O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

Produção Didático-Pedagógica 2007

Versão Online ISBN 978-85-8015-038-4Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

Autor: Rosana Gagliotti De DioNRE: Foz do IguaçuEscola: Colégio Estadual Barão do Rio Branco

Disciplina: Matemática( ) Ensino Fundamental (X) Ensino

MédioDisciplina da relação interdisciplinar 1: GeografiaDisciplina da relação interdisciplinar 2: Física

DIVERSÃO NA MATEMÁTICA OU MATEMÁTICA NA DIVERSÃO?

Desde os tempos antigos o céu atrai as pessoas. Sentir a leveza, a

liberdade e ver o mundo do alto. Uma das maneiras de tornar isso possível

é através do brinquedo "Chapéu Mexicano". O brinquedo "Chapéu

Mexicano" é muito popular e é preferido por jovens e adultos. Você

consegue ver alguma relação do brinquedo com a matemática?

Fig. 1-Chapéu Mexicano1

Pesquise e observe que forma tem o brinquedo parado? E em

movimento, qual é a forma observada?

Você já havia notado que até nas nossas horas de diversões

estamos em contato com a matemática? Em parque de diversões muitas

pessoas gostam de se aventurar no chapéu mexicano, montanha russa,

1Fonte:<http://www/itobrasil.com/catalog.asp?album_num=13&pagea=1>

1

roda gigante, carrossel, etc, sem saber que estes e outros brinquedos

estão norteados pela matemática.

Se observarmos a nossa volta, veremos que a geometria se

encontra em toda parte, na natureza, nas construções, na arte, na moda,

nos objetos, etc.

A geometria é um ramo da matemática que estuda as formas,

planas e espaciais, com as suas propriedades. A geometria assim como a

matemática surgiu de necessidades básicas de organizar, contabilizar,

administrar objetos, propriedades, patrimônios, etc. A origem da palavra

geometria vem do grego geo = terra + metria = medida, ou seja, "medir

terra".

Você deve estar se perguntando? Quem “inventou” essa tal de

Geometria?

Um possível percurso para a sua viagem:

- História da Geometria;

- Reconhecer a geometria plana e geometria espacial;

- Na geometria espacial distinguir os poliedros e os corpos redondos.

Para fazer esta viagem:

- Visite o Laboratório de Matemática;

- Navegue pelos sites:

www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm16/historia.htm

http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial7.php

2

Que tal navegar na Internet, para

entender mais sobre a geometria?

Ou mergulhe em uma pesquisa em

livros didáticos. E não se esqueça de

registrar tudo.

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/poliedro/poliedro.h

tm

http://www.mat.ufmg.br/~chico/231_249.pdf

http://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_19t.php

- Mergulhe nos livros

Vendo e entendendo Poliedros- Ana Maria M.R.Kaleff, EdUFF Rio de Janeiro

2003;

A Geometria Na Sua Vida – Nilson José Machado, Ed.Ática, São Paulo 2003;

Matemática Completa- José Ruy Giovanni, José R.Bonjorno, José R.Giovanni

Jr, FTD, São Paulo, 2002

Matemática Contexto & Aplicações- Luiz R. Dante, Ed. Ática, São Paulo

1999.

Agora que você conheceu a história da origem da geometria e viu a

sua importância, vamos trabalhar um pouco com essa disciplina que nos

mostra a harmonia das formas e dos movimentos.

Imagine um retângulo girando em torno de um eixo fixo o espaço

que esse movimento ocupará nos dá idéia de um sólido geométrico

chamado cilindro.

Fig. 2-Cilindro de revolução2

2 Fonte: <www.brasilescola.com/matematica/cilindro.htm>

3

ATIVIDADE 1 Em grupos de até quatro alunos, construa uma galeria de fotos identificando os sólidos geométricos na natureza, nas construções, em seu bairro, etc...

