O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

1

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICACADERNO PEDAGÓGICO

VALDECI NUNES DE LIMA

Produção didático-pedagógica: caderno pedagógico para implementação pedagógica no Ensino Médio, na disciplina de Matemática, com o tema de intervenção: Análise dos Erros dos alunos como Estratégia Metodológica para a Construção do Conhecimento Matemático, apresentado à Coordenação DO Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, da Secretaria de Estado da Educação do Paraná, em convênio com a Universidade Estadual de Maringá – UEM, como requisito para o desenvolvimento das atividades propostas para o biênio 2009/2010, sob a orientação da Profª Drª Clélia Maria Ignatius Nogueira.

MARINGÁ – PR 2010

2

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃOUNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA CADERNO PEDAGÓGICO

DADOS DE IDENTIFICAÇÃO

Professor PDE: Valdeci Nunes de Lima

Área PDE: Matemática

NRE: Maringá

Professora Orientadora: Dra Clélia Maria Ignatius Nogueira

IES vinculada: Universidade Estadual de Maringá

Escola de Implementação: Colégio Estadual Dr. Gastão Vidigal Ensino

Fundamental e Médio

Público objeto da Implementação: Alunos do 2º ano do Ensino Médio

TEMA DO ESTUDO

Análise do Erro Como estratégia para a Aprendizagem

TÍTULO

Análise dos Erros dos Alunos como Estratégia Metodológica para a Construção

do Conhecimento Matemático

3

Página

DADOS DE IDENTIFICAÇÃO ....................................................................... 3

INTRODUÇÃO .......................................................................................... 5

OBJETIVO ................................................................................................ 7

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ...................................................................... 7

PROCEDIMENTOS E INSTRUMENTOS .......................................................... 9

ATIVIDADES DE SONDAGEM 1: ................................................................ 10

ATIVIDADES DE SONDAGEM 2: ................................................................ 11

ATIVIDADES DE DESCONTRAÇÃO: ............................................................ 15

PROBLEMAS E DESAFIOS MATEMÁTICOS: ................................................. 18

FORMAS GEOMÉTRICAS .......................................................................... 25

CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................... 32

BIBLIOGRAFIAS ..................................................................................... 33

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ANÁLISE DO ERRO COMO ESTRATÉGIA PARA A APRENDIZAGEM

Valdeci Nunes de Lima1

Clélia Maria Ignatius Nogueira2

INTRODUÇÃO

Desde os tempos em que cursei o ensino médio, sempre tive preferência

pelas disciplinas exatas, elas me desafiavam, porém foi na faculdade que

aprendi a gostar da Matemática. Ali percebi como os números as equações e

as propriedades se encaixavam de uma forma num contexto que sua leitura era

cheia de significados e, mais, que era possível expressar e desenvolver idéias

a partir de uma combinação de símbolos.

Ao me tornar professora de Matemática comecei a participar de

encontros, seminários, simpósios, congressos enfim, aproveitava todas as

oportunidades para discutir sobre Matemática e a forma de atuar

pedagogicamente com ela.

Quando comecei a dar aulas, tinha uma meta: Que os alunos pudessem

perceber que é possível aprender Matemática entendendo o que se está

aprendendo, sem decorar fórmulas nem seguir modelos prontos. O que eu não

sabia, é que esta era uma tarefa muito difícil. Mas não desisti e assim, com a

oportunidade proporcionada pela SEED, através do PDE, me dispus a

investigar acerca de diferentes estratégias metodológicas que pudessem

favorecer o alcance de minha antiga meta. Uma certeza eu tinha, para poder

propor estratégias que promovessem uma aprendizagem com compreensão da

Matemática pelos meus alunos, era preciso compreender, antes de mais nada,

os seus erros.

O foco deste trabalho é compreender o que leva os alunos que estão

cursando o Ensino Médio a cometer erros em conceitos estudados no Ensino

Fundamental e analisar as causas desses erros, pois o erro, quando frequente,

pode levar o aluno ao insucesso na Matemática.

Dependendo do conteúdo trabalhado, é possível saber, com antecedência e

fundamentada essencialmente na prática de sala de aula, o ponto exato o

1 Profª de Matemática – Professora do Ensino Fundamental e Médio, da Secretaria do Estado de Educação do Paraná – Professora do Quadro Próprio do Magistério. E-mail: nunesdelima@seed.pr.gov.br

2 Professora Drª do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá. E-mail: vocleia@gmail.com

5

ponto onde o aluno irá errar. Se for possível prever alguns tipos de erro, por

que não mudar a forma de ensinar para que o erro não ocorra? Como é

possível identificar as dificuldades e fazê-lo superá-las?

