d i s c i p l i n a geometria analítica e números...

Cláudio Carlos Dias

Neuza Maria Dantas

Geometria Analítica e Números ComplexosD I S C I P L I N A

Vetores no plano e no espaço tridimensional

Autores

aula

10

Governo Federal

Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva

Ministro da EducaçãoFernando Haddad

Secretário de Educação a Distância – SEEDRonaldo Motta

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

ReitorJosé Ivonildo do Rêgo

Vice-ReitorNilsen Carvalho Fernandes de Oliveira Filho

Secretária de Educação a DistânciaVera Lúcia do Amaral

Secretaria de Educação a Distância- SEDIS

Coordenadora da Produção dos MateriaisCélia Maria de Araújo

Coordenador de EdiçãoAry Sergio Braga Olinisky

Projeto GráficoIvana Lima

Revisores de Estrutura e LinguagemEugenio Tavares BorgesMarcos Aurélio Felipe

Revisora das Normas da ABNTVerônica Pinheiro da Silva

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Sandra Cristinne Xavier da Câmara

Revisora TipográficaNouraide Queiroz

IlustradoraCarolina Costa

Editoração de ImagensAdauto HarleyCarolina Costa

DiagramadoresBruno de Souza Melo

Adaptação para Módulo MatemáticoThaisa Maria Simplício LemosPedro Gustavo Dias Diógenes

Imagens UtilizadasBanco de Imagens Sedis (Secretaria de Educação a Distância) - UFRN

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

Divisão de Serviços Técnicos

Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”

Dias, Cláudio Carlos. Geometria analítica e números complexos / Cláudio Carlos Dias, Neuza Maria Dantas. – Natal, RN : EDUFRN, 2006.

320 p. : il

1. Geometria analítica plana. 2. Geometria analítica espacial. 3. Números complexos. I. Dantas, Neuza Maria. II. Título.

ISBN 978-85-7273-331-1 CDU 514.12RN/UF/BCZM 2006/88 CDD 516.3

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte.Aula 10 Geometria Analítica e Números Complexos 1

Apresentação

Nesta aula, você vai estudar o conceito de vetor, o qual é muito útil em vários campos da aplicação da Matemática. Por exemplo, em Física, esse conceito é usado para representar uma força que atua sobre um objeto, como também para representar um

campo eletromagnético, dentre outros fenômenos. Faremos, inicialmente, uma apresentação intuitiva desse conceito de vetor, explorando seus aspectos geométricos, em seguida, faremos uso de coordenadas para identificá-lo.

Objetivos

Ao término desta aula, esperamos que você saiba fazer uso de vetores nos diferentes contextos em que eles aparecem, bem como saiba manipulá-los geométrica e algebricamente na resolução de problemas.

Terra

G

F

Plano

Aula 10 Geometria Analítica e Números Complexos�

Vetores geométricos

Quando um objeto é largado de uma torre a partir de uma posição de repouso, ele cai no solo devido à atuação da força gravitacional (G) exercida pela Terra. Essa força é comumente representada por um segmento de reta orientado (seta) cujo

comprimento representa a intensidade da força. Veja a ilustração a seguir.

Figura 1 – Um corpo em queda livre

Figura � – Deslocamento de um corpo sob a ação de uma força F

Mais um exemplo é quando um atleta chuta uma bola parada e esta, antes de cair ao solo, descreve uma parábola. Seu movimento, desprezando-se a resistência do ar, ocorre em função da soma (resultante) da força F, imprimida pelo chute, com a força G, exercida pela gravidade, conforme ilustrado na Figura 3.

Um outro exemplo é o deslocamento de um corpo em linha reta sobre um plano devido à ação de uma força F, ilustrado na figura seguinte.

F G

Terra

G

F

B

A

CE

J I

F H

GD

Aula 10 Geometria Analítica e Números Complexos �

Observe que no primeiro caso a direção da força é vertical e seu sentido é de cima para baixo. Enquanto no segundo caso, a direção é horizontal e o sentido é da esquerda para a direita. Em ambos os casos, o comprimento da seta representa a intensidade da força num sistema de medida conveniente.

