desenvolvimento e aplicaÇÃo do mÉtodo de newton …

MINISTÉRIO DA DEFESAEXÉRCITO BRASILEIRO

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIAINSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIASEÇÃO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

MARCELO ARAUJO FERREIRA ANDRADE

DESENVOLVIMENTO E APLICAÇÃO DO MÉTODO DENEWTON PARA SOLUÇÃO DE FLUXO DE CARGA EMSISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA - APLICAÇÃO DE

CONTROLES E LIMITES

Rio de Janeiro

2015

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

MARCELO ARAUJO FERREIRA ANDRADE

DESENVOLVIMENTO E APLICAÇÃO DO MÉTODO DENEWTON PARA SOLUÇÃO DE FLUXO DE CARGA EMSISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA - APLICAÇÃO DE

CONTROLES E LIMITES

Projeto de Final de Curso apresentado ao Curso de Gra-duação em Engenharia Elétrica do Instituto Militar de En-genharia.

Orientador: Eumir Vergara Salgado, M.Sc.

Rio de Janeiro

2015

c2015

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIAPraça General Tibúrcio, 80-Praia VermelhaRio de Janeiro-RJ CEP 22290-270

Este exemplar é de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poderá incluí-loem base de dados, armazenar em computador, microlmar ou adotar qualquer forma dearquivamento.

É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre bibliotecasdeste trabalho, sem modicação de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venha aser xado, para pesquisa acadêmica, comentários e citações, desde que sem nalidadecomercial e que seja feita a referência bibliográca completa.

Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do(s) autor(es) e do(s)orientador(es).

621.3 Andrade, Marcelo Araujo Ferreira

A553d Desenvolvimento e aplicação do método de Newton parasolução de uxo de carga em sistemas elétricos de potência -Aplicação de controles e limites / Marcelo Araujo Ferreira An-drade; orientado por Eumir Vergara Salgado - Rio de Janeiro:Instituto Militar de Engenharia, 2015.

79p.: il.

Projeto de Fim de Curso (PFC) - Instituto Militar de Enge-nharia - Rio de Janeiro, 2015.

1. Curso de Engenharia Elétrica - Projeto de Fim de Curso.2. Fluxo de carga. 3. Potência. I. Salgado, Eumir Vergara. II.Título. III. Instituto Militar de Engenharia.

2

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

LISTA DE SIGLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1 O problema do uxo de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Estrutura do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 Aspectos gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 O Sistema Interligado Nacional (SIN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 FLUXO DE CARGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Formulação básica do problema [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1 Modelagem dos elementos do sistema de potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1.1 Geradores e cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1.2 Linha de transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.1.3 Transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.2 Fluxos de potência ativa e reativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.3 Formulação matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Métodos de cálculo do uxo de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.1 Método de Gauss-Seidel [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.2 Método CC [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.3 Método de Newton [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.4 Método Desacoplado Rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.5 Comparativo dos métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 FLUXO DE CARGA PELO MÉTODO DE NEWTON . . . . . . . . . 33

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.1 Método iterativo de Newton-Raphson [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4

4.2.2 Fluxo de carga pelo método de Newton [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 Controles e limites [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3.1 Limites de injeção de potência reativa em barras PV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3.2 Limites de tensão em barras PQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 SIMULAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2 Estratégia do algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2.1 Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2.2 Implementação dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3 Simulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3.1 Simulação 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3.2 Simulação 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3.3 Simulação 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3.4 Simulação 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6 CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8 APÊNDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8.1 Apêndice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8.2 Apêndice B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5

LISTA DE FIGURAS

FIG.2.1 Sistema Elétrico de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

FIG.2.2 Sistema Interligado Nacional. [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

FIG.3.1 Exemplo de cálculo de uxo de carga na plataforma PowerWorld. . . . . . 18

FIG.3.2 Convenção de sinais adotada para injeção de corrente e uxo [6] . . . . . . . 21

FIG.3.3 Equivalente π de uma linha de transmissão [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

FIG.3.4 Representação geral de um transformador [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

FIG.3.5 Analogia entre a Lei de Ohm e o Fluxo de Carga CC [6] . . . . . . . . . . . . . . 29

FIG.4.1 Exemplo de um sistema elétrico de potência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

FIG.4.2 Fluxograma dos limites de injeção de reativos em barras PV . . . . . . . . . . 40

FIG.4.3 Fluxograma dos limites de tensão em barras PQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

FIG.5.1 Impedâncias das linhas de transmissão dos sistemas de 5 barras.

[21] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

FIG.5.2 Sistema de 5 barras para a simulação 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

FIG.5.3 Valores de entrada do sistema. (V , P e Q em p.u.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

FIG.5.4 Resultados da simulação 1. (V , P e Q em p.u., e fases θ em graus.) . . . . 46

FIG.5.5 Resultados da simulação 1. (PowerWorld) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

FIG.5.6 Sistema de 5 barras para a simulação 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47



FIG.5.9 Impedâncias das linhas de transmissão dos sistemas de 9 barras. . . . . . . . 49

FIG.5.10 Sistema de 9 barras para as simulações 3 e 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

FIG.5.11 Valores de entrada do sistema. (V , P e Q em p.u.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50





FIG.8.1 Sistema IEEE de 14 barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

FIG.8.2 Arquivo IEEE Common Data Fortmat para o sistema de 14 barras. . . . . 73

6

LISTA DE SIGLAS

ANEEL Agência Nacional de Energia Elétrica

MME Ministério de Minas e Energia

ONS Operador Nacional do Sistema Elétrico

SEP Sistema Elétrico de Potência

SIN Sistema Interligado Nacional

7

RESUMO

A composição de geração, transmissão, distribuição e consumo de energia elétrica ca-racteriza um Sistema Elétrico de Potência (SEP). Muitos estudos são desenvolvidos nessaárea para que se possa garantir os padrões de qualidade, conabilidade e continuidadede seus seviços. Entre as frentes de estudo existentes, se destaca o problema do uxo decarga.

O uxo de carga é um problema matemático que analisa um SEP em uma condiçãode regime estacionário. Sua solução permite determinar os valores de tensão e potênciaem cada um dos pontos do sistema em estudo.

Este trabalho propõe o desenvolvimento de uma ferramenta computacional para asolução do problema do uxo de carga de um sistema de tamanho qualquer. Para tal,será aplicado o método de Newton-Raphson na análise numérica, visando a incorporaçãode controles e limites nas barras do sistema. Os resultados do algoritmo serão validadospela realização de um comparativo com uma plataforma comercial usual.

8

ABSTRACT

The composition of generation, transmission, distribution and consumption of elec-trical energy characterizes an Electric Power System. Many studies are developed in thiseld in order to guarantee the standards of quality, reliability and continuity of its services.Among the forefront of the existing studies, there is the problem of load-ow.

The load-ow study is a mathematical problem that analyses a power system in asteady state condition. Its solution allows the determination of the voltage and powervalues in each point of the system in case.

This work proposes the development of a computational tool for the solution of theload-ow problem in a system of any size. For that, it will be applied the Newton-Raphsonmethod in the numerical analysis, aiming for the incorporation of controls and limits inthe system buses. The results of the algorithm will be validated by the comparison withan usual commercial software.

9

1 INTRODUÇÃO

Os SEPs (Sistemas Elétricos de Potência) são compostos por cada etapa da condução

de energia elétrica (geração, transmissão, distribuição e consumo). Tanto no âmbito

mundial como no nacional tem havido um rápido aumento da demanda de energia elétrica,

e tal aumento tem obrigado os sistemas a operarem nos limites de suas capacidades.

Paralelo a esse impasse, a tentativa de expansão enfrenta problemas de características

ambientais, sociais e crises nanceiras que reduzem os investimentos no setor. Assim,

um engenheiro eletricista que trabalha nessa indústria tem enfrentado problemas cada

vez mais desaadores ao projetar SEPs capazes de fornecer as crescentes demandas de

energia elétrica de maneira segura, limpa e econômica.

Para que um SEP opere normalmente, algumas caracteristicas devem ser observadas

no mesmo. Condições tais como o balanço geração-carga, a permanência das tensões

das barras próximas aos seus valores nominais e a operação dos geradores dentro dos

seus limites de potência ativa e reativa são necessárias para o funcionamento normal do

sistema. [2] Para investigar essas e outras condições de um SEP, analisa-se o sistema com

um estudo de uxo de carga.

1.1 O PROBLEMA DO FLUXO DE CARGA

O uxo de carga é um problema matemático que calcula a magnitude e o ângulo de

fase da tensão em cada barra de um sistema de potência trifásico balanceado em regime

estacionário, bem como seus valores de potência ativa e reativa. [2]

As equações básicas do uxo de carga são obtidas pela conservação das potências

ativa e reativa em cada barra do sistema, isto é, a potência líquida injetada deve ser

igual à soma das potências que uem pelos componentes internos que têm este nó como

um de seus terminais, o que equivale a aplicar a Lei das Correntes de Kircho. A Lei

das Tensões de Kircho é utilizada para expressar os uxos de potência nos componentes

internos (geradores, cargas, linhas de transmissão, transformadores, etc.) como funções

das tensões de seus nós terminais. [1]

Para a solução de um problema de uxo de carga, normalmente, requer-se a solução

de um grande sistema de equações não-lineares. Problemas desse tipo são usualmente

resolvidos por processos de linearização e métodos iterativos. Entre os métodos mais

10

usados estão os de Gauss-Seidel, modelo CC, Desacoplado Rápido e Newton-Raphson,

que será o método abordado por este trabalho.

A primeira formulação de uxo de carga apareceu do nal dos anos 1960 [7]. No

início dos anos 1970, um método desacoplado rápido foi introduzido [8] baseado no co-

nhecimento físico de acoplamento fraco entre potência ativa-magnitude de tensão (PV)

e potência reativa-ângulo de tensão (Qθ). Desde então, diferentes variações em formu-

laçoes e técnicas para resolução de uxo de carga foram apresentadas [9], [10], [11], [12].

Em 1990, Luo e Semylen [11] introduziram as potências ativa e reativa como variáveis de

uxo em vez das correntes complexas, simplicando assim o tratamento de barras PV e

reduzindo o esforço computacional pela metade. Em 2002, Exposito e Ramos [13] apre-

sentaram uma solução de uxo de potência usando um sistema ampliado com coordenadas

retangulares. Nesse sistema ampliado, as correntes de injeção nas barras são apresentadas

como variáveis adicionais. Uma comparação de uxo de carga com multiplicadores óti-

mos em coordenadas retangulares e polares foi exposta em 2005 [14]. Em 2008, DaCosta

e Rosa [15] compararam a convergência do método de Newton-Raphson em injeção de

corrente, coordenadas polares e coordenadas retangulares em sistemas bem comportados

e mal condicionados. Eles observaram que para o sistema de teste mal condicionado a

formulação em coordenadas polares pode falhar em convergir, mas em coordenadas re-

tangulares e na de injeção de corrente convergiram em todos os casos testados.

1.2 MOTIVAÇÃO

A motivação deste trabalho dá-se pela grande importância do estudo de uxo de carga

em um SEP. Tal estudo é utilizado nas fases de projeto, planejamento da expansão, plane-

jamento da operação e operação propriamente dita dos sistemas, podendo ser utilizados

apenas para análise da rede ou integrar estudos mais complexos, como os de otimização,

estabilidade, controle e supervisão [16].

Além dos motivos acima, o estudo de uxo de carga proporciona um rico interface com

diferentes áreas da engenharia elétrica, como máquinas elétricas, distribuição de energia

elétrica e transmissão de energia elétrica.

Há ainda uma motivação pessoal do autor, dado que este teve a oportunidade de apren-

der e pesquisar sobre o assunto deste trabalho nos Estados Unidos da América, enquanto

foi bolsista do programa Ciência Sem Fronteiras do Governo Federal na Universidade de

Minnesota, situada na cidade de Minneapolis, e na Universidade Northeastern, localizada

em Boston.

