desenho geométrico
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ARQ 03060 – Desenho Geométrico para Designers Aula 1
Prof. Anelise Hoffmann
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1 Escalas
Escala é a razão ou relação de semelhança estabelecida entre a o desenho e o
objeto que ele representa, ou seja, entre a distância gráfica e a distância real.
Pode ser utilizada tanto para a representação de objetos muito grandes
(escala de redução) quanto de objetos muito pequenos (escala de ampliação).
Quando o desenho for representado do mesmo tamanho do objeto, a escala chama-
se Natural.
As escalas podem ser numéricas ou gráficas. As numéricas são representadas
por algarismos e as gráficas são representadas por meio de linhas divididas e
subdivididas em partes iguais.
1.1 Escalas Numéricas
É o número que informa quantas vezes o desenho é menor (ou maior) que o
objeto que ele representa.
Onde: d – distância gráfica
D – distância real
1/Q - escala
Exemplo: Um arquiteto deseja representar a localização de uma residência em
um terreno, cuja forma é retangular e mede 15 X 20 m. No papel cada 1m será
representado por 1 cm, portanto o terreno será representado por um retângulo de
15x20 cm. Se cada metro é representado no papel por 1 centímetro e, se cada
centímetro é a centésima parte do metro, temos então 1 cm por 100cm, ou ainda
escala 1:100. Portanto, o desenho do terreno é representado com uma redução de
100 vezes.
Escala de Redução: quando as medidas do desenho são menores que as
medidas reais do objeto (1/n ou 1:n). Por comodidade, foram padronizadas algumas
escalas de redução, como por exemplo: 1:100, 1:125, 1:20, 1:50, 1:75.
Escala de Ampliação: quando as medidas do desenho são maiores que as
medidas reais do objeto (n/1 ou n:1).
d = 1 D Q
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1.2 Escalas Gráficas
As escalas gráficas são a representação gráfica das escalas numéricas. A
representação da escala no modo gráfico é mais comumente utilizada em cartografia.
Fonte: http://mapas.terra.com.br/Callejero/mapa_callejero.asp
O uso da escala gráfica permite, através de métodos fotográficos ou
copiadoras, quando necessária uma redução ou ampliação do objeto representado,
saber a escala em que o objeto está representado.
A Escala Gráfica nos permite realizar as transformações de dimensões gráficas
em dimensões reais sem efetuarmos cálculos. Para sua construção, entretanto,
torna-se necessário o emprego da escala numérica.
Em alguns casos utiliza-se também um segmento à esquerda da origem (zero)
denominada de Talão ou escala de fracionamento, este é dividido em sub-múltiplos
da unidade escolhida, graduada da direita para a esquerda (geralmente é utilizada
uma subdivisão decimal).
Fonte: http://trimbase.locaweb.com.br/doc/Escala.doc
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Exercícios:
a) Uma embalagem que numa escala 1:10 mede 0,05 m de largura, que
dimensão terá na realidade?
b) Um painel luminoso mede 10 m de largura e está representado no papel por
0,25 m, em que escala foi representado?
c) A distância gráfica entre as cidades A e B em um mapa é 8 cm, e a distância
real é de 84 Km. Qual é a escala utilizada?
d) Deseja-se representar um outdoor com as dimensões de 8,8 m X 2,9 m, na
escala 1:50. Quais as dimensões gráficas?
e) Um totem foi representado em um desenho com 168 mm de altura, na escala
1:20. Qual a dimensão real deste totem? E se fosse representado na escala de
1:50 quanto mediria?
f) Um arquiteto deseja utilizar uma folha tamanho A4 (21 x 29.7 cm) para
representar a planta baixa de uma edificação cujas dimensões são 11 x 18 m,
qual a escala mínima que ele deve utilizar?
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2 Traçado de retas paralelas, perpendiculares e oblíquas
A utilização correta dos esquadros em desenho geométrico é de fundamental
importância para a obtenção da precisão necessária na solução dos problemas.
Estes são utilizados para o traçado de linhas horizontais, verticais, e também
serve como apoio. O traçado de retas paralelas ou perpendiculares a uma
determinada direção pode ser realizado movendo-se um esquadro apoiado sobre o
outro, que permanece fixo.
Podem ser utilizados também para o traçado de linhas em ângulos
determinados (30º, 45º, 60º e outros).
Um recurso para o traçado de linhas com ângulos diferentes é a combinação
dos esquadros apoiados como nos exemplos.
Exercícios:
a) Traçar retas paralelas utilizando o jogo de esquadros.
b) Traçar retas perpendiculares às traçadas no item a.
c) Traçar retas paralelas formando um ângulo de 15º com as retas do item a.
30º
60º
45º
90º
15º 75º
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2.1 Aplicações do traçado de paralelas
Uma das aplicações do traçado de paralelas é na divisão de um segmento
qualquer em partes iguais ou proporcionais (Teorema de Thales). A aplicação deste
teorema pode ser exemplificada pela divisão de cercas e determinação da altura dos
degraus de uma escada.
Exemplo: Dividir um segmento de reta AB em 5 partes iguais.
- traçar por uma das extremidades do segmento
uma reta inclinada, marcar nesta reta auxiliar
uma unidade qualquer e o número de partes que
se quer dividir o segmento AB (ex. 5 partes)
- unir o último ponto da reta auxiliar ao extremo
do segmento (B) e traçar retas paralelas a esta
dividindo o segmento AB.
A B
Exemplo: Dividir o segmento de reta AB em partes proporcionais a 2, 5, 1 e 3.
- traçar por uma das extremidades do
segmento uma reta inclinada, marcar
nesta reta auxiliar uma unidade
qualquer e o número de partes que se
quer dividir o segmento AB
(2+5+1+3=11)
- unir o último ponto da reta auxiliar ao
extremo do segmento (B) e traçar retas
paralelas a esta dividindo o segmento
AB nas divisões correspondentes.
A B
Exercícios:
a) Dividir o segmento AB de 7 cm em 9 partes iguais.
b) Dividir o segmento CD de 12 cm em partes proporcionais a 4, 6, 1 e 3.
2
5 1
3
III
1
5
2 3
I II
4
VI V
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3 Lugares Geométricos Básicos
Lugar Geométrico (LG) é um conjunto de pontos do plano que possuem uma
propriedade em comum.
3.1 Circunferência
É o conjunto de pontos que
eqüidistam de um ponto do plano,
(distância é igual ao raio).