As situações anteriores são casos particulares de uma entidade chamada vetor, que é definida como um segmento de reta orientado, localizado no plano ou no espaço tridimensional, conforme ilustrado a seguir.

Observação 1 – O que distingue um vetor −−→AB de um segmento de reta AB é

que AB = BA, enquanto −−→AB =

−−→BA .

Figura 4 – Vetores geométricos

Observe que um vetor é determinado por um ponto inicial, que é a sua origem; por um ponto final, a sua extremidade; por uma direção, que é a direção da reta que passa pela sua origem e sua extremidade; por um sentido de percurso (da origem para a extremidade) e por um comprimento. Um vetor de origem A e extremidade B é denotado por

−−→AB .

Figura � – Movimento de uma bola devido à ação de uma força F

Negligenciando a origem e a extremidade, um vetor fica completamente determinado, permitindo conhecer sua direção, seu sentido e seu comprimento. Por isso, dizemos que dois vetores são equivalentes se eles têm a mesma direção (isto é, são paralelos), o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Em outras palavras, eles diferem, possivelmente, apenas pelos lugares onde se localizam. Dessa forma, não vamos distingui-los já que eles são, na realidade, iguais. Veja a ilustração a seguir.

u

u vv

B BB

A

A B = = = ...

= ...

= ...A B A B

AA

FC

CC

C

DD

DD

E

E

EF

F

E F = =E F E F

C D = =C D C D = C D

Aula 10 Geometria Analítica e Números Complexos4

Nota – Dois vetores no plano são paralelos quando as retas que os contém são paralelas; enquanto os vetores no espaço são paralelos, se estão em um mesmo plano e, nesse plano, são paralelos.

O que torna o uso de vetores importantes em muitos problemas das Ciências e da Matemática é a existência de duas operações algébricas, a saber: a soma de vetores e a multiplicação de um vetor por um número real (escalar). Por medida de simplificação, denotaremos, daqui por diante, os vetores por letras minúsculas, tais como u, v, w etc.

Dados os vetores u e v, posicionando-se o vetor v de modo que sua origem coincida com a extremidade de u (isso é possível devido à definição de equivalência de vetores), então o vetor com origem igual a de u e extremidade igual a de v é definido como sendo a soma de u + v, de u com v, conforme mostrado na seguinte figura:

Na Figura 7, estão representados os vetores u + v e v + u.

Figura 6 – Soma de dois vetores

Figura 5 – Vetores equivalentes

Atividade 1

vw

u v

u

v

w

u u

v

v

v uu v

Aula 10 Geometria Analítica e Números Complexos 5

Figura 8 – Associatividade da soma de vetores

Na figura a seguir verifique que o vetor em negrito tanto representa (u + v) +w quanto u + (v + w), logo (u + v) + w = u + (v + w), ou seja, a soma dos vetores é associativa.

Figura 7 – Comutatividade da soma de vetores

Observa-se que u + v = v + u, ou seja, a soma de vetores é comutativa.

Observação � – A figura anterior sugere que, para somar dois vetores u e v, posiciona-se os dois com a mesma origem (isso é possível pela definição de equivalência de vetores) e, em seguida, constrói-se o paralelogramo com lados representados pelos vetores u e v. O que se observa é que a diagonal do paralelogramo que parte da origem comum dos vetores representa a soma u + v.

Atividade 3

Atividade 2

Terra

15Km/h5 Km/h

α

Terra

15Km/h5 Km/h

α


Sabemos que, se num objeto em repouso atuam forças F e F' de mesma direção, de mesma intensidade e de sentidos contrários, o objeto permanece em repouso. Ilustre essa situação e explique esse fenômeno em linguagem vetorial.