O estudo será efetivado por meio de instrumento projetado

especificamente com a finalidade de tentar detectar as causas potenciais de

erros cometidos pelos alunos, especificamente do segundo ano do Ensino

Médio.

O educador deve estimular o aluno para que ele pense, raciocine, crie,

relacione ideias e tenha autonomia, dado que a visão idealista deixa de

oferecer ao educador e ao educando uma série de elementos indispensáveis à

compreensão do processo científico. (Dante, 2008).

Sendo assim, a importância deste trabalho, deve-se ao entendimento de

que uma educação matemática comprometida com a melhoria da competência

matemática dos alunos passa pela efetiva compreensão dos caminhos que os

alunos trilham. Para isso, serão utilizados tanto os seus registros escritos ao

tentarem resolver as tarefas apresentadas, quanto suas argumentações orais,

tendo como perspectiva o diálogo sobre as investigações que o professor e

alunos fazem a respeito do conhecimento matemático durante o processo de

aprender e ensinar.

A análise de erro pode ser utilizada tanto pelo professor, para

redirecionar a sua prática, quanto para estimular e desafiar os alunos a não

desistirem da Matemática fazendo com que estes enxerguem o erro não como

fracasso, mas sim como uma primeira tentativa de se chegar ao acerto.

Objetivando desenvolver uma prática que venha ao encontro das

necessidades dos alunos, em qualquer nível de ensino e contribuir para a

construção de novos patamares de conhecimento.

O presente material que se caracteriza como Produção Didático

Pedagógica é uma das atividades previstas no Plano integrado de formação

continuada - eixo atividades de integração teórico-práticas do Programa de

Desenvolvimento da SEED do Estado do Paraná, mas se constituiu em parte

importante do percurso da busca por uma prática pedagógica que satisfaça

tanto a quem ensina quanto a quem aprende Matemática.

É uma via de concretização do projeto de intervenção Pedagógica

elaborado pelo Professor PDE no primeiro ano do programa, objetivando ser

uma das estratégias a contribuir para enfrentar os problemas diagnosticados na

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escola de atuação do Professor PDE e será aplicado no segundo ano do

programa.

Este material apresenta uma diversidade de exercícios matemáticos

envolvendo as diferentes linguagens da Matemática: aritmética, geometria,

álgebra, gráficos, resolução e análise de problemas.

A intervenção se sustentará em Estudo de Caso no qual analisamos os

erros produzidos pelos alunos e suas dificuldades de aprendizagem.

OBJETIVO

Produção de material para subsidiar professores que eventualmente

gostariam de reproduzir a intervenção.

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FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Aprender Matemática é, entre outras coisas, aprender a usar suas

diferentes linguagens- aritmética, geométrica, algébrica, gráfica ou todas as

outras que expressam o pensamento matemático. Nos últimos tempos, tem

sido marcante a discussão sobre o papel que o erro desempenha na formação

do conhecimento em Educação. A história da ciência reconhece inúmeros

casos em que os erros sinalizaram a correção do procedimento usado pelos

pesquisadores. O mesmo se deu com matemática enquanto ciência. Muitos

séculos foram necessários para que se consolidassem suas estruturas,

possibilitando novas descobertas até os dias atuais. O erro é tratado como uma

decorrência transitória da busca pela verdade assim, está incluído no processo

de construção do conhecimento. A natureza das atividades realizadas pelos

alunos na sala de aula constitui um dos fatores que podem influenciar de forma

decisiva o desenvolvimento da aprendizagem da Matemática.

Quanto mais o aluno tiver oportunidades de refletir, analisar sobre o que e o

porquê está aprendendo determinado assunto, mais ele será sujeito de sua

aprendizagem, sendo também crítico e consciente do seu saber. Nesse

processo o professor é um elemento essencial, pois a sua mediação é

fundamental e determinante para a elaboração do conhecimento matemático

pelo aluno.

A Matemática tem linguagem própria, é como se aprendêssemos a falar,

a ler e a nos comunicar em outra língua, como diz D Ambrósio (1986)

[...] o fato de a Matemática ser uma linguagem (mais fina e

precisa que a linguagem natural) que permite ao homem

comunicar-se sobre fenômenos naturais, consequentemente, ela

se desenvolve no curso da história da humanidade desde os

“sons” mais elementares, e portanto intimamente ligada ao

contexto sociocultural em que se desenvolve – por isso falamos

em matemática grega, matemática hindu, matemática pré-

colombiana (P.35)

Não compreendendo o significado de uma regra, o aluno aplica um

mecanismo de forma indiscriminada, cometendo erros, ou ele tenta buscar um

padrão ou modelo a ser seguido.

