, PF ∗, no espaço dosobjetivos ao longo da fronteira Pareto conhecida de um certo problema. Além disso, éutilizado um conjunto de pontos no espaço dos objetivos, H , resultante da execuçãode um certo algoritmo. A métrica IGD é definida como:

IGD(H ,PF ∗) =

∑v ∈ PF ∗ d(v,H)|PF

∗|

(3.13)

em que d(v,H) é a distância euclidiana mínima entre o ponto v ∈ PF ∗ eH . A métricaIGD mede tanto a convergência quanto o espalhamento do conjunto de soluçõesH , noqual menores valores de IGD indicam melhores resultados.


3.3.3 Hipervolume ou S-Metric

Proposto por Zitzler e Thiele (1999), o Hipervolume é calculado através do volumeda região coberta entre os pontos presentes em uma fronteiraH , resultante da execuçãode um certo algoritmo, e um ponto Pre f utilizado como referência, que, por sua vez, édominado por todas as soluções conhecidas do problema. Esse ponto pode ser definidoutilizando os piores valores de cada um dos objetivos envolvidos no problema. Paracada solução, i ∈ H , é construído um hipercubo ci com referência a Pre f . O resultadodessa métrica pode ser calculado como:

HV(H) =

|H|⋃i ∈ H

vi (3.14)

em que vi é o volume dado por ci. A Figura 3.4 ilustra os hipercubos formados pelassoluções não dominadas e o ponto de referência Pre f . Esse exemplo considera apenasdois objetivos e os hipercubos se resumem a retângulos (c1,c2,. . . ,c5), e o Hipervolumese resume à união das áreas destes retângulos.

𝑓1

𝑓2

(𝑃𝑟𝑒𝑓)

𝑐5

𝑐4

𝑐3

𝑐2

𝑐1

Figura 3.4: O valor do indicador de Hipervolume corresponde ao volume da regiãoconstituída pelos pontos que dominam um ponto de referência Pre f .

Quanto maior o valor de HV, melhor é a qualidade da solução. Isso indica quehouve um melhor espalhamento e convergência, embora a métrica seja mais sensível àconvergência das soluções em relação à fronteira (Zitzler et al., 2007).

3.3 Métricas de Desempenho 39

3.3.4 Função de Realização Empírica

Introduzido por Fonseca et al. (2001), a Função de Realização (Attainment Function)modela a probabilidade de um ponto~z, no espaço dos objetivos, ser alcançado (attained)por um conjunto de pontos não-dominados X, definido matematicamente como:

X = ~x j ∈ Rm, j = 1,. . . ,n (3.15)

em que n é o número pontos não-dominados e m é o número de objetivos do problema.A probabilidade de um ponto~z ser alcançado é dada pela probabilidade de se obter umconjunto de pontos X, resultado de algum algoritmo de otimização multiobjetivo, emque pelo menos um de seus elementos satisfação à condição ~x 4 ~z, isto é, ∃ ~x ∈ X | ~x 4 ~z.A seguir, é apresentada a definição da Função de Realização αX(·) : Rm

7−→ [0,1]:

αX( ~z ) = P( ~x1 4 ~z ∨ ~x2 4 ~z ∨ . . . ∨ ~xn 4 ~z ) = P(X E ~z ) (3.16)

em que P(·) é a função de densidade de probabilidade que indica se ao menos umponto, pertencente ao conjunto de pontos não-dominados, alcança o ponto ~z ( X E ~z ).

A Função de Realização Empírica (Empirical attainment function - EAF) (Fonsecaet al., 2005) estima a Função de Realização utilizando dados experimentais obtidos desaídas de algoritmos de otimização multiobjetivo. Assim, a EAF é uma função discretaαr : Rm

7−→ [0,1] definida a seguir.

αr( ~z ) = αr( X1,X2, · · · ,Xr;~z ) =1r·

r∑i=1

I( Xi E ~z ) (3.17)

tal queI· : Rm7−→ 0,1 é uma função indicadora que retorna 1 se o argumento for ver-

dadeiro e 0, caso contrário. Os conjuntos de pontos não-dominados X1, X2, · · · , Xr sãoretornados por r execuções independentes de algoritmos de otimização multiobjetivo.


A EAF permite identificar quais são as regiões, no espaço dos objetivos, em que umalgoritmo é melhor que o outro e, também, visualizar a magnitude dessas diferenças(Ibáñez et al., 2010a,c). No caso de problemas de otimização biobjetivo, o cálculoda EAF é rápido, e sua representação gráfica fornece informações intuitivas sobre adistribuição das soluções não-dominadas geradas pelos algoritmos. Uma ferramentapara análise gráfica da EAF é proposta no trabalho de Ibáñez et al. (2010c).

3.4 Conclusões

Neste capítulo foram apresentadas as principais definições de otimização multiobje-tivo necessárias à compreensão deste trabalho. Entre elas, destacou-se uma formulaçãomatemática para problemas de otimização multiobjetivo, definição do espaço de va-riáveis e dos objetivos. O conceito de Pareto dominância foi brevemente discutido eas definições de critério de dominância, solução Pareto ótimo, conjunto Pareto ótimo,fronteira Pareto ótimo e solução utópica foram apresentadas. Além disso, foram apre-sentados as métricas de desempenho utilizados nessa trabalho a fim de se comparar osresultados de algoritmos evolucionários multiobjetivo.

Capítulo 4

Algoritmo para classificação de soluçõesem fronteiras não-dominadas

4.1 Introdução

Algoritmos de otimização multiobjetivo buscam encontrar soluções que estejam omais próximo possível da fronteira Pareto do problema. Além disso, é desejado que elasestejam dispersas, de forma a cobrir toda a região da fronteira. Nas últimas décadas,vários Algoritmos Evolucionários Multiobjetivo (Multiobjective Evolutionary Algorithms- MOEAs) têm sido propostos e amplamente utilizados para encontrar soluções efici-entes de problemas de otimização. Muitos desses MOEAs são baseados no conceitode Pareto dominância. Dentre eles, podemos destacar o MOGA (Fonseca e Fleming,1993), NSGA-II (Deb et al., 2002a), NSGA-III (Deb e Jain, 2014; Jain e Deb, 2014), SPEA2(Zitzler et al., 2002), PAES (Knowles e Corne, 1999), MODEA (Ali et al., 2012), paracitar apenas alguns. Assim, o problema de identificar as soluções não-dominadas apartir de um conjunto de soluções (populações) contribui de forma significante parao aumento do custo computacional dos algoritmos. O custo computacional para clas-sificar as soluções em fronteiras não-dominadas depende do tamanho da população,número de fronteiras existentes e também do número de objetivos. Assim, a clas-sificação de soluções em fronteiras não-dominadas desempenha um papel-chave emMOEAs baseados no critério de dominância. A tarefa de identificar essas fronteirasnão-dominadas consome uma parte considerável do tempo total de todo processo deotimização, especialmente quando o número de gerações, os objetivos e o número desoluções da população são grandes. Portanto, um procedimento de baixo custo com-putacional para classificar soluções em fronteiras não-dominadas, que evite operaçõesredundantes, é de grande interesse dos pesquisadores.

No geral, nós podemos entender que n soluções de uma população P podem serclassificadas em m fronteiras não-dominadas, nas quais cada fronteira é denotada

42 4 Algoritmo para classificação de soluções em fronteiras não-dominadas

como Fi, em que i = 1,. . . ,m. De acordo com o critério de dominância, as soluções não-dominadas de uma população P são atribuídas a uma fronteira Fi, e posteriormente,removidas deP, ou seja,P = P−Fi. Esse procedimento deve ser repetido até que todasas soluções de P sejam atribuídas a uma fronteira.

A Figura 4.1 apresenta um conjunto de soluções classificadas em fronteiras não-dominadas utilizando o conceito de Pareto dominância. A partir desse conjunto desoluções, foram identificadas três fronteiras não-dominadas.

*

*

*

*

**

**

*

*

*

*

*

**

**

S ℱ2S ℱ1Soluções da população S. S ℱ3

𝑓1

𝑓2

𝑓1

𝑓2

𝑓1

𝑓2

𝑓1

𝑓2

Figura 4.1: Uma população com 21 soluções de um problema de minimização em umespaço biobjetivo. As soluções foram classificadas em três fronteiras não-dominadas.

Diversas estratégias para classificar soluções em fronteiras não-dominadas têm sidopropostas na literatura. Entre elas, podemos mencionar os seguintes algoritmos: CornerSort (Wang e Yao, 2014), Efficient Non-dominated Sort (Zhang et al., 2015), Fast Non-dominated Sort (Deb et al., 2002a), Get Dominance Tree (Fang et al., 2008), Deductive Sort(McClymont e Keedwell, 2012), Arena’s Principle (Tang et al., 2008), para citar apenasalguns. Todas as estratégias propostas geram um mesmo resultado recebendo comoentrada um conjunto de soluções. A diferença entre elas é o custo computacional paraidentificar as soluções que pertencem a cada fronteira. O custo computacional dosprimeiros algoritmos é O(m.n3) (Goldberg, 1989), em que m é o número de fronteiras en, o número de soluções. Estudos recentes apresentam algoritmos que possuem menorcusto computacional, em queO(m.n log n) é o melhor caso eO(m.n2), o pior caso (Zhanget al., 2015).

Os objetivos deste capítulo são: i) apresentar um novo procedimento responsávelpor classificar soluções em fronteiras não-dominadas, chamado Labeling-Oriented Non-dominated Sorting Algorithm (LONSA); e ii) comparar os métodos baseados em Paretodominância encontrados na literatura. O LONSA consiste de dois subprocedimentos,chamados de LONSA2Obj e LONSAManyObj, que são responsáveis por classificarsoluções em espaços biobjetivo e k-objetivo (k ≥ 3), respectivamente. Tal como outrosmétodos da literatura, o algoritmo proposto pode ser utilizado para classificar um

4.2 Trabalhos Relacionados 43

conjunto de soluções em fronteiras não-dominadas quando é acoplado a qualquerMOEA que utiliza o conceito baseado em Pareto dominância. O algoritmo proposto ésimples, porém eficiente ao classificar corretamente um número arbitrário de soluçõesindependente de sua distribuição em um espaço n-dimensional. Os resultados doLONSA são comparados com nove métodos encontrados na literatura.

Este capítulo está organizado da seguinte forma: na Seção 4.2, será discutido osprincípios utilizados pelos métodos existentes na literatura, bem como suas principaiscaracterísticas. Na Seção 4.3, o LONSA é apresentado e sua aplicação em dois exemplos(para dois e três objetivos) é detalhada. Na Seção 4.4, os resultados do LONSA sãocomparados, em termos do número de comparações e do tempo computacional, comoutros nove métodos encontrados na literatura. Por fim, a Seção 4.5 contém nossasconclusões.

4.2 Trabalhos Relacionados

O procedimento de classificação de soluções em fronteiras não-dominadas é umadas tarefas que demandam elevado tempo computacional em MOEAs (Shi et al., 2005;Zhang et al., 2015; Fang et al., 2008). Projetar um método eficiente para realizar essatarefa é crucial para uma boa performance dos MOEAs, por isso diversos métodos têmsido propostos na literatura para mitigar esse problema. A eficiência de uma classifica-ção depende das estruturas de dados utilizadas por eles. Árvores e listas ordenadas sãoalgumas estruturas de dados eficientes utilizadas pelos algoritmos. Diversos métodosadotam abordagens que consideram a ordenação das soluções nas quais os valores deseus objetivos são utilizados como critério de ordenação (Jensen, 2003; Wang e Yao,2014; Zhang et al., 2015). Outros trabalhos dependem de propriedades, como simetriae transitividade, para acelerar as comparações entre soluções, evitando operações re-dundantes (Fang et al., 2008; McClymont e Keedwell, 2012; Shi et al., 2005; Mendes eVasconcelos, 2010). Por exemplo, dada uma população P = a,b,c, podemos dizer quese a 4 b, b 4 c então a 4 c.

Estudos recentes apresentam métodos que se utilizam do ordenamento das soluçõesno espaço dos objetivos. O primeiro trabalho que utiliza essa abordagem foi propostopor Jensen (2003). Ele utiliza uma simples comparação em problemas biobjetivo e umaabordagem de divisão e conquista para problemas que possuem três ou mais objetivos.A performance do método piora significativamente quando o número de objetivos


do problema aumenta. Nessa mesma linha, outro trabalho é proposto por Zhanget al. (2015), que apresenta dois algoritmos chamados: i) Efficient Non-dominated Sort- Sequential Search (ENS-SS) e ii) Efficient Non-dominated Sort - Binary Search (ENS-BS).Em geral, as abordagens ENS determinam a fronteira a que cada solução s pertence,avaliando as soluções uma a uma. Se s é dominada por alguma solução da fronteiraFi, em que i = 1,. . . ,m, o valor de i é incrementado e o procedimento é repetidoenquanto i for menor que m. Se não existem soluções em Fi que dominam s, entãoela é incluída em Fi. Se i é igual a m, uma nova fronteira é criada, o valor de m éincrementado e s é incluída em Fi. Os algoritmos são comparados com outros trêsmétodos da literatura, conhecidos como Deductive Sort (McClymont e Keedwell, 2012),Arena’s Principle (Tang et al., 2008) e Fast Non-dominated Sort (FNDS) (Deb et al., 2002a).Os resultados mostram que os algoritmos ENS-SS e ENS-BS apresentam menor númerode comparações e também menor tempo computacional. Entretanto, a performancedos algoritmos é degradada à medida que o número de objetivos cresce. No pior caso,os algoritmos apresentam custo computacional igual a O(m.n2).

O trabalho de Wang e Yao (2014) apresenta um algoritmo chamado Corner Sort, quenecessita ordenar as soluções pelos valores de seus objetivos. Ele inicia o procedimentode classificação por dominância considerando as soluções extremas, ou seja, que estãonas extremidades do vetor. Esse método assume que as soluções extremas, conside-rando certo objetivo, tendem a dominar um maior número de soluções. As soluçõesdominadas pelas soluções extremas são desconsideradas nas iterações seguintes doalgoritmo e, assim, comparações desnecessárias são evitadas. De acordo com os auto-res, o método requer m. (n − 1) comparações, considerando cada objetivo. Entretanto,em problemas com muitos objetivos, o custo computacional para ordenar as soluçõesafetam a performance do Corner Sort, mesmo que testes de dominância sejam evitados.

Outros métodos propostos na literatura organizam as soluções em estruturas co-nhecidas como árvores (Cormen et al., 2009). Entre esses métodos, nós podemos citaro Non-Dominated Tree (NDT) (Mendes e Vasconcelos, 2010), o Mak Tree (MT) (Berry eVamplew, 2006) e o Get Dominance Tree (GDT) (Fang et al., 2008). Em geral, a ideia éincluir as soluções em uma estrutura de dados conhecida como árvore, de forma queos algoritmos sejam capazes de identificar as soluções não-dominadas a partir de umcerto nó da árvore, evitando, assim, testes de dominância. O método GDT, por exem-plo, associa as soluções que não possuem relação de dominância em um mesmo nó daárvore. Assim, a seguinte propriedade é assegurada: soluções localizadas à direita deuma subárvore de um nó r dominam as soluções pertencentes a r e, por outro lado, assoluções pertencentes à esquerda de uma subárvore de r são dominadas. Além de ser

4.3 Descrição do Algoritmo Proposto 45

uma estrutura complexa, o método necessita manter a propriedade da árvore sempreque uma nova solução é incluída. Os autores não apresentam o custo computacionaldo algoritmo, entretanto os resultados mostram que ele possui melhor performanceque o FNDS.

Um resumo dos algoritmos encontrados na literatura são apresentados na Tabela4.1. Entre esses métodos destacam-se o Fast Non-Dominated Sorting (FNDS) (Deb et al.,2002a) e o Dominance Depth and Dominance Rank (Zitzler et al., 2002), que são utilizadospelos MOEAs mais citados da literatura (NSGA-II (Deb et al., 2002a) e SPEA2 (Zitzleret al., 2002)).

Tabela 4.1: Trabalhos relevantes sobre procedimentos de classificação de soluções emfronteiras não-dominadas.

Método Complexidade Observação

Dominance Depth + Dominance Rank (Zitzler et al., 2002) O(m.n2) Mais utilizados, porém com alto custocomputacional.Fast Nondominated Sorting (Deb et al., 2002a) O(m.n2)

Non-Dominated-Sort + ND-Helper (Jensen, 2003) O(m. logm−1 n) Utiliza um procedimento recursivo.Better-Non-dominated-sort (Shi et al., 2005) O(m.n2) Utiliza propriedades de simetria e

transitividade.Get Dominance Tree (Fang et al., 2008) O(m.n log n)∗ Adota um mecanismo de divisão e

conquista.NonDominated Tree (Mendes e Vasconcelos, 2010) - Utiliza árvore binária.Mak Tree (Berry e Vamplew, 2006) O(n log m)∗ Utiliza árvore binária. Restrito a

problemas biobjetivo.Arena’s Principle (Tang et al., 2008) O(m.n2) Realiza um torneio entre soluções.Deductive and Climbing Sort (McClymont e Keedwell, 2012) O(m.n2) Armazena informações de comparações

já realizadas.Corner Sort (Wang e Yao, 2014) O(m.n2) Ordena as soluções e inicia a

classificação pelos extremos.ENS (Zhang et al., 2015) O(m.n2) Ordena as soluções e usa duas

estratégias de busca: sequencial oubinária.

Observação: m corresponde ao número de objetivos e n, o tamanho da população.* Melhor caso do algoritmo. O pior caso é O(m.n2).

