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Curso de Física Básica – Volume II I

Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa

Departamento de Física - UFMS

C URS O D E F ÍS IC A B Á S I C A – V OL UME I I

CAMPO GRANDE - 200 9

Curso de Física Básica – Volume II II



C URS O D E F ÍS IC A B Á S I C A

VOLUME I I


Departamento de Física

Universidade Federal de Mato Grosso do Sul

Campo Grande – 2009

Curso de Física Básica – Volume II III



O material aqui apresentado pode ser livremente distribuído e utilizado, desde que citada a fonte.

Curso de Física Básica – Volume II IV



Conteúdo do Volume II

Capítulo I - Partículas e Campos ....................................................................................... 1

Introdução ........................................................................................................................................ 3

O conceito de campo ........................................................................................................................ 3

Campos e o Princípio da Superposição ......................................................................................... 7

Linhas de força .............................................................................................................................. 9

Fluxo e circulação de um campo vetorial .................................................................................... 11

A Lei de Gauss para campos cuja dependência seja do tipo 1/r2 .................................................. 17

Interação gravitacional entre partículas: o Campo Gravitacional (gg) ......................................... 21

Massa inercial e massa gravitacional .......................................................................................... 22

Campo gravitacional de uma partícula pontual (gg) ..................................................................... 23

Consequências da gravitação universal: as Leis de Kepler ......................................................... 28

Interação elétrica entre partículas: o Campo Elétrico (EE) ........................................................... 32

Campos de corpos extensos ........................................................................................................... 41

Cálculo de campos produzidos por corpos extensos: utilizando o Princípio da Superposição .. 41

Cálculo de campos produzidos por corpos extensos: utilizando a Lei de Gauss ........................ 44

A circulação dos campos E e g. ....................................................................................................... 54

Interação devida a correntes: o Campo Magnético (BB) ................................................................. 56

Definindo o campo magnético: a Força de Lorentz .................................................................... 58

Movimento de partículas em campos: o movimento de cíclotron ............................................. 60

Corrente elétrica ......................................................................................................................... 63

Força magnética sobre um condutor carregado ......................................................................... 65

Torque sobre uma espira de corrente ............................................................................................ 70

Campo magnético criado por correntes estacionárias ............................................................... 73

Fontes do campo magnético .......................................................................................................... 75

Curso de Física Básica – Volume II V



A Lei de Biot-Savart ......................................................................................................................... 79

A Lei de Ampère .............................................................................................................................. 81

Força entre fios paralelos portadores de corrente ........................................................................ 98

Solenóides e toróides ................................................................................................................... 100

Trabalho ........................................................................................................................................ 103

O teorema trabalho energia ......................................................................................................... 109

Campos Conservativos .................................................................................................................. 110

Um exemplo de forças conservativas: forças centrais ................................................................. 112

Calor .............................................................................................................................................. 114

Modos de transferência de energia sob forma de calor .............................................................. 118

Processo de condução ............................................................................................................... 118

Processo de convecção ............................................................................................................. 118

Processo de radiação ................................................................................................................. 119

O que é a temperatura? ............................................................................................................... 119

Potência ........................................................................................................................................ 120

A Primeira Lei da Termodinâmica ................................................................................................. 121

Capítulo II - Potenciais e Energia Potencial ................................................................. 122

Potencial e Energia Potencial ....................................................................................................... 124

O conceito de energia potencial ................................................................................................... 124

O potencial (C) ............................................................................................................................ 130

Energia Potencial Gravitacional .................................................................................................... 132

Cálculo da energia potencial gravitacional: pontos próximos da superfície da Terra e sistema

isolado composto pela Terra, campo gravitacional criado pela Terra e uma partícula............ 133

Partícula que se move sob ação de uma força externa, F, do chão até uma altura h. ............. 138

Cálculo da energia potencial gravitacional para trajetórias nas quais o campo gravitacional não

pode ser considerado constante. .............................................................................................. 139

Curso de Física Básica – Volume II VI



Potencial Gravitacional ................................................................................................................. 143

A energia potencial eletrostática e o potencial eletrostático ...................................................... 145

Superfícies equipotenciais ............................................................................................................ 148

Potencial devido a uma distribuição de partículas carregadas ou partículas pontuais com massa

...................................................................................................................................................... 148

Método 1 – Cálculo a partir do trabalho realizado para trazer cada uma das cargas a

partir do infinito. .................................................................................................................... 152

Método 2 - Usando o conceito de potencial ....................................................................... 155

Exemplos de cálculo do potencial criados por corpos extensos .................................................. 157

Potencial e campo gravitacional devidos a um anel de massa m. ............................................ 158

Cálculo do campo e do potencial criados por um disco uniformemente carregado sobre o eixo

do disco. .................................................................................................................................... 160

Cálculo do campo e do potencial criados por um cilindro uniformemente carregado sobre o

eixo do cilindro. ......................................................................................................................... 164

Energia potencial eletrostática ..................................................................................................... 168

Definição – Divergente de um campo vetorial .......................................................................... 170

Teorema da Divergência de Gauss ............................................................................................ 170

Outro exemplo de cálculo da energia potencial: o oscilador harmônico ................................. 173

Outro potencial: a temperatura. .................................................................................................. 178

Um novo potencial: a pressão ...................................................................................................... 181

Capítulo III - Campos em meios materiais ................................................................... 187

Materiais dielétricos e materiais condutores ............................................................................... 189

Polarização ................................................................................................................................ 190

Carga volumétrica e carga superficial de polarização ............................................................... 192

Lei de Gauss em materiais dielétricos ....................................................................................... 195

Capacitores ................................................................................................................................ 197

Curso de Física Básica – Volume II VII



Campo eletrostático no interior de dielétricos lineares ........................................................... 200

Energia armazenada em meios dielétricos lineares .................................................................. 202

Materiais magnéticos: diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo. .......................... 203

A origem microscópica do magnetismo. Parte 1: o momento de dipolo orbital ..................... 204

Momento de dipolo magnético orbital e o momento angular ................................................. 205

A origem microscópica do magnetismo. Parte 2: o spin do elétron ......................................... 207

Materiais diamagnéticos, paramagnéticos e ferromagnéticos ................................................ 210

A magnetização (M) e correntes de magnetização ................................................................... 212

Campos magnéticos em meios materiais: o vetor H ................................................................ 215

Propriedades dos materiais ferromagnéticos ........................................................................... 218

Curso de Física Básica – Volume II 1



Capítulo I - Partículas e Campos




Introdução

Vimos anteriormente que a energia é uma propriedade de todos os sistemas físicos e que pode se

manifestar na forma de energia cinética (de translação, de vibração ou de rotação) das partes que

compõem o sistema ou na forma de energia potencial (gravitacional, elástica, eletrostática, etc.)

que está associada às interações que ocorrem entre as várias partes dos sistemas analisados. O

conteúdo total de energia de um sistema é o que chamamos de Energia Total ou Energia Interna,

estes dois nomes sendo sinônimos para nós.

Quando colocados em contato, dois ou mais sistemas físicos podem trocar energia entre si. A

energia pode fluir de um sistema para outro de duas formas: calor ou trabalho. Naturalmente, o

aumento ou a diminuição do conteúdo energético de um sistema corresponde a uma diminuição

ou aumento do conteúdo energético dos outros sistemas que estão em interação com ele, de

modo a satisfazer o princípio da conservação da energia.

Da mesma forma, o momento linear e o momento angular podem ser trocados entre sistemas

físicos em interação.

A natureza das trocas entre os diferentes sistemas interagindo depende do tipo de interação e da

natureza dos limites dos sistemas, e os tipos de trocas que esses limites permitem.

Quando falamos da troca de energia entre sistemas físicos, essas trocas podem acontecer por dois

processos básicos: um sistema realiza Trabalho sobre outros sistemas físicos ou recebe Trabalho

de outros sistemas; a segunda forma é através de Calor: ganhando energia sob a forma de Calor

ou cedendo energia sob a forma de Calor. Para introduzir a ideia de Trabalho precisamos

introduzir a ideia de campo e a forma como a força que um sistema exerce sobre o outro pode ser

deduzida do conceito de campo e, a partir daí, como o Trabalho pode ser realizado. Relacionados

com o conceito de campo, os conceitos de Linhas de Força e Fluxo de um campo vetorial são

importantes na formalização dessas trocas. Passaremos a analisar cada uma das formas de troca

de energia acessíveis aos diferentes tipos de sistemas físicos nas próximas seções.

O conceito de campo

Considere a seguinte situação: um asteróide (de massa m) se aproxima da Terra com certa

velocidade, atraído pela força gravitacional da Terra (Fg). Veja a Figura 1. Como esta força




depende do inverso do quadrado da distância entre a Terra1 e o asteróide, quanto mais perto da

Terra, mais intensa ela é. Se desprezarmos a atração gravitacional do Sol, da Lua e dos demais

planetas sobre o asteróide, esta será a única força a agir sobre o asteróide. Logo, a aceleração do

asteróide será dada, em módulo, por:

gFa

m

Figura 1 - Interação Terra - Asteróide.

Submetido a essa aceleração, o asteróide terá a sua velocidade aumentada percorrendo uma

distância maior a cada segundo, à medida que se aproxima da Terra. No entanto, a informação

sobre a posição do asteróide em certo instante de tempo viaja até a Terra a velocidade da luz (c).

Será necessário certo intervalo de tempo t para que a informação da posição atual do asteróide

chegue a Terra para que a força seja “ajustada” de acordo (supondo que isso aconteça

instantaneamente) e o mesmo intervalo de tempo para que a informação seja mandada de volta e

o asteróide possa “saber” qual a nova aceleração a que está submetido.

Naturalmente, que o esquema acima é inviável, se quisermos analisar problemas para os quais a

velocidade relativa entre a Terra e os objetos na sua vizinhança tornem o intervalo t

suficientemente grande. Mas como o asteróide pode “saber” então qual sua aceleração? Uma

forma alternativa de descrever esse problema é utilizarmos o conceito de Campo.

1 Isto será discutido mais adiante.

r

Terra

Asteróide




Suponhamos que a Terra possa colocar um “rótulo” em cada posição do espaço, e que nesse

rótulo esteja escrito o valor da força que uma massa unitária experimentaria ao ocupar essa

posição do espaço (veja a Figura 2). Assim, ao passar por uma dada posição, o asteróide “saberia”

o valor da força naquela posição: bastaria multiplicar o valor da força por unidade de massa

impressa no rótulo pela sua massa total. Desse modo, a interação que antes acontecia entre o

asteróide e a Terra, diretamente, passa a acontecer entre o asteróide e o campo e este com a

Terra. Ao conjunto dos valores da força por unidade de massa chamamos de Campo Gravitacional

da Terra.

Figura 2 - Asteróide na posição indicada pelo vetor r.

Definimos como a fonte de um campo à propriedade da matéria que cria o campo. Para que duas

partículas interajam é necessário que ambas possuam algum tipo de propriedade que seja comum

às duas: massa, carga elétrica, etc. No exemplo do asteróide, vamos supor que exista uma

propriedade da matéria, que chamaremos provisoriamente de carga gravitacional, por analogia

com a carga elétrica. É essa propriedade da matéria que cria o campo gravitacional. Digamos que a

carga gravitacional seja medida por uma quantidade chamada de massa gravitacional (mg) Se

retirarmos a propriedade carga gravitacional da matéria, não teríamos interação gravitacional

entre os objetos.

A relação entre a massa gravitacional e o conceito de massa como estudamos antes, relacionada

com a Inércia, daí ser chamada de massa inercial (mi), será explorada por nós mais adiante.

O campo é o resultado da ação de uma partícula sobre as propriedades do espaço na sua

vizinhança. Sem a presença da partícula, as propriedades do espaço são de certa natureza. Com a

r

Terra

Asteróide

1

2

2

3




presença da partícula, e das propriedades que ela carrega (inércia, estado elétrico, estado nuclear,

etc.), o espaço a sua volta se modifica. A esta modificação nas propriedades do espaço chamamos

campo. Cada propriedade da partícula modifica certas propriedades do espaço, daí falarmos nos

diferentes tipos de campos: campo gravitacional, campo elétrico, campo magnético, campo

nuclear, etc.

Em geral, podemos definir o campo gerado por uma propriedade da matéria (a fonte do campo)

como o conjunto dos valores de certa propriedade (alterada pela presença da fonte do campo) em

cada ponto do espaço. No exemplo dado acima, do campo gravitacional, esses valores são a força

gravitacional por unidade de massa (a fonte do campo gravitacional) em cada posição do espaço.

Quando a propriedade do espaço alterada é representada por um vetor (como o campo

gravitacional do nosso exemplo) os campos são chamados de campos vetoriais. Por outro lado,

quando a propriedade alterada é representada por quantidades escalares o campo é dito campo

escalar (como o campo de temperatura em uma sala).

Mas, como saber o valor do campo criado por uma partícula em certa posição do espaço? Não

podemos medir campos diretamente (assim como a força). Podemos, apenas, medir alterações no

estado de movimento de partículas (acelerações). Para medirmos campos precisamos introduzir o

conceito de partícula de teste. Considere a situação do asteróide e da Terra que comentamos

antes. A massa do asteróide pode ser suficientemente grande para modificar a posição da Terra

devido ao campo do próprio asteróide. Logo, o campo medido a partir da alteração do estado de

movimento do asteróide é perturbado pela ação do asteróide sobre a Terra. A partícula que

usamos para avaliar o campo deve ser suficientemente pequena para que não altere

significativamente o estado da fonte do campo. Essas partículas são chamadas de partículas de

teste. Naturalmente, que essa é uma abstração, pois partículas reais sempre afetarão as fontes

dos campos.

Tendo definido o que é uma partícula de teste, vamos definir o valor do campo pela modificação

que este causa no estado de movimento de uma partícula de teste. Sabendo que, para que ocorra

uma modificação no estado de movimento, é necessário que uma força atue sobre a partícula de




teste, definimos o campo como a razão entre a força experimentada pela partícula de teste e a

propriedade da partícula de teste2.

Vamos particularizar nossa análise para campos vetoriais. Seja C o vetor que representa o campo e

F o valor da força experimentada por uma partícula de teste que tem certa quantidade da

propriedade da matéria (qf) em certa posição do espaço (que denotaremos por r) então:

0lim

fqfq

F r

C r eq. 1

Observe que a força F é a força experimentada pela partícula de teste que contém certa

quantidade de propriedade qf. Lemos essa equação como: o campo C na posição r é dado pelo

limite da razão entre a força experimentada pela partícula de teste quando a partícula está na

posição r e a quantidade da propriedade responsável pela existência do campo (qj) quando a

quantidade de propriedade responsável pela criação do campo presente na partícula de teste vai a

zero. A operação de tomada do limite quando a quantidade da propriedade que é a fonte do

campo contida na partícula de teste tende a zero expressa matematicamente a ideia de que a

partícula de teste não afeta a fonte do campo. O estudante deve observar que no processo de

tomada do limite, a força experimentada pela partícula de teste também vai a zero, o que garante

a finitude do valor de módulo de C.

No nosso exemplo da Terra e do asteróide, a propriedade da matéria é a massa, portanto: qf = m

(a massa do asteróide) e a força F é a força gravitacional, Fg. Logo, o campo gravitacional (g) na

posição r será dado por:

Campos e o Princípio da Superposição

Como calcular o campo criado por muitas partículas? Observe que nossa definição de campo é

geral (eq. 1) e depende somente da força experimentada pela partícula de teste colocada na

2 Lembrando sempre que a propriedade da partícula de teste que interessa é aquela responsável pela criação do campo.

0lim g

m m

F rg r eq. 2




posição em que queremos medir o campo C. A força que aparece no lado direito é a resultante de

todas as forças que atuam na partícula de teste.

Vamos supor que a força resultante da ação de um conjunto de n partículas atuando na partícula

de teste seja escrita como a soma das forças exercidas por cada uma das partículas

individualmente. Então, podemos escrever que:

1 21

...n

n ii

F F F F F eq. 3

Usando esse resultado, o campo experimentado pela partícula de teste será dado por:

1

0 0

01

lim lim

lim

f f

f

n

ii

q qf f

ni

qi f

q q

q

F rF r

C r

F rC r

Na passagem da primeira para a segunda linha foi usado o fato de que o limite de uma soma é a

soma dos limites. Identificando o lado direito como o campo criado pela i-ésima partícula na

posição r, podemos então escrever que:

1

( )n

ii

C r C r eq. 4

A conclusão a que a eq. 4 nos leva é de que o campo total criado por um conjunto de partículas

em uma dada posição do espaço, denotada pelo vetor r, é a soma dos campos criados por cada

uma das partículas naquela posição. Esse princípio é chamado de Princípio da Superposição.

Observe que há uma hipótese escondida na nossa derivação: é a de que a força resultante é a

soma total das forças que atuam na partícula, calculadas de forma independente (eq. 3), como se

uma partícula ao atuar sobre a partícula de teste não soubesse da ação das outras partículas sobre

a mesma partícula de teste. Poderia acontecer de que a força com a qual uma partícula atua

sobre a partícula de teste fosse diferente pela presença de uma outra partícula. Nesse caso a eq. 3

não seria mais válida.




Linhas de força

O conceito de linhas de força é devido a Faraday3. A ideia das linhas de força surge da necessidade

de visualizarmos os campos. Dado um campo C as linhas de força do campo são as linhas às quais

o campo C é tangente em cada ponto.

Por exemplo, consideremos o campo gravitacional. Como veremos mais adiante o módulo do

campo gravitacional criado por uma partícula em certa posição do espaço é inversamente

proporcional à distância entre o ponto onde o campo é calculado e a partícula que gera o campo.

A sua direção é a reta que passa pela partícula que cria o campo e o ponto onde o campo é

calculado. O sentido do campo gravitacional é do ponto onde o campo é calculado para a partícula

que o cria. A Figura 3 mostra o sentido do campo gravitacional para várias posições no espaço

(indicado pelas setas).

Como podemos ver da Figura 3, os vetores que representam o campo gravitacional em cada

posição do espaço estão sobre retas que passam pelo centro da partícula de massa m. As retas

que são tangentes ao campo em cada posição são as próprias retas suporte dos vetores mostrados

na figura.

Figura 3 – Linhas de força do campo gravitacional.

Para o campo elétrico vale a mesma coisa, já que como também veremos na mais adiante o

campo elétrico apresenta uma dependência com posição que é equivalente ao caso do campo

gravitacional. A única diferença aqui é que a carga elétrica pode ser de dois tipos. Usando a

3 Físico Inglês. Para uma biografia de Faraday veja http://pt.wikipedia.org/wiki/Michael_Faraday.

g

m




definição de carga de prova positiva é fácil ver que as linhas de campo de uma carga negativa são

como mostradas na Figura 4, painel a, enquanto as linhas de campo de uma carga positiva são

como mostradas no painel b da mesma figura.

Naturalmente que nem todos os campos têm linhas de força como as mostradas nas figuras

anteriores. Um caso típico é o campo magnético, cujas linhas de força são mostradas na Figura 5.

Figura 4 – Linhas de força para o campo elétrico de cargas pontuais. Painel (a) para uma

carga negativa e painel (b) para uma carga positiva.

O desenho das linhas de campo é mais complicado nesse caso. Ao contrário das linhas mostradas

para os campos gravitacional e eletrostático, as quais são abertas, as linhas de campo do campo

magnético são fechadas sobre si mesmas. Para o imã mostrado na Figura 5, as linhas de campo

entram no pólo sul do imã e saem do pólo norte do mesmo. A Terra funciona como um grande

imã, com o pólo sul magnético perto do pólo norte geográfico e o pólo norte magnético perto do

pólo sul geográfico. São as linhas de campo do campo magnético da Terra que nos protegem

contra boa parte do vento solar, partículas altamente energéticas emitidas pelo Sol durante

períodos de grande turbulência. A Figura 5 mostra a estrutura bastante complexa desse campo. De

fato, o campo na proximidade da Terra é basicamente o campo gerado pela própria Terra.

Contudo, à medida que nos afastamos da Terra, o campo é o resultado da superposição do campo

magnético terrestre com o campo magnético solar. Para pontos mais distantes, o campo

magnético solar é o campo dominante.

Eg

q-

Eg

q+

a b




Figura 5 – Linhas de campo magnético geradas por um imã.

Figura 6 – Campo magnético terrestre.

As linhas de força são ótimas ferramentas para se visualizar a direção e o sentido do campo C.

Contudo elas não permitem o cálculo do módulo do campo C. Entretanto, há uma convenção que,

se não permite o cálculo do módulo do campo, permite que se tenha uma ideia de onde o campo

é mais intenso (maior módulo). Por convenção, o campo é mais intenso nas regiões onde as linhas

de força estão mais próximas, e menos intenso (menor módulo) naquelas regiões nas quais as

linhas de força são mais espaçadas.

Fluxo e circulação de um campo vetorial

Dois conceitos importantes quando falamos de campos vetoriais são os conceitos de fluxo e de

circulação. Estes dois conceitos podem ser mais bem visualizados se pensarmos em um fluido que

escorre através de uma tubulação. Veja a Figura 7.

S

N




Figura 7 – Líquido escorrendo por uma tubulação.

Nesta figura mostramos um reservatório repleto de certo líquido, o qual escorre pela tubulação de

seção reta retangular (a base da tubulação é retangular).

O escoamento do fluido é caracterizado, basicamente, pela sua velocidade. Podemos falar de um

campo de velocidades para o fluido da seguinte maneira: em cada ponto do fluido supomos que

temos um elemento infinitesimal de volume. Esse elemento de volume é pequeno o suficiente

para que possa ser considerado como um ponto quando comparado com o tamanho do

reservatório e da tubulação, mas ainda suficientemente grande para conter um grande número de

moléculas do fluido. Cada elemento infinitesimal é caracterizado pela sua velocidade v, a qual é a

velocidade do fluido nesse ponto, e por certa densidade m4.

Consideremos agora a superfície retangular que é a base do cano de escoamento. Os pontos nessa

superfície retangular são também caracterizados pela sua velocidade v e pela sua densidade . Se

quisermos saber qual a quantidade de fluido que atravessa a superfície de área A = a.b na base da

tubulação temos que calcular a componente da velocidade perpendicular à superfície em todos os

pontos e multiplicar essa velocidade pela densidade local para saber a quantidade de fluído que

está atravessando a superfície de área A naquele ponto. Vamos chamar a essa quantidade de

densidade de fluxo de massa do fluído, simbolizada por m:

4 A densidade de massa é a quantidade de massa por unidade de volume.

Reservatório de

Líquido

Tubulação

a b

Sentido de

escoamento

Elemento

infinitesimal de

fluido

Vetor velocidade no

elemento de fluido (v).




Figura 8

Esquematicamente a situação é mostrada na Figura 8.

m = mv.n

O vetor n que aparece nessa equação é o vetor unitário perpendicular à superfície no ponto

considerado. O estudante deve observar que essa é uma quantidade escalar. A quantidade de

massa que atravessa a superfície total é o que chamamos de fluxo de massa (). O valor do fluxo

é o valor da densidade de fluxo de massa multiplicada pela área da superfície:

. n m mA A ab v.n v.n eq. 5

Nesse caso, temos uma situação relativamente simples, pois consideramos que a velocidade e a

densidade eram as mesmas em todos os pontos da superfície. No caso mais geral isto não é mais

verdadeiro, teremos valores de velocidade e de densidade diferentes em cada ponto da superfície.

Assim, teremos que realizar uma integração sobre os pontos da superfície ao invés de

simplesmente multiplicar pela área da superfície sob consideração:

m

S

da v.n eq. 6

Na eq. 6 da indica um elemento de superfície e S indica que estamos realizando uma integral de

superfície, cuja forma explícita depende do sistema de coordenadas que estamos utilizando.

Exemplo 1

Utilizando as eq. 6 e eq. 5 calcule o fluxo para o caso de a velocidade e a densidade do fluído

serem constantes e a velocidade do fluído ser perpendicular à superfície S.

v n

ds




Vamos primeiro utilizar a eq. 5. Como a velocidade é perpendicular à superfície considerada temos

que os vetores v e n são paralelos entre si e, portanto: v . n = v (lembre: o módulo do vetor

normal é 1). Portanto, pela eq. 5 o fluxo será dado por:

. n m mA A ab v v.n eq. 7

É fácil ver que a unidade do fluxo de massa é (usando unidades do Sistema Internacional):

3

kg m kgm.m. . =

m s s

Ou seja, o fluxo de massa nos diz quantos quilogramas de fluido atravessam a superfície de área A

a cada segundo.

Vamos agora calcular pelo método da integração mostrado na eq. 6:

0 0 0 0

m m

S S

a b a b

m m m

da vda

dx dy v v dx dy ab v

v.n

eq. 8

Os dois resultados são idênticos. No cálculo mostrado na eq. 8, utilizamos coordenadas

cartesianas pois temos uma simetria de tipo caixa, mostrada na Figura 7.

Consideremos a situação mostrada na Figura 9. Nessa figura mostramos as linhas de campo do

campo C que entram e saem do volume V limitado pela superfície S. Algumas linhas (as que saem

do volume limitado por S) têm origem na partícula dentro do volume V. Outras (as que entram)

têm sua origem em outras partículas na vizinhança.

Figura 9 – Linhas de campo atravessando uma superfície S.

Definimos como o fluxo do campo C através da superfície S ao número líquido de linhas de força

que entra ou sai do volume V limitado por S. Essa definição, embora permita uma visualização da

S C




ideia de fluxo mais simples, não é prática, já que o desenho das linhas de campo é arbitrário. Para

ser operacional, a ideia de fluxo deve ser expressa de forma matematicamente precisa.

Para fazer isso observemos a Figura 10 Nela é mostrada uma posição na superfície S e uma região

em torno dessa superfície suficientemente pequena para que possamos considerar que no

elemento de área ds o campo C seja constante. O vetor n, chamado de vetor normal a S, é um

vetor unitário, perpendicular à superfície S no ponto considerado, formando um ângulo com o

vetor C na posição considerada.

Figura 10 – Campo na superfície S.

O campo C pode ser descrito em termos de dois outros vetores, componentes do campo C em um

sistema de coordenadas com um dos eixos perpendicular a S e os outros dois eixos paralelos à

superfície S. O eixo perpendicular à superfície S, e paralelo ao vetor n, chamaremos de C, a

componente normal de C, e outro, paralelo à superfície, o qual chamaremos por C, a componente

tangencial de C. Veja a Figura 11.

A componente do campo C responsável pelo fluxo do campo é a componente normal, já que é ela

que “atravessa” a superfície S. Essa componente normal do campo C é dada por:

cos(θ) .C C n C n

Nessa expressão, C é o módulo do campo C. O fluxo através do elemento de área ds será dado

então pelo produto do módulo da componente normal do campo C pelo elemento de área ds:

.ds ds C n eq. 9

S

C n

Elemento de área ds.




Na eq. 9, o fluxo é representado pela letra (lê-se fi) e o índice ds indica que estamos calculando

apenas no elemento de área ds. Para obter o fluxo em toda a superfície S, basta que somemos

sobre toda a superfície. Assim se dividirmos a superfície S em uma rede de n elementos de área dsi

então, o fluxo total através da superfície S será dado por:

1

.n

S i i ii

ds

C n

O índice i indica que, nas parcelas, os vetores são tomados no elemento de área rotulado por i.

Tomando o limite dessa expressão, quando o tamanho dos elementos de área dsi vai a zero:

01

lim . .i

n

S i i i Sds

i S

ds ds

C n C n eq. 10

Figura 11 – Componentes do vetor C.

O símbolo S na eq. 10 indica que a integral é uma integral de superfície5. Observe que o fluxo é

uma quantidade escalar.

Vamos agora discutir o conceito de circulação de um campo vetorial. Observe a Figura 12. Nessa

figura temos uma curva fechada e um campo vetorial C. Definimos a circulação do campo C

sobre a curva , denotada por C como sendo a integral ao longo da curva do produto escalar

de C por dl, um elemento de comprimento da curva :

5 O acadêmico que ainda não estudou esse tipo de integração deve consultar o capítulo Complementos de Matemática.

S

C

n

C

C||




.C

C dl eq. 11

Figura 12 – Circulação de um campo vetorial.

Qual a interpretação física dessa quantidade?

Suponhamos que o campo C seja o campo de velocidades de um fluido. Então a eq. 11 se

escreveria:

.v

v dl eq. 12

A quantidade v.dl nos dá, em cada ponto ao longo da curva , a componente do vetor velocidade

ao longo da curva . Vamos supor que a quantidade tenha um valor diferente de zero. Nesse

caso, a circulação nos indica que a soma das projeções de v ao longo da curva é diferente de zero.

Isto nos dá uma direção preferencial para a velocidade do fluido ao longo da curva . Com isso, o

fluido será impulsionado a girar, seguindo a curva . A consequência é a criação de um

redemoinho, com o fluido espiralando ao longo da curva . Caso a circulação seja nula, então não

haverá uma direção preferencial do fluxo do fluido ao longo da curva e não teremos a formação

de redemoinhos.

A Lei de Gauss para campos cuja dependência seja do tipo 1/ r2

Podemos demonstrar uma lei geral, chamada Lei de Gauss, a qual relaciona o fluxo de um campo

C através de uma superfície fechada S qualquer quando esse campo depende apenas do módulo

da distância da fonte ao ponto considerado (r) na forma 1/r2. Nesse tipo de situação o campo

apresenta simetria esférica: todos os pontos em uma esfera de raio r têm o mesmo valor do

módulo do campo C. Exemplos desse tipo de campo são os campos gravitacional e eletrostático.

dl

C

C

C

C




Considere a situação mostrada na Figura 13. Seja uma superfície fechada S. Suponhamos que no

seu interior haja uma partícula portadora de certa quantidade da propriedade qc responsável pela

existência do campo C (massa ou carga elétrica, por exemplo).

Figura 13 – Superfície gaussiana e os vetores C e n.

Podemos calcular o fluxo do campo C através da superfície S usando a definição de fluxo:

.S

S

ds C n .

Se soubermos o valor de C em cada ponto da superfície S e o ângulo desse vetor com o vetor

normal à superfície, n, em cada ponto.

Esse cálculo nem sempre é fácil de fazer e, muitas vezes, queremos saber o valor de C sobre a

superfície a partir do valor do fluxo do campo.

Quando temos uma situação de alta simetria esse cálculo é enormemente simplificado se usarmos

a Lei de Gauss. Essa lei relaciona o fluxo do campo C à quantidade da propriedade qc dentro da

superfície S. A Lei de Gauss estabelece que se a partícula fonte do campo está dentro da superfície

S então o fluxo do campo é certa constante, a qual depende do campo considerado, vezes o valor

de qc. Se, por outro lado, a quantidade qc não está dentro da superfície S o valor do fluxo do

campo C é zero. A demonstração da Lei de Gauss exige o uso de matemática avançada e, por isso,

não a demonstraremos aqui, apenas a enunciaremos:

r

qc S

C

n

Superfície

fechada.




Lei de Gauss

Seja um campo vetorial C , criado por partículas portadoras da

propriedade qc. O módulo de C depende do inverso do quadrado

do módulo da distância da fonte até o ponto considerado (

2| |~1/| |C r ). O fluxo de C , através de uma superfície fechada S,

é dado por:

se estiver no volume limitado por S.

0 se não estiver no volume limitado por S

c c c

S

cS

q qds

q

C n eq. 13

A constante c que aparece na expressão da Lei de Gauss depende do campo considerado. Por

exemplo, no caso gravitacional essa constante é -4G, G sendo a Constante da Gravitação

Universal. No caso eletrostático, essa constante vale 1/0 (0 é chamada de permissividade do

vácuo, cujo valor será definido mais adiante). A quantidade qc é a massa no caso gravitacional e a

carga elétrica no caso eletrostático.

A eq. 13 é válida tanto para uma partícula como para um corpo extenso, totalmente contido em S.

Observe que na Lei de Gauss, a posição em que a partícula está dentro da superfície S não

importa. Na Figura 13, desenhamos a partícula no centro da superfície, na origem do sistema de

referências, mas esse fato não influencia o resultado obtido.

Podemos usar a Lei de Gauss junto com o princípio da superposição para calcular o fluxo de um

corpo extenso, entendido como um corpo que pode ser decomposto em inúmeras partículas. Veja

a Figura 14.

Podemos escrever o campo total em qualquer ponto do espaço, com sendo a soma dos campos

criados por cada um dos elementos de volume no ponto considerado. Assim no ponto P, por

exemplo, o campo C será dado por:

1 2 ... n C C C C

Pela Lei de Gauss, o fluxo criado pelo campo de cada partícula, em uma superfície S qualquer será

dado por:




1 1. c c

S

ds q C n eq. 14

Figura 14 – Cálculo do fluxo do campo de um corpo extenso.

Se somarmos agora sobre todos os fluxos, teremos o fluxo total que atravessa a superfície S:

1 1 1 1

. . .

.

n n n n

i i i ii i i iS S S

S

ds ds ds

ds

C n C n C n

C n

Por outro lado, se somarmos sobre o lado esquerdo da eq. 14, obteremos:

1 1 1

n n n

c ic c ic c c c ici i i

q q Q Q q

Reunindo esses dois resultados, podemos então escrever a Lei de Gauss para um corpo extenso:

. c c

S

ds Q C n eq. 15

Elemento de volume 1

Elemento de volume 2

Elemento de volume 3 Elemento de volume n

r P




Na eq. 15, a quantidade Qc que aparece no lado direito é a quantidade líquida6 da propriedade qc

dentro da superfície S. Como antes, se a quantidade líquida da propriedade que cria o campo C for

nula dentro da superfície S teremos o fluxo nulo.

A Lei de Gauss é extremamente útil para calcularmos o módulo do campo C quando temos

situações com alto grau de simetria. Isso porque temos que realizar a integração do produto

escalar do vetor C e do vetor unitário n, o que pode ser difícil de ser feito se não tivermos

simetria. Por exemplo, considere a Figura 15, na qual mostramos uma situação desse tipo.

Observe que o produto C.n é diferente em cada ponto da superfície mostrada.

Figura 15.

Interação gravitacional entre partículas: o Campo Gravitacional (gg)

Denominamos de Gravitação Newtoniana (ou Lei da Gravitação de Newton) a lei formulada por

Isaac Newton7 que descreve uma propriedade intrínseca da matéria: atração entre corpos que

contêm massa. Além da própria importância dessa teoria para descrever vários fenômenos, ela

representa historicamente o triunfo de um processo de produzir conhecimento iniciado por

Galileu Galilei8: experimentação, linguagem matemática e previsão de fenômenos. Estas etapas,

tão comuns hoje na produção do saber científico, não eram importantes até o século XVII. Desde a

antiguidade até o Renascimento prevaleceu nas civilizações ocidentais o conhecimento do mundo

físico baseado apenas no senso-comum e nas ideias do filósofo grego Aristóteles.

Isaac Newton nasceu na Inglaterra e em 1664 foi forçado a se isolar em uma fazenda devido a uma

peste que assolava a Europa. Newton ficou nesse local por dois anos, aproximadamente. Durante

6 Veja que no caso elétrico, como as cargas têm sinais opostos, a quantidade líquida é obtida a partir da soma algébrica das cargas,

levando-se em conta o sinal.

7 Isaac Newton (1642-1727)): filósofo, matemático, físico e astrônomo. Inglês.

8 Galileu Galilei (1564-1642): filósofo, matemático, físico e astrônomo. Italiano.

C

C

n

n

Superfície S.




esse período, dedicou-se ao estudo de fenômenos da Ótica, da Mecânica Celeste e da Dinâmica

dos corpos perto da superfície da Terra, entre outros assuntos. Nos anos de 1664 e 1665 concebeu

conceitos físicos que somente alguns anos mais tarde puderam ser demonstrados

matematicamente, graças à criação e ao desenvolvimento do cálculo diferencial e integral pelo

próprio Newton e, paralelamente, por Leibniz9.

Os resultados da aplicação da Gravitação Newtoniana aos fenômenos da natureza foram tão bons

que essa teoria passou a ser tratada como verdade inquestionável pela maioria dos físicos durante

os duzentos anos seguintes. A explicação do movimento dos astros, das marés, do lançamento de

projéteis, etc., são exemplos do sucesso de seu emprego. Somente com o advento da Teoria da

Relatividade Geral em 1915 é que os limites de aplicabilidade da Gravitação Newtoniana ficam

determinados.

Estudos históricos10 levantam a hipótese de que o conceito de uma interação entre os corpos

materiais proporcional ao inverso do quadrado da distância entre eles seria de autoria de Robert

Hooke11, um físico contemporâneo de Newton (Hooke teria proposto a teoria dessa interação,

mas nunca a teria desenvolvido ao ponto em que Newton o fez). A briga pela autoria desse

conceito teria sido a causa da inimizade entre eles. Além disso, Newton polemizou com Leibniz

pela autoria do Cálculo Integral e Diferencial. Uma das grandes contribuições de Newton, talvez a

maior de todas, foi acreditar que as leis que governam o mundo celeste são as mesmas que

governam a queda da maçã. Com Newton se inicia definitivamente o pensamento científico

moderno.

Massa inercial e massa gravitacional

Vimos no Capítulo III do Volume I que a lei da inércia nos diz que em um Sistema de Referências

Inercial uma partícula mantém o seu estado de movimento inalterado se sobre ela não agir

nenhuma força. Naquele contexto, definimos força como sendo a ação de algum agente externo

ao sistema (a partícula no nosso caso) capaz de alterar o estado de movimento e que a

propriedade das partículas (e também da energia) de opor resistência a essa mudança é chamada

de inércia e sua medida é a massa. Essa massa, entendida como uma medida da inércia da

partícula (ou de qualquer porção de matéria ou energia) recebe o nome de massa inercial. É essa

9 Wilhelm Leibniz (1646-1716): matemático alemão.

10 http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/%7Ehistory/HistTopics/Orbits.html, acessado em 19 de fevereiro de 2004.

11 Robert Hooke, 1635-1703.

http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/HistTopics/Orbits.html




massa inercial que entra na Segunda Lei de Newton: i

dm

dt

pF a (o índice i indica que estamos

falando da massa inercial).

No estudo da gravitação, contudo, surge a pergunta: qual a propriedade das partículas que as faz

atraírem umas as outras? Qual a fonte do campo gravitacional? Essa propriedade, digamos, por

analogia, a carga gravitacional, é também medida por uma quantidade chamada de massa, mas

essa massa, para diferenciá-la da massa inercial recebe o nome de massa gravitacional, a qual

indicaremos por mg. Quando a única força que age em um objeto é a força gravitacional, então

podemos escrever:

r gF F

Adiantando um pouco o que veremos mais adiante, perto da superfície da Terra a força

gravitacional é dada simplesmente pelo produto da massa gravitacional pela aceleração

gravitacional, g. Então podemos escrever:

i gm ma g

Dessa equação podemos ver que a aceleração da partícula será a aceleração gravitacional se e

somente se a massa gravitacional (mg) for igual à massa inercial (mi).

Esta equivalência, só foi completamente compreendida com o desenvolvimento da Teoria Geral da

Relatividade (Princípio da Equivalência) por Albert Einstein12 em 1915. Modernamente se assume

que a massa inercial, a qual mede a inércia, e a massa gravitacional, a qual mede a carga

gravitacional, são uma mesma e única quantidade. Falamos então simplesmente da massa de

certa porção de matéria ou quantidade de energia.

Campo gravitacional de uma partícula pontual (gg)13

Partículas com massa possuem a propriedade de modificar o espaço a sua volta de tal forma que

outras partículas com massa são atraídas por elas. O campo gravitacional é sempre atrativo, o que

12

Albert Einstein, 1879 – 1955.

13 No que segue, derivaremos a lei da gravitação universal com base nos experimentos da balança de torção realizados por

Cavendish, mais de 100 anos após o trabalho de Newton baseado na observação astronômica. Com base nessas observações, a

derivação da Lei da Gravitação Universal pode ser encontrada em vários livros de Física. Veja, por exemplo, o texto de Nussensveig

nas referências bibliográficas.




significa que duas partículas com massa não se repelem mutuamente. Esse é um ponto

interessante que diferencia o campo gravitacional dos outros campos que veremos mais adiante.

Os outros campos conhecidos pela Física são ora atrativos ora repulsivos. A explicação do campo

gravitacional pertence ao domínio da Relatividade Geral e foge ao escopo deste texto. No entanto,

podemos apontar que a unificação (se possível) do campo gravitacional aos outros campos

conhecidos (eletromagnético, nuclear forte e nuclear fraco) é o grande desafio da Física neste

início de século14.

Já vimos antes que o conceito de ação à distância coloca uma questão incômoda: como uma

partícula “sabe” que a outra mudou sua posição e que a força que experimenta deve ser alterada?

Veja a Figura 16. Nessa figura, mostramos o movimento de uma partícula de massa m sob a ação

de outra partícula de massa M (colocada na origem por simplicidade) em dois pontos da trajetória,

localizados pelos vetores r1 e r2. Como a partícula fonte do campo sabe das modificações de

posição da partícula de massa m? Isto implica em uma comunicação instantânea entre as duas

partículas, o que é vedado pela Relatividade Restrita que nos ensina que a maior velocidade com a

qual a informação pode se propagar é a velocidade da luz, c15.

Figura 16 – Interação gravitacional entre duas partículas.

Experimentalmente, aprendemos que a força experimentada por uma partícula devido ao campo

criado por outra partícula depende, basicamente, de dois fatores:

a) Da massa da partícula que cria o campo

14

Como já comentamos anteriormente essa afirmação seria estritamente verdadeira até a alguns anos. Atualmente, com a

possibilidade ainda não comprovada, da existência da Energia Escura, cuja interação gravitacional seria repulsiva, essa

característica da força gravitacional, tal como a conhecemos atualmente, pode não ser verdadeira.

15 Aproximadamente 300.000 km/s.

M

r1

r2

m

z

y

x

m

ˆr

r

r




Quanto maior a massa da partícula que cria o campo maior o efeito do campo sobre outras

partículas. Podemos expressar isto matematicamente dizendo que o campo é, em módulo,

diretamente proporcional à massa da fonte16:

|g | M

b) Da distância entre o ponto onde o campo é calculado e a fonte do campo

A ação de uma partícula decai com o inverso do quadrado da distância à fonte. Se

chamarmos de r o vetor que une o ponto analisado e a posição da fonte, então (r |r|):

2

1| |

rg

.