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No ensino Médio, os alunos cometem erros sistemáticos em tópicos

específicos como Progressões Aritméticas e Geométricas, Sistemas Lineares,

Análise Combinatória, Trigonometria, entre outros. Comumente, os alunos

apresentam também dificuldades no desenvolvimento de questões relativas à

Matemática básica.

Discutir os erros cometidos pelos alunos e mostrar a importância de

seus significados corretos, contribuem para o desenvolvimento do aluno e do

pensamento matemático que está sendo formado.

Cury (2004), nos fala da forma simplista como o aluno coloca a questão

do erro.

Um erro que parece pequeno e sem importância aos olhos dos

alunos, como é o erro do sinal, pode trazer inúmeras

dificuldades embutidas, em operações elementares ou na

aplicação de fórmulas específicas. Entender qual é o problema,

discuti-lo com os alunos, partir das respostas para construir

novas perguntas, tudo isso pode esclarecer problemas não

resolvidos que se arrastam, às vezes, desde as séries iniciais

(p.111).

A maneira como nós, professores, lidamos com o erro, tem diferentes

consequências.

Podemos utilizar os erros positivamente, como para discutir uma relação

correta, estabelecendo paralelos, usar como estratégia de aprendizagem para

fazer retomada de conceitos que não foram bem estruturados ou, de maneira

negativa, se o professor reforça o erro, apenas assinalando, o aluno nunca irá

estabelecer uma relação entre o erro e a reconstrução do conceito correto.

De acordo com Cury (1995), os professores agem conforme suas

concepções e crenças sobre a natureza da Matemática.

Um erro do aluno, corrigido por ele mesmo, pode ser mais fecundo para

a aprendizagem do que um acerto imediato, porque a comparação de uma

hipótese falsa e suas consequências fornece novos conhecimentos, e a

comparação entre dois erros dá novas ideias (Piaget, apud Cury, 1995, p.44).

Analisar os vários tipos de erros e os vários motivos de por que eles são

cometidos, poderá modificar a frequência de sua ocorrência.

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Após a resolução dos vários exercícios de diferentes abordagens do

conteúdo matemático, será realizada uma análise qualitativa das informações

coletadas em relação à linguagem, à simbologia e ao pensamento matemático.

PROCEDIMENTOS E INSTRUMENTOS

Este material de apoio tem como objetivo relatar as atividades

propostas, na tentativa de identificar as causas que levam o aluno do Ensino

Médio a cometer erros que estão ligados a conteúdos matemáticos do Ensino

Fundamenta para então sugerir maneiras de construir conceitos por meio

deles.

Os alunos participantes de nosso estudo, num primeiro momento

responderão a um questionário cujas questões estão assim distribuídas:

identificação e questões que envolvem problemas de linguagem, interpretação,

simbologia, regras e representações. Esta abordagem servirá para analisar os

tipos de erro que os alunos cometem e apontar sugestões para melhorar o

ensino da Matemática.

Na segunda parte das atividades serão abordadas várias questões como

prática de investigação do conhecimento num processo reflexivo dentro da

resolução de problemas para uma melhor compreensão dos caminhos que os

alunos trilham, por meio de seus registros, ao tentarem resolver as tarefas

apresentadas.

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1ª PARTE

ATIVIDADES DE SONDAGEM 1:Objetivo:

• Este questionário tem por objetivo conhecer o perfil do aluno e o

sentimento que ele nutre pela Matemática no seu dia a dia.

1) Preencha os dados abaixo:

IdadeSérieSexo F ( ) M ( )Nome da EscolaQual é a sua matéria preferida? Qual a escolaridade do seu pai?Qual a escolaridade da sua mãe?

2) Marque um x no valor que expressa seu grau de concordância com cada

uma das afirmações abaixo. 0 = discordo totalmente; 1 = discordo

parcialmente; 2 = concordo parcialmente; 3 = concordo totalmente.

0 1 2 3Você gosta de estudar.A Matemática desperta o teu interesse.A Matemática deve ser estudada na escola.A Matemática é útil no dia a dia.A Matemática é uma disciplina agradável.A Matemática é difícil.A Matemática estudada em cada série é

utilizada nas séries seguintes.A Matemática é utilizada em outras disciplinas.O pensamento matemático é diferente de

outros tipos de pensamentos.Compreender a linguagem matemática auxilia

no entendimento da própria Matemática.