4.3 Descrição do Algoritmo Proposto

Nesta seção, será apresentado um novo método chamado Labeling-Oriented Non-dominated Sorting Algorithm (LONSA), responsável por classificar um conjunto de so-luções em fronteiras não-dominadas. Para problemas de otimização que possuemdois objetivos, o LONSA usa um subprocedimento de simples entendimento chamadoLONSA2Obj. Para problemas com três ou mais objetivos, o LONSA utiliza um subpro-cedimento chamado LONSAManyObj, que é facilmente explicado após o entendimento


da metodologia para problemas com dois objetivos. O LONSA é definido pelo pseudo-código do Algoritmo 2, que consiste, de forma geral, em criar dois arranjos ordenados1

em ordem crescente considerando os valores do primeiro e segundo objetivo. Inicial-mente, todas as soluções recebem rótulo #1, e uma tabela hash (Cormen et al., 2009) écriada para a busca eficiente das soluções nos arranjos. O LONSA verifica o número deobjetivos do problema e executa o subprocedimento correspondente, ou seja, se k = 2executa o LONSA2Obj(·) e caso contrário, o LONSAManyObj(·). Os subprocedimen-tos são responsáveis por identificar todas as soluções não-dominadas, iterando sob osarranjos arrayx e arrayy. As soluções não-dominadas são retornadas e atribuídas a Fi.O procedimento é executado até que todas as soluções sejam removidas de S.

Algoritmo 2: Classificacao de um conjunto de solucoes em fronteiras nao-dominadas.(LONSA)

Entrada: S: conjunto de soluções / k: número de objetivosSaída: F : fronteiras não-dominadas

1 Início2 label(S,#1) /*atribui o rótulo #1 à todas as soluções de S.*/3 arrayx ← sort(S,1) /*ordenar pelo objetivo 1.*/4 arrayy ← sort(S,2) /*ordenar pelo objetivo 2.*/5 hashTable← makeHash(S)6 i← 17 enquanto S , ∅ faça8 se k = 2 então9 Fi ← LONSA2Obj(S,arrayx,arrayy,hashTable)

10 senão11 Fi ← LONSAManyObj(S,arrayx,arrayy,hashTable)12 fim13 i← i + 114 fim15 retorna F16 Fim

A seguir, as Seções 4.3.1 e 4.3.2 detalham os subprocedimentos LONSA2Obj(·) eLONSAManyObj(·), respectivamente. As particularidades de cada subprocedimentosão apresentadas, bem como exemplos didáticos para facilitar o entendimento.

4.3.1 Subprocedimento para Classificação em um Espaço Biobjetivo

Dado um conjunto de soluções S em um espaço biobjetivo, é proposto um procedi-mento específico para identificar as fronteiras não-dominadas de S. Para fins didáticos,

1Devido a questões de desempenho, é utilizado o algoritmo Quicksort, proposto por Hoare (1962). Suacomplexidade computacional é O(n log n) no caso médio. Assim, o tempo computacional para ordenaras soluções é dobrado, já que deve ser ordenado para ambos objetivos.


primeiramente apresenta-se um exemplo, ilustrado pela Figura 4.2, e logo após, opseudocódigo do algoritmo será detalhado.

J(7,6)C(1,5)

L(5,6)

G(3,3)

B(3,4)

K(2,2)

I(7,3)

H(6,1)F(3,1) E(4,1)

D(2,4)A(1,4)

𝒇𝒙

𝒇𝒚

C M A D K B G F E L H I J 𝒂𝒓𝒓𝒂𝒚𝒙

E F H K I G D A B J C L M 𝒂𝒓𝒓𝒂𝒚𝒚

𝑷𝒂𝒔𝒔𝒐 𝟏:𝓕 = ∅

𝑷𝒂𝒔𝒔𝒐 𝟐:𝓕 = 𝐶

𝑵ã𝒐 𝒂𝒗𝒂𝒍𝒊𝒂𝒅𝒂𝒔 (#1) 𝑰𝒏𝒔𝒆𝒓𝒊𝒅𝒂𝒔 𝒆𝒎𝓕 (#2) 𝑹𝒆𝒎𝒐𝒗𝒊𝒅𝒂𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒂𝒓𝒓𝒂𝒚𝒔 (#3)

𝑎𝑣𝑎𝑙𝑖𝑎𝑟

M(1,6)

C M A D K B G F E L H I J

E F H K I G D A B J C L M

𝑷𝒂𝒔𝒔𝒐 𝟑:𝓕 = 𝐴




𝑷𝒂𝒔𝒔𝒐 𝟒:𝓕 = 𝐴




𝑷𝒂𝒔𝒔𝒐 𝟓:𝓕 = 𝐴, 𝐾




𝑷𝒂𝒔𝒔𝒐 𝟔:𝓕 = 𝐴, 𝐾, 𝐹




𝑷𝒂𝒔𝒔𝒐 𝟕:𝓕 = 𝐴, 𝐾, 𝐹




𝒂𝒓𝒓𝒂𝒚𝒙

𝒂𝒓𝒓𝒂𝒚𝒚











Figura 4.2: Subprocedimento para identificar o conjunto de soluções não-dominadasem um espaço biobjetivo.

Na Figura 4.2, um simples exemplo para um conjunto de 13 soluções é proposto.Para facilitar o reconhecimento, um identificador (A a M) é atribuído a cada uma delas.No Passo 1, o arrayx e arrayy são apresentados com as soluções ordenadas e rotuladascom #1. A seta sobre o arrayx no Passo 2 indica a solução corrente (C nesse caso). A setahorizontal, identificada como avaliar, indica o ponto em que a avaliação da soluçãocorrente é interrompida. Além disso, F indica as soluções pertencentes à fronteira queestá sendo construída (rotulada com #2).

No Passo 2, a solução C recebe o rótulo #2 e as soluções L e M, localizadas à suadireita no arrayy, recebem o rótulo #3. Na próxima iteração M é a solução corrente,entretanto, como ela possui rótulo #3, nenhuma operação é executada. Essa iteraçãonão é mostrada na Figura 4.2, pois nenhum rótulo é alterado. Em seguida, durante oPasso 3, a solução A torna-se a solução corrente e à sua direita, no arrayy, encontramosas soluções B e J com rótulo #1, C com rótulo #2 e, também, L e M com rótulo #3. Assoluções B e J recebem o rótulo #3 e ao encontrar a solução C, que possui rótulo #2, aiteração sob o arrayy é finalizada e o teste de dominância A 4 C é realizado. Como asolução A domina a solução C o rótulo de C é atualizado para #3 e F = A . No Passo


4, D é a solução corrente e, no arrayy, a primeira solução à sua direita é A, cujo rótuloé #2. É realizado o teste de dominância D 4 A e, então, como a solução D domina asolução A, D recebe o rótulo #3. A seguir, no Passo 5, a solução corrente é K. NessePasso, o arrayy é percorrido até que a solução A é encontrada. Os rótulos das soluçõesI, G e D são alterados para #3 e, a seguir, o teste de dominância K 4 A é realizado.Como não existe relação de dominância entre as soluções K e A, ao término desse passo,ambas possuem rótulo #2 e F = A,K.

É importante observar que, nas próximas duas iterações, as soluções B e G possuemrótulo #3. Assim, a avaliação dessas soluções é desnecessária e, além disso, não sãoapresentadas na Figura 4.2. No Passo 6, a solução corrente é F e à sua direita, no arrayy,encontra-se a solução H, que recebe rótulo #3. Ao encontrar a solução K, o teste dedominância F 4 K é realizado e temos, ao término dessa iteração, as soluções A, K eF com rótulo #2. No Passo 7, a solução corrente é E. O teste de dominância E 4 F érealizado e a solução E recebe rótulo #3. O rótulo das soluções restantes (L, H, I e J) sãodiferentes de #1 e não necessitam de processamento adicional. De forma prática, essasiterações não são apresentadas na Figura 4.2. Após J ser identificada como soluçãocorrente, no arrayx, o procedimento é finalizado e, nesse momento, todas as soluçõescom rótulo #2 pertencem à fronteira F , ou seja, F = A,K,F.

O pseudocódigo do procedimento responsável por identificar as soluções não-dominadas em um espaço biobjetivo é definido pelo Algoritmo 3. Cada solução sdo arranjo arrayx, que foi previamente rotulada com #1 (Algoritmo 2, linha 2), temseu rótulo alterado para #2 (Algoritmo 3, linha 4) e suas posições correspondentes noarrayy são determinadas (Algoritmo 3, linha 5). Todas as soluções à direita de s noarrayy recebem rótulo #3 em ambos arranjos, até que uma solução com rótulo #2, #3ou o fim do arrayy seja encontrado (Algoritmo 3, linhas 6 a 11). Se o laço da linha 6 éinterrompido devido ao fato de ter sido encontrada uma solução com rótulo diferentede #1 (hasLabel(arrayy[posy],#1)), um teste de dominância é realizado (linha 13) e o rótulodas soluções é atualizado. Cabe ressaltar que a função dominate(s1,s2) retorna -1 casos1 4 s2, 1 caso s2 4 s1 e 0 caso não exista relação de dominância entre s1 e s2. Apósiterar sob o arrayx, todas as soluções com com rótulo #2 (soluções não-dominadas) sãoremovidas de S, arrayx, arrayy, e incluídas em F , pois serão retornadas pelo algoritmo(linhas 27 a 38). Esse algoritmo evita testes de dominância nas seguintes situações: i)para todas as soluções à esquerda de uma solução s no arrayy e ii) quando uma soluçãocom rótulo #2 ou #3 é encontrada no arrayy.


Algoritmo 3: Identificacao do conjuntode solucoes nao-dominadas emumespaco bi-objetivo.(LONSA2Obj)

Entrada: S: conjunto de soluçõesEntrada: arrayx: soluções ordenadas pelo primeiro objetivoEntrada: arrayy: soluções ordenadas pelo segundo objetivoEntrada: hash: tabela hash para busca eficienteSaída: F : conjunto de soluções não-dominadas

1 Início2 para cada s in arrayx faça3 se hasLabel(s,#1) então4 label(s,#2)5 posy ← f indy(s,hash) + 16 enquanto (posy < length(arrayy)) E (hasLabel(arrayy[posy],#1)) faça7 posx ← f indx(arrayy[posy],hash)8 label(arrayx[posx],#3)9 label(arrayy[posy],#3)

10 posy ← posy + 111 fim12 se posy < length(arrayy) então13 d← dominate(s,arrayy[posy)14 se d = −1 então15 label(arrayy[posy],#3)16 posx ← f indx(arrayy[posy],hash)17 label(arrayx[posx],#3)18 senão se d = 1 então19 posy ← f indy(s,hash)20 label(arrayy[posy],#3)21 posx ← f indx(s,hash)22 label(arrayx[posx],#3)23 fim24 fim25 fim26 fim27 F ← ∅

28 para cada s in arrayx faça29 se hasLabel(s,#2) então30 S← S − s31 F ← F ∪ s32 remove(s,arrayx)33 remove(s,arrayy)34 senão35 label(s,#1)36 fim37 fim38 retorna F39 Fim

4.3.2 Subprocedimento para Classificação em um Espaço k-objetivo

Para classificar soluções em um espaço k-objetivo (k ≥ 3), foram realizadas algumasalterações no Algoritmo 3 apresentado na seção anterior. Para simplificar o enten-


dimento, primeiramente apresenta-se um exemplo didático, ilustrado pela Figura 4.3.Nesse exemplo, temos uma população com 11 soluções que receberam um identificadorde A a K para facilitar o reconhecimento. As soluções estão definidas em um espaço3-objetivo e, destacado em vermelho, os valores dos objetivos f1 e f2 utilizados paraordenar as soluções nos arranjos arrayx e arrayy (Algoritmo 2, linhas 3 e 4). Essa etapaé ilustrada no Passo 1.

A E G H I K F B J C D 𝒂𝒓𝒓𝒂𝒚𝒙

10 10 10 10 10 10 15 20 30

H E I A B J K D F C G( 20, 10, 05 )

( 30, 20, 30 )

( 10, 05, 20 )

( 15, 15, 15 )

( 10, 20, 30 )

( 10, 03, 20 )

( 10, 08, 10 )

( 30, 15, 20 )

A

B

C

D

E

F

G

H

I

𝑓1 𝑓2 𝑓3

( 20, 10, 06 )J

( 10, 10, 08 )K

( 10, 10, 10 )

3020

03 05 08 10 10 10 10 15 202015

A E G H I K F B J C D

10 10 10 10 10 10 15 20 30


H E I A B J K D F C G

3020

03 05 08 10 10 10 10 15 202015

10 10 10 10 10 10 15 20 30


3020

03 05 08 10 10 10 10 15 202015

10 10 10 10 10 10 15 20 303020

03 05 08 10 10 10 10 15 202015


10 10 10 10 10 10 15 20 303020

03 05 08 10 10 10 10 15 202015


10 10 10 10 10 10 15 20 303020

03 05 08 10 10 10 10 15 202015


10 10 10 10 10 10 15 20 303020

03 05 08 10 10 10 10 15 202015

























𝑷𝒂𝒔𝒔𝒐 𝟏:𝓕 = ∅ 𝑷𝒂𝒔𝒔𝒐 𝟐:𝓕 = 𝐴

𝑷𝒂𝒔𝒔𝒐 𝟑:𝓕 = 𝐴, 𝐸 𝑷𝒂𝒔𝒔𝒐 𝟒:𝓕 = 𝐴, 𝐻

𝑷𝒂𝒔𝒔𝒐 𝟓:𝓕 = 𝐻, 𝐼 𝑷𝒂𝒔𝒔𝒐 𝟔:𝓕 = 𝐻, 𝐼, 𝐾

𝑷𝒂𝒔𝒔𝒐 𝟕:𝓕 = 𝐻, 𝐼, 𝐾, 𝐵𝑵ã𝒐 𝒂𝒗𝒂𝒍𝒊𝒂𝒅𝒂𝒔 (#1)

𝑰𝒏𝒔𝒆𝒓𝒊𝒅𝒂𝒔 𝒆𝒎𝓕 (#2)

𝑹𝒆𝒎𝒐𝒗𝒊𝒅𝒂𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒂𝒓𝒓𝒂𝒚𝒔 (#3)

Figura 4.3: Subprocedimento para identificar o conjunto de soluções não-dominadasem um espaço 3-objetivo.

Diferente do Algoritmo 3, em que ao encontrar uma solução com rótulo #3 no arrayy

a iteração era interrompida e um teste de dominância era realizado, neste algoritmo, aiteração não é interrompida sendo realizada até o término do arrayy. Esse comporta-mento é ilustrado no Passo 3 no qual a solução corrente E é avaliada até o término doarrayy (solução G). Testes de dominância são evitados quando soluções com rótulo #3são encontradas. Por exemplo, no Passo 3, testes de dominância são realizados apenasentre a solução corrente E e as soluções I, A, B, J e K. Outro ponto que merece destaqueocorre durante a avaliação da solução corrente K (Passo 6). O início da avaliação dessasolução, no arrayy, ocorre com a solução A e não com a D. Isso acontece porque o inícioda comparação se da a partir da primeira solução, encontrada no arrayy, com valor def2 igual ao da solução corrente (10 nesse caso). Além disso, nesse caso, cabe ressaltarque são evitados testes de dominância entre a solução K e as soluções H, E e I queencontram-se à esquerda de A.


O pseudocódigo do procedimento responsável por identificar as soluções não-dominadas em um espaço k-objetivo (k ≥ 3) é definido pelo Algoritmo 4. Inicialmenteverifica-se o rótulo da solução corrente s (linha 3). Caso o rótulo seja igual a #1, eleé alterado para #2 (linha 4) e a posição da primeira solução no arrayy, com valor def2 (objetivo 2) igual ao de s, é retornado pela função f indFirsty(·) (linha 5) e atribuídaà variável posy. Logo após, é realizada uma varredura em todo arrayy, a partir deposy, assegurando que testes de dominância serão realizados somente entre a soluçãocorrente e as soluções que possuem rótulo igual a #1 ou #2. Testes de dominância sãodesnecessários para as soluções que possuem rótulo #3. Se a solução da posição posy, noarrayy, domina a solução corrente s, o laço da linha 6 é interrompido (linha 18) e testesde dominância desnecessários são evitados. Após finalizar a iteração sob o arrayx, oalgoritmo realiza as mesmas operações definidas pelas linhas 27–38 do Algoritmo 3.

Algoritmo 4: Identificacao do conjunto de solucoes nao-dominadas em um espaco k-objetivo(k ≥ 3). (LONSAManyObj)

Entrada: S: conjunto de soluçõesEntrada: arrayx: soluções ordenadas pelo primeiro objetivoEntrada: arrayy: soluções ordenadas pelo segundo objetivoEntrada: hash: tabela hash para busca eficienteSaída: F : conjunto de soluções não-dominadas

1 Início2 para cada s in arrayx faça3 se hasLabel(s,#1) então4 label(s,#2)5 posy ← f indFirsty(s,hash)6 enquanto posy < length(arrayy) faça7 se not hasLabel(arrayy[posy],#3) então8 d← dominate(s,arrayy[posy)9 se d = −1 então

10 label(arrayy[posy],#3)11 posx ← f indx(arrayy[posy],hash)12 label(arrayx[posx],#3)13 senão se d = 1 então14 posy ← f indy(s,hash)15 label(arrayy[posy],#3)16 posx ← f indx(s,hash)17 label(arrayx[posx],#3)18 break; /*Saída do laço.*/

19 fim20 fim21 posy ← posy + 122 fim23 fim24 fim25 . . . . . . . . . linhas 27–38 do Algoritmo 3 . . . . . . . . .26 Fim


4.3.3 Análise de Complexidade

Esta seção discute o custo computacional das duas versões do LONSA (LONSA2Obje LONSAManyObj). Inicialmente, o LONSA realiza a ordenação das soluções conside-rando os valores de dois objetivos. Esse procedimento é realizado por um algoritmoeficiente, conhecido como Quicksort (Cormen et al., 2009). Considerando que a ope-ração relevante é o número de vezes que os valores dos objetivos são comparados,o seu custo computacional médio é O(n log n), em que n é o número de soluções dapopulação. Além disso, o LONSA utiliza a estrutura de dados conhecida como tabelahash (Cormen et al., 2009), que permite uma busca eficiente pelas soluções nos arranjos.O custo para construir essa estrutura é O(n) e, para pesquisar as soluções na estrutura,esse custo é constante (O(1)).

