curso convexa

7/24/2019 curso convexa

1/118

Alguns Teoremas de Curvas Convexasno Plano

Hilario Alencar Walcy Santos


2/118


3/118

Prefacio

Neste texto, apresentamos alguns resultados de curvas convexasno plano. Comecamos estudando as curvas localmente. O pri-

meiro captulo apresenta o comportamento de uma curva dife-renciavel em uma vizinhanca de um ponto de seu traco. Aqui,exploramos o conceito de curvatura de uma curva plana, mos-trando que ela determina a curva, a menos de sua posicao noplano. Depois estudamos as curvas convexas no plano. Alem daspropriedades geometricas de tais curvas, introduzimos a nocaode largura de uma curva e fazemos uma introducao as curvas delargura constante.

Este texto e parte adaptada do Livro Geometria Diferencialdas Curvas Planas dos mesmos autores ([AS]).

3


4/118

4


5/118

Sumario

1 Curvas Planas 7

1.1 Curvas Suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2 Vetor Tangente - Reta Tangente . . . . . . . . . . 241.3 Reparametrizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . 281.5 Campo de Vetores ao Longo de Curvas . . . . . . 341.6 Curvatura e Formulas de Frenet . . . . . . . . . . 371.7 Teorema Fundamental das Curvas Planas . . . . . 461.8 Forma Canonica Local . . . . . . . . . . . . . . . 481.9 Evolutas e Involutas . . . . . . . . . . . . . . . . 501.10 Numero de Rotacao de uma Curva Fechada . . . 561.11 Curvatura Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.12 Indice de Rotacao de Curvas Fechadas Simples . . 68

2 Curvas Convexas 71

2.1 Curvas Fechadas e Convexas . . . . . . . . . . . . 732.2 Teorema de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.3 Curvas de Largura Constante . . . . . . . . . . . 952.4 Comprimento e Area de Curvas Convexas . . . . 1062.5 Curvas Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Referencias Bibliograficas 117

5


6/118

6


7/118

Captulo 1

Curvas Planas

Intuitivamente, gostaramos de pensar em uma curva no pla-no como um subconjunto que tenha dimensao igual a 1, porexemplo, o grafico de funcoes de uma variavel real ou figurasdesenhadas com um unico traco, sem tirar o lapis do papel.De forma um pouco mais precisa, uma curva e uma deformacaocontnua de um intervalo, ou ainda, a trajetoria de um desloca-mento de uma partcula no plano.

Como exemplos dos objetos que queremos definir, veja as figurasa seguir:

7


8/118

8 Curvas Planas

Tornar essas ideias mais precisas e aplicaveis pode ser umtrabalho longo e difcil. Um primeiro ponto de vista, inspiradona Geometria Analtica, seria considerar uma curva em IR2 comoo conjunto de pontos (x, y) IR2 que satisfazem uma equacaodo tipo

F(x, y) = 0.

Muitos exemplos que gostaramos de considerar como curvasestao nessa classe de subconjuntos do plano, veja as figuras aseguir:


9/118

Curvas Planas 9

ax+by+c= 0 y f(x) = 0 x2 +y2 = 1

y x2 = 0 4x2(x2 1) +y2 = 0 x3 y2 = 0

Mesmo para funcoes muito bem comportadas, esse tipo deconjunto pode ficar muito longe da ideia do que consideramosuma curva. Por exemplo, para a funcao definida por F(x, y) =

xy, a equacao F(x, y) = 0 descreve o conjunto formado peloseixos coordenados, que aparentemente nao se enquadra na nossaideia original, ou seja, de uma figura tracada sem tirarmoso lapis do papel. Por outro lado, existem conjuntos que gos-taramos de considerar como curvas e que nao podem ser des-critos desse modo. Em muitas situacoes, considerar o caso es-pecial em que curvas sao descritas por uma equacao da formaF(x, y) = 0 pode ser util. Um caso especialmente importante equando F(x, y) e um polinomio em duas variaveis. Nesse caso, oconjunto F(x, y) = 0 e chamado uma curva algebrica. O estudodesse tipo de curva e o ponto inicial da Geometria Algebrica,


10/118

10 Curvas Planas

um importante ramo da Matematica.

No contexto de Geometria Diferencial, em vez de conside-rarmos curvas definidas por equacoes, vamos retornar a ideiaintuitiva que uma curva deve descrever a trajetoria contnua domovimento de uma partcula sobre o plano. Se considerarmosque um ponto(t) representa a posicao de uma partcula em mo-vimento contnuo, quando o tempot varia em um intervalo [a, b],o conjunto que iremos considerar eC ={(t)IR2, t[a, b]}.A vantagem dessa abordagem e que ela podera ser facilmenteformalizada e contera varias informacoes sobre como o ponto(t) percorre o conjuntoC, o sentido que o ponto anda sobre

C: podemos definir sua velocidade, sua aceleracao, etc.. Vamosintroduzir a definicao formal de curva.Definicao 1.1 Uma curva contnua no plano IR2 e uma aplica-cao contnua : I IR2, definida num intervalo I IR. Aaplicacao , dada por (t) = (x(t), y(t)), e contnua, se cadafuncao coordenadax, y:IIR e uma funcao contnua.

O conjunto imagemC da aplicacao , dado porC ={(t) = (x(t), y(t)), tI} ,

e chamado de traco de . Observe que, com a definicao acima,

estamos estudando todo o movimento da partcula e nao apenaso conjuntoC. Nesse caso, e dita uma parametrizacao deC edenominamos t o parametro da curva .

Se a curva esta definida em um intervalo fechado I= [a, b],os pontos(a) e(b) sao chamados de ponto inicial de e pontofinal de , respectivamente.

Se esta definida num intervalo I = [a, b] e (a) = (b),dizemos que e uma curva fechada. Uma curva : IRIR2 edita periodicase existe um numero real l >0, tal que

(t+l) =(t),


11/118

Curvas Planas 11

para todotIR. O menor valor l0 para o qual a equacao acimase verifica e chamado de perodode . E claro que a curva ficacompletamente determinada por sua restricao a um intervalo daforma [t0, t0+l0].

Uma curva : I IR2 e dita simples, se a aplicacao for injetiva. Quando temos que (t1) = (t2), com t1, t2 I et1=t2, dizemos quepossui um ponto duplo (ou multiplo) emt1et2. Uma curva fechada : [a, b]IR2 e ditafechada e simples,se (t)= (s) para todo t= s [a, b) e (a) = (b), isto e,se o unico ponto duplo de ocorre nos seus pontos inicial/final.Quando e uma curva fechada e simples, ela e denominadacurva

de Jordan. Em muitas situacoes, quando nao houver prejuzo noentendimento, iremos denominar o traco de uma curva de Jordantambem como curva de Jordan.

Vamos encerrar esta secao com alguns exemplos ilustrativosde curvas contnuas no plano.

1. Crculos e elipsesO crculo de raio R e centro na origem O, SR(O), e o

conjunto de pontos (x, y) IR2 cuja distancia ao ponto(0, 0) e constante e igual a R, isto e,

x2 +y2 =R.O crculo SR(O) e o traco da curva contnua, definida por(t) = (R cos t, R sen t), t IR. O parametro t representao angulo que (t) faz com o eixo Ox. Mais geralmente,o crculo de centro (a, b) e raio R, SR((a, b)), e o tracoda curva : IR IR2, dada por (t) = (a+ R cos t, b+R sen t). Observe que e uma curva periodica de perodo2 e, portanto, quandot percorre a reta real, (t) move-sesobreSR((a, b)) no sentido anti-horario um numero infinitode vezes. Se restringimos o domnio de a um intervalo


12/118

12 Curvas Planas

de comprimento 2 entao (t) percorrera SR((a, b)) uma

unica vez. A curva |[0,2] e uma curva de Jordan.

A curva : [0, ]IR, dada por

(t) = (cos 2t, sen2t),

e uma outra parametrizacao deSR(O). Tal curva tambempercorreSR(O) no sentido anti-horario, porem com o dobroda velocidade escalar de .

A elipse de focos P1 e P2 e o conjunto de pontos (x, y)

IR2 cuja soma das distancias aos pontos P1 e P2 e umaconstante. Se escolhemos o sistema de coordenadas de IR2

de modo que P1 = (c, 0) e P2 = (c, 0), com c >0, entaoa elipse e descrita por uma equacao da forma

x2

a2+

y2

b2 = 1,

com a, b numeros reais positivos. Seja (x, y) = (0, 0) econsidere t o angulo que o vetor com ponto inicial na ori-gem e ponto final (x, y) faz com o semi-eixo Ox positivo.


13/118

Curvas Planas 13

Agora podemos parametrizar a elipse pelo traco da curva

: [0, 2]IR2

, dada por

(t) = (a cos t, b sen t), a, b >0.

A elipse intersecta os eixos coordenados nos pontos A =(a, 0), A = (a, 0), B = (0, b) e B = (0, b). Os segmen-tos AA e BB sao chamados de eixos da elipse.

2. Hiperbole

A hiperbole de focosP1e P2e o conjunto de pontos (x, y)IR2 cuja diferenca das distancias aos pontosP1 e P2 e, emvalor absoluto, uma constante. Se escolhemos o sistema decoordenadas de IR2, tal que P1= (c, 0) eP2= (c, 0) comc > 0, entao a hiperbole (veja figura a seguir) e descritapor uma equacao do tipo

x2

a2 y

2

b2 = 1,

onde ae b sao numeros reais e positivos.


14/118

14 Curvas Planas

Consideremos as funcoes cosseno hiperbolico e seno hiper-bolico dadas, respectivamente, por

cosh t= et +et

2 e senh t=

et et2

.

Logo, como cosh2 t senh 2t= 1, podemos parametrizar oramo direito da hiperbole pelo traco da curva : IRIR2,definida por

(t) = (a cosh t, b senh t).

3. Parabola de NeillA parabola de Neill, veja figura abaixo, e o conjunto depontos (x, y)IR2, tal quex3y2 = 0. Seja (x, y)= (0, 0)e considerethetao angulo que o vetor com ponto inicial naorigem e ponto final (x, y) faz com o semi-eixoOxpositivoe seja t= tan . Assim podemos parametrizar a parabolade Neill pelo traco da curva : IRIR2, definida por

(t) = (t2, t3).


15/118

Curvas Planas 15

4. GraficosSeja f :IIR uma funcao de classeCk. O conjunto

G ={(x, y)I IR|y=f(x)} IR2

e chamado de grafico de f. E claro queG pode ser, natu-ralmente, parametrizado pela curva : I IR2 de classeCk, dada por

(t) = (t, f(t)).

Por exemplo, se consideramos a funcao f : IRIR, dadapor f(t) =

a

2

et/a + et/a

= a cosh(t/a), onde a e uma

constante positiva, obtemos que o grafico de f, ou equi-valentemente, o traco de descreve uma catenaria. Acatena- ria e a curva obtida quando uma corda de pesouniforme e presa em dois pontos e e deixada sob a acaoda forca gravi- tacional. A catenaria tem outros interessesgeometricos, como no estudo de superfcies minimizantesde area.


16/118

16 Curvas Planas

Um outro exemplo de uma curva dessa forma e obtidoquando consideramos f : IR+ IR, dada por f(x) =sen(1/x). Observe que nenhum ponto do segmento {(0, y);1y1}pertence ao grafico de f, porem existem pon-tos do grafico defarbitrariamente proximos de cada pontodesse segmento.

5. LemniscataA lemniscata, veja figura abaixo, e o conjunto de pontos(x, y)IR2, tal quey2 = 4x2(1 x2). Agora consideremosto angulo entre um vetor de IR2, com ponto final (x, y), eo eixo Ox. Podemos, portanto, parametrizar a lemniscatapelo traco da curva : [0, 2]IR2, dada por

(t) = ( sen t, sen2t).


