O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

SECRETARIA DO ESTADO DE EDUCAÇÃO – SEED

Superintendência da Educação – SUED

Diretoria da Política e Programas Educacionais – DPPE

Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE

RESOLVENDO PROBLEMAS COM ALUNOS DA 8ª SÉRIE DO ENSINO

FUNDAMENTAL ATRAVÉS DO USO DE EQUAÇÕES

RIO BRANCO DO SUL – PR

2010

1

PATRICIA HELENA WOSCH DE CARVALHO

RESOLVENDO PROBLEMAS COM ALUNOS DA 8ª SÉRIE DO ENSINO

FUNDAMENTAL ATRAVÉS DO USO DE EQUAÇÕES

Unidade Didática para ser desenvolvida no C. E. Maria da Luz Furquim – EFM, Rio Branco do Sul – PR, elaborado pela Professora Patricia Helena Wosch de Carvalho, Como requisito previsto pelo programa PDE/2009.

Orientadora: Josiane Cristina de Oliveira Faria

RIO BRANCO DO SUL – PR

2010

2

O que irei fazer no céu, depois de minha

morte, se não me derem uma infinidade de

problemas Matemáticos para resolver?

Cauchy

3

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO.............................................................................................. 4

2 PORQUE RESOLVER PROBLEMAS.......................................................... 6

2.1 PROBLEMAS DE SOMA DE FRAÇÕES: O EPITÁFIO DE DIOFANTO... 7

2.2 TIPOS DE PROBLEMAS............................................................................. 8

2.3 APLICAÇÕES............................................................................................ 10

2.4 AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA..................................................................... 11

2.5 ATIVIDADES DE REVISÃO...................................................................... 13

2.6 ATIVIDADES DE APLICAÇÃO.................................................................. 16

3 AVALIAÇÃO ................................................................................................. 33

REFERÊNCIAS................................................................................................. 34

4

1 INTRODUÇÃO

Esta Unidade Didática faz parte do Projeto de Intervenção Pedagógica na

Escola, que está vinculado ao Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE). Tal

trabalho será aplicado no momento da implementação pedagógica na escola, numa

turma de oitava série (nono ano) do ensino fundamental do Colégio Estadual Maria da

Luz Furquim - Ensino Fundamental e Médio. Sua aplicação visa divulgar, socializar e,

sobretudo, avaliar o impacto do Projeto desenvolvido pelo Professor PDE em sua

escola de origem, na perspectiva de enfrentamento dos problemas da escola pública

paranaense.

O objetivo principal da elaboração deste material é fazer uma breve abordagem

da importância da resolução de problemas no ensino da matemática e enfatizar de

forma simples e sucinta como as equações matemáticas podem auxiliar alunos e

professores a obterem êxito no desenvolvimento deste trabalho.

É notório que a resolução de problemas vem sendo abordada por muitos autores

nos últimos tempos. Percebe-se que todos enfatizam sua importância no ensino da

matemática. Alguns oferecem métodos e técnicas para a aplicação dessa forma

metodológica. Contudo, observa-se que os professores atuantes nas salas de aula, que

são os principais interessados no desenvolvimento e aperfeiçoamento desta tendência

no ensino da matemática, ainda enfrentam dificuldades em aplicar este método de

ensino e aprendizagem para com os alunos na sua prática pedagógica diária. Outro

obstáculo encontrado pelos professores é o de encontrar materiais didáticos que visem

facilitar a utilização da técnica de resolução de problemas matemáticos no cotidiano da

sala de aula.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais, que é o documento que rege a educação

no Brasil, tem como objetivo auxiliar os professores na execução de seu trabalho, que é

fazer com que as crianças e jovens dominem os conhecimentos que necessitam para

crescerem como cidadãos plenamente reconhecidos e conscientes de seu papel na

sociedade. Para que tal meta seja alcançada, os estudantes brasileiros devem ter pleno

acesso aos recursos culturais relevantes para a conquista da sua cidadania. As

5

necessidades referentes ao cotidiano dos alunos requerem um desenvolvimento de

uma inteligência essencialmente prática, que permita reconhecer problemas, buscar e

selecionar informações, tomar decisões e desenvolver sua capacidade para lidar com a

atividade matemática. Quando essa capacidade é potencializada pela escola através da

resolução de problemas, a aprendizagem apresenta melhor resultado.