O custo computacional para identificar as fronteiras não-dominadas depende daordem em que as soluções são encontradas nos arranjos ordenados. Aqui considera-mos que a operação relevante é o número de vezes em que testes de dominância sãoexecutados. O melhor caso ocorre quando uma solução está na primeira posição emambos os arranjos. Nesse caso, para problemas com dois objetivos, podemos afirmarque essa solução domina todas as outras. Assim, a solução da i-ésima posição dos ar-ranjos arrayx e arrayy receberão o rótulo #3 tal que i = 2,. . . ,|arrayx|. Caso esse mesmocomportamento se repita para as outras soluções da população, o número de fronteirasnão-dominadas será igual ao número de soluções da população e não serão necessáriostestes de dominância pelo Algoritmo 3. Por outro lado, o pior caso ocorre quando assoluções da i-ésima posição no arrayx está na |arrayx| − i posição do arrayy. Neste caso,teremos (n−1)∗n testes de dominância e somente uma fronteira não-dominada. Assim,no pior caso, o algoritmo executa O(n2) testes de dominância, de forma semelhante aopior caso dos métodos encontrados na literatura.

Na próxima seção, será investigada a performance do LONSA e comparada a outrosnove métodos encontrados na literatura. Para tanto, uma série de experimentos foramrealizados para avaliar o desempenho computacional dos algoritmos. Esses testestambém consideram algumas questões levantadas por Zhang et al. (2015) e Ishibuchiet al. (2011).

4.4 Experimentos Computacionais

Nesta seção será apresentada uma comparação entre o LONSA e outros nove mé-todos da literatura, que são: Fast Nondominated Sorting (FNDS) (Deb et al., 2002a), Get

4.4 Experimentos Computacionais 53

Dominance Tree (GDT) (Fang et al., 2008), Non-Dominated Tree (NDT) (Mendes e Vascon-celos, 2010), Arena’s Principle (ARENA) (Tang et al., 2008), Climbing Sort (CLIMBING)e Deductive Sort (DEDUCTIVE) (McClymont e Keedwell, 2012), Corner Sort (CORNER)(Wang e Yao, 2014), Efficient Non-dominated Sort com Sequential Search Strategy (ENS-SS) e com Binary Search Strategy (ENS-BS) (Zhang et al., 2015). Todos os métodosforam testados com os mesmos dados de entrada e todos eles foram implementadosna linguagem Java utilizando o complilador JDK 1.7. Todos os experimentos foramexecutados em um computador Pentium Core i7 2.2GHz, 8GB de memória RAM comsistema operacional Windows 8.1.

Duas métricas de desempenho foram utilizadas para comparar os métodos estu-dados: número de testes de dominância e tempo computacional para classificar osconjuntos de soluções em fronteiras não-dominadas. Os testes foram realizados emtrês configurações: i) na primeira configuração, populações de pontos foram artificial-mente geradas para os testes. No processo de geração dessas populações foi garantidaa existência de pontos em diferentes fronteiras de soluções não-dominadas. Nesse caso,o número de objetivos, tamanho da população e número de fronteiras foram definidos apriori; ii) Na segunda configuração foram criadas populações com soluções aleatórias,nas quais apenas o tamanho da população e o número de objetivos foram informados;iii) Na terceira configuração, foi avaliada a performance dos métodos de classificaçãode soluções em fronteiras não-dominadas acoplados ao NSGA-II (para problemas comdois objetivos) e ao NSGA-III (para problemas com 5 e 10 objetivos).

Os testes da primeira configuração utilizam o Algoritmo 5, baseado em Zhang et al.(2015), que é responsável por construir conjuntos de soluções S conforme parâmetrosfornecidos: tamanho da população (n); número de objetivos (k); número de fronteiras(m); e limite inferior (minVal) e superior (maxVal) para os valores dos objetivos dassoluções. Em linhas gerais, o algoritmo consiste em cinco passos básicos: i) criaruma matriz α de dimensão k × n, em que cada posição αi,s possui um valor aleatório∈ [minVal,maxVal]; ii) organizar os valores de cada linha de α em ordem ascendenteresultando em uma matriz α′; iii) criar as soluções baseadas nos valores de α′ e atribuí-las a um conjunto de soluçõesF ; iv) definir um subconjunto (β) com alguns valores dosíndices de objetivos que serão alterados. As soluções pertencentes a F têm os valoresdos objetivos definidos por β trocados. Todas as soluções são atribuídas a um conjuntoS e, finalmente, v) o conjunto S é embaralhado e retornado pelo algoritmo.

Inicialmente, o Algoritmo 5 cria uma matriz α de dimensão k× n na qual os valoresde cada posiçãoαi,s são gerados por uma distribuição uniforme pertencente ao intervalo


Algoritmo 5: Construcao de populacoes aleatorias.Entrada: n: tamanho da populaçãoEntrada: k: número de objetivosEntrada: m: número de fronteirasEntrada: minVal: valor mínimo do objetivoEntrada: maxVal: valor máximo do objetivoSaída: S: conjunto de soluções

1 Início2 α← makeMatrix(k,n,minVal,maxVal)3 α′ ← sort(α)4 F ← ∅

5 γ← bn/mc /*número de soluções por fronteiras */6 τ← 1 /*número de fronteiras */7 s← 1 /*contador de soluções */8 enquanto τ ≤ m faça9 σ← 1 /*contador de soluções por fronteiras*/

10 enquanto σ ≤ γ faça11 Fτ,σ ← newSolution(α′,k,s)12 s← s + 113 σ← σ + 114 fim15 τ← τ + 116 fim17 β← randObjectivesIndex(k)18 S← ∅19 τ← 1 /*contador de fronteiras */20 enquanto τ ≤ m faça21 randObjectives(Fτ,β,γ)22 S← union(S,Fτ)23 τ← τ + 124 fim25 S← shu f f les(S)26 retorna S27 Fim

[minVal,maxVal] em que i = 1,. . . ,k e s = 1,. . . ,n (função makeMatrix(·), linha 2). Logoapós, os valores de cada linha da matriz α são ordenados de maneira ascendente pelafunção sort(·). O laço das linhas 8–16 é responsável por criar as soluções e atribuí-lasa m conjuntos com γ soluções tal que γ = bn/mc. O valor do i-ésimo objetivo da s-ésima solução recebe o valor αi,s (função newSolution(·), linha 11). Após finalizar o laço,é definido o conjunto β de dimensão b × 1 em que b é um valor inteiro pertencenteao intervalo [1,k[. Cada posição βr em que r = 1,. . . ,b recebe um valor aleatóriodistinto pertencente a [1,k] (função randObjectiveIndex(·), linha 17). A seguir, o laço daslinhas 20–24 embaralha os valores dos objetivos das soluções pertencentes ao conjuntoFτ. Para isso, os valores de cada objetivo com índices definidos por βr, da s-ésimasolução pertencente à Fτ, têm seu valor trocado com o valor do objetivo de índice βr

de γ + 1 − s para todo s ∈ [1,γ/2] (função randObjectives(·), linha 21). Logo após, as


soluções pertencentes ao conjunto Fτ são atribuídas ao conjunto S (linha 22). Apósfinalizar o laço, as soluções do conjunto S são embaralhadas (linha 25) e retornadaspelo procedimento (linha 26).

Os cinco passos do Algoritmo 5 são ilustrados na Figura 4.4 que considera umapopulação com oito soluções (n = 8), três objetivos (k = 3) e duas fronteiras (m = 2). Parafins ilustrativos, os valores dos objetivos são gerados no intervalo [1,9] e seus valoressão apresentados truncados. Esse exemplo considera um subconjunto de objetivosβ = 3,1 que será utilizado no passo quatro (linha 17).

ℱ1 =

𝑠1 = 1,2,2𝑠2 = 1,3,2𝑠3 = 1,5,4𝑠4 = 2,5,4

ℱ2 =

𝑠5 = 5,7,5𝑠6 = 7,8,6𝑠7 = 8,8,7𝑠8 = 8,9,9

ℱ1 =

𝑠1 = 2,2,4𝑠2 = 1,3,4𝑠3 = 1,5,2

𝑠4 = 1,5,2

𝑆 = 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, 𝑠4

𝑆 =

𝑠3𝑠6𝑠1𝑠7𝑠8𝑠4𝑠2𝑠5

𝛽 = 3,1

𝑆 = ∅

𝑆 = 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, 𝑠4, 𝑠5, 𝑠6, 𝑠7, 𝑠8

ℱ2 =

𝑠5 = 8,7,9𝑠6 = 8,8,7𝑠7 = 7,8,6𝑠8 = 5,9,5

𝛼 =5 12 75 6

7 88 54 2

8 15 87 9

2 19 32 4

𝛼′ =1 12 32 2

1 25 54 4

5 77 85 6

8 88 97 9

𝜏=1

𝜏=2

𝜏=1

𝜏=2

= 1

= 4

...

= 5

= 8

...

𝑛 = 8

𝑛 = 8

𝑘=3

𝑘=3

Figura 4.4: Ilustração do Algoritmo 5, considerando n = 8, k = 3 e m = 2. Os valoresdos objetivos são gerados no intervalo [1,9]. A identificação das linhas refere-se aopseudocódigo do Algoritmo 5.

4.4.1 Testes com Populações com Fronteiras Pré-definidas

Esta seção apresenta os resultados obtidos com populações que possuem o númerode fronteiras previamente definido. Para isso, foram construídos três tipos de popu-lações variando o número de objetivos, em que k = 2,5,10. Cada população possui onúmero de fronteiras definidas por m = 2,3,4,. . . ,70. Os testes consideram populaçõescom número fixo de soluções (n = 2. 000). Assim, foram criadas |k| × |m| populações,totalizando 207. Cada população foi avaliada 33 vezes.

As Figuras 4.5 e 4.6 apresentam os resultados do LONSA e outros nove métodosencontrados na literatura. A partir da Figura 4.5, percebe-se que o algoritmo FNDSapresenta os piores resultados quando comparado com os outros métodos. O númerode comparações (testes de dominância) desse algoritmo é dado por n ∗ (n − 1) (Zhang


et al., 2015) (Wang e Yao, 2014). Como o número de comparações e o tempo com-putacional do FNDS é significativamente maior do que nos outros métodos, o eixo Y(ordenada) dos gráficos é apresentado em escala logarítmica. Para populações comsoluções que possuem dois objetivos, o LONSA apresentou menor número de com-parações quando comparado com os outros nove algoritmos. Quando comparamos oLONSA com o ENS-BS (2 objetivos), foi possível notar que existe uma redução significa-tiva do número de testes de dominância, independentemente do número de fronteirasda população. Testes realizados com populações de 5 e 10 objetivos demonstram queo ENS-BS apresenta menor número de comparações. Esse comportamento torna-seevidente com o aumento do número de fronteiras, especialmente com populações quepossuem número de fronteiras maior que dez. Quando o número de fronteiras é menorque dez, os algoritmos possuem número de comparações similares exceto o NDT, GDTe o FNDS, que apresentam os piores resultados.

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

104

106

2 Objectives

Number of Fronts

Nu

mb

er

of

Co

mp

ari

sio

ns

FANG

NDT

DEB

ENS-SSS

ENS-BSS

CORNER

ARENA

CLIMBING

DEDUTIVE

LONSA

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

104

105

106

5 Objectives

Number of Fronts

Nu

mb

er

of

Co

mp

ari

sio

ns

FANG

NDT

DEB

ENS-SSS

ENS-BSS

CORNER

ARENA

CLIMBING

DEDUTIVE

LONSA

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

104

105

106

10 Objectives

Number of Fronts

Nu

mb

er

of

Co

mp

ari

sio

ns

FANG

NDT

DEB

ENS-SSS

ENS-BSS

CORNER

ARENA

CLIMBING

DEDUTIVE

LONSA

GDT NDT FNDS ENS-SS ENS-BS CORNER ARENA CLIMBING DEDUCTIVE LONSA

Figura 4.5: Número de comparações dos dez algoritmos de classificação para popula-ções com número de fronteiras pré-definido.

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 7010

0

101

102

103

2 Objectives

Number of Fronts

Ru

nti

me (

ms)

FANG

NDT

DEB

ENS-SSS

ENS-BSS

CORNER

ARENA

CLIMBING

DEDUTIVE

LONSA

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 7010

0

101

102

103

5 Objectives

Number of Fronts

Ru

nti

me (

ms)

FANG

NDT

DEB

ENS-SSS

ENS-BSS

CORNER

ARENA

CLIMBING

DEDUTIVE

LONSA

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 7010

0

101

102

103

10 Objectives

Number of Fronts

Ru

nti

me (

ms)

FANG

NDT

DEB

ENS-SSS

ENS-BSS

CORNER

ARENA

CLIMBING

DEDUTIVE

LONSA


Figura 4.6: Tempo computacional dos dez algoritmos de classificação para populaçõescom número de fronteiras pré-definido.

A Figura 4.6 mostra o tempo computacional médio obtido após 33 execuções dosalgoritmos para classificar as soluções em fronteiras não-dominadas. Para populaçõescom dois objetivos o LONSA, ENS-SS e ENS-BS apresentaram os menores tempos com-putacionais. Para populações com 5 e 10 objetivos, o ENS-BS apresentou menor tempo


computacional que os demais algoritmos. Esse comportamento pode ser explicadopelo menor número de comparações realizado. Nesses casos, o LONSA apresentaperformance similar aos demais métodos para populações com até dez fronteiras. En-tretanto, o tempo computacional piora à medida que o número de fronteiras cresce.Esse comportamento pode ser explicado devido à necessidade de manter o arranjode soluções atualizado sempre que uma fronteira é encontrada pelo algoritmo. En-tretanto, a teoria de Koppen (Köppen et al., 2005) mostra que o número de fronteirasnão-dominadas decresce significativamente caso o número de objetivos do problemaaumente. Nesse caso, o conjunto de soluções não-dominadas torna-se igual à própriapopulação, isto é, todas as soluções da população pertencem à primeira fronteira. Essemesmo comportamento é demonstrado em Zhang et al. (2015) e Wang e Yao (2014).

4.4.2 Testes com Populações Aleatórias

O primeiro experimento desta seção avalia o comportamento dos métodos quandoo tamanho da população aumenta. Para tanto, foram construídas populações comdois, cinco e dez objetivos (k = 2,5,10). O número de soluções das populações foigerado no intervalo [50,1. 000] com passo 50 (n = 50,100,. . . ,1. 000). Assim, temos umtotal de 20 populações com dois, cinco e dez objetivos, totalizando 60 configurações depopulações. Cada configuração foi avaliada 33 vezes.

A Figura 4.7 apresenta os resultados em termos do número de comparações. Aoobservar o número de comparações (o eixo Y possui escala logarítmica) das populaçõescom dois objetivos (Figura 4.7(a)), o LONSA apresenta melhores resultados que os ou-tros métodos da literatura para populações com até 500 soluções. Os resultados obtidospara populações com mais de 500 soluções mostram que o LONSA possui resultadossimilares ao melhor método encontrado na literatura (ENS-BS). Para populações comcinco e dez objetivos (Figuras 4.7(b) e 4.7(c)), o LONSA apresentou resultados similaresaos demais métodos da literatura. Nesses casos, o NDT, GDT e o FNDS apresentaramos piores resultados. A Figura 4.8 apresenta os resultados do tempo computacional dosmétodos. A Figura 4.8(a) mostra que o LONSA possui resultados similares aos méto-dos mais recentes para populações com até 500 soluções. Para populações com 500 a1.000 soluções, o LONSA se destaca juntamente com outros três métodos: GDT, ENS-SSe ENS-BS. Para populações com cinco objetivos, o ENS-SS e o LONSA apresentaramos melhores resultados. Já para populações com 10 objetivos o LONSA apresentoutempo computacional ligeiramente melhor que os demais métodos da literatura. Essecomportamento pode ser explicado pelo menor número de comparações.


100 200 300 400 500 600 700 800 900 100010

0

102

104

106

2 Objectives

Number of Solutions

Nu

mb

er

of

Co

mp

ari

sio

ns

FANG

NDT

DEB

ENS-SSS

ENS-BSS

CORNER

ARENA

CLIMBING

DEDUTIVE

LONSA

100 200 300 400 500 600 700 800 900 100010

2

103

104

105

106

5 Objectives

Number of Solutions

Nu

mb

er

of

Co

mp

ari

sio

ns

FANG

NDT

DEB

ENS-SSS

ENS-BSS

CORNER

ARENA

CLIMBING

DEDUTIVE

LONSA

100 200 300 400 500 600 700 800 900 100010

3

104

105

106

10 Objectives

Number of Solutions

Nu

mb

er

of

Co

mp

ari

sio

ns

FANG

NDT

DEB

ENS-SSS

ENS-BSS

CORNER

ARENA

CLIMBING

DEDUTIVE

LONSA


(a) (b) (c)

Figura 4.7: Número de comparações dos dez algoritmos de classificação para popula-ções aleatórias.

100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

20

40

60

8010 Objectives

Number of SolutionsR

un

tim

e (

ms)

FANG

NDT

DEB

ENS-SSS

ENS-BSS

CORNER

ARENA

CLIMBING

DEDUTIVE

LONSA

100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

10

20

30

40

505 Objectives

Number of Solutions

Ru

nti

me (

ms)

FANG

NDT

DEB

ENS-SSS

ENS-BSS

CORNER

ARENA

CLIMBING

DEDUTIVE

LONSA


100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

5

10

15

20

25

30

352 Objectives

Number of Solutions

Ru

nti

me (

ms)

FANG

NDT

DEB

ENS-SSS

ENS-BSS

CORNER

ARENA

CLIMBING

DEDUTIVE

LONSA

Figura 4.8: Tempo computacional dos dez algoritmos de classificação para populaçõesaleatórias.