Estes dois resultados experimentais são complementados por um terceiro resultado: a ação do

campo ocorre ao longo da linha que une o ponto onde o campo está sendo calculado e a posição

da fonte (veja a Figura 16). O vetor unitário nesta direção, se colocarmos a fonte na origem do

sistema de referência, pode ser escrito simplesmente como ˆr

rr . Observe que o sentido desse

vetor é o mesmo do vetor r.

Reunindo esses resultados, podemos escrever que o campo gravitacional g criado por uma

partícula de massa M, situada na origem do sistema de referência, é dado pelo produto dos dois

resultados parciais acima, com uma constante de proporcionalidade:

2

MG

r r

rg eq. 16

O sinal negativo é colocado para indicar o caráter atrativo do campo gravitacional, já que o sentido

da força é da partícula de massa m para a partícula de massa M.

A constante G é chamada de Constante da Gravitação Universal e seu valor é (nas unidades do

Sistema Internacional, SI):

211

2

Nm6,67 10

kgG .

16

O símbolo lê-se: diretamente proporcional a.




Lembrando da nossa definição de campo, se uma partícula de massa m for colocada na posição r,

essa partícula experimentará uma força dada por:

2g

mMm G

r r

rF g

eq. 17

Você deve observar que a quantidade g é a aceleração que a partícula de massa m experimentaria

se colocada na posição r:

2

MG

m r r

F ra g .

No caso específico da Terra, perto da superfície, dados experimentais mostram que a aceleração

provocada pelo campo gravitacional é aproximadamente constante, com módulo 9,81 m/s2.

Portanto, nas proximidades da superfície da Terra, o módulo da força que a partícula experimenta

(chamada de força peso, símbolo P) é dado por:

P = m g = 9,81m N (a massa dada em quilogramas)

Caso nenhuma das partículas esteja na origem temos a situação mostrada na Figura 17. Nesse

caso, a expressão do campo gravitacional criado pela partícula fonte (m1) é um pouco mais

complicado, pois envolve o vetor que localiza a partícula fonte do campo e o vetor que localiza o

ponto onde o campo está sendo calculado (r1 e r2 respectivamente):

1 1 22

1 2 1 2| | | |

mG

r rg

r r r r eq. 18

Essa expressão nos fornece o vetor campo gravitacional criado pela partícula de massa m1,

localizada na posição r1, na posição indicada pelo vetor r2.

Se colocarmos uma partícula de massa m2 na posição indicada pelo vetor r2 então essa partícula

experimentará uma força dada por (painel b da Figura 17):

1 2 1 2 1 212 2 1 12 122 2

1 2 1 2 12

ˆ| | | |

m m m mm G G r

r

r rF g F

r r r r eq. 19

O índice em g indica que estamos falando do campo criado pela partícula de massa m1 na posição

da partícula de massa m2. Observe que o sinal negativo está automaticamente contido no vetor

r12 r1 – r2, o qual aponta da partícula de massa m2 para a partícula de massa m1. Na eq. 19, r12 é




o módulo da distância entre as duas partículas. Observe que nessa equação o sentido da força

gravitacional e sua direção são dados pelo vetor unitário 12

12

ˆr

r

r . Portanto, tem sentido da

partícula 2 para a partícula 1. É comum denominarmos a partícula 1 de carga fonte ou massa fonte

e a partícula 2 de carga objeto ou massa objeto.

Figura 17 - Partículas interagindo via força gravitacional quando nenhuma das partículas

está na origem. (a) campo criado pela partícula 1 na posição indicada pelo vetor r2; (b)

Força gravitacional experimentada pela partícula 2 colocada na posição indicada pelo

vetor r2.

Pela Lei da Ação e Reação (3ª Lei de Newton) podemos escrever que:

21 12 F F eq. 20

Nessa expressão, F21 é a força gravitacional exercida sobre a partícula 1 devido à partícula 2. Como

todas as forças de Ação e Reação, elas não se cancelam porque são aplicadas em corpos

diferentes. Essas forças tendem a aproximar as partículas, alterando o valor da distância que as

separa. Conseqüentemente, seus valores mudam com o tempo.

Mais do que uma simples notação matemática, o conceito de campo gravitacional tem um

significado físico importante. Podemos interpretar o campo gravitacional como sendo a

modificação das propriedades do espaço em torno da partícula de massa m devido ao fato desta

ter massa gravitacional. Se modificarmos a grandeza m, o valor do campo gravitacional devido à

partícula também é modificado em todos os pontos do espaço. Mantido constante o valor da

massa da partícula (m) o campo gravitacional criado por ela depende exclusivamente da distância

do ponto considerado à partícula fonte do campo. Esta é uma maneira de solucionar o problema

m1

x

r1

r2

z

y

r12

(a)

r1

r2

z

y

r12

(b)

g F12 m1

m1




da ação à distância percebido por Newton, em que corpos distantes são capazes de perceber a

presença uns dos outros e interagirem entre si, mesmo na ausência de um meio material entre

eles.

Consequências da gravitação universal: as Leis de Kepler

Conta a lenda, que Newton, quando procurado por Halley17, ao ser perguntado qual seria a forma

da órbita de um cometa, respondeu que seria uma elipse. Incrédulo com a pronta resposta, Halley

perguntou como Newton tinha conhecimento disso. Newton simplesmente respondeu que havia

calculado essa órbita alguns anos antes: qualquer objeto que orbitasse o Sol seguiria uma lei do

inverso do quadrado da distância e a trajetória imposta por esta dependência seria uma elipse

com o Sol em um dos seus focos.

A forma da órbita de um planeta é um dos capítulos mais interessantes da Física, o qual vem

sendo escrito desde a Antiguidade. Você provavelmente já estudou essa história em um curso de

História da Física (ou outro equivalente).

As leis que governam o movimento dos planetas em torno do Sol (e de qualquer objeto sujeito à

atração gravitacional de outro) são conhecidas como Leis de Kepler, em homenagem a Johanes

Kepler, o primeiro a enunciá-las18. Kepler havia trabalhado com o astrônomo Tycho Brahe, do qual

herdou uma série extremamente precisa de observações astronômicas sobre o movimento dos

planetas. Trabalhando em cima desses dados observacionais, Kepler foi capaz de identificar as três

leis do movimento planetário que levam o seu nome. É importante observar que o trabalho de

Kepler é um trabalho típico de indução: dado um conjunto particular de dados, Kepler obtém as

leis do movimento planetário e as generaliza. O trabalho de Newton, no entanto, é um trabalho de

natureza dedutiva: supondo que a lei que liga os planetas ao Sol obedece a uma dependência com

o inverso do quadrado da distância, Newton obtém as órbitas do movimento planetário,

recuperando as Leis de Kepler. Em certo sentido, um trabalho complementa o outro.

As três Leis de Kepler para o movimento planetário nos dizem que:

17

Veja um resumo da biografia de Halley em http://pt.wikipedia.org/wiki/Edmond_Halley.

18 Veja uma pequena biografia de Kepler no endereço http://pt.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler.




Lei das Órbitas

As órbitas dos planetas são elipses e o Sol fica localizado em um

dos focos dessa elipse;

Lei das Áreas

O vetor que liga o Sol aos planetas varre áreas iguais em tempos

iguais;

Lei dos Períodos

O quadrado do período dos planetas é proporcional ao cubo do

raio maior de sua órbita.

Vamos agora interpretar cada uma dessas leis.

A Primeira Lei de Kepler, Lei das Órbitas expressa o fato de que o movimento dos planetas em

torno do Sol não é um círculo, como queriam os antigos gregos e escolásticos, mas uma elipse. O

Sol ocupa um dos focos dessa elipse. Deve-se, contudo, ter cuidado e observar que, embora sejam

elipses, essas elipses são quase um círculo, com uma excentricidade muito pequena19. De fato a

representação das órbitas dos planetas mostradas nos livros textos exagera um pouco a forma

dessa elipse (veja a Figura 18). Para obter essa Lei devemos fazer uso de recursos matemáticos

mais avançados dos que dispomos nesse momento. Você poderá comprovar esse fato em cursos

avançados de Mecânica Clássica.

A Segunda Lei de Kepler nos diz que o segmento de reta que une o planeta ao Sol percorre áreas

iguais em tempos iguais. Uma as consequências dessa lei é que a velocidade angular dos planetas

é diferente em diferentes pontos da órbita: quando o planeta está mais próximo do Sol a

velocidade é maior do que quanto está mais afastado. Na Figura 18 representamos essa situação.

Considere que o raio vetor do planeta se desloque da posição localizada pelo vetor r para a

posição localizada pelo vetor r+dr em certo intervalo de tempo dt.

19

A excentricidade e de uma elipse é definida de tal modo que o produto ea (a o raio menor da elipse) seja igual à distância entre o

centro da elipse e qualquer um dos dois focos. Usando o teorema de Pitágoras podemos escrever que a excentricidade da elipse é

dada por:

2

21b

ea

, a e b sendo os raios maior e menor da elipse. Veja que para o círculo, e = 0, já que em um círculo os

raios maior e menor são iguais e os dois focos e o centro coincidem, portanto.




Figura 18 – Órbita de um planeta em torno do Sol. A elipse está exagerada para fins de

clareza.

Nesse tempo, o deslocamento angular foi d. Então a velocidade angular será dada por: ddt

Figura 19 – Área coberta pelo raio vetor do planeta em dois intervalos de tempo iguais.

Por outro lado, para um deslocamento angular suficientemente pequeno, a área entre os dois

vetores (r e r+dr) será dada aproximadamente por:

21 1( )

2 2dA r rd r d

A variação dessa área no tempo será dada por:

Sol

Raio maior da

elipse.

Raio menor da

elipse

Órbita

Periélio Afélio

Planeta

r

Sol

r

d

r + dr

r’

r’ + dr’ d’




2 21 1

2 2

dA dr r

dt dt

eq. 21

Vamos analisar agora o momento angular do planeta. Esse momento angular, em módulo é dado

por:

2( )L rp mrv L mr r mr eq. 22

Nessa expressão foi usado que v=r e que os vetores r e p são perpendiculares entre si.

Comparando as equações eq. 21 e eq. 22 vemos que podemos escrever a variação da área

percorrida pelo planeta no intervalo de tempo dt como:

21 1

2 2

dAr L

dt m

Entretanto, o planeta e o Sol formam um sistema fechado e, pela conservação do momento

angular, a taxa instantânea de variação da área percorrida pelo planeta também será constante. O

que vem a ser justamente a Segunda Lei de Kepler.

Vamos agora analisar a Terceira Lei de Kepler. Para obtê-la faremos uso do fato de que as órbitas,

apesar de serem elipses, podem ser aproximadas por uma circunferência, já que a excentricidade

da elipse é pequena. Assim, podemos escrever que a força centrípeta sobre o planeta é a força

gravitacional:

2 22

2

( )sGM m mv m rmr

r r r

Vamos usar agora a relação entre o período T e a freqüência angular, : 2T

. Logo, podemos

escrever que:

2

2

2 3

2s sGM m GMmr

r r T

22 34

s

T rGM

eq. 23

A eq. 23 vem a ser justamente a Terceira Lei de Kepler.




Interação elétrica entre partículas: o Campo Elétrico (EE)

A carga elétrica é outra propriedade das partículas capaz de alterar o espaço no entorno da

partícula, criando um campo: o campo elétrico.

Diferentemente do campo gravitacional, o campo criado por partículas com carga elétrica pode

ser de natureza atrativa ou repulsiva. Da observação dos experimentos sabemos que existem dois

tipos de carga elétrica que são chamados, arbitrariamente, de positivo e negativo. A razão pela

qual existem somente dois tipos de carga elétrica é desconhecida. O fato é que partículas

portadoras de carga elétrica de mesmo tipo se repelem enquanto que partículas portadoras de

carga elétrica de tipos diferentes se atraem. A carga elétrica de uma partícula é medida pela

quantidade de carga elétrica de que a partícula é portadora. Utilizaremos para simbolizar a

quantidade de carga elétrica a letra q. Esta quantidade pode ser positiva (indicando uma carga

elétrica de tipo positivo) ou negativa (indicando uma carga elétrica de tipo negativo). A unidade de

medida da carga elétrica é o Coulomb20.

Também da observação experimental sabemos que existe um valor mínimo de quantidade de

carga elétrica: a quantidade de carga elétrica dos elétrons (carga elétrica de tipo negativo) ou dos

prótons (carga elétrica de tipo positivo). As quantidades de carga elétrica de todas as outras

partículas sendo múltiplos inteiros da quantidade de carga elétrica destas partículas fundamentais.

Indicamos a quantidade de carga elétrica de um elétron por – e enquanto que a quantidade de

carga elétrica de um próton é indicada pela letra e21. Com essa notação, a quantidade de carga

elétrica de uma partícula qualquer será dada por (n é um número inteiro): q = ne (carga elétrica de

tipo positivo) ou q = -ne (carga elétrica de tipo negativo).

Partículas com carga elétrica modificam o espaço a sua volta de forma muito semelhante às

partículas com massa:

1. Quanto maior a quantidade de carga elétrica da fonte, mais a partícula de teste é acelerada

pelo campo:

E Q

20

Lê-se Culom. Esse nome foi escolhido em homenagem ao físico francês Charles Augustin de Coulomb (nascido em 14 de Junho

de 1736 em Angoulême e morto em 23 de Agosto de 1806 em Paris).

2121 No Sistema Internacional de unidades e = 1,6 x 10

-19 C.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Angoul%C3%AAme




2. Quanto mais próxima da fonte, mais a partícula de teste será acelerada pelo campo. Do

mesmo modo que para o campo gravitacional, o campo elétrico de uma partícula depende

com o inverso do quadrado da distância à fonte do campo:

2

1E

r

Também como o campo gravitacional, o campo elétrico de uma partícula atua na direção

da linha que une a partícula fonte do campo e a partícula de teste (veja a Figura 20).

No entanto, diferentemente do campo gravitacional, para o qual somente existe um tipo de

massa, as cargas elétricas podem ser de dois tipos. Conseqüentemente, o sinal da carga de teste é

importante na determinação do sentido do campo elétrico. Se a carga de teste fosse do mesmo

tipo que a carga da partícula que cria o campo então o sentido do campo elétrico seria na direção

do vetor r̂ e caso a carga da partícula teste fosse de tipo diferente da carga da partícula que cria o

campo o sentido do campo seria oposto ao do vetor r̂ . Para evitar essa ambiguidade, define-se,

arbitrariamente por certo, que o sentido do campo elétrico em uma dada posição indicada pelo

vetor r será dado pelo sentido da aceleração experimentada por uma partícula de teste com carga

positiva colocada nessa posição.

Reunindo esses resultados, o campo elétrico E criado por uma partícula colocada na origem do

sistema de coordenadas, a qual tem certa quantidade de carga Q, será dado por:

2

Qk

r r

rE

.

Figura 20 - Carga de prova para determinação do campo elétrico.

r

r̂

carga de prova

(de tipo positivo)

Fonte do

campo (Q)




Nesta expressão, o vetor r é o vetor que localiza a carga de teste em relação à origem (onde a

fonte do campo está colocada).

A força elétrica Fe experimentada pela carga de prova será dada pelo produto da quantidade de

carga da carga de prova (que simbolizaremos pela letra q) pelo valor do campo:

2e

qQq k

r r

rF E eq. 24

O estudante deve observar a semelhança formal entre esta expressão para a força elétrica e a

expressão anterior para o campo gravitacional (eq. 16).

A constante k que aparece na eq. 24 depende do sistema de unidades utilizado. No Sistema

Internacional de Unidades (SI), essa constante é dada por:

9 2 2

0

18,99 10 N.m /C

4k

A constante 0 é chamada de permissividade elétrica do vácuo, e seu valor é:

12 2 20 8,85 10 C . m /N . Cabe aqui um comentário a respeito dos diferentes sistemas de

unidades e o eletromagnetismo. Diferentemente dos problemas em Mecânica, onde o sistema de

unidades utilizado não interfere na forma final das equações, no Eletromagnetismo deve-se ter

muito cuidado com a definição clara de qual sistema de equações se está utilizando, pois a forma

das equações se modifica caso mudemos de sistema de unidades. Por exemplo, no sistema CGS a

eq. 24 seria escrita como:

2e

qQq

r r

rF E .

Ou seja, a constante k vale 1 nesse sistema de unidades. Ao longo desse texto usaremos sempre o

Sistema Internacional de unidades (SI).

Observe que no que foi exposto acima, a posição da partícula que cria o campo é considerada

constante. Logo, o campo elétrico criado por essas partículas também é constante e não varia no

tempo. As situações em que essa hipótese é válida compõem o domínio da Eletrostática22. No

domínio da Eletrostática, apenas cargas elétricas podem criar campos elétricos. Mais adiante

22

O campo calculado a partir da hipótese de que as cargas estão em repouso é chamado de campo eletrostático algumas vezes.




estudaremos situações onde cargas elétricas podem se movimentar (criando correntes elétricas e

estas, campos magnéticos). Nessa situação, se a corrente elétrica variar no tempo, então haverá

campos magnéticos variando no tempo. Esses campos magnéticos que variam no tempo também

podem ser fontes de campos elétricos.

Exemplo 2 - Cálculo de campos elétricos: o dipolo elétrico.

Como um primeiro exemplo de aplicação do cálculo do campo elétrico, consideremos um sistema

de duas cargas pontuais de cargas opostas, separadas por uma distância d. As duas cargas elétricas

são iguais em módulo (qd > 0). Chamamos a esse tipo de arranjo de dipolo elétrico (veja a Figura

21).

Figura 21 – o dipolo elétrico.

Consideremos agora a seguinte pergunta: Qual a ação de um campo elétrico sobre o dipolo?

Para responder a essa pergunta, vamos considerar um dipolo em uma região onde temos um

campo elétrico uniforme. Podemos, sem perda de generalidade, chamar a direção do campo

elétrico como sendo o eixo y. Consideraremos a situação na qual o dipolo está no plano (y,z) e o

eixo do dipolo faz um ângulo com a direção y, a direção do campo elétrico uniforme. Veja a

Figura 22 na qual não mostramos o eixo x por simplicidade.

Nessa situação, as cargas elétricas que compõem o dipolo experimentarão uma força elétrica dada

por:

dq F E

+ -

d/2 -q q




Como as cargas são iguais em módulo, o módulo da força elétrica em cada uma delas será igual, já

que o campo elétrico é uniforme (o mesmo em todo o espaço). Contudo, as forças elétricas

aplicadas nas duas cargas têm sentidos diferentes: enquanto a força aplicada na carga positiva

aponta para a direita, no sentido positivo do eixo y, a força aplicada na carga negativa aponta para

a esquerda, no sentido negativo do eixo y. Portanto, a força resultante aplicada sobre o sistema

será nula: 0r F F F (F+ é a força que atua na carga positiva e F- é a força que atua na carga

negativa).

Figura 22 – O dipolo elétrico na presença de um campo elétrico uniforme.

Embora a força resultante seja nula, existe um torque atuando sobre o dipolo. Vamos calcular esse

torque aplicando a definição de torque:

τ r F eq. 25

O torque total sobre o dipolo será escrito como a soma dos torques sobre cada uma das partículas

do dipolo:

τ τ τ .

Escrevendo estes torques explicitamente:

d dq q

r F r F r E r Eτ

Nesta expressão, os subscritos + e – indicam os torques calculados sobre as partículas do dipolo

com carga positiva e negativa respectivamente.

+

-

y

z E

q

-q




O torque que atua em cada partícula tem direção perpendicular ao vetor r e ao vetor E. Portanto,

esse torque atua na direção x. Tomando o dipolo no plano (y,z) e a força que atua na carga

positiva será na direção +y, portanto, o torque que atua na carga positiva terá o sentido dado por:

( )) ( )

( ) ( )

( )

d d y z y

d y y d z y

d x

q q y z E

q yE q zE

q zE

r E e e e

e e e e

e

τ

τ

τ

Logo, o torque que atua na carga positiva será no sentido negativo do eixo x. Para a carga

negativa, a componente no eixo z será dada por –z, mas, por outro lado, a força terá sentido –y.

Obteremos, portanto, o mesmo resultado:

( )) ( )

( ) ( )

( )

d d y z y

d y y d z y

d x

q q y z E

q yE q zE

q zE

r E e e e

e e e e

e

τ

τ

τ .

A coordenada z que aparece na expressão do torque Pode ser escrita em função do módulo do

vetor r, que localiza cada uma das cargas do dipolo, e do ângulo mostrados na Figura 22 como:

sen(θ)z r .

Logo, o módulo do torque que atua sobre cada uma das partículas será dado por:

| | sen( )

| | sen( ) sen( );2 2

d

dd d d

q rE

pdq E E p q d

τ =

τ =.

Nessa expressão, pd é chamado de momento de dipolo elétrico. Essa quantidade tem um caráter

vetorial e, por definição, é um vetor que aponta da carga negativa em direção à carga positiva e

cujo módulo é dado por: pd qd d (veja a Figura 23).

O módulo do torque total será a soma desses dois torques:

| | 2| | sen( ) sen( )d dq dE p E τ = τ eq. 26




Figura 23 – O momento de dipolo

Na eq. 26, vemos que o módulo do torque é dado pelo produto do módulo do momento de dipolo

elétrico pelo valor do campo elétrico multiplicado pelo seno do ângulo entre os dois vetores, o

que tem a mesma estrutura do módulo de um produto vetorial .

Figura 24 – Torque em um momento de dipolo.

Podemos então generalizar essa equação, escrevendo-a na forma vetorial:

d p Eτ eq. 27

Atuado por esse torque, o dipolo começará a girar no sentido horário (veja a Figura 24).

Contudo, pela eq. 26, vemos que o valor do torque diminui na medida em que o dipolo se alinha

com o campo elétrico E, uma vez que o ângulo entre os vetores momento de dipolo e campo

elétrico, , vai a zero. Quando o momento de dipolo elétrico e o campo elétrico estiverem

exatamente alinhados o torque é nulo. Se estivéssemos em uma situação de equilíbrio não haveria

rotação. Entretanto, o dipolo possui velocidade angular no momento em que se alinha com o

campo e, movido por sua inércia, continua seu movimento de rotação em torno do eixo x. Quando

estiverem novamente desalinhados, o sentido do torque inverte, uma vez que a posição relativa

-

+

pd

E

E

z

y

E

pd

Detalhe com o

torque desenhado

- + pd




das duas cargas inverteu em relação ao eixo z, e o torque agora age para diminuir o movimento de

rotação do dipolo, até que este pare e inverta seu sentido de rotação. Esse tipo de movimento é

chamado de oscilação. Se não houver perda de energia, esse movimento continuará

indefinidamente.

Exemplo 3 – Campo elétrico criado por um dipolo ao longo do seu eixo.

Vamos agora calcular o campo elétrico de um dipolo ao longo do eixo que une as duas cargas de

umdipolo. Por simplicidade, e sem perda de generalidade, podemos colocar o dipolo orientado ao

longo do eixo y (veja a Figura 21).

O campo do dipolo em um ponto y qualquer será a soma dos campos elétricos criados pelas duas

cargas nesse ponto:

2 20 0

2 20

1 1

4 ( / 2) 4 ( / 2)

1 1

4 ( / 2) ( / 2)

d dy y

d

q q

y d y d

q

y d y d

E E E

E e e

E

2 2 20

1 1

4 (1 /2 ) (1 /2 )d

y

q

y d y d y

E e eq. 28

A expressão acima é geral e exata. Contudo, em situações nas quais a distância do ponto onde o

campo está sendo calculado e a origem é muito maior do que a distância entre as duas cargas (d),

podemos obter uma expressão aproximada para o campo do dipolo usando uma técnica

matemática chamada expansão em série. Essa técnica consiste em escrever uma função cujo valor

não conhecemos como uma soma de infinitos termos escritos a partir de funções conhecidas. Essa

técnica é útil quando pudermos aproximar a função que desconhecemos com apenas alguns

termos da série. Naturalmente que ao fazermos isso cometemos um erro. Porém, se o erro for

pequeno para todos os efeitos práticos o resultado obtido nos servirá. Não demonstraremos aqui

o resultado que usaremos. A demonstração você fará no curso de Cálculo.




Considere a função: 2( ) (1 )f x x no intervalo -1≤ x ≤1. A expansão em série dessa função nos

diz que ela pode ser escrita como23:

2 2 3( ) (1 ) 1 2 3 4 ....f x x x x x

Se o valor de x for muito pequeno, os termos proporcionais a potências de x maiores ou iguais a 2

serão muito menores do que os termos proporcionais a x0 e x. Logo, para essa situação podemos

aproximar:

2(1 ) 1 2x x

Quanto menor o valor de x, menor será o erro cometido ao fazer essa aproximação. Por exemplo,

para x = 0,001, obtemos a partir da expressão exata que f(x) = 0,9980029 enquanto que a

expressão aproximada nos dá f(x) = 0,998.

Vamos usar esse resultado na expressão para o campo do dipolo elétrico (eq. 28). Nesse caso

temos que x = d/2y. Assim as parcelas se escrevem:

2

2

11

( / 2 )

11

( / 2 )

d

y d y y

d

y d y y

Usando esse resultado podemos escrever o campo elétrico do dipolo como:

20

2 20 0

30

1 14

2

4 2 2 4

2

dy

dy y

dy

q d d

y y y

q d d q d

y y y y y

q d

y

E e

E e e

E e

302d

y

p

y

E e

eq. 29

23

Veja Spiegel, Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas.




Observe que na eq. 29, a dependência com o inverso do cubo da distância do ponto à origem do

sistema de coordenadas, onde está localizado o dipolo. Este resultado é diferente do resultado

para o monopólo, uma única carga, para o qual a dependência cai com o inverso do quadrado da

distância. Ou seja, na medida em que a distância da origem vai ao infinito, diz-se que o campo do

monopólo cai mais lentamente que o campo do dipolo.

Os campos de outras configurações de carga, como o quadrupolo24 e o octupolo25 podem ser

obtidos da mesma maneira. Esses campos são importantes no cálculo de campos de objetos com

uma forma qualquer, colocado na origem, para pontos distantes da origem. Nesse caso, o campo

do corpo extenso pode ser escrito como uma soma de campos criados por monopólos, dipolos,

quadrupolos, etc., calculados de forma conveniente. Esse cálculo vai além do limite de um curso

de Física Básica, devido à complexidade da matemática envolvida, e é visto apenas em cursos

avançados de Eletromagnetismo.

Campos de corpos extensos

O cálculo do campo criado por corpos extensos é mais complicado do que aquele de partículas

pontuais devido à complexidade da matemática envolvida. Há várias maneiras de calcular o campo

criado por um corpo extenso. Dessas, duas nos interessarão aqui26:

Pela utilização do Princípio da Superposição; Pela utilização da Lei de Gauss (eq. 15).

Cálculo de campos produzidos por corpos extensos: utilizando o Princípio da Superposição

Na primeira abordagem, o corpo extenso é dividido em porções infinitesimais, com volumes

suficientemente pequenos para que possamos considerar cada elemento de volume d3v como se

esse elemento de volume fosse uma partícula pontual (veja a Figura 25). O campo criado por esse

elemento de volume no ponto considerado, denotado por dC, pode então ser calculado a partir da

expressão do campo para uma partícula pontual (Lei da Gravitação ou Lei de Coulomb,

respectivamente, para os casos gravitacional e eletrostático).

24

O quadrupolo é um sistema composto por quatro cargas elétricas, duas positivas e duas negativas, de mesmo módulo, dispostas

nos vértices de um quadrado, alternadamente.

25 O octupolo é um sistema composto por oito cargas elétricas, quatro positivas e quatro negativas, de mesmo módulo, dispostas

nos vértices de um cubo.

26 Em cursos avançados de Mecânica Clássica e Eletromagnetismo (principalmente) o estudante trabalhará com outras técnicas,

como expansão em multipolos ou expansão em série de autofunções.




Pelo Princípio da Superposição o campo total será dado pela soma dos campos de cada um dos

elementos de volume d3vj. Assim, se dividirmos o corpo extenso em N elementos de volume, cada

elemento com um volume dvj criando um elemento de campo dCj na posição P, podemos escrever

que:

1

N

jj

C dC

No caso gravitacional, essa expressão se escreve:

21 | | | |

Nj j

j j j

dmG

r rg

r r r r

Nessa expressão, dmj é o elemento de massa contido no elemento de volume d3vj.

Figura 25 – Campo criado por um corpo extenso.

Vamos agora levar esse processo ao limite do número de elementos de volume indo ao infinito

com o conseqüente volume de cada um dos elementos indo a zero. Nesse caso, a massa contida

em cada um dos elementos de volume também vai a zero, e o elemento de massa dmj se

aproxima da densidade de massa m na posição localizada pelo vetor rj (o vetor que localiza o

elemento de volume) multiplicada pelo elemento de volume d3v: 3j m jdm d v . Assim, o

somatório acima fica:

r rj

r - rj

Elemento de volume dvj’.

y

x

z

P dCj

Elemento de volume dvi’.

ri

r – ri

dCi




3

3

2 20 1 10

3

2

| | | | | | | |

( ') '

| '| | '|

lim limj j

N Nj j m j j

dm j jd vj j j j

m

V

dm d vG G

G d v

r r r rg

r r r r r r r r

r r rg

r r r r

O símbolo V indica a integral de volume tomada sobre o volume do corpo extenso (V) e o índice j

foi trocado pelo índice ‘27. Essa integral pode ser complicada de calcular se a forma do corpo

extenso não for simétrica.

Para o campo elétrico, obtemos resultado semelhante se substituirmos a densidade de massa m

pela densidade de carga q e a constante G por 0

1

4:

3

20

( ')1 '

4 | '| | '|

q

V

d v

r r rE

r r r r

Observe que nessas expressões o vetor que liga a fonte do campo (o elemento de volume dv) ao

ponto onde o campo está sendo calculado é dado pelo vetor r - r’. Essa situação é mais

complicada que a que tínhamos antes, pois agora a fonte do campo não está mais na origem.

Quando o corpo extenso tem uma das dimensões muito menores que as outras duas (um disco

por exemplo) ou quando uma das dimensões é muito maior que as outras (com em um fio longo)

as integrais acima se escrevem como integrais de superfície ou como integrais de linha. A Tabela 1

mostra as equações a serem solucionadas para cada situação.

27

Lê-se linha.




Nessas expressões, , e denotam, respectivamente as densidades linear, superficial e

volumétrica de massa ou carga elétrica. Os elementos ds e dl representam respectivamente, um

elemento de superfície ou de comprimento.

Cálculo de campos produzidos por corpos extensos: utilizando a Lei de Gauss

Outra forma que temos para o cálculo do campo em uma dada posição do espaço é pelo uso da

Lei de Gauss. Vimos que, para um dado campo vetorial C, o fluxo do campo através de qualquer

superfície S é dado por:

0

. (caso elétrico)

.. 4 (caso gravitacional)

c

Sc c

S

S

qds

ds Qds Gm

E n

C ng n

eq. 30

eq. 31

Na expressão acima já escrevemos a Lei de Gauss tanto para o caso eletrostático como para o caso

gravitacional. É importante lembrar que as quantidades que aparecem no lado direito são as

quantidades líquidas que temos dentro da superfície S. No caso gravitacional isso não é problema,

já que a massa é sempre positiva. No caso eletrostático, contudo, temos que ter cuidado, pois a

carga elétrica tem dois sinais. Nesse caso devemos operar algebricamente. Por exemplo, se dentro

Tabela 1 – Campos de corpos extensos (casos eletrostático e gravitacional)

Geometria Caso gravitacional (g) Caso eletrostático (E)

Corpo extenso – volume

Elemento de massa dado por:

3dm d v

3

2

( ') '

| '| | '|m

V

G d v

r r rg

r r r r 3

20

( ')1 '

4 | '| | '|

q

V

d v

r r r

r r r r

Corpo extenso – superfície


dm ds

2

( ') '

| '| | '|m

S

G ds

r r rg

r r r r

20

( ')1 '

4 | '| | '|

q

S

ds

r r r

r r r r

Corpo extenso – linha


dm dl

2

( ') '

| '| | '|m

l

G dl

r r rg

r r r r

20

( ')1 '

4 | '| | '|

q

l

dl

r r r

r r r r




da superfície S temos duas cargas, uma com + 2C e outra com -3C, a carga líquida dentro da

superfície S é -1C.

A expressão para a Lei de Gauss no caso eletrostático é conhecida como uma das equações de

Maxwell. Estas equações, que descrevem todos os fenômenos eletromagnéticos, são em número

de quatro. A segunda delas, que veremos mais adiante, é a Lei de Gauss para o caso magnético.

O uso da Lei de Gauss apresenta limitações de natureza prática. A primeira limitação é a de que a

Lei de Gauss não nos dá nem a direção e tampouco o sentido do campo sendo calculado. Devemos

saber a priori qual o sentido e qual a direção do campo de modo a poder calcular o produto

escalar entre o campo e o vetor normal unitário à superfície em cada ponto. Essas informações

devem ser obtidas de outras fontes, normalmente considerações de simetria. A segunda limitação

vem do fato de que mesmo que saibamos calcular esse produto escalar, a integral de superfície

pode ser difícil de calcular. Por essas duas razões, a aplicabilidade da Lei de Gauss, do ponto de

vista prático, se limita a situações onde o grau de simetria é muito alto. Essas situações

normalmente envolvem as simetrias esférica, cilíndrica e de tipo caixa. Em geral, o algoritmo de

aplicação da Lei de Gauss é o seguinte:

Estude o problema e identifique as simetrias presentes; Escolha uma superfície que apresente a mesma simetria e que contenha o ponto onde o

campo deve ser calculado; Escreva o resultado do produto escalar que aparece na expressão da Lei de Gauss; Resolva a integral da Lei de Gauss, obtendo o módulo do campo procurado. Observe que a

Lei de Gauss apenas pode fornecer essa quantidade.

Exemplo 4 - Cálculo de campo de corpos extensos: o caso da esfera uniformemente

carregada. Cálculo usando a Lei de Gauss.

Vamos calcular o campo de uma esfera uniformemente carregada positivamente com uma

densidade de carga em um ponto fora da esfera localizado pelo vetor r. A situação é mostrada

na Figura 26. Nela mostramos a esfera carregada, com centro na origem e a superfície gaussiana

escolhida, também uma esfera de raio r.




Figura 26 – Corpo extenso com simetria esférica (esfera interior) e a superfície gaussiana

(esfera exterior).

Observe que o vetor que localiza o ponto onde o campo está sendo calculado é o vetor r. O vetor

r’ localiza os pontos dentro da esfera que criam o campo em r.

Nosso problema tem simetria esférica, já que a densidade de carga na esfera é constante e não

depende dos ângulos e (estamos usando o sistema de coordenadas esféricas devido à simetria

do problema). Veja que o que nos dá simetria esférica não é o fato de que o corpo extenso é uma

esfera, mas sim o fato de que a densidade é constante, não dependendo do ângulo.

Vamos aplicar a Lei de Gauss. Sabemos pela simetria do problema que o campo elétrico E e o

vetor unitário n são paralelos. Portanto, na superfície da esfera de raio r o produto escalar do

campo E e do vetor n nos dá simplesmente: E.n = E, o módulo do campo E já que o módulo de n é

1. Logo, usando a lei de Gauss para o campo eletrostático (eq. 30):

2

0

2

40 0 0

20

.

4

1

4

S

c

S

c c c

ds rS S

c

qds

q q qEds E ds E r

qE

r

E n

Essa expressão nos diz que o campo criado por uma distribuição de carga esférica cria um campo

equivalente ao campo que seria criado por uma partícula que contivesse toda a carga qc colocada

na origem (veja que r é a distância da origem até o ponto P onde o campo está sendo calculado).

r'

P

y

x

z

r

Corpo extenso carregado

Superfície gaussiana




Exemplo 5 - Cálculo do campo de corpos extensos: o caso da linha uniformemente

carregada. Cálculo usando a integração sobre os elementos de volume da distribuição de

cargas.

Vamos agora calcular o campo criado por uma barra fina de comprimento 2L cujo centro está

localizado na origem. Podemos, sem perda de generalidade, colocar a barra ao longo do eixo z.

Queremos calcular o campo em um ponto sobre o plano (x,y).

Por simplicidade na Figura 27 colocamos o ponto onde o campo está sendo calculado sobre o eixo

x. O ponto está localizado a uma distância d do eixo z.

Na Figura 27, mostramos os elementos de campo criados por dois elementos de comprimento do

fio, l1 e l2, localizados no eixo z simetricamente em relação ao plano (x,y). Da simetria vemos que

as componentes na direção z desses campos se cancelam enquanto que as componentes ao longo

do eixo y se adicionam.

Figura 27 – Linha uniformemente carregada.

Usando o Teorema de Pitágoras, o módulo do vetor que localiza o ponto em relação ao elemento

de comprimento dl que cria o campo é dado por:

1/22 2| '| 'y z r r

P

Elemento de comprimento l1

Elemento de comprimento l2

dE2

dE1

y

L

L

r - r’

z'




Nessa expressão usamos que o vetor que localiza o elemento de comprimento que cria o campo é

dado por r’ = z’ ez e o vetor que localiza o ponto onde o campo está sendo calculado é dado por r

= y ey. Portanto, o vetor r – r’ é dado por:

' 'y zy z r r e e

Podemos então escrever que:

1 1cos( ) ydE dE dE

Nessa expressão, é o ângulo entre o vetor dE1 e o eixo y. Da figura, vemos que o cos() pode ser

escrito como:

2 2 1/2cos( )

( ' )

y

y z

z’ é a coordenada do elemento de comprimento dl=dz’ que cria o campo na posição P.

Usando a expressão para o caso linear (segunda coluna da terceira linha da Tabela 1) podemos

então calcular o campo criado no ponto P:

20

2 2 2 2 1/20

2 2 3/20

( ')1cos( ) cos( ) '

4 | '|

1'

4 ( ' ) ( ' )

1'

4 ( ' )

q

y y

l

L q

yL

L q

yL

dE dz

ydz

y z y z

ydzy z

rE e e

r r

E e

E e

2 2 3/20

'

4 ( ' )

Lq

yL

y dz

y z

E e eq. 32

Essa é uma integral tabelada. O resultado dessa integral é28:

28

Veja a Tabela Schaum, fórmula 14.196.




2 2 3/2 2 2 20 0

2 2 2 2 2 20 0

1 ''

4 ( ' ) 4 '

( ) 2

4 4( )

L

L

y yL

L

y y

y y zdz

y z y y z

L L L

y yy L y L y L

E e e

E e e

2 202

y

L

y y L

E e eq. 33

Vamos analisar esse resultado para dois casos limites.

Caso 1 – y>> L: o ponto P está muito distante da barra de comprimento L

Nesse caso, podemos desprezar o valor de L2 frente ao valor de y2 no denominador da eq. 33:

2 20 0

2 20 0

2 20 0

1 1

2 2

2

2 4

1 2 12

4 4

y y

y y

cy y c

L L

y y yy L

L L

y y

qLq L

y y

E e e

E e e

E e e

Ou seja, para pontos muito distantes da barra, o campo elétrico é o mesmo que o criado por uma

partícula colocada na origem com toda a carga elétrica contida na barra ( 2cq L ).

Caso 2: barra infinita (L >> y)

Nesse caso, o termo a ser desprezado no denominador é y2 frente a L2:

2 20 0 02 2 2

y y y

L L

y y L yy L

E e e e

0

1 2

4y

y

E e eq. 34

Esse é o campo criado por um fio infinito, como se verá mais adiante.

Na solução acima, usamos um argumento de simetria para obter a direção e o sentido do campo

elétrico ao longo do eixo y. Contudo, esse tipo de argumento, embora simplifique o processo, não




é necessário e, muitas vezes, não é simples enxergar essas simetrias. O resultado que obtivemos

deve sair naturalmente das equações que temos se usarmos as regras do Cálculo Integral e da

Geometria Analítica de forma criteriosa. Vamos resolver agora o mesmo problema sem fazer uso

de nenhuma hipótese a priori de quais as simetrias envolvidas.

Partimos simplesmente de:

20

( ')1 '

4 | '| | '|

q

l

dl

r r rE

r r r r.

Vamos substituir as várias quantidades que aparecem nessa equação conforme descritas mais

acima:

2 2 2 2 2 1/20 0

2 2 3/2 2 2 3/20

( ') '1 ' 1'

4 | '| | '| 4 ( ' ) ( ' )

'' '

4 ( ' ) ( ' )

Lq q y z

l L

L Lq

y zL L

y zdl dz

y z y z

y zdz dz

y z y z

r e er rE

r r r r

E e e

O integrando da segunda dessas integrais é uma função ímpar da variável de integração (z’)29 e o

intervalo de integração é simétrico em torno do zero. Portanto, essa integral vale

automaticamente zero.

Logo:

2 2 3/20

'

4 ( ' )

Lq

yL

y dz

y z

E e

Esse é o mesmo resultado que tínhamos obtido antes (eq. 32). O restante do procedimento é

similar.

Esse é um exemplo típico em que, apesar de termos um algo grau de simetria no problema, não

podemos usar a Lei de Gauss.

29

Uma função é ímpar quando o valor da função muda de sinal se mudarmos o sinal da variável: f(x) = - f(-x). Por outro lado, se o

sinal fica inalterado ao substituirmos x por –x a função é dita par: f(x) = f(-x). Um exemplo de função ímpar é a função f(x) = x e um

exemplo de função par é a função f(x) = x2, como pode ser verificado por substituição direta de x por –x.




O problema aqui é que a simetria existente no plano (x,y) não se reproduz em outros pontos. Veja

que, se tomarmos um ponto próximo da base ou do topo do cilindro mostrado na Figura 28, a

distância desse ponto a dois elementos de carga que sejam simétricos em relação ao plano (x,y)

não é a mesma, o que acarreta uma diferença nas componentes z dos campos criados por esses

elementos de carga. Esse efeito é chamado de efeito de borda.

Figura 28 – Superfície gaussiana para o problema da barra carregada.

Contudo, para pontos no plano (x,y), se a altura do cilindro for muito menor que o comprimento

2L da barra, podemos usar a Lei de Gauss. Para superfície gaussiana vamos tomar um cilindro cujo

eixo seja paralelo ao eixo z de raio y e comprimento 2a (veja a Figura 29). Por hipótese, a<< L.

Figura 29 – Superfície gaussiana para a barra carregada.

