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DEISE AMARO AGRELLO

ESTUDO SOBRE 0 160 NO MODELO DE PARTÍCULA ALFAUSANDO FORÇAS DE TRÊS CORPOS

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TESE DE MESTRADO

INSTITUTO DE FÍSICA TEÓRICA

SÃO PAULO - 1979

I?T T 03/79

DEiSE AMARO AGRELLO

ESTUDO SOBRE O 160 NO MODELO DE PARTÍCULA ALFAUSANDO FORÇAS DE TRÊS CORPOS

TESE DE MESTRADO

INSTITUTO DE FÍSICA TEÓRICA

SÃO PAULO - 1979

Dedioo aoe meue pai8Joel e Carminha, aoe irmãosCilinha e Paulo e ã queridavô Laura.

AGRADECIMENTOS

- Ao professor e amigo Valdir Casaca Aguilera-Navarro pela orientação e assistência durante todo o decorrer deste trabalho.

- Ao professor Paulo Leal Ferreira pela acolhida nc Instituto deFísica Teórica.

- Ao colega José Noboru Maki pelas valiosas discussões.

- Ao professor 0. Portilho e todos os professores do I.F.T. peloestimulo e pelas valiosas discussões.

- Aos colegas e funcionários do I.F.T. pela camaradagem.

- A todas as pessoas amigas que me ajudaram de uma forma ou deoutra durante este período.

- ;"> Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientifico e Tecnoló-

gico pelo suporte financeiro.

ÍXDICE

1. Introdução 1

2. Generalidades 4

- Estados de osciladores harmônicos

- Sistemas de coordenadas

3. Fundão de onda para o 160 8

4. Elenentos de matriz do hamiltoniano intrínseco 23

5. Resultados e conclusões 38

6. Apêndice:

Coeficientes de Moshinsky usuais e generalizados 53

7. Referenciar; 56

1. Introdução

Faremos um estudo do estado fundamental do 1 60, usando

um modelo de partícula o, ou seja, estudaremos este núcleo como

sendo composto de quatro partículas alfas, todas sem estrutura in

terna, interagindo através de forças de dois e três corpos. Para

tanto, faremos uma análise variacional do hamiltoniano usando co

mo função de ensaio uma combinação linear de osciladores harmôni_

cos de quatro partículas. Estudaremos algumas propriedades nuclea

res do 1 60, tais como energia de ligação e "gaps".

O modelo de partículas alfas é bastante antigo. Foi in-

troduzido em 1928 , e tem sido razoavelmente bem sucedido na

descrição de algumas propriedades nucleares, especialmente dos nú-

cleos leves. Desde aquela época, extensos cálculos foram feitos

utilizando potenciais et-a de dois corpos. Alguns desses trabalhos

estão relacionados nas referências . Nelas utiliza-se o mo-

delo ou alguma pequena variante deste.

Alguns cálculos, comparando o modelo de partícula alfas

com outros modelos, mostraram que é muito mais vantajoso traba-

lhar com este, pois os resultados são obtidos de uma maneira bas(8)tante simples .

Os estudos feitos anteriormente com o modelo, usando so-

mente forças de dois corpos, indicaram, contudo, que essas for-

ças são incapazes de descrever satisfatoriamente a energia de 1JL

gação, como no caso do estado fundamental do 1 60, por exemplo,

apesar de descrever bem outras propriedades nucleares. Os valo-

res obtidos não excedem â 40% do valor experimental da energia

de ligação para núcleos leves, e alguns autores não encontraram

sequer um si3tema ligado.

O objetivo deste trabalho é, portanto, incluir forças de

três corpos e examinar seus efeitos num sistema de quatro partícu

Ias.

O potencial ct-a utilizado por nós foi construído por Ali(9)

e Bodmer , e já foi bastante usado em cálculos anteriores, com-

provando sua eficiência . E um potencial a-a fenomenolõgico

dependente do momento angular relativo.

Adicionamos a este potencial um potencial de três corpos

simples. Este procedimento foi introduzido por Delves e Hennelle Zofka e Sotona , que adicionaram uma força de três nucleons

3 4simples ao hamiltoniano do H e He, respectivamente.

Utilizamos neste trabalho, dois potenciais fenômenológi-

cos do mesmo tipo, com parâmetros ajustados de maneira diferente.

Foram sugeridos por Portilho e Coon e Ogasawara e Hiura 'no

calculo de propriedade nucleares do C. Esses potenciais não afe

tam o ajuste do potencial de dois corpos de Ali-Bodmer e conser-

vam a simplicidade dos cálculos feitos no modelo de partícula a.

Espera-se, portanto, com a introdução do potencial 3-a melhorar os

resultados obtidos usando somente o potencial de dois corpos.

A propõeta se ajusta perfeitamente ao esquema variacio-

nal proposto por Moshinsky ' que jã foi bastante usado para sis-

temas de 3-a e 4-a '. Este método consiste em se expandir

a função de onda de ensaio (variacional) em uma base de funções

de onda de osciladores harmônicos translacionalmente invariantes

que são completamente simétricas e têm momento angular total e

paridade bem definidos, ro capitulo 3, construímos essa base, can

< juda dos coeficientes de Moshinsky, que são definidos e discuti

dos em apêndice.

No capitulo 4, calculamos os elementos de matriz do ha-

miltoniano intrínseco, eliminando facilmente as energias espúrias

devidas ao movimento de centro de massa do sistema e utilizando

os potenciais acima mencionados.

No capitulo 5, discutimos os resultados obtidos e apre-

sentamos nossas conclusões.

2. General idades

Inicialmente recordaremos algumas definições e conceitosque serão üteis neste trabalho.

Estados de osciladores harmônicos

O estudo quântico do oscilador harmônico parte da solu-

ção da equação de autovalores

- f(p')2/2m +mu)2/2(r')2]* - E f , (2.1)

•*•

onde m, r1, p1 são respectivamente massa, coordenada e momento

linear de uma partícula em um potencial de oscilador harmônico ca

racterizado pela freqüência w. Quando fazemos r1, p1 e H' adjL -

mensionais, ou seja,

r = /nw7n~ r', (2.2)

p = l//i5õn p» , (2.3)

H * l/fico H1 , (2.4)

a equação (2.1) torna-so

1/2 (p2 + r*)V - EV . (2.5)

A função de onda do oscilador harmônico, em várias nota

ções aqui usadas, será então dada por

" In *"»> - RnJt(Jf)*£n(ef*) (2.6)

onde Y suo harmônicos esféricos e R .(r) são funções radiais daí,"1 n£, T —

dcs por (19)

Vr) 2(n!)r(n+l+3/2)

1/2r* exp(-r2/2^Ln

+1/2 (r 2), (2.7)

onde L..J sfo pollnômios de Laquerré. A energia associada com

E . » 2n + I + Í (2.8)n, % Í •

Para o caso de duas partículas, a função de onda com mo

mento angular orbital total X é obtida à partir do seguinte aco-

plamento

Xy"

(2.9)

onde os coeficientes da expansão são coeficientes de Clebsch-Gor

dan e os parênteses quadrados indicam que estamos acoplando fun

ções de duas partículas com momento angular orbital total X e pro

jeção \i. Os valores de X são restritos pela regra de triangulari

dade para acoplamento de momentos angulares

Coordenadas relativas

Muitas vezes é conveniente dofinir si:;toir.as de coordena

dar relativas. Quando estudamos as funções de onda de quatro par_

tlculas para o 0, impomos que estas sejam translacionalmente In

variantes, o que se obtém facilmente expressando-as em termos de

coordenadas relativas. Será conveniente ainda, definir dois sis-

tciTi.Ts de coordenadas relativas ais;cintos, cada um atendendo a um

objetivo diferente, como veremos a seguir. Inicialmente introdu-

zimos as coordenadas relativas de Jacobi, que para n vetores, sâb

dadas pori * i i i i i l i i

Xs =

X 'n

1 <. s £ n-l

x.t

(2.11)

(2.12)

Esta transformação ê ortogonal e as coordenadas (2.11)

são invariantes sob translação. A coordenada (2.12) ê proporcio

nal â coordenada de centro de massa.