Muitas vezes os professores se deparam com a seguinte pergunta feita por

alguns alunos: Por que devo aprender a resolver equações? Por que devo aprender

matemática? A resposta é simples: Para poder resolver problemas matemáticos e, por

conseguinte, para poder solucionar problemas do cotidiano da sua vida e da vida de

seus familiares, onde haja a necessidade de aplicação de certos conceitos

matemáticos. Portanto ao produzir este material houve a intenção de proporcionar aos

professores e alunos algo que viesse de encontro às suas necessidades, pois ambos

são os principais protagonistas envolvidos no desenvolvimento do processo ensino e

aprendizagem.

6

2 POR QUE RESOLVER PROBLEMAS

Lourdes de la Rosa Onuchic (1999) afirma que problemas matemáticos têm

ocupado um lugar central no currículo de matemática escolar desde a Antiguidade.

Registros de problemas foram encontrados na história das civilizações egípcia, chinesa,

grega, em livros de matemática da época, assim como nos livros atuais. Problemas de

matemática foram encontrados em papiros, apresentados na forma de listas, e eram

utilizados pelas civilizações antigas. Como exemplo, temos o Papiro de Rhind, um texto

matemático egípcio, originalmente na escrita hierática feita pelo escriba Ahmes na

forma de um manual, que continha 85 problemas.

A resolução de problemas tem sido muito discutida nas últimas duas décadas.

Branca (1997) publica num artigo a seguinte questão: o que é a resolução de

problemas? Este assunto tão difundido adquiriu, para cada um que se refere a ele, uma

mistura das diversas concepções que esse tema assumiu ao longo do tempo. A partir

desta mistura de modos de se pensar a resolução de problemas, surgem visões muito

simples e ingênuas sobre o tema até teorias sofisticadas, as quais têm gerado

orientações diferenciadas para o ensino, para a organização de currículos, para a

elaboração de textos e manuais e para as orientações didáticas para a abordagem

desse tema.

Para solucionar determinados tipos de problemas, é necessário que o estudante

tenha domínio da resolução de equações matemáticas, pois segundo Rogalski, (2001),

“o termo equação é evocado quando existe a intenção, por parte de alguém, de se

resolver certo tipo de problema”, portanto é de fundamental importância que, para o

sucesso na resolução dos problemas, se utilize as equações matemáticas, pois é

através das mesmas que as incógnitas são substituídas por letras e, assim que

resolvidas consegue-se chegar ao resultado esperado.

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A caminhada pelo mundo dos problemas matemáticos, tem início com o texto

presente no epitáfio do sepulcro de Diofante1 - notável matemático grego nascido em

Alexandria (TAHAN, 1974).

2.1 PROBLEMA DE SOMA DE FRAÇÕES: O EPITÁFIO DE DIOFANTO

1 Diofanto (ou Diofante) de Alexandria, matemático grego do século 3 a.C., ficou famoso pelos seus

problemas, os chamados Problemas Diofantinos, envolvendo números inteiros e equações não-determinadas com solução engenhosa.

Eis o túmulo de Diofanto - maravilha de

contemplar. Com um artifício aritmético a pedra

ensina a sua idade. Deus concedeu-lhe passar a

sexta parte de sua vida na juventude; um

duodécimo na adolescência; um sétimo em

seguida, foi passado num casamento estéril.

Decorreu mais cinco anos, depois do que lhe

nasce um filho. Mas esse filho - desgraçado e,

no entanto, bem amado! - apenas tinha atingido

a metade da idade que viveu seu pai, morreu.

Quatro anos ainda, mitigando sua própria dor

com o estudo da ciência dos números, passou-os

Diofante, antes de chegar ao termo de sua

existência.

8

Com base no epitáfio de Difante, pergunta-se:

a) Quantos anos viveu Diofante?

b) Com quantos anos se casou?

c) Quantos anos tinha quando perdeu seu filho?

2.2 TIPOS DE PROBLEMAS

Alguns autores fizeram a classificação dos diversos tipos de problemas, de

acordo com características específicas. Neste trabalho, será utilizada a classificação

sugerida por Dante (2003, p.16-21), onde observa-se os problemas categorizados em

seis subconjuntos:

1º- Exercícios de reconhecimento

Seu objetivo é fazer com que o alunos reconheça, identifique ou lembre um

conceito, um fato, uma definição, uma propriedade, etc.

Exemplo: Um elevador pode levar 16 adultos ou 20 crianças. Se 12 adultos já

estão no elevador, quantas crianças podem entrar?