17/118

Curvas Planas 17

6. Curvas de LissajousVamos descrever apenas uma classe especial dessas curvas,as quais aparecem na Mecanica, quando duas oscilacoeselasticas ocorrem simultaneamente em planos ortogonais,por exemplo, os pendulos duplos. A curva de Lissajous eo traco da curva : IRIR2, definida por

(t) = ( sen at,sen bt), a, b >0, a=b.Note que a lemniscata e um caso particular da curva deLissajous, quando a = 1 e b= 2. A figura abaixo mostraum esboco do traco de no caso em que a= 2 e b= 3.

Observe que o traco deesta contido no quadrado [1, 1][1, 1]. A curva e periodica, se e somente se a/b e umnumero racional.


18/118

18 Curvas Planas

7. Cicloide

A cicloide e a trajetoria descrita por um ponto P = (x, y)de IR2, localizado no crculo de raio r e centro O, quegira ao longo do eixo Ox, sem escorregar e com aceleracaoescalar constante. Sejau o vetor com ponto inicial em O

e ponto final em P, e sejat o angulo descrito pelo vetor u,supondo que P coincida com a origem O, quando t = 0,conforme a figura abaixo.

Entao o arco

QP tem o mesmo comprimento que o seg-mento com ponto inicial na origem O e ponto final Q,onde Q e o ponto de intersecao entre o crculo e o eixoOx. Conclumos que rt e r sao abscissa e ordenada, res-pectivamente, de O e, consequentemente,

x= rt r cos

3

2 t

=rt r sen t

y= r r sen

3

2 t

=r r cos t

(1.1)

sao as coordenadas deP. Logo podemos descrever a ciclo-ide, como sendo o traco da curva parametrizada : IRIR2, dada por

(t) = (rt

r sen t, r

r cos t).


19/118

Curvas Planas 19

Notamos que e possvel eliminar t nas equacoes (1.1). De

fato, usando essas equacoes, cos t = 1 y

r e, portanto,

t= arccos

1 yr

. Assim

sen t=

1 cos2 t=

(2r y)yr

e obtemos a equacao cartesiana da cicloide, dada por

x= r arccos 1 y

r(2r y)y.8. Espirais

A espiral de Arquimedes, veja figura a seguir, e o conjuntode pontos (x, y) de IR2, tal que

x tan

x2 +y2

a

=y, a >0.

Observamos que, em coordenadas polares, sua equacao edada por

r= a, a >0.

Logo podemos descrever a espiral de Arquimedes, comosendo o traco da curva : [0, )IR2, definida por

(t) = (at cos t,at sen t).

Esbocamos abaixo a espiral de Arquimedes com a = 1.


20/118

20 Curvas Planas

9. Considere as funcoes f , g: IR

IR dadas por:

f(t) =

e1/t

2

, se t= 0,0, se t= 0,

g(t) =

e1/t

2

, se t >0,0, se t0.

A curva : IR IR, definida por (t) = (x(t), y(t)) =(f(t) + 1, g(t) + 1), e uma curva contnua cujo traco e auniao das semi-retasy=x, x

1 e y = 1, x

1.


21/118

Curvas Planas 21

Observe que as funcoes x e y sao diferenciaveis em IR,

porem x

(0) = y

(0) = 0. Este exemplo mostra que otraco de uma curva pode ter bicos, mesmo quando suascoordenadas sao funcoes diferenciaveis.

10. Curvas que preenchem o espaco - Curva de Peano e curvade Hilbert:Essas curvas foram pesquisadas originalmente pelo mate-matico Giuseppe Peano no seculo XIX, e como homena-gem ao pesquisador, as curvas de preenchimento do espacosao referenciadas como curvas de Peano. Outros pesquisa-dores, como David Hilbert, deram continuidade a pesquisadas curvas de preenchimento do espaco estendendo-as paraes- pacos n-dimensionais. As curvas de Peano-Hilbert fun-cionam baseadas na particao do espaco, de forma contnuae unica. Como cada particao e um subespaco similar aooriginal, a construcao pode ser novamente aplicada a cadaparticao, gerando novas particoes e assim sucessivamente.A curva de Hilbert e a aplicacao limite desse processo, apli-cado ao conjunto formado por tres segmentos de reta decomprimento um, dois a dois ortogonais, formando uma fi-gura U. As figuras a seguir mostram os tracos das cinco

primeiras etapas da construcao da curva de Hilbert.

A curva limite obtida por este processo sera uma curvacontnua cujo traco e todo o quadrado [0, 1]

[0, 1]. E.


22/118

22 Curvas Planas

Moore obteve uma construcao similar, tomando-se inicial-

mente um quadrado, construiu uma curva, chamadacurvade Moore, cujo traco preenche [0, 1] [0, 1], porem em cadaetapa da construcao, temos uma curva de Jordan. A figuraa seguir mostra a quarta etapa da construcao da curva deMoore.

Podemos fazer uma construcao similar a essa, onde, emcada etapa, temos uma curva de Jordan diferenciavel. Vejaas figuras a seguir:

1.1 Curvas Suaves

Nesta secao, vamos estudar localmente uma curvano plano,isto e, fixado t0, estudaremos como se comporta (t) para va-lores de t proximo de t0. Para este estudo, o ideal seria quepudessemos ter uma reta que fosse uma boa aproximacao para


23/118

Curvas Planas 23

esta curva numa vizinhanca de um ponto sobre a curva. No en-

tanto, somente com a definicao de curvas contnuas, isso nemsempre e possvel. Se escrevemos como

(t) = (x(t), y(t)),

entao e uma aplicacao suave, se e somente se cada funcaocoordenada x, y : I IR e uma funcao de classeC, isto e,x e y possuem derivadas contnuas de qualquer ordem em todoponto de I. Assim, podemos introduzir o seguinte conceito:

Definicao 1.2 Uma curva parametrizada suave ou um caminho

no plano IR2

e uma aplicacao suave

: IIR2,

que a cadatIassocia(t)IR2. Quando nao houver prejuzodo entendimento, iremos nos referir a tais curvas simplesmentecomo curvas parametrizadas ou curvas suaves.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1.1 (Curva constante)A aplicacao : IRIR2 dadapor

(t) = (a, b)

e uma curva parametrizada cujo traco se reduz ao ponto (a, b).

Exemplo 1.2 ConsidereP = (a0, b0)= Q = (a1, b1) pontos deIR2. A aplicacao : IRIR2, dada por

(t) =P+t(P Q) = (a0+t(a1 a0), b0+t(b1 b0)),

e uma curva parametrizada cujo traco e a reta que passa porPeQ.


24/118

24 Curvas Planas

Seja: IRIR2 uma aplicacao definida por

(t) =P+t3(P Q) = (a0+t3(a1 a0), b0+t3(b1 b0)).

A aplicacao tambem e uma curva parametrizada cujo traco ea reta que passa porP eQ. Observemos que epossuem omesmo traco. A diferenca entre essas curvas esta na velocidadeque seu traco e percorrido.

Exemplo 1.3 A aplicacao : IRIR2, dada por

(t) = (t,

|t

|),

nao e uma curva parametrizada suave. De fato, a funcao y,definida por y(t) =|t|, nao e diferenciavel em t = 0. Porem,a restricao de , a qualquer intervalo que nao contem o pontot= 0, e uma curva parametrizada.

1.2 Vetor Tangente - Reta Tangente

Seja : IIR2 uma curva parametrizada, dada por (t) =(x(t), y(t)). O vetor tangente (ou vetor velocidade) de em

t0I e dado por(t0) = (x

(t0), y(t0)).

A velocidade escalar de em t0I e dada pelo modulo do vetorvelocidade (t0), isto e,

(t0)=

(x(t0))2 + (y(t0))2.

Quando (t0)= (0, 0), tal vetor aponta na direcao tangente acurva em t

0.


25/118

Curvas Planas 25

O vetor(t0) aponta na direcao da reta tangente a curva no ponto

(t0) e esta reta e a reta limite das retas secantes a curva passando por

(t0) e por(t), quando fazemost tender at0 .

Definicao 1.3 Dizemos que uma curva parametrizada : IIR2 e regular em t0I, se(t0)= (0, 0), ou equivalentemente,se(t0) = 0. A curva e regular emI, se for regular paratodo t I. Se(t0) = 0, dizemos que e singular em t0 e(t0) e chamada uma singularidade de.

Como afirmamos, se for uma curva regular, o vetor (t)aponta para a direcao tangente a curva no ponto (t) e pode-mos, portanto, definir a reta tangente a curva em (t) por

rt(u) =(t) +u(t),

onde uIR.Veremos mais adiante que a retart0(u) e a melhor aproximacao

linear de em t0.Intuitivamente, o traco de uma curva regular e suave, sem bi-

cos, exceto por possveis pontos de auto-intersecao. Localmente,porem, nao tem auto-intersecao como mostra o resultado se-guinte.

Proposicao 1.1 Seja : I IR2 uma curva parametrizada eregular em t0 I. Entao existe > 0, tal que e injetiva nointervalo I

0=

{t

I| |

t

t0|

< }

.


26/118

26 Curvas Planas

Prova: Como(t0)= (0, 0), temos quex(t0)= 0 ouy (t0)= 0.Vamos supor que x

(t0)= 0. Logo, visto que x

e uma funcaocontnua, existe > 0, tal que x(t) = 0, para todo t I0.Nesse caso,xe estritamente monotona e, portanto injetiva, o queimplica que |I0 e injetiva. A prova no caso em quey (t0)= 0, eanaloga.

Um exemplo de curva parametrizada e regular e dado por: I

IR2, definida por(t) = (t, f(t)), ondef :I

IR e uma

funcao diferenciavel. O traco de e igual ao grafico de f. Como(t) = (1, f(t))= (0, 0),tI, e uma curva parametrizadae regular. Vamos provar que localmente toda curva regular edessa forma.

Proposicao 1.2 Seja : I IR2 uma curva parametrizadae regular em t0 I. Entao, existe > 0, tal que, restrito aointervalo (t0 , t0+ ), o traco de coincide com o traco deuma curvada forma(t) = (t, f(t)) ou(t) = (f(t), t), parauma func ao diferenciavelf :J

IR.


27/118

Curvas Planas 27

Prova. Seja dada por (t) = (x(t), y(t)). Como e regularem t= t0, temos que

(t0) = (x(t0), y

(t0))= (0, 0).

Vamos supor quex(t0)= 0. Nesse caso, pelo teorema da funcaoinversa, existe um intervalo (t0 1, t0 + 1), tal que a funcaox eum difeomorfismo, isto e, uma funcao diferenciavel com inversa

diferenciavel, sobre J = x((t0 1, t0+ 1)). Seja : J IR2

dada por (t) =(x1(t)). Temos portanto, que e uma curvadiferenciavel e

(t) = (x(x1(t)), y(x1(t))) = (t, f(t)),

onde f, dada por f(t) = y(x1(t)), e uma funcao diferenciavel.A prova, no caso em que y(t0) = 0, e analoga e, nesse caso,obtemos que o traco de coincide localmente em (t0) com otraco de uma curva da forma (t) = (f(t), t).


28/118

28 Curvas Planas

1.3 Reparametrizacao

Seja : I IR2 uma curva parametrizada, definida por(t) = (x(t), y(t)), e seja h : J Iuma funcao de classeC.Podemos entao considerar uma nova curva :JIR2, definidapor

(t) = ( h)(t) =(h(t)).A curva e, portanto, uma curva parametrizada de classeC.Dizemos que a curva e umareparametrizacaode . Pela regrada cadeia, temos que

(t) = (x(h(t))h(t), y(h(t))h(t)),

ou ainda,(t) = ( h)(t) =(h(t))h(t).

