“PROJETO EDUCAÇÃO CONTINUADA”

Aplicações Práticas comAplicações Práticas coma Calculadora HP-12ca Calculadora HP-12c

Hubert Chamone Gesser

Florianópolis (SC), Julho/2011

APLICAÇÕES PRÁTICAS COM A CALCULADORA HP-12C

- Programa de Educação Continuada CRC/SC –Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.e-mail: profhubert@hotmail.com

Conteúdo Programático

1. Conhecendo a Calculadora HP-12c

2. Diagramas de Fluxo de Caixa

3. Taxas de Juros

4. Taxa de Juro Real e Inflação

5. Valor Presente Líquido (VPL)

6. Valor Futuro Líquido (VFL)

7. Valor Uniforme Líquido (VUL)

8. Taxa Interna de Retorno (TIR)

9. Comparando o VPL e a TIR

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1. CONHECENDO A CALCULADORA HP-12C

Modelos de Calculadoras Financeiras HP12c

Há quatro modelos de HP12c que podem ser encontrados no mercado: HP12c Prestige, HP12c Platinum, HP12C Platinum série 25 anos e o modelo mais tradicional conhecida pelo apelido Gold.

Ligando e desligando a calculadora

Para começar a usar sua HP12c, aperte a tecla ON (localizada no canto inferior esquerdo). Apertando ON novamente a calculadora é desligada. Se não desligada manualmente, a calculadora se desligará automaticamente entre 8 e 17 minutos depois do último uso.

Indicador de carga da bateria

Um ícone de bateria (*) mostrado no canto superior esquerdo do mostrador, quando a calculadora está ligada, significa que a bateria está fraca.

O teclado

A Calculadora HP12c tem um teclado com várias teclas de funções que auxiliam os cálculos matemáticos, financeiros e estatísticos além das funções de programação.

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Teclado com 39 teclas,

distribuídas em 4 linhas.

Muitas teclas da HP12c executam até três funções. A função primária de uma tecla é indicada pelos caracteres impressos em branco na sua face superior. As funções secundárias de uma tecla são indicadas pelos caracteres impressos em letra dourada acima da tecla e em letra azul na sua face inferior. Essas funções secundárias são selecionadas apertando a tecla de prefixo apropriada antes da tecla de função.

Testando a Calculadora HP12c

Há dois testes que podem ser feitos na calculadora HP12c.No primeiro teste pode-se verificar se todos os flags da calculadora estão funcionando corretamente, ou seja, se podem ficar acessos.No segundo são testadas as teclas da HP12c, que após serem digitadas da esquerda para a direita uma de cada vez em todas as 4 linhas irá dar como resposta o número 12. Se durante a digitação aparecer uma mensagem de erro indicará a existência de uma tecla com defeito.

Configurando as Datas

Há dois sistemas de datas disponíveis na HP12c.No sistema americano as datas são escritas no formato Mês/Dia/Ano MM.DD.YYYYNo sistema brasileiro as datas são escritas no formato Dia/Mês/Ano DD.MM.YYYY

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Todas as teclas deverão ser digitadas da esquerda para a direita (uma linha

por vez). A tecla ENTER deverá ser digitada na 3ª linha e na 4ª linha.

Esse teste indicará se todos os flags do visor estão funcionando.

As Teclas “ f ” (laranja) e “ g “ (azul) estão localizadas no canto inferior esquerdo da calculadora HP12c.

Para iniciar os dois testes a calculadora deve estar DESLIGADA.

Configurando o Ponto e a Vírgula Decimais

O separador decimal nos países de língua inglesa é o ponto e no Brasil é a vírgula.Para alternar a configuração da calculadora HP12c entre o sistema americano e o brasileiro deve-se fazer o procedimento descrito no quadro abaixo.

Configurando o número de Casas após a Vírgula

A HP12c pode ser configurada para cálculos com um determinado número de casas após a vírgula definidas pelo usuário conforme o quadro a seguir.

Adotando a Capitalização Composta

As teclas [STO] [EEX], quando acionadas consecutivamente, acionam o flag C (Compound interest) no visor da calculadora, indicando a utilização da convenção exponencial. Ao se teclar novamente essa sequência de teclas volta-se à convenção linear.Na convenção exponencial se usa juros compostos na parte inteira e na parte fracionária do período.Na convenção linear se usa juros compostos na parte inteira e juros simples na parte fracionária dos períodos.