11

1.3 OBJETIVOS

O objetivo do presente trabalho é desenvolver um código computacional na linguagem

de programação MATLAB para a solução do uxo de carga em SEPs de tamanho qualquer

pelo método de Newton, visando a incorporação de limites de injeção de potência reativa

em barras do tipo PV e limites de tensão em barras do tipo PQ. Pretende-se validar o

algoritmo por meio da aplicação em sistemas de até treze barras e realizar um comparativo

com a plataforma comercial PowerWorld.

1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO

O conteúdo do presente trabalho está organizado em 7 capítulos, incluindo este capí-

tulo de introdução, além de 2 apêndices, que serão resumidamente descritos a seguir.

No capítulo 2 será caracterizada a estrutura de um SEP. São abordados seus aspectos

gerais, suas principais características de funcionamento e, ao m, é caracterizado o Sistema

Interligado Nacional (SIN).

O capítulo 3 apresenta uma abordagem sobre o problema do uxo de carga. Após

uma breve introdução onde são citadas sua principais aplicações, é feito uma formulação

completa do problema matemático, constando a modelagem de cada elemento do sistema.

A seguir são expostos os métodos mais utilizados para resolução do problema, e, ao m,

é feito um comparativo entre eles.

No capítulo 4 apresenta-se um desenvolvimento do uxo de carga pelo método de

Newton. É feita uma abordagem detalhada do passo a passo do método iterativo de

Newton-Raphson, e como ele se aplica ao problema do uxo de carga. No nal é discorrido

sobre os controle e limites implementados ao método.

O capítulo 5 expõe as simulações realizadas com o código elaborado neste trabalho. É

detalhada a estratégia de confecção do código, bem como da implementação dos limites.

Ao nal, são mostrados os resultados de todas as simulações, sendo feita a validação dos

mesmos.

No capítulo 6 são feitas as conclusões e considerações nais do trabalho.

O apêndice A apresenta o código MATLAB da ferramenta desenvolvida.

O apêndice B caracteriza o formato de entrada dos dados IEEE Common Data For-

mat.

12

2 SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA

De maneira genérica, pode-se denir um Sistema Elétrico de Potência (SEP), repre-

sentado de forma simplicada pelo esquema da Figura 4.1, como um sistema que engloba

todo o caminho percorrido pela energia elétrica, desde que é gerada até chegar ao consu-

midor. Assim, de forma mais precisa, diz-se que um SEP é uma conjunto de equipamentos

que operam de maneira coordenada compondo três grandes blocos: geração, transmissão

e distribuição de energia elétrica.

FIG. 2.1: Sistema Elétrico de Potência

Os SEPs têm como função principal fornecer energia elétrica aos usuários, grandes ou

pequenos, com a qualidade adequada, no instante em que for solicitada, sendo, portanto,

necessárias as seguintes características:

Continuidade: energia elétrica sempre disponível ao consumidor.

Conformidade: fornecimento de energia deve obedecer a padrões.

Flexibilidade: adaptação às mudanças contínuas de topologia.

Segurança: fornecimento de energia elétrica não deve causar riscos aos consumidores.

Manutenção: o sistema deve voltar à operação o mais rápido possível em caso de

contingências no sistema.

2.1 ASPECTOS GERAIS

A estrutura genérica de um sistema de energia elétrica é formada por geradores,

transformadores elevadores e abaixadores, linhas de transmissão e alimentadores de dis-

13

tribuição.

Na etapa da geração, os geradores transformam energia mecânica em energia elétrica e

injetam potência elétrica gerada na rede de transmissão. A energia mecânica é fornecida,

principalmente, por turbinas hidráulicas ou a vapor, que pode ter diversas origens como

carvão, gás, nuclear, óleo, bagaço de cana, entre outras. Há ainda fontes alternativas

como a eólica e a solar, que vêm crescendo nos últimos anos e se tornando, cada vez mais,

relevantes na matriz elétrica de muitos países.

Na transmissão, de modo a minimizar as perdas, utiliza-se tensões elevadas (345kV,

500kV, 750kV). Os geradores operam com tensões na faixa de 10kV a 30kV, pois devido a

limitações físicas e de isolamento elétrico não podem operar em níveis elevados de tensão.

Assim, geradores que estão afastados dos centros de carga injetam sua potência gerada na

rede através de transformadores elevadores que têm por nalidade transformar a potência

gerada dos níveis de tensão de geração para os níveis de tensão de transmissão, com a

conseqüente redução dos níveis de corrente e, portanto, das perdas de transmissão (perdas

ôhmicas) [17].

Por razões práticas, a potência entregue aos centros de carga não pode, em geral,

ser consumida nos níveis de tensão em que é feita a transmissão. Portanto, na fase de

distribuição da energia elétrica, transformadores abaixadores são utilizados para reduzir

os níveis de tensão. Isso acarreta um aumento correspondente dos níveis de corrente (e

perdas), mas isto normalmente é aceitável, pois ocorre já nas proximidades das cargas

[18]. No Brasil, a distribuição é feita a níveis médios entre 13,2 kV e 24 kV (subterrâneo)

e níveis baixos de 220 V e 380 V [19].

2.2 O SISTEMA INTERLIGADO NACIONAL (SIN)

O sistema de transmissão tem o papel de levar a energia gerada nas usinas até os centros

de carga e também de fornecer as interligações e intercâmbios de energia entre as áreas

do sistema de maneira eciente e segura. O Brasil é um país de dimensões continentais

e com base energética predominantemente hidráulica [20]. A interligação do sistema

permite, por exemplo, que a energia de uma usina mais longe com reservatório mais cheio

seja consumida, enquanto a usina mais perto com reservatório baixo poupe energia para

manter o nível do seu reservatório maior, mantendo a continuidade no fornecimento de

energia.

O Sistema Interligado Nacional (SIN), mostrado na Figura 2.2, é formado pelas em-

presas das regiões Sul, Sudeste, Centro-Oeste, Nordeste e parte da região Norte. Apenas

14

1,7 % da capacidade de produção de eletricidade do país encontra-se fora do SIN, em

pequenos sistemas isolados localizados principalmente na região amazônica [4].

FIG. 2.2: Sistema Interligado Nacional. [4]

O Operador Nacional do Sistema Elétrico (ONS) é uma instituição de direito privado,

sem ns lucrativos, responsável pela coordenação e controle da operação das instalações de

geração e transmissão de energia elétrica no SIN, sob a scalização e regulação da Agência

Nacional de Energia Elétrica (ANEEL). Constituem o Operador, membros associados e

participantes. Os membros associados são: agentes de geração com usinas despachadas,

agentes de transmissão, agente de distribuição, agentes importadores e exportadores e

consumidores livres com ativos conectados a Rede Básica. Enquanto os membros partic-

ipantes são: a Poder Concedente por meio do Ministério de Minas e Energia (MME), os

Conselhos de Consumidores, geradores não despachados e pequenos distribuidores [4].

Sendo o operador que controla o sistema elétrico de quase a totalidade do país, o ONS

pode ser considerado o principal "cliente" dos estudos de uxo de carga. Seu bom fun-

cionamento traz grande benefícios para todo o país, pois a energia elétrica é insumo base

15

para a grande maioria da atividades prossionais. A operação normal do ONS contribui

para a ampliação do serviço de eletricidade, alavancando recursos para investimentos pelas

empresas e contribui para a redução do custo Brasil aumentando a competitividade em

todas as atividades econômicas em que a energia elétrica seja insumo relevante [4].

16

3 FLUXO DE CARGA

Como já abordado anteriormente, para o funcionamento normal de um SEP, algumas

características como continuidade e qualidade na transmissão da energia elétrica devem

ser atendidas, pois existem requisitos de operação nos equipamentos elétricos e padrões

funcionais no abastecimento de energia. Portanto, todo SEP deve ser planejado de forma

a atender tais critérios que referem-se a valores máximos e mínimos de tensão nos pontos

de entrega, excursão máxima de frequência em torno do valor nominal, carregamento

máximo dos componentes do sistema, entre outros [5].

Na busca por tal normalidade de operação, alguns estudos são feitos nos SEPs, dentre

os quais se destacam o cálculo de curto-circuito, análises harmônicas e o cálculo de uxo

de carga, que será abordado neste trabalho.

3.1 INTRODUÇÃO

O uxo de carga é o mais frequente estudo feito nos SEPs. Ele consiste em um

problema que tem como solução o estado em regime estacionário da rede elétrica para um

determinado ponto de operação do sistema, isto é, para uma dada condição de carga e

geração, sujeitas a restrições operativas e à ação de dispositivos de controle. Esse estudo é

uma amplamente utilizado pelos agentes do setor elétrico e também pelo ONS, pois serve

como base para os mais diversos tipos de estudos, a saber: estabilidade eletromecânica

do sistema, análise de curto-circuito, análise de contingência e de conabilidade [6].

De forma quantitativa, diz-se que a análise do uxo de carga em uma rede de ener-

gia elétrica consiste em calcular, principalmente, os uxos de potências ativa e reativa

(magnitude e sentido) e as tensões nas barras (módulo e ângulo). Tal cálculo é, em geral,

realizado utilizando-se métodos computacionais desenvolvidos especicamente para a re-

solução do sistema de equações e inequações algébricas que constituem o modelo estático

da rede [1].

Na Figura 3.1 está disposto um exemplo de uma simulação de uxo de carga para

análise de um SEP.

17

FIG. 3.1: Exemplo de cálculo de uxo de carga na plataforma PowerWorld.

Os componentes básicos de um sistema elétrico de potência são geradores, transfor-

madores, elementos shunt, linhas de transmissão e as cargas. Para a realização do estudo,

utiliza-se uma modelagem para o sistema onde as subestações são representadas através

de barras (ou nós). Já as linhas de transmissão e transformadores que ligam as barras são

chamados de ramos [6]. Assim, de maneira a estruturar o raciocínio, diz-se que os compo-

nentes básicos de um sistema elétrico de potência podem ser classicados em dois grupos:

os que são ligados entre dois nós quaisquer da rede, são esses: linhas de transmissão,

transformadores e defasadores, e ainda o grupo dos componentes que são ligados entre

um nó qualquer da rede e o nó terra, caso dos geradores, cargas, reatores e capacitores

[1].

Entre as principais aplicações do estudo de uxo de carga, pode-se citar [5]:

Simulação de SEPs considerando diferentes despachos das usinas geradoras de ener-

gia elétrica, de modo a se prever quais as condições operacionais decorrentes desses

despachos;

Simulação de SEPs operando sob condições anormais decorrentes da saída de op-

eração de equipamentos como linhas de transmissão, transformadores e unidades

geradoras;

18

Planejamento de expansão de SEPs. O uxo de carga atua como ferramenta de

auxilio na tomada de decisões para construção de novas unidades geradoras, linhas

de transmissão e subestações.

3.2 FORMULAÇÃO BÁSICA DO PROBLEMA [1]

O problema do uxo de carga é formulado por um sistema de equações e inequações

algébricas não-lineares. Tal modelo matemático é obtido pela aplicação do princípio da

conservação de potência ativa e reativa em cada barra (nó) da rede. Ou seja, a injeção

de potência líquida em cada barra é igual ao somatório das potências que uem nos

componentes que tem esse nó como um de seus terminais, semelhantemente à Lei de

Kircho das Correntes.