Como antes, a simetria do problema nos diz que a componente do campo não nula está na direção

y, perpendicular à face lateral do cilindro. Em todos os pontos a situação é a mesma.

P

y

L

P

y

L

2a




Portanto:

pontos sobre a lateral do cilindro.

0 pontos sobre a base do cilindro

E

E n

A carga total que temos dentro do cilindro é simplesmente 2a. Portanto, o campo será dado por:

0 0

0

2.

2

l

S

S

q aE nds

aE ds

Nessa última expressão, a integral somente será tomada sobre a superfície lateral do cilindro (Sl)

pois nas bases o integrando é nulo. Usando que a área lateral do cilindro é simplesmente 2y.2a =

4ya, podemos escrever:

0

0 0

24 4

1 2 1 2

4 4

l lS S

y

ads ya E ds E ya

aE

ya y

E e

Veja que esse resultado é o mesmo que obtivemos acima, para o caso y<< L (eq. 34). Observe que

esse resultado somente é válido para pontos no plano (x,y).

Exemplo 6 - Cálculo de campo de corpos extensos: o fio infinito.

Analisaremos a seguir o caso de um fio infinito, com densidade de carga uniforme. A situação é

mostrada na Figura 30.




Figura 30 – O fio infinito.

Neste caso, podemos aplicar a Lei de Gauss sem problemas. Como o fio é infinito, para qualquer

ponto no espaço, haverá sempre dois elementos de carga simétricos em relação ao plano (x,y) e,

conseqüentemente, as componentes do campo criado por esses elementos de carga ao longo da

direção z se cancelarão, como no caso do cálculo ao longo do plano (x,y). Não há efeito de bordas

aqui.

Para superfície gaussiana tomamos novamente um cilindro de comprimento L (veja a Figura 30). O

cálculo é exatamente igual ao realizado na seção anterior, apenas substituindo o comprimento a

usado naquela seção pelo comprimento L do cilindro:

0 0 0

0

. (2 )

1 2

4

c

S S

y

q L LE ds E y L

y

E ds

E e

Observe que o resultado é independente do comprimento do cilindro utilizado.

Exemplo 7 - Cálculo do campo de corpos extensos: o caso do plano infinito de carga

Para finalizar, vamos calcular o campo próximo de um plano infinito de cargas, com densidade

uniforme . A situação e a superfície gaussiana a serem utilizadas estão mostradas na Figura 31.

Observe a simetria da situação. Como o plano é infinito, em qualquer ponto acima do plano as

componentes x e y do campo serão nulas, já que para cada elemento de superfície no plano

haverá outro simétrico cujas componentes x e y do campo se cancelem. Portanto, o campo

elétrico deve ser orientado na direção z.

P

y

L




Para calcular o campo, usando a Lei de Gauss vamos tomar um pequeno cilindro de altura h e área

da base A. Pela simetria do problema, somente na base e no topo do cilindro os vetores n e E

serão paralelos. Na superfície lateral esses dois vetores são perpendiculares e, portanto, o produto

escalar entre eles será nulo.

Figura 31 – O plano infinito de cargas.

Assim podemos escrever:

0

0

. . . .

. .

b t l

b t

c

S S S S

c

S S

qds ds ds ds

qds ds

E n E n E n E n

E n E n

Nessa expressão, os índices t, b e l, indicam respectivamente o topo, a base e a lateral o cilindro

mostrado na Figura 31. A integral sobre a área lateral do cilindro é nula pois o integrando é nulo.

Vamos agora resolver essas integrais, observando que: E.n = E:

0

0 0

.

.

22

b b

t t

S S c

S S

ds E ds EAq

EA EAds E ds EA

AEA E

E n

E n

Nessa última expressão, foi usado que a carga dentro da superfície gaussiana é dada por: qc = A.

A circulação dos campos E e g.

n E

A

+

+

+

+

+ +

+

+

+

n E




Até aqui nos preocupamos com o cálculo dos fluxos dos campos E e g. Vamos agora nos deter

sobre o valor da circulação desses campos. Como vimos antes, a circulação nos diz se os campos

são capazes de criar “redemoinhos”.

A equação que define a circulação é:

.C

C dl

Se o campo C for o campo eletrostático ou o campo gravitacional de uma partícula na origem, essa

integral pode ser escrita como:

( , ).C

g,E g E dl

Vamos tomar para curva uma curva qualquer, fechada. Em coordenadas esféricas, o elemento

de comprimento dl se escreve como30:

senrdr rd r d

dl e e e

Os vetores er, e e e são os vetores unitários ortogonais em coordenadas esféricas (são os vetores

equivalentes aos vetores ex, ey e ez nas coordenadas cartesianas). Portanto, o produto escalar

entre o campo (E ou g) e o vetor dl, para qualquer curva será dado por:

2

1( , ). cg E dl dr

r

A constante c depende do campo sendo considerado. Para simplificar, vamos trabalhar daqui em

diante com o vetor E apenas, já que esse tipo de cálculo é mais usado no eletromagnetismo.

Substituindo esse resultado na expressão da circulação, obtemos:

20

0 0

.4

1 1 1

4 4

b

a

c

r

c c

r b a

q drC

r

q qC

r r r

E

E

E dl

30

Essa informação ficará mais clara no curso de Cálculo.




Como a curva é uma curva fechada, os pontos ra e rb são o mesmo ponto. Logo, a circulação do

campo elétrico (e também do campo gravitacional) é nula:

0C g,E

Por essa razão, circulação nula, esses campos são chamados de campos irrotacionais. O estudante

deve observar que a origem da circulação nula desses campos está na dependência com 1/r2

apresentada tanto pelo campo elétrico com pelo campo gravitacional de uma partícula. No caso

do campo gravitacional isso é estritamente verdadeiro. Mas no caso do campo elétrico veremos

que, no caso mais geral, o campo elétrico pode ter circulação diferente de zero.

Interação devida a correntes: o Campo Magnético (BB)

O campo magnético tem por fonte a corrente elétrica. A história do campo magnético é bastante

antiga, embora não por esse nome. A palavra magnético vem de magnetita, uma rocha

encontrada na Ásia Menor e que tinha propriedades de atrair metais como o ferro.

Foram os chineses os primeiros a se darem conta de uma aplicação prática do uso desse tipo de

rocha: a bússola. Nesse instrumento, tiramos proveito do fato de que uma agulha magnética se

orienta na direção norte – sul, o que permite a orientação.

Além dessa aplicação prática, o campo magnético desempenha um papel fundamental em

fenômenos da vida cotidiana. Por exemplo, a Terra age como um grande imã gerando um campo

magnético que nos protege das partículas emitidas pelo Sol durante as erupções solares. Também

é o campo magnético terrestre que permite as grandes migrações dos pássaros entre os dois

hemisférios. Isso é possível devido às partículas de ferro que esses animais possuem em seus bicos

e que se orientam com o campo magnético terrestre. Por fim, mas não menos importantes, são as

aplicações do campo magnético no setor industrial que vão desde alto falantes até super imãs.




Figura 32 – Pólos norte e sul de um imã.

A exemplo da carga elétrica, temos dois tipos de carga magnética. Se aproximarmos dois imãs,

observamos que pode ocorrer atração ou repulsão entre eles, dependendo de quais extremidades

dos imãs aproximamos. Os nomes dados a essas extremidades dos imãs são pólos, os quais são

chamados de pólo norte e pólo sul, por analogia com os pólos geográficos da Terra (veja a Figura

32). Se deixarmos o imã se orientar como a agulha de uma bússola, a parte do imã que aponta

para o norte geográfico recebe o nome de pólo norte do imã e a parte do imã que aponta para o

pólo sul geográfico recebe o nome do pólo sul do imã.

Da observação, sabe-se que pólos de mesmo nome se repelem e pólos de nomes diferentes se

atraem (veja a Figura 33).

Figura 33 – Forças de atração e repulsão entre imãs.

A analogia entre carga elétrica e pólos de um imã tem, contudo, sua limitação. Podemos ter os

“pólos” elétricos separados. Assim, podemos ter uma partícula que somente tenha carga elétrica

de um tipo, positivo ou negativo. É o que se chama monopólo de carga elétrica.

Figura 34 – Um imã partido origina outros imãs.

S N S N S N

Atração Repulsão

Pólo norte de um imã.

Pólo sul de um imã.

N

S

Pólo norte geográfico da

Terra

Pólo sul geográfico

da Terra

S N N S

N S

Processo de quebra

do imã.




Para um imã, contudo, não podemos separar o seu pólo norte de seu pólo sul. Se dividirmos um

imã em duas metades, cada metade será um imã completo, com seu pólo norte e seu pólo sul

(veja a Figura 34). Se prosseguirmos no processo de divisão, sempre obteremos novos imãs. Esse

fato, é expresso através da afirmação de que não existem monopólos magnéticos. Isso é válido

para qualquer campo magnético, mesmo aqueles não criados por imãs, mas por correntes, como

veremos mais adiante.

A compreensão dos fenômenos magnéticos levou mais tempo do que a compreensão de

fenômenos elétricos. Uma das causas é o fato de que a descrição matemática dos fenômenos

magnéticos exigir o uso intensivo do cálculo vetorial, pois a força magnética é escrita em termos

de um produto vetorial, como veremos mais adiante.

Como todo campo, o campo magnético tem uma fonte, a corrente elétrica. Se tivermos campo

magnético em algum lugar é porque temos corrente elétrica em algum ponto do espaço e vice-

versa31.

Definindo o campo magnético: a Força de Lorentz

Campos magnéticos, a exemplo de campos elétricos, exercem força sobre partículas.

Experimentalmente se verifica que uma partícula portadora de carga elétrica q quando está em

uma região do espaço na qual há um campo magnético B experimenta uma força de natureza

magnética com as seguintes características (veja a Figura 35):

a) A força experimentada pela partícula depende da velocidade da partícula. Sobre uma

partícula em repouso o campo magnético não exerce nenhuma ação.

Essa primeira observação reflete o fato de que a fonte do campo magnético são correntes

elétricas. Portanto, para que uma partícula possa interagir com o campo magnético ela

deve ter a mesma propriedade que cria o campo. Como a corrente elétrica nada mais é do

que partículas carregadas eletricamente que se movem, para que a partícula possa

interagir com o campo magnético é necessário que ela mesma seja uma corrente elétrica.

Para que isso aconteça, ela deve estar em movimento.

31

Isto é estritamente verdadeiro macroscopicamente. Em nível quântico as propriedades magnéticas são intrínsecas às partículas

elementares (elétrons, prótons, etc.), como a massa e a carga elétrica. Este magnetismo intrínseco recebe o nome de spin.




b) A força de natureza magnética sentida pela partícula é perpendicular ao plano que contém

a velocidade da partícula e o vetor campo magnético.

Essa observação aponta para a natureza um pouco mais complexa da força magnética, a

qual é dada em termos de um produto vetorial.

c) A força de natureza magnética experimentada pela partícula é proporcional à carga da

partícula.

Essa observação tem origem na mesma razão da letra a. Para interagir com o campo

magnético é necessário que a partícula tenha carga elétrica.

Figura 35 – Partícula se movimentando em uma região onde existe campo magnético.

Esses resultados podem ser reunidos escrevendo a força de natureza magnética que atua sobre

uma partícula com carga elétrica q como32:

B q F v B eq. 35

Tendo definido a força que age sobre uma partícula na presença do campo magnético, podemos

definir o campo magnético em termos dessa força. Entretanto, não podemos definir o campo em

termos de um limite, tomando a carga da partícula de teste indo a zero. Primeiro, por que a força

magnética depende de duas propriedades da partícula, sua carga e sua velocidade: partículas sem

carga elétrica não experimentam força magnética e partículas com carga elétrica em repouso

também não. Segundo, devido ao caráter vetorial da força magnética. Portanto, vamos definir o

campo magnético simplesmente pela eq. 35.

Da eq. 35 podemos retirar as seguintes conclusões:

1. O campo magnético é perpendicular ao plano que contém a aceleração experimentada pela partícula e o seu vetor velocidade. Equivalentemente,

32Essa equação tem essa forma no Sistema Internacional de Unidades.

B

v

Trajetória




podemos dizer que a aceleração provocada pelo campo magnético é sempre perpendicular ao plano que contém o campo magnético e a velocidade da partícula.

2. O campo magnético não muda o módulo da velocidade da partícula, apenas a

direção e o sentido de sua velocidade. Isso decorre do enunciado anterior: como a aceleração é sempre perpendicular à

velocidade, esta não pode alterar o módulo da velocidade, pois não tem

componente na direção da velocidade. Isso será demonstrado mais adiante quando

falarmos de Trabalho.

3. O campo magnético não pode exercer ação alguma sobre uma partícula que se movimente com velocidade paralela ao próprio campo magnético. Esta também é uma consequência direta da eq. 35, devido ao caráter vetorial da

força magnética.

Se na região onde a partícula se movimenta também temos campo elétrico E, além do campo

magnético B, então a partícula experimentará, ao mesmo tempo em que experimenta uma força

de natureza magnética (FB), uma força de natureza elétrica (FE) dada por: E qF E .

Portanto a força total experimentada pela partícula será dada por:

E B q q q F F F F E v B F E v B eq. 36

A força expressa na eq. 36 recebe o nome de Força de Lorentz. É ela que governa o movimento de

partículas em regiões onde temos campos elétricos e magnéticos. Na eq. 36 deve-se observar que

o campo elétrico e o campo magnético gerados pela própria partícula não entram no cálculo. Os

campos E e B são os campos gerados por outras fontes (partículas carregadas em repouso e em

movimento) presentes no problema.

Movimento de partículas em campos: o movimento de cíclotron

Uma aplicação interessante do que vimos estudando é a determinação da trajetória de uma

partícula carregada que ingressa em uma região onde existe um campo magnético. A situação é





Figura 36 – Partícula com velocidade v em uma região onde existe um campo magnético.

Como temos apenas o campo magnético atuando na partícula, a força que essa partícula

experimenta será dada por:

q F v B

Essa é a parte magnética da força de Lorentz. Como sabemos, essa força somente tem

componentes na direção perpendicular à direção do vetor velocidade da partícula (e também ao

campo magnético).

Para exemplificar o que acontece, vamos tomar uma situação na qual a partícula penetra na região

onde existe um campo magnético, com velocidade perpendicular à direção do campo magnético.

Sem perda de generalidade, podemos escolher o sistema de coordenadas de tal modo que o

campo esteja na direção –ex e a velocidade da partícula seja na direção ey. Nessa situação

particular a força que atua sobre a partícula estará ao longo do eixo z (direção ez):

( )y x

z

q qv B

qBv

F v B e e

F e

A força será no sentido positivo do eixo z se a carga da partícula for positiva e no sentido negativo

do eixo z se a carga da partícula for negativa. Essa parte da força de Lorentz somente é capaz de

modificar a direção e o sentido da velocidade da partícula, não o módulo da velocidade. Essa força

atua como uma força centrípeta, forçando a partícula a executar um movimento circular em torno

das linhas do campo magnético. Portanto, podemos escrever que a aceleração centrípeta da

partícula será dada, em módulo por:

2v qvB qBrv

r m m

Nessa expressão, r é o raio da órbita que a partícula descreverá em torno das linhas de campo.

Esse movimento da partícula é chamado de movimento de cíclotron. O resultado final é o

mostrado na Figura 37.




Figura 37 – Trajetória de uma partícula carregada na presença de um campo magnético.

Nessa figura, mostramos o movimento de uma partícula positiva e de uma partícula negativa, de

mesma massa. Observe o sentido oposto, resultado da força magnética atuar em sentidos opostos

conforme a carga da partícula.

Uma quantidade importante relacionada com esse movimento é a chamada frequência de

cíclotron. Vamos definir o tempo que a partícula leva para dar uma volta completa em torno da

linha do campo magnético como sendo o seu período, 33. Então o período pode ser obtido a

partir da divisão do caminho percorrido pela partícula (uma volta completa na circunferência) pela

sua velocidade:

2 2c c

L r m

q Brv q B

m

O índice c indica que estamos falando do período de cíclotron e o módulo na carga é consequência

do fato de que estamos tomando o módulo da velocidade. A freqüência de rotação da partícula

(fc), o número de voltas que ela dá em cada unidade de tempo, é o inverso dessa quantidade:

1

2c

c

q Bf

m

.

A unidade da frequência no Sistema Internacional de unidades é o Hz s-1. Outra forma de

escrever a frequência, agora em termos do ângulo descrito por unidade de tempo, é a chamada

frequência angular (c). Essa quantidade é definida como o produto da freqüência de cíclotron, fc,

33

Essa é a letra grega Tau minúscula.

v

B

Partícula com carga negativa Partícula com carga positiva

v




por 2. Então, em termos da freqüência angular, o movimento de cíclotron da partícula será dado

por:

2 22

c c c

q B q Bf

m m

.

Algumas observações sobre esse resultado são importantes:

1. A frequência de cíclotron é independente do raio da trajetória; 2. A frequência de cíclotron depende do módulo da carga da partícula: quanto maior o

módulo da carga da partícula maior será a sua frequência de cíclotron; 3. A frequência de cíclotron depende inversamente da massa da partícula: partículas mais

massivas terão frequência de cíclotron menores.

Esse movimento das partículas é muito importante quando queremos aprisionar partículas

carregadas em uma região do espaço e tem aplicações desde a indústria de desenvolvimento de

novos materiais até problemas relacionados à Astrofísica.

Corrente elétrica

A corrente elétrica é a quantidade de carga elétrica que atravessa uma superfície por unidade de

tempo. Considere a Figura 38 na qual mostramos algumas partículas com carga elétrica que

atravessam uma seção reta do condutor cuja área da seção reta chamamos de S.

Definimos como a corrente elétrica (i) que percorre um condutor

a quantidade de carga positiva que atravessa uma seção reta (S)

do condutor por unidade de tempo (veja a Figura 38) quando o

intervalo de tempo vai a zero.

Matematicamente, podemos expressar essa ideia por:

0lim

t

q dqi i

t dt

eq. 37

Nessa expressão, q indica a quantidade de carga elétrica que atravessou a superfície S no

intervalo de tempo t. A definição de corrente elétrica em termos da carga de tipo positivo tem

Superfície S

Cargas elétricas




razões históricas. Inicialmente se pensava que eram as partículas com carga elétrica positiva os

portadores de carga (as partículas que se moviam em fios criando a corrente elétrica). Somente

mais tarde se descobriu que eram as partículas com carga negativa (os elétrons) que

desempenhavam esse papel em sólidos. Contudo, a tradição se manteve. Assim quando indicamos

o sentido da corrente elétrica, em diagramas de circuitos por exemplo, esse sentido sempre se

refere ao sentido de movimento de partículas com carga elétrica de tipo positivo. A corrente assim

indicada chama-se corrente convencional.

Figura 38 – Cargas elétricas em um condutor.

Como a corrente é definida em termos das partículas com carga positiva, se são os elétrons que se

movimentam para criar a corrente elétrica (ou outro tipo partícula com carga negativa que se

mova, como íons negativos34, por exemplo) como acontece em metais, devemos substituir no

cálculo da corrente os elétrons que se movem em uma dada direção e sentido por partículas

positivas de mesma carga que se movem na mesma direção mas porém em sentido contrário.

Por exemplo, considere a situação mostrada na Figura 39. Nela, simbolizamos cargas positivas pelo

símbolo e cargas negativas pelo símbolo (a seta indicando a direção e o sentido do movimento

das partículas). Nessa situação, temos certo número de partículas com carga de tipo positivo

atravessando a superfície S da esquerda para a direita, enquanto certo número partículas, com

cargas de tipo negativa, atravessa a mesma superfície no sentido oposto, da direita para a

esquerda. Para fins de cálculo de corrente elétrica devemos contar o número de partículas com

carga positiva mais o número de partículas com carga negativa, mas com sinal trocado, ou seja,

somamos a totalidade dos módulos das cargas que atravessam a superfície S. Esse procedimento é

equivalente a trocar todas as partículas com carga de tipo negativo se deslocando da direita para a

esquerda por partículas com carga de tipo positivo se deslocando da esquerda para a direita.

34

Um íon é um átomo que perdeu ou ganhou um ou mais elétrons, rompendo dessa maneira o equilíbrio entre cargas positivas e

negativas. Se o átomo perdeu elétrons dizemos que temos um ânion se ganhou elétrons dizemos que temos um cátion.

Equivalentemente podemos falar em íons negativos (átomos que perderam ganharam elétrons) ou íons positivos (átomos que

perderam elétrons).




A unidade de corrente elétrica no sistema de unidades internacional é o C/s (Coulomb por

segundo). Essa unidade recebe o nome de Ampère, símbolo A, em homenagem ao físico francês

André-Marie Ampère35.

Figura 39

A corrente elétrica nos dá o fluxo de partículas por tempo através da superfície S. Essa informação,

contudo, nem sempre é refinada o suficiente para cálculos mais precisos. Por essa razão,

definimos outra quantidade denominada de densidade de corrente:

A densidade de corrente elétrica (J) é a quantidade de carga

elétrica que atravessa uma unidade de área da superfície S por

unidade de tempo.

O módulo da densidade de corrente é dado por:

1 dQ iJ

S dt S

eq. 38

Observe que a densidade de corrente é um vetor. O sentido da densidade de corrente e a direção

são dados pelo sentido e direção da velocidade das partículas portadoras de corrente.

Força magnética sobre um condutor carregado

Vimos anteriormente que a corrente elétrica nada mais é do que um conjunto de cargas se

movimentando em um condutor. Contudo, cargas dentro de um condutor se movimentam com

diferentes velocidades devido ao movimento aleatório causado pelas colisões com os íons da rede

e entre as próprias cargas. Nessa situação é mais conveniente falar em uma velocidade de deriva

35

Nascido em 1775 e morto em 1836.

Superfície S

Cargas elétricas

positivas.

Cargas elétricas

negativas.




das cargas ao longo do condutor. Essa velocidade de deriva pode ser entendida como uma

velocidade média com a qual as cargas se movimentam ao longo do condutor.

A força que atua sobre uma única carga elétrica na presença de um campo magnético é dada pela

parte magnética da força de Lorentz. Em um condutor, a força que cada uma delas experimenta,

em média, é dada por:

dq F v B

Vamos supor um condutor de seção reta de área A, como mostrado na Figura 40. Nesse caso, se

temos n cargas por unidade de volume do condutor, a carga Q que temos em um pequeno

elemento de comprimento dl, orientado na direção do movimento das cargas será dada por:

Q nqAdl

Figura 40 – Condutor no qual flui uma corrente i em uma região onde existe um campo

magnético B.

Portanto, o elemento diferencial de força que o condutor experimenta devido ao campo

magnético será dado, em módulo, por:

vd dl

Seção reta do condutor de

área A

B




( )

( )

d dQ nqAdl

nqAv

i

dF v B v B

dF dl B

dF dl B

Na expressão acima, fizemos uso das relações: i = nqAv e dlv = vdl, já que os vetores v e dl têm a

mesma direção e o mesmo sentido.

A força total experimentada pelo condutor será dada pela integral (soma) dos elementos dl ao

longo de todo o condutor:

C C

i F dF F dl B eq. 39

O índice C apenas indica que estamos somando (integrando) sobre todo o comprimento do

condutor. Essa expressão é válida para qualquer condutor.

Exemplo 8 - Cálculo de força sobre espira: o fio de comprimento l

Como um exemplo de aplicação da eq. 39, vamos calcular a força sobre um fio de comprimento l

em uma região onde existe um campo magnético uniforme na direção – ex (lado negativo do eixo

x). A situação é a mesma mostrada na Figura 40.

Nesse caso, podemos escrever o produto vetorial entre o elemento dl do circuito (dado por dl =

dl e3) e o campo magnético como:

( )z x ydlB dlB dl B e e e .

Portanto, a força sobre o fio será dada por:

/2 /2 /2

/2/2 /2' ' ' '

2 2

l l l

y y y ll lC

y y

i i Bdl iB dl iB l

l liB iBl

F dl B e e e

F e F e

Ou seja, a força magnética sobre o fio será na direção positiva do eixo y.

Exemplo 9 - Força sobre uma espira de corrente

Normalmente estamos interessados em saber a força atuando em uma espira de corrente.




Para exemplificar o processo vamos tomar uma espira retangular, de lados a e b (a < b) a qual está

no plano (x,y) e vamos tomar o campo magnético, suposto constante, na direção z. A situação é


Figura 41 – Espira retangular de corrente.

Com essa geometria, o campo magnético é escrito como B0 = B0 ez e os elementos de corrente dl

serão escritos conforme o lado em que estejam situados. Assim, a força sobre a espira de corrente

será dada por:

0 0 0 0 0

B C D A

A B C DC

i i i i i F dl B dl B dl B dl B dl B

Nessa expressão, a integral sobre todo o circuito foi dividida em quatro integrais, uma para cada

lado da espira. Vamos analisar agora cada um dos lados separadamente.

Lado AB

Para esse lado, o vetor dl aponta na direção – ey. Portanto:

0 0 0y z xdl B dlB dl B e e e

E a integral sobre esse lado se escreve:

0 0 0 0

0

( )B B B

AB x x xA A A

AB x

i idlB iB dl iB B A

iB a

F dl B e e e

F e

Lado BC

x y

z

B0

i

A

B

C

D

FAB

FCD

FDA

FBC

a b




Para esse lado, o vetor dl aponta na direção do vetor – ex. Logo, a integral se escreve:

0 0 2 0 0

0

( )C C C

BC x z yB B B

BC y

i idl B iB dl iB C B

iB b

F dl B e e e e

F e

Lado CD

Esse lado é paralelo ao lado AB. Portanto, nesse lado o vetor dl aponta na direção exatamente

oposta à direção do vetor dl no lado AB. Logo:

0 0 0 0 0

0

( )D D D D

CD z x x xC C C C

CD x

i i B idlB iB dl iB D C

iB a

F dl B dl e e e e

F e

Lado DA

Novamente, temos um lado sobre o qual o vetor dl tem sentido oposto ao lado paralelo (lado BC):

0 0 2 0 0

0

( )A A A

DA x z yD D D

DA y

i idl B iB dl iB D A

iB b

F dl B e e e e

F e

Podemos agora reunir esses resultados e calcular a integral sobre todo o circuito:

0 0

0

AB BC CD DA

y xiB b b iB a a

F F F F F

F e e

F

Portanto, a força que atua no circuito é nula. Apesar de termos calculado para uma espira

retangular, esse resultado é bastante geral. Analisemos o caso de uma espira circular de raio R, no

plano (x,y), com o campo magnético novamente na direção z. A situação é mostrada na Figura 42.




Figura 42 – Espira circular de corrente.

Nessa situação, como temos uma simetria de tipo cilíndrica, o sistema de coordenadas mais

adequado é o sistema cilíndrico, cujos vetores unitários estão representados na Figura 42. Neste

sistema de coordenadas os vetores dl e B0 são escritos como:

0 0 z

dl

B B

dl e

e

Portanto, o produto vetorial entre esses dois vetores será dado por:

0 0 0 0 0z zB dl B dlB B dlB

dl e e e e dl e

A força sobre a espira será dada então por:

0 0 0

2 2

0 0 0

cos( ) sen( )cos( ) sen( )

0

C C C

x y

x y

i B i dlB iB dl

iRB d ddl Rd

F dl e e

e e eF e e

F

Torque sobre uma espira de corrente

Embora a força sobre a espira seja nula, o torque pode não ser. Vamos lembrar primeiro a

definição de torque:

τ r F

x

z

y

R

i e

ez e

F




O vetor r é o vetor que localiza os pontos sobre a espira.

Como um exemplo, vamos retomar o caso da espira retangular discutido na seção anterior.

Tomemos dois pontos da espira sobre o eixo x e dois pontos sobre o eixo y. Veja a Figura 43.

Figura 43 – O torque sobre a espira quadrada de corrente

Vemos nessa figura que os pontos localizados pelos vetores r1, r2, r3 e r4 têm coordenadas dadas,

respectivamente, por:

1 3

2 4

;2 2

;2 2

y y

x x

a a

b b

r e r e

r e r e

Esses vetores são colineares com a direção da força nesses pontos. Portanto, o produto vetorial de

qualquer um deles pela força que atua nessa direção é nulo e, conseqüentemente o torque que

age na espira nessa situação é zero.

Vamos agora analisar a situação na qual a espira não está no plano (x,y) mas faz um ângulo com

esse plano. Vamos supor que a espira foi girada em torno do eixo y. A situação é mostrada na

Figura 44. Nesse caso, os vetores ao longo do eixo y continuam colineares, já que espira foi girada

em torno desse eixo. Contudo agora, os vetores ao longo do eixo x não estão mais sobre a mesma

reta. Vamos calcular o torque em cada um dos lados paralelos ao eixo y.

x y

z

B0

i

FAB

FCD

FDA

FBC

a b

r

1

r

2

r3 r

4




Figura 44 – Espira retangular fora do plano (x,y).

Para a força FCD, atuando sobre o ponto r4, temos que o vetor que localiza esse ponto é o vetor:

4 cos( ) sen( )x zr r r e e .

Portanto, o torque sobre esse ponto será dado por:

4

0

cos( ) sen( )

sen( )

sen( )

sen( )2

CD x z CD x

z CD x

CD y

y

r r F

r F

rF

biaB

r F e e e

e e

e

e

1

1

1

1

τ

τ

τ

τ

Já no outro lado da espira, o vetor r2 será dado por: 2 cos( ) sen( )x zr r r e e e o torque sobre

esse lado da espira será dado por:

2

0

cos( ) sen( )

sen( )

sen( )

sen( )2

AB x z AB x

z AB x

CD y

y

r r F

r F

rF

biaB

r F e e e

e e

e

e

2

2

2

2

τ

τ

τ

τ

Portanto, o torque sobre os dois lados da espira tem a mesma orientação ao longo do eixo y

(direção ey). O torque total será a soma desses dois torques:

x

y

z

B0

i

FAB

FCD

FDA

FBC

a

b r1

r2

r3

r4




0 0

0

sen( ) sen( )2 2

sen( )

y y

y

b biaB iaB

iabB

e e

e

1 2τ = τ + τ

τ =

τ

A quantidade que aparece na expressão do torque total pode ser escrita na forma de um produto

vetorial, se definirmos o momento de dipolo magnético da espira, , por:

xiAμ e= eq. 40

Observe que a definição do momento de dipolo magnético envolve uma definição arbitrária da

sua direção. Por convenção o momento de dipolo tem direção perpendicular ao plano da espira e

sentido dado pela regra da mão direita: se os dedos da mão apontarem no sentido da corrente, o

polegar dará o sentido do vetor momento de dipolo. Observe também que a eq. 40 envolve a área

da espira, sem levar em conta como essa área é calculada. Nesse sentido, a expressão para o

momento de dipolo magnético é independente da espira considerada, sendo válida para qualquer

espira.

Campo magnético criado por correntes estacionárias

Quando a densidade de corrente elétrica que percorre um condutor não varia no tempo dizemos

que temos uma corrente estacionária: 0d

dt

J. Os campos magnéticos criados por esse tipo de

corrente são campos independentes do tempo e os casos em que essa hipótese é válida são

chamados de Magnetostática. Deteremo-nos neles aqui. Mais adiante, vamos analisar os casos

onde a densidade de corrente pode variar no tempo e, conseqüentemente os campos magnéticos

criados por essas densidades de corrente também variam no tempo.

Da mesma forma que campos magnéticos que variam no tempo podem criar campos elétricos,

como comentamos anteriormente, campos elétricos que variam no tempo também podem ser

fontes de campos magnéticos. Abordaremos essa possibilidade mais adiante.

Como fizemos antes vamos definir o campo magnético em função da sua ação sobre partículas.

Contudo, diferentemente do que fizemos antes, usando a ideia de partícula de teste, como o

campo magnético é criado por correntes elétricas temos que analisar a ação do campo magnético

sobre correntes elétricas também.




O campo magnético é mais complicado de descrever matematicamente do que os outros devido a

seu caráter vetorial. A observação de que fios nos quais correntes fluíam atuavam uns sobre os

outros é devida a Ørsted 36. Ørsted observou que entre dois fios nos quais havia corrente elétrica

aparecia uma força de atração, se as correntes fossem no mesmo sentido, ou de repulsão, caso as

correntes fossem em sentidos opostos37. Veja a Figura 45.

Figura 45 – Ação de um fio no qual passa uma corrente elétrica i sobre outro fio no qual

há também corrente elétrica.

Outra observação feita por Ørsted foi de que uma bússola colocada perto de um fio no qual fluía

uma corrente elétrica tinha a sua agulha defletida (veja a Figura 46). Essa era uma indicação clara

de que correntes elétricas poderiam criar campos magnéticos. A importância dessas observações

de Ørsted vem do fato de que foi a primeira vez que fenômenos de natureza elétrica (a corrente

elétrica) eram conectados a fenômenos de natureza magnética (o comportamento da agulha da

bússola). Até então, o magnetismo e a eletricidade eram domínios completamente diferentes e

não ligados.

36

Hans Christian Ørsted Físico dinamarquês (4 de agosto de 1777- 9 de março de 1851).

37 Demonstraremos isso mais adiante.

i i i




Figura 46 – Comportamento de uma bússola perto de um fio onde flui uma corrente

elétrica i.

Fontes do campo magnético

Como vimos anteriormente, para que uma partícula interaja com o campo magnético é necessário

que essa partícula satisfaça duas condições:

Tenha carga elétrica;

Tenha velocidade não paralela ao vetor campo magnético.

Isso nos dá alguma informação sobre a natureza da fonte do campo magnético. Lembre que para

que uma partícula possa interagir com um campo é necessário que ela tenha a mesma

propriedade da fonte do campo. Lembre que nos casos gravitacional e eletrostático essas

propriedades são a carga e a massa respectivamente.

Figura 47 – Partícula criando um campo magnético.

N

L O

S

N

L O

S

i

(a) (b)

Partícula

carregada

z

y

x

P .

r r'

r – r’

Trajetória




Aqui vemos que a propriedade que permite a uma partícula interagir com o campo magnético é o

fato de termos cargas em movimento. Portanto, a propriedade que cria o campo magnético

também deve ser essa: cargas em movimento. Como vimos anteriormente, se tivermos cargas em

movimento temos corrente elétrica.

Vamos analisar o campo criado por uma única partícula que se move ao longo de uma trajetória

qualquer. Veja a Figura 47.

Nessa figura temos uma partícula com certa carga q movendo-se no espaço seguindo a trajetória

mostrada na figura. Queremos saber qual o campo magnético que será criado pela partícula na

posição P. Como nos casos anteriores, a posição do ponto onde queremos calcular o campo

magnético é denotada pelo vetor r enquanto que a posição da partícula em certo instante de

tempo é denotada por r’. O vetor r – r’ é o vetor que une a carga q ao ponto onde queremos

calcular o campo.

Experimentalmente se observa que a dependência do vetor campo magnético, B, segue um

padrão semelhante ao observado para o campo elétrico e para o campo gravitacional:

O módulo do campo criado na posição P depende da quantidade de carga elétrica q da partícula:

B q ;

O módulo do campo criado na posição P possui uma dependência com a velocidade da partícula (v):

B v ;

Por fim, o campo criado pela partícula na posição P depende da distância entre a posição da partícula e o ponto onde o campo está sendo calculado. Essa dependência, a exemplo dos casos eletrostático e gravitacional, também é com o inverso do quadrado da distância entre a posição da partícula e o ponto onde o campo está sendo calculado:

2

1

| '|B

r r

Contudo, apesar da semelhança com os casos que já estudamos anteriormente, há uma diferença

fundamental: o campo criado pela partícula não é na direção do vetor r – r’. Experimentalmente

se observa que esse campo é perpendicular tanto à direção do vetor r – r’, denotada pelo vetor

unitário:




'

'

r r

r r.

como ao vetor v. Em outras palavras o campo magnético da partícula é perpendicular ao plano

que contém os vetores v e r-r’. Das operações que conhecemos entre dois vetores, a única que

produz como resultado um vetor que seja perpendicular aos dois vetores é o produto vetorial

(veja a Figura 48).

Figura 48 – Campo magnético criado por uma partícula. a) Campo criado por uma

partícula com carga positiva; b) Campo criado por uma partícula com carga negativa.

Reunindo esses resultados, podemos escrever que o vetor campo magnético criado por uma

partícula carregada em movimento deve ser dado por:

0 ( ')

4 | '|q

3

v r rB

r r

Como antes, fizemos uso da propriedade matemática de que uma grandeza que é proporcional a

outras grandezas também é proporcional ao produto delas. No caso do campo magnético, a

constante de proporcionalidade se escreve, no Sistema Internacional de Unidades: 0

4

. A

constante 0 é chamada de permeabilidade magnética do vácuo e seu valor é 4 x10-7

Weber/A.m.

Usando essa constante, podemos escrever o campo magnético criado por uma carga q em um

ponto P do espaço, como:

v

r – r’

B

v

r – r’

B

a) b)




02

'

4 | ´ '| | '|

q

v r rB

r r r r

eq. 41

Esta equação faz o mesmo papel no cálculo do campo magnético que a Lei de Coulomb

desempenha no caso eletrostático.

Exemplo 10 - Campo criado por uma carga que se movimenta ao longo do eixo z, no

momento em que essa carga está na origem, em um ponto P localizado ao longo do eixo

x.

A situação é mostrada na Figura 49. Na situação mostrada na figura, podemos definir os vetores r

e r’ da seguinte maneira: r = y ey e r’ = 0, já que a partícula se encontra na origem do sistema.

Com essas definições, o vetor r – r’ é escrito como:

' 0 'y yy y y r r e e r r

Logo, o campo magnético criado pela partícula será dado por:

02

02

02

02

02

'

4 | ´ '| | '|

4

4

( )4

4

y

z y

x

x

q

yqv

y y

qv

y

qv

y

qv

y

v r rB

r r r r

ekB

B e e

B e

B e

Figura 49 – Partícula criando um campo magnético.

v P

* x




A Lei de Biot-Savart

Até agora nos preocupamos com o campo criado por uma partícula. Vamos agora analisar a

situação quando temos muitas partículas se movimentando, ou seja, quando temos uma corrente

elétrica fluindo em um condutor.

Vimos anteriormente, quando estudamos o campo elétrico que podemos construir, usando o

princípio da superposição, o campo criado por um corpo extenso a partir da superposição de um

grande número de elementos de volume, cada um criando um elemento de campo dE na posição

em que queremos calcular o campo. O campo total foi então escrito como sendo a soma (integral)

desses campos. Vamos proceder de forma análoga com o campo magnético.

Partimos da eq. 41, para o campo criado po uma partícula. Vamos supor que o princípio da

superposição continue sendo válido e que possamos escrever o campo criado por um conjunto de

partículas que se movem como a soma dos campos individuais de cada partícula.

Considere a situação mostrada na Figura 50. Nela mostramos um conjunto de partículas se

movimentando em um condutor.

Figura 50 – Cargas se movendo em um condutor.

O campo criado pelas cargas no elemento de comprimento, o qual indicaremos por dl, dB, é dado

pela soma dos campos criados pelas cargas que temos dentro do elemento. Se chamarmos de n a

densidade volumétrica de cargas que temos no elemento de volume dado por Adl, podemos

escrever o campo criado pelas cargas dentro do elemento de volume como:

02

'

4 | '| | '|

qd n

v r rB

r r r r

Vamos analisar agora o numerador que aparece na equação acima. O produto nq nada mais é do

que a densidade de carga por unidade de volume. A quantidade total de carga dentro do elemento

dl

Portadores de

carga

v

Superfície S de área

A..




Adl é dada pelo produto do volume do elemento pela densidade de cargas no elemento de

volume:

Q nq Adl

Q nqA dl

O termo que aparece entre parênteses na expressão acima, multiplicado pela velocidade, tem

dimensões de carga por unidade de tempo:

2

3. .

C m CnqA v m

m s s

Logo, o produto nqAv tem dimensões de corrente elétrica, e a expressão para o campo magnético

criado por cargas fluindo em um condutor pode ser reescrita como:

02

'

4 | '| | '|

id

dl r rB

r r r r

Observe que o elemento dl deve ser pequeno o suficiente para que o vetor r’ seja

aproximadamente o mesmo para todas as cargas contidas no elemento de comprimento.

Se somarmos sobre todos os elementos de comprimento ao longo do fio, teremos o campo total:

02

1

'

4 | '| | '|

N

i

i

dl r rB

r r r r

Nessa expressão, N é o número de elementos de volume com comprimento dl usados para

construir o condutor. Quanto menores os elementos que tomamos para construir o condutor,

melhor o resultado que vamos obter. Tomando o limite da expressão acima, para os elementos dl

indo a zero em módulo, temos que:

020

1

'lim

4 | '| | '|

N

dli

i

dl r rB

r r r r

02

( ') ''

4 | '| | '|l

i

r r r

B dlr r r r

eq. 42

Essa expressão é conhecida como Lei de Biot-Savart.




Observe que a intensidade de corrente i depende do vetor r’. Ou seja, podemos ter uma corrente

elétrica diferente em diferentes pontos do fio. A integração se dá sobre todo o fio, em geral

espiras de corrente38.

A Lei de Ampère

No cálculo dos campos eletrostático e do campo gravitacional para corpos extensos tínhamos duas

formulações possíveis para o problema. A primeira fazia uso da integração direta sobre as

distribuições de massa ou carga elétrica. A segunda fazia uso da Lei de Gauss. Vimos que para

poder tirar proveito da simplicidade da Lei de Gauss há necessidade de um alto grau de simetria

no problema. Devemos insistir no fato de que em situações nas quais esse alto grau de simetria

não existe a Lei de Gauss continua sendo válida, apenas não é operacional, já que o cálculo da

integral envolvida na Lei de Gauss pode ficar extremamente complicado.

Quando analisamos o caso do campo magnético criado por espiras de corrente estamos em uma

situação análoga. Temos a Lei de Biot-Savart (eq. 42) que nos permite o cálculo direto do campo

magnético criado por uma espira de corrente através da integração direta sobre o circuito onde

existe a corrente elétrica. Essa expressão, a exemplo da Lei de Coulomb ou da Lei da Gravitação

Universal, pode ser bastante difícil do ponto de vista operacional, mas é sempre válida.