3.2 Mediatriz
É o conjunto de pontos que
eqüidistam de dois pontos do plano.
Possui a propriedade de ser
perpendicular ao segmento AB e passar
pelo Ponto Médio do segmento AB.
3.3 Bissetriz
É o conjunto de pontos que
eqüidistam de duas retas do plano,
dividindo o ângulo formado por elas em
2 partes iguais.
A PM B
A B
bissetriz r
r
R
O
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3.4 Retas paralelas
É o conjunto de pontos eqüidistam
de uma reta do plano.
3.5 Arco capaz
É o conjunto de pontos que vêem
um dado segmento segundo um
determinado ângulo k.
A semi-circunferência é o lugar
geométrico dos pontos que vêem o
segmento AB (diâmetro) segundo um
ângulo reto (90º).
D D
A B
90º 90º
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Exercícios:
a) Determinar os pontos que distam
simultaneamente 50 mm de A e 30
mm de B.
b) Dividir o segmento AB em 8
partes iguais.
- utilizar o traçado de mediatrizes
c) Traçar uma reta perpendicular a
um segmento AB que passe por um
ponto C fora do segmento.
C
A B
A B
A
B
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d) Traçar uma reta perpendicular ao
segmento AB passando por um
ponto C deste mesmo segmento.
e) Traçar uma reta perpendicular ao
segmento AB passando pela
extremidade B.
f) Por um ponto P traçar uma reta
paralela a AB.
C A B
A B
P
A B
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g) Desenhar o lugar geométrico dos
pontos que distam 20 mm da reta r.
h) Determinar a distância entre as
retas paralelas r e s.
- traçar uma reta perpendicular às
duas retas paralelas.
i) Determinar a bissetriz do ângulo
formado entre as retas r e s.
r
r
s
r
s
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4 Circunferência
Elementos da Circunferência:
- raio
- corda
- diâmetro
- centro (O)
- arco (DE)
- flecha (FG)
- semi-circunferência
- secante (s)
- reta tangente (t)
- reta normal (n)
Exercícios:
a) Traçar uma circunferência que passa pelos pontos A, B e C.
- achar as mediatrizes de AB e BC.
- O encontro das mediatrizes será
o ponto O (centro da
circunferência)
A
B
C
s
t
O
E
D
G
F
n
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b) Determinar o centro da circunferência.
c) Determinar o centro do arco do arco MN e seu ponto médio.
d) Determinar a distância do ponto P ao arco MN.
N
M
N
M
P
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4.1 Tangência
Traçar uma tangente em um ponto dado da
circunferência.
- unir o centro da circunferência (O) ao ponto T (reta normal)
- traçar uma perpendicular à reta normal por T
Traçar circunferências
tangentes à outra
circunferência.
- unir o centro da circunferência
ao ponto de tangência com uma
reta
- marcar sobre ela o raio da
circunferência tangente a
primeira e traçar.
Retas tangentes à curva passando por
ponto fora dela.
- ligar O e P, determinar o Ponto médio (M).
- traçar uma circunferência auxiliar (com
centro em M e raio OM, determinar os
pontos de tangência T e T´ sobre a
circunferência.
t
T O
T
O’ O
T O’
O
M
P
O
T
T’
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Unir duas circunferências por tangentes exteriores.
- traçar dentro da circunferência maior uma circunferência com raio (r – r’).
- encontrar o ponto médio (P) entre os centros das 2 circunferências.
- traçar com centro em P e raio PO uma circunferência, encontrando os pontos 1 e 2 na circunferência
de raio (r – r’).
- ligar os pontos 1 e 2 ao ponto O. Encontrar T e T´ sobre a circunferência de raio r através do
prolongamento do raio, traçar paralelas a estas 2 retas, determinando 3 e 4 na circunferência menor.
Unir duas circunferências por tangentes interiores.
- traçar, com centro coincidente ao da circunferência maior uma circunferência com raio (r + r’).
- encontrar o ponto médio (P) entre os centros das 2 circunferências.
- traçar com centro em P e raio PO uma circunferência, encontrando os pontos 1 e 2 na circunferência
de raio (r + r’).
- ligar os pontos 1 e 2 ao ponto O, traçar paralelas a estas 2 retas a partir de T e T’ determinados pelo
prolongamento do raio na circunferência maior (r), transferir com o compasso a medida de O1 e O2
para T e T’ determinando os pontos 3 e 4 na circunferência menor.
P O’
O
T
T’
r-r’
r'
2
1
4
3
P O’ O
T
T’
r+r’
r'
2
1
4
3
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Exercícios:
a) Determinar a reta tangente à circunferência em T.
b) Determinar o ponto de tangência entre a reta t e a circunferência O.
c) Determinar as retas tangentes à circunferência que passam pelo ponto P.
O
T
O
t
O
P
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d) Traçar uma circunferência de raio 30 mm, tangente a circunferência em T.
e) Encontrar as tangentes exteriores às circunferências de r = 3,5 cm e r’ = 1 cm. Sabendo que
seus centros distam 7 cm.
f) Encontrar as tangentes interiores às circunferências de r = 3 cm e r’ = 1,5 cm. Sabendo que
seus centros distam 9 cm.
O
T
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4.2 Retificação da Circunferência
A retificação de uma circunferência consiste em determinar o segmento de
reta cujo comprimento seja o da circunferência em questão. Isto pode ser
determinado a partir da relação constante entre a circunferência e seu diâmetro, pois
sabe-se que o comprimento da circunferência é aproximadamente o triplo mais um
sétimo do seu diâmetro (cujo valor aproximado é constante e igual a 3,1416).
Onde: C – comprimento da circunferência
r – raio da circunferência
D – diâmetro da circunferência
Processo de Arquimedes:
Processo de Terquem:
Exercícios:
a) Retificar a circunferência de raio 25 mm através do processo de Arquimedes e
de Terquem, e após, comparar os resultados.
1/7 D
1 2
3 4
5 6
7
1 D 1 D 1 D
C
O
M
E F G H
A
D
B
½(2? r)
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4.3 Divisão da Circunferência
Divisão por 2 e múltiplos de 2:
- traçar dois diâmetros 12 e 34,
perpendiculares entre si.
- determinar a mediatriz de 14 e 13
encontrando 5 e 6, e 7 e 8.
Divisão por 3 e múltiplos de 3:
- traçar o diâmetro AB.
