apostila desenho geométrico tst completo

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Você verá por aqui...

Prezado aluno, considerando que a nossa disciplina, Desenho Técnico,

requer, dentre outros assuntos importantes, o conhecimento em Desenho

Geométrico, iremos começar nossa empolgante jornada de trabalho introduzindo

alguns conceitos fundamentais desse conteúdo; falar um pouco da sua história, bem

como da sua importância, tanto para esta disciplina, como para o desempenho

profissional futuro de vocês.

Objetivo

Conceituar Geometria e estudar seus elementos.

Conceituar Desenho Geométrico e estudar suas principais

entidades geométricas.

Conhecer a história e a importância do Desenho Geométrico no

contexto do Desenho Técnico.

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Para começo de conversa...

“No século XVIII, o Desenho Geométrico aparece como uma das bases

mais fortes, no discurso dos que vislumbram novos tempos”.

(MENEZES, Alexandre Monteiro de Multimídia Interativa para o Ensino do Desenho

Arquitetônico: in: X SIGRADI - La Sociedad Iberoamericana de Gráfica Digital, 2006 – Educaión y

Desarrollo Acadêmico).

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Para saber mais...

Leia o artigo completo “Multimídia Interativa para o Ensino do Desenho

Arquitetônico”, através do endereço eletrônico:

http://cumincades.scix.net/data/works/att/sigradi2006_p049b.content.pdf

Afinal de contas, qual é a finalidade do

Desenho Geométrico?

O Desenho Geométrico tem por finalidade representar figuras planas e

resolver, com régua e compasso, os problemas relativos à Geometria Plana.

Geometria Plana?

Geometria Plana é o estudo das propriedades relativas a pontos, linhas,

planos e superfícies.

Como tudo começou? Em seu livro didático intitulado “Elementos de

Geometria e Desenho Geométrico”, Putnoki (1989) faz

um breve relato da História do Desenho Geométrico.

Segundo o referido autor, como linguagem de

comunicação e expressão, a arte do desenho

antecede em muito a da escrita. Indaga-nos com a

seguinte questão: o que é a escrita se não a

combinação de pequenos símbolos desenhados? E discorre que é através de

gravuras traçadas nas paredes das cavernas, o homem pré-histórico registrou fatos

relacionados com o seu cotidiano, deixando indicadores importantes para os

pesquisadores modernos estudarem os ancestrais de nossa espécie. Enfim, a arte

do desenho é inerente ao homem. Não se sabe quando, ou onde, alguém formulou

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pela primeira vez, em forma de desenho, um problema que pretendia resolver -

talvez tivesse sido um "projeto" de moradia ou templo, ou algo semelhante. Mas

esse passo representou um avanço fundamental na capacidade de raciocínio

abstrato, pois representava algo que não existia. Essa ferramenta, gradativamente

aprimorada, foi bastante importante para o desenvolvimento das civilizações

babilônias e egípcias, os quais realizaram verdadeiras façanhas arquitetônicas. Uma

outra civilização, os gregos, deram um molde dedutivo à matemática. A obra

Elementos, de Euclides (aproximadamente 300 a.C.), é um marco de valor

inestimável, na qual a Geometria é desenvolvida de modo bastante elaborado. É na

geometria grega que surge o Desenho Geométrico. Na realidade, não havia entre os

gregos uma diferenciação entre Desenho Geométrico e Geometria. O primeiro

aparecia simplesmente na forma de problemas de construções geométricas, após a

exposição de um item teórico dos textos de Geometria. Essa conduta euclidiana é

seguida até hoje em países como França, Suíça, Espanha etc.

Atividade 01

Antes de darmos início ao estudo dos elementos

fundamentais da Geometria, consulte, dentre outras

referências, REIS (2007, p. 8), para compreender melhor a

importância Desenho Geométrico e em que contexto

histórico ele se desenvolveu. Ao término da leitura, faça

uma breve auto-avaliação do que você acabara de ler, tendo em vista que

consideramos de suma importância a compreensão histórica do Desenho

Geométrico no contexto da Geometria, bem como da sua função no mundo do

Desenho Técnico. Assim sendo, busque responder as seguintes questões:

1) Em que momento histórico é considerado o surgimento o Desenho

Geométrico?

2) Qual é a função do Desenho Geométrico?

3) Podemos afirmar que a Geometria e o Desenho Geométrico foram

importantes para o desenvolvimento de civilizações antepassadas? Por

quê?

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Elementos fundamentais da Geometria

Por serem considerados entes primitivos, o ponto, a reta e o plano, elementos

fundamentais da Geometria, não possuem definição.

O ponto

O ponto é representado graficamente pela interseção de duas

entidades geométricas, tais como: duas retas; uma reta e um arco

ou dois arcos. O ponto não tem dimensão e é indicado por (A, B,

C...), conforme figura 01.

A linha

A linha é o resultado do deslocamento de um ponto no espaço

ou num plano. Em desenho, é expressa graficamente pelo

deslocamento do lápis sobre o papel. Desse modo, podemos

interpretar a linha no mundo do desenho como sendo a trajetória

descrita por um ponto ao se deslocar. Como vemos, a linha tem

uma só dimensão: o comprimento (figura 02).

A B C

FIGURA - 01

FIGURA - 02

7

Dada a importância e características especiais deste ente geométrico e sua grande aplicação em Geometria e Desenho, faremos seu estudo de forma mais detalhada a

seguir.

A reta

A reta pode ser considerada como o resultado do

deslocamento linear de um ponto, não possuindo, portanto, início e

fim. Possui apenas uma dimensão, o comprimento, e é

representada graficamente por um traço retilíneo, cuja

representação tem como indicação (a, b, c...) (figura 03). Observe

que a reta possui infinitos pontos, porém pode ser determinada por

apenas dois pontos distintos (AB). Ademais, podem ser traçadas

infinitas retas que passam por um único ponto, portanto, podemos

afirmar que um único ponto num plano define infinitas retas. (figuras

04 e 05).

r

FIGURA - 03

FIGURA - 05

A B C

r1

r2

rn

FIGURA - 04

8

O plano

O Plano tem sua representação gráfica indicada por letras do

alfabeto grego, tais como: alfa, beta, gama... (figura 06). É

importante ressaltar que, como a reta, o plano possui infinitos

pontos. Também, sabe-se que por três pontos não colineares –

pontos que não pertencem a uma mesma reta – ou um ponto e uma

reta, que não o contenha, também definem um plano.

Atividade 02

Pense e responda as seguintes questões:

1) Quais são os entes fundamentais da

Geometria e por que eles são considerados

como fundamentais?

2) Como são representados os pontos?

3) Uma sucessão de pontos numa seqüência

infinita nos dá idéia de quê?

4) Como são representadas as retas?

5) Como são representados os planos?

6) Dê três exemplos que nos sugerem a idéia

de plano.

α

FIGURA - 06

9

A semi-reta A semi-reta pode ser entendida como o deslocamento linear de um ponto,

sem variar a direção, entretanto, tem um ponto como origem. Desse modo, a semi-

reta é infinita em apenas uma direção. Assim sendo, pode-se afirmar que um ponto

qualquer, pertencente a uma determinada reta, divide-a em duas semi-retas. Para

compreender melhor o acima descrito, leia os itens “a”, “b” e “c” que se seguem,

observando as figuras 07, 08 e 09, respectivamente.

a) Semi-reta de origem no ponto A e que passa pelo ponto B (AB)

(figura 07).

b) Semi-reta de origem no ponto C e que passa pelo ponto D

(CD) (figura 08).

c) Um ponto qualquer, pertencente a uma reta, divide a mesma

em duas semi-retas (figura 09).

O segmento de reta

O segmento de reta é a porção de uma reta, a qual fica limitada por dois de

seus pontos. O segmento de reta é, portanto, limitado e podemos atribuir-lhe um

comprimento. Sua representação á dada pelos dois pontos que o limitam e que são

chamados de extremidades do segmento. Abaixo, podemos observar alguns

exemplos de segmentos de reta: segmentos de reta AB, MN e PQ (figura 10).

A B

Figura - 07

D C

Figura - 08

P

Figura - 09

10

Sendo uma parte limitada da reta, o segmento pode ser medido.

medir uma grandeza significa comparar, estabelecendo diferenças

ou semelhanças.

Exemplo de unidade de medida linear: O metro, seus múltiplos e

submúltiplos.

Ponto médio de segmento

Ponto médio de um segmento de reta é o ponto desse segmento que o divide

em dois segmentos congruentes.

A

B

M N

P

Q

FIGURA - 10

Calma, Amigo! Segmentos

congruentes são aqueles que

possuem a mesma medida!

Epa, epa, epa: Segmentos

congruentes?

11

Segmentos colineares

São segmentos de reta que pertencem a uma mesma reta, a qual

denominamos de reta suporte (figura 11).

Segmentos consecutivos

São segmentos de reta dispostos um após o outro, cuja extremidade de um

coincide com a extremidade do outro. Como exemplo, temos os segmentos

consecutivos AB, BC e CD. Também, os segmentos HI, IJ e JP (figura 12).

Saiba que...

Duas ou mais retas que pertencem ao mesmo plano, denominam-se retas

coplanares.

Retas concorrentes ou secantes, por sua vez, são retas coplanares que

concorrem, isto é, cruzam-se num mesmo ponto. Por conseguinte, esse ponto é

comum às duas retas.

A

B G

H

s AB e GH pertencem a s.

FIGURA - 11

A B C

H

I

D

J P

s

FIGURA - 12

12

Posições de uma reta

Horizontal - é a posição de uma reta que corresponde à linha do

horizonte marítimo (figura 13).

Vertical - é a posição de uma reta que corresponde à direção do

fio de prumo1 (figura 14).

FIGURA - 13

h

v

FIGURA - 14

É verdade! Mas, por falar em reta,

vejamos...

Poxa, já vimos bastante conteúdo...

13

Oblíqua ou inclinada – consiste na exceção às duas posições de

reta acima mencionadas. Isto significa dizer que a reta oblíqua ou

inclinada não está nem na posição horizontal, nem na posição

vertical (figura 15).

Você sabia que...

Duas ou mais retas, cujos pontos de uma são também pontos da outra, chamam-

se retas coincidentes?

Retas paralelas são aquelas que não possuem pontos em comum. Dizemos,

então, que duas ou mais retas têm a mesma direção se elas são paralelas entre si.

Por fim, duas retas são denominadas retas perpendiculares quando são

concorrentes e formam um ângulo de 90º (ângulo reto) entre si.

1 Instrumento utilizado pelo pedreiro, cuja finalidade é a de alinhar verticalmente uma parede ou muro.

FIGURA - 15

i

14

Mediatriz de um segmento de reta Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular ao segmento e que

passa pelo ponto médio desse segmento (figura 16).

FIGURA - 16

Distâncias

Um outro assunto de grande relevância para nossa disciplina é a determinação das

seguintes distâncias:

a) entre dois pontos: dados dois pontos A e B, chama-se de

distancia de A e B a medida do segmento AB, cuja notação é d(A,B)

(figura 17).

b) de um ponto a uma reta: consideremos um ponto P e uma reta

r. Chama-se de distância de um ponto P a reta r, a medida do

segmento que tem uma extremidade em P e a outra em r e que é

perpendicular a r. A notação neste caso é d(P,r) (figura 18).

c) entre duas retas paralelas entre si: chama-se de distância de

duas retas paralelas, a distância de um ponto qualquer de uma

delas a outra reta. Sua notação é d(r,s) (figura 19).