A formulação matemática do problema de uxo de potência estabelece que para cada

barra da rede são associadas quatro variáveis, a saber:

Vk : magnitude da tensão na barra k

θk : Ângulo da tensão na barra k

Pk : injeção líquida de potência ativa na barra k

Qk : injeção líquida de potência reativa na barra k

Duas dessas variáveis entram no problema como dados de entrada e duas entram no

problema como incógnitas a serem resolvidas dependendo do tipo da barra. Do ponto de

vista de modelagem, dene-se três tipo de barras:

Barras PV: São barras de tensão controlada nas quais são conectadas geradores e/ou

compensadores síncronos. Nessas barras são considerados dados de entrada Pk e Vk

e são calculados Qk e θk.

Barras PQ: São barras de carga do sistema onde não há controle de tensão. Elas,

normalmente, compõem a maioria do sistema. Nessas barras são considerados dados

de entrada Pk e Qk e são calculados Vk e θk.

Barra Vθ (swing ou slack): É a barra de referência do sistema. Essa barra fornece a

referência angular e é utilizada para fechar o balanço de potência do sistema, levando

em conta as perdas de transmissão não conhecidas antes de se ter a solução nal do

problema. Usualmente existe apenas uma barra desse tipo no sistema. Nessa barra

são considerados dados de entrada Vk e θk e são calculados Pk e Qk.

19

Em algumas situações particulares, como, por exemplo, o controle de intercâmbio de

uma área e o controle da magnitude da tensão de uma barra. aparecem ainda outros tipos

de barras (PQV, P e V). Esse tipos de barras não são considerados na formulação básica

do problema, mas serão incluídos no processo de resolução quando for estudada com mais

detalhes no Capítulo 4.

O conjunto de equações do problema é formado por duas equações para cada barra.

Cada equação representa as potências ativas e reativas injetadas em uma barra. Tais

potências são iguais à soma dos uxos correspondentes que deixam a barra por linhas de

transmissão, transformadores, etc. Isso é semelhante à Lei de Kircho das Correntes e

pode ser expresso matematicamente como se segue:

Pk =∑m∈Ωk

Pkm(Vk, Vm, θk, θm) (3.1)

Qk +Qshk (Vk) =

∑m∈Ωk

Qkm(Vk, Vm, θk, θm) (3.2)

onde:

k = 1, 2, ..., NB, sendo NB o número de barras da rede

Ωk : conjunto de barras vizinhas à barra k

Vk, Vm : magnitudes das tensões das barras terminais do ramo k −mθk, θm : ângulos das tensões das barras terminais do ramo k −mPkm : uxo de potência ativa no ramo k −mQkm : uxo de potência reativa no ramo k −mQshk : componente da injeção de potência reativa devida ao elemento shunt da barra k

Para a dedução do problema, é adotada a seguinte convenção de sinais: nas barras,

as injeções líquidas de potência são positivas ao entrarem, correspondendo a geração, e

são negativas ao saírem, correspondendo a carga. Já os uxos de potência são positivos

ao saírem da barra e negativos ao entrarem. O mesma convenção é adotada para os

elementos shunt. A Figura 3.2 ajuda a ilustrar esse conceito:

20

FIG. 3.2: Convenção de sinais adotada para injeção de corrente e uxo [6]

onde:

Ik : injeção positiva de corrente na barra k devido à geração

Ishk : injeção positiva de corrente na barra k devido ao elemento shunt ligado à barra

Ikm : corrente que ui através do ramo k −m, possuindo sentido positivo ao sair da

barra k

bshk : susceptância shunt ligada à barra k

De modo a estruturar o problema a m de resolvê-lo, faz-se necessária a modelagem

de cada elemento do sistema.

3.2.1 MODELAGEM DOS ELEMENTOS DO SISTEMA DE POTÊNCIA

3.2.1.1 GERADORES E CARGAS

Considerando-se um estudo em regime permanente de uxo de carga, geradores e car-

gas são considerados como elementos de potência constante. Para os geradores, especica-

se a potência ativa e sua tensão, sendo a potência reativa calculada para estabelecer o

nível de tensão especicado. Já para as cargas especicam-se as potências ativa e reativa,

sendo calculados nos níveis de tensão e fase da respectiva barra.

21

3.2.1.2 LINHA DE TRANSMISSÃO

As linhas de transmissão no estudo de uxo de carga em regime permanente são

representadas através do modelo π. A Figura 3.3 retrata o modelo equivalente π de

linha de transmissão utilizado na formulação matemática do problema possuindo uma

impedância série e uma admitância ligada ao solo:

FIG. 3.3: Equivalente π de uma linha de transmissão [5]

onde:

Ek, Em : tensões complexas das barras terminais do ramo k −mzkm : impedância série do ramo k −m em Ω (ohms)

rkm : resistência série do ramo k −m em Ω (ohms)

xkm : reatância série do ramo k −m em Ω (ohms)

Nesse contexto, para facilitar o algebrismo, faz-se:

ykm = 1/zkm = gkm + jbkm (3.3)

onde:

ykm : admitância série do ramo k −m em S (siemens)

gkm : condutância série do ramo k −m em S (siemens)

bkm : susceptância série do ramo k −m em S (siemens)

De modo que é possível chegar às seguintes relações:

gkm =rkm

r2km + x2

km

(3.4)

bkm = − xkmr2km + x2

km

(3.5)

22

3.2.1.3 TRANSFORMADOR

Podemos representar, de forma geral, um transformador (em fase e defasador) como

na Figura 3.4, que consiste basicamente de uma admitância série ykm e um auto-

transformador ideal com relação de transformação 1 : t. Para o transformador em fase t

é um número real (t = a) e, para o defasador, t é um número complexo (t = aejφ). Para

este trabalho, não foram usados transformadores defasadores, portanto usa-se φ = 0.

FIG. 3.4: Representação geral de um transformador [5]

3.2.2 FLUXOS DE POTÊNCIA ATIVA E REATIVA

Dando prosseguimento à estruturação do problema, busca-se as expressões das potên-

cias ativas e reativas que uem nos ramos do sistema.

Em linhas de transmissão simples, para chegar nas expressões dos uxos de potência,

faz-se:

Ikm = ykm(Ek − Em) + jbshkmEk (3.6)

S∗km = Pkm − jQkm (3.7)

S∗km = E∗kIkm (3.8)

Substituindo (3.6) em (3.8) e fazendo alguma manipulação algébrica, tem-se:

S∗km = ykmVke−jθk(Vke

jθk − Vmejθm) + jbshkmV2k (3.9)

Usando a relação de Euler (ejθ = cos θ+j sin θ) e separando as partes real e imaginária,

tem-se que os uxos Pkm e Qkm são dados por:

Pkm = V 2k gkm − VkVmgkm cos θkm − VkVmbkm sin θkm (3.10)

23

Qkm = −V 2k (bkm + bshkm) + VkVmbkm cos θkm − VkVmgkm sin θkm (3.11)

Na presença de um transformador, sabe-se que as correntes que uem no ramo para

os casos em fase e defasador são dadas, respectivamente, por:

Ikm = aykm(aEk − Em) (3.12)

Ikm = ykm(Ek − e−jφkmEm) (3.13)

Assim, pode-se chegar às seguintes expressões gerais para os uxos:

Pkm = (aVk)2gkm − (aVk)Vmgkm cos (θkm + φkm) +

−(aVk)Vmbkm sin (θkm + φkm) (3.14)

Qkm = −(aVk)2(bkm + bshkm) + (aVk)Vmbkm cos (θkm + φkm) +

−(aVk)Vmgkm sin (θkm + φkm) (3.15)

Para linhas de transmissão, a = 1 e φkm = 0. Para transformadores em fase, bshkm = 0

e φkm = 0. Para os transformadores defasadores puros, bshkm = 0 e a = 1. Finalmente,

para os defasadores, bshkm = 0.

3.2.3 FORMULAÇÃO MATRICIAL

Para sistemas grandes, que são os encontrados nas situações cotidianas, é de muita

utilidade uma formulação matricial do problema de modo a facilitar as manipulações

algébricas e aplicar de maneira ecaz os diversos modos de resolução.

A injeção líquida de corrente na barra k, encontrada aplicando a Lei de Kircho das

Correntes à situação geral representada na Figura 3.3, é dada por:

Ik + Ishk =∑m∈Ωk

Ikm , k = 1, 2, ..., NB (3.16)

A partir do valor de Ikm encontrado em (3.13), a expressão de Ik pode ser reescrita

como:

Ik = [jbshk +∑m∈Ωk

(jbshkm + a2ykm)]Ek +∑m∈Ωk

(−aejφkmykm)Em (3.17)

24

A m de representar todas as injeções líquidas de corrente do sistema, tal expressão,

para k = 1, 2, ..., NB, pode ser posta na forma matricial:I1

I2

...

INB

=

Y11 Y12 · · · Y1NB

Y21 Y22 · · · Y2NB

......

. . ....

YNB1 YNB2 · · · YNBNB

E1

E2

...

ENB

(3.18)

O que equivale a:

I = YE (3.19)

onde:

I : vetor das injeções líquidas de corrente nas barras, de componentes Ik

(k = 1, 2, ..., NB)

Y = G + jB : matriz de admitância nodal, também conhecida como matriz YBARRA

E : vetor de tensões das barras, de componentes Ek = Vkejθk (k = 1, 2, ..., NB)

Os elementos da matriz de admitância nodal Y são dados por:

Ykm = −ae−jφkmykm (3.20)

Ykk = jbshk +∑m∈Ωk

(jbshkm + a2ykm) (3.21)

Geralmente, a matriz Y é esparsa, i.e., possui grande parte dos seus elementos nulos,

pois Ykm será nulo quando não existirem linhas de transmissão ou transformadores no

ramo k −m. Se a rede for formada de linhas de transmissão e transformadores em fase,

a matriz Y será simétrica. A presença de defasadores torna a matriz assimétrica, pois

nesse caso, Ykm = −e−jφkmykm e Ymk = −ejφkmykm.A injeção de corrente Ik, que é a k-ésima componente do vetor I, pode ser colocada

na forma:

Ik = YkkEk +∑m∈Ωk

YkmEk =∑m∈K

YkmEm (3.22)

onde:

K : conjunto formado pelos elementos do conjunto Ωk (barras adjacentes à barra k)

mais a própria barra k

25

Assim, a equação (3.22) pode ser reescrita da seguinte maneira:

Ik =∑m∈K

(Gkm + jBkm)(Vmejθm) (3.23)

Substituindo (3.23) em (3.8) e considerando que E∗k = Vke−jθk , obtém-se:

S∗k = Vke−jθk

∑m∈K

(Gkm + jBkm)(Vmejθm) (3.24)

Usando a expressão (3.7) e separando as partes real e imaginária, chega-se às expressões

gerais das injeções de potência ativa e reativa para uma barra k. Tais expressões formam

um sistema de equações não-lineares que serve como base para a resolução do problema

de uxo de carga:

Pk = Vk∑m∈K

Vm(Gkm cos θkm +Bkm sin θkm) (3.25)

Qk = Vk∑m∈K

Vm(Gkm sin θkm −Bkm cos θkm) (3.26)

onde:

θkm = θk − θm

Para se ter ideia do esforço computacional a ser realizado a m de resolver tal sistema,

vê-se que, sendo NPV o número de barras PV (tensão controlada) do sistema em questão

e NPQ o número de barras PQ (carga), o número total de equações a serem solucionadas é

NPV + 2NPQ. Se tomarmos o exemplo do SIN, estimando-se que ele possui cerca de 5603

barras, sendo uma de referência, 542 barras PV e 5060 barras PQ, o número de equações

a serem resolvidas seria 542 + 2× 5060 = 10.662 [6].

A seguir, será apresentado os métodos mais comuns para a resolução do problema do

uxo de carga.

3.3 MÉTODOS DE CÁLCULO DO FLUXO DE CARGA

3.3.1 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL [2]

O método de Gauss-Siedel é um método iterativo que resolve um sistema de equações

do tipo y = Ax, o qual é análogo ao sistema de equações do problema do uxo de carga,

I = YE.

