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Controlo do Volume Celular

Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem – 2004/2005 1

Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de

Coimbra

Disciplina de Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem


Trabalho realizado por:

[email protected] Armanda Santos

Inês Aleixo

Joana Góis

Rosemeyre Cordeiro



- Índice -

Introdução.................................................................................................3

Desenvolvimento.......................................................................................7

- Parte I - Modelo simples do controlo do volume celular

1.1 - Pressão osmótica e trabalho da concentração..............7

1.2 - Modelo simples de controlo de volume celular............10

- Parte II - Modelo de controlo do volume celular com Parte

eléctrica

2.1 – Movimento de iões através da membrana..................13

2.2 - A interacção do efeitos eléctricos e osmóticos...........15

2.3 - As equações de Hodkin-Huxley para o potencial ........20

de acção do nervo

- Análise das equações obtidas e resultados em Simulink .....................31

-Conclusões.............................................................................................34

- AnexoI....................................................................................................35

- AnexoII...................................................................................................37

- AnexoIII..................................................................................................38

- Bibliografia.............................................................................................39



- Introdução -

As células representam a unidade estrutural e funcional de todos os

seres vivos. Por outras palavras, cada célula possui uma organização

molecular que lhe permite desempenhar as funções que desempenham a vida:

crescer, reproduzir-se e adaptar-se ao meio.

As células vivas classificam-se em procarióticas e eucarióticas. As

células eucarióticas possuem o núcleo delimitado por membrana (em grego

núcleo é caryon) e presume-se que existam na Terra há cerca de 1,5 biliões de

anos. As células anucleadas denominam-se por procarióticas e são

essencialmente representadas pelas bactérias, e admite-se que correspondam

aos descendentes mais directos das primeiras formas de vida presentes na

Terra desde há mais de 3 biliões de anos.

Em termos evolutivos, um acontecimento crucial para o aparecimento da

primeira célula deverá ter sido a formação de uma membrana capaz de isolar

proteínas e ácidos nucleicos do meio exterior. Esta necessidade de contenção

e isolamento é assegurada, em todas as células pela membrana celular.

As membranas biológicas são constituídas por uma bicamada de

fosfolípidos (fig.A). Os fosfolípidos são moléculas anfipáticas, isto é, possuem

simultaneamente ‘cabeças’ fosfatadas solúveis em água (hidrofílicas) e

‘caudas’ de ácidos gordos insolúveis em água (hidrofóbicas). Existem quatro

tipos de fosfolípidos: fosfatidilcolina, esfingomielina, fosfatidilserina e

fosfatidiletanolamina). Para além dos fosfolípidos, as membranas são também

constituídas por proteínas (essencialmente glicoproteínas e também alguns

canais e bombas) e outros tipos de lípidos (colesterol e glicolípidos). As

membranas são termodinamicamente estáveis, cuja manutenção não requer

hidrólise de ATP.

Figura A – Bicamada fosfolipídica (membrana biológica)



As membranas para além de isolarem a célula do meio exterior e

delimitarem compartimentos intracelulares desempenham outras importantes

funções, como por exemplo, criam uma barreira impermeável a iões, as

membranas permitem estabelecer gradientes electroquímicos no interior da

célula e, assim, armazenar energia tal como uma bateria.

Existem três tipos de transportes através da membrana: difusão

facilitada, transporte activo primário e transporte activo secundário. Neste

trabalho apenas será abordado o transporte activo primário, que é o transporte

activo mediado por bombas. A maioria das bombas são complexos proteicos,

em geral com mais do que uma subunidade, cujas características corresponde

às das proteínas de tipo IV, e usam como fonte primária e directa de energia a

hidrólise de ATP, mas o mecanismo de ligação entre a hidrólise-síntese de ATP

e transporte iónico, não é o mesmo para todas

Os fluxos activos (contra gradiente) de sódio e potássio através da

membrana celular têm duas características importantes, estão ligados entre si

e estão ligados à síntese hidrólise de ATP. Quando os fluxos se processam

contra gradiente há uma hidrólise de ATP intracelular havendo a translocação

de três iões sódio e dois potássio por cada molécula de ATP hidrolisada. Se se

aumentar muito os gradientes de concentração de K+ e Na+ e, além disso se se

aumentar a concentração intracelular de ADP e fosfato e se se diminuir a

concentração intracelular de ATP, haverá uma inversão dos fluxos de sódio e

potássio através do translocador e, simultaneamente, uma síntese de ATP.

