delineamentos

1

Universidade de So Paulo

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz

Estudo de delineamentos experimentais no esquema fatorial duplo com um

tratamento adicional

Marcos Andr Braz Vaz

Dissertao apresentada para obteno do ttulo de

Mestre em Cincias: rea de concentrao: Estatstica

e Experimentao Agronmica

Piracicaba

2013

3

Marcos Andr Braz Vaz

Engenheiro Agrnomo

Estudo de delineamentos experimentais no esquema fatorial duplo com um tratamento

adicional

verso revisada de acordo com a resoluo CoPGr 6018 de 2011

Orientadora:

Prof. Dra. SNIA MARIA DE STEFANO PIEDADE

Dissertao apresentada para obteno do ttulo de Mestre em

Cincias: rea de concentrao: Estatstica e Experimentao

Agronmica

Piracicaba

2013

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao DIVISO DE BIBLIOTECA - ESALQ/USP

Vaz, Marcos Andr Braz Estudo de delineamentos experimentais no esquema fatorial duplo com um

tratamento adicional / Marcos Andr Braz Vaz.- - verso revisada de acordo com a resoluo CoPGr 6018 de 2011. - - Piracicaba, 2013.

102 p: il.

Dissertao (Mestrado) - - Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz, 2013.

1. Anlise de varincia 2. Delineamento experimental 3. Mnimos quadrados 4. Regresso linear 5. Tratamento adicional I. Ttulo

CDD 519.535 V393e

Permitida a cpia total ou parcial deste documento, desde que citada a fonte O autor

3

Aos meus pais, Queli e Marcos,

minha irm, Thas,

dedico.

5

AGRADECIMENTOS

Prof. Dra. Snia Maria De Stefano Piedade, Professora Doutora do Departamento

de Cincias Exatas da Esalq/USP, pela sugesto do assunto e oportunidade.

Prof. Dra. Paula Pinheiro Padovese Peixoto, Professora Doutora do Departamento

de Cincias Agrrias da Universidade Federal da Grande Dourados - UFGD, pelo constante

apoio e motivao.

colega e amiga Gina Tasso que sempre esteve ao meu lado durante as disciplinas e

fora delas, pelos estmulos e cooperao.

Aos colegas do departamento Maria, Simone, Renata, Ricardo e Everton, que de

alguma forma colaboraram com as ideias do trabalho.

Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior - CAPES pela

concesso da bolsa.

Ao meu amigo Rafael Oliveira, pelo apoio e amizade durante toda a realizao do

curso.

Aos meus pais, pelo incentivo e apoio de sempre.

7

SUMRIO

RESUMO .................................................................................................................................11

ABSTRACT .............................................................................................................................13

LISTA DE FIGURAS ..............................................................................................................15

LISTA DE TABELAS .............................................................................................................17

1 INTRODUO ....................................................................................................................19

2 DESENVOLVIMENTO .......................................................................................................21

2.1 Reviso Bibliogrfica .........................................................................................................21

2.1.1 Planejamento e delineamento de experimentos ..............................................................21

2.1.2 Experimentos fatoriais duplos .........................................................................................21

2.1.3 Tratamento controle ........................................................................................................23

2.1.4 Fatorial incompleto .........................................................................................................24

2.1.5 Teste de Dunnett .............................................................................................................26

2.2 Delineamento inteiramente casualizado no esquema fatorial duplo com uma testemunha

como tratamento adicional ................................................................................................26

2.2.1 Caracterizao .................................................................................................................26

2.2.2 Modelo linear ..................................................................................................................27

2.2.3 Sistema de equaes normais ..........................................................................................29

2.2.4 Anlise de varincia ........................................................................................................31

2.2.4.1 Obteno das somas de quadrados ...............................................................................31

2.2.4.2 Graus de liberdade .......................................................................................................37

2.2.4.3 Quadro da anlise de varincia ....................................................................................39

8

2.2.4.4 Esperana matemtica das somas de quadrados ..........................................................40

2.2.4.4.1 Esperana matemtica da soma de quadrados de tratamentos ..................................40

2.2.4.4.2 Esperana matemtica da soma de quadrados de resduos .......................................41

2.2.4.5 Independncia e distribuio das formas quadrticas ..................................................42

2.2.4.5.1 Distribuio da SQTrat/2 .........................................................................................43

2.2.4.5.2 Distribuio da SQRes/2 ,.........................................................................................44

2.2.4.5.3 Distribuio do quociente SQTrat/nt/SQRes/nr .........................................................45

2.2.4.6 Teste de significncia ...................................................................................................46

2.2.5 Diagrama de Hasse ..........................................................................................................47


2.2.5.2 Somas de quadrados .....................................................................................................48

2.2.6 Ajuste de equaes de regresso .....................................................................................49

2.2.6.1 Regresso linear simples ..............................................................................................49

2.2.6.2 Teste de linearidade .....................................................................................................51

2.2.6.3 Anlise de varincia para regresso .............................................................................52

2.2.7 Ilustrao do mtodo .......................................................................................................53

2.2.7.1 Anlise exploratria .....................................................................................................54

2.2.7.2 Anlise de varincia .....................................................................................................55

2.2.7.3 Diagrama de Hasse e nmero de graus de liberdade ...................................................57

2.2.7.4 Teste de Dunnett ..........................................................................................................58

2.2.7.5 Anlise pelo pacote ExpDes no R ................................................................................59

2.2.7.5.1 Desdobramento da interao .....................................................................................60

2.2.7.5.2 Ajuste do modelo de regresso .................................................................................61

9

2.3 Delineamento casualizado em blocos no esquema fatorial duplo com um tratamento

controle adicional ..............................................................................................................62

2.3.1 Caracterizao .................................................................................................................62

2.3.2 Modelo linear ..................................................................................................................63

2.3.3 Sistema de equaes normais ..........................................................................................66

2.3.4. Anlise de varincia .......................................................................................................68

2.3.4.1 Obteno das somas de quadrados ...............................................................................68


2.3.4.3 Quadro da anlise de varincia ....................................................................................70

2.3.4.4 Teste de significncia ...................................................................................................72

2.3.5 Diagrama de Hasse ..........................................................................................................73


2.3.5.2 Somas de quadrados .....................................................................................................74

2.3.6 Ilustrao do mtodo .......................................................................................................75

2.3.6.2 Anlise de varincia .....................................................................................................77

2.3.6.3 Diagrama de Hasse e nmero de graus de liberdade ...................................................80

2.3.6.4 Teste de Dunnett ..........................................................................................................82

3 CONCLUSO ......................................................................................................................85

REFERNCIAS .......................................................................................................................87

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA .........................................................................................89

APNDICES ............................................................................................................................91

11

RESUMO

Estudo de delineamentos experimentais no esquema fatorial duplo com um tratamento

adicional

O presente trabalho teve como objetivo o estudo de experimentos em delineamentos

em esquema fatorial duplo com tratamento adicional do tipo testemunha. Para este esquema

usa-se a notao A x B +1, em que A representa o primeiro fator com i nveis (i = 1, 2, ..., a) e

B representa o segundo fator com j nveis (j = 1, 2, ..., b) com a adio do tratamento

adicional. Para a anlise de varincia deste caso, consideraram-se os modelos lineares yijk = + i + j + ij + ijk e yh = + + h; relacionados, em que yijk a varivel observada no i-simo nvel do fator com o j-simo nvel do fator da k-sima repetio (k = 1, 2, ..., r), a mdia amostral, i o efeito do i-simo nvel do primeiro fator, j o efeito do j-simo nvel do segundo fator, ij o efeito da interao do i-simo nvel do fator com o j-simo nvel do fator , ijk o erro associado independente e identicamente distribudo, ijk~N(0,

2), yh a

varivel observada na h-sima repetio do tratamento adicional, o efeito do tratamento adicional e h o erro associado ao tratamento adicional, independente e identicamente distribudo h~N(0,

2). Considerou-se os delineamentos experimentais inteiramente

casualizado e blocos casualizados. Para a anlise do delineamento em blocos ao acaso, a

adio do efeito de blocos v (v = 1, 2, ..., w) aos modelos, se fez necessria. Foi realizada a deduo da soma de quadrados de tratamentos e sua decomposio para os efeitos dos fatores,

sua interao e o contraste com o tratamento adicional. Os graus de liberdade foram

deduzidos a partir do posto da matriz ncleo da forma quadrtica das somas de quadrados. A

tcnica do diagrama de Hasse tambm foi adotada para deduo das somas de quadrados e

graus de liberdade. Uma ilustrao do mtodo obteve os mesmos resultados da anlise de

varincia do pacote ExpDes no programa R. Curvas de regresso linear foram ajustadas

considerando o tratamento controle como um nvel de fatores quantitativos. O teste de

Dunnett foi empregado para comparar as mdias do fatorial com o tratamento controle.

Palavras-chave: Controle; Interao; Experimento fatorial; Tratamento adicional

13

ABSTRACT

Study of experimental design in two-way factorial with an additional treatment

The present study aimed to study the experiments in two-way factorial designs with

additional treatment of type control. For this scheme uses the notation A x B +1, where A

represents the first factor levels with i (i = 1, 2, ..., a) and B is the second factor with levels j (j

= 1 , 2, ..., b) with the addition of one more treatment. For the analysis of variance of this

case, we considered the linear models yijk = + i + j + ij + ijk and yh = + + h; related, wherein yijk is the variable observed in the ith level of factor with the jth level of factor of k-th iteration (k = 1, 2, ..., r), is the sample mean, i is the effect of the ith level of the first factor, j is the effect of the jth level of the second factor, ij is the interaction effect of the ith level of factor with the jth level of factor , ijk is the error associated with independent and identically distributed, ijk ~ N (0,

2), yh is the variable observed in the hth repetition of the

additional treatment, is the effect of the additional treatment and h is the error associated to the additional treatment, independent and identically distributed h ~ N (0,

2). It was

considered the completely experimental designs and randomized block design. For the

analysis of the randomized block design, the addition of blocks effect v (v = 1, 2, ..., w) to the models, was necessary. Was performed the deduction of the sum of squares of treatments

and their decomposition to the effects of the factors, their interaction and the contrast with the

additional treatment. The degrees of freedom were deducted from the posto of the matrix core

of the quadratic form of sums of squares. The Hasse diagram technique has also been adopted

for deduction of sums of squares and degrees of freedom. An illustration of the method has

obtained the same results of analysis of variance program package ExpDes in R. Linear

regression analysis was fitted control treatment as a level of the quantitative factors. The

Dunnett test was used to compare the means of the factorial with the control treatment.