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Digita-se a tecla “ f “ seguida do número de casas que se

deseja ter após a vírgula.

Cálculos com Porcentagem

Encontram-se três teclas: % ; %T e %

% Calcula o percentual de algum número.

Primeiro coloca-se o valor (BASE) e depois [ENTER] então pressione o percentual desejado e [%].

Exemplo:Uma nota fiscal é emitida num total de $48.500,00 onde 15% foram deduzidos para a apuração do ICMS. Qual o valor da nota menos o imposto?

Resposta: $41.225,00

Exercício:O valor de uma conta de energia é de $253,00 e desse valor serão deduzidos 7% como taxa de iluminação pública. Quanto corresponde em valor a dedução?

Resposta: $17,71

%T Determina o percentual um valor em relação a um outro.

Primeiro insere-se o valor base [ENTER] depois o outro valor e então [%T].

Exemplo:Sabendo-se que a dedução do imposto sindical foi de $42,00; calcule quanto em percentual corresponde de um salário bruto de $1200,00.

Resposta: 3,5%

Exercício:Foi pago em um título de clube social a importância de $550,00 e mais $60,00 mensais para manutenção. Qual é o percentual da taxa de manutenção em relação ao valor do título?

Resposta: $10,91

% Calcula a variação percentual de um valor em relação a outro.

Insere-se o valor mais antigo [ENTER] depois o segundo valor e então %.

Exemplo:O dólar estava cotado em R$2,85 no mês passado e hoje em R$2,72. Qual foi a variação percentual no período?

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48500 [ENTER]15 [%]7275,00[ - ]

1200 [ENTER]42 [%T]

2,85 [ENTER]2,72 [%]

Resposta: -4,5614%Exercícios:

1) A cotação de uma determinada ação na bolsa de valores está cotada hoje em $83,50. Ontem a cotação estava em $86,00. Qual foi a variação percentual?

Resposta: -2,91%

2) No mês passado, a sua empresa exportou produtos no valor de 3,92 milhões de dólares para os EUA., 2,36 milhões de dólares para a Europa e 1,67 milhões de dólares para o resto do mundo. Qual foi a porcentagem das Vendas à Europa sobre o total exportado.

Resposta: 29,69%

Cálculos com Datas

Para cálculos com datas são usadas as teclas: DATE e DYS

g DATE = Calcula datas futuras e datas passadas.g DYS = Calcula o intervalo de dias entre duas datas.

Convenção HP-12C para os Dias da Semana:

Código da HP-12c Dias da Semana1 Segunda-feira2 Terça-feira3 Quarta-feira4 Quinta-feira5 Sexta-feira6 Sábado7 Domingo

Quando se faz um cálculo com datas, deve-se observar que o número que aparecer isolado no canto direito do visor corresponderá ao dia da semana da data correspondente.

30.07.2011 6

Exemplos:

a) Uma aplicação financeira foi depositada em 31/05/2011 e será resgatada após 60 dias. Em que dia vencerá?

Resposta: 30.07.2011 6

b) Um cliente deverá descontar uma dívida em 27/10/2011 sendo a data contratada no título em 30/12/2011. Quantos dias serão descontados?

6

31.052011 [ENTER]60 [g] [DATE]

27.102011 [ENTER]30.122011 [g] [DYS]

O número 6 indica que esta data ocorre em um sábado.

Resposta: 64 dias

Calcule:

1) Você pretende viajar em 03/10/2011 e quer retirar o dinheiro da aplicação semestral que vencerá em 30/12/2011. Quantos dias serão descontados?

Resposta: 88 dias

2) Uma mercadoria comprada em 05/05/2011 está programada para ser transferida para uma filial em 120 dias. Em que dia cairá?

Resposta: 02.09.2011 5

3) Observando o extrato bancário (22/03/2011) você percebe a baixa de um determinado investimento de 60 dias e gostaria de lembrar o dia que investiu. Calcule a data!

Resposta: 21.01.2011 5

2. DIAGRAMAS DE FLUXO DE CAIXA

A matemática financeira se preocupa com duas variáveis: o dinheiro e o tempo.