FIGURA - 17

A

B

d(A,B)

A M B

m

Observe que...

AM é congruente à MB.

15

Atividade 03

1) Podemos afirmar que uma reta não possui início nem fim?

2) Podemos medir um segmento de reta? Por quê?

3) Sabe-se que Ponto médio de um segmento de reta é o ponto desse

segmento que o divide em dois segmentos congruentes. Assim sendo,

busque exemplificar a utilização desse conhecimento para a resolução de

uma situação-problema prática possivelmente vivida por você.

4) O que é Mediatriz e qual é a sua relação com o Ponto Médio de um

Segmento de Reta?

5) Quantas e quais posições particulares uma reta pode assumir em um

determinado plano?

6) Como você pode medir a distância entre duas retas paralelas entre si?

FIGURA - 18

P r

d(P,

r)

FIGURA - 19

r

s

d(r,

s)

16

Definição de Ângulo

Ângulo é a região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma origem

(figura 20).

Elementos de um ângulo

Vértice - é o ponto de origem comum das duas semi-retas.

Lado – é cada uma das semi-retas.

Abertura - é a região compreendida entre as duas semi-retas. Ela

define a região angular, que é a região que delimita o próprio ângulo.

Representação de um ângulo

Um ângulo é representado, por exemplo, por AÔB, BÔA, Ô, ou ainda uma

letra grega, conforme podemos ver na figura 20.

Você sabia que a unidade de medida mais empregada para medir ângulos

é o grau, cujo símbolo é o “°”?

Um grau corresponde à divisão da circunferência em 360 partes iguais. Seus

submúltiplos são: o minuto e o segundo, cujas relações são, respectivamente:

1º=60’ e 1’=60”.

Os ângulos são medidos através de um instrumento chamado transferidor, o qual

o apresentaremos no nosso próximo encontro.

Dois ângulos de mesma medida denominam-se ângulos congruentes.

O

A

B

FIGURA

- 20

17

Classificação de um ângulo

Um ângulo se classifica, quanto à abertura dos lados, em:

reto, quando a sua abertura mede 90º;

agudo, quando sua medida é maior que 0º e menor que 90º;

obtuso, quando sua medida é maior que 90º e menor que 180º;

raso ou de meia volta, quando mede 180º;

de volta inteira, quando mede 360º;

nulo, quando não existe abertura, ou seja, mede 0º.

Posições relativas de ângulos

Dois ou mais ângulos podem ocupar posições particulares entre si, as quais

recebem nomes específicos, tais como:

Ângulos consecutivos, quando possuem em comum o vértice e um dos

lados.;

Ângulos adjacentes são, antes de mais nada, ângulos consecutivos, e que

não têm pontos internos comuns.

Ângulos complementares, quando a soma de suas medidas é igual a 90º;

Ângulos suplementares, quando a soma de suas medidas é igual a 180º;

Ângulos replementares, quando a soma de suas medidas é igual a 360º.

Atenção!

Caro aluno, para encerrarmos o conteúdo desse nosso primeiro

momento juntos, escolhemos para apresentar uma entidade geométrica

importantíssima para o nosso estudo. Estamos falando da Bissetriz de um

ângulo.

Vejamos...

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A bissetriz de um ângulo é a semi-reta que tem origem no vértice do ângulo

e o divide em dois ângulos adjacentes e congruentes (figura 21).

Resumo

Nesta aula, conceituamos a Geometria e estudamos seus elementos fundamentais:

o ponto, a linha (reta) e o plano; falamos sobre a finalidade e importância do

Desenho Geométrico, através da sua conceituação e estudo das suas principais

entidades geométricas (a semi-reta, o segmento de reta, o ângulo etc.), além de

abordarmos em que contexto histórico ele surgiu; por fim, conhecemos uma das

mais importantes “personagens” na “história” do Desenho Geométrico: a bissetriz de

um ângulo.

Auto-Avaliação

Objetivando resgatar o conteúdo por nós estudado na presente aula, preparamos

um breve exercício, no qual você precisa preencher as lacunas de modo que as

afirmações fiquem corretas.

Bom trabalho e até o próximo encontro...

O

A

B

FIGURA - 21

α/2

α/2

19

(a) Tem por finalidade representar figuras planas e resolver, com régua e compasso, os problemas relativos a geometria plana, estamos nos referindo a(o) ........................................................................

(b) São os elementos fundamentais da geometria: O(a) ............., a(o) .............. e o(a) .............. .

(c) Os entes primitivos da Geometria não possuem .....................

(d) Por um ponto podemos passar .................. retas.

(e) Podemos dizer que ........................... pontos definem uma reta.

(f) Uma reta e um ponto exterior a essa reta definem um(a)..................................

(g) três pontos não colineares definem um(a) ....................................

(h) Reta, Segmento de reta e Semi-reta possuem as seguintes notações, respectivamente: ............, ............. e ..............

(i) Chama-se ............................ de um segmento de reta AB o ponto desse segmento que o divide em dois segmentos congruentes.

(j) Medir uma grandeza significa ....................., estabelecendo diferenças ou semelhanças.

(k) Segmentos que possuem medidas iguais e estão dispostos um após o outro, em uma determinada reta suporte, são denominados, respectivamente: ........................................ e .............................................

(l) Chama-se ........................ a reta perpendicular ao segmento e que passa pelo ponto médio desse segmento.

(m) A região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma origem é denominada ............................ .

(n) A unidade de medida mais usada para medir um ângulo é o(a)............ .

(o) Um ângulo se classifica, quanto à sua grandeza, em: Ângulo................., Ângulo................., Ângulo................., Ângulo................., Ângulo.................., e Ângulo........................ .

(p) Ângulos cuja soma de suas medidas é igual a 90o, denominam-se: ................................... .

(q) Ângulos cuja soma de suas medidas é igual a 180o, denominam-se:................................... .

(r) Ângulos cuja soma de suas medidas é igual a 360o, denominam-se: ................................... .

(s) Dois ou mais ângulos são........................... quando possuem a mesma medida.

(t) À semi-reta que tem origem no vértice do ângulo e o divide em dois ângulos adjacentes congruentes, estamos falando da(o)............................... .

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Referências

CARVALHO, Benjamin de A. Desenho Geométrico. Rio de Janeiro: ed. Ao Livro

Técnico,3ª edição,1993.

PINTO, Nilda Helena S. Corrêa. Desenho Geométrico. São Paulo: ed. Moderna,

vol. 1, 2, 3 e 4, 1ª edição, 1991.

PUTNOKI, José Carlos. Elementos de Geometria e Desenho Geométrico. São

Paulo: ed. Scipione, vol. I e 2 , 1ª edição, 1989.

REIS, Jorge Henrique de Jesus. Apostila: Desenho Geométrico. Universidade do

Estado do Pará-UEPA. Pará, 2007.

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Prezado aluno, estamos de volta ao mundo maravilhoso do desenho, em

particular, ao do Desenho Geométrico, capítulo importante do Desenho Técnico,

objeto desta disciplina. Você deve estar de posse do material e instrumentos de

Desenho Técnico solicitados na apresentação desta disciplina. Dando continuidade

aos nossos trabalhos, vamos conhecer mais de perto o uso adequado desse

ferramental a ser utilizado para a produção do desenho no decorrer das nossas

atividades vindouras. Assim sendo, faremos a sua apresentação e, logo em seguida,

daremos a orientação necessária ao bom uso e manutenção dos mesmos.

Objetivo Identificar o material e instrumentos utilizados no Desenho

Técnico.

Aprender a manusear e cuidar adequadamente do material e

instrumentos do Desenho Técnico.

Aprender a traçar entidades geométricas básicas (retas,

circunferências, ângulos etc.) com precisão.

3

Atenção!

É importantíssimo que você tenha todo esse material e instrumentos em

mãos para que possamos realizar todas as construções geométricas corretamente.

Não se esqueça, daqui por diante, esses aparatos serão as nossas “ferramentas de

trabalho”.

Para começo de conversa... Para obtermos um bom desempenho no desenvolvimento do Desenho

Geométrico, precisamos, além de conhecer todo o Material e instrumentos de

Desenho, desenvolver algumas qualidades especificas tais como: a limpeza, a

ordem, a atenção, o capricho, a exatidão e, sobretudo, a perseverança. Um

Desenho para ser bem executado, exige uma técnica que vai desde a qualidade do

papel, do lápis, da borracha e dos demais materiais e instrumentos, à sua postura

laboral.

Não podemos, no entanto, nos esquecer que nós, meu caro aluno,

necessitamos tomar consciência de que o aprendizado flui com mais facilidade

quando existe o espírito de equipe. A experiência acadêmica e do mundo do

trabalho nos mostra que a troca de informações se faz necessária entre aqueles que

desenvolvem uma atividade laboral. Nesse contexto, chamamos a atenção para o

desenho, tendo em vista que necessitamos, não apenas, acumular conteúdo

teórico, mas desenvolver a nossa habilidade motora, utilizando corretamente os

instrumentos do desenho para que venhamos a produzir com satisfação e

qualidade.

4

Instrumentos do desenho Certamente você dispõe em sua sala de aula uma infra-estrutura básica para

trabalho com pranchetas, réguas “T” e/ou paralelas, uma sala bem iluminada e

arejada ou climatizada. Bem, se a situação real não for à acima descrita, não se

desespere, pois, o nosso desenho poderá ser estudado e desenvolvido em

condições um pouco menos favorável. Comecemos pela prancheta.

Atividade 01

Segundo CRUZ (2006, p. 31), "ao direcionar-se a uma sala de desenho,

deve-se ter cuidado com as sombras ocasionadas pela régua ou mãos do

desenhista...". Diante desse e de outros aspectos que devem ser observados em

uma sala de desenho convencional sobre pranchetas, sugerimos que, com o auxílio

do tutor, você e os seus colegas de sala organizem-se e realizem a seguinte

atividade: relacionem toda a infra-estrutura disponível para você e seus colegas

desenharem em sua sala de aula e faça uma reflexão com seus pares sobre o que

está bom e o que poderia melhorar com ações simples e eficazes, como por

exemplo: verificar se a posição das pranchetas, em relação à iluminação local, está

adequada, confortável e segura para sua visão, durante o desenvolvimento dos

trabalhos.

Certamente, Amigo! Cuidarei dos

meus instrumentos e material de desenho como se fossem meus filhos!

Não se esqueça,

Amiga, Limpeza, em todo o processo de trabalho, é fundamental!

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Para saber mais...

Sugerimos que você leia a dissertação de mestrado intitulada

"Avaliação Pós-ocupação e Apreciação Ergonômica do Ambiente

Construído: um estudo de caso". CRUZ, Helga Rossana Rêgo da

Silva. Universidade Federal de Pernambuco. Programa de Pós-

graduação em Engenharia de Produção, 2006, 186p., através dos

endereços eletrônicos:

http://www.bdtd.ufpe.br/tedeSimplificado//tde_arquivos/26/TDE-2006-

12-04T131731Z-280/Publico/HRRSC.pdf.

http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?sele

ct_action=&co_obra=30637.

Prancheta

A prancheta se constitui em uma mesa para desenho, com

mecanismos que proporcionam mudança na inclinação do tampo e

da sua altura, cujo tampo de madeira encontra-se, normalmente,

revertido com plástico branco, verde ou azul (figuras 01a e 01b).