- com centro em B , traçar arco
com o mesmo raio da
circunferência, determinando os
pontos 1 e 2.
- para dividir a circunferência em 6
partes, repetir o mesmo processo
em A, com abertura igual ao raio,
determinando os pontos 3 e 4 .
Divisão em n partes iguais:
Método de Bion-Rinaldine
- traçar o diâmetro AB. Com centro
em A e B e raio = diâmetro, traçar
arcos, determinando O e O´.
- dividir o diâmetro AB em n partes
(ex. 7 partes).
- ligar O e O´aos pontos pares (2,
4, 6,...) ou ímpares (1, 3, 5,...).
1
2
3 4
5
8
7
6
A
B
1
4 3
2
A
B
1
O O’
2
3
4
5
6
7
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Exercícios:
a) Dividir uma circunferência de raio = 30 mm em 6 e em 12 partes iguais.
b) Dividir uma circunferência de raio = 25 mm em 8 e em 16 partes iguais.
c) Dividir uma circunferência de raio = 30 mm em 9 partes iguais.
d) Dividir uma circunferência de raio = 35 mm em 13 partes iguais.
5 Ângulos
5.1 Construção de ângulos
Os ângulos são formados por duas semi-retas que tem a mesma origem. A
grandeza de um ângulo é representada pela abertura dos lados.
A origem dos ângulos corresponde à divisão da circunferência em 360 partes
iguais, sendo cada parte (1/360) chamada de grau, portanto a circunferência tem
360 graus.
O ângulo entre duas retas pode ser representado através de um raio e uma
corda (notação: ab (raio,corda)).
5.2 Classificação
Os ângulos podem ser classificados, conforme a abertura dos lados, como:
RETO – lados perpendiculares, mede 90º;
AGUDO – menor que o ângulo reto, mede menos de 90º;
RASO – mede 180º;
OBTUSO – maior que o reto e menor que o obtuso, mede entre 90º e 180º.
lado
lado abertura
vértice
bissetriz
V
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5.3 Transporte de Ângulos
O processo de transporte de ângulos é o mesmo que para construir um ângulo
igual a um outro ângulo dado. Para tanto, basta utilizar uma abertura qualquer do
compasso, traçando um arco sobre o ângulo dado, em seguida, sobre a reta a que se
quer transportar o ângulo, desenha-se o mesmo arco, após este processo, basta
medir a corda do ângulo dado e transportá-la para o arco desenhado. Encontrado o
ponto, basta ligar ao vértice do ângulo.
5.4 Operações com ângulos
Os ângulos são quantidades que podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas
ou divididas graficamente.
ADIÇÃO: basta construir os ângulos, da mesma forma como visto
anteriormente, porém lado a lado, fazendo com que o vértice e um de seus lados
coincida com um dos lados do ângulo anterior.
SUBTRAÇÃO: basta construir os ângulos, da mesma forma como visto
anteriormente, porém de forma a que fiquem um dentro do outro, fazendo com que
o vértice e um de seus lados coincida com um dos lados do ângulo anterior.
MULTIPLICAÇÃO: os ângulos podem ser multiplicados por um número
graficamente, sabendo que a multiplicação é a uma soma de parcelas iguais,
portanto, basta construir os ângulos, lado a lado, repetidamente.
DIVISÃO: a divisão gráfica de um ângulo não é sempre possível, embora a
divisão aritmética seja. É possível dividir graficamente o ângulo em 2 partes, 4, 8...
de forma precisa, através da determinação de sua bissetriz, porém não é possível
dividi-lo em 3 partes (com exceção do ângulo de 90º).
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Exercícios:
a) Desenhar o ângulo ab (40mm, 50mm) com vértice em A.
b) Desenhar o ângulo cd (30mm, 50mm), com vértice em B.
c) Construir um ângulo de 75º com compasso.
d) Transportar os ângulos gh e df.
A a
g
h
d
f
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e) Com vértice em G resolver a operação: bc + cd – de - ef. Sendo: bc (30mm, 55mm); cd
(30mm, 30mm); de (30mm, 15mm); ef (30mm 40mm).
f) Dividir um ângulo reto em 3 partes iguais.
g) Traçar a bissetriz de um ângulo qualquer (dividir o ângulo em 2 partes iguais).
a
b A
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h) Dividir o ângulo rs em 8 partes iguais.
i) Determinar a bissetriz do ângulo formado entre as retas r e s (vértice inacessível).
j) Traçar 8 circunferências de raio 0,5 cm igualmente espaçadas entre si e entre as
circunferências existentes.
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A B
A
O D
C
B C
O D
A
B
C
O D
E
2ª
mediatriz
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Prof. Anelise Hoffmann
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7.3 Polígonos de Cordas
Polígonos de cordas são polígonos inscritos em uma circunferência, um
polígono diz-se inscrito numa circunferência quando todos os seus vértices estão
sobre a circunferência. Neste caso a circunferência diz-se circunscrita ao polígono
e o seu centro tem o nome de circuncentro.
Os polígonos inscritos podem ser irregulares ou regulares1.
- nos polígonos inscritos todos os ângulos terão de ser inscritos;
- o centro da circunferência circunscrita a um polígono inscrito terá de
eqüidistar de seus vértices, encontrando-se, por isso, na interseção das mediatrizes
de seus lados.
Construção:
- dividir a circunferência no mesmo número de partes que o número de lados
do polígono;
- ligar os pontos encontrados consecutivamente;
- no caso de divisão da circunferência em arcos iguais, como a arcos iguais
correspondem cordas iguais, determina-se, então, o polígono regular inscrito a
circunferência.
7.4 Polígonos de Tangentes
Um polígono diz-se circunscrito a uma circunferência quando todos os seus
lados são tangentes à circunferência. Neste caso a circunferência diz-se inscrita
no polígono e o seu centro chama-se incentro.
1 Fonte: http://www.pro.ufjf.br/desgeo/poligonos/teoria/poligonos_regulares.htm#Polígonos%20Regulares (pesquisa em 6/04/2006)
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Os polígonos circunscritos podem ser irregulares ou regulares2.
- nos polígonos circunscritos todos os ângulos terão de ser circunscritos;
- o centro da circunferência inscrita a um polígono circunscrito terá de
eqüidistar de todos os seus lados e por esta razão terá de ser o ponto comum de
todas as bissetrizes de seus ângulos.
