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Departamento de Física Aplicada IIIEscuela Superior de Ingenieros

Ingenieros de TelecomunicaciónCampos Electromagnéticos

Campos Electromagneticos. Boletın 1. Septiembre de 2005

Problemas basicos

1.1. Exprese los siguientes campos vectoriales en coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas:

A= r B=− y

x2 + y2ux +

x

x2 + y2uy

C=2ρzuρ − (ρ2 − z2)uz D= r tg θ uθ

1.2. Describa las superficies equipotenciales de los siguientes campos escalares

a) φ = A · r b) φ = r2 c) φ = A · r + r2 d) φ = r2/(A · r)donde A es un vector constante y r es el vector de posicion.

1.3. Si φ = φ(u), con u = u(x, y, z), demuestre que

∇φ =dφ

du∇u

Encuentre ∇φ si a) φ = ln |r|, b) φ = rn, c) φ = 1/|r − r0|.1.4. Halle el valor de la integral ∮

AdS con A = cotg θur − uθ

y la superficie de integracion una esfera de radio R centrada en el origen.

1.5. Demuestre que si r es el vector de posicion y B un campo vectorial arbitrario

(B · ∇)r = B (B ×∇) · r = 0 (B ×∇) × r = −2B

Igualmente, para el caso particular en que B represente un vector constante, demuestre que

∇(B · r) = B ∇ · (B × r) = 0 ∇× (B × r) = 2B

1.6. Sean φ y A un campo escalar y uno vectorial, respectivamente, que dependen de la posicion atraves de la combinacion r − r′, esto es

φ(r, r′) = φ(r − r′) A(r, r′) = A(r− r′)

Demuestre que se cumplen las identidades siguientes

∇φ = −∇′φ ∇2φ = ∇′2φ

∇ · A = −∇′ · A ∇× A = −∇′ × A

donde el operador ∇′ representa la derivacion respecto a las componentes de r′.

1.7. Se define la funcion delta de Dirac en tres dimensiones como aquella distribucion que verifica

δ(r) = 0 (r �= 0)∫

δ(r) dτ = 1

con la ultima integral extendida a todo el espacio. Pruebe que:

a) ∇ ·(

rr3

)= 4πδ(r) b) ∇2

(1

|r − r0|)

= −4πδ(r − r0)

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Departamento de Fısica Aplicada IIICampos Electromagneticos 1.2

1.8. Halle el laplaciano del campo vectorialA = rnr

1.9. Calcule el gradiente y el laplaciano de la funcion

φ = 2z2 − x2 − y2

en coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas. Compruebe que los resultados son indepen-dientes del sistema de coordenadas elegido.

Problemas de nivel medio

1.10. Determınese la divergencia y el rotacional del campo vectorial

A = ρ2 cos ϕuρ + ρ2 sen ϕuϕ

empleando coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas.

1.11. El campo de velocidades de un remolino puede aproximarse por la expresion, en cilındricas, v =(C/ρ)uϕ.

(a) Demuestre que este campo es irrotacional en todos los puntos en los que esta definido.

(b) Halle un potencial escalar del que derive este campo.

(c) ¿Cuanto vale la circulacion del campo de velocidades a lo largo de una circunferencia en tornoal eje z? ¿Que consecuencias tiene esto para el potencial escalar?

1.12. De las siguientes expresiones

a) ∇(∇ · φ) b) ∇× (∇φ) c) ∇ · (∇ · φ) d) ∇× (∇× φ)e) ∇ · (∇× A) f) ∇× (∇ ·A) g) ∇× (∇×A) h) ∇ · (∇ ·A)i) ∇ · (∇φ) j) ∇(∇ · A) k) (∇ · ∇)A l) (A · ∇)φm) (φ∇) ·A n) (A · ∇) × A o) (A · ∇)A p) (A ×∇) × A

(donde φ es un cierto campo escalar y A uno vectorial) indique cuales son absurdas. De las quetienen sentido, senale las que son identicamente nulas. De las que no son nulas, calcule su valorpara los campos

φ = xyz A = x2ux + xzuy − xyuz

1.13. Halle el angulo solido subtendido desde el origen de coordenadas por un disco horizontal de radioR situado a una altura h sobre el origen:

(a) Utilizando coordenadas cilındricas

(b) Usando coordenadas esfericas (Sugerencia: En lugar del disco emplee otra superficie quesubtienda el mismo angulo solido).

1.14. De los siguientes campos, indique cuales son solenoidales, cuales son irrotacionales y cuales armonicos

(a) A = yzux + xzuy + xyuz

(b) B = ρuϕ

(c) C = rur − ρuρ

(d) D = 2r2 − 3ρ2

(e) E = z/ cos θ

(f) F = r sen θuϕ + yux − ρ cos ϕuy

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Test

T.1 Sean el gradiente de un campo escalar φ, y la divergencia y el rotacional de un campo vectorial F.

� A. Las tres cantidades son vectoriales.

� B. La divergencia y el rotacional son vectores, pero el gradiente es un escalar.

� C. El gradiente y el rotacional son vectores, mientras que la divergencia es un escalar.

� D. El gradiente y la divergencia son vectores, mientras que el rotacional es un escalar.

T.2 El gradiente de un campo escalar. . .

� A. Es siempre irrotacional.

� B. Es siempre solenoidal.

� C. Es siempre solenoidal e irrotacional.

� D. A veces es irrotacional y a veces solenoidal, pero no las dos cosas al mismo tiempo.

T.3 De un campo vectorial se conoce su divergencia y su rotacional, y se sabe que tiende a cero en elinfinito, ¿podemos determinar el campo vectorial de forma unıvoca?

� A. No, ya que siempre le podremos sumar una constante.

� B. Sı, por la ley de Gauss.

� C. No, se necesita conocer ademas el potencial del que deriva el campo.

� D. Sı, por el teorema de Helmholtz.

T.4 Dados dos campos irrotacionales, F y G, su producto vectorial. . .

� A. es irrotacional.

� B. es armonico.

� C. es solenoidal.

� D. puede ser irrotacional o solenoidal, o no serlo, dependiendo de los valores de F y G.

T.5 Si un campo es solenoidal en cartesianas, ¿lo es en otros sistemas de coordenadas?

� A. No tiene por que. Su divergencia en esfericas puede ser distinta de cero.

� B. Sı, pero las fuentes vectoriales dependeran del sistema en que se calculen.

� C. Sı, y ademas su rotacional es el mismo en todos los sistemas de coordenadas.

� D. Sı, pero no se puede decir lo mismo de los campos irrotacionales, que dependen del sistema.

T.6 Se tiene el campo escalar r2 − ρ2, con r y ρ las coordenadas radiales esferica y cilındrica, ¿cuantovale su laplaciano?

� A. 2.

� B. 0.

� C. No puede calcularse porque no son coordenadas del mismo sistema.

� D. No puede calcularse porque ρ y r no son coordenadas ortogonales.

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T.7 Dado el campo escalar, expresado en esfericas, φ = A sen θ/(2 + cos θ), ¿como son sus superficiesequipotenciales?

� A. Esferas concentricas.

� B. Conos con vertice el origen.

� C. Cilindros concentricos.

� D. Planos paralelos.

T.8 ¿Como son las superficies equiescalares (o equipotenciales) del campo, en cilındricas, φ = Aρ cos ϕ

� A. Cilindros concentricos.

� B. Planos paralelos.

� C. Planos que pasan todos por el eje z.

� D. Cilindros tangentes.

T.9 ¿Pueden dos campos escalares diferentes tener el mismo rotacional?

� A. Sı, pero su divergencia debe ser diferente.

� B. No. Su rotacional debe ser diferente.

� C. Sı, siempre que se diferencien solo en una constante.

� D. No. La pregunta no tiene sentido.

T.10 ¿Como son las superficies equiescalares del campo, expresado en cilındricas, φ = ρ2 − ρ2 cos2 ϕ?

� A. Cilindros concentricos.

� B. Planos paralelos.

� C. Esferas tangentes.

� D. Cilindros tangentes.

T.11 El campo vectorial A = C × r, con C constante. . .

� A. Es solenoidal pero no irrotacional.

� B. No es ni solenoidal ni irrotacional.

� C. Es irrotacional pero no solenoidal.

� D. Es solenoidal e irrotacional.

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Campos Electromagneticos. Boletın 2. Octubre de 2005

Problemas basicos

2.1. Un electroscopio mide la carga por la desviacion angular de dos esferas identicas conductoras,suspendidas por cuerdas aislantes de masas despreciables y longitud l. Cada esfera tiene una masam y esta sometida a la gravedad g. Las cargas pueden considerarse como puntuales e iguales entresı. Halle la ecuacion que liga el semiangulo θ con el valor de la carga total Q depositada en lasesferas.

Suponga que la masa de cada esfera es m = 10−4 kg y la longitud del cable del que penden es20 cm. Admita asimismo que los angulos de desviacion pueden medirse como mucho con unaprecision de 1◦. ¿Cual es la carga mınima que puede medirse con este aparato? ¿Y la cargamaxima?

2.2. Se disponen siete cargas iguales en los vertices de un octogono regular situado en el plano xy, concentro el origen, quedando vacıo el octavo vertice, situado en r = aux. ¿Cuanto vale el campoelectrico en el centro del octogono? ¿Y en los demas puntos del eje z?

2.3. Una cable formado por dos hilos paralelos produce un campo electrico similar al producido por doslıneas infinitas con densidad de carga λ y −λ, situadas a una distancia 2a una de la otra. Halle:

(a) El campo electrico en todos los puntos del espacio.

(b) Halle el potencial electrico tomando un punto equidistante de las lıneas como referencia.Demuestre que las superficies equipotenciales son cilindros rectos y halle el centro y el radioen funcion del potencial V .

(c) Considere el lımite en que a → 0, λ → ∞ con λa → b = cte. ¿A que tiende el campo electricoen este lımite? ¿Y el potencial?

2.4. Un condensador de placas planas puede aproximarse por dos dos planos paralelos, separados unadistancia a. Uno de ellos, situado en x = −a/2 posee una distribucion de carga uniforme σ0,mientras que la del otro es −σ0. Halle el campo electrico en todos los puntos del espacio.

xy

z��

a

Problemas 2.3

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2.5. Halle el campo electrico en todos los puntos del eje de un anillo de radio R sobre el cual hay unadensidad de carga uniforme λ.

A partir de este resultado, calcule el campo creado por una corona circular de radios R1 y R2

(R1 < R2), sobre la cual hay una densidad de carga uniforme σ0, en los puntos de su eje.

¿A que se reduce si R1 → 0? ¿Y si R2 → ∞? Considere en particular el comportamiento en lasproximidades de z = 0.

2.6. Se tienen dos esferas del mismo radio, cargadas uniformemente, una de ellas con densidad decarga +ρ y la otra con densidad de carga −ρ. Dichas esferas se colocan de forma que sus centrosdistan una cantidad a, menor que el radio de las esferas, por lo cual intersecan como se ve en lafigura.

(a) Calcule el campo electrico en la zona de interseccion.

(b) Halle la expresion del campo electrico en puntos exteriores a las dos esferas y alejados de lasmismas.

(c) En el lımite ρ → ∞, a → 0, con ρa → b = cte calcule la densidad de carga superficial queaparece en la esfera resultante.

2.7. Se tienen dos cargas puntuales de valor q situadas en los puntos ±(a/2)uy. Halle el flujo del campoelectrico a traves de un triangulo con vertices en los puntos aux, auy y auz.

2.8. Halle el potencial creado por dos cargas q1, −q2 situadas a una distancia a una de la otra. Demues-tre que la superficie equipotencial V = 0 es una esfera.

2.9. Halle los momentos monopolar (carga) y dipolar de las siguientes distribuciones de cargas. Describael campo y el potencial electrico a gran distancia de ellas:

(a) Dos cargas de valor +q en los puntos ±auz

(b) Tres cargas positivas +q en los puntos aux, auy, auz y tres negativas −q en −aux, −auy,−auz.

(c) Una varilla vertical de longitud L, centrada en el origen, con densidad de carga uniforme λ.

(d) La misma varilla con una distribucion de carga λ = kz.

(e) Una superficie esferica sobre la cual hay una distribucion de carga σs = σ0 cos θ.

(f) La misma superficie con distribuciones σs = σ0 cos2 θ, σs = σ0 sen θ y σs = σ0 sen θ cos φ

(g) Una esfera con densidad de carga ρ = ρ0 cos θ.

R1

R2

�� a

x

y

z

�q

�q

�q

Problema 2.5 Problema 2.6 Problema 2.7

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2.10. Cuatro cargas puntuales se situan en los vertices de un cuadrado de lado a. Dos de ellas, situadasen vertices adyacentes, son de valor +q, mientras que las otras dos valen −q.

Calcule el trabajo para reunir esta distribucion de cargas.

Suponga que una de las cargas positivas se intercambia con la negativa situada en el vertice opues-to, ¿que trabajo hay que realizar para esta operacion?

Si la carga positiva se permuta con la negativa situada en el vertice vecino, ¿cual sera en este caso,el trabajo realizado?

2.11. Calcule la energıa libre electrostatica de:

(a) Una carga Q distribuida uniformemente sobre la superficie de una esfera de radio R.

(b) Una carga Q distribuida uniformemente en el volumen de una esfera de radio R

(c) ¿Cual de las dos configuraciones posee una menor energıa almacenada? ¿Como se interpretaeste resultado si se usa la integral de la densidad de energıa ε0E

2/2?

(d) El llamado radio clasico del electron se obtiene describiendo esta partıcula como una pequenaesfera de radio a, cargada uniformemente en su superficie. Suponiendo que la energıa elec-trostatica almacenada en el sistema equivale a la masa del electron de acuerdo con la leyE = mc2, halle el valor numerico del radio que debe tener el electron.Repita ahora el calculo para el caso de un proton. ¿Es logico el resultado que se obtiene?


2.12. Se dispone de tres cargas, una de valor Q y las otras dos de valor q. Estas cargas se ensartan en unanillo circular de radio R sobre el cual pueden deslizar libremente. Determine la ecuacion para losangulos del triangulo que forman las tres cargas. ¿Cual es la solucion para los casos Q � q, Q = qy Q � q?

2.13. Se tiene una distribucion de carga uniforme ρ0, que ocupa un volumen cilındrico de radio R ylongitud infinita. En este cilindro se ha horadado un hueco esferico, tambien de radio R. Se tomacomo eje z el del cilindro y origen de coordenadas el centro del hueco.

(a) Halle el campo electrico en el interior del hueco.

(b) Calcule el potencial electrico en el hueco, tomando como origen de potencial el centro delhueco.

(c) Calcule el trabajo para mover una carga q desde el punto Ruz al punto Rux, a lo largo de unarco de circunferencia sobre la superficie del hueco.

�Q

�q

�q

�

�

R

��

+Q

R

-Q

a


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2.14. Se tienen dos discos plasticos de radio 1 cm y espesor despreciable, sobre los cuales se distribuyende manera uniforme cargas de +1nC y −1 nC respectivamente. Estos discos se disponen paralela-mente en z = ±a/2. Determine

(a) El valor aproximado de la diferencia de potencial entre los centros cuando la distancia a =1mm

(b) El valor aproximado del voltaje si a = 1m. (Para ello deben tenerse en cuenta tanto elpotencial que un disco crea en su propio centro como el que un disco crea en el otro).

(c) Determine exactamente la diferencia de potencial entre los centros para cualquier valor de a.Compare el resultado con los dos anteriores. ¿Cuanto es, aproximadamente, el error cometidoen el primer apartado? ¿Y en el segundo?

2.15. En un modelo muy simplificado de la Tierra y su atmosfera, aquella puede suponerse como unaesfera en cuyo interior el campo es nulo y esta modelarse como una muy fina capa en la que existeuna densidad de carga que va como

ρ = ρ0e−z/a

siendo z la altura medida desde la superficie terrestre. a es un espesor tıpico, mucho menor que elradio terrestre RT , (a � RT ).

Tambien se sabe que a alturas superiores a unas cuantas veces a el campo electrico terrestre espracticamente nulo.

(a) Halle el campo electrico y el potencial en la atmosfera y en el interior de la Tierra.

(b) Calcule la carga almacenada en la superficie terrestre. Si se define la capacidad del sistemacomo el cociente entre esta carga y la diferencia de potencial entre la superficie y las capassuperiores de la atmosfera, ¿cuanto vale esta capacidad en funcion de los datos?

(c) Determine la energıa electrostatica almacenada en la atmosfera.

(d) Calcule los valores numericos para los resultados anteriores si a = 3km, ρ0 = 3pC/m3,RT = 6370 km, ε0 = 8.85 × 10−12 F/m.

2.16. Un campo electrico tiene la forma

E =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Ar2r r < R

AR5rr3

r > R

(a) Determine la densidad de carga que crea este campo. ¿Cuanto vale la carga total?

(b) Calcule el trabajo necesario para llevar una carga puntual q hasta el origen de coordenadas.

(c) Halle la energıa electrostatica almacenada en este sistema.

2.17. Se tiene un dipolo puntual p1 = puz sobre el cual situamos el origen de coordenadas. Se colocaun segundo dipolo de la misma magnitud, pero diferente orientacion, en el punto auz.

(a) Halle la fuerza y el par que el primer dipolo ejerce sobre el segundo si este esta orientadocomo p2 = puz.

(b) Calcule el valor numerico de esta fuerza si los dos dipolos son moleculas de agua (p = 6.14 ×10−30C · m) situadas a una distancia de 1 nm.

(c) Repita el calculo si p2 = pux.

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2.18. Un anillo circular de radio a, almacena una carga Q distribuida uniformemente. En el centro delanillo se encuentra un dipolo puntual p, alineado segun el eje de la espira.

(a) Determine la fuerza que el dipolo ejerce sobre la espira.

(b) Halle la energıa que tiene el dipolo por encontrarse en el campo de la espira.

(c) Calcule la fuerza que la espira produce sobre el dipolo. ¿Se verifica la tercera ley de Newton?

(d) Calcule el par que la espira ejerce sobre el dipolo.

Test

T.1 En los vertices de un triangulo equilatero tenemos dos cargas +q, y una carga −q.

� A. La fuerza sobre la carga −q es el doble de la que habrıa si solo estuviera una de las otras dos.

� B. La fuerza total sobre cada carga +q es nula.