Princípios da matemática financeira:

- Valores somente podem ser comparados se estiverem referenciados na mesma data;- Operações algébricas só podem ser executadas com valores referenciados na mesma data.

Conceito de Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC):

É um desenho esquemático que facilita a representação das operações financeiras e a identificação das variáveis relevantes.

No Diagrama de fluxo de caixa temos: Escala temporal, Marcações temporais, Seta para cima e Setas para baixo.

Escala Horizontal à representa o tempo (meses, dias, anos, etc.) Marcações Temporais à posições relativas das datas (de “zero” a n) Setas para Cima à entradas ou recebimentos de dinheiro (sinal positivo) Setas para Baixo à saídas de dinheiro ou pagamentos (sinal negativo)

Os componentes do DFC são:- Valor Presente à capital inicial (P, C, VP, PV - present value)- Valor Futuro à montante (F, M, S, VF, FV - future value)- Taxa de Juros à custo de oportunidade do dinheiro (i - interest rate)

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- Tempo à período de capitalização (n - number of periods)- Prestação à anuidades, séries, pagamentos (A, R, PMT - payment)

Um diagrama de fluxo de caixa, é simplesmente a representação gráfica numa reta, dos períodos e dos valores

monetários envolvidos em cada período, considerando-se certa taxa de juros i.

Traça-se uma reta horizontal que é denominada eixo dos tempos, na qual são representados os valores monetários, considerando-se a seguinte convenção:

Dinheiro recebido à seta para cima Dinheiro pago à seta para baixo

Exemplo:

Veja o diagrama de fluxo de caixa a seguir:

O diagrama da figura anterior representa um projeto que envolve investimento inicial de $800, pagamento de $200 no terceiro ano, e que produz receitas de $500 no primeiro ano, $200 no segundo, $700 no quarto e $200 no quinto ano.

Convenção: dinheiro recebido flecha para cima valor positivo

dinheiro pago flecha para baixo valor negativo

3. TAXAS DE JUROS

As taxas de Juros Proporcionais:

Com juros simples as taxas proporcionais são também equivalentes.Com juros compostos as taxas proporcionais não são equivalentes.

ik = r / k

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Qual é a taxa mensal proporcional para 60% a.a.?60% a.a. à ik = r / k = 60 / 12 = 5% a.m.

Qual é a taxa bimestral proporcional para 30% a.a.?30% a.a. à ik = r / k = 30 / 6 = 5% a.b.

As taxas de Juros Equivalentes:

São as que, referidas a períodos de tempo diferentes e aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, produzem juros iguais e, consequentemente, montantes iguais.

- Qual é a taxa anual equivalente para 5% a.m. (juros compostos)?

5% a.m. à 79,58% a.a.

(Taxa Equivalente ≠ Taxa Proporcional)

- Qual é a taxa anual equivalente para 5% a.m. (juros simples)?

5% a.m. à 60% a.a.

(Taxa Equivalente = Taxa Proporcional)

Exemplos de Taxas de Juros Equivalentes:

TAXA MENSAL TAXA SEMESTRAL TAXA ANUAL

1% a.m. 6,15% a.s. 12,68% a.a

5% a.m. 34,01% a.s. 79,59% a.a.

10% a.m. 77,16% a.s. 213,84% a.a.

15% a.m. 131,31% a.s. 435,03% a.a.

CÁLCULO DE TAXAS EQUIVALENTES NA CALCULADORA HP12c

Com o programa abaixo é possível fazer cálculos de taxas equivalentes na Hp12c

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Taxas de Juros Nominais

Refere-se aquela definida a um período de tempo diferente do definido para a capitalização.

Exemplo: 24% ao ano capitalizado mensalmente

ANO MÊS

24% a.a. capitalizado mensalmente = 2% a.m. capitalizado mensalmente

24% a.a. capitalizado mensalmente = 26,82% a.a. capitalizado anualmente

Taxa Nominal Taxa Efetiva

Taxas de Juros Efetivas

Refere-se aquela definida a um período de tempo igual ao definido para a capitalização. Associada aquela taxa que efetivamente será utilizada para o cálculo dos juros.