Construção:
- dividir a circunferência no mesmo número de partes que o número de lados
do polígono;
- traçar os raios que passam pelos pontos de divisão (reta normal);
- traçar retas perpendiculares ao raio nos pontos de divisão da circunferência
(reta tangente), prolongando-as até que se encontrem nos pontos que serão os
vértices do polígono circunscrito;
- no caso de divisão da circunferência em arcos iguais, determina-se, então, o
polígono regular circunscrito a circunferência.
7.5 Polígonos Estrelados
Um polígono estrelado é formado por uma linha poligonal contínua e se obtém
quando, partindo de um ponto da divisão de uma circunferência em n partes, volta-
se ao mesmo ponto de partida após as uniões p a p, isto é, pulando p arcos.
Um polígono estrelado é classificado como entrecruzado, podendo ser
equiângulo ou equilátero se seus vértices forem definidos a partir da divisão da
circunferência em partes iguais.
2 Fonte: http://www.pro.ufjf.br/desgeo/poligonos/teoria/poligonos_regulares.htm#Polígonos%20Regulares (pesquisa em 6/04/2006)
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O cálculo do número de polígonos estrelados diferentes que podem ser
definidos a partir da divisão da circunferência em um número (n) qualquer de partes,
pode ser realizado da seguinte forma:
- Seja n o número de partes iguais em que foi dividida a circunferência;
- Divide-se n por 2.
- Considera-se p todos os números inteiros menores que n/2, sendo p o
número arcos a serem tomados na circunferência para a construção do polígono
estrelado;
Por exemplo3: para n = 9: n/2 = 4,5 então p = 2, 3 e 4
p = 1
Indica que os pontos
da divisão são ligados
consecutivamente
(obtém-se um polígono
regular inscrito)
p = 2
Indica que os pontos
da divisão são ligados
tomando-se 2 arcos.
p = 3
Indica que os pontos
da divisão são ligados
tomando-se 3 arcos.
p = 4
Indica que os pontos
da divisão são ligados
tomando-se 4 arcos.
- OBS: Se o quociente de n/2 for inteiro, consideram-se os números inteiros
menores que ele. Ex: n = 10 n/2 = 5 então p = 2, 3 e 4.
Se a circunferência for dividida em partes iguais, o polígono estrelado formado
será regular, caso a divisão for aleatória o polígono estrelado formado será dito
irregular.
Polígono estrelado descontínuo: quando é constituído de dois ou mais
polígonos. Neste caso, o perímetro do polígono não pode ser totalmente percorrido
com um lápis, por exemplo, sem se levantá-lo do papel. Se partirmos de um ponto
qualquer, não poderemos voltar a este mesmo ponto depois de ter percorrido
3 http://www.pro.ufjf.br/desgeo/poligonos/teoria/poligonos_regulares.htm (pesquisa em 23/03/2006)
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totalmente o perímetro poligonal (é sempre composto de polígonos independentes
estrelados).
Polígono estrelado contínuo: se, ao contrário, saindo de um ponto qualquer
conseguimos voltar a este mesmo ponto, completando o perímetro poligonal,
podemos escrever que o polígono é contínuo.
Exercícios:
a) Construir um pentágono regular inscrito em uma circunferência de r=25mm.
b) Construir um eneágono (9 lados) regular inscrito em uma circunferência de r=35mm .
c) Construir um heptágono (7 lados) regular circunscrito a uma circunferência de r= 30mm.
d) Construir um hexágono regular circunscrito em uma circunferência de r= 25mm.
e) Construir um polígono estrelado regular inscrito em uma circunferência de r=35mm sendo
n=8 e p=3.
f) Construir um polígono estrelado regular inscrito em uma circunferência de r=35mm sendo
n=11 e p=4.
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8 Curvas cônicas
São curvas determinadas a partir de interseções de um plano e de um cone de
base circular1.
- quando o plano intercepta o cone perpendicularmente ao seu eixo a
interseção será uma circunferência;
- quando o plano intercepta o cone paralelo à geratriz a interseção será uma
parábola;
- quando o plano intercepta o cone paralelo ao eixo do mesmo a interseção
será uma hipérbole;
- quando o plano intercepta o cone formando um ângulo qualquer com a
geratriz ou com o eixo do cone a interseção será uma elipse.
8.1 Elipse
É uma curva plana, fechada e simétrica. Seu eixo é a linha em relação a qual
os vários pontos da curva são simétricos dois a dois.
A elipse apresenta dois eixos ortogonais, um que passa pelos focos e é
chamado de eixo maior e outro que é perpendicular e passa pelo centro
denominado eixo menor.
1 TEIXEIRA, F.G, SILVA, R. P. Geometria Descritiva – Estudo de Superfícies. Porto Alegre, 2001.
Parábola Elipse Hipérbole
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Raios vetores são os segmentos que ligam um ponto qualquer da curva aos
focos. A soma de dois raios vetores de determinado ponto da curva é constante, e
sempre igual ao eixo maior da elipse.
PF + PF´ = AA´
P – ponto qualquer da elipse
F – pontos fixos do plano (focos)
PF e PF´ - raios vetores
AA´ - eixo maior
FF´ - distância focal
AA´> FF´
FF´ pertence a mesma reta que AA´, e
possuem pontos médios coincidentes.
Círculos diretores são traçados tendo como centro os focos da elipse e raio
igual ao eixo maior.
Círculos principais são traçados com raio igual aos semi-eixos maior e menor
da elipse e podem também ser utilizados para o traçado da mesma2.
Traçado da Elipse através dos círculos principais:
- traçar uma diagonal, passando pelo centro da elipse;
- no ponto onde a diagonal corta o círculo principal
menor, traçar uma reta paralela ao eixo maior;
- no ponto onde a diagonal corta o círculo principal
maior, traçar uma reta paralela ao eixo menor;
- onde as retas (paralelas aos eixos) se interceptarem
tem-se os pontos da elipse.
OBS.: a cada diagonal traçada podem-se determinar,
por simetria, quatro pontos da elipse.
2 Fonte:http://www.terra.es/personal/rogero/trazado/curv_con.htm
Círculos
principais
Círculos
diretores
Eixo maior
(AA´)
Eixo menor
(BB´)
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Tangente por um ponto da elipse:
A bissetriz do ângulo formado pelos raios vetores é a reta normal à curva. A
reta tangente à curva em determinado ponto é a reta perpendicular à reta normal no
mesmo ponto.