Figura 9 – Disparo de uma flecha contra um alvo

Um arqueiro deseja atingir um alvo frontal com flechas. No momento do disparo, corre um vento transversal de 5 km/h e a flecha viaja a 15 km/h. Utilize a figura a seguir para encontrar a direção, dada pelo ângulo α, na qual ele deve posicionar a flecha para atingir o alvo. Despreze a força da gravidade.

Quando trabalhamos com a soma de números reais, sabemos que x + 0 = 0 + x para todo número real x. Será que existe uma propriedade análoga para vetores? Existe e é o que faremos a seguir.

Grosso modo, o vetor nulo pode ser definido como tendo a mesma origem e mesma extremidade, o que sugere que podemos defini-lo como um vetor de comprimento nulo sem direção e sem sentido. Esse vetor será denotado por 0. Com essa definição fica claro que v + 0 = 0 + v para todo vetor v. Aqui temos que admitir que todos os vetores nulos são iguais ou equivalentes.

Outra operação com vetores consiste em multiplicar um vetor por um número real, o qual chamamos de escalar. É natural esperar que se v é um vetor não nulo, então 2v, 3v, 4v

Atividade 4

-v

-v

-v

vv

v

-v

v


Figura 10 – Multiplicação de um vetor por um número inteiro

Se v é um vetor não-nulo, descreva o que seria natural esperar que sejam os

vetores 12

v,13

v,14

v etc.; como também −12

v, −13

v, −14

v etc. Em seguida,

ilustre com uma figura.

etc. sejam vetores com mesma direção e sentido de v e com o dobro, o triplo, o quádruplo etc., de comprimento de v, respectivamente. Enquanto –2v, –3v, –4v etc. manteriam os comprimentos anteriores, mas com sentido contrário ao de v. Veja a figura seguinte.

A digressão anterior nos conduz ao seguinte: se k é um escalar (número real) e v é um vetor não-nulo, define-se kv como um vetor com mesma direção, com comprimento |k| vezes o comprimento de v, e com o mesmo sentido de v, se k > 0, e com sentido contrário ao de v, se k < 0. Caso k = 0, então kv = 0v é definido como o vetor nulo. É conveniente definir também (-1)v = – v, k . 0 = 0. Observe que se k = 1, então kv = 1v é um vetor de mesma direção, mesmo comprimento, e mesmo sentido de v. Logo, 1 . v = v.

Exemplo 1

Mostre que para todo vetor v, –v + v = v + (–v) = 0.

SoluçãoO vetor v + (–v) pode ser representado pela Figura 11.

v v

v v

-v

v


Figura 11 – O vetor nulo como resultado de uma soma

Observe na Figura 11 que o vetor v + (–v) tem a mesma origem e a mesma extremidade, logo, v + (–v) é o vetor nulo. Pela comutatividade da soma, –v + v = v + (–v) = 0. Agora, podemos definir uma outra operação entre vetores: a diferença. Se u e v são vetores define-se a diferença entre u e v por u – v = u + (–v).

Exemplo 2

Mostre que se u e v são vetores, então v + (u – v) = u. Isto é, u – v é o vetor que somado a v é igual a u.

Solução

Pela definição de diferença,

u – v = u + (–v);

pela comutatividade,

u + (–v) = (–v) + u,

logo,

u – v = (–v) + u .

Desse modo, somando v a ambos os membros, obtém-se

v + (u – v) = v + ((–v)) + u).

Pela associatividade, o segundo membro da igualdade acima fica,

v + ((–v) + u) = (v + (–v)) + u,

u v

u v

u

v

u vu

v


mas

v + (–v) = 0 e 0 + u = u.

Portanto,

v + ((–v) + u) = u,

ou seja,

v + (u – v) = u.

Vamos ilustrar na figura seguinte o vetor u – v, levando-se em conta que ele é o vetor que somado com v reproduz u, conforme estabelecido no exemplo anterior.

Figura 12 – A diferença entre dois vetores

Nota – Convém destacar que para somar ou subtrair dois vetores u e v posicionados com a mesma origem, basta construir o paralelogramo de lados representados pelos vetores u e v. A diagonal que parte da origem comum dos vetores representa o vetor u + v, enquanto a outra diagonal, que parte da extremidade de v, representa o vetor u – v, conforme ilustração a seguir.