Encontra-se acompanhada de um banco, cuja altura depende do

tipo da prancheta utilizada e do poder aquisitivo do usuário,

possibilitando maior ou menor conforto ao usuário ou, ainda, maior

ou menor durabilidade (figura 02).

Devemos manter a prancheta e o banco sempre limpos. Toda

atenção deverá ser dada ao tampo da prancheta, tendo em vista

que o mesmo receberá o papel e os demais materiais e

instrumentos do desenho que, se não estiverem em boas condições

de higiene, poderão prejudicar a qualidade final do trabalho

produzido. Para tal limpeza, podemos utilizar um pano levemente

umedecido ou embebido com álcool.

6

FIGURA – 01a

FIGURA – 01b

FIGURA - 02

Régua “T”

Instrumento utilizado em

desenho técnico para o traçado

de linhas retas paralelas, a

régua “T” serve como base

para o traçado de retas que

formam um determinado

ângulo com a horizontal,

empregando o par de

esquadros (veremos este instrumento logo em seguida). Pode ser

fabricada em madeira, com bordas de plástico inquebrável ou

acrílico. Essa régua pode ser fixa ou acoplada a um cabeçote móvel,

com transferidor, permitindo o traçado de retas inclinadas (figura

03). Deverá estar sempre limpa. Tal limpeza poderá ser realizada

com um pano levemente umedecido ou embebido com álcool.

Régua Paralela

Instrumento utilizado em desenho técnico para o traçado de

linhas retas paralelas com precisão. Deslizando horizontalmente

sobre a prancheta, fixada em um sistema mecânico constituído de

cordões em nylon especial e roldanas, serve como base, como a

régua "T", para o traçado de retas que formam um determinado

ângulo com a horizontal, empregando o par de esquadros. É

Figura 03

7

confeccionada em material acrílico cristal, podendo ter proteção de

alumínio anodizado (figuras 04a e 04b). Deverá estar sempre limpa.

Tal limpeza poderá ser realizada com um pano levemente

umedecido ou embebido com álcool.

FIGURA – 04a FIGURA – 04b

Régua Graduada

Instrumento usado para medir e executar traços retos. É

aconselhável o uso de régua transparente, graduada em

centímetros (cm) e milímetros (mm), com 30cm de comprimento

(figura 05).

Recomendamos que seja em acrílico, pois proporciona mais

precisão no traçado de retas e marcação das medidas lineares e

apresenta mais durabilidade. Quando suja, deve ser limpa com

flanela levemente umedecida ou embebida com álcool ou lavada m

água fria.

Figura - 05

8

Par de Esquadros

Como o nome está dizendo, é composto de dois

instrumentos utilizados para traçar retas paralelas, retas

perpendiculares e construção de ângulos, processos que serão

vistos oportunamente. Devemos dar preferência aos esquadros

transparentes e sem graduação, pois a finalidade dos

esquadros não é medir. Ao adquirirmos um par de esquadros,

devemos verificar se eles podem ser dispostos como na figura

06, pois existem esquadros de vários tamanhos. Por possuírem

dimensões médias e, conseqüentemente, mais mobilidade,

recomendamos a aquisição do par de esquadros de número 25

ou 26. Sugerimos, também, que sejam em acrílico, pois

proporcionam mais precisão no traçado de retas e apresentam

mais durabilidade. Quando sujos, devem ser limpos com

flanela levemente umedecida ou embebida com álcool ou

lavados em água fria.

Figura - 06

9

Transferidor

É o instrumento que se utiliza para medir e traçar ângulos.

Recomendamos que sejam em acrílico e transparente, pois

proporciona mais precisão na identificação e/ou marcação dos

ângulos e apresenta mais durabilidade. Existem dois modelos: o de

meia volta (1800) (figura 07a) e o de volta inteira (360

0) (figura 07b).

Quando sujos, devem ser limpos com flanela levemente umedecida

ou embebida com álcool ou lavados em água fria.

Figura - 07a Figura – 07b

Escalímetro

O escalímetro é um instrumento bastante utilizado no Desenho

Técnico como um todo, particularmente nos desenhos técnicos

aplicados às engenharias e à

Arquitetura (figura 08). Sua função é facilitar o processo de

produção e de leitura de desenhos técnicos aplicando escalas, as

quais poderão ser de redução, natural ou de ampliação.

Oportunamente utilizaremos o escalímetro que contém as

escalas: 1:100, 1:50, 1:25, 1:20 etc. Normalmente são fabricados

em plástico resistente e indeformável e não devem servir para o

traçado de linhas retas, papel destinado às réguas “Ts”, paralelas,

algumas réguas graduadas e aos esquadros. Quando sujo, deve ser

10

limpo com flanela levemente umedecida ou embebida com álcool ou

lavada em água fria.

Figura - 08

Lápis ou Lapiseira

Utilizados para desenhar ou escrever, você poderá escolher

entre o uso do lápis ou da lapiseira, conforme nos apresentam as

figuras 09 e 10, respectivamente. O lápis deve ter perfil hexagonal,

para melhor manipulação. O lápis ou a lapiseira devem estar seguros

na mão, mas não preso, isto é, devem mover-se com facilidade. Em

muitas situações, o peso do próprio lápis ou lapiseira é suficiente para

darmos um traço leve. Com o lápis ou lapiseira podemos conseguir

diferentes tonalidades através da pressão aplicada aos mesmos.

Tanto o lápis quanto a lapiseira têm na parte interna um material

denominado grafite ou mina de grafite ou, simplesmente, mina. O

lápis deve estar sempre bem apontado com uma lixa em formato

cônico e a mina da lapiseira sempre bem afiada.

FIGURA - 09 FIGURA - 10

11

Atenção!

Caro aluno, por ser mais prática em seu manuseio como um todo,

consideraremos, daqui por diante, a lapiseira como o instrumento padrão para o

traçado de linhas à grafite.

Atividade 02


1) Qual(ais) instrumento(s) é(são) utilizado(s) para traçar retas paralelas,

retas perpendiculares e, inclusive, pode ser utilizado na construção de

ângulos?

2) Se você fosse escolher entre a régua Tê e a régua Paralela, qual você

optaria? Por que?

3) Que instrumento é utilizado para medir e traçar ângulos? Quais são os

tipos disponíveis no mercado?

4) Para que serve um escalímetro?

5) Por que adotaremos a lapiseira como o instrumento padrão para o

traçado de linhas à grafite?

Classificação da Grafite

A mina de grafite apresenta grau de dureza variável e por isso é

classificada de três modos: por números, letras ou números e letras,

a saber:

Por número

N . 1 - grafite macia - de traço forte é usada para destacar

traços e fazer esboços.

N . 2 - grafite média - de traço médio é usada para escrita em

geral e traços pouco relevantes.

N 3 - grafite dura - de traço fraco é usada para traços que não

precisem ser destacados, mas necessitam de muita exatidão.

Por letras

12

Letra B - grafite macia - equivalente à grafite N . 1.

Letra HB e F - grafite média - equivalente à grafite N . 2.

Letra H - grafite dura - equivalente à grafite N . 3.

Por Números e Letras

2B, 3B, .... , 6B - grafites muito macias.

2H, 3H, .... , 9H - grafites muito duras

É importante destacar que nesta classificação os números que

antecedem as letras indicam o aumento ou a diminuição do grau de

dureza da grafite.

Para saber mais...

A grafite foi descoberta na Baviera por volta de 1400, não lhe tendo sido

dado na época o devido valor.

A história do lápis remonta a 1564, quando se descobriu na Inglaterra um

filão de grafite pura. A coroa inglesa mandou então abrir minas para se obter grafite

como material de desenho. Estas minas forneceram grafite a toda a Europa, até se

esgotarem as suas reservas no séc. XIX. O mineral era misturado com gomas,

resinas e colas. Esta mistura era então colocada numa ranhura de um pedaço de

madeira geralmente de cedro e atado com um cordel. À medida que se ia gastando

a grafite, o cordel era desenrolado e repunha-se a mina no extremo.

Em 1761, na Alemanha, Faber criou uma pequena oficina de fabrico de lápis.

Misturava duas partes de grafite com uma de enxofre. Napoleão, no séc. XVIII,

encomendou a Conté a exploração de processos de fabricar lápis para substituir os

importados. Apareceu então uma nova espécie de lápis que consistia na mistura de

terra (argilas), grafite e água, que eram solidificados por cozedura e colocados em

ranhuras de madeira.

Este foi o antecessor do lápis que conhecemos. No passado usaram-se

certos materiais na confecção das minas como ceras, goma-laca, resinas, negro de

fumo, etc. Atualmente algumas das melhores minas fazem-se misturando grafites de

grande qualidade com polímeros especiais.

13

Encontramos no mercado uma enorme variedade de qualidades de grafite.

Envolvida em madeira (lápis), em minas simples de várias espessuras para porta

minas, desde as mais vulgares 0,5mm, 0,7 mm, 1,2 mm, até às mais grossas

apenas envolvidas em plástico para desenhos que exigem um grande depósito de

grafite.

Existem também em muitas durezas, desde extra-duras a extra-macias. As

mais duras permitem traços finos cinzento pálido, as mais macias produzem traços

mais grossos e mais negros, pois depositam mais grafite no papel. Assim, temos

basicamente a seguinte escala de grafites:

dura média macia

8H, 7H, 6H, 5H, 4H, 3H, 2H, H, HB, F, B, 2B, 3B, 4B, 5B, 6B, 7B, 8B, 9B

Por "H" entende-se "Hard" - uma mina dura.

Por "B" entende-se "Brand" ou "Black" - uma mina macia ou preta.

Por "HB" entende-se "Hard/Brand"- uma mina de dureza média

Associados ao uso da grafite estão sempre os afiadores ou canivetes para

afiar, as borrachas mais ou menos macias e os porta-minas.

A grafite pode ser usada praticamente em todas as superfícies, exceto nas

plastificadas, onde adere mal. Quase todos os tipos de papel - lisos, texturados,

rugosos - são também um suporte adequado. Papéis como o "Ingres" ou "Canson"

são óptimos suportes para trabalhos em valores de cinzento e "degradés". O tipo de

papel que se usa é importantíssimo pois determina a forma como a grafite se vai

comportar. Papéis coloridos são também freqüentemente usados para trabalhos de

desenho a grafite.

Em: http://desmat.no.sapo.pt/mit_grafite.html

Acesso: 16/06/2008.

http://desmat.no.sapo.pt/mit_grafite.html

14

Lapiseira com estilete

Existem vários modelos de lapiseira.

Aconselhamos, no entanto, o uso da

lapiseira com estilete. Estilete é um

pequeno cilindro metálico que reveste a

mina de grafite da lapiseira (figura 11).

O estilete contribui bastante para

melhorar a precisão e qualidade do

traçado de linhas.

FIGURA - 11

Saiba que...

Existem lapiseiras com minas de grafite de vários diâmetros (0,3mm, 0,5mm,

0,9mm etc.).

Precisaremos, apenas, da lapiseira 0,5mm com mina de grafite “B” ou “HB”

para realizarmos os nossos trabalhos. As espessuras e tonalidades das linhas a

serem traçadas dependerão da força aplicada sobre a lapiseira, bem como da

dureza da grafite utilizada. Somente experimentando, na prática, você descobrirá as

minas que melhor se adéquam ao seu estilo. Caso queira, você poderá adquirir

lapiseiras de outros diâmetros para facilitar o seu traçado diferenciado (em

tonalidade e/ou em espessura).