São vários objetos que encontramos neste formato como: enlatados

(refrigerantes, extrato de tomate, milho, etc.), perfumes, colunas nas

construções, copos, corpo de garrafas, etc. E não é por acaso que eles têm

esta forma, o motivo se dá à praticidade de alojar e fluir o produto, aliado

a isto pela economia de matéria prima. Quando giramos o retângulo em

torno de um eixo que contém um de seus lados, a largura do retângulo

será o raio do círculo que ele determina no movimento de rotação e, o

comprimento do retângulo será a altura do cilindro.

Portanto os elementos do cilindro são:

Bases: São os círculos de centro no eixo de rotação e raio r (largura do

retângulo);

Altura: Distância entre os planos das bases (comprimento do retângulo);

Geratriz: Todo segmento paralelo ao eixo de rotação e com as

extremidades nas bases (no cilindro circular reto a medida da geratriz é

igual à medida da altura).

4

ATIVIDADE 3Um empresário disponibiliza seu produto em cilindros, cujo raio

mede 4 cm e tem altura igual a 6 cm . Para armazenar seu produto e transportá-lo ao comércio deseja embalá-los em caixas de papelão em forma de bloco retangular contendo 4 cilindros. Considerando essas duas opções:

o

Visando fazer economia, o empresário decide utilizar a menor quantidade de papelão para fabricar a caixa, qual é a melhor opção?

ATIVIDADE 2O diâmetro da parte circular de uma lata de achocolatado mede 10 cm. Sua altura é de 12 cm. Um rótulo cobre toda a parte lateral da lata.Responda:Qual é a forma do rótulo antes de ser colocado na lata?Qual é a área aproximada desse rótulo?

Fig. 3-Problema3

O que acontecerá se ao invés de girarmos um retângulo em torno de

um eixo, girarmos um triângulo retângulo?

Fig. 4:Cone de revolução4

Isso mesmo, o sólido geométrico que vamos obter através do espaço

ocupado pelo triângulo retângulo neste movimento de rotação será um

cone.

Assim como o cilindro são vários objetos que encontramos na forma

de cone como exemplos temos, o chapéu de bruxa, o cone usado no

trânsito, a casquinha do sorvete, etc. Veja a beleza da arquitetura da

catedral de Maringá, norte do Paraná.

Fig. 5:Catedral Basílica Menor de NossaSenhora da Glória, em Maringá (PR)5

3 Fonte:Problema adaptado do livro Matemática e Vida 8ª série, editora Ática 1991

4 Fonte: <http://www.brasilescola.com/matematica/cone.htm>5 Fonte 5: <www.guiageo-parana.com/mapas.htm>

5

A base do triângulo retângulo girado será o raio do círculo gerado

pela rotação, a altura do triângulo retângulo determinará a altura do cone

e a hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) determinará a geratriz do

cone. Portanto os elementos do cone são:

Vértice: É um ponto onde se encontram as geratrizes.

Base: Região circular de centro no eixo de rotação e raio r (base do

triângulo retângulo);

Altura: distância entre o vértice e o plano da base (altura do triângulo

retângulo);

Geratriz: segmentos com extremidades no vértice e na circunferência da

base (medida da hipotenusa do triângulo retângulo girado).

Quando, na sorveteria, você escolhe uma casquinha com uma ou

duas bolas de sorvete, está optando, do ponto de vista da geometria, por

um cone com uma ou duas esferas. Outros cones simpáticos: Quer se

fantasiar de bruxa, de princesa ou de mago? Com um cone de cartolina dá

para fazer um chapéu bem legal. Se você desfizer o cone vai ver que,

esticado, ele parece um triângulo, com uma diferença: um de seus lados

(a base) é curvo. Os cones também são usados nas ruas para sinalização.

O que você acha que acontece se em um cone fizermos um corte

paralelo à base? À parte de cima continua sendo um cone, só que agora

menor, não é mesmo? E a parte de baixo? Não é mais um cone, mas sim

um tronco de cone. Em um tronco de cone, podemos observar duas bases

paralelas e circulares, sendo uma

maior que a outra.

Você conhece algum objeto que tem a forma de tronco

de cone? Com certeza sim. Faça uma lista desses objetos e

compare com a de seus colegas.

6

Você come

corpos

geométricos?