Tangentes por um ponto fora da elipse:
Para determinar as retas tangentes à elipse por um ponto P externo:
- com raio = PF´ e centro em P, traçar um arco;
- com raio = AA´ e centro em F, traçar outro arco;
- determinando os pontos 1 e 2;
- determinar a mediatriz de F´1 (reta tangente - t)
- determinar a mediatriz de F´2 (reta tangente – t´)
- unir 1F e 2F , determinar T e T´ (pontos de tangência)
A F A´
t
F’
t´
P
1
2
T
T´
A F A´
t
F’
n P
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Exercícios:
a) Desenhar a elipse cujos semi-diâmetros são OA = 5 cm e OB = 3,5 cm.
b) Desenhar a elipse cujos semi-diâmetros são AO = 4 cm e OB = 2,5 cm, utilizando os círculos
principais.
c) Desenhar a elipse definida pelo diâmetro AA’= 9 cm e pelo ponto P, sabendo que dista 4 cm
de A e 7 cm de A’.
d) Traçar uma reta tangente à elipse em T, e em P.
e) Traçar uma reta tangente à elipse em um ponto T situado a 15 mm do diâmetro maior, e em
um ponto Q situado a 10 mm do diâmetro menor.
T
P
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8.2 Parábola
É uma curva plana, aberta infinita e de um só ramo. Cada um dos pontos da
parábola eqüidista de um ponto fixo do plano (foco) e de uma reta fixa, situada no
mesmo plano, denominada diretriz (d).
Eixo da parábola é a linha que contém o vértice e o foco da parábola.
A diretriz é uma reta perpendicular ao eixo e passa por O. O segmento OF é
chamado Parâmetro da Curva onde V situa-se no ponto médio deste segmento.
Os raios vetores da parábola são os segmentos que ligam cada ponto da
mesma ao foco e a diretriz (formando ângulo reto com a mesma).
PF = Pd
P – ponto qualquer da parábola
F – ponto fixo do plano (foco)
PF e Pd - raios vetores
Tangente por um ponto da parábola:
A bissetriz do ângulo formado pelos raios vetores em determinado ponto da
parábola é a reta tangente a curva naquele ponto.
d
P
O
t
F V
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Tangentes por um ponto fora da parábola:
- com raio = PF e centro em P, traçar um arco;
- determinando os pontos 1 e 2 onde o arco corta a diretriz;
- determinar a mediatriz de F1 (reta tangente - t)
- determinar a mediatriz de F2 (reta tangente – t´)
- unir 1 e 2 à diretriz (através de reta paralela ao eixo), determinar T e T´ (pontos de
tangência)
Exercícios:
a) Desenhar a parábola em que a distância do foco à diretriz mede 25 mm.
b) Desenhar a parábola de eixo e vértice V que passa por P.
V e
P
V F
eixo
t
d
t´
P
1
2
T
T´
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c) Determinar graficamente o vértice e o eixo da parábola.
d) Representar a parábola definida pelas tangentes t e t’ e os respectivos pontos de tangência T
e T’.
e) Determinar as retas tangentes à parábola em T e em P.
T
T´
t
t´
V F
d
P
T
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8.3 Hipérbole
É uma curva plana, aberta de ramos infinitos. A lei de geração da
hipérbole é determinada pela diferença entre as distâncias de um ponto
qualquer da hipérbole a dois pontos fixos situados no mesmo plano (focos da
hipérbole), que é constante e igual a distância AA’.
Eixo da hipérbole é a linha que contém os focos. Os raios vetores da
hipérbole são os segmentos que ligam cada ponto da mesma aos focos.
PF – PF´ = AA´
P – ponto qualquer da
hipérbole
F e F’ – pontos fixos do plano
(focos)
PF e PF´ - raios vetores
FF´ - distância focal
AA´< FF´
FF´ pertence a mesma reta
que AA´, e possuem pontos
médios coincidentes.
Tangente por um ponto da hipérbole:
A bissetriz do ângulo formado pelos raios vetores de um determinado
ponto da hipérbole é a reta tangente a curva naquele ponto (como na
representação acima).
F´ A F
t
A´
P
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Tangentes por um ponto fora da hipérbole:
- com raio = PF´ e centro em P, traçar
um arco;
- com raio = AA´ e centro em F, traçar
outro arco;
- determinando os pontos 1 e 2;
- determinar a mediatriz de F´1 (reta
tangente - t)
- determinar a mediatriz de F´2 (reta
tangente – t´)
- unir 1F e 2F , determinar T e T´
(pontos de tangência)
Exercícios:
a) Desenhar a hipérbole de distância focal = 4 cm e AA’= 2,5 cm.
b) Desenhar a hipérbole cuja distância focal é 3 cm e a distância AA’ é 2
cm. Determinar também a reta tangente à hipérbole em um ponto
situado a 2,5 cm do eixo.
A´
F
eixo
t
A
t´
P
1
2
T
T´
F´
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54
9 Curvas Espirais
9.1 Espirais Verdadeiras
É a curva que descreve o deslocamento de um ponto em torno de outro
(pólo) afastando-se dele, e obedecendo a uma determinada lei, que regule e
estabeleça uma relação de velocidade entre o movimento circular (em torno do
pólo) e retilíneo (se afastando do pólo). As espirais podem se desenvolver no
sentido horário (destrógira) ou no sentido anti-horário (levógira).
São espirais verdadeiras: Espiral de Arquimedes1, logarítmica e
hiperbólica.
Espiral de Arquimedes
- dividir o passo em um determinado número de partes
(mínimo 8) e traçar as circunferências concêntricas
correspondentes
- dividir a circunferência no mesmo número de partes.
- determinar os pontos por onde passa a espiral e traçar a
mão livre.
1 fonte: http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/espirais/
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55
Espiral logarítmica
Esta espiral aparece em
abundância na natureza, é uma forma
que rege o crescimento de muitos
organismos vivos como: as conchas de
caracóis vistas frontalmente formam
espirais logarítmicas2, teias de aranha, os
insetos se aproximam da luz segundo
uma espiral logarítmica, pois se
acostumam a voar com ângulo constante
em relação à fonte luminosa, os braços
dos ciclones tropicais, também formam
espirais logarítmicas, no reino vegetal
também existem exemplos como os
girassóis3, as margaridas, as pinhas, etc.