A Tabela 4.2 mostra uma comparação entre os métodos em termos do número decomparações e tempo computacional para populações com 300, 500 e 1.000 soluções.Além disso, são consideradas soluções com 2, 5 e 10 objetivos. Os melhores resultadostêm seus valores destacados. É possível notar que o LONSA apresenta, na maioriados casos, menor número de comparações. O tempo computacional apresentado peloLONSA é menor que os demais métodos para populações com 500 e 1.000 soluções,considerando 10 objetivos.

O segundo experimento desta seção avalia o comportamento dos métodos quandoo número de objetivos cresce. As Figuras 4.9 e 4.10 mostram os resultados para popu-lações com 300, 500 e 1.000 soluções. Para cada tamanho de população, o número deobjetivos varia entre 2 e 20 com passo 1, totalizando 57 configurações de populações.Cada configuração foi avaliada 33 vezes. Os resultados mostram que o comportamentodos métodos não depende do número de soluções das populações. Para populaçõescom mais de 10 objetivos, o LONSA apresentou menor número de comparações. Parapopulações com mais de 10 objetivos, os métodos possuem comportamento similarcom exceção do GDT, NDT e FNDS, que possuem os piores resultados. Cabe ressaltarque o LONSA apresentou menor tempo computacional que os outros métodos para


Tabela 4.2: Média e desvio padrão do tempo computacional e número de comparaçõesde 33 populações aleatórias com 300, 500 e 1.000 soluções. Os melhores resultadosestão destacados em negrito.

Método Objetivos

Número de Soluções300 500 1.000 300 500 1.000

Número de Comparações(Desvio Padrão)

Tempo Computacional (ms)(Desvio Padrão)

GDT2 9,00 × 103 (3,77 × 102) 1,75 × 104 (5,11 × 102) 4,50 × 104 (1,11 × 103) 1,72 (0,67) 1,97 (0,68) 2,94 (0,50)5 4,11 × 104 (2,46 × 103) 1,05 × 105 (4,03 × 103) 3,62 × 105 (1,15 × 104) 2,54 (0,51) 4,78 (0,64) 13,85 (0,62)10 7,81 × 104 (2,82 × 103) 2,04 × 105 (9,34 × 103) 7,63 × 105 (2,11 × 104) 7,60 (0,50) 17,81 (0,84) 62,36 (1,85)

NDT2 4,69 × 104 (7,07 × 103) 1,26 × 105 (1,94 × 104) 4,79 × 105 (4,97 × 104) 2,75 (0,14) 4,30 (0,91) 12,27 (1,28)5 4,26 × 104 (5,33 × 103) 1,06 × 105 (9,64 × 103) 3,90 × 105 (2,96 × 104) 2,91 (0,46) 5,66 (0,47) 17,94 (1,37)10 7,68 × 104 (3,61 × 104) 1,97 × 105 (1,13 × 104) 7,34 × 105 (2,67 × 104) 6,85 (0,44) 16,06 (0,96) 55,72 (1,92)

FNDS2 9,00 × 104 (0) 2,50 × 105 (0) 1,00 × 106 (0) 5,18 (0,55) 9,42 (0,83) 34,15 (2,81)5 9,00 × 104 (0) 2,50 × 105 (0) 1,00 × 106 (0) 5,27 (0,45) 12,66 (0,59) 46,91 (0,77)

10 9,00 × 104 (0) 2,50 × 105 (0) 1,00 × 106 (0) 8,21 (0,41) 20,69 (0,91) 78,09 (1,33)

ENS-SS2 4,43 × 103 (2,84 × 102) 1,07 × 104(5,98 × 102) 3,15 × 104 (1,20 × 103) 1,27 (0,45) 1,55 (0,50) 1,64 (0,49)5 1,50 × 104 (7,76 × 102) 3,69 × 104 (1,35 × 103) 1,23 × 105 (4,61 × 103) 1,81 (0,39) 2,96 (0,30) 7,42 (0,50)

10 3,73 × 104 (1,55 × 103) 9,59 × 104 (5,37 × 103) 3,49 × 105 (1,18 × 104) 4,09 (0,29) 9,00 (0,61) 31,72 (1,37)

ENS-BS2 1,33 × 103 (2,74 × 101) 2,46 × 103 (3,13 × 101) 5,48 × 103 (4,20 × 101) 1,30 (0,46) 1,39 (0,55) 1,97 (0,17)5 2,11 × 104 (1,51 × 103) 5,27 × 104 (3,23 × 103) 1,81 × 105 (8,34 × 103) 2,03 (0,17) 3,72 (0,51) 10,00 (0,56)10 3,78 × 104 (1,59 × 103) 1,04 × 105 (5,31 × 103) 4,03 × 105 (1,41 × 104) 4,09 (0,29) 9,54 (0,56) 35,96 (1,59)

CORNER2 1,60 × 104 (1,03 × 103) 4,19 × 104 (2,12 × 103) 1,53 × 105 (6,86 × 103) 3,88 (0,77) 5,67 (1,53) 10,58 (14,62)5 1,92 × 104 (1,78 × 103) 5,01 × 104 (3,01 × 103) 1,84 × 105 (1,01 × 104) 2,44 (0,50) 4,63 (0,48) 13,36 (0,59)10 3,72 × 104 (1,66 × 103) 9,57 × 104 (6,44 × 103) 3,52 × 105 (1,98 × 104) 4,91 (0,28) 10,52 (0,60) 35,33 (1,63)

ARENA2 1,02 × 104 (5,02 × 102) 2,40 × 104 (8,37 × 104) 7,68 × 104 (2,14 × 103) 1,69 (0,46) 2,73 (0,62) 6,76 (0,66)5 1,65 × 104 (1,44 × 103) 4,21 × 104 (2,49 × 103) 1,45 × 105 (7,54 × 103) 2,54 (0,50) 4,60 (0,49) 14,09 (0,91)10 3,75 × 104 (1,78 × 103) 9,40 × 104 (7,78 × 103) 3,47 × 105 (1,69 × 104) 5,70 (0,58) 12,81 (1,3) 50,54 (2,91)

CLIMBING2 1,12 × 104 (5,89 × 102) 2,70 × 104 (1,19 × 103) 8,51 × 104 (3,17 × 103) 2,12 (0,33) 3,76 (0,43) 11,39 (0,50)5 1,66 × 104 (1,25 × 103) 4,16 × 104 (2,82 × 103) 1,44 × 105 (6,95 × 103) 2,48 (0,51) 4,66 (0,54) 14,82 (0,46)10 3,73 × 104 (1,81 × 103) 9,39 × 104 (7,44 × 103) 3,45 × 105 (1,74 × 104) 4,21 (0,41) 9,18 (0,58) 33,03 (1,13)

DEDUTIVE2 1,19 × 104 (7,17 × 102) 2,85 × 104 (1,39 × 103) 9,00 × 104 (3,26 × 103) 1,69 (0,46) 2,61 (0,49) 6,06 (0,24)5 2,10 × 104 (1,57 × 103) 5,31 × 104 (3,11 × 103) 1,85 × 105 (7,67 × 103) 2,06 (0,24) 3,93 (0,24) 11,30 (0,59)10 3,89 × 104 (1,66 × 103) 1,02 × 105 (5,16 × 103) 3,81 × 105 (1,39 × 104) 4,00 (0,35) 8,87 (0,54) 29,82 (1,06)

LONSA2 2,63 × 102 (2,49) 4,49 × 102 (3,05) 9,24 × 102 (2,98) 2,03 (0,76) 2,12 (0,85) 2,94 (0,61)5 1,60 × 104 (1,16 × 103) 4,16 × 104 (2,51 × 103) 1,43 × 105 (7,42 × 103) 2,12 (0,33) 3,33 (0,47) 8,33 (0,54)10 3,71 × 104 (1,80 × 103) 9,37 × 104 (7,18 × 103) 3,45 × 105 (1,59 × 104) 4,12 (0,33) 8,69 (0,52) 29,78 (1,45)

populações com 6 a 10 objetivos. Quando o número de objetivos foi maior que 10, oDEDUCTIVE apresentou os melhores resultados.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10x 10

4 300 Solutions

Length of Objectives

Nu

mb

er

of

Co

mp

ari

sio

ns

FANG

NDT

FNDS

ENS-SSS

ENS-BSS

CORNER

ARENA

CLIMBING

DEDUTIVE

LONSA

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

5 500 Solutions


Nu

mb

er

of

Co

mp

ari

sio

ns

FANG

NDT

DEB

ENS-SSS

ENS-BSS

CORNER

ARENA

CLIMBING

DEDUTIVE

LONSA

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

x 105 1000 Solutions


Nu

mb

er

of

Co

mp

ari

sio

ns

FANG

NDT

DEB

ENS-SSS

ENS-BSS

CORNER

ARENA

CLIMBING

DEDUTIVE

LONSA


(a) (b)

Figura 4.9: Número de comparações dos dez algoritmos de classificação para popula-ções aleatórias com 300, 500 e 1.000 soluções e diferentes objetivos.


2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15300 Solutions

Number of Objectives

Ru

nti

me (

ms)

FANG

NDT

DEB

ENS-SSS

ENS-BSS

CORNER

ARENA

CLIMBING

DEDUTIVE

LONSA

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

10

20

30

40

50500 Solutions


Ru

nti

me (

ms)

FANG

NDT

DEB

ENS-SSS

ENS-BSS

CORNER

ARENA

CLIMBING

DEDUTIVE

LONSA

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

50

100

150

2001000 Solutions


Ru

nti

me (

ms)

FANG

NDT

DEB

ENS-SSS

ENS-BSS

CORNER

ARENA

CLIMBING

DEDUTIVE

LONSA


Figura 4.10: Tempo computacional dos dez algoritmos de classificação para populaçõesaleatórias com 300, 500 e 1.000 soluções e diferentes objetivos.

4.4.3 Experimentos com Algoritmos de Classificação Acoplados ao

NSGA-II e NSGA-III

Os métodos estudados foram acoplados em dois MOEAs, conhecidos como NSGA-II (Deb et al., 2002a) e NSGA-III (Deb e Jain, 2014; Jain e Deb, 2014). Isso torna possívelavaliar o comportamento desses algoritmos de otimização substituindo o procedimentoresponsável por classificar as soluções em fronteiras não-dominadas, que originalmenteutiliza o método FNDS. Para conduzir este estudo, foi utilizado o problema de bench-mark, conhecido como DTLZ1 (Deb et al., 2002b), com 2, 5 e 10 objetivos. Para a DTLZ1com 2 objetivos, foi utilizado o NSGA-II com uma população de 100 soluções. Noexperimento realizado, foram consideradas 250 gerações. Os demais parâmetros eoperadores foram definidos como indicado em Deb et al. (2002a). Para a DTLZ1 com 5e 10 objetivos foi utilizado o NSGA-III devido a melhores resultados apresentados poreste algoritmo no caso de problemas com muitos objetivos (Deb e Jain, 2014; Jain e Deb,2014). O parâmetros utilizados pelo NSGA-III foram definidos conforme Deb e Jain(2014) e o algoritmo foi executado 33 vezes para cada problema. Os algoritmos imple-mentados utilizando o método de classificação FNDS foram validados com a funçãoDTLZ1 em um espaço de dois e três objetivos. A Figura 4.11 apresenta os resultadosde uma execução dos algoritmos para os problemas.

As Figuras 4.12 e 4.13 apresentam os resultados dos algoritmos, utilizando os mé-todos de classificação de soluções em fronteiras não-dominadas estudados, em termosdo número de comparações e tempo computacional. O NSGA-II, utilizando o LONSA,apresentou o menor número de comparações quando assemelhado aos outros méto-dos. O tempo computacional do NSGA-II, utilizando os algoritmos baseados no ENS,apresentaram menor tempo computacional seguido do LONSA. Para a DTLZ1 com5 objetivos, o NSGA-III, utilizando o LONSA e o ENS-SS, apresentaram os melhores

4.5 Conclusões 61

0

0.2

0.4

0.6

0.8 00.1 0.2 0.3 0.4

0.5 0.6 0.7

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

00.2

0.40.6

00.2

0.40.6

0

0.2

0.4

0.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Figura 4.11: Soluções não-dominadas encontradas em uma execução do NSGA-II eNSGA-III para o problema DTLZ1 com dois e três objetivos.

resultados em termos do número de comparações e tempo computacional. Para aDTLZ1 com 10 objetivos, todos os métodos apresentaram comportamento similar, emtermos do número de comparações, com exceção do GDT, NDT e FNDS. O tempocomputacional de todos os métodos foi similar com exceção do GDT, NDT, FNDS eArena, que apresentaram os piores resultados. Esse fato pode ser justificado a partirdo maior número de comparações realizados por esses métodos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10x 10

6

Methods

Nu

mb

er

of

Co

mp

ari

sio

ns

2 Objectives

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10x 10

6

Methods

Nu

mb

er

of

Co

mp

ari

sio

ns

2 Objectives

Standard Deviation

Standard Error

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5x 10

7

Methods

Nu

mb

er

of

Co

mp

ari

sio

ns

5 Objectives

0 2 4 6 8 101

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

7

Methods

Nu

mb

er

of

Co

mp

ari

sio

ns

5 Objectives

Standard Deviation

Standard Error

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12x 10

7

Methods

Nu

mb

er

of

Co

mp

ari

sio

ns

10 Objectives

0 2 4 6 8 104

5

6

7

8

9

10

11x 10

7

Methods

Nu

mb

er

of

Co

mp

ari

sio

ns

10 Objectives

Standard Deviation

Standard Error

GDT NDT LONSA FNDS ENS-SS ENS-BS CORNER ARENA CLIMBING DEDUTIVE1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 -

Figura 4.12: Média, desvio padrão e erro padrão do número de comparações do NSGA-II (2 objetivos) e NSGA-III (5 e 10 objetivos) para dez algoritmos de classificação desoluções em fronteiras não-dominadas para o problema DTLZ1.

4.5 Conclusões

Este capítulo apresentou um novo método chamado LONSA, responsável por clas-sificar soluções em fronteiras não-dominadas, o qual se difere de outras estratégias


1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

50

100

150

200

250

300

350

400

Methods

Ru

nti

me

(m

s)

2 Objectives

0 2 4 6 8 10100

150

200

250

300

350

400

Methods

Ru

nti

me

(m

s)

2 Objectives

Standard Deviation

Standard Error

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Methods

Ru

nti

me

(m

s)

5 Objectives

0 2 4 6 8 103500

4000

4500

5000

5500

6000

Methods

Ru

nti

me

(m

s)

5 Objectives

Standard Deviation

Standard Error

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4x 10

4

Methods

Ru

nti

me

(m

s)

10 Objectives

0 2 4 6 8 102

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5x 10

4

Methods

Ru

nti

me

(m

s)

10 Objectives

Standard Deviation

Standard Error

GDT NDT LONSA FNDS ENS-SS ENS-BS CORNER ARENA CLIMBING DEDUTIVE1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 -

Figura 4.13: Média, desvio padrão e erro padrão do tempo computacional do NSGA-II (2 objetivos) e NSGA-III (5 e 10 objetivos) para dez algoritmos de classificação desoluções em fronteiras não-dominadas para o problema DTLZ1.

encontradas na literatura. Adicionalmente, foi apresentado um estudo comparativo doLONSA com outros nove métodos. O comportamento de todos os métodos implemen-tados foi comparado em termos do número de comparações (testes de dominância) e,tempo computacional para classificar as soluções.

Populações com diferentes características foram construídas para avaliar os algo-ritmos. Os experimentos variaram em relação ao número de objetivos, soluções efronteiras de populações sintéticas, que foram especialmente projetadas para avaliaro desempenho dos algoritmos. Além disso, os algoritmos foram acoplados a doismétodos de otimização baseados em Pareto dominância, conhecidos como NSGA-IIe NSGA-III. O NSGA-II foi avaliado com o problema DTLZ1 com dois objetivos, e oNSGA-III foi utilizado para solucionar a DTLZ1 com cinco e dez objetivos.

O número de comparações realizadas pelo LONSA apresentou os melhores resulta-dos na maioria dos casos. Além disso, os resultados mostraram que o LONSA apresen-tou tempo computacional similar aos métodos mais recentes encontrados na literaturae, para problemas com 5 e 10 objetivos, resultados com menor tempo computacional.

Capítulo 5

Algoritmos Projetados para Solucionaro Problema de Despacho de Veículos

Neste capítulo, serão apresentados três algoritmos para solucionar o problema dedespacho de caminhões em minas a céu aberto. O primeiro deles, chamado Multi-Objective Genetic Algorithm - Tuple Representation 1 (MOGA-TR1) (ver Seção 5.1), utilizaoperadores genéticos (cruzamento e mutação) e a codificação de soluções, original-mente proposta neste trabalho. Ele é composto de um método para criar a populaçãoinicial (ver Seção 5.1.1) e de operadores de cruzamento e mutação (ver Seção 5.1.2),especialmente projetados para a codificação dos indivíduos adotada. A Seção 5.2 apre-senta o segundo algoritmo proposto, chamado Multi-Objective Genetic Algorithm - TupleRepresentation 2 (MOGA-TR2), construído pela substituição dos operadores de cruza-mento e mutação através de uma abordagem conhecida como Path-Relinking (Martíet al., 2015; Coelho et al., 2012), especialmente projetada para tratar a representaçãode soluções adotada neste trabalho. Finalmente, é apresentado o terceiro algoritmo,chamado Dispatch Truck Greedy Heuristic (DTGH) (Bastos et al., 2011; Alarie e Gamache,2002), o qual utiliza poucas informações sobre o estado da mina (ver Seção 5.3). Essealgoritmo é utilizado para fins de comparação com o MOGA-TR1 e o MOGA-TR2,propostos neste trabalho.

