José Anderson Valença Cardoso

O Espectro do Operador de Schrödinger eAplicações

João Pessoa2007

Universidade Federal da ParaíbaCentro de Ciências Exatas e da Natureza

Programa de Pós-Graduação em MatemáticaCurso de Mestrado em Matemática

O Espectro do Operador de Schrödinger eAplicações

por

José Anderson Valença Cardoso ∗

sob orientação do

Prof. Dr. Everaldo Souto de Medeiros

Dissertação apresentada ao CorpoDocente do Programa de Pós-Graduaçãoem Matemática - CCEN - UFPB, comorequisito parcial para obtenção do títulode Mestre em Matemática.

Fevereiro/2007João Pessoa-PB

∗Este trabalho contou com suporte financeiro da Capes.

V152e Valença, José AndersonO Espectro do Operador de Schrödinger e Aplicações/

José Anderson Valença. - João Pessoa, 2007.134 f.Orientador: Everaldo Souto de Medeiros.Dissertação (Mestrado em Matemática) - UFPB/

CCEN/ Matemática.1. Análise Matemática

UFPB/CCEN/Matemática CDU: 517

O Espectro do Operador de Schrödinger eAplicações

por

José Anderson Valença Cardoso

Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduaçãoem Matemática - CCEN - UFPB, como requisito parcial para obtenção do títulode Mestre em Matemática.

Área de Concentração: Análise Matemática

Banca Examinadora:

———————————————————————–Prof. Dr. Everaldo Souto de Medeiros -UFPB (Orientador)

———————————————————————–Prof. Dr. Claudianor Oliveira Alves - UFCG

———————————————————————–Prof. Dr. Francisco Odair Vieira de Paiva - UNICAMP

Universidade Federal da ParaíbaCentro de Ciências Exatas e da Natureza

Programa de Pós-Graduação em MatemáticaCurso de Mestrado em Matemática

26 de Fevereiro de 2007

A minha mãe Avilete e ao meu tioAluísio (ambos in memoriam).

Agradecimentos

Gostaria de deixar registrados os meus agradecimentos a cada um que, diretaou indiretamnte, contribuiu para a realização deste trabalho. Como infelizmenteé impossível descrever todos, enumerarei aqueles que o espaço me permite.

- A essa força que a razão não consegue explicar e que denominamos por Deus;

- Ao Programa de Pós-Graduação em Matemática, por me proporcionara oportunidade de fazer parte deste; e à CAPES - Coordenação deAperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - pelo apoio financeiro;

- Ao meu orientador Prof. Everaldo Souto de Medeiros, o qual me deixa avontade para dizer que não foi somente meu orientador, mas um amigo ecompanheiro de trabalho;

- Aos Professores Claudianor e Francisco Odair, por participarem da bancaexaminadora;

- As três mulheres da minha vida. Minhas duas irmãs e minha namorada:Alexandra Valença, Andrea Valença e Georgiana Garrido, respectivamente;

- Ao meu pai: Noelzo; meus tios Hélio e Aucilene e Euvaldo e Ameriza; aomeu irmão Anselmo; e a todos os meus familiares;

- Ao casal Paulo e Solange Rabelo pelos incentivos e apoios;

- A todos os meus amigos, colegas de graduação e pós-graduação. Emparticular, aqueles que jamais poderia deixar de citar: Thiago, Naldisson,Fábio, Unaldo...;

- Aos professores de graduação: Natanael Oliveira, Vasco Garcia, AlanAlmeida e Valdenberg Araújo;

- Ao professores da pós-graduação. De modo especial a Fernando Xavier,Rodrigo Ristow, Pedro Hinojosa, e ainda mais especialmente, a JoãoMarcos, Roberto Bedregal e Nelson Nery;

Resumo

Nosso interesse neste trabalho é apresentar um estudo qualitativo sobre oespectro do operador de Schrödinger. Veremos que, sob algumas hipóteses sobreo potencial, é possível caracterizar os espectros discreto e essencial deste operador.Utilizando estas caracterizações e argumentos variacionais, estabeleceremos aexistência de solução para algumas classes de problemas elípticos semi-lineares.

Palavras-Chave: operador de Schrödinger, teoria espectral, operadoresnão limitados, potencial periódico, assintoticamente linear, método variacional,superlinear, problemas elípticos, condição de Cerami, concentração decompacidade.

vii

Abstract

Our interest in this work is to present a qualitative study on the spectrumof Schrödinger operator. We will see that under some hypotheses on thepotential it is possible to characterize the discrete and essential spectrums ofthis operator. Using these characterizations and variacionais arguments we willestablish existence of solution for some class of semilinear elliptic problems.

Keywords: Schrödinger operator, spectral theory, unbounded operator,periodic potential, asymptotically linear, variational methods, superlinear,elliptic problems, Cerami condition, concentration compactness.

viii

Conteúdo

Notações xi

Introdução xiv

1 Preliminares 11.1 Resultados dos Espaços Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Resultados de Análise Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Resultados dos Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Resultados de Positividade e Regularidade . . . . . . . . . . . . . 71.5 Funcionais Diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Teoremas do Tipo Minimax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 O Espectro do Operador de Schrödinger 23Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1 Operadores em Espaço de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Decomposição Espectral de Operadores

Auto-Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3 Princípios Variacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4 O Operador de Schrödinger com Potencial

Decaindo no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5 O Operador de Schrödinger com Potencial

Periódico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Um Problema Elíptico Assintoticamente Linear em RN 53Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1 Condição de Compacidade de Cerami . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2 Existência de Solução Positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4 Uma Equação de Schrödinger com Potencial Periódico 93Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.1 Aproximação por Funções Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . 944.2 Condição de Compacidade de Palais-Smale . . . . . . . . . . . . . 1084.3 Existência de Pontos Críticos Periódicos . . . . . . . . . . . . . . 111

Bibliografia 115

Índice 116

x

Notações

R+ conjunto dos números reais não negativos

B(x, r) bola aberta de centro x e raio r

B[x, r] bola fechada de centro x e raio r

M⊥ ortogonal de M

D(A) domínio do operador linear A

ker(A) núcleo do operador linear A

Im(A) imagem do operador linear A

G(A) gráfico do operador linear A

ρ(A) conjunto resolvente do operador linear A

σ(A) espectro do operador linear A

σess(A) espectro essencial do operador linear A

σdisc(A) espectro discreto do operador linear A

L(X, Y ) espaço das aplicações lineares e limitadas deX em Y

C(X,Y ) espaço das aplicações contínuas de X em Y

X ′ espaço dual de X

xi

C1(X,R) espaço do funcionais continuamente diferen-ciáveis sobre X

,→ convergência fraca e forte respectivamente

→ imersão de um espaço em outro

Ω ⊂ RN aberto

ω ⊂⊂ Ω aberto compactamente contido; ω com-pacto e ω ⊂ Ω

q.t.p. quase toda parte

med(Ω) medida do conjunto Ω

supp(u) suporte da função u, u : Ω ⊂ RN → R

∂u

∂xi

ou uxiderivada parcial de u em relação a xi

∇u =

(∂u

∂x1

,∂u

∂x2

, . . . ,∂u

∂xN

)gradiente de u

∆u =N∑

i=1

∂2u

∂x2i

laplaciano de u

∂u

∂η= ∂ηu = η·∇u derivada normal exterior

· ou (, ) produto interno

C(Ω) funções contínuas definidas de Ω em R

C0(Ω) funções contínuas com suporte compacto emΩ

Ck(Ω) funções k vezes continuamente diferen-ciáveis sobre Ω, k ∈ N

C∞(Ω) =⋂k≥0

Ck(Ω)

Ck0 (Ω) = Ck(Ω) ∩ C0(Ω)

C∞0 (Ω) = C∞(Ω) ∩ C0(Ω)

Lp(Ω) =

u : Ω → R mensurável ;

∫Ω

|u|pdx <∞

, 1 ≤ p <∞

xii

‖u‖Lp(Ω) =

(∫Ω

|u|p)1/p

norma do espaço de Lebesgue Lp(Ω), 1 ≤p <∞

L∞(Ω) = u : Ω → R mensurável ; |u(x)| ≤ C q.t.p. sobre Ω para algum C > 0

‖u‖∞ = infC > 0; |u(x)| ≤ C q.t.p. em Ω norma do espaço L∞(Ω)

Lploc(Ω) = u ∈ Lp(Ω′) para todo Ω′ ⊂⊂ Ω , 1 ≤ p ≤ ∞

W 1,p(Ω) =

u ∈ Lp(Ω)

∣∣∣∣∣∣∃ g1, g2, . . . , gN ∈ Lp(Ω) tais que∫

Ω

u∂ϕ

∂xi

= −∫

Ω

giϕ, ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω),∀i = 1, . . . , N

,

1 ≤ p ≤ ∞. Se u ∈ W 1,p(Ω) denota-se gi := uxi

‖u‖W 1,p(Ω) = ‖u‖Lp(Ω) +N∑

i=1

∥∥∥∥ ∂u∂xi

∥∥∥∥Lp(Ω)

norma do espaço de Sobolev W 1,p(Ω)

W 1,ploc (Ω) = u ∈ W 1,p(Ω′) para todo Ω′ ⊂⊂ Ω , 1 ≤ p ≤ ∞

H1 = W 1,2(Ω)

H2(Ω) =u ∈ H1(Ω);

∂u

∂xi

∈ H1(Ω), i = 1, . . . , N

‖u‖H2(Ω) = ‖u‖H1(Ω) +N∑

i,j=1

∥∥∥ ∂2u

∂xi∂xj

∥∥∥L2(Ω)

norma de H2(Ω)

W 1,p0 (Ω) completamento de C∞

0 (Ω), na norma‖ · ‖W 1,p(Ω), 1 ≤ p <∞

p∗ =Np

N − p, 1 ≤ p < N expoente crítico de Sobolev

D1,2(Ω) =u ∈ L2∗(Ω) : ∇u ∈ (L2(Ω))

N, 1 < p < N

‖u‖D1,2(Ω) = ‖∇u‖L2(Ω) norma do espaço D1,2(Ω)

D1,20 (Ω) completamento de C∞

0 (Ω) com respeito ànorma ‖ · ‖D1,2

f = o(g) quando x→ x0 se limx→x0 |f(x)|/|g(x)| = 0

f = O(g) quando x → x0, se existe C > 0 tal que|f(x)| ≤ C|g(x)| para x→ x0

xiii

Introdução

A teoria da equação de Schrödinger iniciou-se com os artigos de ErwinSchrödinger [19], publicados em 1926. Nestes trabalhos, ele formulou a equaçãobásica da mecânica quântica, calculou os Bound States do átomo de hidrogênio edesenvolveu uma forma simples da teoria de perturbação, a qual ele aplicou paraestudar os efeitos Stark e Zeeman. A teoria matemática da mecânica quântica e dooperador de Schrödinger foi tratado no livro de John von Neumann [21], publicadoem 1932. Neste livro, von Neumann apresentou a estrutura dos espaços de Hilbertaplicados à mecânica quântica, exibindo a teoria espectral dos operadores auto-adjuntos ilimitados e enfatizando a importância destes serem auto-adjuntos pararesolver o problema de autovalor para o operador de Schrödinger.

Nosso objetivo consiste em apresentar, descrever e estudar noções de teoriaespectral, e a influência desta na existência de solução da equacão de Schrödinger.Para tanto, dedicaremos o primeiro capítulo a apresentação de resultados quetornam o trabalho mais auto-suficiente, necessários no decorrer dos demaiscapítulos. No segundo capítulo, iniciaremos expondo resultados e fixandoalgumas notações e conceitos teóricos que serão usados nos capítulos subsequentespara provar a existência de solução para dois problemas específicos.

Começaremos, no Capítulo 1, por apresentar os espaços de funções deLebesgue e Sobolev, assim como suas principais propriedades e resultados. Emparticular, apresentaremos os teoremas de imersões dos espaços de Sobolev queutilizaremos, bem como uma condição necessária e suficiente para que uma funçãopertença a estes espaços. Usando a desigualdade de Harnack e o método dastranslações de Nirenberg, obteremos resultados de positividade e regularidade,respectivamente. Introduziremos também alguns resultados de não existência.Concluimos o Capítulo 1, com o estudo da continuidade do operador de Nemitskii,e algumas consequências.

No Capítulo 2, introduziremos as noções gerais de operadores em espaços deHilbert e alguns resultados. Isto será importante para fixarmos as notações e

resultados que serão utilizados posteriormente. Apresentaremos ainda o teoremaespectral para operadores auto-adjuntos não-limitados, as projeções espectrais ealgumas de suas propriedades. Além disso, enunciaremos princípios variacionais,especificamente: o Lema de Glazman e o Princípio de Courant. Baseado nessesconceitos, estudaremos o espectro do fecho (veja Definição 2.8) do operador deSchrödinger:

S0 : D(S0) ⊂ L2(RN) → L2(RN),

definido porS0(u) = −∆u+ V (x)u,

onde V ∈ L∞loc(RN) e D(S0) = C∞0 (RN), o qual será denotado por S, isto é,

S = S0. Para tanto, assumiremos a seguinte hipótese:

lim|x|→+∞

V (x) = 0. (1)

Neste caso, mostraremos que o espectro essencial de S, que denotaremos porσess(S), é igual a [0,+∞). Usaremos este e outros resultados para estudar aseguinte classe de problemas elípticos assintoticamente linear:

−∆u+ λu = f(x, u)u, em RN , (2)

onde λ > 0 é um parâmetro e f satisfaz determinadas hipóteses que serão expostaslogo abaixo, ainda nesta introdução.

Encerraremos o capítulo estudando o espectro do operador de SchrödingerS0, agora definido sobre D(S0) = C∞(TN), onde TN é um N -toro, assumindo aseguinte hípotese: o potencial V é uma função mensurável, periódica e limitada.

Neste caso, mostraremos que existe um sistema ortogonal completo emL2(TN) de autofunções do operador de Schrödinger S0. Além disso,introduziremos o gap espectral, que são regiões da reta real onde não há elementosdo espectro de S0.

Assumiremos que 0 pertence ao gap espectral de S0 e aplicaremos estesresultados para estudar uma classe de problemas elípticos semilineares da forma:

−∆u+ V (x)u = f(x, u) em RN , (3)

onde a não-linearidade f(x, u) é periódica na variável x e com crescimentosuperlinear.

No Capítulo 3, usaremos a teoria estudada no Capítulo 2 para mostrar aexistência de solução para o problema (2). Neste capítulo, assumiremos asseguintes hipóteses sobre a função f :

(f1) lims→0

f(x, s) = 0, uniformemente em x;

xv

(f2) Para todo x ∈ RN , f(x, s) é uma função não-decrescente de s sobre [0,∞),e existe uma função g ∈ C(RN ,R+) tal que

lims→∞

f(x, s) = g(x),

uniformemente em x;

(f3) Existe uma função h ∈ C(R+,R+) tal que

lim|x|→∞

f(x, s) = h(s),

uniformemente em s;

(f4) lim|x|→∞s→∞

f(x, s) = lims→∞

h(s) = lim|x|→∞

g(x) = l∞ ∈ (0,∞);

(f5) f(x, s) ≥ lim|x|→∞

f(x, s) = h(s) para todo x ∈ RN , s ∈ R+ e f(x, s) > h(s)

para x ∈ ω, s ∈ R+, onde ω ⊂ RN é um conjunto de medida positiva.

O método utilizado aqui consiste em aplicar o Teorema do Passo da Montanhacom a condição de compacidade de Cerami. Se Λ é o primeiro autovalor dooperador S, com V (x) = −g(x), mostraremos que a condição de Cerami ésatisfeita para 0 < λ < |Λ|. Para isto, usaremos o primeiro Teorema deConcentração de Compacidade devido a P. L. Lions [13]. Os resultados estudadosneste capítulo são devidos a Costa-Tehrani [6].

Finalmente, no Capítulo 4, usaremos a teoria espectral do operador deSchrödinger S0 com o potencial V periódico, para estudar a existência de soluçãopara o problema (3), onde assumiremos as seguintes hipóteses sobre a função f :

(f1) f : RN × R → R e V : RN → R são contínuas e 1-periódicas em cadavariável xi, i = 1, . . . , N ;

(f2) |f(x, s)| ≤ C(1 + |s|p−1), onde C > 0 e 2 < p < 2∗ = 2NN−2

;

(f3) f(x, s) = o(|s|), quando s→ 0, uniformemente em x;

(f4) Existe γ > 2 tal que 0 < γF (x, s) ≤ sf(x, s), para todo s 6= 0, ondeF (x, s) =

∫ s

0f(x, t)dt;

(f5) 0 está em um gap espectral de −∆ + V .

Obteremos uma solução para o problema (3) como o limite de uma sequênciade soluções de problemas aproximados. Para obter tal sequência, utilizaremos umTeorema de Linking. Os resultados deste capítulo são devidos a Pankov-Pflüger[15].

xvi

Capítulo 1

Preliminares

1.1 Resultados dos Espaços Lp

Nosso objetivo nesta seção é citar alguns resultados básicos dos espaços Lp.Evidentemente, não nos prenderemos a detalhes e demonstrações, pois o interesseé apenas tornar o texto mais auto-suficiente. Começaremos definindo tais espaços,supondo conhecidas as noções de medida de Lebesgue, funções mensuráveis eintegráveis, etc.

Definição 1.1 Sejam Ω um aberto de RN e p ∈ [1,∞). Define-se

Lp(Ω) =u : Ω → R;u é mensurável e

∫Ω

|u|pdx <∞.

O espaço Lp(Ω) munido com a norma

‖u‖Lp(Ω) =( ∫

Ω

|u|pdx)1/p

,

é um espaço normado completo. Observemos que no caso em que p = 2, estanorma provém do produto interno (u, v)L2(Ω) =

∫Ωuvdx.

Observação 1.2 Chamamos a atenção para a seguinte propriedade das funçõesintegráveis em RN : se u : RN → R é integrável, então para todo ε > 0, existeR > 0 tal que ∣∣∣ ∫

|x|>R

udx∣∣∣ < ε.

Definimos também o espaço L∞(Ω) como segue:

Definição 1.3 Seja Ω um aberto de RN . Define-se

L∞(Ω)=u : Ω → R mensurável ; |u(x)| ≤ C q.t.p. sobre Ω para algum C > 0 .

Este também é um espaço normado completo quando munido da norma

‖u‖L∞(Ω) = infC > 0; |u(x)| ≤ C q.t.p. em Ω.

O primeiro resultado que citaremos é o Teorema da Convergência Dominadade Lebesgue:

Teorema 1.4 (Convergência Dominada de Lebesgue) Seja (un) umasequência em L1(Ω). Suponha que

(a) un(x) → u(x), q.t.p. em Ω;

(b) Existe uma função g ∈ Lp(Ω) tal que, para cada n, |un(x)| ≤ g(x) q.t.p.

em Ω.

Então u ∈ Lp(Ω) e ‖un − u‖Lp(Ω) → 0.

Um outro resultado, que poderíamos dizer ser uma ”quase recíproca” doTeorema da Convergência Dominada de Lebesgue.

Teorema 1.5 Sejam (un) uma sequência em Lp(Ω) e u ∈ Lp(Ω) tais que‖un − u‖Lp(Ω) → 0. Então existe uma subsequência (unk

) tal que

(a) unk(x) → u(x), q.t.p. em Ω;

(b) Existe uma função h ∈ Lp(Ω) tal que, para cada k, |unk(x)| ≤ h(x) q.t.p.

em Ω.

Apresentaremos agora os espaços das funções localmente p-integráveis elocalmente limitadas. Sejam Ω um aberto de RN , K ⊂ Ω e χK a funçãocaracterística de K. Diremos que uma função u : Ω → R mensurável é localmentep-integrável quando uχK ∈ Lp(Ω), 1 ≤ p <∞, para todo K compacto. Diremosainda que u é localmente limitada quando uχK ∈ L∞(Ω), para todo K compacto.

Definição 1.6 Denotaremos por Lploc(Ω), 1 ≤ p < ∞ o espaço das funções

localmente integráveis, e por L∞loc(Ω) o espaço das funções localmente limitadas.

Para finalizar esta seção, enunciaremos o Lema de Du Bois - Raymond,também conhecido por Lema Fundamental do Cálculo das Variações.

2

Lema 1.7 (Du Bois - Raymond) Seja u ∈ L1loc(Ω) tal que∫

Ω

uϕdx = 0,

para toda ϕ ∈ C∞0 (Ω). Então u = 0 q.t.p. em Ω.

As demonstrações destes três resultados poderão ser encontradas em Brezis[5], bem como as afirmações sobre os espaços Lp(Ω).

1.2 Resultados de Análise FuncionalListaremos nesta seção alguns resultados de Análise Funcional que serão úteis

no decorrer do trabalho. Antes de enunciarmos o primeiro resultado, definiremosa noção de convergência fraca.

Definição 1.8 Sejam X um espaço vetorial normado e (xn) uma sequência emX. Diremos que (xn) converge fracamente a x ∈ X, se

f(xn) → f(x),

para todo f ∈ X ′ 1e denotaremos por xn x.

Teorema 1.9 Seja (xn) uma sequência num espaço de Banach X. Se (xn)

converge fracamente, então (xn) é limitada em X.

O resultado que enunciaremos agora será usado no decorrer de toda adissertação.

Teorema 1.10 Seja X um espaço de Banach reflexivo. Se (xn) é uma sequêncialimitada em X, então (xn) possui uma subsequência que converge fracamente.

As provas destes dois resultados encontram-se em Brezis [5], Proposição III.5e Teorema III.27, respectivamente.

Encerraremos esta seção com o Teorema da Representação de Riesz parafuncionais lineares contínuos em espaços de Hilbert. A demonstração desteteorema encontra-se em Reed-Simon [17], Teorema II.4.

Teorema 1.11 (Representação de Riesz) Seja H um espaço de Hilbert.Para cada f ∈ H ′, existe um único yf ∈ H tal que

f(x) = (x, yf )H ,

para todo x ∈ H.1X

′representa o dual topológico de X.

3

1.3 Resultados dos Espaços de SobolevOs espaços de Sobolev são os espaços naturais para se estudar equações

diferenciais parcias usando métodos variacionais. Introduziremos nesta seçãovários resultados que usaremos ao longo de toda a dissertação.

Sejam Ω um aberto de RN e 1 ≤ p <∞.

Definição 1.12 Seja u ∈ L1loc(Ω). Diremos que u possui derivada fraca com

relação a xi, se existe vi ∈ L1loc(Ω) tal que∫Ω

u∂ϕ

∂xi

dx = −∫

Ω

viϕdx,

para toda ϕ ∈ C∞0 (Ω). Denotaremos vi por

∂u

∂xi

.

Definição 1.13 O espaço de Sobolev H1(Ω) se define por

H1(Ω) =u ∈ L2(Ω);

∂u

∂xi

∈ L2(Ω), i = 1, . . . , N.2

Este espaço torna-se um espaço de Hilbert, quando munido com o produtointerno:

(u, v)H1(Ω) =

∫Ω

(∇u∇v + uv)dx,

cuja norma correspondente é

‖u‖H1(Ω) =( ∫

Ω

(|∇u|2 + u2)dx)1/2

.

Uma norma equivalente a esta, que em alguns momentos usaremos, é a seguinte:

‖u‖H1(Ω) = ‖u‖L2(Ω) +N∑

i=1

∥∥∥ ∂u∂xi

∥∥∥L2(Ω)

.

Do mesmo modo que definimos o espaço H1(Ω), definiremos H2(Ω).

Definição 1.14 O espaço de Sobolev H2(Ω) se define por

H2(Ω) =u ∈ H1(Ω);

∂u

∂xi

∈ H1(Ω), i = 1, . . . , N.

2A derivada no sentido fraco.

4

O produto interno considerado neste espaço é

(u, v)H2(Ω) =

∫Ω

[ N∑i,j=1

( ∂2u

∂xi∂xj

∂2v

∂xi∂xj

)+∇u∇v + uv

]dx,

cuja norma correspondente é equivalente a

‖u‖H2(Ω) = ‖u‖L2(Ω) +N∑

i=1

∥∥∥ ∂u∂xi

∥∥∥L2(Ω)

+N∑

i,j=1

∥∥∥ ∂2u

∂xi∂xj

∥∥∥L2(Ω)

.

Um outro espaço que também usaremos ao longo do texto é o espaço D1,2.

Definição 1.15 Sejam N ≥ 3 e 2∗ = 2NN−2

. O espaço de Sobolev D1,2(Ω) sedefine por

D1,2(Ω) =u ∈ L2∗(Ω);∇u ∈ (L2(Ω))N

.

O espaço D1,2(Ω) é um espaço de Hilbert com o produto interno

(u, v)D1,2(Ω) =

∫Ω

∇u∇vdx,

e norma correspondente

‖u‖D1,2(Ω) =( ∫

Ω

|∇u|2dx)1/2

.

Denotaremos por H10 (Ω) o espaço obtido pelo completamento de C∞

0 (Ω) comrelação a norma de H1(Ω).

Todas as definições e resultados comentados anteriormente sobre os espaçosde Sobolev, encontram-se em Brezis [5] e Willem [22].

Enunciaremos agora uma proposição que caracteriza as funções do espaçoH1(Ω), a qual será bastante útil nos resultados de regularidade queapresentaremos na próxima seção.

Proposição 1.16 Seja u ∈ L2(Ω). As seguintes afirmações são equivalentes:

(i) u ∈ H1(Ω);

(ii) Existe uma constante C > 0 tal que, para todo aberto ω ⊂⊂ Ω

(compactamente contido) e para todo h ∈ RN , com |h| < dist(ω,ΩC), severifica

‖u(x+ h)− u(x)‖L2(ω) ≤ C|h|.

Além disso, podemos tomar C = ‖∇u‖L2(Ω).

5

Maiores detalhes e demonstração desta proposição, veja Proposição IX.3 emBrezis [5].

Os resultados listados abaixo são os principais teoremas de imersões queusaremos neste trabalho.

Teorema 1.17 (Imersões de Sobolev) As seguintes imersões são contínuas:

H1(Ω) → Lp(Ω), 2 ≤ p ≤ ∞, se N = 1, 2;

H1(Ω) → Lp(Ω), 2 ≤ p ≤ 2∗, se N ≥ 3;

D1,2(Ω) → L2∗(Ω), se N ≥ 3.

Se a medida do domínio é finita, temos o Teorema de Rellich-Kondrachov:

Teorema 1.18 (Rellich-Kondrachov) Se med(Ω) < ∞3, então a seguinteimersão é compacta:

H1(Ω) → Lp(Ω), 1 ≤ p < 2∗.

Estes dois resultados estão contidos em Brezis [5] e Willem [22].O lema seguinte nos diz que convergência fraca implica convergência em quase

todo ponto em RN .

Lema 1.19 Seja (un) ⊂ H1(RN) uma sequência limitada. Então a menos desubsequência, existe u0 ∈ H1(RN) tal que

un → u0 q.t.p em RN .

Demonstração Desde que H1(RN) é reflexivo, pelo Teorema 1.10, existe u0 ∈H1(RN) tal que

un u0, em H1(RN),

a menos de subsequência. Como o operador restrição de H1(RN) em H1(B(0, R))é contínuo, para cada R > 0, e a imersão deH1(B(0, R)) em L2(B(0, R)) écompacta, temos que

un → u0 em L2(B(0, R)).

Fixado R = 1, pelo Teorema 1.5 existe uma subsequência (u1n) ⊂ (un) tal que

u1n → u0 q.t.p. em B(0, 1).

Agora, fixado R = 2, temos que u1n → u0 em L2(B(0, 2)) e usamos o Teorema 1.5

mais uma vez para encontrarmos uma subsequência (u2n) ⊂ (u1

n) tal que

u2n → u0 q.t.p. em B(0, 2).

3med(Ω) denota a medida de Lebesgue do conjunto Ω.

6

Prosseguindo assim, fixado k ∈ N, existe uma subsequência de (un) que satisfaz:

ukn → u0 q.t.p. em B(0, k).

Afirmamos que a sequência diagonal (ukk) tem a propriedade desejada, isto é,

ukk → u0 q.t.p em RN .

De fato, seja Cj =x ∈ B(0, j) : lim

n→∞uj

n(x) 6= u0(x). Temos que med(Cj) = 0.

Definamos C = ∪∞j=1Cj. Assim, med(C) = 0. Agora, se x ∈ RN \C, existe k0 ∈ Ncom x ∈ B(0, k0), então

x ∈ B(0, k), ∀k ≥ k0.

Portanto,uk

n(x) → u0(x) quando n→∞ para k ≥ k0.

Sendo (ukk) uma subsequência de (uk

n), obtemos

ukk → u0 q.t.p. em RN ,

e isto prova o lema.

Um resultado de compacidade, devido a P. L. Lions, que utilizaremos nestetrabalho é o seguinte lema.

Lema 1.20 (P. L. Lions) Sejam r > 0 e 2 ≤ q < 2∗. Se (un) é uma sequêncialimitada em H1(RN) tal que

supy∈RN

∫B(y,r)

|un|qdx→ 0, n→∞,

então un → 0 em Lp(RN) para 2 < p < 2∗.

A prova deste lema encontra-se em Willem [22], Lema 1.21.

1.4 Resultados de Positividade e RegularidadeNesta seção, assumiremos a existência de solução fraca não-negativa u para o

problema:(Pg) −∆u+ λu = g(x)u, u ∈ H1(RN),

onde λ > 0, N ≥ 3, g ∈ C(RN ,R+), lim|x|→∞

g(x) = l∞ ∈ (0,∞). Mostraremos que

u é estritamente positiva e u ∈ H2(RN).Os resultados desta seção serão utilizados no Capítulo 3.

7

Observação 1.21 Desde que λ > 0, temos que∫

RN (|∇u|2 + λu2)dx define umanorma equivalente à norma usual de H1(RN). Denotaremos esta norma por ‖·‖λ.

