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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE
VOLU
ME I
I
Secretaria de Estado da Educação Superintendência da Educação
Departamento de Políticas e Programas Educacionais Coordenação Estadual do PDE
Universidade Estadual de Maringá
MARIA DE LOURDES ALMEIDA
UNIDADE DIDÁTICA
ÁREAS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS
Produção Didático Pedagógica -
Unidade Didática - apresentada
ao Programa de Desenvolvimento
Educacional - PDE/2009, sob a
orientação do prof. Ms. Rafael
Mestrinheire Hungaro
CIANORTE-PR.
2010
2
SUMÁRIO
TEMA DE ESTUDO ......................................................................................... 3
TÍTULO ............................................................................................................. 3
JUSTIFICATIVA ............................................................................................... 4
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ⁄ REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ......................... 6
GEOPLANO – CONSTRUÇÃO E APLICAÇÕES ............................................ 9
ATIVIDADES COM O GEOPLANO ................................................................. 10
MALHA QUADRICULADA - MODELOS E APLICAÇÕES .............................. 13
ATIVIDADES COM MALHA QUADRICULADA .............................................. 15
SOFTWERE GEOGEBRA – CONSTRUÇÕES E APLICAÇÕES .................... 35
RECONHECENDO O PROGRAMA GEOGEBRA ........................................... 36
ATIVIDADES COM O SOFTWARE GEOGEBRA ............................................. 47
REFERÊNCIAS ................................................................................................ 55
3
TEMA DE ESTUDO
Geometria - cálculo das áreas das figuras geométricas planas: quadrado, retângulo,
paralelogramo, triângulo, trapézio e losango.
TÍTULO Áreas de figuras geométricas planas
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JUSTIFICATIVA
A proposta das Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná (DCEs) para a
Educação Matemática explicita que, para a formação de um estudante crítico, capaz
de agir com autonomia nas suas relações sociais, é preciso que ele se aproprie de
conhecimentos matemáticos, entre outros, por entender que a Matemática é uma
das mais importantes ferramentas da sociedade moderna. Ainda, segundo as DCEs,
apropriar-se dos conceitos e procedimentos matemáticos básicos, contribui para a
formação do futuro cidadão que se engajará no mundo do trabalho, das relações
sociais, culturais e políticas.
Para exercer plenamente a cidadania é preciso saber contar, comparar,
medir, calcular, resolver problemas, argumentar logicamente, conhecer formas
geométricas, organizar, analisar e interpretar criticamente as informações.
Dentre os ramos da Matemática, destacamos a Geometria por estar presente
em nossa vida por toda parte, com maior ou menor complexidade. Perceber isso é
compreender o mundo à sua volta e poder atuar nele. O conhecimento de Geometria
contribui para o desenvolvimento cognitivo do indivíduo, tornando-o mais
organizado, com coordenação motora e coordenação visual mais desenvolvida, o
que possibilita a compreensão de gráficos, tabelas, mapas e de outras informações
visuais.
A Geometria é considerada como uma ferramenta para descrever e interagir
com o espaço no qual vivemos. Através da investigação, ela caminha em direção ao
pensamento, vai do que pode ser percebido para o que pode ser conhecido. É um
tópico natural para encorajar a resolução de problemas e tem muitas aplicações que
aparecem no mundo real, como por exemplo: nos projetos de edifícios, pontes,
estradas, carros e aviões, na navegação aérea e marítima, na balística, no cálculo
do volume de areia, cimento e água, nos moldes de costura, entre outros. Abrem
também a possibilidade de criar imagens ilusórias e de imaginar mundos abstratos,
frutos da fantástica capacidade de criação do cérebro humano, além de ser
componente importante no desenvolvimento da Aritmética e da Álgebra. Portanto,
deve ser ensinada.
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Se analisarmos a história, encontraremos relatos que explicam como
as terras que margeavam os rios (Rio Nilo no Egito Antigo) eram divididas para
serem cultivadas, desenvolvendo dessa forma a agricultura nessa área. Havia
também a necessidade de demarcação dos lados de terrenos, a idéia da área para
que houvesse o pagamento de tributos ao faraó e para divisão entre herdeiros.
Esses são exemplos de aplicações da geometria para resolver problemas do
cotidiano dos egípcios. Dessa forma, a geometria, nessa época, era tida como
necessidade, aplicada aos problemas diários dessas pessoas. O conhecimento
matemático surgiu a partir da obrigação de resolver problemas.
Segundo Boyer, no Papiro de Ahmes existem problemas que utilizam o
cálculo da medida de área, com o uso de composição e decomposição de figuras.
Euclides, geômetra grego, traz em sua obra “Os Elementos” à idéia que se
duas figuras planas se coincidem por superposição, essas serão iguais
(equivalentes). Foram os gregos que transformaram a geometria empírica dos
egípcios e babilônicos na geometria demonstrativa.
Muitos livros didáticos do ensino fundamental ainda trazem um número
reduzido de atividades relacionadas ao estudo do conceito de área de figuras
geométricas planas, somente introduzindo fórmulas para o cálculo de área, não
favorecendo a apropriação dos conceitos e das habilidades geométricas para o
aprendizado.
Portanto, faz-se necessário resgatar o ensino de Geometria de maneira
atrativa, rompendo com o processo educacional, pautado na transmissão e na
reprodução do conhecimento. Para isso, podemos utilizar várias tendências e
metodologias, aproveitando o interesse dos educandos em realizar atividades
práticas e a utilizar os recursos tecnológicos.
Este projeto pretende valorizar o ensino de Geometria com atividades
práticas, utilizando materiais manipuláveis e recursos tecnológicos, que podem fazer
com que o aluno focalize com atenção e concentração o conteúdo, visto que o
mesmo deve ser abordado de diferentes formas visando facilitar o aprendizado.