Conhecer os símbolos matemáticos é

suficiente para se saber Matemática.

ATIVIDADES DE SONDAGEM 2:

Objetivo:

• Esta série de exercícios, que envolve: linguagem, simbologia,

geometria, porcentagem e interpretação, têm por objetivo verificar,

11

que elementos influenciam as possíveis causas que levam o aluno

do ensino médio, a terem um mau desempenho na Matemática.

Conteúdos:

• Números reais

• Geometria

• Álgebra

• Porcentagem

Desenvolvimento:

• Organizar os alunos em equipes de 3 alunos.

• Verificar se todos estão de posse do material listado.

• Solicitar a realização dos procedimentos por cada equipe.,

• Realizar a socialização dos resultados e conclusões obtidas.

1) Em quais casos está correta a aplicação do teorema de Pitágoras?

a) x² = y² + z²

b) a² = b² + c²

c) p² = m² - n²

d) f² = d² . e²

e) t² = v² - u²

f) c² = a² + b²

g) d² = f² - e²

h) m² = p² - n²

i) u² = v² + t²

j) y² = x² + z²

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Nas questões de 2 e 3 coloque entre os parênteses a letra que corresponde ao

seu significado.

2) Associe a cada desenho o seu significado:

a) diâmetro

b) raio

c) setor circular

d) círculo

e) circunferência

3) Associe a cada figura geométrica o seu nome:

a) losango

b) quadrado

c) trapézio

d) hexágono

e) paralelogramo

4) Escreva as frases na linguagem Matemática:

a) Produto de um número por ele mesmo

b) O dobro de um número menos oito

c) O produto do quadrado de um número menos o seu triplo acrescido de 5.

d) A diferença entre o quadrado de um número e o seu dobro.

e) Quatro terços de um número mais o triplo desse número acrescido do

quadrado dele mesmo.

f) A metade de um número mais a terça parte deste número menos 2.

g) O consecutivo de um número.

h) A terça parte de um número aumentado de seu dobro menos o produto

de 5 pela soma do triplo do próprio número menos 3.

i) O quádruplo de um número mais o seu dobro.

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j) O produto entre o quadrado de um número e a diferença da metade

deste número com o seu quíntuplo.

5 ) Na atividade abaixo, você vai ler com bastante atenção cada enunciado e

brincar de caça-palavras no quadro abaixo:

a) Instrumento usado para efetuar medidas.

b) Figura geométrica.

c) Letra grega comumente usada para representar uma raiz.

d) Cateto oposto ao ângulo, dividido pelo cateto adjacente ao ângulo.

e) A maioria dos números primos é...

f) Unidade de medida agrária.

g) Reta que toca uma circunferência em um único ponto.

h) Conjunto de pontos dispostos de forma seqüencial.

i) Conjunto de dez unidades.

j) Quadrilátero que tem os lados opostos paralelos, dois a dois.

k) Números divisíveis por 2.

l) Números divisíveis apenas por 1 e por si mesmos.

D E Z E N A Y T R E D U E R C A I U Y A

Y K P O J H G R R E F I M P A R D E O P

P M U I T P Y T V G O I O N O G I L O P

A D O M I A T R E G U A D L G A R V Y A

P E D X C E B T E D R F T I J L B M P R

P L O M I S U Y B T R C E N R F W J L E

B T S E P R I M O S F R F H R F T N U S

B A H U O M A R G O L E L A R A P E R M

F A D H I P O T E N U S A U J A L P A E

E A T U T E T N E G N A T A S D D E A O

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6) O jogo dos números cruzados é igual às palavras cruzadas, só que com

números:

Horizontais

a) Múltiplo de 36 e 63.

c) Múltiplo de 11.

d) Cubo perfeito.

f) Número cujos dígitos somam 17.

h) O mesmo que a diferença entre c

vertical e c horizontal

j) Número primo.

l) Cubo perfeito.

m) A soma dos dígitos de a vertical.

n) Seis vezes j horizontal.

Verticais

a) Número primo.

b) Número primo resultante de a

horizontal menos a vertical.

c) A soma de c e h horizontal.

horizo e) A soma de f horizontal e i vertical.

g) Número primo.

i) O d horizontal ao contrário.

k) O quadrado de b vertical.

l) Múltiplo de 7.

m) A soma dos dígitos de c vertical.

a b c

d e

f g h I

j K

l m

n

7) Coloque números de 1 a 9 nas casas brancas, de modo que, multiplicados

entre si, tanto na horizontal quanto na vertical, apresentem os resultados que

aparecem no diagrama:

= 70= 48= 108

= 64 = 45 = 126

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Atividades de Descontração:

AGORA VAMOS DESCONTRAIR UM POUCO?