Observação 1.22 Notemos que g ∈ C(RN)∩L∞(RN). De fato, se lim|x|→∞

g(x) =

l∞, então, dado ε > 0, existe R > 0 tal que |g(x) − l∞| < ε, para |x| > R, queimplica g(x) < l∞ + ε, se |x| > R. Além disso, sendo g ∈ C(RN ,R+) segue quemax

x∈B[0,R]g(x) = g(x0), para algum x0 ∈ B[0, R]. Portanto, g ∈ C(RN) ∩ L∞(RN)

Por uma solução fraca de (Pg), entenderemos uma função u ∈ H1(RN),u 6= 0, u ≥ 0, tal que∫

RN

(∇u∇v + λuv)dx =

∫RN

g(x)uvdx, ∀ v ∈ C∞0 (RN). (1.1)

Assumida a existência de uma solução não-negativa de (Pg), para provarque esta é estritamente positiva, necessitaremos lançar mão a um resultado tipoprincípio de máximo, conhecido como desigualdade de Harnack. Desde que nãoprecisaremos desta desigualdade em sua forma mais geral, apresentaremos apenasuma versão que será suficiente ao nosso trabalho.

Teorema 1.23 (Desigualdade de Harnack) Consideremos o operador L =

−∆ + (λ − g), λ > 0 e g nas hipóteses do problema (Pg), u ∈ H1(RN) tal queu ≥ 0 e Lu = 0 4 em RN . Então,

supB(y,R)

u(x) ≤ C infB(y,R)

u(x),

onde C = C(N,R).

Para a generalidade deste resultado e sua respectiva demonstração, vejaGilbarg-Trudinger [9], Teorema 8.20.

Lema 1.24 Se u ≥ 0 é uma solução fraca não-trivial de (Pg), então u éestritamente positiva.

Demonstração: Suponhamos que exista x0 ∈ RN tal que u(x0) = 0. Peladesigualdade de Harnack, para qualquer bola B(x0, R), R > 0, temos que

supB(x0,R)

u ≤ C infB(x0,R)

u = 0,

onde C > 0. Desde que RN é conexo, tem-se que u = 0 em RN , que contradiz ofato de u 6= 0. Portanto, u > 0.

4A igualdade no sentido fraco.

8

Nosso objetivo agora é mostrar que u ∈ H2(RN). Para tanto, usaremos ummétodo conhecido por Método das Translações, devido a L. Nirenberg. Noque segue, estabeleceremos uma notação e algumas de suas propriedades.

Proposição 1.25 Sejam v ∈ H1(RN) e h ∈ RN , h 6= 0. Definamos

Dh(v)(x) =v(x+ h)− v(x)

|h|.

As seguintes propriedades são válidas:

(i)∫∇v∇(D−h(Dh(v)))dx =

∫|∇Dh(v)|2dx.

(ii)∫vD−h(Dh(v))dx =

∫|Dh(v)|2dx.

(iii) Existe C = C(N) tal que ‖D−hv‖L2(RN ) ≤ C‖∇v‖L2(RN ).

Demonstração: (i) Desde que

D−h(Dh(v))(x) =v(x)− v(x− h)− v(x+ h) + v(x)

|h|2,

obtemos∫∇v∇(D−h(Dh(v)))dx

=

∫∇v(x)∇

[v(x)− v(x− h)− v(x+ h) + v(x)

|h|2]dx

=1

|h|2

∫ [|∇v(x)|2 −∇v(x)∇v(x− h)

]dx

+1

|h|2

∫ [|∇v(x)|2 −∇v(x)∇v(x+ h)

]dx. (1.2)

Fazendo mudança de variável, temos∫|∇v(x)|2dx =

∫|∇v(x+ h)|2dx

e ∫∇v(x)∇v(x− h)dx =

∫∇v(x)∇v(x+ h)dx.

9

Substituindo estas expressões em (1.2), obtemos∫∇v∇(D−h(Dh(v)))dx

=1

|h|2

∫ [|∇v(x+ h)|2 − 2∇v(x)∇v(x+ h) + |v(x)|2

]dx

=

∫ ∣∣∣∇v(x+ h)−∇v(x)|h|

∣∣∣2dx=

∫|∇Dh(v)|2dx,

e isto conclui (i).(ii) A demonstração desta propriedade é análoga a anterior.(iii) Pela Proposição 1.16, temos

‖D−hv‖L2(Ω) ≤ C‖∇v‖L2(RN ),

para todo Ω ⊂⊂ RN , em particular se Ω = B(0, R). Daí, desde que |D−hv|2 éintegrável, dado ε > 0 podemos tomar R > 0 suficientemente grande de modoque ∫

|x|>R

|D−h(v)|2dx < ε.

Logo,

‖D−hv‖2L2(RN ) =

∫|x|≤R

|D−h(v)|2dx+

∫|x|>R

|D−h(v)|2dx < C2‖∇v‖2L2(RN ) + ε,

para todo ε > 0. Portanto,

‖D−hv‖L2(RN ) ≤ C‖∇v‖L2(RN ),

que prova a proposição.

Lema 1.26 Se u ∈ H1(RN) é uma solução fraca de (Pg), então u ∈ H2(RN).

Demonstração: Tomando v = D−h(Dh(u)) em (1.1), obtemos∫(∇u∇(D−h(Dh(u))) + λuD−h(Dh(u)))dx =

∫g(x)uD−h(Dh(u))dx.

Usando (i) e (ii) da Proposição 1.25, temos

‖Dh(u)‖2λ =

∫(|∇(Dh(u))|2 + λ|Dh(u)|2)dx =

∫g(x)uD−h(Dh(u))dx.

10

Desde que g ∈ L∞(RN), pela desigualdade de Hölder tem-se

‖Dhu‖2λ ≤ ‖g‖∞‖u‖L2(RN )‖D−h(Dh(u))‖L2(RN )

≤ ‖g‖∞C‖u‖L2(RN )‖Dh(u)‖λ,

onde na última desigualdade usamos (iii) da Proposição 1.25. Em particular,

‖Dh(∂u

∂xi

)‖L2(RN ) ≤ ‖g‖∞C‖u‖L2(RN ).

Agora usando a Proposição 1.16, temos que∂u

∂xi

∈ H1(RN). Portanto, u ∈

H2(RN), provando o lema.

Corolário 1.27 Consideremos o problema limite

(P∞) −∆u+ λu = l∞u, u ∈ H1(RN),

onde λ > 0. Se u ∈ H1(RN) é uma solução fraca de (P∞), então u ∈ H2(RN).

Demonstração: Basta tomarmos g(x) = l∞, e usar o Lema 1.26.

Ainda usando o método das translações de Nirenberg, auxiliado pelaProposição 1.25, pode-se provar o seguinte resultado de regularização local.

Lema 1.28 Suponha que V ∈ L∞(RN) e que u ∈ H1(RN) é uma solução fracado problema

−∆u+ V (x)u = f em RN ,

onde f ∈ L2(RN). Então, u ∈ H2loc(RN).

Para versões mais gerais, e suas respectivas demonstrações, veja Evans [8],Teorema 1 na Secão 6.3.1, ou Berezin-Shubin [4], Teorema 2.1, Suplemento 2.

No que segue, mostraremos que o primeiro autovalor do laplaciano consideradosobre um anel diminui, a medida que aumentamos o raio deste anel. A existênciade autovalores do laplaciano em domínio limitado encontra-se em Brezis [5],Teorema IX.31.

Teorema 1.29 Sejam 0 < R0 < R′ e µ1 = µ1(R′) o primeiro autovalor do

problema

(PR′)

−∆u = µu em AR0,R′

u = 0 sobre ∂AR0,R′ ,

onde AR0,R′ = x ∈ RN ;R0 < |x| < R′ e ∂AR0,R′ = x ∈ RN ; |x| = R0 ou |x| =R′. Então, dado δ > 0 existe R′ > 0 suficientemente grande tal que µ1 < δ.

11

Demonstração: Fixado R1 > R0, seja e1 > 0 a primeira autofunção associadaao primeiro autovalor µ(R1) do problema:

(PR1)

−∆u = µ1(R1)u em AR0,R1

u = 0 sobre ∂AR0,R1 ,

onde AR0,R1 = x ∈ RN ;R0 < |x| < R1. Para R > 1, definamos w(x) =e1(x/R). Desde que e1 é definida sobre R0 < |x| < R1, temos que w é definidaem

AR = x ∈ RN ;RR0 < |x| < RR1.

Como e1 ≡ 0 sobre ∂AR0,R1 , então w ≡ 0 sobre ∂AR. Além disso, fazendomudança de variável, temos∫

AR

−∆wwdx =

∫AR

− 1

R2(∆e1(x/R))e1(x/R)dx

=

∫AR0,R1

−RN

R2(∆e1(y))e1(y)dy

=

∫AR0,R1

RN

R2(µ1(R1)e1(y))e1(y)dy

=µ1(R1)

R2

∫AR

(e1(x/R))2dx

=µ1(R1)

R2

∫AR

w2dx.

Sendo w nula sobre a fronteira de AR, usando integração por partes obtemos∫AR

|∇w|2dx =µ1(R1)

R2

∫AR

w2dx. (1.3)

Ainda por w ≡ 0 sobre ∂AR, podemos estender w ao anel

AR0,RR1 = x ∈ RN ;R0 < |x| < RR1.

Assim, w é solução do problema de autovalor

(PR1R)

−∆u = µ1(R1)u em AR0,RR1

u = 0 sobre ∂AR0,RR1 .

Pela caracterização variacional do primeiro autovalor de (PR1R), temos

µ1(RR1) = infu 6=0

∫AR0,R1R

|∇u|2dx∫AR0,R1R

u2dx.

12

Daí, por (1.3), segue-se que

µ1(RR1) ≤

∫AR0,RR1

|∇w|2dx∫AR0,R1R

w2dx=µ1(R1)

R2.

Para R suficientemente grande, temos

µ1(RR1) < δ,

que prova o teorema com R′ = RR1.

Para finalizar esta seção, consideraremos dois resultados: um lema devido aE. Hopf e um teorema devido a S. Pohozaev. Mais uma vez, como não usaremos oresultado de Hopf em sua forma mais geral, enunciaremos este de modo suficientepara o nosso uso, e em seguida faremos uma consequência deste lema. Para umaversão mais geral e sua prova, veja Gilbarg-Trudinger [9], Lema 3.4.

Definição 1.30 Sejam Ω um subconjunto de RN e x0 ∈ ∂Ω. Diremos que ∂Ω

satisfaz a condição da esfera interior em x0 se existe uma bola B(0, r) ⊂ Ω,r > 0, de modo que x0 ∈ ∂B(0, r).

Lema 1.31 (Hopf) Seja u ∈ C2(Ω)∩C(Ω) tal que −∆u ≤ 0 em Ω. Se x0 ∈ ∂Ω

é tal que

(i) u(x0) < u(x) para todo x ∈ Ω,

(ii) ∂Ω satisfaz a condição da esfera interior em x0;

então a derivada normal exterior de u em x0, caso exista, satisfaz

∂u

∂η(x0) < 0 5.

Lema 1.32 Seja ϕ > 0 a primeira autofunção associada ao autovalor µ1 doproblema (PR′) considerado no Teorema 1.29. Então, ∂ϕ

∂η< 0 sobre ∂AR0,R′.

Demonstração: Basta observar que ϕ ≡ 0 sobre ∂AR0,R′ , ϕ > 0 em AR0,R′ eque ∂AR0,R′ satisfaz a condição da esfera interior para todo x, e aplicar o Lemade Hopf.

5η denota o vetor normal exterior a ∂Ω

13

Proposição 1.33 Seja lim|x|→∞

g(x) = l∞ e suponha que 0 < λ < l∞. Se u ≥ 0 é

solução fraca de (Pg), então u = 0.

Demonstração: Suponha que u ≥ 0 é uma solução fraca de (Pg). Então, peloLema 1.24, temos que u > 0. Sendo lim

|x|→∞g(x) = l∞, então para δ := (l∞ − λ)/2

podemos fazer R0 > 0 suficientemente grande tal que

g(x) ≥ l∞ − δ > 0 para |x| ≥ R0. (1.4)

Pelo Lema 1.26, u ∈ H2(RN). Dada ψ ∈ C∞0 (RN), podemos então aplicar a

identidade de Green para obter∫∇u∇ψdx =

∫−∆uψdx,

e sendo u solução fraca de (Pg), tem-se que∫(−∆uψ + λuψ)dx−

∫g(x)uψdx = 0,

ou ainda, ∫[−∆u+ (λ− g(x))u]ψdx = 0,

para toda . Assim, pelo Lema 1.7, temos

−∆u+ (λ− g(x))u = 0, q.t.p. em RN . (1.5)

Pelo Teorema 1.29, podemos escolher R′ suficientemente grande de modo que

0 < µ1(R′) <

δ

2. (1.6)

Seja ϕ > 0 uma autofunção associada ao autovalor µ1(R′). Então, usando (1.4)

e (1.5), obtemos∫AR0,R′

−∆uϕdx =

∫AR0,R′

(g(x)− λ)uϕdx ≥ δ

∫AR0,R′

uϕdx. (1.7)

Por outro lado, pelo Lema 1.32

∂ϕ

∂η< 0 sobre ∂AR0,R. (1.8)

Daí, pela identidade de Green, tem-se∫AR0,R′

−∆uϕdx =

∫AR0,R′

−∆ϕudx+

∫∂AR0,R′

u∂ϕ

∂ηdS

−∫

∂AR0,R′

ϕ∂u

∂ηdS.

14

Sendo ϕ = 0 sobre ∂AR0,R′ e u∂ϕ∂η< 0 (lembremos que u > 0), obtemos∫

AR0R′

−∆uϕdx ≤∫

AR0,R′

−∆ϕudx = µ1(R′)

∫AR0,R′

uϕdx.

Logo, por (1.6), ∫AR0,R′

−∆uϕdx ≤ δ

2

∫AR0,R′

uϕdx,

que é uma contradição em vista de (1.7). Isto conclui o teorema.

Consideremos agora o problema

(P1)

−∆u = f(u)u ∈ H1(RN),

onde f ∈ C1(R,R) e N ≥ 3.

Teorema 1.34 (Identidade de Pohozaev) Seja u ∈ H2loc(RN)6, N ≥ 3, uma

solução fraca de (P1). Se f(0) = 0 e F (u) :=

∫ u

0

f(s)ds ∈ L1(RN), então u

satisfazN − 2

2

∫RN

|∇u|2dx = N

∫RN

F (u)dx.

Este resultado encontra-se em Willem [22], Corolário B.4. Como consequênciada Identidade de Pohozaev temos o seguinte resultado de não existência.

Corolário 1.35 Seja µ ∈ R. Se u ∈ H2(RN) é solução do problema de autovalor

(P2) −∆u = µu em RN ,

então u = 0.

Demonstração: Se µ = 0 então pelo Teorema de Liouville u é constante; esendo u ∈ H2(RN), tem-se u ≡ 0. Suponha que µ 6= 0. Desde que u é umasolução de (P2) associada ao autovalor µ, obtemos∫

RN

|∇u|2dx = µ

∫RN

u2dx.

Por outro lado, pelo Teorema 1.34, temos necessariamente que

N − 2

2

∫RN

|∇u|2dx = N

∫RN

µ

2u2dx.

6H2loc(RN ) é definido do mesmo modo que definimos Lp

loc(Ω).

15

Logo,N

N − 2µ

∫RN

u2dx =

∫RN

|∇u|2dx = µ

∫RN

u2dx.

Portanto, u ≡ 0.

1.5 Funcionais DiferenciáveisA Derivada de Gateaux para funcionais definidos em espaços de Banach, é

uma extensão natural da derivada direcional de funções com n variáveis.

Definição 1.36 Seja J : U ⊂ X → R um funcional definido em um subconjuntoaberto U de um espaço de Banach X. Diremos que J é Gateaux diferenciável7 em u ∈ U , se para cada h ∈ X

limt→0

1

t[J(u+ th)− J(u)]

existir.

Geralmente, denotaremos a derivada de Gateaux em u por J ′(u). Diremosque J é Gateaux diferenciável em U , quando J for Gateaux diferenciável em cadaponto de U .

Exemplo 1.1 SejamH uma espaço de Hilbert e ‖x‖2 = (x, x). Então o funcionalJ : H → R definido por

J(u) =1

2‖u‖2

é Gateaux diferenciável eJ ′(u)h = (u, h) .

Além da derivada de Gateaux, temos também a Derivada de Fréchet parafuncionais definidos em espaços de Banach.

Definição 1.37 Seja J : U ⊂ X → R um funcional definido em U,um subconjunto aberto do espaço de Banach X. Diremos que J é Fréchetdiferenciável 8 em u ∈ U , se existir F ∈ X ′ tal que, para cada h ∈ X,

limh→0

1

‖h‖[J(u+ h)− J(u)− 〈F, h〉] = 0.

7Diremos também que J tem derivada de Gateaux.8Assim como a derivada de Gateaux, diremos também que J tem derivada de Fréchet.

16

Geralmente denotaremos F por J ′(u), e diremos que J é Fréchet diferenciávelem U , quando J é Fréchet diferenciável em cada ponto de U . É imediato verificarque todo funcional Fréchet diferenciável é Gateaux diferenciável.

O funcional J na definição anterior será dito de Classe C1, e escreveremosJ ∈ C1(U,R), se for Fréchet diferenciável em U e a aplicação u 7→ J ′(u), deU em X ′, é contínua. O funcional do Exemplo 1.1 é de classe C1. A seguir,apresentaremos algumas propriedades das derivadas de Gateaux, que tambémsão válidas para derivadas de Fréchet.

(i) O funcional linear contínuo F é único;

(ii) Se J é Gateaux diferenciável em u ∈ X, então J é contínuo em u;

(iii) Se J é Gateaux (Fréchet) diferenciável na norma de X, então J é Gateaux(Fréchet) diferenciável em qualquer outra norma equivalente;

(iv) Se J e I : U ⊂ X → R são Gateaux (Fréchet) diferenciáveis em u ∈ U ,então aI + bJ , onde a, b ∈ R, é Gateaux (Fréchet) diferenciável em u ∈ X,e

(aI + bJ)′(u)h = aI ′(u)h+ bJ ′(u)h.

Para as aplicações que apresentaremos neste trabalho, será preciso estudara continuidade do operador de Nemitskii, também chamado de operador desuperposição.

Seja Ω um subconjunto aberto de RN . Uma função f : Ω×R → R é chamadade função de Carathéodory se:

(i) para cada s ∈ R fixado, a função x 7→ f(x, s) é mensurável a Lebesgue emΩ;

(ii) para quase todo ponto x ∈ Ω, a função s 7→ f(x, s) é contínua em R.

Denotando por M o conjunto de todas as funções mensuráveis u : Ω → R,temos o seguinte resultado.

Lema 1.38 Se f : Ω × R → R é uma função de Carathéodory, então a funçãox 7→ f(x, u(x)) é mensurável, para toda u ∈M.

Demonstração: Mostraremos que se u ∈ M, então f(·, u(·)) ∈ M. Notemosque se v é uma função simples, então f(·, v(·)) é mensurável. De fato, sendo vuma função simples, podemos escrever-la da forma: v =

∑mk=1 akχEk

com ak ∈ Re χEk

a função característica de EK , onde a família Ek; 1 ≤ k ≤ m forma umapartição mensurável de Ω. Daí,

f(x, v(x)) = f(x,m∑

k=1

akχEk(x)) =

m∑k=1

χEk(x)f(x, ak).

17

Assim, sendo x 7→ f(x, ak) mensurável, por hipótese, temos que f(·, v(·)) ∈M.Consideremos agora uma sequência de funções simples (un) em M tal que

un → u q.t.p em Ω. Acabamos de mostrar que f(·, un(·)) é mensurável para todon ∈ N. Como f(·, un(·)) → f(·, u(·)) q.t.p em Ω, segue que f(·, u(·)) ∈ M, poisé limite q.t.p de uma sequência de funções mensuráveis em Ω.

Como consequência deste lema, se f é uma função de Carathéodory, então ooperador Nf : M→M, dado por

Nf (u) = f(·, u(·)),

é chamado de Operador de Nemitskii. Na verdade, estamos interessados emsaber quando o operador Nf define uma aplicação de um Lp(Ω) em algum Lq(Ω)e, principalmente, quando este é contínuo. O próximo teorema responderá a estaquestão.

Teorema 1.39 (Continuidade do Operador de Nemitskii) Seja f : Ω ×R → R uma função de Carathéodory. Suponha que existem uma constante c > 0,uma função b ∈ Lq(Ω), 1 ≤ q ≤ ∞, e r > 0 tais que

|f(x, s)| ≤ c|s|r + b(x), ∀(x, s) ∈ Ω× R.

Então,

(i) Nf : Lrq(Ω) → Lq(Ω) está bem definido;

(ii) Nf é contínuo.

Demonstração: Usando a hipótese de crescimento de f e a desigualdade deMinkowski, temos

‖Nf (u)‖Lq(Ω) = ‖f(x, u(x))‖Lq(Ω) ≤ c‖|u|r‖Lq(Ω)+‖b‖Lq(Ω) = c‖u‖rLrq(Ω)+‖b‖Lq(Ω).

Portanto, Nf (u) ∈ Lq(Ω), ou seja, Nf está bem definido.Agora suponhamos que un → u em Lrq(Ω). Então, pelo Teorema 1.5 existe

uma subsequência de (un), também denotada por (un), tal que

|un(x)| ≤ h(x), q.t.p. em Ω

para alguma h ∈ Lrq(Ω). Logo, usando a hipótese de crescimento, obtemos

|f(x, un(x))| ≤ c|h(x)|r + |b(x)| ∈ Lq(Ω).

18

Desde que un(x) → u(x) q.t.p em Ω, segue que f(x, un(x)) → f(x, u(x)) q.t.pem Ω, pois s 7→ f(x, s)) é contínua para cada x ∈ Ω. Portanto, pelo Teorema daConvergência Dominada de Lebesgue, tem-se

f(x, un(x)) → f(x, u(x)) em Lq(Ω).

Logo, Nf é contínuo.

Usando o Teorema do valor médio, pode-se provar a seguinte proposição (ademonstração é análoga a de funções de n variáveis).

Proposição 1.40 Se o funcional J tem derivada de Gateaux contínua, entãoJ ∈ C1(U,R).

Consideremos o funcional J : H1(Ω) → R definido por

J(u) :=

∫Ω

F (x, u)dx,

ondeF (x, u) :=

∫ u

0

f(x, s)ds.

Lema 1.41 Suponha que med(Ω) <∞, N ≥ 3, f ∈ C(Ω× R) e

|f(x, s)| ≤ C(1 + |s|p−1),

com 1 < p < 2∗. Então o funcional J é de classe C1(H1(Ω),R) e

J ′(u)(v) =

∫Ω

f(x, u)vdx, ∀v ∈ H1(Ω).

Demonstração: Para provarmos o lema usaremos a Proposição 1.40. Primeiromostraremos a existência da derivada de Gateuax e depois que esta é contínua.

Sejam t ∈ (0, 1) e g : [0, 1] → R definida por g(s) = F (x, u+ stv). Desde queg é contínua em [0, 1] e derivável em (0, 1), pelo teorema do valor médio, existeθ ∈ (0, 1) tal que |g(1)− g(0)| = |g′(θ)|, ou seja,

|F (x, u+ tv)− F (x, u)| = |f(x, u+ θtv)|t|v|. (1.9)

Usando a condição de crescimento de f , temos

|f(x, u+ θtv)||v| ≤ C(1 + |u+ θtv|p−1)|v|≤ C(1 + 2p−1(|u|p−1 + |v|p−1))|v|.

19

Pela desigualdade de Hölder e Teorema de Rellich-Kondrachov segue que∫Ω

|u|p−1|v|dx ≤( ∫

Ω

|u|pdx)(p−1)/p( ∫

Ω

|v|pdx)1/p

<∞.

Logo, C(1 + 2p−1(|u|p−1 + |v|p−1))|v| ∈ L1(Ω), para p ∈ (1, 2∗). Desde queu(x) + tθv(x) → u(x) q.t.p em Ω, quando t → 0, e f é contínua na segundavariável, então f(x, u(x) + tθv(x))v(x) → f(x, u(x))v(x) q.t.p em Ω, quandot → 0. Assim, usando (1.9) e aplicando o Teorema da Convergência Dominadade Lebesgue obtemos

1

t

∫Ω

(F (x, u+ tv)− F (x, u)

)dx→

∫Ω

f(x, u)vdx,

quando t→ 0. Portanto,

J ′(u)(v) =

∫Ω

f(x, u)vdx.

Para provar que a aplicação J ′ : H1(Ω) → H−1(Ω)9 é contínua, suponha queun → u em H1(Ω). Pelo Teorema de Rellich-Kondrachov, temos un → u emLp(Ω), 1 < p < 2∗. Desde que |f(x, s)| ≤ C(1 + |s|p−1), podemos utilizar acontinuidade do operador de Nemitskii para obter

f(x, un) → f(x, u) em Lq(Ω), (1.10)

onde q = pp−1

. Usando agora a desigualdade de Hölder e novamente o Teoremade Rellich-Kondrachov, obtemos

|(J ′(un)− J ′(u))(v)| ≤ ‖f(x, un)− f(x, u)‖Lq(Ω)‖v‖Lp(Ω)

≤ ‖f(x, un)− f(x, u)‖Lq(Ω)‖v‖H1(Ω).

Daí,

‖J ′(un)− J ′(u)‖ = sup0 6=v∈H1(Ω)

|(J ′(un)− J ′(u))(v)|/‖v‖H1(Ω)

≤ ‖f(x, un)− f(x, u)‖Lq(Ω).

Portanto, segue por (1.10) que

J ′(un) → J ′(u) em H−1(Ω),

que prova o lema.

9Como usual, H−1(Ω) denota o espaço dual de H1(Ω)

20

No caso em que Ω = Rn, consideremos o funcional J : H1(RN) → R definidopor

J(u) :=

∫RN

F (x, u)dx,

ondeF (x, u) :=

∫ u

0

f(x, s)sds.

Lema 1.42 Suponha que f ∈ C(RN × R), N ≥ 3 e

|f(x, u)| ≤ C|s|.

Então o funcional J é de classe C1(H1(RN),R) e

J ′(u)(v) =

∫RN

f(x, u)uvdx, ∀v ∈ H1(RN).

Demonstração: Basta considerar f(x, s) = f(x, s)s e repetir os argumentos daprova do Lema 1.41, tomando os devidos cuidados na imersões.

1.6 Teoremas do Tipo MinimaxNos capítulos 3 e 4, usaremos teoremas de pontos críticos para estudarmos

existência de solução para duas classes de problemas. Exibiremos agora osenunciados de tais teoremas.

Definição 1.43 Diremos que uma sequência (un) em H1(RN) é uma sequênciade Cerami no nível c ∈ R, ou sequência (Ce)c, do funcional Iλ, se

Iλ(un) → c e (1 + ‖un‖)‖I ′λ(un)‖ → 0.

Diremos ainda que Iλ satisfaz a condição de Cerami no nível c, ou condição(Ce)c, se toda sequência (Ce)c possui uma subsequência convergente em H1(RN).

Teorema 1.44 (Passo da Montanha) Seja H um espaço de Hilbert e I ∈C1(H,R) satisfazendo as condições:

(a) Existem ρ > 0 e α > 0 tais que I(u) ≥ 0 para ‖u‖ ≤ ρ e I(u) ≥ α quando‖u‖ = ρ;

(b) I(0) = 0 e existe e ∈ H de modo que ‖e‖ > ρ e I(e) < 0.

21

Sejac := inf

γ∈Γsup

0≤t≤1I(γ(t)),

ondeΓ = γ ∈ C([0, 1], H); γ(0) = 0 e I(γ(1)) < 0.

Se o funcional I satisfaz a condição de compacidade de Cerami no nível c, entãoc é um valor crítico de I.

Este teorema e sua demonstração podem ser encontrados em Grossinho -Tersian [10], Teorema 1.20.

Definição 1.45 Diremos que uma sequência (un) em Ek é uma sequência dePalais-Smale, ou sequência (PS), do funcional Jk, se (Jk(un)) é limitada eJ ′k(un) → 0 em E ′

k. Diremos ainda que Jk satisfaz a condição de Palais-Smale, ou condição (PS), se toda sequência (PS) possui uma subsequênciaconvergente em Ek.

O próximo resultado que enunciaremos é um teorema de linking devido a P.Rabinowitz [16].

Teorema 1.46 (Linking) Seja X = Y ⊕Z um espaço de Banach com dimY <

∞. Sejam ρ > r > 0 e z ∈ Z tal que ‖z‖X = r. Definamos

N := z ∈ Z; ‖z‖X = r

M := u = y + tz; y ∈ Y, ‖u‖X ≤ ρ, t ≥ 0

e∂M = u = y + tz; y ∈ Y, ‖u‖X = ρ e t ≥ 0 ou ‖y‖X ≤ ρ e t = 0,

a fronteira de M . Seja I ∈ C1(X,R) tal que

b := infu∈N

I(u) > a := supu∈∂M

I(u). (1.11)

Se I satisfaz a condição (PS), então I possui um valor crítico c, onde c écaracterizado por

c = infh∈Γ

maxu∈M

I(h(u)),

e Γ := h ∈ C(M,X);h|∂M = id. Além disso, c ≥ b.

Este teorema encontra-se em Willem [22], Teorema 2.12, assim como suademonstração.

22

Capítulo 2

O Espectro do Operador deSchrödinger

IntroduçãoO operador de Schrödinger sobre L2(RN) é definido por

S0u(x) = −∆u(x) + V (x)u(x),

onde a função V de valor real sobre RN é chamada um potencial. Muito doímpeto para o estudo de operadores de Schrödinger veio da teoria quântica. Nestecontexto, uma função u ∈ L2(RN) com ‖u‖L2(RN ) = 1 é dita um pacote de onda(ou estado), e representa a configuração instantânea de uma coleção de elétrons,átomos e moléculas. A evolução de um sistema quântico é controlada pela equaçãode Schrödinger

ut(x) = −iS0u(x),

com ”solução” u(x, t) = e−itS0u(x, 0). A energia total do sistema é divididaentre a energia cinética (−∆u, u) =

∫RN |∇u|2dx e a energia potencial

(V (x)u, u) =∫

RN V (x)u2dx. O menor autovalor de S0, cuja existência dependede condições razoáveis sobre V , é chamado ”ground state energy”, e a autofunçãocorrespondente é dita o ”ground state”- é a configuração do sistema com a menorenergia. Outros autovalores correspondem a excitações discretas do sistema, esuas autofunções correspondentes são chamadas ”bound states”.