Serão trabalhadas a decomposição e composição de figuras geométricas planas,
utilizando o geoplano e malha quadriculada como recursos para possibilitar o cálculo
da medida de área e, para reconhecê-la como grandeza autônoma, permeando o
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processo de construção do conhecimento, a fim de que “as fórmulas” sejam
trabalhadas de maneira significativa para o aluno e não meramente repetidas.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA/REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
A importância da Educação Matemática na formação do cidadão vem sendo
reconhecida e, em particular, a Educação Geométrica tem sido apontada como
possibilitadora do desenvolvimento de habilidades e competências essenciais a essa
formação.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCNs/Matemática deve-se
proporcionar aos estudantes atividades na exploração do espaço físico em que
estão inseridos, possibilitando a representação, interpretação e descrição desse
espaço. A Geometria é um campo fértil para se trabalhar situações-problema que se
referem às formas, aos desenhos e às figuras que desempenham importante papel
na aprendizagem.
A importância do ensino da Geometria é destacada por Lorenzato:
“Na verdade, para justificar a necessidade de se ter a Geometria na escola,
bastaria o argumento de que sem estudar Geometria as pessoas não
desenvolvem o pensar Geométrico ou o raciocínio visual e, sem essa
habilidade, elas dificilmente conseguirão resolver as situações da vida que
forem geometrizadas, também não poderão se utilizar da Geometria como
fator altamente facilitador para a compreensão e resolução de questões de
outras áreas do conhecimento humano”. (LORENZATO, 1995).
A Geometria está presente em nosso cotidiano nas formas das construções,
dos objetos, nas inúmeras imagens com as quais nos deparamos diariamente.
Conhecer Geometria permite que se elaborem modelos da realidade e que se
resolvam diversos problemas práticos, como por exemplo, nas áreas de Arquitetura,
Engenharia, Geografia, Artes Plásticas, planejamento urbano e regional, design de
superfície, decoração, entre outras, ou seja, mesmo sem querer, deparamo-nos com
conceitos geométricos.
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Conforme as Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná, a Educação
Matemática deve formar estudantes críticos, capazes de agir com autonomia na
suas relações sociais e, para isso, é preciso que eles se apropriem de
conhecimentos matemáticos.
“O ensino da matemática trata a construção do conhecimento matemático
sob uma visão histórica, de modo que os conceitos devem ser
apresentados, discutidos e reconstruídos e também influenciam na
formação do pensamento humano e na produção de conhecimentos por
meio das idéias e das tecnologias”. (Diretrizes Curriculares do Estado do
Paraná, p.24).
Segundo Altoé (2005), na sociedade contemporânea há a exigência do uso
de equipamentos que incorporem os avanços tecnológicos. Nesse contexto, a
educação precisa passar por mudanças de paradigma, pois mudança na sociedade
implica, também, mudança na educação.
O construcionismo proposto por Seymour Papert (baseado na teoria
construtivista de Piaget) é uma teoria educacional que sugere uma forma de
aprendizagem, baseada na interação aluno com o computador. Nessa interação o
individuo deve assumir o comando de sua aprendizagem. Além disso, “essa teoria
propõe que à medida que o aprendiz interage com o computador ele é instigado a
investigar, pesquisar e refletir sobre o objeto da sua investigação ou criação”
(RICHIT E MALTEMPI, 2005.p.56). Papert (1994, p. 14) acrescenta que “o
computador contribui para tornar a descoberta mais provável e também torná-la
mais rica”, deixando claro que a interação aluno-computador favorece a iniciativa
pessoal.
A Geometria Dinâmica é ativa, exploratória e busca dar consistência a
conceitos matemáticos através da “deformação” de objetos geométricos. O software
GeoGebra é classificado com software de Matemática Dinâmica, por mostrar tanto a
representação geométrica quanto a representação algébrica. Contribui de forma
significativa no estudo da Geometria, pois apresenta ferramentas dinâmicas para as
construções planas e compreensão de conceitos e propriedades geométricas. Suas
ferramentas permitem a construção de figuras geométricas das mais simples às
mais complexas. Esse software é composto por interface bem apresentável e
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didática. Além das vantagens relacionadas ao conteúdo, incentiva a criatividade e a
descoberta de novas formas de construções geométricas e ainda oferece recursos
para o estudo de conteúdos matemáticos, relacionados à álgebra e ao cálculo.
Lorenzato (2006) destaca que com o auxílio do material didático é possível
conseguir uma aprendizagem com compreensão. Acrescenta ainda que é preciso
realizar uma escolha responsável e criteriosa do material, planejar com
antecedência as atividades, conhecendo bem os recursos antes de serem utilizados,
dar tempo para que o aluno se familiarize com a atividade, incentivar a comunicação
e troca de idéias, realizar perguntas e intervenções visando à autonomia do aluno,
discutir os diferentes processos, resultados e estratégias envolvidos, solicitar o
registro individual ou coletivo das ações realizadas, dúvidas e conclusões.
Para Chiummo:
“Se os conceitos de área e de perímetro forem bem explorados a partir de
situações envolvendo o quadriculado a composição e decomposição e
finalmente a dedução das fórmulas, os alunos conseguirão passar com
muita facilidade do quadro geométrico, para o quadro numérico, sabendo
também, dessa forma, utilizar a ferramenta adequada para atingir o objetivo
da aprendizagem e justificar as fórmulas utilizadas”. (CHIUMMO, 1998,
p.38).
Atividades práticas com materiais manipuláveis podem fazer com que o aluno
focalize com atenção e concentração o conteúdo a ser aprendido. Esse conteúdo
precisa ser abordado de diferentes formas. Os recursos didáticos devem estimular o
uso do maior número possível de órgãos dos sentidos. O aluno consegue aprender
apenas 10% do que lê 20% do que escuta 30% do que vê, 70% do que discute e
mais de 90% do que associa, interagindo com os conhecimentos, seja na relação
com colegas, professores, ou objetos de aprendizagem. A função dos recursos
didáticos é a de permitir que o aluno, através de manipulações, construa o
conhecimento e não dispense a necessidade da passagem para o abstrato. Seu uso
contribui para que os alunos compreendam a proposta da atividade, o seu
desenvolvimento e seu resultado, pois, ao manipular materiais, realizam um trabalho
de organização ou de reorganização mental, de forma que se apropriam do
conteúdo e ampliam sua concepção sobre o que é como é e para que aprender
Matemática.