5.1 Algoritmo Genético Multiobjetivo - Representação

por Tupla 1 (MOGA-TR1)

Esta seção é responsável por detalhar o algoritmo chamado Multi-Objective GeneticAlgorithm - Tuple Representation 1 (MOGA-TR1), proposto neste trabalho e especial-mente projetado para solucionar o problema de despacho de caminhões em minas acéu aberto. Esse algoritmo se enquadra na classe dos Multi-Objective Genetic Algorithms

64 5 Algoritmos Projetados para Solucionar o Problema de Despacho de Veículos

(MOGAs), e portanto, é adequado para resolver o problema. Inicialmente, um proce-dimento responsável por criar a população inicial é definido. Logo após, os operadoresde mutação e cruzamento são apresentados. Finalmente, o algoritmo MOGA-TR1 éapresentado e discutido.

5.1.1 Procedimento para Criar a População Inicial

A população inicial é criada baseada em um conjunto de caminhões e pás carre-gadeiras disponíveis. O Algoritmo 6 define o procedimento utilizado para gerar assoluções candidatas iniciais, assegurando que a restrição definida pela equação (2.17)seja satisfeita. Essa restrição garante a compatibilidade entre os caminhões e as páscarregadeiras utilizadas na operação.

Algoritmo 6: Create initial population (CIP)Entrada: Mine : arquivo com as características da minaEntrada: pSize : tamanho da populaçãoEntrada: m : número de despachosEntrada: t : tempo de operaçãoSaída: P : conjunto de soluções

1 P← ∅2 sT← numberO f Trucks(Mine) /*Atribui à variável sT o número de caminhões da mina.*/3 para k← 1 até pSize faça4 para i← 1 até sT faça5 sk

i1 ← randomBinary() /*Ativação aleatória do caminhão: 1 -> em operação */

/*0 -> fora da operação.*/6 para j← 2 até (m + 1) faça7 sk

i j ← buildDispatch(Mine) /*Geração do j-ésimo despacho para o i-ésimo *//*caminhão da k-ésima solução.*/

8 fim9 fim

10 evaluate(Sk,t,Mine) /*Avaliação da k-ésima solução .*/11 P← union(P,Sk)12 fim13 retorna P

A função numberOfTrucks(·) (linha 2) obtém o número de caminhões da mina. Olaço da linha 3 é responsável por construir a k-ésima solução da população. A funçãorandomBinary() (linha 7) constrói amostras de uma variável binária e atribui o seu valora sk

i1, que corresponde ao elemento da primeira coluna de Sk (define se o caminhãoestará ativo ou inativo). A função buildDispatch(·) (linha 7) é responsável por criar atupla (α,β), que define o despacho dos caminhões. É importante enfatizar que a função

5.1 Algoritmo Genético Multiobjetivo - Representação por Tupla 1 (MOGA-TR1) 65

buildDispatch(·) deve assegurar que as tuplas são operacionalmente válidas (satisfaz arestrição (2.17)). Assim, se o primeiro destino escolhido é uma frente de minério (α),então um britador deve ser escolhido como segundo destino (β). Por outro lado, se oprimeiro destino escolhido é uma frente de estéril (α), então uma pilha de estéril deveser escolhida como segundo destino (β). Finalmente, a solução Sk é avaliada e a funçãounion(·) adiciona a solução Sk na P população (linha 11).

5.1.2 Operadores de Cruzamento e Mutação

O operador de cruzamento proposto neste trabalho é chamado de Cut-Point Operator(CPO). Ele considera dois pontos de corte para realizar uma combinação entre duassoluções. Para isso, é necessário definir o valor de κ ∈ [1,|T|] que será aplicado a sk

i1

(linha de corte) e γ ∈ [2,(m + 1)], aplicado a ski j (coluna de corte), em que i = 1,. . . ,|T| e

j = 2,. . . ,(m + 1). Para ilustrar o procedimento de cruzamento, suponhamos que S1 e S2

representam o par de indivíduos que são escolhidos para operação.

S1 =

Caminhão − d1 d2 d3 d4

1 1 (1,5) (2,5) (1,6) (3,8)

2 0 (3,8) (2,5) (1,5) (3,7)

3 1 (2,6) (3,7) (4,8) (1,6)

4 1 (2,5) (1,6) (3,8) (2,6)

5 0 (4,8) (2,7) (1,5) (3,7)

S2 =


1 1 (3,7) (1,6) (1,6) (2,6)

2 1 (1,5) (1,5) (2,6) (2,6)

3 0 (1,5) (2,5) (3,8) (3,7)

4 1 (2,6) (1,6) (4,8) (1,5)

5 1 (4,7) (4,7) (1,5) (2,5)

Suponhamos que os parâmetros κ = 3 e γ = 2 são escolhidos de maneira aleatória.

Após a operação de cruzamento, duas novas soluções, S3 e S4, são geradas. Vejamosque as células em cinza escuro são derivadas de S1 e, de cinza claro, derivadas de S2.

S3 =


1 1 (1,5) (1,6) (1,6) (2,6)

2 0 (3,8) (1,5) (2,6) (2,6)

3 1 (2,6) (2,5) (3,8) (3,7)

4 1 (2,5) (1,6) (4,8) (1,5)

5 1 (4,8) (4,7) (1,5) (2,5)

S4 =


1 1 (3,7) (2,5) (1,6) (3,8)

2 1 (1,5) (2,5) (1,5) (3,7)

3 0 (1,5) (3,7) (4,8) (1,6)

4 1 (2,6) (1,6) (3,8) (2,6)

5 0 (4,7) (2,7) (1,5) (3,7)


O Algoritmo 7 apresenta o pseudocódigo do procedimento CPO. Ele recebe comoparâmetros de entrada duas soluções já existentes e, também, uma probabilidade pc ∈

[0,1]. O teste condicional da linha 1 do algoritmo utiliza a função rand(·), que retorna umvalor aleatório pertencente a [0,1]. Caso esse valor seja menor que pc, ocorre a operaçãode cruzamento entre as soluções P1 e P2. Os valores de κ e γ são definidos nas linhas 2e 3, respectivamente. O laço da linha 4 a 21 é responsável por construir as duas novassoluções, O1 e O2. As linhas 24 a 26 serão executadas caso o teste condicional da linha1 seja falso, e as soluções originalmente recebidas como parâmetros serão retornadaspelo algoritmo sem qualquer alteração.

Algoritmo 7: Cut-Point Operator (CPO)Entrada: P1 : solução 1Entrada: P2 : solução 2Entrada: pc : probabilidade de cruzamentoSaída: [O1,O2] : soluções criadas após cruzamento

1 se rand(0,1) < pc então2 κ← randInt(1,getNumberO f Trucks(P1))3 γ← randInt(2,getNumberO f Dispatches(P1))4 para i← 1 até getNumberO f Trucks(P1) faça5 se i ≤ κ então6 O1

i1 ← P1i1

7 O2i1 ← P2

i18 senão9 O1

i1 ← P2i1

10 O2i1 ← P1

i111 fim12 para j← 2 até (getNumberO f Dispatches(P1) + 1) faça13 se j ≤ γ então14 O1

i j ← P1i j

15 O2i j ← P2

i j

16 senão17 O1

i j ← P2i j

18 O2i j ← P1

i j

19 fim20 fim21 fim22 retorna [O1, O2]23 senão24 O1

← P1

25 O2← P2

26 retorna [O1, O2]27 fim

O procedimento de mutação é baseado em uma abordagem conhecida como Binary


Mutation Operator (BMO) (Coello et al., 2007) com probabilidade pm para realizar alte-rações no vetor binário sk

i1 (caminhão ativo ou inativo). Além disso, considera a mesmaprobabilidade para mudanças em cada célula sk

i j, em que i = 1,. . . ,|T| e j = 2,. . . ,(m + 1).O Algoritmo 8 define esse procedimento. As linhas 3 e 4 desse algoritmo asseguram aalteração da disponibilidade do caminhão caso o teste condicional da linha 2 seja ver-dadeiro. Uma nova tupla, responsável pelo despacho de um caminhão, é construídapela função buildDispatch(·), encontrada nas linhas 8 e 9, caso o teste condicional dalinha 7 seja verdadeiro. Como resultado, esse algoritmo retorna o par de soluções P1 eP2 com as devidas modificações.

Algoritmo 8: Binary Mutation Operator (BMO)Entrada: Mine : arquivo com as características da minaEntrada: P1 : solução 1Entrada: P2 : solução 2Entrada: pm : probabilidade de mutaçãoSaída: [P1,P2] : soluções após mutação

1 para i← 1 até getNumberO f Trucks(P1) faça2 se rand(0,1) < pm então3 P1

i1 ← (1 − |P1i1|)

4 P2i1 ← (1 − |P2

i1|)5 fim6 para j← 2 até (getNumberO f Dispatches(P1) + 1) faça7 se rand(0,1) < pm então8 P1

i j ← buildDispatch(Mine)

9 P2i j ← buildDispatch(Mine)

10 fim11 fim12 fim13 retorna [P1, P2]

5.1.3 Algoritmo MOGA-TR1

O primeiro algoritmo evolucionário especialmente projetado para solucionar o pro-blema desse trabalho, called MOGA-TR1, combina os princípios do Non-dominatedSorting Genetic Algorithm-II (NSGA-II) (Deb et al., 2002a) com o procedimento paracriar a população inicial e operadores de cruzamento e mutação descritos anterior-mente a essa seção. O pseudocódigo do MOGA-TR1 é apresentado pelo Algoritmo9.

A população inicial (α) é inicializada pela função CIP(·) (linha 1), que é propostaneste trabalho. A variável eval, que controla o número de avaliações das soluções, é


Algoritmo 9: MOGA-TR1Entrada: Mine : arquivo com as características da minaEntrada: pSize : tamanho da populaçãoEntrada: m : número de despachosEntrada: maxEvaluations : número máximo de avaliações de funções objetivoEntrada: pc : taxa de cruzamentoEntrada: pm : taxa de mutaçãoEntrada: t : tempo de operaçãoSaída: N : conjunto de soluções não-dominadas

1 α← CIP(Mine,pSize,m,t)2 eval← pSize3 enquanto eval ≤ maxEvaluations faça4 β← ∅5 para c← 1 até (pSize/2) faça6 [S1,S2]← binaryTournament(α)7 [S3,S4]← CPO(S1,S2,pc)8 [S3,S4]← BMO(Mine,S3,S4,pm)9 evaluate(S3,t,Mine)

10 evaluate(S4,t,Mine)11 eval← eval + 212 β← union(β,S3,S4)13 fim14 U← union(α,β)15 F← LONSA(U,2)16 α← ∅17 f ← 118 para f até numberO f Fronts(F) faça19 se numberO f Solutions(F f ) ≤ (pSize − |α|) então20 α← union(α,F f )21 senão22 break23 fim24 fim25 C← crowdingDistanceSort(F f )26 c← 127 enquanto |α| ≤ pSize faça28 α← union(α,Cc)29 c← c + 130 fim31 fim32 F← LONSA(α,2)33 N← F1

34 retorna N

inicializada com o valor de pSize (linha 2) devido às soluções criadas e avaliadas pelafunção CIP(·). O critério de parada do algoritmo é definido como número máximo deavaliações das soluções candidatas (linha 3). O laço da linha 5 merece atenção especial


por ser responsável por criar novas soluções e incluí-las na população β. A funçãobinaryTournament(·) (linha 6) é responsável por selecionar duas soluções, S1 e S2, apartir da população α. Essa função é baseada no operador Crowded Comparison (Debet al., 2002a). Essas duas soluções são fornecidas como parâmetro de entrada para ooperador CPO(·) proposto neste trabalho, e duas novas soluções, S3 e S4, são retornadas.Essas soluções, juntamente com a probabilidade de mutação pm, são fornecidas comoparâmetro de entrada para o operador BMO(·) (linha 8). Então, as soluções S3 e S4

são avaliadas (linhas 9–10) e a variável eval é incrementada (linha 11). Finalmente,as novas soluções, S3 e S4, são incluídas na população β utilizando a função union(·)(linha 12). A partir da linha 14, o algoritmo proposto utiliza o mesmo princípio doNSGA-II (Deb et al., 2002a). A função union(·) (linha 14) cria uma nova populaçãocom 2 × pSize soluções. A função LONSA(·) (linha 15), por sua vez, é responsável porordenar as soluções em fronteiras de dominância. Maiores detalhes desse novo métodosão discutidos no Capítulo 4. Assim, cada linha F f linha da matriz F corresponde àssoluções encontradas na f -ésima fronteira. Ou seja, cada elemento f f s de F correspondeà sth solução presente na f th fronteira. Na linha 16, a população α é inicializada e o laçoda linha 18 inclui as soluções da fronteira f th na população α. O laço é executado atéque não seja possível incluir todas as soluções da f th fronteira na população α (linha 19)e o comando break for encontrado (linha 22). A função crowdingDistanceSort(·) (linha25) ordena as soluções encontradas na fronteira F f considerando a Crowding Distance(ordenados em forma decrescente). O laço da linha 27 inclui as soluções Cc de C em α,até que o tamanho da população (pSize) seja encontrado. Logo após, retorna à linha 3e o algoritmo executa até que o critério de parada seja satisfeito. Finalmente, as linhas32–33 são responsáveis pela ordenação das soluções em fronteiras de dominância epela obtenção da primeira fronteira F1 (soluções não-dominadas), respectivamente. Oconjunto de soluções não-dominadas (N) é o resultado final do MOGA-TR1.

5.2 Algoritmo Genético Multiobjetivo - Representação

por Tupla 2 (MOGA-TR2)

O segundo algoritmo evolucionário proposto, que também se enquadra na classedos MOGAs foi especialmente projetado para solucionar o problema de despacho decaminhões em minas a céu aberto, é chamado Multi-Objective Genetic Algorithm-TupleRepresentation 2 (MOGA-TR2). Suas características são discutidas a seguir.


5.2.1 Operador Path-Relinking (PRO)

Os operadores de cruzamento e mutação utilizados no MOGA-TR1 são substituídospor um procedimento baseado em Path-Relinking (PR) (Martí et al., 2006, 2015), queserá utilizado para gerar novas soluções candidatas. O Path-Relinking (PR) foi sugeridocomo uma abordagem que integra estratégias de intensificação e diversificação emum contexto de Tabu Search (Martí et al., 2015). Essa abordagem explora a vizinhançade uma solução S′ , conhecida como starting. O objetivo é construir novas soluções apartir de S′ em direção à uma segunda solução chamada guide (S′′). O procedimentoproposto, chamado neste trabalho de Path-Relinking Operator (PRO), é apresentado pelopseudocódigo do Algoritmo 10.

Algoritmo 10: Path-Relinking Operator (PRO)Entrada: P : conjunto de soluçõesEntrada: m : número de despachosEntrada: sT : número de caminhões da minaSaída: R : conjunto de soluções construídas

1 [S′ ,S′′ ]← binaryTournament(P)2 R← ∅3 k← 14 Sk

← S′ para t← 2 até sT faça5 se s′′t1 = 1 então6 k← k + 17 Sk

← Sk−1

8 skt1 ← s′′t1

9 para j← 2 até (m + 1) faça10 sk

t j ← s′′t j

11 fim12 R← union(R,Sk)13 fim14 fim15 retorna R

A função binaryTournament(·) (linha 1) seleciona as soluções starting (S′) e guide(S′′) da população P. O laço (linha 4) cria novas soluções e as adiciona no conjuntode soluções R. Uma nova solução será criada somente se s′′t1 indicar que o t-ésimocaminhão deve operar (s′′t1 = 1) (linha 5). Assim, uma nova solução (Sk) é criada a partirde Sk−1 (linha 7), e a t-ésima linha da solução Sk é atualizada pelos elementos da t-ésimalinha da solução S′′ (linha 9–11). Finalmente, Sk é adicionada no conjunto de soluçõesR (linha 12). O resultado desse algoritmo é o conjunto de soluções R (linha 15).

5.3 Heurística Gulosa para o Despacho de Caminhões 71

5.2.2 Algoritmo MOGA-TR2

O pseudocódigo do MOGA-TR2 é apresentado pelo Algoritmo 11. A populaçãoinicial (α) é criada pelo Algoritmo 6 (linha 1). O laço da linha 5 merece atenção especial,pois é responsável pela criação da população β. A seguir, é criada uma população γutilizando o Algoritmo 10 proposto. O laço da linha 8 é responsável pela avaliaçãodas soluções γi (linha 9) por incluí-las na população β (linha 11). Esse procedimento éexecutado até que β esteja completa ou todas as soluções da população γ sejam incluídasβ. A linha 15 desse pseudocódigo realiza as mesmas operações descritas nas nas linhas14–30 do Algoritmo 9, sem quaisquer alterações. Finalmente, de forma simular aoAlgoritmo 9, as soluções não-dominadas são obtidas (linhas 17–18) e retornadas peloalgoritmo (linha 19).

Algoritmo 11: MOGA-TR2Entrada: Mine : arquivo com características da minaEntrada: pSize : tamanho da população / m : número de despachosEntrada: maxEvaluations : número máximo de avaliações de funções objetivoEntrada: t : tempo de operaçãoSaída: N : conjunto de soluções não-dominadas

1 α← CIP(Mine,pSize,m,t)2 eval← pSize3 enquanto eval ≤ maxEvaluations faça4 β← ∅

5 enquanto numberO f Solutions(β) ≤ pSize faça6 γ← PRO(α,m,numberO f Truks(Mine))7 i← 18 enquanto numberO f Solutions(β) ≤ pSize E i ≤ numberO f Solutions(γ) faça9 evaluate(γi,t,Mine)

10 eval← eval + 111 β← union(β,γi)12 i← i + 113 fim14 fim15 . . . . . . . . . linhas 14–30 do Algoritmo 9 . . . . . . . . .16 fim17 F← LONSA(α,2)18 N← F1

19 retorna N

5.3 Heurística Gulosa para o Despacho de Caminhões

O algoritmo proposto, chamado Dispatch Truck Greedy Heuristic (DTGH), é baseadoem uma heurística gulosa inicialmente proposta por Bastos et al. (2011). O DTGH é


responsável pelo despacho dos caminhões sem ter muitas informações sobre a mina. Aúnica informação fornecida para o algoritmo é o tempo de fila em cada pá carregadeiracompatível com o caminhão a ser despachado. Assim, a estratégia do algoritmo édespachar o caminhão para a frente de lavra que possui menor tempo de fila. Outrasimportantes informações para um despacho eficiente, como a distância entre os locaisda mina, número de caminhões já despachados para determinado local posições doscaminhões na mina, são omitidas.