A velocidade escalar de e dada por

(t)=(h(t))|h(t)|.Vamos considerar apenas reparametrizacoes onde a funcaoh

e estritamente monotona. Nesse caso, h(t)= 0 e, portanto, se for uma curva regular em I, sua reparametrizacao = htambem sera regular em J. Se h e estritamente crescente, dize-mos que a reparametrizacao = h e uma reparametrizacaopositiva ou propria, ou que preserva a orientacao de. No casoem que h e estritamente decrescente, a reparametrizacao e ditanegativa ou que reverte a orientacao de .

1.4 Comprimento de Arco

Seja : IIR2 uma curva parametrizada, dada por(t) = (x(t), y(t)).


29/118

Curvas Planas 29

A funcao L: IIR, definida por

L(t) = tt0

()d= tt0

(x())2 + (y())2 d, (1.2)

t0 I, e denominada comprimento de arco. Como(t) euma funcao contnua, a funcaoL e de classe C1 e, pelo TeoremaFundamental do Calculo,

L(t) =(t). (1.3)Observe que, se for regular em I, entao a funcao L e de fatode classeC.

Para t1 < t2, t1, t2I, chamamos comprimento de arco de entre os pontos t1 e t2 ao numero

L(|[t1,t2]) =L(t2) L(t1) = t2t1

()d.

Note que a definicao acima nao depende da escolha do pontot0I. De fato, se dadot0I, definimos

L(t) = tt0

()d.

Entao

L(t)L(t) = tt0

()d t

t0

()d= t0t0

()d.

Logo conclumos que a funcao comprimento de arco de estadeterminada de forma unica, a menos de uma constante.

Definicao 1.4 Dizemos que uma curva : IIR2 esta parame-trizada pelo comprimento de arco, se o parametro t e, a menosde constante, igual aL(t), isto e,

L(t) =t+C.


30/118

30 Curvas Planas

Observe que, se(t)= 1, para todo tI, entao

L(t) = tt0

()d= tt0

d=t t0,

e, portanto, esta parametrizada pelo comprimento de arco.Reciprocamente, se

L(t) =t+C,

obtemos que(t)= L(t) = 1.

Provamos entao o resultado seguinte.

Proposicao 1.3 Uma curva : I IR2 esta parametrizadapelo comprimento de arco, se e somente se

(t) 1.

Observacao 1.1 SeI= [a, b], entao o comprimento de existee e dado por

L() =L(b) L(a).Dizemos que uma poligonalP=P0P1 ...Pn1Pn esta inscritaem uma curva de traco C seP C={P0,...,Pn}.

E possvelprovar, usando as ideias do Calculo Diferencial, que L e dado

por

L() = sup{L(P), sendoP uma curva poligonal inscrita em,

ligando(a)e(b)}.


31/118

Curvas Planas 31

O comprimento de e aproximado pelo comprimento de poligonais

inscritas no traco de.

Os dois exemplos a seguir mostram que a definicao de compri-mento de arco coincide com formulas conhecidas da Geometria

Elementar.

Exemplo 1.4 SejamA, B IR2, e sejaV0 = B A. A retaque passa porA eB pode ser parametrizada por(t) =A + tV0,tIR. Parat0= 0, temos

L(t) =

t0

()d= t0

V0d=B At.

Em particular, o segmento de reta que ligaA aB tem compri-mento L(

|[0,1]) =

B

A

.

Exemplo 1.5 Considere o crculo de raio R parametrizado por(t) = (R cos t, R sen t). Visto que(t)= R, temosL(t) =Rt, tomando t0 = 0. Em particular, se consideramos |[0,2],o comprimento de e 2R. Se damos k voltas em torno daorigem, isto e, se tomamos |[0,2k], temos que o comprimentode e2kR.

O proximo exemplo mostra que o fato deL(t) sempre existirpara curvas parametrizadas, a integral de (1.2) nem sempre podeser expressa em termos de funcoes elementares.


32/118

32 Curvas Planas

Exemplo 1.6 Considere a elipse parametrizada por

(t) = (a cos t, b sen t), t[0, 2].Temos

L(t) =

t0

a2 sen 2+b2 cos2 d,

que nao pode ser expressa em termos de funcoes elementares.

Vejamos que o comprimento de uma curva pode ser finito,mesmo que o seu intervalo de definicao tenha comprimento infi-nito.

Exemplo 1.7 A espiral (t) = ( et cos t, et sen t), definidaemIR e tal que

L(t) =

t0

()d=

2(1 et).

Em particular, L(|[0,+)) = limt

L(t) =

2 e L(|(,0]) einfinito.

O proximo resultado nos mostra que toda curva regular ad-

mite uma reparametrizacao pelo comprimento de arco.Teorema 1.1 Toda curva regular : IIR2 pode ser reparame-trizada pelo comprimento de arco. De forma mais precisa, fixadot0I, existe uma bijecaoh : JIde classeC definida em umintervaloJ sobreI, com0J eh(0) =t0, de modo que a curva:JIR2, dada por(s) = ( h)(s), satisfaz(s)= 1.Prova. Visto que e regular, a funcao comprimento de arco,por (1.3), satisfaz

L

(t) =

(t)

> 0.


33/118

Curvas Planas 33

Logo L e estritamente crescente e, portanto, injetiva. Devido

a continuidade de L, temos ainda que L(I) e um intervalo J.Conclumos entao que L possui inversa diferenciavel

h: JI .

ComoL(t0) = 0, 0Jeh(0) =t0, vamos provar quedefinidapor (s) = ( h)(s) esta parametrizada pelo comprimento dearco. Com efeito, visto que h= L1 ,

h(s) = 1

L(h(s))=

1

(h(s))

.

Logo

(s) = [ h(s)] =(h(s)) h(s).Portanto

(s)=(h(s)) h(s)=(h(s)) |h(s)|= 1.

Vejamos agora alguns exemplos de reparametrizacoes de cur-vas pelo comprimento de arco.

Exemplo 1.8 Considere o crculo de raioR dado pelo traco dacurva definida por(t) = (R cos t, R sen t), t[0, 2]. Logo,se tomamos t0 = 0, L(t) = Rt. Assim uma reparametrizacaopelo comprimento de arco de e dada por

(s) =

R cos s

R

, R sen

sR

,

onde : [0, 2R]

IR2.


34/118

34 Curvas Planas

Exemplo 1.9 Seja uma curva, dada por

(t) = ( et cos t, et sen t),

tIR. O traco da curva descreve uma espiral, tal que

L(t) =

t0

()d=

2(1 et).

Em particular,

L1 (s) = ln

1 s2

.

Portanto uma reparametrizacao pelo comprimento de arco dee dada por

(s) =

1 s

2

cosln

1 s

2

, sen ln

1 s

2

,

onde: [0, 2)IR2

.

1.5 Campo de Vetores ao Longo de

Curvas

Intuitivamente, um campo de vetores X(t) ao longo de umacurva parametrizada : I IR2 e uma aplicacao que a cadatIassocia um vetor com origem em (t).


35/118

Curvas Planas 35

Campo de vetoresX(t) ao longo de.

Logo para determinar X(t), basta conhecer a extremidade finaldo vetor X(t), uma vez que sua extremidade inicial e (t).

Definicao 1.5 Um campo de vetores de classeCr ao longo dee uma aplicacao X :I IR2 de classeCr. Geometricamente, ocampo de vetores X e dado, em cada ponto (t), pelo vetor deextremidades(t) eX(t).

Se e uma curva parametrizada e regular, dada por (t) =

(x(t), y(t)), entao T, definido por T(t) = (x

(t), y

(t)), e umcampo de classe C ao longo de. T e chamado campo tangente.No caso em que esta parametrizada pelo comprimento de arco,T e um campo unitario, isto e,T(t) = 1. O campo N, dadopor N(t) = (y(t), x(t)), e tambem um campo de classeCao longo de . Observe que, para todo tI,

T(t), N(t)=x(t)y(t) +y(t)x(t) = 0,isto e, N e perpendicular a T. N e chamado campo normal. Nocaso em que esta parametrizada pelo comprimento de arco, Ne um campo unitario.


36/118

36 Curvas Planas

Dados dois campos X e Y de classeCr ao longo de e umafuncaof :IIR de classe C

r

, podemos definir os camposX+Ye f X por

(X+ Y)(t) =X(t) +Y(t), (f X)(t) =f(t)X(t),

que tambem serao campos de classe Cr ao longo de. SeX(t) =(X1(t), X2(t)) e um campo de classeCr, comr >0, definimos aderivada de X por

X(t) = (X1(t), X2(t)).

Nesse caso, o campo X e um campo de classeCr1 ao longo de. As seguintes relacoes sao facilmente verificadas:

(X+ Y) =X +Y,

(f X) =fX+ f X,

X, Y =X, Y + X, Y.Temos entao o seguinte resultado:

Proposicao 1.4 SeX, Y sao campos diferenciaveis eX, Ye constante, entao

X, Y=X, Y. (1.4)

Prova. Derivando a equacaoX, Y= const., obtemos0 =X, Y =X, Y + X, Y,

o que conclui a prova.

Corolario 1.1X e constante, entao X(t) e perpendicular aX(t), para todo tI, isto e,

X, X= 0. (1.5)


37/118

Curvas Planas 37

1.6 Curvatura e Formulas de Frenet

Vamos considerar nesta secao curvas : I IR2 parame-trizadas pelo comprimento de arco. Observe que por hipotese,(s)= 0. Dessa forma esta bem definido um campoTde vetorestangentes e unitarios ao longo de dado por

T(s) =(s).

T(s) e chamado vetor tangente a curva em (s). Se (s) =(x(s), y(s)), entao T(s) = (x(s), y(s)). Observe que podemosdefinir o campo N ao longo de , tal que, para cada s

I,

{T, N} seja uma base positiva de IR2, isto e, existe uma rotacaoque leva (1, 0) emT e (0, 1) emN. Assim sendo,

N(s) = (y(s), x(s)),

e temos que N e um campo normal e unitario ao longo de ede classeC. Para cada sI, N(s) e chamado vetor normal acurva em (s).

Definicao 1.6 Seja :I IR2 uma curva parametrizada pelocomprimento de arco. O referencial

{T(s), N(s)

} e chamado

referencial de Frenet de.

Visto queT = 1, temos, pela Proposicao 1.1, que T(s) eperpendicular a T(s). Como T e Ngeram o espaco IR2, temosque, para cada sI, T(s) e paralelo a N(s). Isso significa queexiste uma funcao k, tal que

T(s) =k(s)N(s), sI . (1.6)

Definicao 1.7 A funcao k, definida pela equacao (1.6), e cha-mada curvatura de ems

I.


38/118

38 Curvas Planas

Observe que a curvatura k(s) e dada por

k(s) =T(s), N(s)=N(s), T(s).Portanto temos que k : I IR e uma funcao de classeC,quando for de classeC.

Geometricamente, visto queT(s)= 1 e|k(s)|=T(s), afuncao curvatura e uma medida da variacao da direcao de T e,portanto, da mudanca de direcao da reta tangente a em (s).

A curvatura entao e uma medida de quanto uma curva deixade ser uma reta. De fato, o proximo resultado caracteriza asretas como as curvas cuja curvatura e identicamente nula.

Proposicao 1.5 A curvatura de uma curva regular e identi-camente zero, se e somente se o traco deesta contido em umareta.

Prova. Suponha que k(s) 0. Como 0 =|k(s)| =T(s),temos queT(s) = (0, 0). ComoT esta definida em um intervaloI, conclumos que T(s) e um vetor constante V0. Isso implicaque

(s) =(s0) + s

s0

T()d=(s0) +V0(s

s0).

Portanto o traco de esta contido na reta que passa por (s0)e e paralela ao vetor V0. Reciprocamente, se o traco de estacontido em uma reta e esta parametrizada pelo comprimentode arco, temos que

(s) =P0+sV0, V0= 1.Logo T(s) = V0 e, portanto, T

(s) = (0, 0). Assim conclumosque k(s) = 0.