Nosso objetivo neste capítulo, é apresentar algumas caracterizações doespectro do operador de Schrödinger, que dependem das hipóteses assumidassobre o potencial V. Para tanto, necessitaremos de conceitos e resultados sobre

operadores em espaços de Hilbert e, além disso, de resultados tais como: oteorema espectral para operadores auto-adjuntos não-limitado e propriedadesdas projeções espectrais. Precisaremos ainda de dois princípios variacionaisconhecidos por: Lema de Glazman e Princípio de Courant.

2.1 Operadores em Espaço de HilbertA linguagem geral da teoria dos operadores (não necessariamente limitados)

em espaços de Hilbert é sistematicamente usada no estudo da teoria espectral deoperadores diferenciais. Apresentaremos aqui, algumas noções e resultados destateoria que serão usados nas aplicações. Naturalmente, não somente nesta seçãocomo em quase todo nosso trabalho, assumiremos vários resultados de AnáliseFuncional.

Definição 2.1 Sejam H1, H2 espaços de Hilbert. Um operador linear A

consiste dos seguintes objetos:

(a) um subespaço (não necessariamente fechado ou denso) D(A) ⊂ H1, o qualé chamado domínio de A;

(b) uma aplicação linear A : D(A) → H2.

Como usual, ultilizaremos as seguintes notações:

ker(A) = x ∈ D(A);Ax = 0

eIm (A) = y ∈ H2; y = Ax, x ∈ D(A),

para denotar o núcleo e imagem de A, respectivamente.

Definição 2.2 Um operador linear A será dito limitado (ou contínuo), seexistir uma constante C > 0 tal que

‖Ax‖ ≤ C‖x‖, ∀ x ∈ D(A).

A norma de A é definida por

‖A‖ = sup0 6=x∈D(A)

‖A(x)‖‖x‖

.

Quando um operador linear A é limitado, podemos estendê-lo porcontinuidade ao fecho, D(A), de D(A).

Uma classe de operadores lineares limitados que utilizaremos, é a dosoperadores unitários que definiremos agora.

24

Definição 2.3 Um operador linear U : D(U) ⊂ H1 → H2 será dito unitário,quando este for sobrejetivo e preserva produto interno, isto é,

(Ux, Uy) = (x, y), ∀ x, y ∈ D(U).

Exemplo 2.1 Seja U : H1 ×H2 → H2 ×H1 definido por

U(x, y) = (y,−x).

O espaço H1 × H2 é naturalmente um espaço de Hilbert, cuja normacorrespondente é ‖(x, y)‖ = (‖x‖2 + ‖y‖2)1/2. Claramente, U é sobrejetivo e

(U(x, y), U(x, y)) = ((x, y), (x, y)).

Logo, U é um operador linear unitário.

Definição 2.4 Um operador linear A será dito semi-limitado inferiormente,quando existir uma constante C > 0 tal que

(Ax, x) ≥ −C‖x‖2, ∀ x ∈ D(A).

Exemplo 2.2 Consideremos o operador de Schrödinger S0 = −∆ + V (x) com

S0 : D(S0) = C∞0 (RN) ⊂ L2(RN) → L2(RN),

onde V ∈ L∞loc(RN) e V (x) ≥ −C, para todo x ∈ RN e algum C > 0. O operadorS0 é semi-limitado inferiormente. De fato,

(S0u, u) =

∫RN

(−∆u+ V (x)u)udx

=

∫RN

(|∇u|2 + V (x)u2)dx

≥ −C‖u‖2L2(RN ).

Em geral, consideraremos operadores lineares definidos sobre domínios densosem H1, isto é, D(A) = H1. Se um tal operador é limitado, então este seráconsiderado sobre todo o espaço H1.

Se ker(A) = 0, definiremos o operador inverso A−1 do seguinte modo:D(A−1) = Im(A) e para qualquer y ∈ Im(A), por definição, A−1y = x, ondex ∈ D(A) é um vetor (unicamente definido) tal que Ax = y.

25

Definição 2.5 Sejam A : D(A) ⊂ H → H um operador linear e λ ∈ C.Se ker(A − λI) = 0, Im(A− λI) = H e (A − λI)−1 for limitada, entãodiremos que λ pertence ao conjunto resolvente de A, que denotaremos porρ(A). Chamaremos de espectro de A o conjunto C \ ρ(A), e denotaremos porσ(A).

Sejam A : D(A) ⊂ H1 → H2 e B : D(B) ⊂ H2 → H3 operadores lineares. Acomposição (ou produto) dos operadores A e B, é o operador definido sobre

D(BA) = x ∈ D(A);Ax ∈ D(B),

por(BA)x = B(Ax).

Se Im(A) ∩ D(B) = 0 então D(BA) = 0. A soma de A e B é o operadordefinido sobre

D(A+B) = D(A) ∩D(B),

por(A+B)x = Ax+Bx.

Novamente, se D(A) ∩D(B) = 0 então D(A+B) = 0 é possível.

Definição 2.6 Seja A : D(A) → H2 um operador linear. O gráfico de A é oconjunto

G(A) = (x,Ax);x ∈ D(A),

o qual é um subespaço vetorial de H1 ×H2.

Sobre D(A) usaremos, além da norma induzida por H1, a seguinte norma:

‖x‖G(A) = (‖x‖2 + ‖Ax‖2)1/2.

Esta norma é conhecida por norma do gráfico.Nosso primeiro resultado nesta seção é bastante simples e útil.

Proposição 2.7 Um subespaço vetorial de H1 × H2 é gráfico de um operadorlinear (com domínio não necessariamente denso em H1) se, e somente se, nãocontém pontos do tipo (0, y), com y 6= 0.

Demonstração: Sejam G(A) o gráfico de um operador A e (0, y) ∈ G(A).Então, y = A0 = 0.

Reciprocamente, seja X um subespaço de H1 × H2 tal que X não contémpontos da forma (0, y), com y 6= 0. Denotemos agora

D(A) = x; (x, y) ∈ X, para algum y ∈ H2

26

e definamosA : D(A) → H2

porAx = y,

onde (x, y) ∈ X. Afirmamos que A é um operador linear bem definido. Comefeito, suponha que existem y, y′ ∈ H2 tais que (x, y), (x, y′) ∈ X. Desde que Xé subespaço, (x, y) − (x, y′) = (0, y − y′) ∈ X. Logo, y = y′ provando que A ébem definido. Sejam agora x1, x2 ∈ D(A). Então

(x1, Ax1) + (x2, Ax2) = (x1 + x2, Ax1 + Ax2) ∈ X.

Por outro lado, (x1+x2, A(x1+x2)) ∈ X, que implica (0, Ax1+Ax2−A(x1+x2)) ∈X. Logo, Ax1 + Ax2 = A(x1 + x2). Por fim, seja λ ∈ R. Desde queλ(x1, Ax1) = (λx1, λAx1) ∈ X e (λx1, λAx1) ∈ X, temos A(λx1) = λAx1.Portanto, X é o gráfico de A.

Definição 2.8 Um operador linear A : D(A) → H2 será dito fechado quandoseu gráfico for um subespaço fechado de H1 × H2. Diremos que a é fechávelquando G(A) (fecho do gráfico de A) for o gráfico de um operador linear.

No caso em que A é fechável, o operador fechado, cujo gráfico é igual ao fechode G(A), é usualmente chamado de fecho de A e denotado por A.

De modo explícito, o domínio de A é o conjunto dos x ∈ H1 tais que existeuma sequência (xn) ⊂ D(A) de modo que xn → x em H1 e (Axn) é uma sequênciade Cauchy. Para tais x temos

Ax = limn→∞

Axn.

Listaremos agora algumas propriedades simples de tais operadores.

(i) Todo operador linear limitado A é fechável e A = A;

(ii) Se A é fechado, então ker(A) é um subespaço fechado de H1;

(iii) Se A é fechado e ker(A) = 0, então A−1 é um operador linear fechado.

Observação 2.9 Existem mais duas formas simples de definir operador linearfechado, e uma outra de definir operador linear fechável, as quais são equivalentesà Definição 2.8. A saber, respectivamente:

(i) A é fechado se D(A) é fechado na norma do gráfico;

27

(ii) A é fechado se para toda sequência (xn) ⊂ D(A) tal que xn → x em H1 eAxn → y em H2 temos x ∈ D(A) e Ax = y;

(iii) A é fechável se dada (xn) ⊂ D(A) tal que xn → 0 em H1 e Axn → y emH2 implicar que y = 0.

Maiores detalhes sobre as propriedades acima e a Observação 2.9, vejaBachman-Narici [3], Capítulo 16.

Observação 2.10 O Teorema do Gráfico Fechado nos diz que, se A : D(A) =

H1 → H2 é fechado, H1 e H2 espaços de Hilbert, então A é contínuo.

Para a prova do Teorema do Gráfico Fechado, veja Brezis [5], Teorema II.7.

Exemplo 2.3 O operador

L1 = −∆ : D(L1) = H2(RN) ⊂ L2(RN) → L2(RN)

é fechado. Para tanto, basta observarmos que se (un) ⊂ H2(RN) tal que un → u

em L2(RN) e −∆un → v em L2(RN), então −∆u = v (notemos que H2(RN) écompleto na norma de L2(RN), e utilizarmos o item (ii) da Observação 2.9.

Exemplo 2.4 O operador

L0 = −∆ : D(L0) = C∞0 (RN) ⊂ L2(RN) → L2(RN)

não é fechado, mas é fechável e L0 = L1. Com efeito, seja u ∈ H2(RN) tal queu /∈ C∞

0 (RN), e consideremos (un) ⊂ C∞0 (RN) tal que un → u em H2(RN). Logo,

temos (un,−∆un) ⊂ G(L0) e (un,−∆un) → (u,−∆u) em L2(RN)×L2(RN), mas(u,−∆u) /∈ G(L0). Portanto, G(L0) não é fechado.

Por (iii) da Observação 2.9, é imediato que L0 é fechável. Para provarmos queL0 = L1, precisaremos essencialmente mostrar que D(L0) = H2(RN).

Seja ϕ ∈ C∞0 (RN). Pela desigualdade de Hölder temos

‖ϕ‖2H1(RN ) =

∫RN

(−∆ϕ)ϕdx+

∫RN

ϕ2dx

≤ ‖ −∆ϕ‖L2(RN )‖ϕ‖L2(RN ) + ‖ϕ‖2L2(RN )

≤ 1

2‖ −∆ϕ‖2

L2(RN ) +1

2‖ϕ‖2

L2(RN ) + ‖ϕ‖L2(RN )

≤ ‖ϕ‖2G(L0)

28

Assim, convergência de elementos de C∞0 (RN) com respeito a norma do gráfico

de L0, implica convergência em H1(RN).Afirmamos que se u ∈ D(L0), então u ∈ H1(RN). De fato, desde que

D(L0) ⊂ L2(RN), para toda u ∈ D(L0) existe (un) ⊂ C∞0 (RN) tal que

‖un − u‖L2(RN ) → 0.

Sendo L0 fechado, por (ii) da Observação 2.9, tem-se

‖L0un − L0u‖L2(RN ) → 0.

Logo, ‖un − u‖G(L0) → 0, que implica un → u em H1(RN), e como H1(RN) écompleto, temos que u ∈ H1(RN).

Agora, seja v = L0u. Desde que un → u em H1(RN) e∫

RN −∆undx →∫RN vdx, temos∫

RN

∇u∇ψdx = limn→∞

∫RN

∇un∇ψdx = limn→∞

∫RN

−∆unψdx =

∫RN

vψdx,

ou ainda, ∫RN

(∇u∇ψ + uψ)dx =

∫RN

(v + u)ψdx,

para toda ψ ∈ H1(RN). Tomando em particular ψ = D−h(Dh(u)), e usandoos argumentos da prova do Lema 1.26, obtemos que u ∈ H2(RN). Portanto,D(L0) ⊂ H2(RN)

Por outro lado, H2(RN) ⊂ D(L0), pois C∞0 (RN) é denso emH2(RN) na norma

de L2(RN), e qualquer elemento de D(L0) é limite de uma sequência de elementosde C∞

0 (RN). Como consequência, temos

H2(RN) = D(L1) = D(L0)

e L0 = L1.

Definição 2.11 Sejam A : D(A) → H2 e B : D(B) → H2 operadores lineares.Diremos que A é uma extensão de B quando D(B) ⊂ D(A) e Ax = Bx para todox ∈ D(B). Se A é uma extensão de B denotaremos por A ⊃ B.

Claramenta, o fecho de um operador linear, se existe, é uma extensão deste.Definiremos agora a noção de adjunto de um operador linear.

29

Definição 2.12 Seja A : D(A) → H2 um operador linear tal que D(A) = H1. Ooperador adjunto A∗ é definido como segue:

D(A∗) = y ∈ H2;∃ y∗ ∈ H1 e (Ax, y) = (x, y∗),∀x ∈ D(A).

Desde que D(A) é denso em H1, o vetor y∗ é único, e definimos A∗ : D(A∗) → H1

porA∗y = y∗.

Dessa forma, temos(Ax, y) = (x,A∗y),

∀x ∈ D(A) e ∀y ∈ D(A∗).Tem-se que y ∈ D(A∗) se, e somente se, o funcional linear f : D(A) → R,

definido por f(x) = (Ax, y), é contínuo. De fato, se f é contínuo, podemosestender f a D(A) = H1 por contínuidade. Pelo Teorema da Representação deRiesz, temos f(x) = (Ax, y) = (x, y∗), para algum y∗ ∈ H1.

Sejam A : D(A) ⊂ H1 → H2 e B : D(B) ⊂ H1 → H2 operadores lineares.Listaremos agora algumas propriedades elementares do operador linear adjunto.

Propriedades do Adjunto:

(i) Se A ⊃ B, então B∗ ⊃ A∗;

(ii) Se A é limitado e D(A) = H1, então D(A∗) = H2 e A∗ é limitado. Alémdisso, ‖A‖ = ‖A∗‖;

(iii) A é unitário se, e somente se, A−1 existe e A∗ = A−1;

(iv) Se D(A) = H1, então A∗ é um operador linear fechado;

(v) Os operadores lineares (A∗)−1 e (A−1)∗ existem se, e somente se, ker(A) =0 e Im A é densa em H2. Neste caso, (A∗)−1 = (A−1)∗.

No que segue, consideraremos apenas operadores lineares agindo no mesmoespaço de Hilbert H, ou seja, A : D(A) ⊂ H → H, e por simplicidade diremosapenas que A é um operador.

Se E é um subespaço do espaço de Hilbert H, denotaremos por E⊥ ocomplemento ortogonal de E, isto é,

E⊥ = x ∈ H; (x, y) = 0,∀ y ∈ E.

Claramente, E⊥ é um subespaço fechado e E⊥ = (E)⊥.

30

Proposição 2.13 Sejam A : D(A) ⊂ H → H um operador e U : H × H →H ×H o operador unitário definido por

U(x, y) = (y,−x).

Então o gráfico G(A∗) pode ser caracterizado por

G(A∗) = U(G(A))⊥.

Demonstração: Primeiro observemos que, para todo x ∈ D(A) e (y, z∗) ∈H ×H, temos a seguinte identidade:

(U(x,Ax), (y, z∗))H×H = (Ax, y)H − (x, z∗)H .

O lado direito se anula para todo x ∈ D(A) se, e somente se, y ∈ D(A∗) ez∗ = A∗y, isto é, se (y, z∗) ∈ G(A∗). O lado esquerdo se anula para todo x ∈ D(A)se, e somente se, (y, z∗) ∈ U(G(A))⊥. Concluímos assim que

G(A∗) = U(G(A))⊥.

Usando a continuidade de U , obtemos

U(G(A))⊥ = U(G(A))⊥

= U(G(A))⊥.

Isto conclui a prova.

Proposição 2.14 Seja A : D(A) ⊂ H → H um operador. D(A∗) é denso em H

se, e somente se, A é fechável. Neste caso, A = A∗∗ := (A∗)∗.

Demonstração: Suponha que D(A∗) é denso em H. Seja (xn) ⊂ D(A) tal quexn → 0 e Axn → y em H. Então, para todo z ∈ D(A∗), (usando a continuidadedo produto interno) temos

(y, z) = ( limn→∞

Axn, z) = limn→∞

(xn, A∗z) = 0.

Logo, sendo D(A∗) = H, obtemos y = 0. Portanto, por (ii) da Observação 2.9,A é fechável.

Reciprocamente, suponha que D(A∗) não é denso em H. Então, existe0 6= x ∈ H tal que x ⊥ D(A∗). Como consequência, para todo v ∈ D(A∗),tem-se

0 = ((0, x), (Av,−v)) = ((0, x), U(v, Av)),

onde U é o operador unitário da Proposição 2.13. Isto mostra que

(0, x) ⊥ U(G(A∗)).

31

Pela Proposição 2.13, temos

U(G(A)) = G(A∗)⊥.

Desde que UU = −I, obtemos

G(A) = −G(A) = U(G(A∗)⊥). (2.1)

Afirmação: Se M é um subespaço fechado de H ×H, então

U(M⊥) = U(M)⊥.

Com efeito, (u, v) ∈ U(M⊥) equivale a dizer que U(x1, x2) = (u, v) para algum(x1, x2) ∈ M⊥, isto é, ((x1, x2), (y1, y2)) = 0, ∀ (y1, y2) ∈ M . Desde que U éunitário, temos

((u, v), U(y1, y2)) = (U(x1, x2), U(y1, y2)) = ((x1, x2), (y1, y2)) = 0,

para todo (y1, y2) ∈ M . Logo, (u, v) ⊥ U(M), ou seja, U(M⊥) ⊂ U(M)⊥. Aoutra inclusão é análoga.

Provada a afirmação, podemos usa-la em (2.1) e concluir que

G(A) = U(G(A∗))⊥.

Assim, (0, x) ∈ G(A). Desde que x 6= 0, pela Proposição 2.7, G(A) não pode sergráfico de um operador. Portanto, A não é fechável. Provamos assim a recíproca.

Por fim, para mostrar que A∗∗ = A, primeiro observemos que, como D(A∗) édenso em H, podemos definir (A∗)∗. Assim, pela Proposição 2.13, temos

G(A) = −G(A) = U(G(A∗)⊥) = U(G(A∗))⊥ = G(A∗∗) = G(A∗∗).

Portanto, A = A∗∗.

Definição 2.15 Seja A : D(A) ⊂ H → H um operador tal que D(A) = H.Diremos que A é simétrico quando A∗ ⊃ A, isto é,

(Ax, y) = (x,Ay), ∀ x, y ∈ D(A).

Proposição 2.16 Todo operador simétrico é fechável.

Demonstração: Se A é um operador simétrico, então G(A) ⊂ G(A∗). Desdeque, pela propriedade (iv) do adjunto (notemos que D(A) = H), A∗ é fechado,temos G(A) ⊂ G(A∗) = G(A∗). Pela Proposição 2.7, G(A∗) não contémelementos da forma (0, y), com y 6= 0. Em particular, G(A) também não contémelementos desta forma. Usando novamente a Proposição 2.7, obtemos que G(A)é gráfico de um operador. Portanto, A é fechável.

32

Definição 2.17 Seja A : D(A) ⊂ H → H um operador tal que D(A) = H.Diremos que A é auto-adjunto quando A = A∗.

Segue diretamente da definição que todo operador auto-adjunto é simétrico.Também temos pela propriedade (iv) do operador adjunto que um operador auto-adjunto é fechado. Se A é auto-adjunto e existe A−1, então A−1 também éauto-adjunto. De fato, pelas propriedades listadas do operador adjunto temos(A−1)∗ = (A∗)−1 = A−1.

Observação 2.18 Se A é um operador auto-adjunto, então σ(A) ⊂ R.

A prova desta observação encontra-se em Berezin-Shubin [4], Suplemento 1,Proposição 1.3.

Exemplo 2.5 Sejam (M,µ) um espaço de medida e a : M → R uma funçãomensurável finita q.t.p. em M . Definamos o operador multiplicação A daseguinte forma:

D(A) =u ∈ L2(M,dµ); au ∈ L2(M,dµ)

,

e para u ∈ D(A)

Au = au.

O operador A é auto-adjunto.Primeiro deveremos verificar que D(A) = L2(M,dµ). Para tanto, é suficiente

mostrar que se v ∈ L2(M,dµ) tal que∫M

uvdµ = 0, ∀ u ∈ D(A), (2.2)

então v = 0. Sendo assim, seja v ∈ L2(M,dµ) satisfazendo (2.2). Dado n ∈ N,definamos

Mn = x ∈M ; |a(x)| ≤ n.

Desde que a(x) é finita q.t.p. em M , temos

med(M\

∞⋃n=1

Mn

)= 0.

Logo, precisamos provar apenas que v|Mn = 0 para cada n ∈ N. Seja χn a funçãocaracterística de Mn. Para u ∈ L2(M,dµ), definamos unχn. Logo, temos que

33

un ∈ L2(M,dµ) e aun ∈ L2(M,dµ), pois |aun| ≤ n|un|. Assim, un ∈ D(A) paratoda u ∈ L2(M,dµ), e usando (2.2), tem-se∫

Mn

uvdµ =

∫M

unvdµ = 0.

Daí, tomando em particular u = v, obtemos∫Mn

v2dµ = 0.

Portanto, v = 0 sobre Mn, para todo n ∈ N, ou ainda, v = 0 sobre M .Enfim, provemos que A é auto-adjunto. Seja w ∈ D(A∗). Então, existe

w∗ ∈ L2(M,dµ) tal que A∗w = w∗ e∫M

auwdµ =

∫M

uw∗dµ, ∀ u ∈ D(A).

Desde que u é arbitrário emD(A), que é denso em L2(M,dµ), temos que aw = w∗,isto é, Aw = A∗w. Portanto, A é auto-adjunto.

Definição 2.19 Seja A : D(A) ⊂ H → H um operador simétrico. Diremos queA é essencialmente auto-adjunto, quando A é auto-adjunto.

Pela definição, observemos que todo operador auto-adjunto é essencialmenteauto-adjunto.

Proposição 2.20 Se A é um operador essencialmente auto-adjunto, então existeuma única extensão auto-adjunta de A, a saber A.

Demonstração: Seja B um operador auto-adjunto que estende A. Desde queB ⊃ A, pela proposição 2.14 e Propriedade (i) do adjunto, temos B ⊃ A∗∗ = A.Por outro lado, A = (A)∗ = (A∗∗)∗ ⊃ B∗ = B. Portanto, B = A.

2.2 Decomposição Espectral de OperadoresAuto-Adjuntos

Nesta seção apresentaremos alguns resultados já bem conhecidos da teoriaespectral. Começaremos com uma situação bem simples, que é o caso quando oespaço de Hilbert H possui dimensão finita. Relembremos que neste caso, cada

34

operador linear é limitado e definido sobre todo H, pois pode ser estendido porcontinuidade. Se A é um operador auto-adjunto em H, sabemos que existe umabase ortonormal e1, . . . , en formada de autovetores associados aos autovaloresλ1, . . . , λn ∈ R de A.

Denotemos por E o espaço de todas as funções f : 1, . . . , n → R. Munido

do produto interno (f, g) =n∑

i=1

f(i)g(i), e norma correspondente

|f | =( n∑

i=1

f 2(i))1/2

,

E é um espaço de Hilbert. Seja b ∈ E tal que b(k) = λk, k = 1, . . . , n, e definamoso operador multiplicação B : E → E por

(Bf)(k) = b(k)f(k), k = 1, . . . , n.

Temos que B é auto-adjunto, pois B é claramente simétrico e limitado. Sejatambém o operador U : H → E definido por

(Uej)(k) = δjk, j, k = 1, . . . , n,

onde δjk é o símbolo de Kronecker. Pela definição de U na base e1, . . . , en segueque este é unitário e

A = U−1BU,

pois (UAei)(k) = (Uλiei)(k) = λi(Uei)(k) = (BUei)(k).Portanto, cada operador auto-adjunto em um espaço de Hilbert H de

dimensão finita é unitariamente equivalente a um operador multiplicação.Nosso objetivo com a motivação acima, é chamar a atenção para o teorema

espectral para operadores auto-adjuntos não-limitados sobre um espaço de Hilbertcom dimensão infinita, o qual enunciaremos agora sem prova.

Teorema 2.21 (Teorema Espectral) Seja A um operador auto-adjunto emum espaço de Hilbert H. Então existe um espaço de medida (M,µ), uma funçãomensurável a : M → R e um operador unitário U : H → L2(M,dµ) tal que

(i) u ∈ D(A) se, e somente se, a(Uu) ∈ L2(M,dµ);

(ii) Para todo u ∈ D(A), temos

(UAu)(x) = a(x)(Uu)(x),

isto éA = U−1aU.

35

A demonstração deste teorema encontra-se em Berezin-Shubin [4], Teorema1.1, Suplemento 1, ou Reed-Simon [17], Teorema VIII.4.

Para descrever a decomposição espectral de um operador auto-adjunto A,iniciaremos com a correspondente decomposição da identidade. Pelo Teorema2.21 temos

A = U−1aU,

ondeU : H → L2(M,dµ)

é um operador unitário e a : M → R é uma função mensurável. Consideremos oconjunto

Mλ = m ∈M : a(m) ≤ λ,e seja χλ a função característica de Mλ. Para λ ∈ R, definamos

Eλ : HU→ L2(M,dµ)

χλ→ L2(M,dµ)U−1

→ H,

ou seja, Eλ = U−1χλU . A família Eλλ∈R é chamada de decomposiçãoespectral da identidade ou família espectral do operador A. Apresentaremosa seguir algumas propriedades desta família de operadores.

Proposição 2.22 (i) Eλ = E2λ e ‖Eλ‖ ≤ 1 para todo λ ∈ R;

(ii) Eλ é um operador auto-adjunto;

(iii) EαEλ = EλEα = Eλ para λ ≤ α;

(iv) Para todo f ∈ H a função (Eλf, f) = ‖Eλf‖2 é monótona não decrescente.

Demonstração: (i) Por definição, Eλ = U−1χλU . Sendo χλ = χ2λ, temos

Eλ = U−1χ2λU = U−1χλUU

−1χλU = E2λ.

Notando agora que ‖Eλx‖2 ≤ ‖x‖2, obtemos ‖Eλ‖ ≤ 1. Para provar (ii) e (iii),basta observar que

χαχλ = χλχα = χλ para λ ≤ α.

Desde que Eλ = E2λ e Eλ é auto-adjunto, segue-se que

(Eλu, u) = (E2λu, u) = (Eλu,Eλu) = ‖Eλu‖2.

Agora, observando que 1 ‖χλu‖2 = ‖Eλu‖2 e

‖χλu‖2 =

∫Mλ

u2dµ,

temos (iv).

1Por conveniência, nos momentos oportunos, identificaremos U(u) por u. Isto é possívelporque U é unitário.

36

Observação 2.23 Por (i)-(ii), temos que Eλ é uma projeção ortogonal (vejaKreyszig [12], Teorema 9.5-1). Além disso, se Eλ agir sobre L2(M,dµ), então Eλ

projeta L2(M,dµ) no subespaço das funções que se anulam em M\Mλ, ao longodo subespaço das funções que se anulam em Mλ. Cada um destes dois subespaçosé complemento ortogonal do outro.

Proposição 2.24 A aplicação ϕ : R → L(H,H), ϕ(λ) = Eλ é contínua àdireita, ou seja,

ϕ(λ) = limε→0+

ϕ(λ+ ε). (2.3)

Demonstração: Sejam A ⊂M tal que med(A) <∞ e

C := u : M → R;u é limitada e u ≡ 0 em Ac.

Se u ∈ C, temos que B = x ∈M : u(x) > 0 tem medida finita. Assim,

‖Eλ+εu− Eλu‖2 =

∫B

(χλ+ε − χλ)2u2dµ

=

∫B∩(Mλ+ε\Mλ)

u2dµ

≤ Cmed((B ∩Mλ+ε) \ (B ∩Mλ)).

Desde que ⋂εk→0+

(B ∩ χλ+εk) = B ∩Mλ,

obtemoslimk→∞

med((B ∩Mλ+ε) \ (B ∩Mλ)) = 0.

Logo, vale (2.3) para toda u ∈ C.Agora, sendo C∞

0 (M) denso em L2(M,dµ), para u ∈ H existe uk ∈ C tal queδk = ‖uk − u‖ → 0. Usando o fato que ‖Eλ‖ ≤ 1, temos

‖Eλ+εu− Eλu‖ ≤ ‖(Eλ+ε − Eλ)uk‖+ ‖(Eλ+ε − Eλ)(u− uk)‖≤ ‖(Eλ+ε − Eλ)uk‖+ ‖Eλ+ε(u− uk)‖+ ‖Eλ(u− uk)‖≤ ‖(Eλ+ε − Eλ)uk‖+ 2‖(u− uk)‖≤ ‖(Eλ+ε − Eλ)uk‖+ 2δk.

Isto completa a prova da proposição.

Proposição 2.25 limλ→−∞Eλ = 0, limλ→+∞Eλ = I,

Demonstração: Similar a prova da Proposição anterior.

37

2.3 Princípios VariacionaisNesta seção apresentaremos dois resultados que serão extremamente

importantes ao longo deste e do próximo capítulo. Primeiro estudaremos umresultado conhecido por Lema de Glazman e logo após um outro conhecido porPrincípio de Courant. Para isto, introduziremos algumas notações preliminares.

Sejam A : D(A) ⊂ H → H um operador sobre um espaço de Hilbert H eEλλ∈R a família espectral de A. Pela Proposição 2.24, sabemos que Eλ+0 = Eλ

no sentido da topologia forte dos operadores. Introduziremos agora a chamadafunção distribuição do espectro de A. Para λ ∈ R definamos

N(λ) = dim(EλH).

Esta pode assumir valor infinito. Definindo

N(λ− 0) := limµ→λ−0

N(µ),

vemos queN(λ− 0) = dim(Eλ−0H).

Em geral, N(λ+ 0) = limµ→λ+0

N(µ) pode não ser igual a N(λ).

Exemplo 2.6 Seja A : L2(0, 1) → L2(0, 1) dado por

(Af)(x) = xf(x),

o operador multiplicação pela variável independente x. Este operador é auto-adjunto (veja Exemplo 2.5). Temos que N(0) = dim(E0L

2(0, 1)) = dim0 = 0,enquanto que

N(+0) = limε→+0

N(ε) = limε→+0

dim(EεL2(0, 1)) = lim

ε→+0dim(L2(0, ε)) = +∞.

Notemos que Eε projeta L2(0, 1) sobre o subespaço das funções que se anulamem (0, 1) \ x ∈ (0, 1); x ≤ ε (veja Observação 2.23).