Fig. 6: Cone6

Existe também uma esfera que gira em torno de um eixo, você sabe

de qual esfera estou falando? Isso mesmo, a Terra. Para alguns efeitos

práticos, pode-se considerar a Terra como uma esfera.

A Geodésia é a ciência que estuda a forma e as dimensões da Terra.

No século XVII, os cientistas calcularam a circunferência terrestre de modo

quase exato, porém trabalhavam com a hipótese de que a Terra fosse

esférica. Na realidade, o planeta apresenta um achatamento polar quase

insignificante, o que o torna um sólido geométrico diferente de qualquer

outro. Essa forma singular recebeu a denominação de geóide.

A distribuição da insolação na superfície é condicionada, também,

pelos movimentos da Terra no espaço. A rotação, movimento da Terra em

torno de seu eixo imaginário, produz os dias e as noites. A translação,

movimento da Terra em torno do Sol, é responsável pelas estações do ano

e se completa em um período de cerca de 365 dias ou um ano.

O planeta Terra tem a forma esférica, mas é “achatado” nos pólos.

Por isso, quando nos referimos ao seu raio dizemos:

O raio polar mede aproximadamente 6 360 km;

6Fonte: <www.brasilescola.com/matematica/cone.htm>

7

DEBATE

Porque os copos descartáveis têm a forma de

tronco de cone e não de cilindro, no qual

caberia mais líquido? Pense nisso e discuta

O raio equatorial mede aproximadamente 6 380 km;

O raio médio mede aproximadamente 6 370 km.

A superfície do planeta Terra tem aproximadamente 51 x 107 km2,

dos quais cerca de 43

são cobertos por água. O volume do planeta Terra é

de aproximadamente 108 323 x 107 km3.

Movimento Circular

Dizemos que um móvel realiza um movimento circular quando sua

trajetória é circular.

Aceleração Centrípeta

A aceleração centrípeta, também chamada de aceleração normal ou

radial, é a aceleração originada pela variação da direção vetor velocidade

de um móvel, característico de movimentos curvilíneos ou circulares. Ela é

perpendicular à velocidade e aponta para o centro da curvatura da

trajetória. A aceleração centrípeta pode ser calculada como:

ac = nurv2

onde: é a aceleração centrípeta (unidade SI: metros por

segundo ao quadrado); é a velocidade (unidade SI: metros por segundo);

r é o raio da trajetória (unidade SI: metros); é o versor normal à

trajetoria.

A equação acima pode ainda ser expressa como: , onde:

ω é a velocidade radial em radianos por segundo.

Se ac deixar de atuar o corpo descreverá MRU (movimento retilíneo

uniforme). Além da aceleração centrípeta, existe uma força centrípeta(Fc)

responsável pelo movimento circular. De acordo com a 2ª lei de Newton, a

8

Que tipo de movimento é esse que o brinquedo chapéu mexicano realiza?

resultante das forças e a aceleração tem sempre a mesma direção e o

mesmo sentido.

Fc=mv²/R sendo massa -> kg e Força -> N (Newton)

Até agora vimos que há matemática nas diversões. Mas será que há

diversão na matemática?

Ordem na Desordem

Como vimos à geometria se encontra em toda parte, mas como

podemos classificar as formas de uma nuvem, uma montanha, a superfície

dos pulmões humanos, a trajetória das gotículas de água quando

penetram na terra e outros fenômenos da natureza? Pela suas

irregularidades não podem ser descritos pela geometria euclidiana. Temos

duas maneiras de descrever o mundo, a geometria Euclidiana e a dos

fractais. Só a chamada geometria fractal consegue descrevê-los.

De acordo com Mandelbrot, 1982 “Nuvens não são esferas, montanhas

não são cones, os contornos dos litorais não são arcos, a casca do tronco das

árvores não é nada plana e nem a luz sequer viaja sobre uma linha reta...”.

A palavra fractais baseia-se no latim, do adjetivo fractus, cujo verbo

frangere correspondente significa quebrar; criar fragmentos irregulares,

fragmentar. FRACTAL é uma nova linguagem geométrica descoberta

através da Teoria do Caos. Foi criada por Benoit Mandelbrot.