Uma forma alternativa de calcular-se o campo magnético criado por uma espira de corrente, e que

desempenha um papel semelhante à Lei de Gauss, é a Lei de Ampère. Essa faz uso do conceito de

circulação discutido anteriormente. A exemplo da Lei de Gauss, a Lei de Ampère somente tem

utilidade em situações de alta simetria.

Considere uma curva fechada qualquer em uma região onde existe um campo magnético. Essa

curva pode ser um circuito real (no sentido de ser material, um fio, por exemplo) ou uma curva no

espaço (no sentido de um conjunto de pontos do espaço). Veja a Figura 51.

A curva C desenhada nessa figura limita um número infinito de superfícies abertas. A Lei de

Ampère nos afirma que a circulação do campo magnético nesse circuito fechado, representado

pela curva C, é proporcional à corrente que flui através da superfície limitada pela curva fechada.

Isso é válido para qualquer superfície aberta limitada por C. A constante de proporcionalidade é a

permissividade magnética no vácuo:

38

Uma espira é um caminho fechado.




0.C

B dl i eq. 43

Nessa expressão, a curva C é chamada de curva Amperiana.

Vale lembrar que a Lei de Ampère não é uma afirmação direta sobre o campo magnético, mas sim

uma afirmação sobre a circulação do campo magnético: a circulação do campo magnético é que é

proporcional à corrente elétrica que flui através da superfície limitada pela curva C. Essa situação é

análoga à Lei de Gauss, que é uma afirmação sobre o fluxo do campo elétrico, não sobre o campo

elétrico propriamente dito.

Figura 51 – Curva Amperiana.

Novamente, devemos saber a priori, com base em considerações de simetria a direção e o sentido

do campo magnético de modo a poder calcular a integral da Lei de Ampère.

Outro ponto que devemos salientar é que a corrente i que aparece no lado direito da eq. 43 deve

ser uma corrente estacionária. Uma corrente estacionária é uma corrente que não varia no

tempo.

A Lei de Ampère, na forma como a enunciamos aqui, é somente parte da forma mais geral da Lei

de Ampère. Na forma mais geral dessa Lei, que discutiremos mais adiante ao analisarmos a

situação de campos dependentes do tempo, há mais um termo que depende da variação no

tempo do campo elétrico.

Exemplo 11 - Aplicação da Lei de Biot-Savart e da Lei de Ampère: o fio infinito.

B

Curva fechada (C), também chamada

de Curva Amperiana

dl




Como um exemplo didático do uso da Lei de Biot-Savart, vamos analisar a situação de um fio

infinito no qual flui uma corrente i. Queremos saber o valor do campo magnético criado pelo fio a

uma distância r do fio. A situação é mostrada na Figura 52.

Devido à simetria do problema, vamos escolher a direção do fio como sendo a direção z. Podemos,

sem perda de generalidade, escolher que o ponto P onde queremos calcular o campo esteja sobre

a direção y. O eixo x foi escolhido de tal modo que esteja saindo da página. Essa situação é a

situação análoga a do fio infinito portador de carga que analisamos anteriormente.

Figura 52 – O fio infinito com uma corrente estacionária.

Para começar analisemos a simetria do problema. Vamos dividir o fio em pequenos elementos de

comprimento. Tomemos dois desses elementos, simétricos em relação à origem dl1’ e dl2’.

Esses elementos criam campos que se somam no ponto P e que apontam na direção –ex (lado

negativo do eixo x). Para verificar isso vamos analisar o produto vetorial entre os elementos dl’ e o

vetor r – r’. É esse produto vetorial que dará a direção do campo criado por cada um dos

elementos dl’ no ponto P.

Para o elemento de comprimento dl1’ o vetor que o localiza, r’, é dado por: ' ' zrr e . O ponto

que estamos considerando é localizado pelo vetor r, o qual por sua vez é dado por: yrr e .

i

z

y

P x r

r’ r – r’

dl1’

dl2’




Portanto, o vetor r – r’ será dado por: ' 'y zr r r r e e . Usando esses resultados podemos

escrever:

1

1

1

1

' ( ') ' ( ) ' ( ' )

' ( ') ' ( ) ' '( )

' ( ') ' ( )

' ( ') ' ( )

y z

z y z z

z y

x

r r

dz r dz r

dz r

dz r

dl r r dz e dz e

dl r r e e e e

dl r r e e

dl r r e

.

Acima foi usado que o vetor dl1’ = dz’=dz’ ez, o vetor unitário na direção z. Também usamos o

fato de que o produto dos vetores unitários ez e ey é o vetor unitário – ex.

Portanto, o campo criado pelo elemento de corrente dl1’ aponta na direção da parte negativa do

eixo x. Para o campo criado pelo elemento de corrente dl2’ podemos repetir o mesmo

procedimento. Agora, contudo, devemos levar em conta que o vetor r’ é dado por: ' ' zr r e .

Logo:

1

1

1

1

' ( ') ' ( ) ' ( ' )

' ( ') ' ( ) ' '( )

' ( ') ' ( )

' ( ') ' ( )

y z

z y z z

z y

x

r r

dz r dz r

dz r

dz r

dl r r dz e dz e

dl r r e e e e

dl r r e e

dl r r e

.

A conclusão que podemos tirar é que os dois campos apontam na direção negativa do eixo x

(entrando na página) e se adicionam.

Vamos então calcular, a partir da Lei de Biot-Savart o campo total criado pelos elementos de

corrente no fio. Pela Lei de Biot-Savart, o campo no ponto P será dado por:

02

( ') ''

4 | '| | '|l

i

r r r

B dlr r r r

.

A corrente que flui no fio é suposta constante ao longo de todo o fio. Logo, usando a notação

acima para os vetores r e r’, podemos escrever que:

02

03/2

2 '2

( ') ''

4 | '| | '|

'

4

l

x

l

i

i dz r

r z

r r rB dl

r r r r

B e




A integral deve ser tomada ao longo do comprimento do fio, o qual vai de - a +. Logo:

0

3/22 '2

'

4x

ir dz

r z

B e

Esse tipo de integral, com os limites - e +, é chamado de integral imprópria. Essas integrais, na

maior parte dos casos de interesse em Física, são tabeladas.

Essas integrais devem ser entendidas da seguinte forma: calculamos o valor da integral como se os

limites de integração fossem finitos. Tendo o resultado, tomamos então o limite quando os limites

de integração vão ao infinito. Em notação matemática:

( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( )

( ) ( )

a a

aaa a af x dx f x dx g x g a g a

f x dx g x

g(x) sendo a antiderivada de f(x).

Nesse caso particular, o valor da integral é dado por39:

3/2 3/22 2 2 2

3/2 1/222 2 2 2

' 'lim

' '

' 1 'lim

' '

a

aa

a

a

a

dz dz

r z r z

dz z

rr z z r

Portanto:

3/2 1/2 1/22 22 2 2 2 2 2

' 1 1 ( )lim

' ( )a

dz a a

r rr z r a r a

3/2 1/22 2

2 2 2 2

' 1 2lim2

' a

dz a

r rr z r a

.

Logo, o módulo do campo magnético será dado por:

39

Veja a fórmula 14.196 na Tabela Schaum.




0

3/22 '2

02

'

4

2

4

x

x

ir dz

r z

ir

r

B e

B e

0

2x

i

r

B e eq. 44

Ou seja, o módulo do campo magnético cai com 1/r, r sendo a distância ao fio.

Calculamos para um ponto sobre o eixo y. Para esse ponto o vetor campo magnético é na direção

–ex. Se o ponto não estivesse sobre o eixo y a situação seria diferente, pois agora o vetor que

localiza a posição do ponto teria componentes x e y. Nesse caso, o módulo do vetor campo

magnético continuaria sendo dado pela eq. 44, contudo o vetor campo magnético estaria contido

no plano (x,y). Em geral, podemos escrever que;

022

x y

ix y

r

B e e .

Na expressão anterior o vetor ey é o vetor unitário na direção y. Deixamos a demonstração desse

resultado para o estudante.

Vamos agora resolver esse mesmo problema usando a Lei de Ampère. Para poder usar a Lei de

Ampère devemos primeiro escolher uma linha fechada e uma superfície limitada por essa linha.

Devido à simetria do problema, vamos escolher como nossa curva amperiana uma circunferência

no plano (x,y), concêntrica como o fio. Como superfície, vamos escolher a área no plano (x,y)

limitada por essa circunferência. A situação é mostrada na Figura 53.




Figura 53 – Curva amperiana para o problema do fio infinito.

Pela simetria do problema sabemos que o campo deve depender somente da distância do fio ao

ponto considerado e que este campo deve estar no plano (x,y). Também sabemos que o campo

deve ser tangente à curva amperiana (a circunferência mostrada na figura).

A Lei de Ampère nos diz que:

0.C

iB dl .

Observe que i é a corrente que atravessa a superfície S limitada pela curva C. No nosso exemplo,

essa curva é o círculo de raio r. Pela simetria, o vetor B e o vetor dl são paralelos. Portanto, o

produto escalar entre eles que aparece na expressão da Lei de Ampère se escreve simplesmente:

B.dl = Bdl. Usando esse resultado, a Lei de Ampère se escreve nesse caso como:

0

0

0

.

.

C

C

C

i

B dl i

B dl i

B dl

.

A integral no lado direito dessa expressão é simplesmente o comprimento da curva C, a qual é

uma circunferência. Portanto:

0

00(2 )

2

C

B dl i

iB r i B

r

.

r i

dl

B

z

x S

C




Esse, em módulo, é o mesmo resultado obtido pela aplicação da Lei de Biot-Savart (eq. 44), como

não poderia deixar de ser.

Exemplo 12 - O campo magnético criado por uma espira circular de corrente

Vamos agora analisar outro exemplo de cálculo de campo magnético, o caso da espira circular de

corrente. Veja a Figura 54. Nessa figura mostramos a geometria do problema.

Figura 54 – O caso da espira circular de corrente.

Considere uma espira circular de raio R, no plano (x,y). Queremos saber qual o campo magnético

criado pela espira no ponto P, localizado ao longo do eixo da espira, tomado como o eixo z.

Vamos solucionar esse problema de três modos diferentes. Primeiro vamos solucioná-lo

explorando a simetria do problema para descobrir a direção do campo magnético e em seguida

vamos calcular o módulo desse campo. No segundo modo, vamos calcular diretamente, sem

qualquer consideração sobre a direção do campo magnético, usando o sistema de coordenadas

cilíndricas. Por fim, vamos calcular usando coordenadas cartesianas. O objetivo é demonstrar que,

embora todos os métodos levem ao mesmo resultado, alguns são mais simples do que outros em

virtude das simetrias presentes no problema.

1) Cálculo explorando a simetria do problema

Vamos analisar o campo criado pelo elemento de corrente dl1 mostrado na figura. Um elemento

de campo criado por esse elemento de corrente será dado por:

0 1 11 2

1 14 | | | |

id

dl r rB

r r r r

z

i y

x

r1

Elemento de

corrente dl1.

P

r Elemento de

corrente dl2. r - r'

r - r'

dB resultante.

R r2




Nessa situação, os vetores r e r1 serão dados por: zzr e e 1 1 1x yx y r e e . Portanto, o vetor r –

r1 será dado por: 1 1 1z x yz x y r r e e e e o módulo desse vetor será dado por:

1/2 1/2

2 2 2 2 21 1 1z x y z R r r .

Nessa expressão, R é o raio da espira.

O vetor dl1 que aparece nessa equação está no plano (x,y) e é dado por: 1 x ydx dy dl e e .

Observe que os elementos dx e dy podem ser positivos ou negativos.

A direção do elemento de campo será dada pelo produto vetorial. Esse produto vetorial pode ser

escrito como:

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

( )

( )

( )

( )

x y z x y

x z x x x y

y z y x y y

y z x z

x y z

dx dy z x y

zdx x dx y dx

zdy x dy y dy

zdx y dx zdy x dy

z dy dx x dy y dx

dl r r e e e e e

dl r r e e e e e e

e e e e e e

dl r r e e e e

dl r r e e e

Na expressão acima, salientamos os termos que se anulam do produto vetorial.

Da simetria do problema vemos que se tomarmos um elemento de corrente dl2 simétrico ao

elemento de corrente dl1, o que significa multiplicar os vetores r1 e dl1 por -1 obteremos para

produto vetorial dl2 (r –r2) exatamente o resultado acima, mas com o sinal nas componentes ao

longo do eixo x e do eixo y trocados enquanto o sinal do termo ao longo do eixo z será o mesmo:

2 2( ) ' ' ' ' ' 'x y zz dy dx x dy y dx dl r r e e e

Como consequência as componentes ao longo do eixo x e do eixo y se cancelam exatamente,

ficando apenas as componentes ao longo do eixo z que se adicionam. É essa componente que

deve ser integrada ao longo da espira para obtermos o campo magnético.




A componente ao longo do eixo z do campo magnético criado por um elemento de corrente dl

localizado pelo vetor r’ é dada por:

02

cos( )4 | '|

z

idldB

r r.

Nessa expressão, é o ângulo entre o vetor dB e o eixo z (veja a Figura 55 para a geometria).

Figura 55 – Geometria do problema da espira circular de corrente.

O co-seno do ângulo pode ser escrito em termos das constantes R e z:

1/2

2 2cos( )

R

R z

Logo, o elemento de campo dBz pode ser escrito como:

0 01/22 2 2 2 2

03/2

2 2

cos( )4 | '| 4

4

z

z

idl idl RdB

R z R z

iRdldB

R z

r r

O campo total será obtido pela integração desse elemento dBz ao longo de toda a espira:

0

3/22 24

z

C C

iRdlB dB

R z

z

i

y

x

P

r r - r'

R r '

dB

dl




0

3/22 24

C

iRB dl

R z

.

Na última igualdade, usamos o fato de que as quantidades z, R e i são constantes e, portanto,

podem ser retiradas da integral. A integral do elemento dl nada mais é do que o comprimento da

espira circular, 2R. Logo, podemos escrever que o módulo do campo B criado pela espira será

dado por:

0 0

3/2 3/22 2 2 2

24 4

C

iR iRB dl R

R z R z

20

3/22 22

i RB

R z

eq. 45

Esse é o resultado que procurávamos. Vamos agora tomar três limites interessantes.

O primeiro é quando o ponto onde calculamos o campo está muito distante da espira.

Matematicamente isto significa: z >> R. Nesse caso, temos:

2 20 0

3/2 3/22 2 2

20

3

2 2

lim ( ) 02 z

i iR RB

R z z

i RB B z

z

O segundo limite interessante é quando o ponto onde calculamos o campo é a origem (z = 0):

2 20 0

3/2 3/22 2 2

20 0

3

2 2

2 2

i iR RB

R z R

i iRB B

R R

O terceiro limite interessante é quando o raio da espira circular de corrente fica muito maior que o

valor de z (R>>z):

2 20 0

3/2 3/22 2 22 2

i iR RB

R z R




20 0

32 2

i iRB B

R R

.

Esse é o mesmo limite do segundo caso. Esse resultado não é surpreendente, pois tomar o raio da

espira cada vez maior é o mesmo que aproximar o valor de z do valor zero, que é o caso 2.

2) Cálculo explorando a simetria do problema em coordenadas cilíndricas

Vamos agora solucionar esse mesmo problema, mas utilizando a simetria envolvida de outra

forma. Não vamos supor que o campo seja dado a priori em uma dada direção. Essa informação

deve sair naturalmente das equações que vamos resolver. A geometria do problema nos impõe

uma simetria cilíndrica, já que temos uma direção no espaço que é diferente das outras duas: a

direção do eixo do cilindro que tem o anel de corrente como sua base. Veja a Figura 56.

Figura 56 – A geometria cilíndrica para a espira circular.

Nessa figura desenhamos os vários vetores que são importantes e os vetores unitários nas

direções r, e z no sistema cilíndrico de coordenadas. Observe que, em termos dos vetores

unitários er, e e ez do sistema de coordenadas cilíndrico, os vetores r, r’ e dl se escrevem:

' R

z

r

z

dl

r e

r e

dl e

Portanto, o produto vetorial que aparece na equação de Biot-Savart, entre o vetor dl e o vetor r-

r’, é escrito nesse sistema de coordenadas:

z

y

x

r'

r

e

ez

er

dl




( ')

( ') ( )

( ')

z r

r z

r z

zdl Rdl

zdl Rdl

zdl Rdl

dl r r e e e e

dl r r e e

dl r r e e

Usando esse resultado, podemos escrever:

02

'

4 | '| | '|C

i

dl r r

Br r r r

02 2 3/2 2 2 3/24 ( ) ( )

r z

C C

i zdl Rdl

z R z R

e eB eq. 46

02 2 3/2 2 2 3/24 ( ) ( )

r z

C C

i z Rdl dl

z R z R

B e e eq. 47

A passagem da eq. 46 para a eq. 47 merece atenção especial. Observe que, ao percorrermos a

espira de corrente o vetor unitário na direção z (ez) mantém sempre a mesma direção e o mesmo

sentido. Por essa razão, podemos retirar o vetor ez para fora da segunda das integrais que aparece

na eq. 46. Contudo, o vetor unitário na direção radial (er) não é constante: embora seu módulo

seja constante, ele muda de direção e sentido em cada instante. Se tomarmos dois pontos

simétricos sobre a espira circular, esse vetor aponta em direções opostas e a soma se anula. Desse

modo, a primeira das integrais na eq. 47 se anula, nos restando apenas a segunda das integrais.

Formalmente, podemos demonstrar isso escrevendo o vetor unitário er em coordenadas

cartesianas:

cos( ) sen( )r x y e e e

Os vetores ex e ey são os vetores unitários nas direções dos eixos x e y do sistema cartesiano.

Usando esse resultado, podemos escrever a primeira das integrais na eq. 47 como:

2 2

y 20 0cos( ) sen( ) cos( ) sen( ) 0r x x

C C

dl dl R d R d

dl Rd

e e e e e

Já que a integral de 0 a 2 tanto da função co-seno como da função seno é nula.




Portanto, o campo magnético terá somente componente na direção ez dada por:

02 2 3/2

02 2 3/2

4 ( )

24 ( )

z

C

z

i Rdl

z R

i RR

z R

B e

B e

20

2 2 3/22 ( )z

i R

z R

B e

eq. 48

Este é o mesmo resultado obtido anteriormente (eq. 45).

3) Cálculo do campo da espira circular por integração direta em coordenadas cartesianas.

Vamos agora resolver o mesmo problema usando coordenadas cartesianas. Para resolver esse

problema em coordenadas cartesianas temos uma dificuldade adicional: como o vetor dl muda ao

longo da curva C fica complicado escrevê-lo em termos dos vetores unitários nos eixos x e y. Para

resolver essa dificuldade, vamos proceder do seguinte modo: vamos calcular a contribuição de um

quadrante (o primeiro por exemplo) da espira de corrente e então multiplicar esse resultado por

4:

1

02

'4

4 | '| | '|C

i

dl r r

Br r r r

Nessa expressão o índice C1 indica que estamos integrando apenas no primeiro quadrante.

Na Figura 57 mostramos a geometria do problema. Nessa figura, mostramos a espira circular de

corrente a partir de uma vista superior. O eixo z, suposto perpendicular e saindo do plano da

página não é mostrado. No quadrante que vai do ponto (0,R) até o ponto (-R,0) o vetor dl pode

ser escrito em função dos deslocamentos dx e dy como (veja a Figura 57):

' ' 'x ydx dy dl e e

Os outros vetores que temos no problema, o vetor r e o vetor r’ são escritos em termos de suas

componentes ao longo dos eixos nos sistemas de coordenadas cartesianas:

zzr e e ' ' 'x yx y r e e .




Figura 57 – Vista superior da espira circular. O eixo z, perpendicular ao plano da página,

saindo da página, não é mostrado.

Conseqüentemente o vetor r – r’ será dado por: ' ' 'x y zx y z r r e e e . Novamente vamos

começar calculando o produto vetorial entre o vetor dl e o vetor r – r’:

' ' ' ' '

' ' ' ' ' '

' ' ' ' '

' ' ' ' ' ' '

x y x y z

x x x y x z

y x y y y z

z y z x

dx dy x y z

x dx y dx zdx

x dy y dy zdy

y dx zdx x dy zdy

dl r r e e e e e

dl r r e e e e e e

e e e e e e

dl r r e e e e

Os termos que estão marcados são aqueles cujo produto vetorial envolve dois vetores iguais e

que, portanto, são nulos.

Agrupando os termos que são proporcionais ao mesmo vetor unitário, podemos escrever:

' ' ' ' ' ' 'y x zzdx zdy y dx x dy dl r r e e e

x

Espira circular.

y

(0,R)

(-R,0)

Primeiro quadrante da

espira.

dl r'

Vetor dl transladado.

dy

dx




Portanto, o campo B vindo do primeiro quadrante nos dará:

1 1

1 1 1 1

0 01 2 2 2 3/2

01 2 2 3/2

' ' ' ' ' '' '

4 | '| | '| 4 ( )

1' ' ' ' ' '

4 ( )

y x z

C C

y x z z

C C C C

zdx zdy y dx x dyii

z R

iz dx z dy y dx x dy

z R

e e edl r rB

r r r r

B e e e e

Da simetria do problema, podemos perceber que ao calcularmos o campo criado pelos elementos

do terceiro quadrante as duas primeiras integrais que aparecem no lado direito da expressão para

B1 serão canceladas, restando apenas as integrais proporcionais ao vetor unitário na direção e3.

Logo, podemos escrever que o campo dos elementos de corrente no primeiro quadrante serão

dados por:

1 1

01 32 2 3/2

1' ' ' '

4 ( )C C

iy dx x dy

z R

B e

Essas integrais podem ser resolvidas se usarmos o fato de que as componentes x’ e y’ não são

independentes, uma vez que descrevem uma circunferência de raio R, mas se relacionam por:

1/22 2

1/22 2

1/22 2

' '' '

' '

x R yx y R

y R x

Usando esse resultado, podemos escrever a expressão para B1 como:

1 1

1/2 1/22 2 2 20

1 2 2 3/2

1' ' ' '

4 ( )z

C C

iR x dx R y dy

z R

B e

eq. 49

Essas duas integrais são de fato a mesma integral. Essas integrais são do tipo40:

2 2 1/2 2

1/22 2 ( )

arcsen2 2

x a x a xa x dx

a

Nas nossas integrais a constante a da equação acima corresponde à variável R, o raio da espira

circular.

40

Tabela Schaum equação 14.244.




Observe que as variações de y’ e x’ não são iguais ao percorremos o primeiro quadrante: enquanto

a variável x’ varia de 0 a –R a variável y’ varia de R a 0. Vamos calcular agora cada uma das

integrais em separado:

1

1/2 1/22 2 2 2

0

2 2 1/2 21/2

2 2

00

2 2 1/2 21/2

2 2

0

2 2 1/2 2

1/22 2

0

' ' ' '

'( ' ) '' ' arcsen

2 2

( )( ( ) )' ' arcsen

2 2

0( 0 ) 0arcsen

2 2

' '

R

C

RR

R

R

R x dx R x dx

x R x R xR x dx

R

R R R R RR x dx

R

R R

R

RR x dx

2 2

21/2

2 2

0

1/22 2 2

0

arcsen(-1)- arcsen(0)2 2

3' ' ( 0)

2 2

3' '

4

R

R

R

RR x dx

R x dx R

A outra integral se resolve de forma semelhante:

1

1/2 1/22 2 2 2

0

2 2 1/2 21/2

2 2

00

' ' ' '

'( ' ) '' ' arcsen

2 2

R

C

RR

R y dy R y dy

y R y R yR y dy

R

2 2 1/2 2

1/22 2

0

2 2 1/2 2

( )( ( ) )' ' arcsen

2 2

0( 0 ) 0arcsen

2 2

R R R R R RR y dy

R

R R

R




2 21/2

2 2

0

21/2

2 2

0

1/22 2 2

0

' ' arcsen(1)- arcsen(0)2 2

' ' ( 0)2 2

' '4

R

R

R

R RR y dy

RR y dy

R y dy R

.

Usando esses dois resultados, podemos escrever a soma de integrais aparecendo na eq. 49 como:

1 1

1/2 1/22 2 2 2 2 2 23

' ' ' '4 4 2

C C

R x dx R y dy R R R

E o campo B1 como:

1 1

1/2 1/22 2 2 20

1 2 2 3/2

201 2 2 3/2

1' ' ' '

4 ( )

1

4 ( ) 2

z

C C

z

iR x dx R y dy

z R

iR

z R

B e

B e

O campo total será o campo B1 multiplicado por 4:

1

202 2 3/2

20

2 2 3/2

4

14

4 ( ) 2

2 ( )

z

z

iR

z R

i R

z R

B B

B e

B e

.

Que é o mesmo resultado obtido nos casos a e b solucionados anteriormente (eq. 45).

Força entre fios paralelos portadores de corrente

Como um último exemplo, vamos calcular a força entre dois fios paralelos portadores de corrente.

A situação é mostrada na Figura 47.

Vamos analisar inicialmente a situação em que os dois fios têm correntes com mesmo sentido. Os

dois fios criam campos magnéticos que atuam sobre o outro fio. A diferença está no sentido do

campo magnético criado: enquanto o campo magnético do Fio 1 (B1) está entrando na página na

posição ocupada pelo Fio 2 o campo magnético criado pelo Fio 2 (B2) está saindo da página na




posição ocupada pelo Fio 1. Se tomarmos um sistema de coordenadas com o eixo z paralelo aos

fios e o eixo x saindo da página então podemos escrever:

Figura 58 – Dois fios paralelos com correntes no mesmo sentido.

Figura 59 – Fios paralelos com correntes antiparalelas.

1 1

2 2

x

x

B

B

B e

B e

Os elementos de corrente, dl1 e dl2 são paralelos e estão na direção positiva do eixo z. Portanto,

as forças que atuam sobre os fios são dadas por:

1 1 2 2 2

2 2 1 2 2( )

z x y

z x y

dz B dzB

dz B dzB

F dl B e e e

F dl B e e e

.

Fio 1 Fio 2

d Campo criado pelo fio 2 na

posição do fio 1 (B2).

Campo criado pelo fio 1 na

posição do fio 2 (B1). i1 i2

F2 F1

Fio 1 Fio 2

d Campo criado pelo fio 2 na


Campo criado pelo fio 1 na


i1 i2

F2 F1




Portanto, a força que atua sobre o Fio 1 está ao longo do eixo y, apontando no sentido positivo do

eixo y enquanto que a força que atua sobre o Fio 2, também sobre o eixo y, apontando para a

esquerda. A conclusão é que os dois fios se atraem.

Vamos analisar agora a situação em que as correntes são antiparalelas. A situação é ilustrada na

Figura 59.

Nesse caso, os dois campos estão saindo da página. Portanto:

1 1

2 2

x

x

B

B

B e

B e

E as respectivas forças serão dadas por:

1 1 2 2 2

2 2 1 2 2

z x y

z x y

dz B dzB

dz B dzB

F dl B e e e

F dl B e e e

Logo, a força sobre o Fio 1, devido ao campo criado pelo Fio 2, será ao longo do eixo y apontando

para a esquerda enquanto que a força sobre o Fio 2 devido ao campo criado pelo Fio 1 será

também ao longo do eixo y apontando para direita. Ou seja, os dois fios se repelem. Em geral,

podemos escrever que:

Fios nos quais temos correntes no mesmo sentido se atraem

enquanto que fios portando correntes em sentidos opostos se

repelem.

Solenóides e toróides

Para finalizar o nosso estudo sobre o campo magnético criado por correntes estacionárias, vamos

analisar duas configurações bastante usadas em laboratórios de Física: o solenóide e o toróide.




Figura 60 – O solenóide.

Um solenóide consiste em um conjunto de espiras colocadas lado a lado pelas quais passa certa

corrente i0. Uma materialização dessa ideia é um fio enrolado na forma de um cilindro. Veja a

Figura 60.

Queremos calcular o campo dentro e fora do solenóide. Para isso, vamos escolher uma curva

amperiana retangular que esteja parte dentro do circuito e parte fora. A Figura 61 traz a curva

amperiana e um corte transversal do solenóide ao longo do seu eixo. Nessa figura a curva

amperiana é o retângulo abcd. Pela Lei de Ampère, a corrente total que atravessa a superfície do

retângulo é proporcional à circulação do vetor campo magnético:

0.C

iB dl

Em cada espira, temos uma corrente i0 . Logo, se a curva amperiana envolve N‘ espiras. A corrente

que atravessa a superfície da curva amperiana é dada por:

0 0'i N i Nli

Nessa expressão, usamos o fato de que temos N espiras por unidade de comprimento do

Espira de corrente.

Corrente i0

Curva amperiana

Espiras (corrente

saindo da página)

Espiras (corrente

entrando na página)

a

b

d

c

Bi

l




solenóide.

Figura 61 – Curva amperiana para o solenóide.

Pela simetria do problema, vemos que na região interna do solenóide o campo magnético deve ser

mais intenso que no lado externo, uma vez que na parte interna os campos das diferentes espiras

se somam (vetor Bi na figura). Observe que dentro do solenóide o campo das espiras cai com 1/r,

mas à medida que nos afastamos de uma face do solenóide nos aproximamos da outra. Por essa

razão, podemos considerar que o campo dentro do solenóide seja constante. Na parte externa,

esse campo deve ser quase nulo, uma vez que o campo criado pelas diferentes espiras cai com

1/r. Além disso, na parte de fora, os campos das espiras se subtraem, como pode ser visto pela

aplicação da regra da mão direita.

Portanto, dos quatro lados da curva amperiana, somente o lado ad vai contribuir para a integral na

Lei de Ampère:

0 0

0 0

0 0

. .C abcda

d

a

i Nl

B dl i Nl

Bl i Nl

B dl B dl

0 0B i N eq. 50

Na derivação da eq. 50 fizemos uso de que a integral de a até d de dl é simplesmente o

comprimento desse lado (l).

Vamos agora analisar o caso do toróide. Um toróide pode ser visto como um solenóide curvado

sobre si mesmo. Veja a Figura 62.

Curva amperiana

Corrente saindo da página.

Corrente entrando na página

Toróide

B0




Figura 62 – Vista superior do toróide.

Neste caso é melhor tomar como curva amperiana uma circunferência de raio r concêntrica com o

toróide. Chamando de N ao número total de espiras em torno do toróide, a corrente que

atravessa a superfície limitada pela curva amperiana é dada por:

0i Ni

Como antes, i0 é a corrente que passa em cada espira. A simetria do problema nos indica que o

campo no interior do toróide deve ter a direção do ângulo das coordenadas cilíndricas (campo

B0 indicado na figura), sendo paralelo ao vetor dl da curva amperiana. Logo, aplicando a Lei de

Ampère obtemos para o campo no interior do toróide:

0 0 0

0 0

0 00 0

.

12

2

C

C

i N

B dl i N

i NB r i N B

r

B dl

Observe que nesse caso o campo magnético não é constante em módulo no interior do toróide,

mas apresenta um decaimento de 1/r.

Trabalho

Como vimos anteriormente, ao discutirmos o conceito de calor, existem duas formas de

transmitirmos energia entre dois sistemas físicos: calor e trabalho. Já discutimos o primeiro deles,

conceituando-o como uma forma de transmissão de energia entre sistemas físicos devido à

diferença de temperatura entre eles. Analisamos ainda as diferenças entre os conceitos de calor e

temperatura, apontando para o fato de que estes dois conceitos são relacionados, mas indicam

diferentes propriedades dos sistemas físicos.

Mas o que vem a ser trabalho? Quando discutimos o conceito de energia chamamos a atenção

para o fato de que não podemos definir energia, como a maior parte dos livros texto de Física o

faz, como a capacidade de realizar trabalho. Agora você deve ter claro o porquê dessa nossa

observação: definimos trabalho como uma forma de transmitir energia. Se tivéssemos definido

energia em função de trabalho teríamos uma definição circular: teríamos definido energia em

função de trabalho e agora definiríamos trabalho em função da energia.




Além disso, quando da nossa discussão sobre calor, vimos que podemos transmitir energia sob

forma de calor e que a energia interna de um sistema pode variar (aumentar ou diminuir) em

função da absorção ou perda de energia sob forma de calor.

Antes de definirmos o que seja trabalho é importante salientar que o termo Trabalho em Física

nada tem a ver com o sentido usual, no dia a dia, que damos a essa palavra. Aqui temos um

problema com a tradução do termo que em inglês designa esta quantidade: work. Este termo

indica41:

work

[wA:k] s. trabalho m.; labor m.; ocupação f., profissão f.; tarefa f.; serviço

m.; produto m. manufaturado; obra f.; atividade f., esforço m.; costura f.;

bordado m.; ação f.; mecanismo m. works fábrica f.; (Milit.) fortificação f.;

(Eng.) construção f.; empreendimento m. š v. trabalhar; funcionar; produzir;

formar; lavrar, cultivar; executar cuidadosamente; elaborar; explorar

(mina); tecer; administrar (fazenda). needle-work trabalho de agulha. work

of art obra de arte. out of work desempregado. your plan does not work seu

plano não funciona.

Como você pode observar, há aqui uma ênfase em ações, em algo que resulta da ação de algum

agente. Na acepção em que usamos a palavra trabalho em português, no sentido de ocupação

profissional o termo da língua inglesa mais apropriado seria job42:

job

[dJób] s. obra, empreitada, tarefa f, emprego m., colocação f. š v. negociar,

comprar e vender; empreitar. odd- jobs trabalho avulso, (gíria, Bras.) bico,

biscate. out of job desempregado.

Portanto, a origem da confusão é que usamos o mesmo termo em português para dois termos

distintos da língua inglesa.

O que é trabalho?

41

Dicionário Michaelis Eletrônico versão 3.0.

42 Idem.




Antes de definirmos o que vem a ser trabalho precisamos definir o que seja a ação de uma força.

Observe a figura abaixo.

Nessa figura representamos um garoto puxando um carrinho enquanto brinca.

Esquematicamente, essa situação pode ser representada pela Figura 63, na qual uma caixa

representa o carrinho que está sendo puxado pelo menino, que não aparece na figura.

Figura 63

O carrinho tem a sua velocidade aumentada até que esta fique constante. Inicialmente, a energia

cinética do carro era zero, pois ele estava em repouso. Depois de algum tempo a energia cinética

do carro passou a ter certo valor, dado por: 21

2cE mv (m é a massa do carrinho e v a sua

velocidade). É importante que você observe que a velocidade do carro é toda na direção

horizontal, que chamamos de x no nosso desenho.

Aqui surge a pergunta: se a energia inicial era zero (o carrinho estava em repouso) e a energia se

conserva, de onde veio a energia que o carrinho apresenta depois de algum tempo? E como esta

energia foi transferida para o carrinho? Vamos tentar responder a cada uma destas questões.

1. De onde veio a energia cinética que o carrinho apresenta depois de algum tempo?

Analisando a situação só temos duas fontes de energia possíveis.

A primeira seria a Terra, através da transformação de energia potencial em energia cinética do

carrinho. Mas, olhando mais detidamente o problema, vemos que o carrinho se movimenta na

direção horizontal e, portanto, sua energia potencial é a mesma ao longo de toda a sua trajetória.

F

m v

Fx

Fy




Logo, a transformação de energia potencial gravitacional em energia cinética não explica o ganho

de energia do carro.

A outra fonte possível de energia do carrinho é o menino (que não aparece na segunda figura). O

menino puxa o carrinho e para fazer isto exerce uma força sobre o mesmo. Este processo envolve

a transformação de energia química de origem muscular em energia cinética do carrinho. Assim,

chegamos à conclusão de que a energia cinética que aparece no carrinho é a energia química

muscular que o menino gasta. Mas será que toda energia química liberada pelo menino enquanto

puxa o carro se transforma em energia do carrinho? A resposta é não, pois uma parte da energia é

perdida por atrito das rodas com o chão.

E o que acontece quando a velocidade do carrinho fica constante? Nesse caso a sua energia

cinética para de variar e a energia despendida pelo menino para manter o movimento é usada

somente para compensar as perdas da energia cinética provocadas pelas perdas por atrito das

rodas com o solo.

Respondemos de maneira satisfatória à primeira questão: de onde sai a energia que o carrinho

adquire. Agora devemos responder à segunda questão:

2. Como a energia é transferida para o carrinho?

Você observou, com certeza, que o carrinho é puxado pelo menino. Isto é feito através da

aplicação de uma força (chamada de F na figura) na direção da corda. Esta força pode ser

decomposta em duas direções: uma parte da força atua na direção do movimento do carrinho

enquanto que outra parte atua em uma direção perpendicular ao movimento (que denotamos por

Fx e Fy no desenho). Se observarmos que a velocidade do carrinho se altera somente na

horizontal, na direção que chamamos de x, então chegaremos à conclusão que somente aquela

parte da força aplicada pelo menino e que atua na direção x provoca variação na velocidade do

carrinho e, por consequência, na sua energia cinética. É esta parte da força que transfere energia,

de forma mecânica, por arrasto, ao carrinho.

No caso em que a força aplicada pelo menino no carro é constante (ou seja, mesma intensidade,

direção e sentido de aplicação) podemos quantificar a energia transferida para o carrinho

simplesmente multiplicando a componente da força aplicada no carrinho pela distância na qual ela




age. Na notação do desenho: Fx d. O estudante pode facilmente verificar que esse produto tem

dimensões de energia.

A essa quantidade chamamos de Trabalho da força. Observe que a parte da força que age na

direção que chamamos de y, que é perpendicular à direção do movimento, não transfere energia

para o carrinho, pois a velocidade do carrinho nesta direção não se altera e, por conseguinte, a

energia cinética do carrinho nesta direção também não. Este é um resultado bastante geral: uma

força somente pode realizar trabalho na direção do movimento. Se a força for perpendicular à

direção do movimento então não é possível a essa força transferir energia ao sistema. Estamos

agora em condições de definir o que seja o trabalho:

Trabalho é uma forma de transmissão de energia de um sistema

físico para outro sistema físico através da ação mecânica de um

sistema sobre o outro (puxão, arrasto, empurrão, etc.)

Matematicamente, a parte da força que age na direção do deslocamento é expressa por:

cos( )xF F .

é o ângulo entre a força F e a direção de deslocamento (veja a Figura 64).

Figura 64 – Esquema da força atuando em um objeto.

Portanto, ao agir entre os pontos A e B mostrados na figura o trabalho realizado (que

simbolizaremos pela letra T) pela força F será dado por:

cos( )T Fd

Vamos generalizar essa ideia para o caso em que a força ao longo da trajetória não seja constante.

Nesse caso, a expressão mais geral para o trabalho realizado pela força F é dada pela integral do

F

Direção do deslocamento

A

B




produto escalar da força pelo deslocamento dl. O caminho de integração é tomado ao longo da

trajetória seguida pela partícula:

.T F dl eq. 51

As expressões que apresentamos anteriormente são casos particulares desta. Por exemplo, no

caso de uma partícula que se desloque em linha reta, entre os pontos a e b mostrados na Figura

65, sob ação de uma força paralela à sua trajetória, temos que para todos os pontos da trajetória:

. ( )b b b

a a a

F dl F dl F b a Fd F.dl

Nessa expressão, d é o comprimento da trajetória da partícula.

Figura 65 – Movimento sob ação de uma força constante

A Figura 66 ilustra, do mesmo modo que a figura semelhante para o calor, a ideia do fluxo de

energia entre dois sistemas, agora tendo o trabalho como razão. Por convenção, quando a energia

entra em um sistema na forma de trabalho o sinal desta energia é negativo (positivo se for na

forma de calor) e positivo quando sai do sistema (negativo para o calor). As razões disto ficarão

mais claras quando estudarmos a Primeira Lei da Termodinâmica.

Figura 66 – Transferência de energia sob a forma de Trabalho.

a b

Trajetória

d

F




O teorema trabalho energia

Nem sempre o cálculo do trabalho é simples. O mais comum é que seja necessário o uso de

ferramentas matemáticas poderosas, como o Cálculo Integral, para podermos calcular o trabalho

realizado por uma força.

No entanto, poderemos obter uma forma simples de calcular trabalho mesmo naquelas situações

mais complicadas se usarmos a conservação da energia. Vamos supor que a energia seja

transferida somente através de trabalho de um sistema para o outro. Então, nesse caso, a energia

transferida sob a forma de trabalho provocará um aumento na energia total do sistema que

recebe o trabalho realizado. Se não houver variação na energia potencial (como no exemplo do

carrinho mais acima) então toda energia incorporada ao sistema que recebe energia provocará

variação na energia cinética do sistema.

No caso de haver mais forças atuando sobre o sistema esse resultado é válido para a força

resultante atuando no sistema. Veja que quando temos mais de uma força agindo no sistema

temos que levar em conta que parte do trabalho executado pelas forças individuais poderá ser

transformada em energia cinética e parte em potencial. Considere a situação mostrada na Figura

67.

Figura 67

A força F é a responsável por levar a partícula até a posição h. Para fazer isso, é necessário

compensar a ação da força da gravidade. Como as duas forças têm sentidos opostos, o trabalho

executado pela força F tem sinal oposto ao da força gravitacional. Se o módulo da força F for

maior que o módulo da força gravitacional então a partícula será acelerada e parte do trabalho

executado pela força F fica armazenada no sistema sob a forma de energia potencial e parte

aparece na forma de um incremento na energia cinética da partícula. A parte que será

transformada em energia cinética é justamente o trabalho executado pela resultante das forças

atuando na partícula.

h

a

F

Fg




Esse teorema é chamado Teorema Trabalho – Energia:

O trabalho executado pela força resultante atuando sobre uma

partícula é dado pela variação da energia cinética da partícula.

Podemos demonstrar o teorema trabalho energia facilmente, usando a definição de trabalho dada

pela eq. 51:

2 2 2

2 2

. .

1 1( ) ( )

2 2 2

1 1

2 2

b b b b

ab r

a a a a

b bb

ab aa a

ab b a ab cb ca c

dT m md m

dt dt

mT d v m d v m v

T mv mv T E E E

v dlF .dl dl v dv.dv

Essa passagem requer certo cuidado. Essa expressão é válida para a força resultante que age sobre

a partícula. Observe que usamos na derivação do teorema Trabalho-Energia a expressão:

r

dm

dt

vF a qual é somente válida para a força resultante. Se tivermos n forças agindo sobre a

partícula, a expressão para o trabalho de cada força não é igual à variação da energia cinética da

partícula. Somente para a resultante podemos escrever que o trabalho por ela realizado é igual à

variação da energia cinética da partícula.