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GEOPLANO – CONSTRUÇÃO E APLICAÇÕES
A geometria é um conteúdo matemático que pode ser bem explorado para a
resolução de problemas e tem muitas aplicações que aparecem no mundo real.
O geoplano é um dos recursos que pode auxiliar o trabalho desta área da
matemática, desenvolvendo atividades com figuras e formas geométricas,
principalmente planas, características e propriedades delas, ampliação e redução de
figuras, perímetro e área. É um modelo matemático que permite traduzir ou sugerir
idéias matemáticas, constituindo-se em um suporte concreto para a representação
mental, um recurso que leva à realidade idéias abstratas.
Os geoplanos são materiais didáticos manipuláveis que permitem aplicações
matemáticas, envolvendo diversos conteúdos. Constitui-se de um quadrado de
madeira lixada ou Eucatex, de dimensões em torno de 20 cm de lado, com pinos de
madeira, prego ou rebite, distribuídos sobre o mesmo, formando circunferências ou
quadriculados inscritos, dependendo do tipo do geoplano. Nesse, utilizam-se
borrachas ou atilhos do tipo de amarrar dinheiro, esticados entre pregos, para
realizar as atividades, sendo de cores variadas, tornando o material mais alegre e
divertido, além de possibilitar melhor visualização. Os pregos sugerem pontos, os
elásticos esticados, as semi-retas e o quadrado de madeira o plano.
A denominação dada ao Geoplano está diretamente ligada à aprensentação
da malha. Por exemplo, se a malha for formada por quadrados, o geoplano é dito
quadricular; formado por triâgulos equiláteros, temos o geoplano isométrico; se a
malha for circunferências concêntricas, será circular.
De acordo com Leivas (2008), a palavra geoplano vem do inglês “geoboards”
ou do francês “geoplans”, na qual “geo” vem de geometria e plano de tábua ou
tabuleiro ou superfície plana, constituindo assim a palavra. “[...] é um modelo
matemático que permite traduzir ou sugerir idéias matemáticas, constituindo-se em
um suporte concreto para a representação mental, um recurso que leva à realidade
idéias abstratas” (p.01). O autor ressalta que o geoplano pode ser utilizado pelo
professor, em lugar do quadro, frente aos estudantes ou individualmente pelos
mesmos. O trabalho individual permite que os estudantes elaborem as idéias
segundo o seu próprio ritmo. O papel do professor deve ser de condutor, orientando
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o trabalho para que os alunos encontrem todas as possibilidades de soluções das
atividades propostas. Enfatiza ainda que o diálogo com os alunos deva ser ágil, sem
impedir que cada um elabore os seus argumentos, dando “[...] tempo para que o
estudante observe, pense e expresse seu pensamento” (p. 02). E conforme o aluno
encontre as relações esperadas, deve registrá-las para sistematizar o conhecimento
construído.
ATIVIDADES COM O GEOPLANO
Atividade 01
Construindo o geoplano quadrado
Objetivo:
Construir o geoplano medindo, calculando, definindo, identificando,
reconhecendo conceitos e realizando procedimentos matemáticos.
Recursos:
Caderno e lápis
Pedaço de madeira de 20 cm por 20 cm
Pregos 8 x 8 com cabeça.
Martelo
Elásticos de cores diferentes da cor da madeira
Régua
Procedimentos:
a) Recortar na madeira um quadrado de 20 cm x 20 cm.
b) Preparar a madeira, usando uma lixa fina.
c) Quadricular a madeira recortada com subdivisões de 1 cm de lado.
d) Cravar 1/3 do prego em cada vértice dos quadrados.
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Atividade 02
Trabalhando com figuras geométricas planas
Objetivo:
Desenvolver a percepção visual de formas geométricas planas; comparar,
ampliar e reduzir formas e figuras; diferenciar perímetro de área.
Recursos:
Geoplano
Elásticos
Material para registro escrito
Procedimentos:
Esta atividade pode ser realizada em grupo, em duplas, ou individualmente.
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a) Mostrar uma forma já conhecida e, solicitando aos alunos, que a reproduzam no
geoplano, utilizando elásticos coloridos e verificando a quantidade de pregos que
deve ser contornado pelo elástico. (Pode ser uma figura recortada em malha
quadriculada)
b) Com a figura montada, questionar a quantidade de lados que ela tem, o nome da
figura e quantos pregos ela está tocando. (noção de perímetro).
c) Perguntar o que é preciso fazer para que essa figura fique maior.
d) Orientar os alunos para que mantenham o mesmo formato, apenas ampliando a
figura.
e) Questionar sobre quantos pregos foram usados na figura maior e na menor.
f) Fazer os desenhos no caderno, podendo utilizar malha quadriculada e recortes.
Atividade 03
Explorando as figuras geométricas planas
Objetivo:
Identificar figuras geométricas planas.
Recursos:
Geoplano quadrado.
Elásticos coloridos.
Procedimento:
a) Iniciar a atividade discutindo com os alunos sobre a idéia intuitiva de perímetro e
área.
b) Solicitar que construam com o elástico uma figura qualquer no geoplano e assim
comparar a área dessa figura com unidades como cm2.
c) Conversar sobre as unidades de medidas mais utilizadas: os múltiplos e os
submúltiplos do m2.
d) Solicitar aos alunos que construam no geoplano:
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1) Os quadriláteros quadrado, retângulo, trapézio, paralelogramo, losango.
2) Os triângulos classificados de acordo com a media dos lados em:
eqüilátero, isósceles e escaleno.
3) Os triângulos classificados de acordo com a medida dos ângulos em:
retângulo, acutângulo e obtusângulo.
4) Conforme se constrói questionar as propriedades e definições de cada
figura, observando as semelhanças e diferenças.
5) Fazer medições para confirmar as medidas dos lados.
6) Registrar no caderno as conclusões obtidas.