26

Na resolução, inicialmente, arbitra-se um valor inicial x(0). Então, faz-se:

x(i+ 1) = g[x(i)] , i = 0, 1, 2, ... (3.27)

onde:

x(i) : i-ésima iteração

g : vetor de tamanho N de funções que especicam o método de iteração

O procedimento de iteração continua até que as seguintes condições de parada sejam

satisfeitas: ∣∣∣∣xk(i+ 1)− xk(i)xk(i)

∣∣∣∣ < ε , para todo k = 1, 2, ..., N (3.28)

onde:

xk(i) : k-ésimo componente de x(i)

ε : nível de tolerância especicado

O método prossegue considerando a k-ésima equação do sistema y = Ax, como:

yk = Ak1x1 + Ak2x2 + · · ·+ Akkxk + · · ·+ AkNxN (3.29)

Resolvendo para xk, tem-se:

xk =1

Akk[yk − (Ak1x1 + · · ·+ Ak,k−1xk−1 + Ak,k+1xk+1 + · · ·+ AkNxN)]

=1

Akk[yk −

k−1∑n=1

Aknxn −N∑

n=k+1

Aknxn] (3.30)

O método de Gauss-Seidel usa os valores "antigos" de x(i) na iteração i ao lado direito

de (3.30) para gerar o "novo" valor xk(i+ 1) à esquerda da equação. Assim, tem-se:

xk(i+ 1) =1

Akk

[yk −

k−1∑n=1

Aknxn(i)−N∑

n=k+1

Aknxn(i)

], k = 1, 2, ..., N (3.31)

No caso do problema do uxo de carga, os dados consistem de Pk e Qk para barras PQ

e Pk e Vk para barras PV, as equações nodais não se encaixam perfeitamente no formato

27

de equação linear. A vetor das correntes I é desconhecido e as equações são não-lineares.

Assim, a partir do valor de Ik de (3.7), tem-se:

Ek(i+ 1) =1

Ykk

[Pk − jQk

V ∗k (i)−

k−1∑n=1

YknEn(i)−N∑

n=k+1

YknEn(i)

](3.32)

Devido a sua simplicidade, o método de Gauss-Seidel é bastante utilizado no meio

acadêmico, principalmente em estudos voltados para sistemas de distribuição [21]. Algu-

mas de suas vantagens são a baixa sensibilidade à inicialização e o não requerimento da

inversão de matrizes, entretanto, sua convergência é lenta quando comparada aos outros

métodos, e o aumento do tamanho da rede resulta no crescimento do número de iterações.

Desse modo, várias técnicas foram desenvolvidas para melhorar a convergência do método

de Gauss [22].

3.3.2 MÉTODO CC [1]

O uxo de carga CC, também conhecido como uxo de carga linearizado, é um método

baseado no acoplamento entre as variáveis P e θ (potência ativa e fase de tensão). Tal

método analisa somente o uxo de potência ativa na rede, não levando em conta as

magnitudes das tensões nodais (considera-se todas iguais a 1, 0 p.u.), o uxo de potência

reativa e o tap de transformadores.

A partir da equação (3.10), considerando Vk = Vm = 1, 0 p.u., sin θkm = θkm e de-

sprezando as perdas do sistema (rkm = 0), obtem-se a seguinte relação:

Pkm =θkmxkm

= −bkmθkm (3.33)

Assim, vê-se que o uxo de potência ativa é proporcional à diferença angular entre as

barras. A Figura 3.5 faz uma analogia entre a equação II e a Lei de Ohm, indicando o

porquê de tal método ser chamado CC.

28

FIG. 3.5: Analogia entre a Lei de Ohm e o Fluxo de Carga CC [6]

Sabendo que Pk =∑

m∈ΩkPkm é possível chegar à seguinte formulação matricial:

P = BΘ (3.34)

onde:

P : vetor das injeções líquidas de potência ativa nas barras

B : matriz das susceptâncias dos ramos do sistema; os compenentes da matriz são dados

por Bkm = − 1xkm

e Bkk =∑

m∈Ωk

1xkm

Θ : vetor das fases das tensões nas barras

Desse modo, adotando-se uma barra de referência angular (θk = 0), tem-se um sistema

linear de fácil resolução.

Caso se quisesse considerar as perdas do sistema, a equação (3.34) passaria a ter a

seguinte forma:

P+Perdas = BΘ (3.35)

onde:

Perdas : vetor das perdas do sistema, tendo como componentes∑

m∈Ωkgkmθ

2km

Esse método, em relação aos demais, requer menor esforço computacional e retorna

uma solução de precisão aceitável para quão mais elevado for o nível de tensão anali-

sado [1], sendo muito útil para estimativas iniciais no planejamento de expansão da rede,

classicação de cenários de operação, violações de limites operacionais e em estudos da

operação propriamente dita [6].

29

3.3.3 MÉTODO DE NEWTON [3]

Outro método tradicionalmente empregado na solução de uxo de carga é o método

Newton, também chamado de Newton-Raphson. A formulação típica baseia-se na rep-

resentação da rede pela matriz de admitância nodal (YBARRA) e equações de injeção

de potências. Assim como o método de Gauss-Seidel, o método de Newton também é

iterativo e é baseado na resolução do sistema de equações não-lineares pelo algoritmo de

Newton-Raphson. Na equação (3.36) é apresentada a modelagem do problema:

[∆P

∆Q

]=

[H N

M L

][∆Θ

∆V

](3.36)

onde:

∆P : vetor de diferenças de injeção de potência ativa nas barras

∆Q : vetor de diferenças de injeção de potência reativa nas barras

∆Θ : variação das fases de tensão entre duas iterações consecutivas

∆V : variação das magnitudes de tensão entre duas iterações consecutivas

H =[∂P∂θ

], N =

[∂P∂V

], M =

[∂Q∂θ

]e L =

[∂Q∂V

]O método de Newton foi o escolhido na confecção deste trabalho e será abordado com

mais detalhes no capítulo 4.

O método de Newton e suas derivações são os mais utilizados para a realização do cál-

culo de uxo de carga, tanto no meio acadêmico, quanto nas indústrias e concessionárias,

pois se trata de um método robusto, que pode ser aplicado em estudos de redes de pe-

queno e grande porte, tanto da transmissão como da distribuição [23], [24]. Algumas

de suas vantagens são que o número de iterações praticamente independe do número de

barras do sistema e o tempo de solução é pequeno quando comparado com o método de

Gauss-Seidel. Por outro lado, dependendo do tamanha no sistema, há uma necessidade

de memória considerável para armazenar as matrizes de admitância nodal e a jacobiana.

Antigamente, tais desvantagens eram mais consideráveis, porém, com o avanço dos com-

putadores, esses problemas praticamente tornaram-se obsoletos [3].

3.3.4 MÉTODO DESACOPLADO RÁPIDO

O método Desacoplado Rápido baseia-se no desacoplamento Pθ − QV , ou seja,

considera-se o fato de as sensibilidades ∂P/∂θ e ∂Q/∂V serem mais intensas que as sen-

sibilidades ∂P/∂V e ∂Q/∂θ. Esse tipo de relação é vericado para redes de transmissão

em extra-alta tensão (EAT: > 230kV ) e ulta-alta tensão (UAT: > 750kV ) [1].

30

Tal método é uma modicação do método de Newton onde não há necessidade do

cálculo de uma nova matriz Jacobiana a cada iteração. Com o desacoplamento, a equação

(3.36) se torna em duas equações separadas:

[∆P] = [H] [∆Θ] (3.37)

[∆Q] = [L] [∆V / V] (3.38)

As simplicações acima podem resultar em soluções rápidas do problema de uxo de

carga para a maioria dos sistemas. Apesar do método Desacoplado Rápido normalmente

levar mais iterações para convergir, ele é signicantemente mais rápido que o método

de Newton, pelo fato da não necessidade do cálculo da Jacobiana a cada iteração, como

citado acima. Entretanto, em alguma situações em que apenas uma solução aproximada

para o uxo de carga é requerida, o método Desacoplado Rápido pode ser usado com um

número de iteraçõs pré-xado (normalmente um) para ter-se uma solução aproximada

extremamente rápida [2].

3.3.5 COMPARATIVO DOS MÉTODOS

A m de fazer a escolha do método para a resolução do problema de uxo de carga,

algumas caracterísitcas como versatilidade, velocidade de convergência e necessidade de

memória e processamento de dados devem ser observadas.

Os programas de uxo de carga com base em admitâncias que não usam a matriz Jaco-

biana completa, podem não apresentar uma solução para condições incomuns do sistema,

como acontece quando a impedância do circuito entre duas barras é muito pequena, zero

ou negativa. O método de Newton-Raphson pode tratar de tais situações sem diculdade

[5].

Quanto à velocidade de convergência, os métodos CC e Desacoplado Rápido, devido à

maior simplicidade dos seus algoritmos, normalmente possibilitam soluções mais rápidas

que os de Gauss-Seidel e Newton, entretanto pecam na precisão dos resultados. O mesmo

pode ser dito quanto à necessidade de memória, sendo o método de Newton o mais custoso

nesse aspecto, pois necessita de espaço para armazenagem da matriz Jaboniana a cada

iteração.

O método de Newton foi escolhido por ser o mais completo quando consideradas as ca-

racterísticas acima e por ter-se à disposição computadores com memória e processamento

31

sucientes para os exemplos a serem trabalhados.

32

4 FLUXO DE CARGA PELO MÉTODO DE NEWTON

4.1 INTRODUÇÃO

O uso do método de Newton na resolução do problema do uxo de carga surgiu quando

os sistemas elétricos cresceram de tamanho e complexidade e foi-se, então, necessária a

busca por técnicas mais ecientes. A primeira formulação do problema usando o método

de Newton surgiu na década de 1960 [7].

Nesse método o sistema de equações não lineares que constitui o Fluxo de Carga

é linearizado mediante expansão em série de Taylor a partir de uma estimativa inicial

para as variáveis, aproveitando-se apenas os termos da série até a derivada primeira.

Como o sistema linear assim obtido é uma aproximação do sistema não linear original,

são necessárias sucessivas iterações até que se obtenha a solução do sistema original não

linear [5].

No princípio de sua utilização, o método de Newton não parecia ser muito vantajoso

quando comparado com o método de Gauss-Seidel, porém a deciência do método estava

nos problemas numéricos relativos a sua implementação. As grandes deciências então

existentes relacionavam-se com a diculdade de se resolver ecientemente grandes sistemas

lineares esparsos. Foi somente depois do aproveitamento de técnicas de esparsidade que

o método de Newton foi reconhecido como eciente e capaz de substituir inteiramente o

método de Gauss-Seidel [5]. No método de Newton, o número de iterações para se chegar

à solução é geralmente pequeno e independente do tamanho do sistema em estudo.

Neste capítulo, abordar-se-á, com detalhes, o método de Newton para a resolução do

problema do uxo de carga. Ao nal do mesmo, serão caracterizados os controles e limites

que serão representados no algoritmo a ser confeccionado no presente trabalho.

4.2 MÉTODO DE NEWTON

OMétodo de Newton para resolução do problema do uxo de carga é uma aplicação do

método iterativo de Newton-Raphson no sistema de equações não-lineares que compõem

o problema.

33

4.2.1 MÉTODO ITERATIVO DE NEWTON-RAPHSON [2]

Para um dado sistema de N equações não-lineares y = f(x), o método de Newton-

Raphson baseia-se na expansão da série de Taylor em torno de um ponto de operação x0

da seguinte maneira:

y = f(x0) +df

dx

∣∣∣x=x0

(x− x0) + ... (4.1)

Desprezando os termos de ordem mais alta e resolvendo para x, tem-se:

x = x0 +

[df

dx

∣∣∣∣x=x0

]−1

[y − f(x0)] (4.2)

O método de Newton-Raphson substitui x0 pelo valor antigo x(i) e x pelo valor novo

x(i+ 1) na equação anterior, onde i representa a i-ésima iteração. Assim, tem-se:

x(i+ 1) = x(i) + J−1y − f [x] (4.3)

onde

J(i) =df

dx

∣∣∣∣x=x(i)

=

∂f1∂x1

∂f1∂x2

· · · ∂f1∂xN

∂f2∂x1

∂f2∂x2

· · · ∂f2∂xN

......

