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PARANÁ

GOVERNO DO ESTADO

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - DPPE PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

ELIS REGINA PEREIRA

UNIDADE DIDÁTICA:

A “RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS” COMO METODOLOGIA PARA O ENSINO

DE OPERAÇÕES COM NÙMEROS RACIONAIS NO 6º ANO DO ENSINO

FUNDAMENTAL

CURITIBA

2011

SUMÁRIO

1 Apresentação ........................................................................................................3

1.1 O ensino da matemática “através” da Resolução de Problemas ..........................4

2 Atividades ..............................................................................................................8

2.1 Atividade 1: O inteiro e suas partes .......................................................................9

2.2 Atividade 2: Conceito de número .........................................................................10

2.3 Atividade 3: Operações com números racionais..................................................12

2.4 Atividade 4: Os números racionais e a calculadora.............................................13

2.5 Atividade 5: O número racional e o sistema monetário.......................................14

2.6 Atividade 6 :O número racional e a massa corporal............................................16

2.7 Atividade 7: A lógica do número racional............................................................18

2.8 Atividade 8: Proporcionalidade............................................................................19

2.9 Atividade 9: Porcentagem....................................................................................20

Referências Bibliográficas..........................................................................................21

1 Apresentação

Este material refere-se à produção didático-pedagógica inserida no

Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, do Paraná. Trata-se de uma

unidade didática onde é abordado o ensino inicial das operações com números

racionais “através” da Resolução de Problemas.

Com objetivo de aproximar a matemática da sala de aula e o cotidiano do

aluno, serão aplicadas atividades numa turma do 6º ano do ensino fundamental do

Colégio Estadual Pedro Macedo, de Curitiba. Nesta proposta de trabalho assume-se

a resolução de problemas como o caminho a ser percorrido para o ensino e a

aprendizagem, de modo a abrir possibilidades para o estudante articular o aprendido

em função de contextos mais abrangentes que a dos próprios conteúdos

matemáticos. Além disso, essa metodologia pode favorecer o desvelar das

estratégias que os alunos lançam mão para resolver problemas e o como eles

mobilizam os conhecimentos que têm sobre a matemática escolar para o

enfrentamento de situações que requeiram ir a diante, em busca do novo.

Os conteúdos trabalhados são aqueles elencados no livro didático adotado

pela escola onde o projeto será desenvolvido. Esse livro é aprovado pelo Programa

Nacional do Livro Didático (PNLD) e está em sintonia com as Diretrizes Curriculares

da Educação Básica – Matemática (PARANÁ, 2006).

Conteúdo desta unidade didática: números racionais no 6º ano.

A forma fracionária dos números racionais: ideia de fração, comparação de

números fracionários, frações equivalentes, redução de frações ao mesmo

denominador, operações com frações, frações e a porcentagem.

A forma decimal dos números racionais: representação decimal, operações

com números decimais e números decimais e a porcentagem.

A despeito da proposta das Diretrizes Curriculares da Educação Básica –

Matemática (PARANÁ, 2006, p. 63), o ensino de matemática deve apoiar-se nas

tendências metodológicas: etnomatemática, modelagem matemática, mídias

tecnológicas, história da matemática e principalmente na resolução de problemas.

Ainda, voltando nossos olhares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) –

Matemática, vemos essas orientações presentes, com destaque para que

no processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las (BRASIL, 1997, p. 43).

Com esse viés, acreditamos que o ensino na perspectiva da metodologia da

resolução de problemas pode auxiliar o aluno na construção de seu conhecimento,

na elaboração dos conceitos matemáticos e na revelação de modos de aprender, de

manifestar os significados compreendidos e os sentidos que a matemática escolar

vai fazendo para cada um, em sua trajetória de vida. Isso porque estamos cientes de

que

[...] aprender Matemática é mais do que manejar fórmulas, saber fazer contas ou marcar x nas respostas: é interpretar, criar significados, construir seus próprios instrumentos para resolver problemas, estar preparado para perceber estes mesmos problemas, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade e conceber, projetar e transcender o imediatamente sensível (PARANÁ, 1990, p.66).