Para além das bombas, existem também os canais dependentes de

voltagem. Estes canais assumem particular importância na despolarização de

células neuronais, isto porque, os canais de sódio dependentes de voltagem

são responsáveis pelas correntes de membrana que medeiam a fase

ascendente do potencial de acção na maioria das células excitáveis.

O neurónio-padrão (fig. B) consiste numa célula nucleada com um corpo

da qual saem muitos prolongamentos. Estes prolongamentos podem incluir

dendrites e um axónio. Não são ambos necessários; basta um deles. Ou seja:

um neurónio pode ter um axónio e nenhuma dendrite, dendrites e nenhum

axónio, ou dendrites e um axónio (ou mesmo axónios). As dedrites distinguem-

se morfologicamente dos axónios pelo conteúdo de organelos e pela

diminuição contínua de diâmetro à medida que se afasta do corpo do axónio.



Figura B – Representação esquemática de um neurónio-padrão

O axónio é uma fibra que se projecta para fora do corpo celular de um

neurónio e transmite sinais gerados por esse neurónio a outros. O axónio

funciona, portanto como um cabo condutor que transmite impulsos.

A base dos fenómenos electroquímicos no neurónios ( e em todas as

outras células) é a geração de gradientes iónicos através da acção combinada

de membranas semi-permeáveis e bombas iónicas consumidoras de energia.

O potencial de acção pode ser descrito como um potencial de repouso

activado por um rápido aumento, uma fase descendente que se estende abaixo

do potencial de repouso (hiperpolarização).e o regresso ao seu estado inicial

(repolarização), como se pode verificar na figura (fig.C) abaixo.

Figura C - Gráfico que representa o potencial de acção

O modelo do movimento iónico numa célula nervosa durante o potencial

de acção foi desenvolvido, em 1952, por Hodgkin e Huxley com base em

experiências em lulas gigantes, pois possuem axónios bastante grandes e

fáceis de se manipular.

Numa primeira fase, analisaram a função da membrana de um neurónio

sujeita a condições fisiológicas normais; a seguir estudaram os efeitos de



alterações na concentração do sódio no potencial de acção, assim como a

influência da corrente de iónica no fluxo membranar de sódio e potássio; numa

terceira parte, examinaram o efeito de mudanças súbitas no potencial de acção

e na condutância iónica; depois analisaram de que modo o processo de

inactivação reduzia a permeabilidade ao sódio; e por último com toda esta

informação criaram um modelo matemático que descreve este sistema

biológico.

De acordo com os estudos destes cientistas, estamos aptos a perceber

como se propara o potencial de acção ao longo do neurónio e as respectivas

funções dos canais iónicos associados.



- Desenvolvimento -

-Parte I- Modelo simples do controlo do volume celular

1.1 - Pressão osmótica e trabalho da concentração-

Considera-se um reservatório de água, dividido por uma membrana

porosa em dois compartimentos iguais (1 e 2).

Fig 1.1.1

Cada compartimento tem um pistão (P1 e P2) que é usado para criar

diferenças de pressão, de modo a que a água passe através dos poros.

O fluxo através da membrana é directamente proporcional à diferença de

pressão aplicada.

P1-P2=RQ (grafico) (1.1.1)

Q representa o fluxo e R a resistência ao caudal através da membrana.

Supondo que se adiciona açúcar ao compartimento da esquerda (1), (ver

figura 1.1.1 c ) e que as moléculas são demasiado grandes para atravessar a

membrana porosa. Neste caso a equação anterior é dada por:

P1-P2-kTc=RQ (1.1.2)

Com c a concentração do açúcar, k a constante de Boltzman e T a

temperatura absoluta da água. O sinal negativo está relacionado com o sentido

de fluxo de água (quando o fluxo de água é de 2 para 1 este é negativo). A



diferença de pressão dada por P1-P2= kTc, assegura o movimento de água do

compartimento 2 para o compartimento 1. Quando P1=P2 , -kTc=RQ

Q= - kTc/R; em que a pressão KTc é chamada de Pressão osmótica.

