A sociedade atual exige cada vez mais do jovem uma participação construtiva em questões da vida pessoal, da convivência social e da preparação para o universo do trabalho. Essa participação pressupõe o desenvolvi-mento de habilidades como a de refletir sobre diversas situações, tomar decisões, e intervir no meio social.

Na Coleção Ser Protagonista – Matemática tais habilidades são construídas por meio de atividades de reflexão e validação de situações contextualizadas, da interpretação de diversos textos e de um programa de resolução de problemas.

Saber refletir, organizar o pensamento e validar procedimentos são competências essenciais para, por exemplo, apresentação de propostas de intervenção no meio social. Enfrentar situações-problema e tomar decisões, ações tão comuns na vida cotidiana, exigem habilidade de selecionar, organizar e interpretar infor-mações apresentadas em diversos textos. Expressar o pensamento e construir argumentos dependem, em grande medida, da capacidade que o jovem tem de propor estratégias para a resolução de problemas e comunicá-las eficientemente.

É o que propõe a coleção, que concilia elementos inovadores com outros mais consagrados, favorecendo o desenvolvimento do cidadão.

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1

Capítulo

1este cap tulo

1. O conhecimento matemático

2. Métodos científicos

3. Os métodos da Matemática

4. Matemática, informação e tecnologia

. Matemática e cultura

Matemática: uma visão geral

Comece pelo que já sabe

1. Cite algumas partes que você identifica na imagem do crânio que aparecem no monitor.

2. Quais são as vantagens de observar separadamente secç es do crânio?

3. A imagem do crânio apresenta certas características de simetria. dentifique o eixo de simetria e comente esta afirmação: “Apesar de apresentar alguma simetria, a imagem do crânio na tomografia não é totalmente simétrica”.

4. odo o conhecimento matemático que se aprende no Ensino Médio seria suficiente para criar com sucesso um produto tecnológico, por exemplo, a máquina na qual é feita a tomografia computadorizada? ntuitivamente, como você responderia a essa pergunta? Explique.

Especialista em radiologia observa imagem de uma secção (“fatia”) do cérebro e sistema nervoso central, gerada pelo processo de tomografia computadorizada por ressonância nuclear magnética. A imagem é obtida após o corpo ser submetido a campo magnético e ondas de rádio que geram informaç es a ser processadas e transformadas em imagem pelo computador.

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1. O conhecimento matemáticoA palavra matemática teve origem na Grécia antiga e, segundo algumas te-

orias, vem da palavra máthema, que significa “ciência, conhecimento, apren-dizagem”. Dessa palavra deriva-se outra: mathematikós, que significa “aprecia-dor do conhecimento”.

A seguir serão apresentadas algumas ideias amplas a respeito do que é a Matemática, para que serve e como está organizada atualmente.

As várias faces da Matemática  A Matemática é um produto da construção humana que, no decorrer da

história, foi adquirindo características que possibilitaram concebê-la como um campo do conhecimento com várias faces: ciência, tecnologia, linguagem e filosofia. Cada face expõe com mais ênfase um diferente aspecto. É impor-tante ressaltar que o conhecimento matemático pode ser entendido com base em mais de um desses aspectos simultaneamente.

CiênciaA Matemática se propõe a interpretar fenômenos como relações, variações,

indeterminações associadas a “objetos abstratos”, como números, figuras ou grandezas. Tais interpretações geram um grande campo de conhecimento humano. Esse conhecimento, entretanto, é construído com critério, e esse critério é o método científico: assim como as ciências naturais (física, quími-ca e biologia), a Matemática tem métodos próprios para investigar, validar e aplicar seu conhecimento.

TecnologiaTecnologia é a ciência aplicada, ou seja, é o conhecimento utilizado, por

exemplo, para desenvolver aparelhos eletrônicos, modos de organizar e re-distribuir o espaço, maneiras de conceber e produzir bens, etc. Há um ramo da Matemática chamado de Matemática aplicada. Deve-se à Matemática apli-cada muito do avanço da tecnologia hoje. É possível observar o conhecimen-to matemático aplicado à física, engenharia, química, economia, biologia, computação, medicina e muitas outras áreas.

LinguagemAssim como outras linguagens (artísticas, de computação, gestuais, da

moda, etc.), a Matemática permite pensar, comunicar e atribuir sentido à rea lidade por meio de códigos, símbolos e um conjunto de valores próprios. Como linguagem, a Matemática permite a percepção da realidade, a comu-nicação e expressão de pensamentos fundados em métodos de raciocínio, de observação de regularidades, de variações, de indeterminações ou de causa e efeito. Todo esse potencial permite que o ser humano ultrapasse o tempo vi-vido e o espaço fixo para atingir o mundo das ideias e da reflexão, os diferen-tes momentos históricos e seus diversos espaços geográficos e culturais.

FilosofiaAlguns estudiosos consideram Tales de Mileto o primeiro filósofo da his-

tória. Mas Tales, além de filósofo, era matemático. Platão, Aristóteles e Pi-tágoras, grandes filósofos da Antiguidade, também eram matemáticos. De algum modo, as origens da filosofia se misturam com a origem do pensa-mento matemático.

Por meio da reflexão filosófica, o ser humano procura compreender a si mesmo e a realidade circundante. A Matemática, por meio de sua linguagem e lógica, propicia investigar e validar o conhecimento sobre a realidade e so-bre o indivíduo.

O conhecimento matemático é um campo do saber humano dotado de ferramentas poderosas para compreender e propor mudanças nos hábitos das pessoas e em suas relaç es com o mundo. Essas ferramentas incluem, por exemplo, o raciocínio lógico, técnicas de resolução de problemas e habilidades de pensamento em termos abstratos.

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Matemática: uma visão geral1

Razões para aprender Matemática  Muitas pessoas fazem esta pergunta: “Afinal, para que serve a Matemática?”O ser humano vive um momento marcado pela busca de resultados ime-

diatos com qualquer conhecimento. O caráter utilitário tem um papel impor-tante no campo do conhecimento matemático, porém não é o único. Há ou-tras importantes razões para ensinar e aprender Matemática.