2º - Exercícios de algoritmos

São aqueles que podem ser resolvidos passo a passo. São exercícios que

pedem a execução dos algoritmos. Seu objetivo é treinar a habilidade do aluno em

executar um algoritmo e reforçar conhecimentos anteriores.

Exemplo: Calcule 32 X ( 20 – 15 ) : 2

3º - Problemas padrão

9

A resolução envolve a aplicação direta de um ou mais algoritmos e não exige

estratégia. São os tradicionais problemas de final do capítulo nos livros didáticos mais

antigos. A solução do problema já está contida no próprio enunciado. O objetivo desses

problemas é recordar e fixar os fatos básicos e, normalmente não aguçam a

curiosidade do aluno nem o desafiam.

Exemplo: Numa sala de aula há 20 meninas e 15 meninos. Quantas meninas

tem a mais do que meninos?

4º - Problemas processo ou heurísticos

A solução envolve operações que não estão contidas no enunciado do problema.

Normalmente, não podem ser traduzidos para a linguagem matemática. Exige do aluno

um tempo para pensar e arquitetar um plano de ação, uma estratégia que pode levá-lo

a solução. Tais tipos de problemas aguçam a curiosidade, permitem o desenvolvimento

da criatividade, da iniciativa e o espírito explorador no aluno. O principal é que levam o

aluno a iniciar o processo de desenvolvimento de estratégias e procedimentos para

resolver situações-problema, o que, em muitos casos é mais importante que encontrar

a resposta certa da atividade proposta.

Exemplo: Carlos esqueceu o número do telefone da sua namorada. Se ele não

ligar, com certeza perderá a namorada. Só lembra dos algarismos 3652-19 _ _ e que

estes números nunca se repetem. Quais poderiam ser os algarismos que estão

faltando? Há quantas possibilidades para o número de telefone?

5º - Problemas de aplicação

São aqueles que retratam situações reais do cotidiano e que exigem o uso da

matemática para serem resolvidos. São também chamados de situações-problema.

Geralmente são problemas que envolvem pesquisa e levantamento de dados,

organizados em tabelas, gráficos, etc.

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Exemplo: A oitava série resolveu fazer uma “vaquinha” para comprar um novo

par de óculos à uma aluna, que não tem condições financeiras de adquiri-lo. Sabendo-

se que 30 alunos vão participar da “vaquinha” e que o preço do par de óculos é R$

180,00, com quanto cada aluno vai colaborar?

6º - Problemas de quebra-cabeça

São problemas que envolvem e desafiam grande parte dos alunos. Sua solução

depende, quase sempre, de um golpe de sorte ou da facilidade em perceber algum

truque, que é a chave da solução. Fazem parte da matemática recreativa.

Exemplo: Rian, Luan e suas respectivas namoradas Clarice e Adriane, desejam

atravessar um rio usando um barco que só pode transportar duas pessoas de cada vez.

Qualquer um dos rapazes não aceita que sua namorada fique próxima do outro, a não

ser que a outra menina também esteja junto. Desse modo, como poderá ser feita a

travessia?

2.3 APLICAÇÕES

Com o objetivo de diversificar esta produção, foram selecionados problemas

variados. Estão organizados para serem trabalhados com alunos da oitava série do

ensino fundamental, de forma a contemplar o maior número de áreas dentro da

matemática. Houve a intenção de abordar todos os tipos de problemas, classificados

por Dante (2003), desta forma, favorecendo a escolha do tipo de problema que o

professor deseja aplicar aos alunos.

Inicialmente, sugere-se que o professor faça a avaliação diagnóstica da turma.

Esta avaliação deverá ser realizada em sala de aula, durante duas, de forma individual

e após a correção deve ser comentada e corrigida, em sala de aula junto aos alunos.

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2.4 AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA

Resolva os problemas abaixo, utilizando os conhecimentos matemáticos que

você possui:

1) O preço do quilograma de frango era R$ 1,00 em janeiro de 2.000, quando começou

a triplicar a cada 6 meses. Em quanto tempo o preço atingirá R$ 81,00?

Fonte: Adriana Receita, 2005

(a) 1 ano (b) 2 anos (c) 2½ anos (d) 13 anos (e) 13½ anos

2) José e Danúbia almoçaram juntos num restaurante que oferece três tipos de prato e

três tipos de suco, cujos preços estão na tabela abaixo. Cada uma escolheu em

prato e um suco. José gastou R$ 6,00 a mais que Danúbia. Quanto Danúbia

gastou?