� C. La fuerza sobre cada carga es inversamente proporcional a la longitud del lado del triangulo.

� D. La suma de las fuerzas sobre las cargas +q es igual y opuesta a la fuerza sobre la carga −q.

T.2 La ley de Coulomb establece que. . .

� A. cuando tenemos tres cargas puntuales, la fuerza sobre una de ellas es la suma de las queproducen las otras dos por separado.

� B. la fuerza entre dos cargas es proporcional al producto de las cargas.

� C. la fuerza sobre una carga es igual a qE.

� D. dos cargas puntuales se atraen si son del mismo signo y se repelen si son de signos opuestos.

T.3 Un campo electrostatico verifica que. . .

� A. la integral de camino a lo largo de cualquier curva es nula.

� B. la integral de camino entre dos puntos A y B es independiente del camino elegido.

� C. se puede expresar como el gradiente de un campo vectorial.

� D. No se cumple ninguna de las tres propiedades anteriores.

T.4 Cuatro cargas diferentes de valores 1, 2, 3 y 4 μC se colocan en los vertices consecutivos de uncuadrado de lado a. Se quiere calcular el flujo del campo electrico, multiplicado por ε0, a traves deuna esfera centrada en la primera carga y de radio 1.2a.

� A. Vale 1 μC

� B. Vale 6 μC

� C. Vale 7 μC

� D. Vale 10 μC

T.5 Se tienen tres cargas de +1μC, +2μC y +3μC en los vertices de un triangulo equilatero de lado1 cm. ¿Cual de las tres cargas experimenta una fuerza mayor?

� A. La de +1μC.

� B. La de +2μC.

� C. La de +3μC.

� D. Las tres por igual.

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T.6 Una carga de +2μC se encuentra distribuida uniformemente en una esfera de radio 2 cm. ¿Cuantovale el flujo del campo electrico en una esfera de radio 1 cm concentrica con esta?

� A. 2.21 × 10−18 V · m.

� B. 28.3 kV · m.

� C. 0.25μV · m.

� D. 0V · m.

T.7 Se tiene una distribucion de una carga total Q distribuida uniformemente en el volumen de unaesfera de radio R, ¿cuanto vale el campo en el centro de la esfera?

� A. Cero

� B. Infinito

� C. Q/(4πε0R)

� D. Q/(4Piε0R2)

T.8 ¿Cuales son las unidades del momento dipolar electrico en el SI?

� A. C/m

� B. C · m� C. C/m3

� D. C · m2

T.9 Se tienen dos cargas de valores +1μC, y −2μC en los puntos −1uz y +1uz (mm) respectivamente.¿Donde hay que colocar y cuanto debe valer una tercera carga, situada en el mismo eje, si queremosanular los dos primeros terminos del desarrollo multipolar?

� A. Es imposible anular los dos momentos simultaneamente.

� B. +1μC en +3uz (mm).

� C. −1μC en +1uz (mm).

� D. −1μC en −3uz (mm).

T.10 Se tienen dos cargas puntuales ±q separadas una distancia a. En el punto medio entre las doscargas

� A. El campo y el potencial electrico son nulos.

� B. El campo es nulo, pero el potencial no.

� C. El campo es distinto de cero, pero el potencial es nulo.

� D. Ni el campo ni el potencial son nulos.

T.11 Dos cargas +q y una carga −q estan en los vertices de un triangulo equilatero. Una de las doscargas +q es retirada y sustituida por una carga −q. El trabajo necesario para este proceso

� A. Es negativo.

� B. Es nulo.

� C. Depende de los pasos que se sigan para realizar el proceso.

� D. Es positivo.

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T.12 ¿En que condiciones es nulo el trabajo para mover una carga en un campo electrostatico desde unpunto A a uno B?

� A. Es suficiente que ambos puntos esten al mismo potencial.

� B. Es suficiente con que el desplazamiento sea a lo largo de una lınea de campo.

� C. Es necesario que la trayectoria sea cerrada y A=B.

� D. Es necesario que el desplazamiento sea sobre una superficie equipotencial.

T.13 Dos dipolos con el mismo momento dipolar se encuentran a una cierta distancia. Los dipolos estanorientados en la misma direccion y sentido, perpendicularmente a la recta que une sus centros,¿como es la interaccion entre estos dipolos?

� A. Se atraen.

� B. No hay interaccion entre ellos.

� C. Ni se atraen ni se repelen, pero se produce un par que tiende a alinearlos.

� D. Se repelen.

T.14 ¿En que se mide el potencial electrico?

� A. En V/m.

� B. En J/C.

� C. En C·m.

� D. En N/C.

T.15 Tres cargas iguales +q estan en los vertices de un triangulo equilatero. ¿Como es la fuerza que actuasobre cada carga?

� A. Es la misma sobre las tres cargas.

� B. Es el doble de la que produce sobre cada carga cada una de las otras dos.

� C. Apunta en la direccion radial desde el centro del triangulo.

� D. Es hacia afuera si q > 0 y hacia adentro si q < 0.

T.16 Para colocar 1C de carga sobre una esfera de 1m de radio, ¿cuanta energıa hace falta?

� A. 4.5 J.

� B. 4.5 kJ.

� C. 4.5MJ.

� D. 4.5GJ.

T.17 Un anillo de radio 1 cm almacena una carga de 1μC. ¿Cuanto valen aproximadamente el campoy el potencial electrico en su centro?

� A. Ambos son nulos.

� B. El campo es nulo, el potencial 1MV.

� C. El campo 100MV/m, el potencial es nulo.

� D. El campo 100MV/m, el potencial 1MV.

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Campos Electromagneticos. Boletın 3. Diciembre de 2005

Problemas basicos

3.1. Se construye un recipiente octaedrico metalico. El potencial de cada triangular se fija a un valordiferente Vi. ¿Cuanto vale el potencial en el centro del octaedro?

¿Cuanto valdrıa si en vez de un octaedro se tratara de un cubo o un tetraedro? ¿Como se extiendeel resultado al caso de una esfera con una cierta distribucion de potencial sobre su superficie?

3.2. Dos placas metalicas, planas y paralelas, de seccion S, se encuentran situadas a una distancia a launa de la otra. La placa inferior se pone a una tension V0, mientras que la superior se encuentraa tierra. El espacio entre las placas esta ocupado por una capa de un material cargado con unadensidad uniforme ρ0.

(a) Determine el potencial y el campo electrico en todos los puntos entre las placas.

(b) Calcule la energıa electrica almacenada en el sistema.

(c) Halle la fuerza sobre las placas y sobre el material intermedio.

3.3. En una esfera metalica de radio R se han hecho dos cavidades, tambien esfericas, de radio R/2.Concentricas con cada una de estos huecos se hallan sendas esferas metalicas de radio R/4. No haymas conductores en el sistema. Supongase que la esfera exterior se encuentra aislada y descargada,mientras que las interiores se encuentran a tension V0 y 0, respectivamente. ¿Cual es la carga encada conductor? ¿Y el potencial?

Halle la energıa almacenada en el sistema.

3.4. Halle la capacidad por unidad de longitud de un cable coaxial formado por dos conductorescilındricos concentricos de radios a y b (b > a).

Suponga que se construye un condensador coaxial formado por un nucleo interior cilındrico deradio a, rodeado de una corteza cilındrica concentrica de radio b (que se puede colocar a unatension V ), envuelta a su vez por un blindaje exterior, tambien cilındrico y concentrico de radio d,tambien puesto a tierra. ¿Cual es la capacidad por unidad de longitud de este sistema?

V0

abc


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3.5. Dos cargas, +q y −q, se situan en los puntos r1 = 2aux y r2 = −2aux + 3auz, respectivamente.

(a) Calcule la fuerza que experimenta cada carga y el trabajo necesario para traerlas desde elinfinito hasta su posicion final.

Suponga que se introduce un plano conductor, puesto a tierra, en x = 0.

(b) Halle la nueva fuerza que experimenta cada carga, ası como la que sufre el plano conductor.

(c) Calcule el trabajo necesario para introducir el plano.

3.6. Sea una superficie esferica conductora, aislada y descargada, de radio R. En el interior de estaesfera se encuentra una carga puntual q1, situada en un punto r1 del hueco. En el exterior del con-ductor se encuentra una segunda carga puntual q2, situada en una posicion r2 (ambas posicionesmedidas desde el centro de la esfera).

(a) Determine el potencial electrico en todos los puntos del espacio. ¿Como se comporta estepotencial a grandes distancias del sistema (r � |r2|).

(b) Calcule la fuerza sobre cada una de las cargas puntuales y sobre la superficie esferica.

(c) Calcule el trabajo necesario para traer la carga q2 desde el infinito hasta su posicion final r2.

(d) halle el trabajo necesario para mover q1 desde el centro del hueco esferico hasta la posicionr1.


3.7. Considere el sistema de cuatro conductores de la figura. Esta formado por dos cables coaxiales (delongitud indefinida) situados paralelamente. De esta forma, los conductores 1 y el 2 son simetricoscon el 4 y el 3, respectivamente.

En este sistema, ¿que coeficientes de capacidad e induccion son nulos? ¿Cuales positivos? ¿Cualesnegativos? ¿Cuales iguales entre sı?

Suponga que mediante finos hilos conductores se conecta el conductor 1 con el 3, y el 2 con el 4(estos cables atraviesan, sin hacer contacto, los conductores 2 y 3). ¿Como queda la nueva matrizde capacidades a partir de la matriz del sistema original?

�+q

��q

r1

r2

�q1

�q2

1

2 3

4


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3.8. Sea el sistema de la figura, formado por una esfera metalica de radio R, inicialmente descargada;una corteza de radio 2R (concentrica con la anterior) sobre la cual hay depositada una cargaQ, distribuida uniformemente; y una corteza metalica, tambien concentrica, de radio 4R, queinicialmente se halla sin carga. De la esfera interior sale un cable que puede dejarse desconectado,conectarse a la cascara exterior o conectarse a tierra (potencial cero).

(a) Determine el potencial al que se encuentra cada una de las esferas en el momento inicial.

(b) Admita que el interruptor se pasa a la posicion A, conectando los dos conductores. Halle lanueva distribucion de cargas y potenciales.

(c) Si ahora el interruptor se pasa de la posicion A a la B, de forma abrupta, ¿cuanto valen losnuevas cargas y potenciales?

(d) Repita los apartados (b) y (c), suponiendo que el interruptor se hubiera pasado en primerlugar a la posicion B y de ahı a la A.

El posible campo electrico creado por los hilos puede considerarse despreciable.

3.9. Suponga el sistema de la figura, formada por una corteza esferica (conductor “1”) de radio interiorb y exterior c. En su interior hay dos conductores practicamente semiesfericos (“2” y “3”), de radioa y separados una pequena distancia w. Despreciando los efectos de borde,

(a) Halle los coeficientes de capacidad e induccion del sistema.

(b) Determine los potenciales a que se ponen estos conductores cuando almacenan cargas Q1,Q2 y Q3, respectivamente. ¿En que caso es nulo el potencial de la corteza exterior?

3.10. Suponga una superficie esferica conductora elastica. Inicialmente, esta superficie posee radio R0 yalmacena una cierta cantidad de aire, a una presion igual a la exterior (que es la atmosferica). Sise deposita una cierta cantidad de carga sobre la superficie, la repulsion entre cargas provoca unapresion que dilata la esfera, disminuyendo la presion interior (de acuerdo con la ley de los gasesideales).

(a) Halle la ecuacion que liga el radio de la esfera con la carga almacenada.

(b) Suponga que la carga es pequena, de forma que R = R0+ΔR (ΔR � R0). Halle, en primeraaproximacion, el valor de ΔR.

(c) Calcule el valor de ΔR para el caso de Q = 1μC y R0 = 1cm

Dato: p0 = 1atm = 101325Pa.

A

B

Q

a

b

c

w

1

23

Problema 3.8 Problema 3.9

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3.11. Una nube de tormenta puede modelarse como un conjunto de dos cargas puntuales, ±q, estandola carga positiva en su parte superior y la negativa en la inferior. La altura media de la nube es h0

y el espesor de la nube Δh. Puede suponerse que Δh � h0.

Para medir el momento dipolar de la nube, se coloca una carga q1 sujeta a un dinamometro en unpunto sobre el plano de tierra (la carga puede suponerse en z = 0+), situado a una distancia x dela vertical de la nube.

(a) Halle la fuerza que se mide, para una distancia x dada.

(b) La nube, en su movimiento, modifica la distancia del observador a la vertical de la nube.Describa como varıa la fuerza con x y halle para que valor de x es maxima la fuerza, ası comoeste valor maximo.

(c) Si h0 = 1km, Δh = 50m, q1 = 10μC y la fuerza maxima medida es de 0.2mN, calcule lacarga almacenada en cada extremo de la nube.

Dato: ε0 = 1/(36π × 109) F · m−1

3.12. Se trata de hallar el campo electrico necesario para elevar en el aire una partıcula metalica quereposa sobre un plano a tierra. La partıcula conductora la podemos modelar como un hemisferio deradio a. Existe un campo electrico impuesto que, en puntos alejados de la semiesfera, es uniformey normal al plano conductor, E∞ = E0uz.

(a) El potencial en todos los puntos por encima del plano y la partıcula es de la forma

φ = −E0z +A cos θ

r2(z > 0, r > a)

siendo r la distancia al centro de la semiesfera. Determine el valor de A que hace que sesatisfagan todas las ecuaciones y condiciones de contorno.

(b) Halle la densidad de carga en la superficie de la semiesfera.

(c) Calcule la presion electrostatica en la superficie de la partıcula. A partir de esta presion, hallela fuerza electrica sobre la partıcula, empleando la relacion dF = p dS.

(d) Si la partıcula es de aluminio (ρm = 2700 kg/m3) y su radio vale a = 1mm, ¿que campo espreciso para levantar esta partıcula? (g = 9.8m/s2).

��

h0

x

�h

�q

1

Eg


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3.13. El sistema electrostatico de la figura esta formado por dos superficies conductoras planas y paralelas,coincidentes con los planos x = 0 y x = a, conectadas ambas a tierra. Entre dichas superficies yparalela a ellas, se coloca una fina lamina conductora conectada a un potencial V0, que separa unaregion 0 < x < s en la que existe una densidad volumetrica de carga electrica ρ0 = cte., de otras < x < a, sin carga electrica. Suponiendo que las dimensiones de las superficies y la lamina sonmucho mayores que la distancia a:

(a) Obtenga las expresiones del potencial electrostatico en ambas regiones y determine la distri-bucion superficial de carga electrica en la lamina.

(b) Obtenga, en funcion de la posicion de la lamina x = s, el valor de V0 que hace que la cargaelectrica total de esta sea nula. Determine la energıa electrostatica almacenada por el sistemacuando presenta esta configuracion.

(c) Determine: (i) la presion del campo electrostatico sobre las caras de la lamina; (ii) la fuerzaneta ejercida sobre esta, y (iii) los valores del potencial V0 que anulan dicha fuerza.

3.14. Se tiene un sistema formado por dos superficies metalicas, de radios a y b (a < b), perfectamenteconductoras. Las superficies son concentricas y se encuentran inicialmente aisladas y descargadas.

En el centro del hueco interior se halla una carga puntual q.

(a) Determine la distribucion de potencial en todos los puntos del espacio.(b) Se conectan las dos superficies a traves de un cable ideal. Calcule la nueva distribucion de

potenciales, una vez que se restablece el equilibrio. ¿Cuanta carga hay en cada una de lassuperficies?

(c) ¿Cuanto varıa la energıa almacenada como consecuencia de la conexion?(d) Se abre el interruptor, y se retira la carga central. Determine la nueva distribucion de poten-

ciales y el trabajo realizado al retirar la carga.

3.15. Una esfera de radio R posee una carga Q1 distribuida en su volumen de modo que la densidad vo-lumetrica es ρ(r) = Ar. A su alrededor se disponen dos superficies esfericas metalicas concentricas,de radios 2R y 4R, respectivamente. Estas esferas estan aisladas y descargadas.

(a) Calcule la constante A en funcion de la carga de la esfera y de su radio.

(b) Calcule el campo electrico en todo el espacio y el potencial al que se encuentran las esferasconductoras.

(c) Se conectan las dos esferas conductoras entre sı. ¿Cual es el nuevo potencial y la nueva cargade cada esfera?

(d) Si se abre el cable de conexion y se conecta la esfera intermedia a tierra, ¿cual es la nuevacarga de esta esfera?

V0

�0

as

�q

ab


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Test

T.1 Se colocan enfrentados dos conductores esfericos metalicos. Uno de ellos almacena una carga +Q.El otro esta conectado a tierra.

� A. No tenemos informacion suficiente para conocer la carga total.

� B. La carga total del sistema es Q.

� C. La carga total del sistema es mayor que Q.

� D. La carga total del sistema es menor que Q.

T.2 Una carga q se encuentra frente a una esfera metalica descargada

� A. La esfera y la carga se atraen entre sı.

� B. No hay fuerza entre la carga y la esfera.

� C. La carga atrae a la esfera, pero la esfera no atrae a la carga.

� D. La fuerza entre ambas es atractiva si q > 0, pero repulsiva si q < 0.

T.3 En una esfera metalica aislada y descargada se ha hecho un hueco de forma irregular en su interior.Dentro de este hueco hay una carga puntual q, situada en un punto arbitrario. El campo en elexterior de la esfera. . .

� A. es nulo.

� B. equivale al de una carga puntual q situada en el centro de la esfera.

� C. equivale al de la carga q y al de su imagen q′ situada en el exterior de la esfera.

� D. es el de una carga −q distribuida en las paredes del hueco

T.4 Se colocan enfrentados dos conductores esfericos metalicos. Uno de ellos esta aislado y descargado.El otro esta conectado a una fuente de tension V0 > 0.

� A. El potencial del primer conductor es negativo y la carga del segundo positiva.

� B. El potencial del primer conductor es nulo y la carga del segundo positiva.

� C. El potencial del primer conductor es positivo y la carga del segundo positiva.

� D. El potencial del primer conductor es nulo y la carga del segundo negativa.

T.5 ¿De que orden de magnitud serıa la energıa almacenada por una carga 1 C si estuviera distribuidauniformemente en la superficie de una esfera de radio 1 cm? ¿Y la presion electrica en la superficie?

� A. La energıa decenas de Julios y la presion cientos de pascales.