Considerando c= n/v1 , em que n é o número de moléculas de açúcar e V1 é o

volume do compartimento 1, tem-se que 1V

nKTKTcPosmótica (1.1.3), que é

idêntica à lei dos gases ideais.

Nos gases ideais, as interações intermoleculares são desprezáveis, e,

por isso, a energia interna é apenas cinética. Do mesmo modo, numa solução

muito diluida, as moléculas de soluto movem-se independentemente umas das

outras.

Assumem-se estes resultados para deduzir:

P1-P2-kTc = RQ.

1.O trabalho realizado pelo pistão é dado por:

QPPpistãoW )( 21 (1.1.4)

2.O trabalho necessário para conduzir a água através dos poros na

membrana é dado por:

2RQmembranaW (1.1.5)

3.O trabalho necessário para concentrar a solução de açúcar é:

11 VKTcVPãoconcentraçW (1.1.6)

estando em consenso com a lei dos gases. Se o caudal através da membrana

diminui, o volume de solução no compartimento 1 à taxa QV 1 , tem-se:

KTcQãoconcentraçW (1.1.7)

4.Finalmente, por conservação de energia tem-se:

ãoconcentraçWmembranaWWpistão (1.1.8)

Substituindo os termos respectivos e dividindo-os por Q obtém-se a equação:

KTcRQPP )( 21 (1.1.9)

Equação esta que é exactamente igual à (1.1.2). De notar que a equação (1.1)

surge da equação anterior quando c=0.



O movimentro de água quando se tem açúcar dos dois lados da membrana, é

dado por:

RQccKTPP )()( 2121 , (1.1.10)

com c1 e c2 as concentrações nos respectivos compartimentos.

Assim, a sua pressão osmótica relativa é determinada pela diferença de

concentração entre as duas soluções.

Finalmente, quando se está perante uma mistura de solutos (o que

determina a pressão osmótica é o número de partículas independentes do

soluto, por unidade de volume, consideram-se as pressões osmóticas parciais

de cada um, do mesmo modo que se consideram as pressões parciais de cada

gás no caso dos gases ideais).

Um exemplo disto mesmo, é o caso de uma solução iónica (por exemplo, NaCl

dissolvido em água). Neste caso, os iões Na+ e Cl- movem-se

independentemente e a pressão osmótica desta solução é dada por:

ClkTNakT

Em que [ ] denota a concentração individual dos respectivos iões.



1.2 - Modelo simples de controlo de volume celular:

Neste modelo simples, não serão considerado os efeitos eléctricos.

Fig 1.2.1 Modelo simplificado para o controlo do volume celular, ignorando os efeitos

eléctricos; deslocamento de iões e água através da membrana celular

No interior da célula representada na figura (1.2.1) existem algumas

moléculas que não conseguem atravessar a parede (membrana) celular. O

número destas moléculas é dado por X, e portanto, a sua concentração no

interior da célula é dada por X/V, sendo V o volume da célula em causa. Para

além destas moléculas a célula também possui iões de Na+ e K+. Estes iões

podem atravessar por difusão passiva a membrana da célula, membrana esta

que também é permeável à passagem de água. Verifica-se igualmente a

existência na membrana, de uma bomba de sódio/potássio, responsável não só

pelo processo de difusão activa dos iões de Na+ e K+, como também é a

responsável por manter o volume celular constante.

Assumindo-se que a pressão no interior da célula é igual à pressão no

exterior, pois a membrana celular não resiste a grandes diferenças de pressão.

As equações para o fluxo de Na+, K+ e água para o exterior da célula,

são:

pNaNaf eiNaNa )( (1.2.1)



pKKf eiKK )( (1.2.2)

)()( 2 eeiiOH KNaVXKNaKTQR (1.2.3)

Com fNa e fK o fluxo dos iões respectivos por unidade de tempo, [Na+]i a

concentração do ião dentro da célula e [Na+]e a concentração do ião no exterior

da célula e p a taxa de movimento de iões da bomba (por unidade de tempo).

As quantidades Na e K são as permeabilidades (passivas) da célula

relativamente ao Na+ e K+, e )( 2OHR é a resistência da membrana celular à

passagem da água. A última equação, (1.2.3) representa a lei da pressão

osmótica que deriva da secção anterior, mas neste caso, tem-se que a pressão

no interior da célula é igual à pressão no exterior.

