Joyce Danielle de Araújo - Engenharia de Produção

Inequação do Primeiro Grau

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1

Definição

Equação x Inequação

• Uma equação é uma igualdade entre dois membros e por isso usa-se o sinal de igual (=) entre eles.

• Uma inequação é uma desigualdade, então, em vez de um sinal de igual, usa-se sinais de:

Inequação

Nas inequações utiliza-se a mesma linguagem das equações: membro, termo, incógnita e solução.

Assim, na desigualdade x+2 > 4, tem-se:

Incógnita X

1º membro X + 2

2º membro 4

Numa inequação temos muitas soluções:

5 é solução de 5 + 2 > 4

3 é solução de 3 + 2 > 4

OBS.: Uma inequação está resolvida quando se determina o conjunto solução da mesma.

Inequação

Toda sentença matemática que contém um ou mais elementos desconhecidos e que representa uma desigualdade é denominada inequação.

Não são inequações:

5² + 5 > 3² - 2. Embora seja desigualdade, não possui elemento desconhecido.

3x + 1 = 45 - 4x. É uma equação.

Princípios Das Desigualdades

Princípio Aditivo

Se numa balança tivermos 3kg num prato e 5kg no outro, e se acrescentarmos 2kg a cada um dos pratos, a situação não se altera.

Matematicamente

5 > 3

5 + 2 > 3 + 2

ou

5 – 2 > 3 - 2

Princípio Multiplicativo

Multiplicação por um número positivo:

Observando que 2 é menor que 3 matematicamente escrevemos: 2 < 3

Podemos multiplicar ambos os membros por qualquer número positivo, que a desigualdade não se alterará:

2 x 6 < 3 x 6

2 x 0,01 < 3 x 0,01

Princípio Multiplicativo

Podemos multiplicar

ambos os membros de

uma inequação por um

n.º positivo, mantendo o

sinal da desigualdade,

que obtemos uma

inequação equivalente à

primeira.

Princípio Multiplicativo

Multiplicação por um número negativo:

Tendo que: 2 < 3, se multiplicarmos ambos os lados por -1 verifica-se que:

(-1) x 2 = -2 e (-1) x 3 = -3

Nota-se que -2 é maior que -3, por isso ao multiplicarmos uma inequação por um número negativo, deve-se inverter o sinal da desigualdade.

2 x (-1) < 3 x (-1) -2 < -3

Princípio Multiplicativo

Podemos multiplicar

ambos os membros de

uma inequação por um

n.º negativo,

INVERTENDO o sinal

da desigualdade, que

obtemos uma

inequação equivalente

à primeira.

Inequações

Consideremos a seguinte situação:

Um retângulo tem y metros de comprimento e x metros de largura, enquanto um triângulo equilátero tem 3 m de lado. Qual a sentença matemática que podemos escrever para expressar o fato de o perímetro do retângulo ser maior que o perímetro do triângulo equilátero?

Inequações

Resolução:

Sendo p1 o perímetro do retângulo e p2 o perímetro do triângulo, temos:

p1 = 2x + 2y e p2 = 9

Como, de acordo com a situação, devemos ter p1 > p2, a sentença matemática pedida é:

2x + 2y > 9

Inequações do Primeiro Grau

Exemplos:

Vamos resolver a inequação 7x + 6 > 4x + 7, sendo U =

Resolução:

7x - 4x > 7 - 6; 3x > 1 .: x > 1/3

Podemos dizer que todos os números racionais maiores que 1/3 formam o conjunto solução da inequação dada, que representamos por:

Inequações Do Primeiro Grau

Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1° grau, com o seguinte procedimento:

1. Iguala-se a expressão ax + b a zero;

2. Localiza-se a raiz no eixo x;

3. Estuda-se o sinal conforme os exemplos.

Inequações Do Primeiro Grau

Exemplo 1:

-2x + 7 > 0 x (-1)

2x - 7 < 0

-2x + 7 = 0

x = 7/2

Exemplo 2:

2x – 6 < 0

2x – 6 = 0

x = 3

Inequações Do Primeiro Grau

(x+3) > (-x-1) ⇔ x+3 > -x-1 ⇔ x + x + 3 + 1 > 0 ⇔ 2x + 4 > 0

Seja y = 2x + 4 2x + 4 = 0 x = -2

Estudando os sinais da função:

Exemplo 3: Resolver a inequação (x+3) > (-x-1).