� B. La energıa gigajulios y la presion billones de pascales.

� C. La energıa cientos de gigajulios y la presion mas de 1016 pascales.

� D. La energıa del orden del picojulio y la presion menos de un micropascal.

T.6 Los coeficientes de induccion, Cij, con i �= j

� A. son siempre negativos.

� B. son siempre positivos.

� C. son negativos o nulos.

� D. son positivos o nulos.

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T.7 Se tiene un sistema formado por tres conductores: una esfera hueca aislada y descargada y dosesferas macizas situadas en el interior de la primera y puestas a tensiones V1 y V2. El circuitoequivalente mınimo esta formado por. . .

� A. tres condensadores y tres fuentes de tension.

� B. seis condensadores y tres fuentes de tension.

� C. cuatro condensadores y dos fuentes de tension.

� D. seis condensadores y dos fuentes de tension.

T.8 Se tiene una esfera conductora de radio R en la que hay almacenada una carga q. Sin variar lacarga, la esfera se comprime, de forma que su radio se reduce a la mitad. ¿Como cambia la presionelectrostatica en la superficie del conductor?

� A. Se reduce a la mitad.

� B. Aumenta al doble.

� C. Se multiplica por cuatro.

� D. Se multiplica por dieciseis.

T.9 Se coloca una carga puntual q a una cierta distancia de una esfera metalica a tierra, trayendoladesde el infinito. ¿Como es el trabajo que hay que realizar para traer esta carga?

� A. Nulo.

� B. Siempre positivo.

� C. Siempre negativo.

� D. Depende del signo de q.

T.10 Un condensador plano es cargado aplicando una diferencia de potencial V0. Sin desconectar loselectrodos de la fuente, se acercan las dos placas. La energıa almacenada en el condensador. . .

� A. No cambia.

� B. Su cambio depende de si V0 es positivo o negativo.

� C. Aumenta.

� D. Disminuye.

T.11 Un condensador plano es cargado aplicando una diferencia de potencial V0. Una vez cargado, sedesconectan los electrodos de la fuente, y se acercan las dos placas. La energıa almacenada en elcondensador. . .

� A. Aumenta.

� B. Su cambio depende de si V0 es positivo o negativo.

� C. Disminuye.

� D. No cambia.

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T.12 La Tierra y la ionosfera pueden considerarse un condensador esferico. El radio de la tierra es deunos 6400 km y la ionosfera esta a 100 km de altura. ¿Cuanto vale aproximadamente la capacidaddel sistema?

� A. 50 μF.

� B. 50 mF.

� C. 3.7 × 1018 F.

� D. 3.7 × 1015 F.

T.13 En una esfera conductora de radio R aislada en el espacio. . .

� A. . . . la carga electrica es siempre nula.

� B. . . . la relacion entre carga y potencial es fija y vale 4πε0R2.

� C. . . . la carga y el potencial pueden fijarse por separado.

� D. . . . la carga electrica es constante.

T.14 ¿Que signo tienen las capacidades Cij , con i �= j?

� A. Son siempre positivas.

� B. Son siempre negativas.

� C. Son positivas o nulas.

� D. Son negativas o nulas.

T.15 Se tienen dos esferas metalicas concentricas. La pequena tiene una carga Q. La mayor estadescargada. Se conectan por un hilo metalico.

� A. La carga se reparte por igual entre las dos esferas.

� B. La carga se reparte entre las dos esferas, proporcionalmente al radio.

� C. La carga se reparte, de forma inversamente proporcional al radio.

� D. Toda la carga se va a la esfera mayor.

T.16 Una esfera metalica descargada esta frente a una carga puntual positiva. La esfera se conecta atierra. ¿Que ocurre con la fuerza sobre la carga puntual?

� A. Antes no habıa y ahora pasa a haber una fuerza atractiva.

� B. Es nula antes y despues de la conexion.

� C. Antes habıa una fuerza de atraccion, despues es nula.

� D. Antes habıa una fuerza de atraccion, despues una mas intensa, tambien atractiva.

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Campos Electromagneticos. Boletın 4. Febrero de 2006

Problemas basicos

4.1. El estudio de las propiedades dielectricas de los gases puede servir para medir el tamano de losatomos.

Para ello, suponga que se modela un atomo de numero atomico Z como compuesto de una cargapuntual Ze (el nucleo) y una nube esferica uniforme, con volumen τ (los electrones). Si a un atomode este tipo se le aplica un campo externo uniforme E0, ¿cuanto vale el momento dipolar inducidoen el atomo por la separacion de los centros de carga?

Para un gas monoatomico (un gas noble) con una densidad de N atomos por unidad de volumen,¿cuanto valdra la susceptibilidad y la permitividad?

Experimentalmente se comprueba que el helio en condiciones normales tiene una permitividadrelativa εr = 1.000065, mientras que para el neon εr = 1.000123, y para el argon εr = 1.0051659.Segun esto, ¿cual es el tamano de un atomo de cada uno de estos gases nobles?

4.2. Se tiene una esfera dielectrica de radio R polarizada uniformemente con P = P0 =cte.

(a) Halle, por integracion directa el potencial electrico en todos los puntos del espacio.

(b) ¿Cuales son los valores de E, D y P dentro y fuera de la esfera?

(c) ¿Cuanto valen las densidades de carga equivalentes a la polarizacion?

4.3. Se tiene una esfera de radio R, centrada en el origen, compuesta de un material con una polariza-cion dada por la expresion, en coordenadas cilındricas,

P = A (ρuρ − zuz)

Halle la distribucion de cargas equivalente y el potencial electrico en el centro de la esfera.

a

V0

��

�� ba

V0

�� a

V0

��

�� b


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4.4. Entre dos placas metalicas conductoras planas y paralelas a una distancia d = a + b se colocan dosdielectricos de permitividades ε1 y ε2 y espesores a y b respectivamente, tal como muestra la figura.Halle la capacidad de este condensador y construyase el circuito equivalente.

4.5. Repita el problema anterior suponiendo que la interfaz que separa los dielectricos es perpendiculara las placas.

¿Se podrıa resolver un problema similar pero con cuatro dielectricos, tal como muestra la figura?¿Cual serıa el circuito equivalente?

4.6. El campo electrico en el exterior de un dielectrico tiene por modulo 100 V/m y forma un anguloπ/6 con la normal a la superficie. El campo en el interior del medio forma un angulo π/3 con lanormal. Halle:

(a) La permitividad relativa del medio.

(b) El modulo del campo en el interior del material.

(c) La densidad de carga de polarizacion en la frontera.

(d) El salto en la componente tangencial de D.


4.7. La ruptura dielectrica se produce cuando el campo electrico entre dos conductores supera un valorcrıtico, saltando una chispa en el vacıo, o quemando el dielectrico que pueda haber en medio.

Una situacion en la que puede producirse la ruptura es la siguiente. Suponga dos placas metalicasplanas de seccion S situadas paralelamente a una distancia a una de la otra. La placa inferior seencuentra a tierra y la superior a un potencial V0.

(a) Sobre la placa inferior se encuentra depositada una chapa (que podemos suponer plana y deespesor despreciable) de seccion S0. Halle la carga que se deposita en la chapa.

(b) Suponga que esta chapa se separa de la placa inferior, quedandose aislada, y se acerca a lasuperior (manteniendose siempre paralela a ambas). Cuando se halla a una distancia x de laplaca inferior, ¿cual es su tension? ¿Cuanto vale el campo electrico entre la chapa y la placasuperior?

(c) Si el campo para que se produzca la chispa es E0, ¿cual es la posicion x en la cual se producela chispa?

(d) Cuando se produce la chispa, la tension de la chapa pasa a ser V0, ¿cuanto varıa en eseproceso la carga almacenada en la chapa? ¿Y la carga almacenada en la placa superior?

Desprecie los efectos de borde.

��

��

E=100 V/m

�

�

a

b

S0

S

��

��


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4.8. Una corteza esferica de radio interior a y exterior b esta hecha de dielectrico polarizado segun la ley

P =k

rur

No hay mas cargas en el sistema

(a) Calcule las densidades de carga de polarizacion en el sistema. ¿Cuanto vale la carga total depolarizacion?

(b) Halle los campos D y E en todo el espacio.

(c) Determine el valor del potencial electrico en todo el espacio.

4.9. Sobre una placa metalica plana, de seccion S (que supondremos en z = 0), se coloca una capade dielectrico de permitividad ε1 con espesor a. Sobre esta capa se situa una lamina metalica, deseccion S0 < S, el resto de la superficie se deja libre y descargado. Se superpone una segundacapa de dielectrico de permitividad ε2 y espesor b. Por ultimo, el sistema se cierra con una segundalamina metalica de seccion S.

Si las placas inferior, intermedia y superior se colocan, respectivamente, a potenciales V1, V2 y V3,¿Cuanto vale la carga (libre) almacenada en cada conductor? Desprecie totalmente los efectos deborde (suponiendo E = Euz) y los posibles campos exteriores al sistema.

4.10. Un medio estratificado es aquel cuyas propiedades dependen de la altura z. Un material de estetipo se coloca entre dos placas conductoras planas y paralelas, separadas una distancia a. Lapermitividad del material varıa de ε1 a ε2 en la forma

ε(z) =ε1ε2a

ε1z + ε2(a − z)

Si se aplica una diferencia de potencial V0 entre las placas,

(a) ¿Cuanto valen los campos D, E y P en todos los puntos del material?

(b) ¿Cual es la densidad de carga de polarizacion (tanto superficial como de volumen)?

(c) Halle la energıa almacenada en el sistema

Desprecie los efectos de borde.

a

V0

�( )z��

��

ab

c

��

��

a

c


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4.11. Se construye un recipiente cilındrico, con bases perfectamente conductoras de seccion S, separadasuna distancia a, y paredes perfectamente dielectricas, de espesor despreciable. El interior se llenahasta la mitad con un lıquido dielectrico y permitividad ε. El resto se deja vacıo.

El recipiente se coloca en un principio con las bases dispuestas horizontalmente. En esta posicion,se carga hasta que la diferencia de potencial entre las placas es V0. Acto seguido se abre el circuitoy, sin descargar las placas, el recipiente es girado 90◦ alrededor de un eje horizontal. ¿Cual es lanueva diferencia de potencial entre las placas? ¿Como varıa la energıa almacenada?

Desprecie los efectos de borde y la influencia de las paredes.

4.12. Se tienen dos superficies cilındricas conductoras concentricas entre las cuales se colocan dielectricostal como muestran las figuras. ¿Cuales son las capacidades y cuales los circuitos equivalentes?

Repita el problema para el caso de que la figura represente esferas concentricas.

4.13. Supongase que se tiene una esfera de radio R un material dielectrico (de permitividad ε) alrededorde la cual hay vacıo. En puntos alejados de la esfera hay impuesto un campo electrico uniformeE0. Halle el potencial electrico y los campos electricos en el interior y el exterior de la esfera.

Sugerencia: El campo electrico dentro de la esfera es uniforme. Sabiendo esto, aplique el resulta-do del problema 4.2.

4.14. Una esfera metalica de radio R se encuentra aislada y almacena una carga Q. La esfera se encuen-tra en el vacıo.

(a) Indique la energıa almacenada en el sistema

(b) Suponga que, sin descargar la esfera, esta se recubre con una capa de espesor a de undielectrico de permitividad ε. Determine la nueva energıa almacenada en el sistema. ¿Comose explica el cambio en la energıa?

(c) Si en lugar de una esfera aislada y descargada tenemos una esfera conectada a un generadorque fija su potencial en un valor V0, ¿cual es la energıa antes y despues del recubrimiento?¿Como se interpreta el cambio en este caso?

4.15. Entre dos placas metalicas planas y paralelas, de seccion S y separadas una distancia a, se encuen-tra un dielectrico que presenta polarizacion remanente, de forma que en el

P = P0 + ε0χE

siendo P0 un vector uniforme, en la direccion perpendicular a las placas. El dielectrico es perfecta-mente aislante.

(a) Inicialmente las placas estan descargadas. Si se conectan mediante un voltımetro, ¿cuantomedira este?

(b) Suponga que las dos placas se conectan mediante un hilo conductor, ¿cuanta carga se alma-cena en cada placa metalica?

Problemas de ampliacion

4.16. En un sistema formado por dos esferas metalicas concentricas de radios a y c, entre las cuales seencuentran dos medios dielectricos, con una interfaz ecuatorial, existe una fuerza de atraccion entrelos electrodos, que esta ausente si solo hay un medio dielectrico que llene todo el espacio entre lasplacas. Se trata de calcular esta fuerza.

(a) Determine la densidad de carga libre en la superficie del electrodo interior.

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(b) Halle el valor del campo electrico en los mismos puntos.

(c) La fuerza sobre un elemento de superficie conductora es

dF =12σlE dS

Integrando esta fuerza elemental, determine la fuerza neta sobre el electrodo interior. ¿Haciadonde va dirigida? ¿Cual es el origen de esta fuerza?

(d) De forma analoga, calcule la fuerza sobre el electrodo exterior. ¿Se verifica la tercera ley deNewton?

Test

T.1 El vector desplazamiento se define como. . .

� A. D = ε0E + P

� B. D = εE + P

� C. D = εE

� D. Depende de cada material.

T.2 Se tiene un condensador coaxial puesto verticalmente, cuyo espacio se llena hasta la mitad de undielectrico lıquido de permitividad relativa 1/2. ¿Cuanto vale la capacidad de este condensadorcomparada con la que habrıa sin lıquido?

� A. 2/3 de la del vacıo.

� B. 3/4 de la del vacıo.

� C. 1/2 de la del vacıo.

� D. Tal situacion es imposible.

T.3 Entre las placas de un condensador se establece una diferencia de potencial ΔV . Si ahora seintroduce una lamina de dielectrico entre las placas, ¿que le ocurre a la energıa almacenada en elcondensador?

� A. Aumenta.

� B. Disminuye.

� C. No cambia.

� D. Podra aumentar o disminuir, dependiendo del valor de ε.

��

��

a

c

Problema 4.16

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T.4 Un condensador de placas planas y paralelas esta relleno de dos capas del mismo espesor demateriales dielectricos de permitividades relativas 2 y 3, siendo la interfaz paralela a las placas.¿Cuanto vale la capacidad de este condensador comparada con la situacion en vacıo?

� A. Es 2.4 veces mayor.

� B. Es 2.5 veces mayor.

� C. Es 4.8 veces mayor.

� D. Es 5 veces mayor.

T.5 Un condensador esta relleno de un dielectrico de permitividad ε. Cuanto mayor sea la permitividad,mayor sera. . .

� A. La diferencia de potencial entre las placas.

� B. El campo electrico entre las placas.

� C. La carga almacenada.

� D. La capacidad del condensador.

T.6 El vector D

� A. solo depende de la polarizacion.

� B. solo depende de las cargas libres.

� C. depende de las cargas libres y de la polarizacion, pero solo tiene fuentes escalares.

� D. depende de las cargas libres y de la polarizacion.

T.7 En un medio dielectrico ideal sin cargas libres, con polarizacion no uniforme P = P(r) se verifica.

� A. Las cargas de polarizacion son las unicas fuentes escalares del campo electrico E.

� B. Las fuentes escalares del campo D en dicho medio presentan una distribucion volumetrica nonula.

� C. En cualquier caso, D no tiene fuentes vectoriales.

� D. Las fuentes escalares del campo P en dicho medio son siempre nulas.

T.8 ¿Cuales son las unidades SI de la polarizacion electrica, P?

� A. C/m2

� B. V/m2

� C. C/m

� D. V/m

T.9 ¿En que se mide el desplazamiento electrico?

� A. C/m2

� B. m

� C. V/m

� D. N/A·m

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Campos Electromagneticos. Boletın 5. Marzo de 2006

Problemas basicos

5.1. El tubo de rayos catodicos de un osciloscopio consiste en un haz de electrones que son emitidos porun catodo con velocidad horizontal v0 = v0ux. Estos electrones pasan entre dos placas paralelas,separadas una distancia b, entre las cuales existe la tension que se pretende medir, de forma queel campo electrico entre ellas tiene el valor −V/buz. Estas placas tienen una longitud w. A unadistancia L del fin de las placas se encuentra una pantalla, sobre la cual inciden los electrones.Calcule la altura del punto de impacto en funcion de la tension aplicada y los restantes parametrosdel sistema.

¿Como se consigue que el haz de electrones barra la pantalla y no se mueva solo verticalmente?

5.2. Se tiene un cable de cobre de 1mm2 de seccion, por el cual circula una corriente de 1 A. Determinela velocidad media de los electrones en esta corriente, ası como el numero de electrones queatraviesan una seccion del cable en la unidad de tiempo.

Dato: Peso atomico del cobre P = 63.546 g/mol.

5.3. Una nube esferica de carga (compuesta de una distribucion de cargas puntuales flotando en elvacıo) se encuentra en expansion, creciendo el radio de la esfera como R(t) = R0 + vt. La cargatotal de la nube, Q0, se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumende la esfera.

A partir de la ley de conservacion de la carga, calcule la densidad de corriente de conduccion en lanube. Puede suponerse que J = J(r)ur y que esta densidad no es infinita en el centro de la esfera.

Calcule el campo electrico en todos los puntos del espacio.

5.4. Halle la resistencia entre los extremos de un bloque de conductor ohmico en forma de arco semi-circular de seccion cuadrada, El radio medio es b y el lado de la seccion es a. ¿A que se reduce elresultado si b � a?

5.5. Entre dos placas planas y paralelas, perfectamente conductoras, de seccion S, y separadas unadistancia a se encuentra un medio resistivo, de permitividad ε y conductividad σ. Entre las placashay establecida una tension V0.

w

L

v0

V

Eh

a

b


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(a) Halle la corriente que circula entre las placas y la carga almacenada en cada una, ası como laenergıa almacenada en el sistema.

(b) En t = 0 se desconecta el generador. Determine la evolucion de la carga en las placas a partirde ese momento.

(c) Halle la energıa disipada en el medio durante el proceso de descarga del condensador.

(d) Describa el comportamiento del sistema mediante un circuito equivalente.

5.6. Una esfera de radio a se despolariza segun la ley

P(r, t) = ke−λtrur

Determine las densidades de carga de polarizacion, ası como la densidad de corriente de polariza-cion. ¿Se verifica la ley de conservacion de la carga para ρp y σp?