MALHA QUADRICULADA – MODELOS E APLICAÇÕES
A geometria se constitui em uma das diversas manifestações do
conhecimento humano desde a infância, principalmente, se considerarmos as
situações exploratórias e investigativas nas quais as atividades geométricas estão
apoiadas desde essa fase.
A exploração do pensamento geométrico, através de experiência prática,
contribui para a compreensão de fatos e relações que nos levam a questionar como
os objetos estão organizados no mundo. É a partir dessa compreensão que
concretizamos a realidade observada ou imaginada por nós. Algumas práticas
deixam evidentes as características geométricas, como é o caso da exploração e
organização das formas geométricas planas.
Estudos sobre a aprendizagem de conceitos geométricos recomendam
envolver os alunos em ações de natureza cognitiva, para o desenvolvimento sólido
do pensamento geométrico, e isso passa pela exploração, visualização,
manipulação, construção, representação, classificação e análise de formas.
Pesquisas realizadas por Ochi (1997) revelam que muitas crianças têm
dificuldades para entender que figuras diferentes podem ter a mesma área. Essa
idéia e a idéia de conservação de área podem ser exploradas e melhor
compreendidas com o auxilio de desenhos feitos em malhas. Essas questões, a
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serem exploradas a partir de figuras representadas em malhas, ajudam a
comparação entre figuras, quanto à grandeza área, a partir da contagem de
quadradinhos, ou pela composição e recomposição (corte e colagem ou corte e
justaposição) das figuras.
Para Chiummo:
Se o conceito de área e de perímetro forem bem explorado a partir de
situações envolvendo, o quadriculado, a composição e decomposição e
finalmente a dedução das fórmulas, os alunos conseguirão passar com
muita facilidade do quadro geométrico para o quadro numérico, sabendo
também, dessa forma, utilizar a ferramenta adequada para atingir o objetivo
da aprendizagem e justificar as fórmulas utilizadas. (CHIUMMO, 1998,
p.38).
Nesse sentido, acreditamos que o recurso didático malha quadriculada pode
trazer uma importante contribuição no estudo da área das figuras geométricas
planas, facilitando a articulação entre o quadro geométrico e o quadro grandezas.
Com esse recurso, o professor pode propor atividades a fim de que o aluno escolha
seu próprio caminho na construção do conhecimento. Nesse contexto, as malhas
quadriculadas vêm contribuir para a representação de figuras geométricas planas,
sendo utilizadas com a finalidade de proporcionar aos alunos a oportunidade de
observar elementos em seus desenhos, que contribuem para a construção de
conceitos matemáticos, como a sua estrutura lógica oferece elementos para a
construção do conceito de medida e iniciar a noção das grandezas área e perímetro.
As malhas são representadas por um tipo de papel que permite desenvolver
várias atividades, podendo ser pontilhado, triangular, quadrangular ou qualquer outra
composição de polígonos.
No dicionário de matemática de Imenes e Lelis (2002), malha significa divisão
de papel por meio de linhas, exemplificada pela malha de quadrado e malha de
triângulo. Segundo Aurélio (1995), a palavra quadriculada tem o seguinte sinônimo:
dividido em quadrículas; pequena quadra; pequeno quadrado ou retângulo. Nos
Houaiss (2001) esse significado é ampliado para: repartidos de forma a lembrar
quadrados; quadrilátero.
Nesse projeto, optamos pela malha quadriculada, ou seja, papel preenchido
por quadriláteros, para que o desenvolvimento da noção de área e a obtenção da
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fórmula algébrica de área de algumas figuras geométricas planas possam ser
facilitados mediante a utilização desse tipo de recurso, como, por exemplo, na figura
do retângulo, representada em malha quadriculada, a contagem das unidades,
organizadas em linhas e em colunas, pode vir a colaborar com a observação de que
a área pode ser calculada pelo produto das medidas dos lados.
As malhas podem aparecer articulando-se com conceito de área na
exploração como unidades não padronizadas, possibilitando a composição de
figuras com lados podendo coincidir, ou não, com as linhas dos seus contornos, que
não coincidem com as linhas dessas malhas, permitindo realizar a compensação
das unidades que cabem na figura.
ATIVIDADES COM MALHA QUADRICULADA
Atividade 01
Identificando o quadrado e calculando sua área.
Objetivos:
Reconhecer quadrados.
Escrever a expressão algébrica que representa a área do quadrado.
Calcular a área do quadrado.
Recursos:
Malha quadriculada
Tesoura
Cola
Caderno
Procedimentos:
a) Construir e recortar, na malha quadriculada, os quadrados solicitados.
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b) Colar no caderno ou em material próprio para registros.
c) Calcular a área de cada quadrado reconhecendo que cada mede 1
cm de lado.
d) Fazer o registro dos resultados.
e) Discutir com os colegas os resultados obtidos.
f) Responder:
1) Os números obtidos são quadrados perfeitos? Justifique.
2) Qual a expressão algébrica que representa a área do quadrado de lado l?
Figuras:
1.
2.
3.
4.
17
5.
6.
7.
Atividade 02
Explorando a potenciação e a radiciação
18
Objetivos:
Identificar a radiciação como operação inversa da potenciação.
Reconhecer números quadrados perfeito.
Recursos:
Malha quadriculada
Tesoura
Cola
Caderno
Procedimentos:
a) Construir e recortar, na malha quadriculada, os quadrados solicitados.
b) Colar no caderno ou em material próprio para registros.
c) Calcular a medida do lado de cada um dos quadrados, sendo dada sua área.
d) Discutir com os colegas os resultados obtidos.
e) Fazer registros em material apropriado.
f) Responder as questões:
1) Os números obtidos são quadrados perfeitos? Justifique.
2) Quando podemos considerar um número quadrado perfeito?
3) Qual a expressão algébrica que representa o lado do quadrado de área A2?
Figuras:
1.
2.
19
3.
4.
5.
20
6.
7.
Atividade 03
Identificando retângulos e calculando sua área.
Objetivos:
Identificar retângulos.