Campos Conservativos

Um campo é dito conservativo se o trabalho realizado pelo campo sobre uma partícula que se

desloca entre duas posições [a,b] for independente do caminho seguido pela partícula e depender

apenas dos pontos inicial e final da trajetória da partícula. Matematicamente podemos expressar

essa ideia por:

. . ( ) ( )b b

Ca aq G b G a F dl C dl eq. 52

Nessa expressão, qC indica a qualidade da matéria que cria o campo C (massa, carga elétrica,

corrente elétrica, carga nuclear, etc..)

A Figura 68 ilustra essa ideia. Considere uma partícula que se desloque entre dois pontos a e b em

uma região na qual existe um campo C. Se o trabalho realizado pelo campo C for independente da




trajetória seguida pela partícula, ou seja, se o trabalho realizado pelo campo C somente depender

das coordenadas dos pontos a e b então dizemos que o campo C é um campo conservativo.

Quando essa propriedade não é válida então dizemos que o campo C é não conservativo.

Mas por que chamamos a esses campos de conservativos?

Figura 68 – Diferentes trajetórias entre os pontos a e b.

Para entendermos essa nomenclatura, vamos analisar o que acontece com o campo gravitacional.

Considere a situação mostrada na Figura 69. Nessa figura mostramos uma partícula que cai certa

altura h sob ação do campo gravitacional.

Figura 69 – Partícula movendo-se sob ação do campo gravitacional.

Já sabemos que a variação na energia potencial da partícula será dada por:

2 1( )p pf piE E E mg h h

a

b

Trajetória I

Trajetória III

Trajetória II

y

z

x

Posição inicial

Posição final

g h

h1

h2




A variação na energia potencial é numericamente igual ao trabalho realizado pelo campo

gravitacional (g), à medida que a partícula se desloca da posição h1 até a posição h2:

2

12 1( ) 0

h

h phT mgdx mg h h E

Nesse processo, a energia potencial da partícula aumentou, já que h2 > h1. Contudo, pelo teorema

Trabalho – Energia que vimos na seção anterior, esse trabalho é igual à variação na energia

cinética da partícula: 0h cT E . A consequência é que, em módulo, a variação na energia

cinética da partícula é igual à variação na sua energia potencial, com a consequente conservação

da energia que havia antes de a partícula sair da posição h1 até a posição h2. Daí o nome de

Conservativo para esse tipo de campo.

Naturalmente que a Energia se conserva, mesmo se o campo não for conservativo. Nesse caso,

temos que levar em conta as perdas de energia do sistema para a vizinhança em outras formas,

como Calor, por exemplo.

Um exemplo de forças conservativas: forças centrais

Vimos que uma força conservativa é aquela cujo trabalho realizado sobre uma partícula, quando

essa partícula se desloca entre dois pontos a e b, não depende do caminho, apenas dos pontos

inicial e final.

Vamos aplicar essa definição a uma classe especial de forças (e campos) chamadas de forças

centrais. Uma força é dita central quando depende unicamente da distância até o centro da força.

Por centro da força entendemos a partícula que cria o campo considerado. Dois exemplos desse

tipo de força são a força eletrostática e a força gravitacional.

Lembrando a forma geral dessas forças:

1 22

q qK

r r

rF eq. 53

A constante K que aparece nessa expressão depende do campo considerado, valendo –G para

caso gravitacional e 1/(40) no caso eletrostático, e as quantidades q1 e q2 podem ser as massas

das partículas interagindo ou as cargas.




Usando a definição da eq. 53, vamos calcular o trabalho realizado por uma força conservativa

quando uma partícula descreve uma trajetória como a mostrada na Figura 70 entre dois pontos a

e b.

Figura 70 – Trajetória de uma partícula sob ação de um campo central.

Da definição do trabalho executado pela força F entre os pontos a e b podemos escrever que:

1 22

1 2 2

. .

1

b b

ab a a

b

ab a

Kq qW

r r

W Kq q drr

rF dl dl

Nesta última expressão, usamos que: . cosdl drr

r

dl onde é o ângulo entre o vetor r (e

portanto do vetor F) com a trajetória da partícula e dr é o vetor unitário na direção radial. Se

chamarmos os vetores que localizam os pontos a e b por ra e rb, respectivamente, então podemos

escrever:

1 2 1 22

1 2

1 2

1 1

1 1

1 1

bb

aa

rr

ab rr

ab

b a

ab

a b

W Kq q dr Kq qr r

W Kq qr r

W Kq qr r

Portanto, o trabalho de um campo central (ou força central) depende somente dos pontos inicial e

final da trajetória, não dependendo da trajetória seguida pela partícula. Esse resultado vale tanto

para o campo eletrostático como para o campo gravitacional.

r

a

b

x

y

z

Trajetória da

partícula

F

dl

Ponto inicial

Ponto final




Calor

Comentamos na seção anterior que a energia é uma quantidade que se conserva. Se o sistema for

um sistema fechado então a energia total do sistema será uma constante. Se o sistema for um

sistema aberto então o que se conserva é a soma da energia do sistema em um dado momento

com a energia que entra ou sai do sistema.

Mas como diferentes sistemas físicos podem trocar energia entre si? Existem duas formas pelas

quais diferentes sistemas físicos podem trocar energia: uma é chamada de calor e a outra é

chamada de trabalho. Nesta seção, estudaremos o calor e mais adiante estudaremos o trabalho.

O que é o calor?

Uma ideia antiga, e que ainda encontramos em textos didáticos atuais, dirigidos às séries iniciais

do ensino fundamental, faz a comparação do calor com um fluido que seria armazenado nos

diferentes materiais. Essa teoria era conhecida como teoria do calórico. Por exemplo, as

transcrições abaixo são de um livro didático bastante usado em Campo Grande43:

Calor é uma forma de energia que passa de um corpo para o outro. O

calor realiza trabalho.

Quando o calor de um corpo aumenta,...

Quando o calor de um corpo diminui...

Se você colocar água no congelador, ela vai perdendo calor, até se transformar em

gelo.

43

Passos, Célia & Silva, Zeneide Eu gosto de ciências - programa de saúde. 4a série. São Paulo: Editora Nacional.




Outra confusão bastante comum que os livros didáticos fazem é entre calor e temperatura. Por

exemplo 44:

Você já percebeu que geralmente sentimos mais calor ao meio-

dia do que de manhãzinha ou ao anoitecer? Se você tiver um

termômetro em casa, observe, durante alguns dias, a

temperatura em diferentes horas.

No modelo do calórico, o calor é visto como um

fluido que permeia os objetos. Neste modelo,

quanto maior a temperatura de um corpo,

maior a quantidade de calórico que o mesmo

possui. Quando dois objetos têm diferentes

temperaturas então ocorreria um fluxo deste

fluido de um objeto para o outro. Este modelo

foi desmentido por um físico chamado Rumford

45. Trabalhando com a construção de canhões,

Rumford observou que havia uma produção

contínua de calor durante o processo de

perfuração das barras de ferro que formam o cano do canhão: mesmo quando as brocas estavam

cegas o aquecimento continuava. Isso contradizia a teoria do calórico, a qual previa que se o metal

não estivesse mais sendo perfurado não poderia mais desprender calor, pois, nesse caso, partes

do canhão não estariam mais sendo arrancadas e o calórico não poderia mais fluir para o exterior.

A partir da observação de Rumford, uma nova percepção do que seja o calor foi estabelecida

tendo por base o princípio da conservação da energia. Por este princípio, a energia deve ser

necessariamente conservada. Então o calor observado nada mais é do que a energia enquanto

esta flui de um sistema para outro sistema devido à diferença de temperatura entre os dois

sistemas.

O fluxo de energia sob forma de calor ocorre sempre do sistema de maior temperatura para o

sistema de menor temperatura.

44

Sampaio, F. A. A. & Carvalho, A. F. Caminhos da ciência, vol.4. São Paulo: IBEP.

45 Benjamin Thompson, Conde de Rumford, 1753 – 1814.




De modo a entendermos melhor isto, vamos fazer uma analogia. Imagine uma pessoa que viaje de

Campo Grande para Porto Alegre durante as férias. Antes de sair de Campo Grande esta pessoa é

um habitante da cidade de Campo Grande. Durante a viagem, ao passar por várias cidades ao

longo do caminho, esta pessoa é chamada de viajante. Depois de chegar a Porto Alegre, e durante

todo o período em que lá estiver, a pessoa passa a ser um habitante daquela cidade.

Com a energia acontece algo semelhante. Vamos analisar o processo de troca de energia entre

dois sistemas quaisquer. Antes de sair do Sistema A, mostrado na Figura 71, a energia se encontra

na forma de energia interna do Sistema A. Por energia interna chamamos a soma de todas as

formas de energia em um sistema, cinética e potencial dos mais variados tipos. É claro que a

forma específica da energia interna de um sistema depende das características de cada sistema

físico. Depois que a energia entra em outro sistema, o Sistema B mostrado na figura, ela é

absorvida nas formas de energia características desse sistema. A energia somente é calor

enquanto está em trânsito entre os dois sistemas.

Figura 71 – Esquema para a troca de energia sob forma de calor entre dois sistemas

físicos.

Deve ser chamada a atenção para o fato de que a transmissão de energia de um sistema para

outro sob forma de calor somente ocorre enquanto a temperatura dos dois sistemas é diferente.

Por isso, durante o processo de transferência de energia sob forma de calor, o processo se

mantém somente enquanto a temperatura dos dois sistemas for diferente. À medida que a

energia sai de um sistema em direção ao outro, a temperatura do sistema que perde energia sob

forma de calor diminui enquanto que a temperatura do sistema que está recebendo energia sob

forma de calor aumenta.




Pela definição que demos acima você deve ter percebido que a definição que os físicos dão a calor

é completamente diferente do sentido associado a esta palavra pelo senso comum. A noção de

calor que trazemos para a escola é, basicamente, de natureza psicológica e o mais correto seria

falar de sensação de quente e de frio. Do ponto de vista da Física, o frio não tem significado. O

significado deste termo, frio, está associado à nossa sensação de perda de energia sob forma de

calor. Você, obviamente, sabe que a sensação de frio somente aparece quando os termômetros

marcam temperaturas mais baixas em relação à nossa própria temperatura corporal. Lembrando

que a temperatura de nosso corpo é mantida em 37 graus Celsius, aproximadamente, e

lembrando que para que haja fluxo de energia sob forma de calor é necessário haver diferença de

temperatura entre os dois sistemas, será fácil para você perceber que quanto mais baixa for a

temperatura do meio ambiente maior será a quantidade de energia que o nosso organismo perde

na forma de calor. A esta sensação de perda de energia sob forma de calor é que chamamos de

frio.

Exercícios

1. Identifique processos que ocorrem na sua casa nos quais acontece transferência de energia sob

forma de calor.

2. Para este experimento você vai precisar de uma caixa de

isopor pequena e dois copos de metal. Ferva uma chaleira

com uma quantidade de água suficiente para encher um dos

copos. Encha o outro copo com água retirada da torneira.

Faça dois furos na tampa da caixa de isopor de tal modo que

você possa passar por cada um deles um termômetro.

Coloque os dois copos dentro da caixa de isopor de modo

que as paredes dos copos fiquem encostadas uma na outra e coloque a tampa de modo que cada

termômetro fique dentro de um dos copos. Veja o esquema ao lado.

Observe o que acontece com a temperatura de cada um deles.

3. Faça o seguinte experimento. Esquente, não muito, uma bacia de água. Resfrie outra

quantidade equivalente de água no congelador de seu refrigerador. A seguir coloque, lado a lado,

três bacias: uma com a água que está aquecida, outra com a água que foi resfriada e uma terceira

com água da torneira, à temperatura ambiente. Coloque a sua mão direita na bacia com água




aquecida e a sua mão esquerda na bacia com água resfriada. Conte até 20 e coloque as duas mãos,

ao mesmo tempo, dentro da bacia com água da torneira. O que aconteceu?

Modos de transferência de energia sob forma de calor

Podemos observar que no Universo existem apenas três processos de transferência de energia

entre dois sistemas físicos, unicamente devido à diferença de temperatura entre eles. Esses

processos recebem os nomes de Condução, Convecção e Radiação. Estudaremos cada um deles

detidamente a seguir.

Processo de condução

Esta forma de transferência de energia é característica, sobretudo, dos sólidos. A principal

característica desse processo é que nele temos a transferência de energia sem a transferência de

matéria. Nos sólidos os átomos não são livres para se movimentarem pelo material, ficando

confinados em posições mais ou menos fixas, tendo a liberdade apenas de executarem oscilações

em torno dessa posição. Como as ligações são rígidas entre eles, se um conjunto de átomos

aumenta a sua vibração em torno da posição de equilíbrio todos os outros acabam afetados por

esse aumento da vibração desses átomos.

Figura 72 – O processo de condução de calor.

Processo de convecção

Esse processo de condução é típico dos fluidos (líquidos e gases). Nesse caso, ocorre a

transferência de energia pelo fluxo de matéria. Como iremos ver mais adiante a característica

principal da matéria nesses dois estados é a mobilidade dos átomos ou moléculas. Diferentemente

do estado sólido, estado no qual os átomos não possuem liberdade de movimento, nos fluidos à

medida que aumentamos a temperatura também aumentamos a mobilidade das partículas. Com

Átomo vibrando

em torno da

posição de

equilíbrio

Fonte de energia




maior mobilidade essas partículas mais energéticas podem se movimentar por todo sistema. É

graças ao processo de convecção que existem os ventos, por exemplo.

Figura 73 – O processo de convecção.

Processo de radiação

Nesse processo, a energia é emitida na forma de ondas eletromagnéticas na faixa de freqüências

chamada de infravermelho. Esse é o processo pelo qual o Sol envia energia para a Terra. A

radiação infravermelha é responsável pelo aquecimento de ambientes envidraçados e pelas

queimaduras de sol que aparecem em quem fica tempo demais exposto na praia.

O que é a temperatura?

Vimos que calor e temperatura não são sinônimos. Calor foi definido como energia sendo

transferida de uma parte para outra do universo devido à existência de diferença de temperatura

entre os dois sistemas. Mas, se calor e temperatura não são a mesma coisa, então o que é

temperatura?

Faremos aqui uma apresentação do conceito de temperatura puramente qualitativo. Não nos

ocuparemos de definições mais precisas deste conceito por não ser este o objetivo deste curso. O

estudante interessado poderá consultar a bibliografia que indicaremos de modo a poder

aprofundar este conceito se assim o desejar.

Falamos antes que, ao ser absorvido, o calor é incorporado a um sistema em um dos modos

naturais de armazenar energia daquele sistema. Um desses modos naturais é a energia cinética

das partículas que compõem o sistema. A temperatura de um sistema físico é proporcional ao

valor médio da energia cinética das partículas que compõem o sistema. O conceito de

temperatura é o que os físicos chamam de um conceito estatístico, ou seja, que depende do fato

de haver um número muito grande de partículas. A temperatura do sistema não depende da

energia cinética de uma única partícula, mas sim do valor médio da energia cinética de muitas

partículas. A energia cinética média de um sistema de partículas é definida de forma simples:

somamos a energia cinética de todas as partículas e dividimos pelo número delas:

Soma da energia cinética de todas as partículasEnergia cinética média =

Número de partículas




Na notação matemática, sempre mais precisa46:

1

N

ii

c

E

EN

O símbolo <Ec> indica que estamos tomando a média da energia cinética das partículas. Para cada

sistema físico o cálculo dessa grandeza é feito de forma diferente, e não nos deteremos na forma

como este cálculo é feito. O que nos importa é que você guarde esta ideia: ao ser absorvida (ou

liberada) a energia sob forma de calor faz com que a energia cinética média das partículas que

compõem o sistema se modifique e isto faz com que a energia interna do sistema aumente, se a

energia estiver sendo absorvida pelo sistema, ou diminua (se a energia estiver sendo liberada pelo

sistema).

A temperatura é relacionada com o valor instantâneo da energia cinética média das partículas que

compõem o sistema. Dizemos que a

temperatura é uma medida desta energia

cinética média. Observe que a temperatura não

é a energia cinética média das partículas, mas

lhe é proporcional: quanto maior a energia

cinética média maior o valor da temperatura e

vice-versa.

Potência

A transferência de energia entre dois sistemas,

seja na forma de trabalho seja na forma de

calor, não acontece instantaneamente, mas durante certo intervalo de tempo. Suponhamos que

certa quantidade de energia, que simbolizaremos por E, seja transferida entre dois sistemas

durante certo intervalo de tempo, que simbolizaremos por t. Poderíamos nos perguntar quanto

de energia foi transferido por unidade de tempo para o sistema. A grandeza que representa essa

quantidade é o que chamamos de Potência, que simbolizaremos pela letra P. Claramente, se

46

De fato, se o número de partículas for muito grande teremos que usar outra forma de realizar esse cálculo, usando o conceito de

função distribuição.

Sistema A Sistema B




quisermos saber essa quantidade, basta dividir a quantidade total de energia transferida ao

sistema pelo tempo no qual essa transferência ocorreu:

EP

t

eq. 54

A unidade de potência no sistema internacional de unidades é o watt que significa 1 Joule de

energia produzida ou gasta em cada segundo. Muito em voga atualmente é um de seus múltiplos,

o kilowatt, que significa 1000 watts ou 1000 Joules em cada segundo. O nome watt é uma

homenagem a James Watt, o inventor da máquina a vapor.

A Primeira Lei da Termodinâmica

Na Natureza, o mais comum é que um sistema ganhe ou perca energia tanto na forma de calor

como na forma de trabalho. Esse fato pode ser expresso através de uma expressão para a variação

da energia interna do sistema. Lembremos a nossa definição de energia interna (que denotaremos

por Ei): é a soma de todas as formas de energia que o sistema possui.

Lembremos ainda da nossa convenção de sinais para calor e trabalho: calor é positivo ao ser

absorvido por um sistema e, quando liberado pelo sistema, negativo. O inverso acontece com o

trabalho: ao ser absorvido é negativo e ao ser liberado pelo sistema é positivo. Isso é apenas uma

convenção e não uma lei da Natureza. Portanto, pelo princípio da conservação da energia, a

variação da energia interna do sistema se deve à entrada ou saída de energia sob a forma de calor

ou trabalho.

Isso pode ser expresso da seguinte forma:

iE Q T eq. 55.

Nessa equação, Q simboliza a quantidade de energia líquida (o que entrou menos o que saiu) sob a

forma de calor que entrou ou saiu do sistema e T representa o trabalho líquido realizado pelo

sistema ou sobre o sistema. O sinal de menos que existe nessa equação é devido à nossa

convenção de sinais para o trabalho.




Capítulo II - Potenciais e Energia Potencial




Potencial e Energia Potencial

Apesar de possuírem a palavra potencial no nome, o Potencial e a Energia Potencial têm

significados físicos completamente diferentes.

Definimos o potencial como sendo uma grandeza física cuja variação nos indica a direção do fluxo

de outra grandeza física. O nome técnico para essa diferença no potencial é gradiente do

potencial. São exemplos de potencial: a temperatura (a qual nos indica o fluxo de energia sob

forma de calor da região com temperatura maior em direção à região de menor temperatura), a

pressão (a qual nos indica a direção do fluxo de ar, os ventos, de uma região de maior pressão em

direção a uma região de menor pressão) e o potencial elétrico (o qual nos indica o fluxo de carga

elétrica, a qual flui de uma região de maior potencial em direção a uma de menor potencial

elétrico, no caso de cargas positivas).

A energia potencial, por outro lado, é um tipo de energia que está associada à configuração do

sistema físico sob consideração. De fato, a Energia Potencial é a energia que foi gasta para levar o

sistema até seu estado atual. Essa energia se encontra armazenada nas diferentes formas de

energia potencial do sistema: energia potencial elétrica, energia potencial elástica, energia

potencial gravitacional, etc. Passaremos a seguir a definir os diferentes tipos de energia potencial

e, a seguir, os diferentes potenciais associados. A natureza da energia potencial depende do tipo

de interação que há entre as diferentes partes do sistema.

O conceito de energia potencial

Considere a seguinte situação. Você está frente a um universo vazio (veja a Figura 74). Nesse

universo, não há partículas e tampouco energia. Considere que todas as partículas estejam fora

desse universo, além dos seus limites.

Figura 74 – “Universo” vazio com partículas fora dele.

Suponhamos agora que você pegue uma das partículas na borda do sistema e a traga para dentro

do seu universo vazio e a coloque em uma determinada posição, localizada pelo vetor r1.

Universo vazio




Queremos que isto seja feito com a partícula se movimentando com velocidade constante. Veja a

Figura 75a. Para realizarmos essa tarefa, não encontramos nenhuma resistência ou ajuda, já que

nosso universo está vazio. Lembre de que em nosso universo não temos inicialmente nem

partículas e nem campos.

Consideremos agora o que acontece com uma segunda partícula que queiramos trazer desde a

borda de nosso universo até certa posição localizada pelo vetor r2 (veja a Figura 75.b). Vamos

supor que as duas partículas interajam, uma vez que ambas possuem certa propriedade q, a qual

pode ser a massa ou a carga elétrica, por exemplo. Como as duas partículas interagem, a partícula

2 ao entrar no universo agora preenchido pela partícula 1 experimentará uma força (atrativa ou

repulsiva). Para que possamos colocá-la na posição localizada pelo vetor r2 será então necessário

realizar certa quantidade de trabalho contra a ação exercida pela força devida à partícula 1, já

presente no universo, de modo que a partícula sendo trazida não altere sua velocidade ao longo

do trajeto.

Figura 75 – Preenchimento do universo vazio (a) Primeira partícula colocada dentro do

universo; (b) Segunda partícula colocada no universo.

Considere a situação mostrada na Figura 76. Nela uma partícula desloca-se ao longo de certa

trajetória de um ponto a até um ponto b sob a ação de uma força F. Essa força pode ser constante

ou não, tanto em módulo como em direção e sentido. Lembremos que o Trabalho é dado pela

componente da força na direção da trajetória da partícula (lembre que a componente

perpendicular da força não realiza trabalho).

Trajetória seguida pela

partícula 1

r1

Trajetória seguida pela

partícula 2

r1

r2

(a) (b)




Figura 76 - Partícula sob ação de uma força.

O trabalho realizado pela força externa é dado por:

b

a

T F.dl eq. 56

Lembre que o trabalho, sendo uma das formas de transferir energia entre dois sistemas físicos,

implica em modificação da energia da partícula.

Mas qual a forma pela qual esse trabalho vai ser armazenado no sistema físico que recebe o

trabalho, ao ser atuado pela força F? Ao colocarmos a partícula 2 na posição final, essa energia

será armazenada na forma de energia potencial. No caso mais geral, parte do trabalho realizado

sobre a partícula será armazenada na forma de energia potencial e parte sob a forma de energia

cinética.

Portanto, o trabalho que foi realizado para trazer a partícula 2 desde sua posição no lado de fora

do universo (suposta infinitamente distante) até a posição final (indicada pelo índice 2) será dado

por:

2

2T

F.dl

Se agora trouxermos outra partícula de fora para dentro do nosso universo, esta partícula

interagirá tanto com a partícula 1 como com a partícula 2, já presentes no nosso universo. Desse

Força atuando na

partícula (F).

r1

r2

Elemento de

comprimento (dr).

x

y

z

a b




modo o trabalho que teremos que realizar para colocar uma partícula em uma terceira posição

dentro do nosso universo será dado por:

3 1,3 2,3

3 3

3

T T T

T

1,3 2,3F .dl F .dl

Nessa expressão, T1,3 e T2,3 denotam o trabalho realizado contra a força exercida pela partícula 1

sobre a partícula 2 e o trabalho realizado contra a força da partícula 2 sobre a partícula 3,

respectivamente.

Nesse momento, a quantidade total de trabalho realizado para compor a configuração final do

sistema de três partículas, será dada pela soma do trabalho realizado para trazer a partícula 2 com

o trabalho realizado para trazer a partícula 3:

2 3

2 3 3

1,2

T T T

T

1,3 2,3F .dl F .dl F .dl

Se trouxermos outras partículas, o processo se repetirá: para cada partícula que trouxermos do

infinito até a posição final teremos que realizar trabalho contra as forças que as outras partículas

que já trouxemos exercem sobre a nova partícula. Todo esse trabalho fica armazenado na forma

de energia potencial.

Em geral poderemos escrever que a energia total armazenada no sistema será dada por:

1

N

ii

T T

Nessa expressão, Ti é o trabalho que foi realizado para trazer a i-ésima partícula do infinito até

sua posição final (ri):

1

,1

ii

i j ij

T

r

F .dl eq. 57

Nessa expressão, Fj,i é a força a j-ésima partícula sobre a i-ésima partícula. Portanto, podemos

escrever que a variação da energia potencial do sistema é dada pelo trabalho realizado pelo

agente externo, responsável pela formação do sistema:




p externoE T eq. 58

Usando a eq. 57, a variação da energia potencial será dada por:

1

,1

ii

p j ij

E

r

F .dl eq. 59

Observe que a soma é limitada, para cada carga i até o valor i – 1. Isso para que não contemos o

trabalho da carga sobre ela mesma e também para que não contemos duas vezes o mesmo par de

cargas.

Exemplo 13

Suponha que tenhamos um conjunto de três cargas iguais alinhadas ao longo do eixo x, colocadas

respectivamente nas posições 2, 0 e -2. Vamos chamar a carga que está na origem de carga 1, a

que está na posição x = 2 de carga 2 e a que está na posição x = -2 de carga 3. Qual será a energia

potencial do sistema?

Solução

Vamos calcular para cada carga o trabalho que foi realizado para trazê-la desde o infinito até a

posição em que a carga foi colocada.

A força elétrica entre duas partículas é dada por:

1 2 1 22

1 2 1 2| | | |e

q qF K

r r

r r r r.

Logo, a força que deve se exercida para trazer as cargas desde o infinito é o oposto desta.

Carga 1

Para esta carga, não realizamos trabalho nenhum pois ela não interagiu com nenhuma outra carga

no sistema. Portanto:

0

1 . 0x

eT

F dl

Carga 2

Para a carga 2, teremos que realizar trabalho contra a força elétrica da carga 1, colocada na

origem:




2 2

2 12 12

2

2 12

22 22 2

1 22 2 2

0 0 0

2 2

2 2

0 0

. .

1 1

4 4 4

1

4 2 8

r r

r r

r

r r

T F dr

T F dr

q q q dr qT dr

r r r

q qT T

F dl e e

O estudante deve analisar com cuidado essa passagem. Observe que o elemento dl tem sentido

oposto ao elemento dr, uma vez que estamos vindo desde o infinito. Isto introduz um sinal

negativo no elemento de integração. O resultado é que podemos escrever:

rdr dl e

Carga 3

Para a carga 3, teremos que somar o trabalho realizado contra a força elétrica das cargas 1 e 2:

2 2 2 21 3 2 3

3 13 23 2 20 0

2 2 22 2 2

3 2 2 20 0 0

22 2 22

3 20 0 0

2

3

0

1 1. .

4 4

1 1 1

4 4 2

1 1

2 2 2 2

4

r r r r

r r r

rr

q q q qT dr dr

r r

q q qT dr dr dr

r r r

q dr q qT

r r

qT

F dl F dl

Logo, o trabalho total realizado para montar o sistema de cargas será dado por:

2 2

1 2 3

0 0

2

0

08 4

3

8p

q qT T T T

qT E

Uma escolha interessante para os valores da energia potencial é definir que quando todas as

cargas estão no infinito a energia potencial é zero. Essa escolha é bastante conveniente em muitas

situações. Se fizermos essa escolha, podemos falar da energia potencial do sistema quando as

cargas estiverem nas suas posições finais:




1 2 1 2( , , , ) ( ) ( , , , )p p N p externo p N externoE E E T E T r r r r r r

Em nossa notação, 1 2( , , , )p NE r r r indica a energia potencial do sistema quando as N cargas estão

nas localizadas pelos vetores 1 2, , , Nr r r , respectivamente.

Contudo, embora essa hipótese seja simplificadora, não é essencial. Poderíamos ter colocado o

zero da energia potencial em qualquer ponto do espaço. Quando falamos de energia potencial,

como esta é calculada a partir do trabalho realizado para levar a partícula de uma posição no

espaço para outra, o que importa são as variações no valor da energia potencial. Valores

absolutos nada querem dizer. Apenas as variações são importantes.

O potencial (C47)

Tendo definido o conceito de energia potencial, podemos definir agora o conceito de potencial.

Vamos considerar a situação simples em que uma partícula com carga q está colocada na origem e

é responsável pela criação do campo elétrico que outra carga qC experimentará aos ser trazida do

infinito até uma certa posição denotada pelo vetor r1. Implícita, temos a aproximação de partícula

de teste: a carga qC não é suficiente para alterar a posição da carga q que cria o campo.

Definimos o potencial como sendo a quantidade de energia potencial por unidade da propriedade

da partícula responsável pelo campo e que é responsável pela interação entre as partículas que

compõem o sistema físico. Assim, se chamamos de qC a essa propriedade (qC pode ser a

quantidade de massa, de carga elétrica, etc.) e Ep a energia potencial associada à esta

configuração devido à qC podemos definir o potencial C como:

0

( , , )( , , ) lim

CC

p q C c

qq

C

E q qq

q

r rr r eq. 60

Em nossa notação, ( , )p q CE r r indica a energia potencial do sistema quando a carga q está na

posição denotada pelo vetor rq (a origem nesse caso particular) e a carga de teste qC está na

posição indicada pelo vetor rC. Se mantivermos a carga que cria o campo fixa em uma

determinada posição (a origem, por exemplo) podemos realizar um mapeamento do potencial em

todos os pontos do espaço, calculando a energia potencial do sistema quando a carga de teste, qC ,

47

Letra Phi maiúscula do alfabeto grego.




estiver em cada um dos pontos do espaço. Nesse caso, falamos do potencial na posição r o qual

será dado por:

0

( , )( ) lim

C

p q

qC

E

q

r rr eq. 61

Observe que o potencial, definido dessa forma, é uma função de posição e que essa quantidade

herda o fato de que seu valor absoluto em certa posição do espaço ser arbitrário, importando

apenas a sua variação de uma posição para outra dentro do sistema físico.

O potencial é uma propriedade aditiva. Se ao invés de uma partícula criando o campo, tivermos

um conjunto de N partículas, o potencial criado em uma dada posição do espaço será dado pela

adição dos potenciais criados por cada uma das partículas naquela posição:

1 21

N

N ii

eq. 62

Se ao invés de um conjunto de partículas a fonte do campo for um corpo extenso, basta que

troquemos a soma indicada na eq. 62 por uma integral sobre os elementos d criados na posição

denotada pelo vetor r:

d eq. 63

A forma específica desses elementos dependerá do tipo de campo com o qual estamos lidando

(gravitacional, eletrostático, etc.).

Podemos agora justificar nossa afirmação anterior de que os potenciais nos dizem em qual direção

ocorrerá o fluxo da quantidade a qual ele se refere. Para fazer isso, devemos primeiro enunciar o

Princípio da Minimização da Energia:

Dentre todos os processos físicos que podem ocorrer em um

sistema fechado, aqueles que ocorrerão espontaneamente são os

que minimizam (ou pelo menos deixam inalterado) o valor da

energia do sistema.

O que esse princípio nos diz é que para que um processo aconteça de forma espontânea é

necessário que o estado final do sistema tenha uma energia menor, ou pelo menos igual, do que a




energia potencial do estado inicial. Em um sistema de cargas em repouso, a única forma de

energia presente é a energia potencial. Portanto, o sistema minimizará essa forma de energia.

O potencial de certo ponto do espaço nos diz qual o valor da energia potencial por unidade da

quantidade qC. Portanto, se colocarmos naquela posição uma partícula com essa quantidade da

propriedade a sua energia potencial será dada pelo produto do potencial por qC. No entanto, se

essa partícula for abandonada naquela posição e o potencial nessa posição não for o menor valor

do potencial a partícula, quando livre dos vínculos que a mantém naquela posição, se deslocará

em direção das posições com um valor de potencial menor. Quando nessa posição a partícula terá

um valor de energia potencial menor do que antes. Ao atingir a nova posição teremos um estado

de equilíbrio estável e o sistema nele permanecerá.

Embora nossa discussão tenha feito uso da ideia de uma partícula, o raciocínio continua sendo

válido para outras grandezas não materiais como, por exemplo, a energia. Um exemplo disso, é a

temperatura que é um potencial para o fluxo de energia sob forma de calor: a energia sempre flui

sob forma de calor do sistema que tem temperatura mais alta em direção ao sistema que tem a

temperatura mais baixa. Quando as temperaturas dos dois sistemas se equilibram (ficam iguais) o

fluxo de energia sob forma de calor cessa e os sistemas entram no que chamamos de equilíbrio

térmico. Essa afirmação é enunciada algumas vezes com o nome de Lei Zero da Termodinâmica.

Energia Potencial Gravitacional

A primeira forma de energia potencial que analisaremos é a Energia Potencial Gravitacional. Esta é

a forma de energia que fica armazenada em um sistema no qual as partículas interagem através

da força gravitacional:

2 2g

Mm MG m G

r r r r

r rF g g

Vamos analisar três situações distintas. Duas delas envolvem o cálculo da energia potencial

gravitacional em um sistema composto pela Terra, o campo gravitacional criado pela Terra e uma

partícula próxima da superfície da Terra, região em que a força gravitacional pode ser considerada

uma constante. Primeiro consideraremos a situação na qual o sistema está isolado e depois o caso

em que o mesmo sistema em interage com outro sistema, o qual é responsável por uma força que

atua sobre a partícula. Por fim, vamos considerar o caso em que temos o deslocamento de uma




partícula ao longo de uma trajetória suficientemente longa para que não possamos considerar

mais o campo gravitacional constante.

Cálculo da energia potencial gravitacional: pontos próximos da superfície da Terra e sistema isolado composto pela Terra, campo gravitacional criado pela Terra e uma partícula.

Seja o movimento de um objeto jogado verticalmente para cima com uma dada velocidade inicial.

Por simplicidade, considere o lançamento a partir da superfície da Terra e despreze o efeito da

resistência do ar (veja a Figura 77). Da Dinâmica sabemos que a gravidade exerce um papel

fundamental nessa situação, desacelerando o objeto na subida (caso a) até que sua velocidade se

anule no ponto de altura máxima (caso b) e, conseqüentemente, acelerando na descida (caso c).

Quem é o sistema nesse caso? Temos a Terra e a partícula com certeza. Contudo, há um terceiro

elemento presente: o campo gravitacional criado pela Terra48.

Perceba duas configurações bem características do sistema: a primeira, com a partícula na posição

mais alta (onde a sua velocidade é nula); a segunda com a partícula na posição mais baixa (onde a

sua velocidade é máxima). Na ausência da resistência do ar, é observado que, para um mesmo

ponto, o módulo da velocidade da partícula na subida é igual ao módulo da velocidade na descida.

Neste fenômeno podemos observar o conceito de simetria (o movimento de subida é simétrico ao

de descida, bastando mudar o sentido da velocidade) e, consequentemente, o conceito de

conservação: como não há dissipação de energia, a energia do sistema deve ser constante.

Figura 77 - O movimento de uma partícula sob ação do campo gravitacional perto da

superfície da Terra.

48

Vamos desconsiderar o campo criado pela partícula sob a hipótese de que a massa da Terra é muito maior do que a massa da

partícula.

Superfície

v g

v

v = 0

Superfície Superfície

g g

(a) (b) (c)




O sistema sob consideração é um sistema fechado. Não há outras forças externas atuando sobre o

sistema depois que a partícula é arremessada para cima. Uma vez que o objeto comece a se

movimentar na direção vertical com certa velocidade (e, portanto, com alguma quantidade de

energia cinética) a ação do campo gravitacional é fazer com que a energia cinética da pedra

diminua, aumentando na mesma medida a energia potencial do sistema. Pela conservação da

energia sabemos que a energia total do sistema deve ser conservada. O papel do campo

gravitacional, como veremos, é agir como um agente de transferência da energia entre os dois

tipos: cinética da pedra e potencial do sistema.

Vamos agora calcular essa energia, usando o conceito de trabalho, aplicando a definição de

Trabalho apresentada anteriormente (eq. 56). Para fazer isso, tomemos como origem do sistema

de referências o centro da Terra. No nosso caso, os pontos inicial e final são o solo (a uma

distância R do centro da Terra, R sendo o raio da Terra) e o ponto mais alto da trajetória da

partícula (que denotaremos por R+h). Portanto, a = R e b = R+h. Vamos tomar um sistema de

referências que tenha o eixo z com sentido positivo para cima. O elemento diferencial de

comprimento dl é simplesmente o vetor diferencial de comprimento na direção z: dl = dz = dz

ez, o sinal de + valendo para a subida e o sinal de – valendo para a descida.

Figura 78 - Cálculo do trabalho do campo gravitacional.

A força gravitacional aponta sempre para o solo (veja a Figura 78). Essa força é dada por:

0g zmg g F e g . Nossa hipótese é que o campo gravitacional seja constante entre o solo

e a altura h atingida pela partícula49.

Na subida, o vetor deslocamento aponta para cima ( zdzdl e e mp é a massa da partícula).

Portanto, o trabalho que o campo gravitacional tem que realizar enquanto a partícula se desloca

até a altura h, será dado por:

49

De fato isso não é estritamente verdadeiro. Mas para pequenas distâncias é uma boa aproximação.

dl g

R+h

R




.

( )

b

a

R hR h

p p pRR

p

T

T m gdz m gz m g R h R

T m gh

F dl

Vemos então que o trabalho realizado pelo campo gravitacional sobre a partícula é dado

simplesmente pelo produto da massa da partícula pela aceleração gravitacional e pela altura que a

partícula atinge. Nesta etapa do movimento, o trabalho que é realizado pelo campo gravitacional

é contrário ao sentido do movimento da partícula. A partícula desacelera e sua velocidade

diminui, isto é, ela perde energia cinética. Para onde vai essa energia? Levando em conta o

conceito de conservação da energia, a energia cinética deve estar sendo transformada em outra

forma de energia, nesse caso em energia potencial, de modo que a soma das duas permaneça

constante. Como o próprio nome indica é uma energia que tem o potencial de se transformar de

novo em energia cinética, como veremos na parte de descida da partícula.

Nessa parte da trajetória o trabalho que foi realizado pelo campo gravitacional sobre a partícula

foi usado pelo sistema apenas para transformar a energia cinética em potencial. Como apontado

anteriormente, não houve modificação no valor da energia total do sistema. Lembrando do

Teorema do Trabalho e Energia, o trabalho realizado pela força deve ser igual à variação da

energia cinética da partícula:

c cf ci ci ciW E E E E mgh E mgh

A conclusão é de que toda a energia cinética inicial foi transformada pelo trabalho realizado pela

força gravitacional. Mas onde fica armazenada a energia cinética que foi transformada em

potencial pelo trabalho realizado pelo campo? A resposta a esta questão não é simples e exige

conhecimentos matemáticos mais avançados. Por essa razão, apenas enunciaremos a resposta: a

energia fica armazenada no campo gravitacional. O campo gravitacional (não somente esse, mas o

eletrostático também) pode ser visto como um depósito de energia, assim como de momento

(linear e angular) e massa.

Essa energia cinética fica armazenada no sistema Terra – Partícula – Campo Gravitacional, na

forma da variação da grandeza chamada energia potencial. A partícula tem inicialmente certa




energia cinética que foi fornecida por algo ou alguém. Por exemplo, a partícula pode ter sido

impulsionada por uma mola, que é quem forneceu a energia cinética inicial. Observe que a

grandeza que está variando depende da massa da partícula, do campo gravitacional e da distância

ao centro da Terra.

Podemos, então, escrever que a variação da energia potencial gravitacional como:

( ) ( ) ( )pg pg pg g p cfE R h E R E W m g R h E eq. 64

O valor da energia potencial é arbitrário, uma vez que o que nos interesse (e o que de fato a eq. 64

nos mostra) é que a quantidade de interesse é a variação da energia potencial de um ponto a

outro na trajetória.

Como apontamos anteriormente, é possível falar da energia potencial em um ponto se definirmos

uma posição no espaço a qual atribuamos, de forma arbitrária por certo, o valor zero para a

energia potencial nessa posição. No problema que analisamos, a escolha natural é a superfície da

Terra. Vamos então escolher que a energia potencial para r = R (R o raio da Terra) é nula.

Podemos também escolher a superfície da Terra como origem do nosso sistema de referências (r

=0). Com isso, o valor obtido pela eq. 64 pode ser interpretado como sendo a energia potencial do

ponto r = h:

( )pg pE h m gh eq. 65

Podemos reescrever o resultado expresso pela eq. 64 observando que, se temos um ponto

qualquer a uma distância R+h do centro da Terra, então o módulo do campo gravitacional pode

ser escrito como:

2( )Tm

g GR h

O índice T indica o valor da massa da Terra. Usando essa expressão para o módulo de g, e usando

a convenção de que a energia potencial na superfície (r = R) é zero, podemos reescrever a

expressão para a energia potencial gravitacional no ponto r = R+h como:

2( ) ( )

( )T

pg p

mE R h m R h G

R h




( )( )

p T

pg

m mE R h G

R h

eq. 66

Esse resultado foi obtido para o caso particular do sistema de coordenadas no centro da Terra e

movimento radial da partícula (perpendicular à superfície da Terra). No entanto, apesar de ser um

resultado particular, ele tem um aspecto que merece ser ressaltado: a variação da energia

potencial gravitacional depende apenas dos pontos inicial e final da trajetória, não dependendo da

forma como a partícula se desloca entre esses dois pontos. Como vimos anteriormente, quando

isso acontece, dizemos que o campo é conservativo. Esse tipo de campo recebe esse nome

porque se o sistema for isolado é possível apenas transformar energia cinética em potencial e

vice-versa. O sistema não ganha nem perde energia total, a qual é conservada. Outro ponto que

deve ser observado é que, de fato, na situação mais geral, quando não podemos mais considerar o

campo gravitacional constante, a variação na energia potencial gravitacional depende apenas da

diferença de altura entre o ponto inicial e final da trajetória.

Na descida, o ponto inicial é R +h e o final é R. Agora, a força e o deslocamento têm a mesma

direção e o mesmo sentido. Contudo, o sentido do vetor dl é contrário ao do sistema de

referência (dl = - dz ez) enquanto a força gravitacional aponta como antes (Fg = - mpg ez).