Afinal, por que é importante saber Matemática?

1. Por seu caráter utilitárioAs situações do cotidiano que envolvem contagem e cálculo são rapida-

mente lembradas quando se pensa em Matemática. Essas situações exempli-ficam seu caráter utilitário.

2. Por seu caráter culturalHá uma diversidade de raízes culturais em todo o planeta em diferentes

momentos históricos. A religião, a língua, os costumes e a matemática de cada grupo cultural têm características próprias e variam de acordo com a maneira de pensar e atuar de seus indivíduos. Naturalmente, o modo de tra-balhar com quantidades, números, formas, medidas e relações geométricas está relacionado com a cultura de cada grupo; cada um tem sua maneira de “matematizar”. Por exemplo, um calendário: cada cultura pode conceber e organizar seu calendário valendo-se de recursos matemáticos variados.

Conhecer um pouco da história da Matemática e do desenvolvimento do conhecimento matemático em diversas partes do mundo, por diferentes po-vos, permite uma compreensão mais ampla das relações sociais e do momen-to histórico dos grupos humanos.

3. Por seu caráter formativoA capacidade de enfrentar situações reais pode ser ampliada por meio do

uso de recursos característicos da Matemática: formular problemas, anali-sar gráficos, interpretar dados estatísticos, relacionar grandezas, antecipar fa-tos por meio da análise de variações ou de padrões observáveis em algumas situa ções e muitos outros. Esses recursos estão relacionados com habilidades desenvolvidas no estudo da Matemática. O conhecimento matemático altera o modo como o indivíduo se vê e se relaciona com o mundo e no mundo.

4. Por seu caráter sociológicoHistoricamente, o conhecimento matemático existente hoje é fruto do

trabalho de pesquisadores de várias partes do mundo. O intercâmbio des-se conhecimento entre diversos matemáticos, feito antigamente com a troca de correspondências e manuscritos e, atualmente, por meio de institutos de pesquisa, publicações, congressos e internet, possibilitou a criação de uma linguagem universal. Entretanto, pesquisadores hoje consideram a universa-lização da Matemática tão importante quanto o respeito às manifestações ma-temáticas em ambientes culturais diversos, o que gerou um campo do conhe-cimento chamado de matemática antropológica. Esse conhecimento “olha” para o conteúdo cultural e ideológico contido em muitas matemáticas de cul-turas diversas.

5. Por seu caráter estéticoO prazer em apreciar uma obra de arte é uma experiência singular. Apre-

ciar uma relação geométrica ou uma demonstração de um fato matemático pode dar a mesma sensação de prazer. A apreciação estética pode ser exerci-da e aprimorada por meio do estudo de assuntos da geometria, da álgebra, da teoria dos números e outros.

alend riosOs calendários representam `um conhecimento “matematizável” concebido e organizado segundo a cultura e os valores vigentes na sociedade e no tempo em que foram produzidos.

eja alguns modelos de calendário.

Calendário asteca.

Calendário ocidental contemporâneo.

Saiba mais

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13

Algumas áreas de estudo da Matemática  O convívio em sociedade gera uma grande diversidade de situações e pro-

blemas históricos, sociais e culturais.

O enfrentamento de tantas situações-problema exige uma variedade de técnicas de resolução que necessitam ser estudas e aprimoradas, para, assim, gerarem novos conhecimentos, reformulações de outros que já existiam e su-peração daqueles que não condizem mais com a dinâmica atual da humani-dade. O conhecimento matemático necessário para o enfrentamento dessas situações vem crescendo a cada dia, e exigem a subdivisão da Matemática em áreas de especialização.

randes reas l uns ob eti os de estudos Exemplos de situaç es problema

Estuda a origem, a história e a estrutura dos sistemas lógicos, numéricos, algébricos e geométricos de áreas da Matemática.

ao mesmo tempo objeto de estudo e objetivo pelo qual se estuda Matemática.rata-se de estudos como lógica, teoria dos números, história

da Matemática e outros.

azer comparaç es entre modos de pensar e estruturar os conhecimentos matemáticos de épocas passadas, com modos de pensar de hoje.

Estuda os sistemas algébricos. m de seus objetivos é propor generalizaç es dos conceitos e operaç es de aritmética. tiliza com frequência noç es de grandezas variáveis ou constantes e investiga suas relaç es.rata-se de estudos como álgebra linear, álgebra booleana,

álgebra abstrata e outros.

Para entender melhor um fenômeno, seja de outras áreas, seja da própria Matemática, recorre-se a modelos matemáticos fundamentados na álgebra.

Estuda os números e o espaço das funç es, seus comportamentos no in nito e em limites localizados.rata-se de estudos como cálculo diferencial, cálculo integral,

topologia, análise matemática e outros.

Estudos relacionados ao movimento de corpos próximos ou mais afastados da superfície da erra.

Estuda o espaço, as formas e suas propriedades segundo um sistema axiomático.rata-se de estudos como geometria euclidiana, geometria

riemanniana, geometria analítica, geometria fractal e outros.

Estudos relacionados à distribuição de espaço. O melhor aproveitamento de áreas ou volumes, a organização e disposição de ruas, semáforos, sentido do tráfego, etc.

Aborda os métodos de coleta, organização e análise de dados. Descreve, relaciona e explica esses dados de modo sistemático.rata-se de estudos como estatística descritiva, inferência

estatística, combinatória, probabilidade e outros.

Pesquisas relacionadas a estudos populacionais referentes a preferências, comportamentos, escolhas, perspectivas, etc.

Estatística na estimativa populacional.

Aritmética em situaç es do comércio.

eometria na arquitetura.

Combinatória no emplacamento de veículos.