Para o nosso problema específico, onde n=4 temos expli-

citamente,

xV = v!72~ (x, - x,)et _L /*.

Xj = /Í75" (xL + x 2

(2.13)X = Vl/12 (x, + x- + x, - 3x.)C 1 Z j 4

X, = 1/2 (x, + xo + x , + x.).d 1 z j 4

onde x., 1 < i < n, são as coordenadas de laboratório e X- ê pro

porcional à coordenada de centro de massa. Este sistema de coor-

denadas relativas nos será útil, como veremos, no cálculo dos e-

lementos de matriz do hamiltoniano.

0 outro sistema de coordenadas que usaremos foi introdu

zido por Kramer e Moshinsky , a saber,

= 1/2

(2.14)3 = 1/2 (

y4 = 1/2 (

•> -

onde y^ e proporcional ã coordenada de centro de massa. Este si£

temr. nos ncra^jtil na simetrizaçao da função de onda, pois, como

As coordenadas de Kramer-Moshinsky e as de Jacobi (2.13)

estão relacionadas entre si pela transformação ortogonal

\

(2.15)

7

Através dela podemos relacionar os estados nas coordena-

das de Kramer-Moshinsky com os estados nas coordenadas de Jacobi,

ou vice-versa, como veremos na seção seguinte.

8

3. Função de onda para o *80

Faremos uma analise variacional do handltoniano tomando

como função de ensaio uma combinação linear de funções de osci-

ladores harmônicos de quatro partículas, ou seja, vamos escre -

ver a função de onda variacional como

f - Z av *v (3.1)

onde os coeficientes a^ são os parâmetros variacionais, v repre

senta os números guânticos dos osciladores e <f> são funções de

osciladores harmônicos de quatro partículas. A função de onda

em (3.1) deve ter as seguintes características:

- Invariância translacional, eliminando assim as energias espú-

rias do movimento de centro de massa;

- Momento angular orbital total A=0, uma vez que para o estado

fundamental do 1 6 0 , J=S=0;

- Completamente simétrica, uma vez que estamos estudando I (0

como sendo formado de quatro partículas <* , que são bõsons, e

de acordo com o princípio de Pauli, a função de onda para um

sistema de n bôsons deve ser completamente simétrica sob tro-

ca de coordenadas, spins e isospins;

- Paridade positiva, que é a paridade do estado fundamental do

l 6 0 .

Para obter tais características, procedemos, por partes,

como segue.

A fin. de obter funções de onda translacionalmente inva-

riantes, utilizamos sistemas de coordenadas relativas, em parti^

cular as coordenadas relativas de Jacobi, definidas em (2.13) ,

para 4 partículas.

Os estados nas coordenadas de laboratório são conveni-

entes quando calculamos os elementos de matriz de operadores de

ura corpo, como por exemplo, a energia cinitica, porém, isto não

acontece quando tratamos com operadores que dependem de coorde

nadas relativas. Na verdade, usar o sistema de coordenadas re-

lativas (2.13) nos é conveniente pelo menos por três razões.

Primeiramente, porque facilita o cálculo dos elementos de ma-

triz de operadores de dois corpos, que são da forma

que, como veremos podem ser escritos em termos da coordenada

X de (2.13). Facilita também o cálculo dos elementos de matriz

de três corpos, que como veremos, podem ser escritos em termos

das coordenadas X e X^. Finalmente, facilita o cálculo do fa-

tor de forma, que pode ser escrito unicamente em termos da co-

ordenada xc í 3 2 ).

Para eliminar as contribuições espúrias devidas ao mo-

vimento de centro de massa, definiremos um hamiltoniano intrín

soco e tomaremos zero quanto na coordenada de centro de massa,

CM ^pja, faremos N, = 2 n, + 2,, = 0 , obtendo então funções de

ondó de quatro partículas nas três primeiras coordenadas de Ja

cobi em (2.13).

Para impor a característica de X=0, que é o momento an

jular orbital total do estado fundamental do J 6O, acoplamos fun-

ções de onda do osciladores harmônicos nas coordenadas X , x".

e X de Jacobi da seguinte maneira,

naVVb(A);ncVAu "

10

A construção (3.2) indica que acoplamos inicialmente

funções de osciladores harmônicos com momentos í e £. para

obter um A intermediário e em seguida acoplamos a I para ob

ter finalmente o momento angular total A e projeção p deseja

dos. Para A=0 temos que A = t .c

Podemos também acoplar em outra ordem, isto é,

(3.3)

onde acoplamos í com t' = t,+l para obter X total. Os esta-a b c

- (21)dos (3.2) e (3.3) estão relacionados entre si através de

(A) ;nkHk;Xy> = l In^^n.fc . n

[(2A+1) (2A'+1)]^ W(iil.A£k;AA') (3.4)

ondo W é um coeficiente de Racah.

Como já foi dito, a função de onda para um sistema de

n bosons deve ser completamente simétrica sob troca de coorde

nadas, spins e isospins. Seja a função de onda definida como

!*> = |<t»|x> (3.5)

onde |i|>> descreve o sistema no espaço de configuração e |x*

descreve o comportamento do sistema no espaço de spin-isospin.

Teremos então uma função de onda completamente simétrica se fí

zermos |<t>> e |x> totalmente simétricas. Para obter tais funções

aplicamos a técnica de operadores de projeção â funções arbi -

trárias fazendo com que |<J>> e \\> sejam caracterizada pela re-

11

Para obter |$> simétrica, para 4 partículas, deveríamos

aplicar as 24 permutações do grupo simétrico S(4), que dividias

em 5 classes, são dadas por

1. e ;

2. (12), (13), (14), (23), (24), (34);

3. (12) (34), (13)(24), (14)(23); (3.6)

4. (123),(132),(124),(142),(134),(143) ,(234) ,(243);

5. (1234), (1243),(1324),(1342),(1423),(1432).

Em vez disso, utilizamos o resultado conhecido que

S(4) pode ser decomposto como o produto semi-direto do subgrupo

invariante D(2) e do subgrupo S(3) de S(4), isto i,

S(4) - D(2) AS(3) . (3.7)

Assim, cada elemento p de S(4) pode ser escrito como

p = d p (3.8)

onde d é um elemento de D(2) e p um elemento de S(3) . O operador

de projeção para um estado simétrico do sistema de 4 partículas

é então da seguinte forma

p = Z (e + d, + d0 + djppCS(3) 1 ' 3

£ conveniente, agora, usar o sistema de coordenadas re-

lativas de Kramer-Moshinsky definido em (2.14) para quatro parti

cuias. Neste sistema de coordenadas, D(2) é diagonal, como pode-

mos ver através de suas representações, isto é,

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(23)(14)

1 0 0

0-10

0 0-1

12

d2 = (13)(24) =

- 1 0 0

0 1 0

0 0-1

(34) (12)

- 1 0 0

0 - 1 0

0 0 1

(3.10)

Então, o efeito das permutações de D(2) pode ser obtido imediata-

mente e para simetrizar a função de onda necessitamos apenas apli^

car as permutações de Si3) que são seis, em vez das 24 de S(4).