Keywords: Control treatment; Interaction; Factorial experiment; Additional treatment

15

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Ilustrao da anlise visual exploratria da interao.............................................23

Figura 2 Diagrama de Hasse combinado para fatores de parcela e de tratamento.................47

Figura 3 Graus de liberdade no diagrama de Hasse para fatores de parcela..........................47

Figura 4 Graus de liberdade no diagrama de Hasse para fatores de tratamento....................48

Figura 5 Matrizes ncleos no diagrama de Hasse para fatores de parcela.............................48

Figura 6 Matrizes ncleos no diagrama de Hasse para fatores de tratamento.......................49

Figura 7 Retas observadas dos nveis de substratos dentro do fator doses...........................54

Figura 8 Graus de liberdade para fatores de parcela da ilustrao.........................................57

Figura 9 Graus de liberdade para fatores de tratamentos da ilustrao..................................57

Figura 10 Curvas de regresso linear de doses em relao altura para os nveis Plantmax e

Casca de coco.......................................................................................................61

Figura 11 Curvas de regresso linear de doses em relao altura para os nveis Plantmax e

Casca de coco, considerando o tratamento

testemunha...........................................................................................................62

Figura 12 Diagrama de Hasse combinado para fatores de parcela e de tratamento..............73

Figura 13 Graus de liberdade no diagrama de Hasse para fatores de parcela........................73

Figura 14 Graus de liberdade no diagrama de Hasse para fatores de tratamento.................74

Figura 15 Matrizes ncleos no diagrama de Hasse para fatores de parcela...........................74

Figura 16 Matrizes ncleos no diagrama de Hasse para fatores de tratamento.....................75

Figura 17 Graus de liberdade para fatores de parcela............................................................81

Figura 18 Graus de liberdade para fatores de tratamentos....................................................81

17

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 Variveis e mdias observadas em um experimento fatorial duplo........................23

Tabela 2 Ilustrao de um esquema fatorial incompleto em que as combinaes de nveis

iguais no so realizadas........................................................................................24

Tabela 3 Ilustrao de um fatorial duplo com uma testemunha como tratamento adicional

(2x2+1)...................................................................................................................25

Tabela 4 Ilustrao de um fatorial duplo com um tratamento adicional (3x2+1)..................25

Tabela 5 Quadro da anlise de varincia de um experimento inteiramente casualizado no

esquema fatorial duplo com um tratamento adicional...........................................39

Tabela 6 Graus de liberdade e somas de quadrados por desvios de um experimento

inteiramente casualizado no esquema fatorial duplo com um tratamento

adicional..............................................................................................................40

Tabela 7 Anlise de varincia para o teste de ajuste de regresso linear de um experimento


adicional.................................................................................................................52

Tabela 8 Mdias de alturas de plantas de pimento cultivadas em bandejas sob casa de

vegetao em Dourados, MS...............................................................................53

Tabela 9 Anlise de varincia de um delineamento inteiramente casualizado no esquema

fatorial duplo com tratamento adicional (3x2+1)...................................................56

Tabela 10 Anlise de varincia realizada pelo pacote ExpDes do R para um delineamento


adicional...............................................................................................................59

Tabela 11 Desdobramento do fator Doses dentro dos nveis do fator Substratos..................60

Tabela 12 Desdobramento do fator Substratos dentro dos nveis do fator Doses..................60

Tabela 13 Quadro da anlise de varincia de um experimento em delineamento casualizado

em blocos no esquema fatorial duplo com um tratamento adicional................71

18

Tabela 14 Quadro da anlise de varincia com as respectivas somas de quadrados em termos

de desvios de um experimento em delineamento casualizado em blocos no

esquema fatorial duplo com um tratamento adicional.........................................71

Tabela 15 Dados de massa seca da parte area, Piracicaba, SP.............................................76

Tabela 16 Anlise de varincia de um experimento em delineamento casualizado em blocos

no esquema fatorial duplo com um tratamento

adicional...............................................................................................................80

Tabela 17 Quadro de anlise de varincia pelo mtodo do diagrama de Hasse para um

experimento em delineamento casualizado em blocos casualizados no esquema

fatorial duplo com um tratamento adicional .......................................................82

19

1 INTRODUO

Em experimentao agronmica, uma das maiores dificuldades no planejamento de

um experimento est na escolha do melhor delineamento a se utilizar. A melhor opo surge

no bom senso do pesquisador em estudar as condies do experimento e seus objetivos.

Delineamentos em esquema fatorial so amplamente utilizados em experimentos

agronmicos visando o estudo da combinao de dois ou mais fatores. Fagundes (2012) cita

como vantagem do uso de delineamentos no esquema fatorial, a possibilidade de estudar os

efeitos simples dos fatores e as interaes entre eles. A adio de tratamentos controles, ou

testemunhas, na anlise de um experimento fatorial tm sua relevncia e pode ser feito

simultaneamente.

A anlise de varincia de um delineamento em esquema fatorial duplo com um

tratamento adicional pode ser realizada com a ajuda de dois quadros de anlises, um para o

estudo do fatorial e outro para o estudo do contraste. Recentemente, com o auxilio de rotinas

computacionais e programao, as anlises tem sido feitas em um nico quadro conjunto (R,

2002). Apesar disso, poucas so as referncias e os detalhamentos sobre as somas de

quadrados e sobre o ajuste de equaes de regresso.

O uso de delineamentos com esquema fatorial e tratamentos adicionais, que servem de

referncia para comparao com as demais combinaes estudadas (YASSIN et al., 2002),

deve ser feito com cautela, devido a interpretao do contraste fatorial versus adicional.

Vrios trabalhos tm utilizado delineamentos em esquema fatorial duplo com um tratamento

adicional. Machado et al. (2011) aplicou o delineamento fatorial 4 x 4 + 1 (dois fatores com

quatro nveis cada e um tratamento adicional) no estudo do crescimento inicial de limoeiros.

Hisano et al. (2007) e Araujo et al. (2011) aplicaram em suas pesquisas o delineamento 3 x 3

+ 1.

O objetivo geral do presente trabalho a realizao da anlise de varincia de

delineamentos com esquema fatorial duplo e uma testemunha como tratamento adicional.

21

2 DESENVOLVIMENTO

2.1 Reviso Bibliogrfica

2.1.1 Planejamento e delineamento de experimentos

O planejamento e a escolha do delineamento experimental so etapas importantes no

processo de realizao de pesquisa e experimentos agronmicos. Viera (1999) explica que a

seleo de variveis explanatrias funo importante para a determinao dos delineamentos

a serem utilizados.

Fagundes (2012) define o delineamento experimental como aquele que ir conduzir o

perfil do experimento. Os delineamentos experimentais mais utilizados so o inteiramente

casualizado, blocos ao acaso e quadrado latino. Por sua vez, o delineamento de tratamentos

independe do tipo de delineamento experimental. O fatorial um exemplo de delineamento de

tratamentos, em que dois ou mais fatores so analisados. Podem-se citar ainda as parcelas

subdivididas e as faixas, que so delineamentos de tratamentos com maior nvel de controle

local.

Um planejamento depende das condies e disponibilidades para a realizao do

experimento, da experincia do pesquisador e dos objetivos do estudo. Pimentel-Gomes

(1990) cita os trs princpios bsicos da experimentao; repetio, casualizao e controle

local; que so funes importantes para reduo do erro experimental. O mesmo autor ainda

comenta sobre as dificuldades encontradas nas anlises de experimentos com aplicao

abusiva do controle local e delineamentos complexos, que muitas vezes poderiam ser

realizados por delineamentos mais simples, alm da maior perda de graus de liberdade

residual.

2.1.2 Experimentos fatoriais duplos

Os experimentos em esquema fatorial no constituem um delineamento experimental,

e sim um esquema de tratamentos. Considera-se um fatorial duplo quando dois fatores, e a sua

interao, esto em estudo. O fatorial mais simples o 2x2 onde h dois nveis de cada fator.

Outras formas mais comuns de delineamento fatorial so o 3x3 e 4x4. A combinao dos

nveis dos fatores determina o nmero de tratamentos que sero executados (FAGUNDES,

2012).

22

Seja um experimento no esquema fatorial duplo A x B, em que A o primeiro fator

com a nveis e B o segundo fator com b nveis. Para cada combinao realiza-se r rplicas.

Considerando o modelo (1):

yijk = + i + j + ij + ijk (1)

sendo:

yijk a varivel resposta relacionada ao i-simo nvel do primeiro fator (i = 1, 2, ..., a)

com o j-simo nvel do segundo fator (j = 1, 2, ..., b) na k-sima repetio (k = 1, 2, ..., r);

a mdia geral;

i o efeito do i-simo nvel do primeiro fator;

j o efeito do j-simo nvel do segundo fator;

ij o efeito da interao do i-simo nvel do primeiro fator com o j-simo nvel do

segundo fator;

ijk o erro experimental associado observao yijk e supe-se que ijk~N(0,2) e

independentes;

A anlise de varincia pode ser empregada para testar o efeito simples de um fator, o

efeito principal de um fator e o efeito da interao entre os dois fatores. A interao o

resultado de uma combinao onde um fator influencia na resposta de outro fator,

positivamente ou negativamente (PERECIN e FILHO, 2008).

A interao pode ser identificada por anlise exploratria quando no se observa

paralelismo entre as retas observadas (Figura 1). Alm do teste de igualdade entre interaes

de combinaes, um teste de hipteses pode confirmar estatisticamente se h paralelismo

entre retas por meio dos coeficientes angulares. Retas com coeficientes angulares

estatisticamente iguais so paralelas, indicando que no h o efeito de interao entre os

fatores testados (DEMTRIO e ZOCCHI, 2011).

23

Figura 1 Ilustrao da anlise visual exploratria da interao

A Tabela 1 mostra um esquema para organizao dos dados coletados de um

experimento em esquema fatorial duplo. As mdias apresentadas so resultados dos efeitos

individuais de cada nvel de cada fator.