Figura 1� – A regra do paralelogramo para a soma e diferença de vetores

1

�

Exercícios

u

u

u

u

P R

S

T

Q


A figura a seguir representa quatro vetores no plano u1, u2, u3, u4.

Figura 14 – Quatro vetores no plano

Desenhe:

Figura 15 – Seis vetores no plano

Dada a Figura 15

pede-se

a) u = u1 + u2 + u3 + u4

b) u’ = u1 – u2 – u3 – u4

c) v = u1 + u2 + u3 – u4

d) v’ = u1 – u2 – u3 + u4

a) −→PR +−→RS

b) −→PR +−→RS +

−→ST

c) −−→QR −−→RT

d) −−→PQ +−−→QR +

−→RS

�

4

u v


Dados os vetores desenhados a seguir

desenhe os vetores

Figura 16 – Dois vetores no plano

Sejam vetores u e v no plano, não nulos e não colineares. Se w é um vetor qualquer no plano, mostre geometricamente que é possível encontrar escalares a e b tais que w = au + bv.

a) 2u + v

b) 2u + 3v

c) 3v – u

d) –u – v

e) 12v − 1

4u

f) −32v − 2

3u

Vetores coordenados no plano

A té este momento, exploramos os vetores no plano sem fazer referência alguma a um sistema de coordenadas. O que faremos a partir de agora é introduzir coordenadas cartesianas de modo que cada vetor possa ser identificado através de um par ordenado

de números reais. Consideremos, portanto, o plano com um sistema de coordenadas retangulares xy. Se v é um vetor nesse plano, o único vetor com ponto inicial na origem do plano, paralelo a v e com mesmo sentido e comprimento de v, é, como sabemos, equivalente a v, por isso ele ainda será representado por v. Veja a figura seguinte.

vy

v

x

yvy

x x

y

u

|| u || ||u |

|

x

v

u v

x x

x x x

Aula 10 Geometria Analítica e Números Complexos1�

Figura 19 – A abcissa da soma de dois vetores

Figura 17 – O vetor equivalente a v com ponto inicial na origem

Observação � – Veja que um ponto P de coordenadas (x1, y1) é denotado por P(x1, y1), enquanto um vetor v com essas coordenadas é denotado por v = (x1, y1). Agora, cabe a seguinte pergunta: se u = (x1, y1) e v = (x2, y2), quais são as coordenadas (x, y) do vetor u + v ? A resposta decorre da análise da Figura 19.

Daqui por diante, a não ser que seja dito o contrário, todos os vetores são tomados com ponto inicial na origem do plano. Nessas condições, se v é um vetor ele fica completamente determinado pelas coordenadas, (x1, y1), de sua extremidade, caso em que escrevemos v = (x1, y1), conforme mostrado na Figura 18.

Figura 18 – As coordenadas x1 e y1 de um vetor v

Os dois triângulos retângulos da figura anterior, onde estão assinalados os ângulos retos, são congruentes (por quê?). Disso decorre que x – x2 = x1, logo a abcissa do vetor u + v é x = x1 + x2. Analisaremos agora a Figura 20, análoga à anterior, dando ênfase às ordenadas.

|| u ||

|| v ||

y

y

yy

u v

y

yv

u

y

x

vkl

kv

lx x

y

y

y

v

l

kv

kl

x

Aula 10 Geometria Analítica e Números Complexos 1�

Figura �0 – A ordenada da soma de dois vetores

De maneira análoga, a congruência entre os triângulos retângulos, onde os ângulos retos estão destacados, nos permite concluir que a ordenada de u + v é y = y1 + y2. Em resumo, u + v = (x1 + x2, y1 + y2). Convenhamos que era de se esperar! A pergunta se mantém para o caso da multiplicação de um vetor por um escalar. Ou seja, se v = (x1, y1) e k é um escalar, quais as coordenadas (x, y) do vetor kv? Considerando o caso k > 0, x1 > 0, y1 > 0 e analisemos as figuras a seguir.