Supondo agora que a célula está num estado de equilíbrio, ou seja fluxo

de iões e de água é nulo.

Assim as equações (1.2.1),(1.2.2)e (1.2.3) tomam a forma:

Naei

pNaNa (1.2.4)

Kei

pKK (1.2.5)

eeii KNaVXKNa (1.2.6)

As duas primeiras equações remetem para as diferenças de

concentração induzidas pela bomba, enquanto que a última remete para o facto

de a concentração de soluto dentro e fora da célula ser igual; de outra forma a

água iria circular através da membrana.

Substituindo as equações (1.2.4) e (1.2.5) na (1.2.6) obtém-se:

NaK

NaK

KNa

ppVX

)11

( (1.2.7)

Ou seja,

NaK

NaK

pXV (1.2.8)

Ao analisar o resultado conclui-se que:



Quando NaK tem-se um valor positivo e finito para o volume celular, V. O

que significa que a membrana terá de ser mais permeável a K+ do que ao Na+.

Esta assimetria é necessária pois a bomba “puxa” o Na+ para fora e K+ para

dentro da célula. A difusão através da membrana afecta parcialmente o

trabalho da bomba. Assim quando NaK a bomba actua de modo a reduzir

as concentrações de iões na célula, conseguindo depois atingir um equilíbrio

osmótico.

Outro ponto de interesse é a dependência de V com p. A equação (1.2.8)

mostra que o volume V é inversamente proporcional à taxa p da bomba.

Quando p 0, V , ou seja, é necessário que a bomba mantenha o volume

celular reduzido, caso contrário há turgescência da célula, o que pode levar

posteriormente à lise celular.

É também de notar que o V é proporcional a X. Assim, o volume da célula

modelo está automaticamente ajustado ao número de proteínas e outras

macromoléculas que se encontram no interior da célula; deste modo com a

produção de macromoléculas, a célula cresce e o seu volume aumenta

proporcionalmente. Nesta situação nunca ocorre lise celular.



-Parte II- Modelo de controlo do volume celular com Parte

eléctrica

2.1 – Movimento de iões através da membrana

Fig 2.1.1

A bateria ilustrada na figura (2.1.1.a) mostra a condução de corrente

iónica através da membrana. A diferença de voltagem através da membrana é

conhecida por potencial de membrana. O potencial é trabalho por unidade de

carga. A corrente (carga por unidade de tempo) na fig 2.1.1 é composta por

espécies iónicas designadas por AZ+. Esta notação significa que cada ião é

carregado por uma carga elementar (positiva). Isto significa que a carga é zq,

com q a carga do protão. Nos nosso caso, para Na+ e K+ temos z = +1 e para

Cl- temos z= -1.

A diferença de potencial estabelecida pela bateria é: 21 vvv

A corrente originada pelo ião AZ+ é denotada como IA, e a relação entre a

diferença de potencial e essa corrente é dada pelo gráfico (fig 2.1.1 b). Essa



relação é fundamentada através de argumentos energéticos similares aos

usados na secção 1.1 as suposições são:

1) O trabalho da bateria por unidade de tempo é

vIvvIW AAbateria )( 21 (2.1.1)

O que está de acordo com as definições de corrente (carga por unidade

de tempo) e potencial (ou voltagem) (trabalho por unidade de carga).

2) O trabalho necessário para a corrente fluir através da membrana é

2

AAmembrana IRW (2.1.2)

Esta suposição só é válida para situações simples, que são observadas

nas mais importantes membranas, como por exemplo, no neurónio de lula.

3) O trabalho requerido para mudar a concentração para iões de [Az+]1

para [Az+]2 é idêntico ao trabalho efectuado pelas moléculas de gás ideal. O

trabalho é 1

2

][

][log z

z

AAkT por ião transportado através da membrana. O

número de iões transportados através da membrana por unidade de tempo é

IA/zq, assim o trabalho da concentração é dado por:

1

2

][

][log z

z

Aãoconcentraç AA

zqKTIW (2.1..3)

Pela lei da conservação da energia, vem que

ãoconcentraçmembranabateria WWW (2.1.4)

Substituindo isto e dividindo por AI , obtemos

1

2

][

][log z

z

AA AA

zqKTIRv (2.1.5)

Dividindo por AR e rearranjando os termos temos

1

2

][

][log z

z

AA AA

zqKTvgI (2.1.6)

Onde AA Rg /1 é a condutância da membrana. Isto é a relação corrente -

voltagem ilustrada na figura (2.1.1.b). Quantativamente



1

2

][

][log z

z

A AA

zqKTE (2.1.7)

é denominado por potencial de equilíbrio do ião em questão. Quando AEv , a

corrente é zero. É de notar que esta expressão para o equilíbrio potencial é

muito mais geral do que a relação corrente - voltagem analisada anteriormente.