Aplicamos, então, o operador (3.9) a estados de oscila-

dor harmônico nos coordenadas de Kramer-Moshinsky, os quais deno-

tamos por

(3.11)

Note-se que usamos "kets" redondos para diferenciar dos estados na

coordenadas de Jacobi,os quais estão indicados em (3.2) por "kets"

angulares |>. Para o estado fundamental do

crever (3.11) como

O (A=0), podemos es-

que paia simplicidade de notação escrevemos como

(3.12)

(3.13)

Lembramos que em (3.13) acoplamos í-+í2 " comt^l^ t)

para obter A final igual a zero. Se acoplamos t. com o resultado

de *2+^3 para obter A*0' teremos por (3.4) um único termo,a saber

13

' nl £l' n2 £2 a3 ) í n3 J l3 ; 0 0 ) = [(2^+1X243+1)] * W( 4j_ %2 O l^.

x I n ^ ^ - n ^ ^ n ^ U ^ ;00) , (3.14)

sendo que o coeficiente que aparece em (3.14) ê igual a 1, como

(22)pode ser visto usando a relação

W(abcd;0 f) = K—1 Ô(a,b)ô(c,d) (3.15)

e as regras de simetria dos coeficientes de Racah -Ç)s momentos an

gulares 4,, 4 2 e £,, são todos pares, como veremos mais tarde.) Por

tanto, para A=0, temos

In f r\ 9 • n 9 í s In 9 *n í n 9 ) Í3 16Í

que escrevemos genericamente como

|n 4 ,n242,n_4-) , (3.17)

significando que a ordem do acoplamento é irrelevante. A ordem dos

pares (n4) é porém significativa, isto é, o primeiro par sempre se

refere ã primeira coordenada y., o segundo â coordenada y2 e o ter

ceiro par se refere a y_.

Pode-se demonstrar que quando aplicamos as permutações(23)

(3.10) de D(2) aos estados (3.17) obtemos imediatamente ,

6 l n £ n £ , n ? ) = 1 n l L n £ n j ? ^ ) { 3 1 8 )

4 . + 4 ,d l n 0 n 0 n 0 \ — (-} i \ n 0 n 0 n 0 \ í"í 90 \

14

O efeito dos elementos de D(2) sobre os estados (3.17)

pode ser especificado pelo valor dos três momentos angulares (t-,,

f2'PV * C o m o cada elemento p de S(4) pode ser decomposto como em

(3.8), para simetrizar devemos aplicar todos os p"1- p-M"1» p~'d

um (3.17). Em vista de (3.18 -3.21), o efeito de D(2) é dado por

(e + dj + d + d3) Jn i, j^n-J^n,^) "

+ () * 3 + () * + () x

(3.22)

Precisamos agora aplicar as permutações de S(3) . Tome-

mos (12) e (23) como geradores do grupo. Seus efeitos sobre (3.17)

são

(12) |n1?1,n2í,2,n3P,3) = (-) x * J In^^nji^n^) (3,23)

í +1 ~í(23) |n1^1,n2£2,n3^3) = (-)

2 3 X I n ^ ^ n ^ ^ n ^ ) t (3.24)

Como (12) e (23) são geradores de Si3) o efeito das demais permu

tações pode ser obtido a partir de (3.23) e (3.24).

Lembramos que as diversas permutações consideradas sem

pre se referem às coordenadas de laboratório das partículas. A

tabela seguinte nos dá o resultado de todas as permutações de S(3),

(Ref .24), no caso geral de X arbitrário.

15

p

(12)

(13)

(23)

(123)

p l

<-

ZA '

n lV n2 V

l.+l +A) 1

} V l 2 + * 3 + Xí [(2JA»

x W ( W

A.+X+A+A'(-) l [(2AH

X

d +X+A

A1

Xy)

L (A) ; n~9, ; Xy)

+1) (2AI+1)] T A x

jlj»; AA-) |n1t1,n3t3(AM;n2Í2ÍX«)

(132) r[(2A+D

Tabela 3.1

16

que para X=0, fica,

p

(13)

(23)

(123)

(132)

p|Vl.n2t2..3,3)

, » 1 2 3 • v

, , 1 3 2 1 n .

Mf'2+*3~*1 Jn £ ,n £ fn £ )

| n 3 t 3 . » l t l . » 2 t 2 ,

l n 2 l 2 . n 3 i 3 .n l l l ,

+ (-)

Tabela 3.2

Portanto, ao simetrizar o estado (3.17) chegamos à

9 |n1í,1,n2Jl2,n3í,

(3.25)

A paridade do estado (3.17) é dada por (-) .Co

mo para o caso do estado fundamental do u 0 a paridade do esta-' ' ' i ii i i , ,

-!• • ii , ". mini hi.,-, riminirinf- r.r,r r n c f r i n H r ar> racn P»TTI mia a nn

17

l.+Jl2+^3 ® Par« Isto somente pode ocorrer quando todos os £'s

são pares ou então quando dois deles são ímpares. Neste último

caso, o primeiro parêntese quadrado em (3.25) se anula . Por

tanto, sô nos interessa o caso em que todos os £'s são pares. En

tão, (3.25) fica, finalmente,

I In^^nj

(3.26)

onde os estados |) são estados de O.H. de quatro partículas nas

coordenadas de Kramer-Moshinsky com X=0. 0 subíndice S é para in

dicar que o estado é simétrico. A ê um coeficiente de normaliza-

ção dado por

/l/6 , se todos os pares (n_Jl_) são diferentess s

1/6 , se todos os pares (n £_) são iguaisS 5

/l/l2 , se dois dos pares (n_,fl._) são iguais

(3.27)

Construímos, então, explicitamente os estados normali-

zados de osciladores harmônicos translacionalmente invariantes

para um sistema de quatro partículas que são simétricos sob tro-

ca de coordenadas, com momento angular orbital total nulo e pari

dade positiva.

Os estados (3.26) são os que tomaremos para expandir

nossa função variacional, como em (3.1). Faremos a aproximação

de 8 quantos, o que eqüivale, no nosso problema, a tomar 22 com-

ponentes, isto é, a aproximação é feita num espaço de dimensão 22,

rnmn nnflUnn ir - i l l - n.., • •

18

Tabela 3.3

Lista de estados até 8 quantos

N 2n i3 + * 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20i

A l

n l

0

0

1

0

0

2

1

0

0

1

0

3

2

1

2

1

1

0

0

0

*1

0

0

0

2

0

0

2

2

0

0

2

0

2

2

0

2

0

4

2

2

n 2

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

2

1

1

0

0

0i i

A

*2

0

0

0

2

0

0

2

2

0

0

2

0

2

0

0

2

0

4

2

2i i

n 3

0

1

0

0

2

0

0

1

3

1

0

0

0

0

0

0

2

0

2

1

i

l3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

0

2

0

0

0

0

0

2

A

1/6

ST7TI

JT/tt

ST7TÍ

JT7%

/I75"

/1712"

ST7U

1/6

1/6

/I76"

/I76~

/I76"

/I7T2"

/I7I2"

/I7I7

/I7T2"

»'T7l2'

N

0

2

4

4

4

6

6

6

6

6

6

8

8

8

8

8

8

8

8

8

}N«0

}N«2

N«4

N-6

N-8

19

Para evitar repetições inúteis na tabela acima os pares (ng£s) fo-

ram ordenados de acordo com a seguinte convenção. Em primeiro lu-

gar, dizemos que os pares são distintos, isto é, (n í_)^(n '£*) ,s s s s

c/ s,s'=l,2,3, se ?, ? i. ' ou n ? n ' ou ambos. Se os três paress s s s

forem distintos, ordenamos de forma que (n,<U) >(n2í.2) >(n_«._) onde

por (n_fce)>(n '£. ') queremos dizer que n > n_, ou se n = n ., queS o S S S S S S

£ >l i. Se dois pares são iguais, o par distinto correspondera â5 S

Utilizamos neste trabalho dois sistemas de coordena -

das relativas distintos, sendo que o sistema definido por Kramer-

.Moshinsky foi útil, como vimos, quando aplicamos o operador de

projeção, enquanto que as coordenadas relativas de Jacobi vão ser

adequadas para o cálculo dos elementos de matriz do hamiltoniano.