Diferentes, porém parecidos. Pois não basta ter dimensão fracionária

para ser um fractal. É preciso que o objeto seja auto-semelhante: suas

partes devem se parecer muito entre si e representar o todo. Uma couve-

flor é um bom exemplo de fractal, pois se alguém cortar um pedaço dele,

verá que ele tem a cara da verdura inteira. A terceira e última

característica de um fractal é ser fruto de inúmeras repetições de uma

fórmula. É dessas repetições que surge a imagem.

9

ATIVIDADE 4Construa uma maquete com sólidos geométricos utilizando material

reciclável.

Um dos mais belos e, sem dúvida, o mais colorido é o uso dos

fractais na arte. Veja alguns exemplos:

TRIÂNGULO DE SIERPINSKI

A construção do triângulo de Sierpinski começa com o desenho de

um triângulo qualquer. Depois se marca os pontos médios dos três lados e

temos a construção de um novo triângulo com vértices nesses pontos,

formando assim quatro triângulos com lados iguais a metade do triângulo

anterior e, o triângulo central deve ser eliminado, removido ou pintado.

Repetem-se em cada um dos triângulos não eliminados as mesmas

construções anteriores no mínimo mais duas vezes.

Fig. 7: triângulo de Sierpinski 7

TAPETE DE SIERPINSKI

Consideremos uma peça quadrada. Substitua o quadrado por um

quadrado 3X3, removido o quadrado central, obtendo o fractal ao nível 1

(fig. 8.1). E, em seguida substitua cada quadrado pelo fractal nível 1, para

obter o fractal nível 2 (fig.8.2); e novamente, para obter o fractal nível 3

(fig.8), substitua cada quadrado do nível 2 pelo fractal nível 1.

Fig.8.1 –nível 1

Fig.8.2-

nível 2

7 Fonte: <http://www.matematicas.unal.edu.co/revistas/lecturas/graficas/

60.gif>

10

ATIVIDADE 5

Fig.8: tapete de Sierpinski-nível 3 8

FRACTAL TRIMINÓ

Consideremos o triminó não-reto, construído pela conexão de 3

quadrados (fig.9.1), que será o fractal em nível 1. Substitua cada peça

quadrada por um triminó L (fig.9.2), que corresponde à construção

empregando 3 figuras iguais à fig. 9.1; então teremos o fractal em nível 2.

Novamente substitua cada quadrado por um triminó (fig.9.3), que

corresponde à construção empregando 3 figuras iguais à 1.2, obtendo

então o fractal ao nível 3 e assim sucessivamente. Qual seria o número de

peças necessárias para se construir um fractal triminó de nível 4? E de

nível 5? E de nível n?

Fig.9: Triminó-nível 4 9 Fig.9.1-nível 1 Fig.9.2-nível 2 Fig.9.3-nível 3

Algumas Sugestões:

a) Construção de Cartões Fractais10: Veja a beleza de cartões que

podemos construir usando os fractais;

O Conjunto de Cantor Triângulo de

Sierpinski

8 Fonte: <Descobrindo a Geometria Fractal – Ruy Madsen Barbosa, Ed. Autêntica 2002, Belo Horizonte pag. 93>.9 Fonte: <Descobrindo a Geometria Fractal – Ruy Madsen Barbosa, Ed. Autêntica 2002, Belo Horizonte pag.92 >.10 Cartões Fractais : <Fotos cedidas pela autora>

11

ATIVIDADE 6

Triângulo de Sierpinski Tapete de

Sierpinski

b) Você também pode fazer uso de recursos computacionais, como os

softwares Nfract, Cabri-géométre II e SLogow para construir belas imagens

de fractais. No site da Unicamp/Nied você poderá encontrar esses e outros

programas interessantes.

Encare esse desafio e construa belos cartões.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

ARAUJO, R.; MAGNOLI, D. Geografia a construção do mundo. São

Paulo: Moderna, 2005.

12

BARBOSA, R.M. Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de

aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2002.

BONGIOVANNI, V.; LEITE, O.R.V.; LAUREANO, J.L.T. Matemática e vida. 2.

ed. São Paulo: Ática, 1991.