É importante frisar que as Lapiseiras do tipo 0,3mm, 0,5mm e 0,7mm

apresentam minas de grafite finas, que não precisam ser apontadas. No entanto, se

faz necessária a manutenção da uma ponta da mina de grafite com formato cônico,

o qual você obtém esfregando a referida ponta sobre uma folha de papel, formando

um ângulo de aproximadamente 450 com essa folha, ao mesmo tempo em que

rotaciona a lapiseira em torno do seu próprio eixo.

Compasso

Preferencialmente de precisão, o compasso é um instrumento

utilizado para traçar circunferências, arcos de circunferências e

15

transportar medidas lineares, processos que estudaremos

oportunamente (figura 12a). A ponta-seca (de metal) (figura 12b) e a

de grafite (figura 12c) devem estar praticamente no mesmo nível. A

ponta de grafite poderá estar levemente menor que a ponta seca.

Deve ser lixada obliquamente e a parte lixada (chanfro) deve ficar

para o lado de fora do compasso (figuras 12d e 12e).

FIGURA – 12a FIGURA – 12b FIGURA – 12c

FIGURA – 12d FIGURA – 12e

Atenção!

Estimado aluno, utilizaremos a mina de grafite do compasso com a dureza

“B” para realizarmos os nossos trabalhos.

É importante saber que a mina de grafite do compasso precisa ser macia,

tendo em vista que é difícil aplicarmos uma força significativa sobre o compasso

durante o seu uso, de maneira que o traço produzido por uma mina dura seja forte.

Borracha Plástica – Sintética

Utilizada para apagar erros, existem diversas marcas e tipos no

mercado, mas as borrachas sintéticas ou bem macias são mais

16

apropriadas para o nosso uso (figura 13a). Para limpá-las,

devemos esfregá-las num papelão grosso. Nunca devemos lavá-

las. Para erros muito pequenos, podemos usar o lápis-borracha,

que tem uma ponta fina e deve ser apontado como um lápis (figura

13b).


Papel sulfite formato A4

Podemos trabalhar com blocos, cadernos ou folhas avulsas, de

preferência, papel peso 40. Há, entanto, a folha de papel para

impressão no formato A4 (210mm x 297mm) no comércio em geral,

a qual pode ser, por nós, utilizada perfeitamente.

Fita adesiva tipo gomada – crepe

Pensando na fixação da folha

de papel sobre a mesa de trabalho,

dê preferência a uma fita adesiva

que não deixe resíduo de cola no

papel ou na superfície do tampo da

prancheta depois de retirada (figura

14a). Para que a folha de papel sobre a mesa fique alinhada e bem

apoiada no tampo da prancheta, sua fixação da deverá ocorrer

obedecendo aos seguintes passos:

Coloque a folha de papel embaixo da régua “T” ou paralela;

Nivele a borda inferior da folha de papel, tomando como base

o alinhamento da supracitada régua;

Figura – 14a

17

Comece a fixar a folha de papel com um pequeno pedaço de fita adesiva, cujo primeiro ponto de fixação e os demais devem

obedecer à figura 14b.

Figura – 14b

Fonte: MOURA, 2007 (c).

Adaptação: Borges, Aldan Nóbrega, 2008.

Trincha de 21/2” para limpeza

Os resíduos de gerados com o uso

da borracha devem ser retirados com

uma trincha (figura 15) ou qualquer

artefato dessa natureza para que esse

processo não suje ou manche o seu

trabalho.

Figura - 15

18

Atenção!

Caro aluno, nunca passe a mão sobre o papel, nem tampouco sopre, para

retirar a sujeira produzida pelo ato de apagar alguma linha desenhada, pois você

corre o risco de manchar o seu trabalho.

Lixa – serrinha de unha

Com intuito de fazer e manter a ponta da mina de grafite do

compasso “afiada”, aconselhamos o uso de uma lixa ou,

simplesmente, de uma serrinha de unha, artefato facilmente

encontrado em “toda esquina” (figura 16).

Figura - 16

Álcool e Flanela

Para auxiliar na limpeza e manutenção de alguns instrumentos

do desenho, providencie uma pequena quantidade de álcool

comum. Para complementar, traga junto, uma flanela.

Pasta plástica para a guarda do material

Finalmente, para a guarda e transporte de

todo material e instrumentos do desenho que

iremos trabalhar daqui por diante, pensamos

numa pasta plástica com altura suficiente

para tal função (figura 17). Figura - 17

19

Atividade 03


1) Você utilizaria uma mina de grafite mais mole em sua lapiseira para traçar linhas

mais escuras? Por que?

2) O que é e qual é a importância do estilete em uma lapiseira?

3) Como se denomina o instrumento que é utilizado para traçar circunferências,

arcos de circunferências e transportar medidas lineares?

4) Por que a mina de grafite do compasso precisa ser macia?

5) Como devemos limpar uma borracha plástica?

6) Que preocupação devemos ter ao adquirirmos uma fita adesiva?

7) De posse de todo esse material e instrumentos do desenho, manuseie-os, de tal

forma, que se familiarize com os mesmos, além de preparar a lapiseira e o

compasso para o “doce combate” que estamos a enfrentar. Sugerimos que essa

atividade seja acompanhada pelo tutor e socializada com os demais colegas de

classe, tomando como base as orientações contidas nesta aula, visando o bom

manuseio desse material e instrumentos do desenho convencional.

Estou ansiosa!

Poxa, que legal! Finalmente aprenderemos

como trabalhar com os instrumentos básicos do

desenho.

20

Utilização adequada da régua “T” ou paralela

Para utilizarmos as réguas “T” ou paralela, devemos atentar para o

seguinte:

Verificar o estado de conservação das mesmas;

Verificar se estão bem apoiadas sobre o tampo da prancheta;

Deslizá-las verticalmente sobre o tampo da prancheta, de

modo a não pressioná-las sobre o papel, para não deslocá-lo do

lugar previamente fixado.

Utilização adequada da régua graduada

A régua graduada é um dos instrumentos de desenho mais

conhecido de todos nós. A forma correta de utilizá-la requer apenas

um pouco de atenção. Assim sendo, devemos atentar para o

seguinte:

Verificar o estado de conservação da mesma;

Não traçar linhas retas no lado que contém a marcação das

unidades centímetro e milímetro;

Verificar se a régua está bem apoiada sobre o papel;

Posicionar a régua paralela ao segmento de reta a ser medido;

Procurar medir sempre a partir do número zero da graduação.

Efetuar a medição, conforme exemplo (figura 18).

Figura - 18

1. O segmento de reta AB mede 8,0cm (Lê-se oito vírgula zero centímetros).

2. O segmento de reta AC mede 9,6cm (Lê-se nove centímetros e seis

milímetros ou nove vírgula seis centímetros).

21

Utilização adequada do par de esquadros

O par de esquadros é um dos mais importantes instrumentos de desenho

técnico convencional (sobre prancheta). A forma correta de utilizá-los requer apenas

um pouco de cuidado. Assim sendo, devemos atentar para o seguinte:

Verificar o estado de conservação dos mesmos;

Verificar se os esquadros estão bem apoiados sobre o papel.

Vejamos como traçar retas paralelas e perpendiculares com o par de esquadros.

Observe na figura 19 as medidas dos ângulos internos dos dois esquadros e como

eles se denominam.

Figura – 19



Atenção!

Para o traçado de retas paralelas e/ou perpendiculares, mantenha um dos

esquadros fixo sobre o papel, segurando-o com uma das mãos e movimente o outro

esquadro para realizar a tarefa desejada.

22

Vejamos como traçar retas paralelas com o par de esquadros (figura 20).



FIGURA – 20

23

Veja abaixo na figura 21b como traçar retas perpendiculares com o par de

esquadros:



FIGURA – 21b

24

Utilização adequada da lapiseira

De acordo com o anteriormente explicitado, precisaremos,

apenas, da lapiseira 0,5mm com mina de grafite “B” ou “HB” para

realizarmos os nossos trabalhos. A forma correta de utilizá-la requer

apenas um pouco de cuidado. Assim sendo, devemos atentar para o

seguinte:

Verificar o estado de conservação da mesma;

Verificar a lapiseira se encontra bem apoiada em suas mãos.

Traçar as linhas retas de acordo com as figuras 22a, 22b e

22c, ou seja, inclinar a lapiseira para o lado em que se está

realizando o traço.

Atenção: evitar traçar as linhas retas de acordo com as figuras

23a e 23b.

Atenção! Evitar...

FIGURA – 22a FIGURA – 22b FIGURA – 22c


25

Utilização adequada do transferidor

O Transferidor é mais um instrumento de desenho técnico

convencional (sobre prancheta). A forma correta de utilizá-lo requer

atenção. Assim sendo, devemos observar o seguinte:

Verificar o estado de conservação do mesmo;

O transferidor pode ser de meia volta ou volta inteira, como já

vimos anteriormente. É composto pelos seguintes elementos (figura

24a):

1. Graduação ou limbo: correspondem à circunferência ou semicircunferência externa, dividida em 180 ou 360 graus, respectivamente.

2. Linha de fé: segmento de reta que corresponde ao diâmetro do transferidor, passando pelas graduações de 0

0 e 180

0.

3. Centro: corresponde ao ponto médio da linha de fé.

Efetuar a medição ou marcação de um ângulo, conforme a

figura 24b.

Fonte: MOURA, 2007.


FIGURA – 24a

26

Fonte: MOURA, 2007.


FIGURA – 24b

Utilização adequada do compasso

Por fim, vamos ver a maneira correta de se traçar

circunferências e arcos de circunferências utilizando corretamente o

compasso, instrumento importantíssimo para desenvolvermos o

nosso trabalho. A forma correta de utilizá-lo requer treinamento e um

pouco de cuidado. Assim sendo, devemos atentar para o seguinte:

Verificar o estado de conservação do mesmo;

Verificar se a ponta seca está em bom estado e pontiaguda;

Verificar se a ponta de grafite está devidamente chanfrada e

imediatamente inferior à ponta seca;

Verificar o modo de se manipular o compasso:

1. Repousar a ponta seca do compasso sobre o ponto central da circunferência ou do arco de circunferência a ser traçado;

2. Não pressionar o compasso sobre o papel;

3. Traçar as linhas curvas de acordo com as figuras 25a e 25bc, ou seja, inclinar o compasso apenas para o lado em que se está realizando o traço;

4. Atenção: evitar traçar as linhas curvas de acordo com a figura 26.

27


Atenção! Evitar...

Figura - 26

28

Atividade 04


1) Cite um dos aspectos que devemos atentar para que venhamos a utilizar a régua

"T" ou paralela adequadamente.

2) Cite dois aspectos que devemos atentar para que venhamos a utilizar o par de

esquadros adequadamente.

3) Relaciones os passos que devemos seguir para que utilizemos a lapiseira de

modo adequado.

4) O que devemos evitar fazer quando utilizamos o compasso?

Atividade 05

Aproveite este momento para exercitar um pouco. Reúna um grupo de

colegas e convide-os para compartilhar com você a realização da seguinte tarefa:

fixe o papel sobre a prancheta com a fita adesiva, conforme orientação anterior, e

faça o seguinte:

1) Trace linhas retas utilizando a régua “T” ou paralela.