Exemplo: 26,82% ao ano capitalizado anualmente

ANO ANO

24% a.a. capitalizado mensalmente = 26,82% a.a. capitalizado anualmente

Taxa Nominal Taxa Efetiva

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Comparando os Juros Comerciais e os Juros Exatos

JUROS COMERCIAIS (válido para o ano comercial)

1 mês sempre tem 30 dias1 ano sempre tem 360 dias

JUROS EXATOS (válido para o ano do calendário)

1 mês pode ter 28, 29, 30 ou 31 dias1 ano pode ter 365 dias ou 366 dias (ano bissexto)

- Exemplo: De 10 de março até o último dia de maio teremos:

JUROS COMERCIAIS (80 Dias) JUROS EXATOS (82 Dias) 20 dias em Março 21 dias em Março

30 dias em Abril 30 dias em Abril30 dias em Maio 31 dias em Maio

Importante Princípio da Matemática Financeira:

4. TAXA DE JURO REAL E INFLAÇÃO

Taxas Aparentes

Resultam da incorporação sucessiva de: Juros reais e Inflação

Fórmula: (1 + ia) = (1 + ir) . (1+ ii) Taxa Aparente Taxa Real Taxa de Inflação

Observação: A taxa aparente também pode ser chamada de taxa unificada.

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Exemplos:

Um empréstimo com duração de um mês foi realizado a uma taxa de 3% ao mês mais a correção inflacionária. Se a correção inflacionária no período da operação for igual a 2% a.m., qual seria a taxa unificada?

Resolução: (1 + ia) = (1 + ir).(1 + ii)

(1 + ia) = (1 + 0,03).(1+ 0,02)

(1 + ir) = 1,0506

ir = 0,0506 ou 5,06% ao mês

Um investidor aplicou $450,00, recebendo $580,00 após um ano. Sabendo que a inflação no período foi igual a 8%, calcule a taxa real.

Resolução: (1 + ia) = (1 + ir).(1 + ii)

(1 + 0,2888) = (1 + ir).(1+ 0,08)

(1 + ir) = 1,193415638

ir = 0,193415638 ou 19,3415638% ao ano

5. VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL)

O valor presente líquido (VPL), geralmente representado pelas iniciais VPL ou VAL de valor atual líquido, ou ainda

NPV, do inglês, Net Present Value, resulta da adição de todos os fluxos de caixa na data zero.

O valor presente líquido de um projeto de investimento é igual ao valor presente de suas entradas de caixa menos o

valor presente de suas saídas de caixa. Para o cálculo do valor presente das entradas e saídas de caixa é utilizada a Taxa

Mínima de Atratividade (TMA) como taxa de desconto. O valor presente líquido calculado para um projeto significa o

somatório do valor presente das parcelas periódicas de lucro econômico gerado ao longo da vida útil desse projeto. O lucro

econômico pode ser definido como a diferença entre a receita periódica e o custo operacional periódico acrescido do custo de

oportunidade periódico do investimento.

Para o cálculo do VPL devemos trazer todos os fluxos financeiros para uma data comum (que por costume é a data

zero, ou seja, o presente). A fórmula a seguir traz os valores futuros para os valores presentes:

Valor Presente = Valor Futuro

( 1 + taxa ) Prazo

Considerando uma taxa de juros arbitrária de 2% ao mês para um investimento de $1000 que iria gerar

entradas de caixa sequenciais de $300, $300, $350, $450, $100, $100 e $250 para os próximos meses, teríamos o seguinte

quadro com os valores presentes e saldos de caixa.

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VFValor Futuro

NPrazo

VPValor Presente

Saldo doFluxo de Caixa

-1000 0 -1000 -1000

300 1 294,11 -705,89

300 2 288,35 -417,54

350 3 329,81 -87,73

450 4 415,73 328,00

100 5 90,57 418,57

100 6 88,79 507,36

250 7 217,64 725,00 (VPL)

Podemos ver que a soma dessas operações (todas trazidas à data zero) fez com que o saldo desse um valor positivo.

A soma de todos esses fluxos trazidos a uma data comum é chamada de Valor Presente Líquido. O Valor Presente Líquido

nesse caso é de $725,00, ou seja, a pessoa que efetuou essas operações arrecada mais do que gasta, ainda que as operações

tenham sido feitas em épocas distintas.

