Cláudio Carlos Dias

Neuza Maria Dantas

Geometria Analítica e Números ComplexosD I S C I P L I N A

Estudando o círculo

Autores

aula

03

Governo Federal

Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva

Ministro da EducaçãoFernando Haddad

Secretário de Educação a Distância – SEEDRonaldo Motta

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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Vice-ReitorNilsen Carvalho Fernandes de Oliveira Filho

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Secretaria de Educação a Distância- SEDIS

Coordenadora da Produção dos MateriaisCélia Maria de Araújo

Coordenador de EdiçãoAry Sergio Braga Olinisky

Projeto GráficoIvana Lima

Revisores de Estrutura e LinguagemEugenio Tavares BorgesMarcos Aurélio Felipe

Revisora das Normas da ABNTVerônica Pinheiro da Silva

Revisoras de Língua PortuguesaJanaina Tomaz Capistrano

Sandra Cristinne Xavier da Câmara

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DiagramadoresBruno de Souza Melo

Adaptação para Módulo MatemáticoThaisa Maria Simplício LemosPedro Gustavo Dias Diógenes

Imagens UtilizadasBanco de Imagens Sedis (Secretaria de Educação a Distância) - UFRN

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Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”

Dias, Cláudio Carlos. Geometria analítica e números complexos / Cláudio Carlos Dias, Neuza Maria Dantas. – Natal, RN : EDUFRN, 2006.

320 p. : il

1. Geometria analítica plana. 2. Geometria analítica espacial. 3. Números complexos. I. Dantas, Neuza Maria. II. Título.

ISBN 978-85-7273-331-1 CDU 514.12RN/UF/BCZM 2006/88 CDD 516.3

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte.Aula 03 Geometria Analítica e Números Complexos �

Apresentação

esta aula, você vai estudar o círculo do ponto de vista analítico. Na anterior, foram apresentadas as equações de uma reta. Nesta, veremos que um círculo também pode ser representada por meio de uma equação. Serão também estudadas as

relações existentes entre ponto e um círculo, entre reta e círculo e entre dois círculos. É bom ter em mãos uma calculadora para auxiliar nos cálculos, pois alguns problemas apresentam raízes quadradas que não possuem respostas exatas.

N

Objetivos

Ao final desta aula, esperamos que você identifique um círculo por meio de sua equação e saiba resolver problemas que envolvam as relações existentes entre ponto, reta e círculo.

Aula 03 Geometria Analítica e Números Complexos�

Equação do círculo

A lguns autores denominam de círculo, outros de circunferência, o lugar geométricode todos os pontos que estão a uma mesma distância de um ponto dado, o qual échamado centro. A distância comum é dita raio. Como não há um consenso em

relação a essa denominação, iremos adotar o termo círculo.

Se desenharmos um círculo no sistema cartesiano e fizermos um ponto qualquer P semovimentar sobre ele, a abscissa e a ordenada passam a depender da localização de P . Adistância do centro até esse ponto, entretanto, permanece a mesma. Essa distância é o quejá foi definido como raio, que é a medida do segmento de reta que parte do centro a qualquerponto do círculo. Analisando esse conceito do ponto de vista da distância entre dois pontos,é o mesmo que dizer que sendo o centro C(a, b) um ponto no sistema cartesiano, r > 0 oraio e P (x, y) um ponto no círculo, então d(C,P ) = r.

Isso pode ser visto na figura a seguir.

Como d(C,P ) =

(x− a)2 + (y − b)2 e d(C,P ) = r, temosd(C,P ) =

(x− a)2 + (y − b)2 = r. Ou seja, (x− a)2 + (y− b)2 = r2, que é a equação

do círculo de raio r e centro C(a, b).

Desenvolvendo o primeiro membro e organizando de modo conveniente, essa equaçãopode ser escrita como: x2 + y2 − 2ax − 2by + (a2 + b2 − r2) = 0, chamada de equaçãogeral do círculo.

Note que x2 e y2 possuem o mesmo coeficiente e o termo xy não existe. Desse modo,se tivermos uma equação do tipo Ax2 + Ay2 + Cx + Dy + E = 0, com A = 0, podemosencontrar uma equação equivalente do tipo (x−a)2 +(y−b)2 = r2, utilizando um processoque se chama completar quadrados, apresentado na atividade 1.