1.1 O ensino da matemática “através” da Resolução de Problemas: algumas

considerações

A presença de problemas para organizar o conhecimento matemático

produzido tem sua história nas mais remotas civilizações. Um exemplo pode ser

encontrado no Papirus de Rhind (1650 a.C), uma coletânea egípcia com mais de 80

problemas envolvendo aritmética, frações, cálculo de áreas, volumes, progressões,

repartições proporcionais, regra de três simples, equações lineares, trigonometria

básica e geometria, com suas respectivas soluções. A intenção desse compêndio

não é clara. Especula-se que ele tenha tido fins pedagógicos, mas não se pode

descartar a possibilidade de ser apenas um registro de anotações de aulas ou

estudos que foram preservados. Contudo, pode-se afirmar que nele há

intencionalmente o direcionamento para um modo de expor conteúdos, com textos

que envolvam os assuntos em uma problemática, mesmo diante da suspeita de que

os enunciados tenham sido criados para satisfazer as necessidades de assegurar o

domínio das técnicas que permitem resolver os problemas propostos.

De um modo geral, percebe-se que a presença de problemas tem sido

recorrente para a difusão de conhecimentos matemáticos ao longo da história da

humanidade. Nunes (2010) observa que por um bom tempo foi muito valorizado, na

educação, a solução de um problema. O que se destacou no cenário educacional foi

a elaboração de problemas e a respectiva resolução como uma alternativa utilizada

para finalizar uma unidade curricular, com o intuito de fixar um conteúdo pelo

treinamento dos assuntos já tratados.

Atualmente uma concepção que tem ganhado espaço é aquela que

considera o ensino da matemática “através” da resolução de problema. Essa

concepção solicita que o movimento de cada indivíduo em direção à construção de

seu conhecimento matemático perpasse e seja perpassado pela resolução de

problemas. Nunes (2010, p.84) afirma que nessa abordagem pretende-se que

aconteça “ensinar, aprender e avaliar a matemática construída pelos alunos com a

guia e direção do professor através da resolução de problemas”.

A resolução de problemas passa, então, a ser pensada como uma

metodologia de ensino, ponto de partida e meio de se ensinar a Matemática. Sob

esse enfoque, problemas são propostos de modo a contribuir para a construção de

novos conceitos e novos conteúdos, antes mesmo de sua apresentação em

linguagem formal.

Segundo os Parâmetros Curriculares de Matemática (1997, p. 43), nessa

metodologia, o ponto de partida da atividade matemática não é a definição,

mas o problema, porque no processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisam desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las; o problema não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada; aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver, o que exige transferências, retificações, rupturas, segundo um processo análogo ao que se observar na história da Matemática; o aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um campo de conceitos que tomam sentido num campo de problema [...] a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação de aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se podem aprender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas.

Ainda, no documento Curriculum and Evaluation Standards for School

Mathematics (apud Onuchic, 2008) recomenda-se que, para o sucesso do ensino,

através da resolução de problemas, deve-se levar em conta três recomendações...

1- conceitos e habilidades matemáticas deveriam ser aprendidos em contexto de resolução de problemas; 2- o desenvolvimento de processos de ensino de alto nível deveria estar repleto de experiências de resolução de

problemas, e 3 - instruções matemáticas deveriam acontecer dentro de uma investigação orientada, em uma atmosfera de resolução de problemas.

Desse modo, a metodologia da “Resolução de Problemas” vem como intuito

de evitar o uso imediato de dados e fórmulas, dentro da perspectiva de que resolver

problemas é uma atividade de investigação. A ênfase é de que tarefas envolvendo

problemas ou atividades sejam o veículo pelo qual um currículo deva ser

desenvolvido.

Nessa perspectiva, conforme Polya (1995) já sinalizava, a postura docente

deve ser de um orientador. O professor deve orientar o aluno discretamente,

colocando-se no lugar dele para entender o que e como ele pensa. Fazer perguntas,

levando-o a pensar, a provocar sua curiosidade.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (MEC, 1997, p. 24-34) enfatizam essa

postura docente, afirmando que o professor deve ser mediador entre o

conhecimento matemático e o aluno, organizador da aprendizagem, incentivador da

aprendizagem e não mais aquele que expõe os conteúdos: mas aquele que fornece

as condições necessárias para resolver as questões que o aluno não tem condições

de obter sozinho.