. . ....

∂fN∂x1

∂fN∂x2

· · · ∂fN∂xN

x=x(i)

(4.4)

A matriz N×N J(i), cujos elementos são as derivadas parciais mostradas em (4.4) é

chamada de matriz Jacobiana.

Semelhantemente ao método de Gauss-Siedel (3.3.1), o processo iterativo continua até

que haja convergência, i.e.: ∣∣∣∣x(i+ 1)− x(i)

x(i)

∣∣∣∣ < ε (4.5)

onde:

ε : nível de tolerância especicado

4.2.2 FLUXO DE CARGA PELO MÉTODO DE NEWTON [1]

De modo geral, o problema do uxo de carga pelo método de Newton pode ser de-

composto em dois subsistemas de equações algébricas, conforme a topologia do sistema.

Como já visto anteriormente, os três principais tipos de barras presentes em um sistema

34

de potência são PQ, onde se tem valores especicados de P e Q, barras PV , onde se

tem P e V , e uma barra swing V θ, onde os valores de V e θ já são pré-estabelecidos

(referência).

FIG. 4.1: Exemplo de um sistema elétrico de potência.

Na primeira parte do problema, subsistema 1, deseja-se obter os valores de θ e V para

todas as barras do sistema. Trata-se, portanto, de um sistema de 2NPQ+NPV equações

algébricas não-lineares, onde NPQ é o número de barras do tipo PQ e NPV é denido

de forma análoga. Assim, tem-se o seguinte sistema:

P espk − Vk

∑m∈K

Vm(Gkm cos θkm +Bkm sin θkm) = 0 (4.6)

para barras PQ e PV

Qespk − Vk

∑m∈K

Vm(Gkm sin θkm −Bkm cos θkm) = 0 (4.7)

para barras PQ

Assim, para a aplicação do método iterativo de Newton-Raphson no subsistema 1,

dene-se o vetor das variáveis x, o vetor dos valores especicados y, a função vetorial

f(x) e o vetor dos resíduos g(x) da seguinte forma:

35

x =

[θ

V

]=

θ1

...

θNPV+NPQ

V1

...

VNPQ

; y =

[Pesp

Qesp

]=

P esp1

...

P espNPV+NPQ

Qesp1

...

QespNPQ

(4.8)

f(x) =

[P(x)

Q(x)

]=

P1(x)...

PNPV+NPQ(x)

Q1(x)...

QNPQ(x)

(4.9)

g(x) =

[∆P(x)

∆Q(x)

]=

[Pesp −P(x)

Qesp −Q(x)

](4.10)

onde todos os termos V , P e Q estão em p.u., e os termos θ estão em radianos.

Para aplicação do método de Newton-Raphson, dene-se ainda a matriz Jacobiana da

seguinte maneira:

J =

[H N

M L

](4.11)

onde:

H

Hkm = ∂Pk/∂θm = VkVm(Gkm sin θkm −Bkm cos θkm)

Hkk = ∂Pk/∂θk = −V 2k Bkk − Vk

∑m∈K

Vm(Gkm sin θkm −Bkm cos θkm)

N

Nkm = ∂Pk/∂Vm = Vk(Gkm cos θkm +Bkm sin θkm)

Nkk = ∂Pk/∂Vk = VkGkk +∑m∈K

Vm(Gkm cos θkm +Bkm sin θkm)

M

Mkm = ∂Qk/∂θm = −VkVm(Gkm cos θkm +Bkm sin θkm)

Mkk = ∂Qk/∂θk = −V 2k Gkk + Vk

∑m∈K

Vm(Gkm cos θkm +Bkm sin θkm)

L

Lkm = ∂Qk/∂Vm = Vk(Gkm sin θkm −Bkm cos θkm)

Lkk = ∂Qk/∂Vk = −VkBkk +∑m∈K

Vm(Gkm sin θkm −Bkm cos θkm)

36

Faz-se necessária ainda, a escolha dos valores iniciais (iteraçao 0) para V e θ. No

presente trabalho, foi sempre utilizada a inicialização at start (V = 1 p.u. e θ = 0).

Assim, após alguma manipulação algébrica, a equação do passo iterativo do método

de Newton-Raphson é representada a seguir:

x(i+ 1) = x(i) + J−1(i)g[(x(i)] (4.12)

De posse dos valores de V e θ para todas as barras do sistema, parte-se para o subsis-

tema 2, no qual deseja-se obter os valores de Q das barras PV , e P e Q da barra swing.

Trata-se, portanto, de um sistema de NPV + 2 equações algébricas não-lineares, no qual

todas as incógnitas aparecem de forma explícita, não necessitando, portanto, de métodos

númericos para sua resolução. Tal sistema é representado pelas equações (3.25) e (3.26).

Resumidamente, tendo caracterizado a topologia do sistema (natureza das barras e a

admitância das linhas - matriz YBARRA), o método de Newton aplicado para a resolução

do uxo de carga é descrito a seguir:

i) Fazer a inicialização at start (V(0) = 1 p.u. e θ(0) = 0).

ii) Calcular Pk[V(i), θ(i)] para as barras PQ e PV , e Qk[V(i), θ(i)] para as barras PQ,

e determinar os resíduos ∆P[x(i)] e ∆Q[x(i)] para a i-ésima iteração.

iii) Testar convergência: se Max|∆P[x(i)]| < ε e Max|∆Q[x(i)]| < ε, o processo

iterativo convergiu; caso contrário passar para (iv).

iv) Calcular a matriz Jabobiana para a iteração i: J[V(i), θ(i)].

v) Determinar a nova solução [V(i+ 1), θ(i+ 1)] a partir da equação (4.12).

vi) Fazer i+ 1→ i e voltar para o passo (ii).

Havendo convergência para o nível de tolerância especicado, parte-se para a resolução

do subsistema 2 (substituição direta) e naliza-se o método de Newton.

No estudo do problema, muitas vezes deseja-se calcular os valores dos uxos de carga

Pkm e Qkm em uma determinada linha (k−m) do sistema em questão. De posse de todos

os valores ao nal da resolução do método de Newton, tais uxos podem ser facilmente

calculados a partir das equações (3.14) e (3.15).

37

4.3 CONTROLES E LIMITES [1]

A solução proposta até o momento para o problema do uxo de carga engloba sistemas

onde estão presentes os componentes mais importantes de um sistema de energia elétrica,

que são as cargas, geradores e compensadores síncronos, as linhas de transmissão, os

transformadores e os capacitores e reatores shunt. Além desses componentes, um sistema

elétrico geralmente possui dispositivos de controle que inuem diretamente nas condições

de operação e, portanto, devem ser incluídos da modelagem do sistema para que se possa

simular corretamente seu desempenho. Outro aspecto importante nesse quesito é que os

próprios componentes do sitema já previamente considerados possuem limites de operação

que também devem ser considerados para que haja um funcionamento normal.

Assim, de modo a representar os dispositivos de controle, bem como os limites de

operação do sistema, são incorporadas equações e inequações ao problema original.

No presente trabalho, implementar-se-á ao problema original dois limites de operação.

São eles: limites de injeção de potência reativa em barras PV e limites de tensão em

barras PQ.

4.3.1 LIMITES DE INJEÇÃO DE POTÊNCIA REATIVA EM BARRAS PV

Como já abordado anteriormente, de modo a controlar a magnitude de tensão, as

barras do tipo PV possuem algum equipamento ligado a seu terminal. Trata-se de um

gerador ou um compensador síncrono. Tais dispositivos possuem um certo limite supe-

rior e inferior de potência reativa (Qmin ≤ Q ≤ Qmax), dentro do qual ele pode operar

de maneira normal, garantindo, assim, a manutenção da magnitude de tensão no valor

especicado V esp.

De modo a tratar tal questão, alguns passos são adicionados à resolução do problema

pelo método de Newton.

Para cada iteração, é realizado o teste se alguma barra PV ultrapassou seu limite su-

perior ou inferior de potência reativa. Caso uma determinada barra k tenha ultrapassado,

tal barra é convertida em uma barra PQ, com o valor de Qk setado em tal limite. [25]

Assim, faz-se necessário um redimensionamento do sistema, pois uma nova variável Vk

deve ser adicionada ao vetor das variáveis, enquanto que uma nova componente Qespk −Qk

é adicionada ao vetor dos resíduos. Tal mudança também afeta a matriz Jacobiana, que

agora passa a ter uma nova linha que contém as derivadas ∂Qk/∂θm e ∂Qk/∂Vm, e uma

nova coluna correspondente às derivadas em relação a Vk.

38

Após tal mudança, deve-se, a cada iteração subsequente, testar a possibilidade de essa

barra voltar a seu tipo original. Para o caso em que a potência reativa está xada em

seu limite mínimo, isto é, Qk = Qmink , a variável Vk calculada a cada iteração poderá ser

maior, menor ou igual ao valor anteriormente especicado (V espk ) quando a barra era do

tipo PV . Se o valor for maior ou igual, nada se altera, pois uma tensão maior ajuda a

não deixar que a potência reativa Qk caia abaixo de seu limite inferior Qmink . No caso em

que Vk < V espk , a barra deverá ser reconvertida ao seu tipo original PV , com Vk = V esp

k .

Analogamente, a conclusão é a mesma para o caso em que Qk = Qmaxk e Vk > V esp

k . [1]

Assim, na Figura 4.2 é construido um uxograma para implementação do limite de

injeção de potência reativa em barras PV.

4.3.2 LIMITES DE TENSÃO EM BARRAS PQ

No caso das barras do tipo PQ (carga), muitas vezes há uma limitação no intervalo

em que a magnitude da tensão pode assumir. Isso se dá pelo próprio modo de operação

nominal de determinadas cargas. Além disso, tal limite também é usado em estudos de

planejamento de operação e expansão de um sistema de energia elétrica. Em muitos de

tais estudos, pelo fato de o planejamento reativo ainda não ter sido feito, são comuns

situações nas quais não se consegue convergência. A aplicação de limites de tensão dentro

de uma faixa especicada (±10% em torno dos valores nominais, por exemplo) permite

em geral que se obtenha a convergência e, além disso, ter-se uma indicação das barras

nas quais existem problemas de suporte de potência reativa (barras cujas magnitudes de

tensão estão xadas no limite). [1]

A implementação dos limites de tensão em barras PQ na resolução do problema pelo

método de Newton, faz-se de maneira análoga à implementação dos limites de injeção

de reativos em barras PV mostrada anteriormente, sendo que neste caso a barra em

questão passa agora a ser tratada como PV no caso em que algum limite de tensão tenha

sido ultrapassado e volta a ser PQ se algum valor de potência reativa ultrapasse o valor

especicado Qesp. [25]

O uxograma do método de Newton para resolução do problema de uxo de carga

considerando os limites de tensão em barras PQ é mostrado na Figura 4.3.

39

FIG. 4.2: Fluxograma dos limites de injeção de reativos em barras PV .40

FIG. 4.3: Fluxograma dos limites de tensão em barras PQ.

41

5 SIMULAÇÕES

5.1 INTRODUÇÃO

Para colocar em prática toda a teoria abordada sobre o método de Newton na resolução

do problema do uxo de carga, bem como a implementação dos limites enunciados, foi

elaborado um código computacional na linguagem MATLAB, que, por m, foi validado

pela plataforma comercial de análise de sistemas de potência PowerWorld.