Figura 1 – O círculo de centro C e raio r

Equação do círculo

A

completar quadrados

Completar Quadrados

Técnica que consisteem escrever

x2 + 2ax = (x+a)2 – a2. Lembre-se de que

(x+a)2 = x2 + 2ax + a2.

y

y P(x,y)

C(a,b)

xx

r

a

b

O

Aula 03 Geometria Analítica e Números Complexos 3

Atividade 2

�

�

3

Atividade 1

�

3

�

Como A = 0, divida a equação Ax2 + Ay2 + Cx + Dy + E = 0por A.

Complete os quadrados em relação a x e y. Para isso, compare

x2 +C

Ax com x2 + 2ax para encontrar o valor de a. Faça o mesmo

para y2 +D

Ay.

Substitua os dados do item (2), desta atividade, no item (1).Seus cálculos conduzem à expressão:

x +

C

2A

2

+

y +D

2A

2

=C2 + D2 − 4EA

4A2.

Se C2 + D2 > 4EA,C2 + D2 − 4EA é um número positivo

e a equação acima é do círculo de centro− C

2A,− D

2A

e raio

r =√

C2 + D2 − 4EA

2|A|.

Com o compasso, construa um círculo de raio 4 cm.

Faça o centro do círculo coincidir com o centro do sistemacartesiano. Marque os pontos de interseção do círculo com os eixoscoordenados. Quais são as coordenadas desses pontos? Qual é aequação desse círculo?

Generalize para a equação de raio r com centro na origem. Como éescrita a sua equação?

Aula 03 Geometria Analítica e Números Complexos4

Exemplo 1

Mostre que x2 + y2 − 4x + 2y − 2 = 0 é a equação de um círculo.

Solução

Completando os quadrados, temos: x2 − 4x = x2 − 2.2x = (x − 2)2 − 4 ey2+2y = (y +1)2−1. Logo, x2+y2−4x+2y−2 = (x−2)2−4+(y +1)2−1−2 = 0,isto é, (x−2)2+(y+1)2 = 7, que é a equação do círculo de centro C(2,−1) e raio r =

√7.

Você já sabe como encontrar a equação do círculo quando são dados o centro e oraio. Agora, se a pergunta fosse: como saber se um determinado ponto pertence ou nãoa um círculo, se é conhecida sua equação? Para responder a essa pergunta, acompanhe oraciocínio a seguir.

Se um pontoSe um ponto PP ((xx11, y, y11)) pertence a um círculo, ele satisfaz a suapertence a um círculo, ele satisfaz a suaequação. Isso quer dizer que quando substituímosequação. Isso quer dizer que quando substituímos xx ee yy porpor xx11 ee yy11 emem((xx −− aa))22 + (+ (yy −− bb))22 == rr22, a expressão é verdadeira. Por exemplo,, a expressão é verdadeira. Por exemplo, PP (3(3,, 1)1)pertence ao círculo de equaçãopertence ao círculo de equação ((xx −− 2)2)22 + (+ (yy + 4)+ 4)22 = 26= 26, mas, mas PP (0(0,,−−3)3) nãonãopertence. Verifique essas afirmações.pertence. Verifique essas afirmações.

Posições relativas entreponto e círculo

Construindo um círculo de raio r, centro C(a, b), e marcando um ponto P qualquer,esse ponto pode estar em várias posições. Pode pertencer, estar interior ou exterior aocírculo. A figura a seguir mostra essas três situações.

Posições relativas entreponto e círculo

Aula 03 Geometria Analítica e Números Complexos �

Atividade 3

Figura 2 – Posições de um ponto P em relação a um círculo

(a) P pertence ao círculo:PC = r

(b) P é interior ao círculo:PC < r

(c) P é exterior ao círculo:PC > r

Pela Figura 2(a), é possível perceber que se P pertence ao círculo, a distância do centroao ponto coincide com raio, ou seja, d(C,P ) = r. Se P tem coordenadas (x1 , y1), então(x1 − a)2 + (y1 − b)2 = r2.

Olhando para as Figuras 2(b) e 2(c), o que se pode dizer à respeitoda distância entre o centro e o ponto P? Como podemos caracterizarum ponto que pertence, é interior ou exterior a um círculo?