Tabela 1 Variveis e mdias observadas em um experimento fatorial duplo

Fator A Fator B

Mdia 1 2 ... b

1 y111, ..., y11r y121, ..., y12r ... y1b1, ..., y1br 1..

2 y211, ..., y21r y221, ..., y22r ... y2b1, ..., y2br 2..

a ya11, ..., ya1r ya21, ..., ya2r ... yab1, ..., yabr a..

Mdia .1. .2. ... .b. ...

2.1.3 Tratamento controle

Um tratamento controle ou testemunha em uma pesquisa serve como base de

referncia para o efeito dos tratamentos que so objetivos do trabalho. Em experimentos, a

variao do valor de uma varivel observada pode ser explicada pelo efeito de um tratamento

ou por caractersticas no observveis (SILVA, 2005). A comparao do efeito de uma

24

testemunha com efeito de tratamentos pode ser feita para verificar o quanto realmente

explicado pelo tratamento testado.

Para fatores quantitativos, em geral, o tratamento testemunha o valor nulo, ou zero,

como visto em experimentos em que os tratamentos testados so lminas de irrigao

(VIEIRA et al., 2000), nveis de adubao nitrogenada (BISCARO et al., 2011) e doses de

fungicida (BEZERRA et al., 2010). Porm, em alguns casos, o nvel testemunha pode ser um

valor de referncia, como a dose recomendada comercialmente de um determinado adubo.

CORRENTE et al. (2001) sugerem o emprego do contraste ortogonal para a

comparao do tratamento testemunha com as demais combinaes de um fatorial.

2.1.4 Fatorial incompleto

Trochim (2006) classifica como um fatorial incompleto, aquele em que nem todas as

combinaes do fatorial so executadas. A Tabela 2 ilustra um exemplo de experimento em

esquema fatorial incompleto de modo geral.

Tabela 2 Ilustrao de um esquema fatorial incompleto em que as combinaes de nveis

iguais no so realizadas

Fator A Fator B

1 2 3 4

1 .. y121, ..., y12r y131, ..., y13r y141, ..., y14r

2 y211, ..., y21r .. y231, ..., y23r y241, ..., y24r

3 y311, ..., y31r y321, ..., y32r .. y341, ..., y34r

4 y411, ..., y41r y421, ..., y42r y431, ..., y43r ..

Zeviane (2011) comenta que experimentos fatoriais com a adio de uma testemunha

podem ser classificados como fatoriais incompletos. Para obteno da ortogonalidade das

somas de quadrados, o tratamento controle deve ser considerado como um pseudonvel dos

fatores combinados. Esta ideia est ilustrada na Tabela 3 que representa o esquema de um

experimento fatorial com a combinao de doses de adubo e fontes de aplicao e a adio de

um tratamento adicional testemunha que representa a dose 0 e nenhuma fonte de aplicao

(controle). Sendo assim, a testemunha pode ser considerada um pseudonvel de doses e fontes.

25

Tabela 3 Ilustrao de um fatorial duplo com uma testemunha como tratamento adicional

(2x2+1)

Fontes Doses

Dose 0 Dose 10 Dose 20

Controle Testemunha

Fonte A Fonte A x Dose 10 Fonte A x Dose 20

Fonte B Fonte B x Dose 10 Fonte B x Dose 20

A testemunha nem sempre indica um valor de nulidade ou ausncia de efeitos. Zeviani

(2011) exemplifica um experimento 5x5 + 1, em que os nveis do primeiro fator so doses de

um determinado adubo em kg/ha (50, 75, 100, 125, 150) e, do segundo fator, cultivares (B, C,

D, E, F). Deseja-se comparar o fatorial com uma cultivar comercial de uma regio em que a

dose recomendada 100kg/ha (Tabela 4).

Tabela 4 Ilustrao de um fatorial duplo com um tratamento adicional (3x2+1)

Cultivar Doses

50 75 100 125 150

A A x 100

B B x 50 B x 75 B x 100 B x 125 B x 150

C C x 50 C x 75 C x 100 C x 125 C x 150

D D x 50 D x 75 D x 100 D x 125 D x 150

E E x 50 E x 75 E x 100 E x 125 E x 150

F F x 50 F x 75 F x 100 F x 125 F x 150

26

2.1.5 Teste de Dunnett

O teste de Dunnett um teste de comparao mltipla que utilizado quando se deseja

comparar a mdia de um tratamento controle com os demais tratamentos testados

(ESTATCAMP, 2011). Suponha-se que 1, 2, ..., j so as mdias de tratamentos de um

experimento, para i = 1, 2, ..., j, e j+1 a mdia do tratamento controle adicionado. Ao

realizar o teste de comparao mltipla com a testemunha, os parmetros de interesse

primrios so a diferena entre a mdia dos tratamentos i, e a mdia da testemunha j+1, ou

seja, i j+1. Assim, temos as hipteses:

Quando no h dados faltantes temos a menor diferena significativa definida pela

equao:

. (2)

Para o caso dos dados desbalanceados, temos este valor definido pela equao:

(3)

em que d ( j+1,GLErro) o valor tabelado de Dunnett , que depende dos nveis de

tratamentos (j+1) e dos graus de liberdade dos resduos (GLErro); QME o quadrado mdio

do resduo; n o nmero de repeties de cada tratamento.

2.2 Delineamento inteiramente casualizado no esquema fatorial duplo com uma

testemunha como tratamento adicional

2.2.1 Caracterizao

Seja um experimento inteiramente casualizado em esquema fatorial duplo com um

tratamento adicional do tipo testemunha A x B + 1, em que A o primeiro fator e B o

segundo fator com a adio do tratamento testemunha, com os seguintes ndices:

27

a: nveis do primeiro fator;

b: nveis do segundo fator;

r: nmero de repeties de cada combinao de tratamentos do fatorial;

m: nmero de repeties do tratamento adicional (e, considerando que os dados sejam

balanceados, m = r).

2.2.2 Modelo linear

Para um experimento em esquema fatorial duplo com tratamento adicional, o modelo

no pode ser expresso em uma nica equao. Isso acontece porque os efeitos dos pares de

combinaes do fatorial so independentes do efeito do tratamento adicional. Portanto, para o

experimento em questo, considera-se o seguinte modelo linear:

yijk = + i + j + ij + ijk (4)

e

yh = + a + h (5)

em que:

yijk a varivel resposta relacionada ao i-simo nvel do primeiro fator (i = 1, 2, ..., a)

com o j-simo nvel do segundo fator (j = 1, 2, ..., b) na k-sima repetio (k = 1, 2, ..., r);

a mdia geral;




segundo fator;

ijk o erro experimental associado observao yijk e supe-se que ijk~N(0,2) e

independentes;

28

yh a varivel resposta associada h-sima observao (h = 1, 2, ..., m) do tratamento

adicional;

a o efeito do tratamento adicional;

h o erro experimental associado ao tratamento adicional e supe-se que h~N(0,2) e

independentes.

Na forma matricial, os modelos (4) e (5) so dados por:

y = X + (6)

em que:

y r(ab+1)x1 o vetor de realizaes de variveis aleatrias;

Xr(ab+1)x(a+b+ab+2) a matriz dos coeficientes dos parmetros do modelo (matriz de

delineamento) de caracterstica (ab+1);

(a+b+ab+2)x1 o vetor de parmetros do modelo;

r(ab+1)x1 um vetor, no observvel, de erros aleatrios, tal que ~N(0,I2);

e por ser um modelo de Gauss-Markov (G.M.) y~N(X,I2).

Particionando a matriz de delineamento convenientemente, obtm-se:

X = [ X1 | X2 | X3 | X4 | X5]

em que:

X1r(ab+1) x 1 o vetor dos coeficientes associados mdia ;

X2 r(ab+1) x a a matriz dos coeficientes associados ao fator A;

X3 r(ab+1) x b a matriz dos coeficientes associados ao fator B;

X4 r(ab+1) x ab a matriz dos coeficientes associados interao AxB;

X5 r(ab+1) x 1 o vetor dos coeficientes associados ao tratamento adicional.

29

Correspondentemente partio da matriz X, a partio do vetor dado por:

em que:

;

;

.

2.2.3 Sistema de equaes normais

Pleo mtodo dos quadrados mnimos obtm-se o sistema de equaes normais dado

por:

XX =Xy

30

ou seja,

em que:

X1X1 = r(ab+1) = n = nmero total de unidades experimentais ou parcelas;

X1X2 = [br br ... br] = vetor linha de repeties associadas ao fator A de dimenses

(1)x(a);

X1X3 = [ar ar ... ar] = vetor linha de repeties associadas ao fator B de dimenses

(1)x(b);

X1X4 = [r r ... r] = vetor linha de repeties associadas ao nmero de repeties da

interao AB de dimenses (1)x(ab);

X1X5 = r = nmero de repeties associadas ao tratamento adicional;

X2X2 = brIa = diagonal [br, br, ..., br] = submatriz associada s repeties do fator A

de dimenses (a)x(a);

X2X3 = r(axb) = submatriz de nmeros de repeties do fator A em cada nvel do fator

B;

X2X4 = submatriz de dimenses (a)x(ab), correspondente ao nmero de incidncias

dos nveis do fator A na interao ij;

X2X5 = vetor coluna nulo de dimenses (a)x(1);

X3X3 = arIb = diagonal [ar, ar, ..., ar] = submatriz associada s repeties do fator B

de dimenses (b)x(b);

31

X3X4 = submatriz de dimenses (b)x(ab), correspondente ao nmero de incidncias

dos nveis do fator B na interao ij;

X3X5 = vetor coluna nulo de dimenses (b)x(1);

X4X4 = rIab = diagonal [r, r, ..., r] = submatriz associada s repeties dos pares da

interao ij de dimenses (ab)x(ab);

X4X5 = vetor coluna nulo de dimenses (ab)x(1);

X5X5 = r = nmero de repeties dos tratamentos adicionais;

X1y = N = total geral observado;

X2y = vetor dos totais observados no fator A de dimenses (a)x(1);

X3y = vetor dos totais observados no fator B de dimenses (b)x(1);

X4y= vetor dos totais observados nos pares de interao ij de dimenses (ab)x(1);

X5y = o total observado no tratamento adicional.