2) Marque pontos sobre essas linhas retas e, com a régua graduada,

marque segmentos de reta diversos (por exemplo: 2,0cm, 4,5cm, 10,2cm

etc.).

3) Trace linhas retas paralelas e perpendiculares entre si utilizando o par

de esquadros.

4) Construa ângulos quaisquer e faça suas medições utilizando o

transferidor.

5) Construa ângulos específicos utilizando o transferidor (por exemplo:

300, 450; 900; 2700; 45,50 etc.).

6) Marque pontos (A, B, C etc.) sobre o papel e escolha diversas

aberturas do compasso (por exemplo: 3,0cm, 3,5cm, 5,1cm etc.) e trace

circunferências utilizando adequadamente o compasso.

29

Resumo

A presente aula nos permitiu conhecer os instrumentos e matérias do

desenho que vamos utilizar durante nossa disciplina. Aprendemos a manusear e

cuidar adequadamente desse ferramental de importância primaz para o bom

desempenho das atividades vindouras. Por fim, aprendemos a traçar entidades

geométricas básicas (retas, circunferências, ângulos etc.) com precisão.

Auto-avaliação

Objetivando resgatar o conteúdo por nós estudado na presente aula,

preparamos um breve exercício, no qual você deve ler atentamente as proposições

expostas a seguir, de modo a executá-las com a tenção e esmero.

1) Sem recorrer a qualquer tipo de anotação, relacione todos os materiais

e instrumentos de desenho que você utilizará neste curso.

2) Descreva a importância de cada um desses materiais e instrumentos

de desenho.

3) Relacione os cuidados que você deverá ter para manter

adequadamente os respectivos materiais e instrumentos de desenho em

perfeita condição de uso.

4) Descreva os passos que você deverá seguir de maneira que o uso de

cada material e instrumento de desenho seja correto.

Bom trabalho e até o próximo encontro...

30

Referências



INED - Instituto Nacional de Ensino a Distância. Curso de Formação de Técnicos em

Transações Imobiliárias - TTI. Técnico em Transações Imobiliárias. Noções de

Desenho Arquitetônico e Construção Civil - Módulo 06. Gráfica e Editora Equipe

LTDA. Brasília, 2005. Disponível em www.ineddf.com.br.

MOURA, Chateaubriand Vieira (a). Estudo Dirigido de Desenho Geométrico.

Curso Técnico Integrado de Informática. Centro de Educação Tecnológica de

Sergipe - CEFET-SE. Ed. 1a. 2007, 59p.

MOURA, Chateaubriand Vieira (b). Estudo Dirigido de Desenho Geométrico,

Técnico e Arquitetônico. Curso Técnico em Construção Civil - Modular. Centro

de Educação Tecnológica de Sergipe - CEFET-SE. Ed. 15a. 2007, 139p.

MOURA, Chateaubriand Vieira (c). Estudo Dirigido de Desenho Geométrico e

Técnico. Curso Técnico Integrado em Construção Civil. Centro de Educação

Tecnológica de Sergipe - CEFET-SE. Ed. 1a. 2007, 148p.


vol. 1, 2, 3 e 4, 1ª edição, 1991.





2


Prezado aluno, seja bem vindo! É com grande satisfação que estamos de volta ao mundo

maravilhoso do desenho, em particular, ao do Desenho Geométrico, capítulo importante do Desenho

Técnico, objeto desta disciplina. Como você já sabe conceituar Geometria e conheceu seus

elementos fundamentais; sabe a finalidade do Desenho Geométrico e estudou suas principais

entidades geométricas; e aprendeu a manusear os materiais e instrumentos do desenho técnico,

daremos início à construção geométrica propriamente dita, estreando essa nova etapa da nossa

espetacular jornada de trabalho, estudando as operações básicas com segmentos e ângulos.

Objetivo

Aprender a transportar, somar e subtrair segmentos de reta.

Aprender a multiplicar um segmento de reta por um escalar.

Aprender a determinar geometricamente a reta Mediatriz e o Ponto Médio

de um segmento de reta.

Aprender a dividir um segmento de reta em dois segmentos

congruentes.

Aprender a transportar, somar e subtrair ângulos.

Aprender a multiplicar um ângulo por um escalar.

3

Atenção!

Objetivando obedecer ao conceito e finalidades do Desenho Geométrico,

ressaltamos que, daqui por diante, utilizaremos apenas a régua e o compasso como

instrumentos básicos de desenho para a resolução dos problemas geométricos

propostos. Assim sendo, o traçado, a construção e as operações gráficas deverão

dispensar o uso do par de esquadros durante todo nosso estudo que envolve

diretamente o Desenho Geométrico.

Para começo de conversa... É perfeitamente compreensível que você esteja ansioso para começar a

utilizar os instrumentos e materiais de desenho nas construções geométricas.

Sabemos que o ato desenhar é uma ação extremamente prática; requer que

tenhamos vários atributos, dentre eles, uma boa coordenação motora. No entanto,

temos a certeza de que é imprescindível que tenhamos uma base teórica do

assunto a ser trabalhado, aliás, esta é uma regra geral em todo conhecimento:

teoria e prática devem andar sempre lado a lado, razão pela qual insistimos em

estudar os conceitos fundamentais da Geometria e do Desenho Geométrico nas

aulas anteriores. Chegou a hora, portanto, de aplicarmos esses conhecimentos

teóricos, anteriormente adquiridos, no desenvolvimento das construções

geométricas vindouras. Para tal, iniciaremos com as operações básicas com

segmentos e ângulos.

4

Transporte de segmentos Transportar um segmento de reta significa traçar, sobre uma reta suporte,

outro segmento que seja congruente ao primeiro. Operação esta bastante simples,

em que o compasso é o instrumento extremamente útil no cumprimento dessa

tarefa.

Aplicação 1

Dado o segmento de reta AB, transportá-lo para uma reta suporte r:

Operação gráfica

Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace a reta suporte r;

Com o auxílio da lapiseira, marque o ponto A sobre a reta r;

Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre A e

sua ponta de grafite sobre B em AB dado;

Conservando a abertura do compasso obtida na operação anterior,

centre-o em A e trace um arco, de tal maneira que cruze a reta r.

Desse modo, obtemos o novo segmento de reta AB, sobre a reta

suporte r, cuja medida linear é exatamente a mesma do segmento

AB dado graficamente.

Agora, vamos deixar de conversa e mãos a

obra...

5

Figura(s) demonstrativa(s)

Aplicação 2

Dada reta r, trace o segmento de reta AB, cuja medida é igual a

4,1cm.

Operação gráfica

Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace a reta suporte r;

Com o auxílio da lapiseira, marque o ponto A sobre a reta r;

Com o auxílio do compasso e da régua, coloque sua ponta seca

na graduação 0 (zero) da régua e a de grafite sobre a graduação

4,1cm;

Conservando a abertura do compasso obtida na operação

anterior, centre-o em A e trace um arco, de tal maneira que cruze a

reta r.

Desse modo, obtemos o novo segmento de reta AB, sobre a reta

suporte r, cuja medida linear é exatamente 4,1cm.

Observe que...

A(s) solução(ões) gráfica(s) deve(m) ser sempre destacada(s) com um traço mais

forte (espesso).

AB = 4,1cm

6

Atividade 01

Exercícios: pense e responda às questões abaixo:

1. Qual é o significado da palavra medir?

2. Quais são as unidades de medidas (linear e angular) que utilizamos

freqüentemente no estudo do Desenho Geométrico?

3. O que significa med (GH) = 5,3cm?

4. Quando dizemos que um segmento de reta é congruente a um outro

segmento de reta?

5. O que é transporte de segmentos de reta?

6. Quais são os instrumentos fundamentais para a resolução gráfica em

Desenho Geométrico

Soma e diferença entre segmentos de reta Com base nos conhecimentos adquiridos no transporte de segmentos,

podemos afirmar que somar (ou subtrair) dois ou mais segmentos de reta significa

transportá-los consecutivamente sobre uma reta suporte, respeitando-se o

acréscimo ou o decréscimo linear que essa operação proporciona, conforme

estejamos operando uma soma ou uma subtração, respectivamente. Operação esta

bastante simples, em que o compasso é o instrumento extremamente útil no

cumprimento dessa tarefa. Dessa maneira, recorremos a exemplos práticos para

compreendermos melhor a afirmação supracitada.

Aplicação

Dados os segmentos AB e CD, faça o que se pede a seguir:

Aplicação – Soma

Sobre uma reta suporte s, determine a soma AB + CD.

7

Operação gráfica

Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace a reta suportes s;

Com o auxílio da lapiseira, marque o ponto 1 sobre a reta s;


sua ponta de grafite sobre B, em AB dado;


anterior, centre-o em 1 e trace um arco, de tal maneira que cruze a

reta s, obtendo-se 2.

Repita a operação anterior, marcando consecutivamente a 12 e a

partir do ponto 2, o segmento de reta CD, conforme figura abaixo.

Desse modo, obtemos o novo segmento de reta 13, sobre a reta

suporte s, cuja medida linear corresponde graficamente a soma

solicitada.


Aplicação – Diferença

Sobre uma reta suporte u, determine a diferença AB - CD.

8

Operação gráfica

Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace a reta suportes u;

Com o auxílio da lapiseira, marque o ponto 1 sobre a reta u;



Conservando a abertura do compasso obtida na operação anterior,

centre-o em 1 e trace um arco, de tal maneira que cruze a reta s,

obtendo-se 2.

Repita a operação anterior, marcando consecutivamente a 12 e a

partir do ponto 2, o segmento de reta CD, observando que, como se

trata de uma subtração, o segmento de reta CD deve ser marcado

da direita para a esquerda, conforme figura abaixo.


suporte u, cuja medida linear corresponde graficamente a diferença

solicitada.


9

Atividade 02


1. O que significa somar (ou subtrair) dois ou mais segmentos de reta?

2. Qual deverá ser a medida do segmento de reta resultante da soma s1

+ s2, sabendo que s1 = 2,8cm e s2 = 5,1cm?

3. Qual deverá ser a medida do segmento de reta resultante da diferença

s2 - s1, sabendo que s1 = 2,8cm e s2 = 5,1cm?

4. Qual deverá ser a medida do segmento de reta resultante da diferença

s1 – s2), sabendo que s1 = 2,8cm e s2 = 5,1cm?

5. Compare os resultados obtidos nas questões 3 e 4, acima.

Multiplicação de um segmento de reta por

um escalar (um número) A multiplicação de um segmento de reta por um número, nada mais é do que

a soma consecutiva desse segmento por ele mesmo, quantas vezes sejam

necessárias, de modo a atender ao número de vezes desejado. Operação esta

bastante simples, em que o compasso é o instrumento extremamente útil no

cumprimento dessa tarefa. Vamos, então, recorrer a exemplos práticos para

compreendermos melhor a afirmação acima descrita.

Aplicação

Dado o segmento de reta AB, trace o segmento de reta de

medida igual a 3 x AB:

Operação gráfica

Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma reta suporte s

qualquer;

Com o auxílio da lapiseira, marque o ponto 1 sobre a reta s;



10


anterior, centre-o em 1 e trace um arco, de tal maneira que cruze a

reta s, obtendo-se 2.

Repita a operação anterior por duas vezes, marcando

consecutivamente a 12 e a partir do ponto 2, o segmento de reta

AB, conforme figura abaixo.


suporte s, cuja medida linear corresponde graficamente a

multiplicação solicitada.


Atividade 03


1. O que significa a multiplicação de um segmento de reta por um

escalar?