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14

Matemática: uma visão geral1

todos

leis

fato(presente)

previsão(futuro)

generalização dedução

princípios

consequências

dedução

hipóteses

fatos

consequências

dedução

verificação

confirmação

2. Métodos científicosExistem várias modos de obter conhecimento valendo-se de diferentes estra-

tégias, como intuição, experiência de vida, experimentação em laboratório, ra-ciocínio e outras. Os modos aceitos como confiáveis pelo conhecimento científi-co são conhecidos como métodos científicos e são orientados pelo raciocínio.

A ciência é um conhecimento teórico sofisticado. O que a torna possível é o uso de uma metodologia adequada. O que distingue a ciência de outra for-ma de saber é o método de investigação.

O quadro a seguir permite comparar três métodos.

É possível dizer que não há mais do que dois métodos: o indutivo e o de-dutivo. Assim como também dois procedimentos: o experimental (remete-se à observação de fatos e fenômenos) e o racional (remete-se aos princípios do raciocínio lógico-dedutivo). Assim, o método hipotético-dedutivo não pare-ce ser mais do que uma fusão de ambos os procedimentos. Por outro lado, esses dois (ou três) métodos oferecem uma infinidade e uma variedade de es-tratégias e ferramentas que possibilitam a investigação por qualquer ciência, segundo os objetivos de cada uma.

O método cartesiano  A busca de novos conhecimentos levou o ser humano a criar métodos para

investigar e raciocinar. René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês, propôs um método para ser empregado na busca do conhecimento científico no livro Discurso sobre o método de bem conduzir a razão na busca da verdade nas ciências.

Conhecido como método da razão, o método cartesiano trata dos problemas humanos de forma racional e sistemática, utilizando argumentação lógica.

O método de Descartes consiste em quatro ações.I) Aceitar somente aquilo que seja tão claro em nossa mente, que exclua

qualquer dúvida.II) Dividir os grandes problemas em problemas menores.III) Argumentar partindo do simples para o complexo.IV) Verificar o resultado final.A Matemática aplica, em muitos momentos, o método proposto por Des-

cartes. Trata-se de um método muito amplo e geral, aplicável também a ou-tras áreas do conhecimento. Para que o método de Descartes seja eficiente, é preciso utilizar o raciocínio. Surge então a pergunta: como aplicar o raciocí-nio para obter conhecimento de modo confiável?

Saiba mais

acionalismo ou empirismo

Exagerando, poderíamos `dizer que o racionalismo é o sistema que consiste em limitar o ser humano ao âmbito da prória razão, e o empirismo é o que o limita ao âmbito da experiência sensível. sso não quer dizer que o racionalismo exclua a experiência sensível, mas que esta é apenas a ocasião do conhecimento e está sujeita a enganos. A verdadeira ciência se perfaz no espírito. Para o empirismo, ao contrário, a experiência é fundamental, e o trabalho posterior da razão está a ela subordinado.

ARANHA, Maria Lúcia de A.; MARTINS, Maria Helena P. Filosofando: introdução à Filosofia. São Paulo: Moderna, 2007. p. 134.

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1

O método do raciocínio  Dentro do método do raciocínio existem algumas maneiras de obter co-

nhecimento de modo confiável.O quadro a seguir apresenta três desses importantes modos.

É comum que, no enfrentamento de uma única situação-problema do co-tidiano, as pessoas utilizem mais do que um desses modos de raciocínio para obter sucesso em sua resolução.

acioc nio por Descrição Exemplo

O racioc nio por analo ia vai do particular para o particular, isto é, de certas semelhanças visíveis ou certas relaç es conhecidas entre determinados objetos infere-se que podem existir ainda outras semelhanças ou outras relaç es entre eles (indução imperfeita).

O planeta P O tem a atmosfera e a maioria dos minerais que existem na erra. Logo, se há água na erra, provavelmente, haverá água em P O.

O racioc nio induti o, ou indução, consiste em generalizar uma propriedade ou uma relação veri cada em certo número de casos particulares para todos os casos semelhantes.O ponto de partida da indução é a experiência, particular e contingente, a partir da qual se procura atingir uma compreensão intelectual de caráter geral. O raciocínio indutivo parte de casos particulares para generalizaç es.

Estas rosas são daquele jardim.Estas rosas são vermelhas.odas as rosas daquele jardim são

vermelhas.

O racioc nio deduti o, ou dedução, é uma síntese de proposiç es (a rmaç es verdadeiras ou falsas e que fazem sentido) que permite estabelecer uma relação de necessidade lógica entre essas proposiç es. As proposiç es que servem de ponto de partida são chamadas de premissas, e aquela a que se chega é chamada de conclusão. Por meio da dedução chega-se a uma conclusão, mas essa conclusão deriva única e exclusivamente das premissas de que se partiu; é uma consequência necessária dessas premissas. O raciocínio dedutivo parte de uma hipótese geral para uma conclusão particular.

odo o gado de ião é da raça nelore.Este gado é de ião.Logo, este gado é da raça nelore.

ara refletir

Leia a tirinha a seguir. `

Que métodos de raciocínio Calvin utilizou?�

Quantos fatos Calvin considerou para construir seu raciocínio? Quais são esses fatos?�

Os fatos utilizados por ele poderiam ser falsos? ustifique.�

A conclusão da argumentação dele é verdadeira?�

No último quadrinho, Calvin insiste e tenta convencer o pai. Ele foi convincente?�

Qual é sua opinião acerca do método utilizado por ele? Comente com um colega.�

WATTERSON, Bill. Calvin e Haroldo: Yukon ho! São Paulo: Conrad Editora do Brasil, 2008. p. 107.

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Matemática: uma visão geral1

3. Os métodos da MatemáticaEm seu processo de construção, a Matemática utiliza sistemas axiomáti-

cos, argumentos fundamentados em raciocínios lógicos e um modo de vali-dar fatos matemáticos por meio das demonstrações. A seguir, esses aspectos são apresentados com mais detalhes.