Portanto, F.dl = + Fdz.

Nesse caso, o cálculo do trabalho realizado pelo campo enquanto a partícula cai nos dá:

.

( )

0

R

R h

R R

R hR h

p c c p

T

T mgdz mg z

T mg R R h mgh

T mgh E E E E

F dl

Agora o trabalho realizado pelo campo gravitacional é favorável ao movimento, acelerando a

partícula, transformando energia potencial em energia cinética. Agora temos energia que estava

armazenada no campo gravitacional, na forma de energia potencial, sendo transformada em

energia cinética da partícula. Como a partícula parte de um ponto mais alto para um mais baixo,

sua energia potencial diminui. Para onde vai essa energia? Como a partícula está acelerando, sua

energia cinética está aumentando. A soma das energias cinética e potencial, porém, permanece




constante, de modo que se somarmos as variações nos valores das energias cinética e potencial

obteremos zero.

Em outras palavras, o sistema formado pelo Campo Gravitacional – Terra – Partícula está gastando

sua energia potencial gravitacional para fornecer energia cinética à partícula, acelerando-a (na

verdade a Terra também acelera, mas como sua massa é muito superior a da partícula,

consideramos apenas o movimento da partícula. Essa aproximação já está inclusa no fato de

considerarmos o campo gravitacional constante). Considerar a superfície da Terra como tendo

energia potencial nula é apenas uma convenção. Afinal se cavarmos um buraco, o fundo deste

terá energia potencial negativa de acordo com esta convenção. Como o importante é a variação

da energia potencial, o ponto onde se considera energia potencial nula é apenas uma questão de

conveniência.

Partícula que se move sob ação de uma força externa, F, do chão até uma altura h.

Vamos agora analisar o seguinte problema, relacionado com o problema anterior. Consideremos

uma partícula que é levada do solo até a altura h com velocidade constante. Para que a

velocidade seja constante deve existir uma força agindo na partícula a qual, em módulo, é igual ao

peso da partícula, mas que aponta na direção oposta à direção da força peso: ( )p zmg F F e .

O elemento de comprimento dl é dado por: dl =dz ez . Veja a Figura 79.

Figura 79 – partícula se deslocando com velocidade constante.

Nesse caso, vamos considerar por simplicidade que a superfície seja a origem do sistema de

referências. O trabalho realizado pela força F entre a superfície e o ponto a uma altura h do solo

será dado por:

0

r h

rT mgdz

r=h

r=0F.dl

dl

Fg

r = h

r = 0

F




Observe que a força F e o vetor deslocamento, dl, são paralelos. O resultado da integral é

simplesmente:

00

r h h

rT mg dz mg z T mgh

Esse trabalho é o negativo do trabalho executado pelo campo gravitacional sobre a partícula. Esse

trabalho fica armazenado no sistema na forma de energia potencial. Observe que agora, temos

um incremento na energia do sistema, ao contrário da situação anterior, na qual a única força

presente era a força gravitacional, uma força interna ao sistema considerado. Naquele caso, o

trabalho da força gravitacional simplesmente transformava energia cinética em potencial e vice-

versa. Do ponto de vista do sistema externo que atuou sobre a partícula, esse sistema cedeu

energia para o sistema Terra – Partícula – Campo Gravitacional, perdendo energia portanto, daí o

sinal positivo no trabalho realizado pela força externa.

Nessa situação, não temos aumento da energia cinética da partícula, já que a velocidade

permaneceu constante, apenas aumento da energia potencial do sistema.

Esse trabalho é numericamente igual à variação da energia potencial do sistema Terra – Campo

Gravitacional – Partícula:

(0) 0( ) (0) ( )

pp p p p

ET mgh E E h E E h mgh

.

Na última igualdade fizemos uso da nossa escolha anterior de colocar o zero da energia potencial

sobre a superfície da Terra.

Cálculo da energia potencial gravitacional para trajetórias nas quais o campo gravitacional não pode ser considerado constante.

A aproximação feita nas seções anteriores de que o campo gravitacional é constante é somente

válida para trajetórias muito curtas, como a de partículas se movimentando por alguns metros na

vertical perto da superfície da Terra.

Como podemos generalizar o resultado acima para um campo gravitacional não constante? Seja

uma partícula de massa m se movendo num campo gravitacional do ponto 1, indicado pelo vetor

r1, para o ponto 2, indicado pelo vetor r2, (veja a Figura 80). Qual seria o trabalho realizado contra

o campo gravitacional para posicioná-la nessa posição com velocidade constante? Observe que




essa situação é diferente da anterior, pois, nesse caso, o campo gravitacional não é constante,

variando com a posição.

Figura 80 - Deslocamento arbitrário de uma partícula no campo gravitacional da Terra.

Nesse caso, o cálculo é um pouco mais complicado, pois envolve uma integração ao longo do

caminho seguido pela partícula, em uma operação matemática chamada integral de linha, pois a

expressão para a força gravitacional experimentada pela partícula:

2g

MmG

r r

rF

envolve o vetor r, que localiza a partícula de massa m em relação à origem em cada ponto da

trajetória, o qual não é constante como no caso do exemplo anterior. Por facilidade, consideremos

que M, a massa fonte do campo gravitacional, está na origem do sistema de referências.

A força que deve atuar para levar a partícula da posição dada pelo vetor r1 até a posição dada pelo

vetor r2 deve ser, em todos os pontos, oposta à força gravitacional:

2g

MmG

r r

rF F

O trabalho realizado por essa força é dado por:

2 2 2

1 1 1

2 3

1MmT G GMm

r r r

r r r

r r r

rF dl dl r dl eq. 67.

r1

r2

m

z

y

x

dl

M




Essa integral pode ser facilmente avaliada se usarmos o sistema de coordenadas esférico. Nesse

sistema de coordenadas, r é uma coordenada. Observe que no integrando da eq. 67 não há

dependência angular.

Para um deslocamento infinitesimal dl ao longo da trajetória50, podemos escrever que o produto

escalar do vetor r pelo vetor dl nos dá, simplesmente:

cos( )rdl rdr r.dl

é o ângulo entre os dois vetores e dr = dl cos() é um elemento diferencial de comprimento na

direção r/r. O trabalho realizado pela força F contra a ação do campo gravitacional será dado por:

2 2 2

1 1 1

2

1

3 3 2

2 1

1 1 1

1 1 1

r r

r r

r

r

T GMm GMm rdr GMm drr r r

T GMm T GMmr r r

r

r

r dr

Esse trabalho, realizado pela força externa, mantida por algum outro sistema que está fornecendo

a energia, é que fica armazenado na forma de variação da energia potencial do sistema. Essa

variação da energia potencial será dada por:

2 1

2 1

1 1( ) ( )p p pE E r E r T GMm

r r

eq. 68

Como a partícula se move com velocidade constante, a força resultante sobre ela é nula. Nesse

caso, pelo Teorema do Trabalho e Energia, a variação da energia cinética da partícula deve ser

zero51. O trabalho executado pela força externa que deveria aparecer na forma de energia cinética

da partícula, caso fosse a única força atuando no sistema, é compensado pelo trabalho realizado

pelo campo gravitacional, o qual terá o mesmo módulo, mas com sinal negativo. Ou seja, o

trabalho total realizado sobre a partícula terá sido zero. É essa variação na energia cinética que

está faltando que foi armazenada na forma de energia potencial.

50

Nesta seção chamaremos por dl ao deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória, para diferenciar do deslocamento dr ao

longo da direção radial do sistema de coordenadas esféricas.

51 Lembre que o teorema trabalho energia é válido somente para a força resultante.




Como já vimos, a interação gravitacional se anula apenas no infinito52. Desse modo, um objeto que

se movesse no infinito não teria nenhum trabalho realizado sobre ele pela força gravitacional.

Como podemos escolher o zero de energia potencial de forma arbitrária, uma escolha

interessante é colocar o valor nulo para a energia potencial quando a partícula de massa m estiver

no infinito (r1 = ). Nessa situação, para r1 no infinito, podemos falar então na energia potencial de

um ponto. O estudante deve atentar para o fato de que ao falarmos na energia potencial de um

ponto estamos economizando linguagem. O correto seria usar a expressão a variação da energia

potencial em relação ao infinito. Desse modo, a energia potencial de um ponto será dada por:

( ) ( ) ( )pg pg pg pg

mME T E E E G

r r r

eq. 69

Para qualquer valor de r, a energia potencial gravitacional é negativa. Isso em absoluto é um

problema, uma vez que o valor absoluto da energia potencial é irrelevante, importando somente a

variação da energia potencial entre os pontos inicial e final. Essa é a mesma expressão, a menos

de um sinal, que obtivemos para o caso próximo a superfície da Terra (eq. 66), se identificarmos r

= R + h.

Exemplo 14 – Velocidade de escape

Define-se a velocidade de escape como aquela velocidade inicial necessária para que um corpo

escape da atração gravitacional de outro corpo única e exclusivamente devido a um impulso

inicial, isto é, sem que haja nenhum sistema de propulsão atuando depois do impulso inicial. Da

definição geral de energia potencial e do conceito de conservação de energia mecânica fica fácil

determinarmos a velocidade de escape de um objeto.

Por exemplo, seja uma bola de futebol de 0,5 kg. Supondo que um jogador chutasse a bola, lhe

dando um impulso inicial, Qual deveria ser a velocidade inicial para que a bola chegasse ao

infinito, desprezando a resistência do ar?

Consideremos a superfície da Terra como ponto inicial (ri = RT) e o infinito como o ponto final (rf =

). A energia mecânica inicial é dada por:

52 Isso vem do fato de que:

1lim 0.

r r




2

2b e T b

mi

T

m v m mE G

R

.

Nessa expressão, ve é a velocidade de escape procurada e mb é a massa da bola. Suponhamos que

a bola chegue no infinito com velocidade nula (situação crítica). Temos que a energia mecânica no

infinito será dada por:

lim 0T bm

r

m mE G

r

.

Pelo conceito de conservação, a energia mecânica inicial deve ser igual à final:

21

02

mi mf

T bb e

T

E E

m mm v G

R

.

Logo:

1/2

2 Te

T

mv G

R

Observe que esse resultado é independente da massa do objeto sendo considerado.

Potencial Gravitacional

Vamos agora aplicar nossa definição de potencial ao caso gravitacional e definir o potencial

gravitacional, g. Pela nossa definição de potencial, o potencial gravitacional é dado pela razão

entre a energia potencial gravitacional e a massa da partícula:

( )( ) pg T

g

p

E mG

m r

rr

Como podemos ver, esse potencial depende unicamente das propriedades (a massa mT) da fonte

do campo experimentado pela partícula de massa mp e da posição onde o potencial está sendo

calculado. Como vimos antes, o potencial é uma grandeza escalar e sua unidade no Sistema

Internacional de Unidades é o J/kg.




O campo gravitacional e o potencial gravitacional são grandezas físicas intimamente relacionadas.

Conhecendo uma pode-se descobrir a outra. Para vermos isso vamos tomar a derivada do

potencial:

2

1g gT TT

d dGm md dGm G g g

dr dr r dr r r dr

eq. 70

O que a eq. 70 nos mostra é que podemos escrever o módulo do campo em uma dada posição do

espaço, denotada por r, tomando o negativo da derivada do potencial.

De uma forma geral, podemos obter uma expressão entre o potencial e o campo observando que

o trabalho infinitesimal, T, realizado pelo campo quando a partícula é deslocada por uma

distância x sob ação de uma força F, paralela à direção do deslocamento, suposto na direção x.

Esse trabalho é dado por:

.T F x F x

Tomando o limite dessa expressão, quando x vai a zero:

0 0 0

( ) ( )lim lim lim

( )

p p pCC

x x x

p

C

E E x x E xTF

x x x

dEF

dx

Observe que estamos calculando o trabalho realizado pelo campo, o qual aparece como o

negativo da variação da energia potencial do sistema.

Essa expressão pode ser generalizada, para o caso em que a força e o deslocamento têm

orientações arbitrárias pela introdução do operador gradiente. O gradiente de uma função escalar

indica a direção em que a função tem o máximo da sua variação. O gradiente de uma função

f(x,y,z) é denotado pela letra do alfabeto grego (lê-se nabla) e é dado em coordenadas

cartesianas por:

( , , ) x y z

f f ff x y z

x y z

e e e eq. 71




Observe que o operador gradiente é um vetor. Em termos desse operador, o campo gravitacional

pode ser escrito como (usando que /mg F e /g pgE m ):

g g eq. 72

Essa relação não é característica de qualquer tipo de campo, mas somente para campos

conservativos, aqueles que descrevem fenômenos onde há conservação da soma da energia

cinética com alguma forma de energia potencial. Por exemplo, o campo eletrostático também

obedece a esse critério. Já a força de atrito descreve fenômenos onde não há conservação de

energia cinética mais energia potencial, e nesse caso, não é possível associar a ele uma energia

potencial. Nesse caso, o sistema perde parte da sua energia total para a vizinhança.

A energia potencial eletrostática e o potencial eletrostático

Considerando que o campo eletrostático tem a mesma dependência com 1/r2 que o campo

gravitacional, os passos que seguimos acima para obter a energia potencial gravitacional são os

mesmos.

Para começar,o trabalho que é realizado contra a ação do campo eletrostático criado pela

partícula com carga q, situada na origem, sobre uma partícula com carga q’ ao deslocarmos a

partícula q’ entre os pontos r1 e r2, com velocidade constante é dado por (o sinal negativo vem do

fato de que a força do agente externo é o negativo da força eletrostática):

2 2 2

1 1 1

2

1

3 3 20 0 0

0 0 2 1

1 1 1 1 1 1' ' ' ' ' ' '

4 4 4 '

1 1 1 1 1' '

4 ' 4

r r

r r

r

r

T qq qq r dr qq drr r r

T qq T qqr r r

r

r

r dl

Esse trabalho, como antes ficará armazenado no sistema sob forma de energia potencial. Esse

trabalho pode ser positivo ou negativo, dependendo do sinal das cargas. Para cargas com sinais

iguais o trabalho será positivo se r2 < r1, energia foi fornecida pelo agente externo para o sistema

Cargas – Campo Eletrostático, e negativo se r2 > r1.

Como antes, se tomarmos o valor da energia potencial nulo no infinito, o trabalho para trazer uma

carga do infinito até a posição indicada pelo vetor r (r1, o ponto inicial, tomado no infinito) será

dado por:




0

0

1 '

4

1 '( ) ( ) ( )

4

r

pe pe pe r pe

qqT

r

qqE E r E W E r

r

eq. 73

Na expressão acima, escrevemos r no lugar de r2 por simplicidade.

Há uma sutileza na derivação da eq. 73 que deve ser explicitada. Observe que a definição de

trabalho executado pelo agente externo ao sistema para que a carga venha do infinito até a

posição r com velocidade constante é dada por:

2

1

30

1 1' '

4T qq

r

r

r

r dl .

O sinal negativo indica que a força aplicada pelo agente externo é oposta à força entre as cargas.

Entretanto, no integrando temos o elemento diferencial dl, que nos dá o incremento no

deslocamento desde o infinito. Se integrarmos apenas o elemento dl teremos o comprimento da

trajetória desde o infinito. Em outras palavras o elemento dl cresce do infinito em direção à

origem. Por outro lado, o elemento de comprimento dr das coordenadas esféricas cresce da

origem em direção ao infinito. Portanto, o módulo do elemento dl será dado pelo negativo do

módulo do elemento dr: dl = - dr. Consequentemente, o produto escalar que aparece no

integrando da expressão do trabalho fica:

. .( ) ( )rdl dr drr r

r r

dl e .

Como antes, podemos obter o potencial eletrostático, simbolizado por E, dividindo a energia

potencial na posição r pelo valor da carga q’ aí colocada:

0

1( )

' 4

pe

E

E q

q r

r eq. 74

Consideremos agora o que acontece com uma carga q’ colocada na posição r. Vamos supor,

inicialmente que a carga q seja uma carga positiva. Com isso o potencial eletrostático será

positivo. Se a carga q’ for igualmente positiva, sabemos que haverá uma força de repulsão entre

as duas e que a carga q’ sentirá a ação da força elétrica devida à carga q a qual a deslocará para

posições com r maior e, portanto, menor valor do potencial eletrostático. Por outro lado, se a




carga q’ for uma carga negativa, a força que ela experimentará será uma força de atração, a

deslocando para regiões com r menor e, portanto, de maior valor potencial eletrostático. A

conclusão a que chegamos é que, em uma região onde existe um campo elétrico criado por uma

carga positiva na origem, cargas positivas se movimentarão de regiões de maior valor do potencial

em direção a regiões de menor valor do potencial eletrostático e que cargas negativas se

deslocarão de regiões de menor valor do potencial eletrostático em direção a regiões de maior

valor do potencial eletrostático.

Vamos agora analisar a situação em que o potencial eletrostático é devido a uma carga negativa

colocada na origem: q = - |q|. Nesse caso o potencial eletrostático terá valores negativos. Se

colocarmos uma carga positiva na posição r, essa carga será atraída em direção à carga q,

deslocando-se, portanto, de uma região de maior valor do potencial eletrostático para uma região

de menor valor do potencial eletrostático (observe que o módulo do potencial cresce com r

tendendo a zero, mas o valor do potencial fica menor). Com uma carga negativa colocada nessa

posição ocorre o inverso: ela será repelida pela carga q indo de uma região de menor valor do

potencial eletrostático para uma região de maior valor do potencial eletrostático (porém menor

em módulo).

A conclusão de nossa análise pode ser expressa afirmando que:

Cargas positivas se deslocam de regiões de maior valor do

potencial eletrostático em direção a regiões de menor valor do

potencial eletrostático, enquanto cargas negativas se deslocam

de regiões de menor valor do potencial eletrostático em direção a

regiões de maior valor do potencial eletrostático.

Como a dependência com 1/r2 é a mesma do caso gravitacional, também no caso eletrostático

podemos obter o módulo do campo elétrico a partir da derivação do potencial em relação a r:

20 0 0

1 1 1 1( ) ( )

4 4 4

( ) ( )

E E

E

d d q d d qq

dr dr r dr r dr r

dE

dr

r r

r r

eq. 75

Como antes, o potencial depende apenas das propriedades da fonte do campo (carga elétrica) e

da distância da fonte ao ponto onde o potencial está sendo calculado.




O resultado mostrado na eq. 75, é bastante geral. Usamos na derivação acima o caso de uma

partícula como fonte do campo, daí a forma obtida e mostrada na eq. 75. Esse resultado pode ser

generalizado usando o operador gradiente (eq. 71):

( ) ( )E E r r eq. 76

O que a eq. 76 nos diz é que o campo eletrostático é simplesmente o gradiente do potencial

eletrostático, a menos de um sinal.

Superfícies equipotenciais

Chamamos de superfície equipotencial àquelas superfícies que têm o mesmo valor de potencial.

Por exemplo, considere um potencial que dependa de 1/r, ou seja, um potencial com simetria

esférica: todos os pontos com a uma mesma distância da fonte têm o mesmo potencial (a fonte é

suposta na origem, por simplicidade). Nesse caso, as superfícies equipotenciais são esferas com

centro na fonte do campo

Cada ponto de uma superfície equipotencial é sempre perpendicular ao campo. Isto pode ser visto

a partir do seguinte argumento: como as superfícies equipotenciais são superfícies onde o

potencial é constante, a variação do potencial deve ser sempre perpendicular à superfície. Como a

variação do potencial (a menos de um sinal) nos dá o campo (eq. 76) então o campo é

perpendicular à superfície equipotencial.

Figura 81 – Exemplo de superfície equipotencial para o caso de simetria esférica.

Potencial devido a uma distribuição de partículas carregadas ou partículas pontuais com massa

Consideremos agora o que acontece com o potencial para uma distribuição de partículas de massa

mj ou carga qj. Como o potencial é derivado do campo, através do trabalho realizado contra a ação

do campo, uma hipótese plausível é de que o potencial herde a propriedade do campo expressa

Fonte do

campo

Superfície

equipotencial




pelo princípio da superposição. Por essa hipótese, o potencial em um dado ponto do espaço,

criado por um conjunto de N cargas, é dado pela soma dos potenciais criados por cada uma das

cargas na posição indicada pelo vetor r. Assim, podemos escrever:

1 1

( )N N

j

j Cj j

q

r

r

Nessa expressão, j(r) é o potencial criado pela j-ésima carga na posição r.

No caso de termos um corpo extenso, substituímos a soma pela integral sobre o volume do corpo

extenso e a carga qj pela densidade de carga dq’ = (r’)d3r’ [(r’) é a densidade de carga ou massa

na posição denotada pelo vetor r’]:

3( ')( ) '

| '|C

V

d r

r

rr r

53 eq. 77

Observe que esse é o mesmo procedimento que seguimos para calcular o campo criado por um

corpo extenso. Caso o corpo extenso seja uma superfície ou uma linha, a integral deve ser

modificada de acordo.

Exemplo 15: o cálculo do potencial eletrostático a uma distância r de uma esfera

uniformemente carregada ((r’) = = constante).

Vamos calcular o potencial eletrostático a uma distância r do centro de uma esfera carregada

uniformemente, para r > R. A situação é ilustrada na Figura 82.

Para uma esfera carregada com uma carga Q, sabemos que a força elétrica exercida por ela sobre

uma partícula com carga q, para pontos fora da esfera, pode ser escrita como se toda a carga da

esfera estivesse concentrada no seu centro:

20

1

4e

Qq

r r

rF .

Portanto, o trabalho que seria realizado para trazer a partícula com carga q desde o infinito até a

posição r, com velocidade constante, contra a ação da força eletrostática, é dado por:

53

d3r’ é o elemento de volume infinitesimal em torno da posição r’.




.T

r

r eF dl

Como a força eletrostática é conservativa, o trabalho realizado é independente da trajetória

seguida pela partícula. Sem perda de generalidade, podemos tomar como a trajetória seguida pela

partícula uma reta do infinito até a posição localizada pelo vetor r (veja a Figura 82). Nesse caso, o

elemento de comprimento dl ao longo da trajetória é, em módulo, igual a dr, o elemento

diferencial de comprimento ao longo da direção r/r. Então, o trabalho realizado para trazer a

partícula desde o infinito será dado por:

2 20 0

0 0

0

1 ' 1 '. lim . ' lim

4 ' ' 4 '

1 1 1 1 1lim lim

4 ' 4

1( ) ( )

4

r r

a aa a

r

a aa

pe p p

Qq drT Qq

r r r

T Qq Qqr r a

QqT E E E

r

r

r e

r

r

rF dl dr

r

Figura 82 – Esfera carregada na origem.

Novamente, tomando a energia potencial no infinito com valor zero, a energia potencial na

posição r (que corresponde à variação na energia potencial que fica armazenada no sistema) será

dada por:

Q

Infinito

Trajetória da

partícula.

r

q Esfera carregada.

Elemento dr.

Elemento dl.




0

1( ) ( )

4p p

QqE T E

r

rr r

Observe que essa expressão é somente válida para pontos fora da esfera. Essa é a mesma

expressão obtida para a partícula na origem. O potencial eletrostático será dado então por:

0

1

4

p

E

E Q

q r

Uma situação particular, é quando estamos exatamente sobre a superfície da esfera. Nesse caso: r

= R e a expressão para o potencial eletrostático fica:

0

1

4E

Q

R

É esse valor do potencial sobre a superfície que determinará o fluxo de cargas entre duas esferas

se as colocarmos em contato. Considere a situação mostrada na Figura 83.

Figura 83 – Duas esferas carregadas conectadas por um fio condutor.

Nessa figura, mostramos duas esferas de raios R1 e R2, as quais possuem cargas Q1 e Q2,

respectivamente. Vamos considerar, por simplicidade, que as cargas nas duas esferas sejam

positivas. Portanto, o potencial eletrostático na superfície de cada uma das esferas será dado por:

1

1 2

2

1

0 1

2

0 2

1

4

1

4

R

R R

R

Q

R

Q

R

Por hipótese, vamos supor que o potencial sobre a superfície da esfera com raio R1 seja maior do

que o potencial sobre a superfície da esfera com raio R2.

R1

R2

Q2

Q1

Fio condutor




Como vimos anteriormente, cargas positivas se deslocarão de posições com maior valor do

potencial eletrostático para posições de menor valor do potencial eletrostático enquanto cargas

negativas se deslocarão de regiões de menor potencial em direção a regiões de maior potencial.

Considerando que em sólidos as cargas livres são os elétrons, se por hipótese o valor do potencial

eletrostático na superfície da esfera de raio R1 é maior do que o valor do potencial eletrostático na

superfície da esfera de raio R2, então haverá inicialmente um fluxo de carga (elétrons) da esfera de

raio R2 para a esfera de raio R1. A consequência desse movimento de cargas será a diminuição da

carga na esfera que recebe a carga elétrica, diminuindo, portanto, o valor do potencial

eletrostático sobre a sua superfície (já que está recebendo cargas negativas), e o aumento da

carga elétrica na esfera que está perdendo as cargas (já que ao perder elétrons fica mais positiva),

a esfera R1, com a conseqüente diminuição do valor do potencial eletrostático sobre a sua

superfície. À medida que o tempo passa, haverá igualdade nos potenciais sobre as duas esferas e o

movimento de cargas cessará. Essa é a situação de equilíbrio.

Observe que a condição de equilíbrio implica em igualdade do valor do potencial eletrostático

sobre a superfície das duas esferas, não do valor da carga elétrica nas duas esferas. Essa condição

final é expressa por:

1 2

1 2 1 1

0 1 0 2 2 2

1 1

4 4

f f f

R R

f

Q Q Q R

R R Q R

Nessa expressão, Q1f e Q2f são, respectivamente as cargas no final do processo de transferência de

cargas nas esferas de raios R1 e R2. As cargas finais somente serão iguais se R1 = R2.

Exemplo 16: Energia e o potencial devido a quatro cargas

Vamos calcular a energia potencial de um sistema de quatro cargas pontuais colocadas nos

pontos: r1 = 0.; r2 = 2i; r3 = 2j; r4 = 2k.

Método 1 – Cálculo a partir do trabalho realizado para trazer cada uma das cargas a partir do infinito.

Carga 1 – T1

Para trazer essa carga e colocá-la na posição r1 = 0. não realizamos trabalho algum, pois não há

cargas presentes no sistema. Logo:

T1 = 0.




Carga 2 – T2

Para trazer a carga 2 e colocá-la na posição r2 = 2i o trabalho realizado é dado por:

2 21 22 3

0

( '). .

4 '

q qT

r r r rF dl dl

r r

Vamos escolher como trajetória para trazer a carga do infinito até a posição r2 = 2i o eixo x. Desse

modo, temos que:

; ' 0 'x x

dx

r i r r r r i

dl i

Logo, o trabalho realizado pelo agente externo para trazer a carga do infinito até a posição final

será dado por:

22 2

2

2 3 3

0 0

2 22 2

2 3 3

0 0

22 22

2 20 0

( ') ..

4 4' '

( ).( )

4 4

1

4 4

x

x x

x

q qT

q x dx q xdxT

x

q dx qW

x x

r r r r dldl

r r r r

i i

r

2

2

08

qT

eq. 78

Carga 3 – T3

Para trazer a carga 3 do infinito até a posição r3 = 2j temos que realizar trabalho contra a carga 1

colocada na origem e contra a carga 2 já colocada na posição r2 = 2i. Vamos escolher como

trajetória para trazer a carga 2 o eixo y. Então: T3 = T13+T23.

O trabalho contra a carga 1, é igual ao que foi realizado para trazer a carga 2 desde o infinito:

2

13

08

qT

Já o trabalho realizado contra a força produzida pela carga 2 será dado por:




2 22 323 23 3

0

( '). .

4 '

q qT

r r r rF dl dl

r r

Agora, contudo:

; ' 'y x y x

dy

r j r i r r j i

dl j

Logo, o trabalho para trazer a carga 3 desde o infinito contra a força da carga 2 será dado por:

2 2

2 2

23 3 3/22 2

0 0

( ).( )

4 4

q y x q ydyT dy

y x y x

r rj ij

j i

A integral que aparece nessa equação é do tipo: 2 2 3/2 2 2 1/2

1 uma constante

( ) ( )

xdxa

x a x a

.

Portanto, podemos escrever o trabalho T23 como:

2 2

2

23 1/22 2

0

2 2

23 231/22 2

0 0

1

4

1 1

4 4 8

y

qT

y x

q qT T

y x

r

O trabalho total para trazer a carga 3 do infinito será então dado por:

3 13 23T T T

2 2

3

0 0

1

8 4 8

q qT

eq. 79

Carga 4 – T4

Por fim, vamos calcular o trabalho realizado para trazer a carga 4 desde o infinito, ao longo do eixo

z contra as cargas 1, 2 e 3. Por simetria, esse trabalho é similar ao calculado anteriormente:

T4 = T14 + T24 + T34

O trabalho devido à carga 1 será dado por:




2

14

08

qT

O trabalho devido à carga 2 e o devido à carga 3 serão iguais, dados por:

2

24 34

0

1

4 8

qT T

O trabalho T4 será então dado por:

2 2 2 2

4

0 0 0 0

1 12

8 84 8 2 8

q q q qT

eq. 80

A variação da energia potencial total será então dada por:

1 2 3 4pE T T T T

2 2 2 2 2

0 0 0 0 0

2 2

0 0

2

0

1 1

8 8 84 8 2 8

3 3

8 8 2

3 11

8 2

p

p

p

q q q q qE

q qE

qE

2

0

3 2 1

8 2p

qE

eq. 81

Método 2 - Usando o conceito de potencial

Vamos agora calcular a energia potencial do sistema usando a ideia de potencial. Vimos que o

potencial nos dá, em cada posição do espaço, a energia potencial por unidade de carga, quando

uma carga for colocada naquela posição.

Vimos ainda que o potencial em um dado ponto do espaço é uma quantidade aditiva: o potencial

em um ponto é a soma dos potenciais criados por cada carga naquela posição.

O potencial criado por uma carga q a uma distância r é dado por:




0

1( )

4q

qr

r

Vamos usar essa equação e calcular o potencial criado por cada uma das cargas na posição

ocupada pelas outras cargas.

Carga fonte: carga 1 localizada na origem

Os potenciais criados pela carga 1, nos pontos onde se localizam as cargas 2, 3 e 4, são iguais já

que elas estão a uma mesma distância da carga 1:

1 1 12 3 4

0 0

1( ) ( ) ( )

4 2 8q q q

q qr r r

Carga fonte: carga 2 localizada na posição r = xex

O potencial que essa carga cria na origem é dado pela mesma expressão anterior:

2 1

0

( 0)8

q

qr

Já os potenciais criados por essa carga nas posições r3 e r4 são iguais e são dados por:

2 23 4

0

( ) ( )4 8

q q

qr r

Carga fonte: carga 3 localizada na posição r = yey

Pela simetria do problema, o potencial criado por essa carga na origem e nas posições r2 e r4 são

iguais aos criados pela carga 2 e são dados por:

3 1

0

( 0)8

q

qr

3 32 4

0

( ) ( )4 8

q q

qr r

Carga fonte: carga 4 localizada na posição r = zez

Novamente, podemos usar a simetria envolvida para escrever os potenciais:




4 1

0

( 0)8

q

qr

4 42 3

0

( ) ( )4 8

q q

qr r

Podemos então escrever os potenciais em cada uma das posições:

1 1

0 0 0 0

2 3 4

0 0 0 0

3( 0) ( 0)

8 8 8 8

1 1( ) ( ) ( ) 2

8 84 8 2 8

q q q qr r

q q q qr r r

E a energia potencial do sistema será dada por:

2 2 2

0 0 0

1 3 13

2 8 8 2 8p

q q qE

Observe o fator ½. Esse fator aparece porque calculamos o potencial para cada par de cargas duas

vezes. Por exemplo: calculamos o potencial devido à carga 1 na posição da carga 2 e vice-versa.

Contudo, a energia potencial existe por que a carga 1 está na posição r1 e a carga 2 está na

posição r2. O mesmo acontece com os pares de cargas que calculamos. Logo, a variação na

energia potencial do sistema, em relação à situação em que todas as cargas estavam no infinito

será dada por:

2 2 2

0 0 0

2

0

3 3 3 11

4 42 8 2

3 2 1

4 2

p

p

q q qE

qE

2

0

3 2 1

8 2p

qE

eq. 82

Essa é a mesma eq. 81.

Exemplos de cálculo do potencial criados por corpos extensos




Potencial e campo gravitacional devidos a um anel de massa m.

Vamos calcular o potencial e a seguir o campo devido a um anel de matéria, de raio R,

caracterizado por uma distribuição uniforme de massa () em um ponto ao longo do eixo do anel,

caracterizado pela coordenada z. A situação é mostrada na Figura 84.

Figura 84 - O anel de matéria.

O potencial devido a um pequeno elemento de comprimento dl’ com massa dm’ no ponto sobre o

eixo z é dado por:

'

'

dmd G

r r

O módulo entre o ponto localizado pelo vetor r’ e o ponto sobre o eixo z é dado por:

1/2

2 2' R z r r

Logo, o potencial total é dado pela integral ao longo do anel de matéria:

2

1/2 1/202 2 2 2

2

1/2 02 2

1/2 1/22 2 2 2

' '

'

2 ; 2

R

R

dm dld G G

R z R z

G dlR z

MG R G M R

R z R z

Nessa expressão foi usado que M = (2R) é a massa do anel.

R

z

r

r'

dl'




Podemos agora, usando a expressão para o potencial calcular o campo gravitacional, a partir do

cálculo do gradiente desse potencial. O gradiente do potencial em coordenadas cartesianas é dado

por:

x y zx y z

e e e

Como a expressão do potencial depende apenas da variável z, as duas primeiras derivadas são

nulas. Logo:

1/2 1/22 2 2 2

3/22 2

1

1 12

2

z z z

z

MG GM

z z zR z R z

GM zR z

g e e e

g e

3/2

2 2z

zGM

R z

g e eq. 83

Vamos analisar esse resultado em dois limites interessantes.

Limite 1 – z = 0.

Nesse caso, estamos no centro do anel e nessa posição o campo deve ser nulo, pois elementos de

comprimento opostos exercem atração gravitacional sobre a mesma reta, porém em sentido

contrário. Nesse caso a eq. 83 nos dá g = 0, o que está de acordo com o esperado.

Limite 2 – z

Nesse caso a eq. 83 nos dá:

3/2 22 2

lim z zz

z GMGM

zR z

g e e .

Esse é o campo de uma partícula de massa M colocada na origem, que seria o resultado esperado

pois, à medida que nos afastamos do anel, este fica cada vez mais parecendo um ponto na origem.




Cálculo do campo e do potencial criados por um disco uniformemente carregado sobre o eixo do disco.

A situação é similar à mostrada na Figura 85.

Figura 85 - Disco uniformemente carregado.

Nesse caso o potencial criado por um elemento de área dS localizado pelo vetor r’ na posição

localizada pelo vetor r = z k é dado por:

2 2 1/20 0

1 ' 1

4 ' 4 ( ' )

dq dSd

z r

r r

Nessa expressão dq’ é o elemento de carga no elemento de área dS.

Esse problema é um pouco mais complicado que o anterior, pois o vetor r’ varia tanto em módulo

como em orientação. Vamos usar um sistema de coordenadas polares. Nesse sistema, o vetor r’

está na direção er e o elemento de área é escrito como: dS rdrd . Como no caso anterior, o

módulo de r – r’ é dado por: 1/2

2 2' 'r z r r . O ângulo é o ângulo polar entre o vetor r’ e o

eixo x.

O potencial no ponto considerado será dado então por:

1/22 2

0

1/22 2

0

1

4 '

4 '

dSd

r z

dS

r z

R

z

r

r'

dS

r - r’




Essa é uma integral de dupla. Ela recebe esse nome porque a integração é feita sobre duas

variáveis: r e . Sobre a área do disco a variável r’ varia entre 0 e R enquanto que a variável varia

entre 0 e 2. A integral então deve ser escrita como duas integrais calculadas em sequência:

2

1/22 2

0 0 04 '

Rrdr

dr z

Observe que no integrando a variável angular não aparece. Primeiro calculamos a integral mais

externa e depois a mais interna. A integral mais externa nos dá simplesmente um fator 2:

1/2

2 20 0

2

4 '

Rrdr

r z

A integral na parte radial (variável r) nos dá (ver Tabela Schaum 14.183):

1/2 1/22 2 2 2

00 0

2 2'

4 4

R

r z R z z

Vamos agora calcular o campo devido a essa distribuição de carga. Novamente, o potencial

depende apenas da coordenada z.

Portanto:

1/22 2

0

1/22 2

0

1/22 2

0

2

4

2 1 12 1

4 2

12

z z

z

z

R z zz z

zR z

z

R z

E e e

E e

E e

Vamos analisar agora três casos limites dessa expressão: o caso do plano infinito (tomando R indo

ao infinito ou o ponto z tendendo a zero), o caso de um ponto infinitamente distante (z tendendo

ao infinito) e o caso de z >> R (caso em que o disco se aproxima de um ponto).




Caso 1 – O plano infinito

Um caso limite desse resultado é o plano infinito. O plano infinito é obtido tomando-se o limite de

R ou z 0. No primeiro caso, R , obtemos:

1/2

2 20 0

lim 12 2

R z zR

z

R z

E e e

Que é o resultado que obtivemos anteriormente (seção 7 do Capítulo 4).

O segundo caso, z 0, obtemos:

0 01/20 2 2

0 0 0

lim 1 ( 1)2 2 2

z z z z zz

z

R z

E e e E e

Que é novamente a expressão do campo do plano infinito.

Caso 2 – o ponto z infinitamente distante do disco carregado.

Nesse caso:

01/2

2 20 0

lim 1 ( 1) 0.2 2

z z z zz

z z

zR z

E e e E

Novamente o resultado está de acordo com o que esperaríamos: para o ponto infinitamente

afastado do disco a interação elétrica entre os dois é nula e, portanto, o campo deveria ser zero.

Caso 3 – o ponto z está muito longe do disco carregado: z >> R

Nessa situação, quando estamos muito longe do disco, este se parecerá cada vez mais com um

ponto e deveremos obter o campo de uma partícula com carga q colocada na origem:




1/2 1/222 20 0

2

1/220

2

1 12 2

1

11

21

z R z z

z R z

z z

RR z zz

Rz

E e e

E e

Como z >> R podemos expandir em série a fração dentro do colchete usando a seguinte

expressão:

1 1 ( 1)x x x

No nosso caso, = - ½ e x = R2/z2. Usando esse resultado, podemos escrever a expressão para o

campo elétrico como:

2

1/2 220 0

2

2 2

2 20 0

1 11 1 1

2 2 21

1

2 2 4

z R z z

z R z z

R

zRz

R R

z z

E e e

E e e

A densidade superficial de carga pode ser escrita como: 2

q

R

(q a carga total no disco e R2 a

área do disco. Logo:

2 2

2 2 2 20 0 0

1 1

4 4 4z R z z z R z

R R q q

z z R z

E e e E e .

Este é o campo de uma partícula pontual com carga q colocada na origem, como esperado.




Cálculo do campo e do potencial criados por um cilindro uniformemente carregado sobre o eixo do cilindro.

Vamos calcular o potencial eletrostático ao longo do eixo de um cilindro uniformemente

carregado com uma densidade de carga . Veja a Figura 86.

Figura 86 – O cilindro uniformemente carregado.

Considerando a geometria desse problema, o sistema de coordenadas mais adequado é o sistema

de coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, as componentes são dadas pelas variáveis (a

distância perpendicular do ponto ao eixo do z), o ângulo ’ (tomado como sendo o ângulo entre a

o segmento de reta que vai da origem até a projeção do ponto no plano (x,y)) e a própria

coordenada z do sistema cartesiano de unidades. Para o cilindro que estamos considerando, o

intervalo de variação dessas coordenadas para o vetor r’, que localiza os pontos do cilindro, é

dado por:

0 '

0 ' 2

0 '

R

z L

O vetor que localiza o ponto onde queremos calcular o potencial é dado por: r = zez. Desse modo,

o potencial no ponto P será dado por:

z

x

y

z

P

z

r'

Elemento de

volume d3v

Ângulo ’

R

z

L

z

'

z'

z

r- r'

r




0

31( )

4

( ')'

'd v

rr

r r eq. 84

Vamos escrever o módulo que aparece no denominador:

2 2' ' 2 'r r r r r.r.

O produto escalar dos dois vetores é dado simplesmente por: r.r’ = zz’ e o módulo do vetor r’ ao

quadrado pode ser escrito como: r’2 = ’2 + z’2 (veja a Figura 86). Desse modo, o integrando que

aparece na eq. 84 pode ser reescrito como:

3 3

2 2 2 20 0

3

2 2 20

1 ( ') 1( ) ' '

4 4' 2 ' ' 2 '

1( ) '

4 ( ' ' ) 2 '

d v d vr r r r

d vz z zz

rr

r.r r.r

r

Observe que a densidade de carga foi retirada da integral já que, por hipótese, é constante.

A integral acima é o que os matemáticos chamam de uma integral tripla. Ela deve, de fato, ser

entendida como uma soma sobre todo o volume do cilindro. Para poder calculá-la devemos

escrever o elemento de volume em coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, o elemento de volume

é dado por: 3 ' ' ' ' 'd v d d dz 54.

Logo, a integral sobre o volume do cilindro será escrita como:

2

0 0 0 2 2 20

2

0 0 0 2 2 20

1( ) ' ' ' '

4 ( ' ' ) 2 '

1( ) ' ' ' '

4 ( ' ' ) 2 '

L R

L R

d d dzz z zz

d dz dz z zz

r

r

Em uma seqüência de integrais desse tipo, devemos calcular cada integral, a partir da integral mais

à direita, observando a variável de integração, supondo que as outras variáveis são constantes.

Assim, na integral mais interna a variável de integração é ’ e as outras variáveis (’ e z’) são

constantes. Observe que z, a coordenada do ponto onde o potencial está sendo calculado é uma

constante do ponto de vista da integral.

54

A origem dessa expressão você verá no curso de Cálculo.