5.7. Para determinar la conductividad σ del suelo se mide la corriente entre dos electrodos clavados entierra y sometidos a una cierta diferencia de potencial.

(a) Suponga en primer lugar solo un electrodo hemisferico de radio a, perfectamente conduc-tor, puesto a un potencial V1 respecto a puntos muy alejados. En el estado estacionario,determınese la distribucion de potencial en el suelo. Admıtase que el potencial depende ex-clusivamente de la distancia al centro del electrodo. A partir de este resultado, calculese laresistencia entre el electrodo y el infinito. Supongase que el suelo posee conductividad igualen todos sus puntos.

(b) Suponga ahora dos electrodos del tipo anterior, del mismo radio, y muy alejados entre sı. Sise conectan por el aire mediante un cable ideal y una fuente de continua de tension V0, ¿quecorriente circula de un electrodo al otro?

(c) Si para una tension de 100V entre dos electrodos de 10 cm de radio se mide una corriente de0.63A, ¿cuanto vale la conductividad del suelo?

5.8. Los primeros sistemas de distribucion de corriente para iluminacion eran en serie, con todas lasbombillas conectadas en serie y la fuente puesta al voltaje necesario. Los sistemas actuales son casisiempre en paralelo.

Suponga que se desea calcular que sistema es el mas economico en terminos de la disipacion deenergıa en el cable. Una calle mide L = 1km y las farolas estan separadas una distancia a = 50m,funcionando cada una a V0 = 240V y con una potencia P0 = 500W.

La resistencia del hilo de cobre es mucho menor que la de las bombillas, de forma que a la hora dehallar las corrientes en cada rama no es necesario considerarla (a la hora de hallar las perdidas sı).

Suponga que el sistema trabaja con corriente continua.

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V0

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L


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(a) ¿Cual es la seccion mınima necesaria para el cable en cada montaje si la densidad de corrienteno puede superar los Jm = 106 A/m2 y debe tener la misma anchura en todos sus puntos(σ = 5.7 × 107 S/m para el cobre).

(b) Se usa el hilo calculado en (a). Halle:

(1). El peso total de cobre usado en el sistema en serie y en paralelo (la densidad del cobre esaproximadamente ρm = 8960 kg/m3)

(2). La potencia disipada en el cobre en cada caso.

(c) A la vista de lo anterior, ¿por que se usan montajes en paralelo en lugar de en serie?

Dato: Puede ser necesario saber que

n2 + (n − 1)2 + (n − 2)2 + · · · + 1 =n(n + 1)(2n + 1)

6∼ n3

3(n grande)

5.9. La resistividad del aire en la atmosfera decrece exponencialmente con la altura como

σ−1 = r = r1e−α1z + r2e−α2z + r3e−α3z

dondei ri (1012 Ω · m) αi(km−1)1 46.9 4.5272 22.2 0.3753 5.9 0.121

El campo electrico en zonas despejadas de la superficie de la Tierra vale E0 = −100 V/m. Estecampo es practicamente constante y va siempre en la direccion vertical.

A partir de estos datos halle

(a) El valor del campo electrico para un punto situado entre la superficie de la Tierra y la ionosfera(z = 100 km).

(b) La diferencia de potencial entre la superficie y la ionosfera.

(c) La distribucion de cargas en la atmosfera.

(d) La corriente total que llega a la superficie de la Tierra.

(e) La potencia necesaria para mantener esta corriente estacionaria

(f) Estime el tiempo que tardarıa la atmosfera en descargarse si no existiera un mecanismo gene-rador

5.10. Tras una rotura de un cable de cobre (de resistividad r1) de seccion S y gran longitud, se procedea unir los dos pedazos mediante una soldadura. Como consecuencia de la presencia de oxido laresistividad del cable aumenta hasta un valor r2 en una region alrededor del punto de contacto,pudiendose describir matematicamente segun la ley

r(x) = r1 +r2 − r1

1 + (x/a)2

(a) Calcule el aumento de la resistencia total del cable. Aplıquese al caso S = 1mm2, r1 =1.7 × 10−8 Ω · m, r2 = 1.1 × 10−6 Ω · m, a = 2mm.

(b) Si la potencia maxima por unidad de volumen que soporta el hilo antes de fundirse es p =700W/m3, determine la intensidad de corriente maxima que puede circular por el cable antesde la soldadura y despues de ella.

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5.11. Se tiene un circuito impreso en forma de “H” de un material de conductividad σ, con cuatroterminales, una de las cuales se encuentra permanentemente a tierra. Los brazos de la H y eltabique central poseen longitud b. Los cuatro brazos tienen anchura a, (a � b) mientras que eltramo central posee anchura 2a, segun indica la figura. El espesor de toda la pista es c.

(a) Determine la matriz de los coeficientes de conductancia, Gij , correspondiente a los tres termi-nales libres. Desprecie la pequena contribucion de las esquinas donde confluyen los brazos.

(b) A partir de la matriz anterior, calcule las conductancias Gij y elabore un circuito equivalenteal sistema de tres electrodos, que no emplee nodos intermedios.

(c) Determine la potencia consumida en la pista cuando el terminal 1 se encuentra a potencial V0

y los otros a tierra.

(d) En la configuracion anterior se corta la conexion a tierra del electrodo 2. En el nuevo estadoestacionario, ¿se consume mas o menos potencia que antes de la desconexion? ¿Cuanto?

5.12. Como ejemplo ilustrativo del concepto de fuerza electromotriz, considere el siguiente sistema:

(a) En el interior de un fluido dielectrico de permitividad ε se introducen dos electrodos coplanaresde gran anchura, que casi llegan a tocarse. Determine la distribucion de campos en el sistemacuando una de las placas se situa a tierra y la otra a tension V0 (suponga que las lıneas decampo electrico son arcos circulares que van de una placa a la otra).

(b) Por un pequeno orificio en el electrodo positivo, situado a una distancia a del borde de loselectrodos, se introduce una partıcula muy ligera con carga q. La partıcula se mueve poraccion del campo electrico hacia el otro electrodo. Ademas de la a la fuerza electrica, se hallasometida a una fuerza de friccion viscosa −γv. Determine el movimiento de la partıcula y eltiempo T que tarda en llegar al catodo. ¿Que trabajo realiza el campo electrico durante estetrayecto? ¿En que se emplea este trabajo?

(c) Si al llegar al otro lado, la partıcula es recogida por un dispositivo mecanico (una especiede bomba) que se encarga de devolverla a su posicion inicial, describiendo una trayectoriasemicircular y empleando el mismo tiempo T en hacerlo, ¿que trabajo realiza este agentemecanico? ¿En que se emplea?

(d) El proceso se repite numerosas veces, ¿cuanto vale la corriente electrica promedio que fluyede una placa a la otra? ¿Cuanto la fuerza electromotriz? ¿Y la potencia disipada?

5.13. Dos esferas metalicas, perfectamente conductoras, de radio a, se encuentran muy alejadas la unade la otra (de forma que no se influyen la una a la otra). Las dos esferas se encuentran conectadasmediante un cable de resistencia R. Una de las esferas se encuentra conectada a un generador detension V0, a traves de un interruptor que inicialmente se encuentra abierto. Ambas esferas estaninicialmente descargadas.

1

2

3

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a

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b

+

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V0

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b


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(a) Suponga que el interruptor se cierra durante un periodo de tiempo muy corto (el imprescin-dible para que se cargue la esfera conectada a el) y se vuelve a abrir. Justo tras este intervalo¿como es la distribucion de cargas y potenciales en las esferas? ¿Cuanto vale la energıa elec-trostatica almacenada en el sistema?

(b) Si se deja transcurrir un periodo de tiempo largo, ¿como queda la distribucion de cargas ypotenciales? ¿Cual es la energıa electrostatica almacenada en el sistema en el estado final?

(c) Determine la evolucion en el tiempo de las cargas y potenciales en cada esfera, ası como lacorriente que circula por el cable.

(d) Halle la energıa disipada en el cable durante el periodo transitorio y verifique que se satisfaceel balance energetico.

(e) Suponga ahora que, en el proceso anterior, el generador no se desconecta, sino que se dejapermanentemente conectado a la primera esfera. En ese caso, ¿como varıa la carga en cadaesfera? ¿Y la corriente por el cable? ¿Y la energıa disipada y la energıa almacenada?

5.14. Entre dos placas planas y paralelas separadas una distancia a + b se coloca una capa de espesora de un medio de permitividad ε1 y conductividad σ2. El resto del espacio lo ocupa una capa deespesor b de un material de permitividad ε2 y conductividad σ2.

En el instante t = 0 se conecta una diferencia de potencial V0.

(a) ¿Cuanto valen E, D y J inmediatamente despues de conectar el potencial?

(b) ¿Cuanto valen un tiempo largo despues de que se haya establecido?

(c) ¿Cuanto valen en cualquier instante?

5.15. Entre dos placas metalicas, planas y paralelas, de seccion S, y separadas una distancia a, se en-cuentra un medio ohmico de permitividad ε y conductividad σ.

Ambas placas estan conectadas a sendos generadores de tension variable.

(a) Inicialmente ambas placas se encuentran a tierra. Entonces, la tension de la placa 1 se varıagradualmente de 0 a V0 en un tiempo T como V1(t) = V0t/T . Determine la corriente quellega a esta placa durante este tiempo.

(b) Para el periodo anterior, calcule la energıa disipada en el medio ohmico, ası como la energıaaportada por el generador en este intervalo. ¿Coinciden estas dos cantidades? Si no lo hacen,¿a que se debe su diferencia?

(c) Una vez que la placa 1 se encuentra a tension V0, el potencial de la placa 2 comienza a elevarsehasta el mismo valor, requiriendo de nuevo un periodo T para alcanzar el valor lımite. ¿Cuantacorriente llega a la placa 1 durante este intervalo? ¿Y a la placa 2?

(d) Durante este segundo periodo, ¿cuanta energıa se disipa en el medio? ¿Cuanta aporta cadagenerador? ¿Se verifica el balance energetico?

Problemas de ampliacion

5.16. Suponga que se sumergen dos conductores perfectos en un material de permitividad ε y conduc-tividad σ. Si se aplica entre ellos una diferencia de potencial constante V0 la corriente que llega auno de ellos vale I0. ¿Cual sera la corriente si el voltaje varıa como V0 cos ωt?

5.17. Suponga que en los problemas 5.13, y 5.14, en lugar de una senal escalon aplicamos una tensionalterna V = V0 cos(ωt).

Para cada una de estas configuraciones:

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(a) ¿Cuanto vale la corriente que llega al elemento? ¿Cual es la impedancia del sistema? ¿Y elcircuito equivalente?

(b) ¿Cuanto vale la energıa aportada por el generador en un periodo? ¿En que se emplea estaenergıa?

5.18. Como ejemplo de situacion en la que no se verifica la ley de Ohm, considere el caso de una valvulade vacıo. En su version mas simple, esta formada por dos placas planas y paralelas, de seccionS y distancia a entre ellas. Una de las placas (situada en x = 0) esta permanentemente a tierra,mientras que la otra (en x = a) se encuentra a una tension fijada V0. Entre las placas se crea elvacıo lo mas perfecto posible.

La diferencia entre este sistema y un condensador, que no puede ser atravesado por una corrientecontinua, es que la placa de tierra se calienta hasta una cierta temperatura. En este caso, puedeproducirse el efecto termoionico, segun el cual la energıa termica de algunos electrones es suficientepara que puedan abandonar el material y fluir por el vacıo intermedio

(a) Si la tension del electrodo frıo es negativa, ¿habra corriente en el sistema?

(b) Suponga ahora que V0 > 0 y que un electron viaja desde el catodo caliente al anodo frıo. Apartir de la ley de conservacion de la energıa mecanica, ¿cual es la velocidad, v del electronen un punto en el que φ = φ(x)? Admita que los electrones son emitidos con velocidad nula.

(c) Si el numero de electrones emitidos es abundante, habra una cierta densidad de carga ρ =ρ(x). Teniendo esto en cuenta, escriba la ecuacion de Poisson y las condiciones de contornopara el potencial.

(d) En el estado estacionario, ¿a que se reduce la ley de conservacion de la carga? ¿Como serelaciona J con ρ y v?

(e) El sistema formado por las ecuaciones de los apartados anteriores admite una solucion par-ticular en la que el potencial depende de la posicion como

φ =(

x

a

)p

V0

siendo p un valor a determinar. Calcule este valor y establezca la relacion entre la tensionaplicada y la corriente que atraviesa el elemento. ¿Que utilidad practica tiene este elemento?

Test

T.1 Dos conductores de diferente conductividad y la misma seccion se conectan en serie y se sometena una cierta diferencia de potencial.

� A. La intensidad de corriente es mayor en el de mayor conductividad.

� B. El campo electrico es menor en el de mayor conductividad.

� C. El campo electrico es mayor en el de mayor conductividad.

� D. La intensidad de corriente es menor en el de mayor conductividad.

T.2 Un cable de seccion S y longitud a, se estira (manteniendo su volumen) reduciendo su seccion aS/2. La resistencia del cable, comparada con la inicial, es

� A. la mitad.

� B. el doble.

� C. cuatro veces mayor.

� D. ocho veces mayor.

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T.3 Se tienen tres sustancias. Una tiene ε1 = 7 × 10−10 F/m y σ1 = 10−3 S/m. La segunda tieneε2 = 7 × 10−10 F/m y σ2 = 10−2 S/m. La tercera tiene ε3 = 3 × 10−11 F/m y σ3 = 10−3 S/m. ¿Encual de las tres se produce antes la relajacion de la carga?

� A. En la primera.

� B. En la segunda.

� C. En la tercera.

� D. Depende de la densidad de carga inicial.

T.4 Un cable por el cual circula una corriente estacionaria posee seccion variable. Donde la seccion esmenor. . .

� A. La densidad de corriente es mayor.

� B. La densidad de corriente es menor.

� C. La intensidad de corriente es mayor.

� D. La intensidad de corriente es menor.

T.5 Dentro de un generador de corriente continua conectado a un circuito

� A. la corriente va en el mismo sentido que el campo electrostatico.

� B. la tension entre los bornes coincide con la f.e.m. del generador.

� C. la densidad de corriente fluye en sentido opuesto al campo electrostatico.

� D. el campo electrostatico va de las cargas negativas a las positivas.

T.6 La conductividad de un metal disminuye con la temperatura, mientras que la de un semiconductoraumenta. Cuando se aplica una diferencia de potencial constante a un hilo de un material, ¿varıala corriente con el tiempo?

� A. No. Si la tension es continua, la corriente tambien.

� B. Aumenta si es un metal y disminuye si es un semiconductor.

� C. Disminuye si es un metal y aumenta si es un semiconductor.

� D. Aumenta en todos los casos.

T.7 Dada una superficie cerrada, la integral ∮J · dS

es igual a. . .

� A. I

� B. dQint/dt

� C. −dQint/dt

� D. es siempre nula.

T.8 Se tiene la frontera entre dos materiales ohmicos, de distinta permitividad y distinta conductividad.Existe una distribucion estacionaria de corrientes. ¿Que componente de que campo es continua enesta interfaz?

� A. La tangencial de J.

� B. La normal de J

� C. La tangencial de D.

� D. La normal de D

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T.9 La conductividad del cobre es el doble de la del aluminio. Sendos hilos de la misma seccion ylongitud se colocan en serie y se aplica una diferencia de potencial V0 entre los extremos.

� A. Las perdidas por efecto Joule son el doble en el cobre que en el aluminio.

� B. La caıda de tension en el cobre es el doble que en el aluminio.

� C. Las perdidas por efecto Joule son el doble en el aluminio que en el cobre.

� D. La corriente en el aluminio es el doble que en el cobre.

T.10 Se tiene un conjunto de conductores inmersos en un medio ohmico, lineal y homogeneo, de per-mitividad ε y conductividad σ.Los coeficientes de capacidad Cij y de conductancia Gij estan rela-cionados de la siguiente forma:

� A. Cij/Gij = λij distinto para cada i, j.

� B. Cij/Gij = σ/ε para todo i, j.

� C. Cij/Gij = ε/σ para todo i, j.

� D. Cij/Gij = k para todo i, j, siendo k una cantidad dependiente de la geometrıa del medio.

T.11 El espacio entre dos placas conductoras ideales, planas y paralelas, esta relleno de un dielectricono ideal, de conductividad pequena pero no nula. Este dispositivo se conecta a un generador defuerza electromotriz constante. En el estado estacionario. . .

� A. el dispositivo no almacena energıa electrica, solo la disipa.

� B. el dispositivo no disipa energıa electrica, pero sı la almacena.

� C. la energıa almacenada y la disipada en el dispositivo son constantes.

� D. la energıa almacenada en el condensador permanece constante, pero la disipada crece con eltiempo.

T.12 Una corriente de 30 mA se reparte entre dos cables del mismo material y la misma longitud puestosen paralelo, siendo el primero de radio doble que el segundo. ¿Cuanta corriente va por el primercable?

� A. 24 mA.

� B. 20 mA.

� C. 10 mA.

� D. 6 mA.

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Campos Electromagneticos. Boletın 6. Abril de 2006

Problemas basicos

6.1. Una lınea de alta tension esta formada por dos cables, que podemos suponer como hilos rectilıneosinfinitos y paralelos situados a una distancia d = 6m entre sı y a una altura h = 10m. Por estoscables circulan corrientes ±I, con I = 2kA.

(a) Halle el campo magnetico al nivel del suelo.

(b) Calcule la fuerza magnetica, por unidad de longitud, que los hilos se ejercen entre sı.

6.2. Una partıcula de masa m y carga q se mueve en el interior de un campo magnetico uniformeB = B0uz. Si la partıcula se halla inicialmente en el origen y moviendose con velocidad v = v0.¿Cual es la trayectoria posterior? ¿Cual es la posicion en un instante de tiempo t?

6.3. Una espira plana de forma irregular se coloca de forma que parte de ella se encuentra en un campomagnetico uniforme B (en la figura el campo ocupa la region sombreada y apunta perpendicular-mente al plano de la espira). Por la espira circula una corriente I. Pruebe que la fuerza magneticaneta sobre la espira es F = IBs, donde s es la cuerda subtendida.

Generalice este resultado para el caso de que la forma de la region ocupada por el campo magneticosea tambien irregular. ¿En que direccion apunta la fuerza?