Sistema axiomático  Nem todas as sentenças em Matemática podem ser demonstradas. Algu-

mas são aceitas como verdadeiras, portanto, não estão sujeitas a demonstra-ções. Tais sentenças são chamadas de axiomas. No entanto, a maioria das sentenças ou fatos matemáticos necessita de demonstrações lógicas. Esses fatos ou sentenças são chamados de teoremas. As sentenças formuladas em Matemática dizem respeito a entes, objetos, conceitos matemáticos e rela-ções entre eles. Os entes mais fundamentais são aceitos sem definições: são os conceitos primitivos ou noções primitivas. Os conceitos remanescentes, formulados a partir destes, são denominados conceitos derivados.

ExemplosAxioma: Duas retas não podem cruzar-se em mais de um ponto.Teorema: Ângulos opostos pelo vértice são congruentes.Conceitos primitivos: ponto, reta, plano, espaço.Conceito derivado: Dois ângulos são chamados ângulos opostos pelo vér-

tice se os seus lados formam dois pares de semirretas opostas.

O argumento em Matemática  A linguagem e a expressão do pensamento em Matemática necessitam da

construção de argumentos. Para a construção de um argumento é necessário que existam proposições, p

1, p

2,..., p

n, chamadas de premissas, com as quais

se pretende chegar a uma nova proposição c chamada conclusão. O procedi-mento de construção de argumentos em Matemática equivale a colocar pre-missas em tal ordem que, necessariamente, conduzam a uma conclusão.

Um argumento pode ser válido ou não. O quadro a seguir apresenta dois exemplos de argumento: um válido e outro não válido. Cada argumento pode ser representado por um diagrama.

Nos exemplos, tanto em 1 como em 2 as premissas p1 e p

2 são verdadei-

ras, porém, quanto às conclusões, apenas em 1 a proposição c é verdadeira. Quando todas as premissas são verdadeiras, mas a conclusão é falsa, o argu-mento é chamado de sofisma.

1. r umento lido 2. r umento não lido

remissas

p1

odos os homens são mortais. odo elefante é animal.

p Sócrates é homem. Alguns animais falam.

onclusão c Logo, Sócrates é mortal. Logo, alguns elefantes falam.

Dia rama

rimeiro sistema axiom ticoOs gregos são também `os responsáveis pela introdução do primeiro sistema axiomático, mais vigoroso, na literatura, a eome r a e d ana. O trabalho de Euclides apresenta a geometria, edificada a partir de algumas primeiras sentenças denominadas axiomas e postulados1; e daí obtém todos os demais resultados por meio de demonstraç es. Esse trabalho teve e tem influência marcante sobre o desenvolvimento da Matemática e também de outras ciências. Considerada a forma máxima de organização do conhecimento matemático, até mesmo ciências com caráter não dedutivo tentaram se desenvolver por meio dessa abordagem.1 Para Euclides há uma diferença conceitual entre axioma e postulado, o que não mais é considerado hoje em dia.

FEITOSA, Hércules de A.; PAULOVICH, Leonardo. Um prelúdio à lógica. São Paulo: Editora Unesp, 2005. p. 9-10.

m pouco de ist ria

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As demonstrações matemáticas  As demonstrações são um sistema de argumentos válidos cujas premissas

são todas verdadeiras. Configuram-se em diferentes aspectos: procedimental, comunicação de um pensamento, validação de um resultado e outros. Tudo isso serve para eliminar dúvidas, descobrir, explicar, verificar e comunicar conhecimentos matemáticos. Constituem um verdadeiro desafio intelectual, e dão ao conhecimento matemático um caráter de sistematização, uma vez que apresentam fatos organizados e comprovados como válidos.

Todo teorema estabelece que, se uma afirmação é verdadeira, então a outra afirmação também é verdadeira. Para que uma sentença (fato matemático) seja chamada de teorema, é preciso que seja demonstrada. O teorema tem uma forma textual que explicita duas partes: a primeira, chamada de hipótese, e a segunda, de tese. A hipótese apresenta o que é dado (o conhecimento que se tem a respeito de algum objeto ou outro fato matemático). A tese é a conclu-são e apresenta o que deve ser provado.

ExemploDois ângulos opostos pelo vértice têm a

mesma medida.

Hipótese: Os ângulos e são opostos pelo vértice (o.p.v.).

Tese:

firmaç es ustificaç es

1 o e 1 o De nição de ângulo raso.

gualdade entre ângulos rasos.

Propriedade da subtração na igualdade.

Nem todo teorema aparece enunciado na forma hipótese-conclusão. Inde-pendentemente da forma como está enunciado, devem estar claros o que é dado e o que deve ser demonstrado.

Demonstrações por absurdoA demonstração apresentada acima do teorema dos ângulos opostos pelo

vértice é chamada de demonstração direta. Nem sempre é possível fazer a demonstração direta de um fato matemático. Há as demonstrações por redu-ção ao absurdo, ou simplesmente demonstração por absurdo. O método consiste em supor que a negação da hipótese é verdadeira para chegar a um absurdo, ou seja, uma proposição falsa.

A tabela a seguir permite comparar uma demonstração direta com uma de-monstração por absurdo.

Demonstração direta Demonstração por absurdo

ropos o Se dois números inteiros m e n são pares, então m n é par.

emons ra o Se m e n são inteiros pares, então são da forma m 2

1 e

n 22,

1 e

2 inteiros quaisquer.

Assim, m n 21 2

2 2(

1

2).

Seja 1

2.

Portanto, m n 2 .

ropos o Se m é inteiro e m2 é par, então m é par.

emons ra o Supondo por contradição que m não é par, então m 2 1.

Assim m2 (2 1)2 2 2 1 2(2 2 ) 1. Seja 2 2 . Logo

m2 2 1, que contradiz o fato de m2 ser par.

Portanto, m é par.

Saiba mais

pro a o di rio de ia em do matem tico

Embora parte do trabalho de `um matemático seja buscar padr es e estruturas no mundo dos números, outra parte consiste em pro ar que o padrão persistirá. O conceito de prova talvez marque o verdadeiro início da Matemática como a arte da dedução, em vez de mera observação numerológica o ponto em que a alquimia matemática deu lugar à química matemática. Os gregos da Antiguidade foram os primeiros a entender a possibilidade de provar que certos fatos continuariam sendo verdadeiros, independentemente da extensão da contagem ou do número de casos examinado.