2.2.4 Anlise de varincia

2.2.4.1 Obteno das somas de quadrados

Supondo que as variveis respostas em questo seguem uma distribuio normal de

Gauss-Markov, cujo primeiro momento descrito como a esperana matemtica de y, tem-se:

E(y) = X

e portanto:

= X

Utilizando o mtodo de estimao dos mnimos quadrados, pelo modelo y = X +

obtm-se:

y = +

||y||2 = || ||

2 + || ||

2

32

= yy -

= yy - Xy

em que a soma de quadrados de resduos (SQRes), yy a soma de quadrados

total no corrigida, e Xy a soma de quadrados de parmetros.

Pela metodologia de Brien (2007), o modelo minimal G = E(y) = X1, o modelo

esperado quando a resposta da mdia populacional a mesma para todas as observaes sem

efeitos dos fatores ou do tratamento adicional.

O modelo maximal T = E(y) = X, o modelo esperado quando todos os efeitos

ocorrem, tanto das interaes, assim como do contraste com o tratamento adicional.

Portanto,

= (X1X1)-1

X1y

e

g = X1

g = X1(X1X1)-1

X1y

g = Mgy,

em que Mg = X1(X1X1)-1

X1 = 1/nnxn.

A forma quadrtica yMgy o fator de correo (C) das somas de quadrados

(YASSIN, 2002), que pode ser expressa por:

que no caso balanceado fica:

.

33

A soma de quadrados de parmetros (SQPar) pode ser definida por:

SQPar = Xy

SQPar = yX(XX)-Xy

SQPar = yMty

sendo Mt = X(XX)-X.

Assim, a soma de quadrados de tratamentos (SQTrat) dada por:

SQTrat = SQPar C

SQTrat = yMty - yMgy

SQTrat = y(Mt - Mg)y

SQTrat = yQty

sendo Qt = Mt Mg.

A correo da soma de quadrados totais (SQTotalcorr) fica expressa por:

SQTotalcorr = yy - yMgy

SQTotalcorr = y(I - Mg)y

SQTotalcorr = yQuy

em que Qu = Ir(ab+1) - Mg.

Por diferena deduz-se a soma de quadrados residual (SQRes):

SQRes = yy - yMty

SQRes = y(I - Mt)y

SQRes = yQry

em que Qr = Ir(ab+1) - Mt.

34

Para decompor a soma de quadrados de tratamento necessrio obter a ortogonalidade

das submatrizes. Para isso, considera-se o experimento como um fatorial incompleto em que o

tratamento controle um pseudonvel dos fatores A e B. Com isso, obtm-se os seguintes

subespaos:

Xc = [Xf | X5]

Xa = [X2 | X5]

Xb = [X3 | X5]

Xab = [X4 | X5]

e os subvetores reparametrizados:

;

;

;

,

em que:

Xf = X1-X5, uma submatriz auxiliar dos coeficientes relacionados ao fatorial;

35

Xc o subespao dos coeficientes relacionados aos efeitos do controle (X5) e dos

coeficientes que no so do efeito do controle (Xf);

Xa o subespao dos coeficientes definido pelo fator A considerando o tratamento

adicional com um pseudonvel deste fator;

Xb o subespao dos coeficientes definido pelo fator B considerando o tratamento

adicional como um pseudonvel deste fator;

Xab o subespao dos coeficientes definido pelo fator AB considerando o tratamento

adicional como uma combinao dos pseudonveis de A e B;

t o efeito do tratamento adicional como pseudonvel do fator A;

t o efeito do tratamento adicional como pseudonvel do fator B;

t o efeito da combinao do pseudonvel do fator A com o pseudonvel do fator B;

f o efeito dos tratamentos do fatorial, ou seja, dos tratamentos que no so o

controle.

Assim, o vetor X1 de coeficientes associados s mdias uma combinao linear das

submatrizes Xa, Xb, Xab e Xc de modo que o modelo minimal seja marginal aos modelos

alternativos:

A = E(y) = Xa (somente o fator A tem efeito na resposta)

B = E(y) = Xb (somente o fator B tem efeito na resposta)

AB = E(y) = Xab (fator A e B possuem efeito de interao na resposta)

A+B = E(y) = Xa + Xb (fator A e B possuem efeitos independentes na resposta)

C = E(y) = Xc (tratamento adicional tem efeito diferente dos tratamentos do fatorial)

A submatriz Xc passa a ser uma combinao linear das submatrizes Xa, Xb e Xab, e,

portanto, o modelo C marginal aos modelos A, B e AB.

Considerando que o contraste do tratamento adicional com o fatorial uma reduo

em relao a , a soma de quadrados do contraste (SQcontraste) pode ser definida pela diferena:

SQcontraste = yMcy yMgy

36

SQcontraste = y(Mc Mg)y

SQcontraste= yQcy

sendo Mc = Xc(XcXc)-1

Xc e Qc = Mc Mg.

Sendo os modelos G e C marginais ao modelo A, a soma de quadrados do fator A

(SQA), pode ser deduzida por:

SQA = yMay - yMcy + yMgy - yMgy

SQA = y(Ma Mc)y

SQA = yQay

e analogamente a soma de quadrados do fator B (SQB)

SQB = yMBy - yMcy + yMgy - yMgy

SQB = y(Mb Mc)y

SQB = yQby

em que:

Ma = Xa(XaXa)-1

Xa;

Mb = Xb(XbXb)-1

Xb;

Qa = Ma - Mf;

Qb = Mb - Mf.

Finalmente, tem-se que o modelo G marginal ao modelo C, que por sua vez

marginal ao modelo A+B, que marginal ao modelo AB (G C A+B AB), portanto, a

soma de quadrados da interao do fator A com o fator B (SQAxB), fica definida por:

SQAxB = yMaby - yMay + yMcy - yMby + yMcy - yMcy + yMgy - yMgy

SQAxB = y(Mab Ma Mb + Mc)y

SQAxB = yQaby

sendo Mab = Xab(XabXab)-1

Xab e Qab = Mab Ma Mb + Mc.

37

2.2.4.2 Graus de liberdade

Os graus de liberdade podem ser definidos pelo posto da matriz ncleo de cada forma

quadrtica, assim:

Graus de liberdade do fator A:

posto[Qa] = posto[Ma Mc]

posto[Qa] = posto[Ma] posto[Mc]

posto[Qa] = (a + 1) 2

posto[Qa] = a 1

Graus de liberdade do fator B:

posto[Qb] = posto[Mb Mc]

posto[Qb] = posto[Mb] posto[Mc]

posto[Qb] = (b + 1) 2

posto[Qb] = b 1

Graus de liberdade da interao AxB:

posto[Qab] = posto[Mab Ma Mb + Mc]

posto[Qab] = posto[Mab] posto[Ma] posto[Mb] +

posto[Mc]

posto[Qab] = (ab + 1) (a + 1) (b + 1) + 2

posto[Qab] = ab a b + 1

posto[Qab] = (a 1)(b 1)

38

Graus de liberdade do contraste fatorial vs tratamento adicional:

posto[Qc] = posto[Mc Mg]

posto[Qc] = posto[Mc] posto[Mg]

posto[Qc] = 2 - 1

posto[Qc] = 1

Graus de liberdade de tratamentos:

posto[Qt] = posto[Mt Mg]

posto[Qt] = posto[Mt] posto[Mg]

posto[Qt] = (ab + 1) - 1

posto[Qt] = ab

Graus de liberdade do resduo:

posto[Qr] = posto[I - Mt]

posto[Qr] = posto[Ir(ab+1)] posto[Mt]

posto[Qr] = r(ab+1) ab +1

posto[Qr] = (r-1)(ab+1)

Graus de liberdade total:

posto[Qu] = posto[I Mg]

posto[Qu] = posto[Ir(ab+1)] posto[Mg]

posto[Qu] = r(ab+1) - 1

Por propriedade de matrizes, o posto tambm pode ser calculado pelo trao das

matrizes ncleo.

39

2.2.4.3 Quadro da anlise de varincia

O quadro da anlise de varincia, com a decomposio da SQTrat em partes

ortogonais, dado pela Tabela 5.

Tabela 5 Quadro da anlise de varincia de um experimento inteiramente casualizado no

esquema fatorial duplo com um tratamento adicional

C.V. G.L. S.Q. Q.M.

Fator A a-1 yQay SQA/(a-1)

Fator B b-1 yQby SQB/(b-1)

Interao AxB (a-1)(b-1) yQaby SQAxB/(a-1)(b-1)

Fatorial vs Ad. 1 yQcy SQcontraste

Tratamentos ab yQty SQTrat/ab

Resduo (r-1)(ab+1) yQry SQRes/(r-1)(ab+1)

Total corrigido r(ab+1)-1 yQuy

De acordo com Brien (2007), como as matrizes Q so simtricas e idempotentes, as

formas quadrticas podem ser expressas por matrizes D de desvios, sendo:

Da = Qay

Db = Qby

Dab = Qaby

Dc = Qcy

Dt = Qty

Dr = Qry

Du = Quy

Na Tabela 6 so apresentadas as somas de quadrados da anlise de varincia por

matrizes de desvios.

40

Tabela 6 Graus de liberdade e somas de quadrados por desvios de um experimento


adicional

C.V. G.L. S.Q.

Fator A a-1 DaDa

Fator B b-1 DbDb

Interao AxB (a-1)(b-1) DabDab

Fatorial vs Ad. 1 DcDc

Tratamentos ab DtDt

Resduo (r-1)(ab+1) DrDr

Total corrigido r(ab+1)-1 DuDu

2.2.4.4 Esperana matemtica das somas de quadrados

2.2.4.4.1 Esperana matemtica da soma de quadrados de tratamentos

Sabe-se que:

SQTrat = y(Mt - Mg)y (7)

Para determinar a E[SQTrat], utiliza-se o teorema enunciado a seguir.