A diferença da espiral logarítmica
e da espiral de Arquimedes é que as
distâncias entre seus braços (passo) se
incrementam em progressão geométrica,
enquanto que na espiral de Arquimedes o
passo é constante.
Espiral logarítmica construída a partir
de retângulos obtidos pela proporção áurea4.
2 http://www.formacion.pntic.mec.es/web_espiral/matematicas/logaritmica/espiral%20logaritmica.htm 3 http://bonsfluidos.abril.com.br/extra/a/beleza5.shtml 4 http://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar%C3%ADtmica
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56
Espiral hiperbólica
Esta espiral se caracteriza por ser inversa a
de Arquimedes, e tende a aproximar-se do pólo,
sem nunca alcançá-lo5.
9.2 Espirais Falsas
São aquelas se aproximam das espirais verdadeiras. Tem como
elementos:
- amplitude – ângulo descrito pelo ponto em cada centro, calculado
dividindo-se 360º pelo número de centros da espiral;
- centros - uma espiral falsa pode ter 2 ou mais centros; (bicêntricas,
tricêntricas ou policêntricas);
- passo - é calculado multiplicando o lado do polígono de núcleo pelo
número de centros.
Construção da espiral bicêtrica:
Dados os centros A e B construir uma falsa espiral bicêntrica.
- sobre uma reta localizar o núcleo da espiral (A e B)
- com abertura AB e centro em A , traçar arco e encontrar 1 sobre a reta
- com abertura B1 e centro em B, traçar arco 1-2
- com abertura A2 e centro em A, traçar arco 2-3
Sentido Horário Sentido Anti-horário
5 http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates23/opciones/investigacion/espirales/espirales.htm
A B
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57
Construção da espiral tricêntrica:
Sabendo-se que a amplitude da espiral é 120º, que o passo é 1,5 cm, determina-se os
centros (A , B e C – vértices de um triângulo eqüilátero de lado = 0,5 cm).
- prolongar os lados do triângulo ABC
- com abertura AC e centro em A , traçar arco C1
- com abertura B1 e centro em B, traçar arco 1-2
- com abertura C2 e centro em C, traçar arco 2-3
- com abertura A3 e centro em A, traçar arco 3-4
Construção da espiral de quatro centros irregular:
- Traçar um retângulo 1234 de modo que seus lados
sejam o dobro dos outros;
- Prolonga-se os lados deste retângulo;
- Centrar em 1, raio 13, traçar o arco 3A;
- Centrar em 2, raio 2A, traçar o arco AB;
- Centrar em 3, raio 3B, traçar o arco BC;
- Centrar em 4, raio 4C, traçar o arco CD;
- Centrar em 1, raio 1D, traçar o arco DE;
- Centrar em 2, raio 2E, traçar o arco EF e assim por
diante.
Exercícios
a) Construir uma espiral de amplitude 120º e passo 3cm, no sentido horário.
b) Construir uma espiral de amplitude 180º e passo 1 cm, no sentido anti-horário.
c) Construir uma espiral levógira (AH) com 4 centros (quadrado de L = 0.5 cm).
d) Construir uma espiral destrógira (H) com 6 centros (hexágono de L = 0.5 cm).
e) Construir uma espiral de Arquimedes de passo = 5 cm, no sentido horário
A
C
A
B
1
2
3
4B
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58
10 Curvas cíclicas
São as curvas geradas a partir da trajetória de pontos relacionados à
circunferência. Estas curvas, também chamadas de curvas mecânicas, se
caracterizam por um processo de oscilação periódica entre distâncias iguais, e
repetem-se indefinidamente1.
10.1 Ciclóide
É uma curva plana, descrita por um
ponto do raio, ou prolongamento do raio de
uma circunferência, que rola sem escorregar,
sobre uma reta (diretriz).
Traçado da ciclóide:
- retificar a circunferência dada, e marcar seu comprimento sobre uma reta suporte;
(processo de Arquimedes ou de Terquem)
- divide-se a circunferência em um número n de partes iguais (ex. 8 partes);
- divide-se o segmento de reta (obtido da retificação da circunferência) no mesmo
número n de partes (ex. 8 partes);
- traçar retas paralelas à reta suporte, passando pelos pontos de divisão da
circunferência; traçar pelos pontos da divisão da reta suporte retas perpendiculares à mesma;
- onde estas retas cortarem a paralela que passa pelo centro da circunferência ficam
definidos os pontos a, b, c, d, e, f, e g;
- com a abertura do compasso igual ao raio da circunferência, centrar em cada um dos
pontos definidos anteriormente, determinando os pontos A, B, C, D, E, F, G, H e I da curva
cíclica.
1 Fonte : http://www.educacionplastica.net/CurCic2.htm
d
reta suporte
c e g b
1 = A
2
f
B
3
6
5
4
7
8
a
F E
G
I
D
H
C
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59
A curva ciclóide também pode ser:
- Encurtada: quando o ponto que gera a curva está dentro da
circunferência, e unido à ela no movimento.
- Alongada: quando o ponto que gera a curva se encontra fora da
circunferência, e unido à ela no movimento.
CICLÓIDE
CICLÓIDE ENCURTADA
CICLÓIDE ALONGADA
10.2 Epiciclóide
É uma curva plana, descrita por um ponto do raio, ou
prolongamento do raio de uma circunferência, que rola sem
escorregar, sobre o lado externo de uma outra
circunferência (diretriz).
A curva epiciclóide também pode ser alongada ou
encurtada.
EPICICLÓIDE EPICICLÓIDE ENCURTADA
EPICICLÓIDE ALONGADA
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60
10.3 Hipociclóide
É uma curva plana, descrita por um ponto do raio,
ou prolongamento do raio de uma circunferência, que rola
sem escorregar, sobre o lado interno de uma outra
circunferência (diretriz).
A curva hipociclóide também pode ser alongada ou
encurtada.
HIPOCICLÓIDE HIPOCICLÓIDE ENCURTADA
HIPOCICLÓIDE ALONGADA
Exercícios:
a) Desenhar a ciclóide gerada a partir de um círculo de raio = 20mm.
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61
11 Transformações Geométricas
São funções que associam a cada ponto do plano um outro ponto
também do plano através de determinada regra ou lei. Existem transformações
geométricas por isometria (translação, reflexão e rotação) e por homotetia.
11.1 Isometrias
São transformações geométricas que preservam as distâncias, o
paralelismo e os ângulos, portanto, a imagem de uma figura F, por uma
isometria, é uma figura F´ congruente a F, isto é, têm exatamente a mesma
forma e o mesmo tamanho.