Obter a expressão algébrica que representa a área do retângulo.
Calcular a área do retângulo.
Recursos:
Malha quadriculada
21
Tesoura
Cola
Caderno
Procedimentos:
a). Construir e recortar, na malha quadriculada, os retângulos solicitados.
b) Colar no caderno ou em material próprio para registros.
c) Identificar a base e a altura.
d) Calcular a área de cada um dos retângulos sabendo que cada mede 1 cm
de lado.
e) Discutir com os colegas os resultados obtidos.
f) Fazer registros em material apropriado.
g) Responder as questões:
1) Os números obtidos são quadrados perfeitos? Justifique.
2) Qual a expressão algébrica que representa a área do retângulo de base b e
altura a?
Figuras:
1.
2.
3.
22
4.
5.
6.
23
7.
Atividade 04 Identificando paralelogramos e calculando sua área.
Objetivos:
Identificar paralelogramos.
Obter a expressão algébrica que represente a área do paralelogramo.
Calcular a área do paralelogramo. Recursos:
Malha quadriculada
Tesoura
Cola
Caderno
Procedimentos:
a) Construa um retângulo com 8 cm de base e 4 cm de altura.
b) Recorte e cole em seu caderno
c) Calcule a área desse retângulo utilizando a expressão obtida na atividade 3.
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d) Construa outro retângulo com 8 cm de base e 4 cm de altura.
e) Trace uma reta conforme o modelo.
f) Recorte e cole, conforme modelo, em material apropriado.
g) Identifique a figura obtida.
h) Compare com a figura anterior.
i) Indique os lados e a altura.
j) Calcule a área dessa figura.
l) Discutir o resultado obtido com os colegas.
m) Fazer os registros necessários.
n) Construa um retângulo com 6 cm de base e 3 cm de altura, seguindo os
procedimentos anteriores, obtenha um paralelogramo e calcule sua área.
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o) Realize os mesmos procedimentos com um retângulo de base b e altura a
quaisquer; obtenha a expressão algébrica que representa a área do paralelogramo.
Atividade 05 Identificando triângulos e calculando sua área. Objetivos:
Identificar triângulos.
Obter a expressão algébrica que representa a área do triângulo.
Calcular a área do triângulo. Recursos:
Malha quadriculada
Tesoura
Cola
Caderno Procedimentos:
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a) Construa, na malha quadriculada, um retângulo com 6 cm de base e 4 cm de
altura.
b) Recorte e cole em material apropriado.
c) Calcule a área desse retângulo utilizando a expressão algébrica obtida na atividade 3.
d) Construa outro retângulo com 6 cm de base e 4 cm de altura e transforme-o em um paralelogramo.
e) Trace uma diagonal conforme o modelo.
f) Recorte e cole, separadamente, as figuras formadas em material apropriado.
g) Identifique as figuras obtidas e compare.
h) Calcule a área de cada uma das figuras formadas.
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i) Discutir os resultados com os colegas.
j) Fazer os registros necessários.
l) Construa um retângulo com 4 cm de base e 3 cm de altura, seguindo os
procedimentos anteriores, obtenha dois triângulos congruentes; cole as figuras
separadamente e calcule sua área.
m) Realize os mesmos procedimentos com um retângulo de base b e altura a
quaisquer, obtenha a expressão algébrica que representa a área do triângulo.
28
Atividade 06 Identificando trapézios e calculando sua área. Objetivos:
Identificar trapézios.
Obter a expressão algébrica que representa a área do trapézio.
Calcular a área do trapézio. Recursos:
Malha quadriculada
Tesoura
Cola
Caderno
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Procedimentos:
a) Construa, na malha quadriculada, um retângulo com 8 cm de base e 4 cm de
altura.
b) Recorte e cole em material apropriado.
c) Calcule a área desse retângulo utilizando a expressão algébrica obtida na atividade 3.
d) Construa outro retângulo com 8 cm de base e 4 cm de altura e transforme-o em
um paralelogramo.
e) Trace uma reta inclinada conforme o modelo.
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f) Recorte e sobreponha às figuras obtidas, comparando-as.
g) Cole as figuras, separadamente, em material apropriado.
h) Identifique as figuras formadas.
i) Calcule a área das figuras.
j) Construa um retângulo com 6 cm de base e 4 cm de altura, seguindo os
procedimentos anteriores , obtenha dois trapézios congruentes e calcule sua área.
31
l) Realize os mesmos procedimentos com um retângulo de base b e altura a
quaisquer; obtenha a expressão algébrica que representa a área do trapézio.
Atividade 07 Identificando o losango e calculando sua área.
32
Objetivos:
Identificar losangos.
Obter a expressão algébrica que representa a área do losango.
Calcular a área do losango. Recursos:
Malha quadriculada
Tesoura
Cola
Caderno
Procedimentos:
a) Construa, em malha quadriculada, um retângulo com 6 cm de base e 4 com de
altura.
b) Recorte e cole em material apropriado.
c) Calcule sua área.
d) Construa outro retângulo com 6 cm de base e 4 cm de altura.
e) Encontre o ponto médio dos lados.
f) Trace um seguimento de reta, unindo os pontos médios, conforme o modelo.
33
g) Recorte e cole a parte maior, com as partes menores forme outra figura igual à
primeira.
h) Nomeie e compare as figuras obtidas.
i) Destaque as diagonais.
j) Calcule a área das figuras obtidas.
l) Construa um retângulo com 10 cm de base e 5 cm de altura, seguindo os
procedimentos anteriores, obtenha dois losangos congruentes e calcule sua área.
34
m) Realize os mesmos procedimentos com um retângulo de base b e altura a
quaisquer; obtenha a expressão algébrica que representa a área do losango.