Opções Preço em reais

Prato simples 7,00

Prato com carne 11,00

Prato com peixe 14,00

Suco com água 6,00

Suco com leite 7,00

Suco especial 9,00

Atenção! Deixar os cálculos e/ou esquemas de raciocínio no espaço em branco junto aos problemas.

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3) A balança está em equilíbrio com bolas e saquinhos de areia em cada um de seus

pratos. As bolas são todas iguais e os saquinhos também. O peso de um saquinho

de areia é igual ao peso de quantas bolas?

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 5 (e) 6

4) Observe as balanças abaixo em equilíbrio. Monte uma equação, de acordo com

cada situação, em seguida resolva a equação e determine o valor do termo

desconhecido (x):

5) Determine as soluções reais das equações:

a) x2 – 2x – 3 = 0

b) y2 – 7y + 6 = 0

c) 7z2 + 28z + 21 = 0

13

2.5 ATIVIDADES DE REVISÃO

A seguir, temos atividades de revisão sobre resolução e aplicação de equações.

Sugere-se a utilização de duas aulas semanais, somando um total de vinte aulas. Estas

atividades podem ser realizadas em duplas, porém cada aluno deverá ter sua folha de

exercícios, iniciado em sala de aula e terminado em casa. Todas os exercícios deverão

ser corrigidos e comentados pelo professor antes de se iniciar uma nova atividade na

próxima semana.

1) Sendo U = Q, resolva cada equação do 1º grau com uma variável:

a) 2x + 1 = 15

b) 5x + 8 = 4 – 3x c) 5 – y – 20 = 5y – 10 – 7y

d) 2 ( 5y + 1) = 27

e) 3 (z – 1) – 4 (z – 2) = 6 f) 6x – 5 (1 – x) = 10x + 6

g) 2 (a – 2) – 3 (1 – x) = 2 (x – 4)

h) 2x/5 – ¼ = x – 1/10 i) 3y/8 – 5/6 = y/3 – 5/2

j) x/2 + ¼ - x/5 = 3/2 + x/10 l) (4x + 1)/3 + 2 (x + 1)/3 = 5 (3x

+ 2)/4

m) y – (y + 1)/4 = 1 + x/6

2) Resolva os seguintes sistemas de equações, sendo U = Q X Q:

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3) A tabela abaixo nos mostra na relação entre o tempo de funcionamento de uma

máquina e a produção de parafusos. Observe com atenção a tabela abaixo e

responda:

Tempo Produção

5 horas 1.000 parafusos

8 horas 1.600 parafusos

a) Qual a razão entre os valores da 1ª grandeza?

b) Qual a razão entre os valores da 2ª grandeza?

c) A produção e o tempo de funcionamento da máquina são grandezas direta ou

inversamente proporcionais?

4) Com 10 litros de óleo de copaíba, árvore nativa da Amazônia, um caminhão

consegue andar 80 km. Quantos litros de óleo deverão ser usados para um

percurso de 200km?

(www.arvores.brasil.nom.br/esq.htm, acesso em 14/05/10)

15

5) O trem voador Maglev, deslocando-se a uma velocidade média de 400 km/h, faz um

determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso,

se a velocidade utilizada fosse de 480 km/h?

(pt.dreamstime.com, acesso em 14/04/10)

6) Um robô, trabalhando 8 horas por dia, durante 10 dias, efetua 7.500 pontos de solda

numa estrutura metálica. Quantas horas por dia deve trabalhar esse robô, para que

possa efetuar 6.000 pontos de solda em 4 dias?

(www.nei.com.br/.../lancamento.aspx?i=10864, acesso em 14/05/10)

16

7) Em uma disputa de tiro, uma catapulta, operando durante 6 baterias de 15 minutos

cada, lança 300 “pombos” de barro. Quantos “pombos” lançará em 10 baterias de

12 minutos cada?

(pt.dreamstime.com/foto-de-stock-royalty-free-..., acesso em 14/05/10)

8) Determine as raízes reais das equações:

a) x² - 5x + 6 = 0

b) 6x² + x – 1 = 0

c) x² - 4x + 4 = 0

d) x²+ 10x + 32 = 0

e) 4x² + 8x + 4 = 0

f) x²- 9 = 0

g) x² + 6x = 0

2.6 ATIVIDADES DE APLICAÇÃO

Finalmente, os problemas propostos, cujo objetivo é diversificar o aprendizado de

matemática (como sugestão, os problemas abaixo podem ser colocados em cartões,

para que o aluno resolva de um a três problemas por encontro, que acontecerá em

duas aulas, uma vez na semana, durante as aulas “normais” de matemática - ressalta-

se que os problemas deverão ser corrigidos pelo professor semanalmente).

