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Lei dos Senos e dos Cossenos

1. (G1 - cftrj 2014) Considerando que ABC é um triângulo tal que AC 4 cm, BC 13 cm e

A 60 , calcule os possíveis valores para a medida do lado AB.

2. (Ufpr 2014) Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma

velocidade de 16 km/h em um curso de 45° em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade 6 km/h em um curso de 105° em relação ao norte, também no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto? a) 10 km. b) 14 km. c) 15 km. d) 17 km. e) 22 km.

3. (G1 - ifsp 2014) A base de um triângulo isósceles mede 3 3 cm e o ângulo oposto à base

mede 120°. A medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é a) 3. b) 2.

c) 3.

d) 1 3.

e) 2 3. 4. (Unicamp 2013) Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de

bases 2a e a, respectivamente, e o ângulo ˆCAB 30 . Portanto, o comprimento do segmento

CE é:

a) 5

a3

b) 8

a3

c) 7

a3

d) a 2


5. (Ufsm 2013) A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com

frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas e na melhora da qualidade de vida. Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura.

Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto? a) 2,29. b) 2,33. c) 3,16. d) 3,50. e) 4,80. 6. (Ufrgs 2013) Os lados de um losango medem 4 e um dos seus ângulos 30°. A medida da diagonal menor do losango é

a) 2 2 3.

b) 2 3.

c) 4 2 3.

d) 2 2 3.

e) 4 2 3.

7. (Epcar (Afa) 2013) Um triângulo é tal que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética e as medidas de seus lados constituem uma progressão geométrica. Dessa maneira, esse triângulo NÃO é a) acutângulo. b) equilátero. c) obtusângulo. d) isósceles. 8. (Unicamp 2013) Um satélite orbita a 6.400 km da superfície

da Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse arco, o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o raio da Terra também mede 6.400 km. a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura?

b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos( ) 3 / 4.θ

Determine a distância d entre o ponto C e o satélite.


9. (Unesp 2013) Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de

São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as

cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km e 160km. Um dos

alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa.

Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de

a) 80 2 5 3

b) 80 5 2 3

c) 80 6

d) 80 5 3 2

e) 80 7 3

10. (Uepb 2012) A diagonal menor de um paralelogramo divide um de seus ângulos internos

em dois outros. Um β e o outro 2 .β A razão entre o maior e o menor lado do paralelogramo é

a) 2senβ

b) 1

2cosβ

c) 2cosβ

d) 1

2senβ

e) tgβ


11. (Uftm 2012) Na figura, AEFG é um quadrado, e BD divide o ângulo ˆABC ao meio.

Sendo CD 2 3 cm, o lado do quadrado AEFG, em centímetros, mede

a) 3 1

.2

b) 3 1.

c) 6( 3 1)

.5

d) 4( 3 1)

.3

e) 3( 3 1)

.2

12. (Ufjf 2012) Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir:

Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que

AB 80 m. De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a

medida de R é igual a:

a) 160 3

m3

b) 80 3

m3

c) 16 3

m3

d) 8 3

m3

e) 3

m3


13. (Ufg 2012) Observe a figura a seguir, em que estão indicadas as medidas dos lados do

triângulo maior e alguns dos ângulos.

O seno do ângulo indicado por α na figura vale:

a) 4 3 3

10

b) 4 3

10

c) 4 3 3

10

d) 4 3 3

10

e) 4 3 3

10

14. (Uem 2012) Sejam A, B e C os vértices de um triângulo retângulo, sendo Â o ângulo reto e

AC medindo o triplo de AB. Considerando agora os pontos D e E no segmento AC, de modo que AD = DE = EC, e F sendo o ponto médio do segmento BC, assinale o que for correto.

01) cos(B) = 10

10.

02) Os triângulos BDC e FEC são congruentes.

04) sen(BDC) = 2

2.

08) Os triângulos EDF e BDF são semelhantes.

16) cos(EFC) = 5

5.


15. (Unesp 2012) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com

intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos.

(O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.)

Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que cos 0,934 , onde é o ângulo

Epicentro-Tóquio-Sendai, e que 8 22 3 93,4 215 100 , a velocidade média, em km/h, com

que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de: a) 10. b) 50. c) 100. d) 250. e) 600. 16. (Unicamp 2012) Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas na figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito.

Visada Ângulo

^

ACB 6π

^

BCD 3π

^

ABC 6π

a) Calcule a distância entre A e B. b) Calcule a distância entre B e D.