Portanto, teremos que N(λ+ 0) = N(λ) somente quando N(λ+ 0) <∞.Pode-se mostrar que, essencialmente, N(λ) representa o número de

autovalores do operador A que são menores do que λ (veja Berezin-Shubin [4],Suplemento 1, Seção S1.3).

Agora estamos prontos para apresentar o Lema de Glazman. Como nãousaremos este em sua forma mais geral, enunciaremos uma versão simplificadaque nos será suficiente.

38

Lema 2.26 (Glazman) Sejam A : D(A) ⊂ H → H um operador auto-adjuntoe λ ∈ R. Então

N(λ) = supdimL;L ⊂ D(A), (Ax, x) ≤ λ(x, x), ∀ x ∈ L.

(L subespaço de D(A).)

Finalizaremos esta seção com um teorema do tipo minimax, conhecido comoPrincípio de Courant, que caracteriza variacionalmente os autovalores de umoperador semi-limitado inferiormente.

Teorema 2.27 (Princípio de Courant) Sejam A : D(A) ⊂ H → H umoperador auto-adjunto semi-limitado inferiormente e K ⊂ H um subespaço denso,no qual A é essencialmente auto-adjunto. Então,

λ1 = inf0 6=x∈K

(Ax, x)

(x, x)(2.4)

e

λn+1 = supL⊂Kdim L=n

inf0 6=x∈K∩L⊥

(Ax, x)

(x, x). (2.5)

Para maiores detalhes e demonstrações destes dois resultados, veja Lema 3.1”e Proposição 3.2, respectivamente, no Suplemento 1 em Berezin-Shubin [4].

2.4 O Operador de Schrödinger com PotencialDecaindo no Infinito

Consideremos o operador de Schrödinger

S0 : D(S0) ⊂ L2(RN) → L2(RN), (2.6)

definido por

S0(u) = −∆u+ V (x)u, (2.7)

onde V ∈ L∞loc(RN) e D(S0) = C∞0 (RN). Nosso primeiro interesse, é saber quando

o operador S0 é essencialmente auto-adjunto. Para tanto, usaremos um critérioque enunciaremos agora.

39

Teorema 2.28 Assuma que V ∈ L∞loc(RN) e

V (x) ≥ −Q(|x|),

onde Q : R+ → R+ é uma função contínua não-negativa e não-decrescente talque ∫ ∞

0

1√Q(2r)

dr = ∞.

Então, o operador S0 é essencialmente auto-adjunto.

A demonstração deste teorema poderá ser encontrada em Berezin-Shubin [4],Teorema 1.1 do Capítulo 3.

Suponha que V ∈ L∞loc(RN) e

(V1) lim inf |x|→∞ V (x) = limR→+∞

inf|x|≥R

V (x) ≥ a.

Corolário 2.29 Sob a hipótese (V1), o operador S0 definido em (2.17) éessencialmente auto-adjunto.

Demonstração: Pela hipótese (V1), existe C > 0 tal que

V (x) ≥ −C, para todo x ∈ RN .

Consideremos Q : R+ → R+ dada por Q(r) = C. Aplicando o Teorema 2.28,concluímos a prova do corolário.

Exemplo 2.7 Se V (x) ≡ 0, o operador

S0 = −∆ : C∞0 (RN) ⊂ L2(RN) → L2(RN),

é essencialmente auto-adjunto.

Quando S0 for essencialmente auto-adjunto, denotaremos por S o fecho dooperador S0, isto é, S = S∗∗0 .

Nosso objetivo agora é estabelecer teoremas que caracterizem o espectrosdiscreto e essencial do operador de Schrödinger S.

Definição 2.30 Chamaremos de espectro essencial do operador S, edenotaremos por σess(S), o conjunto formado por todos os pontos não isoladosdo espectro de S e todos os autovalores de S com multiplicidade infinita.

40

Pela definição acima, temos que σ(S)\σess(S) consiste de todos os autovaloresisolados com multipicidade finita.

Definição 2.31 Chamaremos de espectro discreto do operador S, edenotaremos por σdisc(S), o conjunto σ(S) \ σess(S).

Teorema 2.32 Se V satisfaz a hipótese (V1) então o operador S é semi-limitadoinferiormente. Além disso, para cada a′ < a, σ(S) ∩ (−∞, a′) consiste de umnúmero finito de elementos ( autovalores de multiplicidade finita) pertencentes aσdisc(S).

Demonstração: Pela hipótese (V1), temos que existe uma constante C > 0 talque

V (x) ≥ −C, para todo x ∈ RN ,

e portanto S é semi-limitado inferiormente. Observemos também que a conclusãodo teorema, significa que se Ea′ é a projeção espectral de S, então Ea′(D(S)) temdimensão finita para a′ < a.

Para demonstrarmos a segunda parte do teorema, usaremos o Lema deGlazman. Mais precisamente, utilizaremos que

N(λ) = supdimL;L ⊂ D(S), (Su, u) ≤ λ(u, u) ∀ u ∈ L,

onde L é um subespaço de D(S) e N(λ) é igual ao número de autovalores menoresdo que λ.

Assim, para provar o teorema é suficiente mostrar que se a′ < a e L é umsubespaço de D(S) tal que

(Su, u) ≤ a′(u, u), ∀ u ∈ L, (2.8)

então L tem dimensão finita.O lado esquerdo de (2.8) é

(Sψ, ψ) =

∫RN

[−∆ψ + V (x)ψ]ψdx, ψ ∈ D(S).

Supondo ψ ∈ C∞0 (RN) e integrando por partes, obtemos

(Sψ, ψ) =

∫RN

[|∇ψ|2 + V (x)ψ2]dx, ψ ∈ C∞0 (RN).

Vamos dividir a prova em duas partes: a primeira é mostrar que, em geral,∫RN

[|∇ψ|2 + V (x)ψ2]dx <∞, ψ ∈ D(S), (2.9)

41

e a segunda que L possui dimensão finita.

Afirmação: A integral em (2.9) é finita para todo ψ ∈ D(S).

Por regularidade local (veja Lema 1.28), temos que se ψ ∈ D(S) entãoψ ∈ H2

loc(RN). Portanto a integral acima, em qualquer bola, é finita. Sejaagora b ≤ inf V (x)− 1. Desde que ψ ∈ L2(RN), a finitude da desigualdade (2.9)é equivalente a∫

RN

[|∇ψ|2 + V (x)ψ2]dx−∫

RN

bψ2dx <∞, ψ ∈ D(S),

ou seja, é equivalente a

Sb(ψ, ψ) :=

∫RN

[|∇ψ|2 + (V (x)− b)ψ2]dx <∞, ψ ∈ D(S).

Notemos ainda que a finitude de Sb(ψ, ψ) é equivalente a∫RN

|∇ψ|2dx <∞ e∫

RN

(1 + |V (x)|)ψ2dx <∞. (2.10)

De fato, se∫

RN (V (x)− b)ψ2dx <∞ então∫V≥0

V (x)ψ2dx ≤∫

V≥0

(V (x)− b)ψ2dx+

∫V≥0

bψ2dx <∞.

Sendo V (x) ≥ −C, temos que∫V≤0

−V (x)ψ2dx ≤∫

V≤0

Cψ2dx <∞.

Logo,∫RN

(1 + |V (x)|)ψ2dx =

∫V≥0

(1 + V (x))ψ2dx+

∫V≤0

(1− V (x))ψ2dx <∞.

Reciprocamente, se∫

RN (1 + |V (x)|)ψ2dx <∞ então∫RN

V (x)ψ2dx ≤∫

RN

|V (x)|ψ2dx <∞,

e consequentemente, ∫RN

(V (x)− b)ψ2dx <∞.

A forma quadrática Sb(ψ, ψ) é gerada pela forma bilinear

Sb(ψ1, ψ2) :=

∫RN

[∇ψ1∇ψ2 + (V (x)− b)ψ1ψ2]dx,

42

que é finita desde que ψ1 e ψ2 satisfaçam (2.10), pois pela desigualdade de Hölder∫RN

(V (x)− b)ψ1ψ2dx =

∫RN

√(V (x)− b)ψ1

√(V (x)− b)ψ2dx

≤( ∫

RN

(V (x)− b)ψ21dx

)1/2( ∫RN

(V (x)− b)ψ22dx

)1/2

< ∞.

Para ψ ∈ C∞0 (RN) temos

((S − bI)ψ, ψ) = Sb(ψ, ψ).

O lado esquerdo acima é contínuo com respeito a norma do gráfico:

‖ψ‖G(S) := (‖ψ‖2 + ‖Sψ‖2)1/2,

sobre D(S). Com efeito,

|((S − bI)ψ, ψ)| = |(Sψ, ψ)− b‖ψ‖2|≤ |b|‖ψ‖2 + |(Sψ, ψ)|≤ |b|‖ψ‖2 + ‖Sψ‖‖ψ‖

≤ |b|‖ψ‖2 +1

2‖Sψ‖2 +

1

2‖ψ‖2

≤ (|b|+ 1

2)‖ψ‖2

G(S).

Logo, o mesmo vale para Sb(ψ, ψ), e por continuidade Sb está bem definida emD(S). Além disso, sendo (V (x)− b) ≥ 1, temos a seguinte desigualdade:

‖ψ‖2H1(RN ) ≤

∫RN

[|∇ψ|2 + (V (x)− b)ψ2]dx = Sb(ψ, ψ), ψ ∈ C∞0 (RN),

ou ainda,‖ψ‖2

H1(RN ) ≤ C‖ψ‖2G(S), ψ ∈ C∞

0 (RN),

Assim, convergência de elementos de C∞0 (RN) com respeito a norma do gráfico

implica convergência em H1(RN).Afirmamos que se ψ ∈ D(S) então ψ ∈ H1(RN). De fato, desde que

D(S) ⊂ L2(RN), para toda ψ ∈ D(S) existe (ψn) ⊂ C∞0 (RN) tal que

‖ψn − ψ‖L2(RN ) → 0.

Sendo S fechado (auto-adjunto), por (ii) da Observação 2.9, tem-se

‖Sψn − Sψ‖L2(RN ) → 0.

43

Logo, ‖ψn − ψ‖G(S) → 0, que implica ‖ψn − ψ‖H1(RN ) → 0. Desde que oespaço H1(RN) é completo, temos que ψ ∈ H1(RN). Concluímos assim que,se ψ ∈ D(S), a primeira desigualdade em (2.10) é válida.

Similarmente, definindo o espaço com peso

L2(RN , 1 + |V (x)|) = ψ ∈ L2(RN) :

∫RN

(1 + |V (x)|)|ψ(x)|2dx <∞,

o qual é completo, segue que ψ ∈ L2(RN , 1 + |V (x)|) para toda ψ ∈ D(S).Portanto, as desigualdades em (2.10) são válidas para toda ψ ∈ D(S), as quaissão equivalentes a desigualdade (2.9). Isto prova a afirmação.

Para finalizar a prova, precisamos então mostrar que L tem dimensão finita.Para tanto, comecemos reescrevendo (2.8) da seguinte forma:∫

RN

|∇ψ|2dx ≤∫

RN

(a′ − V (x))ψ2dx ψ ∈ L. (2.11)

Fixemos δ ∈ (0, a − a′) e R > 0 tal que V (x) ≥ a′ + δ para |x| ≥ R. SejaM = − inf V (x). Se C > 0 e C > M + a′, então∫

RN

(a′ − V (x))ψ2dx =

∫|x|≤R

(a′ − V (x))ψ2dx+

∫|x|≥R

(a′ − V (x))ψ2dx

≤∫|x|≤R

(a′ +M)ψ2dx+

∫|x|≥R

−δψ2dx

≤ C

∫|x|≤R

ψ2dx− δ

∫|x|≥R

ψ2dx. (2.12)

Usando (2.11)-(2.12), podemos escrever∫|x|≤R

|∇ψ|2dx+

∫|x|≥R

(|∇ψ|2 + δψ2)dx ≤ C

∫|x|≤R

ψ2dx,

ou ainda, ∫|x|≥R

(|∇ψ|2 + δψ2)dx ≤ C

∫|x|≤R

ψ2dx−∫|x|≤R

|∇ψ|2dx. (2.13)

Consideremos agora o operador restrição A : L→ L2(B(0, R)) definido por

Aψ = ψ|B(0,R).

Sendo L munido da topologia induzida de L2(RN), temos que A é um operadorcontínuo. Além disso, por (2.13), ker(A) = 0. De fato, se ψ ≡ 0 em B(0, R)então ∫

|x|≥R

(|∇ψ|2 + δψ2)dx = 0,

44

que implica ψ ≡ 0 em RN . Agora é suficiente provarmos que o subespaço

L := A(L)

de L2(B(0, R)) possui dimensão finita. Mostramos acima que D(S) ⊂ H1(RN).Em particular, L ⊂ H1(B(0, R)) e

‖ψ‖H1(B(0,R)) ≤ ‖ψ‖L2(B(0,R))

Assim, podemos escrever a identidade I de L como a composição da imersãoL → H1(B(0, R)), que é contínua, com a imersão H1(B(0, R)) → L2(B(0, R)),que é compacta, e temos que I é um operador compacto. Portanto, L temdimensão finita, e a prova do teorema está completa.

Corolário 2.33 Se lim|x|→∞ V (x) = +∞, então σ(S) é discreto.

Demostração: Se lim|x|→∞ V (x) = +∞ então limR→+∞

inf|x|≥R

V (x) ≥ a para todo

a ∈ R. Pelo Teorema 2.32 σ(S) ∩ (−∞, a′), para a′ < a, consiste de um númerofinito de autovalores de multiplicidade finita. Portanto, σess(S) = ∅, isto é, oespectro de S é discreto.

Teorema 2.34 Assuma que V ∈ L∞loc(RN) e lim|x|→∞ V (x) = 0. Então,σess(S) = [0,+∞)

Demostração: Pelo Teorema 2.32, σess(S) ∩ (−∞, 0) = ∅. Portanto, faltaprovarmos que [0,+∞) ⊂ σ(S). Fixemos λ ≥ 0. Notemos que λ ∈ σ(S) se, esomente se, existe uma sequência ortogonal (ψn) ⊂ D(S) tal que

limn→∞

‖(S − λI)ψn‖‖ψn‖

= 0.

De fato, caso contrário

1 =∥∥∥ ψn

‖ψn‖

∥∥∥ =∥∥∥(S − λI)−1(S − λI)(

ψn

‖ψn‖)∥∥∥ → 0.

Isto mostrar que λ possui multiplicidade infinita, ou seja, λ ∈ σess(S).Para construir tal sequência, observemos que eik·x, k ∈ RN e |k| =

√λ, satisfaz

a equação−∆eik·x = λeik·x.

Desde que lim|x|→∞ V (x) = 0, temos

lim|x|→∞

[−∆ + V (x)− λ]eik·x = 0.

45

Agora fixemos uma função ϕ ∈ C∞0 (RN) tal que ϕ ≥ 0, ϕ(x) = 1 se |x| ≤ 1

2e

ϕ(x) = 0 se |x| ≥ 2. Definamos

ϕn(x) = ϕ(|n|−1/2(x− n)), n ∈ ZN .

Notemos quesupp(ϕn) ⊂ x ∈ RN : |x− n| ≤

√|n|.

Logo,lim

n→∞sup

x∈supp(ϕn)

|V (x)| = 0.

Definindo,ψn(x) = ϕn(x)eik·x, |k| =

√λ,

obtemos

‖ψn‖2 =

∫RN

|ϕn(x)|2dx = |n|N/2

∫RN

|ϕ(x)|2dx = C|n|N/2, (2.14)

para algum C > 0.Pela definição de S temos

Sψn = −∆ϕneik·x −∇ϕn∇eik·x + |k|2ϕne

ik·x + V (x)ϕneik·x.

Portanto,(S − λI)ψn = (S − |k|2I)ψn = eik·x[Sϕn − ik · ∇ϕn] (2.15)

Observando que

|∇ϕn| ≤ C1|n|−1/2 e |∆ϕn| ≤ C1|n|−1,

por (2.15), temos

limn→∞

supx∈RN

|(S − λI)ψn(x)| = 0. (2.16)

Logo, usando (2.14) e (2.16), tem-se

‖(S − λI)ψn‖2

‖ψn‖2= C−1n−N/2‖(S − λI)ψn‖2

≤ C2n−N/2 sup

x∈RN

|(S − λI)ψn(x)|2[med(supp(ϕn))]

≤ C3 supx∈RN

|(S − λI)ψn(x)|2 → 0,

e isto conclui a prova do teorema.

46

2.5 O Operador de Schrödinger com PotencialPeriódico

Faremos agora uma breve introdução sobre o estudo do operador deSchrödinger com potencial periódico. Os resultados que discutiremos aqui serãoaplicados no Capítulo 4.

Seja e1, . . . , eN uma base de RN . Consideremos Γ ⊂ RN o subgrupo definidopor:

Γ = z1e1 + . . .+ zNeN ; zi ∈ Z,

o qual chamaremos de reticulado em RN .

Definição 2.35 Uma função u : RN → R será dita Γ-periódica ou periódicacom período de reticulado Γ, quando u(x+ y) = u(x) para qualquer y ∈ Γ.

Observemos que ao considerarmos o quociente de (RN/Γ) = TN obtemos umN-toro. Além disso, se u é Γ-periódica, esta pode ser considerada como umafunção sobre TN .

Consideremos o espaço dual de RN , o qual denotaremos por (RN)′ e oidentificaremos com o próprio RN . Se ξ ∈ (RN)′ e x ∈ RN , então ξ · x denotará ovalor do funcional ξ aplicado a x; e também representará o produto interno emRN de ξ por x, isto é, se ξ = (ξ1, . . . , ξN) e x = (x1, . . . , xN) então

ξ · x = ξ1x1 + . . .+ ξNxN .

Fixado ξ ∈ (RN)′, consideremos a exponencial eiξ·x como uma função dex ∈ RN . Estamos interessados em ξ ∈ (RN)′ tais que eiξ·x seja Γ-periódica comrespeito a x. Uma condição necessária e suficiente para isto, é

ξ · x ∈ 2πZ, ∀ x ∈ Γ.

Proposição 2.36 Seja Γ′ o conjunto de todos os vetores ξ ∈ (RN)′ tais queξ · x = 2nπ, n ∈ Z. Então, Γ′ é um reticulado em (RN)′.

Demonstração: Escolhamos uma base dual e′iNi=1 para a base eiN

i=1, de modoque

e′iej = 2πδij.

Escrevendo cada vetor ξ como combinação linear da base e′iNi=1, vemos que a

condição para que ξ pertença a Γ′ é que cada coeficiente da combinação linearseja inteiro. Logo,

Γ′ = z1e′1 + . . .+ zNe

′N ; zi ∈ Z,

e isto conclui a prova.

47

Chamaremos Γ′ de reticulado dual. Notemos que se Γ = ZN entãoΓ′ = 2πZN .

Definição 2.37 O subconjunto MΓ ⊂ RN mensurável tal que, para cada x ∈ RN ,contém exatamente um representante da classe x módulo Γ, será dito uma pilhaunitária do reticulado Γ.

Exemplo 2.8 SeΓ = z1e1 + . . .+ zNeN ; zi ∈ Z,

então o conjunto

MΓ = x;x = x1e1 + . . .+ xNeN ;xi ∈ [0, 1)

é uma pilha unitária do reticulado Γ. De fato, denotando por [s] o maior inteirom tal que m ≤ s ∈ R, se y ∈ RN , então podemos escrever

y = [y1]e1 + . . .+ [yN ]eN + x1e1 + . . .+ xNeN ,

onde xi ∈ [0, 1). Isto implica que x = x1e1 + . . . + xNeN ∈ y + Γ é o únicorepresentante da classe y módulo Γ em MΓ.

Uma pilha unitária MΓ′ do reticulado dual Γ′ é chamada de zona Brillouine será denotada por B. Como no Exemplo 2.8, temos

B = M ′Γ = ξ; ξ = ξ1e

′1 + . . .+ ξNe

′N ; ξi ∈ [0, 1).

Existe uma correspondência biunívoca natural MΓ → TN , a qual é umacomposição da inclusão MΓ → RN com a projeção canônica RN → TN . Usandoesta correspondência podemos introduzir a medida induzida no N -toro TN pelamedida de Lebesgue em MΓ. Denotaremos esta medida simplesmente por dx.Com isto, podemos considerar o espaço de Hilbert

L2(TN) = L2(TN , dx).

Consideraremos também o espaço C∞(TN), que consiste de todas as funçõesC∞ sobre o N -toro TN ou, que é o mesmo, as funções C∞ sobre RN que sãoΓ-periódicas. Este espaço é denso em L2(TN).

48

Lema 2.38 O conjunto eiγ′·xγ′∈Γ é uma base ortogonal em L2(TN). Emparticular, L2(TN) é separável.

A prova deste lema encontra-se em Berezin-Shubin [4], Lema 5.1, Capítulo 3.Consideremos o operador de Schrödinger

S0 : D(S0) ⊂ L2(TN) → L2(TN), (2.17)

definido por

S0(u) = −∆u+ V (x)u, (2.18)

onde D(S0) = C∞(TN) e o potencial V é uma função Γ-periódica mensurável elimitada.

Definição 2.39 (Funções Bloch) Seja Γ um reticulado fixado em RN . Asfunções suaves sobre RN da forma

ψ(x) = eiξ·xu(x), (2.19)

com ξ ∈ (RN)′ e u ∈ C∞(TN), são chamadas de funções Bloch.

O vetor ξ ∈ (RN)′ é conhecido como quase-momento. É imediato que oquase-momento não é unicamente definido pelas funções ψ, pois podemos tomarqualquer vetor ξ′ ∈ Γ′ e escrever

ψ(x) = ei(ξ+ξ′)·x[e−iξ′·xu(x)],

já que a função exponencial e−iξ′·x é Γ-periódica. Fazendo uso desta incerteza,podemos assumir que ξ ∈ B.

Seja Lξ = ψ(x) = eiξ·xu(x);u ∈ C∞(TN) (notemos que L0 = C∞(TN)) oespaço das funções Bloch com quase-momento ξ.

Agora examinaremos o operador de Schrödinger S0. Fazendo S0 agir sobre asfunções ψ da forma (2.19), obtemos

S0(eiξ·xu(x)) = eiξ·x(−∆− 2iξ · ∇+ |ξ|2 + V (x))u(x), (2.20)

onde ξ · ∇ = ξ1∂

∂x1+ . . .+ ξN

∂∂xN

. Denotando

Sξ = −∆− 2iξ · ∇+ |ξ|2 + V (x),

com Sξ : C∞(TN) → L2(TN), podemos escrever (2.20) como

S0(eiξ·xu(x)) = eiξ·xSξu(x). (2.21)

Em particular, se ξ = 0 temos Sξ = S0.

49

Consideremos agora o operador multiplicação Iξ : C∞(TN) → C∞(TN)definido por

Iξu(x) = eiξ·xu(x).

Desde que I−1ξ u(x) = e−iξ·xu(x), podemos reescrever (2.21) da seguinte forma:

I−1ξ S0Iξ = Sξ. (2.22)

Sendo Iξ um isomorfismo natural de L0 em Lξ, por (2.21) temos

S0|Lξ= Iξ Sξ|L0 I

−1ξ . (2.23)

O próximo teorema garantirá que Sξ|L0 é essencialmente auto-adjunto, e desdeque Sξ é uma extensão de Sξ|L0 , pela Proposição 2.20, temos que Sξ é o fecho deSξ|L0 .

Teorema 2.40 (a) O operador Sξ|L0 é essencialmente auto-adjunto e semi-limitado inferiormente em L2(TN);

(b) O espectro do operador Sξ é discreto, isto é, existe um sistema ortogonalcompleto de autofunções uj,ξ deste operador, com autovalores λj(ξ),j = 1, 2, . . ., tais que λj(ξ) →∞ quando j →∞;

(c) Se V ∈ C∞(TN), então uj,ξ ∈ C∞(TN), j = 1, 2, . . ..

A demonstração deste resultado encontra-se em Berezin-Shubin [4], Lema 5.2,Capítulo 3.

Seja (uj,ξ) um sistema ortogonal completo de autofunções e (λj(ξ)) osautovalores correspondentes do operador Sξ. Então

Sξuj,ξ = λj(ξ)uj,ξ, j = 1, 2, . . . . (2.24)

Fazendo

ψj,ξ(x) = eiξ·xuj,ξ(x), (2.25)

multiplicando (2.24) por eiξ·x e usando (2.21), obtemos

S0ψj,ξ = λj(ξ)ψj,ξ, j = 1, 2, . . . ,

ou seja, ψj,ξ são autofunções Bloch do operador original de Schrödinger S0. Temosassim provado a existência de autofunções Bloch do operador de Schrödinger compotencial periódico. Isto nos credencia a enunciar o seguinte resultado.

Teorema 2.41 A menos de multiplicação por med(MΓ′), a sequência (ψj,ξ)

forma um sistema ortogonal completo de autofunções do operador de SchrödingerS0.

50

Este teorema e sua demonstração encontram-se em Berezin-Shubin [4],Teorema 5.3, Capítulo 3.

Nosso objetivo agora é introduzir o chamado gap espectral. Para tanto,precisamos estudar os autovalores (λj(ξ)) do operador S0 cujas autofunçõescorrespondentes são as funções Bloch (ψj,ξ) com quase-momento ξ. Notemosque (λj(ξ)) é uma aplicação definida sobre (RN)′.

Notemos ainda que o conjunto das funções λj(ξ) não foram unicamentedefinidas até o momento, pois não haviamos especificado em qual ordem osautovalores λj(ξ) do operador S0 estavam enumerados. Para esta enumeraçãoexistem diferentes possibilidades. No entanto, escolheremos a mais natural:enumeraremos λj(ξ) em ordem crescente, isto é, para todo ξ ∈ (RN)′ definamos

λ1(ξ) ≤ λ2(ξ) ≤ λ3(ξ) ≤, . . . . (2.26)

Isto é possível porque pelo Teorema 2.40, λj(ξ) →∞ quando j →∞.Destacaremos agora um fato de grande importância para o nosso trabalho

sobre o espectro σ(S0). Uma análise mais rigorosa e abrangente sobre este,encontra-se em Berezin-Shubin [4], Corolário 5.1, Capítulo 3. Veja tambémpágina 212.

Proposição 2.42 O espectro do operador de Schrödinger σ(S0) é a união dosintervalos [aj, bj], ou seja,

σ(S0) =∞⋃

j=1

[aj, bj],

onde aj ≤ aj+1 e bj ≤ bj+1.

Os intervalos [aj, bj] podem se intersectar em seus pontos de extremidades,estar contidos ou coincidirem. Além disso, aj → ∞ quando j → ∞. Assim,existem duas possibilidades para σ(S0):

(i) σ(S0) = [c1, d1] ∪ [c2, d2] ∪ . . . ∪ [ci, di] ∪ [ci+1,∞), onde c1 < d1 < c2 < d2 <. . . < ci < di < ci+1, de modo que os intervalos [ci, di] e [ci+1,∞) nãose intersectam. Então estes intervalos são unicamente determinados peloconjunto σ(S0).

(ii) σ(S0) = [c1, d1] ∪ [c2, d2] ∪ . . . ∪ [ci, di] ∪ . . ., onde di < ci+1, para i = 1, 2, . . ..Aqui também os intervalos são unicamente determinados pelo conjuntoσ(S0).

A primeira possibilidade é realizada quando os intervalos [ci, di] construídosacima cobrem todo o intervalo [a,∞), para algum a. A segunda possibilidadesignifica que existem segmentos do intervalo [0,∞) arbitrariamente distantes, osquais não contém pontos do espectro.

51

Definição 2.43 (gap espectral) Os intervalos (−∞, c1), (d1, c2), (d2, c3), . . .

que não contém pontos do espectro são chamados de gap espectrais.

O espectro gap é também conhecido por lacunas ou zonas proibidas.

52

Capítulo 3

Um Problema ElípticoAssintoticamente Linear em RN

IntroduçãoNeste capítulo, aplicaremos a teoria espectral do operador de Schrödinger

estudada no Capítulo 2, para estabelecer a existência de solução positiva para aseguinte classe de problemas semilineares:

(Pλ) −∆u+ λu = f(x, u)u, x ∈ RN ,

onde λ > 0 é um parâmetro, N ≥ 3 e f ∈ C(RN × R+,R+) satisfaz as seguinteshipóteses:

(f1) lims→0

f(x, s) = 0, uniformemente em x;

(f2) Para todo x ∈ RN , f(x, s) é uma função não-decrescente de s sobre [0,∞),e existe uma função g ∈ C(RN ,R+) tal que

lims→∞

f(x, s) = g(x),

uniformemente em x;

(f3) Existe uma função h ∈ C(R+,R+) tal que

lim|x|→∞

f(x, s) = h(s),

uniformemente em s;

(f4) lim|x|→∞s→∞

f(x, s) = lims→∞

h(s) = lim|x|→∞

g(x) = l∞ ∈ (0,∞);

(f5) f(x, s) ≥ lim|x|→∞

f(x, s) = h(s), para todo x ∈ RN e s ∈ R+, e

f(x, s) > h(s), para x ∈ ω e s ∈ R+, onde ω ⊂ RN é um conjunto demedida positiva.

Exemplo 3.1 Um exemplo de uma função que satisfaz as hipótese (f1)-(f5) é:

f(x, s) = (1− e−|x|)s

1 + s,

com g(x) = 1− e−|x|, h(s) = s1+s

e l∞ = 1.

Sob as hipóteses acima temos que

lims→+∞

f(x, s)

s= lim

s→+∞f(x, s) = g(x),

onde f(x, s) = f(x, s)s, ou seja, o problema (Pλ) é assintoticamente linear .

Observação 3.1 (i) Notemos que, ainda sob as hipóteses acima, temos g ∈C(RN) ∩ L∞(RN) e h ∈ C(R+) ∩ L∞(R+) (veja Observação1.22). Alémdisso, pela hipótese (f2),

0 ≤ f(x, s) ≤ g(x) <∞.

(ii) Ao longo de todo este capítulo, assumiremos, sem perda de generalidade, quef(x, s) e h(s) estão definidas para todo s ∈ R, definindo f(x, s) = h(s) = 0

para s ≤ 0.