QUE TAL DESCOBRIR O DIA DA SEMANA EM QUE VOCÊ NASCEU?

• Esse passatempo é bastante curioso. Embora exista uma justificativa

matemática, não iremos entrar nesse mérito. Vale só como brincadeira e

é um ótimo exercício de interpretação de texto!

Suponha alguém nascido no dia 30/11/1951 e acompanhe as etapas a

seguir:

1) Calcule quantos anos se passaram desde 1900 até 1951:

1951 – 1900 = 51

2) Calcule quantos 29 de fevereiro existiram depois de 1900. Para isso,

basta dividir por 4 o número obtido na 1ª etapa, sem considerar o resto

da divisão:

51÷4 = 12

3) Considere o dia do nascimento, que neste caso é 30.

4) Considerando o mês do nascimento, obtenha o número associado a ele,

que está na tabela abaixo:

JANEIRO 0FEVEREIRO 3

MARÇO 3ABRIL 6MAIO 1

JUNHO 4JULHO 6

AGOSTO 6SETEMBRO 5OUTUBRO 0

NOVEMBRO 3DEZEMBRO 5

No nosso caso, o mês é novembro. Pela tabela, obtemos o número 3.

5) Da soma dos números obtidos nas quatro primeiras etapas, obtenha o

resto da divisão por 7:

51 + 12 + 30 + 3 = 96 96÷7=13 Resta=5

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6) Procure na tabela abaixo o número obtido na 5ª etapa e terá o dia da

semana de quem nasceu em 30/11/1951:

Domingo 0Segunda 1

Terça 2Quarta 3Quinta 4Sexta 5

Sábado 6

Portanto, 30/11/51 foi uma 6ª feira.

E VOCÊ. EM QUE DIA DA SEMANA NASCEU?

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TESTE DE ESPERTEZA

1. Uma pessoa vendeu duas bicicletas por R$ 600,00 cada uma. Numa venda teve um prejuízo de 20% e noutra um lucro de 20%. No total:Teve lucroTeve prejuízoNão teve lucro nem prejuízo

2. Se fossem duas horas mais tarde, faltaria para meia-noite a metade do que faltaria se fosse uma hora mais tarde. Que horas são?22 horas21 horas20 horas

3. Alguns meses tem 31 dias; outros 30, quantos tem 28?UmNenhum, em ano bissextoTodos

4. Quantos noves (9) existem entre 0 e 100?201110

5. Um frasco contém um casal de um tipo de insetos. Esses insetos reproduzem-se e o seu número dobra todos os dias. Em 50 dias o frasco está cheio. Em que dia o frasco esteve pela metade? 24 49256. Que altura tem uma criança que é 2 metros menor que uma árvore de altura igual ao triplo da altura da criança?1,50 m1,20 m1,00 m

7. Temos 4 correntes de 3 elos cada uma. Queremos unir as 4 para formar uma corrente fechada. Abrir um elo custa R$ 20,00 e fechar custa R$ 30,00. Quanto devemos gastar?R$ 100,00R$ 150,00R$ 200,00

18

8. Um mendigo tem 25 bitucas e necessita de 5 bitucas para formar um cigarro inteiro. Quantos cigarros poderá fumar?654

9. Quantas vogais há entre P e T? UmaDuasNenhuma

10. Uma lesma deve subir um poste de 10,00 metros de altura. Durante o dia sobe 2,00 metros e à noite desce 1,00 metro. Em quantos dias atingirá o topo do poste?11109

2ª PARTE

PROBLEMAS E DESAFIOS MATEMÁTICOS:Conteúdos e aspectos a serem desenvolvidos:

• Números e Álgebra

• Área e perímetro do retângulo

• Funções

• Medidas de comprimento

• A ação de formular hipóteses, sugerir idéias

• Porcentagem

Objetivo:

• Analisar a forma como o aluno irá solucionar o problema, descobrir

suas estratégias, detectar dificuldades e tecer hipóteses sobre os

erros, utilizando-se da linguagem oral, de registros informais e da

linguagem matemática.

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Objetivos Específicos:

• Analisar a habilidade do aluno para calcular áreas de

superfícies triangulares.

• Analisar o conhecimento do aluno em cálculo básico de

medidas.

• Analisar o conhecimento do aluno de como usar a evidência

matemática para comprovar uma afirmação.