Devemos, então, obter uma relação entre os estados nos dois siste

mas. Esta relação é dada em geral por

|n1íl1,n2Jl2(A);n3£3;Xp) = l l |n A

Va VcVb A'

onde os coeficientes da expansão sao dados por

(3.28)(75)

W U AKXAh"nl a b c

J,-;AAM) <n:aJí._,n)l/A|n1J,1 ,n-P.-

20

Os dois últimos coeficientes são os coeficientes de

Moshinsky usuais e coeficientes de Moshinsky generalizados, res_

pectivãmente. Eles estão definidos no apêndice.

Nesta expansão a soma sobre A" está restrita da ma-

neira usual (regra de triangularidade de momentos angulares) e

as somas em n, l estão limitadas pelas relações

2n + l = 2nx + %x + 2n2 + *2 - 2nft - *a (3.30)

|A - «._| < í < A + l a (3.31)Cl *"" *~ Cl •

Podemos ainda acoplar como em (3.3) e teremos

VaT.

nc

na)la?nb?>'ncJlcÍAt)'X'nllll;n2£2fn3)t3(A)'A)

onde

(-) C r(2A+l) (2AI+1)11/2 I (2A-+1)1 Awnl

< n. i. >n fc ,Af |nAfn,t-,Af>fl (3.33)

O O C C J J p

onde novamente as condições (3.30) e (3.31) restringem as somas.

A relação entre os coeficientes (3.29) e (3.33) é dada por

21

W(JL L\l tI*A»)a b c

(3.34)

Usando as relações (3.28) e (3.29), com X«0, A'»£ , temos

a a c c

,0)

n 5

(3.35)

Através da relação (3.15) e das propriedades de simetria dos coe

ficientes de Racah, temos

[ ]" l / t óv í3*36)

(3.37)

Podemos e"%tão e s c r e v e r (3 .^5) f inalnvente como

22

n I n Ia a c c

(3.38)

e cada componente em (3.26) fica expressa nas coordenadas rela-

tivas de Jacobi.

Como as forças que usaremos não dependem de spin ou

isospin, podemos fazer toda nossa análise no espaço de configu-

ração, de modo que encerramos aqui nossa discussão sobre a fun-

ção de onda.

Passemos, então, a considerar os elementos de matriz

na base que acabamos de construir.

23

4. Elementos de Matrix do Hamlltoniano Intrínseco

Consideramos o hamlltoniano do nosso problema,

n nH - fiw/2 I (p*)2 + I [Voa(8,t) + Vc(s,t>] +

n+ t V, <s,t,k> , (4.1)

s<t<k-3 3a

ja tomando as variáveis como estando adimensionalizadas e sendo

n«4 o numero de partículas. 0 primeiro termo é a energia clnéti-

ca; V ç é o potencial Coulombiano, tomando as partículas como sen

do pontuais; V a a é o potencial de dois corpos e V 3 o o potencial

de três corpos. V , V e V- dependem das coordenadas relati -

vas das partículas. As duas ultimas somas são, respectivamente ,

sobre o número de pares e ternas possíveis em um sistema de qua-

tro partículas.

0 potencial de dois corpos que vamos considerar foi cora

truldo por Ali e Bodmer1 '. São potenciais o-a fenomenolôgicos de

pendentes do momento angular relativo e foram obtidos para l>0,2,4.

Seus parâmetros foram ajustados a fim de reproduzir os defasaroentos

experimentais 6Q, 62 e 6* associados com o espalhamento a-a.Esse

potencial é uma superposição de gaussianas atrativas e repulsivas.

Explicitamente/ o potencial de Ali-Bodmer é indicado por

[V[VR. e xP (^R. ^ + VAfJl-0,2,4 * * *

(4.2)

Usaremos o potencial (d' d., d.) de Ali-Bodmer cujos pa

râmetro:; estão listados na tabela abaixo.

24

i

0

2

'K.. "'

4 75

MO

; * •*••

j , 0

i o

; 0

fr.r

. 7

.7

.7

! ) V, (MeV)

-130

-130

-130

0

0

0

(fnT1)

.475

.475

.475

Tabela 4.1 - Parâmetros de potencial de Ali-Bodmer (dl d- d.)

O

tipo

V3cx(rl'r2'r3] VÜ3

ãe três corpos é uma gaussiana atrativa do

rl3 + r23 (4.3)

Par**; esta coiaponente do potencial tomamos dois poten-

ciais cujos pa:l:ietros V_- e X foram ajustados de formas diferen

tes. Primeiramente, consideramos o potencial de Portilho e Coon

(16), que ajusla a emergia de liçaçío do x C e os "gaps" entre osO- .4-

primeiro estados O' e 2' . fcssc--s autores obtiveram assim um poten

ciai de 3 corporj alr tivo cie poucn intensidade e longo alcance .

Os parâmetros << jur.l; :<-•; -.jr, encontrara-se na tabela (4.2).

O Kc.'.;urnr;.o poirrjcial estudado foi construído por Oga-

sawara e Iijurr "' i . íoua parâraetros foram ajustados para reprodu

12zir o raie o a nergia de.- ligação do 'c - Este potencial e muito

mais intonco do cn;." <> a^terjor, mas de alcance bem menor como po

òe ser visto na t-jbela (4.2).

í "03 ( M e V )

-1'.''..''1

-200

25

Voltemos agora â discussão do hamiltoniano. Estamos interes_

sados na parte intrínseca H_ do hamiltoniano H dado em (4.1), que

ê obtida quando subtraímos a energia do centro de massa,

n • l 2

Hj - H - nu/2nl s£ 1 (pe)| (4.4)

onde o momento do centro de massa ê dado nas coordenadas de Jaco

bi por

Pd = lM» l (ps) . (4.5)

Por conveniência, somamos e subtraímos de (4.4) o termo

(4.6)

e obtemos para n=4, nas coordenadas relativas de Jacobi,

n ,

s,t=l s t s=l s

TT [*l * *l * ? c + x a + "b + x c j + 6[V<.O<V+Vc«x«>

V 3o ( W • <4"7)

Os fatores 6 e 4 que aparecem nesta expressão indicam o

número de pares e ternas, respectivamente, existentes num siste

ma de quatro partículas. 0 primeiro termo de Hj é o hamiltonia-

no de três partículas nas coordenadas $a, Xj,^, e m um potencial

de O.H., cujos autovalores são dados por

E * [N + 9/2] Ru (4.8)

sendo N*2x(n +n.+n ) + ^a+^K^^c ° n" m e r o â e pantos total.

Podemos, agora, escrever os elementos de matriz de Hj na

base (3.26) como

[ /\H,H + 6 < N' |VO(J(X

"1, -f. 4 < y' |y. (y . y.')ln> (A

26

onde V designa genericamente todos os números quânticos do esta

do de 4 partículas. No nosso problema, W representa os números

quânticos que aparecem em (3.17) .

Faremos agora uma análise variacional para a energia. Co-

mo já foi discutido anteriormente, podemos fazer o calculo va-

riacional somente no espaço de configuração. Escrevemos nossa

função de onda variacional como uma combinação linear de funções

de osciladores harmônicos, ou seja,

|W> = ,••. = z a(n1£1,n2£2,n;j£3 )In1£1,n2£2,n3A3)s (4.10)

onde os estados !n, £, ,n2£2,n_í,,)s são os discutidos na seção (3)

e o índice S serve para indicar que já estão simetrizados. Os

coeficientes a(n,£, ,n2í.2,n3H3) são os parâmetros variacionais do

problema. O parâmetro do oscilador será variado discretamente una

vez que entra na analise de forma não linear.