A Fórmula Geral então para o cálculo do VPL então seria:

VPL =    Valor 1   +    Valor 2    +     Valor 3     +      Valor 4     +  ...    +   Valor n

                 (1+i1)1        (1+i2)2         (1+i3)3            (1+i4)4                (1+in)n  

Logo:

Onde:

C0 é o fluxo de caixa feito na data zero. (Que no caso acima era de -1000) Cn é o fluxo de caixa feito no período n n é o número do período em que foi feito determinado fluxo i é a taxa de juros corrente ao período n

Critérios de tomada de decisão na Técnica do VPL Maior do que zero: significa que o investimento é economicamente atrativo, pois o valor presente

das entradas de caixa é maior do que o valor presente das saídas de caixa. Igual a zero: o investimento é indiferente, pois o valor presente das entradas de caixa é igual ao

valor presente das saídas de caixa.

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Menor do que zero: indica que o investimento não é economicamente atrativo porque o valor presente das entradas de caixa é menor do que o valor presente das saídas de caixa.

6. VALOR FUTURO LÍQUIDO (VFL)

De forma similar ao VPL, o VFL posiciona todos os fluxos numa mesma data, obtendo um valor líquido do

investimento inicial. Porém ao invés de trazer os fluxos para a data zero (presente), como no caso do VPL, o método do

valor futuro líquido carrega todos os fluxos de caixa para a data terminal n.

A figura a seguir ilustra a transformação de todos os valores de um fluxo de caixa para um único valor

futuro líquido.

7. VALOR UNIFORME LÍQUIDO (VUL)

O método do valor uniforme líquido (VUL), similar ao VPL e ao VFL, converte todo o fluxo de caixa do Projeto

numa série de capitais iguais e postecipados entre as datas 1 e n. Sua grande vantagem em relação aos outros dois métodos

seria a de facilitar a comparação com projetos com durações diferentes. Por exemplo, seria melhor aplicar em um projeto

com dez anos de duração e VPL igual a $8.000,00 ou em um projeto de 4 anos de duração com VPL igual a $5.000,00? Por

meio do cálculo do valor uniforme líquido seria mais fácil responder a uma pergunta desse tipo.

A técnica do VUL transforma o diagrama de fluxo de caixa em uma série de valores distribuídos uniformemente

conforme pode ser visualizado na figura a seguir.

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VFL

0 1 2 3 4 5

i%

Diagrama de Fluxo de Caixa do VFL

VUL

0 1 2 3 4 5i%

Diagrama de Fluxo de Caixa do VUL

8. TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)

A TIR é a taxa de juros que torna o valor presente das entradas de caixa igual ao valor ao presente das saídas de

caixa do investimento. Isso quer dizer que a TIR ou IRR (Internal Rate of Return) é a taxa que "zera" o seu investimento. É

uma taxa tal que se utilizada fará com que o lucro do seu projeto seja nulo ou seja, com VPL = 0.

Vamos utilizar um exemplo para descrever como a TIR é calculada. Suponha que a empresa WYS necessita investir

$30.000.000,00 para obter fluxos futuros de $11.000.000,00, $12.100.000,00 e $13.310.000 ao longo de três anos.

Vejamos agora como seria calculada a TIR.

Visualizando as operações da empresa teríamos a seguinte equação. Para que seja calculada a TIR devemos

considerar que Valor Presente (VP) seja igual a zero. Se VP for igual a zero a única resposta seria 0,1. Concluímos a taxa

interna de retorno do projeto é de 10% ao ano.

Se substituirmos i por 0,1. Teremos que VP = -30.000.000 + 10.000.000 + 10.000.000 + 10.000.000. O Valor

Presente, portanto será igual a zero.

Critérios de tomadas de decisões pela técnica da TIR

Através dos cálculos chegamos a seguinte conclusão:

Se a taxa de retorno for maior que a taxa de juros do mercado, é rentável fazer o investimento. Se a taxa de retorno for menor que a taxa de juros do mercado, não é rentável fazer o investimento.

Quando a taxa de retorno se equivale à taxa de juros do mercado, o investimento é indiferente, pois a rentabilidade é nula.

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9. COMPARANDO O VALOR PRESENTE LÍQUIDO E A TAXA INTERNA DE RETORNO

O Valor Presente Líquido (NPV) e a Taxa Interna de Retorno (IRR) são utilizados na análise de operações de

investimentos ou financiamentos.

O Valor Presente Líquido (NPV = Net Present Value) de um fluxo de caixa de uma operação é o somatório de todos

os valores futuros calculados no instante t = 0 juntamente com o valor no instante zero.