BONJORNO, R.A.; BONJORNO, J.R.; BONJORNO, V.; RAMOS, C.M. Física 2º

grau: mecânica, eletricidade, termologia, ondulatória, óptica

geométrica. São Paulo: FTD, 1988.

DANTE, L.R. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.

KALEFF, A. M. M. R. Vendo e entendendo Poliedros. 2. ed. Rio de

Janeiro: EdUFF, 2003.

MACHADO, N.J. A geometria na sua vida. São Paulo: Ática, 2003.

Mandelbrot, .B. P.Objetos Fractais.Lisboa:Gradiva,1998.

ANEXOS

13

Secretaria de Estado da Educação – SEEDSuperintendência da Educação - SUED

Diretoria de Políticas e Programas Educacionais – DPPE

PARECERES DO MATERIAL DIDÁTICO – PROFESSORES COLABORADORES - 2008

COLABORADOR 1

1. IDENTIFICAÇÃO

a) Nome do professor: Wilson Antonio Rodrigues

Ferreira_________________

b) R.G.: 4.376.051-3_______________________________________________

c) CPF : 615.580.959.34____________________________________________

d) Escola que atua: Colégio Estadual Almirante

Tamandaré________________

e)Área/Disciplina: Geografia_________________________________________

2. PARECER CONCLUSIVO:

“...se proclama de bom grado que a matemática deve ser ensinada

com base em exemplos concretos.” (Georges Glaeser, educador

matemático francês)________________________________

Vivemos na era da informação e da comunicação. A autenticidade é

uma característica fundamental desse trabalho. O problema a resolver é

relevante e tem caráter genuíno para os alunos.

Não se trata de uma mera reprodução de algo já feito por outros.

Além disso, o problema não é independente do contexto e os alunos

procurarão construir respostas pessoais originais. A situação estudada não

é de natureza exclusiva da matemática, atacar tal problema implica fazê-

lo sob muitos pontos de vista, o que facilita a interdisciplinaridade.

As atividades apresentam situações que motivam os alunos e

contribuem para torná-los ativos, críticos e cooperativos.

COLABORADOR 2

1. IDENTIFICAÇÃO

14

a) Nome do professor: _EDMUNDO RICARDO

VIMIÊIRO_________________

b) R.G.:_3 098 965 -1 _____________________________________________

c) CPF : __366 799 509 -10_________________________________________

d) Escola que atua: _COLÉGIO ESTADUAL BARÃO DO RIO

BRANCO______

e)Área/Disciplina: ___FÍSICA________________________________________

2. PARECER CONCLUSIVO:

O referido trabalho serve para abrir horizontes aos alunos,

correlacionando o modelo real do cotidiano, com a atividade prática

(científica) da matemática e da física.

A partir daí, o aluno perceberá que as disciplinas não devem ser

interpretadas como absolutas e independentes. Mas, como peças que

funcionam em harmonia, permitem a compreensão plena do universo.

COLABORADOR 3

1. IDENTIFICAÇÃO

a) Nome do professor: _LIEGE FONTOURA CORREA _

_

b) R.G.:__4527907-3______________________________________________

c) CPF : _234 303 200 - 97_

______________________________

d) Escola que atua: _Colégio Estadual Ulysses

Guimarães_________________

e) Área/Disciplina: _Matemática______________________________________

2. PARECER CONCLUSIVO:

Trata-se de um trabalho atualizado e sintonizado com as mudanças

presentes nos currículos de matemática. Aborda a utilização da

15

informática de forma orientada como recurso metodológico, o que faz com

que o aluno participe ativamente. Apresenta sugestões interessantes de

software instigando o aluno a buscar mais informações sobre o conteúdo

trabalhado. Leva os alunos a entender as implicações matemáticas de um

problema usando uma forma descontraída, mostrando que a matemática

que se estuda na escola está relacionada com a nossa vivência.

Este trabalho propicia aos alunos a oportunidade para que pensem,

explorem e apliquem conceitos adquiridos ao longo de seu percurso

escolar.

16