Exercícios

1) Determine o valor de x, de modo que o ponto (x, 3) pertença ao círculo do centro C(−1, 2)e raio r =

√5.

2) Mostre que o ponto A(−1,2) é exterior ao círculo de equação (x−2)2+(y + 3)2 =16.

3) Mostre que 2x2 + 2y2 − 12x + 4y − 8 = 0 é equação de um círculo e encontre o seucentro e o seu raio.

4) Mostre que se A e B são dois pontos de um círculo, a mediatriz de AB passa pelo centro.

5) O centro de um círculo está sobre a reta de equação x−y+1 = 0. Encontre sua equação,sabendo que os pontos A(−1, 2) e B(2,−3) são pontos desse círculo.

6) Encontre a equação do círculo que passa pelos pontos A(8, 5) e B(3, 1) e tem raio iguala 10.

�

�

Exercícios

Determine o valor de x, de modo que o ponto (x, 3) pertença ao círculo do centro C(–1, 2) e raio r = .

Mostre que o ponto A(–1, 2) é exterior à circunferência de equação (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16.

Mostre que 2x2 + 2y2 – 12x + 4y – 8= 0 é equação de um círculo e encontre o seu centro e o seu raio.

Mostre que se A e B são dois pontos de um círculo, a mediatriz de AB passa pelo centro.

3

4

Olhando para as Figuras 2(b) e 2(c), o que se pode dizer à respeito da distância entre o centro e o ponto P? Como podemos caracterizar um ponto que pertence, é interior ou exterior a um círculo?

y

x

C C C

P

P

P

O

y

xO

y

xO

Aula 03 Geometria Analítica e Números Complexos�

Atividade 4

�

�

3

O centro de um círculo está sobre a reta de equação x – y + 1 = 0. Encontre sua equação, sabendo que os pontos A(–1, 2) e B(2, –3) são pontos desse círculo.

Encontre a equação do círculo que passa pelos pontos A(8, 5) e B(3, 1) e tem raio igual a 10.

�

�

Posições relativas entrereta e círculo

O desenvolvimento da atividade 4 vai fazer com que você conclua a respeito dascondições para que uma reta e um círculo possuam dois, um ou nenhum ponto em comum.

Construa num sistema cartesiano o círculo de equações(x− 1)2 + (y − 3)2 = 25, as retas de equação 3x + 4y + 10 = 0,x + y − 6 = 0, −3x− 2y − 12 = 0 e responda às questões a seguir.

Quantos pontos o círculo e cada reta possuem em comum?

Qual a distância do centro a cada reta dada? Para responder, use ofato de que o centro é um ponto e, portanto, você está calculando adistância entre ponto e reta, conforme estudado na aula 2 – Estudandoa reta no plano.

Compare com o valor do raio. A que conclusão você chegou?

Seus cálculos, feitos na atividade 4, confirmam as evidências geométricasseguintes:• para a reta que corta em dois pontos distintos o círculo, a distância do centroa esta é um valor menor que o raio;• para a que toca em um único ponto, a distância é igual ao raio;• para a que não possui interseção, a distância é maior que o raio.

Posições relativas entre reta e círculo

O desenvolvimento da atividade 4 vai fazer com que você conclua a respeito das condições para que uma reta e um círculo possuam dois, um ou nenhum ponto em comum.

Aula 03 Geometria Analítica e Números Complexos 7

Seus cálculos, feitos na atividades 4, confi rmam as evidências geométricas seguintes:

• para a reta que corta em dois pontos distintos o círculo, a distância do centro a este é um valor menor que o raio;

• para a que toca em um único ponto, a distância é igual ao raio;

• para a que não possui interseção, a distância é maior que o raio.

Figura 3 – Posição de uma reta s em relação a um círculo

(a) s é secante ao círculo:d(C, s) < r

(b) s é tangente ao círculo:d(C, s) = r

(c) s é externa ao círculo:d(C, s) > r

Na primeira situação, dizemos que a reta é secante ao círculo; na segunda, que étangente; e na terceira, que é externa.

O que foi dito pode ser generalizado da seguinte maneira.