Teorema 1 (SEARLE, 1971)

Seja y ~ N(X,I2), ento:

E[yAy] = 2 tr[A] + XAX (8)

Assim, conforme Teorema 1, obtm-se:

E[SQTrat] = E[y(Mt Mg)y] = tr[Mt Mg] 2 + X(Mt Mg)X

Como tr[Mt Mg] = posto[Mt Mg] = ab, ento

tr[Mt Mg] = ab. (9)

41

Alm disso, tem-se que

X(Mt Mg)X = XMtX XMgX

= XX(XX)-1XX XX1(X1X1)-1

X1X

= XX XX1(X1X1)-1

X1X

= yX(XX)-1XX(XX)-1Xy yX(XX)-1XX1(X1X1)-1

X1X(XX)-1Xy

= yX(XX)-1Xy yX(XX)-1XX1(X1X1)-1

X1X(XX)-1Xy

= yMty yMtMgMty

= yMty yMgMty

= y(Mt-MgMt)y

= y(Mt-Mg)y

= yQty

=DtDt (10)

Substituindo as expresses (9) e (10) na expresso (8) obtm-se

E[SQTrat] = ab2 + DtDt. (11)

Da expresso (11) segue-se que

E[QMTrat] = 2 + DtDt/ab.

2.2.4.4.2 Esperana matemtica da soma de quadrados de resduos

Para a SQRes, tem-se, como usual,

SQRes = y(I - Mt)y

Aplicando o Teorema 1, tem-se:

E[SQRes] = E[y(I - Mt)y] = tr[I - Mt]2 + X[I - Mt]X

Como tr[I Mt] = posto[I Mt] = (r-1)(ab+1), ento tr[I Mt] = (r-1)(ab+1).

42

Alm disso, tem-se que:

X[I - Mt]X = XX XMtX

= XX XX(XX)-1XX

= XX XX

= 0 (12)

Portanto, define-se que:

E[SQRes] = (r-1)(ab+1)2 (13)

De (13), segue-se que:

E[QMRes] = 2

2.2.4.5 Independncia e distribuio das formas quadrticas

Para verificar a independncia e a distribuio das formas quadrticas, empregam-se

os seguintes teoremas citados por Riboldi (1988):

Teorema 2 (GRAYBILL, 1961)

Se y ~ N (,I2) ento yAy/ 2 ~ 2 (n,), ou seja, yAy/2 tem distribuio qui-

quadrado no central, com n graus de liberdade, e parmetro de no centralidade =

A/22, se e somente se A for uma matriz idempotente de caracterstica n.

Teorema 3 (SEARLE, 1971)

Quando y ~ N (,V), as formas quadrticas yAy e yBy so independentemente

distribudas se e somente se AVB = 0, ou, de forma equivalente, BVA = 0.

43

Teorema 4 (GRAYBILL, 1961)

Se uma varivel w distribuda conforme 2 (n1,), ou seja, como qui-quadrado no

central com n1 graus de liberdade e parmetro de no centralidade , e se outra varivel

aleatria z distribuda como 2 (n2), ou seja, como qui-quadrado central com n2 graus de

liberdade, e se w e z so independentes, ento a varivel

tem distribuio F no central, com n1 e n2 graus de liberdade, e parmetro de no

centralidade .

2.2.4.5.1 Distribuio da SQTrat/2

Sabe-se que

SQTrat = y(Mt - Mg)y. (14)

Assim,

(Mt Mg)2 = MtMt 2 MtMg + MgMg.

Como Mt e Mg so idempotentes, e MtMg = Mg, tem-se:

(Mt Mg)2 = Mt 2Mg + Mg

= Mt - Mg,

e portanto, (Mt - Mg) idempotente.

Tem-se ainda que

posto(Mt - Mg) = tr(Mt - Mg)

= ab + 1 1

= ab.

44

Assim, pelo Teorema 2, tem-se que:

SQTrat/2 ~ 2 (nt,t) , (15)

em que

nt = ab

t = DtDt/2.

2.2.4.5.2 Distribuio da SQRes/2

Sabe-se que

SQRes = y(I - Mt)y. (16)

Assim,

(I Mt)2 = I 2Mt + MtMt.

Como Mt idempotente, tem-se:

(I Mt)2 = I 2Mt + Mt

(I Mt)2 = I - Mt ,

e portanto, (I Mt) idempotente.

Tem-se ainda que

posto(I Mt) = tr(I Mt) = (r-1)(ab+1).

Alm, por (12), sabe-se que:

X[I - Mt]X = 0.

45

Pelo Teorema 2, tem-se que:

SQRes/2 ~ 2 (nr,0) , (17)

em que:

nr = (r-1)(ab+1)

r = 0.

2.2.4.5.3 Distribuio do quociente SQTrat/nt/SQRes/nr

De (14) e (16), tem-se:

SQTrat = y(Mt - Mg)y e SQRes = y(I - Mt)y ,

respectivamente.

Verifica-se que, sendo V = I2, ento

(Mt - Mg)I2(I - Mt) = (Mt - MtMt Mg + MgMt)

2

= (Mt - Mt Mg + Mg)2

= 0.

Assim, pelo Teorema 3, SQTrat e SQRes so independentes; e usando o teorema 4

tem-se, por (15) e (17) que:

em que:

nt = ab, so os graus de liberdade dos tratamentos;

nr = (r-1)(ab+1), so os graus de liberdade do resduo;

t = DtDt/2, o parmetro de no-centralidade.

46

2.2.4.6 Teste de significncia

As hipteses geradas pela decomposio da soma de quadrados de tratamento, so

dadas de acordo com os parmetros testados:

Para a soma de quadrados do fator A:

H0: 1 = 2 = ... = a

Ha: pelo menos dois nveis do fator A diferem entre si.

Para a soma de quadrados do fator B:

H0: 1 = 2 = ... = b

Ha: pelo menos dois nveis do fator B diferem entre si.

Para a soma de quadrados da interao:

H0: 11 = 12 = ... = ab

Ha: existe interao entre os fatores.

Para a soma de quadrados do contraste tratamento adicional vs fatorial:

H0: a = f

Ha: a f

47

2.2.5 Diagrama de Hasse

De acordo com Alcarde (2007), definem-se os fatores experimentais: Tratamentos,

fator de parcela; e Fator A, Fator B e Controle, fatores de tratamento (Figura 2).

Figura 2 Diagrama de Hasse combinado para fatores de parcela e de tratamento


Para o esquema do diagrama de Hasse para fatores de parcela obtm-se:

Figura 3 Graus de liberdade no diagrama de Hasse para fatores de parcela

48

Diagrama de Hasse para fatores de tratamentos:

Figura 4 Graus de liberdade no diagrama de Hasse para fatores de tratamento

2.2.5.2 Somas de quadrados

O diagrama de Hasse pode ser empregado para encontrar as matrizes ncleos de forma

prtica das somas de quadrados.

Diagrama de Hasse para fatores de parcela:

Figura 5 Matrizes ncleos no diagrama de Hasse para fatores de parcela

49


Figura 6 Matrizes ncleos no diagrama de Hasse para fatores de tratamento

2.2.6 Ajuste de equaes de regresso

2.2.6.1 Regresso linear simples

Num experimento fatorial duplo, seja o fator A quantitativo, podem-se escrever b

equaes lineares de regresso, sendo b o nmero de nveis do fator B. As seguintes equaes

de regresso linear simples podem ser escritas:

yik1 = 01 + 11xi1 + ik1

yik2 = 02 + 12xi2 + ik2

yikb = 0b + 1bxib + ikb

em que:

yikb o valor observado no i-simo nvel do fator A na k-sima repetio da b-sima

equao;

50

0b o coeficiente linear da b-sima equao;

1b o coeficiente angular da b-sima equao;

xib o nvel fixo do fator A na b-sima equao;

ikb o erro associado observao yikb com ikb~N(0,2) e independentes.

Demtrio e Zocchi (2011) descrevem que se os erros tem distribuio normal, so

independentes e com varincias homogneas, ento yikb~N(0b + 1bxib,2).

O modelo matricial pode ser empregado para cada uma das equaes de regresso:

yb = X + ,

sendo:

y o vetor de variveis observveis;

X a matriz dos coeficientes da equao;

o vetor de parmetros da equao;

o vetor de erros associados.

Para o caso do fatorial duplo com uma testemunha como tratamento adicional, tem-se

que para uma equao:

e

sendo:

51

x0 o nvel do tratamento adicional;

xi o i-simo nvel do fator A.

Assim, pelo mtodo dos mnimos quadrados, as estimativas por variveis centradas

dos parmetros so:

e

2.2.6.2 Teste de linearidade

Segundo Demtrio e Zocchi (2011), o teste de linearidade, tambm conhecido por

teste da falta de ajuste, combinado com o teste de nulidade do coeficiente angular da reta,

resultam em quatro possveis casos, resultando em diferentes concluses:

Caso 1:

Teste de falta de ajuste: no significativo

Teste de regresso (H0: 1=0): no significativo

Concluso: no h inclinao da reta e o modelo se ajusta aos dados.

Modelo estimado: ik = 0 =

Caso 2:

Teste de falta de ajuste: no significativo

Teste da regresso (H0: 1=0): significativo

Concluso: a reta possui inclinao e o modelo se ajusta aos dados.

Modelo estimado: ik = 0 + 1xi

52

Caso 3:

Teste de falta de ajuste: significativo

Teste de regresso (H0: 1=0): no significativo

Concluso: a reta estimada no possui inclinao mas no se ajusta aos dados.

Modelo sugerido: yik = 0 + 1xi + 2xi2+ ik ou grau superior.

Caso 4:

Teste de falta de ajuste: significativo

Teste de regresso (H0: 1=0): significativo

Concluso: a reta possui inclinao e o modelo no se ajusta aos dados.

2.2.6.3 Anlise de varincia para regresso

Para verificar se o ajuste do modelo linear ou se os graus superiores so adequados,

segue o quadrado de anlise de varincia com os respectivos graus de liberdade para o

experimento em estudo:

Tabela 7 Anlise de varincia para o teste de ajuste de regresso linear de um experimento

inteiramente casualizado no esquema fatorial duplo com um tratamento adicional

C.V. G.L. S.Q. Q.M. Fcalculado

Regresso linear 1 SQReg SQReg/1 QMReg/QMRes

Desvios de regresso b-2 SQD SQD/(b-2) QMD/QMRes

Entre nveis de X b-1 SQTrat SQTrat/(b-1) QMTrat/QMRes

Resduo r(ab+1)-b SQRes SQRes/[r(ab+1)-b]

Total r(ab+1)-1 SQTotal

53

Seguindo o princpio da parcimonia, escolhe-se o modelo com menor quantidade de

parmetros, dentre os modelos ajustveis. Em alguns casos escolhe-se o modelo que melhor

explica os dados de acordo com a experincia ou bom senso do pesquisador.