Faremos agora uma aproximação até N=8, que corresponde a

tomar 22 componentes para a função variacional, como foi mostra

do na tabela (3.3) . O número de quantos total N é dado por

N = 2n, + SL^ + 2n2 + l^ + 2n3 + ^3 • (4.11)

Queremos então minimizar

E = í <fr* Hj <() d T (4.12)

sujeita ao vínculo usual de normalização, isto é,

<j>* d> dr = 1 . (4.13)íEste problema é equivalente à diagonalizaçao da matriz do

hamiltoniano H na base | ) g . A matriz a ser diagonalizada ê de

dimensão 22 como mencionamos acima. Faremos as aproximações su-

cessivas de 0,2,4,6 e 8 quantos que correspondem a diagonalizar

27

mente. Diagonalizamos, portanto, a matriz de 8 quantos e sua sub

matrizes nos espaços mencionados, referentes a números menores

de quantos.

Calculemos, então,os elementos de matriz do hamiltonianoin

trínseco com relação aos estados (3.26). Estes estados es-

tão escritos em termos de estados nas coordenadas ' de Kramer -

-Moshinsky do tipo (3.17) e podem ser desenvolvidos em termos de

estados nas coordenadas de Jacobi pela relação (3.38). 0 primei-

ro termo que aparece em (4.9) jã está diagonalizado. Os elementos

de matriz para os outros termos são essencialmente elementos de

matriz dos tipos seguintes

(4.14)

(4.15)

Em (4.14) temos as diversas contribuições de dois corpos enquan-

to que (4.15) dará a contribuição do potencial de três corpos

Precisamos então escrever os "bras" e os "kets" de (4.14) e (4.15)

nas coordenadas de Jacobi. Para icco utilizamos os coeficientes

de transformação (3.38) correspondentes, discutidos anteriormen-

te , resultando

â â

nf

onde assomas estão restritas pelas propriedades dos brashlnsketsS

28

aparece em (4.16) pode ser expresso em termos de integrais de

Talml, isto ê,

<n»il||f(r)l|nt> - Z B(n'*',nH,p)I (f)P P

onde Bin**1 ,n*,p) , 1/2 (*+*•) < p < 1/2 (Ul1) + n + n'( são coe-

ficientes conhecidos e tabelados por Brody e Moshinsky (26)

P (p+3/2)

são as integrais de Talmi de f(r)

f(r) dr (4.17)

(27)

As integrais de Talmi que nos interessarãs podem ser obti-

dos da tabela abaixo, de fácil construção à partir da definição

(4.17).

f(r)

r*

e -« 2 r 2

l / r

r(p+X/2 +3/2r(P + 3/2;

( i+« 2rp - 3 / 2

P1.

r(p + 3/2)

Tabela 4.3 - Integrais de Talmi

Podemos então escrever o elemento de matriz reduzido que

aparece em (4.16), como

V c ( X a ) " fiw Va

( 1 + O R A ) 1 * 3 / 2 d

29

NOB resultados acima, a freqüência dos osciladores está

contida em

e = -^- . (4.19)m0c

2

onde m0c2 • 0.511 MeV ê um fator de escala de energia arbitrá-

rio, ao qual também serão referidas todas as intensidades dos

diversos potenciais presentes. Isto está indicado pelas letras

minúsculas representado os potenciais, isto é, as diversas ener

gias estão dadas em unidades de m e 2 . As constantes a *ot. e te

são definidas por

V A mac2m0c

sendo n^ a massa da partícula alfa. Aproveitamos a oportunidade

acima para introduzir a constante3 que aparecerá em seguida.

Notamos em (4.16) que se trocamos os pares (n^J^) ++ (naí. )

ou (níM) "*""*• (n!^í) ou ambos não vamos obter resultados novos ,

pois o único lugar onde aparecem ê nos brashinskets, e usando as

propriedades de simetria destes coeficientes [Apêndice (A.9)j ,

vemos que (4.16) é invariante pelas trocas mencionadas. Levando

isto em conta, diminuímos drasticamente o número de elementos de

matriz que aparecem no cálculo de Hj, o que reduz bastante o tem

po de computação.

Para o elemento de matriz da componente de três corpos do

potencial (4.15) teremos,

s naAa Vd Vc

^ • n ' ml L l « l « I «1

30

K *«'"£> *íJ lV3a(Xa'V H V a ' V b * (4'21)

onde as somas estão restritas novamente pelas propriedades de

simetria dos brashlnskets. Uma vez que podemos escrever o poten

ciai de 3 corpos como

- f(Xa).f(Xb), (4.22)

o elemento de matriz reduzido pode ser fatorizado da seguinte

forma

-3»X*

'os'";1;!'6

(4.23)

em termos das integrais de Talmi. Os índices de soma p e q assu-

mem os valores

l a í p í í a + n i + na e lb - q * °b 4 "b * lb '

Novamente podemos usar as propriedades de simetria dos

brashinskets e brashinskets generalizados, que são expressos em

termos de produto de brashinskets usuais como podemos ver em

(A.13), do apêndice. Notamos que quando trocamos os pares

(n.tj) ou (n!£j) *•*• (nU!) não obtemos nenhum resulta••»•

do novo.

31

Resumindo, os elementos de matrix do hamiltoniano intrín

seco têm a seguinte forma

' ' 3 *3

«Í2

+ 4 s<n{»i,nJtJ,nJ»j|v03 exp[-A (r^+r^+r^ ^ ^ ^ g

(4.24)

onde o segundo e o terceiro termo são desenvolvidos em elemen-

tos de matriz do tipo (4.16) e (4.21), respectivamente.

O cálculo dos elementos de matriz (4.24) é bastante sim-

plificado do ponto de vista computacional quando usamos as pro

priedades de simetria discutidas. Porém, notamos que o elemen

to de matriz (4.21) do potencial de três corpos utiliza muito

os brashinskets generalizados. Estes coeficientes, entretanto,

requerem muito tempo de computação. Com o intuito de minimizar

os custos operacionais, além de tabelas, fizemos um novo cãlcu

Io expandindo a gaussiana de V. . A formula final obtida é es-

crita e;n termos de coeficientes de Racah e funções hipergeomé-

tricas, reduzindo os custos de computador a menos da metade do

valor original*. Vamos, então, em seguida, colocar em uma for-

ma mais conveniente, para propósitos de computação, o elemento

de matriz de três corpos, a saber,

MAT3

32

onde

f(Xa,xb) - h (xa). g(Xb) « e-3X(X2+X*) 3XX2 -3XX2

a e ^

(4.26)

Uma vez que a função (4.26) é separ&vel, fazemos uma no

va mudança de, coordenadas. Inicialmente passamos para as coor

denadas y de Kramer-Moshinsky (2.14) e em seguida usamos, pa

ra obter coordenadas que nos facilitarão nos cálculos posterio

res, a seguinte transformação ortogonal,

y - .072 (y2- y3)

y - /I72 (y, + y,)

(4.27)

Assim, teremos

A - - * A - hU . 2 e )

e (4.26) fica

f(Xa,Xb) = e . e (4.29)

Expandimos em seguida a segunda exponencial de (4.29) em

termos de harmônicos esféricos e funções de Bessel, usando a

relação (28>

at>)e-Y(a-t>)

e-y(a +b

(4.30)

onde o prõtuto escalar dòs (f „ é dado por (29)

33

06 C são harmônicos esféricos modificados, definidos como

Y £ a . (4.32)2jt+i

£<*

Tomando p • /? y^, temos finalmente que

47r í (")m (ir* e"A(5t+T?)