35
SOFTWARE GEOGEBRA – CONSTRUÇÕES E APLICAÇÕES
A Geometria Dinâmica é ativa, exploratória e busca dar consistência a
conceitos matemáticos através da “deformação” de objetos geométricos. O software
GeoGebra é classificado com software de Matemática Dinâmica, por mostrar tanto a
representação geométrica quanto a representação algébrica, contribuindo de forma
significativa no estudo da Geometria, pois apresenta ferramentas dinâmicas para as
construções planas e compreensão de conceitos e propriedades geométricas. Suas
ferramentas permitem a construção de figuras geométricas das mais simples às
mais complexa, é composto por interface bem apresentável e didática. Além das
vantagens relacionadas ao conteúdo, incentiva a criatividade e a descoberta de
novas formas de construções geométricas e, ainda oferece recursos para o estudo
de conteúdos matemáticos relacionados à álgebra e ao cálculo.
O programa foi desenvolvido por Markus Hohenwarter, professor da
Universidade de Salzburg, com o intuito de dinamizar o estudo da Matemática.
Reunindo Geometria, Álgebra e Cálculo, o software permite relações entre suas
respectivas janelas, podendo ser utilizado em diversos níveis de ensino.
O GEOGEBRA possui uma série de ferramentas que tem por finalidade
simplificar seu trabalho durante as realizações de suas tarefas .
Alem disso quando você selecionar uma das ferramentas o próprio GeoGebra
vai ajudá-lo a utilizá-la, dizendo o que fazer.
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RECONHECIMENTO DO PROGRAMA
Ao acessar o programa temos uma janela como a seguinte
Observamos que a janela inicial está dividida em duas: à esquerda, a parte
algébrica, que pode ser fechada se necessário, e, à direita, a parte geométrica.
Para reativar a parte algébrica basta ir ao item exibir do menu e clicar em “janela de
álgebra”. Neste mesmo item, podemos ativar/desativar os eixos, a malha e o
protocolo de construção.
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Na parte inferior de cada botão da barra de ferramentas você vai encontrar
um pequeno triângulo que quando você clicar lhe dará acesso a mais opções de
ferramentas.
O GeoGebra também é equipado com uma Janela de Álgebra que poderá
usar caso conheça as equações do objeto matemático que irá construir.
Observamos que a janela inicial está dividida em duas: à esquerda, a parte
algébrica, que pode ser fechada se necessário; e à direita, a parte geométrica.
Para reativar a parte algébrica basta ir ao item exibir do menu e clicar em “janela de
álgebra”. Neste mesmo item podemos ativar/desativar os eixos, a malha e o
protocolo de construção.
Na tela inicial ainda temos a barra de ferramentas de acesso rápido:
Cada ícone desta barra tem várias opções, relacionadas com as funções
descritas no desenho do ícone. Essas opções são acessadas clicando na seta do
canto inferior direito de cada ícone.
Exploraremos algumas delas na seqüência, para conhecermos seus nomes
e utilidades. A exploração das ferramentas é fundamental para execução dos
exercícios.
Para ativar cada função na parte geométrica é necessário primeiro clicar no
ícone. Depois, na janela geométrica, conforme instruções do menu de conversação
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que está localizado ao lado da barra de ferramentas.
Faremos o detalhamento de alguns dos ícones e apresentaremos na
seqüência todas as opções disponíveis em cada ícone. Durante a realização das
atividades, teremos oportunidade de explorar a maioria das ferramentas
presentes no programa.
Devemos ficar alertas para dois aspectos especiais do programa: o sistema
decimal recebe ponto em vez da vírgula, e a cópia de qualquer figura da tela
(para colar no Paint e Word, por exemplo) deve ser feita selecionando o que
queremos e ir em “arquivo”, “exportar” e “copiar para a área de transferência
(Ctrl+Shift+C)”.
Neste momento iniciaremos a exploração dos ícones da barra de ferramentas
de acesso rápido do GeoGebra:
Mover
Para arrastar e soltar objetos livres com o mouse, seleção de um objeto
dando um duplo clique na opção de Mover.
Eliminar acionando a tecla Del.
Deslocá-lo através das teclas de movimento de cursor.
Para selecionar vários objetos, deve-se manter acionada a tecla Ctrl.
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Deslocar Eixos:
Para arrastar e soltar a área gráfica e deslocar a origem do referencial
também se pode deslocar a área gráfica, acionando a tecla Ctrl e arrastando-a com
o mouse.
Zoom de Aproximação:
Pode dar-se um clique sobre qualquer ponto da zona gráfica para produzir um
"zoom" de Aproximação.
Zoom de Afastamento:
Pode dar-se um clique sobre qualquer ponto da zona gráfica para produzir um
"zoom" de Afastamento.
Elimina objeto:
Basta dar um clique sobre qualquer objeto que se deseja eliminar.
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Ponto
As opções do ícone ponto são as seguintes:
Novo ponto: para criá-lo você precisa clicar primeiro no ícone, e depois na
parte geométrica. O ponto será carregado na tela enquanto o botão do mouse não
for solto. Só depois disso, é que o ponto será criado efetivamente. Durante o
movimento, as coordenadas aparecem na parte algébrica, se ela estiver ativada.
Interseção de dois objetos: pode ser selecionando dois objetos e os
pontos de interseção serão marcados. A outra opção é clicar na interseção dos
objetos, mas neste caso somente este ponto será marcado.
Ponto médio ou centro: para utilizar esta ferramenta, clique em:
- dois pontos para encontrar o ponto médio;
- em um segmento para encontrar seu ponto médio;
- em uma secção cônica para obter seu centro.
Teremos a seguir a apresentação das opções de cada ícone:
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Reta definida por dois pontos: a partir de dois pontos, clica neste botão e
nos pontos dados para construir a reta.
Segmento definido por dois pontos: dois pontos marcados determinam as
extremidades de um segmento, observe que na janela algébrica aparece sua
medida.
Segmento com dado comprimento a partir de um ponto: marca-se a
origem do segmento e digita-se a medida desejada para ele, em uma janela que
se abre automaticamente.
Semi-reta definida por dois pontos: traça-se uma semi-reta a partir do
primeiro ponto dado, passando pelo segundo.
Vetor definido por dois pontos: criam-se dois pontos e traça-se o vetor com
origem no primeiro ponto e ponto final no segundo.