O processo criativo do matemático começa com uma suposição. Muitas vezes, essa suposição surge da intuição que ele desenvolve após anos explorando o mundo da Matemática, cultivando um instinto para desvendar suas muitas idas e vindas. ... Essas suposiç es ou

previs es são o que o matemático chama de “conjectura” ou “hipótese”.

ma suposição matemática só recebe o nome de “teorema” depois que seja encontrada uma prova. Esse movimento da “conjectura” ou “hipótese” para o “teorema” é o que marca a maturidade matemática de um assunto.

SAUTOY, Marcus du. A música dos números primos: a história de um problema não resolvido na matemática. Rio de Janeiro: Zahar, 2003. p. 37-38.

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1

1

Exercícios propostos

Matemática: uma visão geral

s uest es 1 2 e 3 referem se s p inas 11 a 13.

Leia o trecho a seguir e responda.1. “O conhecimento matemático é um campo do sa-ber humano dotado de ferramentas poderosas para compreender e propor mudanças nos hábitos das pessoas e suas relaç es com o mundo.”

a) Como cada face da Matemática pode contribuir para a compreensão do mundo em que vivemos? Se possível, cite fatos, exemplos, etc.

b) Cite um fato de sua vida em que o conhecimento matemático adquirido por você até agora pro-moveu uma mudança em seu modo de ver e re-lacionar-se com o mundo.

magine que você quisesse ensinar a um amigo um 2. procedimento de cálculo diferente do que a maioria das pessoas aprende na escola. ocê aprendeu esse procedimento com o avô de outro amigo seu. um procedimento rápido, eficiente e seguro. Por que se-ria importante que seu amigo aprendesse esse seu procedimento diferente? O que você diria para ele na tentativa de convencê-lo a aprender? Explique.

ma pesquisadora entrevistou quarenta pessoas 3. utilizando um questionário previamente elaborado. Organizou as respostas em uma tabela para poder analisar os resultados e tirar conclus es. O proce-dimento descrito poderia ser classificado em uma das áreas de estudo da Matemática. Qual é essa área de estudo?

s uest es 4 e referem se s p inas 14 e 1 .

Será que o método cartesiano é aplicável no co-4. tidiano? Suponha que sua tenha parado de funcionar no momento de seu programa favorito.

sando o método cartesiano tente entender o que aconteceu. Explicite o que você faria em cada eta-pa do método.

Na tirinha, Calvin esforçou-se bastante para con-. vencer o pai de que ele precisaria assistir à por mais horas. ocê se considera um “bom argumen-tador” como Calvin foi nessa situação? Por quê?

s uest es a referem se s p inas 1 e 1 .

dentifique em cada item o que é . axioma, teorema, conceito primiti o e conceito deri ado.a) Conjunto, elemento e pertinência.b) Dois conjuntos são iguais se e somente se eles

têm os mesmo elementos.c) .d) Os elementos do conjunto união são todos

os que pertencem ao conjunto ou todos que pertencem ao conjunto .

Qual é a importância das demonstraç es em Ma-. temática?

Carlos utilizou um método aritmético para resolver . um problema proposto pela professora de geome-tria. E Alberto utilizou outro método.

roblema Em um triângulo isósceles, um dos ângulos mede . Qual é a medida dos outros dois ângulos?

esoluç es

ar os er o 1 1 2 1 1 1 4 2 7 2 1 7

R: Os outros ângulos medem 7 cada um.

a) Qual é a principal diferença entre os métodos utilizados por Carlos e Alberto?

b) Esse problema tem outra solução? Qual?

A afirmação “Dois ângulos opostos pelo vértice têm . a mesma medida” pode ser reescrita na forma “Se... (hipótese) então... (tese)”. A afirmação acima ficaria assim reescrita: “Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então têm a mesma medida”. Leia e reescre-va cada afirmação a seguir na forma “se... então...”.a) Em um triângulo isósceles, os ângulos da base

são congruentes.b) No triângulo retângulo, a soma dos quadrados

dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.c) A soma de dois números inteiros ímpares é par.d) O produto de dois números inteiros pares é um

inteiro par.

Leia os problemas a seguir e resolva-os. Procure 1 . prestar atenção aos métodos de raciocínio em-pregados em cada um e em cada estratégia de resolução.a) Quantos números naturais pares é possível es-

crever utilizando todos os algarismos 2, 3 e sem repeti-los?

b) rês amigos, , e , estão em uma reunião de negócios. Cada um está vestindo uma camisa de cor diferente da camisa do outro. As cores das camisas são azul, preta e branca. Eles calçam sa-patos dessas mesmas três cores. Considere as informaç es a seguir.Somente � está com a camisa e os sapatos da mesma cor.Nem a camisa nem os sapatos de � são brancos.

� está com sapatos azuis.Pergunta-se: A camisa de é preta ou branca?

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Exercícios propostos

4. Matemática, informação e tecnologia

A Sociedade da Informação  No século XIX foi a Revolução Industrial que modificou as relações sociais

e de trabalho baseadas num modelo agrário e, mais recentemente, a “revo-lução da informação” vem modificando a estrutura industrial e suas relações sociais. Esse novo modelo de organização está substituindo os processos in-dustriais de controle pela manipulação da informação.

No início dos anos 70 do século XX dois sociólogos, um norte-americano, Daniel Bell, e outro francês, Alain Touraine, lançaram as primeiras ideias so-bre Sociedade da Informação, fundamentadas em tecnologias de informação e comunicação. Tratam das influências tecnológicas nas relações de poder, e apontam a informação como centro da organização social contemporânea. A grande diferença é que, na Sociedade da Informação, cada indivíduo ou orga-nização dispõe de uma grande capacidade de acessar e trocar conhecimento.