(4.33)

Faremos, agora, uma mudança de base dos estados em (4.25)

para estados nas coordenadas (4.27). Os números quânticos n.,H,

se referem a coordenada y, e na*a, ^^b s e r e f e r e m ^ y e Y( re£

pectivamente. Então, usando a eq.(A.6) do apêndice, temos,

(4.34)

Os coeficientes que aparecem em (4.34) são brashlnskets

usuais, uma vez que a transformação (4.27) é Idêntica â (A.6)

que define tais coeficientes. Em seguida ãesacoplamos os estados

(4.34) em um produto de dois estados de oscllador, da seguinte

forma

iVi'V.'Vb» - I V.'Vi-Vb' <-> 1+a"b -

a a

34

onde

conforme (2 .9) .

Então, usando (4.29) e (4.35) podemos escrever o elemen

to de matriz (4.25) como

MAT3 = Z Z (n 1 ,n.iL,*. |n,i.,n,L ,1.)

Vi 3 j

00) í £aVa waI° 0 ) ínâ£a

• I V Í ^ V W • (4-36)

0 primeiro elemento de matriz que aparece nesta expres-

são, o elemento de matriz reduzido, pode ser calculado facil -

mente usando integrais de Talmi, como fizemos anteriormente.Pa

ra o segundo elemento de matriz, inicialmente desacoplamos o

"bra" e o"ketn correspondentes de acordo com

w • L iViViVbV^Vb^iy^- (4-37)2 o

Em seguida usamos a expansão para a exponencial em (4.33)

obtendo para o segundo elemento de matriz a expressão

1

35

Z Ztin ro.m.

(2*b+l)

1/2

3£(2iXpY) |n±l±) (4.38)

onde usamos o teorema de Wlgner-Eckart. Podemos então resolver

a integral em (4.38), Integrando primeiro em $ e depois em p.

Assim,

Bin'f n. f (3/2) T (p + H/2 •>• 3/2)

r(p+

+ p + 3/2, £ + 3/2 » XV/X+1 ) (4.39)

onde usamos o resultado (30)

!>(ax) dx

h

(4.40)

36

A fjnção .F. é a função hlpergeometrlca confluente. In-

tegrando agora em p teremos,

* -#.«•._..*.„ +3/^; Alp

r(qU/2+3/2)B(n!l'# nJL,q)

q r(q+3/2)

,P, (p + £/2 + 3/2, q + 1/2 + 3/2;* + 3/2 ; ^ ) (4.41)(X+l) (2A+1)

KI^ usamos o resultado 7.621/4 - pg 860 de "Table of Integral,

Series, and Products" - I.S. Gradshteyn - I.M. RyzhiJc (Academio-

-Press-1965).

Resumimos estes resultados escrevendo (4.36) sob a for

ma

MAT3 - Z Z Z (í.OíO\t\O)(l.OS.O\Z'O) (SI)1 x

(21+1) ,

^ +3/2)

r<q+3/2) r(p+3/2) rd+3 /2 ) (X+l ) P + t / 2 + 3 / 2

2F. (p + A/2 + 3/2, q + i/2 + 3/2; A + 3/2 ; 2-^ ) .

1 (X+l) (2X+1)

(4.42)

37

onde foram usadas propriedades conhecidas dos coeficientes de

Clebsch-Gordan e de Racah. Notamos novamente que se trocamos os

pares, agora (n.í..) *-*• (n, l^) ou (ní í,!) •»•-*• (n^í^) , nenhum re-

sultado novo e obtido e que as somas em (4.42) estão restritas

pelas propriedades do brashinskets. Levando em conta ainda as

propriedades dos coeficientes d& Clebsch-Gordan e brashinskets

envolvidos na soma (4.42) verificamos que todos os índices &'s

de soma assumem apenas valores pares.

Passaremos agora a análise dos resultados obtidos dia-

gonalizando a matriz do hamiltoniano intrínseco de 8 quantos e

suas submatrizes nos sub-espaços mencionados anteriormente.

J

38

5. Resultados e Conclusões

Neste trabalho, como jã foi mencionado, adicionamos ao

(9)potencial a-ct de Ali-Bodmer , um potencial de três corpos, des

crito em termos de uma gaussiana e com parâmetros ajustados fe-

nomenologicamente.

Estudamos os potenciais sugeridos por Portilho-Coon

e Ogasawara-Hiura , nas aproximações de ate 6 e 8 quantos, res

pectivamente. O primeiro potencial foi ajustado para reproduzir

a energia de ligação do estado fundamental e os primeiros "gaps"

+ + 12

0 e 2 do C. Ê um potencial de pouca intensidade e longo al-

cance (tabela 4.2). Os parâmetros do segundo potencial usado, fo

ram ajustados para reproduzir o raio e a energia de ligação do es12

tado fundamental do z. É um potencial de grande intensidade ecurto alcance, como pode ser visto na mesma tabela.

Inicialmente, fizemos os cálculos para a energia de li-

gação usando somente o potencial de Ali-Bodmer de dois corpos, e

os resultados obtidos confirmam aqueles encontrados por Mendez-

-Moreno, Moreno e Seligman , isto é, encontramos, fazendo uma

aproximação de 10 quantos, um mínimo da energia em e « 13 e uma

energia de ligação de -4.8 MeV, como pode ser visto na tabela

(5.1). O valor experimental da energia de ligação do O em rela

ção â dissociação em quatro partículas alfas, isto é, 0(y,4ct) ,

é de -14.5 MeV ( 3 l ).

Podemos notar que a energia obtida usando somente o po-

tencial de dois corpos de Ali-Bodmer é de aproximadamente 30% do

valor experimental. Esta foi uma das razões que nos levaram a e£

tudar a contribuição de uma força de três corpos no 1 6 0 .

39

Os resultados apresentados nas tabelas (5.1) e (5.2) fo-

ram obtidos usando somente o potencial de 2 corpos ate 8 quantos.

O melhor valor da energia de ligação na aproximação de 8 quantos

é de -3.53 MeV, com e « 13, enquanto que na aproximação de 6 quan

tos é de -2.92 MeV, com e = 11. Notamos então, como era de Be

esperar, que quanto maior é o número de quantos usado na aproxi-

mação, melhores são os resultados obtidos, o que pode ser visto

também na figura (5.1).

Os cálculos usando potenciais de três corpos foram fei-

tos nas aproximações de 6 e 8 quantos. A aproximação de dez quan

tos requer um espaço de dimensão 40 enquanto que para 6 e 8 quan

tos a função variacional tem 11 e 22 componentes, respectivamen-

te (ver tabela (3.3)), o que implica num tempo de computação muJL

to menor e jã nos dá uma boa idéia a respeito do método utiliza-

do neste trabalho e das contribuições dos potenciais de três cor

pos, como veremos.

Para o potencial de Portilho-coon/ obtivemos a energia

mínima de -25.80 MeV, em e = 11, para N • 6. Fizemos a aproxima-

ção somente até 6 quantos, uma vez que para este valor de N o

sistema jã está sobreligando, o que pode ser visto na tabela (5.3).

A tabela (5.4) nos mostra os níveis de energia O para aquele po

tencial na aproximação de 6 quantos.

Para o potencial de Ogasawara-Hlura, fizemos a aproxima

ção até 8 quantos. A energia mínima obtida foi de -4.74 MeV em

e • 15 (tabela (5.5)). A tabela (5.6) nos mostra os níveis de ener

gia para esse potencial.

A figura (5.1) nos mostra a variação da energia, obtida

através da diagonalização da matriz do hamiltoniano em função do

parâmetro c do oscilador, para os diversos potências e aproxima-

40

Comparando os resultados encontrados quando adicionamos

a força de três corpos com aqueles em que usamos somente a força

de dois corpos, notamos que a contribuição da força 3-o é ^pre -

ciãvel. No caso do potencial de Portilho-Coon, a contribuição é

de aproximadamente 22.9 MeV para N = 6, ou seja, aproximadamente

5.7 MeV por terna de et, fazendo com que o sistema sobreligue.

Para o potencial de Ogasawara-Hiura, esta contribuição

é de cerca de 1.2 MeV para N = 8, ou seja, 0.3 MeV por terna de

a» o que eqüivale a aproximadamente 27% do resultado total obti-

do.