2. Qual deverá ser a medida do segmento de reta resultante da seguinte

operação: 2 x s1, sabendo que s1 = 2,6cm?


operação: 3 x s1, sabendo que s1 = 2,6cm?


operação: (3 x s1) – (2 x s2), sabendo que s1 = 2,6cm e s2 = 1,8cm?

11

Atividade 04

Exercícios práticos: sabendo-se que o segmento de reta ED mede 7,4cm e o

segmento de reta FG mede 3,6cm, determine graficamente o seguinte:

1. ED + FG;

2. ED – FG;

3. (2 x ED) – (3 X FG).

Determinação ou Construção da reta

Mediatriz De acordo com o que estudamos na primeira aula da nossa disciplina

Desenho Técnico, onde abordamos os conceitos fundamentais da Geometria e do

Desenho Geométrico, expressamos que Mediatriz de um segmento de reta é a reta

perpendicular ao segmento e que passa pelo ponto médio desse segmento,

dividindo-o, conseqüentemente, em dois segmentos consecutivos e congruentes.

Utilizando-se, sobretudo, do compasso, vamos, então, recorrer a exemplos práticos

para compreendermos melhor a afirmação acima descrita.

Aplicação

Determinar a Mediatriz do segmento de reta AB, dado:

Operação gráfica

Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre A e,

com uma abertura qualquer do compasso, trace uma circunferência

cujo raio seja maior do que a metade do segmento dado;


anterior, centre-o em B e repita a operação anterior, observando que

as circunferências se cruzam formando dois pontos: 1 e 2.

Os pontos 1 e 2, obtidos anteriormente, determinarão a reta

Mediatriz desejada, tendo em vista que ambos, 1 e 2, se posicionam

no plano de trabalho (folha) de modo que ficam eqüidistantes dos

extremos do segmento de reta AB dado.

Passando por 1 e 2, trace a reta Mediatriz (m) solicitada.

12


Observe que...

A reta Mediatriz (m) determina, ao cruzar com o segmento de reta AB dado,

o Ponto Médio (M) desse segmento e o divide em dois segmentos

congruentes (AM e MB).

Para saber mais...

A Mediatriz de um dado segmento de reta AB é o Lugar Geométrico dos

pontos eqüidistantes dos extremos desse segmento, ou seja, dos pontos A e B.

Lugar Geométrico, por sua vez, é o lugar onde todos os pontos de uma figura, e

somente eles, gozam de certas propriedades.

13

Atividade 05


1. O que é mediatriz?

2. O que é Lugar Geométrico?

3. Por que uma mediatriz pode ser considerada como um Lugar

Geométrico?

4. Dê um exemplo prático em que a mediatriz serviria como uma

ferramenta de grande valor.

Atividade 06

Exercícios práticos: sabendo-se que o segmento de reta JK mede 10,7cm,

determine graficamente o seguinte:

1. O Ponto Médio desse segmento de reta;

2. Divida o segmento de reta JK em dois segmentos consecutivos e

congruentes entre si.

Transporte de ângulos Noticiamos na primeira aula da nossa disciplina Desenho Técnico, onde

abordamos os conceitos fundamentais da Geometria e do Desenho Geométrico,

que ângulo é a região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma

origem. Um ângulo pode ser medido e, conseqüentemente, pode ser somado a

outro ângulo ou subtraído de outro ângulo, além de poder ser multiplicado por um

escalar (um número). Vejamos, então, exemplos práticos para compreendermos

melhor a afirmação acima mencionada.

14

Aplicação

Transporte o ângulo AÔB dado para a semi-reta de origem G, dada:

Operação gráfica e figura(s) demonstrativa(s)

Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre O e,

com uma abertura qualquer, trace um arco de circunferência maior

que a abertura do ângulo dado, conforme a figura abaixo.

Com essa operação, encontramos os pontos 1 e 2, os quais

determinam, graficamente, uma corda do arco de circunferência

traçado. Observando atentamente, percebemos que a corda 12

corresponde à abertura do ângulo dado;

Com o auxílio do compasso, trace outro arco de mesmo raio,

tomando G como ponto de origem e, logo em seguida, transporte a

corda 12 para o ponto 3, encontrando, assim, o ponto 4.

15

Trace uma semi-reta de origem G, passando pelo ponto 4 e

destaque a solução do problema com um traço mais forte e com a

indicação do ângulo transportado, conforme podemos observar

abaixo:

O ângulo 4Ô3 é a solução do problema, tendo em vista que é

congruente ao ângulo AÔB.

Soma e diferença entre ângulos

Da mesma forma que podemos somar ou subtrair segmentos

de reta, as operações aritméticas em pauta se aplicam aos ângulos.

Todo o procedimento resolutivo e soluções ocorrem de forma

completamente gráfica, atendendo à finalidade do Desenho

Geométrico.

16

As aplicações práticas que se seguem contribuirão para

elucidar melhor essas afirmações.

Aplicação

Dados os ângulos AÔB e CÔD, faça o que se pede a seguir:

Aplicação – Soma

Determine o ângulo resultante da soma AÔB + CÔD.


Com o auxílio do compasso, transporte o ângulo AÔB para a

semi-reta de origem Z;

Consecutivamente, transporte o ângulo CÔD, adjacente ao

ângulo AÔB, conforme podemos ver na figura abaixo.

O ângulo 2Z3 é, portanto, a solução do problema.

17

Aplicação – Diferença

Determine o ângulo resultante da diferença AÔB - CÔD.


Igualmente a soma, transporte, com o auxílio do compasso, o ângulo AÔB para a semi-reta de origem Z;

Consecutivamente, transporte o ângulo CÔD, adjacente ao

ângulo AÔB, conforme podemos ver na figura abaixo. Observe que

a marcação do ângulo CÔD ocorre no sentido horário, tendo em

vista que queremos obter um ângulo resultante da subtração de

ângulos.

O ângulo 2Z3 é, portanto, a solução do problema.

Atividade 07

Desafio: tomando como base as operações com segmentos e ângulos

realizadas até o presente momento, elabore e resolva um exercício de maneira que

se obtenha um ângulo resultante da multiplicação de um ângulo qualquer dado por

um escalar.

18

Resumo

A presente aula nos deu oportunidade de aprendermos a transportar, somar

e subtrair segmentos de reta, além de trabalharmos a multiplicação de um segmento

de reta por um escalar. Outro tema estudado e de extrema importância, foi a

determinação geométrica da reta Mediatriz e do Ponto Médio de um segmento de

reta. Quanto aos ângulos, aprendemos a transportá-los, a somar ou subtrair ângulos

entre si e, por fim, aprendemos a multiplicar um ângulo por um escalar,este, por sua

vez, trabalhado em forma de desafio.

Auto-avaliação Objetivando avaliar o grau de assimilação do conteúdo por nós estudado na

presente aula, preparamos um breve exercício, no qual você deve ler atentamente

as proposições, de modo a executá-las com atenção e esmero.

1. Sem recorrer a qualquer tipo de anotação, faça uma síntese do conteúdo

visto nesta aula e destaque o assunto que você mais gostou.

2. Por que utilizaremos, daqui por diante, apenas a régua e o compasso como

instrumentos básicos de desenho para a resolução dos problemas

geométricos propostos?

3. Podemos somar dois ou mais segmentos de reta? Por que?

4. Podemos subtrair um ou mais segmentos de reta de um segmento dado? Por

que?

5. Podemos multiplicar um segmento de reta por um número? Por que?

6. Podemos dividir um segmento de reta em dois segmentos congruentes e

adjacentes? Como?

7. Podemos somar dois ou mais ângulos? Por que?

8. Podemos subtrair um ou mais ângulos de um ângulo dado? Como?

Bom trabalho e até o nosso próximo encontro...

19

Referências







LOPES, Elizabeth Teixeira e KANEGAE, Cecília Fujiko. Desenho Geométrico. São

Paulo: ed. Scipione, vol. I, 7ª edição, 1991.











vol. 1, 2, 3 e 4, 1ª edição, 1991.





2


Prezado aluno, seja bem vindo! É com grande satisfação que estamos de volta ao mundo

maravilhoso do Desenho Geométrico. Iniciamos na aula passada a construção geométrica

propriamente dita, estreando essa nova etapa da nossa espetacular jornada de trabalho estudando as

operações básicas com segmentos e ângulos. Dando continuidade às construções geométricas,

trabalharemos, na presente aula, o tema denominado de Construções Fundamentais. Trata-se de

aplicarmos os conhecimentos até aqui adquiridos no traçado de bissetrizes; na divisão de ângulos em

dois ângulos congruentes; na construção de ângulos exatos com auxílio do compasso; no traçado de

retas perpendiculares e paralelas entre si; na divisão de segmentos em partes iguais; e, na divisão de

segmentos em partes proporcionais a segmentos dados.

Objetivo

Aprender a traçar bissetrizes de ângulos.

Aprender a dividir ângulos em dois ângulos congruentes.

Aprender a construir ângulos exatos com auxílio do compasso.

Aprender a traçar retas perpendiculares e paralelas entre si.

Aprender a dividir segmentos de reta em partes iguais e em partes

proporcionais a segmentos dados.

3

Atenção!

É bom lembrar que devemos obedecer ao conceito e finalidades do Desenho

Geométrico. Assim sendo, utilizaremos apenas a régua e o compasso como

instrumentos básicos de desenho para a resolução dos problemas geométricos

propostos. Desse modo, o traçado, a construção e as operações gráficas deverão

dispensar o uso do par de esquadros durante todo nosso estudo que envolve

diretamente o Desenho Geométrico.

Como podemos construir um ângulo

exato utilizando apenas o compasso,

Amiga?

Calma, logo veremos como é bastante fácil de fazer!

4

Construções fundamentais

Traçados de bissetriz

Como vimos em aulas anteriores, bissetriz é uma semi-reta que

nasce na origem de um dado ângulo e o divide em dois ângulos

adjacentes e congruentes entre si. Veremos agora a sua construção

e aplicação na resolução de problemas gráficos envolvendo

ângulos.

Aplicação 1

Dado o ângulo beta, conforme a figura 01, traçar a sua

bissetriz:

FIGURA 01

Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s)

Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre

a origem O e, com qualquer abertura, trace um arco, de modo

que este cruze os lados de beta, determinando os pontos 1 e

2;


1 e, com qualquer abertura, trace um arco, em busca de um

ponto eqüidistante de 1 e 2;

5


2 e, com a mesma abertura do compasso utilizada no passo

anterior, trace um arco que cruze o arco determinado

anteriormente, encontrando o ponto 3;

Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace a semi-reta

que tem origem em O e passa por 3. Esta, portanto, é a

solução do problema.

Observe que...

A(s) solução(ões) gráfica(s) deve(m) ser sempre destacada(s) com um traço

mais forte (espesso).

Aplicação 2

Dividir o ângulo Alfa dado em duas partes iguais (figura 02).

FIGURA 02

6

Observe que...