2.2.7 Ilustrao do mtodo

Para ilustrao da metodologia, utilizam-se dados de um experimento realizado na

Universidade Federal da Grande Dourados, Dourados, MS, no ano agrcola de 2009, em casa

de vegetao da Faculdade de Cincias Agrrias.

O experimento trata da aplicao de doses de fertirrigao de um produto comercial

Yogen 5 e diferentes tipos de substratos (casca de coco e substrato comercial Plantmax

hortalias) para o crescimento de mudas de pimento em bandejas, com trs parcelas por

bandejas e quatro repeties por parcelas. As doses testadas foram de 1,25; 2,5 e 5,0 g/L-1

do

fertilizante diludas em gua. O tratamento controle foi a no aplicao do produto em mudas

plantadas em bandejas com solo do tipo Latossolo vermelho distrofrrico. O delineamento

empregado foi o inteiramente casualizado em esquema fatorial 3x2 com um tratamento

adicional. Cada parcela constituiu-se de 36 clulas da bandeja e apenas 12 foram amostradas e

calculadas as mdias. A varivel analisada para esta ilustrao foi altura de plantas (cm)

apresentada na Tabela 8.

Tabela 8 Mdias de alturas de plantas de pimento cultivadas em bandejas sob casa de

vegetao em Dourados, MS

Substratos

Doses Plantmax Casca de coco

1,25 8,23 8,50

8,62 7,40

2,98 2,15

2,08 2,23

2,50 11,75 11,28

9,88 9,1

5,40 4,25

3,67 3,00

5,00 6,12 5,80

5,40 6,23

4,58 5,7

4,25 3,88

Tratamento

controle

3,25 3,37

3,88 3,25

54

2.2.7.1 Anlise exploratria

Pela figura 7 observa-se a possvel interao entre os fatores pelo no paralelismo

entre os segmentos de retas observados. A testemunha torna-se um ponto em comum entre as

retas.

Figura 7 Retas observadas dos nveis de substratos dentro do fator doses

55

2.2.7.2 Anlise de varincia

Com o auxlio do programa R (2011) as matrizes do delineamento foram montadas

com rotinas computacionais. A matriz de delineamento fica definida como:

E o vetor de parmetros correspondente:

= [ 1 2 3 1 2 11 12 21 22 31 32 ].

Graus de liberdade do fator Dose:

a 1 = 2

56

Graus de liberdade do fator Substratos:

b 1 = 1

Graus de liberdade da interao Doses x Substratos:

(a 1)(b 1) = 2

Graus de liberdade de todos os nveis de tratamento do delineamento:

ab = 6


(r 1)(ab + 1) = 3.7 = 21


r(ab + 1) 1 = 4(7) 1 = 27

Assim, possvel o clculo das somas de quadrados para a elaborao do quadro da

anlise de varincia (Tabela 9).

Tabela 9 Anlise de varincia de um delineamento inteiramente casualizado no esquema

fatorial duplo com um tratamento adicional (3x2+1)


Doses 2 22,0221 11,0111 19,95*

Substratos 1 122,1308 122,1308 221,29*

Interao DxS 2 31,5882 15,7941 28,62*

Fatorial vs Ad. 1 21,4143 21,4143 38,80*

Tratamentos 6 197,1553 32,8592 59,53*

Resduo 21 11,5902 0,5519

Total corrigido 27 208,7455

*hiptese nula rejeitada ao nvel de 5% de significncia pelo teste F de Fisher-Snedecor.

Todos os F calculados foram maiores do que os valores tabelados. Para o fator doses,

conclui-se que existe pelo menos dois nveis que diferem entre si. Para o fator subtrato,

57

conclui-se que, ao nvel de 5% de significncia, a mdia da altura de plantas cultivadas em

casca de coco (3,68cm) menor do que plantas cultivadas no substrato Plantmax (8,19cm).

2.2.7.3 Diagrama de Hasse e nmero de graus de liberdade

Para a elaborao do diagrama de Hasse, considera-se como fator de parcela,

Tratamentos, e como fatores de tratamentos, Doses, Substratos e Controle.

Portanto, o diagrama de Hasse para fatores de parcela fica:

Figura 8 Graus de liberdade para fatores de parcela da ilustrao

E o diagrama de Hasse para fatores de tratamentos:

Figura 9 Graus de liberdade para fatores de tratamentos da ilustrao

58

2.2.7.4 Teste de Dunnet

A diferena entre o tratamento testemunha com as demais combinaes pode ser

realizada por um teste de comparao de mdias de Dunnett a 5% de significncia.

Sendo d de Dunnett definido pelos nveis de tratamentos ab+1 e os graus de liberdade

do resduo (r-1)(ab+1), obtm-se:

d5%(7,21) = 2,79

Como o experimento balanceado o nmero de rplicas k=4 e, pelo quadro da anlise

de varincia o QMRes = 0,5519.

Assim, pela equao proposta por Dunnett tem-se:

d = 1,4656

Analisando a diferena de cada combinao de tratamento com o controle obtm-se:

|Dose 1,25 x Plantmax Controle| = |4,7500| > 1,4656

|Dose 1,25 x Casca de coco Controle| = |-1,0775| < 1,4656


|Dose 2,5 x Casca de coco Controle| = |0,6425| < 1,4656


|Dose 5,0 x Casca de coco Controle| = |1,1650| < 1,4656

Portanto, conclui-se que a mdia da testemunha difere significativamente, no teste de

Dunnett a 5% de probabilidade, das mdias do nvel Plantmax combinado em qualquer nvel

de dose.

59

2.2.7.5 Anlise pelo pacote ExpDes no R

O programa computacional livre R (2011), traz o pacote estatstico ExpDes

(Experimental Design), em que possvel realizar a anlise de experimentos. O comando

fat2.ad.dic() uma funo que realiza a anlise de um fatorial duplo com um tratamento

adicional em delineamento inteiramente casualizado. A anlise realizada pelos comandos:

fat2.ad.dic(fator1,fator2,resp,rep,ad,quali=c(FALSE,TRUE))

em que:

fator1 so os nveis das doses;

fator 2 so os nveis dos substratos;

resp o vetor das observaes do fatorial;

rep a repetio do vetor de observaes;

ad o vetor das observaes do tratamento adicional;

quali=c(FALSE,TRUE) a determinao de que o primeiro fator quantitativo e

de que o segundo fator qualitativo.

Os resultados obtidos pelo quadro da anlise de varincia so vistos na Tabela 10,

similares aos da Tabela 9.

Tabela 10 Anlise de varincia realizada pelo pacote ExpDes do R para um delineamento


adicional

60

2.2.7.5.1 Desdobramento da interao

Como a interao foi significativa, o desdobramento da interao pode ser realizado

com o auxilio do pacote computacional ExpDes. Faz-se o desdobramento de um fator dentro

dos nveis do outro fator. O desdobramento de Doses dentro de cada nvel de Substratos

observado na Tabela 11.

Tabela 11 Desdobramento do fator Doses dentro dos nveis do fator Substratos

Como o efeito de Doses foi significativo tanto para casca de coco como para

Plantmax, o programa roda o ajuste de modelos de regresso para cada nvel (ver item

2.2.8.6.1.2).

O desdobramento do fator Substratos dentro dos nveis de Doses pode ser visto na

Tabela 12.

Tabela 12 Desdobramento do fator Substratos dentro dos nveis do fator Doses

Sendo significativo o efeito do fator Substrato em todos os nveis do fator Doses,

conclui-se que as mdias de altura de plantas cultivadas em casca de coco diferem

estatisticamente a 5% de probabilidade pelo teste F, daquelas cultivadas em Plantmax.

61

2.2.7.5.2 Ajuste do modelo de regresso

Como o fator doses quantitativo, faz-se o uso da anlise de regresso para ajuste de

modelo linear que explique os dados. Para o fator Doses desdobrado dentro dos nveis de

Substratos, sendo significativo, faz-se o teste de ajuste de modelos de regresso. Por

considerar o fator Doses com apenas trs nveis, o pacote ExpDes realiza o teste de ajuste para

o modelo linear e quadrtico.

Nesta ilustrao, o modelo linear yi = 2,0988 + 0,5424xi , proposto como o mais

adequado dentro do nvel casca de coco. Para o nvel Plantmax, proposto o modelo

quadrtico yi = 2,7908 + 5,55xi 0,9861xi2. As equaes estimadas podem ser visualizadas na

Figura 10.

Figura 10 Curvas de regresso linear de doses em relao a altura para os nveis Plantmax e Casca de coco

Como o pacote no considera o tratamento testemunha como um pseudonvel de

doses, faz-se necessrio a criao de uma subrotina R para a anlise de regresso

considerando o controle.

Esta nova definio apresentada na Figura 11, em que proposto o modelo linear yi

= 2,902 + 0,3282xi para o nvel casca de coco e o modelo quadrtico yi = 3,3846 + 5,1056xi

0,9203xi2 para o nvel Plantmax.

62

Figura 11 Curvas de regresso linear de doses em relao a altura para os nveis Plantmax e Casca de coco,

considerando o tratamento testemunha

2.3 Delineamento casualizado em blocos no esquema fatorial duplo com um tratamento

controle adicional

2.3.1 Caracterizao

Seja um experimento disposto em blocos casualizado em esquema fatorial duplo com

um tratamento adicional do tipo testemunha A x B + 1, em que A o primeiro fator e B o

segundo fator, com os seguintes ndices:

a: nveis do primeiro fator;

b: nveis do segundo fator;

l: nmero de blocos;

r: nmero de repeties dos pares de combinao do fatorial;

m: nmero de repeties do tratamento adicional (m=r, caso balanceado);

z: nmero de repeties do fatorial e do tratamento adicional por blocos.