17. (Fgv 2012) a) Determine o perímetro do triângulo na forma decimal aproximada, até os

décimos. Se quiser, use algum destes dados: 235 1225 ; 236 1296 ; 237 1369 .

b) Um aluno tinha de fazer um cartaz triangular, em cartolina. Decidiu construir o triângulo com

as seguintes medidas dos lados: 6 cm , 8 cm , e 16 cm . Ele conseguirá fazer o cartaz? Por

quê? 18. (Uftm 2012) Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, B e C, que são ligadas

por estradas em linha reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância entre A e C é de 24 km, e entre A e B é de 36 km.

Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, entre B e C é igual a

a) 8 17.

b) 12 19.

c) 12 23.

d) 20 15.

e) 20 13. 19. (Pucrj 2012) Seja um hexágono regular ABCDEF. A razão entre os comprimentos dos

segmentos AC e AB é igual a:

a) 2

b) 3

2

c) 1 5

2

d) 3 e) 2


20. (Ufsm 2011) A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região

metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana.

A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo A mede 45° e o ânguloC mede 75°.

Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é

a) 8 6

3

b) 4 6

c) 8 2 3

d) 8( 2 3)

e) 2 6

3

21. (G1 - cftmg 2011) Um grupo de escoteiros pretende escalar uma montanha ate o topo, representado na figura abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos de 40° do acampamento B e de 60° do acampamento A.

Dado: sen 20º 0,342

Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e realizado segundo um angulo de 30° em relação a base da montanha, então, a distância entre B e D, em m, e de, aproximadamente, a) 190. b) 234. c) 260. d) 320.


22. (Unesp 2011) Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio

e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que

se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e

valem 30°, e o vale 105°, como mostra a figura:

a) 12,5.

b) 12,5 2 . c) 25,0.

d) 25,0 2 . e) 35,0.

23. (Ita 2011) Num triângulo AOB o ângulo AÔB mede 135° e os lados AB e OB medem

2 cm e 2 3cm , respectivamente. A circunferência de centro em O e raio igual a medida

de OB intercepta AB no ponto C (≠ B).

a) Mostre que mede 15°.

b) Calcule o comprimento de AC

24. (G1 - epcar (Cpcar) 2011) Considere o octógono regular ABCDEFG inscrito numa

circunferência λ de raio R

Se esse mesmo octógono circunscreve uma circunferência á de raio r, então a razão entre os

quadrados dos comprimentos das circunferências λ e α é, nessa ordem, igual a

a) 2 2

b) 2 2 2

c) 2 2 2

d) 2 2 25. (Fuvest 2011) No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o

ponto médio de AB , N é o ponto médio de BC e 14MN4

.Então, DM é igual a

a) 2

4 b)

2

2 c) 2 d)

3 2

2 e)

5 2

2


26. (G1 - ifal 2011) Num paralelogramo, cada ângulo agudo mede 30° e os lados que formam

cada um desses ângulos medem 3 3 cm e 5 cm. Calcule a medida da menor das diagonais

desse paralelogramo.

a) 6 cm

b) 3 cm

c) 3 3 cm

d) 7 cm

e) 15 3 cm 27. (Ufpb 2011) Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belas

paisagens montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal de transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a figura a seguir.

Para a construção do teleférico, há duas possibilidades: • o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes coletivos (ponto A), com uma

parada intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C); • o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C, sem

parada intermediária.

Supondo que AB 300 3 m, BC 200 m, BÂP = 20º e ˆCBN 50 , é correto afirmar que

a distância entre os pontos A e C é de: a) 700 m b) 702 m c) 704 m d) 706 m e) 708 m


Gabarito: Resposta da questão 1:

Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo ABC, temos:

2 2 2

2

2

13 4 x 2 4 x cos60

113 15 x 8x

2

x 4x 3 0

Resolvendo a equação do segundo grau, temos x = 1 ou x = 3. Resposta: 1 cm ou 3 cm. Resposta da questão 2: [B] Depois de uma hora de viagem o navio 1 (N1) terá percorrido 16 km e o navio 2 (N2) terá

percorrido 6 km.

Temos, então, a seguinte figura:

Sendo d a distância entre os navios, temos:


2 2 2

2

2

d 16 6 2 16 6 cos60

1d 256 36 192

2

d 196

d 14km

Resposta da questão 3: [A]

Aplicando o teorema dos cossenos, temos:

2 2 2

2 2

2

2

3 3 x x 2 x x cos120

127 2x 2x

2

27 3x

x 9

x 3

Logo, a medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é 3 cm.


Resposta da questão 4:

[C]

2 2 2

2 22

2

a 3 a 2aNo CMB : cos30° x

x 2 x 3

a3 a a2No ENB : cos30° y

y 2 2y 3

ˆCBE 180 30 30 120

Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo CBE, temos:

CE x y 2.x.y.cos120

4a a 2a a 1CE 2

3 3 23 3

5aCE

Δ

Δ

2 2

22

2a

3 3

7aCE

3

7CE a.