Translação
A translação é determinada por um vetor (definido através de um
tamanho, sentido e direção), onde transforma toda reta em uma paralela, e
assim, a imagem de uma figura F, por translação, é uma figura F´ congruente a
F, conforme a figura a seguir.
Reflexão
A reflexão em torno da reta r (também chamada de simetria) é a
transformação que faz corresponder a cada ponto do plano, um ponto também
do plano, simétrico de A em relação à reta r. A figura a seguir mostra a simetria
da figura F em relação a reta r , a imagem da figura F por reflexão é uma figura
F´ congruente a F.
A
B
D
C
A´
B´
D´
C´
v
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62
Rotação
A transformação geométrica por rotação se dá a partir de um centro O e
segundo um determinado ângulo α (medido no sentido anti-horário, ou
trigonométrico). A imagem de uma figura F, determinada por rotação, é uma
figura F´ , também congruente a F.
A
B
D
C
A´
B´
D´
C´
Reta r = eixo de simetria
A
B
D
C
A´
B´
D´
C´
O
α
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63
11.2 Homotetia
Esta transformação geométrica não altera a forma das figuras, e sim seu
tamanho, gera, portanto figuras geometricamente semelhantes, e pode ser
utilizada para encontrar uma ampliação ou redução da figura, através de
relações entre escalas. As figuras homotéticas são figuras geradas a partir de
um centro de homotetia, de onde partem os raios homotéticos em direção aos
vértices da figura, onde a nova figura é obtida traçando-se lados homotéticos
paralelos.
A figura a seguir ilustra a homotetia inversa e a direta de uma figura
representada em determinada escala. Para representá-la em uma escala menor
ou maior, é necessário descobrir a relação entre as escalas ou razão de
homotetia (x/y), que determinará a redução ou a ampliação da figura, quando
esta relação é positiva a homotetia é dita direta, e, quando é negativa, a
homotetia é dita inversa.
O centro de homotetia pode estar em qualquer lugar do plano. Pode-se
utilizar um dos vértices da figura ou seu ponto central.
Escala nova = x = razão da homotetia
Escala do desenho y
Homotetia Inversa
(1:500)
Homotetia Direta
(1:500)
Centro de
Homotetia
Raios
Homotéticos
Figura
(1:300)
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64
Exercícios:
a) Determinar a imagem da figura representada abaixo, por translação, com relação ao
vetor u.
b) Determinar a imagem da figura abaixo por simetria (ou reflexão) em relação à reta s.
u
s
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65
c) Determinar a imagem da figura através de rotação em torno do ponto O, sob uma
amplitude de 45º e de 210º .
d) Sabendo que um triângulo equilátero de lado 3 cm está representado na escala 1:750,
representá-lo na escala 1:1500 e 1:250, utilizando homotetia.
e) Um quadrado representado na escala 1:500 possui lado = 4 cm, representá-lo nas
escalas de 1:200 e 1:400, utilizando homotetia.
f) Desenhar um triângulo eqüilátero cujos vértices coincidam com os de um hexágono
regular inscrito em uma circunferência de r = 15 mm. Reproduzir o conjunto, utilizando
homotetia ampliando seu tamanho em 2,5 vezes (utilizar o centro de homotetia
coincidindo com o centro da circunferência).
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66
12 Criação da Forma – Geração e Proporção Áurea
Os critérios de proporção são estabelecidos de acordo com as sensações,
percepções e noção de harmonia e coerência, e estas nascem da proporção, do
equilíbrio e da semelhança. Em composições geométricas as razões numéricas e
as razões geométricas são utilizadas para se adquirir harmonia e ritmo.
Proporção é um princípio do desenho que envolve uma relação agradável
das partes entre si e de cada parte com o todo. Mais do que um fator estético,
a proporção deve ser entendida como um fator estrutural na disposição das
partes, fator da maior importância para a ordenação interior da forma e seu
sentido expressivo1.
Por exemplo, uma folha dividida ao meio através de uma linha,
apresenta espaços de completo equilíbrio que certamente não despertam
interesse. A relação dos espaços divididos é mais agradável e interessante
quando a divisão é feita matematicamente em áreas progressivamente maiores
ou menores, ou ainda, através da percepção da harmonia ou do contraste. Da
mesma forma, espaços divididos desigualmente em áreas grandes, médias e
pequenas criam proporções dinamicamente mais aceitáveis do que áreas
exatamente iguais2.
A proporcionalidade é um estado em que as correspondências que
existem entre as diversas partes de um conjunto são significativas porque são
necessárias, portanto nada pode ser acrescentado, retirado ou alterado sem
prejudicar o conjunto, esta coerência se conclui como sendo harmoniosa1.
Nos tempos de Pitágoras, foram estudadas dez proporções notáveis,
dentre elas a HARMÔNICA, a DIVINA ou ÁUREA e a MEDIA GEOMÉTRICA,
sendo estas encontradas nas figuras geométricas, nas notas musicais, na
geometria dos seres vivos (flores, organismos marinhos, e até nos seres
humanos), nas obras arquitetônicas, etc3.
1 OSTROWER, F., Universos da arte. Rio de Janeiro, Ed. Campus, 1983. 2 TAIHSUANAN, Desenho e organização bi e tridimensional da forma. Ed. UCG, Goiânia, 1997. 3 www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/curiosidades/index.htm
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67
12.1 PROPORÇÃO ÁUREA
Na Grécia Antiga acreditava-se que o mundo e o cosmos era formado
apenas por 4 elementos: ar, água, terra e fogo. Os Pitagóricos, como eram
chamados os membros de uma sociedade secreta que se dedicava ao estudo de
matemática e filosofia, conheciam a existência de 4 sólidos perfeitos (tetraedro,
hexaedro, octaedro e icosaedro) e os associavam a cada um dos elementos da
natureza4.
Quando os Pitagóricos descobriram o quinto e último sólido geométrico
perfeito (o dodecaedro) deviam associá-lo a algum outro elemento do universo,
e, seguindo suas crenças, associaram-no aos Deuses4.
Entre os 5 sólidos geométricos conhecidos o
dodecaedro (constituído de pentágonos regulares) e o
icosaedro (constituído de triângulos eqüiláteros) são
aqueles que apresentam mais relações com o número
Phi.
