decima aula
TRANSCRIPT
![Page 1: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/1.jpg)
Álgebra Linear e
Geometria Analítica
10ª aula
![Page 2: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/2.jpg)
Vectores no plano
Vectores no espaço
Vectores em n
![Page 3: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/3.jpg)
![Page 4: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/5.jpg)
(u1,u2)
(v1,v2)
(u1+v1, u2+v2)
![Page 6: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/6.jpg)
![Page 7: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/7.jpg)
![Page 8: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/8.jpg)
(u1,u2)
(ku1,ku2)
ku
u
![Page 9: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/9.jpg)
Produto interno
• u = (u1, u2); v = (v1,v2)
• u . v = u1v1 + u2 v2
![Page 10: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/10.jpg)
Produto interno e norma
• u = (u1, u2); v = (v1,v2)
• u . v = u1v1 + u2 v2
22
21. uuuuu
![Page 11: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/11.jpg)
Produto interno em n
• u = (u1, u2, u3, u4 . . . , un);
• v = (v1, v2, v3, v4 . . . , vn);
• u . v = u1v1 + u2 v2 + u3v3 + u4 v4 + . . .+ un vn
n
iiivuvu
1
.
![Page 12: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/12.jpg)
Propriedades do produto interno
• u . v = v . u• u . (v + w) = u . v + u . w• ( u . v ) = ( u) . v = u . ( v)• u . u 0 • u . u = 0 u = 0
![Page 13: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/13.jpg)
Produto interno e norma em n
• u = (u1, u2, u3, u4 . . . , un);
223
22
21. nuuuuuuu
![Page 14: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/14.jpg)
EXEMPLOS
• u = (1, 6, 0, -1, 0, 2)• v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2)• u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) =
= -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6
![Page 15: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/15.jpg)
EXEMPLOS
• u = (1, 6, 0, -1, 0, 2)• v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2)• u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) =
= -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6•
222222 201061 u
![Page 16: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/16.jpg)
EXEMPLOS
• u = (1, 6, 0, -1, 0, 2)• v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2)• u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) =
= -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6•
4241361
201061 222222
u
![Page 17: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/17.jpg)
Propriedades da norma
vuvu
vuvu
uu
uu
uu
.
00
00
Desigualdade triangular
Desigualdade Cauchy-Schwartz
![Page 18: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/18.jpg)
B
A
![Page 19: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/19.jpg)
B
A
||A||
||B||
||A+B||
Desigualdade triangular
![Page 20: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/20.jpg)
A||A||
B
||B||||A+B||
A+B
![Page 21: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/21.jpg)
A||A||
B
||B||||A+B||
A+B
Se os vectores são perpendiculares, pelo teorema de Pitágoras:
![Page 22: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/22.jpg)
A||A||
B
||B||||A+B||
A+B
Se os vectores são perpendiculares, pelo teorema de Pitágoras:
222BABA
![Page 23: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/23.jpg)
BABA
BABBAA
BBABBAAABABA
BA
.2
.2..
.....
22
2
![Page 24: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/24.jpg)
Ortogonalidade:
• Definição: Dois vectores são ortogonais se o seu produto interno for nulo
![Page 25: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/25.jpg)
Ortogonalidade:
• Definição: Dois vectores são ortogonais se o seu produto interno for nulo
• Exemplo:• u = (1, 2, 3, 4) ; v = (-4, -3, 2, 1)• u . v = -4 -6 + 6 + 4 = 0
![Page 26: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/26.jpg)
B
A
![Page 27: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/27.jpg)
B
A
tB
![Page 28: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/28.jpg)
B
A
tB
tB é a projecção do vector A sobre B
![Page 29: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/29.jpg)
B
A
tB
C
![Page 30: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/30.jpg)
B
A = tB + C
tB
C
![Page 31: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/31.jpg)
B
A = tB + C
tB
C
A . B = (tB + C) . B = t B . B + C . B = t B.B
![Page 32: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/32.jpg)
B
A = tB + C
tB
C
A . B = (tB + C) . B = t B . B + C . B = t B.B
2
.
.
.