• Analisar a compreensão quanto às propriedades dos

triângulos.

Desenvolvimento:

• Esta etapa é constituída de vários tipos de problemas, subdivididos em

itens. Na primeira fase o aluno deve apresentar o raciocínio usado de

forma clara, indicando todos os cálculos realizados e as justificativas que

julgar necessária. Não apagar os rascunhos.

• Distribuir os alunos em pequenos grupos de dois ou três.

• Os grupos deverão resolver os problemas propostos, elaborando

estratégias, selecionando procedimentos e justificando as respostas

encontradas sem o auxílio do professor. Este, ao passar pelos grupos

questionará sobre as maneiras que estiverem desenvolvendo o

problema, estimulando seus alunos a comunicarem as estratégias

utilizadas.

Alguns problemas que serão apresentados, fizeram parte de provas da OBMEP

(Olimpíada Brasileira de Matemática da Escola Pública), do PISA

(Programamme for International Student Assessment), e AVA 2002, e, que

serão aplicados durante a intervenção pedagógica na análise de erros.

1) (UFSM) Três crianças estavam brincando na biblioteca da escola e

resolveram fazer pilhas de mesma altura, com livros, conforme a figura.

A mais organizada fez a pilha A, e as outras duas fizeram as pilhas B e

C.

20

Considerando-se que todos os livros têm a mesma área de capa e que as

pilhas têm a mesma altura pode-se afirmar que:

a) O volume da pilha A é maior do que o volume da pilha C.

b) Os volumes das pilhas B e C são iguais e maiores do que o volume da

pilha A.

c) O volume da pilha A é menor que o volume da pilha B que é menor do

que o volume da pilha C.

d) Os volumes das três pilhas são iguais.

e) Não existem dados suficientes no problema para decidir sobre os

volumes e compará-los.

2) (ENEM – 1998) Uma pesquisa de opinião para avaliar os níveis de

audiência de alguns canais de televisão, entre 20h e 21h, durante uma

determinada noite. Os resultados obtidos estão representados no gráfico

de colunas abaixo:

21

A porcentagem de entrevistados que declararam estar assistindo à TV B é

aproximadamente igual a:

a) 13%

b) 20%

c) 22%

d) 27%

e) 30%

O número de residências atingidas nessa pesquisa foi aproximadamente de:

a) 100

b) 135

c) 200

d) 150

e) 220

f) 310

3) A tabela abaixo apresenta o preço de embalagens com diferentes

quantidades de xampu. Qual embalagem de xampu é mais vantajosa de ser

comprada? Justifique sua resposta_________________________

500 ml 300 ml 200 ml

Quantidade de xampu PREÇO (em reais)200 ml 3,10300 ml 4,20500 ml 5,30

22

4) Para encorajar seu filho a estudar, um pai fez a seguinte proposta:

- Filho, você ganha R$ 4,00 para cada questão resolvida corretamente e me

dá R$ 2,50 para cada questão incorreta.

Depois de 26 questões resolvidas, nenhum devia nada ao outro.

Quantas questões o garoto acertou?

5) Um grupo de amigos resolveu juntar dinheiro para uma viagem. Todos

aplicaram a mesma quantia, durante o mesmo período. Bruno conseguiu elevar

à quarta potência seu capital. Bárbara elevou a quinta potência o que aplicara.

Claudio triplicou sua quantia. Marcelo apenas dobrou e Flavia empatou seu

capital com o de Bruno.

Quanto eles conseguiram arrecadar juntos?

6) José está colocando cerca em um pequeno espaço de terra. Ele fez a cerca

com 10 metros de largura por 30 metros de comprimento. A altura da cerca é

de 2 metros.

a) Qual é o perímetro da cerca feita por José?

b) Qual é a área deste cercado?

c) Se José estocar capim seco dentro deste cercado, qual é o volume de capim

seco que ele poderá colocar até a altura da cerca?

23

d) Se José comprou 250 metros de madeira para fazer a cerca e pagou três

reais o metro. Quanto José pagou pelos 250 metros de madeira?

e) Se José construir mais seis cercados iguais a esse e colocar as suas 252

ovelhas distribuídas igualmente nos cercados, quantas ovelhas José deverá

colocar em cada cercado?