Se o pressuposto em (2) se alterar, a relação corrente – voltagem tornar-

se-á não linear, mas continuando ainda com o mesmo potencial de equilíbrio.

Finalmente, aplicaremos os resultados desta secção numa situação em

que vários iões estão presentes simultaneamente. Neste caso, assumimos que

diferentes iões atravessam a membrana por diferentes canais. Cada ião tem o

seu próprio estado de equilíbrio potencial determinado pela razão entre as

concentrações no exterior e no interior da célula, mas todos os iões sentem o

mesmo potencial de membrana v . A corrente total é simplesmente a soma

das correntes iónicas individuais para cada ião e cada corrente iónica é dada

pela expressão semelhante à (2.1.6)

2.2 - A interacção dos efeitos eléctricos e osmóticos

Consideremos agora o modelo da figura 1.1.1, na qual incluímos o efeito

eléctrico (figura 2.2.1).

Fig 2.2.1

Tem de se considerar o efeito dos iões de cloro, mesmo que eles não sejam

transportados activamente através da membrana. Assumimos também que



cada uma das moléculas x que se encontram dentro da célula tem carga

negativa z, representando-se quimicamente pelo símbolo Xz-.

O efeito eléctrico destas cargas produz um efeito osmótico indirecto,

porque são necessárias cargas positivas para anular as cargas negativas da

molécula. Este efeito é muito mais importante do que o efeito osmótico directo

produzido por Xz- quando z é grande.

Comecemos por analisar as equações deste modelo celular. Primeiro,

temos as equações para a corrente iónica (sentido positivo para fora):

pqNaNaqkTvgI ieNaNa ))/log()/(( (2.2.1)

pqKKqkTvgI ieKK ))/log()/(( (2.2.2)

))/log()/(( ieClCl ClClqkTvgI (2.2.3)

Estas equações (2.2.1,2.2.2 e 2.2.3) são as relações corrente-voltagem

da secção anterior, com os termos da corrente produzidos pela bomba

adicionados. Se p for a taxa de movimento de iões pela bomba (por unidade de

tempo), então pq é a corrente de Na+ produzida pela bomba e –pq a corrente

correspondente a K+, assumindo uma relação de 1:1. Na realidade, esta

relação é de 3:2, sendo por isso 3pq para o Na+ e -2pq para o K+. O sinal

negativo do K+ é devido à sua entrada para a célula.

Devido à carga negativa do Cl-, a corrente ICl tem sentido oposto do fluxo

do Cl-.

O efeito qualitativo do potencial de membrana na corrente iónica é igual

para cargas positivas e negativas.

Depois, temos a equação para o potencial de membrana v = vi – v0 em

termos de excesso de carga na célula:

)( xzClVKVNaVqCv iii (2.2.4)

onde C é capacidade da membrana da célula (q/V), ou seja a membrana actua

como um condensador, por isso é que o potencial de membrana é proporcional

ao excesso de carga.

É de notar que o excesso de carga é muito pequeno comparado com o

total de cargas positivas ou negativas, aproximando-se por isso a 0, sendo esta

a condição de electroneutralidade.

Por último, tem-se a equação para o fluxo osmótico da água (sentido

positivo para fora, de novo)



)(2 eeeiiiOH ClKNa

VxClKNakTQR (2.2.5)

Foi suposto anteriormente que a pressão interna e externa são iguais.

Supos-se que no estado de equilíbrio, INa, Ik, ICl e o fluxo de água Q são

nulos. Adicionalmente fez-se as seguintes simplificações:

1 – C=0 (condição de neutralidade)

2 – xz = N , em que N é o número total de cargas negativas no interior

da célula. Se se considerar z e x 0 , com N fixo, expressa-se o facto de

a célula conter um número relativamente pequeno de grandes moléculas com

um grande número de cargas negativas por molécula.