39/118

Curvas Planas 39

Agora vamos estudar a variacao do campoN. ComoN(s)= 1, obtemos que N

(s) e perpendicular a N(s) e, portanto,paralelo a T(s). Observe que a equacao (1.6) implica que

x =k(s)y(s),y = k(s)x(s).

Assim

N(s) = (y(s), x(s)) =k(s)(x(s), y(s)) =k(s)T(s).(1.7)

Os campos T e Nsatisfazem o seguinte sistema:

T(s) = k(s)N(s),N(s) = k(s)T(s). (1.8)As equacoes desse sistema sao denominadasEquacoes de Frenetda curva . Vamos definir a curvatura de uma curva regularnao necessariamente parametrizada pelo comprimento de arco.Como vimos anteriormente, toda curva regular admite uma repa-rametrizacao pelo comprimento de arco.

Definicao 1.8 Seja : I IR2 uma curva parametrizada eregular, e seja : J IR2 uma reparametrizacao pelo compri-mento de arco de. Definimos a curvatura deemt

I como

a curvatura deno pontosJque corresponde ao pontotI.O proximo resultado expressara a curvatura de uma curva

regular e nao necessariamente parametrizada pelo comprimentode arco.

Proposicao 1.6 Seja : I IR2 uma curva regular, definidapor(t) = (x(t), y(t)). Entao a curvatura de emtI e dadapela expressao

k(t) =x(t)y(t) x(t)y(t)

((x)2 + (y)2)3. (1.9)


40/118

40 Curvas Planas

Prova. Consideremos : J IR2 uma reparametrizacao po-sitiva de pelo comprimento de arco. Entao, se escrevemos(s(t)) =(t) = (x(t), y(t)),

(x(t), y(t)) =(t) =d

dss(t)

e

(x(t), y(t)) =(t) =d2

ds2(s(t))2 +

d

dss(t).

Usando a primeira equacao acima e o fato de ques(t)> 0, temosque s(t) =(t) e, portanto,

s(t) =

(t),

(t)(t) .

Logo obtemos que

T(s(t)) =d

ds(s(t)) =

(t)

(t) = 1(x)2 + (y)2

(x(t), y(t))

e

dT

ds(s(t)) =

d2

ds2(s(t)) =

1

(s(t))2[(t) s(t)T(s(t))]

= 1

(x(t))2 + (y(t))2[(x(t), y(t)) s(t)T(s(t))] .

Por definicao do campo normal,

N(s(t)) = 1(x)2 + (y)2

(y(t), x(t)).

A equacao (1.6) nos diz que

k(s(t)) = dT

ds

(s(t)), N(s(t)) .


41/118

Curvas Planas 41

Substituindo as expressoes dedT

ds

eNna equacao acima e usando

o fato de queTeNsao ortogonais, obtemos o resultado desejado.

Em muitas situacoes, uma curva pode ter uma expressao maissimples, se ao inves de descreve-la em relacao ao sistema de co-ordenadas cartesianas, usarmos coordenadas polares. O proximoresultado nos dara a expressao para a curvatura em coordenadaspolares.

Proposicao 1.7 Sejar= r () uma curva regular, definida poruma equacao polar. Entao sua curvaturak() e dada por

k () =(r ())2 + 2 (r ())2 r () r ()

(r ())2 + (r ())2 32

. (1.10)

Prova. Seja () =r ()(cos , sen ) = (x(), y()) a equacaoparametrica da curva dada por r = r ().

Logo

() = (x, y) =r (cos , sen ) +r (

sen , cos )


42/118

42 Curvas Planas

e, consequentemente,

() = (x, y) =r (cos , sen ) +r ( sen , cos ) +r ( sen , cos ) +r ( cos , sen ) =

= (r r)(cos , sen ) + 2r ( sen , cos ) .Portanto, substituindo os valores de x, y, x, y em (1.9), obte-mos a expressao desejada.

Seja : [a, b] IR2 uma curva regular, dada por (t) =(x(t), y(t)). Podemos definir (t) como sendo o angulo que o

vetor tangente a faz com o eixo x.

Portanto, nos intervalos em que x nao se anule,

(t) = arctany (t)

x(t).

Caso x se anule, podemos considerar

(t) = arctanx(t)

y(t).

Assim temos um resultado simples e util, envolvendo a derivadade e a curvatura de .


43/118

Curvas Planas 43

Proposicao 1.8 Seja : [a, b] IR2 uma curva de classeC2,parametrizada pelo comprimento de arco e definida por (s) =(x(s), y(s)). Seja(s) o angulo que o vetor(s) faz com o eixox. Entao

(s) =k(s), (1.11)

ondek e a funcao curvatura da curva.

Prova. Suponha que(s) = arctany (s)

x(s), isto e, em pontos com

x(s)= 0. E claro que

(s) = 1

1 +

y(s)x(s)

2 x(s)y(s) x(s)y(s)(x(s))2=

x(s)y(s) x(s)y(s)(x(s))2 + (y(s))2

=x(s)y(s) x(s)y(s).

Agora, usando a equacao (1.9), obtemos o resultado desejado.

Interpretacao Geometrica

Vamos considerar uma curva regular : I IR2, com cur-vatura k(s), para cada sI.1. Do sinal de k:Se k(t0) >0, entao, para todo t suficientemente proximo de t0,(t) esta no semi-plano determinado pela reta tangente a curva em (t0) para o qual aponta N(t0). De fato, basta verificarque a funcao

f(t) =

(t)

(t0), N(t

0)


44/118

44 Curvas Planas

e maior ou igual a zero, para t proximo de t0. Observe que

f

(t0) = 0 e, por (1.8), f

(t0) = k(t0) > 0. Logof possui ummnimo relativo estrito em t0. Como f(t0) = 0, conclumos aprova. Observe que, de modo analogo, se k(t0) < 0, f possuium maximo relativo estrito em t0 e, portanto, (t) pertence aosemi-plano determinado pela reta tangente a curva em t0 parao qual aponta o vetorN(t0).

k(t)> 0 k(t)< 0

2. Do valor de k:Suponha que k(t0) > 0. Para cada > 0, sejam P = (t0) +N(t0) eC o crculo de centro em P e raio . Entao, para tsuficientemente pequeno, (t) esta contido no interior deC, se > 1

k(t0)e esta contido no exterior de

C, se < 1

k(t0).


45/118

Curvas Planas 45

0 = 1

k(t0), 0< 1 < 0 < 2

De fato, vamos considerar a funcao g definida por

g(t) =(t) P2 2

proximo de t0. Agora usando a definicao de g e as Equacoes deFrenet, temos que g(t0) = g

(t0) = 0 e g(t0) =k(t0)+ 1.

Logo, se < 1k(t0)

, entao g possui um mnimo estrito em t0 e,

se > 1k(t0)

, g possui um maximo estrito em t0, o que concluia prova da afirmacao. Em geral, nada se pode afirmar quando= 1

k(t0).

Quando k(t0) > 0, definimos o raio de curvatura de emt0 por 0 =

1k(t0)

. O pontoP0 = (t0) + 1k(t0)

N(t0) e chamadode centro de curvatura ou ponto focal de em t

0 e o crculo


46/118

46 Curvas Planas

C0 e chamado crculo osculador de em t0. Observe queC0e tangente a curva em (t0) e tem a mesma curvatura que nesse ponto.

1.7 Teorema Fundamental das Curvas

Planas

Nosso objetivo e mostrar que, de certa forma, a funcao cur-vatura determina a curva. Esse fato e demonstrado pelo seguinteresultado:

Teorema 1.2 Sejak : IIRuma funcao de classeC. Entao,dados s0 I, P = (P1, P2) IR2 e V0 = (V1, V2) IR2, comV0 = 1, existe uma unica curva parametrizada pelo compri-mento de arco : I IR2, tal que a curvatura em cada ponto(s) e dada pork(s), (s0) =P e

(s0) =V0.

Prova. Suponha que , definida por (s) = (x(s), y(s)), sejauma curva parametrizada pelo comprimento de arco e possuacurvaturak. As Equacoes de Frenet, veja (1.8), implicam que asfuncoes x e y satisfazem

x(s) = k(s)y(s),y(s) = k(s)x(s),

com condicoes iniciais dadas porx(t0) =P1,y(t0) =P2,x(t0) =

V1 e y(t0) = V2. O sistema acima tem uma integral primeira,

dada por

x(s) = cos

ss0

k()d+a

,

y(s) = sen s

s0

k()d+a ,(1.12)


47/118

Curvas Planas 47

onde a e determinado pelas relacoes cos a = V1 e sen a = V2.

Integrando as equacoes do sistema acima, obtemosx(s) = P1+

ss0

cos

s0

k()d+a

d,

y(s) = P2+

ss0

sen

s0

k()d+a

d.

E facil verificar que a curva dada por (s) = (x(s), y(s)) satisfazas condicoes do teorema.

Vamos provar agora a unicidade de tal curva. Suponhamosque existam duas curvas, definidas por (s) = (x(s), y(s)) e

(s) = (u(s), v(s)) nas condicoes do teorema. As Equacoes deFrenet para e implicam que as funcoes f(s) =x(s) u(s)e g(s) =y (s) v(s) satisfazem o sistema

f(s) = k(s)g(s),g(s) = k(s)f(s).

Isto implica entao que

1

2(f2 +g2)(s) =f(s)f(s) +g(s)g(s) = 0.

Logo (f2 + g2) e uma funcao constante e como e nula ems = s0,temos que (f2 +g2)(s)0 e, portanto, f(s) =g(s) = 0. Assimconclumos que

(s) =(s), sI .Agora, usando o fato de que (s0) = (s0) = P0, obtemos que(s)(s), o que conclui a prova do teorema.

Esse resultado tem, como consequencia, que a curvatura de-termina uma curva, a menos de sua posicao no plano.


48/118

48 Curvas Planas

Corolario 1.2 Duas curvas, :IIR2 parametrizadas pelocomprimento de arco com a mesma funcao de curvaturak: IIR2 sao congruentes, isto e, existem uma rotacao A: IR2 IR2e uma translacao por um vetorbIR2, tal que, para todo sI,

(s) = (A )(s) +b.

Prova. Fixe s0 I. Seja A : IR2 IR2 a rotacao que leva(s0) em

(s0), e seja b = (s0)A((s0)). Temos que acurva , dada por (s) =A (s) +b, e tal que (s0) =(s0),

(s0) =

(s0) e a curvatura em cada ponto (s) e k(s). PeloTeorema Fundamental das Curvas Planas, (s) (s), o queconclui a prova.

1.8 Forma Canonica Local

Iremos ver novamente que a curvatura e uma medida dequanto a curva difere da reta tangente para pontos proximosdo ponto estudado, agora atraves da expansao de Taylor. Seja

: IIR2 uma curva regular parametrizada pelo comprimentode arco. Considerando a aproximacao pelo polinomio de Taylorde cada coordenada de , temos que

x(s) = x(s0) + (s s0)x(s0) +(s s0)2

2! x(s0)

+(s s0)3

3! x(s0) +r1(s),

y(s) = y(s0) + (s s0)y(s0) +(s s0)2

2! y(s0)

+(s s0)3

3! y(s0) +r2(s),

(1.13)


49/118

Curvas Planas 49

onde lims0

r1(s)

|s s0|3

= lims0

r2(s)

|s s0|3

= 0.

Pelas Equacoes de Frenet, obtemos que

(x(s0), y(s0)) =

(s0) = (k(s)N(s))|s=s0

=k (s0)N(s0) +k(s0)N(s0) =k

(s0)N(s0) k2(s0)T(s0).Portanto

(s) =(s0) + (s s0)T(s0) +(s s0)2

2! k(s0)N(s0)

+(s s0)3

3! [k(s0)N(s0) k2(s0)T(s0)] +R(s), (1.14)

onde limss0

R(s)(s s0)3 = 0. A equacao (1.14) mostra que k(s0) de-

termina o quanto (s) difere da reta tangente a curva em s0,para pontos proximos de (s0). De fato, (s) difere da retatangente pelo fator

(s s0)22!

k(s0)N(s0) +(s s0)3

3! [k(s0)N(s0) k2(s0)T(s0)] + R,

para pontos proximos de s0.