A disponibilidade de novos meios tecnológicos provoca alterações no comportamento das pessoas. Hoje se faz uso das novas tecnologias a todo o momento: nos caixas eletrônicos, no telefone celular, no fax, em sistemas de vigilância, no correio eletrônico e na internet. Mas não é a tecnologia, por si só, o elemento fundamental nessas mudanças. O mais significativo é a trans-formação causada na sociedade e no comportamento humano pelo armaze-namento, processamento e circulação da informação.

Matemática e computação  Como entra a Matemática nesta história? Os computadores têm um papel

fundamental no armazenamento, processamento e circulação das informa-ções e, por isso, é um dos protagonistas desta história. A Matemática e a com-putação têm uma relação de simbiose e caminham juntas nesse processo.

Os avanços na informática propiciam novos instrumentos para a amplia-ção do conhecimento matemático, que, por sua vez, aumenta as possibilida-des de desenvolvimento de novos softwares e recursos empregados na com-putação. O computador é, sem dúvida, uma importante ferramenta para os matemáticos. Além de reduzir significativamente o tempo e o esforço gasto em cálculos, tem contribuído para automatizar experiências, tornando-se um instrumento insubstituível para gerar, tratar e analisar dados.

O computador e a Matemática constituem um poderoso sistema fortemen-te unido. Assim como os computadores trazem novas oportunidades à Mate-mática, também é a Matemática que os torna incrivelmente eficazes, produ-zindo resultados que anteriormente seriam impossíveis e originando ideias até aqui nunca imaginadas.

Cite dois fatos do cotidiano que evidenciam a gran-11. de circulação de informaç es na sociedade con-temporânea.

Descreva algumas características da Sociedade da 12. nformação.

Explique a relação entre a Matemática e a Socieda-13. de da nformação.

Explique como a Matemática tem contribuído para 14. a evolução da informática.

Leia o trecho a seguir.1 .

O computador só acelera aquilo que é criado pela mente humana. Ele pode processar, em al-guns minutos, aquilo que exigia alguns dias de cálculo manual.

Cite outras aplicaç es do computador na Matemá-tica, além da descrita acima.

Pesquise sobre algumas teorias matemáticas cujas 1 . investigaç es e comprovaç es só foram possíveis com a utilização do computador.

olossus o precursor do computador di ital

O computador surgiu com `as pesquisas do matemático britânico Alan uring, que projetou uma máquina teórica capaz de realizar operaç es computacionais de acordo com um sistema formal de símbolos. oi durante a Segunda uerra Mundial que uring de fato desenvolveu o Colossus, um computador capaz de decifrar mensagens transmitidas em códigos que mudavam frequentemente.

Os trabalhos de uring tornaram possível a construção dos computadores digitais como os que conhecemos atualmente.

olossus, 1 3, computador britânico projetado para criptografar códigos ultrassecretos.

m pouco de ist ria

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Matemática: uma visão geral1

Hoje em dia, muitos produtos são identificados com um código numérico. O progresso da tecnologia, que tornou relativamente baratos e acessíveis aparelhos de leitura óptica e computadores, tornou também o uso desse tipo de códigos bastante frequente.

Por exemplo, os produtos que com-pramos num super-mercado estão iden-tificados por um có-digo de barras, como o que mostramos na figura [ao lado] não é mais do que um número, [associado] ao produto para sua identificação, escrito de forma a permitir uma leitu-ra rápida no caixa. Note que, imediatamente abaixo das barras, aparece o mesmo número escrito em algarismos correntes, de forma que o leitor humano também possa ler o número.

[…] Algumas vezes acontece que, ao passar um pro-duto pela leitora óptica (por exemplo, quando a embala-gem está úmida ou enrugada), esta não consegue reali-zar a leitura. O que vemos então é que a pessoa que está no caixa tenta passar o produto em sentido contrário, ou inverte o produto, de modo que o código de barras fi-

que de cabeça para baixo, e tenta passá-lo mais uma vez. Se nem assim dá certo, então ela [lê e digita o código.]

Naturalmente, essas atitudes sugerem algumas per-guntas. Em primeiro lugar, uma vez que o desenho das barras é totalmente simétrico para a máquina, que o lê usando um feixe de luz transversal, ao passá-lo “de ponta-cabeça” ela não deveria ler o número na ordem contrária? E, o que é pior, o operador do caixa, ao digitar o número rapidamente, não poderia cometer um erro e nós acabarmos pagando por um produto muito mais caro que aquele que estamos comprando?

Na verdade, [na prática], isso não ocorre. Tanto quando lido numa ordem, como na ordem contrária, o código sempre é interpretado de forma correta. Mais ainda, quando o operador comete algum erro de digita-ção — e todos nós já vimos isso acontecer alguma vez —, a máquina simplesmente emite um som, para avisar que houve um erro! [Embora exista uma remotíssima probabilidade de que o erro do operador possa não ser detectado, já que o sistema utilizado não é absoluta-mente infalível.]

MILIES, César Polcino. A Matemática dos códigos de barras. Revista do Professor de Matemática, n. 65. São Paulo, IME-USP, maio 2008. p. 46-47. Disponível em: <http://www.rpm.org.br/novo/home.htm>. Acesso em: 13 nov. 2008.

Matemática e tecnologia  Em setores como indústria, medicina, administração, comércio, finanças,

serviços e engenharia, equipes multidisciplinares trabalham conjuntamente em projetos que envolvem tecnologia. A Matemática está presente em grande parte desses projetos. Para ilustrar a relação da Matemática com as tecnolo-gias considere o exemplo do código de barras apresentado no início do capí-tulo. Leia o artigo a seguir.

Veja quanta matemática está envolvida nessa situação. Primeiro, o códi-go de barras representa um número, que representa determinado produto, o que remete à “matematização” do mundo real. Além disso, é utilizado o con-ceito de função, que associa cada produto ao número representado pelas bar-ras. E, por fim, a simetria existente na representação das barras paralelas, que possibilita a leitura desse código mesmo “de ponta-cabeça”.