Algoritmo 12: Dispatch Truck Greedy Heuristic (DTGH)Entrada: Mine : arquivo com as características da mina / t : caminhãoSaída: place : local de destino

1 currentPlace← GetCurrentPlace(t);2 selecione currentPlace faça3 caso (Crusher or Wast Dump)4 S← GetAllCompatibleShovels(mine,t);5 P← ∅;6 curQTime← INFINITY;7 para cada s ∈ S faça8 se QueueTime(s) < curQTime então9 P← s;

10 curQTime← QueueTime(s);11 senão se QueueTime(s) = curQTime então12 P← P

⋃s;

13 curQTime← QueueTime(s);14 fim15 fim16 retorna Rand(P);17 fim18 caso (Ore Pit)19 C← GetAllCrushers(mine);20 retorna Rand(C);21 fim22 caso (Wast Pit)23 W ← GetAllWastDump(mine);24 retorna Rand(W);25 fim26 fim

O pseudocódigo do DTGH é apresentado pelo Algoritmo 12, que é executado sem-pre que um caminhão solicita um novo despacho. Um arquivo com as característicasdo cenário de mina que está sendo avaliado e o caminhão que será despachado sãorecebidos como parâmetros de entrada do algoritmo. O despacho do caminhão é re-alizado de acordo com sua posição corrente (currentPlace) na mina (linha 1). Caso ocaminhão esteja em um britador ou em uma pilha de estéril, as pás carregadeiras com-patíveis com o caminhão são obtidas pela função GetAllCompatibleShovels(·) (linha 4) eo conjunto P recebe as pás carregadeiras com menor tempo de fila, sendo uma delas

5.3 Heurística Gulosa para o Despacho de Caminhões 73

escolhida aleatoriamente pela função Rand(·) (linha 16). Caso o caminhão esteja emuma frente de minério, é escolhido, de maneira aleatória, um britador (linha 20). Porfim, caso o caminhão esteja em uma frente de estéril, é escolhida, de maneira aleatória,uma pilha de estéril (linha 24).

É importante destacar que esse algoritmo trabalha com uma frota fixa de caminhõesque é definida antes de iniciar o processo de simulação. Sendo assim, o custo dafrota, ou seja, os caminhões disponíveis para operação, é previamente conhecido. OsAlgoritmos 13 e 14 são responsáveis por construir as frotas utilizadas pela simulação.

Algoritmo 13: Activity Trucks (AT)Entrada: nTrucks : número de caminhõesSaída: X : matriz que indica os caminhões ativos

1 X← ∅2 i← 13 enquanto i ≤ (nTrucks + 1) faça4 j← 15 enquanto j ≤ nTrucks faça6 se j<i então7 Xi j ← 18 senão9 Xi j ← 0

10 fim11 j← j + 112 fim13 i← i + 114 fim15 retorna X

O Algoritmo 13 recebe como parâmetro de entrada um valor inteiro, que define onúmero de caminhões e produz como resultado uma matriz X de dimensão (nTrucks +

1) × nTrucks em que nTrucks indica o número de caminhões. Cada elemento Xi j, ondei ∈ [1,nTrucks + 1] e j ∈ [1,nTrucks], indica se o caminhão está ativo (Xi j = 1) ou não(Xi j = 0). A Figura 5.1(a) e 5.1(b) ilustram duas matrizes criadas pelo Algoritmo 13 eatribuídas às variáveis S e B, respectivamente. A Figura 5.1(a) apresenta o conjunto depossibilidades para uma frota de 3 caminhões e, em 5.1(b), uma frota com apenas doiscaminhões. Esse algoritmo é utilizado pelo Algoritmo 14 na construção da matriz T,ilustrada pela Figura 5.1(c).

O Algoritmo 14 recebe como parâmetro de entrada o arquivo com as informaçõesdo cenário de mina e retorna uma matriz T de dimensão I × J, em que cada linha i ∈ Irepresenta uma frota de caminhões que poderá ser utilizada pela simulação, e cadacoluna j ∈ J indica se o caminhão está ativo. Uma ilustração da matriz T pode ser


0 0 0

1 0 0

1 1 0

1 1 1

𝑆 ← 𝐴𝑇 𝑛𝑆𝑚𝑎𝑙𝑙𝑇𝑟𝑢𝑐𝑘𝑠 =

0 0

1 0

1 1

𝐵 ← 𝐴𝑇 𝑛𝐵𝑖𝑔𝑇𝑟𝑢𝑐𝑘𝑠 =

𝑇 =

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 0 1 1

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

1 1 0 1 1

1 1 1 0 0

1 1 1 1 0

1 1 1 1 1

𝑇 𝑆 𝐵

Figura 5.1: Representação das matrizes que compõem possíveis frotas de caminhões.A figura (a) e (b) ilustram a combinação de uma frota com 3 e 4 caminhões, respectiva-mente. Em (c), a combinação gerada a partir da concatenação de S e B.

Algoritmo 14: Make Fleet (MF)Entrada: Mine : arquivo com as características da minaSaída: T : frotas de caminhões

1 nSmallTrucks← getAmountTrucks(Mine,1) /*1 - Caminhões de pequeno porte*/2 nBigTrucks← getAmountTrucks(Mine,2) /*2 - Caminhões de grande porte */

3 S← AT(nSmallTrucks)4 B← AT(nBigTrucks)5 k← 16 enquanto i ≤ (nSmallTrucks + 1) faça7 j← 18 enquanto j ≤ (nBigTrucks + 1) faça9 Tk ← concat(Si,B j)

10 k← k + 111 fim12 fim13 se nSmallTrucks = 0 então14 T← B15 senão se nBigTrucks = 0 então16 T← S17 fim18 retorna T

5.4 Conclusões 75

observada na Figura 5.1(c). O exemplo ilustra um conjunto de 12 frotas de caminhões(12 linhas), em que cada frota possui a indicação de quais caminhões devem estar ativos(Ti j = 1) ou não (Ti j = 0). Além disso, o algoritmo garante a combinação entre o númerode caminhões em operação de pequeno porte e de grande porte. Esse procedimentoé garantido pelo laço da linha 6 do Algoritmo 14, em que a função concat(·) cria acombinação entre uma linha da matriz S (caminhões de pequeno porte) e da matrizB (caminhões de grande porte). Os testes das linhas 13 a 17 garantem o retorno doalgoritmo para os casos em que uma mina possua todos os caminhões do mesmo porte.

5.4 Conclusões

Após a apresentação dos conceitos de otimização multiobjetivo, dois algoritmos es-pecialmente projetados para solucionar problemas dessa natureza foram apresentados.O primeiro deles, chamado MOGA-TR1, utiliza operadores de cruzamento e muta-ção especialmente implementados para manipular o conjunto de soluções candidatas.O segundo algoritmo, chamado MOGA-TR2, substitui os operadores de mutação ecruzamento propostos por uma rotina baseada em um procedimento conhecido comoPath-Relinking. Esse procedimento é responsável por construir novas soluções candi-datas para o problema. Cabe ressaltar que tanto o MOGA-TR1 quanto o MOGA-TR2utilizam um procedimento chamado LONSA, proposto neste trabalho e especialmenteprojetado para ordenar as soluções em fronteiras.

Finalmente, foi apresentado um algoritmo chamado Dispatch Truck Greedy Heuristic(DTGH), que possui uma visão limitada em relação à mina e tem como objetivo des-pachar os caminhões para locais da mina onde existam pás carregadeiras que sejamcompatíveis e, além disso, possuam menor tempo de fila.

Capítulo 6

Resultados e Discussões

Neste capítulo, os algoritmos propostos no Capítulo 5 desta tese são analisados. Paraisso, serão descritas, inicialmente, as principais características dos cenários de minasa céu aberto utilizados para avaliação dos algoritmos. Em seguida, é realizada umabreve descrição da ferramenta utilizada para avaliação das soluções. Uma análise doespaço dos objetivos para cada um dos cenários de minas é apresentado, mostrando queexiste uma relação de compromisso (conflito) entre os objetivos definidos pelo modelomatemático deste trabalho. As métricas de desempenho utilizadas para avaliar osresultados gerados pelos algoritmos foram apresentados na Seção 3.3. Os parâmetrosutilizados pelos algoritmos e o projeto experimental são definidos nas Seções 6.4 e 6.5,respectivamente. A avaliação dos resultados dos algoritmos propostos é apresentadana seção 6.5.1. Outras análises relativas à convergência dos algoritmos são apresentadasna Seção 6.5.2. Finalmente, na Seção 6.5.3, as diferenças entre os algoritmos MOGA-TR1 e MOGA-TR2 são discutidas utilizando a métrica de desempenho conhecida comoFunção de Realização Empírica.

6.1 Instâncias de Teste

Neste trabalho, foi considerado um conjunto de quatro instâncias dos problemasbaseadas nas propostas por Souza et al. (2010). O detalhamento dessas instâncias édescrito no Apêndice A. A Tabela 6.1, por sua vez, descreve as principais característicasdas instâncias de teste. As colunas # Frentes, # Pás, # Caminhões e # Par indicam onúmero de frentes de lavra, pás carregadeiras, caminhões e parâmetros de qualidadequímica, respectivamente. A coluna Detalhes informa o número e a capacidade emtoneladas (no caso de caminhões) ou produtividade em toneladas/hora (no caso daspás carregadeiras). Por exemplo, o par (15;56) significa que há 15 caminhões (oupás carregadeiras) de 56 toneladas de capacidade (ou produtividade máxima no casode pás carregadeiras). A diferença entre as Minas 1 e 2 é o teor de qualidade doselementos químicos. Neste trabalho, foram atribuídos os custos empíricos de 1 e 3,respectivamente, para os caminhões de 56 e 90 toneladas de capacidade.

78 6 Resultados e Discussões

Tabela 6.1: Instâncias de Teste.

Instância Detalhes# Frentes (# Pás,Produtividade) (# Caminhões,Capacidade) # Par

Mina 1 8 (4;900) (2;1000) (2;1100) (15;56) (15;90) 10Mina 2 8 (4;900) (2;1000) (2;1100) (15;56) (15;90) 10

Mina 3 7 (2;500) (2;400) (1;600) (30;56) 5(1;800) (1;900)

Mina 4 10(2;400) (2;500) (1;600)

(22;56) (8;90) 5(1;800) (1;900) (3;1000)(3;2600)

6.2 Avaliação das Soluções

Um sistema de simulação de minas a céu aberto foi especialmente desenvolvidopara avaliar soluções geradas por algoritmos especializados em despachar caminhões.Um aspecto positivo de sistemas de simulação para despacho em minas a céu abertoé que eles podem reproduzir o comportamento da mina quando executa o plano dedespacho dos veículos, processando eventos baseados em dados da mina, conformepode ser visto no trabalho de Fioroni et al. (2008). O sistema de simulação utilizadoneste trabalho é baseado em eventos discretos e similar ao proposto por Mena et al.(2013), Mendes (2013) e Alexandre (2010). As principais características desse sistemasão apresentadas no trabalho de Alexandre et al. (2014).

O sistema fornece uma interface em que cenários de teste e soluções candidatas sãorecebidas e avaliadas, e os valores das funções objetivo e restrições são devolvidas paraos algoritmos especialistas no despacho dos caminhões. Esse despacho considera adistância entre os locais da mina e a velocidade dos caminhões para calcular o temponecessário para eles alcançarem seus destinos. Além disso, o simulador considera apossibilidade de ocorrerem filas de caminhões em cada uma das frentes de lavra. Otempo de carregamento dos caminhões depende de sua capacidade e da produtividadedas pás carregadeiras. O caminhões são despachados de acordo as informações doslocais fornecidos pelos algoritmos de otimização propostos. O critério de parada dasimulação é o tempo de operação da mina.

6.3 Análise do Espaço dos Objetivos

Antes de prosseguir com os resultados experimentais, é interessante investigar ocomportamento das funções objetivo do problema, considerando o modelo matemático

6.3 Análise do Espaço dos Objetivos 79

proposto neste trabalho. Para entender o comportamento das funções objetivo defini-das no modelo matemático, foram avaliadas 106 soluções, geradas aleatoriamente, paracada instância definida na Tabela 6.1, e foram plotados os valores das funções objetivo,como mostra a Figura 6.1.

Figura 6.1: Análise do espaço de busca considerando as duas funções objetivo definidasno modelo matemático. A produção é apresentada em termos de maximização. Cadagráfico mostra os resultados das instâncias de teste da Tabela 6.1.

A análise apresentada nesta seção sugere que há, de fato, conflito entre os objetivosdefinidos no modelo matemático proposto neste trabalho, que justifica o uso de algorit-mos de otimização multiobjetivo em busca de soluções eficientes para as instâncias deteste descritas anteriormente. As soluções não-dominadas, encontradas nessas amos-tras do espaço de objetivos, são utilizadas, juntamente com os resultados gerados pelosalgoritmos, para compor a fronteira Pareto estimada do problema. Assim, elas são uti-lizadas como benchmarks para avaliar a performance dos algoritmos propostos quandoas métricas de Hipervolume e Inverted Generational Distance (IGD) são calculadas.


6.4 Parâmetros dos Algoritmos

Os algoritmos MOGA-TR1 e MOGA-TR2, apresentados neste trabalho, foram tes-tados em um computador Intel Core i7-3632, 2.2GHz CPU, com 8GB de RAM. Todosos experimentos utilizaram os seguintes parâmetros, escolhidos de forma empírica:tamanho da população: 200; critério de parada: 20.000 avaliações de funções objetivo; pro-babilidade de cruzamento: 0.9; probabilidade de mutação: 0.04; número de despachos para cadacaminhão (m): 20; tempo de operação da mina: 1 hora. Os outros parâmetros são definidosnos arquivos, os quais detalham as instâncias que podem ser obtidos no Apêndice A.

6.5 Projeto Experimental

Os algoritmos MOGA-TR1, MOGA-TR2 e DTGH foram aplicados para solucionaras quatro instâncias de teste definidas na Tabela 6.1. Para cada instância de mina, osalgoritmos foram rodados 33 vezes de forma independente e, logo após, as métricasCS, IGD e Hipervolume foram calculadas. O modelo experimental utilizado consideraos algoritmos como fatores (Montgomery, 2008). As hipóteses sobre esses fatores serão,então, discutidas.

O modelo estatístico linear do experimento é dado por:

yki j = µk

i + εki j,

i ∈ 1,2,3

j ∈ 1,2, . . . ,33

k ∈ 1,2,3,4

(6.1)

em que, para determinada métrica de desempenho Y, temos yki j denotando o valor

de Y obtido pelo i-ésimo algoritmo na j-ésima rodada da k-ésima instância de mina;µk

i é o valor médio do desempenho do i-ésimo algoritmo para a k-ésima instância demina; e εk

i j é o termo de erro, que deve obedecer aos pressupostos usuais da análise de

variância paramétrica, isto é, εki j

i.i.d.∼ N(0,σ2). Os modelos independentes são ajustados

para cada instância k. A fim de determinar se as diferenças entre os algoritmos sãoestatisticamente significantes, foi utilizado um teste-t com nível de confiança de 95%.Em cada caso, foi aplicado um teste F para verificar a igualdade de variância. Osvalores p são reportados para todos os testes-t (Tabelas 6.3 e 6.6).

6.5 Projeto Experimental 81

6.5.1 Resultados Experimentais

Os resultados dos primeiros testes, apresentados pela Tabela 6.2, mostram a compa-ração entre os algoritmos evolucionários (MOGA-TR1 e MOGA-TR2) propostos nestetrabalho e o conjunto de soluções geradas pelo DTGH. Nesse teste, foi considerada amétrica CS. Os resultados obtidos sugerem que os algoritmos MOGA-TR1 e MOGA-TR2 apresentam melhor performance que o DTGH para todas as instâncias de teste. Acomparação entre os métodos MOGA-TR1 e MOGA-TR2 sugerem, para as instânciasde teste 1 e 4, melhor performance do MOGA-TR2. Para a instância 3, o MOGA-TR1obteve melhor performance. Já para a instância 2, o teste t, indicado pela Tabela 6.3,mostra que não podemos afirmar que existe diferença entre as médias obtidas. Alémdisso, a Tabela 6.3 reporta os valores p relativos a todos os testes realizados e mostraque a diferença entre os algoritmos MOGA-(TR1 e TR2) e o DTGH é estatisticamentesignificativa com nível de confiança de 95%.

Tabela 6.2: Resultados da métrica de desempenho CS para os algoritmos MOGA-TR1,MOGA-TR2 e DTGH. Estão destacados em negrito os métodos com melhor resultado.

Instância CS(MOGA-TR1, DTGH) CS(DTGH, MOGA-TR1)Melhor Média Desvio Padrão Melhor Média Desvio Padrão

Mina 1 1,00 0,92 0,0062 0,06 0,01 0,0101Mina 2 0,95 0,90 0,0274 0,16 0,06 0,0459Mina 3 0,96 0,91 0,0267 0,06 0,00 0,0094Mina 4 0,95 0,90 0,0484 0,10 0,01 0,0245

Instância CS(MOGA-TR2, DTGH) CS(DTGH, MOGA-TR2)Melhor Média Desvio Padrão Melhor Média Desvio Padrão


Instância CS(MOGA-TR1, MOGA-TR2) CS(MOGA-TR2, MOGA-TR1)Melhor Média Desvio Padrão Melhor Média Desvio Padrão


Devido à superioridade dos algoritmos evolucionários MOGA-TR1 e MOGA-TR2,novos testes foram realizados para compará-los. As Tabelas 6.4 e 6.5 mostram osvalores do melhor caso, a média e o desvio padrão para as métricas de desempenhoHipervolume e IGD de cada algoritmo. No geral, os resultados sugerem que o MOGA-TR2 produz melhores resultados que o MOGA-TR1 em termos de Hipervolume eIGD. Entretanto, para a instância de teste Mina 3, o MOGA-TR1 produziu melhoresresultados. A Tabela 6.6 mostra os testes estatísticos das métricas de desempenhoapresentadas nas Tabelas 6.4 e 6.5.