Se s é uma reta de equação mx + ny + c = 0 e (x− a)2 + (y− b)2 = r2 é a equaçãode um círculo de centro C(a, b) e raio r . Entre a reta s e o círculo pode acontecer uma dastrês situações:

•• ss é secante ao círculo, então:é secante ao círculo, então:||mama ++ nbnb ++ cc||

mm22 ++ nn22< r< r, isto é,, isto é, dd((C, sC, s)) < r< r;;

•• sese ss é tangente,é tangente,||mama ++ nbnb ++ cc||

mm22 ++ nn22== rr, isto é,, isto é, dd((C, sC, s) =) = rr;;

•• e see se ss é externa ao círculo,é externa ao círculo,||mama ++ nbnb ++ cc||

mm22 ++ nn22> r> r, isto é,, isto é, dd((C, sC, s)) > r> r..

C

s

C

s

C

sy

xO

y

xO

y

xO

Aula 03 Geometria Analítica e Números Complexos8

Atividade 5

Para determinar se a reta é secante, tangente ou externa ao círculo, basta discutir asolução do sistema formado pela equação da reta e do círculo seguintes.

mx+ ny + c = 0

(x− a)2 + (y − b)2 = r2

Isolando y em mx + ny + c = 0 e substituindo na outra equação, temos

(x − a)2 +

c+mx

n+ b

2

= r2, com (n = 0)= 0) , que é uma equação de 2◦ grau na

incógnita x. Sendo assim, o número de soluções será determinado pelo valor dodiscriminante (∆). Se ele for um número positivo, o sistema possui duas soluçõesdistintas, isso quer dizer que a reta corta o círculo em dois pontos, sendo, portanto, secante.Se ∆ = 0, a reta é tangente,e se ∆ < 0, o sistema não tem solução no conjunto dos reais e a reta não possui interseçãocom o círculo.

Quando n = 0, a reta tem equação mx+ c = 0, que é a equação de uma reta paralela

ao eixo y passando pelo ponto− c

m, 0

, (m = 0). A distância do centro à reta é dada por

|ma+ c|√m2

=

ma+

c

m

|m|

.

Simplificando essa equação, ficamos coma+ c

m

. Chamadoc

m=k, temos: se |a+ k| = r,

a reta é tangente ao círculo, se |a + k| < r, a reta é secante, e se |a + k| > r, a reta nãopossui interseção com o círculo.

Comprove geometricamente que a reta de equação x + k = 0 é,respectivamente, tangente, secante ou externa ao círculo de equação(x− a)2 + (y − b)2 = r2, se |a+ k| = r, |a+ k| < r ou |a+ k| > r.

Exemplo 2

Mostre que a reta y = x − 1 e o círculo x2 + y2 − 2x − 4y − 2 = 0 são secantes eencontre os pontos de interseção.

Solução 1

Usando a distância entre ponto e reta.

A equação x2 + y2 − 2x− 4y− 2 = 0 é equivalente a (x− 1)2 + (y− 2)2 = 7. Logo,C(1, 2) e r =

√7 ∼= 2, 646. A distância da reta ao centro é dada por:

|ma+ nb+ c|m2 + n2

=2√2=√2 ∼= 1, 414.

Como 1, 414 < 2, 646 = r, podemos concluir que a reta e o círculo são secantes.

Aula 03 Geometria Analítica e Números Complexos �

e se ∆ < 0, o sistema não tem solução no conjunto dos reais e a reta não possui interseçãocom o círculo.

Quando n = 0, a reta tem equação mx+ c = 0, que é a equação de uma reta paralela

ao eixo y passando pelo ponto− c

m, 0

, (m = 0). A distância do centro à reta é dada por

|ma+ c|√m2

=

ma+

c

m

|m|

.

Simplificando essa equação, ficamos coma+ c

m

. Chamadoc

m=k, temos: se |a+ k| = r,

a reta é tangente ao círculo, se |a + k| < r, a reta é secante, e se |a + k| > r, a reta nãopossui interseção com o círculo.

Comprove geometricamente que a reta de equação x + k = 0 é,respectivamente, tangente, secante ou externa ao círculo de equação(x− a)2 + (y − b)2 = r2, se |a+ k| = r, |a+ k| < r ou |a+ k| > r.