63

2.3.2 Modelo linear

Para o experimento em questo, considera-se o seguinte modelo linear:

yijvk = + i + j + ij + v + ijvk (18)

e

yvh = + + v + vh (19)

em que:

yijvk a varivel resposta relacionada ao i-simo nvel do primeiro fator (i = 1, 2, ..., a)

com o j-simo nvel do segundo fator (j = 1, 2, ..., b) no v-simo bloco (v = 1, 2, ..., w) na k-

sima repetio (k = 1, 2, ..., r);

a mdia geral;




segundo fator;

v o efeito do v-simo bloco;

ijvk o erro experimental associado observao yijk e supe-se que ijk~N(0,2) e

independentes;

yvh a varivel resposta relacionado ao v-simo bloco da h-sima repetio do

tratamento adicional (h = 1, 2, ..., m);

o efeito do tratamento adicional;

vh o erro experimental associado ao tratamento adicional e supe-se que vh~N(0,2)

e independentes.

64

Na forma matricial, os modelos (18) e (19) so dados por:

y = X +

em que:

y rz(ab+1)x1 o vetor de realizaes de variveis aleatrias;

Xrz(ab+1)x(a+b+ab+w+2) a matriz dos coeficientes dos parmetros do modelo (matriz de

delineamento) de caracterstica (ab+w);

(a+b+ab+w+2)x1 o vetor de parmetros do modelo;

rz(ab+1)x1 um vetor, no observvel, de erros aleatrios, tal que ~N(0,I2);

e por ser um modelo de Gauss-Markov (G.M.) y~N(X,I2).

Particionando a matriz de delineamento convenientemente, obtm-se:

X = [ X1 | X2 | X3 | X4 | Xw | X5]

em que:

X1rz(ab+1) x 1 o vetor dos coeficientes associados mdia ;

X2 rz(ab+1) x a a matriz dos coeficientes associados ao fator A;

X3 rz(ab+1) x b a matriz dos coeficientes associados ao fator B;

X4 rz(ab+1) x ab a matriz dos coeficientes associados interao AxB;

Xw rz(ab+1) x w a matriz dos coeficientes associados aos blocos;

X5 rz(ab+1) x 1 o vetor dos coeficientes associados ao tratamento adicional.

65

Correspondentemente partio da matriz X, a partio do vetor dado por:

em que:

;

;

;

.

66

2.3.3 Sistema de equaes normais

Pelo mtodo dos quadrados mnimos obtm-se o sistema de equaes normais dado

por:

XX =Xy

ou seja,

,

em que:

X1X1 = rz(ab+1) = n = nmero total de unidades experimentais ou parcelas;

X1X2 = [brz brz ... brz] = vetor linha de repeties associadas ao fator A de dimenses

(1)x(a);

X1X3 = [arz arz ... arz] = vetor linha de repeties associadas ao fator B de dimenses

(1)x(b);

X1X4 = [rz rz ... rz] = vetor linha de repeties associadas a interao AB de

dimenses (1)x(ab);

X1Xw = [z(ab+1) z(ab+1) ... z(ab+1)] = vetor linha de repeties associadas aos

blocos de dimenses (1)x(w);

X1X5 = rz = nmero de repeties associadas ao tratamento adicional;

67

X2X2 = brzIa = diagonal [brz, brz, ..., brz] = submatriz associada s repeties do fator

A de dimenses (a)x(a);

X2X3 = rz(axb) = submatriz de nmeros de repeties do fator A em cada fator B de

dimenses (a)x(b);

X2X4 = submatriz de dimenses (a)x(ab), correspondente ao nmero de incidncias

dos nveis do fator A nos pares ij, da interao;

X2Xw = submatriz de dimenses (a)x(w), correspondente ao nmero de nveis do fator

B dentro do fator A;

X2X5 = vetor coluna nulo de dimenses (a)x(1);

X3X3 = arzIb = diagonal [arz, arz, ..., arz] = submatriz associada s repeties do fator

B de dimenses (b)x(b);

X3X4 = submatriz de dimenses (b)x(ab), correspondente ao nmero de incidncias

dos nveis do fator B nos pares ij, da interao;

X3Xw = submatriz de dimenses (b)x(w), correspondente ao nmero de nveis do

fator A dentro do fator B;

X3X5 = vetor coluna nulo de dimenses (b)x(1);

X4X4 = rzIab = diagonal [rz, rz, ..., rz] = submatriz associada s repeties dos pares

da interao ij de dimenses (ab)x(ab);

X4Xw = submatriz de dimenses (ab)x(w), correspondente ao nmero de repeties

das combinaes dos fatores dentro de blcoos;

X4X5 = vetor coluna nulo de dimenses (ab)x(1);

XwXw = (ab+1)Iw = diagonal [ab+1, ab+1, ..., ab+1] = submatriz associada ao nmero

de tratamentos dentro de cada bloco de dimenses (w)x(w);

XwX5 = [z z ... z] = vetor coluna correspondente ao nmero de repeties do

tratamento adicional dentro de cada bloco;

X5X5 = r = nmero de repeties dos tratamentos adicionais;

68

X1y = N = total geral observado;

X2y = vetor dos totais observados no fator A de dimenses (a)x(1);

X3y = vetor dos totais observados no fator B de dimenses (b)x(1);

X4y= vetor dos totais observados nos pares de interao ij de dimenses (ab)x(1);

Xwy = vetor dos totais observados dentro de cada bloco de dimenses (w)x(1);

X5y = o total observado no tratamento adicional.

2.3.4. Anlise de varincia

2.3.4.1 Obteno das somas de quadrados

Analogamente ao modelo inteiramente casualizado visto no item 2.2.5.1, a deduo da

soma de quadrados residual pode ser obtida por:

= yy - Xy

em que a soma de quadrados de resduos (SQRes), yy a soma de quadrados total no

corrigida, e Xy a soma de quadrados de parmetros (SQPar).

O modelo minimal G = E(y) = X1, o modelo esperado quando a resposta da mdia

populacional a mesma para todas as observaes sem efeitos dos fatores ou do tratamento

adicional (BRIEN, 2007).

A SQPar pode ser decomposta na soma de quadrados de tratamentos (SQTrat) e soma

de quadrados de blocos (SQblocos), em que a SQTrat se refere ao efeito do fatorial e do

contraste do tratamento adicional com o fatorial.

O modelo T = E(y) = X, o modelo maximal esperado em que todos os efeitos

ocorrem, fator A e fator B influenciam na mdia, existe o efeito de interaes, ocorre o efeito

dos blocos, e o tratamento adicional contrasta com o fatorial.

O modelo minimal marginal ao modelo alternativo do efeito de blocos w = Xw.

Este modelo estima apenas o efeito de blocos sobre a mdia. Deste modo, a reduo da soma

de quadrados dos blocos (SQblocos) pode ser deduzida:

69

SQblocos = yMwy yMgy

SQblocos = y(Mw Mg)y

SQblocos = yQwy

em que Mw = Xw(XwXw)-1

Xw e Qw = Mw Mg.

Para a deduo da SQTrat faz-se a reduo da SQPar em blocos.

SQTrat = SQPar - SQblocos

SQTrat = yMty yMwy

SQTrat = y(Mt Mw)y

SQTrat = yQty

em que Qt = Mt Mw.

Assim, para este delineamento, ocorre uma diminuio na soma de quadrados de

resduos e seus graus de liberdade, pela incluso dos blocos. A SQRes pode ser deduzida pela

diferena entre o total e os efeitos de tratamentos e blocos.

SQRes = SQTotal SQTrat SQblocos

SQRes = y(I Mg)y y(Mt Mw)y y(Mw Mg)y

SQRes = y(I Mg Mt + Mw Mw + Mg)y

SQRes = y(I Mt)y

SQRes = yQry

em que Qr = I Mt.


Com a incluso do controle local em blocos, os graus de liberdade sofrem alteraes

em sua deduo para o total e resduos:

70


posto[Qu] = posto[I Mg]

posto[Qu] = posto[Irz(ab+1)] posto[Mg]

posto[Qu] = rz(ab+1) 1.


posto[Qr] = posto[I - Mt]

posto[Qr] = posto[Irz(ab+1)] posto[Mt]

posto[Qr] = rz(ab+1) (ab + w)

posto[Qr] = rz(ab + 1) ab w.

No caso em que o nmero de repeties por blocos for 1 e o nmero de blocos for

igual ao nmero de repeties (z = 1 e r = w),

posto[Qr] = ab(r 1) + r w

posto[Qr] = ab(r 1).

Graus de liberdade blocos:

posto[Qw] = posto[Mw Mg]

posto[Qw] = posto[Mw] posto[Mg]

posto[Qw] = w 1.

2.3.4.3 Quadro da anlise de varincia

O quadro da anlise de varincia, com a decomposio da SQTrat em partes

ortogonais, dado na Tabela 13.

71

Tabela 13 Quadro da anlise de varincia de um experimento em delineamento casualizado

em blocos no esquema fatorial duplo com um tratamento adicional

C.V. G.L. S.Q. Q.M.

Fator A a-1 yQay SQA/(a-1)

Fator B b-1 yQby SQB/(b-1)

Interao AxB (a-1)(b-1) yQaby SQAxB/(a-1)(b-1)

Fatorial vs Ad. 1 yQcy SQcontraste

Tratamentos ab yQty SQTrat/ab

Blocos

Resduo

w-1

rz(ab + 1) ab w

yQwy

yQry

SQBloco/(w-1)

SQRes/(r-1)(ab+1)

Total corrigido rz(ab+1)-1 yQuy

A soma de quadrados de blocos pode ser escrita na forma de desvios:

Dw = Qwy

Assim, a tabela da anlise de varincia com as somas de quadrados por termos de

desvios pode ser visualizada na Tabela 14.

Tabela 14 Quadro da anlise de varincia com as respectivas somas de quadrados em termos

de desvios de um experimento em delineamento casualizado em blocos no

esquema fatorial duplo com um tratamento adicional

C.V. G.L. S.Q.

Fator A a-1 DaDa

Fator B b-1 DbDb

Interao AxB (a-1)(b-1) DabDab

Fatorial vs Ad. 1 DcDc

Tratamentos ab DtDt

Blocos

Resduo

w-1

(rz-1)(ab+1)-w+1

DwDw

DrDr

Total corrigido rz(ab+1)-1 DuDu

72

2.3.4.4 Teste de significncia

As hipteses geradas pela anlise, pela decomposio da soma de quadrados de

parmetros em tratamentos e blocos, so dadas de acordo com os parmetros testados:

Para a soma de quadrados do fator A:

H0: 1 = 2 = ... = a

Ha: pelo menos dois nveis do fator A diferem entre si.