A Taxa Interna de Retorno (IRR = Internal Rate of Return) de um fluxo de caixa da operação é a taxa real de juros

da operação financeira que faz com que o NPV seja igual a zero.

Há uma relação entre esses dois valores financeiros, sendo que as considerações sobre eles devem resultar de

análises invertidas quando se tratar de Investimentos ou Financiamentos. A razão desta inversão é que alguém, ao realizar um

Investimento de capital espera ampliar o mesmo, ao passo que ao realizar um Financiamento de um bem espera reduzir a

aplicação.

Em um Investimento, se o NPV for positivo, a Taxa Interna de Retorno (IRR) será maior do que a Taxa de Mercado,

se o NPV for negativo, a Taxa Interna de Retorno (IRR) será menor do que a Taxa de Mercado e se NPV = 0 então a Taxa de

Mercado coincidirá com a Taxa Interna de Retorno (IRR).

Chama-se Taxa de Mercado a taxa utilizada pelo investidor a titulo de comparação, podendo ser obtida por ele no

mercado. Conclusão: Em um Investimento, quando o NPV aumenta quando a TIR aumenta.

Em um Financiamento, se o NPV for positivo, a IRR será menor do que a Taxa de Mercado e, se o NPV for

negativo, a IRR será maior do que a Taxa de Mercado. Se o NPV = 0, então a Taxa de Mercado coincidirá com a Taxa Real

(IRR). Conclusão: Em um Financiamento, se o NPV aumenta então a Taxa (IRR) diminui.

Em resumo:

NPV IRR do Investimento IRR do Financiamento

Igual a 0 Igual à Taxa de mercado Igual à Taxa de mercado

Positivo  Maior que a Taxa de mercado Menor que a Taxa de mercado

Negativo Menor que a Taxa de mercado Maior que a Taxa de mercado

Exemplos

1) Determinar o valor presente do fluxo de caixa indicado a seguir, para uma taxa efetiva de 10% ao ano, no regime de juros

compostos.

Ano         Valores ($)

0               0,00

1         5.000,00

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2         4.000,00

3         3.000,00

4         2.000,00

Solução

Para armazenar um fluxo de caixa com prestações não uniformes, utiliza-se g CFo para o valor presente e g CFj para os

períodos posteriores, quando existirem prestações iguais usa-se g Nj, após a prestação igual.

0 g CFo

5000 g CFj

4000 g CFj

3000 g CFj

2000 g CFj

10 i

Para encontrar o valor presente líquido use f NPV

Resposta: $11.471,21098

2) Determinar o valor presente líquido e a taxa interna de retorno do fluxo de caixa indicado a seguir, para uma taxa efetiva

de 9% ao ano, no regime de juros compostos.

Ano        Valor ($)0        - 20.000,001         5.000,002         5.000,003         4.000,004         4.000,00 5 4.000,00

Solução:

20000 CHS g CFo5000 g CFj2 g Nj4000 g CFj3 g Nj9 if NPV - $2682,28

Para encontrar a taxa interna de retorno use f IRR

3,4257% ao ano

3) Considere o fluxo de caixa a seguir:

Ano Valor

0 - 40.000,001 3.500,002 7.500,003 7.500,004 7.500,005 15.000,00

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6 15.000,00

a) Determine o NPV para i = 8% a.a.

b) Determine IRR.

c) Determine NPV se o valor investido for $38.000,00

Solução:

40000 CHS g CFo3500 g CFj7500 g CFj3 g Nj15000 g CFj 1 g Nj8 if NPV $798,5399f IRR 8,5340% a.a.

Para modificar o valor investido insira 38000 CHS STO 0, que registra na memória 0.

f IRR 9,9405% a.a.

PARA SABER MAIS:

ALBERTON, A.; DACOL, S. HP-12C Passo a Passo. 3.ed. Florianópolis: Visual Books, 2010.

BRUNI, A. L.; FAMÁ, R. A Matemática das Finanças. Com aplicações na HP12c e Excel. 1.ed. São Paulo: Atlas, 2003.

BRUNI, A. L.; FAMÁ, R. As Decisões de Investimentos. Com aplicações na HP12c e Excel. 2.ed. São Paulo: Atlas, 2007.

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