B
BA
BB
BAt
![Page 33: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/33.jpg)
B
A = tB + C
tB
C
![Page 34: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/34.jpg)
B
A = tB + C
tB
C
A
Bt
A
tBcos
![Page 35: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/35.jpg)
B
A = tB + C
tB
C
BA
BA
A
Bt
A
tB .cos
![Page 36: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/36.jpg)
Definição de projecção de um vector sobre outro:
Sejam u e v vectores de n
A projecção de u sobre v é o vector v sendo
vv
vu
.
.
![Page 37: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/37.jpg)
Definição de ângulo de dois vectores:
Sejam u e v vectores não nulos de n
O ângulo entre os vectores u e v é tal que
vu
vu.cos
![Page 38: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/38.jpg)
Definição de ângulo de dois vectores:
Sejam u e v vectores não nulos de n
O ângulo entre os vectores u e v é tal que
vu
vu.cos
vu
vu.arccos
![Page 39: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/39.jpg)
Limites do valor de cos
vu
vu.cos
1.
. vu
vuvuvu
1.
1 vu
vu
![Page 40: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/40.jpg)
Exemplo:
39243.
0,6,1,1,1
1,0,1,1,1
vuvu
v
u
![Page 41: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/41.jpg)
Exemplo:
2
1
32
3cos
39243.
0,6,1,1,1
1,0,1,1,1
vuvu
v
u
![Page 42: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/42.jpg)
Exemplo:
3
22
1
32
3cos
39243.
0,6,1,1,1
1,0,1,1,1
vuvu
v
u
![Page 43: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/43.jpg)
Produto externo
• Só se define produto externo em 3
122131132332
321321
,,
,,,,
vuvuvuvuvuvuvu
vvvvuuuu
||u v||2 = ||u||2 ||v||2 sen2
![Page 44: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/44.jpg)
Produto externo
• Só se define produto externo em 3
122131132332
321321
,,
,,,,
vuvuvuvuvuvuvu
vvvvuuuu
213
132
321
321 1,0,00,1,00,0,1
eee
eee
eee
eee
![Page 45: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/45.jpg)
Regra prática:
321
321
321
321
det""
1,0,00,1,00,0,1
vvv
uuu
eee
vu
eee
![Page 46: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/46.jpg)
Regra prática:
654
321det""
6,5,43,2,1
1,0,00,1,00,0,1
321
321
eee
vu
vu
eee
![Page 47: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/47.jpg)
Regra prática:
321
321
321
54
21det
64
31det
65
32det
654
321det""
6,5,43,2,1
1,0,00,1,00,0,1
eee
eee
vu
vu
eee
![Page 48: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/48.jpg)
Regra prática:
1,0,030,1,0)6(0,0,13
54
21det
64
31det
65
32det
654
321det""
6,5,43,2,1
1,0,00,1,00,0,1
321
321
321
eee
eee
vu
vu
eee
![Page 49: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/49.jpg)
Regra prática:
3,6,3
1,0,030,1,0)6(0,0,13
54
21det
64
31det
65
32det
654
321det""
6,5,43,2,1
1,0,00,1,00,0,1
321
321
321
eee
eee
vu
vu
eee
![Page 50: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/50.jpg)
Propriedades do produto externo:
• u v = - (v u)• u (v + w) = u v + u w• (u v) = ( u) v • u . (u v) = 0• v . (u v) = 0• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u v = 0 u e v linearmente dependentes
![Page 51: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/51.jpg)
Propriedades do produto externo:
• O produto externo não é associativo!• Exemplo:
231211 eeeeee
![Page 52: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/52.jpg)
Propriedades do produto externo:
• O produto externo não é associativo!• Exemplo:
00 2211
231211
eeee
eeeeee
![Page 53: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/53.jpg)
Propriedades do produto externo:
• u e v linearmente independentes
• {u, v, uv} linearmente independente• Qualquer vector ortogonal a u e a v é múltiplo
de uv
![Page 54: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/54.jpg)
Propriedades do produto externo:
• u e v linearmente independentes
• {u, v, uv} formam base de 3
![Page 55: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/55.jpg)
Propriedades do produto externo:
• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
![Page 56: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/56.jpg)
Propriedades do produto externo:
• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u . v = ||u|| ||v|| cos
![Page 57: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/57.jpg)
Propriedades do produto externo:
• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u . v = ||u|| ||v|| cos• (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2
![Page 58: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/58.jpg)
Propriedades do produto externo:
• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u . v = ||u|| ||v|| cos• (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – ||u||2 ||v||2 cos2