Para a soma de quadrados do fator B:

H0: 1 = 2 = ... = b

Ha: pelo menos dois nveis do fator B diferem entre si.

Para a soma de quadrados da interao:

H0: 11 = 12 = ... = ab

Ha: existe interao entre os fatores.

Para a soma de quadrados de blocos:

H0: 1 = 2 = ... = w

Ha: existe pelo menos um bloco que difere dos demais.

Para a soma de quadrados do contraste tratamento adicional vs fatorial:

H0: a = f

Ha: a f

73

2.3.5 Diagrama de Hasse

De acordo com Alcarde (2007), definem-se os fatores experimentais: Blocos e

Parcelas, fatores de parcela, e Fator A, Fator B e Controle, fatores de tratamento.

Figura 12 Diagrama de Hasse combinado para fatores de parcela e de tratamento


Para o esquema do diagrama de Hasse para fatores de parcela obtm-se:

Figura 13 Graus de liberdade no diagrama de Hasse para fatores de parcela

74


Figura 14 Graus de liberdade no diagrama de Hasse para fatores de tratamento

2.3.5.2 Somas de quadrados

O diagrama de Hasse pode ser empregado para encontrar as matrizes ncleos de forma

prtica das somas de quadrados.

Diagrama de Hasse para fatores de parcela:

Figura 15 Matrizes ncleos no diagrama de Hasse para fatores de parcela

75


Figura 16 Matrizes ncleos no diagrama de Hasse para fatores de tratamento

2.3.6 Ilustrao do mtodo

Os dados a seguir ilustram o mtodo para um delineamento em blocos casualizados

em esquema fatorial duplo com uma testemunha como tratamento adicional.

O experimento foi realizado em Piracicaba, SP, no Centro de Estudos em Energia

Nuclear na Agricultura (CENA), na Escola de Superior de Agricultura Luiz de Queiroz da

Universidade de So Paulo (Esalq/USP). Refere-se a aplicao de diferentes doses de

nitrognio em kg.dm-3

(50, 100, 150, e 200) de diferentes fontes de adubo (uria, uria

recoberta 1, uria recoberta 2 e uria recoberta 3), com quatro repeties em plantas de um

experimento. No controle no aplicado nitrognio. A blocagem foi realizada em curvas de

nvel. A varivel resposta massa seca da parte area em gramas.

76

Tabela 15 Dados de massa seca da parte area de plantas de milho em gramas, Piracicaba,

SP.

Fontes

Doses Blocos Uria Uria 1 Uria 2 Uria 3 Testemunha

50

B I

B II

B III

B IV

3,55

5,44

3,01

4,65

2,56

3,32

2,79

3,06

5,35

5,24

4,12

6,75

4,61

6,12

5,31

4,39

100

B I

B II

B III

B IV

4,28

3,71

4,16

4,15

2,21

4,76

3,81

2,44

5,37

5,17

4,71

5,25

4,68

5,92

5,76

5,11

150

B I

B II

B III

B IV

3,94

4,23

4,67

4,94

2,74

3,23

4,19

4,33

3,32

4,13

4,42

4,21

5,71

4,82

4,84

4,35

200

B I

B II

B III

B IV

3,92

4,33

3,85

4,76

4,46

3,74

4,54

2,44

2,55

5,52

4,05

4,48

4,43

4,21

3,10

4,44

0

B I

B II

B III

B IV

1,52

1,63

1,33

1,08

77

2.3.6.1 Anlise de varincia

Com o auxlio do programa R, a matriz de delineamento foi montada para o clculo

das somas de quadrados do experimento.

Vetor dos coeficientes relacionados mdia:

;

Submatriz dos coeficientes relacionados ao fator Doses:

;

Submatriz dos coeficientes relacionados ao fator Substratos:

;

78

Submatriz dos coeficientes relacionados aos blocos:

;

Submatriz dos coeficientes relacionados aos pares Doses x Substratos:

;

Vetor dos coeficientes relacionados ao tratamento adicional:

.

O vetor de parmetros definido por:

= [ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 ]

em que:

= [11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44]

79

Os graus de liberdade so definidos a seguir:

Graus de liberdade do fator Doses

a 1 = 3.

Graus de liberdade do fator Fontes

b 1 = 3.

Graus de liberdade da interao Doses x Fontes

(a 1)(b 1) = 9.

Graus de liberdade de todos os tratamentos do delineamento

ab = 16.

Graus de liberdade do resduo, com z = 1 e r = w

ab(r 1) = 16(3)

= 48.

Graus de liberdade total

rz(ab + 1) 1 = 4(17) 1

= 67.

Assim, possvel o clculo das somas de quadrados para a elaborao do quadro da

anlise de varincia (Tabela 16).

80

Tabela 16 Anlise de varincia de um experimento em delineamento casualizado em blocos

no esquema fatorial duplo com um tratamento adicional

*hiptese nula rejeitada ao nvel de 5% de probabilidade pelo teste F de Fisher-Snedecor.

Para o fator doses, no houve diferena significativa entre as mdias de massa seca

pelo teste F ao nvel de 5% de significncia. Para o fator fontes, conclui-se que existem pelo

menos dois nveis que diferem entre si. A interao entre doses e fontes foi significativa. Pelo

contraste, conclui-se que o tratamento adicional difere das combinaes de tratamentos do

fatorial. No houve diferena significativa entre blocos, o uso de blocos no foi justificado.

2.3.6.2 Diagrama de Hasse e nmero de graus de liberdade

Para a elaborao do diagrama de Hasse, considera-se como fatores de parcela,

Parcelas e Blocos, e como fatores de tratamentos, Doses, Substratos e Controle.

Portanto, o diagrama de Hasse para fatores de parcela fica:

Figura 17 Graus de liberdade para fatores de parcela


Doses 3 1,6059 0,5353 1,0274

Fontes 3 19,8479 6,6159 12,6974*

Interao DxF 9 9,9062 1,1007 2,1124*

Fatorial vs Ad. 1 31,6919 31,6919 60,8231*

Tratamentos 16 63,0519 3,9407 7,5631*

Blocos

Resduo

3

48

3,2932

25,0104

1,0977

0,5211

2,1067


81

E o diagrama de Hasse para fatores de tratamentos:

Figura 18 Graus de liberdade para fatores de tratamentos

O quadro de anlise de varincia proposto por Brien (2007), obtido pelas somas de

quadrados calculadas pelos diagramas para este experimento casualizado em bloco no

esquema fatorial duplo com um tratamento adicional, pode ser visualizado na Tabela 17.

Tabela 17 Quadro da anlise de varincia pelo mtodo do diagrama de Hasse para um

experimento em delineamento casualizado em blocos no esquema fatorial

duplo com um tratamento adicional


Blocos 3 3,2932 1,0977 2,1067

Parcelas[Blocos] 64 88,0623

Controle 1 31,6919 31,6919 60,8231*

Doses[Controle] 3 1,6059 0,5353 1,0274

Fontes[Controle] 3 19,8479 6,6159 12,6974*

Doses^Fontes[Controle] 9 9,9062 1,1007 2,1124*

Resduos 48 25,0104 0,5211


*hiptese nula rejeitada ao nvel de 5% de probabilidade pelo teste F de Fisher-Snedecor.

82

2.3.6.4 Teste de Dunnett

Realizando o teste de Dunnett ao nvel de 5% de significncia, obtm-se a diferena

mnima significativa entre o tratamento testemunha e os tratamentos do fatorial:

d5%(17,48) = 3,60.

Como o experimento balanceado o nmero de rplicas k=4 e, pelo quadro da anlise

de varincia o QMRes = 0,5211.

Assim, pela equao proposta por Dunnett tem-se:

d = 1,8375.

Analisando a diferena de cada combinao de tratamento com o controle obtm-se:

|Dose 50 x Uria Controle| = |2,7725| > 1,8375

|Dose 50 x Uria1 Controle| = |1,5425| < 1,8375ns

|Dose 50 x Uria2 Controle| = |3,9750| > 1,8375











83




Conclui-se que o tratamento controle difere significamente das combinaes de Uria,

Uria 1, Uria 2 e Uria 3 com as doses 50, 100, 150 e 200, exceto para a combinao de

Uria 1 com a dose 50.

85

3 CONCLUSO

A anlise de varincia de delineamentos em esquema fatorial duplo pode ser calculada

por meio das matrizes determinadas pelo modelo proposto e com a obteno das matrizes

ncleos das formas quadrticas dos modelos marginais.

A aplicao do diagrama de Hasse auxilia na obteno das matrizes ncleos e graus de

liberdade para clculo das somas de quadrados e elaborao do quadro da anlise de

varincia.

O pacote ExpDes no R tambm pode ser empregado para a anlise de varincia para

delineamentos inteiramente casualizado, porm, o ajuste das curvas de regresso no levam

em considerao o tratamento testemunha como um nvel do fator quantitativo.

O teste de Dunnett mostrou-se adequado s interpretaes das anlises para o

delineamento inteiramente casualizado e o delineamento casualizado em blocos.

87

REFERNCIAS

ALCARDE, R. Fundamentos do diagrama de Hasse e aplicaes experimentao. 2007.

99p. Dissertao (Mestrado em Estatstica e Experimentao Agronmica) Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz, Universidade de So Paulo, Piracicaba, 2007.

ARAUJO, L. C. de; SANTOS, P. M.; MENDONA, F. C.; MOURO, G. B. Establishment

of Brachiaria brizantha cv. Marandu, under levels of soil water availability in stages of

growth of the plants. Revista Brasileira de Zootecnia, Braslia, v. 40, n. 7, p. 1405-1411,

2011.

BEZERRA, A. K. D.; BRUNO, R. de A.; FERRARI, C. dos S.; SILVA, G. Z. da; JNIOR, J.

M. B.; ALVES, E. U. Utilizao de fungicidas no tratamento de sementes de mamona. In:

IV Congresso Brasileiro de mamona e I Simpsio Internacional de Oleaginosas Energticas,

Joo Pessoa, PB. Campina grande: Embrapa Algodo, 2010. p. 2180-2185.

BISCARO, G. A.; MOTOMIYA, A. V. de; RANZI, R.

delineamentos

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