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Resolva os problemas abaixo:

1) Você sabia que, nos dados, os pontos das faces opostas têm soma igual a 7?

Pense bem, e depois responda: a soma dos pontos das três faces que você vê

nesse dado é 9. A face apoiada sobre a mesa tem 2 pontos. Quantos pontos deve

ter cada face que você vê?

(Imenes & Lellis, 1998)

2) Para ir a pé de casa até a escola, andando em uma velocidade constante, Aninha

gasta o triplo do tempo que gastaria se fosse de bicicleta. A trajetória a ser

percorrida entre a casa de Aninha e a escola é uma linha reta e plana. Ontem ela

foi, a pé da escola até sua casa, pegou a bicicleta e imediatamente voltou para a

escola. Tudo isso demorou 72 minutos. Quantos minutos ela demorou na volta da

escola?

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3) Durante a aula de matemática, uma aluna perguntou à Professora Patrícia, que

horas eram. A professora pensou um pouco e disse:

- Já se passaram 3/8 deste dia 15 de junho. A que horas do dia isso aconteceu?

4) Observe a figura e descubra a hora, o dia e o mês que se passa a cena abaixo:

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5) Você sabe o que é o “Quadrado Mágico”? Quadrado Mágico “é uma tabela de lado

n, onde a soma dos números das linhas, das colunas e das diagonais é constante,

sendo que nenhum desses números se repete”

((http://pt.wikipedia.org/wiki/Quadrado_m%C3%Algico, acesso em 25/04/10). Complete o quadrado

mágico abaixo, utilizando os números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sabendo que a soma

das linhas, colunas e diagonais é igual a 15:

6) Ao sair da escola, os alunos da 8ªD viram uma cena muito engraçada. Eram três

cachorros correndo atrás de três gatos, que estavam correndo, cada um, atrás de

três ratos, que tinham, cada um, três caminhos diferentes para escolher. Indique as

potências e os resultados das mesmas que correspondem:

a) A quantidade de gatos.

b) A quantidade de ratos.

c) A quantidade de caminhos.

Curiosidade: Você sabe por que o cachorro é inimigo do gato, e gato de rato?

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Porque o cachorro é inimigo do gato, e gato de rato

Antigamente todos os bichos eram amigos e o leão governava todos. Cachorro, gato, rato, ovelha, onça, raposa, timbu, pinto, tudo vivia junto e sem briga. Uma feita Nosso Senhor mandou o leão libertar os bichos, passando carta de alforria a todos, para que pudessem ir onde quisessem. Havia muita contenteza. O leão chamou os bichos mais ligeiros e entregou as cartas de liberdade para ir dando aos outros animais. Chamou o gato e deu a ele a carta de alforria do cachorro. O gato saiu numa carreira danada. No caminho encontrou o rato que estava entretido bebendo mel de abelhas. - Camarada gato! Para onde vai nesse desadoro? - Vou entregar essa carta ao camarada cachorro! - Deixe de vexame! Descanse e beba esse melzinho gostoso. O gato foi lamber o mel e tanto lambeu e gostou que acabou enfarado e dormindo. O rato, de curioso, foi cascavalhar a bruaca que o gato trazia a tiracolo e encontrou uns papéis. Meteu o dente, roendo, roendo, roendo, e deixou tudo virado em bagaço. Vendo que fizera uma desgraça, fez um bolo e sacudiu dentro da bruaca do gato e ganhou a mata. O gato, acordando, largou numa carreira "timive" até encontrar o cachorro, a quem entregou o papel. O cachorro foi ler e viu que tudo estava esbagaçado e roído. Não podia provar ao homem que era bicho-livre e ficou zangado de ferro e fogo com o gato, dando uma carreira atrás dele para matá-lo. O gato, por sua vez, sabendo que aquilo era trabalho do rato, não procurou coisa senão passar-lhe o dente para vingar-se. E até hoje, cachorro, gato e rato, são inimigos até debaixo d’água. (Informante: João Monteiro. Natal, Rio Grande do Norte) Nota: É um conto etiológico, explicando a inimizade de cães, gatos e ratos. Corrente nos folclores da Europa do norte e leste. É o Mt. 200 de Aarne-Thompson, The dog’s certificate. João Ribeiro, O folk-lore, XLIV, 3135. Fábula e provérbio, estudou o motivo, transcrevendo uma versão africana de Libolo, Angola. Cão, gato e rato brigam por que o último não restituiu (a rata roera) a carta de alforria que o primeiro confiara ao segundo, p. 316-318. Motivo idêntico ocorre na La querelle des chiens et des chats, de La Fontaine, não aparecendo os ratos. (Cascudo, Luís da Câmara. Contos tradicionais do Brasil) (http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://jangadabrasil.com.br/agosto36/imagem/gatoratocao.jpg&imgre, acesso em 12/05/10)