A m de "ler" os dados do sistema no qual deseja-se resolver o problema do uxo de

carga, foi utilizado um formato de arquivo .txt padronizado pelo Institute of Electrical

and Electronics Engineers (IEEE), chamado IEEE Common Data Format.

Neste capítulo, serão detalhadas a estratégia do algoritmo criado para o método de

Newton e para cada um dos limites abordados, assim como as simulações realizadas.

No apêndice A será exposto o código MATLAB elaborado, e no apêndice B abordar-

se-á sobre o formato de dados IEEE Common Data Format.

5.2 ESTRATÉGIA DO ALGORITMO

Para a confecção do código completo, no qual estão incorporados os limites citados

anteriormente, incialmente foi elaborado um programa base onde se aplica o método de

Newton sem os limites, e, em seguida, foi-se implementado ao programa base as linhas

que consideram os limites.

5.2.1 MÉTODO DE NEWTON

A primeira etapa do programa elaborado lê o arquivo .txt de entrada e guarda os

dados de forma conveniente para posterior uso. De posse de tais dados, tem-se o valor das

impedâncias de cada linha dos sistema, bem como o valor de eventuais reatâncias shunt

ligadas às mesmas. Assim, é possível montar a matriz YBARRA do sistema em questão.

Em seguida, são mapeadas todas as barras do sistema; qual é a barra swing, quantas

são as barras PV e PQ e qual é o índice de cada uma delas. De posse dessas informações,

o sistema é inicializado com at start (V = 1 p.u. e θ = 0) e são, assim, dimensionados o

vetor das variáveis x e o vetor dos residuos g(x).

Após, é, então, iniciado o processo iterativo de Newton-Raphson. Para cada iteração,

42

calcula-se a matriz Jacobiana e o valor atualizado do vetor dos resíduos para, assim,

calcular-se o incremento para o vetor das variáveis. Não havendo convergência para o

nivel de tolerância especicado, o processo se repete.

Havendo convergência, são calculados os valores de P e Q para a barra swing e de Q

para as barras PV .

De posse dos valores nais de V , θ, P e Q de todas as barras do sistema, imprime-

se o resultado nal em um arquivo .txt de formato elaborado pelo autor, e naliza-se o

programa.

5.2.2 IMPLEMENTAÇÃO DOS LIMITES

A m de implementar os limites de tensão a barras PQ e de injeção de potência reativa

a barras PV , alguns algoritmos tiveram de ser implementados seguindo os uxogramas

das Figuras 4.2 e 4.3.

Na fase de mapeamento das barras do sistema, são extraídos também os valores dos

limites superiores e inferiores de injeção de reativos das barras PV e de tensão das barras

PQ.

Dentro do processo iterativo, é feita a checagem se a variáveis em questão estão re-

speitando seus limites. No caso de algum limite ultrapassado, a barra tem p registro que

informa seu tipo mudado (de PV para PQ no caso do limite de injeção de reativos, e

o contrário no caso do limite de tensão) e é feita um novo mapeamento das barras do

sistema. Assim, a barra que teve seu registro mudado é agora lida com seu tipo diferente.

Assim, os algoritmos que calculam os vetores das variáveis, dos resíduos e a matriz

Jacobiana leem o problema com uma dimensão diferente e se adaptam à nova situação.

Nesse processo, também é feita, a cada iteração, a checagem para analisar a possibili-

dade de cada barra que teve seu tipo mudado voltar ao anterior. Sendo o caso, o processo

de mudança de tipo é feito de maneira análoga.

Havendo convergência, o programa naliza da mesma maneira que no programa base.

5.3 SIMULAÇÕES

A m de aplicar e validar o código confeccionado, foram feitas 4 simulações com

sistemas de 5 e 9 barras. Todos os sistemas possuem representações em p.u. com Vbase =

13, 8 kV e Sbase = 100 MVA.

43

5.3.1 SIMULAÇÃO 1

Os dois primeiros exemplos de sistemas de potência usados para aplicar e validar o

código confeccionado foram derivados de um sistema de 5 barras encontrado no livro de

Stagg (1968) [21].

As impedâncias das linhas de transmissão do sistema estão dispostas a seguir (valores

em p.u.):

FIG. 5.1: Impedâncias das linhas de transmissão dos sistemas de 5 barras. [21]

Na primeira simulação, foi estudado um sistema com uma barra de referência (swing),

uma barra PV sem limites de injeção de reativos e três barras PQ sem limites de tensão.

O sistema é mostrado na gura abaixo, gerada na plataforma PowerWorld :

44

FIG. 5.2: Sistema de 5 barras para a simulação 1.

O sistema possui os seguintes valores de entrada:

FIG. 5.3: Valores de entrada do sistema. (V , P e Q em p.u.)

O algoritmo confeccionado em MATLAB convergiu em 3 iterações com o nível de

tolerância de 10−4. Os resultados estão mostrados na gura abaixo, que mostra o arquivo

.txt gerado ao nal do programa:

45

FIG. 5.4: Resultados da simulação 1. (V , P e Q em p.u., e fases θ em graus.)

Os resultados encontrados no PowerWorld são mostrados na gura a seguir. Houve

convergência em uma iteração para o mesmo nível de tolerância:

FIG. 5.5: Resultados da simulação 1. (PowerWorld)

Pode-se observar que o algoritmo teve precisão máxima quando se toma a simulação

do PowerWorld como referência.

5.3.2 SIMULAÇÃO 2

Na simulação 2, foi testado o caso de uma barra PQ com limites de tensão. O dispo-

sitivo e os dados de entrada foram os mesmos da simulação 1, sendo que agora a barra 3

possui um compensador síncrono ligado em seu terminal de modo a limitar a magnitude

da tensão em um limite máximo de 1, 01p.u. Assim, o esquema está disposto da seguinte

maneira:

46

FIG. 5.6: Sistema de 5 barras para a simulação 2.

Após a simulação, foram obtidos os seguintes resultados no algoritmo criado e na

plataforma PowerWorld. Houve convergência em uma iteração para o mesmo nível de

tolerância.


47


Mais uma vez, pode-se ver que houve uma excelente precisão no resultados do algo-

ritmo criado. É possível notar que houve uma correta mudança no tipo da barra 3, que

passou a ser do tipo PV , com seu valor de tensão xado em seu limite. Vê-se ainda que

seu novo valor de potência reativa foi abaixo do valor anteriormente especicado, o que

contribui para manter sua tensão abaixo de seu limite máximo.

5.3.3 SIMULAÇÃO 3

As duas últimas simulações registradas neste trabalho foram feitas a partir de um

sistema de 9 barras, tendo uma barra de referência (swing), 3 barras PV e 5 barras PQ.

As impedâncias das linhas de transmissão do sistema estão dispostas a seguir (valores

em p.u.):

48

FIG. 5.9: Impedâncias das linhas de transmissão dos sistemas de 9 barras.

Nesta simulação, não há limites para os valores de V e Q das barras. A gura do

sistema e seus valores de entrada estão dispostos a seguir:

49

FIG. 5.10: Sistema de 9 barras para as simulações 3 e 4.

FIG. 5.11: Valores de entrada do sistema. (V , P e Q em p.u.)

O algoritmo elaborado convergiu em 3 iterações com o nível de tolerância de 10−4. As

guras a seguir mostram os o arquivo .txt com os resultados encontrados no programa

abaixo e os resultados gerados no PowerWorld. Houve convergência em uma iteração para

50

o mesmo nível de tolerância.



Assim como nas simulações anteriores, excelente resultados foram obtidos na simulação

3 quando comparados à plataforma comercial.

51

5.3.4 SIMULAÇÃO 4

Na simulação 4, foi testado o caso de barras PV com limites de injeção de potência

reativa. O dispositivo e os dados de entrada foram os mesmos da simulação 3, sendo que

agora a barra 2 possui um limite máximo de 8 MVAr (0, 08 p.u.) de injeção potência

reativa, e a barra 9 possui um limite mínimo de −20 MVAr (−0, 20 p.u.) de injeção

potência reativa. Assim, foram obtidos os seguintes resultados no algoritmo criado e na

plataforma PowerWorld. Houve convergência em uma iteração para o mesmo nível de

tolerância.


52


Os resultados mais uma vez alcançaram ótima precisão. É possível perceber, neste

caso, que a barra 9, que anteriormente era do tipo PV , agora teve seu tipo mudado

para PQ, com seu valor de potência reativa xado em seu limite inferior. A nova tensão

calculada é menor que seu valor especicado, o que ajuda na manutênção da potência

reativa abaixo de seu limite.

No caso da barra 2, vê-se que seu valor de Q foi abaixo de seu limite máximo. Assim,

conclui-se que durante o processo, a barra teve seu tipo mudado para PQ e retornado

para PV , de modo que seu limite continuou sendo respeitado e o problema convergiu.

53

6 CONCLUSÕES

É evidente que a análise de sistemas de potência está sempre presente nos centros

de pesquisa de energia elétrica ao redor do mundo. Há um constante crescimento nas

redes elétricas atuais, o que acarreta em uma demanda cada vez maior nos estudos que

dão suporte a tal expansão. Como abordado neste trabalho, um estudo primordial em

qualquer sistema elétrico de potência é o estudo de uxo de carga.

A proposta do trabalho em fornecer uma visão geral do problema do uxo de carga,

bem como de seus diferente métodos de resoluçao, foi cumprida. Ao fazer-se um com-

parativo entre os métodos, chegou-se a conclusão de que o método de Newton é o mais

completo quando se analisa versatilidade e velocidade de convergência, porém é aquele

em que se demanda maior capacidade de processamento computacional.

O objetivo principal de elaborar um algoritmo na linguagem MATLAB para cálculo

do uxo de carga com implementação de controles e limites foi alcançado. As simulações

de sistemas com limites de tensão em barras PQ, limites de injeção de reativos em barras

PV e sem limites alcançaram precisão excelente quando comparadas aos resultado obtidos

na plataforma comercial PowerWorld. Além disso, foi observado que cada caso teve seu

limite bem tratado, sendo feita a correta mudança de tipo de barra para cada caso.

Fica o encorajamento para que se continue a estudar a resolução do problema do uxo

de carga. A implementação de outros controles e limites ao problema base, ou ainda a

eleboração de algoritmos que utilizam outros métodos de resolução do problema são bons

caminhos para se enriquecer este tabalho.

54

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Edgard Blucher, 1983. 164 p.

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genharia Elétrica) Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2014.

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com ênfase em Sistemas de Energia e Automação) Universidade de São Paulo, São

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[25] STOTT, B. Review of load ow calculation methods. Proceedings of IEEE, v. 62, p.

916929, 1974.