Esta aplicação tem uma grande semelhança com a aplicação anterior. Trata-

se, pois, de um mesmo assunto, cuja diferenciação acontece da seguinte forma:

a bissetriz traçada na aplicação 1 é a solução do problema. Na aplicação 2, a

bissetriz é uma ferramenta, a qual é utilizada para dividirmos um ângulo em duas

partes iguais.



a origem O e, com qualquer abertura, trace um arco, de modo

que este cruze os lados de beta, determinando os pontos 1 e

2;


1 e, com qualquer abertura, trace um arco, em busca de um

ponto eqüidistante de 1 e 2;


2 e, com a mesma abertura do compasso utilizada no passo

anterior, trace um arco que cruze o arco determinado

anteriormente, encontrando o ponto 3;

Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace a semi-reta que

tem origem em O e passa por 3. Esta é bissetriz que dividirá

esse ângulo em dois ângulos congruentes e adjacentes,

conforme destacado na última figura demonstrativa.

7

Aplicação 3

Traçar a bissetriz de um ângulo formado por duas retas não

paralelas entre si, cujo encontro dessas retas (vértice do

ângulo) é desconhecido (figura 03).

FIGURA 03


Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace duas retas

transversais quaisquer às retas dadas, determinando, assim,

os pontos 1, 2, 3 e 4.

Utilizando-se da mediatriz como ferramenta, determine os

pontos médios (Pm1 e Pm2) dos segmentos de reta 12 e 34,

respectivamente;

Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace a reta que passa

por Pm1 e Pm2, a qual será a solução do problema, conforme

pode ser observado na última figura demonstrativa.

8

Atividade 01

Pense e responda às questões abaixo:

1. Quais são os instrumentos fundamentais para a resolução gráfica em

Desenho Geométrico?

2. O que significa transportar ângulos?

3. Quando podemos afirmar que um ângulo é congruente a outro ângulo?

4. Quando podemos afirmar que um ângulo é adjacente a outro ângulo?

5. O que é bissetriz de um ângulo?

Construção de ângulos

No início da presente aula nos propomos a aprender a

construir ângulos exatos utilizando-se do compasso como

instrumento básico do desenho. Portanto, daremos início

construindo o ângulo de 600, tendo em vista que este é um ângulo

básico para o traçado dos demais ângulos que serão construídos

adiante.

Aplicação 1

Construir um ângulo de 60º a partir da origem da semi-reta OA

dada (figura 04). Aproveitando a construção do ângulo de 60º,

construir o ângulo de 30º:

FIGURA 04

9

Observe que...

O comprimento de uma circunferência é calculado por C = π.d, onde π é

uma constante e d é o diâmetro da circunferência. Ademais, a circunferência

equivale a C = 3600.

O domínio da definição do conceito e da construção de uma Bissetriz de um

ângulo é de fundamental importância para resolução deste problema.



a origem O da semi-reta dada e, com qualquer abertura, trace

um arco bastante generoso (ângulo obtuso), determinando o

ponto 1 nessa semi-reta;


o ponto 1 e, com a mesma abertura, trace um arco em busca

de encontrar o ponto 2. Observe que o segmento de reta 12 é

congruente ao raio do primeiro arco traçado, significando que o

ângulo 2Ô1 mede 600, pois o triângulo 2O1 é eqüilátero;

Traçando a bissetriz do ângulo de 600, iremos obter o ângulo

de 300, conforme pode ser observado na última figura

demonstrativa abaixo.

10

Observe que...

Um Triângulo Eqüilátero possui os três lados congruentes entre si e os três

ângulos internos também congruentes entre si. Temos, como conseqüência, que

cada um desses ângulos mede 600, tendo em vista que a soma dos ângulos

internos de um triângulo é igual a 1800 (figura 05).

FIGURA 05

Aplicação 2

Construir um ângulo de 90º e outro de 75º a partir da origem

da semi-reta OA dada (figura 06):

FIGURA 06

Observe que...

75º = 60º + 15º = 90º - 15º.

11










ângulo 2Ô1 mede 600, conforme foi visto anteriormente;

Da mesma forma e com o auxílio do compasso, repouse sua

ponta seca sobre o ponto 2 e, com a mesma abertura, trace

um arco em busca de encontrar o ponto 3. Observe que o

ângulo 3Ô1 mede 1200;

Utilizando-se do mesmo recurso, repouse a ponta seca do

compasso sobre o ponto 2 e, com a mesma abertura

anteriormente utilizada, trace um arco em busca do ponto 4.

Este ponto será determinado no momento em que traçarmos

um outro arco de mesmo raio a partir do ponto 3. Observe que

o ponto 4 eqüidista dos pontos 2 e 3. Desse modo, o ângulo

4Ô1 mede 900, como pode ser observado na penúltima figura

demonstrativa;

Traçando a bissetriz do ângulo 5Ô2, o qual mede 300, a

partir da determinação do ponto 6 que eqüidista de 5 e 2,

iremos obter o ângulo de 750, pois, conforme pode ser

observado na última figura demonstrativa abaixo, 750 = 60

0 +

150 = 90

0 - 15

0.

Atividade 02

Com base nas aplicações anteriores, trace semi-retas e, a partir de cada

origem dessas semi-retas, construa os ângulos de 45º, 105º, 120º, 135º, 150º e

165º, respectivamente.

12

Traçado de retas perpendiculares e paralelas entre si

Traçado de retas perpendiculares entre si

Aplicação 1

Por um ponto A, dado, traçar uma reta perpendicular à reta r

dada. Neste caso, o ponto A pertence à reta r (figura 07).

Observe que...

O domínio da definição do conceito e construção de Mediatriz é de

fundamental importância para resolução deste problema.

FIGURA 07



o ponto A dado e, com qualquer abertura, trace dois arcos de

modo que os mesmos cruzem a reta r dada, determinando os

pontos 1 e 2, eqüidistantes de A;


o ponto 1 e, com abertura qualquer – desde que seja maior

que a metade do segmento 12 -, trace um arco em busca de

encontrar o ponto 3. Repita essa operação a partir do ponto 2,

utilizando-se da mesma abertura anterior do compasso;

Por fim, trace a reta determinada pelos pontos 3 e A, a qual

é a solução do problema, como pode ser vista na última figura

demonstrativa. Observe que a reta solução é a mediatriz do

segmento de reta 12.

13

Aplicação 2

Por um ponto A, dado, traçar uma reta perpendicular à reta r

dada. Neste caso, o ponto A não pertence à reta r (figura 08).

Observe que...

O domínio da definição do conceito e construção de Mediatriz é de


FIGURA 08

14



o ponto A dado e, com uma abertura maior do que a distância

de A à r, trace um arco de modo que cruze a reta r e determine

os pontos 1 e 2, eqüidistantes de A.


o ponto 1 e, com abertura qualquer – desde que seja maior

que a metade do segmento 12 -, trace um arco em busca de

encontrar o ponto 3. Repita essa operação a partir do ponto 2,

utilizando-se da mesma abertura anterior do compasso;

Por fim, trace a reta determinada pelos pontos 3 e A, a qual


demonstrativa. Observe que a reta solução é a mediatriz do

segmento de reta 12.

Aplicação 3

Traçar, a partir da origem da semi-reta OA dada, uma reta

perpendicular (figura 09). Neste caso, a reta perpendicular a

15

ser traçada deve ser levantada a partir da construção do

ângulo de 90º:

FIGURA 09










ângulo 2Ô1 mede 600, conforme foi visto anteriormente;

Da mesma forma e com o auxílio do compasso, repouse sua

ponta seca sobre o ponto 2 e, com a mesma abertura, trace

um arco em busca de encontrar o ponto 3. Observe que o

ângulo 3Ô1 mede 1200;

Utilizando-se do mesmo recurso, repouse a ponta seca do

compasso sobre o ponto 2 e, com a mesma abertura

anteriormente utilizada, trace um arco em busca do ponto 4.

Este ponto será determinado no momento em que traçarmos

um outro arco de mesmo raio a partir do ponto 3. Observe que

o ponto 4 eqüidista dos pontos 2 e 3. Desse modo, o ângulo

4Ô1 mede 900, como pode ser observado na penúltima figura

demonstrativa. Assim sendo, a reta definida pelos pontos 4 e O

é a solução do problema, conforme a última figura

demonstrativa.

16

Aplicação 4

Traçar, a partir da origem da semi-reta OA dada, uma reta

perpendicular (figura 10). Neste caso, a reta perpendicular a

ser traçada deve ser levantada a partir da aplicação do

Teorema de Pitágoras:

FIGURA 10

Observe que...

Em um triângulo retângulo a relação entre os lados é: c2 = a

2 + b

2, onde a

menor relação inteira é 5, 3 e 4 respectivamente (figura 11).

FIGURA 11

17



a origem O da semi-reta dada e, com abertura igual a 3

unidades quaisquer (pode ser utilizado o centímetro), trace um

arco que cruze essa semi-reta, determinando o ponto 1;

Novamente sobre a origem O da semi-reta dada, trace um

arco que cruze uma linha imaginária perpendicular a OA a

partir de O, cuja abertura seja igual a 4 unidades.


o ponto 1 e, com abertura igual a 5 unidades, trace um arco

que cruze o arco traçado anteriormente em busca de encontrar

o ponto 2. Observe que o segmento de reta 12 mede 5un, o

segmento 2O mede 4un e o segmento O3 mede 3un,

formando assim o conhecido triângulo 345.

Por fim, trace a reta determinada pelos pontos 2 e O, a qual


demonstrativa.

18

Traçado de retas paralelas entre si

Aplicação 1

Traçar uma reta paralela a reta r e que passe pelo ponto A

dados. Neste caso, utilizaremos o transporte de ângulos como

ferramenta (figura 12).

FIGURA 12


Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma reta

transversal qualquer à reta r dada que passe pelo ponto A,

determinando, assim, o ponto 1;

19


o ponto 1 e, com abertura qualquer, trace um arco que cruze a

reta r e a reta transversal, determinando os pontos 2 e 3;

Repita a operação passada, tomando o ponto A como

origem. Desse modo, determinamos o ponto 3’;

Com a abertura igual ao segmento de reta 23, trace um arco

com origem em 3’ até encontrar o ponto 2’.

Por fim, trace a reta determinada pelos pontos A e 2’, a qual


demonstrativa.

20

Observe que...

Este problema foi resolvido tomando como ferramenta o transporte de ângulos,

haja vista que as retas paralelas formam os mesmos ângulos correspondentes com

a reta transversal auxiliar traçada.

Aplicação 2

Traçar uma reta paralela à reta r e que passe pelo ponto A

dados. Neste caso, tomaremos como base o conhecimento em

quadriláteros e suas principais propriedades (figura 13).

FIGURA 13


Com o auxílio do compasso, trace um arco com abertura

maior que a distância entre o ponto A e a reta r dados,

tomando o ponto A como centro e cruzando a reta r,

determinando, assim, o ponto 1;

Repita a operação passada, tomando o ponto 1 como

origem. Desse modo, o arco passa pelo ponto A e, ao cruzar a

reta r, determina o ponto 2;

Com abertura 2A, centre o compasso em 1 e trace um arco

que determine o ponto 3;

21

Por fim, trace a reta determinada pelos pontos A e 3, a qual


demonstrativa.

Observe que...

Este problema foi resolvido tomando como princípio a formação de um

quadrilátero, através da ligação, por meio de segmentos de reta, dos pontos A, 1, 2

e 3.

22

Atividade 03


1. Em que situação uma reta é perpendicular a uma outra reta?

2. Em que situação uma reta é paralela a uma outra reta?

3. Por que o domínio da definição do conceito e construção de Mediatriz

é de fundamental importância para traçarmos uma reta perpendicular

a uma outra reta a partir de um ponto pertencente ou não a essa

reta?

4. Ao construirmos um ângulo de 900 estamos, automaticamente,

construindo duas retas perpendiculares entre si?

