Resolução do Problema de Roteamento de Veículos com Frota Heterogênea via GRASP e Busca Tabu

Rodrigo Geraldo RibeiroDenis Pinto Pinheiro

Camila Leles Rezende

O Problema de Roteamento de Veículos (PRV):

Dado um conjunto de cidades (ou consumidores), cada qual com uma demanda qi por um produto, e um depósito com veículos de capacidade Q, encontrar as rotas para os veículos minimizando os custos de transporte, atendendo todos as cidades.

Características do problema: Como uma generalização do Problema do

Caixeiro Viajante (PCV), o PRV pertence à classe de problemas NP-Difícil (LENSTRA, 1981), portanto não existem algoritmos em tempo polinomial para encontrar soluções ótimas.

Os algoritmos exatos existentes raramente conseguem resolver problemas envolvendo mais do que 50 consumidores (RENAUD & BOCTOR, 2002).

Abordagens de resolução: Para problemas de maior porte:

Heurísticas. Exemplos de heurísticas bem

sucedidas: Algoritmos baseados em Busca

Tabu de Taillard (1993), Osman (1993) e Gendreau et al. (1994).

Heurística de pétalas de Renaud et al.(1996).

Nossa proposta: Um método de duas fases para a

resolução do PRV: Fase GRASP.

Construção de uma solução inicial parcialmente gulosa.

Aplicar um método de busca local para refinar a solução inicial.

Refinamento usando Busca Tabu Baseado em função de avaliação que procura

minimizar as distâncias percorridas. As estruturas de vizinhança utilizadas na Busca

Tabu e no método de busca local da fase GRASP, são simples e proporcionam alterações na solução capazes de escapar de ótimos locais.

Exemplo:

Consumidores

Rotas Depósito

Depósito: qtde veículos, localização.

Veículos: capacidade.

Consumidores: localização, demanda.

Informações da Rota: distância entre os consumidores e depósito.

Função Objetivo: Minimizar o custo total da viagem.

Características:

Representação dos consumidores:

Pontos no plano (x,y).

Depósito:Num. veículos.

Consumidores:Identificador,Demanda.

Grafo de representação das cidades

Matriz de Distância:

0 10 15 7

16 0 12 31

20 23 0 18

50 23 19 0

• Nossa proposta de solução é aplicável a problemas assimétricos!

Seja G = (V, E) um grafo não direcionado, onde V = {v0, v1,..., vn} é o conjunto dos vértices e E = {(vi, vj): vi ,vj V, i < j} é o conjunto de arestas.

O vértice v0 representa o depósito, sendo este a base de uma frota de veículos de capacidade Q, possivelmente diferentes entre si, enquanto os vértices remanescentes correspondem às cidades ou consumidores.

Cada consumidor vi tem uma demanda não negativa qi e q0 = 0.

Supõe-se que existe um número ilimitado de veículos no depósito.

A cada aresta (vi, vj) está associada uma distância não negativa cij que representa a distância entre os consumidores.

Formulação do Problema do Roteamento de Veículos (PRV):

Formulação do Problema do Roteamento de Veículos (PRV):

O Problema de Roteamento de Veículos consiste em determinar o conjunto de rotas que deverão ser feitas pelos veículos minimizando os custos de transporte, dado pela distância e respeitando as seguintes condições:a) Cada rota começa e termina no depósito;b) Toda cidade de V \ {v0} é visitada somente

uma vez por somente um veículo;c) A demanda total de qualquer rota não deve

superar a capacidade Q de um veículo.

Representação do PRV: Assumimos a representação usada por

Pradenas & Parada (1999). Uma solução do PRV é representada por meio de uma permutação de cidades, numeradas de 1 a n, separadas em tantas partições quantos forem o número de veículos usados. Por exemplo, se há 6 consumidores, 3 veículos

e a solução s é {0-3-4-0-1-5-2-0-6-0} então as rotas dos veículos, denominadas pétalas, são {0-3-4-0}, {0-1-5-2-0} e {0-6-0}.

Estruturas de vizinhança: Seja S o conjunto das soluções para o

PRV. As estruturas de vizinhança são definidas por funções N que associam um conjunto de soluções N(s) com cada solução obtida por uma modificação parcial de s, chamada movimento.