57

8 APÊNDICES

58

8.1 APÊNDICE A

Este apêndice apresenta o código MATLAB da ferramenta desenvolvida.

clear

clc

r = fopen('C:\Users\Marcelo\SkyDrive\IME\PFC\test5cdf.txt');

%% Ler .txt

scan = textscan(r,'%s');

data = scan1,1;

j1 = 1;

j2 = 1;

for i = 1:1:size(data,1)

if strcmp(datai,1,'ITEMS')

dataIndex(j1,1) = [i+1];

j1 = j1+1;

end

if strcmp(datai,1,'-999')

endIndex(j2,1) = [i-1];

j2 = j2+1;

end

end

k1 = 1;

k2 = 1;

for i = dataIndex(1,1):20:endIndex(1,1)

dataBus(k1,:) = [str2num(datai,1), str2num(datai+1,1), str2num(datai+2,1), str2num(datai+3,1), str2num(datai+4,1), str2num(datai+5,1), str2num(datai+6,1), str2num(datai+7,1), str2num(datai+8,1), str2num(datai+9,1), str2num(datai+10,1), str2num(datai+11,1), str2num(datai+12,1), str2num(datai+13,1), str2num(datai+14,1), str2num(datai+15,1), str2num(datai+16,1), str2num(datai+17,1), str2num(datai+18,1), str2num(datai+19,1)];

k1 = k1 + 1;

end

for i = dataIndex(2,1):21:endIndex(2,1)

dataBranch(k2,:) = [str2num(datai,1), str2num(datai+1,1), str2num(datai+2,1), str2num(datai+3,1), str2num(datai+4,1), str2num(datai+5,1), str2num(datai+6,1), str2num(datai+7,1), str2num(datai+8,1), str2num(datai+9,1), str2num(datai+10,1), str2num(datai+11,1), str2num(datai+12,1), str2num(datai+13,1), str2num(datai+14,1), str2num(datai+15,1), str2num(datai+16,1), str2num(datai+17,1), str2num(datai+18,1), str2num(datai+19,1), str2num(datai+20,1)];

k2 = k2 + 1;

end

59

%% Calcula matriz Y

for i = 1:1:size(dataBranch,1)

Ykm(dataBranch(i,1),dataBranch(i,2)) = [inv(complex(dataBranch(i,7),dataBranch(i,8)))];

end

for i = size(dataBus,1):-1:1

for j = size(dataBus,1):-1:1

if i>j

Ykm(i,j)=Ykm(j,i);

end

end

end

for i = 1:1:size(dataBus,1)

for k = 1:1:size(dataBranch,1)

if dataBranch(k,1)==i

Ykm(i,i) = Ykm(i,i) + complex(0,dataBranch(k,9))/2;

end

if dataBranch(k,2)==i

Ykm(i,i) = Ykm(i,i) + complex(0,dataBranch(k,9))/2;

end

end

for j = 1:1:size(dataBus,1)

if i~=j

Ykm(i,i) = Ykm(i,i)+Ykm(i,j);

end

end

end


for j = 1:1:size(dataBus,1)

if i == j

Y(i,i) = -Ykm(i,j) + [complex(dataBus(i,size(dataBus,2)-2),dataBus(i,size(dataBus,2)-1))];

else

Y(i,j) = Ykm(i,j);

end

end

end

60

%% Inicia a barra Vtheta


if dataBus(i,size(dataBus,2) - 13) == 3

V(i) = dataBus(i,size(dataBus,2) - 12);

T(i) = dataBus(i,size(dataBus,2) - 11);

indexVT = i;

end

end

%% Mapeia barras PV e PQ buses e inicia o problema com flat start

Npv=0;



Npv = Npv + 1;

x(Npv,1) = [0];

y(Npv,1) = [(dataBus(i,size(dataBus,2) - 8) - dataBus(i,size(dataBus,2) - 10))/100];

indexPV(Npv) = i;

V(i) = dataBus(i,size(dataBus,2) - 12);

T(i) = 0;

supLimit(i) = dataBus(i,size(dataBus,2) - 4);

infLimit(i) = dataBus(i,size(dataBus,2) - 3);

end

end

Npq=0;



Npq = Npq + 1;

x(Npv + Npq,1) = [0];

y(Npv + Npq,1) = [(dataBus(i,size(dataBus,2) - 8) - dataBus(i,size(dataBus,2) - 10))/100];

indexPQ(Npq) = i;

V(i) = 1;

T(i) = 0;

supLimit(i) = dataBus(i,size(dataBus,2) - 4);

infLimit(i) = dataBus(i,size(dataBus,2) - 3);

end

end

Ntemp=0;



61

Ntemp = Ntemp + 1;

x(Npv + Npq + Ntemp,1) = [1];

y(Npv + Npq + Ntemp,1) = [(dataBus(i,size(dataBus,2) - 7) - dataBus(i,size(dataBus,2) - 9))/100];

end

Pesp(i) = (dataBus(i,size(dataBus,2) - 8) - dataBus(i,size(dataBus,2) - 10))/100;

Qesp(i) = (dataBus(i,size(dataBus,2) - 7) - dataBus(i,size(dataBus,2) - 9))/100;

end

%% Metodo de Newton

n = 0; % número de iterações

i = 1;

tol = 0.0001;

while 1

%% Checa antigas barras PQ

indexPVsize = size(indexPV,2);

for w = 1:1:indexPVsize

indexPVw = indexPV(w);

if V(indexPVw) == supLimit(indexPVw)

if Q(indexPVw) > Qesp(indexPVw)

Q(indexPVw) = Qesp(indexPVw);

\%pv->pq;

dataBus(indexPVw,size(dataBus,2) - 13) = 0;

y=0;

indexPQ=0;

indexPV=0;

Npv=0;

for k = 1:1:size(dataBus,1)

if dataBus(k,size(dataBus,2) - 13) == 2

Npv = Npv + 1;

y(Npv,1) = [(dataBus(k,size(dataBus,2) - 8) - dataBus(k,size(dataBus,2) - 10))/100];

indexPV(Npv) = k;

end

end

Npq=0;



62

Npq = Npq + 1;

y(Npv + Npq,1) = [(dataBus(k,size(dataBus,2) - 8) - dataBus(k,size(dataBus,2) - 10))/100];

indexPQ(Npq) = k;

end

end

Ntemp=0;



Ntemp = Ntemp + 1;

y(Npv + Npq + Ntemp,1) = [(dataBus(k,size(dataBus,2) - 7) - dataBus(k,size(dataBus,2) - 9))/100];

end

end

x=0;

for k = 1:1:Npv

x(k,1) = T(indexPV(k));

end

for k = 1:1:Npq

x(Npv+k,1) = T(indexPQ(k));

x(Npv+Npq+k,1) = V(indexPQ(k));

end

end

else

if V(indexPVw) == infLimit(indexPVw)

if Q(indexPVw) < Qesp(indexPVw)

Q(indexPVw) = Qesp(indexPVw);

\%pv->pq;

dataBus(indexPVw,size(dataBus,2) - 13) = 0;

y=0;

indexPQ=0;

indexPV=0;

Npv=0;



Npv = Npv + 1;


indexPV(Npv) = k;

end

63

end

Npq=0;



Npq = Npq + 1;


indexPQ(Npq) = k;

end

end

Ntemp=0;



Ntemp = Ntemp + 1;


end

end

x=0;

for k = 1:1:Npv


end

for k = 1:1:Npq



end

end

end

end

end

%% Checa limites

indexPQsize = size(indexPQ,2);

for w = 1:1:indexPQsize

indexPQw = indexPQ(w);

if (infLimit(indexPQw) ~= 0 || supLimit(indexPQw) ~= 0)

if V(indexPQw) < infLimit(indexPQw)

\% Vk = Vmin

V(indexPQw) = infLimit(indexPQw);

64

\% pq -> pv

dataBus(indexPQw,size(dataBus,2) - 13) = 2;

y=0;

indexPQ=0;

indexPV=0;

Npv=0;



Npv = Npv + 1;


indexPV(Npv) = k;

end

end

Npq=0;



Npq = Npq + 1;


indexPQ(Npq) = k;

end

end

Ntemp=0;



Ntemp = Ntemp + 1;


end

end

else

if V(indexPQ(w)) > supLimit(indexPQ(w))

% Vk = Vmax

V(indexPQ(w)) = supLimit(indexPQ(w));

% pq -> pv

dataBus(indexPQ(w),size(dataBus,2) - 13) = 2;

y=0;

indexPQ=0;

65

indexPV=0;

Npv=0;



Npv = Npv + 1;


indexPV(Npv) = k;

end

end

Npq=0;



Npq = Npq + 1;


indexPQ(Npq) = k;

end

end

Ntemp=0;



Ntemp = Ntemp + 1;


end

end

end

end

end

if w == size(indexPQ,2)

break

end

end

x=0;

for k = 1:1:Npv


end

for k = 1:1:Npq



66

end

J=0;

for k = 1:1:Npv

for j = 1:1:Npv

if j == k

for m = 1:1:size(Y,1)

if (Y(indexPV(k),m) ~= 0) && (m ~= indexPV(k))

J(k,j) = J(k,j) + V(indexPV(k))*V(m)*(-real(Y(indexPV(k),m))*sin(T(indexPV(k))-T(m)) + imag(Y(indexPV(k),m))*cos(T(indexPV(k)) - T(m)));

end

end

else

J(k,j) = V(indexPV(k))*V(indexPV(j))*(real(Y(indexPV(k),indexPV(j)))*sin(T(indexPV(k)) - T(indexPV(j))) - imag(Y(indexPV(k),indexPV(j)))*cos(T(indexPV(k)) - T(indexPV(j))));

end

end

for j = 1:1:Npq

J(k,Npv+j) = V(indexPV(k))*V(indexPQ(j))*(real(Y(indexPV(k),indexPQ(j)))*sin(T(indexPV(k)) - T(indexPQ(j))) - imag(Y(indexPV(k),indexPQ(j)))*cos(T(indexPV(k)) - T(indexPQ(j))));

J(k,Npv+Npq+j) = V(indexPV(k))*(real(Y(indexPV(k),indexPQ(j)))*cos(T(indexPV(k)) - T(indexPQ(j))) + imag(Y(indexPV(k),indexPQ(j)))*sin(T(indexPV(k)) - T(indexPQ(j))));

end

end

for k = 1:1:Npq

for j = 1:1:Npv

J(Npv+k,j) = V(indexPQ(k))*V(indexPV(j))*(real(Y(indexPQ(k),indexPV(j)))*sin(T(indexPQ(k)) - T(indexPV(j))) - imag(Y(indexPQ(k),indexPV(j)))*cos(T(indexPQ(k)) - T(indexPV(j))));

J(Npv+Npq+k,j) = V(indexPQ(k))*V(indexPV(j))*(-real(Y(indexPQ(k),indexPV(j)))*cos(T(indexPQ(k)) - T(indexPV(j))) + imag(Y(indexPQ(k),indexPV(j)))*sin(T(indexPQ(k)) - T(indexPV(j))));

end

for j = 1:1:Npq

if (Npv+j)==(Npv+k)


if (Y(indexPQ(k),m) ~= 0) && (m ~= indexPQ(k))

J(Npv+k,Npv+j) = J(Npv+k,Npv+j) + V(indexPQ(k))*V(m)*(-real(Y(indexPQ(k),m))*sin(T(indexPQ(k))-T(m)) + imag(Y(indexPQ(k),m))*cos(T(indexPQ(k)) - T(m)));

end

end

else

J(Npv+k,Npv+j) = V(indexPQ(k))*V(indexPQ(j))*(real(Y(indexPQ(k),indexPQ(j)))*sin(T(indexPQ(k)) - T(indexPQ(j))) - imag(Y(indexPQ(k),indexPQ(j)))*cos(T(indexPQ(k)) - T(indexPQ(j))));

67

end

end

for j = 1:1:Npq

if j==k

J(Npv+k,Npv+Npq+j) = 2*V(indexPQ(k))*real(Y(indexPQ(k),indexPQ(k)));



J(Npv+k,Npv+Npq+j) = J(Npv+k,Npv+Npq+j) + V(m)*(real(Y(indexPQ(k),m))*cos(T(indexPQ(k)) - T(m)) + imag(Y(indexPQ(k),m))*sin(T(indexPQ(k)) - T(m)));

end

end

else

J(Npv+k,Npv+Npq+j) = V(indexPQ(k))*(real(Y(indexPQ(k),indexPQ(j)))*cos(T(indexPQ(k)) - T(indexPQ(j))) + imag(Y(indexPQ(k),indexPQ(j)))*sin(T(indexPQ(k)) - T(indexPQ(j))));

end

end

for j = 1:1:Npq

if j==k



J(Npv+Npq+k,Npv+j) = J(Npv+Npq+k,Npv+j) + V(indexPQ(k))*V(m)*(real(Y(indexPQ(k),m))*cos(T(indexPQ(k)) - T(m)) + imag(Y(indexPQ(k),m))*sin(T(indexPQ(k)) - T(m)));

end

end

else

J(Npv+Npq+k,Npv+j) = V(indexPQ(k))*V(indexPQ(j))*(-real(Y(indexPQ(k),indexPQ(j)))*cos(T(indexPQ(k)) - T(indexPQ(j))) + imag(Y(indexPQ(k),indexPQ(j)))*sin(T(indexPQ(k)) - T(indexPQ(j))));

end

end

for j = 1:1:Npq

if j==k

J(Npv+Npq+k,Npv+Npq+j) = -2*V(indexPQ(k))*imag(Y(indexPQ(k),indexPQ(k)));