5. Qual é a importância do conhecimento do Teorema de Pitágoras no

contexto do traçado de retas perpendiculares entre si?

Divisão de segmentos

Divisão de segmentos em partes iguais

Dividir um segmento de reta em partes iguais significa dizer

que esse segmento será dividido em segmentos de retas

congruentes entre si.

Aplicação 1

Dividir o segmento de reta AB em 4 (quatro) partes iguais

(figura 14):

FIGURA 14

23

Observe que...

O domínio da definição do conceito e construção de Mediatriz é de fundamental

importância para resolução deste problema.


Com o auxílio do compasso, encontre o ponto médio do

segmento de reta AB, doravante denominado P1. Ao encontrar

P1, o segmento reta AB fica dividido em duas partes iguais;


segmento de reta AP1, doravante denominado Pm2. Ao

encontrar Pm2, o segmento reta AP1 fica dividido em duas

partes iguais;


segmento de reta P1B, doravante denominado P3. Ao

encontrar P3, o segmento de reta P1B fica dividido em duas

partes iguais;

Observemos, por fim, que o segmento de reta AB foi dividido

em 4 partes iguais, conforme solicitado no enunciado do

problema. Esse resultado pode ser visto na última figura

demonstrativa.

24

Aplicação 2

Dividir o segmento de reta AB em 3 (três) partes iguais (figura

15):

FIGURA 15


Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma semi-reta,

a partir do ponto A, formando um ângulo qualquer com o

segmento de reta a ser dividido;

Como temos que dividir o segmento dado em 3 partes

iguais, marcamos, consecutivamente, 3 arcos com raio

qualquer, porém, congruentes entre si, obtendo-se os pontos 1,

2 e 3;

Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma reta que

passe pelos pontos B e 3, os quais são extremos dos

segmentos em operação;

Transporte o ângulo Alfa, cuja origem é o ponto 3, para os

pontos 2 e 1. Esse transporte de ângulos gera retas (r2 e r3),

paralelas a r1 que interceptam o segmento de reta AB de

forma a dividi-lo em 3 segmentos congruentes e consecutivos;

Por fim, podemos afirmar que os segmentos A1’, 1’2’ e 2’B

correspondem a 1/3 do segmento AB, a qual é a solução do

problema, como pode ser vista na última figura demonstrativa.

25

Observe que...

Esse método poderá ser aplicado na divisão de segmentos de reta em

qualquer número, seja ele par, seja ele ímpar.

Dividir um segmento de reta em n partes iguais é dividi-lo em n partes

proporcionais a 1 (um).

Divisão de segmentos em partes proporcionais

Dividir um segmento de reta em partes proporcionais

significa dizer que esse segmento será dividido em segmentos

de retas proporcionais entre si, tomando como fundamento o

Teorema de Tales, o qual será anunciado logo em seguida.

26

Para saber mais...

Teorema de Tales

Um feixe de retas paralelas determina sobre duas ou mais transversais

quaisquer segmentos de uma proporcionais aos segmentos correspondentes nas

outras (Putnoki, 1989) (figura 16). Assim sendo, temos como exemplo:

c:d :: e:f c

d

e

f

c

e

d

f c:e :: d:f

Leia-se: c está para d, assim como, e está para f.

c d

a

e f

b

g h

FIGURA 16

Aplicação 1

Dado o segmento de reta AB, dividi-lo em partes proporcionais aos

segmentos a e b dados (figura 17).

FIGURA 17

27


Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma semi-reta,

a partir do ponto A, formando um ângulo qualquer com o

segmento de reta a ser dividido;

Como temos que dividir o segmento dado em partes

proporcionais aos segmento a e b, dados, marcamos

consecutivamente a e b através do traçado de 2 arcos com

raios congruentes aos referidos segmentos, respectivamente,

obtendo-se os pontos 1 e 2;

Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma reta que

passe pelos pontos B e 2, os quais são extremos dos

segmentos em operação;

Transporte o ângulo Alfa, cuja origem é o ponto 2, para o

ponto 1. Esse transporte de ângulo gera a reta r2, paralela a r1

que intercepta o segmento de reta AB de forma a dividi-lo em 2

segmentos proporcionais à a e b;

Por fim, podemos afirmar que os segmentos a1 e b1 respeitam a proporcionalidade solicitada, ou seja: a1:a::b1:b, a qual é a solução do problema, como pode ser vista na última figura demonstrativa

28

Aplicação 2

Determinar a quarta proporcional entre os segmentos a, b e

c, dados (figura 18):

FIGURA 18

29

Para saber mais...

Chama-se Quarta Proporcional entre os segmentos a, b e c, citados nessa

ordem, o segmento x que se obtém na proporção: a:b::c:x (Putnoki, 1989) (figura

19).

Leia-se: a está para b, assim como, c está para x.

a b

c x

FIGURA 19

Epa, epa, epa: Que papo é esse de quarta proporcional? Isso é

novo para nós, não??

Fique tranqüila,

Amiga: veja o que vem a seguir!

30

Observe que...

O conhecimento da definição do conceito do Teorema de Tales é de



Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace duas semi-retas

a partir de um único ponto origem O, formando um ângulo

qualquer entre si;

Como precisamos determinar a quarta proporcional, ou seja:

encontrar o quarto segmento de reta envolvido na seguinte

proporção: a:b::c:x, marcamos consecutivamente os segmento

dados a, b e c, seguindo a citada proporção, através do

traçado de 3 arcos com raios congruentes aos referidos

segmentos, respectivamente, obtendo-se os pontos 1, 2 e 3;

Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma reta r1 que

passe pelos pontos 1 e 2, os quais são extremos dos

segmentos a e b em operação;


ponto origem 3. Esse transporte de ângulos gera a reta r2,

paralela a r1 que intercepta a semi-reta na qual será definido o

seguimento x procurado;

Por fim, podemos afirmar que os segmentos a, b, c e x

respeitam a proporcionalidade solicitada, ou seja: a:b::c:x:, a

qual é a solução do problema, como pode ser vista na última

figura demonstrativa.

32

Aplicação 3

Dados os segmentos de reta a e b, determinar a terceira

proporcional entre os segmentos dados (figura 20):

FIGURA 20

Para saber mais...

Chama-se Terceira Proporcional entre os segmentos a e b, citados nessa

ordem, o segmento y que se obtém na proporção: a:b::b:y (Putnoki, 1989) (figura

21).

Leia-se: a está para b, assim como, b está para y.

a b

b y

FIGURA 21

33

Observe que...

O conhecimento da definição do conceito do Teorema de Tales é de



Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace duas semi-retas

a partir de um único ponto origem O, formando um ângulo

qualquer entre si;

Como precisamos determinar a terceira proporcional, ou

seja: encontrar o terceiro segmento de reta envolvido na

seguinte proporção: a:b::b:y, marcamos consecutivamente os

segmento dados a e b, seguindo a citada proporção, através

do traçado de 3 arcos com raios congruentes aos referidos

segmentos, respectivamente, obtendo-se os pontos 1, 2 e 3;

Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma reta r1 que

passe pelos pontos 1 e 2, os quais são extremos dos

segmentos a e b em operação;


ponto origem 3. Esse transporte de ângulos gera a reta r2,

paralela a r1 que intercepta a semi-reta na qual será definido o

seguimento y procurado;

Por fim, podemos afirmar que os segmentos a, b e y

respeitam a proporcionalidade solicitada, ou seja: a:b::b:y:, a

qual é a solução do problema, como pode ser vista na última

figura demonstrativa.

35

Atividade 04


1. Dividir um segmento de reta em partes iguais equivale a dizer o que?

2. Dividir um segmento de reta em partes proporcionais equivale a dizer o

que?

3. Qual é a importância do conhecimento da definição do conceito do

Teorema de Tales para a determinação da quarta proporcional?

4. Qual é a importância do conhecimento da definição do conceito do

Teorema de Tales para a determinação da terceira proporcional?

5. Expresse matematicamente o seguinte: a está para b, assim como, c está

para x.

Atividade 05

1. Dadas as retas (r) e (s) e os pontos (A), (B), (C) e (D). Pede-

se:

(a) Pelo ponto (A) uma paralela a (r); (b) Pelo ponto (B) uma perpendicular a (S); (c) Pelo ponto (C) uma perpendicular a (r); (d) Pelo ponto (D) uma paralela a (s).

r

C

A s

D B

2. Sabendo que o ângulo alfa mede 45

0 e o ângulo beta mede

900, faça o que se pede a seguir:

(a) Construa alfa e beta; (b) Determine graficamente: 3 x alfa - beta.

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Obs.: Desenhe cada ângulo dado para depois empregá-los na solução do problema. 3. Dados os segmentos de reta m=3,0cm, n=3,5cm e p=2,7,

Determinar o segmento de reta z, tal que z = n.p/m:

Obs.: Desenhe cada segmento dado para depois empregá-los na solução do problema. 4. Dados os segmentos de reta a=3,0cm e b=3,5cm. Determinar

o segmento de reta x, tal que x = b2/a.

Obs.: Desenhe cada segmento dado para depois empregá-los na solução do problema. 5. Dividir o segmento de medida igual a 7cm em 5(cinco) partes

proporcionais a 1(um).

Obs.: Desenhe o segmento dado para depois transportá-lo.

37

Resumo

Dando continuidade às construções geométricas, a presente aula nos deu

oportunidade de aprendermos a traçar bissetrizes de ângulos; a dividirmos ângulos

em dois ângulos congruentes, utilizando-se da bissetriz como ferramenta; a

construirmos ângulos exatos com auxílio do compasso; a traçarmos retas

perpendiculares e paralelas entre si; a dividirmos segmentos em partes iguais; e, por

fim, aprendemos a dividir segmentos em partes proporcionais a segmentos dados,

onde o Teorema de Tales tem importância primaz na compreensão do tema.

Auto-avaliação

Buscando avaliar o grau de apropriação do conteúdo por nós estudado na

presente aula, preparamos um breve exercício, no qual você deve ler atentamente

as proposições, de modo a executá-las com atenção e esmero. Assim sendo,

responda as questões abaixo sem recorrer a qualquer tipo de anotação, num

primeiro momento:

1. Faça uma síntese do conteúdo visto nesta aula e destaque o assunto que

você mais gostou e o que você sentiu mais dificuldade para aprender.

2. Qual entidade geométrica é utilizada para dividirmos um ângulo em dois

ângulos adjacentes e congruentes entre si?

3. Podemos afirmar que mediatriz é sinônimo de bissetriz? Por quê?

4. Qual ângulo tem corda congruente ao seu raio?

5. Podemos construir ângulos exatos com auxílio do compasso? Em caso

positivo, dê um exemplo.

6. Podemos utilizar o transporte de ângulo para traçarmos uma reta paralela a

uma outra reta dada?

7. Podemos utilizar a reta mediatriz como ferramenta para traçarmos uma reta

perpendicular a uma outra reta dada?

8. Podemos afirmar que dividir um segmento de reta em n partes iguais é dividi-

lo em n partes proporcionais a 1 (um)? Por quê?

Bom trabalho e até o nosso próximo encontro...

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Referências







LOPES, Elizabeth Teixeira e KANEGAE, Cecília Fujiko. Desenho Geométrico. São

Paulo: ed. Scipione, vol. I, 7ª edição, 1991.











vol. 1, 2, 3 e 4, 1ª edição, 1991.





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