6.4. Un solenoide de radio a, altura h y n espiras por unidad de longitud, puede aproximarse por unadistribucion de corriente superficial sobre un cilindro.

(a) Halle el valor K equivalente a que por las espiras circule una corriente I.

(b) Empleando la ley de Ampere, calcule el campo producido por el solenoide, si h → ∞.

(c) Mediante integracion directa, halle el campo magnetico en los puntos del eje del cilindro si hes finito. Estudie el lımite h � a

6.5. Sobre un cilindro de radio a y longitud infinita fluye una corriente superficial de densidad uniformeK. Halle el campo magnetico en todos los puntos del espacio.

��

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I

-Is

I

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6.6. Se desea construir una balanza que en lugar de un resorte funcione por fuerzas magneticas. Paraello, se produce un campo magnetico uniforme B = B0uz en una region rectangular. En el interiorde este campo se coloca una espira, por la cual se hace circular una corriente continua, I.

(a) Suponga que se usa como espira un triangulo rectangulo de hipotenusa a, masa m0, re-sistencia electrica R y autoinduccion despreciable. En el vertice inferior se coloca una agujaindicadora. Aplicando el resultado del problema 6.3, calcule a que distancia del borde inferiorestara la aguja cuando no hay colgado ningun peso.

(b) ¿Cual sera la posicion de la aguja cuando se cuelga una masa m de la balanza? ¿Cual es elpeso maximo que puede medir esta balanza?

(c) ¿Funcionarıa la balanza con una espira cuadrada? ¿Y con una espira triangular invertida?(Sugerencia: piense en lo que ocurre si la balanza se aleja ligeramente de su posicion deequilibrio)

6.7. Se tiene un solenoide cilındrico de gran longitud formado por un hilo, arrollado formando unahelice, de radio R y paso de rosca (distancia entre dos espiras consecutivas) b. Por el cable circulauna corriente I.

Halle el campo magnetico en todos los puntos del espacio, teniendo en cuenta la inclinacion de lasespiras. (Sugerencia: Combine los resultados de los problemas 6.4 y 6.5.)

6.8. En el plano z = 0 se encuentran dos anillos coplanarios concentricos, de radios a y b (b > a). Porel anillo interior circula una corriente I0.

(a) Halle la corriente I1 que debe circular por el anillo exterior para que el campo magnetico enel centro de los anillos se anule.

(b) Calcule el campo magnetico en todos los puntos del eje del sistema.

(c) Halle el campo en todos los puntos del espacio alejados de los anillos.

(d) Suponga que b = 2a y que nos situamos a una altura z = 10a. ¿Cual es el error relativocometido al aproximar el valor exacto del campo por la aproximacion dipolar?

6.9. Una espira rectangular de lados a y b, recorrida por una corriente I1, es coplanaria con un conductorrectilıneo, por el que circula una corriente I2. La distancia del centro de la espira al hilo es d. Hallela fuerza que aparece entre el hilo y la espira.

�B

I

mg

x

y

z

a

a

b

z

I2

I1

d

a

b


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6.10. Por un cable vertical muy largo, se hace circular una corriente I0. Un pequeno iman (equivalentea un dipolo magnetico m), de peso Mg, se suspende de un hilo ideal, de longitud l, cuyo puntode sujecion se encuentra a una distancia a del cable. El iman esta sujeto por su punto central, deforma que puede orientarse libremente. ¿En que direccion apuntara el iman? Calculese la fuerzamagnetica sobre el iman, cuando se encuentra a una distancia x del cable. Halle la ecuacion parael angulo que el hilo forma con la vertical.

6.11. Sobre una mesa horizontal se colocan dos brujulas (equivalentes a dipolos magneticos) iguales,de forma que sus centros distan una cantidad a. Las dos brujulas pueden girar en el plano hori-zontal. Considerando que la interaccion brujula-brujula es mucho mayor que la accion del campomagnetico terrestre, ordene las cuatro configuraciones de la figura de menor a mayor energıa.¿Como se orientaran las brujulas?

6.12. Se tiene un pequeno iman, modelable como un dipolo magnetico puntual de momento magneticom0 = m0 uz, situado a una cierta altura z sobre el eje de una espira circular de radio a por la quecircula una corriente electrica continua de intensidad I0.

Calcule la fuerza que la espira ejerce sobre el dipolo, y la que el dipolo produce sobre la espira. ¿Severifica la tercera ley de Newton?

6.13. Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de aluminio revestidode cobre. Esta formado por un nucleo de aluminio de radio a (suponga a = 2mm), rodeado poruna capa de cobre, de radio exterior b (sea b = 3mm).

Halle el campo magnetico producido por el cable, tanto en su interior como su exterior, cuandopor el circula una corriente I = 100A. (Suponga μ = μ0 en todos los materiales) ¿Cual es el valormaximo del campo magnetico? ¿Donde se alcanza?

6.14. Un cilindro de permeabilidad μ0, de radio a y gran longitud, esta electricamente cargado con unadensidad volumetrica de carga uniforme ρ0. El cilindro gira alrededor de su eje de simetrıa conuna velocidad angular ω, de manera que un punto arbitrario del cilindro existe una densidad decorriente J = ρ0ω × r.

Demuestre que el campo magnetico creado por el cilindro en movimiento es de la forma

B =

⎧⎨⎩

μ0(C − Aρ2)uz 0 < ρ < a

0 ρ > a

y determine el valor de las constantes A y C.

I

a

l

m

�

(a) (b)

(c) (d)


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Test

T.1 El campo magnetico de una bobina cilındrica ideal. . .

� A. describe circunferencias en torno al cilindro, en el exterior. En el interior es nulo.

� B. se aleja radialmente del cilindro, en el exterior. En el interior es nulo.

� C. es no nulo en el interior y va en la direccion del eje del cilindro.

� D. describe circunferencias en torno al cilindro, en el interior. En el exterior es nulo.

T.2 Un rayo es una corriente que va desde el suelo hacia una nube. ¿Hacia donde se desvıa un rayopor accion del campo magnetico terrestre?

� A. Hacia el norte.

� B. Hacia el sur.

� C. Hacia el este.

� D. Hacia el oeste.

T.3 Por dos espiras circulares identicas y paralelas circulan corrientes en el mismo sentido. ¿Como esla fuerza entre ellas si estan en distintos planos, una sobre la otra? ¿Y si estan en el mismo plano,separadas una cierta distancia?

� A. Se atraen en ambos casos.

� B. Se atraen el primero y se repelen en el segundo.

� C. Se repelen en el primero y se atraen en el segundo.

� D. Se repelen en ambos casos.

T.4 ¿En que se mide el momento dipolar magnetico en el SI?

� A. A/m2.

� B. T· m2

� C. T· m/A

� D. A· m2

T.5 Junto a una corriente rectilınea I0 se situa un segundo hilo, por el cual circula una corriente −I0.¿Como es la fuerza que aparece sobre esta segunda corriente?

� A. Nula.

� B. Atractiva.

� C. Repulsiva.

� D. En la direccion perpendicular al plano de los dos hilos.

T.6 Una espira cerrada, por la cual circula una corriente continua, sumergida en un campo magneticouniforme, ¿experimenta fuerza magnetica neta?

� A. No.

� B. Sı, perpendicular al campo magnetico y paralela a la corriente que circula por la espira.

� C. Sı, perpendicular al plano de la espira.

� D. Sı, perpendicular al campo magnetico y a la corriente que circula por la espira.

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T.7 Se tiene una espira de 20 cm de radio recorrida por una intensidad de 300 A. El campo magneticoen su centro vale, aproximadamente. . .

� A. 0.9 μT

� B. 0.9 mT

� C. 0.09 mT

� D. 0.9 T

T.8 Una carga puntual se mueve en el seno de un campo B. ¿Que condicion es indispensable para queel trabajo realizado por dicho campo sea nulo?

� A. No es necesaria ninguna condicion particular.

� B. Que la carga se detenga.

� C. Que la carga se mueva sobre las lıneas del campo B.

� D. Que la carga se mueva manteniendose perpendicular a las lıneas del campo B.

T.9 Dos espiras circulares del mismo radio tienen el mismo centro y un diametro comun, pero se en-cuentran en planos perpendiculares. Cuando por las espiras circulan corrientes I1 e I2, ¿comotienden a moverse?

� A. Tienden a ponerse coplanarias, con corrientes paralelas.

� B. De ninguna forma.

� C. Depende de si las corrientes son iguales o diferentes.

� D. Tienden a ponerse coplanarias, con corrientes antiparalelas.

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Camino de los Descubrimientos s/n41092 Sevilla

Campos Electromagneticos. Boletın 7. Mayo de 2006

Problemas basicos

7.1. El momento dipolar magnetico de un atomo de hierro es aproximadamente

m � 2.22eh

2me

¿Cual es el valor maximo que puede tener la magnetizacion de un trozo de hierro?

Suponga que se tiene un iman cilındrico de gran longitud, magnetizado a lo largo de su eje. Sa-biendo que el campo en el extremo de la barra es aproximadamente B � µ0M/2, calcule el campoque producira este iman. Estime el valor de las corrientes de magnetizacion equivalentes a estaimanacion.

7.2. Se tiene un cilindro de longitud L y radio R, magnetizado segun la ley

M = Ayux

estando situado el origen de coordenadas en el centro del cilindro y siendo el eje z coincidente conel del iman.

Halle las fuentes vectoriales equivalentes a esta magnetizacion. Calcule tambien la distribucion defuentes escalares equivalente.


7.3. Se dispone de una esfera de radio R con una imanacion permanente M = M0uz.

(a) Determine la expresion integral del potencial vector magnetico. Calcule el valor de la integral.Hallese, a partir de A, el valor de B y de H en todos los puntos del espacio.

(b) Describa cualitativamente la forma de B, H y M

(c) Calcule las corrientes de magnetizacion equivalentes, las ecuaciones y las condiciones de con-torno para B.

(d) Halle la distribucion de cargas magneticas equivalentes y el problema de ecuaciones y condi-ciones de contorno para H.

7.4. Se construye un iman cilındrico de radio R = 1cm y longitud L, con una magnetizacion uniformey paralela a su eje M0 = 105 A/m.

(a) Determine aproximadamente los campos H y B cuando L = 1mm, en el centro del iman yen un punto ligeramente por encima de su base superior.

• A partir de las corrientes de magnetizacion.• A partir de las cargas magneticas.

(b) Estime H y B cuando L = 1m en los mismos puntos y con los mismos metodos

(c) Determine exactamente H y B en todos los puntos del eje del iman, tanto dentro como fuerade el. Compare con los resultados anteriores

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7.5. Supongase que se tiene una esfera de radio R un material magnetico lineal (de permeabilidad µ)alrededor de la cual hay vacıo. En puntos alejados de la esfera hay impuesto un campo magneticouniforme B0.

(a) Sabiendo que la magnetizacion que aparece en la esfera es uniforme, hallese el valor de dichamagnetizacion, del momento dipolar inducido en la esfera, y del campo magnetico en todoslos puntos del espacio.

(b) ¿En que se diferencia el resultado para un material diamagnetico (µ < µ0) de uno para-magnetico? ¿A que se reducen los resultados en los casos de un paramagnetico ideal (µ → ∞)y un superconductor (µ = 0)?

(c) Hallense las corrientes de magnetizacion que aparecen en la esfera.

(d) Calculense los valores numericos para los apartados anteriores con un campo externo B0 =10mT aplicado sobre una esfera de radio 1 cm para los siguientes materiales: oro, aluminio,hierro y un superconductor.

Test

T.1 Se tiene una barra de iman cilındrica. Se parte en dos mitades.

� A. Tras el corte, los dos pedazos se repelen.

� B. Tras el corte, los dos pedazos se atraen.

� C. Ni se atraen ni se repelen, ya que los polos del iman quedan en los extremos separados delcorte.

� D. Se atraen o se repelen, dependiendo de por donde se haya hecho el corte.

T.2 En un material diamagnetico. . .

� A. H va en sentido opuesto a M y B.

� B. M va en sentido opuesto a H y B.

� C. B va en sentido opuesto a M y H.

� D. Los tres campos van en el mismo sentido.

M0 L

R

M0

B0

mm0


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T.3 ¿Como se define el campo magnetico H?

� A. H = µ0B + M.

� B. H = B/µ0 − M.

� C. H = B/µ.

� D. Depende del material.

T.4 ¿Como son las corrientes de magnetizacion equivalentes a una esfera magnetizada radialmente,M = M(r)ur?

� A. Jm es radial y Km es nulo.

� B. Jm y Km son ambas nulas.

� C. Jm es nula, y Km va en la direccion de uϕ.

� D. Jm es nula, y Km va en la direccion de uθ.

T.5 Una esfera esta magnetizada uniformemente con una imanacion M = 105uz (A/m). ¿Cuanto valeaproximadamente el maximo campo magnetico que produce?

� A. La pregunta es incorrecta porque la magnetizacion no se mide en A/m.

� B. El campo de esta esfera es nulo en todas partes.

� C. 85 mT.

� D. 67 kT.

T.6 ¿Cuales son las unidades de la magnetizacion, M, en el SI?

� A. T.

� B. T/(m·A).

� C. A·m2.

� D. A/m.

T.7 Una muestra de un material magnetico lineal se coloca sobre el polo norte de un iman.

� A. La muestra es repelida si es diamagnetica y atraıda si es paramagnetica.

� B. La muestra es repelida en cualquier caso.

� C. La muestra es repelida si es paramagnetica y atraıda si es diamagnetica.

� D. La muestra es atraıda en cualquier caso.

T.8 Se tiene una barra de gran longitud imanada longitudinalmente, con una magnetizacion longitudi-nal uniforme M0 = 105 A/m. ¿Cuanto vale aproximadamente el modulo del campo B en el centrodel iman?

� A. 0.126 mT.

� B. Es nulo.

� C. 84 mT.

� D. 126 mT.

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T.9 Un material paramagnetico y uno diamagnetico hacen contacto en una interfaz plana. Se tiene uncampo magnetico H que es uniforme y vale lo mismo en ambos medios y es tangencial a la interfazplana. En esta superficie. . .

� A. hay una densidad superficial de corrientes de magnetizacion, pero no de carga magnetica.

� B. no hay densidad superficial de carga magnetica, pero sı de corrientes libres.

� C. no hay una densidad superficial de corriente libre, pero sı de carga magnetica.

� D. hay densidades no nulas de corriente de magnetizacion y de cargas magneticas.

T.10 El campo magnetico H, en general,. . .

� A. es solenoidal.

� B. es irrotacional.

� C. es solenoidal e irrotacional.

� D. no es ni solenoidal ni irrotacional.

T.11 En la interfaz de separacion entre dos medios materiales magneticos siempre se verifica la continui-dad de. . .

� A. la componente normal de H.

� B. la componente tangencial de M.

� C. la componente normal de B.

� D. la componente tangencial de H.

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Campos Electromagneticos. Boletın 8. Mayo de 2006

Problemas basicos

8.1. Se tiene un solenoide largo de seccion S, por el cual circula una corriente variable en el tiempoK0(t). Dos voltımetros miden el voltaje entre dos puntos A y B, diametralmente opuestos, de uncircuito formado por dos resistencias R1 y R2, tal como se ve en la figura. Halle las lecturas de losvoltımetros. ¿Coincidiran estas? ¿Por que?

8.2. Se tienen dos anillos metalicos. Ambos anillos estan centrados en el origen de coordenadas. Unode ellos posee radio b y esta situado en el plano xy. El otro es de radio a esta inclinado, de formaque su normal forma un angulo θ con el eje z. El radio b es mucho mayor que a.

(a) Determine el coeficiente de induccion mutua entre los dos anillos a partir del flujo del campodel anillo exterior a traves del anillo interior (tenga en cuenta que este es muy pequeno),cuando por el anillo exterior circula una corriente I1.

(b) Halle el coeficiente de induccion mutua a partir del flujo del campo del anillo interior (que espracticamente un dipolo) a traves del anillo exterior cuando por el anillo interior circula unacorriente I2. ¿Son iguales los dos coeficientes?

8.3. Suponga la misma configuracion geometrica del problema 8.2. Por el anillo exterior se hace circularuna corriente constante I0. El anillo interior se hace girar en torno al diametro comun, de formaque el angulo θ varıa con velocidad constante ω. Despreciando los efectos de la autoinduccion,halle la corriente que circula por el anillo interior.

Calcule la energıa disipada en este anillo durante un periodo de revolucion. ¿De donde procedeesta energıa?

8.4. Tres solenoides cilındricos muy largos se disponen concentricamente. Dichos solenoides poseen lamisma longitud L y el mismo numero de espiras, las cuales estan arrolladas en el mismo sentido.Los radios de las bobinas son, respectivamente, a, b y c (a < b < c).

(a) Determine la matriz de inducciones mutuas del sistema.

V1 V

2

R1

R2

K0( )t

�A

�B

n

uz

b

a

�

ac b

Problema 8.1 Problemas 8.2 y 8.3 Problema 8.4

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(b) Suponga que se conectan el extremo superior de la bobina interior con el extremo superior dela exterior. ¿Como queda entonces la matriz de inducciones mutuas del nuevo sistema de dosconductores?


8.5. Junto a un cable rectilıneo de longitud infinita, por el cual circula una corriente I0 cos(ωt), se hallauna espira cuadrada, de lado a. Dos de los lados de la espira son paralelos al cable, estando el ladomas cercano a una distancia a del cable. La espira esta construida con un material de conductividadσ y la seccion del cable con que esta hecha es A. La autoinduccion de la espira puede considerasedespreciable.

(a) Calcule la corriente que circula por la espira.

(b) Halle la fuerza que el cable ejerce sobre la espira.

(c) Calcule la energıa disipada en la espira durante un periodo de oscilacion de la corriente delcable.

(d) De valores numericos para los resultados anteriores si I0 = 1A, ω = 100π s−1, a = 1cm,σ = 5.9 × 107S/m, A = 1mm2

8.6. Un amperımetro de induccion consiste en un solenoide toroidal (de resistencia despreciable y au-toinduccion L), que se situa en torno a la corriente que se pretende medir.