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7) Um barqueiro deve transportar um lobo,uma ovelha e uma caixa de repolhos para

outra margem de um rio. Como o barqueiro deve proceder se ele só pode

transportar uma coisa de cada vez e sabendo, além disso, que o lobo não pode ser

deixado a sós com a ovelha e nem a ovelha com a caixa de repolhos? Descreva a

solução encontrada.

(http://elcajondesastre.blogcindario.com/2006/10/00855-acertijo-el-lobo-la-cabra-y-la-lechuga.html, acesso em

12/05/10)

8) Três laranjas e uma maçã equilibram-se com treze morangos. Cinco morangos e

uma laranja se equilibram com uma maçã. Quantos morangos são necessários para

equilibrar a maçã? (Lembrete: As laranjas com o mesmo peso e os morangos

também)

22

9) Laura tinha um terreno quadrangular, onde pretendia construir sua casa. Passado

certo tempo, com as economias que juntou, ela comprou o terreno vizinho, que tinha

5 metros de frente e o comprimento com medida igual à do seu terreno. Laura ficou

muito feliz, pois ficou com um terreno de 500m² de área e poderia construir uma

casa maior.

a) Quais eram as medidas do terreno original de Laura?

b) Quais são as novas medidas?

(Iracema e Dulce, 2008)

10) Uma máquina é capaz de produzir 8 CDs por minuto. Quantos CDs essa máquina

consegue produzir em 15 minutos?

(laranja-mecanica.com, acesso em 13/05/10)

a)104 b) 110 c) 112 d) 128 e) 120

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11) Lucas é cliente de uma companhia telefônica que oferece o seguinte plano:

- Tarifa mensal fixa de R$ 18,00;

- Gratuidade em 10 horas de ligações por mês;

- R$ 0,03 por minuto que exceder as 10 horas gratuitas.

Em janeiro, Lucas usou seu telefone por 15 horas e 17 minutos e, em fevereiro, por

9 horas e 55 minutos. Qual foi a despesa com telefone nesses 2 meses, em reais?

(imagensdahora.com.br, acesso em 13/05/10)

a) R$ 45,51 b) R$ 131,10 c) R$ 455,10 d) R$ 13,11 e) R$ 9,51

12) Cartolina e barbante – Passa-se um barbante através dos seis furos de uma

cartolina. A frente da cartolina, com o barbante, é mostrada na figura abaixo.

Qual das figuras a seguir não pode ser o verso dessa cartolina?

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13) Truque numérico – Você já viu um truque numérico? Aqui vão os passos de um

truque numérico:

1º) Escolha um número qualquer.

2º) Multiplique-o por 6.

3º) Do resultado subtraia 21.

4º) Divida esse novo resultado por 3.

5º) Desse último resultado subtraia o dobro do número que você escolheu.

Agora:

a) Experimente essa sequência de cinco passos três vezes, iniciando cada vez com

um número diferente. Qual foi o resultado de seu experimento?

b) A seguir, usando a letra x para representar o número que você escolheu no

primeiro passo, mostre que os resultados do item a não são apenas uma

coincidência, mas sim um fato matemático.

14) Jogando sinuca – Na figura abaixo observa-se uma mesa de sinuca quadriculada e

parte da trajetória de uma bola, tocada a partir de um canto da mesa, de modo

que, sempre que a bola bater em uma das beiradas da mesa, ela segue seu

movimento formando ângulos de 45° com a beirada.

Responda às questões abaixo:

a) Em qual dos quatro cantos a bola cairá?

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b) Quantas vezes a bola baterá nas beiras da mesa antes de cair na caçapa?

c) A bola seguirá pela diagonal de quantos desses quadrados durante sua

trajetória?

15) Números binomiais – quadrados em branco da figura devem ser preenchidos com

números de tal modo que cada número, a partir da segunda linha, seja igual à

soma dos dois números vizinhos de linha imediatamente superior. Por exemplo, o

número da primeira casa da segunda linha é 11, porque 11 = 5 + 6. Qual é o

número que vai aparecer no quadrado indicado com X?