3


[D] Pela Lei dos Cossenos, obtemos:

2 2 2

2 2

BC AC AB 2 AC AB cosBAC

(0,8) 1 2 0,8 1 cos150

30,64 1 2 0,8

2

1,64 0,8 1,7

3.

Logo, BC 1,7 e, portanto, o resultado é 1 0,8 1,7 3,5.



[C] Considere a figura.

Como AB AD 4 u.c. e BAD 30 , pela Lei dos Cossenos, obtemos

2 2 2

2 2

BD AB AD 2 AB AD cosBAD

34 4 2 4 4

2

2 16 16 3.

Portanto,

BD 4 2 3 u.c.


[C] Os ângulos internos deste triângulo poderão ser representados por x – r, x, x + r. Somando x – r + x + x + r = 180° x = 60°.

Escrevendo os lados em P.G., temos a seguinte figura:

Aplicando, agora, o teorema dos cossenos no triângulo acima, temos:


2

22 a a 1a a q 2 a q

q q 2

Dividindo ambos os membros da equação por a

2, temos:

2 2

2

4 2

22

2

11 q 1 ( q )

q

q 2q 1 0

q 1 0

q 1 0

q 1

Logo, o triângulo é equilátero de lados a, a e a. E o triângulo equilátero jamais será obtusângulo. Resposta da questão 8: a) No triângulo assinalado:

R é a medida do raio da terra.

R 1cos 60

R R 2α α

Portanto, o arco AB mede 120° e seu comprimento será dado por:

2 R 2 6400 12800km.

3 3 3

π π π

b) Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos:

2 2 2

2 2 2

2

d R (2R) 2.R.2R.cos

d 5R 4.R .(3/4)

d 2.R

d R 2

d 6400. 2 km

θ



[B]

Sejam S,P,G e C, respectivamente, os pontos que representam as cidades de Sorocaba, São

Paulo, Guaratinguetá e Campinas.

Sabendo que SPC 60 e CPG 90 , vem SPG 150 . Logo, aplicando a Lei dos Cossenos

no triângulo SPG, encontramos

2 2 2

2 2

SG SP PG 2 SP PG cosSPG

80 160 2 80 160 cos150

36400 25600 2 12800

2

6400 (5 2 3)

Portanto, SG 80 5 2 3 km.


[C] Sejam x e y, respectivamente, as medidas do maior lado e do menor lado do paralelogramo.

Desse modo, num dos triângulos determinado pela diagonal menor do paralelogramo, tem-se

2β oposto a x e β oposto a y. Assim, aplicando a Lei dos Senos, obtemos

x y x 2sen cos

sen2 sen y sen

x2cos .

y

β β

β β β

β



[E] Seja o lado do quadrado.

Como AEFG é um quadrado, segue que o triângulo ABC é retângulo. Logo, ÂBC 60 . Além

disso, sabemos que BD é bissetriz de ÂBC e, portanto, ˆ ÂBD CBD 30 . Daí, segue que

ˆBDC 120 .

Aplicando a Lei dos Senos no triângulo BCD, obtemos

BC CD BC 2 3BC 6cm.

ˆ ˆ 1senBDC senCBD 3

22

Assim, no triângulo ABC, temos que

ABˆcosABC AB 6 cos60 3cm.BC

Por conseguinte, do triângulo BGF, vem

GF 3 3( 3 1)ˆtgABD cm.3 3 2BG

Resposta da questão 12: [B] Pela Lei dos Senos, segue que:

AB 80 80 3 80 32R 2R R m.

sen60 33 3 3

2


[A]

Considere a figura, na qual AB 6, AC 10 e BC 8.

Do triângulo retângulo ABD, obtemos


BDtgBAD BD AB tg30

AB

3BD 6

3

BD 2 3.

Além disso, pelo Teorema do Ângulo Externo, segue que

ADC DAB ABD

30 90

120 .

Portanto, pela Lei dos Senos, vem

CD AC 8 2 3 10

sen sen120senDAC senADC

4 3sen sen60

5

4 3 3sen

5 2

4 3 3sen .

10


01 + 04 = 05. Dados Iniciais

(01) Verdadeiro.

2 2

2 2 2 2BC (AC) (AB) BC (3x) (x) BC 10 x

Logo, x 10

cosB1010x

(02) Falso. Dois triângulos são denominados congruentes quando têm a mesma forma e as

mesmas dimensões. Logo, os triângulos BDC e FEC não são congruentes, pois não possuem o mesmo tamanho.

(04) Verdadeiro.