Do exposto, ao docente cabe assegurar um espaço de discussão no qual os

alunos pensem sobre os problemas que irão resolver, elaborem uma estratégia,

apresentem sua hipótese e façam o registro da solução encontrada ou de recursos

que utilizaram para chegar ao resultado. Isso favorece a formação do pensamento

matemático, livre do apego às regras. O aluno pode lançar mão de recursos como a

oralidade, o desenho e outros, até se sentir à vontade para utilizar sinais

matemáticos (SMOLE & DINIZ, 2001).

Uma proposta atual sugere um roteiro de atividades, onde o papel do

professor é o de observador, consultor, mediador e incentivador da aprendizagem.

Na sequência será apresentado o referido roteiro, assumindo-o como basilar

em todas as atividades propostas para esta unidade didática.

Formar grupos – entregar uma atividade (um problema) para o grupo e

folhas em branco, numeradas, para o registro das ações efetuadas pelos

alunos.

Registro das resoluções nos grupos: cada grupo deve manter registro de

todos os passos dados em direção da resolução do problema, inclusive

dos esboços individuais. Serão orientados a não apagar as tentativas e,

diante da constatação de um erro, trocar a folha para a numeração

seguinte, mantendo o registro para o acompanhamento das ideias,

estratégias, dúvidas, evolução na compreensão dos conceitos

trabalhados.

Socialização dos modos de solucionar o problema, dos resultados e das

possibilidades ainda abertas, estimulando a análise pelos alunos.

Consenso – partindo da analise realizada pelos alunos e mediada pelo

professor, buscar-se-á um consenso sobre as possíveis soluções para o

problema sugerido.

Formalização do conteúdo - feita pelo professor, com o auxilio dos

estudantes. Nessa etapa serão apontados os novos conceitos,

destacados os conteúdos prévios, as estratégias utilizadas e as

generalizações possíveis.

2 Atividades

A matemática que estamos ensinando e como a estamos ensinando é obsoleta, inútil e desinteressante. Ensinar ou deixar de ensinar essa matemática dá no mesmo. Na verdade, deixar de ensiná-la pode até ser um benefício, pois elimina fontes de frustração!

D’AMBRÓSIO (1991, p. 2)

É bastante comum o aluno desistir de solucionar um problema matemático,

afirmando não ter aprendido como resolver aquele tipo de questão ainda,

quando ele não consegue reconhecer qual o algoritmo ou processo de

solução apropriado para aquele problema. Faltam aos alunos uma

flexibilidade de solução e a coragem de tentar soluções alternativas,

diferentes das propostas pelos professores.

D’AMBRÓSIO (1989, p. 1)

As epígrafes usadas neste texto refletem uma das complexidades do ensino

e aprendizagem da matemática na educação básica: o uso excessivo de regras e

técnicas para se operar sem a compreensão das mesmas.

Para o enfretamento dessa problemática, nos voltamos ao ensino deflagrado

pela proposição de problemas e, por eles, espera-se que os conteúdos prévios e

aqueles a serem aprendidos no 6º Ano, no tocante às operações com números

racionais, sejam articulados em função da aprendizagem do aluno. Portanto, a

metodologia escolhida, conforme já mencionado, é a resolução de problemas.

A seguir serão apresentadas a as atividades a serem trabalhas em sala de

aula com os alunos e o roteiro a ser seguido em cada uma delas (Cf. p. 6).

2.1 Atividade 1- O inteiro e suas partes

Figura 1: A barra de chocolate

Fonte: Acervo da autora

Objetivos – Partir um inteiro;

– Estabelecer relação inteiro-partes;

– Conhecer estratégias e socializá-las

Material utilizado – tiras feitas com EVA.

Figura 2: Tiras de EVA


Organização da atividade – grupos com cinco alunos.

Duração da atividade – 2 aulas.

Situação problema 1 – De que modo pode ser feita a divisão de duas barras de

doce entre cinco crianças?

2.2 Atividade 2- Conceito de número

Figura 3: A pizza


Objetivos – Ampliar o conceito de número;

- Entender o inteiro como sendo uma unidade;

- Perceber quantidades menores que a unidade;

- Comparar frações.

Material utilizado – discos de frações feitos de EVA.

Figura 4: Discos de frações


Organização da atividade – grupos com três alunos.