A escolha do dodecaedro para representar a
ligação com os Deuses parece ter se dado por razões filosóficas e por uma
razão matemática, por ser constituído de pentágonos que se relacionam
fortemente com o número Phi.
A proporção áurea foi eleita pelos gregos como critério estético de
perfeição e harmonia. Ela representa, segundo os estudiosos, a mais agradável
proporção entre dois segmentos ou medidas. Esta proporção é equivalente a
1:1,618..., e por convenção é identificada por Phi.
Ela aparece nas belas imagens da fachada do Partenon, onde nota-se
como a arte e matemática se unem, assim como pode ser encontrada também
no pentagrama, símbolo da seita fundada por Pitágoras no séc. V a.C.5
4 http://www.expoente.com.br/professores/kalinke/projeto/aurea.htm 5 http://www.tvcultura.com.br/artematematica/prog06.html
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68
12.2 NÚMERO DE OURO - Phi
Também chamado de razão áurea, seção áurea e segmento áureo. Esta
proporção é obtida pela relação entre a soma de duas grandezas (x e y), e uma
delas (a maior, que no caso é x) é igual a relação entre esta (x) e a outra (y)6.
E isto acontece somente quando a = 1,618..., que é o número de ouro Phi.
(x + y) / x = x / y
Então:
x/x + y/x = x/y
fazendo x/y = a, temos:
1 + 1/a = a (multiplicando por a), temos:
a + 1 = a2
a2 - a - 1 = 0
esta equação apresenta 2 raízes reais: a1 = 0,618...
a2 = 1,618...= Phi
Representação geométrica de Phi:
- dado o segmento AB de medida a, determinar seu segmento áureo:
- traçar por B um segmento perpendicular a AB de medida a/2, definindo
o ponto C;
- ligando AC, tem-se um triângulo retângulo;
- com a ponta seca do compasso em C e abertura BC, encontra-se D
sobre o segmento AC;
- o segmento AD encontrado é áureo de AB ( AB = AD* 1,618...)
6 http://www.mat.uel.br/geometrica
B A
y x
C
B A B A
C
B A
C D
a a/2
a
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69
Aplicações do número Phi:
O número Phi aparece constantemente na Natureza como, por exemplo,
na forma de crescimento das plantas e dos demais seres vivos, nos chifres de
cordeiros selvagens, nas presas de elefantes, na distribuição das sementes em
plantas, nos caracóis, nas coníferas, nas escamas de peixes, nas proporções do
corpo humano, etc.
Um corpo perfeitamente harmonioso traz relações áureas,
na cabeça a linha dos olhos marca uma divisão áurea no
comprimento total da face, também a linha da boca é uma
proporção áurea da distância entre a base do nariz e a
extremidade do queixo. No tronco, o umbigo marca um
ponto áureo no comprimento do corpo7.
Um pentágono estrelado
sobreposto a uma azaléia,
mostra que a mesma
possui as proporções
áureas.
A figura ao lado ilustra as
proporções do corpo
humano8.
7 Fonte: Revista Superinteressante, ano 11, número 10, 1997.
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70
Muitos artistas que viveram depois de Phidias usaram
a proporção Áurea em seus trabalhos. Da Vinci a
chamava: Divina Proporção e a usou em muitos de seus
trabalhos. Na Mona Lisa observa-se a proporção Áurea
em várias situações como, por exemplo, ao construir um
retângulo em torno de seu rosto, veremos que este
possui a proporção do retângulo Áureo. Podemos
também subdividir este retângulo usando a linha dos
olhos para traçar uma reta horizontal e ter de novo a
proporção Áurea. Podemos continuar a explorar tal proporção em várias outras
partes do corpo. Artistas têm usado a razão de ouro (medida de Ouro) em
trabalhos de pintura e arte8.
12.3 RETÂNGULO ÁUREO – RETANGULO DE OURO
O retângulo áureo é considerado a forma geométrica mais agradável à
vista onde a razão entre o lado maior e o lado menor é o número Phi. Nos
tempos atuais tem sido discutida sua a validez de sua relação com a beleza,
porém a incidência do retângulo áureo nas artes é maior do que se podia
esperar como resultado de uma simples coincidência9.
O Partenon de Atenas se encaixa quase que perfeitamente no retângulo áureo. Embora
seja dotado de várias proporções geometricamente equilibradas, provavelmente seus
construtores (no séc. V a.C.) tinham somente o conhecimento intuitivo da proporção
áurea. O retângulo áureo não aparece somente na fachada, a distribuição interna das
peças também obedece a proporção9.
8 http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm 9 www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/curiosidades/index.htm
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71
Esta é uma residência no subúrbio de
Paris, idealizada por Le Corbusier, que
ilustra o uso consciente do retângulo
áureo, que aparece não somente no
desenho geral, mas também
verticalmente na área à esquerda das
escadas9.
Construção Geométrica do Retângulo Áureo:
- a construção do retângulo áureo inicia pelo quadrado de lado a;
- encontra-se o ponto M (ponto médio de AD);
- o ponto M é o centro de um círculo cujo raio é a diagonal MC;
- estende-se a linha de base AD até interceptar o arco, (ponto E);
- AE é então a base do retângulo.
O retângulo áureo tem uma propriedade em
particular: se retirarmos o quadrado que o originou, resta
o retângulo CDEF (na figura acima) que também possui as
proporções áureas. E assim sucessivamente, como mostra
a figura ao lado9.
A espiral logarítmica também pode ser
representada a partir de um retângulo áureo.
a
a
B
A D
C B
A D
C B
A D
C B
A D
C
M M
F
M E
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72
Pentagrama:
É considerado o símbolo da
saúde e era a insígnia que identificava
os Pitagóricos. É um pentágono
regular onde cada um dos cinco
segmentos divide os outros em média
e extrema razão. O ponto de interseção de duas
diagonais divide cada uma delas na proporção áurea. No
triângulo vermelho, a base está em relação dourada com
os lados, e no triângulo azul os lados estão em relação
dourada com a medida da base.
O triângulo áureo é encontrado no pentagrama
místico, onde á possível desenhar uma espiral
logarítmica10.
Seja nas construções, nas observações da natureza ou na procura pelo
belo, o número Phi está sempre presente, ainda hoje é utilizado no
desenvolvimento de novos produtos, que comumente seguem a Razão Áurea
para que sejam visualmente atrativos.
10 www.mat.uel.br/geometrica