Podemos escolher um sistema de coordenadas de IR2 de modoque (s0) = (0, 0) e a base canonica seja{T(s0), N(s0)}, isto e,T(s0) = (1, 0) e N(s0) = (0, 1). Se em relacao a este referencial,a curva e dada por (s) = (x(s), y(s)), a equacao (1.14) nosdiz que

x(s) = (s s0) k2(s0) (s s0)3

3! +R1(s)

y(s) = k(s0)(s s0)2

2! +k(s0)

(s s0)3

3! +R2(s).

(1.15)


50/118

50 Curvas Planas

A representacao (1.15) e chamada forma canonica localde e

descreve o comportamento de qualquer curva regular na vizin-hanca de um ponto (s0). Em particular, ela nos diz que, sek(s0)= 0, o traco de fica de um lado da reta tangente a ems0.

1.9 Evolutas e Involutas

Vamos considerar curvas regulares : I IR2 parametriza-das pelo comprimento de arco, tais que sua curvatura k nao seanule em I. Nesse caso, para cada t

I, esta bem definido o

centro de curvatura de em t, dado por

e(t) =(t) + 1

k(t)N(t),

onde N e o campo normal e unitario de . A aplicacao que acada t Iassocia e(t) define uma curva diferenciavel em IR2,e e chamada evolutada curva . Vamos estudar a regularidadede e. Usando as equacoes de Frenet, obtemos

e(t) =(t) +

1

k(t)N(t) k

(t)

k2(t)N(t) = k

(t)

k2(t)N(t). (1.16)

Temos, portanto, que e e regular, se e somente se

k(t)= 0.Os pontos singulares da evoluta de uma curva sao aquelespara os quais a curvatura de possui um ponto crtico. Antesde vermos alguns exemplos de evolutas, observamos que, se :I IR2 e uma curva regular, com k(t) = 0, a expressao daevolutae de e dada por

e(t) =(t) + 1

k(t)

N(t) =(t) + (t)2

(t), N(t)N(t). (1.17)


51/118

Curvas Planas 51

Notemos que nao esta necessariamente parametrizada pelo

comprimento de arco.

Exemplo 1.10 Se o traco de uma curvadescreve um crculode raio R e centro P0, sua evoluta e a curva constante dada pore(t) =P0. De fato, parametrizando a curva por

(s) =P0+ (R cos s

R, R sen

s

R), s[0, 2R],

temos quek(s) = 1/R e, portanto,

e(s) =(s) +R(

cos s

R,

sen s

R) =P0.

Exemplo 1.11 Considere a elipse dada pelo traco da curva:[0, 2]IR2, definida por

(t) = (a cos t, b sen t).

A curvatura de e dada por

k(t) = ab

(a2 sen 2t+b2 cos2 t)3/2= 0.

A evoluta de, pela equacao (1.17), e dada por

e(t) = (a cos t, b sen t) +a2 sen 2t+b2 cos2 t

ab (b cos t,a sen t)

=

a2 b2

a cos3 t,

b2 a2b

sen 3t

.

O traco da evoluta da elipse e descrito pelo astroide (ax)2/3 +(by)2/3 = (a2 b2)2/3, que nao e regular nos pontose(t), comt= 0,

2, e

3

2 .


52/118

52 Curvas Planas

Elipse e sua evoluta.

Exemplo 1.12 Considere a cicloide dada pelo traco da curva, definida por(t) = (t sen t, 1 cos t), t (0, 2). Suacurvatura e dada por

k(t) = cos t 1

(2 2cos t)3/2= 0.

A evoluta de e a curva definida por

e(t) = (t sen t, 1 cos t) +2 2cos tcos t 1 ( sen t, 1 cos t)

= (t+ sen t, cos t 1).

Observe que (t+) =e(t) + (, 2).

Logo, a menos de uma translacao, a evoluta de e a pr opriacicloide.


53/118

Curvas Planas 53

Evoluta da cicloide

Note quee deixa de ser regular emt= .

A equacao (1.16) mostra que o vetor N(t) e paralelo ao vetore(t) e, portanto, a reta normal a curva em(t) coincide coma reta tangente a e em e(t). Um outro modo de interpretaresse fato e dizer que a evoluta de uma curva tem a propriedadede, em cada instante, ser tangente as retas normais da curva.Nesse caso, dizemos que a evoluta de uma curva e a envoltoriada famlia de retas normais dessa curva.

Em geral, a evoluta de uma curva parametrizada pelo com-primento de arco nao esta parametrizada pelo comprimento de

arco. Considere J Ium intervalo no qual e seja regular. Ocomprimento de arco de e, a partir de t0J, e dado por

s(t) =

tt0

e()d = tt0

1k() d= 1k(t) 1k(t0)

,onde usamos que k e k nao trocam de sinal em J. Da definicaoda evoluta e de uma curva , temos que

(t) =e(t) 1k(t)

N(t).

A equacao (1.16) nos diz que o campo tangente unitario dee eigual aN, se k(t)> 0. Podemos, portanto, recuperar a curva, a partir de e, pela equacao

(t) =e(t) + 1

k(t)

e(t)

e(t).

Vamos introduzir agora uma nocao dual a de evoluta de umacurva regular : I IR2. Seja t0 Ifixado, e sejaL:I IRo comprimento de arco de a partir de t0,

L(t) =

t

t0

()d.


54/118

54 Curvas Planas

Definicao 1.9 Uma involuta da curva regular : I IR2 e acurvai:IIR

2

, dada por

i(t) =(t) + (CL(t))T(t),

sendo To campo tangente de, eC e uma constante real posi-tiva.

Observe que, para valores diferentes de C, obtemos involutasdiferentes de, porem todas sao equidistantes, conforme mostraa figura a seguir.

Agora estudaremos a regularidade da involuta de uma curvaregular. Calculando o vetor i(t), obtemos

i(t) =(t) L(t)T(t) + (CL(t))T(t)

=(t) (t)T(t) + (CL(t))k(t)(t)N(t) (1.18)= (C

L(t))k(t)

(t)

N(t),


55/118

Curvas Planas 55

onde k e a curvatura de . Portanto, seC=L(t) e k(t)= 0,entao i e regular em t. Vamos supor que C >L(t),t I enos restringir aos subintervalos J de I nos quais k(t)= 0. Sek(t) > 0 em J, temos que os campos tangente Ti e normal Nida involutai se relacionam com os campos correspondentes dacurva por

Ti(t) =N(t) Ni(t) =T(t),

enquanto nos intervalos onde k(s)< 0, temos

Ti(t) =

N(t) Ni(t) =T(t).

Dessas equacoes, temos que as retas normais da involuta i saoas retas tangentes a , e as retas tangentes de i sao paralelasas retas normais de nos pontos correspondentes.

O calculo da curvatura ki de i nos da que

ki(t) =Ti (t), Ni(t)

i(t) =T

(t), N(t)i(t)

=k(t)(t)

i(t)Pela equacao (1.18), se k(t)> 0,

ki(t) = 1C L(t) ,

e, se k(t)< 0,

ki(t) = 1CL(t) .

O proximo resultado nos dara a evoluta de i.

Proposicao 1.9 A curva e a evoluta de qualquer uma de suasinvolutas, isto e,

(i)e(t) =(t).


56/118

56 Curvas Planas

Prova. Temos, por definicao da evoluta de i, que

(i)e(t) = i(t) + 1ki(t)

Ni(t)

= (t) + (C L(t))T(t) (C L(t))T(t)= (t).

1.10 Numero de Rotacao de uma Curva

Fechada

Nesta secao vamos definir o numero de rotacao de uma curvafechada : [a, b] IR2. Intuitivamente, o numero de rotacaomede o numero algebrico de voltas que o vetor posicaoV, relativoao ponto P0, dado por V(t) = (t)P0, da em torno de P0,quando t varia de t= a a t = b. Para tornar esta nocao precisa,vamos estudar a a funcao angular. O primeiro resultado quetemos e o seguinte:

Teorema 1.3 Seja : [a, b]IR2 uma curva contnua, e sejaP0 um ponto nao pertencente ao traco de. Entao existe umafuncao contnua: [a, b]IR, tal que

(t) ((a) P0, (t) P0) mod 2,

para todo t[a, b]. Alem disso, se e uma outra funcao comoacima, entao e diferem por um multiplo de2, isto e,

(t) =(t) + 2k,

para todo t [a, b] e para algumk Z fixado. Em particular,existe uma unica funcao como acima, tal que(a) = 0.


57/118

Curvas Planas 57

Prova. A prova deste resultado pode ser encontrada em [AS].

Definicao 1.10 A funcao , dada pelo Teorema 1.3, tal que(a) = 0, depende do ponto P0. Vamos denomina-la funcaoangular de com respeito aP0.

Observe que, set, s[a, b], entao a funcao angular satisfaz(s) (t) ((t) P0, (s) P0) mod 2.

Alem disso, se te s sao suficientemente proximos (por exemplo,

|t

s|< , com escolhido como na observacao (??)), temos

(s) (t) = ((s) P0, (t) P0).A ultima observacao decorre do fato de que, fixado s, a funcaog, definida porg(t) = 1

2[(t) (s) ((t) P0, (s) P0)],

e contnua se|t s|< , g(t) Ze g(s) = 0.

Seja : [c, d] IR2 uma reparametrizacao positiva de :[a, b] IR2, isto e, existe uma bijecao crescente e contnua :[c, d]

[a, b], tal que (t) =

(t). Observe que (c) = a.

Entao, se e uma funcao angular para em relacao a P0, afuncao: [c, d]IR, dada por

(t) =((t)) (a), (1.19)e uma funcao angular para , com(c) = 0. De fato,

((s)) = ((a) P0, ((s)) P0)= ((a) P0, ((c)) P0)++ (((c))

P0, ((s))

P0)


58/118

58 Curvas Planas

=((c)) + ((c) P0, (s)) P0).

Se e uma curva diferenciavel, o proximo resultado nos dauma expressao para uma funcao angular.

Proposicao 1.10 Seja : [a, b]IR2 uma curva diferenciavel,e seja P0 um ponto fora do traco de . Entao a funcao :[a, b]IR, dada por

(t) =

t

a

(() P0), ()

()

P0

2

d, (1.20)

e uma funcao angular da curva, com relacao aP0.

Estamos prontos para definir o numero de rotacao de umacurva fechada no plano em relacao a um ponto P0, nao perten-cente ao seu traco.

Seja : [a, b] IR2, (a) = (b), uma curva fechada econtnua e seja P0 um ponto fora do traco de. Seja a funcaoangular decom relacao aP0, com(a) = 0. Como(a) =(b),temos que

(b) ((a) P0, (b) P0)0 mod 2.

Definicao 1.11 O numero

W(, P0) = 1

2(b) Z

e chamado de numero de rotacao de em relacao aP0.

O numero de rotacao W(, P0) mede o numero algebrico devoltas que o vetor posicao V , relativo ao ponto P

0, dado por


59/118

Curvas Planas 59

V(t) =(t) P0, da em torno de P0, quando t varia de t= a at= b. Se e uma curva de classeC

1

, entao, por (1.20),

W(, P0) = 1

2

ba

(() P0), ()() P02 d. (1.21)

Essa expressao tem uma consequencia surpreendente: o membrodireito da equacao acima e sempre um numero inteiro.

Neste captulo vamos estudar o comportamento do campotangente a ouma curva regular e fechada. Para isso, vamos es-clarecer o tipo de curvas em que esse estudo faz sentido. Umacurva : [a, b]

IR2 e uma curva fechada, se (a) = (b).