Situação problema 2 - Na casa de Dona Neuza, toda sexta-feira é dia de pizza. A

semana passada, eles pediram três pizzas de mesmo tamanho e sabores diferentes,

porém divididas de formas diferentes: uma de calabresa em 08 pedaços, uma

napolitana em 10 pedaços e uma muçarela em 12 pedaços. Carlos, o filho mais

velho, comeu 3/8 da pizza de calabresa; Roberto comeu 3/10 da pizza napolitana e

Davi 4/12 da pizza de muçarela. Quem comeu mais pizza?

Atividades complementares à situação problema 2

- Que fração de cada pizza teriam que comer para que todos comessem a mesma

quantidade de pizza, restando ainda partes de todas as pizzas?

- Que fração cada um teria que comer para comerem toda a sua pizza?

- Se Roberto tivesse comido 4 pedaços da pizza napolitana, que fração ele teria

comido? E se Dona Neuza tivesse comido o dobro do que Roberto comeu, que

fração ela teria comido?

- Compare o resultado do item anterior com outras divisões do disco de frações e

veja se essa quantidade pode ser escrita de modo diferente.

2.3 Atividade 3 – Operações com números racionais

Figura 5: Peças de discos de frações Fonte: Acervo da autora

Objetivo – adicionar e subtrair números racionais com denominadores iguais e com

denominadores diferentes.

Material utilizado – discos de frações feitos de EVA.

Organização da atividade – grupos de três alunos.


Situação problema 3 – Ana recebe todo mês sua mesada. Este mês já gastou 1/9

comprando adesivos para suas unhas e 4/9 comprando lanches no intervalo escolar.

Que fração de sua mesada Ana já gastou? Que fração ainda resta?


-A mesada que Ana recebe é de R$ 45,00. Quanto representa em reais o que ela já

gastou?

-Do valor que sobrou ela pretende gastar 1/2 indo ao cinema. Quanto ela gastará no

cinema?

2.4 Atividade 4 – Os números racionais e a calculadora

Figura 6: A caminhada

Fonte: Domínio público

Objetivos - Compreender a parte decimal do número como sendo uma fração do

inteiro;

- Interpretar o resultado que aparece no visor da calculadora quando se

refere a tempo (hora, mês, ano).

Material utilizado – calculadora

Figura 7: A calculadora Fonte: Acervo da autora

Organização da atividade- alunos em duplas.


Situação problema 4 - Dulce pretende melhorar o seu condicionamento físico. Para

isto, resolveu caminhar 5 horas por semana. Este tempo será dividido igualmente em

4 dias de caminhada. Quantas horas e quantos minutos ela caminhará por dia?


9 horas : 4 3 anos : 2 7 meses : 5

2.5 Atividade 5 – O número racional e o sistema monetário

Figura 8: O dinheiro


Objetivos – Relacionar o dinheiro como sendo um número racional na forma

decimal;

- Realizar cálculos envolvendo números racionais na forma decimal.

Material utilizado – encartes de mercados.

Figura 9 : Os encartes


Organização da atividade – grupos com quatro alunos.


Situação problema 5 – No mês de julho de 2011 o preço da cesta básica em São

Paulo foi R$ 273,48. Se essa cesta fosse comprada em Curitiba no Mercado 1 qual

seria o seu preço?


-Por quanto sairia a cesta básica se fosse comprado no Mercado 2?

- O salário mínimo regional no Paraná é de R$ 708,74. Quantas cestas básicas são

possíveis comprar com este salário?

- Comprando apenas uma cesta básica no Mercado 1 ou no Mercado 2, quanto

sobra para as demais despesas da casa?

Para saber: Cesta básica é o nome dado a um conjunto formado por produtos

utilizados por uma família de 4 pessoas durante um mês. Ela é composta

por carne, leite, feijão, arroz, farinha, batata, tomate, pão francês ou de forma,

café em pó, açúcar, óleo, margarina e banana.

2.6 Atividade 6: O número racional e a massa corporal

Figura 10:


Objetivos – Compreender o resultado que aparece no visor da balança digital;

- Efetuar operações com números racionais na forma decimal;

- Comparar números racionais na forma decimal.

Material utilizado – balança digital.

Figura 11: A balança digital


Organização da atividade – grupos de três alunos.