Tabela 6.3: Estatísticas da métrica de desempenho CS: resultados do teste F, paravalidação da premissa de igualdade de variâncias, e teste-t para 33 execuções. Acoluna GL corresponde aos graus de liberdade do teste-t.

Instância Métodos Teste F teste-testat. F valor-p estat. t valor-p GL

Mina 1MOGA-TR1/DTGH 11,24 7,12 × 10−10 79,34 1,63 × 10−43 37,64MOGA-TR2/DTGH 4,88 2,16 × 10−05 139,69 1,52 × 10−60 44,57

MOGA-TR1/MOGA-TR2 0,43 2,16 × 10−02 -8,04 6,88 × 10−11 55,45

Mina 2MOGA-TR1/DTGH 0,35 4,61 × 10−03 85,51 7,35 × 10−59 52,25MOGA-TR2/DTGH 2,46 1,26 × 10−02 193,36 9,89 × 10−79 54,27

MOGA-TR1/MOGA-TR2 1,25 5,29 × 10−01 0,50 6,18 × 10−01 64

Mina 3MOGA-TR1/DTGH 8,06 5,61 × 10−08 182,78 7,61 × 10−60 39,81MOGA-TR2/DTGH 0,69 3,12 × 10−01 81,43 2,36 × 10−66 64

MOGA-TR1/MOGA-TR2 1,81 9,81 × 10−02 16,39 1,36 × 10−24 64

Mina 4MOGA-TR1/DTGH 3,92 2,14 × 10−04 92,83 3,36 × 10−55 47,31MOGA-TR2/DTGH 0,00 0,00 × 10−01 470,91 4,93 × 10−63 32

MOGA-TR1/MOGA-TR2 0,48 4,38 × 10−02 -37,25 9,39 × 10−42 57,09

Tabela 6.4: MOGA-TR1 x MOGA-TR2: Hipervolume

Instância MOGA-TR1 MOGA-TR2Melhor Média Desvio Padrão Melhor Média Desvio Padrão

Mina 1 5,82 × 10−01 5,70 × 10−01 5,90 × 10−03 6,10 × 10−01 5,92 × 10−01 7,76 × 10−03

Mina 2 5,84 × 10−01 5,74 × 10−01 5,53 × 10−03 5,98 × 10−01 5,80 × 10−01 8,62 × 10−03

Mina 3 5,96 × 10−01 5,89 × 10−01 4,15 × 10−03 5,91 × 10−01 5,83 × 10−01 4,35 × 10−03

Mina 4 5,16 × 10−01 5,08 × 10−01 4,97 × 10−03 5,69 × 10−01 5,51 × 10−01 6,40 × 10−03

Tabela 6.5: MOGA-TR1 x MOGA-TR2: IGD

Instância MOGA-TR1 MOGA-TR2Melhor Média Desvio Padrão Melhor Média Desvio Padrão

Mina 1 6,95 × 10−05 1,98 × 10−04 3,50 × 10−04 1,02 × 10−04 1,00 × 10−04 6,32 × 10−04

Mina 2 5,17 × 10−05 1,60 × 10−04 2,81 × 10−04 3,45 × 10−05 1,09 × 10−04 2,39 × 10−04

Mina 3 2,85 × 10−05 1,51 × 10−04 2,47 × 10−04 5,28 × 10−05 2,40 × 10−04 3,56 × 10−04

Mina 4 3,95 × 10−05 4,56 × 10−04 5,50 × 10−04 3,33 × 10−05 3,50 × 10−04 3,94 × 10−04

Tabela 6.6: Estatísticas das métricas de desempenho Hipervolume e IGD: resultadosdo teste F, para validação da premissa de igualdade de variâncias, e teste-t para 33execuções. A coluna GL corresponde aos graus de liberdade do teste-t.

Instância Métodos Teste F teste-testat. F valor-p estat. t valor-p GL

Mina 1 Hipervolume 0,57 1,27 × 10−01 -12,86 2,05 × 10−19 64IGD 0,46 3,32 × 10−02 4,48 3,60 × 10−05 56,43

Mina 2 Hipervolume 0,41 1,41 × 10−02 -2,97 4,32 × 10−03 54,50IGD 2,24 2,48 × 10−02 4,57 2,65 × 10−05 55,75

Mina 3 Hipervolume 0,91 7,92 × 10−01 5,33 1,36 × 10−06 64IGD 0,29 7,80 × 10−04 -8,41 4,33 × 10−11 49,19

Mina 4 Hipervolume 0,60 1,59 × 10−01 -29,82 2,95 × 10−39 64IGD 1,40 3,42 × 10−01 11,63 1,96 × 10−17 64


6.5.2 Outras Análises

Esta seção visa apresentar o comportamento da convergência dos algoritmos pro-postos. Os testes foram realizados em duas etapas. A primeira delas consistiu emavaliar o algoritmo DTGH. Na segunda, foram considerados os algoritmos MOGA-TR1 e MOGA-TR2.

A Figura 6.2 apresenta a convergência do algoritmo DTGH para as quatro instân-cias de mina definidas na Seção 6.1. Para cada frota de caminhões, construída peloAlgoritmo 14, é apresentado um boxplot que possibilita avaliar os resultados em termosde produção. As melhores soluções encontradas pelo DTGH em termos de produçãoforam consideradas para construir o conjunto de soluções não-dominadas (fronteiraDTGH). Cabe ressaltar que, para cada frota de caminhões, o algoritmo DTGH foi exe-cutado 100 vezes. As figuras indicam que, para frotas com poucos caminhões, ou seja,com baixo custo de operação, o algoritmo encontra soluções próximas do ótimo conhe-cido, isto é, da fronteira Pareto estimada. Entretanto, quando o algoritmo é executadopara uma frota com um número maior de caminhões, ou seja, que possui maior custode operação, as soluções encontradas para as quatro instâncias apresentam valores deprodução consideravelmente menores que as soluções da fronteira Pareto estimada.

Fronteira DTGH Pareto estimado

0 1000 2000 3000 4000 5000 600005

101520253035404550556065

Fronteira DTGH

Pareto estimado

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000

5

10

15

20

25

30

35

Fronteira DTGH

Pareto estimado

0 1000 2000 3000 4000 5000 60000

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Fronteira DTGH

Pareto estimado

Figura 6.2: Convergência do algoritmo DTGH para cada instância de testes conside-rada. A produção é apresentada em termos de maximização.


A análise dos algoritmos MOGA-TR1 e MOGA-TR2 considera as métricas de de-sempenho Hipervolume e IGD, que são calculados a cada 200 avaliações de soluções.Assim, à medida que o número de avaliações cresce, o valor do Hipervolume tambémcresce. Esse comportamento permite afirmar que as soluções não-dominadas estãoconvergindo em direção à fronteira Pareto estimada. A Figura 6.3 apresenta os piores,melhores e valores médios do Hipervolume obtidos durante a evolução dos algoritmospara as quatro instâncias de teste. Já a Figura 6.4 apresenta os valores da métrica dedesempenho IGD. À medida que o número de avaliações de soluções aumenta, o valordo IGD é reduzido, o que permite afirmar que, assim como no Hipervolume, o conjuntode soluções não-dominadas está se aproximando da fronteira Pareto estimada.

MOGA-TR1 (Pior caso) MOGA-TR1 (Caso médio) MOGA-TR1 (Melhor caso) MOGA-TR2 (Pior caso) MOGA-TR2 (Caso médio) MOGA-TR2 (Melhor caso)

0 20 40 60 80 1000.48

0.5

0.52

0.54

0.56

0.58

0.6

NSGAII-TR1 (Pior caso)

NSGAII-TR1 (Caso médio)

NSGAII-TR1 (Melhor caso)



NSGAII-TR2 (Melhor caso

0 20 40 60 80 1000.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65







0 20 40 60 80 1000.48

0.5

0.52

0.54

0.56

0.58

0.6

0.62







0 20 40 60 80 1000.48

0.5

0.52

0.54

0.56

0.58

0.6

0.62







Figura 6.3: Hipervolume médio para os algoritmos MOGA-TR1 e MOGA-TR2 paracada instância de testes considerada.


MOGA-TR1 (Pior caso) MOGA-TR1 (Caso médio) MOGA-TR1 (Melhor caso) MOGA-TR2 (Pior caso) MOGA-TR2 (Caso médio) MOGA-TR2 (Melhor caso)

0 20 40 60 80 1000.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-4

Generation

IGD

NSGAII-TR1 - Pior caso

NSGAII-TR1 - Caso médio

NSGAII-TR1 - Melhor caso




0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2x 10

-3

Generation

IGD







0 20 40 60 80 1000

1

2

3

4

5

6x 10

-4

Generation

IGD







0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

-3

Generation

IGD

Evolution - IGD







Figura 6.4: IGD médio para os algoritmos MOGA-TR1 e MOGA-TR2 para cada instân-cia de testes considerada.

6.5.3 Função de Realização Empírica

As Figuras 6.5-6.8 apresentam a comparação entre pares de algoritmos em cada cená-rio, utilizando a métrica de desempenho Empirical Attainment Function (EAF) propostopor Fonseca et al. (2005). Para problemas de otimização biobjetivo, a representaçãográfica da EAF1 (Ibáñez et al., 2010b) fornece uma informação mais intuitiva sobre adistribuição das soluções de um algoritmo quando comparado a métricas de desempe-nho unárias, tais como Hipervolume e IGD. As Figuras 6.5-6.8 foram construídas poressa representação gráfica e mostram as regiões onde existem diferenças entre os algo-ritmos, bem como magnitude dessas diferenças. À esquerda, são destacadas as regiõesonde o MOGA-TR1 apresentou melhor desempenho que o MOGA-TR2 e, à direita, asdiferenças a favor do MOGA-TR2 sob o MOGA-TR1. A magnitude das diferenças é

1A implementação, em linguagem R (pacote eaf ), para o cálculo de Funções de Realização Empíricaencontra-se disponível em http://www.r-project.org/.


codificada em escalas de cinza dadas pela legenda do gráfico. Cabe ressaltar que aprodução é apresentada em termos de maximização.

0 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000Produção

010

2030

4050

60C

usto

dos

cam

inhõ

es e

m o

pera

ção

MOGA − TR1

[0.8, 1.0]

[0.6, 0.8)

[0.4, 0.6)

[0.2, 0.4)

[0.0, 0.2)

0 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000Produção

010

2030

4050

60C

usto

dos

cam

inhõ

es e

m o

pera

ção

MOGA − TR2

Figura 6.5: Instância de Mina 1: diferenças entre as EAFs.

0 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000Produção

010

2030

4050

60C

usto

dos

cam

inhõ

es e

m o

pera

ção

MOGA − TR1

[0.8, 1.0]

[0.6, 0.8)

[0.4, 0.6)

[0.2, 0.4)

[0.0, 0.2)

0 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000Produção

010

2030

4050

60C

usto

dos

cam

inhõ

es e

m o

pera

ção

MOGA − TR2


Os resultados apresentados pelas Figuras 6.5–6.8 indicam melhor performance doMOGA-TR2 para as minas 1, 2 e 4. Entretanto, para a Mina 3, o MOGA-TR1 apresentamelhores resultados. Isso sugere que diferentes cenários possuem abordagens que sãomais adequadas às suas particularidades.

A Tabela 6.7 apresenta os resultados obtidos ao comparar os algoritmos MOGA-TR1 e MOGA-TR2 para as quatro minas de teste. A hipótese nula (H0) espera que


500 1000 1500 2000 2500 3000Produção

05

1015

2025

30C

usto

dos

cam

inhõ

es e

m o

pera

ção

MOGA − TR1

[0.8, 1.0]

[0.6, 0.8)

[0.4, 0.6)

[0.2, 0.4)

[0.0, 0.2)

500 1000 1500 2000 2500 3000Produção

05

1015

2025

30C

usto

dos

cam

inhõ

es e

m o

pera

ção

MOGA − TR2


0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000Produção

010

2030

40C

usto

dos

cam

inhõ

es e

m o

pera

ção

MOGA − TR1

[0.8, 1.0]

[0.6, 0.8)

[0.4, 0.6)

[0.2, 0.4)

[0.0, 0.2)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000Produção

010

2030

40C

usto

dos

cam

inhõ

es e

m o

pera

ção

MOGA − TR2


os dois algoritmos propostos possuam a mesma performance. Caso contrário, existiráuma diferença estatística entre os algoritmos. Para tanto, foram considerados testesde primeira e segunda ordem conforme o trabalho de Fonseca et al. (2005). A colunaAlgoritmo destaca o algoritmo que apresentou melhor performance quando a H0 érejeitada. Os resultados sugerem que o MOGA-TR2 possui performance melhor que oMOGA-TR1 para 1, 2 e 4.


Tabela 6.7: Resultados das hipóteses de teste (α = 0,05).

Instância Algoritmo Hipótese de teste Estatística Valor Crítico valor-p Decisão

Mina 1 MOGA-TR1 – MOGA-TR2 Primeira ordem 0,6969 0,4545 0 RejeitarH0MOGA-TR1 – MOGA-TR2 Segunda ordem 0,9090 0,5454 0 RejeitarH0



Mina 4 MOGA-TR1 – MOGA-TR2 Primeira ordem 1 0,4242 0 RejeitarH0MOGA-TR1 – MOGA-TR2 Segunda ordem 1 0,4848 0 RejeitarH0

A Figura 6.9 apresenta o tempo computacional dos algoritmos MOGA-TR1 e MOGA-TR2 para tratar as quatro instâncias de teste definidas nesse trabalho. Embora o tempocomputacional do MOGA-TR1 seja ligeiramente menor que o tempo do MOGA-TR2,essa diferença não chega, em média, a 1 segundo.

Mina 1 Mina 2 Mina 3 Mina 43

3.5

4

4.5

5

5.5

Instâncias de teste

Tem

po c

om

puta

cio

nal (s

egundos)

MOGA-TR1 MOGA-TR2

Mina 1 Mina 2 Mina 3 Mina 43

3.5

4

4.5

5

5.5

Instâncias de teste

Tem

po c

om

puta

cio

nal (s

egundos)

MOGA-TR1 MOGA-TR2

Figura 6.9: Tempo computacional dos algoritmos MOGA-TR1 e MOGA-TR2.

6.6 Conclusões

As abordagens propostas foram utilizadas para solucionar quatro cenários comdiferentes características, e seus resultados foram avaliados utilizando as métricas dedesempenho conhecidas como Coverage of Two Sets, Hipervolume e Inverted GenerationalDistance. Os resultados sugerem que algoritmos evolucionários apresentam melhores

6.6 Conclusões 89

resultados que a heurística DTGH. Adicionalmente, Empirical Attainment Functionsforam utilizadas para comparar o MOGA-TR1 e o MOGA-TR2. Os resultados mostramque o MOGA-TR2 produziu melhores resultados para as minas 1, 2 e 4. Já para a Mina3, o algoritmo MOGA-TR1 apresentou melhores resultados.

Capítulo 7

Conclusões

Este trabalho apresentou uma revisão detalhada dos trabalhos mais relevantes, re-lacionados ao despacho de caminhões em minas a céu aberto, encontrados na literaturaespecializada. Foram apresentadas e detalhadas as principais características e o fun-cionamento operacional de uma mina. Este trabalho contribuiu com um modelo ma-temático multiobjetivo para o problema de despacho dinâmico de frota de caminhõesheterogênea em minas a céu aberto. O modelo matemático considera dois objetivos degrande interesse das empresas de mineração: i) custo operacional, que está diretamenterelacionado ao número de caminhões em operação e ii) produção alcançada após certotempo de operação da mina. Além disso, relevantes restrições operacionais como aqualidade do minério produzido, limites de produção, relação entre o minério/estérilproduzido e a compatibilidade de equipamentos utilizados na operação das minas sãoconsideradas pelo modelo matemático.

Por se tratar de um problema combinatório, algoritmos evolucionários multiob-jetivo foram utilizados a fim de se encontrar soluções eficientes que atendessem àsrestrições operacionais. Foram discutidos os principais conceitos desses algoritmos,com destaque para a definição de dominância e fronteira do Pareto ótimo. A fim dese comparar resultados construídos por esses algoritmos evolucionários multiobjetivo,foram apresentados quatro métricas de desempenho conhecidas como Cobertura deDois Conjuntos, Distância Geracional Invertida, Hypervolume e Função de RealizaçãoEmpírica. Os resultados dos algoritmos propostos neste trabalho foram analisados emfunção dessas métricas de desempenho.

Também foi proposto nesse trabalho um procedimento chamado Labeling-OrientedNon-dominated Sorting Algorithm (LONSA), o qual, dada uma população de solu-ções, tem como objetivo classificar, de forma eficiente, as soluções em fronteiras não-dominadas. Esse algoritmo foi comparado com outros nove métodos da literaturaem termos de número de comparações e tempo computacional. Para avaliar os al-goritmos, foram construídas populações em que o número de soluções, fronteiras e

92 7 Conclusões

objetivos foram variados. Além disso, os métodos foram testados quando acopladosa dois algoritmos de otimização multiobjetivo conhecidos como NSGA-II e NSGA-III.Nesse caso, eles foram utilizados para resolver o problema de teste conhecido comoDTLZ1. O LONSA apresentou bons resultados, destacando-se juntamente com outrosdois algoritmos conhecidos como ENS-SS e ENS-BS.