Para podermos calcular a integral em ’ devemos trabalhar um pouco o denominador, de modo a

colocar a integral em uma forma que podemos encontrar em tabelas de fórmulas matemáticas:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

( ' ' ) 2 ' ' 2 ' '

( ' ' ) 2 ' ( ') ' '

( ')

z z zz z z zz

z z zz z z y

y z z

Logo, a integral pode ser escrita como:

2

1/20 0 0 2 20

'( ) ' ' '

4 '

L R

d dz dy

r

Esta é uma integral tabelada: 2 2 1/2

2 2 1/2( )

( )

xdx a x

a x

. Usando esse resultado:

2

1/20 0 0 2 20

2 1/22 2

0 0 00

2 1/22 2

0 00

'( ) ' ' '

4 '

( ) ' ' '4

( ) ' '4

L R

RL

L

d dz dy

d dz y

d dz y R y

r

r

r

Devemos agora resolver a integral na variável z’ (contida dentro do fator y). Essa integral é mais

facilmente solucionada se observarmos que:

1 ''

dydz dy

dz

Usando esta igualdade, podemos reescrever a integral na variável z’ como uma integral na variável

y. Essa técnica de reescrever integrais se chama técnica de substituição de variáveis. Observe

também que, se mudamos da variável z’ para a variável y, os limites de integração devem ser

mudados também:

' 0 '

' '

z y z z z

z L y z z z L

Logo, a integral do potencial se escreve:




2 1/22 2

00

( ) '4

z L

zd dy y R y

r

21

2

00

1/22 2( ) '4

II

z Lz Ldzz

ydyy R dy

r

eq. 85

A segunda dessas integrais, I2, é trivial:

2 2 22 2 2

2 0 0 00 0 0

2 2 2 22 2

2 000 0

2 2

2

0

( )' ' '

4 4 2 4 2 2

( ) ( )' '

4 2 2 4 2 2

( )2

4 2 2

z Lz L

zz

y z L zI d ydy d d

z L z z L zI d

z L zI

2 22

0

( )4

I z L z

eq. 86

Observe que retiramos o termo no colchete para fora da integral em ’, pois nele não aparece a

variável de integração.

Vamos agora analisar a primeira das integrais na eq. 85 (I1). Essa é uma integral do tipo (tabelada):

22 2 1/2 2 2 1/2 2 2 1/2( ) ( ) ln ( )

2 2

x ax a dx x a x x a

Portanto, a primeira integral da eq. 85 se escreve:

2 1/22 21 0

0

22 1/2 1/22 2 2 2

1 00

'4

' ln4 2 2

z L

z

z L

z

I d y R dy

y RI d y R y y R

221/2 1/22 2 2 2

1 00

21/2 1/22 2 2 2

1

0

ln '4 2 2

ln 24 2 2

z L

z

z L

z

y RI y R y y R d

y RI y R y y R




21/2 1/22 22 21

0

21/2 1/22 2 2 2

ln4 2

ln2

RI z L z L R z L z L R

Rz z R z z R

Usando os resultados para I1 e I2, podemos escrever o potencial no ponto z como:

21/2 1/22 22 21 2

0

21/2 1/22 2 2 2 2 2

0

( ) ln4 2

ln ( )2 4

RI I z L z L R z L z L R

Rz z R z z R z L z

r

Este resultado, após certa dose de manipulação algébrica, pode ser simplificado e reescrito como:

1/2 1/22 2

2 2

0

1/2

2

2

1/2

2

( )4 2 2 2 2

2 2ln 2

2 2

L L L Lz R z z R z

L LR z z

R zLL L

R z z

r

Energia potencial eletrostática

Vamos supor que tenhamos uma distribuição de cargas no espaço caracterizada por certa

densidade de carga .

Desse modo, se tomamos dois elementos de volume dv’ e dv, caracterizados por densidades de

carga (r’) e (r), respectivamente, teremos uma contribuição para a energia potencial Ep por

conta da interação desses dois elementos de volume dada por:

3 3

0

1 ( ') ( )'

4 'pE d v d v

r r

r r

Portanto a energia potencial total devido à carga localizada na posição r (que chamaremos por

dEp) será dada pela soma dessa quantidade sobre todo o espaço. Essa soma nos dará a

contribuição para a energia potencial por conta da interação de todos os pares de cargas

localizadas nas outras posições do espaço (diferentes da posição r) com as cargas localizadas

nessa posição:




3 3

0

1 ( ')' ( )

4 'p pdE E d v d v

rr

r r

Figura 87 – Distribuição de cargas

Colocamos o colchete para indicar claramente que estamos somando sobre todo o espaço,

indicado pelo elemento de volume d3v’. Nossa variável de integração é a variável r’.

A energia potencial total do sistema será dada pela soma em todo o espaço da contribuição para

energia potencial de cada carga localizada pelo vetor r. Lembre que ao somarmos sobre todo o

espaço deveremos multiplicar por um fator ½ já que ao somarmos sobre todo o espaço

contaremos duas vezes o mesmo par. Logo:

3 3

0

3 3

0

1 1 ( ')' ( )

2 4 '

1 1 ( ')( ) '

2 4 '

p p

p

E dE d v d v

E d v d v

rr

r r

rr

r r

A segunda das integrais que aparece nessa expressão é simplesmente a equação para o potencial

devido às cargas localizadas pelo vetor r2 na posição localizada pelo vetor r:

3

0

1 ( ')( ) '

4 'd v

r

rr r

r1

r2

Elemento de volume dv’ com

densidade de carga ’.

Elemento de volume dv com densidade

de carga .




Portanto, a energia potencial pode ser escrita como:

31( ) ( )

2pE d v r r eq. 87

Lembre que essa integral (soma) é realizada em todo o espaço.

Para podermos prosseguir, precisamos definir o divergente de um campo vetorial e enunciar o

Teorema da Divergência de Gauss55.

Definição – Divergente de um campo vetorial

Definimos por divergente de um campo vetorial C, em coordenadas cartesianas, à quantidade:

. yx zCC C

x y z

C

Nessa expressão, Ci são as componentes do vetor C. Observe que esta quantidade é uma

quantidade escalar. O divergente é uma quantidade relacionada com o fluxo de um campo

vetorial. Um campo com fluxo zero terá divergente nulo.

Teorema da Divergência de Gauss

Seja um volume V limitado por uma superfície S. Nesse volume temos um campo C. O Teorema da

Divergência de Gauss nos diz que a integral sobre o volume V do divergente do campo C é igual à

integral de C.n sobre a superfície S (n o vetor unitário normal a S):

3. .V S

d v dS C C n

Figura 88 – Volume e superfície para o Teorema da Divergência de Gauss.

55

Não demonstraremos aqui esse teorema. Isso será feito no curso de Cálculo.

V

Superfície S.

Campo C.




Usando o Teorema da Divergência de Gauss podemos mostrar que a Lei de Gauss pode ser escrita

em função do divergente do campo eletrostático. Para mostrar isso, primeiro vamos usar o

Teorema da Divergência de Gauss para escrever a Lei de Gauss:

0

.S

qdS

E n

em uma forma que envolva o divergente do campo elétrico. Para obter esse resultado vamos

aplicar o Teorema da Divergência de Gauss no lado esquerdo da Lei de Gauss:

3. .S V

dS d v E n E

No lado direito da Lei de Gauss, podemos reescrever a carga líquida que há dentro da superfície

gaussiana, q, como uma integral sobre o volume V limitado pela superfície S:

3( )V

q d v r

Usando esses dois resultados, a Lei de Gauss pode ser reescrita como:

3 3

0

( ).

V V

d v d v

r

E

O que essa última expressão nos mostra é que a soma do divergente do campo elétrico em cada

ponto do espaço (a integral no lado esquerdo dessa equação) deve ser igual à soma da densidade

de carga em cada posição dividida por 0 (a integral no lado direito). O volume V sobre o qual a

integração está sendo tomada é qualquer. Portanto, a única forma pela qual essa igualdade pode

ser sempre verdadeira é se os integrandos forem iguais.

Então, podemos escrever que:

0

.

E eq. 88

Vamos agora usar esse resultado para reescrever a equação eq. 87. Vamos usar a equação eq. 88

para substituir a densidade de carga pelo divergente do campo elétrico:




3 30

30

1 1( ) ( ) . ( )

2 2

. ( )2

p

p

E d v d v

E d v

r r E r

E r

O integrando pode ser reescrito da seguinte maneira56:

2

.( ) . . . .

.( ) .E

EE E E E E E

E E.

Usando esse resultado na expressão da energia potencial:

2 30

2 3 30 0

.( )2

.( )2 2

p

p

E E d v

E E d v d v

E

E

Podemos usar agora o teorema da Divergência de Gauss para transformar a segunda dessas

integrais em uma integral de superfície:

3 .S

d v dS E E

.

Vamos analisar melhor essa expressão. A integral no lado esquerdo dessa igualdade é sobre todo

o espaço. Ou seja, os limites de integração se estendem até o infinito. Portanto, a superfície que

limita esse volume (S) se encontra no infinito. No infinito o potencial é nulo, assim como o campo

eletrostático. Logo, o integrando do lado direito é zero sobre toda a superfície S e,

consequentemente, a integral sobre essa superfície vale zero.

Finalmente, podemos escrever a forma final da energia potencial do sistema:

30 .2

pE d v

E E eq. 89

A quantidade 0 .2

E E é a densidade de energia eletrostática em cada elemento de volume do

espaço.

56

E E .




Outro exemplo de cálculo da energia potencial: o oscilador harmônico

Um sistema interessante e que serve de modelo a muitos sistemas físicos é o chamado oscilador

harmônico. O oscilador harmônico consiste de uma mola na qual está ligado um objeto de massa

m. O conjunto todo está sobre uma mesa (veja a Figura 89).

Na formulação mais simples do oscilador, a superfície de contato entre o objeto e a mesa suporte

não tem atrito. O atrito com o ar também é desprezado. Essa configuração é chamada de

oscilador harmônico simples. Quando levamos em conta as perdas por dissipação, temos o

oscilador harmônico amortecido e quando levamos em conta fluxos de energia da vizinhança para

o sistema, temos o caso do oscilador harmônico forçado. Nos deteremos no oscilador harmônico

simples.

Se deslocarmos o objeto preso à mola de certa distância x em relação à posição de equilíbrio,

aparecerá na mola uma força, chamada de força restauradora, cujo sentido é sempre oposto ao

da velocidade do objeto preso à mola, fazendo com que o sistema volte para a posição de

equilíbrio. A distância entre a posição de equilíbrio e a posição do objeto em qualquer instante, x

= x – x0, é chamada de elongação.

Figura 89 – O oscilador harmônico. (a) Posição de equilíbrio; (b) Posição onde a

elongação é máxima.

A elongação máxima, entendida como a máxima distância da posição de equilíbrio, é chamada de

amplitude do movimento (A). O tempo que o oscilador gasta para um ciclo completo, ou seja, para

retornar ao mesmo estado dinâmico, entendido como a mesma posição e a mesma velocidade

(em módulo, direção e sentido) é chamado de período da oscilação (simbolizado pela letra grega

). O inverso do período é a frequência da oscilação (simbolizada pela letra f): f = 1/. A frequência

nos informa quantas oscilações o oscilador completa em cada segundo. A unidade de frequência

no Sistema Internacional de Unidades é o s-1 Hz (lê-se Hertz).

(a) (b)

Força restauradora




Pode-se mostrar que a força restauradora, Fr, é proporcional à elongação da mola: xk x F e . A

constante k é chamada de constante da mola. Se escolhermos um sistema de referências cujo zero

seja a posição de equilíbrio do oscilador então essa equação se reduz a:

Esta expressão é conhecida por Lei de Hooke57.

Figura 90 – Sentido da força sobre o objeto preso à mola em três posições ao longo de

sua trajetória.

A ação da força restauradora produz um tipo de movimento chamado de periódico. Vamos

analisar o movimento do oscilador a partir do momento em que o objeto preso à mola é solto na

posição de elongação máxima x(t) = A (painel a da Figura 90).

Quando o objeto é solto a força restauradora tem o sentido oposto ao sentido positivo do eixo dos

x. O objeto, que inicialmente tinha velocidade nula, adquire velocidade, acelerado pela força

restauradora. À medida que o objeto se aproxima da posição x = 0 a força restauradora diminui,

até atingir o valor nulo quando o objeto está nessa posição (painel b da Figura 90). Nessa posição

o objeto tem o valor máximo do módulo da velocidade. Ao passar pela posição de equilíbrio

ocorre uma inversão no sentido da força restauradora já que agora a mola está sendo comprimida

pelo objeto. À esquerda do ponto x=0, a força restauradora tem sentido dos valores positivos de x,

desacelerando o objeto até que este atinja a posição de elongação máxima x = -A, quando então

sua velocidade será nula novamente (painel c da Figura 90).

Agora o objeto será novamente acelerado em direção à posição de equilíbrio, aumentando o

módulo da sua velocidade e diminuindo o módulo da força restauradora. Novamente, ao passar

57

Robert Hooke, Físico e Filósofo inglês (1635 – 1703).

xkx F e . eq. 90

A - A 0

a

- A 0 A

Fr Fr = 0

b

- A 0 A

c

Fr

x x x v = 0

v = 0

v = vmáx




pela posição de equilíbrio, sua velocidade será máxima e a força restauradora será nula.

Imediatamente após passar a posição de equilíbrio, a mola começa a ser esticada e a força

restauradora reaparece, porém agora com sentido contrário, apontando no sentido dos valores

negativos de x, desacelerando o objeto preso à mola. O movimento prosseguirá até a posição de

elongação máxima no lado positivo do eixo x quando então a velocidade será nula e a força

restauradora máxima, em módulo.

Este movimento cíclico do objeto prosseguirá indefinidamente já que não temos dissipação da

energia fornecida inicialmente ao sistema pelo agente externo que esticou a mola inicialmente.

Teremos uma troca constante entre a energia cinética do objeto e a energia potencial armazenada

no sistema Objeto – Mola.

A força restauradora é a única força que atua no objeto ligado à mola. Podemos obter uma

expressão para a função posição do objeto usando a Segunda Lei de Newton:

resultante

2

2

2

2

( )0 0

( )0

r

d x tkx ma ma kx m kx

dt

d x t kx

dt m

F F

22 20 02

( )0

d x t kx

dt m

eq. 91

A quantidade 0 é chamada de frequência natural de oscilação. A razão para esse nome ficará

mais clara em breve. A eq. 91 é um tipo de equação diferencial ordinária. A solução de uma

equação diferencial é uma função. No caso do oscilador, a função x(t) que nos dá a posição do

oscilador em cada instante de tempo é58:

0( ) cos( )x t A t eq. 92

A quantidade 59 é chamada de fase. Essa quantidade está relacionada com nossa escolha para a

origem da contagem do tempo. Por exemplo, vamos supor que escolhemos o instante de tempo t

58

Não estamos nem justificando e tampouco derivando essa equação. Apenas apresentando qual é o resultado. O estudante terá

oportunidade de derivar esse resultado em cursos mais adiantados.

59 Letra delta minúscula do alfabeto grego.




= 0 como sendo o instante de tempo em que o oscilador estava na posição de elongação máxima

em x = A (no lado positivo do eixo x). Então:

0 00

( ) cos( ) cos( .0 )

cos( ) 1 0

tx A

x t A t A A

Portanto, para essa escolha da origem da contagem do tempo, a equação que descreve a posição

do oscilador harmônico é dada por:

0( ) cos( )x t A t

Naturalmente, para que o oscilador comece seu movimento periódico, algum agente externo deve

distender a mola a partir da sua posição de equilíbrio até o ponto de elongação máxima exercendo

uma força Fe. Essa é a fonte de energia inicial do oscilador. Vamos calcular o trabalho realizado

pela força externa, Fe, que provoca a elongação inicial do oscilador de uma distância x qualquer.

Essa força deve ser em módulo igual à força de restauração para que o deslocamento se dê com

velocidade constante: Fe = - F. Portanto, o trabalho para levar a massa m até a posição x, a partir da

posição de equilíbrio, x0 = 0 será dado por:

0 0 0.

x x x

e eT F dx kxdx F dr

21

2pE T kx eq. 93

Essa é a expressão para a variação da energia potencial do oscilador na posição x. Como antes,

podemos escolher o zero de energia potencial de maneira conveniente. Nesse problema, a

posição de equilíbrio é a posição natural para escolhermos como sendo o ponto com energia

potencial nula. Portanto, a energia potencial em um ponto qualquer será dada por:

21( ) (0) ( )

2p p p pE E x E E x kx eq. 94

Naturalmente, o sistema é conservativo, pois o trabalho da força Fe depende somente dos pontos

inicial e final da trajetória do objeto preso à mola. Depois de solto, o oscilador executará um

movimento periódico, descrito pela eq. 92, trocando formas de energia, transformando energia




potencial em cinética e vice-versa pela ação da força restauradora Fr . Essa situação é semelhante

ao caso gravitacional (sistema Terra – Partícula – Campo Gravitacional isolado, página 133).

Exemplo 17

Considere a seguinte situação. O comandante de uma nave que deve fugir de um planeta que está

se desintegrando, sem combustível suficiente para fugir do planeta, decide por uma manobra

extrema: dirigir a nave para o centro do planeta para aproveitar a aceleração da gravidade e, com

isso, ganhar velocidade. Em sua opinião essa manobra teria sucesso? A situação é mostrada na

Figura 91.

Ao jogar a nave em direção ao centro do planeta, se desconsiderarmos perdas por atrito, que é a

situação mais favorável ao comandante da nave e sua tripulação, a única força que atua na nave é

a força gravitacional. Portanto, podemos escrever que:

2r g

GMm

r r

rF F

Nessa expressão, m é a massa da nave. Essa força é variável. Para uma dada distância r do centro

do planeta, essa força depende da massa M contida na esfera de raio r. Sob a hipótese de uma

densidade de massa constante, essa massa é dada por:

34

3rM V r .

Figura 91 – Nave atravessando o planeta.

Logo, a força experimentada pela nave será dada por:

Nave

Centro do

planeta

Força

gravitacional

Força

gravitacional

x

z

y




3

2 2

4

3

4

3

g

g g

GMm Gmr

r r r r

Gm r Krr r

r rF

r rF F

A constante K que aparece nessa expressão é dada por:

4

3K Gm

Essa expressão tem a mesma forma da Lei de Hooke para o oscilador harmônico. A conclusão a

que chegamos é que a nave terá um movimento do tipo do oscilador harmônico, não tendo

nenhum ganho de velocidade ao percorrer todo o diâmetro do planeta. Portanto, a manobra do

comandante não terá sucesso e a nave será destruída.

Outro potencial: a temperatura.

Vimos no Capítulo IV que a temperatura de um sistema físico é uma grandeza que é definida como

sendo proporcional à energia cinética média das partículas que compõem o sistema. A

temperatura, entendida como uma variável de estado termodinâmica somente é bem definida

para sistemas em equilíbrio.

Para entendermos o que significa dizer que um sistema está em equilíbrio, precisamos definir o

conceito de reservatório térmico. Um sistema é dito um reservatório térmico quando for grande o

suficiente para que, quando colocado em contato com sistemas menores do que ele com

temperaturas diferentes da sua, e com os quais trocará energia sob a forma de calor, a sua

temperatura não se altere. Um exemplo de reservatório térmico é a atmosfera. Considere a

situação seguinte: você esquenta água em uma chaleira para o chimarrão. Quando a água

esquentou o suficiente você desliga o fogo e vai atender a alguém que o chamou. Ao voltar, depois

de meia hora, verifica que a chaleira e a água que ela contém estão à temperatura ambiente. Para

onde foi a energia que estava armazenada na água dentro da chaleira? Foi transferida sob forma

de calor para a atmosfera. Contudo, como a atmosfera é muito grande, a temperatura da

atmosfera não foi modificada por esse processo.

Podemos agora definir o que entendemos por sistema em equilíbrio: é um sistema físico que já

teve tempo suficiente para entrar em equilíbrio com um reservatório térmico de tal modo que o




sistema não troque mais calor com o reservatório. Para esses sistemas, e apenas para esses, é que

o conceito de temperatura está definido de forma adequada.

Contudo, nas situações do dia a dia, podemos fazer a hipótese de que os sistemas físicos passam

por sucessivos estados de quase-equilíbrio e então usar o conceito de temperatura.

Para entendermos o conceito de temperatura como um potencial para o fluxo de calor,

consideremos a seguinte situação (veja a Figura 92).

Figura 92 – Gás em um recipiente com duas câmaras não comunicáveis.

Considere que tenhamos um gás em dois compartimentos estanques, separados por uma parede

adiabática (não permite o fluxo de calor), impermeável (não permite a passagem de partículas de

um lado para o outro) e fixa (a parede não se move, ou seja os volumes são fixos). Nessa situação,

cada porção do gás tem a sua temperatura, T1 e T2 respectivamente. Por hipótese, vamos supor

que T1 > T2. Cada porção do gás tem a sua energia interna U1 e U2 de modo que a energia total é

dada por:

1 2U U U

Vamos agora supor que a parede interna deixe de ser adiabática e se torne uma parede que

permita a passagem de calor de uma porção do gás para a outra. Esse tipo de parede é chamada

de diatérmica. Vamos tentar descobrir qual a condição de equilíbrio, entendida como sendo a

condição em que a energia pára de fluir de um sistema para o outro.

A condição para que o sistema chegue à condição de equilíbrio é que a energia seja um mínimo.

Do curso de cálculo você aprendeu que o mínimo de uma função é caracterizado pelo fato de que

a variação da função na variável da qual ela depende, o tempo no nosso caso, seja zero. Logo:

1 2 0U U U

Parede adiabática,

impermeável e fixa

Parede adiabática,

impermeável e fixa

T1 T2




A última igualdade vem do fato de que a variação da energia total do sistema é nula. Isso segue do

Princípio da Conservação da Energia, uma vez que o sistema é isolado (as paredes externas são

adiabáticas, fixas e impermeáveis).

Logo:

2 1U U Q

Ou seja, a energia ganha por uma parte do sistema sob forma de calor (Q) é o que é perdido pela

outra. Vamos usar agora uma relação que você aprendeu no ensino médio (e que será novamente

discutida mais adiante) entre a quantidade de calor que um corpo recebe ou perde e a variação na

sua temperatura. Essa relação estabelece que a quantidade de calor perdida ou recebida por um

corpo é proporcional à variação da temperatura desse corpo antes e depois de ter recebido a

quantidade de energia sob forma de calor:

Q T

Logo, podemos escrever:

1 1 1 2 2 2( ) ( )f i f iT T T T

Os índices i e f indicam os valores inicial e final da temperatura. Contudo, como o estado final é o

estado de equilíbrio térmico, as duas temperaturas finais deverão ser iguais. Esse valor de

temperatura deverá ser um valor intermediário entre as temperaturas: T1 > Tf > T2. Podemos,

então, escrever (usando o fato de que as constantes 1 e 2 são números positivos):

1 1 2 2( ) ( )f i f iT T T T Q

Pela nossa convenção, o calor quando entra em um sistema físico o faz com sinal positivo e

quando sai, leva o sinal negativo. Como consideramos a temperatura T1 a maior das duas

temperaturas temos que a primeira parcela tem um sinal negativo enquanto que a segunda tem

um sinal positivo. Portanto, a quantidade de calor saiu do sistema 1 e entrou no sistema 2. Por

essa razão é que dizemos que a Temperatura é um potencial para o transporte de energia sob

forma de calor: esse tipo de fenômeno somente acontece quanto temos diferença de temperatura

entre os dois sistemas e sempre do sistema de maior temperatura para o sistema de menor

temperatura.




Um novo potencial: a pressão

Consideremos um sistema de partículas confinadas em um recipiente. Nosso sistema pode ser, por

exemplo, um gás. Veja a Figura 93.

As partículas dentro da caixa são livres para se movimentarem em todas as direções. Ao se

movimentarem, essas partículas podem sofre dois tipos de colisões: com as outras partículas na

caixa e com as paredes da caixa. Vamos analisar o segundo tipo de colisões, das partículas com as

paredes da caixa.

Cada partícula ao colidir com a parede da caixa transfere parte do seu momento à parede. Para

uma partícula i, se movimentando com velocidade vi, possui uma quantidade de momento dada

por: pi = mvi e sofre uma variação pi ao se chocar com a parede. Contudo, vimos anteriormente

que o momento se conserva.

Portanto, a quantidade de momento transferido pela partícula à parede deve ser igual à variação

do momento da partícula. Por outro lado, sabemos que a força resultante sobre uma partícula é

dada pela variação do momento linear dessa partícula e que forças do tipo do que descrevemos

acima formam um par de ação e reação.

Figura 93 – Partículas dentro da caixa.

A conclusão desse raciocínio é que a partícula exerce uma força fi sobre a parede. Se em um dado

momento temos N partículas interagindo com as paredes do recipiente que contém as partículas,

então a força total que está sendo aplicada sobre as paredes, F, do recipiente é dada pela soma

sobre a força que todas as partículas exercem sobre as paredes:

1

( )N

ii

t

F f

A dependência com o tempo nos indica que a força total atuando sobre as paredes do recipiente

pode ser variável, dependendo do tempo. Um conceito interessante, o qual pode ser usado para




melhor descrever o que está acontecendo, é o conceito de força média que está atuando por

unidade de área das paredes do recipiente. Podemos calcular essa quantidade simplesmente

dividindo a força total pela área total das paredes do recipiente:

( )( , )m

tt

A

FF r

Como toda grandeza calculada como uma média, essa grandeza nos descreve grosseiramente a

situação. Observe, ainda, que agora a força média depende da posição (simbolizamos isso

inserindo o vetor r) uma vez que ao dividirmos pela área temos o valor médio da força em cada

ponto sobre a superfície. Podemos obter uma descrição melhor do que está acontecendo se

tomarmos o limite da área indo a zero. Naturalmente, se tomamos uma área menor, a força

exercida sobre essa área também diminui, já que sendo a área menor menos partículas se

chocarão com a superfície em questão. O nome dado a essa quantidade é Pressão (P):

0 0

( )( , ) lim ( , ) limm

A A

tt t

A

FP r F r

Observe que escrevemos a pressão como um vetor. De fato, e isso você verá em cursos mais

avançados, a pressão é mais bem representada por um tensor, uma entidade matemática mais

geral que o vetor. Observe que a pressão tem a direção do vetor força, na posição dada pelo vetor

r. A unidade de pressão no Sistema Internacional é o N/m2 também chamado de Pascal (símbolo

Pa) em homenagem a Blaise Pascal60.

Tomamos como modelo para derivar o conceito de pressão uma caixa onde tínhamos certo

número de partículas. Contudo, podemos pensar em um fluido como um conjunto de partículas

que ocupam certo volume de espaço e pensar em uma superfície hipotética, não física, tão

pequena quanto se queira (frente às dimensões do espaço ocupado pelo fluido), que contenha

certo número de partículas (veja a Figura 94). Na superfície do elemento de fluido, que chamamos

por S, agem dois tipos de força. O primeiro tipo são as forças que atuam de dentro para fora do

elemento de fluido, criadas pelas partículas que estão dentro do elemento de fluido, e que se

chocam com a superfície hipotética S. O segundo tipo de força é o que em origem nas partículas

que estão na parte externa do elemento de fluido, e que colidem com nossa superfície hipotética.

60

Blaise Pascal, filósofo, matemático e físico francês (1623 – 1662). Veja http://pt.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal (acessada em

05 de setembro de 2007).

http://pt.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal




Na situação de equilíbrio, quando o número de partículas, bem como sua energia, é o mesmo em

todos os pontos do fluído, se tomarmos um elemento de volume suficientemente pequeno, a

força por unidade de área sobre o elemento do fluido será a mesma tanto do lado de dentro como

do lado de fora, e nosso elemento de fluido experimentará uma força resultante nula. Por outro

lado, se a energia ou o número de partículas que atuam sobre o elemento de fluído for maior no

lado de dentro do que no lado de fora, teremos uma força líquida de dentro para fora, e

conseqüentemente uma pressão maior no lado de dentro do que no lado de fora e o fluido do

lado de dentro “empurrará” nossa superfície hipotética, fazendo com que a área aumente. Mas ao

aumentar a área, a força por unidade de área diminuirá, e com ela a pressão. O processo atingirá o

equilíbrio quando a pressão exercida pelas partículas na parte interna do elemento de fluido

igualar a pressão no lado externo. Caso a situação seja invertida, com a pressão exercida pelas

partículas no lado de fora sendo maior do que a pressão exercida pelas partículas no lado de

dentro, o processo também será invertido, com a diminuição do volume e da sua área superficial,

até que a pressão se iguale novamente.

Figura 94 - Forças atuando em um elemento de fluido.

Vamos agora analisar a situação em que temos um meio não homogêneo, mas no qual existe um

gradiente de densidade ou de temperatura. Lembramos que a existência de um gradiente significa

que existe uma direção na qual a temperatura ou a densidade aumentam. Uma situação na qual

isso pode acontecer é mostrada na Figura 95.

Nessa figura mostramos uma coluna de gás em contato com um reservatório térmico. Como já

comentamos, um reservatório térmico é um corpo suficientemente grande para que sua

temperatura não mude se o colocarmos em contato com outro corpo, muito menor que ele, com

uma temperatura diferente. Um exemplo de reservatório térmico é a atmosfera terrestre. Nessa

situação, a energia flui sob forma de calor do reservatório para o corpo ou do corpo para o

Espaço ocupado pelo

fluido

Porção do fluido

limitada pela superfície

hipotética S.

S

Forças atuando de fora para dentro

da superfície S. Forças atuando de dentro para fora

da superfície S.




reservatório devido à diferença de temperatura entre os dois. No nosso exemplo, vamos supor

que a temperatura do reservatório, Tr seja maior que a temperatura do gás. Desse modo, haverá

um fluxo de energia sob forma de calor do reservatório para o gás, fazendo com que a

temperatura do gás, Tg, aumente. Entretanto, esse aumento na temperatura do gás não é

uniforme. A parte do gás que está mais próxima da base aquecida (o reservatório) aumenta sua

temperatura primeiro que as camadas superiores do gás. Desse modo, teremos um gradiente de

temperatura da base em direção ao topo: a temperatura diminui ao nos afastarmos da base da

coluna de gás e nos aproximarmos do topo da coluna. Naturalmente, se deixarmos o gás tempo

suficiente em contato com a base aquecida a temperatura do gás será uniforme e igual à

temperatura do reservatório.

Analisemos agora o que acontece com a pressão na superfície hipotética S mostrada na Figura 95.

As partículas do gás na parte de baixo da superfície S, entre a base da coluna e a superfície S, têm

energia cinética maior e, portanto, ao “colidirem” com a superfície S transferirão a essa superfície

mais momento, e exercerão uma força maior sobre essa superfície do que as partículas que estão

entre a superfície S e o topo da coluna de gás. Conseqüentemente, a pressão sobre a superfície

será maior na parte de baixo do que na parte de cima. O resultado disso é que o gás contido na

parte de baixo da superfície “empurra” a superfície S em direção ao topo e o gás na parte de baixo

se expande. Se o sistema for mantido a um volume constante, por uma parede rígida por exemplo,

essa expansão do gás na parte de baixo faz com que o volume do gás contido na parte superior

seja menor, o que faz com que mais partículas na parte superior colidam com a superfície S,

fazendo com que a pressão na parte superior aumente. Depois de algum tempo, o gás na parte

superior estará tão comprimido que a sua pressão igualará a pressão do gás na parte de baixo e o

processo de expansão do gás na parte de baixo cessará.




Figura 95 – Coluna de gás aquecida.

Veja que o resultado da diferença de pressão entre os dois lados da superfície S resultou em um

movimento de matéria da região de mais alta pressão em direção à região de mais baixa pressão.

Por isso dizemos que a pressão é um potencial para o fluxo de matéria. Os ventos são um exemplo

claro desse processo. Você já deve ter visto na televisão uma figura como a que mostramos na

Figura 96. Nessa figura, mostramos um exemplo de carta sinóptica do Brasil na data de 04 de

setembro de 2007. Na parte lateral direita da figura há uma escala colorida indicando o valor de

pressão associado a cada cor em cada ponto do mapa. Por exemplo, sobre Mato Grosso do Sul

temos a cor verde na parte leste do estado, o que indica uma pressão de 1020 mb61. Já na parte

oeste do estado (sobre o Pantanal), a cor mostrada é o azul esverdeado, o que indica uma pressão

de 1010 mb, aproximadamente. Portanto, teremos ventos soprando da parte leste para a parte

oeste do estado, onde a pressão é menor.

61

O Bar é uma medida de pressão bastante utilizada. 1 Bar = 1,0 x 105 N/m

2.

Base aquecida

Parte da coluna com

temperatura menor

Parte da coluna com

temperatura maior Superfície S (hipotética)




Figura 96 – Exemplo de carta sinóptica. Fonte http://www4.climatempo.com.br (acessado

em 05 de setembro de 2007).

http://www4.climatempo.com.br/




Capítulo III - Campos em meios materiais




Materiais dielétricos e materiais condutores

Um material dielétrico62 é definido como um material que não possui cargas livres, que possam se

movimentar livremente pelo material quando este é submetido a um campo elétrico externo.

Esses materiais, ao contrário dos condutores, não podem suportar correntes elétricas, sendo

usados como materiais isolantes. A borracha é um exemplo desse tipo material. De fato, da

mesma maneira que não existe um condutor perfeito, também não existe um dielétrico perfeito.

Se aumentarmos o campo elétrico o suficiente mesmo um material dielétrico pode se tornar um

material condutor. Um exemplo é o ar, o qual normalmente é um bom isolante elétrico. Contudo,

submetido a campos suficientemente intensos mesmo o ar pode se tornar um condutor de

correntes elétricas.

Figura 97 – Comportamento de materiais condutores e dielétricos na presença de um

campo elétrico externo.

Embora, em geral, não possamos ter correntes elétricas fluindo nesses materiais, eles podem ter

cargas elétricas, chamadas de cargas de polarização, e a interação do campo criado por essas

62

Também chamados de isolantes.

Eexterno

+

+

+ +

+

+

+

+

+

+

Material condutor na presença de um campo

elétrico.

+ +

+

+

+ +

+

+

Material dielétrico na presença de um campo

elétrico.

Eexterno

Einterno =0.

Einterno 0.

Edipolo

+ –

Eexterno = 0 Eexterno = 0

Condutor Dielétrico

Einterno =0. Einterno =0.




cargas elétricas com o campo externo aplicado faz com que o campo elétrico externo seja

diminuído dentro do material.

Esse comportamento é completamente diferente do comportamento de um condutor. Quando o

condutor é colocado na presença de um campo elétrico externo, ocorre uma separação de cargas

de tal modo que o campo no interior do condutor seja nulo, depois de algum tempo.

A situação é ilustrada na Figura 97. Inicialmente, temos dois corpos, um formado por um material

condutor e outro formado por um material dielétrico. Quando não há campo elétrico presente, os

dois materiais são eletricamente neutros, tanto global quanto localmente. Por neutralidade global

queremos indicar que temos o mesmo número de cargas positivas e negativas no material e por

neutralidade local queremos dizer que essa mesma condição é válida para qualquer pequeno

volume do objeto que analisemos.

Polarização

Vamos analisar agora o que acontece quando um material condutor é colocado na presença de

um campo elétrico. Quando o campo elétrico externo é aplicado ao condutor, os elétrons (pontos

escuros na Figura 97) podem se mover livremente na direção oposta ao campo aplicado. Isto faz

com que tenhamos no material uma região mais positiva e outra mais negativa de tal modo que o

campo entre estas duas regiões cancele o campo externo aplicado fazendo com que o campo no

interior do material condutor seja nulo. Observe que a condição de neutralidade global continua

sendo válida: a soma das cargas elétricas no material é zero. Contudo, a condição de neutralidade

local pode não ser mais válida: se tomarmos um pequeno elemento de volume do material este

poderá ter carga líquida diferente de zero.

Em um material dielétrico temos algo diferente. Como já dissemos, esse tipo de material não

possui cargas que possam se movimentar livremente. Nesse caso a ação do campo faz com que

haja uma separação local de cargas dentro das moléculas ou átomos que compõem o material.

Desse modo, cada molécula ou átomo fica mais negativa de um lado e mais positiva de outro lado.

Essa separação de cargas faz com que surja localmente um campo elétrico que aponta da região

positiva na molécula em direção à região negativa da mesma molécula. A soma desse campo com

o campo externo, porém, não é mais nula, como no caso do condutor, pois esses campos, criados

pela separação de cargas nas moléculas, são muito menos intensos do que o campo externo. A




consequência disso é que o campo no interior do material dielétrico não é nulo. Esse efeito é

chamado de Polarização do material dielétrico.

Muitos materiais já possuem, naturalmente, moléculas polares, moléculas que já possuem uma

separação natural dos centros de cargas positivas e negativas. Esse tipo de molécula é bem

representado por um dipolo elétrico. Um exemplo desse tipo de molécula é a molécula da água63.

Esses materiais quando não estão sob ação de um campo elétrico externo não apresentam uma

orientação preferencial de seus dipolos e, portanto, não apresentam um campo elétrico local. Na

presença de um campo elétrico externo, há um ordenamento desses dipolos e então o material

passa a apresentar uma orientação preferencial dos dipolos, com os dipolos tendendo a se alinhar

com o campo elétrico externo, surgindo assim um campo elétrico local, com sentido oposto ao do

campo externo aplicado. Observe que o campo externo tem que realizar trabalho para orientar os

dipolos presentes no material dielétrico ou para criá-los, no caso de ser o campo externo o

responsável pela separação de cargas das moléculas ou átomos do material dielétrico.

Consideremos um material dielétrico sobre o qual está agindo um campo elétrico E. Esse campo

provoca a separação dos centros de cargas das moléculas do material formando pequenos dipolos

em cada molécula. Vamos considerar um pequeno elemento de volume V. Este elemento de

volume é pequeno o suficiente frente às dimensões do corpo para que possamos considerá-lo

como um ponto, mas grande o suficiente para que contenha um número muito grande de

moléculas. Cada molécula dentro deste elemento de volume será caracterizada pelo seu momento

de dipolo pj, Portanto, teremos um momento de dipolo total no elemento de volume, pt, que será

a soma dos momenta de dipolo de cada molécula64: ( é a carga do centro

de carga positivo da molécula, N é o número dos momenta de dipolo no elemento de volume e dj

é a separação entre os centros de cargas positivo e negativo). Definimos como a Polarização, P, do

elemento de volume V como sendo o valor médio dos momenta de dipolo presentes no

elemento de volume, entendido como sendo o momento de dipolo total no elemento de volume

dividido pelo elemento de volume:

63

É graças a essa propriedade que a água é um solvente universal.

64 O aluno deve lembrar que o vetor momento de dipolo aponta da carga negativa em direção à carga positiva.

1 1

N N

t j j j

j j

q

p p d jq




1

N

jj

V

p

P .

No limite, quando o volume do elemento de volume vai a zero, podemos expressar a Polarização

como uma função da posição:

1

0( ) lim

N

jj

V V

p

P r .

Observe que a polarização é uma função de cada posição no material, podendo variar de uma

posição para outra em função da composição do material.

Carga volumétrica e carga superficial de polarização

Considere dois materiais, um material que está polarizado de maneira uniforme devido à presença

de um campo elétrico externo e outro cuja polarização não é uniforme. A situação é mostrada na

Figura 98.

Figura 98 – Dielétricos com polarização uniforme e não uniforme.

Vamos tomar dois elementos de volume nos dois materiais. Primeiro, considere o que acontece no

material que está uniformemente polarizado. Nesse material, contando-se o número de cargas

positivas dentro de cada elemento de volume, obteremos um valor zero ou próximo dele. Na

média, o número de cargas positivas e negativas que temos dentro de qualquer elemento de

volume do dielétrico será zero. Por outro lado, considere a situação mostrada no painel b da

Figura 98. Nesse caso, tomando-se diferentes elementos de volume, teremos em cada elemento

uma carga líquida diferente de zero. O material como um todo é, naturalmente, neutro. Contudo,

+

+

+

+ +

+

+

Eexterno

Edipolo

+ + +

+

+

+

+

+ +

+

Eexterno

Edipolo

+ + +

+

+

+

+

(a) Dielétrico com polarização uniforme (b) Dielétrico com polarização não uniforme




localmente, poderemos ter essa falta de compensação entre as cargas positivas e as cargas

negativas. Essa carga líquida é o que chamamos de carga de polarização.

Para podermos entender a relação entre as cargas de polarização e o vetor Polarização, vamos

analisar qual seria o campo criado por um dielétrico polarizado em pontos da vizinhança do

dielétrico, externos a ele. A situação é mostrada na Figura 99.

Figura 99 – Potencial em um ponto a fora do dielétrico polarizado.

O dielétrico é caracterizado pela polarização P existente em cada pequeno elemento de volume

d3v localizado pelo vetor r’. Sabemos que o potencial elétrico de um dipolo pode ser escrito como:

3

0

1 '( ) ( ').

4 'd

r rr P r

r r

Portanto o campo total criado pelo dielétrico na posição localizada pelo vetor r será dado pela

integração sobre todo o volume do dielétrico:

3

3

0

1 '( ) ' ( ').

4 'd v

r rr P r

r r

eq. 95

Para calcular essa integral, vamos usar a seguinte propriedade matemática. Vamos calcular o

gradiente do módulo do vetor que conecta o elemento de volume no dielétrico e o ponto onde

estamos calculando o potencial em relação à variável r’:

P

r’

r

r-r’ a




1 1 1 1

'' ' ' ' ' ' '

x y zx y z

e e er r r r r r r r

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1 1'

' ' ' ' '

1

' ' ' '

1

' ' ' '

x

y

z

x x x y y z z

y x x y y z z

z x x y y z z

er r

e

e

Deixamos o cálculo dessas derivadas por conta do estudante. O resultado, após agrupar os termos

convenientemente, pode se escrito como:

3

1 ''

' '

r r

r r r r eq. 96

O resultado expresso pela eq. 96 é justamente parte do integrando da equação para o potencial

criado pelo dielétrico (eq. 95). Desse modo, o potencial produzido pelo dielétrico será dado por:

3

0

1 1( ) ( '). '

4 'd v

r P r

r r

Usando a integração por partes, essa integral pode ser reescrita como:

Fazendo uso do Teorema da Divergência de Gauss, a primeira dessas integrais pode ser reescrita

na forma de uma integral de superfície, tomada sobre a superfície do dielétrico:

.

Portanto, o potencial criado pelo dielétrico será dado por:

3 3

0 0

1 ( ') 1 '. ( ')( ) '.