Figura 21 – A abicissa do vetor kv

Figura �� – A ordenada do vetor kv

Atividade 5

P

x

u

y

P

O


Aqui, cabe a seguinte pergunta: se P0(x0, y0), quais as coordenadas do vetor u com extremidade inicial na origem e tal que u =

−−→P0P , sendo P(x, y)?

A resposta está ilustrada na figura a seguir.

Determine as coordenadas de kv no caso em que k < 0 e v = (x, y) têm x < 0 e y < 0.

Figura �� – As coordenadas de um vetor u =−−→P0P

Seja l o comprimento do vetor v, então kl é o comprimento do vetor kv. Da semelhança dos dois triângulos da Figura 21 com os ângulos retos assinalados, como também dos dois triângulos da Figura 22 também com os ângulos retos assinalados, resulta que:

x

x1=

kl

l , ou seja, x = kx1;

y

y1=

kl

l, ou seja, y = ky1.

Concluindo,

kv = (kx1, ky1),

como não poderia deixar de ser.

Observe a figura anterior e veja que de acordo com a soma geométrica de vetores −−→OP = −−→OP0 +

−−→P0P , donde

−−→P0P =

−→0P −

−−→OP0 = (x, y)− (x0, y0)

y

y

xx

y|| v ||


Como u é equivalente a −−→P0P e tem extremidade inicial na origem, segue-se que

u = (x− x0 , y − y0) .

Seja v um vetor, o comprimento de v será denotado por ||v||, que se lê: “norma de v”. Se v = (x, y) usando o Teorema de Pitágoras no triângulo da Figura 24, de catetos x, y e hipotenusa ||v||, temos que

v2 = x2 + y2,

ou seja,

v =

x2 + y2 .

Figura �4 – A norma de um vetor v no plano

Exemplo 3Que figura no plano representa o conjunto S

= {v, v = 1}?

Solução

Seja v = (x, y). Então, v = 1 significa que x2 + y2 = 1 , ou seja, x2 + y2 = 1, que

é a equação do círculo com centro na origem e raio 1, dito o círculo unitário. Observe que se θ é o ângulo que um vetor unitário v faz com o eixo positivo x, então x = cos θ e y = cos θ , isto é, v = (cos θ , sen θ), conforme ilustrado na figura a seguir.

y

x

v

cos θ

senθ

θ

y

x

v

u

|| v ||

|| v ||

|| u ||

|| u ||

|| u-v |||| u+v ||


A soma dos quadrados das diagonais é dada por

u+ v2 + u− v2 = (x1 + x2)2 + (y1 + y2)

2 + (x1 − x2)2 + (y1 − y2)

2

= (x21 + 2x1x2 + x22) + (y21 + 2y1y2 + y22) + (x21 − 2x1x2 + x22)+

+(y21 − 2y1y2 + y22).

Figura 25 – O círculo unitário

Exemplo 4Verifique a lei do paralelogramo: a soma dos quadrados das diagonais de um

paralelogramo é igual à soma dos quadrados de seus lados.

SoluçãoAdaptaremos um sistema de coordenadas em que a origem coincide com um vértice do

paralelogramo. Representamos os lados do paralelogramo adjacentes a esse vértice pelos vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2). Veja a figura a seguir.

Figura �6 – A lei do paralelogramo

Continuando os exercícios

5

6

7


Determine as coordenados do vetor −−→−−→PQPQ , em que

a) P(–1, –2) e Q(3, 1)

b) PP00,,

1122

ee QQ

−−1133

,, 44

Determine as coordenadas do ponto médio do segmento PQ, se P(1, –2) e Q(3, 2).