Uma curva fechada e diferenciavel, se existe um > 0 e umacurva diferenciavel : (a , b+)IR2, tal que (t) =(t)para todo t [a, b] e(a) e(b) sao vetores nao-nulos commesma direcao e sentido. Uma curva fechada e diferenciavel

: [a, b]IR2 e de classeCn, se (a) =(b), dk

dtk(a) =

dk

dtk(b)

para todo k = 1,...,n e dn

dtn(t) e um campo contnuo ao longo

de . Desse modo, podemos falar em curvas fechadas e regu-lares, isto e, uma curva fechada e diferenciavel tal que seu vetor

tangente e nao-nulo para todo t [a, b]. Uma curva fechada : [a, b]IR2 e dita simples, se, restrita ao intervalo (a, b], elafor uma aplicacao injetiva.

Se e uma curva fechada e regular de classeC1, podemosconsiderar a curva : [a, b] IR2. Essa curva e fechada,contnua e, por ser regular, (0, 0) nao esta no traco de .Entao temos que o numero de rotacao de em relacao ao ponto(0, 0) esta bem definido.

Definicao 1.12 Seja : [a, b] IR2 uma curva fechada e re-gular e de classe

C2. O ndice de rotacao de, R

, e definido


60/118

60 Curvas Planas

por

R= W(, (0, 0)).

Observe que, a priori, R nao tem nenhuma relacao com osnumeros de rotacao de em relacao a pontos fora de seu traco.O ndice de rotacao mede o numero de voltas (orientadas) que ovetor tangente de da em torno da origem, quando percorremoso traco de .

Se : [a, b]

IR2 e uma curva regular, podemos definir

a indicatriz tangente T : [a, b] S1 IR2, dada por T(t) =(t)

(t) e a indicatriz normal N : [a, b] S1 IR2, dada por

N(t) =T(t). E claro que se e uma curva fechada e de classeC1, T e N sao curvas fechadas e contnuas em [a, b] e assumemvalores no crculo unitario S1. Como consequencia da definicaodessas curvas, temos que , T e N possuem a mesma funcaoangular (t) em relacao a origem, com (a) = 0. Portanto

R= W(

, (0, 0)) =W(T, (0, 0)) =W(N, (0, 0)) =

1

2 (b).

A ideia de associar uma curva regular ao movimento circu-lar do vetor tangente unitario T ou, equivalentemente, do vetorunitario normalN e devida a C.F. Gauss, no incio da GeometriaDiferencial, e essa ideia tem um papel fundamental na teoria dascurvas planas diferenciaveis. Observe que T eNdiferem apenaspor uma rotacao constante de um angulo

2ao redor da origem.

T e/ouNsao frequentemente chamadas deimagem tangente (deGauss) e/ou imagem normal (de Gauss) de no crculo S1.


61/118

Curvas Planas 61

Exemplo 1.13 Seja : [0, 2]IR2 uma curva, dada por(t)= (R cos nt,R sen nt), comn Z, n= 0. A curvaparametrizao crculo de raio R que da|n| voltas em torno da origem, nosentido anti-horario, sen > 0 e, no sentido horario, sen < 0.Um calculo simples mostra que

R= n.

A curva descreve o crculo que dan voltas em torno do seu centro e seu

ndice de rotacao e igual an.


62/118

62 Curvas Planas

Exemplo 1.14 Considere a lemniscata, dada pelo traco da curva

: [0, 2]IR2

, definida por(t) = ( sen t, sen2t). A curvae uma curva regular, fechada e

R= 0.

A lemniscata possui ndice de rotacao igual a zero.

Os dois exemplos acima nos mostram que qualquer nZ podeser ndice de rotacao de uma curva regular e fechada.

O ndice de rotacao de uma curva fechada e regular e inva-riante por reparametrizacoes proprias de e tambem se conside-ramos outro ponto inicial/final para . Porem, se consideramos a curva obtida percorrendo na orientacao oposta, temosque R =R.

Para entendermos o comportamento de R, quandodeforma-mos, vamos introduzir o conceito de homotopia regular:

Definicao 1.13 Duas curvas fechadas e regulares, : [a, b]IR2 sao ditas regularmente homotopicas, se existe uma aplicacaoH : [0, 1] [a, b]IR2, tal que

1. H(, t) e contnua em [0, 1] [a, b]; H e de classeC1 emrelacao a variavelt, isto e, H

t e uma funcao contnua;

2. Para cada [0, 1], a curva(t) = H(, t), t [a, b] euma curva fechada regular;


63/118

Curvas Planas 63

3. H(0, t) =(t) eH(1, t) =(t).

A aplicacao H e dita uma homotopia regular entre e.

Para curvas regularmente homotopicas, temos o seguinte re-sultado:

Proposicao 1.11 Sejam , : [a, b] IR2 duas curvas fecha-das e regulares. Se e regularmente homotopica a, entao

R=R.

Prova. Basta observar que, se H(, t) e uma homotopia regular

entre e , entao Ht (, t) e uma homotopia entre e e,

portanto,

R=W(, (0, 0)) =W(, (0, 0)) =R.

Tendo em vista o resultado acima, temos que nao e possvelconstruir uma homotopia regular entre a lemniscata, dada por(t) = (sen t, sen2t), t [0, 2], e o crculo unitario (t) =(cos t,sen t), t [0, 2]. Note que, como IR2 e convexo, essascurvas sao homotopicas (como curvas contnuas) em IR2. Vale

observar que estamos pedindo regularidade em cada estagio dadeformacao que leva em .

Nao e possvel eliminar o laco a esquerda da curva acima, usandoa sequencia de deformacoes, uma vez que o vetor tangente ao


64/118

64 Curvas Planas

longo desse laco muda muito de direcao, independente do ta-

manho do laco. A continuidade de

implica que esse vetordeve anular-se no limite final.

Por outro lado, temos o seguinte teorema devido a Whitney eGraustein (veja [MR], Teorema 9.9 p.397) que nos da a recprocado proposicao anterior.

Teorema 1.4 Duas curvas fechadas e regulares , : [a, b]IR2 sao regularmente homotopicas, se e somente se

R= R.

Exemplo 1.15 Seja : [a, b]

IR2 um crculo que da uma

volta no sentido anti-horario em torno de seu centro, e seja:[a, b]IR2 a curva que percorre uma vez a lemniscata com umlaco, ver figura abaixo, na orientacao indicada.

Temos queR= R = 1.

Logo, pelo Teorema de Whitney-Graustein, e sao regular-mente homotopicas. Voce consegue imaginar uma homotopia re-gular que leve em?

1.11 Curvatura Total

Vamos supor agora que : [a, b]IR2 e uma curva fechada,regular e de classe

C2. Nesse caso, os campos vetoriais , T e


65/118

Curvas Planas 65

N sao campos de classeC1 ao longo de . Pelas Equacoes deFrenet, o vetor tangente da curva T satisfaz

T(t) =k(t)(t)N(t),onde k(t) e a curvatura de em t. Portanto a velocidade dacurva T(t) e|k(t)| (t), ou simplesmente|k(t)|, se estiverparametrizada pelo comprimento de arco. Decorre da expressaoacima que Tpercorre o crculo unitario no sentido anti-horario,se k(t)> 0 e no sentido horario, se k(t)< 0.

Seja a funcao angular para a curva T em relacao a origem(0, 0), que satisfaz (a) = 0. Pela equacao (1.20), temos que

(t) = ta

T, T()d = ta

k()()d.

Portanto(t) =k(t)(t). (1.22)

No caso em que esta parametrizada pelo comprimento de arco,temos que a curvatura de e exatamente a taxa de variacao doangulo orientado, determinado pelos vetores tangente a curva e o vetor T(a). Observe que o vetorT(a) pode ser substitudopor qualquer outro vetor fixo, sem alterar o valor de .

Definicao 1.14 Seja : [a, b] IR2 uma curva de classeC2.A curvatura totalCT() da curva e dada por

CT() = 1

2

ba

k()()d.

Observe que o teorema de mudanca de variaveis para integraisimplica que CT() e invariante por reparametrizacoes propriasde classeC2 de . A curvatura total representa, geometrica-mente, a menos de um fator constante, o comprimento algebri-


66/118

66 Curvas Planas

co da imagem deTsobre o crculo unitario, isto e, os arcos que

T percorre no sentido anti-horario sao considerados com com-primento positivo, enquanto aqueles que T percorre no sentidohorario sao considerados com comprimento negativo. Em parti-cular, temos que

CT() = 1

2

ba

k()()d = 12

(T(a), T(b)).

No caso em que e uma curva fechada, regular e de classeC1,sua indicatriz tangenteT e uma curva fechada, portanto o ndicede rotacao de e dado por

R= W(T, (0, 0)) = 1

2(b) =

1

2

ba

k()()d = C T().

Como consequencia, chegamos a um resultado surpreendente:a curvatura total de uma curva fechada e sempre um numerointeiro. Mesmo para curvas simples, tal resultado nao e obvio.

Teorema 1.5 Seja : [a, b] IR2 uma curva fechada, regulare de classeC2. Entao sua curvatura totalCT() e dada por

CT() = 12 ba

k()()d = R,

onde R e o ndice de rotacao de . Em particular, CT() esempre igual a um numero inteiro.

Exemplo 1.16 Considere a elipse (t) = (a cos t, b sen t), t[0, 2]. Temos queR= 1, o que implica entao queCT() = 1.Calculando diretamente a curvatura total de, obtemos que

k(t)

(t)

=

ab

a2 sen 2t+b2 cos2 t

,


67/118

Curvas Planas 67

e, portanto,

1

2

20

ab

a2 sen 2+b2 cos2 d= C T() = 1.

O resultado nao e de modo algum obvio (tente calcular analiti-camente. E possvel!!!).

Visto que o ndice de rotacao de uma curva e invariante porhomotopias regulares, a sua curvatura total tambem e invariantepor homotopias regulares. Vamos usar a formula do numero deintersecoes para calcular W(T, (0, 0)) e, portanto, a curvaturatotal de . Sejav0 um vetor unitario fixado e considere o raio

rv0 com origem em (0, 0) e na direcao de v0 parametrizado porrv0(s) =v0s, s[0, ). ComoT(t) esta sobre o crculo unitario,o raio rv0 ira intersectar o traco de Tno maximo quando s = 1.Essa intersecao, em geral, se da em um ponto multiplo. Paraobtencao de todas essas intersecoes, devemos saber para quaisvalores do parametro t temos que

T(t) =v0.

Suponha que, apenas para um numero finito de valores t1,...,tk,a equacao acima seja satisfeita. Observe que a condicao para

que cada intersecao seja transversal e dada por0=T(ti), v0 =k(ti)(ti)N(ti), N(ti)= k(ti)(ti),

para todo i= 1,...,k, isto e, se k(ti)= 0, para todo i= 1,...,k,o numero de intersecoes em cada ti e

(ti) = sinalT(ti), v0 = sinal k(ti).Portanto, nesse caso, verifica-se a seguinte relacao:

1

2 b

a

k()()d = R= W(T, (0, 0)) =k

i=1 sinal k(ti).


68/118

68 Curvas Planas

Novamente, e surpreendente que o ultimo membro da equacao

anterior nao dependa da escolha particular do vetorv0nas condi-coes acima.

1.12 Indice de Rotacao de Curvas Fe-

chadas Simples

O ndice de rotacaoRde uma curva regular fechada e, pordefinicao, o numero de rotacao da curva. Portanto o ndice derotacao fornece uma informacao sobre o comportamento global

de

, que, a princpio, nao tem por que ser parecido com ocomportamento global de . Por outro lado, determina, amenos de uma translacao, a curva original e reciprocamente.Logo nao seria de todo surpreendente que o ndice de rotacaoRnos desse alguma informacao sobre a geometria de . Vamosdiscutir um importante resultado nessa direcao. Para curvasfechadas, regulares e simples, temos o seguinte resultado:

Teorema 1.6 (Teorema da Rotacao das Tangentes) Seja :[a, b]IR2 uma curva regular, fechada, simples e de classeC1.Entao

R=1.Alem disso, se e de classeC2, entao sua curvatura totalC T()satisfaz

CT() = 1

2

ba

k()()d =1.