(a) Supongase un toroide de radio medio b y seccion cuadrada pequena de lado a (a � b), conN espiras arrolladas sobre un nucleo de permeabilidad μ (en este problema, ello solo suponecambiar μ0 por μ). Calculese el coeficiente de autoinduccion de este solenoide, a partir delcampo que se crea en su interior cuando por el solenoide circula una corriente I. Supongaseque dentro del solenoide B es de la forma B = B0uϕ con B0 uniforme.

(b) El solenoide anterior se coloca concentricamente con un hilo rectilıneo por el cual circula unacorriente I0 cos(ωt). Calculese la fuerza electromotriz que el hilo induce en el solenoide.

(c) Despreciando la resistencia del solenoide (pero no su autoinduccion), hallese la amplitud dela corriente que circula por el solenoide.

(d) Esta amplitud es proporcional a la de la corriente del hilo, ¿cuanto vale la constante de pro-porcionalidad para un toroide de radio medio 2 cm, y lado 2mm, con 300 espiras y con unnucleo de permeabilidad μ = 10−4 H/m?

8.7. La figura representa un carril metalico superconductor por el cual puede deslizarse una varilla hori-zontal, tambien superconductora. Esta varilla esta inmersa en un campo uniforme B0 y cae por laaccion de la gravedad.

Inicialmente se encuentra en reposo y no circula intensidad por el circuito. En este momento sesuelta. Determine la ecuacion de movimiento y la posicion de la varilla en funcion del tiempo si elcircuito esta cerrado por:

(a) Una resistencia R (b) Un condensador C (c) Una autoinduccion L.

Estudie en cada caso el balance energetico del sistema.

8.8. Se construye una espira doble, soldando una barra a una espira cuadrada de lado 3a. La barraune dos lados opuestos y esta situada a una distancia a de uno de los lados. Tanto la barra comola espira cuadrada estan hechas de un alambre metalico de seccion S y conductividad σ.

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La espira gira en torno de la barra con velocidad angular ω, en el seno de un campo magneticouniforme B0, perpendicular a la barra. En t = 0 el plano de la espira es perpendicular al campomagnetico.

(a) Calcule la corriente que circula en cada alambre como funcion del tiempo.

(b) Halle la energıa disipada en un periodo de revolucion. ¿En que se va esta energıa? ¿De dondeprocede?

8.9. Se tienen dos solenoides cilındricos concentricos de longitud h, muy grande. Los solenoides tienenradios a y 2a, respectivamente, y estan construidos con N espiras de un material superconductor,arrolladas en el mismo sentido.

Supongase que los extremos del cilindro interior estan cortocircuitados por un hilo tambien super-conductor y que, inicialmente, no circula corriente por este solenoide. Los extremos de la bobinaexterior estan inicialmente unidos a un generador de intensidad que produce una corriente I0. Ent = 0, esta bobina se desconecta del generador y se cierra el circuito a traves de una resistencia R.

(a) Calcule las corrientes que circulan por cada solenoide en cualquier instante posterior.

(b) Halle la energıa almacenada inicialmente, la energıa final y la potencia disipada en la resisten-cia a lo largo del tiempo.

I0

cos( t)�

A

ab

B

Z

g

v

x

y

z


a

3a

2a

�t

B0

a2a

h

I0

R


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Test

T.1 Dos espiras metalicas iguales se colocan paralelamente. Por una de ellas circula una corriente I0,que disminuye en el tiempo.

� A. Por la segunda espira circula una corriente en el mismo sentido que la primera.

� B. Por la segunda espira circula una corriente en sentido opuesto al de la primera.

� C. Por la segunda espira circulara corriente solo si las dos espiras se estan acercando o alejando.

� D. Por la segunda espira no circulara corriente, si no hay un cable que la conecte a la primera.

T.2 Una espira circular gira en torno a un diametro situado sobre el eje x. La espira se encuentra en elseno de un campo uniforme B = B0uz. ¿Circula corriente por la espira?

� A. No, porque el flujo magnetico es siempre nulo.

� B. No, porque el campo magnetico es uniforme y constante.

� C. Sı, circula una corriente continua.

� D. Sı, circula una corriente alterna.

T.3 Una espira metalica inmovil se encuentra sometida a un campo magnetico variable B = Atuz. ¿Decuantos elementos se compone el circuito equivalente a este sistema?

� A. De uno: la resistencia R de la espira.

� B. De dos: una resistencia R y una autoinduccion L.

� C. De tres: una resistencia R, una autoinduccion L y un generador de corriente continua.

� D. De tres: una resistencia R, una autoinduccion L y un generador de corriente variable en eltiempo como kt.

T.4 Se tiene un solenoide de 15 cm de longitud, 300 espiras, 2 cm de diametro, ¿Cuanto vale aproxi-madamente su autoinduccion?

� A. 94 mH.

� B. 0.95 mH.

� C. 2.5 mH.

� D. 0.24 mH.

T.5 ¿Que signo tienen los coeficientes de autoinduccion Lii? ¿Y los de induccion mutua, Lij , con i �= j?

� A. Todos ellos son siempre positivos.

� B. Todos ellos pueden tener cualquier signo.

� C. Los Lii son siempre positivos. Los Lij son siempre negativos o nulos.

� D. Los Lii son siempre positivos. Los Lij pueden tener cualquier signo.

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T.6 Se tienen tres solenoides: uno de 15 cm y 300 espiras, de 1 cm de radio; otro de 20 cm, 400 espirasy 1 cm de radio; y un tercero de 20 cm, 300 espiras y 2 cm de radio. ¿Cual de los tres tiene mayorautoinduccion?

� A. Todos ellos tienen la misma.

� B. El primero.

� C. El segundo.

� D. El tercero.

T.7 Una corriente estacionaria produce un campo magnetico estacionario. ¿Se cumple tambien elrecıproco?

� A. Sı, en el caso de una espira movil.

� B. No, es necesario que el campo magnetico varıe en el tiempo.

� C. Sı, siempre.

� D. Depende de si el campo lo crea un iman u otra corriente.

T.8 ¿Que resulta si se multiplica un henrio por un siemens?

� A. Un tesla.

� B. Un metro.

� C. Un voltio.

� D. Un segundo.

T.9 Una barra conductora se mueve con velocidad constante perpendicularmente a un campo magneticouniforme. La barra es perpendicular a su velocidad y al campo.

� A. En los extremos de la barra se acumulan cargas de signo opuesto.

� B. Aparece una fuerza que tiende a frenar la barra.

� C. Aparece un par que tiende a alinear la barra con el campo magnetico.

� D. Por la barra circula una corriente continua.

T.10 En el interior de un solenoide cilındrico de radio b y longitud h se introduce una barra supercon-ductora de radio a (a < b) y la misma longitud. ¿Como cambia la autoinduccion de la bobina?

� A. Se hace cero.

� B. No cambia.

� C. Aumenta una cantidad finita.

� D. Disminuye una cantidad finita.

T.11 Se tiene una espira superconductora por la cual inicialmente no circula corriente. Por el eje de laespira se acerca un dipolo magnetico, orientado perpendicularmente al eje.

� A. El dipolo es atraıdo por la espira.

� B. El dipolo no experimenta fuerza alguna.

� C. El dipolo es repelido por la espira.

� D. El dipolo experimenta un par que tiende a alinearlo con el eje de la espira.

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T.12 ¿En que se mide el coeficiente de acoplamiento?

� A. En Ohmios.

� B. Es adimensional.

� C. En Henrios.

� D. En Teslas.

T.13 Una espira circular de radio 1 cm gira con frecuencia f = 50 Hz alrededor de un diametro, el cuales perpendicular a un campo magnetico uniforme de valor 1 mT. ¿Cuanto vale aproximadamentela amplitud de la fuerza electromotriz inducida en la espira?

� A. 1 V

� B. 0 V

� C. 5 mV

� D. 0.1 mV

T.14 El coeficiente de acoplamiento, k, entre dos bobinas cilındricas coaxiales de igual longitud y radiosa y b (con a < b), con n1 y n2 espiras por unidad de longitud arrolladas en sentidos contrarios es:

� A. k = −a/b.

� B. k = −(n1a)/(n2b).

� C. k = −(n2a)/(n1b)

� D. k = −(a√

n1)/(b√

n2).

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Campos Electromagneticos. Boletın 9. Mayo de 20069.1. Se tiene un condensador formado por dos placas circulares planas y paralelas, de radio b y separa-

das una distancia a (a � b); entre ellas hay vacıo. Entre los centros de las placas se establece unatension V0 cos ωt.

(a) Halle, en primera aproximacion, el campo electrico que se establece entre las placas.

(b) Determine el campo magnetico inducido en el espacio entre las placas, segun la ley deAmpere-Maxwell.

(c) Calcule, la primera correccion en el campo electrico obtenido en (a), de acuerdo con la leyde Faraday. ¿Para que valor del radio empieza a ser importante esta correccion (esto es,comparable al campo estatico)?

(d) Indique como serıan las siguientes correcciones, tanto en E como en B.

9.2. Una nube esferica de carga (compuesta de una distribucion de cargas puntuales flotando en elvacıo) se encuentra en expansion, creciendo el radio de la esfera como R(t) = R0 + vt. La cargatotal de la nube, Q0, se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumende la esfera.

A partir de la ley de conservacion de la carga, calcule la densidad de corriente de conduccion en lanube. Puede suponer que J = J(r)ur y que esta densidad no es infinita en el centro de la esfera.

Calcule el campo electrico en los puntos del espacio y, a partir de este, la corriente de desplaza-miento. ¿Cuanto vale la densidad de corriente total?

¿Habra campo magnetico en el sistema?

Nota: La mayor parte de este problema ya aparece en el boletın 5.

9.3. El espacio entre dos placas circulares perfectamente conductoras, planas y paralelas, se encuen-tra lleno de un material ohmico, de permitividad ε, conductividad σ, y permeabilidad magneticaμ0. El radio de las placas es b, y la distancia entre ellas es a (a � b). La placa superior estapermanentemente a tierra, mientras que el centro de la inferior se encuentra a una tension V (t).

(a) Despreciando los efectos de borde y la induccion electromagnetica, halle el campo electricoentre las placas y la corriente total que fluye entre ellas.

(b) Calcule el campo magnetico entre las placas, teniendo en cuenta que en el eje B = 0.

(c) Halle el vector de Poynting en el espacio entre las placas, ası como su flujo a traves de unasuperficie cilındrica de radio b y altura a, concentrica con el sistema.

(d) ¿A que equivale este flujo del vector de Poynting? ¿En que caso es nulo? ¿Que representa estecaso?

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9.4. Un cable coaxial ideal esta formado por un cilindro interior, de radio a, perfectamente conductor,y una superficie cilındrica exterior, de radio b, tambien perfectamente conductora. Los cilindros seextienden indefinidamente a lo largo de su eje.

El cilindro interior se encuentra a una tension V0, mientras que la superficie exterior se encuentraa tierra. Simultaneamente, por la superficie del nucleo fluye una corriente I0 en la direccion deleje, distribuida uniformemente. Esta corriente retorna por la superficie exterior, con lo que haydistribuida uniformemente una corriente −I0.

(a) Halle los campos electrico y magnetico en todos los puntos del espacio.(b) Calcule las densidades de energıa electrica y magnetica por unidad de volumen, ası como la

energıa total almacenada en una porcion de longitud L del cable coaxial.(c) Determine el vector de Poynting en el espacio entre los cilindros. ¿En que direccion fluye la

energıa? Halle el flujo de energıa a traves de una seccion del cable coaxial.

9.5. Los campos electrico y magnetico en el interior de un tubo metalico, de seccion cuadrada (que seextiende entre −L < x < L y −L < y < L, e indefinidamente a lo largo del eje z) vienen dado porlas expresiones

E = Ax(L2 − y2)ux B = −2Axytuz

En el exterior de este volumen ambos campos son nulos.

(a) Pruebe que este campo (E, B) verifica todas las ecuaciones y condiciones de salto necesariaspara ser un campo electromagnetico.

(b) Calcule las densidades de carga y de corriente, fuentes de este campo.

Test

T.1 ¿Cual de las siguientes no es una de las ecuaciones de Maxwell?

� A. ∇ ·D = ρ

� B. ∇× E = −(∂B/∂t)

� C. ∇ ·B = 0

� D. ∇× B = J + (∂D/∂t)

��

a

b

V t( )

V0

I0


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T.2 Supongamos que existe una distribucion de corriente variable en el tiempo, siendo la densidad decarga nula en todo el espacio.

� A. No puede ser que haya corriente y no haya densidad de carga.

� B. Podremos tener campo magnetico, pero no electrico.

� C. Podremos tener campo electrico, pero no magnetico.

� D. Podremos tener tanto campo electrico como magnetico.

T.3 ¿Que dice el teorema de Poynting cuando se aplica a un volumen en el cual hay una corrienteohmica estacionaria?

� A. La potencia disipada entra a traves de las paredes del sistema.

� B. La potencia disipada se escapa a traves de las paredes en forma de calor.

� C. La energıa almacenada se escapa a traves de las paredes en forma de calor.

� D. La potencia disipada procede de la disminucion en la energıa almacenada.


� A. ∇ ·E = −ρ/ε0

� B. ∇× E = −(∂B/∂t)

� C. ∇ ·B = 0

� D. ∇× B = μ0J + μ0ε0(∂E/∂t)

T.5 ¿Puede existir un campo magnetico variable en el tiempo sin que a la vez exista campo electrico?¿Y un campo electrico variable sin que a la vez exista campo magnetico?

� A. Sı y sı.

� B. Sı y no.

� C. No y sı.

� D. No y no.

T.6 ¿Como se interpreta el vector de Poynting?

� A. Como el flujo total de energıa hacia el exterior del sistema.

� B. Como el flujo de energıa por unidad de superficie hacia el exterior del sistema.

� C. Como el flujo de energıa por unidad de superficie hacia el interior del sistema.

� D. Como el consumo de energıa en la superficie exterior del sistema.


� A. ∇ ·E = ρ/ε0

� B. ∇× E = 0

� C. ∇ ·B = 0

� D. ∇× B = μ0J + μ0ε0(∂E/∂t)

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T.8 ¿Se deducen la ley de la fuerza de Lorentz y la ley de conservacion de la carga de las ecuacionesde Maxwell?

� A. La primera no, la segunda sı.

� B. Se deducen las dos.

� C. La primera sı, la segunda no.

� D. No se deduce ninguna de ellas.

T.9 ¿Cuanto vale la densidad de energıa electromagnetica?

� A. E × B/μ0

� B. (ε0E2 + B2/μ0)/2

� C. (ρφ + J ·A)/2

� D. J ·ET.10 ¿Cual de las siguientes no es una de las ecuaciones de Maxwell?

� A. ∇ ·E = ρ/ε0

� B. ∇× E = −(∂B/∂t)

� C. ∇ ·B = 0

� D. ∇× B = μ0J

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Primer Parcial, Febrero de 2006

Optica

O.1. (1.0 puntos) Defina los sistemas opticos y explique los parametros mas importantes de cada uno de sustipos.

O.2. (0.5 puntos) Defina los siguientes conceptos:

(a) Rango optico del espectro electromagnetico

(b) Miopıa y su correccion (incluyendo diagrama de rayos)

(c) Aberracion esferica

(d) Diafragma de apertura y pupilas de un sistema

O.3. (0.5 puntos) Defina los elementos mas importantes de un espejo curvo. Describa la imagen que forma unespejo concavo de un objeto (a) cercano y (b) lejano, dibujando los diagramas de rayos correspondientes

O.4. (0.5 puntos) Una lente convergente de distancia focal f = 100mm se usa para formar la imagen de unobjeto situado a (a) 30 cm, (b) 10 cm y (c) 5 cm de ella. Describa la imagen y halle su distancia en cadacaso.

Teorıa

(1.5 puntos) Energıa electrostatica de un sistema de cargas puntuales.

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Primer Parcial, Febrero de 2006

Problemas

P.1. (2.0 puntos) En el interior de una region esferica de radio R existe carga electrica segun la densidadvolumetrica de carga:

ρ (r) ={−ρ0 (0 < r ≤ R/2)

ρ0 (R/2 < r < R)

donde ρ0 es una constante conocida. Sabemos tambien que en el exterior de la esfera, el campo electricoes nulo E(r > R) = 0.

(a) Obtenga el valor del campo electrico E en todo el espacio.

(b) Determine si hay carga electrica en la superficie de la esfera (r = R) y, en caso de existir, como estadistribuida.

(c) Calcule el trabajo que ha sido necesario para obtener la configuracion electrostatica descrita, supo-niendo que en el estado inicial habıa una ausencia total de carga.

(d) Considere una carga puntual q y un dipolo electrico de momento dipolar p, ambos puntuales.¿Que accion ejerce la distribucion de carga descrita sobre dichos entes cuando son colocados (porseparado) en el centro de la esfera.

P.2. (2.0 puntos) Se tiene un sistema formado por cuatro placas conductoras, todas ellas cuadradas y delado L, situadas paralelamente. Las distancias entre placas consecutivas son, respectivamente, a, 3a y 2a(a � L).

Las placas exteriores se encuentran a tierra en todo instante.

(a) Inicialmente la segunda placa almacena una carga Q, mientras que la tercera esta aislada y descar-gada. determine el potencial al que se encuentra cada placa, ası como la carga que almacena cadauna.

(b) Para el caso anterior, determine el campo electrico en todos los puntos entre las placas.

(c) Si ahora se conectan las dos placas intermedias, ¿como cambian las cargas y los potenciales de lasdistintas placas? ¿Y los campos electricos entre las placas?

(d) Determine la variacion de energıa entre el estado anterior y el posterior a la conexion.

R

R 2/

ρ

0

-ρ

0

E 0ext

=

a 2a3a

Q

1 2 3 4

P.1 P.2

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Segundo Parcial, Junio de 2006

Optica

O.1. Teorıa (1.0 punto) Explique la propagacion de la luz en una fibra optica. Defina las magnitudes que lacaracterizan y las diferencias en la propagacion segun el tipo de fibra.

O.2. Cuestiones (0.5 puntos) Defina los siguientes conceptos relativos a un sistema digital de captacion deimagen

(a) Aumento primario y aumento completo del sistema

(b) Resolucion

(c) Profundidad de campo

(d) Contraste

(e) Disco de Airy

O.3. Aplicacion (0.5 puntos)

(a) Defina la luminancia de una superficie lambertiana.

