8/17/2019 Demonstração Da Lei Dos Senos e Dos Cossenos

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DEMONSTRAÇÃO DA LEI DOS COSSENOS

Construção:

Triângulo qualquer ABC;Altura relativa ao vértice C.

Demonstração:Pelo Teorema de Pitágoras (página 78 do livro Geometria Euclidiana Plana) temos que:

i) ² = ² + ℎ²  

ii) ² = ² + ℎ²   ℎ² = ² − ²  

Também sabemos (por definição) que

iii) cos =

  = . cos 

e (por construção) que

iv) = − .

Substituindo a equação ii) na i) obtemos:

² = ² + ² − ²  

Agora, trocando m por c-n,

² = − + ² − ²  

= ² −2+² + ² − ²  

= ² −2+²  

= ² + ² − 2 

Por fim, substituindo a equação iii) nessa última, conseguimos:

² = ² + ² − 2.cos 

² = ² + ² − 2.cos 

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DEMONSTRAÇÃO DA LEI DOS SENOS

Construção:Triângulo qualquer ABC;

Circunferência circunscrita ao triângulo;

Diâmetro a partir de um vértice (neste caso, vértice B);

Ponto D na outra extremidade do diâmetro construído;

Segmento .

Demonstração:

Os ângulos  e  são congruentes, pois correspondem ao mesmo arco ( ). (Corolário6.15)

(Ver Arcos de Circunferências, página 90 do livro Geometria Euclidiana Plana)

O triângulo BCD é retângulo em  porque esse ponto pertence à circunferência de raio

. (Corolário 6.14)

Como ∆ é retângulo, temos que

se =

2! 

Da congruência dos ângulos, obtemos:se =

2!

 2! =

se 

Ao traçar diâmetros partindo dos outros vértices, chegamos analogamente às seguintes

relações:

2! =

se" 

2! =

se 

Juntando todas as igualdades obtemos:

2! = se

= se"

= se