J(Npv+Npq+k,Npv+Npq+j) = J(Npv++Npq+k,Npv+Npq+j) + V(m)*(real(Y(indexPQ(k),m))*sin(T(indexPQ(k)) - T(m)) - imag(Y(indexPQ(k),m))*cos(T(indexPQ(k)) - T(m)));

end

end

else

J(Npv++Npq+k,Npv+Npq+j) = V(indexPQ(k))*(real(Y(indexPQ(k),indexPQ(j)))*sin(T(indexPQ(k)) - T(indexPQ(j))) - imag(Y(indexPQ(k),indexPQ(j)))*cos(T(indexPQ(k)) - T(indexPQ(j))));

end

end

end

68

%% Calcula deltaY

dy = -y;

for k = 1:1:Npv

for j = 1:1:size(Y,1)

if Y(indexPV(k),j) ~= 0

dy(k,1) = dy(k,1) - V(indexPV(k))*V(j)*(real(Y(indexPV(k),j))*cos(T(indexPV(k)) - T(j)) + imag(Y(indexPV(k),j))*sin(T(indexPV(k))-T(j)));

end

end

end

for k = 1:1:Npq


if Y(indexPQ(k),j) ~= 0

dy(Npv + k,1) = dy(Npv + k,1) - V(indexPQ(k))*V(j)*(real(Y(indexPQ(k),j))*cos(T(indexPQ(k)) - T(j)) + imag(Y(indexPQ(k),j))*sin(T(indexPQ(k))-T(j)));

end

end

end

for k = 1:1:Npq


if Y(indexPQ(k),j) ~= 0

dy(Npv + Npq + k,1) = dy(Npv + Npq + k,1) - V(indexPQ(k))*V(j)*(real(Y(indexPQ(k),j))*sin(T(indexPQ(k)) - T(j)) - imag(Y(indexPQ(k),j))*cos(T(indexPQ(k))-T(j)));

end

end

end

%% Calcula novo vetor de variaveis

x = x + J\dy;

\%\% Guarda dados de V e theta

for k = 1:1:Npv

T(indexPV(k)) = x(k,1);

end

for k = 1:1:Npq

T(indexPQ(k)) = x(Npv+k,1);

V(indexPQ(k)) = x(Npv+Npq+k,1);

end

Tdeg = T*180/pi;

69

%% Calcula P e Q para barra Vtheta e Q para barra PV

P=zeros([1,size(Y,1)]);

Q=zeros([1,size(Y,1)]);


if Y(indexVT,m)~=0

P(indexVT) = P(indexVT) - V(indexVT)*V(m)*(real(Y(indexVT,m))*cos(T(indexVT)-T(m))+imag(Y(indexVT,m))*sin(T(indexVT)-T(m)));

Q(indexVT) = Q(indexVT) - V(indexVT)*V(m)*(real(Y(indexVT,m))*sin(T(indexVT)-T(m))-imag(Y(indexVT,m))*cos(T(indexVT)-T(m)));

end

end

for k = 1:1:Npv


if Y(indexPV(k),m)~=0

Q(indexPV(k)) = Q(indexPV(k)) - V(indexPV(k))*V(m)*(real(Y(indexPV(k),m))*sin(T(indexPV(k))-T(m))-imag(Y(indexPV(k),m))*cos(T(indexPV(k))-T(m)));

end

end

P(indexPV(k)) = y(k);

end

for k = 1:1:Npq

P(indexPQ(k)) = y(Npv+k);

Q(indexPQ(k)) = y(Npv+Npq+k);

end

%% Checa convergencia

if max(abs(dy))<tol

break

end

%% Incrementa iteração

n = n+1;

i = i+1;

end

%% Imprime resultado final

B = 1:1:size(Y,1);

A = [transpose(B) transpose(V) transpose(Tdeg) transpose(P) transpose(Q)]; A = transpose(A);

70

fid = fopen('Resultados2.txt', 'w');

fprintf(fid, 'FLUXO DE CARGA\r\n\r\nNúmero de barras = %i\r\nNúmero de iterações = %i (tolerância = %5.4f)\r\n\r\n', size(Y,1), n, tol);

fprintf(fid, '%3s %9s %9s %9s %9s\r\n','n', 'V', 'Fase', 'P', 'Q');

fprintf(fid, '%3i %9.4f %9.4f %9.4f %9.4f\r\n', A);

71

8.2 APÊNDICE B

Este apêndice apresenta o formato de entrada de dados utilizada pelo programa. Trata-

se de uma formato de arquivo .txt padronizado pelo IEEE, chamado IEEE Common Data

Fortmat. A seguir é motrado uma gura de um exemplo de sistema do IEEE e seu

respectivo arquivo .txt no IEEE Common Data Fortmat :

FIG. 8.1: Sistema IEEE de 14 barras.

72

FIG. 8.2: Arquivo IEEE Common Data Fortmat para o sistema de 14 barras.

O arquivo de texto contém todos os dados do sistema: natureza das barras, valores

especicados, eventuais limites, impedâncias das linhas, etc.

O arquivo ocial do IEEE que detalha a correspondência de cada campo do formato

é disponibilizado a seguir.

Partial Description of the IEEE Common Data Format for the

Exchange of Solved Load Flow Data

The complete description can be found in the paper "Common Data

Format for the Exchange of Solved Load Flow Data", Working Group on a

Common Format for the Exchange of Solved Load Flow Data, _IEEE

Transactions on Power Apparatus and Systems_, Vol. PAS-92, No. 6,

November/December 1973, pp. 1916-1925.

The data file has lines of up to 128 characters. The lines are grouped

into sections with section headers. Data items are entered in specific

columns. No blank items are allowed, enter zeros instead. Floating point

items should have explicit decimal point. No implicit decimal points

are used.

73

Data type codes: A - Alphanumeric (no special characters)

I - Integer

F - Floating point

* - Mandatory item

Title Data

==========

First card in file.

Columns 2- 9 Date, in format DD/MM/YY with leading zeros. If no date

provided, use 0b/0b/0b where b is blank.

Columns 11-30 Originator’s name (A)

Columns 32-37 MVA Base (F*)

Columns 39-42 Year (I)

Column 44 Season (S - Summer, W - Winter)

Column 46-73 Case identification (A)

Bus Data *

==========

Section start card *:

---------------------

Columns 1-16 BUS DATA FOLLOWS (not clear that any more than BUS in

1-3 is significant) *

Columns ?- ? NNNNN ITEMS (column not clear, I would not count on this)

74

Bus data cards *:

-----------------

Columns 1- 4 Bus number (I) *

Columns 7-17 Name (A) (left justify) *

Columns 19-20 Load flow area number (I) Don’t use zero! *

Columns 21-23 Loss zone number (I)

Columns 25-26 Type (I) *

0 - Unregulated (load, PQ)

1 - Hold MVAR generation within voltage limits, (PQ)

2 - Hold voltage within VAR limits (gen, PV)

3 - Hold voltage and angle (swing, V-Theta) (must always

have one)

Columns 28-33 Final voltage, p.u. (F) *

Columns 34-40 Final angle, degrees (F) *

Columns 41-49 Load MW (F) *

Columns 50-59 Load MVAR (F) *

Columns 60-67 Generation MW (F) *

Columns 68-75 Generation MVAR (F) *

Columns 77-83 Base KV (F)

Columns 85-90 Desired volts (pu) (F) (This is desired remote voltage if

this bus is controlling another bus.

Columns 91-98 Maximum MVAR or voltage limit (F)

Columns 99-106 Minimum MVAR or voltage limit (F)

Columns 107-114 Shunt conductance G (per unit) (F) *

Columns 115-122 Shunt susceptance B (per unit) (F) *

Columns 124-127 Remote controlled bus number

Section end card:

-----------------

Columns 1- 4 -999

75

Branch Data *

=============

Section start card *:

---------------------

Columns 1-16 BRANCH DATA FOLLOWS (not clear that any more than BRANCH

is significant) *

Columns 40?- ? NNNNN ITEMS (column not clear, I would not count on this)

Branch data cards *:

--------------------

Columns 1- 4 Tap bus number (I) *

For transformers or phase shifters, the side of the model

the non-unity tap is on

Columns 6- 9 Z bus number (I) *

For transformers and phase shifters, the side of the model

the device impedance is on.

Columns 11-12 Load flow area (I)

Columns 13-14 Loss zone (I)

Column 17 Circuit (I) * (Use 1 for single lines)

Column 19 Type (I) *

0 - Transmission line

1 - Fixed tap

2 - Variable tap for voltage control (TCUL, LTC)

3 - Variable tap (turns ratio) for MVAR control

4 - Variable phase angle for MW control (phase shifter)

Columns 20-29 Branch resistance R, per unit (F) *

Columns 30-40 Branch reactance X, per unit (F) * No zero impedance lines

Columns 41-50 Line charging B, per unit (F) * (total line charging, +B)

Columns 51-55 Line MVA rating No 1 (I) Left justify!


76


Columns 69-72 Control bus number

Column 74 Side (I)

0 - Controlled bus is one of the terminals

1 - Controlled bus is near the tap side

2 - Controlled bus is near the impedance side (Z bus)

Columns 77-82 Transformer final turns ratio (F)

Columns 84-90 Transformer (phase shifter) final angle (F)

Columns 91-97 Minimum tap or phase shift (F)

Columns 98-104 Maximum tap or phase shift (F)

Columns 106-111 Step size (F)

Columns 113-119 Minimum voltage, MVAR or MW limit (F)

Columns 120-126 Maximum voltage, MVAR or MW limit (F)

Section end card:

-----------------

Columns 1- 4 -999

Loss Zone Data

==============

Section start card

------------------

Columns 1-16 LOSS ZONES FOLLOWS (not clear that any more than LOSS

is significant)


Loss Zone Cards:

----------------

Columns 1- 3 Loss zone number (I)

77

Columns 5-16 Loss zone name (A)

Section end card:

-----------------

Columns 1- 3 -99

Interchange Data *

==================

Section start card

------------------

Columns 1-16 INTERCHANGE DATA FOLLOWS (not clear that any more than

first word is significant).


Interchange Data Cards *:

-------------------------

Columns 1- 2 Area number (I) no zeros! *

Columns 4- 7 Interchange slack bus number (I) *

Columns 9-20 Alternate swing bus name (A)

Columns 21-28 Area interchange export, MW (F) (+ = out) *

Columns 30-35 Area interchange tolerance, MW (F) *

Columns 38-43 Area code (abbreviated name) (A) *

Columns 46-75 Area name (A)

Section end card:

-----------------

Columns 1- 2 -9

Tie Line Data

78

=============

Section start card

------------------

Columns 1-16 TIE LINES FOLLOW (not clear that any more than TIE

is significant)


Tie Line Cards:

---------------

Columns 1- 4 Metered bus number (I)

Columns 7-8 Metered area number (I)

Columns 11-14 Non-metered bus number (I)

Columns 17-18 Non-metered area number (I)

Column 21 Circuit number

Section end card:

-----------------

Columns 1- 3 -999

79

desenvolvimento e aplicaÇÃo do mÉtodo de newton …

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