Os resultados deste capítulo são devidos a Costa-Tehrani [6].O espaço natural para estudarmos o problema (Pλ) é H1(RN). Por uma

solução clássica do problema (Pλ), entende-se uma função u ∈ C2(RN) quesatisfaz a equação em cada ponto x ∈ RN . Por uma solução fraca de (Pλ),entende-se uma função u ∈ H1(RN) tal que∫

RN

(∇u∇v + λuv)dx =

∫RN

f(x, u)uvdx, ∀ v ∈ C∞0 (RN). (3.1)

Assumida as hipóteses (f1)-(f5), nosso objetivo é provar o seguinte teoremade existência para o problema (Pλ):

Teorema 3.2 Assuma as condições (f1)-(f5) e suponha 0 < λ < |Λ|. Então, oproblema (Pλ) possui uma solução fraca positiva.

54

Observação 3.3 Usando um argumento do tipo bootstrap, sob as hipóteses(f1)-(f5), pode-se mostrar que toda solução fraca u de (Pλ), de fato, pertencea W 2,p(RN) ∩ C1(RN) 1, para todo p ≥ 2, de modo que

lim|x|→∞

u(x) = 0 e lim|x|→∞

∇u(x) = 0.

Estas afirmações podem ser encontradas em Stuart-Zhou [20], Teorema 2.2.

O metódo que utilizaremos para provar a existência de solução fraca parao problema (Pλ) é variacional. Para isto, consideremos o funcional energiaIλ : H1(RN) → R associado ao problema (Pλ) definido por:

Iλ(u) =1

2‖u‖2

λ −∫

RN

F (x, u)dx, (3.2)

onde F (x, s) =∫ s

0f(x, t)tdt e ‖u‖2

λ =∫

RN (|∇u|2 + λu2)dx. Notemos que‖ · ‖λ define uma norma que é equivalente à norma usual de H1(RN). Alémdisso, o funcional Iλ é bem definido. De fato, pela Observação 3.1 temosF (x, s) ≤ C

∫ s

0tdt = Cs2. Logo,∫

RN

F (x, u)dx ≤ C

∫RN

u2dx <∞, ∀u ∈ H1(RN).

Devemos notar ainda que F (x, s) ≤ Cs2, implica que Iλ é de classe C1 com

I ′λ(u)(v) =

∫RN

(∇u∇v + λuv)dx−∫

RN

f(x, u)uvdx, ∀v ∈ H1(RN)

(veja Exemplo 1.1 e Lema 1.42).Assim, encontrar uma solução fraca para o problema (Pλ) é equivalente a

determinar um ponto crítico do funcional energia Iλ. Em particular, se u é umponto crítico de Iλ, então 2

0 = I ′λ(u)(u−) =

∫RN

(∇u∇u− + λuu−)dx−∫

RN

f(x, u)uu−dx,

=

∫RN

(∇u∇u− + λuu−)dx

= ‖u−‖2λ,

onde u−(x) = min0, u(x). Portanto, temos necessariamente que u ≥ 0. Alémdisso, se u é não-trivial, então utilizando a desigualdade de Harnack como nademonstração do Lema 1.24, concluímos que u é estritamente positiva.

Para obter a existência de um ponto crítico não-trivial para Iλ, usaremos oTeorema 1.44, o qual tem a condição de compacidade de Cerami como uma desuas hipóteses. O estudo detalhado desta condição será o assunto da próximaseção.

1Para definição de W 2,p(RN ), veja notações.2Note que f(x, u) = 0 se u ≤ 0.

55

3.1 Condição de Compacidade de CeramiA essência de toda esta seção é provar que o funcional Iλ satisfaz a condição de

compacidade de Cerami. Antes de darmos início aos resultados, faremos algumasconsiderações importantes. Definamos

Λ = inf

∫(|∇u|2 − g(x)u2)dx;u ∈ H1(RN),

∫u2dx = 1

.

Salvo mensão em contrário, denotaremos por∫

a integral em RN . Pelo Teorema2.27, temos Λ = inf σ(S), onde S : D(S) ⊂ L2(RN) → L2(RN) é o fecho operadorde Schrödinger definido por

S0u = −∆u− g(x)u com u ∈ C∞0 (RN).

Observação 3.4 Desde que o espectro essencial de S é σess(S) = [−l∞,∞),temos

−|g|∞ ≤ Λ ≤ −l∞ < 0.

Para provar a condição (Ce)c do funcional Iλ, iniciaremos com dois resultadospreliminares.

Lema 3.5 Sob a condição (f1), suponha que lim|x|→∞s→∞

f(x, s) = l∞ e sejam (vn) ⊂

H1(RN) e (tn) ⊂ R+ sequências satisfazendo

(i) vn v em H1(RN);

(ii) tn →∞ e I ′λ(tnvn)/tn → 0, quando n→∞.

Então, para toda sequência (yn) ⊂ RN , para a qual∫yn+B(0,1)

v2ndx ≥ α > 0,

tem-se que (yn) é necessariamente limitada.

Demonstração: Faremos a prova por contradição. Seja (yn) ⊂ RN tal que∫yn+B(0,1)

v2ndx ≥ α > 0.

Suponha que existe uma subsequência de (yn), também denotada por (yn), talque |yn| → ∞. Definindo

vn(x) = vn(x+ yn),

56

temos que ∇vn(x) = ∇vn(x + yn). Então, usando a mudança de variávelz = x+ yn, obtemos∫

(|∇vn(x+ yn)|2 + λv2n(x+ yn))dx =

∫(|∇vn(z)|2 + λv2

n(z))dz

e ∫B(0,1)

v2ndx ≥ α,

ou seja, ‖vn‖λ = ‖vn‖λ e∫

B(0,1)v2

ndx ≥ α. Assim, segue que (vn) é limitada emH1(RN), pois vn v em H1(RN). Podemos então assumir, passando a umasubsequência se necessário, que

vn v em H1(RN),

para alguma v ∈ H1(RN). Além disso, desde que o operador restrição deH1(RN) → H1(B(0, 1)), u 7→ u|B(0,1), é contínuo e a imersão H1(B(0, 1)) →Lr(B(0, 1)), 1 ≤ r < 2∗, é compacta, então

vn → v em L2(B(0, 1)). (3.3)

Assim, ∫B(0,1)

v2dx = limn→∞

∫B(0,1)

v2ndx ≥ α > 0.

Logo, v 6= 0. Sendo que vn v em H1(RN), pelo Lema 1.19 podemos assumirque

vn → v q.t.p. em RN .

Agora, dada ϕ ∈ C∞0 (RN), denotando ϕn(x) = ϕ(x− yn), temos

I ′λ(tnvn)(ϕn)

tn=

∫(∇vn∇ϕn + λvnϕn)dx−

∫f(x, tnvn)vnϕndx.

Fazendo x = z + yn, obtemos

I ′λ(tnvn)(ϕn)

tn=

∫(∇vn(z)∇ϕ(z) + λvn(z)ϕ(z))dz

−∫f(z + yn, tnvn(z + yn))vn(z + yn)ϕ(z)dz.

Pela hipótese (ii), dado ε > 0 existe n0 tal que n > n0 implica∣∣∣∣I ′λ(tnvn)(ϕn)

tn

∣∣∣∣ ≤ ε‖ϕn‖λ = ε‖ϕ‖λ,

57

ou seja,∣∣∣ ∫(∇vn∇ϕ+ λvnϕ)dz −

∫f(z + yn, tnvn(z + yn))vn(z + yn)ϕ(z)dz

∣∣∣≤ ε‖ϕ‖λ. (3.4)

Desde que vn v temos∫(∇vn∇ϕ+ λvnϕ)dz →

∫(∇v∇ϕ+ λvϕ)dz. (3.5)

Estudaremos então a convergência da segunda parcela em (3.4). Para isto,observando que f(x, s) = 0 para s ≤ 0, tem-se

f(z + yn, tnvn(z + yn))vn(z + yn) ≥ 0.

Desde que lim|x|→∞s→∞

f(x, s) = l∞ e vn → v q.t.p. em RN , obtemos (observemos que

|tnvn| → ∞, pois (vn) é limitada)

f(z + yn, tnvn(z + yn))vn(z + yn) → l∞v+(z) q.t.p. em RN ,

e consequentemente,

f(z + yn, tnvn(z + yn))vn(z + yn)ϕ(z) → l∞v+(z)ϕ(z) q.t.p. em RN . (3.6)

Além disso, com o mesmo argumento de (3.3), tem-se

vn → v em L1(B(0, R)),

onde supp(ϕ) ⊂ B(0, R), para R > 0 suficientemente grande. Juntando-se a isto oTeorema 1.5, temos que existe w ∈ L1(B(0, R)) tal que, a menos de subsequência,

|vn(x)| ≤ w(x), em B(0, R),

e

|f(z + yn, tnvn(z + yn))vn(z + yn)ϕ(z)| ≤ Cw(z), (3.7)

para todo x ∈ RN e C = l∞‖ϕ‖∞. Visto que |yn| → ∞ e tn → ∞, segue de(3.6)-(3.7), pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, que∫

f(z + yn, tnvn(z + yn))vn(z + yn)ϕ(z)dz →∫l∞v

+(z)ϕ(z)dz. (3.8)

Portanto, de (3.4), (3.5) e (3.8), obtemos∫(∇v∇ϕ+ λvϕ)dz −

∫l∞v

+(z)ϕ(z)dz = 0, (3.9)

58

para toda ϕ ∈ C∞0 (RN), ou seja, v é uma solução fraca não-trivial do problema

−∆v = (l∞ − λ)v em RN .

Pelo Corolário 1.27, v ∈ H2(RN). O que é uma contradição em virtude doCorolário 1.35. Portanto, (yn) é limitada.

Lema 3.6 Sob as condições (f1)-(f2), assuma que lim inf|x|→∞

g(x) = l∞ e sejam

(vn) ⊂ H1(RN) e (tn) ⊂ R+ sequências satisfazendo

(i) vn v em H1(RN);

(ii) I ′λ(tnvn)/tn → 0, quando n→∞.

Se tn →∞, então v = 0 ou λ = −Λ.

Demonstração: Vamos supor que v 6= 0 e concluir que necessariamente λ = −Λ.Com efeito, dada ϕ ∈ C∞

0 (RN), temos que

I ′λ(tnvn)(ϕ)

tn=

∫(∇vn∇ϕ+ λvnϕ)dx−

∫f(x, tnvn)vnϕdx.

Por (ii), dado ε > 0, tem-se que∣∣∣∣∫ (∇vn∇ϕ+ λvnϕ)dx−∫f(x, tnvn)vnϕdx

∣∣∣∣ ≤ ε‖ϕ‖λ, (3.10)

para todo n > n0. Desde que vn v em H1(RN), temos∫(∇vn∇ϕ+ λvnϕ)dx→

∫(∇v∇ϕ+ λvϕ)dx, (3.11)

e considerando o Lema 1.19 podemos assumir que

vn → v q.t.p. em RN .

Com os mesmos argumentos utilizados para (3.6)-(3.7), na prova do lema anterior,concluímos que

f(x, tnvn(x))vn(x)ϕ(x) → g(x)v+(x)ϕ(x) q.t.p. em RN (3.12)

e

|f(x, tnvn)vnϕ| ≤ Cw, (3.13)

59

para alguma w ∈ L1(B(0, R)), C = ‖g‖∞‖ϕ‖∞ e para todo x ∈ RN . Portanto,por (3.12) e (3.13), podemos usar o Teorema da Convergência Dominada deLebesgue para concluir que∫

f(x, tnvn)vnϕdx→∫g(x)v+ϕdx. (3.14)

Então, usando (3.11) e (3.14) em (3.10), obtemos∫(∇v∇ϕ+ λvϕ)dx−

∫g(x)v+ϕdx = 0. (3.15)

Tomando ϕ = v−, tem-se∫(∇v∇v− + λvv−)dx =

∫g(x)v+v−dx = 0,

ou seja, ‖v−‖λ = 0. Logo, v = v+ ≥ 0. Aplicando o Lema 1.24 concluímos quev > 0. Além disso, pelo Lema 1.26, segue que v ∈ H2(RN). Assim, podemosaplicar a identidade de Green para obter∫

[−∆v + (λ− g(x))v]ϕdx = 0,

para toda ϕ ∈ C∞0 (RN). Pelo Lema 1.7, temos que

−∆v + (λ− g(x))v = 0, q.t.p. em RN , (3.16)

ou seja, Sv = −λv, onde Sv = −∆v − g(x)v. Em outras palavras, v é umaautofunção positiva associada ao autovalor −λ. Ainda por (3.15), tomando ϕ = ve escrevendo u = v/‖v‖L2(RN ), tem-se∫

(|∇u|2 − g(x)u2)dx = −λ.

Logo, pela definição de Λ, obtemos

Λ ≤ −λ.

Desde queΛ ≤ −l∞,

conforme Observação 3.4, consideraremos então dois casos:

Caso 1: Λ < −l∞.

60

Pelo Teorema 2.32, segue que S possui um número finito λ1, . . . , λn ouuma sequência (λn) enumerável de autovalores tais que λn → −l∞, λi commultiplicidade finita para cada i. Pela caracterização variacional dos autovalores,Teorema 2.27, temos que Λ é o menor autovalor de S; mais precisamente, existeu0 ∈ H1(RN) com ‖u0‖L2(RN ) = 1 tal que∫

(|∇u0|2 − g(x)u20)dx = Λ, (3.17)

onde u0 é autofunção correspondente ao autovalor Λ. Por (3.17) podemos assumirque u0 ≥ 0. Além disso, aplicando um argumento análogo ao usado na prova doLema 1.24, temos que u0 > 0. Então, necessariamente

Λ = −λ,

pois do contrário S teria duas autofunções positivas v e u0 associadas aautovalores distintos, o que é uma contradição, já que autofunções associadasa autovalores distintos são ortogonais.

Caso 2: Λ = −l∞.

Neste caso, temos Λ = −l∞ ≤ −λ e novamente mostraremos que Λ = −l∞ =−λ. Com efeito, desde que v > 0 é uma solução não-trivial de (Pg), por (3.15),então pela Proposição 1.33 segue que −λ ≤ −l∞. Portanto, Λ = −λ, concluindoa prova do lema.

Faremos agora uma proposição que é o principal passo para a demonstraçãoda condição de Cerami para o funcional Iλ.

Proposição 3.7 Assuma as condições (f1) − (f4). Se (un) é uma sequência deCerami no nível c > 0 do funcional Iλ então (un) é limitada em H1(RN), quandoλ 6= −Λ.

Demonstração: O argumento é por contradição. Seja (un) uma sequência deCerami no nível c > 0 do funcional Iλ, e suponha que ‖un‖λ → ∞. Definamosvn = 2

√cun/‖un‖λ. Então, ‖vn‖λ = 2

√c. Desde que H1(RN) é reflexivo,

passando a uma subsequência se necessário, pelo Teorema 1.10 podemos assumirque existe v ∈ H1(RN) tal que

vn v em H1(RN).

Como o operador restrição de H1(RN) em H1(B(0, R)), u 7→ u|B(0,R), é contínuoe a imersão de H1(B(0, R)) em Lp(B(0, R)), 1 ≤ p < 2∗, é compacta, temos que

vn → v em Lp(B(0, R)), 1 ≤ p < 2∗, (3.18)

61

para cada R > 0. Sendo (un) uma sequência de Cerami no nível c, então

(1 + ‖un‖λ)‖I ′λ(un)‖ → 0.

Desde que ‖un‖λ‖I ′λ(un)‖ ≤ (1 + ‖un‖λ)‖I ′λ(un)‖, podemos supor sem perda degeneralidade que

‖un‖λ‖I ′λ(un)‖ ≤ 1

n. (3.19)

Afirmação 1: Iλ(tun) ≤ 1+t2

2n+ Iλ(un), para todo t > 0 e n ∈ N.

Com efeito,

|I ′λ(un)(un)| ≤ ‖un‖λ‖I ′λ(un)‖ ≤ 1

n,

ou seja,

− 1

n≤ ‖un‖2

λ −∫f(x, un)u2

ndx ≤1

n. (3.20)

Visto que

Iλ(tun) =t2

2‖un‖2

λ −∫F (x, tun)dx,

por (3.20), temos

Iλ(tun) ≤ t2

2

( 1

n+

∫f(x, un)u2

ndx)−

∫F (x, tun)dx

=t2

2n+

∫h(t, x)dx, (3.21)

ondeh(t, x) =

t2

2f(x, un)u2

n − F (x, tun).

Para concluir nossa afirmação, é suficiente provar que

h(t, x) ≤ h(1, x), para todo t > 0. (3.22)

De fato, se (3.22) é válido, então usando (3.20) e (3.22), obtemos

Iλ(un) =1

2‖un‖2

λ −∫F (x, un)dx

≥ 1

2

(− 1

n+

∫f(x, un)u2

ndx)−

∫F (x, un)dx

= − 1

2n+

∫h(1, x)dx

≥ − 1

2n+

∫h(t, x)dx;

62

e usando (3.21), tem-se

Iλ(un) ≥ − 1

2n+ Iλ(tun)− t2

2n,

ou seja,

Iλ(tun) ≤ 1 + t2

2n+ Iλ(un),

para todo t > 0 e n ∈ N.Provemos então (3.22). Para tanto, observemos que

h′(t, x) = tf(x, un)u2n − f(x, tun)tunun

= tu2n(f(x, un)− f(x, tun)),

pois F (x, tun) =∫ tun

0f(x, s)sds e F ′(x, tun) = f(x, tun)tunun. Desde que f(x, s)

é não-decrescente na variável s temos

f(x, un) ≥ f(x, tun), se 0 < t ≤ 1,

ef(x, un) ≤ f(x, tun), se t ≥ 1.

Logo,h′(t, x) ≥ 0, se 0 < t ≤ 1

eh′(t, x) ≤ 0, se t ≥ 1.

Portanto, h é não-decrescente em 0 < t ≤ 1 e não-crescente para t ≥ 1, isto é,h(t, x) ≤ h(1, x) para todo t > 0 e isto prova (3.22).

Seja agora vn = tnun, com tn = 2√

c‖un‖λ

→ 0. Então, pela Afirmação 1, tem-seque

Iλ(vn) = Iλ(tnun) ≤ 1 + t2n2n

+ Iλ(un). (3.23)

Como Iλ(un) → c, por hipótese, e 1+t2n2n

→ 0, então dado ε > 0 obtemos por (3.23)que

Iλ(vn) ≤ c+ ε, (3.24)

para n suficientemente grande.

Afirmação 2: v 6= 0.Para provar esta afirmação, usaremos o Lema 1.20. Consideremos a função

de concentração de |vn|2,

Qn(r) = supy∈RN

∫y+B(0,r)

|vn|2dx, r > 0.

63

Se limn→∞

Qn(r0) = 0, para algum r0 > 0, então pelo Lema 1.20, vn → 0 em Lp(RN)

para qualquer p ∈ (2, 2∗). Sendo

F (x, s) =

∫ s

0

f(x, t)tdt

e f não-decrescente, segue que F (x, s) ≤ f(x, s)∫ s

0tdt, ou seja,

F (x, s) ≤ 1

2f(x, s)s2, (3.25)

para todo x ∈ RN e s ≥ 0.Afirmamos que

f(x, s)s2 ≤ εs2 + C(ε, q)sq, (3.26)

para qualquer x ∈ RN , s ≥ 0 e 2 < q ≤ 2∗. De fato, por (f1), dado ε > 0 existeδ > 0 tal que

|f(x, s)| < ε, se s < δ.

Por (f2), existe M ≥ 1 de modo que

f(x, s) < ε+ g(x) ≤ ‖g‖∞ + ε = Cε, se s > M.

Então, para 2 < q < 2∗, f(x, s)s2 < εs2, se s < δ;

f(x, s)s2 < Cεs2 ≤ Cεs

q, se s > M.

Agora, para cada q ∈ (2, 2∗], definamos hq : [δ,M ] → R por

hq(s) =f(x, s)s2

sq.

Então, hq é contínua e assume um máximo no compacto [δ,M ], ou seja,

f(x, s)s2

sq≤ Cq, em [δ,M ],

e isto implica (3.26).Desde que vn → 0 em Lq(RN), 2 < q < 2∗, obtemos por (3.25)-(3.26) que∫

F (x, vn)dx ≤∫

1

2f(x, vn)v2

ndx

≤∫

(1

2ε|vn|2 + C(ε, q)|vn|q)dx

=1

2ε‖vn‖2

L2(RN ) + C(ε, q)‖vn‖qLq(RN )

=1

2εC + C(ε, q)ε = ε.

64

Consequentemente (lembremos que vn = tnun e tn = 2√

c‖un‖λ

),

Iλ(vn) =1

2‖vn‖2

λ −∫F (x, vn)dx

≥ 2c− ε,

que resulta numa contradição, pois sendo c > 0, considerando, por exemplo,ε = c

4de forma que

Iλ(vn) ≥ 7

4c.

Porém, por (3.24), Iλ(vn) ≤ 54c para n suficientemente grande. Portanto,

limn→∞

Qn(r) > 0,

para todo r > 0. Passando a uma subsequência se necessário, assumiremos que

Qn(1) > α,

para algum α > 0 e para todo n ∈ N. Além disso, podemos supor que∫yn+B(0,1)

|vn|2dx ≥ α, (3.27)

para alguma sequência (yn) ⊂ RN . De fato, se∫yn+B(0,1)

|vn|2dx < α,

para toda sequência (yn) ⊂ RN , então

Qn(1) = supyn∈RN

∫yn+B(0,1)

|vn|2dx < α,

que é uma contradição. Lembrando que tn = 2√

c‖un‖λ

→ 0 temos t−1n → ∞ e

t−1n vn = un. Então, usando (3.19), obtemos

‖I ′λ(t−1n vn)‖ = ‖I ′λ(un)‖ < 1

n‖un‖λ

→ 0. (3.28)

Logo, por (3.27) e (3.28) podemos aplicar o Lema 3.5 para concluir que (yn) élimitada, digamos |yn| ≤ R, para algum R > 0. Afirmamos que∫

B(0,R+1)

|vn|2dx ≥ α. (3.29)

65

De fato, caso contrário, desde que |yn| ≤ R segue que yn +B(0, 1) ⊂ B(0, R+ 1)e ∫

yn+B(0,1)

|vn|2dx ≤∫

B(0,R+1)

|vn|2dx < α,

contradizendo (3.27).Por (3.18), temos que vn → v em Lp(B(0, R + 1)), 1 ≤ p < 2∗, e portanto∫

B(0,R+1)

|v|2dx = limn→∞

∫B(0,R+1)

|vn|2dx ≥ α > 0,

mostrando que v 6= 0, e provando a afirmação 2.Finalmente, desde que v 6= 0 e, por hipótese, λ 6= −Λ, obtemos pelo Lema

3.6 que t−1n é limitada, o que é uma contradição, pois t−1

n → ∞ . Portanto, aproposição estar provada.

Agora, relembrando a definição da função h em (f3), consideremos o funcionalI∞λ : H1(RN) → R, dado por

I∞λ (u) =1

2‖u‖2

λ −∫H(u)dx, (3.30)

onde H(s) =∫ s

0h(t)tdt. Pelo Exemplo 1.1 e Lema 1.42, segue que I∞λ ∈

C1(H1(RN),R) e

I∞8λ (u)(v) =

∫∇u∇v + λuv −

∫h(u)uvdx, ∀ v ∈ C∞

0 (RN).

Consideremos a Variedade de Nehari M∞λ ⊂ H1(RN) definida por

M∞λ := u 6= 0 ∈ H1(RN); I∞8

λ (u)(u) = 0.

Definamos

0 < m∞λ := inf

u∈M∞λ

I∞λ (u), se M∞λ 6= ∅, e m∞

λ := ∞, se M∞λ = ∅.

Agora estamos prontos para provar a condição (Ce)c para o funcional Iλ.

Teorema 3.8 Assuma as hipóteses (f1)-(f4). Se 0 < λ < |Λ| então o funcionalIλ satisfaz a condição (Ce)c para todo c ∈ (0,m∞

λ ).

Demonstração: Seja (un) uma sequência de Cerami no nível c ∈ (0,m∞λ ) do

funcional Iλ. Então, dado ε > 0, temos

Iλ(un) =1

2

∫(|∇un|2 + λu2

n)dx−∫F (x, un)dx→ c < m∞

λ (3.31)

66

e ∣∣∣I ′λ(un)(φ)∣∣∣ =

∣∣∣ ∫(∇un∇φ+ λunφ)dx−

∫f(x, un)unφdx

∣∣∣ ≤ ε‖φ‖λ, (3.32)

para n suficientemente grande. Como por hipótese λ 6= −Λ, a Proposição 3.7garante que (un) é limitada em H1(RN). Para provaremos que (un) possuiuma subsequência convergente, utilizaremos o primeiro Lema de Concentraçãode Compacidade de P. L. Lions [13]. No intuito de facilitar o entendimento,enunciaremos agora este lema, o qual se encontra, com uma pequena variação,em Kavian [11].

Lema 3.9 (Concentração de Compacidade) Seja (ρn) uma sequência emL1(RN) tal que ρn > 0 em RN e ∫

ρndx = α,

onde α > 0 é um número real fixado. Então existe uma subsequência (ρnk)

satisfazendo uma das três condições:

(i) (Anulamento) Para todo R > 0,

lim supk→∞ y∈RN

∫y+B(0,R)

ρnk(x)dx = 0;

(ii) (Dicotomia) Existe α0 ∈ (0, α) tal que, para ε > 0, existem: k0 ≥ 1, umasequência (yn) ⊂ RN , R > 0 e uma sequência (Rn) ⊂ R+, com R < R1 eRn < Rn+1 →∞; de modo que, se

ρn = ρnχ|x−yn|≤R e ˜ρn = ρnχ|x−yn|≥Rn,

onde χA denota a função característica do conjunto A, então∣∣∣ ∫ρk(x)dx− α0

∣∣∣ ≤ ε,∣∣∣ ∫

˜ρk(x)dx− (α− α0)∣∣∣ ≤ ε

e ∫|ρnk

(x)− (ρk(x)dx+ ˜ρk(x))|dx ≤ ε,

para todo k ≥ k0, e

dist(supp(ρk), supp(˜ρk)) →∞,

quando k →∞;

67

(iii) (Compacidade) Existe uma sequência (yn) ⊂ RN tal que, dado ε > 0

existe R > 0 de modo que∫yk+B(0,R)

ρnk(x)dx ≥ α− ε,

para todo k.

Sem perda de generalidade, podemos assumir que ‖un‖λ > 0, para todo n.Definamos

ρn := |∇un|2 + λu2n.

Temos que (ρn) é uma sequência em L1(RN) e, passando a uma subsequência senecessário, podemos supor que∫

ρn(x)dx→ β > 0,

quando n →∞. Notemos que se β = 0, então ‖un‖2λ → 0, e por (3.25), (3.26) e

a imersão de Sobolev temos∫F (x, un)dx ≤

∫1

2f(x, un)u2

ndx

≤∫

(1

2ε|un|2 + C(ε, q)|un|q)dx

≤ 1

2ε‖un‖2

λ + C(ε, q)‖un‖qλdx→ 0.

Assim, Iλ(un) → 0, que é uma contradição pois Iλ(un) → c > 0.Definindo

ρ′n =ρn∫ρndx

,

tem-se∫ρ′ndx = 1 > 0, para todo n ∈ N. Desde que (ρ′n) satisfaz as hipóteses

do Lema 3.9 com α = 1, podemos assumir, sem perda de generalidade, que (ρn)também cumpre as hipóteses deste lema, ou seja, que∫

ρndx = α

(veja Kavian [11], Teorema 8.1 e Observação 8.2).

Afirmação 1: O Anulamento não ocorre. Suponhamos que o anulamento ocorra,isto é, para todo R > 0,

lim supk→∞ y∈RN

∫y+B(0,R)

(|∇un|2 + λu2n)dx = 0,

68

passando a uma subsequência de (ρn) se necessário. Em particular,

lim supk→∞ y∈RN

∫y+B(0,R)

u2ndx = 0,

para todo R > 0. Então, pelo Lema 1.20, temos

un → 0 em Lq(RN), q ∈ (2, 2∗). (3.33)

Por (3.26), ∫f(x, un)u2

ndx ≤ ε‖un‖2λ + C(ε, q)‖un‖q

λ, (3.34)

para q ∈ (2, 2∗). Fazendo φ = un em (3.32), tem-se

I ′λ(un)(un) = ‖un‖2λ −

∫f(x, un)u2

ndx ≤ ε‖un‖λ,∀n ∈ N. (3.35)

Por (3.34), temos

I ′λ(un)(un) ≥ ‖un‖2λ − ε‖un‖2

λ + C(ε, q)‖un‖qλ.

Desde que (un) é limitada em L2(RN), ‖un‖Lq(RN ) → 0 e ‖un‖2λ = α > 0, para

ε > 0 suficientemente pequeno temos

on(1) +α

2≤ I ′λ(un)(un) ≤ Cε,

que é uma contradição. Portanto, o anulamento não ocorre.

Afirmação 2: A Dicotomia não ocorre. Com efeito, suponhamos que adicotomia ocorra. Então, existe α0 ∈ (0, α) tal que, para todo ε > 0, existem:n0 ≥ 1, R > 0, (yn) ⊂ RN , (Rn) ⊂ R+, com R < R1, Rn < Rn+1 →∞; de modoque (denotando (ρnk

) por (ρn), para simplificar)∣∣∣ ∫ρn(x)dx− α0

∣∣∣ ≤ ε e∣∣∣ ∫

˜ρn(x)dx− (α− α0)∣∣∣ ≤ ε.

Em particular,

α0 − ε ≤∫|x−yn|≤R

2

(|∇un|2 + λu2n)dx (3.36)

e

α− α0 − ε ≤∫|x−yn|≥3Rn

(|∇un|2 + λu2n)dx. (3.37)

69

Lembrando que α =∫

(|∇un|2 + λu2n)dx, temos∫

R2≤|x−yn|≤3Rn

(|∇un|2 + λu2n)dx = α−

∫|x−yn|≥3Rn

(|∇un|2 + λu2n)dx

−∫|x−yn|≤R

2

(|∇un|2 + λu2n)dx

≤ α0 + ε− α0 + ε,

ou seja, ∫R2≤|x−yn|≤3Rn

(|∇un|2 + λu2n)dx ≤ 2ε. (3.38)

Agora, tomemos ψ ∈ C∞0 (RN) tal que 0 ≤ ψ ≤ 1 e

ψ(x) =

1, se |x| ≤ 1

0, se |x| ≥ 2.