(b) Una bombilla, situada a una altura h = 2m sobre la superficie de una mesa, emite un flujo radiantede P = 80W. Suponiendo la isotropıa de la emision, ¿cual es la irradiancia en la superficie dela mesa bajo la bombilla? Si la superficie de la mesa puede considerarse lambertiana con unareflectividad del 80%, ¿cual es su luminancia?

O.4. Aplicacion (0.5 puntos)

(a) ¿Cual es la relacion entre la irradiancia y el campo electrico de una onda luminosa?

(b) Un laser de He-Ne (λ = 632.8 nm) emite un haz de seccion cilındrica, de diametro D = 2mm eirradiancia I = 1300W/m2. ¿Cual es la potencia del laser? Escriba las expresiones escalares de loscampos electrico y magnetico asociados.

Teorıa

(1.5 puntos) Describa los siguientes conceptos:

(a) Magnetizacion (o imanacion).

(b) Ley de Lenz.

(c) Intensidad de corriente.

(d) Material diamagnetico.

(e) Densidad de corriente de polarizacion.

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Segundo Parcial, Junio de 2006

Problemas

P.1. (2.0 puntos) Para estudiar la resistencia mecanica de un material se construye el siguiente dispositivo:dos condensadores planos de la misma seccion, S = 100 cm2, y la misma distancia entre placas, b = 1cmse rellenan del mismo material, de permitividad relativa εr = 3.3, que queda adherido a las placas. Loscondensadores se conectan en paralelo. Un voltımetro mide la diferencia de potencial entre placas.

Inicialmente se aplica una diferencia de potencial V0 = 100V para cargar los condensadores. Actoseguido, se desconecta el generador, dejando cargados los condensadores.

Se tira de una de las placas de uno de los condensadores, hasta que el material se rompe y aparece unafisura de espesor a = 1mm (llena de aire) en el bloque correspondiente.

Una vez alcanzado de nuevo el estado estacionario:

(a) Determine la nueva capacidad del condensador fracturado.

(b) Halle el cambio en la lectura del voltımetro.

(c) Calcule la carga que, tras la rotura, se almacena en cada condensador.

(d) Calcule el cambio en la energıa almacenada en el sistema.

P.2. (2.0 puntos) Se construye un sistema con dos hilos metalicos doblados en forma de L. Ambos hilos sonde un material de conductividad σ y seccion A. Uno de los conductores (“1”) es fijo, mientras que elsegundo (“2”) puede deslizarse manteniendo el contacto con el primero y su orientacion, de forma queentre ambos conductores definen un rectangulo de base x y altura y. El conductor movil se desplaza convelocidad constante, de forma que

x = x0 + vxt y = y0 + vyt

Todo el sistema esta sometido a un campo magnetico uniforme B = B0uz, perpendicular al plano de losconductores.

(a) Calcule la corriente que circula por el sistema en cada instante. Desprecie el efecto de la autoinduc-cion.

(b) Halle la fuerza que se ejerce sobre el conductor movil.

(c) Si el movimiento, en lugar de ser uniforme, siguiera la ley

x = Reαt y = Re−αt

con R y α constantes, ¿como quedarıan la corriente y la fuerza sobre el conductor?

Vba

ε

ε

Sección S

x

vx

vyv

y

B

1

2

P.1 P.2

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Examen Final, Julio de 2006• Aquellos que tengan pendiente solo el Primer Parcial, deberan responder a los ejercicios O.1, O.2, O.3,

O.4, T.1, T.2, T.3 y T.4

• Aquellos que tengan pendiente solo el Segundo Parcial, deberan responder a los ejercicios O.5, O.6,O.7, O.8, T.5, T.6, T.7 y T.8

• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberan responder los ejercicios O.2, O.3, O.5, O.8,T.1, T.2, T.5 y T.6

No se corregiran respuestas a problemas diferentes de los indicados

Optica

O.1. [1P] (1 punto) Explique las caracterısticas opticas del ojo humano, los defectos de vision y su correccion.

O.2. [1P-T] (0.5 puntos) Defina los siguientes conceptos

(a) Numero f (f/#)

(b) Aberracion esferica

(c) Aberracion cromatica

(d) Espejo parabolico

(e) Indice de refraccion y densidad de un medio

O.3. [1P-T] (0.5 puntos) Un objeto se encuentra situado a 10 cm de una lente convergente cuya distancia focales 15 cm. Determine la posicion de la imagen

(a) de manera analıtica

(b) mediante un diagrama de rayos

¿Cual es el tamano y orientacion de la imagen?

O.4. [1P] (0.5 puntos) Un objeto de 1.5 m de altura esta colocado a 20 cm de un espejo concavo cuyo radio decurvatura es de 30 cm. Determine la posicion y tamano de la imagen formada.

Teorıa

(1.5 puntos) Describa y caracterice matematicamente los siguientes conceptos:

T.1. [1P-T] Ley de Coulomb

T.2. [1P-T] Ley de Gauss

T.3. [1P] Principio de superposicion

T.4. [1P] Jaula de Faraday

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Examen Final, Julio de 2006• Aquellos que tengan pendiente solo el Primer Parcial, deberan responder a los ejercicios O.1, O.2, O.3,

O.4, T.1, T.2, T.3 y T.4

• Aquellos que tengan pendiente solo el Segundo Parcial, deberan responder a los ejercicios O.5, O.6,O.7, O.8, T.5, T.6, T.7 y T.8

• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberan responder los ejercicios O.2, O.3, O.5, O.8,T.1, T.2, T.5 y T.6


Optica

O.5. [2P-T] (1 punto) Defina y explique los parametros que caracterizan los sensores opticos.

O.6. [2P] (0.5 puntos) Defina los siguientes conceptos

(a) Atenuacion de una fibra optica

(b) Disco de Airy

(c) Irradiancia

(d) Intensidad luminosa

(e) Funcion de transferencia de modulacion (MTF)

O.7. [2P] (0.5 puntos) Un sensor CCD tiene un tamano de 1/3” (4.8 mm×3.6 mm) y 510× 492 px. En cadadimension, ¿cual es la resolucion

(a) en micras

(b) en lp/mm

Si se le acopla una lente de aumento primario PMAG=5, ¿cual es la resolucion en el espacio objeto?

O.8. [2P-T] (0.5 puntos) Una fuente luminosa puntual emite una potencia P = 80 W con longitud de ondaλ = 550 nm. ¿Cuantos fotones se emiten por unidad de tiempo? A una distancia d = 2 m, ¿cual es la presionde radiacion? ¿y la fuerza ejercida sobre un sensor de area A = 1 cm2?.

Teorıa

Describa y caracterice matematicamente los siguientes conceptos:

T.5. [2P-T] Ley de Faraday

T.6. [2P-T] Ley de Biot y Savart

T.7. [2P] Ley de Ohm

T.8. [2P] Ley de Ampere

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Examen Final, Julio de 2006• Aquellos que tengan pendiente solo el Primer Parcial, deberan responder a los ejercicios P.1 y P.2.

• Aquellos que tengan pendiente solo el Segundo Parcial, deberan responder a los ejercicios P.3 y P.4.

• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberan responder los ejercicios P.2 y P.4.


Problemas

P.1. [1P] (2 puntos) Dos varillas rectilıneas de longitud L estan situadas paralelamente a una distancia D. Lasvarillas poseen cargas ±Q distribuidas uniformemente.

(a) Halle aproximadamente el campo electrico en un punto P equidistante de ambas varillas, para el casoD � L.

(b) Calcule, tambien de forma aproximada, el valor del campo en el mismo punto P , para el caso D � L.

(c) Calcule el valor exacto del campo electrico en dicho punto P , para un valor arbitrario de D.

(d) Compare los valores exactos y aproximados para el caso Q = 1 mC, L = 2 cm, y

• D = 2 mm• D = 40 cm

P.2. [1P-T] (2 puntos) En la figura se muestra la seccion de un sistema formado por una corteza esferica con-ductora “2” de radio b, centro O y espesor despreciable, rellena en su mitad de un medio conductor; en lacavidad restante, hay un conductor “1” aproximadamente hemisferico, tambien con centro en O, radio a yseparado una distancia w = b − a de la region conductora interior a la esfera. Considere que w � a.

(a) Obtenga la matriz de coeficientes de capacidad e induccion electrica del sistema, considerando quepueden despreciarse los efectos de borde.

(b) Considere la situacion en que el conductor exterior “2” esta aislado y descargado, y el interior “1” sehalla conectado a una fuente de potencial de valor V0. Calcule los valores de la carga en el conductor“1” y del potencial en el “2”.

(c) En el caso anterior ¿que trabajo se ha realizado al conectar la fuente si inicialmente el sistema estabadescargado?

+Q-Q

×P

D

L

b

a

w�� 1

2

P.1 P.2

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Examen Final, Julio de 2006• Aquellos que tengan pendiente solo el Primer Parcial, deberan responder a los ejercicios P.1 y P.2.

• Aquellos que tengan pendiente solo el Segundo Parcial, deberan responder a los ejercicios P.3 y P.4.

• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberan responder los ejercicios P.2 y P.4.


Problemas

P.3. [2P] (2 puntos) Por el interior de una tuberıa cilındrica de radio a fluye un lıquido con una velocidad,dependiente de la distancia al eje, ρ, como

v = v0

(1 − ρ2

a2

)uz

El lıquido posee una densidad de carga uniforme ρ0, de forma que la densidad de corriente es J = ρ0v. Enel exterior del tubo no hay corriente.

(a) Calcule la intensidad de corriente que fluye por la tuberıa.

(b) Halle el campo magnetico que se produce tanto en el interior de la tuberıa como en el exterior de ella.

(c) Calcule la fuerza que el campo magnetico ejerce sobre una carga q que se mueve con el lıquido, a unadistancia a/2 del eje.

P.4. [2P-T] (2 puntos) Se tiene un cilindro hueco de material magnetizable con radios a y 2a. La imanacionM0 es uniforme y es paralela al eje del cilindro. Se cumple b � h, siendo h la longitud del cilindro

(a) ¿Cuanto valen las densidades equivalentes de corrientes de magnetizacion?

(b) Calcule el campo magnetico en todo el espacio. Desprecie los efectos de borde.

(c) Suponga ahora que la magnetizacion varıa con el tiempo de modo que M = Atuz. Si se tiene unaespira de radio b y resistencia R concentrica con el cilindro, ¿que corriente circula por la espira en cadauno de estos casos?

i. b < a

ii. a < b < 2a

iii. 2a < b

h

b a2a

M0

P.4

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Convocatoria ordinaria, Febrero de 2006

Optica

O.1. (1.0 puntos) Explique las caracterısticas opticas del ojo humano, sus principales defectos y los mecanismosde correccion.

O.2. (0.5 puntos) Defina los parametros mas importantes de una camara fotografica.

O.3. (0.5 puntos) Un laser de argon (λ = 488 nm) emite un haz de irradiancia I = 1000 W/m2 linealmentepolarizado en la direccion y. Escriba las expresiones de los campos electrico y magneticos asociados.

O.4. (0.5 puntos) Un haz de laser de estado solido (longitud de onda 532.0 nm) incide sobre un orificio de0.5 nm de diametro. Describa la figura (mancha luminosa) que se observara sobre una pantalla situada a2.5 m de distancia.

Teorıa

(1.5 puntos) Potencia sobre una corriente electrica; efecto Joule.

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Convocatoria ordinaria, Febrero de 2006

Problemas

P.1. (2.0 puntos) Se tienen tres superficies esfericas conductoras concentricas, de radios R, 2R y 4R. Lasuperficie intermedia y la exterior estan descargadas, mientras que la interior almacena una carga Q.

(a) Halle la distribucion de potencial electrico en todo el espacio.

(b) Calcule la energıa de la distribucion.

(c) Se conectan entre sı las superficies interior y exterior. ¿Cual es la carga y el potencial de cada esferatras la conexion? ¿Y el nuevo valor de la energıa?

(d) Se desconectan bruscamente las esfera y se conecta la exterior a tierra. ¿Cual es el nuevo valor delas cargas, los potenciales y la energıa almacenada? ¿Se conserva la energıa en estos procesos?

P.2. (2.0 puntos) Se construye una espira doble, soldando una barra a una espira cuadrada de lado 3a. Labarra une dos lados opuestos y esta situada a una distancia a de uno de los lados. Tanto la barra comola espira cuadrada estan hechas de un alambre metalico de seccion S y conductividad σ.

La espira gira en torno de la barra con velocidad angular ω, en el seno de un campo magnetico uniformeB0, perpendicular a la barra. En t = 0 el plano de la espira es perpendicular al campo magnetico.

(a) Calcule la corriente que circula en cada alambre como funcion del tiempo.

(b) Halle la energıa disipada en un periodo de revolucion. ¿En que se va esta energıa? ¿De dondeprocede?

Q

R 2R4R

a

3a

2a

�t

B0

P.1 P.2

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Convocatoria ordinaria, Septiembre de 2006

Optica

O.1. (1.0 puntos) Defina y explique los parametros que caracterizan las lentes delgadas y sus tipos.

O.2. (0.5 puntos) Defina brevemente e indique las principales caracterısticas de las superficies lambertianas.

O.3. (0.5 puntos) Un objeto de 6 cm de altura esta situado a 20 cm de un espejo convexo de distancia focal8 cm.

(a) Trace el diagrama de rayos

(b) Calcule la posicion y la altura de la imagen formada.

O.4. (0.5 puntos) Un laser emite un haz de potencia P = 10mW y diametro D = 2mm incidente sobre unalente que reduce el diametro a D′ = (1/6)D. Si el coeficiente de transmitancia (suponiendo incidencianormal) es C = 0.9, calcule la irradiancia y el valor del campo electrico antes y despues de atravesar lalente.

Teorıa

(1.5 puntos) Defina y explique los siguientes conceptos:

T.1. Condensador.

T.2. Polarizacion de un material dielectrico.

T.3. Densidad de carga magnetica.

T.4. Material paramagnetico.

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Convocatoria ordinaria, Septiembre de 2006

Problemas

P.1. (2.0 puntos) Una superficie esferica conductora ideal de espesor despreciable y radio 2a esta rellena deun medio dielectrico ideal homogeneo de permitividad ε = 5ε0/2, en cuyo centro se encuentra otrasuperficie conductora de radio a, hueca. Inicialmente, la superficie conductora exterior se encuentraconectada a un potencial V0, estando la esfera interior descargada. Entonces, sin modificar la esferaexterior, se carga la esfera interior con una carga −Q0. Suponiendo que en el medio dielectrico no haycarga libre, resuelva las siguientes cuestiones:

(a) ¿Como son los campos E, D y P –tanto en el interior como en el exterior de la esfera–, antes ydespues de introducir la carga electrica en la esfera interior?

(b) ¿Cual es la carga electrica libre y la total en las interfaces r = 2a y r = a antes y despues cargar laesfera interior?

(c) Al cargar la esfera, ¿se ha tenido que realizar un trabajo externo o, por el contrario, se ha obtenidouna cantidad neta de energıa? ¿Cual es el valor de la energıa electrica suministrada a o por elsistema?

(d) ¿Cual debe ser el valor de Q0 para que la fuerza neta por unidad de superficie en el conductorexterior sea nula?

P.2. (2.0 puntos) Una espira de forma cuadrada de lado a, hecha de un hilo de seccion S0 y conductividadσ, se encuentra en el interior de un campo magnetico variable en el espacio y en el tiempo. La espira seencuentra en el plano xy, con los lados paralelos a los ejes y su centro en el origen de coordenadas. Elcampo magnetico es

B = B0 cos(ωt − kx)uz

(a) Determine la corriente que se induce en la espira. Desprecie el efecto de la autoinduccion de laespira. ¿Existe algun valor de a para el que esta corriente sea nula en todo momento?

(b) Calcule la fuerza que se ejerce sobre la espira. ¿Para donde va esta fuerza? ¿En que casos esta fuerzaes nula?

ε

-Q0

V0

a

2a

x

y

z

a

a

B

P.1 P.2

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Campos Electromagneticos.Primer Parcial, Febrero de 2006.

Nombre: .La puntuacion total del test es de 2 puntos. Cada respuesta correcta puntua 0.2 puntos. Las

respuestas erroneas restaran 0.066 puntos. Las respuestas en blanco no contribuyen a la nota del test.Caso de que la nota total resulte negativa, la puntuacion final sera cero.

En cada pregunta, solo una de las respuestas es correcta. Marque la respuesta correcta con un aspa(�×). Si desea modificar una respuesta, tache la ya escrita (�) y escriba una cruz sobre la nueva.

T.1 Un campo que carece de fuentes escalares se denomina. . .

� A. Armonico.

� B. Irrotacional.

� C. Rotacional.

� D. Solenoidal.

T.2 En una region del espacio esta definido un campo vectorial irrotacional. Para este campo, la circu-lacion entre dos puntos. . .

� A. depende solo de la distancia entre los puntos.

� B. no depende del camino entre los dos puntos.

� C. no depende de los puntos.

� D. no depende del valor del campo.

T.3 Se tienen dos cargas puntuales, de distinto valor absoluto, situadas a una cierta distancia. ¿Cual delas dos cargas experimenta una fuerza mas intensa?

� A. La carga mayor.

� B. Depende de si son del mismo signo u opuestas.

� C. La carga menor.

� D. Las dos por igual.

T.4 Tres cargas puntuales positivas y tres negativas de igual magnitud ocupan alternadamente losvertices de un hexagono regular, situado en un plano horizontal, con centro en O. El campoelectrico creado por este sistema es nulo. . .

� A. en todos los puntos del eje vertical que pasa por O.

� B. en todo el espacio.

� C. en ningun punto del espacio.

� D. solo en O, el centro del hexagono.

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T.5 Una superficie esferica de radio a = 2 cm almacena una carga 1 µC. El potencial electrico en sucentro es, aproximadamente,

� A. 22.5 MV.

� B. 2.22×10-18 V

� C. 0 V.

� D. 0.45 MV.

T.6 ¿Cuales son las unidades de la permitividad del vacıo en el SI?

� A. N · m2/C2.

� B. Es adimensional.

� C. F · m.

� D. C2/N · m2.

T.7 Se tienen dos conductores, 1 y 2, enfrentados pero no en influencia total. El conductor 1 esta apotencial V1 > 0 y el 2 se pone a tierra. ¿Como son las cargas de los conductores?