Verificamos que para N = 8, isto é, 22 componentes na

função de onda, usando o potencial de Ogasawara-Hiura jã obtive-

mos praticamente a mesma energia que encontramos usando somente

a força de dois corpos com N * 10, isto é, com 40 componentes. Es

peramos, portanto, que para uma aproximação maior, por exemplo

N « 10, seja encontrado um resultado bastante mais próximo do ex

perimental, uma vez que na aproximação de 10 quantos a dimensão

do espaço praticamente dobra.

Além de aumentar o número de quantos na aproximação, ou

tra proposta seria tomar uma função variacional com componentes

de outras simetrias no espaço de configuração além da simétrica.

Fizemos também um estudo dos intervalos de energia en-

tre os primeiros níveis 0 . As tabelas (5.7) e (5.8) nos mostram

os resultados obtidos para os diversos valores do parâmetro c ,

nas aproxirncjçl:3 de 6 e 8 quantos. Podemos notar que para N = 8,

o £ que mo?'r.r ::c ajusta ao experimental é da ordem de 13.

A i"..•-" c. i'">.<)) nor, rnontra os valores desses "gaps* para o

c que clã a energia mínima em cada caso. Notamos que para N = 80s

41

do valor experimental/ o que indica que a aproximação de 6 quan-

tos ê ainda muito pobre. Estesresultados podem ser melhor apre -

ciados, observando as figuras (5.2) e (5.3).

Atualmente» J.N. Maki , está calculando o fator de

forma para o O usando o potencial de Ogasawara-Hiura. Espera -

mos que estes resultados sejam bons, uma vez que o "overlap" en-

tre a função obtida usando o hamiltoniano completo e a obtida

usando somente o potencial de Ali-Bodmer é muito bom, a saber,

<v |r > * 0.9919. Cálculos feitos anteriormente usando sõ a fcr-

ça de dois corpos mostraram bons resultados para o fator de

forma, espera-se, portanto, poder melhorá-los. Para o potencial

de Portllho-coon também encontramos um grande "overlap", isto i,

<V 2|Y,> • 0.9999, o que indica que o potencial desses autores não

interfere muito na função de onda.

No caso do potencial de Portilho-Coon, apesar de sua pe

quena intensidade, acredita-se que a grande contribuição para a

energia encontrada seja devida ao longo alcance deste potencial,

uma vez que a intensidade do potencial de curto alcance de Hiura

-Ogasawara sendo cerca de trinta vezes maior não indica que vá

haver sobreligação do sistema.

Ê provável que a força de três corpos não seja tão efe-

tiva nos estados excitados. Se assim for, será necessária muita

cautela ao se usar esses estados no ajuste dos parâmetros de tais

potenciais.

?abela (5.1) - Oxigênio - Est. Fundamental - Pot. Ali-Bodmer - 2 corpos

*"* 3

5

7

9

11

13

15

17

0

53.21162903

111.36330780

178.86131043

250.095563

321.75362807

391.95457819

459.67700207

524.41131096

2

22.1002442

43.1334341

69.6700677

100.631026G

134.9297104

171.6050492

209.8569261

249.0420760

4

10.8415142

16.7491497

24.6481235

35.4797761

49.4729355

66.4690212

86.1275741

108.0427421

6

5.9581120

3.6863610

0.1134481

-2.5373824

-2.9235966

-0.4354460

5.0567374

13.4132897

8

-3.2499505

-3.5318903

-3.4299180

-2.2272995

10

-4.79998542

N * n© de quantos

43

Tabela (5.2) - Oxigênio - Níveis de Energia - 8 quantos - Ali-

-Bodmer - 2 corpos.

N s x n °e >w

11

13

15

17

1

-3.2499505

-3.5318903

-3.4299180

-2.2272995

2

1.1900570

2.9402668

6.2774038

11.2941931

3

10.4833100

16.6273119

25.5270933

36.6655908

4

13.8371588

23.9150437

38.8192150

57.4466611

44

Tabela (5.3) - Oxigênio - Est . Fundamental - Pot. do Portilho

- Coon - 3 oorpos.

^ v N

3

5

7

9

11

13

15

17

0

32.36598142

87.98779136

154.2751977

224.8009206

295.99387415

365.86612406

433.34393843

497.88912571

2

4.8625078

22.3947784

47.1539429

77.0403986

110.6186355

146.7768560

184.6392442

223.5203301

4

-4.5602090

-2.4674062

3.4245057

13.0183205

26.1665587

42.5463914

61.7342655

83.2775499

6

-9.2154723

-15.1093931

-20.6287731

-24.533019

-25.8006575

-23.9661547

-18.9778380

-11.0215868

45

Tabela (5.4) - Oxigênio - Níveis de Energia - 6 quantos - Porti

lho - Coon - 3 corpos.

3

5

7

9

11

13

15

17

1

-9.2154723

-15.1093931

-20.6287731

-24.5330190

-25.8006575

-23.9661547

-13.9778380

-11.0215868

2

-3.1832689

-5.7247550

-6.1429910

-3.7355585

1.6288228

9.7961692

20.4901437

33.3898585

3

-1.3462320

2.6879177

11.6769769

24.3863842

39.5459336

56.2941172

74.1929426

93.0167647

4

6 .8421488

17.6225276

32.4988300

51.5432782

74.8533601

101,0339277

125.3209805

148.3877984

46

Tabela (5.5) t Oxigênio - E s t . Fundamental - Po t . Ogasawara-Hiura

3 corpos.

\

3

5

7

9

11

13

15

17

0

49.69807175

99.44338318

154.1805382

209.5466418

263.34743497

314.56448259

362.80053655

407.98203392

2

21.5629585

41.0958625

64.8943242

91.8006588

120.7621066

150.9231615

181.6282539

212.3936665

4

10.8035346

16.5482332

23.P633563

33.8164655

46.2095148

60.9110112

77.5558384

95.7507015

6

5.9505728

3.6263487

-0.1115684

-3.1478611

-4.2714347

-2.9854343

0.7623613

6.7906568

8

-4.3780778

-4.6167259

-4.7365826

-4.0828504

47

Tabela (5.6) - Oxigênio - Níveis de Energia - 8 quantos - Ogasawara

- Hiura - 3 corpos.

11

13

15

17

1

-4.3780778

-4.6167259

-4.7365826

-4.0828504

2

0.4277836

1.9150139

4.7904288

9.0771487

3

9.2344732

14.1294583

21.7240152

31.2745528

4

11.5225863

18.6972531

29.5249386

43.2124833

20.0L

48

, AL»-BOOMER

100

06 A** WA* A - U I V * A

AH-BOOMERH - 8

-10.0

- 2 0 . »

- 2 5 . 0

49

Tabela (5.7) - Primeiro intervalo de energia em função de e -

(02 " °1) "* * 6

e

3

5

7

9

11

13

15

17

2 Corpos

4.731

8.745

14.144

20.574

27.260

33.625

39.353

44.313

Portilho-Coon

6.032

9.385

14.486

20.798

27.429

33.762

39.468

44.411

OgasawaraHiura

4.720

8.705

14.011

20.295

26.814

33.028

38 651

43.573

Experimental

6.05

so

Tabela (5.8) - Primeiro intervalo em função de e. (02 - 0.) -> N=8

e

11

13

15

17

2 Corpos

4.440

6.472

9.707

13.521

Ogasawara/Hiura

4.806

6.532

9.526

13.160

Experimental

6.05

51

Tabela (5.9) - A. =» (o. - O.) para o e que dá energia mínima,

Experimental

Ali - Bodmer

e = 13 N =8

Ogasawara-Hiura

e - 15 N = 8

Ali - Bodmer

c «11 N « 6

Ogaswara-Hiura

r • 11 N = 6

Portilho -Conn

e = 11 N = 6

6.05

6.472

9.526

27.260

26.814

27.429

52

I ACM

\o\o

Ogasawara-Hiura -9-526

Ali-Bodmer -6.472

Exper. - 6.05

N-8

AE - (Oj - Oj)

Fíg.(5.2)

Portilho-Coon

27.429

Og«sawara-Hiur«

26.814

AE 0p <M

cg

N>6

cg

Fig. (5.3) 11

Exper. - 6.05

53

6. Apêndice - Coeficientes de Moshlnsky usuais e generalizados

Partindo de um problema de dois corpos definiremos os coe

ficientes de Moshinsky ou brashinskets e os coeficientes de Mo-

•hinsky generalizados, que são úteis quando estudamos o problema

de quatro corpos.