![Page 59: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/59.jpg)
Propriedades do produto externo:
• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u . v = ||u|| ||v|| cos• (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – ||u||2 ||v||2 cos2• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 (1 – cos2)
![Page 60: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/60.jpg)
Propriedades do produto externo:
• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u . v = ||u|| ||v|| cos• (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – ||u||2 ||v||2 cos2• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 (1 – cos2)
• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 sen2
![Page 61: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/61.jpg)
B
A
||A||sen
![Page 62: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/62.jpg)
B
A
||A||sen
Área do paralelogramo::||A B|| = ||A|| ||B|| sen
![Page 63: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/63.jpg)
Produto misto
• O produto misto só se define em 3
• u, v, w 3 • O produto misto de u, v e w é:• u . (v w)
![Page 64: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/64.jpg)
Regra prática para calcular o produto misto
• u, v, w 3
321
321
321
det).(
www
vvv
uuu
wvu
![Page 65: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/65.jpg)
Propriedades do produto misto
• u, v, w 3 • u . (v w) = 0 {u, v, w} linearmente
dependente• u . (v w) = (u v) . w• u . (v w) = v . (w u) • u . (v w) = - u . (w v) = - v . (u w)
![Page 66: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/66.jpg)
Interpretação geométrica:
• (u v) . w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w.
![Page 67: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/67.jpg)
Interpretação geométrica:
• (u v) . w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w.
• Se u e v definem a base, ||uv || é a área da base
![Page 68: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/68.jpg)
Interpretação geométrica:
• (u v) . w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w.
• Se u e v definem a base, ||uv || é a área da base
• ||w||cos dá a altura, sendo o ângulo entre w e uv
![Page 69: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/69.jpg)
Interpretação geométrica:
• (u v) . w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w.
• Se u e v definem a base, ||uv || é a área da base
• ||w||cos dá a altura, sendo o ângulo entre w e uv
• Volume = ||uv || ||w||cos = (u v) . w
![Page 70: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/70.jpg)
u
v
w
![Page 71: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/71.jpg)
u
v
w
![Page 72: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/72.jpg)
u
v
w
u v
![Page 73: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/73.jpg)
u
v
w
u v
altura
![Page 74: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/74.jpg)
u
v
w
u v
Altura = ||w|| cos
![Page 75: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/75.jpg)
u
v
w
u v
Altura = ||w|| cos
Área da base = ||uv||
![Page 76: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/76.jpg)
Bases ortonormadas
• Um conjunto de vectores diz-se ortogonal se os vectores forem ortogonais dois a dois.• Um conjunto de vectores diz-se
ortonormado se for ortogonal e todos os vectores tiverem norma unitária
![Page 77: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/77.jpg)
Bases ortonormadas
• Um vector que tiver norma igual a um diz-se unitário.• Dado um qualquer vector não nulo u,
é possível construir um vector unitário a partir de u fazendo:
uu
1
![Page 78: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/78.jpg)
Como obter uma base ortogonal?
• Seja {u1, u2, . . . , un} uma base de um espaço vectorial de dimensão n.
• Obtém-se a partir daqui uma base ortogonal {v1, v2, . . . , vn} aplicando o chamado processo de ortogonalização de Gram-Schmidt que consiste em:
![Page 79: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/79.jpg)
Ortogonalização de Gram-Schmidt
11 uv
![Page 80: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/80.jpg)
Ortogonalização de Gram-Schmidt
12
1
1222
11
.v
v
vuuv
uv
![Page 81: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/81.jpg)
Ortogonalização de Gram-Schmidt
22
2
2312
1
1333
12
1
1222
11
..
.
vv
vuv
v
vuuv
vv
vuuv
uv
![Page 82: Decima Aula](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070312/552ff81d4a79592f2d8b4632/html5/thumbnails/82.jpg)
Ortogonalização de Gram-Schmidt
j
n
jj
jnnn v
v
vuuv
vv
vuv
v
vuuv
vv
vuuv
uv
1
12
22
2
2312
1
1333
12
1
1222
11
.
..
.