Exemplo 2

Mostre que a reta y = x − 1 e o círculo x2 + y2 − 2x − 4y − 2 = 0 são secantes eencontre os pontos de interseção.

Solução 1

Usando a distância entre ponto e reta.

A equação x2 + y2 − 2x− 4y− 2 = 0 é equivalente a (x− 1)2 + (y− 2)2 = 7. Logo,C(1, 2) e r =

√7 ∼= 2, 646. A distância da reta ao centro é dada por:

|ma+ nb+ c|m2 + n2

=2√2=√2 ∼= 1, 414.

Como 1, 414 < 2, 646 = r, podemos concluir que a reta e o círculo são secantes.

Solução 2

Analisando o valor do discriminante.

Substituindo y = x − 1 na equação do círculo, desenvolvendo e agrupando ostermos semelhantes, ficamos com a equação 2x2 − 8x + 3 = 0. Como o discriminante é∆ = 40, que é um número positivo, a equação tem duas soluções distintas e,conseqüentemente, o sistema tem dois pontos distintos como solução. Logo, a reta é secanteao círculo.

Para encontrar os pontos de interseção, basta resolver a equação 2x2 − 8x+ 3 = 0 e,com os valores de x, encontrar os de y, utilizando a equação y = x− 1. Sendo assim, a retacorta o círculo nos pontos

4 +√10

2,2 +

√10

2

e

4−

√10

2,2−

√10

2

.

Posições relativasentre dois círculos

A ssim como existe um modo para determinar quando uma reta e um círculo possuempontos em comum, existe, também, uma maneira de identificar quando dois círculossão secantes, isto é, possuem dois pontos distintos em comum; são tangentes, ou

seja, têm apenas um ponto em comum; ou não possuem interseção entre si.

Um parâmetro para identificar cada caso é a comparação da distância entre os centroscom a soma ou a diferença em módulo dos raios.

Para facilitar, separemos a análise em três casos. Procure entender, pela figuraapresentada, qual a relação da distância entre os centros e os raios, antes de ler a explicaçãode cada caso.

1◦ Caso – Os círculos não possuem interseção entre si.

A figura a seguir apresenta as duas possibilidades.

Posições relativas entre dois círculos

A ssim como existe um modo para determinar quando uma reta e um círculo possuem pontos em comum, existe, também, uma maneira de identificar quando dois círculos são secantes, isto é, possuem dois pontos distintos em comum; são tangentes, ou

seja, têm apenas um ponto em comum; ou não possuem intersecção entre si.

Um parâmetro para identificar cada caso é a comparação da distância entre os centros com a soma ou a diferença em módulo dos raios.

Para facilitar, separemos a análise em três casos. Procure entender, pela figura apresentada, qual a relação da distância entre os centros e os raios, antes de ler a explicação de cada caso.

Aula 03 Geometria Analítica e Números Complexos�0

�° Caso – Os círculos não possuem intersecção entre si.

A figura a seguir apresenta as duas possibilidades.

Figura 4(a) – Círculos exteriores de raios r1 e r2 e centros C1 e C2: d > r1 + r2

Figura 4(b) – Círculos em que um é interior ao outro:d < | r1 – r2 |

Olhando para a Figura 4(a) e sendo d a distância entre os centros, temosd(C1, C2) = d(C1, P1) + d(P1, P2) + d(P2, C2). Como d(C1, P1) = r1, d(P1, P2) > 0 ed(P2, C2) = r2, podemos concluir que d(C1, C2) > r1 + r2.

Já em 4(b), a distância entre os centros é d(C1, C2) = d(C1, P1) − d(C2, P1). Mas,d(C2, P1) = d(C2, P2)− d(P2, P1). Logo,

d(C1, C2) = d(C1, P1)− d(C2, P2)− d(P2, P1) = r1 − r2 − d(P2, P1).

Como d(P2, P1) > 0, temos d(C1, C2) < r1 − r2 se r1 > r2 ou d(C1, C2) < r2 − r1 ser2 > r1. Quando C1 = C2, então d = 0, e os círculos são ditos concêntricos. Em qualquersituação, temos 0 ≤ d < |r1 − r2|.

2◦ Caso – Os círculos são tangentes.