Situação problema 6 – Duas amigas saem sempre para caminhar e todas as vezes

que passam na frente da farmácia entram para verificar suas massas corporais. A

primeira pesou 68,8 kg e a segunda pesou 74,5 kg. Calcule e escreva, por extenso,

a diferença de pesos entre elas.


- Agora cada grupo irá pesar seus integrantes e anotar os seus pesos.

- Coloquem seus pesos em ordem crescente.

- Qual é a diferença de peso entre o mais pesado do grupo e o leve?

- Quanto o grupo pesou ao todo?

- Escreva este peso por extenso.

2.7 Atividade 7 – A lógica do número racional

Figura 12: O cérebro humano

Fonte: http://dialogospoliticos.files.wordpress.com

Objetivo – Identificar o número natural como sendo um número

racional.

Material utilizado – a cena impressa.

Organização da atividade – em duplas.

Duração da atividade - 02 aulas.

Situação problema 7– Esta é a vista de uma cidadezinha do interior. Observando

atentamente, pode-se saber qual a hora, o dia e o mês da cena?

Figura 13: A cena

Fonte: SEED - Pr

http://dialogospoliticos.files.wordpress.com/

2.8 Atividade 8 – Proporcionalidade

Objetivos – Efetuar operações com números racionais;

- Relacionar os números racionais com medidas de capacidade.

Material utilizado – 04 garrafas pets de 1l, 02 garrafas pets de 2l, sucos de sabores

diferentes (abacaxi, uva, goiaba e morango), copo dosador, funil e copo de 200 ml.

Figura 14: Os sucos


Organização da atividade – grupos com seis alunos.


Situação problema 8 – No quiosque Vereda Tropical são vendidos sucos

deliciosos. O morancaxi é maravilhoso! Para fazê-lo são necessários 2 ¼ copos de

sucos de morango e 3 ¾ copos de suco de abacaxi. Quantos copos e quantos ml

rende esta receita?


- Atividades complementares sugeridas:

- Crie uma receita de suco usando 03 sabores.

- Quantos copos e quantos ml de suco sua receita rende?

- Dê um nome para o seu suco.

2.9 Atividade 9 – Porcentagem

Figura 15: Porcentagens


Objetivos – Entender a porcentagem como uma fração de denominador 100.

– Realizar cálculos utilizando porcentagens.

Material utilizado – situação problema.

Organização da atividade – grupos com quatro alunos.


Situação problema 9 – Segundo dados do IBGE – Censo 2010, o Brasil tem

190.732.694 habitantes. Aproximadamente 57% dessa população tem renda familiar

de até um salário mínimo. Quantos habitantes essa porcentagem representa?


- O Brasil possui cerca de 19 milhões de pessoas com 60 anos ou mais. Determine

aproximadamente essa porcentagem.

- Aproximadamente 8% da população atual do Brasil são de analfabetos (dados do

MEC). Quantos brasileiros aproximadamente são analfabetos?

Para saber: No Brasil cerca de 132 mil famílias são chefiadas por crianças de 10 a

14 anos.

Referências Bibliográficas

BERTONI, N. E. Números fracionários: primórdios esclarecedores. Coleção História da Matemática para Professores, Brasília, mar. 2005. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática/Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1997. D’AMBRÓSIO, B. S. Como ensinar matemática hoje? Temas e Debates. SBEM. Ano II N. 2. Brasília, 1989. P. 15-19. D’AMBRÓSIO, U. Matemática, ensino e educação: uma proposta global. Temas e Debates. Rio Claro, nº 3, p. 2, 1991. NUNES, C. B. O Processo Ensino- Aprendizagem- Avaliação de Geometria através da Resolução de Problemas: perspectivas didático- matemáticas na formação inicial de professores de matemática. Tese (Doutorado em Educação Matemática). Instituto de Geociências e Ciências Exatas. Universidade Estadual Paulista – UNESP. Campus de Rio Claro, 2010. ONUCHIC, L. de la Rosa. Apresentação. I Seminário em Resolução de Problemas. Rio Claro: UNESP, 30-31 out.2008. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Departamento de Ensino de Primeiro Grau. Currículo Básico para a Escola Pública do Paraná. Curitiba: SEED/ DEPG, 1990. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba, 2006. POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciências, 1995. SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. Ler, escrever e resolver problemas. Porto Alegre: Artmed, 2001.

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