Nesse exemplo simples é possível observar quanta matemática há além dessa etiqueta com código de barras.

Exercícios propostos

Quais projetos podem ser citados para exemplificar 1 . a relação da tecnologia com a Matemática?

s h 1min da manhã do dia 2 de junho de 1 7 1 . foi realizada a primeira compra de um produto com código de barras. A utilização do código de barras facilitou o processo de compra de produtos em es-tabelecimentos comerciais? ustifique.

Nos códigos de barras, os três primeiros dígitos re-1 . presentam o prefixo da organização responsável por controlar e licenciar a numeração no país. No

rasil, essa organização é a S1 rasil. dentifique em algum produto nacional quais são esses três primeiros dígitos.

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Exercícios propostos

O texto apresenta duas situaç es em que a locali-2 . zação geográfica de diferentes povos pode gerar diferentes respostas para um mesmo problema. Quais são essas duas situaç es?

O sistema de numeração romano era bastante di-21. ferente do atual sistema indo-arábico. Cite pelo menos duas diferenças entre esses dois modos de conceber um sistema de numeração.

Suponha que um pari o bororo tenha duas cama-22. das de penas: uma mais curta sobreposta a outra mais longa. As cores possíveis das penas são: ver-de, amarelo, azul e vermelho. Quantos pari os bo-roros diferentes é possível existir usando-se duas cores distintas, uma para cada camada de penas?

O sistema de contagem dos mundurucus mostra 23. que eles não têm necessidade de contar além de cinco. A matemática que se aprende na escola, que é fruto da cultura ocidental, mostra que é possível criar um sistema de numeração de base cinco.

a) se a noção de quantidade até cinco, a noção de “agrupamentos de cinco”, e outros conhecimen-tos a respeito de números e sistemas de nume-ração, para explicar por que é possível criar um sistema de numeração de base cinco.

b) Escreva um texto apresentando o sistema de nu-meração de base cinco, especificando como se-riam feitas as operaç es de adição, subtração, multiplicação e divisão nesse sistema.

5. Matemática e culturaO texto a seguir apresenta algumas ideias a respeito da etnomatemática.

A Matemática é quase tão antiga quanto a espécie humana. Bem antes da invenção dos números, os primeiros homens tiveram de desenvolver méto-dos para resolver problemas cotidianos, como localizar-se no tempo e no es-paço, e para tentar descrever e explicar o mundo físico. Eles criaram maneiras de comparar, classificar e ordenar, medir, quantificar, inferir — elementos fundamentais que a tradição cultural ocidental nomeia matemática. […]

Desde tempos pré-históricos […], os humanos acumulam conhecimen-tos para responder a suas necessidades e seus desejos. Essas respostas de-pendiam, em grande medida, das regiões e das culturas. Assim, os povos das florestas elaboraram meios de medir terrenos diferentes daqueles dos povos das pradarias, e, portanto desenvolveram geo-metrias (medidas da terra) diferentes. Aqueles que viviam nas proximidades da linha do equa-dor percebiam dias e noites de mesma duração durante todo o ano, en-quanto os que viviam além dos trópicos eram testemunhas do efeito das estações sobre a duração dos dias e das noites. Além disso, os calendários e, portanto, os meios de organização do trabalho, da urbanização e de nume-rosas outras práticas, se distinguiram conforme as regiões.

No final, diferenciaram-se tanto as estratégias de organização e de quantificação como os sistemas de numeração. Por essa razão, o sistema de contagem dos índios mundurucus, no coração do Brasil, nos mostra que não é necessário saber contar além de cinco para viver em harmonia com o ambiente. Matemáticas como essa, que surgiram em contextos naturais e específicos, são o objeto de estudo dos etnomatemáticos.D'AMBROSIO, Ubiratan. A volta ao mundo em 80 matemáticas. Scientific American Brasil. Etnomatemática, edição especial n. 11. São Paulo, Duetto, 2005. p. 6.

A etnomatemática  A etnomatemática é um campo do conhecimento humano que estuda a

Matemática levando em conta aspectos históricos, culturais e antropológicos da Matemática concebida e usada no dia a dia de diferentes povos, diferentes culturas, grupos familiares, ancestrais, etc.

Os etnomatemáticos admitem que existe “mais do que uma matemática”, assim como há mais de uma religião, mais de um sistema de valores e mais de uma forma de conceber, explicar e representar a realidade. O pensamento ma-temático encontrou problemas e respostas diversos para diferentes ambientes.

Saiba mais

pari o bororo

Os pari os são um `ornamento usado pelos bororos, indígenas que vivem no estado de Mato

rosso. rata-se de uma peça que lembra um diadema de penas. odos os clãs possuem um determinado número de pari os privativos. O tipo de ave do qual as penas foram usadas serve para identificar o clã a que pertence o usuário da peça.

Essas peças representam um modo de linguagem visual e registram dados qualitativos e quantitativos.

Pari o bororo, Mato rosso.

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Matemática tem história

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berço da atem tica demonstrati aOs últimos séculos do segundo milênio a.C. testemunha-

ram muitas mudanças econômicas e políticas. Algumas civi-lizações desapareceram, o poder do Egito e da Babilônia de-clinou, e outros povos, especialmente os hebreus, os assírios, os fenícios e os gregos, passaram ao primeiro plano. […]

O aparecimento dessa nova civilização se deu nas cidades comerciais espalhadas ao longo das costas da Ásia Menor e, mais tarde, na parte continental da Grécia, na Sicília e no li-toral da Itália. A visão estática do Oriente antigo sobre as coi-sas tornou-se insustentável e, numa atmosfera de racionalis-mo crescente, o homem começou a indagar como e por quê.