Consideramos duas estruturas de vizinhança, a saber: N 1, N 2.

Movimentos: O primeiro movimento consiste na troca

de dois números inteiros em uma mesma pétala da solução. Estes números representam apenas os

consumidores. O segundo, representa a remoção de um

número inteiro de uma pétala e sua inserção em uma outra pétala. Esses números representam os

consumidores.

Exemplo das Estruturas de Vizinhança:

A vizinhança N 1(s) de uma dada solução s é o conjunto de todos os vizinhos s' gerados pelo primeiro movimento. Por exemplo, dada a solução s = {0-3-4-0-1-

5-2-0-6-0} s' ={0-3-4-0-1-2-5-0-6-0} N 1(s).

A vizinhança N 2(s) de uma dada solução s é o conjunto de todos os vizinhos s' gerados pelo segundo movimento. Por exemplo, dada s1 = {0-3-4-0-1-5-2-0-6-0} s’ = {0-4-0-1-5-2-0-3-6-0}

Função Objetivo: Função objetivo baseada em penalização. Seja f 1(s) representando a função

objetivo pura da solução s: Soma das distâncias percorridas por todos os

veículos. Seja O(s) o total das sobrecargas dos

veículos associada a esta solução, caso exista.

Função objetivo f (s) = f 1(s) + O(s) é um fator de penalidade não negativo.

Construção de uma solução inicial:

Fase de construção do método GRASP (Procedimento de busca adaptativa gulosa e randomizada).

{0-2-1-6-...}.

Algoritmo da fase de construção:

Primeiro passo: Seleciona-se um veículo aleatoriamente. S =S U {A}. Inicialmente S={ }.

Lista_de_Candidatos = ordenar (V \ {s} ). Critério de ordenação relativo à distância de cada

um ao último elemento adicionado à solução. Esse processo de seleção é uma heurística

adaptativa gulosa, que estima o benefício da seleção de cada um dos elementos.

A heurística é adaptativa porque os benefícios associados com a escolha de cada elemento são atualizados em cada iteração da fase de construção para refletir as mudanças oriundas da seleção do elemento anterior.

Algoritmo da fase de construção:

Selecionar de forma aleatória a partir da lista de candidatos restrita (LCR).

A LCR é composta pelos melhores candidatos de LC. O tamanho da LCR é definido segundo um fator

[0,1], tal que |LCR| = |LC|. Se o consumidor selecionado exceder a

capacidade do veículo, adiciona-se a distância da cidade do último consumidor escolhido ao depósito, finalizando uma rota.

A = {4 – 7 – 15 – 10 – 28 – 13 ... } Repete-se este procedimento até que todos os

consumidores sejam atendidos.

Fase de Refinamento

• Refinamento via Busca Tabu• Método de busca local que utiliza uma estrutura de dados Lista para evitar ciclagem.• Função de Aspiração

Algoritmo

Procedimento Grasp_TB () { para i = 0; i < graspMAX; i++ { Solucao s = construcao_GRASP (); buscaLocal(s); } s = buscaTabu(s); retorne s;}

Resultados

Tipo Capacidade Custo

A 300 3

B 150 1

C 200 2

Tipo Rota Demanda

B 40-19-41-13-25-14-24-23 141

B 42-44-15-45-33-10-49-9-50-16

131

B 4-47-12-46-32-11-38-5-37-17 147

B 18-6-48-27-1-22-28-31 128

B 39-30-34-21-29-2-20-35 148

B 43-7-26-8-3-36 82

Resultados

Custo Total: 1141

Resultados

Resultados

Tipo Rota Demanda

B 40-19-41-13-25-14-24-43 136

B 42-44-15-45-33-10-49-9-50-16

131

B 4-47-12-46-32-11-38-5-37-17 147

B 18-6-48-27-1-22-31-8 137

B 39-30-34-21-29-36-35-20 124

B 23-7-26-28-3-2 102

Custo Total: 1110

Resultados

Conclusão

O problema de roteamento de veículos além depossuir grande aplicabilidade no mundo real, possui uma grande complexidade para sua resolução computacional.