Na Figura 5(a), temos d(C1, C2) = d(C1, P )+d(C2, P ) = r1+r2. Em 5(b), a distânciaentre os centros é dada por d(C1, C2) = d(C1, P ) − d(C2, P ). Como d(C1, P ) = r1 ed(C2, P ) = r2, temos d(C1, C2) = r1 − r2. Nessa situação, r1 > r2. Se fosse a situaçãocontrária, d(C1, C2) = r2 − r1, e r2 > r1. As duas situações podem ser resumidas comod(C1, C2) = |r1 − r2|.

Figura 5(a) – tangentes exteriores: d = r1 + r2 Figura 5(b) – tangentes interiores: d = | r1 – r2 |

xd

C C

C

Crr P P

PP

x

d

y y

O O

x

C

dP

C

x

d

P

Cr r

C

y y

O O

Aula 03 Geometria Analítica e Números Complexos ��

Olhando para a Figura 4(a) e sendo d a distância entre os centros, temosd(C1, C2) = d(C1, P1) + d(P1, P2) + d(P2, C2). Como d(C1, P1) = r1, d(P1, P2) > 0 ed(P2, C2) = r2, podemos concluir que d(C1, C2) > r1 + r2.

Já em 4(b), a distância entre os centros é d(C1, C2) = d(C1, P1) − d(C2, P1). Mas,d(C2, P1) = d(C2, P2)− d(P2, P1). Logo,

d(C1, C2) = d(C1, P1)− d(C2, P2)− d(P2, P1) = r1 − r2 − d(P2, P1).

Como d(P2, P1) > 0, temos d(C1, C2) < r1 − r2 se r1 > r2 ou d(C1, C2) < r2 − r1 ser2 > r1. Quando C1 = C2, então d = 0, e os círculos são ditos concêntricos. Em qualquersituação, temos 0 ≤ d < |r1 − r2|.

2◦ Caso – Os círculos são tangentes.

Na Figura 5(a), temos d(C1, C2) = d(C1, P )+d(C2, P ) = r1+r2. Em 5(b), a distânciaentre os centros é dada por d(C1, C2) = d(C1, P ) − d(C2, P ). Como d(C1, P ) = r1 ed(C2, P ) = r2, temos d(C1, C2) = r1 − r2. Nessa situação, r1 > r2. Se fosse a situaçãocontrária, d(C1, C2) = r2 − r1, e r2 > r1. As duas situações podem ser resumidas comod(C1, C2) = |r1 − r2|.

3◦ Caso – Os círculos possuem dois pontos em comum, sendo chamados de secantes.

A distância entre os centros e o ponto de interseção forma um triângulo de lados r1, r2

e d . Em qualquer triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois e maior que asua diferença, em módulo. Logo, d < r1 + r2 e d > |r1 − r2|. Assim, se dois círculos sãosecantes, temos |r1 − r2| < d < r1 + r2.

Os três casos podem ser resumidos assim:Os três casos podem ser resumidos assim:

•• 00 ≤≤ d <d < ||rr11 −− rr22|| ouou d > rd > r11 ++ rr22, os círculos não possuem interseção entre, os círculos não possuem interseção entresi;si;

•• dd == ||rr11 −− rr22|| ouou dd == rr11 ++ rr22, os círculos são tangentes;, os círculos são tangentes;

• |• |rr11 −− rr22|| < d < r< d < r11 ++ rr22, os círculos são secantes., os círculos são secantes.

Exemplo 3

Qual a posição relativa entre os círculos de equações x2 + y2 − 2x − 6y + 1 = 0 e(x + 3)2 + (y + 2)2 = 16 ?

Figura 6 – Círculo secante

| r1 – r2 | < d < r1 + r2

x

d

P

C

rr

C

y

O

Aula 03 Geometria Analítica e Números Complexos��

Resumo

Solução

O primeiro círculo tem C1(1, 3) e raio r1 = 3. O segundo tem C2C2C (−3,−2) e r2 = 4.Calculando a distância entre os centros, temos d(C1, C2, C2, C ) =

√41 ∼= 6, 4. Comparando com

a soma dos raios r1 + r2 = 7 e com a diferença |r1 − r2| = 1, o valor 6, 4 é um númeromaior que 1 e menor que 7. Logo, |r1 − r2| < d(C1, C2, C2, C ) < r1 + r2. Portanto, os círculossão secantes entre si.