Se ϕ = 1− ψ, temos

ϕ(x) =

0, se |x| ≤ 1

1, se |x| ≥ 2.

Consideremos as sequências ψn(x) = ψ(x−yn

R) e ϕn(x) = ϕ(x−yn

Rn), para x ∈ RN , e

definamosu1

n(x) = ψn(x)un(x) e u2n(x) = ϕn(x)un(x).

Então, para cada n, temos

u1n(x) =

un(x), se |x− yn| ≤ R

0, se |x− yn| ≥ 2R

e

u2n(x) =

0, se |x− yn| ≤ Rn

un(x), se |x− yn| ≥ 2Rn.

Afirmamos que

Iλ(un) ≥ Iλ(u1n) + Iλ(u

2n)− Cε, (3.39)

para algum C > 0. De fato, denotando por ρin = |∇ui

n|2 + λ(uin)2, i = 1, 2, temos∣∣∣Iλ(un)− Iλ(u

1n)−Iλ(u2

n)∣∣∣ =

∣∣∣12

∫ρndx−

∫F (x, un)dx

− 1

2

∫ρ1

ndx+

∫F (x, u1

n)dx

− 1

2

∫ρ2

ndx+

∫F (x, u2

n)dx∣∣∣.

70

Denotando An = x ∈ RN ; R2≤ |x− yn| ≤ 3Rn, podemos escrever∫

ρndx−∫ρ1

ndx−∫ρ2

ndx =

∫|x−yn|≤R

2

ρndx+

∫An

ρndx+

∫|x−yn|≥3Rn

ρndx

−∫|x−yn|≤R

2

ρ1ndx−

∫An

ρ1ndx−

∫|x−yn|≥3Rn

ρ1ndx

−∫|x−yn|≤R

2

ρ2ndx−

∫An

ρ2ndx−

∫|x−yn|≥3Rn

ρ2ndx.

Pela definição de uin, segue que∫

ρndx−∫ρ1

ndx−∫ρ2

ndx =

∫An

ρndx−∫

An

ρ1ndx−

∫An

ρ2ndx.

Com os mesmo argumentos acima obtemos

−∫F (x, un)dx +

∫F (x, u1

n)dx+

∫F (x, u2

n)dx

= −∫

An

F (x, un)dx+

∫An

F (x, u1n)dx+

∫An

F (x, u2n)dx.

Consequentemente,

∣∣∣Iλ(un)− Iλ(u1n)− Iλ(u

2n)

∣∣∣ =∣∣∣12

∫An

ρndx−∫

An

F (x, un)dx

−1

2

∫An

ρ1ndx+

∫An

F (x, u1n)dx

−1

2

∫An

ρ2ndx+

∫An

F (x, u2n)dx

∣∣∣. (3.40)

Sabemos que∫

An

ρndx ≤ 2ε, por (3.38). Estimaremos então os demais termos

da igualdade acima. Começaremos por estimar∫

An

|∇u1n|2dx. Com efeito, sendo

∇u1n = 1

R(∇ψn)un + ψn(∇un), temos∫

An

|∇u1n|2dx =

∫An

| 1R

(∇ψn)un + ψn(∇un)|2dx

≤ 2

R2

∫An

|∇ψn|2(un)2dx+ 2

∫An

ψn|∇un|2dx

≤ 2

R2

∫An

|∇ψn|2(un)2dx+ 4ε.

71

Usando a desigualdade de Hölder com expoentes conjugados1N2

+1N

N−2

= 1,

obtemos ∫An

|∇ψn|2(un)2dx ≤( ∫

An

|∇ψn|Ndx)2/N( ∫

An

|un|2∗dx

)2/2∗

.

Desde que ‖∇ψn‖LN (RN ) = ‖∇ψ‖LN (RN ) e H1(An) → L2∗(An), tem-se∫An

|∇ψn|2(un)2dx ≤ ‖∇ψ‖LN (RN )

( ∫An

|∇un|2 + λ(un)2dx)

≤ Cε.

Logo, ∫An

|∇u1n|2dx ≤ Cε,

que juntamente com |u1n| ≤ |un| e (3.38) implica∫

An

ρ1ndx ≤ Cε+

∫An

λ(un)2dx ≤ Cε. (3.41)

Com os mesmos argumentos, obtemos∫An

ρ2ndx ≤ Cε. (3.42)

Desde que 0 ≤ F (x, s) ≤ Cs2 e |u1n| ≤ |un|, temos∫

An

F (x, u1n)dx ≤ C

∫An

(u1n)2dx ≤

∫An

(un)2dx ≤ Cε. (3.43)

Do mesmo modo, obtemos∫An

F (x, un)dx ≤ Cε e∫

An

F (x, u2n)dx ≤ Cε. (3.44)

Portanto, segue de (3.40)-(3.44) que∣∣∣Iλ(un)− Iλ(u1n)− Iλ(u

2n)

∣∣∣ ≤ Cε,

obtendo assim (3.39).Afirmamos agora que∣∣∣‖u1

n‖2λ −

∫f(x, u1

n)(u1n)2dx

∣∣∣ ≤ Cε, (3.45)

72

para alguma constante C > 0. Com efeito, utilizando a definiçao de u1n, temos∣∣∣I ′λ(un)(u1

n)−(‖u1

n‖2λ −

∫f(x, u1

n)(u1n)2dx

)∣∣∣=

∣∣∣ ∫An

(∇un∇u1n + λunu

1n)dx−

∫An

f(x, un)unu1ndx

−∫

An

(|∇u1n|2 + λ(u1

n)2)dx+

∫An

f(x, u1n)(u1

n)2dx∣∣∣. (3.46)

Desde que f é não-decrescente na segunda coordenada e |u1n| ≤ |un|, usando a

desigualdade (3.26) obtemos

f(x, u1n)(u1

n)2 ≤ f(x, un)|unu1n| ≤ f(x, un)(un)2 ≤ ε|un|2 + Cε|un|q.

Utilizando a imersão H1(An) → Lq(An), obtemos∣∣∣ ∫An

f(x, un)unu1ndx

∣∣∣ ≤∫

An

(ε|un|2 + C(ε, q)|un|q

)dx

≤ ε‖un‖2L2(An) + C(ε, q)

( ∫An

(|∇un|2 + λ(un)2)dx)q/2

≤ Cε. (3.47)

Analogamente, ∫An

f(x, u1n)(u1

n)2dx ≤ Cε. (3.48)

Pela desigualdade de Hölder e (3.41), tem-se∫An

(∇un∇u1n + λunu

1n)dx ≤

( ∫An

ρndx)1/2( ∫

An

ρ1ndx

)1/2

≤ Cε.(3.49)

De (3.46)-(3.49), obtemos∣∣∣I ′λ(un)(u1n)−

(‖u1

n‖2λ −

∫f(x, u1

n)(u1n)2dx

)∣∣∣ ≤ Cε.

Consequentemente,∣∣∣‖u1n‖2

λ −∫f(x, u1

n)(u1n)2dx

∣∣∣ ≤ |I ′λ(un)(u1n)|+ Cε. (3.50)

Usando (3.32) ∣∣∣‖u1n‖2

λ −∫f(x, u1

n)(u1n)2dx

∣∣∣ ≤ Cε, (3.51)

73

para algum C > 0 e n suficientemente grande.Analogamente, tem-se∣∣∣‖u2

n‖2λ −

∫f(x, u2

n)(u2n)2dx

∣∣∣ ≤ Cε. (3.52)

Todo o nosso trabalho até o momento foi apenas considerações relevantes paraprovar que a dicotomia não ocorre. Para concluir a prova da não ocorrência,consideraremos dois casos: quando a sequência (yn), dada pelo Lema 3.9, élimitada ou não-limitada.

Caso 1: (yn) é limitada.

Se (yn) é limitada, temos que os centros das bolas B(yn, Rn) não convergem ainfinito, e como Rn →∞, tem-se que as bolas crescem de acordo com n, a partirde um n0 suficientemente grande. Desde que, u2

n(x) = 0, se |x− yn| ≤ Rn, segueque

supp(u2n) ⊂ B(yn, Rn)C .

Por (f3), dado ε > 0, temos que |f(x, u2n) − h(u2

n)| ≤ ε12 , para |x| > r > 0

suficientemente grande. Agora, sendo (u2n)2 integrável,∫

|x|>r

(u2n)2dx ≤ ε

12 ,

para r grande. Para n suficientemente grande, obtemos

supp(u2n) ⊂ B(yn, Rn)C ⊂ B(0, r)C .

Logo, ∣∣∣ ∫[f(x, u2

n)u2n − h(u2

n)u2n]dx

∣∣∣ =∣∣∣ ∫

supp(u2n)

[f(x, u2n)− h(u2

n)]u2ndx

∣∣∣≤ ε

12

∫supp(u2

n)

(u2n)2dx

≤ ε. (3.53)

De (3.52)-(3.53) temos∣∣∣I∞′λ (u2

n)(u2n)

∣∣∣ =∣∣∣‖u2

n‖2λ −

∫h(u2

n)(u2n)2dx

∣∣∣≤

∣∣∣‖u2n‖2

λ −∫f(x, u2

n)(u2n)2dx

∣∣∣ +∣∣∣ ∫

[f(x, u2n)u2

n − h(u2n)u2

n]dx∣∣∣

≤ Cε. (3.54)

74

De modo análogo, dado ε > 0, temos por (f3) que |f(x, s) − h(s)| ≤ ε12 , para s

suficientemente grande. Então,∣∣∣ ∫[F (x, u2

n)−H(u2n)]dx

∣∣∣ ≤∫

supp(u2n)

∫ u2n

0

|f(x, s)− h(s)|sdsdx

=

∫supp(u2

n)

∫ u2n

0

ε12 sdsdx

=1

2ε

12

∫supp(u2

n)

(u2n)2dx

≤ ε. (3.55)

Consequentemente,∣∣∣Iλ(u2n)− I∞λ (u2

n)∣∣∣ =

∣∣∣− ∫F (x, u2

n)dx+

∫H(u2

n)dx∣∣∣

≤ ε, (3.56)

ou seja, Iλ(u2n) = I∞λ (u2

n) + o(1).Nosso objetivo agora é mostrar que, se a dicotomia ocorre, então M∞

λ 6= ∅.Para tanto, começaremos definindo

w2n(x) := u2

n(σx), σ 6= 0 ∈ R.

Notemos que fazendo mudança de variável temos

I∞′λ (w2

n)(w2n) =

∫(|∇w2

n|2 + λ(w2n)2)dx−

∫h(w2

n)(w2n)2dx

=

∫(σ2|∇u2

n(σx)|2 + λ(u2n(σx))2)dx

−∫h(u2

n(σx))(u2n(σx))2dx

=

∫(σ2−N |∇u2

n(x)|2 + σ−Nλ(u2n(x))2)dx

− σ−N

∫h(u2

n(x))(u2n(x))2dx

= σ−N[(σ2 − 1)

∫|∇u2

n|2dx+

∫(|∇u2

n|2 + λ(u2n)2)dx

−∫h(u2

n)(u2n)2dx

].

Por (3.54), podemos denotar

εn =

∫(|∇u2

n|2 + λ(u2n)2)dx−

∫h(u2

n)(u2n)2dx,

75

com εn → 0 . Logo,

I∞′λ (w2

n)(w2n) = σ−N

[(σ2 − 1)

∫|∇u2

n|2dx+ εn

].

Para que M∞λ seja não vazio, é suficiente que

∫|∇u2

n|2dx := an > 0, n grande.De fato, se an > 0, para n suficientemente grande, então podemos tomar

σn = (1− εn

an

)12 .

Notemos que, se εn ≤ 0 então 1 − εn

an> 0; e se εn > 0, como an é limitada, pois

(u2n) o é em H1(RN), é possível tomar εn pequeno o bastante tal que 1− εn

an> 0.

Assim, temos

(σ2n − 1)

∫|∇u2

n|2dx+ εn = 0, (3.57)

ou seja, I∞′λ (w2

n)(w2n) = 0 e w2

n ∈ M∞λ . Portanto, se a dicotomia ocorrer, tem-se

que M∞λ 6= ∅. Precisamos então provar que∫

|∇u2n|2dx ≥ a0 > 0.

Com efeito, suponhamos que existe uma subsequência, também denotada por(u2

n), tal que ∫|∇u2

n|2dx→ 0. (3.58)

Como estamos supondo que a dicotomia ocorre, temos∣∣∣ ∫˜ρndx− (α− α0)

∣∣∣ =∣∣∣ ∫

|x−yn|≥Rn

(|∇un|2 + λ(un)2)dx− (α− α0)∣∣∣ ≤ ε.

Desde que, pela definição de u2n,∫

|x−yn|≥Rn

[(u2n)2 − (un)2]dx =

∫Rn≤|x−yn|≤2Rn

(u2n)2dx,

tem-se∣∣∣∣∣∣∣ ∫|x−yn|≥2Rn

|∇un|2dx +

∫|x−yn|≥Rn

λ(u2n)2dx− (α− α0)

∣∣∣−

∣∣∣ ∫|x−yn|≥Rn

(|∇un|2 + λu2n)dx− (α− α0)

∣∣∣∣∣∣∣ ≤ ε,

76

para n suficientemente grande; em particular,∫|x−yn|≥2Rn

|∇un|2dx+

∫|x−yn|≥Rn

λ(u2n)2dx ≥ (α− α0)− ε. (3.59)

Agora, sendo ϕn(x) = 1, se |x− yn| ≥ 2Rn, temos∫|x−yn|≥Rn

|∇u2n|2dx =

∫|x−yn|≥Rn

| 1

Rn

un(∇ϕn) + ϕn(∇un)|2dx

≥∫|x−yn|≥2Rn

| 1

Rn

un(∇ϕn) + ϕn(∇un)|2dx

=

∫|x−yn|≥2Rn

|∇un|2dx.

Assim, obtemos por (3.59) que ( lembremos que u2n(x) = 0, se |x− yn| ≤ Rn )∫

RN

(|∇u2n|2dx+ λ(u2

n)2)dx ≥∫|x−yn|≥2Rn

|∇un|2dx+

∫|x−yn|≥Rn

λ(u2n)2dx

≥ (α− α0)− ε. (3.60)

Por outro lado, usando (3.26) e (3.52) temos que∫(|∇u2

n|2dx+ λ(u2n)2)dx ≤

∫f(x, u2

n)(u2n)2dx+ Cε

≤∫

(ε(u2n)2 + C(ε, 2∗)(u2

n)2∗)dx+ Cε

= ε

∫(u2

n)2dx+ C(ε, 2∗)

∫(u2

n)2∗dx+ Cε,

e utilizando a imersão D1,2(RN) → L2∗(RN), obtemos∫(|∇u2

n|2dx+ λ(u2n)2)dx ≤ ε

∫(u2

n)2dx+ C1(ε, 2∗)

∫|∇u2

n|2dx+ Cε.

Assim, em vista de (3.60), tem-se

(α− α0)− ε ≤ ε

∫(u2

n)2dx+ C1(ε, 2∗)

∫|∇u2

n|2dx+ Cε,

que é uma contradição, pois usando (3.58), e sendo (u2n) limitada em L2(RN),

podemos fazer ε→ 0 e n→∞ e concluir que

0 < (α− α0) ≤ 0.

Portanto, temos necessariamente que∫|∇u2

n|2dx ≥ a0 > 0

77

e M∞λ 6= ∅, caso a dicotomia ocorra.Finalmente, estamos prontos para provar que a dicotomia não pode acontecer

no caso 1. Fazendo mudança de variável temos

I∞λ (w2n) =

1

2

∫(|∇w2

n|2 + λ(w2n)2)dx−

∫H(w2

n)dx

=1

2

∫(σ2

n|∇u2n(σnx)|2 + λ(u2

n(σnx))2)dx−

∫H(u2

n(σnx))dx

=1

2σ−N

n

∫(σ2

n|∇u2n(x)|2 + λ(u2

n(x))2)dx− σ−Nn

∫H(u2

n(x))dx

=1

2σ−N

n (σ2n − 1)

∫|∇u2

n|2dx+ σ−Nn

[1

2

∫(|∇u2

n|2 + λ(u2n)2)dx

−∫H(u2

n)dx]

=1

2σ−N

n (σ2n − 1)

∫|∇u2

n|2dx+ σ−Nn I∞λ (u2

n)

=1

2σ−N

n (σ2n − 1)

∫|∇u2

n|2dx+ (σ−Nn − 1)I∞λ (u2

n) + I∞λ (u2n),

ou seja,

I∞λ (w2n) = I∞λ (u2

n) +1

2σ−N

n (σ2n− 1)

∫|∇u2

n|2dx+ (σ−Nn − 1)I∞λ (u2

n). (3.61)

Também temos que I∞λ (u2n) é limitada. De fato, usando (3.55) e F (x, u2

n) ≤C(u2

n)2, tem-se

|I∞λ (u2n)| =

∣∣∣12‖u2

n‖2λ −

∫H(u2

n)dx∣∣∣

≤ 1

2‖u2

n‖2λ +

∣∣∣ ∫(F (x, u2

n)−H(u2n))dx

∣∣∣ +∣∣∣ ∫

F (x, u2n)dx

∣∣∣≤ 1

2‖u2

n‖2λ + C‖u2

n‖2L2(RN ) + ε,

e sendo (u2n) limitada em H1(RN), obtemos a limitação desejada.

Utilizando (3.56) e (3.61), temos

Iλ(u2n) ≥ I∞λ (u2

n)− ε

= I∞λ (w2n)− 1

2σ−N

n (σ2n− 1)

∫|∇u2

n|2dx− (σ−Nn − 1)I∞λ (u2

n)− ε.

Sendo (σ2n − 1)

∫|∇u2

n|2dx = −εn, por (3.57), onde σn = (1− εn

an)

12 , tem-se para

ε = |εn| que

Iλ(u2n) ≥ I∞λ (w2

n)− 1

2σ−N

n εn + (σ−Nn − 1)I∞λ (u2

n)− |εn|.

78

Desde que σn → 1 quando εn → 0 e I∞λ (u2n) é limitada, então

Iλ(u2n) ≥ I∞λ (w2

n)− ε′n,

onde ε′n > 0 tal que ε′n → 0, ou ainda, (veja definição de m∞λ )

Iλ(u2n) ≥ m∞

λ − ε′n. (3.62)

Para a sequência (u1n), usando (3.25) e (3.51), temos

Iλ(u1n) =

1

2‖u1

n‖2λ −

∫F (x, u1

n)dx

≥ 1

2

∫f(x, u1

n)(u1n)2dx− ε′n −

∫F (x, u1

n)dx

≥ 1

2

∫f(x, u1

n)(u1n)2dx−

∫1

2f(x, u1

n)(u1n)2dx− ε′n,

ou seja,

Iλ(u1n) ≥ −ε′n. (3.63)

Finalmente, por (3.39), (3.62) e (3.63), obtemos

Iλ(un) ≥ Iλ(u1n) + Iλ(u

2n)− ε′n

≥ m∞λ − 2ε′n,

o que é uma contradição, pois temos Iλ(un) → c < m∞λ e lim

n→∞Iλ(un) ≥ m∞

λ .Portanto, de fato, a dicotomia não ocorre no Caso 1.

Caso 2: (yn) não é limitada.

Passando se necessário a uma subsequência, que também denotaremos por(yn), podemos assumir que |yn| → ∞. Pela definição de u1

n temos

u1n(x) = 0, |x− yn| ≥ 2R,

e segue que supp(u1n) ⊂ B(yn, 2R), com os centros das bolas B(yn, 2R)

convergindo a infinito. Assim, podemos repetir para u1n os mesmos argumentos

feitos para u2n no Caso 1. Já para u2

n, agora repetiremos a argumentação feitacom u1

n no Caso 1. Logo, obtemos a mesma contradição anterior.Portanto, podemos afirmar que a dicotomia não ocorre e que a afirmação 2

está provada.Assim pelo Lema 3.9 a compacidade ocorre, ou seja, existe uma sequência

(yn) em RN tal que, dado ε > 0, existe R > 0 de modo que∫B(yn,R)

ρndx ≥ α− ε,

79

ou melhor, ∫B(yn,R)C

ρn =

∫ρndx−

∫B(yn,R)

ρndx ≤ ε. (3.64)

Como no Caso 2 da dicotomia, podemos mostrar que se para alguma subsequênciade (yn) temos |yn| → ∞, obtemos uma contradição com

Iλ(un) → c < m∞λ .

Logo, (yn) é uma sequência limitada e, para cada ε > 0, existe R0 suficientementegrande tal que

B(yn, R) ⊂ B(0, R0).

Como consequência de (3.64), temos∫B(0,R0)C

(|∇un|2 + λu2n)dx ≤

∫B(yn,R)C

(|∇un|2 + λu2n)dx

≤ ε. (3.65)

Desde que (un) é limitada em H1(RN), pelo Lema 1.10 podemos assumir que

un u, em H1(RN).

Afirmamos que un → u, em Lp(RN), 2 ≤ p < 2∗. De fato, sendo |u|p integrável,dado ε > 0, podemos tomar R′ > 0 grande tal que∫

B(0,R′)C

|u|pdx ≤ ε. (3.66)

Logo, se R = maxR0, R′, então por (3.66), tem-se∫

RN

|un − u|pdx =

∫B(0,R)

|un − u|pdx+

∫B(0,R)C

|un − u|pdx

≤ ε+ 2p( ∫

B(0,R)C

|un|pdx+

∫B(0,R)C

|u|pdx)

≤ Cε,

onde acima usamos a imersão de Sobolev e (3.65) para estimar o termo com |un|p.Assim, realmente temos un → u, em Lp(RN), 2 ≤ p < 2∗.

Pelo Teorema 1.5,un → u, q.t.p. em RN ,

e existe h2 ∈ L2(RN) tal que

|un| ≤ h2, em RN .

80

Pela Observação 3.1,f(x, un)u2

n ≤ gh22 ∈ L1(RN)

e|f(x, un)unu| ≤ gh2|u| ∈ L1(RN).

Aplicando o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue obtemos∫f(x, un)u2

ndx→∫f(x, u)u2dx (3.67)

e ∫f(x, un)unudx→

∫f(x, u)u2dx. (3.68)

De modo similar, tem-se∫f(x, u)unudx→

∫f(x, u)u2dx. (3.69)

Por fim, afirmamos que un → u em H1(RN). Com efeito,

I ′λ(un)(un − u)− I ′λ(u)(un − u) =∫(∇un∇(un − u) + λun(un − u))dx−

∫f(x, un)un(un − u)dx

−∫

(∇u∇(un − u) + λu(un − u))dx+

∫f(x, u)u(un − u)dx

=

∫(|∇(un − u)|2 + λ(un − u)2)dx−

∫f(x, un)u2

ndx

+

∫f(x, un)unudx+

∫f(x, u)uundx−

∫f(x, u)u2dx.

Assim,

‖un − u‖2λ = I ′λ(un)(un − u)− I ′λ(u)(un − u)

+

∫f(x, un)u2

ndx+

∫f(x, u)u2dx

−∫f(x, un)unudx−

∫f(x, u)uundx.

Desde que I ′λ(un)(un−u) → 0 e I ′λ(u)(un−u) → 0, pois (un−u) 0 em H1(RN),segue de (3.67)-(3.69) que

‖un − u‖2λ → 0.

Assim, a sequência de Cerami (un) possui uma subsequência convergente, e oteorema está provado.

81

Teorema 3.10 Assuma as hipóteses (f1)-(f4). Suponha que f(x, s) = h(s) eque 0 < λ < |Λ|. Se (un) é uma sequência de Cerami de Iλ no nível c = m∞

λ ,então existe uma sequência (yn) em RN tal que un(x) = un(x + yn) possui umasubsequência convergente em H1(RN).

Demonstração: A prova é praticamente uma repetição da demonstração doTeorema 3.8. Não reproduziremos toda a prova do teorema, mas faremos algumasetapas que supomos relevantes. Como feito para o Teorema 3.8, aplicaremos oLema 3.9 a:

ρn := |∇un|2 + λu2n,

e mostraremos que nem o anulamento nem a dicotomia ocorrem.

Afirmação 1: O Anulamento não ocorre.

A prova é a mesma da Afirmação 1 do Teorema 3.8.

Afirmação 2: A Dicotomia não ocorre.

Suponha que ocorra. Como na prova da Afirmação 2 do Teorema 3.8, obtemos

Iλ(un) ≥ Iλ(u1n) + Iλ(u

2n)− Cε, (3.70)

e ∣∣∣‖uin‖2

λ −∫f(x, ui

n)(uin)2dx

∣∣∣ ≤ Cε, i = 1, 2. (3.71)

Desde que f(x, s) = h(s), temos∫f(x, ui

n)(uin)2dx =

∫h(ui

n)(uin)2dx, i = 1, 2.

Isto, juntamente com (3.71), implicam que∣∣∣I∞′λ (ui

n)(uin)

∣∣∣ =∣∣∣‖ui

n‖2λ −

∫h(ui

n)(uin)2dx

∣∣∣ ≤ Cε, i = 1, 2. (3.72)

Do mesmo modo, sendo∫F (x, ui

n)dx =

∫H(ui

n)dx, i = 1, 2, (3.73)

temos ∣∣∣Iλ(uin)− I∞λ (ui

n)∣∣∣ ≤ ε, i = 1, 2. (3.74)

82

Como na prova do Teorema 3.8, usando (3.72), tem-se

w2n ∈M∞

λ ,

e agora, de modo análogo, obtemos

w1m := u1

m(σmx) ∈M∞λ ,

com σm = (1 − εm

bm), onde bm =

∫|∇u1

m|2dx > 0. Assim, com as consideraçõesfeitas para (3.62), temos

Iλ(uin)1 ≥ I∞λ (wi

m)− ε′m, i = 1, 2,

com ε′m → 0, ou ainda, usando a definição de m∞λ ,

Iλ(uin) ≥ m∞

λ − ε′m, i = 1, 2. (3.75)

Agora, em vista de (3.70) e (3.75), tem-se

Iλ(un) ≥ 2m∞λ − ε′m,

o que é uma contradição, pois fazendo n → ∞, tem-se limn→∞

Iλ(un) ≥ 2m∞λ e

Iλ(un) → c = m∞λ .

Observemos que a única diferença da prova da Afirmação 2 do Teorema 3.8 éque, sendo f independente de x, obtemos imediatamente (3.72), que é crucial naprova de que w1

m ∈M∞λ , e (3.73), que auxilia a obtenção de (3.75) e a consequente

contradição.Portanto, a dicotomia não ocorre.Desde que o anulamento e a dicotomia não ocorrem, pelo Lema 3.9, a

compacidade ocorre, ou seja, existe (yn) ⊂ RN tal que, dado ε > 0, existe R > 0de modo que ∫

B(yn,R)

(|∇un|2 + λu2n)dx ≥ α− ε,

e fazendo uma mudança de variável, obtemos∫B(0,R)C

(|∇un|2 + λu2n)dx ≤ ε,

onde un(x) = un(x + yn). Notemos que não podemos descartar que |yn| → ∞.Daremos os passos que provam que (un) possui uma subsequência convergente.Com efeito, sendo ‖un‖λ = ‖un‖λ, pelo Teorema 1.10 podemos assumir que

un u em H1(RN).

Procedendo como na demonstração do Teorema 3.8, temos que

un → u em Lp(RN), 2 ≤ p < 2∗.

Desde que I∞λ (un) = I∞λ (un) e I∞8λ (un)(φ) = I∞8

λ (un)(φn), onde φn(x) = φ(x−yn),obtemos

un → u em H1(RN).

83

3.2 Existência de Solução PositivaDedicaremos esta seção ao estudo da existência de solução para o problema

(Pλ), isto é, à prova do Teorema 3.2. Como dissemos no final da introduçãodeste capítulo, usaremos o Teorema 1.44. Começaremos provando as condiçõesgeométricas deste teorema , especificamente, os itens (a) e (b).

Proposição 3.11 (Geometria do Passo da Montanha) Assuma as hipóte-ses (f1)-(f4) e suponha 0 < λ < |Λ|. Então:

(a) Existem ρ = ρ(λ) > 0 e α = α(λ) > 0 tais que Iλ(u) ≥ 0 para ‖u‖λ ≤ ρ

e Iλ(u) ≥ α quando ‖u‖λ = ρ;

(b) Existe e = e(λ) ∈ H1(RN) tal que ‖e‖λ > ρ e Iλ(e) ≤ 0.

Demonstração: Para provarmos (a), utilizaremos (3.26) para obtermos

F (x, s) ≤ 1

2εs2 +

1

2C(ε, 2∗)s2∗ ,

e considerando a imersão H1(RN) → Lp(RN), 2 ≤ p ≤ 2∗, temos que∫F (x, u)dx ≤ 1

2ε

∫u2dx+

1

2C(ε, 2∗)

∫u2∗dx

≤ Cε‖u‖2λ + C(ε, 2∗)‖u‖2∗

λ .

Fazendo Cε = 14, concluímos que

Iλ(un) =1

2‖un‖2

λ −∫F (x, un)dx

≥ 1

2‖un‖2

λ −1

4‖u‖2

λ − C(ε, 2∗)‖u‖2∗

λ .

≥ (1

4− C(ε, 2∗)‖u‖(2∗−2)

λ )‖u‖2λ,

para toda u ∈ H1(RN). Assim, tomando por exemplo ρ(λ) = ( 18C(ε,2∗)

)1/(2∗−2) eα(λ) = 1

4( 1

8C(ε,2∗))2/(2∗−2), obtemos (a).

Para Provarmos (b), fixemos u 6= 0 ∈ H1(RN) e consideremos a funçãop : R+ → R definida por

p(t) = Iλ(tu) =1

2t2‖u‖2

λ −∫F (x, tu)dx. (3.76)

Temos que

p′(t) = I ′λ(tu)(u) = t(‖u‖2λ −

∫f(x, tu)u2dx). (3.77)

84

Com o mesmo argumento da parte (a) obtemos

p(t) ≥ [1

4− C(ε, 2∗)(t‖u‖λ)

2∗−2]t2‖u‖2λ

e

p′(t) ≥ t‖u‖λ −1

4t2‖u‖2

λ − C(ε, 2∗)t2∗‖u‖2∗

λ .

Portanto,p(t) > 0 e p′(t) > 0, (3.78)

para t > 0 suficientemente pequeno. Faremos agora duas afirmações que serãoúteis para o resto da demonstração.