Decorre diretamente desse resultado a seguinte consequencia:

Corolario 1.3 Toda curva fechada, regular e de classeC1 comR

= 0 ou

|R

| 2 possui auto-intersecao. Se e uma curva


69/118

Curvas Planas 69

fechada e de classeC2, com curvatura total satisfazendoC T() =0 ou|CT()| 2, entao possui pontos de auto-intersecao.

Observe que a recproca desse resultado nao e verdadeira,isto e, nao e verdade, em geral, que se o ndice de rotacao deuma curva for igual a1, a curva seja simples. Como exemplo,considere a lemniscata com laco (veja exemplo 1.15). Ela temndice de rotacao igual a um e nao e simples.


70/118

70 Curvas Planas


71/118

Captulo 2

Curvas Convexas

Neste captulo, estudaremos as propriedades geometricas dascurvas regulares cuja curvatura nao troca de sinal. Inicialmente,introduziremos o conceito de curva localmente convexa.

Definicao 2.1 Dizemos que uma curva : I IR2 e convexaem t0 I, se existe > 0, tal que((t0 , t0+ )) esteja in-teiramente contido num dos semi-planos determinados pela retatangente a em t0. A curva e dita estritamente convexa emt0, se e convexa em t0 e existe > 0, tal que(t0) e o unico

ponto de((t0 , t0+)) sobre a reta tangente de emt0.A definicao de curva convexa em t0 implica que, para todo t(t0 , t0+), a funcao definida por

ht0(t) =(t) (t0), N(t0),onde N(t) e o campo normal de , nao muda de sinal.

Proposicao 2.1 Seja : IIR2 uma curva regular e de classeC2. Se a curvatura de em t0 I e n ao-nula, entao e estri-tamente convexa emt

0.

71


72/118

72 Curvas Convexas

Prova. Suponha quek(t0)> 0. Pela observacao acima, devemos

provar que existe > 0, tal que a funcao ht0 seja nao-negativaem (t0 , t0+ ), e ht0(t) = 0 nesse intervalo, se e somente set= t0. Sem perda de generalidade, podemos supor que a curvaesta parametrizada pelo comprimento de arco. Nesse caso,

ht0(t0) =(t0), N(t0)= 0

e

ht0(t0) =k(t0)> 0.

Portanto t0 e um ponto de mnimo estrito local de ht0. Como

ht0(t0) = 0, existe > 0, tal que ht0(t) > 0, para todo 0 0. Aprova no caso em que k(t0)< 0 e analoga.

O proximo resultado nos permite considerar o caso em que acurvatura se anula, mas nao muda de sinal.

Proposicao 2.2 Seja : I IR2 uma curva regular com cur-vatura k. Suponha que existe > 0, tal que, para todo t(t0 , t0+ ) I, k(t) 0. Entao e convexa em t0. Alemdisso, o traco de |(t0,t0+) esta contido no semi-plano deter-minado pela reta tangente a curva emt0 para o qual aponta ovetorN(t0).

Prova. Escolha o sistema de coordenadas de IR2 de modo que(t0) = (0, 0), T(t0) = (1, 0) e N(t0) = (0, 1). Suponha, semperda de generalidade, que esteja parametrizada pelo compri-mento de arco e, em relacao ao sistema de coordenadas acima,seja dada por

(t) = (x(t), y(t)).


73/118

Curvas Convexas 73

A prova reduz-se, nesse caso, a mostrar que existe 1 > 0, tal

que y(t)0, para todo t(t0 1, t0+ 1). Considere a funcao, definida por

(t) =

tt0

k()d.

Pela equacao (1.12),

(x(t), y(t)) =(t) = (cos (t), sen (t)).

Como k(t)0, t(t0 , t0+), existe 0< 1, tal que

y(t) = sen (t)

0, se t0

t

t0+

1,

ey(t) = sen (t)0, se t0 1tt0.

Logo a funcao y e nao-crescente no intervalo [t0 1, t0] e nao-decrescente em [t0, t0+ 1]. Comoy(t0) = 0, temos quey(t)0,para todo t[t0 1, t0+1], o que conclui a prova.

2.1 Curvas Fechadas e Convexas

Dizemos que uma curva regular : [a, b] IR2 e convexa,se, para cada t0 [a, b], o traco de esta inteiramente contidoem um dos semi-planos determinados pela reta tangente a emt0. De modo mais preciso, ser convexa significa que, para todot0[a, b], a funcao ht0, definida por

ht0(t) =(t) (t0), N(t0),

nao muda de sinal em [a, b]. Em particular, e convexa emtodot

[a, b]. A curva e dita estritamente convexa emt

0, se o


74/118

74 Curvas Convexas

traco de, exceto pelo ponto(t0), esta inteiramente contido no

semi-plano aberto determinado pela reta tangente a curva em(t0). Em termos da funcaoht0, definida acima, esta propriedadesignifica que ht0 somente se anula emt= t0.

curva convexa curva n ao convexa

Na secao anterior, vimos que a nocao de convexidade esta

fortemente ligada com a curvatura de . De fato, para curvasfechadas e simples, obtemos o seguinte resultado:

Teorema 2.1 Uma curva regular, fechada e simples : [a, b]IR2 e convexa, se e somente se sua curvatura nao muda de sinal.

Prova. Como e uma curva de Jordan, pelo Teorema de Jor-dan, seu traco delimita uma regiao limitada e conexa IR2.Orientamos de modo que em algum s0[a, b] o vetor normalno ponto(s0) aponta para a regiao . Pela continuidade do ve-tor normalNde, temos que, para todos

[a, b],N(s) aponta

para . Observe que em s0,k(s0)0, uma vez que o traco deesta contido no semi-plano determinado pela reta tangente a ems0. Comok nao muda de sinal,k(s)0, para todo s[a, b].Vamos provar que e convexa. Fixe s1[a, b] e vamos mostrarque a funcao

hs1(s) =(s) (s1), N(s1),nao muda de sinal em [a, b]. Suponha, por contradicao que issonao ocorre. Como hs1 e contnua, ela assume um mnimo nega-tivo e um maximo positivo em pontos s

2 e s

3, distintos de s

1.


75/118

Curvas Convexas 75

Como hs1(s) =(s), N(s1), as retas tangentes a curva ems1, s2 e s3 sao paralelas. Por hipotese, e uma curva simples.Logo, pelo Teorema 1.6, seu ndice de rotacao e R =1 ecom a orientacao que escolhemos, R = 1. Seja : [a, b] IRuma funcao angular para indicatriz tangente de em relacaoa (0, 0), com (a) = 0. Observe que, pela equacao (1.22), aderivada de e dada por (t) = k(t)(t) 0. Logo enao-decrescente. ComoR= 1 e e nao-decrescente, a imagemde e o intervalo [0, 2]. Como temos pelo menos tres pon-tos do traco de com retas tangentes paralelas, em pelo menosdois desses pontos, a funcao possui o mesmo valor. Como

e nao-decrescente, ela deve ser constante em algum intervaloda forma [si, sj], i, j {1, 2, 3}. Isto significa que o traco de contem um segmento de reta ligando (si) a (sj). Portantohs1(si) = hs1(sj), o que contradiz a escolha dos pontos s2 e s3.Logohs1 nao muda de sinal. Como s1 e arbitrario em [a, b], econvexa.

Reciprocamente, vamos provar que, com essa orientacao es-colhida anteriormente, k(s) 0. Suponha que para algums1 [a, b], k(s1) < 0. Escolhemos um sistema de coordenadasde IR2 de modo que

(s1) = (s1, 0),(s1) = (1, 0).

Nesse caso, podemos reparametrizar uma vizinhanca do ponto(s1) de modo que o traco de seja dado pelo grafico de umafuncao f : (s1 , s1+)IR. Observe que, como k(s1) < 0,pela equacao (1.14), para ssuficientemente proximo de s1,

(s)

(s1), N(s1)

=

k(s1)

2 (s

s1)

2 +R(s)< 0,


76/118

76 Curvas Convexas

onde limss1

R(s)(s s1)

2= 0. Isso implica que, para suficientemente

pequeno, f(s) > 0, se 0


77/118

Curvas Convexas 77

De modo analogo, o segmento aberto de extremos P e Q e dado

por]P Q[={tQ+ (1 t)P, 0< t 0, tal que B(P) A. Nesse caso, P e ditoponto interior de A.

2. Existe >0, tal que B(P) A=. Nesse caso, P e ditoponto exterior de A.

3. Para todo >0, B(P) A=e B(P) (IR2 A)=.Nesse caso, P e dito ponto de fronteira de A.

O conjunto de pontos interiores de A e chamado de interior

de A e sera denotado

A ou intA. O conjunto de pontos defronteira e chamado fronteira ou bordo deA e sera denotado por

A. O fecho de A e dado por

AA e sera denotado por A.

A primeira propriedade que iremos provar e uma caracterizacaodos conjuntos convexos de IR2 com interior vazio.

Proposicao 2.3 Seja um conjunto convexo deIR2 com inter-ior vazio. Entao esta contido em uma reta.

Prova. Se possui no maximo um ponto, nada ha que se pro-var. Suponha que existam dois pontos distintos P e Q em .Como e convexo, [P Q]. Vamos provar que esta contidona retar determinada por P eQ. Suponha por contradicao queexiste um pontoT

comT

r. Sendo convexo, ele contem


78/118

78 Curvas Convexas

todos os segmentos de reta da forma [T X], comX[P Q]. Por-tanto contem a regiao limitada pelo trianguloP QT. Comoessa regiao possui pontos interiores, chegamos a uma contradicaocom o fato que o interior de e vazio.

Uma nocao util para o estudo de conjuntos convexos e a retasuporte.

Definicao 2.2 Sejam A IR2 e P A. Diremos que umareta r passando por P e uma reta suporte para A em P, seA estiver totalmente contido em um dos semi-planos fechadosdeterminados porr.

r1, r2, r3 e r4 sao retas suporte para; r5 nao e reta suporte para.

Observe que, seP A, entao nao existem retas suporte paraApassando por P. Mesmo para pontos da fronteira de A, podenao existir reta suporte passando por esses pontos.


79/118

Curvas Convexas 79

No entanto, conjuntos convexos possuem reta suporte pas-

sando por todo ponto de sua fronteira, como mostra o seguinteresultado:

Proposicao 2.4 Se e convexo e P , entao existe umareta suporte para passando porP.

Prova. Se o interior de e vazio, o resultado segue da Proposi-

cao 2.3. Suponhamos que

= e seja Q

. SejaQP a

semi-reta com origem em Q e passando por P. Considere l0 a

semi-reta com origem em P e que esta contida emQP. Vamos

provar inicialmente que l0 intersecta apenas no ponto P. Por

contradicao, suponha que existeP =P, comP l0. ComoQ esta no interior de , existe uma bola aberta B(Q) intei-ramente contida em e, portanto, existe um segmento de reta

]MN[, centrado emQ, de comprimento 2, perpendicular aQP

e que esta inteiramente contido em . Sendo convexo, paratodo X]MN[, o segmento [XP] esta contido em . Portanto contem a regiao limitada pelo trianguloMN P e P e umponto do interior dessa regiao, contradizendo o fato de P .

Seja u0 o vetor diretor unitario para a semi-reta l0, isto e l0 ={P +tu0, t 0}. Considere agora l, [0, 2], a semi-retacom origem em P e com vetor diretor u, onde = (u0, u).Sejam

1

= sup{

|

l=

{P

}}


80/118

80 Curvas Convexas

e

2= sup{| l2 ={P}}.

Observe que 1+2 . De fato, se 1+2 < , temos que assemi-retas l1+ e l2, com 0< , temos que qualquer retarpassando porPe contida na regiao limitada por l1+ e l2, que nao contem e reta suporte para passando por P.