Ache um vetor não nulo −−→−−→PQPQ , sendo Q(1, –1) e tal que

a) −−→−−→PQPQ tem a mesma direção e sentido do vetor u = (–2, 3);

b) −−→−−→PQPQ tem a mesma direção e sentido oposto ao do vetorv = (4, –1).

Somando os termos iguais e cancelando os de sinais opostos, obtemos2(x21 + x22) + 2(y21 + y22) = 2u2 + 2v2

e o segundo membro representa a soma dos

quadrados dos lados do paralelogramo.

Em resumo, u+ v2 + u− v2 = 2u2 + 2v2 que é a equação que representa

a lei do paralelogramo.


8

9

10

y

x

v

P

P

r

--


Equações paramétricas de uma reta no plano

Dada uma reta r no plano, (assunto visto na aula 2 – Estudando a reta no plano) ela fica determinada quando se conhece um ponto P0(x0, y0), por onde ela passa e sua inclinação θ , que é o ângulo que essa reta faz com o eixo positivo x.

Se um vetor v = (a, b) faz também um ângulo θ com o semi-eixo positivo x, então v é paralelo a essa reta. Desse modo, um ponto P(x, y) está sobre a reta se, e somente se, o vetor

−−→P0P é paralelo a v, ou seja, se, e somente se, existe t ∈ tal que

−−→P0P = tv.

Mas, −−→P0P = (x – x0, y – y0) e tv = (ta, tb).

Donde (x – x0, y – y0) = (ta, tb), o que dá x – x0 = ta, y – y0 = tb, ou seja,x = x0 + ta, y = y0 + tb , t ∈ , que são as equações paramétricas da reta. Essa discussão está sintetizada na figura a seguir.

Encontre as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P0 (1,2) e tem inclinação de 30°.

Encontre as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P0 (1,1) e é perpendicular à reta da questão 8 anterior. Determine o ponto onde essas duas retas se interceptam.

Descubra as equações paramétricas das duas retas que passam por P0 (0,2) e faz um ângulo de 30° com a reta da questão 8 anterior.

Figura 27 – P ∈ r ⇔−−→P0P//v ⇔ ∃t ∈ ;

−−→P0P = tv

Atividade 6

1

�

z

z

y

x

y

v

x


Vetores coordenados no espaço

A nalogamente ao caso do plano, fixado um sistema de coordenadas xyz para o espaço, vamos considerar (a não ser que seja dito o contrário) todos os vetores com ponto inicial na origem do sistema de coordenadas. Desse modo, um vetor v

fica perfeitamente determinado pelas coordenadas do ponto (x1, y1, z1) da sua extremidade, como mostra a ilustração a seguir.

Repetindo o procedimento usado para o plano, mostre que seu = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) são vetores do espaço, então u + v = (x1 + x2 + z1 + z2 + y1 + y2). Se k é um escalar, então kv = (kx2, ky2, kz2).

Procedendo de modo análogo ao que foi feito para o plano, mostre que se v =

−−→P0P onde P(x, y,z), então v = (x – x0, y – y0, z – z0).

Figura 28 – Um vetor coordenado no espaço

Exemplo 5

Dado um vetor v = (x, y, z), mostremos que o comprimento de v é dado por v =

x2 + y2 + z2 .


11

zz

||v||

||u||y

yz

y u

x

v

x

Aula 10 Geometria Analítica e Números Complexos�0

SoluçãoAplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo do plano xy, de hipotenusa

u e de catetos x e y, apresentado na fi gura a seguir, obtém-se

u2 = x2 + y2 .

Figura 29 – O comprimento do vetor v

Já com o mesmo teorema aplicado ao triângulo retângulo da Figura 29 anterior, de hipotenusa v e de catetos u e z, obtém-se

v2 = u2 + z2 ,

donde

v2 = x2 + y2 + z2 ,

ou seja,

v =

x2 + y2 + z2 .

Dados os vetores u = (4, 1, –4), v = (–3, 2, 4) e ww ==11,,

1122

,,1133

,

determine os vetores uu

uu,,vv

vv e ww

ww e calcule seus comprimentos.