Afirmação 1: limt→∞

1

t2

∫F (x, tu)dx =

1

2

∫g(x)(u+)2dx;

Afirmação 2: limt→∞

∫f(x, tu)u2dx =

∫g(x)(u+)2dx.

Prova da Afirmação 1: Fazendo a mudança de variável s = τtu, temos∫F (x, tu)dx =

∫ [ ∫ tu

0

f(x, s)sds]dx

=

∫ [t2u2

∫ 1

0

f(x, τtu)τdτ]dx. (3.79)

Dado ε > 0, por (f2) existe t0 tal que |f(x, tτu(x))− g(x)| < ε, para todo t > t0e x ∈ RN . Então, ∣∣∣ ∫ 1

0

(f(x, τtu)− g(x))τdτ∣∣∣ < ε,

para todo t > t0. Logo,

u2(x)

∫ 1

0

f(x, τtu(x))τdτ → (u+(x))2

∫ 1

0

g(x)τdτ =1

2(u+(x))2g(x) q.t.p. em RN

(lembremos que f(x, s) = 0, para s ≤ 0). Desde que f(x, s) ≤ g(x),

u2

∫ 1

0

f(x, τtu)τdτ ≤ u2

∫ 1

0

g(x)τdτ ≤ 1

2u2g(x) ∈ L1(RN),

Assim, podemos aplicar o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue paraobtermos que:

limt→∞

∫u2(x)

∫ 1

0

f(x, τtu(x))τdτdx =

∫1

2g(x)(u+(x))2dx.

85

Isto, juntamente com (3.79), implica que

limt→∞

1

t2

∫F (x, tu)dx =

1

2

∫g(x)(u+)2dx,

como queríamos. A prova da Afirmação 2 é análoga.

Como consequência das Afirmações 1 e 2, temos

limt→∞

p(t)

t2=

1

2(‖u‖2

λ −∫g(x)(u+)2dx), (3.80)

e

limt→∞

p′(t)

t= ‖u‖2

λ −∫g(x)(u+)2dx. (3.81)

Agora consideremos duas situações:

(A) ‖u‖2λ −

∫g(x)(u+)2dx ≥ 0: Neste caso, segue de (f2) que

p′(t) = t(‖u‖2λ −

∫f(x, u)u2dx)

≥ t(‖u‖2λ −

∫g(x)(u+)2dx)

≥ 0,

para todo t > 0. Assim, p é não-decrescente. Desde que p(t) > 0, para t > 0pequeno, temos p(t) > 0 para todo t > 0.

(B) ‖u‖2λ −

∫g(x)(u+)2dx < 0: Como já sabemos que p′(t) > 0 para t

pequeno, se (B) ocorre, então p′ muda de sinal. Logo, existe t1 > 0 tal quep′(t1) = 0. Definamos

E1 = t > 0; t ≤ t1 e p′(t) = 0 e t0 = inf E1.

Sendo p′(t)/t não-crescente em t, temos que, se t < t0 então

p′(t)

t≥ p′(t0)

t0≥ p′(t1)

t1= 0.

Logo, p′(t) ≥ 0, ∀ t < t0. Além disso, se p′(t) = 0, tem-se que t ∈ E1 et < t0, contradição. Logo, p′(t) > 0, ∀ t < t0. De modo similar, definindot2 = supE2, onde E2 = t > 0; t ≥ t1 e p

′(t) = 0, obtemos p′(t) < 0, ∀ t > t2(notemos que supE2 < ∞, pois p′(t) é não-crescente). Portanto, temos queexistem t0 = t0(u) ≤ t2 = t2(u), tais que

p′(t) > 0, se t < t0;

p′(t) = 0, se t0 ≤ t ≤ t2; (3.82)p′(t) < 0, se t > t2,

86

e consequentemente,

max0<t<∞

Iλ(tu) = Iλ(tu), ∀ t ∈ [t0, t2] (3.83)

e

limt→∞

Iλ(tu) = −∞, (3.84)

caso a situação (B) ocorra.Para concluirmos a demonstração da proposição vamos consideraremos dois

casos:

Caso 1: Λ < −l∞.

Nesta caso, estamos no Caso 1 da prova do Lema 3.6. Logo, Λ é o menorautovalor de S. Sendo ψ > 0 a autofunção correspondente a Λ, temos∫

|∇ψ|2dx−∫g(x)ψ2dx = Λ

∫ψ2dx,

donde ∫(|∇ψ|2 + λψ2)dx−

∫g(x)ψ2dx = (λ+ Λ)

∫ψ2dx < 0

pois λ + Λ < 0, já que λ < |Λ|. Assim, estamos na situação (B) e, por (3.84),temos

limt→∞

Iλ(tu) = −∞.

Portanto, podemos tomar e = tψ, para t suficientemente grande, e obtemosIλ(e) ≤ 0, como desejávamos.

Caso 2: Λ = −l∞.

Neste caso temos λ < |Λ| = l∞. Consideremos φ ≥ 0 ∈ C∞0 (RN\B(0, 1)) e

definamosφσ(x) = σ

N2 φ(σx).

Então fazendo uma mudança de variável, obtemos 3∫g(x)φ2

σ(x)dx =

∫σNg(x)φ2(σx)dx

=

∫B(0,1)C

g(x/σ)φ2(x)dx.

3Notemos que as integrais fazem sentido em RN através da extensão zero fora de B(0, 1).

87

Desde que g ∈ L∞(RN) e lim|x|→∞

g(x) = l∞, usando o Teorema da Convergência

Dominada de Lebesgue temos

limσ→0

∫g(x)φ2

σ(x)dx = limσ→0

∫B(0,1)C

g(x/σ)φ2(x)dx =

∫l∞φ

2(x)dx. (3.85)

Agora, sendo∫|∇φσ|2dx = σ2

∫|∇φ|2dx e

∫φ2

σdx =

∫φ2dx,

tem-se∫|∇φσ|2dx→ 0 quando σ → 0. Assim,∫(|∇φσ|2 + λφ2

σ)dx−∫g(x)φ2

σdx =

∫λφ2

σdx−∫g(x)φ2

σdx

e usando (3.85) obtemos

limσ→0

(‖φσ‖2

λ −∫g(x)φ2

σ(x)dx)

= (λ− l∞)

∫φ2dx < 0.

Logo, tomando σ0 suficientemente pequeno, temos

‖φσ0‖2λ −

∫g(x)φ2

σ0(x)dx < 0,

e estamos novamente na situação (B). Então, em vista de (3.84)

limt→∞

Iλ(tφσ0) = −∞,

e podemos assim escolher e = tφσ0 , para t grande o bastante, tal que

Iλ(e) ≤ 0.

Portanto, a proposição está provada.

Observação 3.12 Em particular, se f(x, s) = h(s) (f independe de x), entãoΛ = −l∞. De fato, neste caso, temos que g(x) = 1 e S0 = −∆ − 1 (Notemosque S0 é essencialmente auto-adjunto). Assim, estamos diante do problema deautovalor

−∆u = (1 + µ)u em RN ,

que não possui solução, pelo Corolário 1.35. Portanto,

σ(S) = σess(S) = [−l∞,∞),

e desde que Λ = inf σ(S) temos Λ = −l∞.

88

Enunciaremos agora três resultados que são consequências da prova daProposição 3.11, os quais serão bastante úteis.

Corolário 3.13 Assuma as condições (f1)-(f4) e suponha 0 < λ < |Λ|. Então:

(a) Existem ρ = ρ(λ) > 0 e α = α(λ) > 0 tais que I∞λ (u) ≥ 0 se ‖u‖λ ≤ ρ eI∞λ (u) ≥ α para ‖u‖λ = ρ;

(b) Existe e = e(λ) ∈ H1(RN) tal que ‖e‖λ > ρ e I∞λ (e) ≤ 0.

Demonstração: Repetir a prova da Proposição 3.11, trocando g e Iλ por l∞ eI∞λ .

Proposição 3.14 Assuma as condições (f1)-(f4) e suponha 0 < λ < |Λ|. Sejam

Mλ :=u 6= 0 ∈ H1(RN); I ′λ(u)(u) = ‖u‖2

λ −∫f(x, u)u2dx = 0

e w ∈ H1(RN).

(a) Se ‖w‖2λ −

∫g(x)(w+)2dx ≥ 0, então Iλ(tw) > 0, para todo t > 0, e

R+w ∩Mλ = ∅;

(b) Se ‖w‖2λ−

∫g(x)(w+)2dx < 0, então existem 0 < t0 = t0(w) ≤ t2 = t2(w)

tais que tw ∈Mλ, para todo t ∈ [t0, t2],

maxt∈(0,∞)

Iλ(tw) = Iλ(tw), ∀ t ∈ [t0, t2],

elimt→∞

Iλ(tw) = −∞.

Demonstração: A argumentação utilizada aqui é a mesma da prova daProposição 3.11.

No caso em que g(x) = l∞, podemos escrever a Proprosição 3.14 na forma:

Corolário 3.15 Assuma as condições (f1)-(f4) e suponha 0 < λ < |Λ|. Sejaw ∈ H1(RN).

(a) Se ‖w‖2λ −

∫l∞(w+)2dx ≥ 0, então I∞λ (tw) > 0, para todo t > 0, e

R+w ∩M∞λ = ∅;

89

(b) Se ‖w‖2λ −

∫l∞(w+)2dx < 0, então existem 0 < t0 = t0(w) ≤ t2 = t2(w)

tais que tw ∈M∞λ , para todo t ∈ [t0, t2],

maxt∈(0,∞)

I∞λ (tw) = I∞λ (tw), ∀ t ∈ [t0, t2],

elimt→∞

I∞λ (tw) = −∞.

Estamos agora prontos para mostrar a existência de solução positiva para oproblema (Pλ). Antes, porém, consideraremos o seguinte problema auxiliar:

(P∞) −∆u+ λu = h(u)u, u > 0 ∈ H1(RN).

Provaremos a existência de uma solução para o problema (P∞), aplicando oTeorema 1.44 ao funcional correspondente I∞λ definido em (3.30).

Proposição 3.16 O problema (P∞) possui uma solução não-trivial.

Demonstração: Pelo Corolário 3.13 sabemos que as condições (a) e (b) doTeorema 1.44 são satisfeitas. Além disso, pelos Teoremas 3.8 e 3.10 temos queI∞λ satisfaz a condição de compacidade de Cerami para todo nível 0 < c ≤ m∞

λ .Consideremos agora o nível

0 < c∞λ := infγ∈Γ∞

sup0≤t≤1

I∞λ (γ(t)),

onde Γ∞ = γ ∈ C([0, 1], H1(RN)); γ(0) = 0 e I∞λ (γ(1)) < 0.Precisamos mostrar que c∞λ ≤ m∞

λ , de modo que c∞λ é um valor crítico, peloTeorema 1.44. Notemos que, neste caso, temos necessariamente c∞λ = m∞

λ , poisqualquer ponto crítico de I∞λ pentence a M∞

λ .Com efeito, se M∞

λ = ∅, então c∞λ ≤ m∞λ := ∞. Suponha que M∞

λ = ∅.Dado u ∈M∞

λ , pelo Corolário 3.15 temos que

‖u‖2λ −

∫l∞(u+)2dx < 0,

I∞λ (tu) ≤ 0 para t ≥ t2 = t2(u) e maxt∈(0,∞)

I∞λ (tu) = I∞λ (t2u). Portanto, se

considerarmos γ : [0, 1] → H1(RN), γ(s) = st2u, então γ ∈ Γ∞ e

c∞λ ≤ sup0≤s≤1

I∞λ (γ(s)) ≤ sup0<t<∞

I∞λ (tu) = I∞λ (t2u).

90

Desde que t2u ∈ M∞λ , por (b) do Corolário 3.15, e u foi arbitrário, concluímos

que c∞λ ≤ infu∈M∞

λ

I∞λ (u) = m∞λ . Portanto, aplicando o Teorema 1.44, mostramos a

existência de uma solução u0 de (P∞) no nível c∞λ = m∞λ de modo que

I∞λ (u0) = c∞λ = m∞λ . (3.86)

Finalmente, mostraremos que (Pλ) tem uma solução positiva para0 < λ < |Λ|.

Demonstração do Teorema 3.2: Pelo Teorema 3.8 e Proposição 3.11,temos que Iλ satisfaz as condições do Teorema 1.44, com a condição decompacidade de Cerami satisfeita para todo c ∈ (0,m∞

λ ). Assim, fazendo

Γ = γ ∈ C([0, 1], H1(RN)); γ(0) = 0 e Iλ(γ(1)) < 0,

temos quecλ := inf

γ∈Γsup

0≤t≤1Iλ(γ(t)) > 0

é um valor crítico de Iλ se provarmos que cλ < m∞λ . Para tanto, usaremos a

hipótese (f5), a qual não havíamos usado até o momento.Com efeito, por (f5) temos que

f(x, s) ≥ h(s), para todo x ∈ RN , s ≥ 0.

Logo, Iλ(u) ≤ I∞λ (u), para todo u ∈ H1(RN).Seja u0 uma solução do problema (P∞), assegurada pela Proposição 3.16.

Desde que u0 ∈M∞λ , temos que Iλ(tu0) ≤ I∞λ (tu0) ≤ 0, para todo t ≥ t2 = t2(u0).

Daí, definindo γ : [0, 1] → H1(RN) por γ(s) = st2u0, pelo Corolário 3.15, tem-seγ ∈ Γ, já que t2u0 ∈ M∞

λ . Por outro lado, como u0 ∈ M∞λ , novamente usando o

Corolário 3.15, temos necessariamente que

‖u0‖2λ −

∫l∞(u+

0 )2dx < 0.

Pelas hipóteses (f4) e (f5), temos

g(x) = lims→∞

f(x, s) ≥ lims→∞

h(s) = l∞.

Assim, segue que

‖u0‖2λ −

∫g(x)(u+

0 )2dx ≤ ‖u0‖2λ −

∫l∞(u+

0 )2dx < 0,

e utilizando a Proposição 3.14, concluímos que existe s0 > 0 tal que

maxt∈(0,∞)

Iλ(tu0) = Iλ(s0u0).

91

Logo, temos

cλ ≤ sup0≤s≤1

Iλ(γ(s)) ≤ sup0<t<∞

Iλ(tu0) = Iλ(s0u0)

< I∞λ (s0u0) ≤ I∞λ (u0) = m∞λ ,

onde a desigualdade estrita segue da hipótese (f5), a última desigualdade do fatoque u0 ∈ M∞

λ (veja Corolário 3.15) e a igualdade de (3.86). Obtemos assim quecλ < m∞

λ . Portanto, pelo Teorema 1.44 temos a existência de uma solução que,como já vimos, é positiva.

92

Capítulo 4

Uma Equação de Schrödinger comPotencial Periódico

IntroduçãoNeste capítulo estudaremos uma equação semilinear de Schrödinger com

potencial periódico e contínuo. Na busca por solução para tal equação, o métodoutilizado é de natureza variacional, aplicado a uma sequência de problemasaproximados. Especificamente, estudaremos a equação

(P ) −∆u+ V (x)u = f(x, u) em RN ,

onde o potencial V e a não-linearidade f(x, s) satisfazem as seguintes hipóteses:

(f1) f : RN × R → R e V : RN → R são contínuas e 1-periódicas em cadavariável xi, i = 1, . . . , N ;

(f2) |f(x, s)| ≤ C(1 + |s|p−1), onde C > 0 e 2 < p < 2∗;

(f3) f(x, s) = o(|s|), quando s→ 0, uniformemente em x;

(f4) Existe γ > 2 tal que 0 < γF (x, s) ≤ sf(x, s), para todo s 6= 0, ondeF (x, s) =

∫ s

0f(x, t)dt;

(f5) 0 está em um gap espectral de S0 = −∆ + V .

Um exemplo de uma função que satisfaz as quatro hipóteses iniciais é

f(x, s) = (3/2 + sen(2πx1) . . . sen(2πxN))|s|p−1,

onde x = (x1, . . . , xN).Por uma solução clássica do problema (P ), entende-se uma função u ∈

C2(RN) que satisfaz a equação em cada ponto x ∈ RN . Por uma solução fracade (P ), entende-se uma função u ∈ H1(RN) tal que∫

RN

(∇u∇v + V (x)uv)dx =

∫RN

f(x, u)vdx, ∀ v ∈ C∞0 (RN). (4.1)

Assumida as hipóteses (f1) a (f5), nosso objetivo é provar o seguinte teoremade existência para o problema (P ):

Teorema 4.1 Sob as hipóteses (f1) a (f5), o problema (P ) possui uma soluçãofraca não-trivial.

Usando a periodicidade de f(x, .) e V (x), obteremos uma solução de (P ) comolimite de uma sequência de soluções periódicas em cubos do RN . Em cada cubodo RN , iremos obter uma solução via Teorema de Linking.

Os resultados deste capítulo são baseados no trabalho de Pankov-Pflüger [15].

4.1 Aproximação por Funções PeriódicasAssociado ao problema (P ), estudaremos o problema aproximado em cubos

Qk de RN com lados de comprimento k ∈ N:

(Pk) −∆u+ V (x)u = f(x, u) em Qk, u ∈ Ek = H1per(Qk),

onde H1per(Qk) denota o subespaço de Sobolev de H1

loc(RN), cujas funções sãok-periódicas em xi, i = 1, . . . , N.

Por uma solução clássica do problema (Pk), entende-se uma função u ∈C2(Qk)∩C0(Qk) que satisfaz a equação em cada ponto x ∈ Qk. Por uma soluçãofraca de (Pk), entende-se uma função u ∈ Ek tal que∫

Qk

(∇u∇v + V (x)uv)dx =

∫Qk

f(x, u)vdx, ∀ v ∈ Ek. (4.2)

Encontrar solução fraca para o problema (Pk), é equivalente a encontrar umponto crítico para o funcional energia Jk : Ek → R, definido por

Jk(u) =1

2

∫Qk

(|∇u|2 + V (x)u2)dx−∫

Qk

F (x, u)dx.

De fato, pelo Exemplo 1.1 e Lema 1.41, temos que Jk ∈ C1(Ek,R) e

J ′k(u)(v) =

∫Qk

(∇u∇v + V (x)uv)dx−∫

Qk

f(x, u)vdx, ∀v ∈ Ek.

94

Portanto, u é solução fraca de (Pk) se, e somente se, u é um ponto crítico de Jk.Ao longo de toda esta seção admitiremos que os problemas (Pk) possuem

solução não-trivial, embora a existência de solução para estes problemasaproximados seja o assunto da Seção 3. O motivo da escolha desta abordagem, éfacilitar a exposição e compreensão do conteúdo.

Pelo Teorema 2.41, temos que o espectro do operador −∆ + V : C∞(TNk ) ⊂

L2(TNk ) → L2(TN

k ), onde TNk é o N -toro que estamos identificando com Qk, é

discreto com autovalores λk,1 ≤ λk,2 ≤ · · · → ∞, e apenas um número finitodesses autovalores são negativos. Logo, existe um número finito

j(k) = mini;λk,i > 0.

Assim, se (−α, β), α, β > 0, denota o gap espectral em torno de 0, temosque λk,i /∈ (−α, β), para cada k, i ∈ N. Denotemos por φk,i as autofunçõescorrespondentes.

Consideremos agora uma decomposição ortogonal de Ek da seguinte forma:

Ek = Yk ⊕ Zk,

onde Yk = [φk,1, . . . , φk,j(k)−1]1 e Zk = Y ⊥

k . A partir desta decomposição definamosa forma bilinear simétrica (·, ·)k : Ek × Ek → R, dada por

(u, v)k =

−

∫Qk

(∇u∇v + V (x)uv)dx, se u, v ∈ Yk∫Qk

(∇u∇v + V (x)uv)dx, se u, v ∈ Zk

0 , se u ∈ Yk e v ∈ Zk.

A primeira observação que fazemos sobre (·, ·)k, é que esta define um produtointerno em Ek. De fato, resta-nos apenas mostrar que (·, ·)k é positiva definida.Para tanto, observemos que é suficiente provar apenas para as autofunções φk,i.Assim, se φk,i é autofunção de −∆ + V , associada ao autovalor λk,i, temos−∆φk,i + V (x)φk,i = λk,iφk,i que implica∫

Qk

(|∇φk,i|2 + V (x)φ2k,i)dx = λk,i

∫Qk

φ2k,idx. (4.3)

Logo, ∫Qk

(|∇φk,i|2 + V (x)φ2k,i)dx =

< 0, se φk,i ∈ Yk

> 0, se φk,i ∈ Zk.

Podemos então concluir que

(u, u)k ≥ 0, ∀ u ∈ Ek.

Agora, suponhamos que (u, u)k = 0. Para mostrarmos que u = 0, é suficienteusarmos o seguinte lema:

1[ ] denota o espaço gerado.

95

Lema 4.2 Existe uma constante C1 > 0, independente de k, tal que

(u, u)k ≥ C1‖u‖2H1(Qk), (4.4)

para todo u ∈ H1(Qk).

De fato, assumindo o lema, se (u, u)k = 0, então

C1‖u‖2H1(Qk) ≤ (u, u)k = 0,

e portanto, u = 0.Demonstração do Lema 4.2: Sejam z ∈ Zk, ε > 0 e (−α, β) o gap espectralde −∆ + V em torno do 0, com α, β > 0. Sendo V contínua e 1-periódica emcada xi, i = 1, . . . , N , podemos tomar C0 = sup

Qk

|V (x)| (= supRN

|V (x)|). Então,

∫Qk

(|∇z|2 + V (x)z2)dx = ε

∫Qk

(|∇z|2 + V (x)z2)dx

+ (1− ε)

∫Qk

(|∇z|2 + V (x)z2)dx

≥ ε

∫Qk

|∇z|2dx− εC0

∫Qk

z2dx

+ (1− ε)

∫Qk

(|∇z|2 + V (x)z2)dx. (4.5)

Desde que z =∞∑

i=j(k)

αiφk,i, temos

∫Qk

(|∇z|2 + V (x)z2)dx =

∫Qk

(∣∣∇ ∞∑i=j(k)

αiφk,i

∣∣2 + V (x)( ∞∑

i=j(k)

αiφk,i

)2)dx

=

∫Qk

(∣∣ ∞∑i=j(k)

αi∇φk,i

∣∣2 + V (x)( ∞∑

i=j(k)

αiφk,i

)2)dx

≥∫

Qk

( ∞∑i=j(k)

α2i |∇φk,i|2 + V (x)

∞∑i=j(k)

α2iφ

2k,i

)dx

=∞∑

i=j(k)

α2i

∫Qk

(|∇φk,i|2 + V (x)φ2

k,i

)dx. (4.6)

Notemos que usamos na desigualdade acima que (a + b)2 ≥ a2 + b2,∀ a, b ≥ 0.

96

Assim, usando (4.3) em (4.6), obtemos∫Qk

(|∇z|2 + V (x)z2)dx ≥∞∑

i=j(k)

α2iλk,i

∫Qk

φ2k,idx

≥ β

∫Qk

( ∞∑i=j(k)

α2iφ

2k,i

)dx

= β

∫Qk

z2dx, (4.7)

pois λk,i > β, ∀ i ≥ j(k), e φk,i são ortonormais. Substituindo então (4.7) em(4.5), temos∫

Qk

(|∇z|2 + V (x)z2)dx ≥ ε

∫Qk

|∇z|2dx− εC0

∫Qk

z2dx+ (1− ε)β

∫Qk

z2dx

= ε

∫Qk

|∇z|2dx+ ((1− ε)β − εC0)

∫Qk

z2dx

≥ C2

∫Qk

(|∇z|2 + z2)dx,

onde C2 = minε, ((1 − ε)β − εC0). Observemos que C2 independe de k.Escolhendo, ε > 0 tal que (1− ε)β − εC0 > 0, tem-se

(z, z)k =

∫Qk

(|∇z|2 + V (x)z2)dx ≥ C2‖z‖2H1(Qk). (4.8)

Fazendo a mesma argumentação para y ∈ Yk, obtemos

(y, y)k = −∫

Qk

(|∇y|2 + V (x)y2)dx ≥ ε

∫Qk

|∇y|2 − εC0

∫Qk

y2dx+ (1 + ε)α

∫Qk

y2dx

≥ C3‖y‖2H1(Qk), (4.9)

onde C3 depende de C0, α e ε. Portanto, considerando u = y + z, desde que(y, z)k = 0, temos por (4.8) e (4.9) que

(u, u)k = (y, y)k + (z, z)k

≥ C3‖y‖2H1(Qk) + C2‖z‖2

H1(Qk)

≥ C1‖y + z‖2H1(Qk),

onde C1 = minC2, C3, que independe de k, e isto implica que

(u, u)k ≥ C1‖u‖2H1(Qk), ∀u ∈ H1(Qk),

como desejado.

97

Como consequência direta do Lema 4.2, temos uma proposição que talvez sejaa essência de tudo que faremos.

Proposição 4.3 A norma ‖·‖k induzida pelo produto interno (·, ·)k, é equivalenteà norma padrão de H1(Qk), com constante independente de k.

Demonstração: Como no Lema 4.2, seja C0 = maxQk

|V (x)|. Então,

‖u‖2k =

∫Qk

(|∇u|2 + V (x)u2)dx ≤∫

Qk

(|∇u|2 + C0u2)dx ≤ max1, C0‖u‖2

H1Qk.

A outra desigualdade segue de (4.4).

Nosso objetivo agora é mostrar que qualquer sequência (uk), onde cada uk éum ponto crítico do funcional Jk, tem um limite não-trivial em H1

loc(RN), o qualé uma solução de (P ). Para isto, precisaremos de alguns resultados relativos aocomportamento de tais sequências. Faremos estes resultados, que são técnicos,em uma sequência de lemas. Antes, porém, fazemos a seguinte observação que éde extrema importância quando usamos as imersões de Sobolev.

Observação 4.4 A constante de imersão de Sobolev não depende do volumedo domínio; depende, dentre outros parâmetros, da forma do domínio. Estapropriedade encontra-se em Adams [1], Lema 5.12. Baseado nisto, podemos entãogarantir que as constantes das imersões contínuas H1(Qk) → Lp(Qk), 1 ≤ p ≤ 2∗,

não dependem de k.

Usando a decomposição Ek = Yk ⊕ Zk e definindo as projeções ortogonaisPk : Ek → Yk, u = y + z 7→ y, e Tk : Ek → Zk, u 7→ z temos u = Pk(u) + Tk(u).Desde que (Pk(u), Tk(u))k = 0, podemos escrever o funcional Jk na forma

Jk(u) =1

2(‖Tk(u)‖2

k − ‖Pk(u)‖2k)−

∫Qk

F (x, u)dx.

Além disso,

J ′k(u)(v) = (Tk(u), v)k − (Pk(u), v)k −∫

Qk

f(x, u)vdx.

Faremos agora uma sequência de lemas técnicos que serão necessários para osnossos objetivos.

98

Lema 4.5 Sejam uk um ponto crítico de Jk e ck = Jk(uk) seu valor crítico.Então existe uma constante Ck > 0, dependendo apenas de ck, tal que

‖uk‖k ≤ Ck.

Demonstração: Como Jk(uk) = ck e J ′k(uk) = 0, temos que

ck = Jk(uk)−1

2J ′k(uk)(uk) =

1

2[(Tkuk, Tkuk)k − (Pkuk, Pkuk)k]−

∫Qk

F (x, uk)dx

−1

2[(Tkuk, uk)k − (Pkuk, uk)k]−

1

2

∫Qk

f(x, uk)ukdx.

Desde que (Tkuk, uk)k = (Tkuk, Tkuk)k e (Pkuk, uk)k = (Pkuk, Pkuk)k, poisuk = Pkuk + Tkuu e (Tkuk, Pkuk)k = 0, temos

ck =1

2

∫Qk

f(x, uk)ukdx−∫

Qk

F (x, uk)dx,

e usando (f4) obtemos

ck ≥ (1

2− 1

γ)

∫Qk

f(x, uk)ukdx, (4.10)

com γ > 2. Pelas hipóteses (f2), (f3) e (f4), tem-se as seguintes desigualdades:

|f(x, s)|2 ≤ C1sf(x, s), se |s| ≤ 1, (4.11)

e

|f(x, s)|p′ ≤ C2|s|(p−1)(p′−1)|f(x, s)| = C2sf(x, s), se |s| > 1, (4.12)

onde p′ = pp−1

é expoente conjugado de p. Com efeito, pela hipótese (f3), dadoε > 0 existe δ > 0 tal que

|s| < δ ⇒ |f(x, s)| ≤ ε|s|, (4.13)

e multiplicando por |f(x, s)|, tem-se

|f(x, s)|2 ≤ εsf(x, s), se |s| ≤ δ, (4.14)

pois sf(x, s) > 0, por (f4). Agora, para δ ≤ |s| ≤ 1, temos que 1|s| ≤

1δ, e pela

hipótese (f2),

|f(x, s)| ≤ C(1 + |s|p−1) = C(1

|s|p−1+ 1)|s|p−1 ≤ C(

1

δp−1+ 1)|s|p−1. (4.15)

99

Assim, denotando C(ε, p) = C( 1δp−1 + 1), obtemos

|f(x, s)|2 ≤ C(ε, p)|s|p−1|f(x, s)| ≤ C(ε, p)sf(x, s), se δ ≤ |s| ≤ 1. (4.16)

Logo, (4.11) segue de (4.14) e (4.16), considerando C1 = maxε, C(ε, p). Adesigualdade (4.12) é obtida da hipótese (f2). De fato, temos

|f(x, s)|p′−1 = Cp′−1(1 + |s|p−1)p′−1 ≤ 2p′−1Cp′−1(1 + |s|(p−1)(p′−1)).

Sendo |s| > 1 e (p− 1)(p′ − 1) = 1, segue que

|f(x, s)|p′ ≤ 2p′Cp′−1sf(x, s),

provando assim a desigualdade. Denotando agora

Bk = x ∈ Qk; |uk(x)| ≤ 1,

temos por (4.10), (4.11) e (4.12) que

ck ≥ (1

2− 1

γ)[∫

Bk

f(x, uk)ukdx+

∫Qk\Bk

f(x, uk)ukdx]

≥ (1

2− 1

γ)[ 1

C1

∫Bk

|f(x, uk)|2dx+1

C2

∫Qk\Bk

|f(x, uk)|p′dx

]≥ C3

∫Bk

|f(x, uk)|2dx+ C3

∫Qk\Bk

|f(x, uk)|p′dx,

onde C3 = (12− 1

γ) min 1

C1, 1

C2. Em particular,

I1 :=

∫Bk

|f(x, uk)|2dx ≤ckC3

e I2 :=

∫Qk\Bk

|f(x, uk)|p′dx ≤ ck

C3

.