16) Um artesão começa a trabalhar as 8:00h e produz 6 braceletes a cada 20 minutos;

já seu auxiliar começa a trabalhar uma hora depois e produz 8 braceletes do

mesmo tipo a cada meia hora. O artesão para de trabalhar às 12:00h, mas avisa ao

seu auxiliar que deverá continuar trabalhando até produzir o mesmo número de

braceletes que ele. A que horas o auxiliar irá parar de trabalhar?

(http://www.artesanatovivo.com.br/inscricoes-prorrogadas-na-fearg-fecis-para-artistas.html, acesso em

13/05/10)

( a ) 12:00h ( b ) 12:30h ( c ) 13:00h ( d ) 13:30h ( e ) 14:30h

26

17) Observe a expressão de pânico do professor abaixo! Ele não aprendeu a resolver

equação do 1º grau e, por isso, não sabe calcular a área do terreno que comprou.

O que se sabe é que o terreno é retangular, tem 144m de perímetro e que o

comprimento é o triplo da largura. Vamos ajudá-lo a determinar a área do seu

terreno!

(Silveira e Marques, 1995)

18) Um campeonato de surf oferece R$15.000,00 aos 3 primeiros colocados. O 1º

recebe R$5.000,00 a mais que o 3º. O 2º recebe o dobro da quantia do 3º. Qual

será o prêmio de cada um? (Silveira e Marques, 1995)

(http://positividade.wordpress.com/category/esporte, acesso em 13/05/10)

27

19) Um sitiante tem alguns coelhos e algumas galinhas. Quando coloca um dos

coelhos em uma cesta, verifica que o “peso” é de 4 kg. Em seguida, ele tira o

coelho da cesta, coloca nela uma das galinhas e verifica que o “peso” é de 5kg.

Se o coelho e a galinha “pesam” juntos, 3kg, quanto “pesa” a cesta vazia?

20) Fernando pretende pintar sua casa e fazer um tipo de textura na fachada, a qual é

formada por um triângulo e um retângulo, conforme o desenho a seguir. As

medidas estão indicadas em metros.

Agora, responda as questões a seguir:

a) O que é textura?

b) O que é fachada?

c) Escreva uma equação que relacione a área a ser pintada (fachada) para

determinar as medidas desconhecidas.

28

d) Esta equação é do 1º grau? Por quê?

e) Qual é a incógnita da equação que você escreveu anteriormente?

f) Tente resolvê-la, isolando a incógnita.

g) Qual a área da superfície que será texturizada?

21) Para produzir tomates, um agricultor utiliza um terreno retangular com 600m². Com

o objetivo de aumentar a área de plantio, o agricultor decidiu aumentar o terreno em

x metros na largura e x + 8 metros no comprimento. Qual deve ser o valor de x para

que a área de plantio seja aumentada em 1000m².

22) Um grupo de amigos organizou uma festa para comemorar o Natal. Como presente,

todos escreveram e deram um belo cartão para cada participante da festa. Os

cartões forma pendurados na árvore de Natal. Se na árvore havia 156 cartões,

quantas pessoas participaram da festa?

29

23) O que representam, geometricamente, na figura, as expressões:

a2 + 1,5 a

e

4 a + 3?

24) Dez minutos antes de colocar o bolo no forno, coloquei meu gato para fora de

casa. O bolo deve assar por 35 minutos, portanto coloquei o despertador para

tocar 35 minutos após colocar o bolo no forno. De imediato fiz um café para mim,

o que me tomou 6 minutos. Três minutos antes de acabar de beber o café, meu

gato entrou em casa. Isso foi 5 minutos antes do despertador tocar. O telefone

tocou no meio do tempo entre eu acabar de fazer o café e o gato entrar em casa.

Falei ao telefone por 5 minutos e desliguei. Eram, então, 3h59min da tarde.

(emersonfialho.wordpress.com)

a) A que horas coloquei meu gato para fora?

b) O despertador tocou quantos minutos depois de colocar o gato para fora?

c) Por quanto tempo o gato já estava fora de casa quando o telefone tocou?

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25) Três terrenos têm frente para a Rua das Palmeiras e para a Rua dos Coqueiros, e

suas divisas laterais são paralelas, conforme mostra a figura. Determine a medida

de cada um dos terrenos, cujas frentes estão para Rua dos Coqueiros, sabendo

que a frente total dos três terrenos, para a rua, é de 200 metros.