4 ' 4 'd v d v

P r P rr

r r r r

3 ( ') ( ')'. .

' 'd v dS

P r P rn

r r r r




eq. 97

Vamos analisar detidamente a eq. 97. A primeira integral é uma integral na forma:

se identificarmos (o índice p indicando que falamos de polarização). Essa quantidade

tem unidade de densidade de carga superficial. A segunda integral é do tipo:

,

se identificarmos . Essa quantidade tem unidade de densidade volumétrica de

carga. A conclusão a que chegamos é que a polarização pode ser associada a densidades de carga

dentro e sobre a superfície do dielétrico: o negativo do divergente da polarização com a densidade

volumétrica de carga polarizada e o produto de escalar do vetor polarização, calculado na

superfície do dielétrico, pelo vetor normal à superfície em cada ponto, com uma densidade

superficial de cargas.

Logo, o potencial do dipolo será escrito em termos dessas densidades de carga de polarização

como:

Este é o potencial devido às cargas de polarização.

Lei de Gauss em materiais dielétricos

Vimos que a Lei de Gauss se escreve:

.

A carga que aparece no lado direito da Lei de Gauss é a carga líquida que existe dentro da

superfície gaussiana. O campo que aparece dentro da integral é o campo elétrico total. Dentro do

3

0 0

1 ( ') 1 '. ( ')( ) .

4 ' 4 'dS d v

P r P r

r nr r r r

0

( ')1 ( ').

4 ' '

pdS dS

rP r

nr r r r

( ') .p r Pn

3 3

0 0

( ')1 '. ( ') 1

4 ' 4 '

pd v d v

rP r

r r r r

( ') . ( ')p r P r

0

.q

dS

En

eq. 98 3

0 0

( ')1 1 ( ')( )

4 ' 4 '

pdS d v

r r

rr r r r




material dielétrico esse campo é a soma do campo externo aplicado (responsável pela polarização

do material) com o campo elétrico criado pelo material dielétrico (a resposta do material).

Consideremos um material dielétrico no qual temos cargas livres e cargas de polarização (veja a

Figura 100). Nesse caso, a carga líquida que temos dentro da superfície gaussiana é dada pela

soma das cargas livres e de polarização: q = ql + qp. Conseqüentemente, a Lei de Gauss nesse caso

deve ser reescrita levando em conta isto:

Vimos que a densidade de carga de polarização pode ser escrita em termos do vetor polarização:

. Portanto, a carga de polarização dentro da superfície gaussiana pode ser

escrita como:

.

A última igualdade provém da aplicação do Teorema da Divergência de Gauss. Portanto, a Lei de

Gauss pode ser reescrita como:

Figura 100 – Superfície gaussiana contendo cargas livres e cargas de polarização.

0 0

.l pq qq

dS

En

( ') . ( ')p r P r

3 3

p ( ') . ( ') .pq d v d v dS r P r Pn

0 0

0 0

0

1. .

1. .

.

l

l

l

qdS dS

qdS dS

dS q

En Pn

En Pn

E P n

Cargas livres

Cargas de polarização

Superfície gaussiana




A quantidade entre colchetes recebe o nome de Vetor Deslocamento Elétrico, simbolizado por D:

eq. 99

Usando a definição acima, a Lei de Gauss no caso de dielétricos se escreve:

eq. 100

O estudante deve prestar atenção ao fato de que, no lado direito, a quantidade que aparece é a

quantidade de cargas livres. Toda a informação sobre a polarização está contida no vetor

deslocamento elétrico (D).

Capacitores

Um capacitor é definido como um sistema composto de duas partes carregadas com cargas de

mesma intensidade, porém com sinais contrários. Logo, a carga líquida é zero. Dois exemplos de

capacitores são mostrados na Figura 101.

Vamos considerar o capacitor de placas paralelas. Nesse tipo de dispositivo, para pontos longe das

bordas, o campo elétrico entre as duas placas é constante, apontando da placa positiva em

direção à placa negativa (Ev). O índice v aparece para deixar claro que o campo que estamos

calculando existe em uma região na qual temos vácuo. O valor do campo entre as placas é obtido

facilmente a partir da aplicação da Lei de Gauss:

0

v

E k

Figura 101 – Dois tipos de capacitores: (a) capacitor de placas paralelas; (b) capacitor

cilíndrico.

0 D E P

. ldS qDn

Ev

(a) Capacitor de placas paralelas. (b) Capacitor cilíndrico.

ez




A diferença de potencial entre as duas lâminas pode ser calculada usando-se a definição de Ev em

função do gradiente do potencial eletrostático (o qual, nesse caso, tem apenas a derivada em

relação à coordenada z):

0 0

v vv z v

d dd dz

dz dz

E e

Logo, o potencial na região entre as placas será dado pela integração desta expressão:

0 0 0

v vd dz dz z K

Podemos escolher uma das placas como tendo potencial nulo. A placa com carga elétrica negativa,

por exemplo, e escolher a posição dessa placa como a posição para z=0. Com isso a constante

K=0. Não importando a escolha que fizermos, a diferença de potencial entre as duas placas será

dada, simplesmente, por:

.

0 0

( ) ( )v v vz z z z d

Nessa expressão, indicam as posições das placas dos capacitores e d a distância entre eles.

A capacitância Cv de um capacitor mede a capacidade de um capacitor em armazenar cargas (e

consequentemente, armazenar energia) e é definida por:

v

v

qC

eq. 101

A capacitância é uma propriedade que depende apenas de características do capacitor, como sua

forma, por exemplo, sendo um fator puramente geométrico. Quanto maior a capacitância, mais

carga pode ser acumulada com a mesma diferença de potencial.

0 0

( ) ( )z z z z d

z




Qual a energia que deve ser gasta para carregar o capacitor? Vamos usar a definição de energia

potencial: a energia armazenada no capacitor é o trabalho que foi realizado para formar o

capacitor, levando cargas (elétrons no caso) da placa positiva para a placa negativa. Consideremos

uma situação inicial com as placas descarregadas. Vamos conectá-las usando um fio ideal65

passando por uma bateria. Uma bateria é um dispositivo capaz de manter uma diferença de

potencial entre dois pontos constante e é quem vai fornecer energia na forma de trabalho para

separar as cargas nas placas. Veja a Figura 102.

Figura 102 – Capacitor de placas paralelas: (a) Circuito aberto e o capacitor descarregado;

(b) Circuito fechado e o capacitor carregado.

Os sinais (+) e (–) na bateria indicam que o terminal positivo está a um potencial maior que o

terminal com o sinal negativo. Inicialmente a carga líquida em cada placa do capacitor é zero. Ao

conectarmos a bateria, esta realizará trabalho sobre as cargas negativas da placa superior levando-

as para a placa inferior. No final, teremos uma carga Q, em módulo, em cada placa.

Consideremos agora qual é o trabalho infinitesimal dTv necessário para levar uma quantidade

infinitesimal de carga dq’ da placa superior até a placa inferior. Essa quantidade é dada por:

' '.v vdT dq

65

Um fio ideal é um fio no qual não temos perdas de energia quando nele flui uma corrente.

E

v

(a) Situação inicial: placas

descarregadas e o circuito

aberto.

(a) Situação final: placas

carregadas e o circuito fechado.

+

–

+

-




Nessa expressão ’v é a diferença de potencial instantânea entre as duas placas devido a certa

quantidade de carga q’ que já foi transportada da placa superior para a placa inferior. Podemos

usar a definição de capacitância (eq. 101) para escrever essa diferença de potencial:

''.v

v

qdT dq

C

Observe que a carga q’ é a carga na placa do capacitor no momento que queremos levar a

quantidade de carga dq’ de uma lâmina a outra. Para obter o trabalho total realizado para levar a

carga total Q da placa superior para a placa inferior do capacitor temos que integrar entre 0, o

valor inicial da carga em cada placa, até o valor final Q:

0 0

2

''

1

2

pvE Q

v

v

pv

v

qT dT dq

C

QE

C

21

2pv v vE C eq. 102

Deve ser observado que a diferença de potencial aparecendo na eq. 102 é a diferença de potencial

final entre as duas placas. Quanto maior a capacitância, mais energia pode ser acumulada no

capacitor com a mesma diferença de potencial.

Campo eletrostático no interior de dielétricos lineares

Essa é a situação na qual temos o vácuo entre as duas placas do capacitor. Consideremos agora a

situação em que entre as placas do capacitor tenhamos um material dielétrico. Nesse caso, o

campo elétrico entre as placas do capacitor não será mais o campo Ev como mostrado na Figura

101. O campo elétrico entre as placas será menor devido à polarização dielétrico. Então, podemos

nos perguntar: qual será o campo (e conseqüentemente a diferença de potencial) entre as duas

placas?

A solução desse problema no caso mais geral é bastante complicada. Por isso, nos ateremos a uma

situação encontrada em muitos materiais, os chamados dielétricos lineares. Para essa classe de




materiais, existe uma proporcionalidade entre o vetor polarização e o campo elétrico existente no

material66:

A constante que aparece nesta equação, por simplicidade, será escrita como: . A

constante e é chamada de susceptibilidade elétrica. Com isso, o vetor deslocamento elétrico será

escrito como:

eq. 103

A constante que aparece na eq. 103 é chamada de permissividade do meio.

O significado dessa constante fica evidente se substituirmos a eq. 103 na expressão para a Lei de

Gauss em materiais dielétricos:

Vamos multiplicar e dividir o lado direito por 0:

eq. 104

A constante r, a razão entre a permissividade do meio e a permissividade do vácuo, é chamada de

constante dielétrica do material.

O campo elétrico que aparece na eq. 104 é campo elétrico total no interior do material. No vácuo,

sem a presença do material dielétrico r =1, esse seria o campo criado pelas cargas livres (ql) que

66

Novamente chamamos a atenção para o fato de que o vetor E é o campo total no interior do dielétrico: a soma do campo

aplicado externamente com o campo devido à polarização do dielétrico.

P E

0 e

0 0 0

0(1 )

e

e

D E P E E

D E

0(1 )e D E

. .

.

l

l

dS dS q

qdS

Dn En

En

0 0

0 0

. l lq qdS

En

0 0

1. l

r

r

qdS

En




aparecem no lado direito. Portanto, o que essa equação nos diz é que a presença do dielétrico

linear faz com que o campo elétrico na região onde está o dielétrico fique reduzido a 1/r do valor

que teria se na região houvesse vácuo:

vd

r

EE eq. 105

Esta redução na intensidade do campo elétrico também se manifesta na força entre cargas dentro

de um material dielétrico.

O que acontece com a energia armazenada no capacitor (eq. 102) se colocarmos um material

dielétrico no seu interior? Em primeiro lugar haverá uma mudança na capacitância do capacitor já

que agora, como o capacitor está preenchido pelo dielétrico a diferença de potencial entre as

placas será menor: (os índices d e v indicam, respectivamente, o capacitor com o

dielétrico e o capacitor com vácuo entre as duas placas). Portanto, a capacitância será agora:

Como a constante é um número maior que 1, a capacitância do capacitor é aumentada se

colocarmos um dielétrico linear entre as suas placas.

Logo, a energia armazenada no capacitor quando existe um dielétrico entre suas placas fica:

221 1 1

( )2 2

pvvpd r v v v

r r r

EE C C

eq. 106

Ou seja, a energia armazenada no campo entre as placas fica menor quando temos um dielétrico

entre elas. Em outras palavras, menos energia foi gasta para carregar o capacitor com a mesma

carga.

Energia armazenada em meios dielétricos lineares

Vimos que a energia armazenada no campo eletrostático no vácuo é dada por:

230

2pv vE d v

E .

vd

r

d r r v

d v

Q QC C

r




A integral é tomada sobre todo o espaço.

Como essa expressão da energia fica modificada se o espaço for preenchido por um material

dielétrico? A derivação da expressão para a energia potencial eletrostática nesse caso é um pouco

além do nível deste texto. Contudo, podemos argumentar com base na eq. 106, que nos fornece a

energia armazenada no capacitor de que a energia potencial na presença de um dielétrico é a

energia potencial no vácuo multiplicada pelo inverso da constante dielétrica .

Logo:

23 300

230

1 1 1.

2 2

1.

2

pv

pd

r

pd v v v

r r

pd r d d

r

EE

E d v d v

E d v

E E E

E E

Na derivação dessa equação fizemos uso da eq. 105. Logo, a energia potencial na presença do

dielétrico se escreve:

30

1.

2pd r d dE d v E E

30

1

2pd rE d v D.E D E E eq. 107

O estudante deve observar que esta não é uma derivação, apenas usamos um argumento de

plausibilidade. Poderia acontecer de que a eq. 105 não fosse verdadeira em geral, sendo válida

somente para o caso do capacitor de placas paralelas. Contudo, como você verá em cursos

avançados de eletromagnetismo, esse é o caso67.

Materiais magnéticos: diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo.

Da mesma forma que campos elétricos são modificados se colocamos um material dielétrico na

região onde o campo existe, campos magnéticos são modificados em relação ao seu valor no

vácuo pela presença de materiais magnéticos.

67

O estudante interessado na derivação da eq. 107, pode encontrá-la no texto de Griffiths (1999), página 191.

r




Um material magnético é um material que possui momenta de dipolo magnético, naturais ou

induzidos. Contudo, o estudo de campos na presença desse tipo de material é bastante mais

complexo do que o caso eletrostático. Isso acontece porque, ao contrário dos materiais dielétricos

que respondem sempre da mesma forma ao campo externo aplicado, os materiais magnéticos

podem responder de maneiras bastante complexas aos campos externos aplicados.

Basicamente, temos duas classes de materiais magnéticos. À primeira classe, pertencem aqueles

materiais que respondem a um campo aplicado de uma forma linear, aumentando ou diminuindo

no seu interior a intensidade do campo magnético aplicado. Esses materiais são classificados como

materiais diamagnéticos se o campo magnético no interior do material fica menor em relação ao

seu valor no vácuo ou materiais paramagnéticos, os que fazem com que os campos no seu interior

sejam maiores que o campo no vácuo ou de uma forma não linear. Os materiais da segunda classe,

os materiais ferromagnéticos, apresentam um comportamento não linear entre o campo aplicado

e a resposta do material magnético. Os materiais ferromagnéticos apresentam uma forte

magnetização mesmo na ausência de campos aplicados sobre eles. O fato de que a resposta do

material é não linear, mas depende da história do material, faz com que a magnetização na

presença de um campo externo se comporte de uma maneira quando o campo é aumentado e de

outra maneira quando o campo é diminuído, em um fenômeno chamado histerese.

A origem microscópica do magnetismo. Parte 1: o momento de dipolo orbital

Vimos que a origem de qualquer campo magnético são correntes elétricas. O magnetismo em

materiais não é diferente. Vamos considerar o movimento de um elétron em torno de um núcleo

usando uma abordagem clássica. Veja a Figura 103.

Nesse tipo de abordagem, consideramos o elétron como uma partícula que descreve uma órbita

circular de raio R em torno do núcleo. Em um segundo, esse elétron dará certo número de voltas

em torno do núcleo. Consequentemente, a corrente elétrica (cargas por unidade de tempo) que

atravessa a seção reta circular mostrada na figura será: . / 1/i e e , e sendo,

respectivamente, a frequência do elétron, o número de voltas que o elétron dá em cada segundo,

e o período do elétron, tempo necessário para completar uma volta. Podemos associar essa

corrente com o momento de dipolo magnético da espira formada pela órbita do elétron:




2orb iA i R . Esse momento de dipolo magnético é mostrado na figura. Essas correntes são

chamadas de correntes de Ampère68.

Figura 103 – Movimento de um elétron em torno do núcleo (descrição clássica).

Se tivermos um único elétron no átomo, teremos esse único momento de dipolo magnético. No

entanto, nos átomos podemos ter vários elétrons, cada um com seu momento de dipolo

magnético. O momento de dipolo orbital total do átomo será a soma dos momenta de dipolo

orbital de cada elétron:

,1

N

orb j orbj

μ μ eq. 108

Veremos mais adiante que, além desses momenta de dipolo criados pelas correntes dos diferentes

elétrons em suas órbitas, cada elétron tem um momento de dipolo magnético intrínseco, um

efeito puramente quântico, associado a uma propriedade do elétron chamada de spin. O

momento de dipolo magnético total do átomo deve ser calculado levando-se em conta esse

momento de dipolo magnético intrínseco. É a existência desse momento de dipolo intrínseco dos

elétrons que é a responsável pela existência dos materiais paramagnéticos e dos materiais

ferromagnéticos.

Momento de dipolo magnético orbital e o momento angular

Podemos relacionar o momento de dipolo magnético de um átomo com o momento angular do

elétron em sua órbita. Para isso, vamos analisar a expressão do momento de dipolo magnético

orbital do elétron:

68

De fato, as correntes imaginadas por Ampère não eram correntes formadas pelos elétrons, descobertos muito tempo depois.

Para ele, apenas havia correntes microscópicas que seriam responsáveis pela magnetização.

Núcleo

Elétron

Órbita do

elétron

Momento de dipolo

magnético ()

R

Seção reta

circular.




orb iS nμ

Nessa expressão, n é o vetor unitário perpendicular à órbita do elétron (veja a Figura 103) e S é a

área da órbita. Lembrando da interpretação do produto vetorial entre dois vetores como sendo a

área do paralelogramo formado pelos dois vetores, podemos escrever a área que aparece na

definição do produto vetorial como:

1

2órbita

S n r dl

Os vetores r e dl são, respectivamente o vetor que localiza o elétron em sua órbita em um sistema

de referências no qual o núcleo está na origem e o elemento de comprimento ao longo da órbita

(veja a Figura 104). O fator ½ vem do fato de que os elementos de área são triângulos, a metade

do paralelogramo formado pelos dois vetores, uma vez que os vetores r e dl são perpendiculares

entre si.

Figura 104

O elemento de comprimento dl pode ser escrito em termos da velocidade do elétron em sua

órbita, v, como: dl = v dt . Logo, o momento de dipolo do elétron em sua órbita será dado por:

1

2 2orb

órbita órbita

ii dt r dl r vμ eq. 109

Lembrando que emp v , o produto vetorial que aparece nessa integral pode ser escrito como:

1 1orb

e em m r v r p l eq. 110

R

dl

r + dl r

z




Nessa expressão orb l r p é o momento angular do elétron em relação ao centro da órbita. Esse

momento angular é uma constante, já que a força entre o núcleo e o elétron é uma força central

(somente depende da distância do elétron ao núcleo).

Usando a eq. 110 na eq. 109 obtemos:

2 2

2

orb orb

eórbita órbita

orb orb

e órbita

i idt dt

m

edt

m

r v l

l

μ

μ

eq. 111

Como estamos em uma situação em que o momento angular se conserva, então:

2 2 2orb

orb orb

e e eórbita órbita

e eedt dt

m m m

el l

lμ

A última igualdade vindo do fato de que a integral sobre a órbita é simplesmente o tempo que o

elétron leva para completá-la, o que por definição é o período. Então o momento de dipolo

magnético do elétron é dado simplesmente por:

2 2orb orb e orb e

e e

e e

m m

l lμ eq. 112

A constante e que aparece na eq. 112 é chamada de razão giromagnética do elétron.

O momento magnético orbital total do átomo, t,orb, devido ao momento angular orbital dos

elétrons será a soma dos momenta orbitais magnéticos dos elétrons:

, ,1 1

N N

t orb e orb e orb t orb e orbi i

l l Lμ μ eq. 113

Lorb é o momento angular orbital total do átomo.

A origem microscópica do magnetismo. Parte 2: o spin do elétron

O spin, s, é uma propriedade intrínseca do elétron, bem como de outras partículas, como a sua

carga e a sua massa. Da mesma forma que a carga é uma quantidade quantizada, o que significa

que somente podemos encontrar a carga na forma de múltiplos inteiros de certo valor




fundamental (a carga do elétron), o spin também é uma quantidade quantizada. O valor do spin é

sempre um múltiplo do valor ½.

No caso do elétron, o valor do spin é exatamente ½. Em função do seu spin, as partículas

elementares (aquelas que compõem os átomos, como prótons, elétrons e nêutrons, por exemplo)

são divididas em duas grandes famílias: os férmions69 (ou partículas fermiônicas) são aquelas

partículas com spin semi-inteiro (1/2, 3/2, 5/2, etc..) e os bósons70 (ou partículas bosônicas)

são aquelas que têm o spin inteiro (1, 2, 3, etc.). Os sinais positivo e negativo indicando

orientações espaciais opostas.

Quando consideramos elétrons em um átomo, o estado quântico de um destes elétrons é

caracterizado por um conjunto de quatro números: o número quântico principal, n, o qual indica o

nível da sua órbita (relacionado com a distância desse elétron até o núcleo), seu momento angular

em relação ao núcleo, l, o qual indica o formato da órbita (esférica, alteres, etc), seu número

quântico magnético, m, relacionado com a orientação espacial da órbita e por fim seu número

quântico de spin, s.

Um princípio importante da Mecânica Quântica, parte da Física que estuda o mundo das partículas

no nível atômico ou subatômico, é conhecido por Princípio de Exclusão de Pauli71. O que o

Princípio da Exclusão de Pauli nos indica é que os números quânticos de dois elétrons quaisquer

pertencentes ao mesmo átomo não podem ser todos iguais:

Partículas fermiônicas pertencentes a um mesmo sistema físico

não podem estar em um mesmo estado quântico.

A Mecânica Quântica nos mostra que associado ao spin temos certa quantidade de momento

angular, s, o qual desempenha um papel fundamental quando aplicamos um campo magnético

nos materiais, como veremos mais adiante. Esse momento angular associado ao spin é

quantizado, ou seja, somente pode assumir certos valores múltiplos de uma quantidade

fundamental. Em particular, a componente z desse momento angular associado ao spin é dada

por:

69

Em homenagem ao físico italiano Enrico Fermi (1901-1954).

70 Em homenagem ao físico indiano Satyendra Nath Bose (1894-1974).

71 Wolfgang Ernst Pauli (1900-1958), físico austríaco.




1 3, 1, , 2,...

2 2z s ss m m

eq. 114

A constante 2

h

(lê-se h cortado) é dada em termos da constante de Planck (h = 6,6261 x 10 – 34

J.s). Em especial, para elétrons: 1

2sm .

Associado ao momento angular devido ao spin há um momento de dipolo magnético intrínseco

das partículas. A relação entre o momento de dipolo magnético de spin, s, e o momento angular

de spin, s, é dada por:

s

e

m μ s eq. 115

Compare a eq. 115 com a eq. 112. Há um fator 2 na expressão do momento angular de spin em

relação à expressão do momento de dipolo relacionado com o movimento angular orbital.

Em geral, o momento magnético total do elétron (e do átomo) será uma combinação do momento

magnético orbital com o momento magnético de spin. Essa situação nos permite combinar as

expressões eq. 112 e eq. 115 na forma:

2

orb orb spin

eg g

m

μ l s eq. 116

Na eq. 116, lorb e s são as contribuições ao momento magnético do elétron devidas ao movimento

orbital e ao spin. Os fatores gorb e gspin são conhecidos como fatores de Landé72.

Uma quantidade importante que aparece na Mecânica Quântica é o magnéton de Bohr dado por:

2B

e

m eq. 117

Esta quantidade nada mais é do que a quantidade de momento de dipolo magnético de um

elétron, a unidade básica do momento de dipolo. Em termos dessa quantidade o momento de

dipolo magnético do elétron (eq. 116) pode ser escrito como:

72

Alfred Landé (1888 – 1976).




Borb orb spin sping g

μ l l eq. 118

Se chamarmos L a quantidade total de momento angular do átomo e por S a quantidade total de

momento angular de spin do átomo, então o momento de dipolo magnético total do átomo, M,

será dado por:

1 1

;N N

Borb orb spin orb j j

j j

g g

Μ L S L μ S s eq. 119

Na eq. 119 N é o número total de elétrons no átomo.

Materiais diamagnéticos, paramagnéticos e ferromagnéticos

Consideremos um átomo para o qual a soma expressa pela eq. 119 seja nula. Então não teremos

um momento de dipolo magnético resultante no átomo e, conseqüentemente, o material como

um todo não terá momento de dipolo magnético algum. Esse tipo de material é chamado de

material diamagnético.

Para que isso aconteça é necessário que tenhamos um número par de elétrons no átomo, com as

camadas eletrônicas preenchidas completamente. Para átomos com essas características, os spins

dos elétrons se cancelarão completamente, já que os elétrons estão aos pares em cada nível do

átomo e, pelo princípio da exclusão, se um elétron tem spin 1/2 o outro terá, necessariamente,

spin -1/2. Contudo, não temos nenhuma regra para o momento angular orbital dos elétrons. Uma

hipótese plausível é a seguinte: considerando que o espaço é isotrópico, o sentido de rotação dos

elétrons em torno do núcleo não tem uma direção preferencial. Portanto, podemos supor que

teremos elétrons com os seus respectivos momenta orbitais orientados aleatoriamente, de modo

que podemos escrever que, em média, o momento orbital total associado aos elétrons é nulo.

Esse tipo de material, quando colocado em uma região onde temos um campo magnético poderá

se tornar fracamente magnetizado pela alteração provocada pelo campo magnético na órbita dos

elétrons. O estudante deve observar que ao impor um campo magnético externo quebramos a

simetria existente: a direção do campo magnético não tem as mesmas propriedades das outras

direções no espaço.

O diamagnetismo é a forma mais fraca de magnetização dos materiais. O mecanismo básico é o

seguinte: ao aplicarmos um campo magnético em um material esse campo magnético interage




com as órbitas dos elétrons em torno do núcleo, modificando-as. Ao modificar estas órbitas o

átomo responde com um campo magnético em sentido oposto ao campo aplicado, o que faz com

que o campo no interior do material seja diminuído em relação ao seu valor no vácuo. Todos os

materiais apresentam o efeito diamagnético. Contudo, como esse efeito é muito fraco em relação

ao paramagnetismo e ao ferromagnetismo o diamagnetismo somente é passível de observação

em materiais que não apresentam as outras formas de magnetização (p. ex., o cobre e a prata).

Por outro lado, consideremos um átomo com um número ímpar de elétrons. Nesse caso teremos

um ou mais elétrons não pareados e cada átomo terá um momento de dipolo magnético

intrínseco. Esse momento de dipolo magnético é associado ao spin do elétron não pareado, já que

agora, mesmo que em média o momento angular orbital total devido aos elétrons seja nulo, ainda

teremos o momento angular de spin associado ao elétron não pareado. Aqui devemos distinguir

dois tipos de situações.

O primeiro tipo é quando os átomos vizinhos no material interagem muito fracamente, de modo

que o que acontece com um átomo não influencia o que acontece com seu vizinho. Para esses

materiais, a orientação dos diferentes momenta de dipolo será aleatória quando não temos

nenhum campo magnético presente e o material como um todo não terá uma direção preferencial

para esses momenta de dipolo, não tendo características magnéticas, portanto. Esse tipo de

material recebe o nome de paramagnético. Esses materiais quando colocados na presença de um

campo magnético terão seus momenta de dipolo orientados pelo campo, se tornando eles

mesmos materiais magnéticos. Ao retirarmos o campo, o efeito da agitação térmica das partículas

desfará o ordenamento imposto pelo campo e o material deixará de ser magnético. Observe que o

efeito diamagnético também está presente nesses materiais, já que o campo aplicado interage

com as camadas completas, modificando as órbitas dos elétrons nessas camadas. Contudo, o

efeito paramagnético de orientação dos momenta de dipolo magnético intrínsecos dos átomos é

muito mais intenso, mascarando o efeito diamagnético (p. ex., o alumínio e a platina).

O segundo tipo de situação é encontrado em materiais para os quais existe uma forte interação

entre vizinhos. Nesses materiais, o mais apropriado é falar-se em domínios magnéticos. Esses

domínios são regiões dentro do material que possuem uma orientação magnética preferencial,

apresentando magnetização espontânea. Contudo, como os domínios são orientados

aleatoriamente, a magnetização do material na ausência de um campo magnético externo é nula.

Ao aplicarmos um campo externo nesses materiais, ocorre um efeito não linear entre o campo e o




momento de cada domínio: aqueles domínios cujo momento de dipolo magnético é paralelo ao

campo crescem as custas dos domínios vizinhos cujo momento de dipolo magnético não é paralelo

ao campo. Com isso o material passa a ter uma direção preferencial de magnetização e o material

se torna magnético como um todo. Esses materiais são chamados de materiais ferromagnéticos

(p. ex., o ferro e o níquel).

A magnetização (M) e correntes de magnetização

Da mesma forma que fizemos no caso eletrostático, quando definimos a Polarização, P, podemos

no caso magnético definir uma grandeza semelhante chamada de magnetização. Considere um

pequeno elemento de volume de material, V, no qual temos N’ átomos, cada um com seu

momento de dipolo magnético (eq. 112). Podemos, então, calcular o momento de dipolo

magnético médio nesse elemento de volume. Esse valor médio é a magnetização:

'

1

1 N

tiiV

M μ eq. 120

Da mesma forma que podemos associar densidades de carga (superficiais ou volumétricas) com a

Polarização, podemos associar densidades de corrente (superficiais ou volumétricas) com a

magnetização. Essas densidades de corrente são chamadas de correntes de magnetização.

Vamos começar definindo as correntes de magnetização superficiais. Consideremos, por

simplicidade, um corpo cilíndrico, magnetizado. Por hipótese, vamos supor que a magnetização do

cilindro é uniforme, na direção z, por exemplo (Figura 105). Se analisarmos o que acontece dentro

do cilindro, vemos que dois elementos adjacentes têm correntes que se cancelam. Considere o

que acontece ao longo do eixo x mostrado na figura.

Os elementos de volume na parte positiva do eixo x possuem correntes que, ao longo do eixo y,

fluem com sentido para a parte negativa do eixo y. Por outro lado, as correntes dos elementos ao

longo do eixo y que estão na parte negativa do eixo x possuem correntes que têm sentido para a

parte positiva do eixo y. Então essas correntes se cancelam ao longo do eixo y. Isso acontece para

qualquer linha que tomemos dentro do cilindro.




Figura 105 – Cilindro uniformemente magnetizado.

Nas faces laterais do cilindro, por outro lado, isso não acontece. Nessas faces, se tomarmos as

correntes internas nos elementos de volume adjacentes às faces, essas correntes não terão do

lado de fora do cilindro nenhuma outra corrente que as cancele. O efeito disso é que teremos

sobre a superfície do cilindro uma densidade de corrente devida à magnetização, a densidade

superficial de corrente de magnetização, Jms.

Consideremos agora um pequeno elemento de volume do cilindro (veja a Figura 106).

Figura 106 – Pequeno elemento de volume magnetizado.

Vamos fazer a seguinte hipótese: a densidade de corrente de magnetização depende apenas da

coordenada z, não dependendo do ângulo . Portanto, a corrente di fluindo na superfície externa

lateral do anel é dada por:

ms ms

didi dz

dz J J eq. 121

Implícita nessa expressão está a hipótese de que a densidade de corrente de magnetização é

constante em módulo sobre a superfície do elemento cilíndrico, não dependendo do ângulo . A

z

M

M M

M M

M

M M M M M

y

x M M M

Jms

M

dz

e

z n

R

n̂




direção e o sentido dessa corrente de magnetização são dados pelo vetor e. Pode ser mostrado

que o momento de dipolo magnético dμ desse pequeno elemento de volume é dado por:

2zdiS di R dμ n e

Usando a eq. 121, podemos reescrever esse momento de dipolo magnético como:

2 2 3 3 2ms msdi R dz R d v d v dz R

dμ J dμ J

Portanto, usando a definição de magnetização (eq. 120) podemos escrever que a densidade de

corrente de magnetização é dada por:

3ms msd v

dμJ J e e M e

A magnetização tem direção ez enquanto que a corrente de magnetização tem direção e. Por

outro lado o vetor normal à superfície lateral do cilindro, n̂ , tem direção e. Logo:

ˆzM M

M n e e e

Portanto, a corrente superficial de magnetização pode ser escrita como:

ˆms J M n eq. 122

Quando a magnetização no interior do material não é uniforme, podemos associar essa variação

da magnetização a uma densidade de corrente de magnetização volumétrica, Jmv. de Um pouco

mais complicado matematicamente é demonstrar que neste caso, a corrente volumétrica de

magnetização se relaciona com a magnetização do material por:

mv J M eq. 123.

O estudante interessado em ver os detalhes da derivação da eq. 123 pode consultar o texto de

NUSSENSWEIG73.

73

Volume 3, página 233 e seguintes.




Campos magnéticos em meios materiais: o vetor H

Vamos agora usar os resultados da seção anterior para calcular o campo magnético no interior dos

materiais magnéticos. Ao contrário da resposta de materiais dielétricos quando colocados em uma

região na qual temos um campo elétrico, resposta esta que é sempre de mesma natureza, ou seja,

criando um campo oposto ao campo aplicado, a resposta de materiais magnéticos é variável

dependendo do tipo de magnetização que temos no material.

De qualquer modo, não importando o material, podemos escrever a Lei de Gauss para o

magnetismo e a Lei de Ampère74 na forma:

0

0 Lei de Gauss

. Lei de AmpèreC

dS

i

B.n

B dl

A Lei de Gauss não precisa ser modificada, pois os campos criados pelas correntes de Ampère têm

fluxo nulo, a exemplo do campo criado por qualquer corrente. A Lei de Ampère, no entanto, tem

do lado direito as correntes que atravessam a superfície S, qualquer, limitada pela curva C. Essa

corrente, agora, pode ter duas origens: correntes de partículas carregadas livres que podem se

movimentar pelo material magnético, il, e as correntes de magnetização, im. Logo, a Lei de Ampère

deve ser reescrita como:

0 0. ( )l m

C

i i i B dl

Vamos usar agora a definição da corrente de magnetização em termos da densidade de corrente

de magnetização:

. .m m

S S

i dS dS J n M n eq. 124

Na última igualdade foi usada a eq. 123. Podemos colocar essa expressão para a corrente de

magnetização em uma forma mais apropriada usando o Teorema de Stokes. Este teorema

relaciona a integral ao longo de uma curva C de um campo vetorial V à circulação do campo

vetorial V ao longo da curva, com o a integral do rotacional do campo vetorial V sobre uma

superfície S, qualquer e aberta, limitada pela curva C (veja a Figura 107):

74

Lembrando sempre que não temos ainda a forma final da Lei de Ampère.




. .C S

dS V dl V n eq. 125.

Figura 107 – Figura para o Teorema de Stokes

Usando o Teorema de Stokes, a corrente de magnetização (eq. 124) pode ser reescrita como:

.m

S c

i dS M n M.dl eq. 126

Portanto, a Lei de Ampère em materiais magnéticos será escrita como:

0

0 0

0 0

.

. ( )

.

l m l

C c

l

C

l

C

i i i

i

i

B

M dl

B dl M.dl

B M dl

A quantidade que aparece nos colchetes recebe o nome de vetor H:

0

BH M eq. 127.

Em termos deste vetor, a Lei de Ampère se escreve:

. l

C

iH dl eq. 128

Curva C

Superfície S Campo vetorial V




A relação entre o vetor H e o vetor B, eq. 127, é chamada de relação constitutiva do material. A

exemplo do que fizemos para materiais dielétricos, a eq. 128 incorpora no vetor H a resposta do

meio ao campo magnético aplicado.

Da mesma forma que fizemos para o campo elétrico e o vetor deslocamento elétrico, podemos

escrever a relação constitutiva do meio magnético em termos de constantes que dependem do

meio, a susceptibilidade do meio e a permissividade do meio. Vamos supor que o meio seja linear,

isotrópico e homogêneo. Nesse tipo de meio, é lícito supor uma relação entre o vetor H e o vetor

M de tipo linear:

mM H eq. 129

A constante de proporcionalidade, m ,é chamada de susceptibilidade magnética do meio. Em

termos dessa susceptibilidade, a relação constitutiva para materiais magnéticos se escreve:

0

0 0

0 0

0

1

1 ;

m

m m

m m m

BH M

B H M H H

B H B H

B H

A constante é chamada de permeabilidade magnética do material. A constante m é chamada

de permeabilidade magnética relativa.

A classificação dos materiais lineares, ou seja, os que obedecem à eq. 129, depende do valor da

susceptibilidade magnética.

Para os materiais diamagnéticos a susceptibilidade do material é menor que zero: 0m . Nesses

materiais, o campo magnético fica reduzido dentro do material em relação ao valor que o campo

teria se o espaço contivesse o vácuo no lugar do material dielétrico. Para esses materiais, a

permeabilidade magnética é menor que o valor da permeabilidade magnética no vácuo:

0 0 00

1 1 1m

m m m




Os materiais paramagnéticos, por outro, lado são materiais para os quais os átomos têm um

momento de dipolo magnético diferente de zero. Assim esses átomos terão um momento de

dipolo orbital mais o momento de dipolo de spin dos elétrons diferente de zero. Nesses materiais,

os níveis atômicos não estão completamente preenchidos, como no caso de materiais

diamagnéticos, havendo um ou mais elétrons não pareados com outros elétrons na mesma órbita.

Desse modo, o momento de dipolo magnético total do átomo não é nulo.

Entretanto, embora os átomos individualmente tenham um momento de dipolo diferente de zero,

a orientação dos diferentes momenta de dipolo dos diferentes átomos é aleatória. Em vista disso,

se tomarmos um pequeno elemento de volume, a soma dos diferentes momenta de dipolo será

nula.

Por outro lado, nos materiais paramagnéticos a susceptibilidade é um número maior que zero:

0m . Logo, nesses materiais, o campo fica aumentado em relação ao valor do campo magnético

se na região onde colocamos o material magnético tivéssemos vácuo, pois nesse caso, a

permeabilidade magnética é maior que o valor da permeabilidade no vácuo:

0 0 00

1 1 1m

m m m

Deve ser observado que, tanto nos materiais diamagnéticos como nos materiais paramagnéticos

os átomos se comportam como se fossem partículas independentes, com uma interação muito

fraca com seus vizinhos na rede do material. Essa é a diferença básica entre os materiais

paramagnéticos e os materiais ferromagnéticos que estudaremos a seguir. Para estes últimos, a

interação com seus vizinhos é forte e não pode ser desprezada.

Propriedades dos materiais ferromagnéticos

Tanto a diamagnetização como a paramagnetização são fenômenos de baixa intensidade. Se por

um lado, a resposta paramagnética é maior do que a resposta diamagnética nos materiais, por

outro, o diamagnetismo está sempre presente. Contudo, como o paramagnetismo é bem maior,

quando este efeito está presente, o efeito diamagnético fica oculto. Outra característica

importante é que tanto nos materiais paramagnéticos e como nos materiais diamagnéticos uma

vez que o campo magnético externo é retirado o caráter magnético do material cessa. Eles não

são capazes de manter a magnetização de forma permanente.




O ferromagnetismo, por sua vez, é um fenômeno de maior intensidade e ocorre em materiais tais

como o ferro, o cobalto, níquel, etc. Os materiais ferromagnéticos têm duas características

fundamentais que os distinguem dos materiais paramagnéticos:

1. Esses materiais são capazes de manter sua magnetização mesmo quando o campo externo é retirado;

2. Nesses materiais a resposta do material a um campo magnético aplicado não é linear.

Uma característica importante dos materiais ferromagnéticos é a dependência com a temperatura

que esses materiais apresentam. Existe uma temperatura, chamada de Ponto de Curie, Tc, acima

da qual o material se torna paramagnético.

Outra assinatura desses materiais é a sua curva de magnetização. Uma curva de magnetização é

uma curva na qual desenhamos a magnetização do material em função do campo magnético

aplicado, como na Figura 108.

Figura 108 – Curva de magnetização de um material ferromagnético.

Para materiais ferromagnéticos, se desenharmos a curva de magnetização, primeiro aumentando

o campo aplicado e depois diminuindo observa-se que o material não segue a mesma trajetória.

Esse fenômeno é chamado de histerese e é mostrado na Figura 109.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Ma

gn

etiza

çã

o (

UA

)

Intensidade do campo aplicdo (UA)




Expressaremos a magnetização e o campo H na forma:

HH

MM

HH

MM

.

Inicialmente, na posição 1, não temos campo magnético aplicado (H= 0) e também não temos

magnetização (M= 0). Começamos então a aumentar o campo aplicado, e provocamos um

aumento na magnetização do material. Observe que a resposta do sistema ao campo aplicado,

expressa pela magnetização, não é linear com o campo. Atingimos um estágio de saturação na

posição 2. Por saturação, indicamos a situação na qual não aumentamos mais a magnetização

mesmo se continuarmos aumentando o campo aplicado.

Figura 109 – Curva de Histerese.

Começamos então a diminuir o módulo do campo aplicado. A magnetização começa a diminuir

também em módulo também. Porém, observe que a trajetória seguida pela magnetização não é a

mesma trajetória seguida quando aumentamos o campo (curva 1 – 2). Quando o campo

magnético atinge o valor nulo, posição 3, a magnetização é diferente de zero. Nesse ponto, o

campo inverte o seu sentido (valores negativos de H). Nessa posição, o vetor H muda de sentido,

porém a magnetização permanece no mesmo sentido, mas diminui em módulo a medida que o

campo aplicado aumenta em módulo. Na posição 4, embora o campo aplicado não seja nulo, a

magnetização atinge o valor zero. Se continuarmos a aumentar o módulo do campo magnético a

magnetização muda de sentido (fica negativa em módulo), diminuindo de valor (aumentando em

1

2 3

4

5 6

M

H

7




módulo) ao aumentarmos o módulo do campo magnético. A partir da posição 5 atingimos uma

nova saturação: se aumentarmos o módulo do campo aplicado não aumentaremos o valor da

magnetização.

A seguir começamos a diminuir o módulo do campo magnético aplicado. A magnetização

acompanha, novamente de forma não linear, o decréscimo do campo. Contudo, a curva seguida

(segmento 5 – 6) não é a mesma seguida quando diminuímos o valor do campo magnético

aplicado. Novamente, quando o campo magnético é nulo (posição 6) a magnetização não é nula. O

ciclo se completa quando retornamos à posição 2, passando pela posição 7, quando a

magnetização inverte novamente seu sentido, voltando ao valor de H para o qual a saturação é

atingida.

A conclusão que podemos tirar é que a resposta do material ferromagnético depende da história

do material. Essa história fica guardada na orientação dos momenta de dipolo do material.

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