Agora, fazendo yk = Pkuk e zk = Tkuk, temos

0 = J ′k(uk)(yk) = (Tk(uk), yk)k − (Pk(uk), yk)k −∫

Qk

f(x, uk)ykdx.

Logo,

‖yk‖2k = −

∫Qk

f(x, uk)ykdx ≤∣∣∣ ∫

Bk

f(x, uk)ykdx+

∫Qk\Bk

f(x, uk)ykdx∣∣∣,

e usando a desigualdade de Hölder, obtemos

‖yk‖2k ≤

(∫Bk

|f(x, uk)|2dx)1/2(∫

Bk

|yk|2dx)1/2

+(∫

Qk\Bk

|f(x, uk)|p′dx

)1/p′(∫Qk\Bk

|yk|pdx)1/p

= I1/21 ‖yk‖L2(Bk) + I

1/p′

2 ‖yk‖Lp(Qk\Bk).

100

Desde que a imersão H1(Qk) → Lr(Qk), 2 ≤ r ≤ 2∗, é contínua, segue que

‖yk‖2k ≤ (C4I

1/21 + C5I

1/p′

2 )‖yk‖k.

Logo, tomando C6 = maxC4, C5 e usando as estimativa de Ii, tem-se

‖yk‖k ≤ C6

(( ckC3

)1/2

+( ckC3

)1/p′)=

Ck

21/2. (4.17)

Notemos que as constantes C4 e C5 não dependem de k, bem como C6 (vejaObservação 4.4).

Utilizando os mesmos argumentos feitos para yk, agora com zk ∈ Zk,encontramos (4.17), a menos de constante. Assim, temos que

‖uk‖2k = ‖yk‖2

k + ‖zk‖2k ≤

C2k

2+C2

k

2,

provando o lema.

No que segue, faremos uso da seguinte estimativa para f :

|f(x, s)| ≤ ε|s|+ C(ε, p)|s|p−1. (4.18)

A prova é imediata de (f2) e (f3). Com efeito, por (f2) temos

|f(x, s)| = C(1 + |s|p−1) ≤ C(|s|p−1 + |s|p−1) = 2C|s|p−1, se |s| ≥ 1.

Juntando esta estimativa a (4.13) e (4.15), obtemos (4.18) considerando

C(ε, p) = max2C,C(1

δp−1+ 1).

Lema 4.6 Existem ε1 > 0 e ε2 > 0, independentes de k, tais que

‖uk‖k ≥ ε1 e Jk(uk) ≥ ε2,

para qualquer ponto crítico não-trivial uk de Jk.

Demonstração: Seja

qk(u) =

∫Qk

(|∇u|2 + V (x)u2)dx,

a parte quadrática de Jk. Desde que (−α, β) é o gap espectral de−∆+V em tornodo 0, com α, β > 0, afirmamos que existe uma constante C0 > 0, independentede k, tal que

|qk(u)| ≥ C0‖u‖2L2(Qk). (4.19)

101

De fato, pela Proposição 4.3 existe C ′ > 0, independente de k, tal que

|qk(u)| = ‖u‖2k ≥ C ′‖u‖2

H1(Qk).

Isto, juntamente com a imersão H1(Qk) → L2(Qk), implicam (4.19).Seja C1 = |min

Qk

V (x)| (notemos que V (x) ≥ −C1). Então, por (4.19) temos

|qk(u)| = ε∣∣∣ ∫

Qk

(|∇u|2 + V (x)u2)dx∣∣∣ + (1− ε)

∣∣∣ ∫Qk

(|∇u|2 + V (x)u2)dx∣∣∣

≥ ε

∫Qk

|∇u|2dx− C1ε

∫Qk

u2dx+ (1− ε)C0‖u‖2L2(Qk)

= ε

∫Qk

|∇u|2dx+ [(1− ε)C0 − C1ε]

∫Qk

u2dx

≥ minε, (1− ε)C0 − C1ε∫

Qk

(|∇u|2 + u2)dx.

Tomando ε > 0 tal que (1− ε)C0 − C1ε > 0 e usando a equivalência das normasobtemos

|qk(u)| ≥ C2‖u‖2k, (4.20)

com C2 > 0 independente de k.Agora seja uk um ponto crítico não-trivial de Jk. Desde que

0 = J ′k(uk)(uk) =

∫Qk

(|∇uk|2 + V (x)u2k)dx−

∫Qk

f(x, uk)ukdx, (4.21)

segue da hipótese (f4) que

qk(uk) =

∫Qk

f(x, uk)ukdx ≥ 0.

Desde que |f(x, s)s| ≤ ε|s|2 + C(ε, p)|s|p, pela imersão de Sobolev juntamentecom (4.20), tem-se

C2‖uk‖2k ≤ qk(uk)

=

∫Qk

f(x, uk)ukdx

≤∫

Qk

(ε|uk|2 + C(ε, p)|uk|p)dx

≤ εC3‖uk‖2k + C(ε, p)C4‖uk‖p

k

= ‖uk‖2k(εC3 + C(ε, p)C4‖uk‖p−2

k ).

102

Logo,

‖uk‖k ≥(C2 − εC3

C(ε, p)C4

) 1p−2

:= ε1,

escolhendo ε < C2/C3. Observemos que a estimativa independe de k.Para estimar Jk(uk), notemos que por (f4) e (4.21) que

Jk(uk) =1

2

∫Qk

(|∇uk|2 + V (x)u2k)dx−

∫Qk

F (x, uk)dx

≥ 1

2qk(uk)−

1

γ

∫Qk

f(x, uk)ukdx

=(1

2− 1

γ

)qk(uk) +

1

γ

[qk(uk)−

∫Qk

f(x, uk)ukdx]

=(1

2− 1

γ

)qk(uk).

Usando agora (4.20) e observando que qk(uk) ≥ 0, obtemos

Jk(uk) ≥(1

2− 1

γ

)C2‖uk‖2

k ≥(1

2− 1

γ

)C2ε1 = ε2.

Novamente a estimativa é não-depende de k.

Lema 4.7 Seja Qn um cubo de RN com comprimento de lado ln →∞ e centro naorigem. Seja Kr(ξ) um cubo fechado de RN com comprimento de lado r e centrono ponto ξ. Considere uma sequência (un) em H1

loc(RN) de funções ln-periódicastais que ‖un‖H1(RN ) ≤ C, C > 0. Assuma que existe r > 0 tal que

lim infn→∞

(supξ∈RN

∫Kr(ξ)

u2ndx

)= 0.

Então, ‖un‖Lq(Qn) → 0, para q ∈ (2, 2∗).

Demonstração: Sejam r > 0, Q′n e Q′′

n cubos centrados na origem e de ladosmedindo ln + r e ln +2r, respectivamente. Tomemos, para cada n, ϕn ∈ C∞

0 (RN)com 0 ≤ ϕn(x) ≤ 1 tal que

ϕn(x) =

1, se x ∈ Q′

n

0, se x ∈ (Q′′n)c

e |∇ϕn| ≤ C1, C1 > 0 não dependendo de n.Definamos vn(x) = ϕn(x)un(x). Afirmamos que (vn) é limitada em H1(RN).

De fato, desde que ln →∞ podemos assumir que ln > r, ou ainda, 2ln > ln + 2r.

103

Denotemos por Q2n o cubo centrado na origem com lado medindo 2ln. Sendo‖un‖H1(Qn) ≤ C e |∇ϕn| ≤ C1, temos∫

RN

(|∇vn|2 + v2n)dx =

∫Q2n

(|∇(ϕnun)|2 + (ϕnun)2)dx

=

∫Qn

(|∇un|2 + u2n)dx

+

∫Q2n\Qn

(|(∇ϕn)un + ϕn∇un|2 + ϕ2nu

2n)dx

≤ C2 +

∫Q2n\Qn

(22|∇ϕn|2u2n + 22ϕ2

n|∇un|2 + ϕ2nu

2n)dx

≤ C2 +

∫Q2n\Qn

(4|∇un|2 + (4C21 + 1)u2

n)dx

≤ C2 + C2

∫Q2n\Qn

(|∇un|2 + u2n)dx. (4.22)

Desde que un é ln−periódica, fazendo a mudança de z = x − y, onde y =(ln, . . . , ln) ∈ RN , temos que∫

Q2n\Qn

(|∇un|2 + u2n)dx ≤

∫Qn

(|∇un|2 + u2n)dx.

Substituindo em (4.22), obtemos∫RN

(|∇vn|2 + v2n)dx ≤ C2 + C2C

2,

mostrando assim que vn é limitada em H1(RN).Por outro lado, em vista de vn(x) = ϕn(x)un(x) ≤ un(x), tem-se que

supξ∈RN

∫Kr(ξ)

v2ndx ≤ sup

ξ∈RN

∫Kr(ξ)

u2ndx.

Consequentemente,

lim infn→∞

(supξ∈RN

∫Kr(ξ)

v2ndx

)≤ lim inf

n→∞

(supξ∈RN

∫Kr(ξ)

u2ndx

)= 0.

Sendo (vn) limitada em H1(RN) e

lim infn→∞

(supξ∈RN

∫Kr(ξ)

v2ndx

)= 0,

podemos aplicar o Lema 1.20, para concluir que

‖vn‖Lq(Qn) → 0,

para q ∈ (2, 2∗). Desde que vn = un em Qn, o lema está provado.

104

Lema 4.8 Se uma sequência (uk) em Ek é uniformemente limitada na normade H1(Qk) e J ′k(uk) → 0, então uma das duas seguintes alternativas é válida:

(i) ‖uk‖k → 0, quando k →∞;

(ii) Existem r, η > 0 e uma sequência de pontos (ξn) em RN tal que

lim infn→∞

(supξ∈RN

∫Kr(ξ)

u2ndx

)≥ η.

Demonstração: Suponhamos que (ii) não vale. Então pelo Lema 4.7 temos

‖uk‖Lq(Qk) → 0, (4.23)

para q ∈ (2, 2∗). Denotemos por yk = Pkuk e zk = Tkuk. Como J ′k(uk) → 0, dadoε > 0, temos em particular que

J ′k(uk)(zk) = (Tk(uk), zk)k − (Pk(uk), zk)k −∫

Qk

f(x, uk)zkdx ≤ ε‖zk‖k.

Assim,

‖zk‖2k ≤ ε‖zk‖k +

∫Qk

f(x, uk)zkdx,

já que (Pk(uk), zk)k = 0. Assim, usando (4.18), a desigualdade de Hölder e aimersão de Sobolev temos

‖zk‖2k ≤

∫Qk

(ε|uk|+ C(ε, p)|uk|p−1)|zk|dx+ ε‖zk‖k

= ε

∫Qk

|ukzk|dx+ C(ε, p)

∫Qk

|uk|p−1|zk|dx+ ε‖zk‖k

≤ ε‖uk‖L2(Qk)‖zk‖L2(Qk) + C(ε, p)‖uk‖p−1Lp(Qk)‖zk‖Lp(Qk) + ε‖zk‖k

≤ εC1‖uk‖L2(Qk)‖zk‖k + C(ε, p)C2‖uk‖p−1Lp(Qk)‖zk‖k + ε‖zk‖k,

ou seja,

‖zk‖k ≤ εC1‖uk‖L2(Qk) + C(ε, p)C2‖uk‖p−1Lp(Qk) + ε.

onde C1 e C2 são as constantes de imersão, que independem de k. Desde que (un)é uniformemente limitada em L2(Qk), segue de (4.23) que

‖zk‖k → 0.

Fazendo a mesma argumentação para yk, obtemos que ‖yk‖k → 0, provando quevale (i).

105

Por fim, se (i) não vale, então (ii) é válido, pois caso (ii) também não fosseválido, o Lema 4.8 implicaria, como vimos, que ‖uk‖k → 0, o que seria umacontradição. Portanto, o lema está provado.

Agora estamos em condições de provar o principal resultado desta seção.Antes, porém, faremos uma propriedade das funções periódicas que será muitoútil na demonstração de tal resultado.

Seja v : RN → R uma função k−periódica em cada variável xi, i = 1, . . . , Ne integrável em cada cubo de RN , e seja Qk um cubo de RN centrado na origemde lado k. Então, ∫

Qk

v(x)dx =

∫Qk

v(x+ b)dx, (4.24)

para todo b ∈ RN . Para mostrar esta propriedade, primeiro observemos que∫ k

0

v(x)dxi =

∫ bi+k

bi

v(x)dxi.

De fato, definamos g(t) =∫ t+k

tv(x)dxi. Temos que g′(t) = v(x1, . . . , t +

k, . . . , xN) − v(x1, . . . , t, . . . , xN) = 0. Logo, g é constante e g(0) = g(bi),mostrando o desejado. Em particular, tomando bi = −k

2obtemos∫ k

0

v(x)dxi =

∫ k2

− k2

v(x)dxi.

Por simplicidade, mostraremos (4.24) para N = 2. Com efeito, escrevendox = (x1, x2), b = (b1, b2) e fazendo mudança de variável, temos∫

Qk

v(x)dx =

∫ k2

− k2

∫ k2

− k2

v(x1, x2)dx1dx2 =

∫ k

0

∫ k

0

v(x1, x2)dx1dx2

=

∫ b1+k

b1

∫ b2+k

b2

v(x1, x2)dx1dx2

=

∫ k

0

∫ k

0

v(x1 + b1, x2 + b2)dx1dx2

=

∫Qk

v(x+ b)dx,

provando (4.24).Por fim, podemos enunciar o teorema.

106

Teorema 4.9 Suponha satisfeitas as hipóteses (f1)-(f5) e seja (uk) ⊂ Ek umasequência de pontos críticos não-triviais de Jk, tal que Jk(uk) = ck seja umasequência limitada uniformemente por cima. Então, existe uma solução fracanão-trivial u ∈ H1(RN) de (P ). Além disso, uk → u em H1

loc(RN), a menos detranslações inteiras e passagem a uma subsequência.

Demonstração: Usando o Lema 4.5 temos que ‖uk‖k ≤ Ck, onde Ck > 0depende de ck e independe de k. Como estamos supondo que (ck) é uniformementelimitada, segue que (uk) também é uniformemente limitada. Pelo Lema 4.6 temos‖uk‖k ≥ ε1 > 0 não dependendo de k. Então, o item (ii) do Lema 4.8 ocorre.Assim, existem r, η > 0 e uma sequência (ξn) em RN tais que, passando a umasubsequência se necessário, temos

‖uk‖2L2(Kr(ξk)) ≥ η/2. (4.25)

Escrevendo ξk = (ξk,1, . . . , ξk,N) ∈ RN , para cada k, seja bk,i o maior inteiro menordo que ξk,i. Assim, podemos escrever

ξk = bk + ak,

onde bk = (bk,1, . . . , bk,N) ∈ ZN e ak = (ak,1, . . . , ak,N) ∈ RN com ak,i ∈ [0, 1).Deste modo, tomando s = r + 1 temos que

Kr(ξk) ⊂ Ks(bk),

e fazendo uma mudança de variável obtemos por (4.25) que∫Ks(0)

(uk(x+ bk))2dx =

∫Ks(bk)

(uk(x))2dx ≥

∫Kr(ξk)

(uk(x))2dx ≥ η/2.

Consequentemente, definindo uk(x) = uk(x+ bk), tem-se

‖uk‖2L2(Ks(0))

≥ η/2. (4.26)

Desde que V e f são invariantes sob translações por bk, pois ambas são 1-periódicas, segue por (4.24) que∫

Qk

(|∇uk|2 + V (x)u2k)dx =

∫Qk

(|∇uk|2 + V (x)u2k)dx

e ∫Qk

F (x, uk)dx =

∫Qk

F (x, uk)dx.

Logo, Jk(uk) = Jk(uk) e ‖J ′k(uk)‖E′k= ‖Jk(uk)‖E′k

2. Usando o Lema 4.5 e omesmo argumento usado anterior para (uk), tem-se que (uk) é uniformementelimitada na norma ‖ · ‖k, ou seja, existe C indenpende de k tal que

‖uk‖k ≤ C, para todo k ∈ N.2E′

k denota o espaço dual de Ek

107

Denotemos por uk a extensão de uk para RN . Pela propriedade do operadorextensão temos que

‖uk‖H1(RN ) ≤ C1‖uk‖H1(Qk) ≤ C, para todo k ∈ N. (4.27)

Passando a uma subsequência se necessário, podemos assumir que

uk u em H1(RN) e uk(x) → u(x) q.t.p em RN .

Afirmamos queuk u em H1

loc(RN).

De fato, fixado um compacto K ′ ⊂ RN existe k0 tal que K ′ ⊂ Qk0 . Assim,

K ′ ⊂ Qk0 ⊂ Qk para todo k ≥ k0.

Por (4.27) temos que uk |K′ u′ em H1(K ′). Desde que uk u em H1(RN) epara k ≥ k0 uk|K′

= uk |K′ temos u′|K′ = u|K′ .

Para ϕ ∈ C∞0 (RN) fixada, podemos escolher k0 suficientemente grande tal que

supp(ϕ) ⊂ Qk0 . Logo para k ≥ k0 temos∫RN

(∇uk∇ϕ+ V (x)ukϕ)dx−∫

RN

f(x, uk)ϕdx = 0.

Usando a continuidade do operador de Nemitskii, Teorema 1.39, concluímos que

f(x, uk)ϕ→ f(x, u)ϕ em L1(RN).

Isto juntamente, com a convergência uk u em H1loc(RN) implica que∫

RN

(∇u∇ϕ+ V (x)uϕ)dx−∫

RN

f(x, u)ϕdx = 0

Portanto, u é uma solução fraca para o problema (P ), e é não trivial em vista de(4.26).

4.2 Condição de Compacidade de Palais-SmaleA ferramenta que utilizaremos para provar a existência de solução para cada

problema (Pk), ou seja, a existência de uma sequência (uk) ⊂ Ek de pontoscríticos de Jk, é o Teorema 1.46. Desde que este exige condição de compacidade,dedicaremos esta seção ao estudo da condição de compacidade de Palais-Smalepara o funcional Jk definido na seção anterior.

108

Lema 4.10 Sob as hipóteses (f1)-(f4), qualquer sequência (PS) de Jk é limitadaem Ek.

Demonstração: Seja (un) uma sequência (PS) de Jk. Desde que |Jk(un)| ≤M, M > 0, e J ′k(un) → 0 em E ′

k, então dado ε > 0, para n suficientementegrande, temos que ∣∣∣1

2‖un‖2

k −∫

Qk

F (x, un)dx∣∣∣ ≤M

e ∣∣∣‖un‖2k −

∫Qk

f(x, un)undx∣∣∣ ≤ ε‖un‖k.

Em particular, usando (f4) segue que

1

2‖un‖2

k ≤∫

Qk

F (x, un)dx+M ≤∫

Qk

1

γf(x, un)undx+M (4.28)

e

− εγ‖un‖k ≤

1

γ‖un‖2

k −1

γ

∫Qk

f(x, un)undx (4.29)

Somando (4.28) e (4.29) obtemos

(1

2− 1

γ)‖un‖2

k ≤ε

γ‖un‖k +M, (4.30)

o que é suficiente para concluir que (un) é limitada em (Ek). De fato, pois docontrário, passando a uma subsequência se necessário, podemos assumir que‖un‖k →∞. Então dividindo (4.30) por ‖un‖2

k, tem-se

(1

2− 1

γ) ≤ ε

γ

1

‖un‖k

+M

‖un‖2k

,

que é uma contradição, visto que o lado esquerdo da desigualdade é positivo e olado direito tende a zero. Portanto, (un) é limitada em Ek.

Teorema 4.11 Sob as hipóteses (f1)-(f4), o funcional satisfaz a condição (PS).

Demonstração: Seja (un) uma sequência (PS) de Jk. Sendo Ek reflexivo e (un)limitada, podemos assumir que un u em Ek. Desde que Qk é limitado, peloTeorema de Rellich-Kondrachov, tem-se

un → u em Lp(Qk), (4.31)

109

sendo p ∈ (2, 2∗). Então, por (f2), podemos aplicar a continuidade do operadorde Nemitskii para concluir que

f(x, un) → f(x, u) em Lq(Qk), (4.32)

q = pp−1

o expoente conjugado de p ∈ (2, 2∗). Agora temos

J ′k(un)(un − u)− J ′k(u)(un − u) =

∫Qk

(∇un∇(un − u) + V (x)un(un − u))dx

−∫

Qk

f(x, un)(un − u)dx

−∫

Qk

(∇u∇(un − u) + V (x)u(un − u))dx

+

∫Qk

f(x, u)(un − u)dx

=

∫Qk

(|∇(un − u)|2 + V (x)(un − u)2)dx

+

∫Qk

(f(x, u)− f(x, un))(un − u)dx,

ou seja,

‖un − u‖2k =J ′k(un)(un− u)−J ′k(u)(un− u) +

∫Qk

(f(x, un)−f(x, u))(un− u)dx.

Como (un−u) 0, segue que J ′k(u)(un−u) → 0. Além disso, desde que un−u élimitada em Ek, então dado ε > 0 temos |J ′k(un)(un−u)| ≤ ε‖un−u‖k ≤ εC, C >0, para n suficientemente grande. Logo,

J ′k(un)(un− u) → 0.

Para mostrar que ‖un− u‖2k → 0, resta-nos provar que∫

Qk

(f(x, un)−f(x, u))(un− u)dx→ 0.

Mas isto é consequência imediata da desigualdade de Hölder, (4.31) e (4.32). Defato,∫

Qk

(f(x, un)−f(x, u))(un− u)dx ≤ ‖f(x, un)−f(x, u)‖Lq(Qk)‖un− u‖Lp(Qk) → 0.

Portanto, un → u em Ek.

110

4.3 Existência de Pontos Críticos PeriódicosNosso objetivo nesta seção é mostrar a existência de uma sequência de pontos

críticos de Jk que satisfaz as hipóteses do Teorema 4.9. Provada a existência deuma tal sequência, o Teorema 4.9 nos assegura uma solução não trivial de (P ).Para demonstrarmos esta existência, faremos uso do Teorema 1.46.

Desde que Ek = Yk ⊕ Zk e Jk satisfaz a condição (PS), como mostrado naseção anterior, o que devemos fazer agora é provar a condição (1.11) no Teorema1.46. Faremos isso nos resultados a seguir.

Lema 4.12 Existem números reais δ, r > 0, não dependentes de k, tais que

infz∈Nk

Jk(z) ≥ δ,

onde Nk := z ∈ Zk; ‖z‖k = r.

Demonstração: Para z ∈ Zk, temos

Jk(z) =1

2‖z‖2

k −∫

Qk

F (x, z)dx. (4.33)

Para cada ε > 0, por (4.18), temos

|F (x, s)| ≤ ε

2|s|2 +

C(ε, p)

p|s|p.

Logo, ∫Qk

F (x, z)dx ≤ ε

2‖z‖2

L2(Qk) +C(ε, p)

p‖z‖p

Lp(Qk).

Pela imersão de Sobolev, existem C1, C2 > 0, independentes de k, tais que∫Qk

F (x, z)dx ≤ ε

2C1‖z‖2

k + C2C(ε, p)

p‖z‖p

k. (4.34)

Então, de (4.33) e (4.34), segue que

Jk(z) ≥ 12(1− εC1)‖z‖2

k − C2C(ε,p)

p‖z‖p

k

= ‖z‖2k(C3 − C4‖z‖p−2

k ).

Desde que p > 2, podemos tomar ε e ‖z‖k suficientemente pequenos de modo queJk(z) > 0, como queríamos.

111

Agora, para cada k, fixemos uma função zk ∈ Zk, com ‖zk‖k = r, r como noLema 4.12. Para ρ > 0, consideremos o conjunto

Mk := y + tzk; y ∈ Y, ‖y + tzk‖k ≤ ρ e t ≥ 0.

Como no Teorema 1.46 temos que

∂Mk := y + tzk; y ∈ Y, ‖y + tzk‖k = ρ e t ≥ 0 ou ‖y‖k ≤ ρ e t = 0.

Lema 4.13 Existe ρ > 0, independente de k, tal que

supu∈∂Mk

Jk(z) = 0.

Demonstração: Desde que 0 ∈ ∂Mk e Jk(0) = 0, precisamos então mostrarapenas que existe ρ > 0 tal que

supu∈∂Mk

Jk(z) ≤ 0.

Para tanto, se y + tzk ∈Mk temos

Jk(y + tzk) =1

2‖tzk‖2

k −1

2‖y‖2

k −∫

Qk

F (x, y + tzk)dx

= −1

2‖y‖2

k +1

2r2t2 −

∫Qk

F (x, y + tzk)dx.

Dado ε > 0 existe uma constante Cε > 0 tal que

F (x, s) ≥ Cε|s|γ, (4.35)

onde γ ∈ (2, 2∗). De fato, usando (f4), tem-se

γ

s≤ f(x, s)

F (x, s).

Se s ≥ ε > 0, então ∫ s

ε

γ

tdt ≤

∫ s

ε

f(x, s)

F (x, s)dt = ln

(F (x, s)

F (x, ε)

).

Admitindo, sem perda de generalidade, que ε ≤ 1 temos ln(ε) ≤ 0, o que nosgarante

ln sγ ≤ ln(F (x, s)

F (x, ε)

)⇒ F (x, s) ≥ F (x, ε)sγ. (4.36)

112

Agora, se s < −ε, então −s > ε e o mesmo argumento nos leva a

F (x, s) ≥ F (x,−ε)(−s)γ. (4.37)

Logo, (4.35) segue que (4.36) e (4.37).Por (4.35), temos que

−∫

Qk

F (x, y + tzk)dx ≤ −Cε‖y + tzk‖γLγ(Qk),

e podemos escrever

Jk(y + tzk) ≤ −1

2‖y‖2

k +1

2r2t2 − Cε‖y + tzk‖γ

Lγ(Qk).

Seja agora Xk = Yk⊕Rzk, o qual é continuamente imerso em Lγ(Qk). Definamosas projeções contínuas πk : Xk → Rzk, y + tzk 7→ tzk. Desde que zk 6= 0, temos‖πk‖ = 1, por πk ser projeção. Em particular,

‖tzk‖Lγ(Qk) ≤ ‖y + tzk‖Lγ(Qk).

Além disso, sendo dim(Xk) < ∞, as normas ‖ · ‖Lγ(Qk) e ‖ · ‖k são equivalentes.Assim,

Jk(y + tzk) ≤ −1

2‖y‖2

k +1

2r2t2 − Cε‖tzk‖γ

Lγ(Qk)

≤ 1

2r2t2 − Cε‖tzk‖γ

k

≤ 1

2r2t2 − Cεr

γtγ.

Consequentemente, Jk(y + tzk) ≤ 0, se t = 0, e Jk(y + tzk) → −∞, quando‖y + tzk‖k → ∞. Isto mostra que podemos escolher ρ > 0, independente de k,de modo que o lema seja válido.

Lema 4.14 Para o conjunto de deformações Γk := h ∈ C(Mk, Ek);h|∂Mk= id

os númerosck = inf

h∈Γk

maxu∈Mk

Jk(h(u))

são valores críticos de Jk e satisfazem 0 < δ ≤ ck ≤ C <∞.

Demonstração: Desde que Ek é um espaço de Banach, Yk tem dimensão finita,Jk ∈ C1(Ek,R) e satisfaz a condição (PS), então pelos Lemas 4.12 e 4.13,podemos aplicar o Teorema 1.46 para concluir que ck é valor crítico de Jk. Alémdisso, ck ≥ δ, onde δ > 0 independe de k, pelo Lema 4.5. Sendo ρ a constante da

113

definição de Mk independente de k, e Jk limitado sobre conjuntos limitados, pois|Jk(u)| ≤ ‖u‖2

k, obtemos considerando h = id

ck ≤ supu∈Mk

Jk(u) ≤ C,

onde C depende somente de ρ.

Enfim, a prova do Teorema 4.1 segue imediatamente do Lema 4.14 e doTeorema 4.9.

114

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116

Índice

Complemento ortogonal, 30Composição de operadores, 26Condição

de Cerami no nível c, 21da esfera interior, 13de Palais-Smale, 22

Conjuntoresolvente, 26de deformações, 113

Decomposição espectral da identi-dade, 36

Derivadade Fréchet, 16de Gateaux, 16fraca, 4normal exterior, 13

Desigualdadede Minkowski, 18de Hölder, 11de Harnack, 8

Domínio de um operador, 24

Espaços de Sobolev, 4Espectro

de um operador, 26discreto, 41essencial, 40

Família espectral, 36Função

Γ-periódica, 471-periódica em cada variável, 93

localmente p-integrável, 2Bloch, 49de Carathéodory, 17distribuição do espectro, 38localmente limitada, 2

Funcional de classe C1, 17

Gap espectral, 52Gráfico de um operador, 26

Identidadede Green, 14de Pohozaev, 15

Lemade Hopf, 13de Concentração de Compaci-

dade, 67de Du Bois - Raymond, 2de Glazman, 39de P. L. Lions, 7

Método das translações, 9

Norma do gráfico, 26

Operadoradjunto, 30auto-adjunto, 33de Schrödinger, 23inverso, 25linear, 24restrição, 57contínuo, 24

117

de Nemitskii, 18essencialmente auto-adjunto, 34fechável, 27fechado, 27fecho, 27limitado, 24multiplicação, 33semi-limitado inferiormente, 25simétrico, 32unitário, 25

Pilha unitária, 48Princípio de Courant, 39Problema

assintoticamente linear, 54de autovalor num anel, 11limite, 11

Projeção ortogonal, 37

Quase-momento, 49

Resultadode positividade, 7de regularidade, 7de regularização local, 11

Reticulado, 47dual, 48

Sequênciade Cerami no nível c, 21de Palais-Smale, 22fracamente convergente, 3

Soluçãoclássica, 54fraca, 8fraca, 54

Soma de operadores, 26

Teoremada Convergência Dominada de

Lebesgue, 2da Representação de Riesz, 3de Imersão de Sobolev, 6de Linking, 22

de Rellich-Kondrachov, 6do Gráfico Fechado, 28do Passo da Montanha, 21Espectral, 35

Variedade de Nehari, 66

118