Sistemas de Inequações do 1º Grau

Os sistemas são conjuntos de inequações cuja solução

satisfaz a todas, simultaneamente.

Para resolver um sistema de inequações procedemos da

seguinte maneira:

• Resolvemos individualmente cada inequação;

• O conjunto solução do sistema é o conjunto resultado da

intersecção das inequações resolvidas individualmente.

Sistemas de Inequações Do 1º Grau

Inequações Simultâneas

Sentenças matemáticas que tem mais de uma desigualdade.

Veja o exemplo: -3 < x < 4

Nessa inequação, os valores de x variam de –3 até 4.

O processo de resolução das inequações simultâneas é

semelhante ao do sistema de inequações.

1. Separamos a inequação em duas desigualdades;

2. Achamos as soluções individuais;

3. A solução procurada é determinada pela intersecção das

respostas individuais.

Inequações Simultâneas

Exemplo 1: Achar o conjunto solução da inequação

simultânea

-x + 3 < x+ 1 < 2x

Resolução

Separando as desigualdades, temos:

-x + 3 < x + 1 inequação 1

x+1 < 2x inequação 2

Inequação Simultâneas

Resolução (continuação)

Encontrando o conjunto solução de cada inequação, individualmente, temos:

Resolução (continuação)

A solução do sistema é obtida fazendo a intersecção (∩) das

soluções individuais, ou seja das soluções da Inequação 1 e 2:

1 ∩ 2 = {x∈ IR | x > 1} ∩ {x∈ IR | x > 1}= {x∈ IR | x > 1}

Observe que nesse exemplo, as desigualdades são iguais.

Assim, a solução da desigualdade é S = {x∈ IR | x >1} = ]1, +∞)

Inequação Simultâneas

Inequações Produto e Quociente

Sentenças matemáticas constituídas por desigualdades com produto ou quociente de funções. Essas inequações em geral, tem sua solução baseada no estudo da variação do sinal de uma função do 1o grau e nas propriedades dos sinais do produto e do quociente dos números reais.

Inequação Produto

Exemplo: Encontre o conjunto solução da inequação produto do 1º grau (x-4) (x+2)>0

Resolução:

Cada um dos fatores (x-4) (x+2) representa uma função do 1o grau. Assim, iniciamos pelo estudo dos sinais dessas expressões que chamaremos de y e z, respectivamente.

Para y = x-4 e z = x+2 temos:

(1) Se y = x - 4, então sua raiz é obtida

fazendo x - 4 = 0 ⇔ x = 4.

(2) Se z = x+2 então sua raiz é

obtida fazendo x + 2 = 0 ⇔ x = -2.

Inequação Produto

Resolução (Continuação)

(1) (2)

A solução da inequação produto é obtida a partir da integração das análises das variações de sinais de y e z, representadas acima. Após, aplicamos a regra de sinais do produto dos números reais e analisamos o resultado final encontrado.

Inequação Produto

Resolução (Continuação)

Assim, a inequação produto (x-4) (x+2)>0 está definida no intervalo real

{ x ∈ IR | x < -2 ou x > 4}

y

z

yz

Inequação Quociente

Resolução

A resolução da inequação quociente é similar ao da inequação

produto pois no conjunto dos números reais, a divisão ou

multiplicação de dois números apresenta a mesma regra de

sinais. Assim, cada termo do quociente representa

uma expressão do 1o grau. Iniciamos pelo estudo dos sinais

dessas expressões que chamamos de a e b, respectivamente.

Exemplo: Encontre o conjunto solução da inequação

quociente do 1º grau:

< 0

Inequação Quociente

Resolução (Continuação)

Para a = x-1 e b = x+5 temos:

(1) Se a = x-1 então sua raiz é obtida

fazendo x-1 = 0 ⇔ x = 1.

(2) Se b = x+5 então sua raiz é

obtida fazendo x+5 = 0 ⇔ x = -5.

A solução da inequação quociente é obtida a partir da integração das análises das

variações de sinais das expressões a e b, representadas acima. Após, aplicamos

a regra de sinais do quociente dos números reais e analisamos o resultado final

encontrado.

Inequação Quociente

Resolução (Continuação)

Observe:

Assim, a inequação quociente < 0 está definida no intervalo

real

{ x ∈ IR | -5 < x < 1}

Obrigada pela atenção!

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