26) É comum encontrarmos uma ripa na diagonal de portões de madeira como esse

da foto abaixo. Isso se deve a rigidez dos triângulos, que não se deformam com

movimentos. O portão da fazendo do Sr. Chico mede 1,20 m de altura e a ripa,

que forma a diagonal, mede 1,36 m. Qual é a medida do comprimento desse

portão?

(www.chicodoportao.com.br/?tag=porteira-para-c..., acesso em 28/05/10)

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27) Um mergulhador jogou-se de forma diagonal numa piscina que mede 40 m de

comprimento, por 30 m de largura. Quantos metros nadou o mergulhador?

(www.bahianoticias.com.br/noticias/noticia/200.., acesso em 28/05/10)

28) Para determinar a altura de uma torre, um topógrafo colocou o teodolito (aparelho

de medir ângulos) a 100 m da base e obteve um ângulo de 30º, conforme mostra

a figura abaixo. Sabendo que a luneta do teodolito estava a 1,70 m do solo, qual

era aproximadamente a altura da torre? (Dados: sen 30° = 0,5; cos 30º = 0,87 e tg

30º = 0,58)

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29) Observe a figura abaixo e crie um problema sobre o contexto da gravura:

(digitalmat.blogspot.com/2010/03/esta-atividad.., acesso em 19/05/10)

30) Elabore um texto matemático, com base na charge abaixo:

(navedahistoria.blogspot.com/2009/02/perseguid., acesso em 19/05/10)

33

3 AVALIAÇÃO

De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica (DCEs) da

Secretaria de Estado da Educação do Paraná, a avaliação deve ocorrer durante o

processo de ensino e aprendizagem, ancorada aos encaminhamentos metodológicos

que abram espaço para a interpretação e discussão, que considerem a relação do

aluno com os problemas trabalhados, o significado desses problemas e a compreensão

alcançada através deles.

No processo avaliativo, é necessário que o professor utilize a observação

sistematizada para diagnosticar as dificuldades dos alunos e criar oportunidades

variadas para que possam expressar seu conhecimento. Dentro destas oportunidades

devem constar as manifestações escritas, orais e de demonstração, inclusive com a

utilização de ferramentas manipuláveis, como calculadora e o computador.

Estas práticas avaliativas devem possibilitar ao professor verificar se o aluno:

comunica-se matematicamente, oral ou por escrito (apud DCEB, BURIASCO,

2004);

compreende, por meio da leitura, o problema matemático;

elabora um plano que possibilite a solução do problemas;

encontra meios diversos para a solução de um problemas matemático;

realiza o retrospecto da solução de um problema.

34

REFERÊNCIAS

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perspectivas - Seminários & Debates. São Paulo: UNESP, 1999.

BRANCA, N. A Resolução de Problemas como meta, processo e habilidade básica.

In: A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997.

BRASIL. Banco de Questões 2010 da Olimpíada Brasileira de Matemática das

Escolas Públicas. Brasília: MEC, 2010.

COLOMBO, Janecler A. A.; LAGOS, Marcia B. (orgs) Coletânea de problemas

organizados pelos formandos 2004 do Curso de Licenciatura em Matemática do

CEFET-PR – Unidade Sudoeste. Campus Pato Branco: Imprepel, 2005

DANTE, Luiz R. Tudo é Matemática – 6ª série. São Paulo, Ática, 2002

_____________. Didática na resolução de problemas. São Paulo: Ática, 2003.

_____________. Tudo é Matemática – 8ª série – 2ª ed. São Paulo: Ática, 2007

PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica. Secretaria do Estado do

Paraná, 2008.

________. Ensinar e aprender: Volume 1. Material produzido pelo CENPEC para o

Projeto de Correção de Fluxo da Secretaria de Estado da Educação do Paraná, 1997.

MARQUES, Claudio; SILVEIRA, Enio. Matemática. São Paulo: Moderna, 1995.

MORI, Iracema; ONAGA. Satiko. Matemática Idéias e Desafios - 8ª série - Iracema e

Dulce – 1ª triagem. São Paulo: Saraiva, 2006

POSITIVO. Livro da Coordenação: Apostila de Matemática – Ensino Fundamental,

8ª série. Curitiba: Positivo, 2004

ROGALSKI, M. Carrefour entre analyse, Algèbre et Géomètrie. Paris: Ellipse, 2001.

TAHAN, Malba. As Maravilhas da Matemática. Bloch, Rio de Janeiro, 1974, p. 7.