7) Mostre todas as maneiras pelas quais a mesada de Maria, de 10 reais, pode

ser paga com notas de um real e cinco reais. E quantas maneiras de dois reais

e de dez reais? Preencha as tabela

s abaixo:

A ZOOLÓGICA:

Na época em que os bichos falavam, numa floresta viviam dona Onça e dona

Hiena, comadres inseparáveis, com características peculiares. Dona Hiena

mente às segundas, terças e quartas-feiras; dona Onça mente às quintas,

sextas e sábados. Nos dias em não mentem, elas dizem a verdade. Certa vez,

num encontro, dona Hiena e dona Onça conversaram:

- Olá. Dona Onça! Ontem eu menti – disse a dona Hiena.

- Olá. Dona Hiena! Eu também menti ontem – retrucou dona Onça.

24

8) Em que dia aconteceu esse encontro?

9) Em uma festa de aniversário, Leda resolveu cobrar multa de quem chegasse

atrasado. A multa seria progressiva: quem se atrasasse mais, pagaria mais. A

cada atraso, a multa seria o quadrado do valor da multa anterior.

a) Se a multa inicial fosse de R$

3,00, quanto pagaria a quarta

pessoa atrasada?

b) E se a multa inicial fosse de R$

1,00?

c) E se a multa inicial fosse de R$

0,50?

10) “Vidigal, que amava Alba, que amava Ezequiel, que amava Marcela, que

amava...” A raiz quadrada da soma de 13 com a raiz quadrada da soma de 7

25

com a raiz quadrada da soma de 3 com a raiz quadrada da soma de 1 com a

raiz quadrada de um número é igual a 4. Que número é esse?

26

3ª PARTE:

FORMAS GEOMÉTRICAS

Objetivos:

• Desenvolver o raciocínio analítico.

• Compreender e organizar informações

• Identificar alternativas relevantes e estabelecer relações entre elas.

• Aplicar ou criar um sistema de representação que satisfaça todas

as condições apresentadas nos problemas

• Desenvolver atitudes de cooperação e respeito mútuo.

Desenvolvimento:

Nesta etapa os alunos trabalharão em duplas. O trabalho inicia-se com a

formação das duplas e com a distribuição dos problemas. Cada dupla resolverá

dois, dos seguintes problemas, escolhidos arbitrariamente pelo professor.

A FAZENDA

Você pode ver aqui a fotografia de uma casa de fazenda com o telhado em

forma de pirâmide:

27

Abaixo está o modelo matemático do telhado da casa preparado por um

estudante ao qual foram acrescentadas as medidas.

F

O chão do sótão, denominado ABCD no modelo, é um quadrado. As vigas que

suportam o teto são as laterais do bloco (prisma retangular) EFGHKLMN. E está

no meio de AT, F está no meio de BT, G está no meio de CT e H está no meio de

DT.Todas as laterais da pirâmide, no modelo, têm comprimento de 12 m.

1) Calcule a área total do chão do sótão ABCD.

2) Calcule o comprimento de EF, uma das laterais horizontais do bloco.

Explique sua resposta.

3) Determine a área da superfície de um painel triangular do teto. Explique

como você encontrou sua resposta.

4) EK, FL, GM, e HN são laterais verticais do bloco. Qual é o comprimento de

cada uma destas laterais verticais? Mostre seus cálculos.

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ÁREA CONTINENTAL

Abaixo você pode ver um mapa da Antártida:

1) Qual é a distância entre o Pólo Sul e o Monte Menzies?

a) Entre 1600 Km e 1799 Km.

b) Entre 1800 Km e 1999 Km.

c) Entre 2000 Km e 2099 Km.

d) Isto não pode ser determinado.

Objetivo da Questão: Analisar a habilidade do aluno de estimar distâncias com

escalas.

2) Use a escala do mapa. Estime a área da Antártida. Explique como você fez

sua estimativa.

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FORMAS

1) Qual das figuras tem maior área? Explique o seu raciocínio.

2) Descreva um método para determinar a área da figura C.

3) Descreva um método para determinar o perímetro da figura C.

TRIÂNGULOS

1) Circule a única figura que se encaixa na seguinte descrição: O triângulo

PQR é um triângulo retângulo com ângulo reto no R. A linha RQ é menor que

alinha PR. M é o ponto médio da linha PQ e N é o ponto médio da linha QR. S

é um ponto dentro do triângulo. A linha MN é maior do que a linha MS.

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FRENAGEM

A distância aproximada para parar um veículo em movimento é igual à soma da:

Distância percorrida antes que o motorista comece a acionar os freios

(distância do tempo de reação) e distância percorrida durante a

frenagem (distância de frenagem).

O diagrama em caracol abaixo apresenta a distância teórica de parada para um

veículo em boas condições de frenagem (um motorista particularmente atento,

freios e pneus em perfeitas condições, uma rua seca com um bom

revestimento ou superfície) e quanto a distância de parada depende a

velocidade.