O proximo resultado sera util na prova da relacao entre aconvexidade de uma curva de Jordan e a convexidade da regiaoque ela delimita.

Lema 2.1 Seja : [a, b] IR2 uma curva de Jordan, regulare de classeC1 e seja o fecho da regiao delimitada pelo tracode. Se e um conjunto convexo, entao, para todo t [a, b],a reta tangente a curva em t e a unica reta suporte para passando por(t).

Prova. Como =traco de , a existencia da reta suporte emcada ponto (t) e garantida pela Proposicao 2.4. Vamos pro-var a unicidade de tal reta. Fixe t0 [a, b]. Sem perda de ge-neralidade, podemos supor que esta parametrizada pelo com-primento de arco e vamos orienta-la de modo que N(t

0) aponte


82/118

82 Curvas Convexas

para regiao . Vamos escolher o sistema de coordenadas de IR2

de modo que

P=(t0) = (t0, 0) e (t0) = (1, 0).

Com essa escolha,N(t0) = (0, 1) e a reta tangente a curva emt0 e o eixo 0x. Usando a Proposicao 1.2, existe > 0 tal que aparte do traco de que esta contida na bola B(P) de centroP e raio e o grafico de uma funcao diferenciavel f : I IR,onde I e um intervalo contendo t0. Da escolha do sistema decoordenadas, temos que

f(t0) = 0 e f(t0) = 0.

Diminuindo-se, se necessario, podemos afirmar que

int B(P) ={(x, y)IR2|(x t0)2 +y2 < 2 ey > f(x)}.Vamos provar que toda reta que passa por P, diferente do eixo0x, passa por pontos do interior de e, portanto, nao pode serreta suporte para . Sejar uma tal reta. A equacao de r e daforma

y=m(x t0), mIR, m= 0.Observe que,

limxt0

m(x t0) f(x)x t0 =m limxt0

f(x)

x t0

=m limxt0

f(x) f(t0)x t0 =m f

(t0) =m.

Suponha que m >0. Pela definicao de limite, dado >0, com0 < < m, existe > 0, tal que para todo x, com 0 < x < ,tem-se que (x, f(x))B(P), (x, m(x t0))B(P) e

m

0,

ou seja, m(x t0)> f(x).

Portanto (x, m(x t0)) int B(P) para todo x, com 0 0

suficientemente pequeno;

h1, h1 eh1 sao suficientemente proximas de zero, para quea curvatura do grafico da funcao H, dada por H(x) =

h(x) +h1(x) seja maior que 1

2.

Seja : [0, c]IR2 uma parametrizacao, pelo comprimento dearco, do grafico de H = h+ h1, com (0) = (1, 0) e (c) =(

1, 0). A curva satisfaz:

1. Existe > 0, tal que ([0, ] [c , c]) esta contido emS1+;

2. O traco de nao esta contido em S1+;

3. A indicatriz tangente T da curva descreve um semi-crculo;

4. k(s)>1

2, onde k e a curvatura de .


102/118

102 Curvas Convexas

Considere a curva : [0, 2c]IR2, dada por

(s) =

(s), se 0sc,(s c) + 2N(s c), secs2c,

onde N(s) e o vetor normal unitario de .

A condicao (1) garante que esta bem definida e (0) =(2c). Logo e uma curva fechada e de classeC. Vamosprovar que e regular. A forma como esta definida e pelofato de ser regular, resta-nos provar a regularidade de nointervalo [c, 2c]. Temos que s

[c, 2c],

(s) =(s c) 2N(s c).

Usando as Equacoes de Frenet obtemos

(s) = (1 2k(s c))T(s c).

A propriedade (4) da curva implica que(s)= 0. Um calculodireto nos mostra que a curvatura k de e dado por

k(s) =

k(s), se s[0, c],k(t c)2k(t c) 1 , se s[c, 2c].

A condicao (4) implica quek >1

2. A propriedade (3) nos diz que

o ndice de rotacao dee igual a um e, portanto, e estritamenteconvexa. E imediato vermos que a largura de e constante eigual a dois.


103/118

Curvas Convexas 103

Vamos provar, em seguida, que o comprimento de uma curvade largura constante L0 depende apenas de L0. Esse resultadofoi demonstrado originalmente por E. Barbier no seculo XIX,usando metodos probabilsticos.

Teorema 2.7 (Teorema de Barbier) O comprimento de qual-quer curva convexa, regular, fechada, simples e de largura cons-

tanteL0 e igual aL0.Prova. Seja : [0, L] IR2 uma curva parametrizada pelocomprimento de arco, com as hipoteses do teorema e positiva-mente orientada. Pelo Teorema 2.3, como e fechada, simplese convexa, o ndice de rotacao de e igual a um. Considere aextensao periodica de , definida em IR por

(s+nL) =(s), s[0, L], nIN.Sejauma determinacao diferenciavel do angulo que a indicatriztangente de,T(s), faz com (1, 0). Visto que o ndice de rotacao


104/118

104 Curvas Convexas

de e igual a um, temos

(s+L) (s) = 2,sIR.Pela equacao (1.22), temos que

(s) =k(s),sIR.Vimos que a curva e estritamente convexa. Portanto k(s)> 0ee estritamente crescente. Logo possui inversa diferenciavel.

Agora, para cada s IR, considere a aplicacao que a cadasIR associa (s), dada por

(s) =(s) + L0N(s),onde N e o campo normal e unitario ao longo de. Temos,portanto, que e diferenciavel, periodica e, para todo s IR,(s) e(s) sao pontos antpodas. Antes de continuarmos a de-monstracao do teorema, necessitaremos de seguinte resultado:

Lema 2.2 Com a notacao acima, e uma reparametrizacaopositiva de, isto e, existe uma funcao diferenciavelh : IRIR,tal que

(s) =

h(s),sIR.

A funcao h e tal queh(s+L) = h(s) + L, para todo s IR, esua derivada e estritamente positiva em todos os pontos.Prova do lema. Sejaha funcao, dada porh(s) =1((s)+).Temos que h e diferenciavel, e sua derivada e positiva. Alemdisso,

h(s) =(s) +.Observe que h(s) = 1((s) + ) =(s) + . Portanto,se T e a indicatriz tangente de, temos que

T(h(s)) = (cos( h(s)), sen( h(s))= (cos((s) +), sen((s) +)

= ( cos((s)), sen((s)) =T(s).


105/118

Curvas Convexas 105

Entao T h(s) =T(s) e, portanto,(s) e(h(s)) sao pontosantpodas. Assim(s) =(h(s)).

Vamos concluir a prova do Teorema 2.7. Pelo lema anterior,

(s) + L0N(s) =(h(s)).Derivando essa expressao, obtemos

T(s) + L0N(s) =T(h(s))h(s).

Pela equacao (1.8),

T(s) L0k(s)T(s) =T(h(s))h(s).

Visto que T(h(s)) =T(s), temos

(1 k(s)L0+h(s))T(s) = 0,

o que acarreta

h(s) =k(s)L0 1.Usando as propriedades da funcao h e o fato de que o ndice

de rotacao de e igual a 1, temos que

L= h(L) h(0) = L0

h(s)ds =

L0

(k(s)L0 1)ds

= L0

L0

k(s)ds

L= 2L0 L.

Portanto

L= L0.


106/118

106 Curvas Convexas

2.4 Comprimento e Area de Curvas

Convexas

Nesta secao, vamos determinar expressoes para medir o com-primento de uma curva estritamente convexa, bem como para aarea da regiao limitada por essa curva. Esses resultados seraoconsequencia de escrevermos a curva usando coordenadas po-lares tangenciais. SejaCo traco de uma curva regular, fechada,convexa e positivamente orientada em IR2. Seja O um ponto naregiao limitada porC, e escolha o sistema de coordenadas de IR2

de modo que a origem seja o ponto O. SejaP = (x, y) um ponto

sobre C, e seja rPa reta tangente a curva C em P. Considere(P) o angulo que a reta nP, perpendicular a rPe passando porO, faz com o semi-eixo positivo do eixo Ox. Defina () comoa projecao orientada P sobre nP. Se N(P) e o campo normal eunitario a curva C, a projecao e dada por

() =P, N(P).

A funcao e tambem conhecida por funcao suporte de C.


107/118

Curvas Convexas 107

Vamos descrever a curva C, usando como parametro. Para

obtermos (x, y) como funcao de , observemos que qualquerponto sobre a reta rp possui a mesma projecao sobre np. LogoP = (x, y) satisfaz

() =x cos +y sen .

Derivando essa equacao em relacao a e usando que rp enp saoperpendiculares, obtemos

() =x sen +x cos +y cos +y sen

=x sen +y cos .Portanto

x() = ()cos ()sen y() = ()sen +()cos .

(2.6)

Das expressoes acima, segue-se que, dados e , podemosdeterminar (x, y) C, e, reciprocamente, as equacoes em (2.6)tambem determinam, de modo unico, e em funcao de (x, y).

Definicao 2.5 O par (, ()) e chamado de coordenadas po-lares tangenciais deC.

Vamos agora obter as expressoes para o comprimento de arco epara curvatura deCem funcao de . Inicialmente, derivando asequacoes (2.6),

x() = [() +()] sen ,y() = [() +()] cos .

Seja s a funcao comprimento de arco deCa partir de um pontoP0 C. Entao s e uma funcao monotona crescente de , 0

2, e, por conseguinte, invertvel. Seja (s) a expressao de


108/118

108 Curvas Convexas

como funcao de s. Seja uma determinacao diferenciavel do

angulo que (x

(s), y

(s)) faz com o vetor (1, 0). Entao

(s) =(s) +

2.

Assimd

ds(s) =(s) =k(s),

onde k e a curvatura de C. Logo

1

k(s())=

ds

d =() +()> 0. (2.7)

Portanto, em termos da funcao suporte, a curvatura de C e

k() = 1

() +().

Se L denota o comprimento de C,

L=

L0

ds=

20

ds

d d

= 20

[() +()]d = 20

()d.

Assim provamos o seguinte resultado:

Teorema 2.8 (Formula de Cauchy) O comprimento L de umacurva fechada, regular, simples e estritamente convexaC e dadopor

L=

20

()d,

onde e a funcao suporte deC.


109/118

Curvas Convexas 109

SejaAa area da regiao limitada pela curva C. Para estimaro valor deA, vamos considerar triangulos com um vertice naorigem e o lado oposto a esse vertice, sobre a reta tangente a Cem P, tendo comprimento ds, conforme a figura a seguir.

Observe que a altura relativa ao vertice (0, 0) e(). Portanto aarea de cada um desses triangulos e

1

2()ds.

Usando as ideias do Calculo Diferencial, passando ao limite quan-do dstende a zero, obtemos

A= 12

C

((s))ds.

Utilizando a equacao (2.7), obtemos

A= 12

20

()[() +()]d. (2.8)

Porem, integrando por partes, temos que

2

0

()()d = ()()2

0

2

0

(())2 d


110/118

110 Curvas Convexas

=

2

0

(())2 d.

Substituindo essa expressao em (2.8), obtemos

A= 12

20

[2() (())2]d.

Provamos, entao, o seguinte resultado:

Teorema 2.9 (Formula de Blaschke) A areaA da regiao li-mitada por uma curva fechada, regular, simples e estritamenteconvexaC e dada por

A= 12

20

[2() (())2]d,

onde e a funcao suporte deC.

O proximo resultado ira nos dar estimativas do comprimentoL e da areaA em funcao dos valores maximo e mnimo da cur-vatura de C.

Teorema 2.10 Seja C uma curva fechada, regular e estrita-mente convexa. Sejam L o comprimento de C eA a area da

regiao limitada porC. Entao

2

k1L 2

k2

e

k21 A

k22,

onde k1 e o valor maximo ek2 e o valor

curso convexa

Documents