Definimos em (2.9) os estados de duas partículas nas coor

denadas de laboratório. Ê interessante escrevê-los em termos de

estados nas coordenadas relativas. Usando o sistema de coordena-

das relativas de Jacobi para duas partículas definido em (2.11)-

-(2.12)f e seus respectivos momentos, isto ê,

xa = /I75 (xj- x2) , í a - /I7? (p\ - p2) (A.i)

Xb - /I72 (x^ x2) , ? b - /I7Í (px + p2) , (A.2)

escrevemos os estados em termos de X e X.. Neste sistema de coor

denadas os estados de duas partículas serão dado por

lnaWb'AM> - V a a S V b(A.3)

onde A e M são os mesmos que em (2.9) , de acordo com a relação

x p 2

V mK + tb . (A-4)

Da mesma forma

^ \ t x^ • x2) » 1/2 ($1 • ^ -f + X

54

Podemos então escrever os estados (2.9) nas coordenadas

de laboratório como uma combinação linear dos estados (A.3) , da

seguinte forma

• l |na*a»ni)*|)#AM> * <n al a

nb*b(A.6)

onde os coeficientes da expansão são os coeficientes de (toshinsky(26)que estão tabelados em .As somas em (A.6) são finitas e res

tritas por

+ Jtfa, (A.7)

devido a equação (A.5). Os números quânticos na'*a'nw e ^K

teiros não negativos, sendo que £ e t. devem satisfazer a regraa o

de triangularidade para acoplamento de momentos angulares

l*a " *bl - A - la + Ab . (A'8)

Pode-se ainda demonstrar que esses coeficientes são inde-- » (18)pendentes do número quântico M e que possuem algumas rela-

ções de simetria' '. As que nos serão úteis no presente traba-

lho são as seguintes

<na£a'nb£b'A'nlJll'n2Jl2'A * "Hb-A

,n1)í1,A> (A.9)

Na equação (A-6) quando relacionamos os estados nas coor-

denadas de laboratório com os estados nas coordenadas de Jacobi,

usamos a seguinte transformação

w/4 -sen w/4

n/4 cos w/4 / \ x2(xj " \A7T m ) \ x2) " [sen,,

55

de onde vemos imediatamente que os brashinskets estão associados

1 uma rotação de tr/4. Queremos agora generalizar para um ângulo' (34)8 qualquer, ou seja ' ,

cos 0/2 -sen 8/2

sen 8/2 cos 6/2(A.11)

Os estados de duas partlculus nas coordenadas (X. X. ) estarão

conectados com os estados nas coordenadas ($.,x~) através da ex-

pansão

Vba qual define os coeficientes

(A.12)

I I exp[(2nd+td-2nc-*c)i 8/2] (-)

< n c V n d V A ' n a V V b » A > <nclc'nd*d'A ln

(A.13)

que são os parênteses de transformação para rotações por um ân-

gulo arbitrário 8/2, denominados coeficientes de Moshinsky gene

ralizados e foram derivados em . Algumas propriedades desses

coeficientes são discutidas na referência * '. Pode-se ainda de

monstrar que esses coeficientes são reais.

As somas em (A.13) são finltas • restritas pelas proprle

dades dos brashinskets.

Uma fórmula fechada e bastante conveniente para programas

de computação foi recentemente deduzida por Trlifaj(37).

i

56

7. Refere «

1. G.Gamov, Z.Physik 52 (1928) 510.

2. D.R. Harrington, Phys. Rev. 147 (1966) 685.

3. C.C.H. Leung e S.C.Park, Phys. Rev. JL87 (1969) 1239.

4. Prog. Theor. Phys. Supl. £2 - (1972).

5. G.F. Bertsch e W. Bertozzi, Nucl. Phys. A165 (1971) 199.

6. A. Osman, Phys. Rev. Ç4 (1972) 302.

7. G. Fâldt e L. Gislen, Nucl. Phys. A254 (1975) 341.

8. L.R. Hafstad e E. Teller, Phys. Rev. 5_4 (1938) 681.

9. S. Ali e A.R. Bodmer, Nucl. Phys. 80 (1966) 99.

10. R.M.Mendez-tforeno, M. Horeno e T.H.Seligman, Nucl. Phys. A221

(1974) 381.

11. V.C.Aguilera-Navarro, O.Portilho e R. Yamaoka, Rev.Bras.Fis.

4, (1974) 107.

12. V.C.Aguilera-Navarro e O. Portilho, Ann .Phys. (N .Y), 107 (1977)

126.

13. R.Tamagaki e Y. Fujiwara, Prog.Theor.Phys.Supl. 61 (1977) 229.

14. L.M.Delves e M.A.Hennell, Nucl.Phys. A168 (1971) 347.

15. J.Zofka e M.Sotona, Czech.J.Phys. B24 (1974) 1250.

16. O. Portilho e S.A.Coon, Z.Physik A290 (1979) 93.

17. H.Ogasawara • J.Hiura, Prog .Theor .Phys. 59_ (1978) 655.

18. M.Moshinskyt "The Harmonic Oscillator in Modern Physical

From Atoms to Quarks", Gordon and Breach, New York, 1969.

19. M.Moshinsky, Nucl.Phys. 13 (1959) 104.

20. P.Kramer e M.Moshinsky, "Group Theory of Harmonic Oscillator

and Nuclear Structure", em "Group Theory and Applications"

(E.M.Loebl, Ed.), Academic Press, N.Y., 1968, pg.384.

21. D.M.Brink e G.R.Satchler* "Angular Momentum", Clarendon Press,

Oxford, 1968 - 2a. edição, pg.41.

22. Ref.21, pg. 142.

23. V.C. Aguilera-Navarro, Tese de Doutorado, Universidad Nacional

Autônoma do Mexico, 1969, pg. 47,

24. Ref. 23, pg.34.25. V.C.Aguilera-Navarro, Rev.Mex.Fis. 2£ (1971) 31.26. T.A. Brody e M. Moshinsky, "Tables of Transformation Brackets",

Gordon e Breach, New York, 1967.27. I . Talmi, Helv. Phys. Acta 25 (1952) 185.28. Ref. 21^ pg. 151.

57

30. M. Abramowitz e I.A. Stegun, "Handbook of Mathematical Func-

tions", Dover Public, N.Y. (1965), pg. 486, n9 11.4.28.

31. F. Ajzenberg-Selove e T.Lauritsen, Nucl.Phys.il (1959) 1.

32. J.N.Kaki, tese de mestrado, IFT, São Paulo, 1979.

33. M. Moshlnsky e T.A. Brody, Rev.Mex. Fis. 9 (1960) 181 e Ref.

26.

34. A.Gal, Ann. Phys. (N.Y.), 49 (1968) 341.

35. Ref. 18, pg. 42.

36. V.C.Agullera-Navarro, T.A.Brody e J.Flores, Rev.Mex.Fis.19

(1970) 303.

37. L. Trlifaj, Phys. Rev. 5C (1972) 1534.