DIAGRAMA DE CARACOL

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1) Se um veículo está viajando a 110 km/h, qual a distância percorrida pelo

veículo durante o tempo de reação do motorista?

2) Se um veículo está viajando a 110Km/h, qual é a distância total percorrida

antes da parada do veículo?

3) Se um veículo está viajando a 110Km/h, quanto tempo demora para que o

veículo pare completamente?

4) Se um veículo está viajando a 110Km/h qual é a distância percorrida

enquanto os freios estão sendo acionados?

5) Um segundo motorista, viajando em boas condições, pára seu veículo em

uma distância total de 70,7 metros. A qual velocidade o veículo estava viajando

antes dos freios serem acionados?

6) Em uma rua molhada, com todas as outras condições constantes, a

distância de frenagem (não a distância de tempo de reação) aumenta 40%.

Nós sabemos que leva 57,7 m para parar um veículo viajando a 80 quilômetros

por hora em boas condições. Qual das seguintes respostas mostra como

calcular a distância total para parar um veículo a essa velocidade em pista

molhada?

a) 57,7 x 1,4

b) (57,7 – 16,7) X 1,4

c) 16,7 + (57,7 x 1,4)

d) 16,7 + (57,7 – 16,7) x 1,4

7) Abaixo estão quatro pares de gráficos que representam uma distância

percorrida durante o tempo de reação do motorista e a outra a distância

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percorrida durante seu tempo de frenagem. A velocidade do carro em

quilômetros por hora está mostrada no eixo horizontal e a distância percorrida

em metros está no eixo vertical. Qual dos pares de gráficos que é coerente

com as informações no diagrama em caracol?

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CONSIDERAÇÕES FINAIS

Acreditamos que com a estratégia metodológica da Análise de Erro,

utilizando-se exercícios variados e dando ênfase à resolução de problemas,

podemos modificar nossa prática, trabalhando em grupos, dando maior espaço

para que os alunos argumentem, valorizando as opiniões, e com isto

melhorando a auto-estima, enfatizando que todos podem aprender Matemática.

O papel da resolução de problemas é fundamental para auxiliar algumas

orientações para melhor atingir os objetivos de fazer o aluno pensar,

desenvolver o raciocínio lógico, enfrentar situações novas e reconhecer a

linguagem matemática presente e específica de cada situação tornando as

aulas mais interessantes e motivadoras.

O professor deve observar de perto os procedimentos dos alunos,

solicitando aos mesmos que registrem o desenvolvimento dos exercícios

propostos, e dos problemas para que se faça um posterior comentário de cada

uma das abordagens, e assim realizar intervenções necessárias para a

construção efetiva do conhecimento.

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BIBLIOGRAFIAS

ALBNY, N.Y.: State University of New York Press. Pp. 41-59.

ALCÂNTARA, Silvia D. M. Educação Matemática: uma introdução. São Paulo:

EDUC, 1999 (série trilhas).

ALMOULOUD, Saddo A. Fundamentos da Didática da Matemática. Curitiba:

UFPR, 2007.

BROUSSEAU, Guy. Lês Obstacle Épistémologiques et lês problémes

mathématiques. Recherches em Didáctique dês Mathématiques, v.4, n.2,

p.165 – 198,1983.

BÜRGERS, Beth e PACHECO, Elis. Problemas à Vista / Beth Bürgers e Elis

Pacheco – São Paulo: Moderna, 2001.

CURY, Helena N. Análise de Erros: o que podemos aprender com as respostas

dos alunos / Helena Noronha Cury, - 1, ed.1, reimp – Belo Horizonte:

Autêntica, 2007

ESTEBAM, Maria Tereza. O Que Se Sabe Quem Erra? Reflexões sobre

avaliação e fracasso escolar / Maria Tereza Esteban. – Rio de Janeiro:

DP&A, 2001.

GIONANNI, José Ruy. GIOVANNI, José Ruy Jr. Matemática Pensar e

Descobrir DESAFIOS / Giovanni & Giovanni Jr – FTD S.A – São Paulo, SP.

PINTO, Neuza Bertoni. O Erro como Estratégia Didática: Estudo do erro no

ensino da matemática elementar/ Neuza Bertoni Pinto. – Campinas, SP:

Papirus, 2000 - (Séries Prática Pedagógicas).

SITES CONSULTADOS

http://www.inep.gov.br/download/internacional/pisa/liberados/07/Mat.pdf

http://www.inep.gov.br/internacional/novo/PISA/

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