Esse trabalho ainda propôs dois algoritmos para solucionar o problema de despa-cho de caminhões em minas a céu aberto baseados em algoritmos evolucionários queutilizam o conceito de Dominância Pareto. Além disso, esses algoritmos utilizaram ope-radores de cruzamento e mutação especialmente projetados para gerar novas soluçõespara o problema. Esses algoritmos foram utilizados para resolver quatro instâncias demina. Inicialmente, foi realizada uma análise exaustiva do espaço de busca para cadauma das quatro instâncias do problema e, a partir dessas análises, a fronteira Pareto es-timada para cada instância de mina foi identificada. As soluções encontradas por essasbuscas exaustivas foram utilizadas para avaliar a qualidade dos resultados apresenta-dos pelos algoritmos evolucionários propostos nesse trabalho. Dentre esses algoritmosevolucionários, o MOGA-TR2 apresentou melhores resultados que o MOGA-TR1 paratrês das quatro instâncias de teste utilizadas.

7.1 Contribuições da Tese

Os principais pontos desse trabalho, que representam importantes contribuiçõesoriginais, são enumerados a seguir:

• modelo matemático multiobjetivo para o problema de despacho de caminhõesem minas a céu aberto, o qual contempla as principais restrições operacionais e,como objetivo, procura minimizar o custo operacional da frota de caminhões aomesmo tempo que maximiza a produção;

• proposição de um algoritmo responsável por classificar soluções em fronteirasnão-dominadas com o objetivo de melhorar o desempenho dos algoritmos base-ados em Pareto dominância. Os resultados experimentais realizados mostraramque o algoritmo sugerido produziu resultados competitivos quando comparadoaos melhores métodos encontrados na literatura;

7.2 Sugestões para Trabalhos Futuros 93

• proposição de dois algoritmos evolucionários multiobjetivo para solucionar oproblema de despacho de caminhões em minas a céu aberto. Operadores de cru-zamento e mutação foram projetados especialmente para solucionar o problematratado.

7.2 Sugestões para Trabalhos Futuros

Como trabalhos futuros, sugere-se avaliar diferentes alternativas de inicialização depopulações e verificar o efeito das mesmas nos algoritmos propostos. Para efeitos com-parativos, é interessante implementar outras estratégias de despacho de caminhões,como sugere a seção 2.3.

Apêndice A

Instâncias de Testes

A.1 Cenário 1

Este cenário é baseado na instância 1 do trabalho de Souza et al. (2010). Ele écomposto de 10 características de qualidade (Par.01 à Par.10) como mostra a Tabela A.1.Para cada característica de qualidade, é informado o valor esperado pelo britador damina e os limites máximo e mínimo tolerados.

A instância define 17 frentes de lavra, sendo que 12 delas produzem minério (Fr.01à Fr.12) e as outras 5 (Fr.13 à Fr.17), estéril. As características de qualidade do minérioproduzido em cada frente de lavra são definidas pela Tabela A.2. As pás carregadei-ras (Car.1 à Car.8) disponíveis para a operação são definidos pela Tabela A.3. Além deapresentar os limites de produtividade, a tabela define qual é a frente de lavra onde a pácarregadeira está alocada durante a operação. Cabe ressaltar que existem pás carrega-deiras alocadas em apenas 8 das 17 frentes de lavra conforme resultados apresentadospor Souza et al. (2010).

O cenário disponibiliza 30 caminhões, sendo 15 (caminhões de índice [1,15]) comcapacidade de 56 toneladas, e o restante (caminhões de índice [16,30]) com capacidadede 90 toneladas. A velocidade dos caminhões foi definida segundo Caterpillar (2015)considerando a classe de carga (773G 50t e 777G 80t ). Sendo assim, a velocidadedefinida para os caminhões de 50 e 80 toneladas são 67,6 || 65,9 km/h para operar cheio,e 72.6 || 70.9 km/h operando vazio, respectivamente.

A Tabela A.4 apresenta a distância, dada em quilômetros, entre os locais da mina.É importante destacar que a distância entre cada frente de lavra até o britador e a pilhade estéril são as mesmas.

96 A Instâncias de Testes

Tabela A.1: Características de qualidade esperadas no britador do Cenário A.1.

Car. de Qualidade Valor Mínimo Valor Esperado Valor Máximo

Par.01 0,0240 0,0330 0,0420Par.02 0,0347 0,0424 0,0500Par.03 0,0050 0,0163 0,0275Par.04 0,0270 0,0392 0,0513Par.05 0,0093 0,0107 0,0120Par.06 0,0280 0,0303 0,0325Par.07 0,0086 0,0113 0,0140Par.08 0,0110 0,0124 0,0137Par.09 0,0100 0,0177 0,0253Par.10 0,0121 0,0171 0,0220

Tabela A.2: Características de qualidade presentes nas frentes de lavra do Cenário A.1.

Frente Características de QualidadePar.01 Par.02 Par.03 Par.04 Par.05 Par.06 Par.07 Par.08 Par.09 Par.10

Fr.01 0,0220 0,0330 0,0300 0,0540 0,0090 0,0330 0,0080 0,0140 0,0270 0,0110Fr.02 0,0240 0,0347 0,0275 0,0513 0,0093 0,0325 0,0086 0,0137 0,0253 0,0121Fr.03 0,0260 0,0364 0,0250 0,0486 0,0096 0,0320 0,0092 0,0134 0,0236 0,0132Fr.04 0,0280 0,0381 0,0225 0,0459 0,0099 0,0315 0,0098 0,0131 0,0219 0,0143Fr.05 0,0300 0,0398 0,0200 0,0432 0,0102 0,0310 0,0104 0,0128 0,0202 0,0154Fr.06 0,0320 0,0415 0,0175 0,0405 0,0105 0,0305 0,0110 0,0125 0,0185 0,0165Fr.07 0,0340 0,0432 0,0150 0,0378 0,0108 0,0300 0,0116 0,0122 0,0168 0,0176Fr.08 0,0360 0,0449 0,0125 0,0351 0,0111 0,0295 0,0122 0,0119 0,0151 0,0187Fr.09 0,0380 0,0466 0,0100 0,0324 0,0114 0,0290 0,0128 0,0116 0,0134 0,0198Fr.10 0,0400 0,0483 0,0075 0,0297 0,0117 0,0285 0,0134 0,0113 0,0117 0,0209Fr.11 0,0420 0,0500 0,0050 0,0270 0,0120 0,0280 0,0140 0,0110 0,0100 0,0220Fr.12 0,0440 0,0517 0,0025 0,0243 0,0123 0,0275 0,0146 0,0107 0,0083 0,0231

Fr.13-17 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Tabela A.3: Alocação das pás carregadeiras nas frentes de lavra do Cenário A.1.

Eqto. de Carga Porte Frente de Trabalho Produtividade (t/h)Mínima Máxima

Car.01 PP Fr.01 250 900Car.02 PP Fr.09 300 900Car.03 PP Fr.14 250 900Car.04 PP Fr.15 300 900Car.05 PP Fr.04 350 1000Car.06 GP Fr.12 300 1000Car.07 GP Fr.11 400 1100Car.08 GP Fr.02 400 1100

Tabela A.4: Distâncias entre as frentes de lavra, o britador e a pilha de estéril do CenárioA.1.

Frente Britador / Pilha Frente Britador / Pilha

Fr.14 5,01 Fr.07 5,12Fr.15 5,06 Fr.06 4,89Fr.02 5,06 Fr.12 5,23Fr.01 4,95 Fr.11 5,06

A.2 Cenário 2

O Cenário A.2 descrito abaixo é semelhante ao Cenário A.1 já apresentado. Contudo,as características de qualidade presentes em cada uma das frentes de lavra são diferentes

A.3 Cenário 3 97

das apresentadas pela tabela A.2. As características de qualidade indicadas para oCenário A.2 são definidas na Tabela A.5.


Frente Características de QualidadePar.01 Par.02 Par.03 Par.04 Par.05 Par.06 Par.07 Par.08 Par.09 Par.10

Fr.01 0,0417 0,0350 0,0223 0,0447 0,0122 0,0291 0,0142 0,0113 0,0215 0,0114Fr.02 0,0434 0,0344 0,0213 0,0502 0,0112 0,0305 0,0095 0,0115 0,0096 0,0220Fr.03 0,0355 0,0495 0,0255 0,0417 0,0113 0,0287 0,0096 0,0116 0,0174 0,0199Fr.04 0,0265 0,0439 0,0246 0,0302 0,0107 0,0285 0,0121 0,0126 0,0130 0,0194Fr.06 0,0324 0,0492 0,0217 0,0471 0,0108 0,0294 0,0137 0,0123 0,0146 0,0191Fr.07 0,0422 0,0468 0,0155 0,0407 0,0109 0,0330 0,0114 0,0112 0,0242 0,0114Fr.08 0,0435 0,0484 0,0294 0,0530 0,0117 0,0291 0,0129 0,0112 0,0158 0,0199Fr.09 0,0357 0,0507 0,0149 0,0366 0,0094 0,0313 0,0098 0,0116 0,0230 0,0115Fr.10 0,0425 0,0347 0,0072 0,0532 0,0100 0,0312 0,0084 0,0123 0,0115 0,0230Fr.11 0,0231 0,0346 0,0091 0,0501 0,0104 0,0283 0,0083 0,0114 0,0261 0,0185Fr.12 0,0382 0,0397 0,0239 0,0376 0,0112 0,0283 0,0093 0,0108 0,0252 0,0201

Fr.13-17 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

A.3 Cenário 3

Esta instância se diferencia das demais já descritas quanto ao número de frentes delavra, características de qualidade esperadas, características e número de pás carrega-deiras e caminhões. A Tabela A.6 define os valores das características de qualidadeesperadas no britador.

Tabela A.6: Características de qualidades do Cenário A.3.

Car. de Qualidade Valor Mínimo Valor Esperado Valor Máximo

Par.01 0,0 0,4791 1,0Par.02 0,0 0,0047 1,0Par.03 0,0 0,0026 1,0Par.04 0,0 0,0004 1,0Par.05 0,0 0,0004 1,0

Essa instância possui 32 frentes de lavra, sendo que todas elas produzem minério.A característica do minério encontrado em cada uma das frentes de lavra pode servisualizada na Tabela A.7. As pás carregadeiras disponíveis para esse cenário sãodefinidos pela Tabela A.8. Foram disponibilizados 30 caminhões para esse cenário.Todos eles possuem a capacidade de 56 toneladas e suas velocidades são as mesmasdefinidas no Cenário A.1.

A Tabela A.9 apresenta as distâncias entre as frentes de lavra e o britador presentenessa instância.



FrenteCaracterísticas de Qualidade

FrenteCaracterísticas de Qualidade

Par.01 Par.02 Par.03 Par.04 Par.05 Par.01 Par.02 Par.03 Par.04 Par.05

Fr.01 0,4743 0,0048 0,0027 0,0004 0,0004 Fr.17 0,5150 0,0048 0,0027 0,0005 0,0005Fr.02 0,5112 0,0038 0,0022 0,0004 0,0004 Fr.18 0,4344 0,0039 0,0022 0,0002 0,0003Fr.03 0,3789 0,0051 0,0028 0,0004 0,0004 Fr.19 0,4329 0,0022 0,0015 0,0004 0,0006Fr.04 0,4224 0,0053 0,0029 0,0003 0,0003 Fr.20 0,4482 0,0019 0,0013 0,0001 0,0002Fr.05 0,4550 0,0130 0,0064 0,0007 0,0007 Fr.21 0,4406 0,0036 0,0021 0,0004 0,0007Fr.06 0,4742 0,0088 0,0045 0,0005 0,0005 Fr.22 0,4722 0,0036 0,0021 0,0002 0,0003Fr.07 0,5954 0,0055 0,0030 0,0005 0,0005 Fr.23 0,5428 0,0036 0,0021 0,0003 0,0005Fr.08 0,5000 0,0070 0,0037 0,0004 0,0005 Fr.24 0,4917 0,0054 0,0029 0,0002 0,0004Fr.09 0,5641 0,0122 0,0061 0,0006 0,0006 Fr.25 0,4307 0,0026 0,0016 0,0002 0,0003Fr.10 0,4589 0,0046 0,0026 0,0002 0,0002 Fr.26 0,4459 0,0029 0,0018 0,0004 0,0006Fr.11 0,4561 0,0059 0,0032 0,0004 0,0004 Fr.27 0,4420 0,0033 0,0020 0,0006 0,0010Fr.12 0,5829 0,0128 0,0063 0,0006 0,0006 Fr.28 0,4224 0,0024 0,0016 0,0002 0,0003Fr.13 0,4578 0,0034 0,0020 0,0002 0,0003 Fr.29 0,4971 0,0034 0,0020 0,0004 0,0004Fr.14 0,4580 0,0032 0,0019 0,0002 0,0003 Fr.30 0,4802 0,0104 0,0052 0,0006 0,0006Fr.15 0,5596 0,0063 0,0033 0,0004 0,0004 Fr.31 0,4648 0,0031 0,0019 0,0004 0,0004Fr.16 0,5575 0,0043 0,0024 0,0007 0,0007 Fr.32 0,4691 0,0037 0,0022 0,0004 0,0005

Tabela A.8: Alocação das pás carregadeiras nas frentes de lavra do Cenário A.3.

Eqto. de Carga Porte Frente de Trabalho Produtividade (t/h)Mínima Máxima

Car.01 PP Fr.07 300 500Car.02 PP Fr.03 300 400Car.03 PP Fr.10 300 400Car.04 PP Fr.05 300 500Car.05 PP Fr.16 350 800Car.06 PP Fr.25 350 900Car.07 PP Fr.18 400 600

Tabela A.9: Distâncias entre as frentes de lavra e o britador do Cenário A.3.

Frente Distância Frente Distância Frente Distância Frente Distância

Fr.01 5,17 Fr.09 5,40 Fr.17 5,23 Fr.25 5,12Fr.02 5,51 Fr.10 5,12 Fr.18 4,89 Fr.26 5,34Fr.03 5,51 Fr.11 5,17 Fr.19 5,34 Fr.27 5,29Fr.04 5,29 Fr.12 5,12 Fr.20 5,23 Fr.28 5,29Fr.05 5,34 Fr.13 5,17 Fr.21 5,17 Fr.29 5,12Fr.06 5,17 Fr.14 5,40 Fr.22 5,34 Fr.30 5,06Fr.07 4,89 Fr.15 5,23 Fr.23 5,06 Fr.31 5,17Fr.08 5,34 Fr.16 5,34 Fr.24 5,23 Fr.32 5,17

A.4 Cenário 4

As instâncias propostas por Souza et al. (2010) não possuem cenários compostospor dois ou mais britadores. A ferramenta de simulação utilizada neste trabalho pos-sibilita que existam mais de um britador ou pilhas de estéril. Outro ponto importanteobservado é que os tempos de ciclos das instâncias existentes são muito parecidosconsiderando que as frentes de lavra são equidistantes do britador. O Cenário A.3,descrito acima, possui uma grande quantidade de frentes de lavra, um pequeno nú-mero de máquinas de carga e, também, há apenas caminhões do mesmo porte. O

A.4 Cenário 4 99

Cenário A.4 procura criar um ambiente com uma maior complexidade para se reali-zar a operação da mina. Assim, esse cenário define dois britadores, duas pilhas deestéril, caminhões de 4 perfis diferentes e, também, a presença de frentes de lavra comdistâncias significativamente diferentes.

Os parâmetros de qualidade esperados nos britadores (Br.01 e Br.02), criados paraeste cenário, são os mesmos definidos pela Tabela A.1. Nesse cenário, serão conside-radas 30 frentes de lavra. Entre elas, 24 produzem minério e as outras 6, estéril. Paraefeito de um cenário viável em termos de qualidade, as características de qualidade(CQ) definidas pela Tabela A.7 foram replicadas para as frentes de minério do cenárioatual sendo duplicada em cada uma das frentes de lavra existentes, conforme mostra aequação A.1. A diferença é dada pela distância entre elas e os britadores.

CQFri = CQFri+12 ∀ i ∈ [1,12] (A.1)

Os parâmetros dos caminhões definidos para esse cenário foram obtidos em Cater-pillar (2015) e são apresentados na Tabela A.10. As pás carregadeiras disponíveis, bemcomo a compatibilidade com o porte dos caminhões, são definidos na Tabela A.11.

Tabela A.10: Definição dos caminhões do Cenário A.4.

Modelo Capacidade (t) Velocidade Vazio (Km/h) Velocidade Carregado (Km/h) Quantidade Porte

772 45 87,6 79,7 15 PP777G 90,8 72,4 65,9 10 PP789C 195 57,8 52,6 5 GP797F 400 74,2 67,5 5 GP

Tabela A.11: Pás carregadeiras do Cenário A.4.

Modelo Produtividade (t/h) Porte QuantidadeMínima Máxima

Car.01 200 400 PP 2Car.02 300 500 PP 2Car.03 300 600 PP 1Car.04 300 800 PP 1Car.05 300 900 PP 1Car.06 300 1000 PP 3Car.07 300 2600 GP 3

As distâncias entre os britadores, pilhas de estéril e frentes de lavra são apresentadospela Tabela A.12. Aqui são apresentadas apenas as frentes de lavra que possuemmáquinas de carga alocadas.


Tabela A.12: Distância entre os locais do Cenário A.4.

Frente Car.Britadores Pilhas

Frente Car.Britadores Pilhas

Br.01 Br.02 Pl.01 Pl.02 Br.01 Br.02 Pl.01 Pl.02

Fr.03 1 5,29 5,29 3,29 3,29 Fr.18 3 10,89 11,89 12,89 15,89Fr.05 2 4,34 6,34 2,34 2,34 Fr.25 5 9,12 10,12 11,12 14,12Fr.07 2 3,89 7,89 2,89 3,89 Fr.26 6 e 7 8,29 9,29 12,29 15,29Fr.10 1 5,12 5,12 3,12 2,12 Fr.27 6 e 7 7,34 11,34 11,34 14,34Fr.16 4 4,34 6,34 2,34 3,34 Fr.28 6 e 7 10,89 10,89 10,89 11,89

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despacho dinâmico de frota de caminhões heterogênea em

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