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Vetor a partir de um ponto: construído um vetor, podemos construir um
representante deste a partir de um ponto considerado. Para isso, marca-se um
ponto (que será a origem do outro representante de v). Seleciona-se esta
ferramenta, clica-se sobre o vetor v já construído e, depois, sobre o ponto
considerado.
Reta perpendicular: Constrói-se uma reta e um ponto fora dela,
clica-se na ferramenta e temos uma perpendicular à reta passando por tal ponto.
Isso vale para segmento e semi-reta também.
Reta paralela: Idem à anterior.
Mediatriz: a partir de um segmento, clica-se nele e na ferramenta e ela vai
criar uma perpendicular pelo ponto médio.
Bissetriz: marcando-se três pontos A, B e C, constrói-se a bissetriz do
ângulo ABC. Clicando-se sobre as duas linhas concorrentes, já traçadas, constrói-
se as bissetrizes dos ângulos determinados pelas linhas.
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Tangentes: podemos construí-las selecionando uma cônica c em um ponto A
(todas as tangentes a c por A são traçadas) ou selecionando uma linha e uma
cônica.
Reta polar ou diametral: a reta polar ou diametral a uma cônica pode ser
construída selecionando-se um ponto e uma cônica; ou uma linha ou vetor e uma
cônica.
Lugar geométrico: clica-se em um objeto, como ponto e ativa a ferramenta
então podemos conhecer o lugar geométrico deste objeto.
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Círculo definido pelo centro e um de seus pontos: marcando-se um
ponto A e outro B, marca-se o círculo com centro em A, passando por B.
Circulo dados centro e raio: marca-se o centro A e digita-se a medida
desejada para o raio, em uma janela que aparece automaticamente.
Círculo definido por três pontos: Marcam-se três pontos não colineares,
traça-se o círculo que passa por eles.
Semicírculo dados dois pontos: marcando-se dois pontos A e B, traça-se o
semicírculo de diâmetro AB.
Arco circular dados o centro e dois pontos: marcando-se três pontos A, B
e C, traça-se o arco circular com centro A, começando no ponto B e terminando
no ponto C.
Arco circumcircular dados três pontos: essa ferramenta permite traçar um
arco circular por três pontos não colineares.
Setor circular dados o centro e dois pontos: marcando-se três pontos A, B
e C, traça-se o setor circular com centro A, começando no ponto B e terminando
no ponto C.
Setor circumcircular dados três pontos: marcando-se três pontos não
colineares, traça-se um setor circular por esses pontos.
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Cônica definida por cinco pontos: marcando-se cinco pontos constrói-se a
cônica que passa por eles (a cônica só será definida se Quaisquer quatro dos cinco
pontos não forem colineares).
Ângulo: com tal ferramenta podemos traçar ângulo entre três pontos; entre
dois segmentos; entre duas retas (ou semi-retas); entre dois vetores ou ainda
interiores de um polígono.
Ângulo com amplitude fixa: marcando-se dois pontos e d igitando-se a
medida desejada para o ângulo em uma janela que aparece automaticamente.
Distância: essa ferramenta fornece, na janela algébrica a distância entre
dois pontos, duas linhas ou entre um ponto e uma linha.
As demais ferramentas que não estão relacionadas aqui são de fácil acesso
e ao decorrer da utilização do programa, entende-se rapidamente como manipulá-las.
Portanto, partimos agora para as atividades.
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ÁREA
A cada região poligonal corresponde um único número real positivo que é a
sua área.
Para determinar a área de um polígono, basta clicar no ícone medida na
opção área e posteriormente no polígono.
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ATIVIDADES COM O SOFTWARE GEOGEBRA
Atividade 01
Explorando o software GeoGebra
Desenvolvimento:
1- Clique em exibir e esconda o eixo.
2- Explore o software GeoGebra, abra suas janelas, conheça os botões e
ferramentas. Navegue pelo menu e pelas propriedades. Selecione ferramentas e
clique na tela. Veja o que você conseguiu construir. Construiu alguma figura
geométrica?
3- Abra um arquivo novo, faça nele alguma construção. Em seguida, selecione
arquivo e clique em nova janela. Clique em exibir e feche eixo e janela de álgebra.
Novamente, abra as janelas e faça na tela pontos, segmentos, retas e outras figuras
que desejar construir. Percebeu alguma diferença em relação às primeiras
construções? Quais?
4- Criando pontos: usando a janela de visualização vamos criar pontos de duas
formas diferentes:
a) Ative a ferramenta ponto (2º botão) e clique em dois lugares distintos
da janela de visualização. O GeoGebra criou (e já nomeou) dois pontos: A e
B.
b) Para criar o terceiro ponto, vamos usar o campo de entrada. Suponha que
se queira um ponto cujas coordenadas são (4, 3), no campo de entrada, digite
apenas (4, 3). O GEOGEBRA criará o terceiro ponto e o nomeará com a letra ,
assim teremos agora três pontos na tela.
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5- Criando retas de duas formas:
a) Pelo botão ative a ferramenta reta definida por dois pontos (3º
Botão). Clique sobre o ponto A e depois sobre o ponto B. O programa deve ter
criado uma reta que passa pelos pontos A e B.
b) Usando o campo de entrada escreva reta [A, C]
Observe que todo o objeto que o GeoGebra cria é automaticamente nomeado.
Caso o procedimento anterior tenha sido correto, as retas criadas foram a e b.
6- Alterando a posição dos objetos de duas formas:
a) Com o 1º botão, ative a ferramenta mover e arraste os pontos A, B e
C. Note que, na janela de álgebra, são disponibilizadas informações úteis.
b) Via janela de álgebra. Na janela de álgebra aparecem as coordenadas dos
pontos A, B e C. Dê um duplo clique em uma dessas coordenadas, altere e
veja o que acontece na área gráfica.