Continuando os exercícios

7

8

�

�0

��

Nesta aula, você aprendeu que é possível estudar círculos por meio de suas equações. Analisou, também, as relações necessárias para determinar as posições relativas entre pontos e círculos; entre reta e círculo; e entre dois círculos. Para isso, utilizou os conceitos de distância entre pontos e de pontos a uma reta.

Encontre os valores deEncontre os valores de cc, de modo que a reta, de modo que a reta xx ++√√

33yy ++ cc = 0= 0 sejasejatangente ao círculo de equaçãotangente ao círculo de equação ((xx−− 2)2)22 + (+ (yy ++

√√3)3)22 = 6= 6..

Qual o comprimento da corda que a retaQual o comprimento da corda que a reta xx−− yy + 3 = 0+ 3 = 0 determina nodetermina nocírculo de equaçãocírculo de equação xx22 ++ yy22 = 17= 17??

Ache os pontos de interseção entre os dois círculos do exemplo 3.Ache os pontos de interseção entre os dois círculos do exemplo 3.

Encontre as equações dos círculos de centroEncontre as equações dos círculos de centro ((−−33,, 4)4) tangentes aotangentes aocírculo de equaçãocírculo de equação xx22 ++ yy22 = 16= 16. Ilustre geometricamente esse fato.. Ilustre geometricamente esse fato.

Determine as equações das retas simultaneamente tangentes aosDetermine as equações das retas simultaneamente tangentes aoscírculoscírculos xx22 ++ yy22 = 9= 9 ee ((xx−− 6)6)22 ++ yy22 = 1= 1..

Aula 03 Geometria Analítica e Números Complexos �3

Como você define círculo (circunferência) em Geometria Plana? E em Geometria Analítica?

Formule pelo menos três problemas que envolvam círculo e resolva-os usando os conceitos estudados em Geometria Analítica dados nesta aula.

Elabore um resumo com os principais conceitos envolvidos nesta aula.

Use o item 4 dos Exercícios para determinar um processo de construção de um círculo quando são dados três pontos distintos por onde ele deve passar.

Demonstre, usando coordenadas, o resultado já estudado em Geometria Plana e Espacial, que qualquer ângulo inscrito num semi-círculo é um ângulo reto.

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Auto-avaliação

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3

4

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Sugestões para a resolução dos exercícios

1. Use a equação do círculo.

2. Calcule a distância do centro ao ponto dado e compare com o valor do raio.

3. Complete quadrados e compare com (x – a)2 + (y – b )2 = r2.

4. Mediatriz de um segmento é a reta perpendicular que passa pelo seu ponto médio.

5. Use o mesmo processo do Exercício 4.

6. Substitua os pontos na equação do círculo e resolva o sistema para encontrar o seu centro.

7. Use a condição de tangência entre reta e círculo.

8. Encontre a distância entre os dois pontos de interseção da reta com o círculo.

9. Resolva o sistema formado pelas equações dos círculos apresentadas.

10. Use as condições de tangência entre círculos para encontrar os valores dos raios dos círculos procurados.

11. Construa geometricamente os círculos e perceba o fato, já apresentado em Geometria Plana, de que existirão 4 retas tangentes a esses círculos.

Aula 03 Geometria Analítica e Números Complexos�4

ReferênciasLIMA, E. L. Geometria analítica e álgebra linear. Rio de Janeiro: Coleção MatemáticaUniversitária, 2001.

__________. A matemática do ensino médio. 4.ed.Rio de Janeiro:SBM,2004. (Coleção doProfessor de Matemática,3.)

IEZZI, G. et al. Fundamentos de matemática elementar: geometria analítica. São Paulo:Atual, 1985. v.7.

RUBINSTEIN, C. et al. Telecurso 2000: ensino médio: 2◦ grau. Rio de Janeiro: FundaçãoRoberto Marinho. Disponível em http://www.bibvirt.futuro.usp.br/textos/exatas/matematica/tc2000/mat2g47.pdf. Acesso em: 07 abr. 2005.

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