Pela primeira vez na Matemática, como em outros cam-pos, o homem começou a formular questões fundamentais como “Por que os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais?” e “Por que o diâmetro de um círculo divide esse círculo ao meio?”. Os processos empíricos do Oriente anti-go, suficientes o bastante para responder questões na forma de como, não mais bastavam para as indagações mais cien-tíficas na forma de por quê. […] a feição dedutiva da Mate-mática, […] sua característica fundamental, passou ao pri-meiro plano. Assim, a Matemática, no sentido moderno da palavra, nasceu nessa atmosfera de racionalismo e em uma das novas cidades comerciais localizadas na costa oeste da Ásia Menor. Segundo a tradição, a geometria demonstrativa começou com Tales de Mileto, um dos “sete sábios” da An-tiguidade, durante a primeira metade do sexto século a.C.

Segundo parece, Tales começou sua vida como mercador, tornando-se rico o bastante para dedicar a parte final de sua vida ao estudo e a algumas viagens. Diz-se que ele viveu por algum tempo no Egito, e que desper-tou admiração ao calcular a altura de uma pirâmide por meio da sombra. De volta a Mileto ganhou reputação, graças a seu gênio versátil, de estadista, conselheiro, engenheiro, homem de negócios, filósofo, matemático e astrônomo. Tales é o primeiro personagem conhecido a quem se associam descobertas matemáticas. Em geometria, creditam-se a ele os seguintes resultados elementares:

1. Qual foi o berço da Matemática demonstrativa?

2. Com o racionalismo crescente, o homem passou a questionar o como e o porquê dos fatos. Quais as conse-quências desse questionamento?

Sobre o texto

O valor desses resultados não deve ser apreciado por eles mesmos, mas antes pela crença de que Tales obteve-os mediante alguns raciocínios lógicos e não pela intuição ou experimentalmente.EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. Campinas, SP: Ed. Unicamp, 2004. p. 94-95.

1. Qualquer diâmetro efetua a bissecção do círculo em que é traçado.

2. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

3. ngulos opostos pelo vértice são congruentes.

4. Se dois triângulos têm dois ângulos e um lado iguais, então esses triângulos são congruentes.

. m ângulo inscrito num semicírculo é reto.

Ábidos

Ílion (Troia)

Mitilene

Éfeso

Mileto

Samos

Quios

Mar Egeu

38°N

28°L

Icária

Lesbos

380

km

E E

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23

Matemática e ARTE

BelezaPoincaré (séculos XIX-XX), um dos maiores matemá-

ticos da história, afirmou que o elemento dominante na criatividade matemática é mais estético do que lógico. E G. H. Hardy, matemático inglês do final do século XIX e início do século XX, escreveu: “As formas do matemá-tico, como as do pintor ou do poeta, devem ser belas...”. O físico teórico P. A. M. Dirac (século XX) ressaltou que é mais importante obter equações belas do que vê-las concordar com as experiências.

E para mostrar como é antigo o fascínio dos mate-máticos e cientistas pela estética, Aristóteles (século IV a.C.), em “Metafísica”, escreveu: “As ciências mate-máticas, em particular, exibem ordem, simetria e limita-ção; e estas são as maiores formas do belo”.

Da mesma forma que consideramos belo O pensador de Rodin ou a arquitetura de Niemeyer, temos grande dificuldade de dizer por que existem poucas descrições formais sobre o funcionamento dos parâmetros estéti-cos, principalmente nas ciências em geral e na Matemá-tica em particular.

A produção matemática não comenta o aspecto es-tético de seus tópicos e, no entanto, ele está presente na própria construção e na seleção do que foi apresen-tado. Do mesmo modo que uma escultura de Aleija-dinho ou uma pintura de Volpi, Djanira ou de Tomie Ohtake não apresentam uma descrição verbal de suas belezas únicas, o teorema (belo) com que Euclides provou, no século III a.C., que o conjunto dos núme-ros primos é infinito, tem sua beleza apreciada nestes últimos 23 séculos.

Sobre o texto

1. Qual é o significado da palavra formas na frase “As formas do matemático, como as do pintor ou do poeta, devem ser belas...”?

2. Observe a imagem de O pensador e expresse sua opinião quanto a alguns critérios para avaliar o belo como ordem, equilíbrio, volume, simetria, textura, limitação, etc. Além disso, você pode pensar em critérios mais subjetivos como criatividade, originalidade, emoção, etc.

3. O texto afirma que existem poucos parâmetros para descrever as formas do belo em Matemática. No segundo parágrafo há uma frase de Aristóteles que apresenta alguns critérios para a forma do belo em Matemática. Cite um fato matemático que, segundo sua opinião, contempla esses critérios apontados por Aristóteles.

4. Aprende-se o sentimento de estética, ou seja, a beleza, em Matemática à medida que se aprende cada vez mais matemática. Dê sua opinião a respeito dessa ideia.

O sentimento de estética não está descrito, mas aprende-se a senti-lo à medida que se compreende a de-monstração.

Os matemáticos profissionais e boa parte dos usuá-rios realçam sempre a importância da estética.Disponível em: <http://www.tvcultura.com.br/artematematica/beleza.html>. Acesso em: 13 jan. 2009.

Museu Oscar Niemeyer, Curitiba, PR.

O pensador, de Auguste Rodin.

Demonstração de Euclides para a existência de infinitos números primos.

Admitindo-se que o conjunto dos números primos seja finito, deve existir um número p que é o último elemento do conjunto dos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, ... , p.Sejam:N um número composto formado pelo produto de to-dos os números primos: N 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · ... · pM um número maior que N formado pelo produto de todos os números primos mais um, de tal forma queM N 1, ou seja, M 2(3 5 7 11 13 17 ... p) 1, assim M é um número ímpar quando dividido por 2 dá resto 1; quan-do dividido por 3, dá resto 1. Da mesma maneira M não pode ser múltiplo de 5, 7, 11, 13, 17, enfim, não é divisível por nenhum número primo menor ou igual a p. Logo M é um número primo maior que p. Mas isso é uma con-tradição, pois Euclides supôs que p seria o último nú-mero primo.Assim, Euclides demonstra que o conjunto dos núme-ros primos é infinito.

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