7- Apagando objetos de três formas:
a) Ativando a ferramenta mover (1º botão), selecionado o objeto e
pressionando a tecla Del.
b) Na janela de álgebra, clicando com o botão direito do mouse sobre o objeto
selecione a opção apagar.
c) Utilizando o 10º botão, selecione a ferramenta apagar objeto. Quando essa
ferramenta está selecionada, ao clicar sobre qualquer objeto na janela de
visualização ou na janela de álgebra se apagam os objetos e todos os que
dele dependem. Experimente agora usar essa ferramenta e apagar todos os
objetos da janela de visualização.
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Atividade 02
1- Nesta atividade, será utilizada a janela de álgebra, o eixo e a malha. No menu
exibir aparecem essas três funções, sempre que precisar, você poderá ativá-las ou
desativá-las.
2- Para criar um ponto selecione a ferramenta novo ponto , e dê um clique na
área de trabalho. Marque no plano cartesiano cada um dos seguintes pontos: A (2,
1); B (8, 1); C (8, -2) e D (2, -2).
3- Mude a cor dos pontos. Para mudar a cor do ponto, clique sobre ele com o lado
direito do mouse e aparecerá uma janela. Selecione a opção propriedades e em
seguida a opção cor. No lado esquerdo dessa janela aparecem os pontos, clique
neles, um a um, e na cor desejada. Para a operação ser concluída, clique em
fechar.
4- Utilizando a ferramenta polígono , clique sobre os pontos e forme o
polígono ABCD. Lembre-se de fechar o polígono no ponto A.
5- Para mudar a cor do polígono, repita o procedimento utilizado para mudar a
cor dos pontos, clicando dentro do polígono com o lado direito do mouse.
6- Observe a janela de álgebra. Os dados do polígono também mudaram de cor. O
objeto Poly1 traz uma medida referente ao polígono P. A que vocês acham que essa
medida corresponde? A que se referem os objetos a, b, c, d?
7- A intensidade da cor do preenchimento do polígono pode ser alterada. Clique
dentro dele com o lado direito do mouse. A seguir, clique em propriedades escolha
a opção estilo, movimente com o mouse a seta de preenchimento que pode
intensificar ou diminuir sua cor.
8)- Para mover ou arrastar um objeto, selecione a ferramenta mover , clique no
polígono e arraste para o local desejado. Agora clique sobre um dos pontos e mova.
Clique sobre um dos lados e mova. Observe que a figura se altera.
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9- Para salvar a atividade realizada, selecione o menu arquivo clique na opção
gravar.
Atividade 03
1- Abra um arquivo novo, clicando em arquivo, na janela que surge selecione novo.
2- Nesta atividade, não utilizaremos a janela de álgebra, malha e nem o eixo. A
janela de álgebra também pode ser fechada, clicando no x que aparece em seu
canto superior direito.
3- Construa uma reta, utilizando a ferramenta reta definida por dois pontos ,
selecione a ferramenta e depois clique em dois lugares quaisquer no plano.
4- Renomeie os pontos A e B para C e D, para isso, clique sobre o ponto com o lado
direito do mouse, abrirá uma janela, selecione a opção renomear. Digite a letra com
a qual você identificará o ponto e clique em aplicar.
5- Mova a reta. Para isso selecione o botão mover e clique num dos pontos e
arraste.
6- Nomine a reta como r. Se a letra não aparecer, clique com o lado direito do mouse
sobre a reta e selecione exibir rótulo. Caso queira alterar seu nome, escolha a
opção renomear, clicando sobre a letra.
7- Mude a cor da reta. (Use o mesmo procedimento utilizado para mudar a cor dos
pontos e do polígono).
8- Modifique a espessura da reta. Clique sobre ela com o lado direito do mouse,
selecione propriedades e na função estilo podemos aumentar ou diminuir a
espessura da reta, movendo a seta correspondente. Também nesta janela pode-se
mudar o estilo da reta para pontilhado.
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9- Construa um novo ponto fora da reta e represente-o pela letra P.
10- Construa uma reta paralela à reta r passando pelo ponto P. Clique na ferramenta
reta paralela , a seguir clique na reta r e no ponto P (ou vice-versa).
11- Movimente a reta r clicando em um de seus pontos e observe o que acontece
com a reta paralela.
Atividade 04
1- Abra um arquivo novo.
2- Para esta atividade, não utilizaremos a janela de álgebra e o eixo.
3- Selecione a opção segmento definido por dois pontos e construa o
segmento AB.
4- Caso não esteja aparecendo o rótulo do segmento, clique com o lado direito do
mouse sobre ele e selecione a opção exibir rótulo. Você terá então, o segmento a.
5- Marque o ponto médio desse segmento. Selecione a opção ponto médio ou
centro e clique nos pontos A e B.
6- Trace uma reta perpendicular ao segmento AB, passando pelo ponto médio C.
Selecione a ferramenta reta perpendicular ·, clique no segmento e no ponto C.
7-Selecione o botão mover e mova os pontos.
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Atividade 05
Construindo um quadrado.
Desenvolvimento:
Usando a ferramenta polígono na barra de ferramentas e se orientando
pela malha quadriculada, construa um quadrado.
Atividade 06
Construindo um retângulo.
Desenvolvimento:
Usando a ferramenta polígono, na barra de ferramentas e se orientando
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pela malha quadriculada, construa um retângulo no segundo quadrante.
Atividade 07
Construindo o retângulo e calculando sua área.
Desenvolvimento:
Desenhe um retângulo de base igual a 6 e altura igual a 4. Calcule sua área.
Na barra de ferramentas, nas opções relativas a ângulo, observe que existirá
uma opção chamada área. Clique nesta opção em seguida, clique sobre o retângulo,
verifique que aparecerá um número próximo à figura, este número é a área da
figura.
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REFERÊNCIAS
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Brasil. Formação de Professores. EDUEM. EAD número 16. Maringá 2005. Página
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(Mestrado em Ensino da Matemática). Programa de Pós-Graduação em Educação
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56
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Comunicação científica. In: III Congresso Internacional de Ensino de Matemática.
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http://www.rc.unesp.br/igce/demac/maltempi/Publicacao/Richit-Maltempi-ciem.pdf .
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