O que eles têm de comum?

1�

1�

14

15

16

Resumo

Aula 10 Geometria Analítica e Números Complexos �1

Mostre que para todo vetor não nulo v, o vetor vv

vv é unitário, isto é, tem

comprimento 1.

Determine as coordenadas do vetor −−→−−→PQPQ , onde

a. P(2, –2, 3) e Q(3, 0, 4);

b. PP−−3322

,, 11,, 55

ee QQ

1122

,, 11,, 44

.

Ache um vetor −−→−−→PQPQ com Q(–1, –2, 3) tal que

a. −−→−−→PQPQ tem a mesma direção do vetor u = (1, 0, 2);

b. −−→−−→PQPQ tem a mesma direção e sentido oposto ao do vetor u = (4, –1, 2).

Encontre as coordenadas do ponto sobre o segmento PQ cuja

distância a Q é 133

da distância de P(1, –1, 2) a Q(4, 2, 5).

Use vetores para encontrar o comprimento da diagonal de um cubo de aresta 1.

Nesta aula, introduzimos o conceito de vetor a partir dos pontos de vista geométrico e algébrico, bem como estabelecemos suas principais propriedades aritméticas.Mostramos ainda a utilidade dos vetores na resolução de problemas.

1

�

�

Aula 10 Geometria Analítica e Números Complexos��

Sugestões para a resolução dos exercícios

1. Opere os vetores dois a dois, por exemplo em (d), desenhe w = u1 – u2 e w' = (u3 – u4) e observe que v' = w – w'.

2. Aplique diretamente a definição de soma de vetores.

3. Aplicações diretas da soma de vetores e multiplicação por escalares.

4. Da extremidade de w trace paralelas a u e a v. Em seguida, prolongue esses vetores até que o prolongamento de u, denominado au, encontre a paralela a v, e até que o prolongamento bv de v encontre a paralela a u. Conclua que w = au + bv.

5. Observe que −→0P +

−−→PQ =

−→0Q, onde 0 = (0, 0).

6. Note que as coordenadas do ponto médio de −−→PQ são dadas pelas coordenadas do vetor −→0P +

12−−→PQ , onde 0 = (0, 0).

7. (a) Se −−→PQ e u têm a mesma direção, então

−−→PQ = tu . Tome, por exemplo, t = 1,

para que eles tenham o mesmo sentido. (b) Nesse caso, −−→PQ e sv têm a mesma

direção (−−→PQ = sv ), tomando s = –1.

8. Observe que v = (cos30o, sen30o) é um vetor na direção da reta.

9. O vetor v = (cos120o, sen120o) é um vetor na direção da reta perpendicular.

Auto-avaliação Estabeleça o conceito de retas paralelas e de retas perpendiculares no plano do ponto de vista de vetores.

Dadas as equações paramétricas de uma reta no plano, determine as correspondentes equações para uma reta que lhe é perpendicular.

Fazendo analogia ao que foi feito no plano, encontre no espaço as equações paramétricas de uma reta.

Aula 10 Geometria Analítica e Números Complexos ��

10. Faça um desenho para concluir que os vetores v = (cos60o, sen60o) e v = (1, 0) são os possíveis vetores na direção dessas retas.

11. Faça os cálculos e conclua que todos são vetores unitários.

12. Fazer v = (a, b, c) e calcular v

v.

13. Observe a sugestão dada no exercício 5.

14. Observe a sugestão dada no exercício 7.

15. Repita a sugestão dada no exercício 6.

16. Desenhe o cubo com um vértice na origem. Represente as arestas do cubo que concorrem nesse vértice como vetores u, v, w . Observe que a diagonal do cubo é representada por u + v + w. Faça uso do Teorema de Pitágoras.

Referências

ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001.

LIMA, Elon Lages et al. A matemática do ensino médio. Rio de janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1998. 3 v.

Aula 10 Geometria Analítica e Números Complexos�4

Anotações

d i s c i p l i n a geometria analítica e números...

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