22 2

22 2

2 2 2 2

BC (BD) (DC) 2(BD)(DC)cos(BDC)

10x (x 2) (2x) 2(x 2)(2x)cos(BDC)

10x 2x 4x 4 2x cos(BDC)

2 2cosBDC senBDC

2 2


(08) Falso. Dois triângulos são denominados semelhantes se possuem seus três ângulos

congruentes e seus lados proporcionais. Logo, os triângulos EDF e BDF não são semelhantes,

(16) Falso.

22 2

2 2

2

2 22 2

EC (EF) (FC) 2(EF)(FC)cos(EFC)

x 2 x 10 x 2 x 10x 2 cos(EFC)

2 2 2 2

x 5x1x x 5 cos(EFC)

2 2

2 5cosEFC

5


[E] Considere a figura.

Sabendo que ET 360km, ST 320km, cos 0,934 e que 8 22 3 93,4 215100, pela Lei

dos Cossenos, vem

2 2 2

2 2 2

2 2 2 5

2 8 2

2

ES ET ST 2 ET ST cos

ES 360 320 2 360 320 0,934

ES 129600 102400 2 2 3 2 93,4

ES 232000 2 3 93,4

ES 232000 215100

ES 16900 ES 130km.

Portanto, como 13

13min h,60

temos que a velocidade média pedida é dada por

130600km h.

13

60



a)

No triângulo ABC assinalado, temos:

2 2 2

2 2

2

2

15 x x 2 x x cos120

1225 2x 2x

2

225 3x

x 75

x 5 3m

b)

No triângulo BDC, temos:

2 2 2

2

y 15 10 2 15 10 cos60

y 225 100 150

y 175

y 5 7m



a) Calculando a medida x do lado que falta temos:

x2 = 6

2 + 8

2 – 2 6 8 cos60°

x = 52

x = 2 13

x 2 3,6 (de acordo com as aproximações dadas)

x 7,2

Portanto, o perímetro das figuras será dado por P = 6 + 8 + 7,2 = 21,2. b) Não, pois 16 > 6 + 8 (a medida do lado de um triângulo deve ser menor que a medida dos outros dois). Resposta da questão 18: [B] Aplicando a Lei dos Cossenos, obtemos

2 2 2

2 2 2

2

BC AB AC 2 AB AC cosBAC

1BC 36 24 2 36 24

2

BC 1296 576 864

BC 2736 12 19 km.


[D]

2 2 2AC a a 2 a a cos120 AC a 3

Logo, AC a 3

3.AB a



[B]

α=o o o o180 75 45 60

Aplicando o teorema dos senos, temos:

o o

AC 8

sen60 sen45

2 3AC. 8.

2 2

AC 4 6


[B]

Aplicando o teorema dos senos no triângulo assinalado, temos:

o

o

x 160

0,342sen150

0,342.x 160.sen150

0,342x 80

x 233,9

Aproximadamente 234m. Resposta da questão 22:

[B]

No triângulo ABC oABC 45 , aplicando o teorema dos senos, temos:

o o

50 BCBC. 2 50 BC 25 2

sen45 sen30

No triângulo BDC, temos: o h 1 h

sen30 h 12,5 2225 2 25 2



a) Utilizando o teorema dos senos, temos:

o

2 3 2 2 3sen

sen 2sen135

Sabendo que 2

32

4

3215

4

2615

2

2

oo sensen , concluímos então que:

= 15o

b) O triângulo ACB é isósceles logo AC = AB = 2 3cm .

Resposta da questão 24: [C] A razão entre os quadrados dos comprimentos das circunferências é igual a razão entre os quadrados dos raios. Observe a figura.

Na figura, temos:

No ΔOMB temos: 2 2x R r

Aplicando agora o teorema dos cossenos no ΔOAB:


2 2 2 o

2 2 2 2

2 2

2

2

2

2

2x R R 2.R.R.cos 45

4(R r ) 2.R R . 2

R (2 2) 4.r

R 4

2 2r

R2.(2 2)

r


[B]

Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo BMN, temos:

2 2 214 1 1 1 1

2. . .cos4 2 2 2 2

Resolvendo, temos

3cos

4 e que cos

o3( 180 )

4

Aplicando novamente o teorema dos cossenos no triângulo ADM, temos:

222

222

1 1(AD) 1 2. .1.cos

2 2

1 1 3(AD) 1 2. .1.

2 2 4

AD = 1 3

14 4

AD = 2

2



[D] Aplicando o teorema dos cossenos, temos:

d2 = 5

2 + ( 3 3 )

2 – 2.5. 3 3 .cos30o

d2 = 25 + 27 -30

33.

2

d2 = 52 – 45

d = 7

Resposta da questão 27: [A]

Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos:

2

2 2

2

3AC 300 3 200 2.300 3.200.

2

AC 270000 40000 180000

AC 490000

AC 700m

lei dos senos e dos cossenos -...

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