� A. Su signo depende de la posicion relativa de los conductores.

� B. No se puede saber el signo de las cargas.

� C. Q1 > 0, Q2 = 0.

� D. Q1 > 0, Q2 < 0.

T.8 Un conductor que almacena una carga Q tiene una cavidad esferica de radio R. En el interiorde esta, a una distancia r0 de su centro, se encuentra una carga q. ¿Que carga se induce en lasuperficie del hueco?

� A. −q.

� B. −qR/r0.

� C. Q − q.

� D. Q + q.

T.9 ¿Cual de las siguientes afirmaciones es falsa para un conductor en equilibrio electrostatico?

� A. El campo electrico en el material conductor es nulo.

� B. No puede haber lıneas de campo que salgan del conductor y vayan a parar a el mismo.

� C. El potencial es constante en todo el conductor.

� D. La carga total del conductor es siempre cero.

T.10 ¿Que accion ejerce una esfera conductora descargada sobre una carga puntual exterior, si no haymas cargas en el sistema?

� A. Repele a la carga.

� B. Atrae a la carga.

� C. No ejerce accion alguna.

� D. Depende del signo de la carga.

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Campos Electromagneticos.Segundo Parcial, Junio de 2006.




T.1 Un condensador de placas planas y paralelas que se encuentran a igual potencial (cortocircuitadas)se rellena con un medio dielectrico ideal con polarizacion uniforme y constante P perpendiculara las placas. En la interfaz entre una placa y el dielectrico las densidades superficiales de cargaelectrica libre y de polarizacion son. . .

� A. distinta de cero la primera y nula la segunda.

� B. ambas no nulas y de distinto signo, de manera que se anulan entre sı.

� C. ambas distintas de cero y de igual signo.

� D. nula la primera y distinta de cero la segunda.

T.2 En la interfaz entre dos materiales ohmicos de conductividades σ1 y σ2. . .

� A. la componente normal de J es continua solo si la situacion es estacionaria.

� B. la componente normal de J es continua en cualquier caso.

� C. la componente tangencial de J es continua.

� D. el salto en la componente normal de J es proporcional a la densidad superficial de cargaelectrica.

T.3 En una region la densidad de corriente va en sentido contrario al campo electrico.

� A. Tal situacion es imposible.

� B. En esa region el campo electrico esta absorbiendo energıa.

� C. En ese material la conductividad es negativa.

� D. En esa region el campo electrico esta perdiendo energıa.

T.4 Por una espira circular de radio 1 cm circula una corriente de 100 mA. ¿Cuanto vale el momentomagnetico de la espira?

� A. 6.3 μT.

� B. 31 μA·m2.

� C. 1.0 μT.

� D. 6.3 mA·m.

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T.5 El campo magnetico B es solenoidal. . .

� A. Solo si los campos son estacionarios.

� B. Solo si las cargas de magnetizacion son nulas.

� C. Solo si los campos son estacionarios y las cargas de magnetizacion son nulas.

� D. Siempre.

T.6 Se tiene un cilindro de material magnetizado que presenta una imanacion homogenea y paralela aleje del cilindro. ¿Cual de las siguientes afirmaciones es falsa?

� A. En toda la superficie del cilindro hay una densidad superficial de carga magnetica distinta decero.

� B. Las corrientes de magnetizacion en las bases del cilindro son nulas.

� C. Las corrientes y cargas de magnetizacion son nulas en todos los puntos del interior del cilindro.

� D. En la superficie lateral del cilindro hay una densidad superficial de corrientes de magnetiza-cion.

T.7 En un sistema de dos solenoides, el coeficiente de autoinduccion de uno de ellos es L1 = 10mH yel de induccion mutua vale M = 20mH. ¿Cuanto vale el coeficiente de autoinduccion L2?

� A. Como maximo 40 mH.

� B. Puede tener cualquier valor.

� C. Como mınimo 40 mH.

� D. M no puede ser mayor que L1.

T.8 El trabajo realizado por un generador para establecer una corriente electrica en una espira deresistencia R y autoinduccion L es

� A. Δ(LI2/2) +∫ t0 RI2 dt.

� B. RI2 + LI2/2.

� C. Δ(LI2/2) +∫ t0 R2I dt.

� D. Δ(LI2/2) + R2It.


� A. ∇× E = 0

� B. ∇ ·B = 0

� C. ∇× B = μ0J + μ0ε0(∂E/∂t)

� D. ∇ ·E = ρ/ε0

T.10 Las unidades en que se mide el vector de Poynting en el sistema internacional son:

� A. V·T/m.

� B. J/m2.

� C. W/m2.

� D. Ninguna: es adimensional.

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Campos Electromagneticos.Convocatoria Ordinaria, Febrero de 2006.




T.1 Una corriente de 30 mA se reparte entre dos cables del mismo material y la misma longitud puestosen paralelo, siendo el primero de radio doble que el segundo. ¿Cuanta corriente va por el primercable?

� A. 10 mA.

� B. 6 mA.

� C. 20 mA.

� D. 24 mA.

T.2 Se tiene una carga puntual q situada en las cercanıas de una esfera conductora cargada con cargaQ. El signo de las dos cargas es el mismo. ¿Como es la fuerza que la esfera ejerce sobre la carga?

� A. Siempre atractiva.

� B. Siempre repulsiva,

� C. Si la distancia entre la carga y la esfera es lo bastante grande, es repulsiva.

� D. Depende del signo de las cargas.

T.3 Un dipolo electrico puntual se coloca en una orientacion arbitraria entre dos extensos planos con-ductores entre los que existe una diferencia de potencial V0. ¿Que le ocurre al dipolo?

� A. Se orienta paralelamente a los planos y se acerca al de menor potencial.

� B. Se orienta perpendicularmente a los planos y se acerca al de menor potencial.

� C. Se orienta paralelamente a los planos y se acerca al de mayor potencial.

� D. Se orienta perpendicularmente a los planos, pero sin desplazarse.

T.4 ¿En que se mide el desplazamiento electrico?

� A. m.

� B. C/m2.

� C. V/m.

� D. N/A·m.

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T.5 El coeficiente de acoplamiento, k, entre dos bobinas cilındricas coaxiales de igual longitud y radiosa y b (con a < b), con n1 y n2 espiras por unidad de longitud arrolladas en sentidos contrarios es:

� A. k = −a/b.

� B. k = −(n1a)/(n2b).

� C. k = −(n2a)/(n1b).

� D. k = −(a√

n1)/(b√

n2).

T.6 El campo magnetico H, en general,. . .

� A. es solenoidal.

� B. es irrotacional.

� C. es solenoidal e irrotacional.

� D. no es ni solenoidal ni irrotacional.

T.7 Dos cargas puntuales, de valor q y 4q estan a una distancia a. ¿A que distancia de la carga q seanula el campo electrico?

� A. No se anula en ningun punto.

� B. a/3.

� C. a/5.

� D. a/4.

T.8 ¿Pueden dos campos escalares diferentes tener el mismo rotacional?

� A. No.

� B. Solo si su divergencia es diferente.

� C. Solo si su gradiente es diferente.

� D. Solo si se diferencian en una constante.


� A. ∇ ·E = ρ/ε0.

� B. ∇× E = 0.

� C. ∇ ·B = 0.

� D. ∇× B = μ0J + μ0ε0(∂E/∂t).

T.10 En la interfaz de separacion entre dos medios materiales magneticos siempre se verifica la continui-dad de. . .

� A. la componente normal de H.

� B. la componente tangencial de M.

� C. la componente normal de B.

� D. la componente tangencial de H.

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Campos Electromagneticos.Examen Final, Julio de 2006

Alumnos con solo el Primer Parcial.Nombre: .

La puntuacion total del test es de 2 puntos. Cada respuesta correcta puntua 0.2 puntos. Las respuestaserroneas restaran 0.066 puntos. Las respuestas en blanco no contribuyen a la nota del test. Caso de que la notatotal resulte negativa, la puntuacion final sera cero.

En cada pregunta, solo una de las respuestas es correcta. Marque la respuesta correcta con un aspa (�×). Sidesea modificar una respuesta, tache la ya escrita (�) y escriba una cruz sobre la nueva.

T.1 La tierra es una esfera conductora de radio RT = 6370 km. La ionosfera es una capa conductora situada ah = 100 km por encima de la superficie. La capacidad del condensador que forman es aproximadamente. . .

� A. 3.6 mF

� B. 0.71 mF

� C. 46 mF

� D. 5.2×109 F

T.2 Se tienen dos cargas puntuales del mismo signo separadas por una distancia a

� A. No hay lıneas de campo que unan las dos cargas.

� B. Las lıneas de campo van de la carga mayor a la menor.

� C. No hay lıneas de campo que lleguen al infinito.

� D. Las lıneas de campo van de la carga menor a la mayor.

T.3 Se tiene una superficie esferica conductora ideal de centro O. Estando esta descargada, se coloca en uninterior un dipolo electrico puntual de momento dipolar p. ¿Como es el campo electrico en el exterior de laesfera?

� A. Es igual al que, en lugar de la esfera y el dipolo, crearıa un solo dipolo p situado en O.

� B. Es nulo.

� C. Es el creado por la imagen electrica del dipolo, producida por la superficie conductora.

� D. Depende del punto exacto en que se coloque el dipolo.

T.4 ¿Cual de los siguientes campos vectoriales puede ser un campo electrostatico?

� A. E(r) = yzux + 2xuy

� B. E(r) = (E0/r3) (cos θur + sen θuϕ)

� C. E(r) = −2uy + 5uz

� D. E(r) = E0ρuϕ

T.5 ¿A que equivale un Faradio?

� A. 1 N/C.

� B. 1 A·s.� C. 1 J/V2.

� D. 1 V/C.

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T.6 En el modelo atomico de Bohr, el electron se encuentra a a0 = 5.29 × 10−11 m del proton. El momentodipolar instantaneo del atomo es, en modulo,

� A. No hay suficiente informacion para calcularlo.

� B. 7.6 × 10−20 C · m� C. 8.5 × 10−30 C · m� D. 1.7 × 10−29 C · m

T.7 ¿Cual de las siguientes magnitudes no verifica el principio de superposicion?

� A. La energıa electrica.

� B. La fuerza sobre una carga puntual.

� C. El campo electrico.

� D. El potencial electrico.

T.8 ¿Cual de las siguientes no es una propiedad de los campos irrotacionales?

� A. Su flujo a traves de cualquier superficie cerrada es siempre nula.

� B. Se puede expresar como el gradiente de un campo escalar.

� C. Su integral de camino entre dos puntos es independiente del camino elegido.

� D. Su circulacion a lo largo de una curva cerrada es siempre nula.

T.9 Se tienen dos conductores, uno en un hueco del otro. El interior esta a potencial V0, el exterior aislado ydescargado. El circuito equivalente es. . .

� A.

� B.

� C.

� D.

T.10 El campo, expresado en cilındricas, φ = ρ2 − z2

� A. No es ni irrotacional, ni solenoidal, ni armonico.

� B. Es solenoidal

� C. Es irrotacional

� D. Es armonico

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Campos Electromagneticos.Examen Final, Julio de 2006

Alumnos con solo el Segundo Parcial.Nombre: .

La puntuacion total del test es de 2 puntos. Cada respuesta correcta puntua 0.2 puntos. Las respuestaserroneas restaran 0.066 puntos. Las respuestas en blanco no contribuyen a la nota del test. Caso de que la notatotal resulte negativa, la puntuacion final sera cero.

En cada pregunta, solo una de las respuestas es correcta. Marque la respuesta correcta con un aspa (�×). Sidesea modificar una respuesta, tache la ya escrita (�) y escriba una cruz sobre la nueva.

T.1 Se tiene una esfera de material dielectrico con permitividad absoluta ε y radio R. Se coloca una carga puntualq a una distancia de su centro a > R.

� A. La esfera no ejerce ninguna fuerza sobre la carga.

� B. El sentido de la fuerza depende del signo de la carga puntual.

� C. La esfera ejerce una fuerza atractiva sobre la carga.

� D. La esfera ejerce una fuerza repulsiva sobre la carga.

T.2 Dos medios ohmicos lineales y uniformes de permitividades y conductividades (ε1; σ1) y (ε2; σ2) se hallanen contacto. Cuando una corriente electrica estacionaria fluye entre ambos medios la densidad superficial decarga electrica libre en la superficie de discontinuidad es nula.

� A. En regimen estacionario siempre se verifica esta situacion.

� B. La densidad de corriente es tangente a la superficie de discontinuidad.

� C. No es posible esta situacion.

� D. Las permitividades y conductividades verifican la relacion ε1/ε2 = σ1/σ2.

T.3 Un cable de longitud L, seccion A y conductividad σ se corta en dos tramos de longitud L1 y L2 que seconectan en paralelo a una fuente de tension V0. ¿Donde es mayor la potencia disipada?

� A. En el cable mas largo.

� B. Depende de cual de los dos tenga mayor seccion.

� C. En el cable mas corto.

� D. En los dos por igual.

T.4 Por una espira de radio 1 cm circula una corriente de 100 mA. El campo magnetico en su centro es aproxi-madamente

� A. 1.0μT

� B. 44 pT

� C. 6.3μT

� D. 0.63 mT

T.5 El vector imanacion de un medio material magnetico describe. . .

� A. el momento dipolar magnetico en cada punto del medio.

� B. el momento dipolar total del medio.

� C. el momento dipolar magnetico por unidad de volumen en cada punto del medio.

� D. el momento dipolar total del medio, dividido por su volumen.

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T.6 Las siguientes figuras representan, cada una, dos casos de posibles orientaciones de una corriente y el campomagnetico que produce. ¿En que opcion los dos casos son correctos?

� A.

I

BIB

� B.

I

BIB

� C.

I

BIB

� D.

I

BIB

T.7 Se tiene una esfera de radio R con magnetizacion uniforme M0.

� A. El campo H dentro de la esfera es paralelo a M0 y con sentido contrario.

� B. El campo H dentro de la esfera es paralelo a B y con el mismo sentido.

� C. El campo H es nulo en todo el espacio porque no tiene fuentes escalares.

� D. El campo H es nulo dentro de la esfera porque no tiene fuentes escalares.

T.8 Un iman de momento magnetico m cae por el interior de un tubo de cobre, dispuesto verticalmente. ¿Comoes la aceleracion con la que desciende el iman?

� A. Mayor que g en todo instante.

� B. Mayor o menor, segun este mas o menos cerca del extremo superior del tubo.

� C. Igual a g (ac. gravitatoria)

� D. Menor que g en todo instante.

T.9 Las unidades de la densidad de corriente de desplazamiento son

� A. FN/C·s� B. A·m2

� C. A/m2

� D. FV/m·sT.10 ¿Cual de las siguientes es una de las ecuaciones de Maxwell?

� A. ∇× B = μ0J − μ0ε0(∂E/∂t)

� B. ∇ · E = −ρ/ε0

� C. ∇× E = ∂B/∂t

� D. ∇ · B = 0

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Campos Electromagneticos.Convocatoria Ordinaria, Septiembre de 2006.




T.1 En el vacıo, el flujo del campo electrico a traves de una superficie esferica de 10 cm de radio encuyo interior hay una carga electrica puntual de 1μC es:

� A. 8, 86μV/m

� B. 9 × 105 V/m

� C. depende del punto exacto donde esta situada la carga.

� D. 113 kVm

T.2 Se tiene una esfera de radio R con magnetizacion uniforme M0

� A. El campo H dentro de la esfera es paralelo a M0 y con sentido contrario.

� B. El campo H dentro de la esfera es paralelo a B y con su mismo sentido.

� C. El campo H es nulo en todo el espacio porque no tiene fuentes escalares.

� D. El campo H solo es nulo dentro de la esfera porque no tiene fuentes escalares.

T.3 Una esfera conductora ideal de radio R esta aislada y cargada electricamente con una carga Q0;posteriormente, se conecta a una fuente de potencial de valor V0. La energıa electrostatica final delsistema es:

� A. Ue = 2πε0RV 20

� B. Ue = Q0V0

� C. Ue = Q0V0/2

� D. Ue = Q20/8πε0R

T.4 Dos conductores esfericos al mismo potencial se colocan a una cierta distancia el uno del otro. Nohay mas conductores en el sistema.

� A. La densidad de carga se concentra en los lados en que estan mas alejados.

� B. No puede conocerse como se distribuye la carga.

� C. La densidad de carga es uniforme en cada una de las superficies.

� D. La densidad de carga se concentra en el lado en que ambos estan mas proximos.

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T.5 Por un conductor filiforme de resistencia electrica R circula una intensidad de corriente electricavariable en el tiempo I(t) = I0e

−αt. La cantidad de energıa electrica disipada por efecto Jouledurante el proceso que empieza en t = 0 y termina cuando desaparece la corriente es. . .

� A. Infinita.

� B. I20Rα

� C. I20R/2α

� D. I20R

T.6 La definicion general del campo D es:

� A. D = εE

� B. D = ε0E + P

� C. D = ε0(E + P)

� D. D = ε0(1 + χe)E

T.7 ¿Cuanto vale el gradiente del campo φ = r2 − ρ2 − z2?

� A. 0

� B. 2r − 2ρ − 2z

� C. No puede calcularse por combinar sistemas de coordenadas diferentes.

� D. ur − uρ − uz

T.8 ¿Cuanto vale el producto μ0ε0?

� A. 1.11 × 10−17 s2/m2

� B. 3.33 × 10−9 s/m

� C. 3 × 108 m/s

� D. 9 × 1016 m2/s2

T.9 Por una bobina de radio R y muy gran longitud h circula una corriente continua I0. Si se aumentael radio, manteniendo constante la longitud. . .

� A. El campo magnetico y la autoinduccion aumentan.

� B. El campo magnetico y la autoinduccion disminuyen.

� C. El campo magnetico disminuye, la autoinduccion aumenta.

� D. El campo magnetico no cambia, la autoinduccion aumenta.

T.10 En el centro de un anillo por el cual circula una corriente I se coloca un dipolo magnetico en ladireccion del eje. ¿Que accion ejerce el anillo sobre el dipolo?

� A. Produce una fuerza en la direccion del eje. No produce un par.

� B. Ninguna.

� C. Produce un par que tiende a colocarlo en el plano del anillo. No ejerce fuerza.

� D. Produce una fuerza en la direccion del eje, y un par que tiende a girarlo.

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