A partir destas duas simplificações obtém-se as seguintes equações:

pqNaNaqkTvg ieNa ))/log()/((0 (2.2.6)

pqKKqkTvg ieK ))/log()/((0 (2.2.7)

))/log()/((0 ieCl ClClqkTvg (2.2.8)

VNClKNa iii /0 (2.2.9)

eeeiii ClKNaClKNa0 (2.2.10)

Daqui obtêm-se 5 incógnitas: [Na+]i,[K+]i,[Cl-]i, v e V. As concentrações

externas são conhecidas, e obedecem a esta equação:

eee ClKNa (2.2.11)

uma vez que a solução externa é electricamente neutra.

Para resolver as equações anteriores, procede-se da maneira seguinte:

))/()/(exp(/ 2 kTgpqkTqvNaNa Naei (2.2.12)

))/()/(exp(/ 2 kTgpqkTqvKK Kei (2.2.13)

)/exp(/ kTqvClCl ei (2.2.14)

Para simplificar,

)/exp( kTqv (2.2.15)

)/exp( 2 kTgpq NaNa (2.2.16)

)/exp( 2 KTgpq KK (2.2.17)

ficando assim,

eNai NaNa 1 (2.2.18)

eKi KK 1 (2.2.19)



ei ClCl (2.2.20)

Estas expressões podem ser substituídas nas 2.2.9 e 2.2.10 para obter

um par de equações para e V. Notar que determina v. Depois de dividir

estas equações por 2[Cl-]o e usando 2.2.11. obtem-se

b2/)2/(0 (2.2.21)

equação de electroneutralidade

12/)2/(0 (2.2.22)

onde

VClNb

e2 (2.2.23)

e

)/()( eeeKeNa KNaKNa (2.2.24)

Usa-se 2.2.21, para expressar em termos de b. Isto significa que estamos a

encontrar o potencial em termos do volume celular.

A equação 2.2.21 pode ser reescrita como:

02/2/2 b (2.2.25)

Donde a solução positiva é,

2bb (2.2.26)

Usa-se a solução positiva porque )exp( kTqv é positiva para todos os v.

Notar que:

2

/1bb

(2.2.27)

Finalmente, podemos determinar b, deduzindo o V, substituindo 2.2.26 e

2.2.27 na equação do balanço osmótico(2.2.22). O resultado é

12b (2.2.28)

1b (2.2.29)

12 eClNV (2.2.30)

assim, apenas têm volumes finitos reais quando < 1; quando 1, o volume

aumenta até ocorrer lise celular.



Agora investigamos a dependência de com a taxa da bomba p.

Tem-se

ee

KeNae

KNakTgpqKkTgpqNa

p)/exp()/exp(

)(22

(2.2.31)

Claramente, 1)0( e )( p quando p .

Diferenciando esta expressão, encontra-se:

KKeNaNae gKgNaadpd

//( (2.2.32)

então,

)//()0( KeNae gKgNaadpd

(2.2.33)

onde a é independente de p.

Agora impomos a condição,

KeNae gKgNa // (2.2.34)

então dpd / < 0 e p = 0. Se 2.2.34 não for satisfeita, é fácil de ver que 1

para todos p > 0, e não existe solução.

Em 2.2.33 é interessante notar que tem um valor mínimo para o valor de p

encontrado ao fazer dpd / = 0. O resultado é a equação de poptimo:

)/log())/)(/( 2

eNaKeKNaKNaopt KggNaggggqkTp (2.2.35)

A partir da equação 2.2.30, pode-se inferir que este valor de p é também

o que minimiza o volume da célula V. Na realidade, pode-se especular que nas

células reais, as bombas funcionam a um ritmo próximo de popt.

Para uma taxa fixa de bombeamento, pode-se ver a partir de 2.2.30 e

2.2.31, que o volume da célula depende do número de cargas negativas no

interior desta e também das concentrações iónicas médias externas. A

dependência do volume celular com a concentração dos iões externos pode ser

descrita do seguinte modo:

- pode ser reescrito em termos da razão [Na+]e/[K+]e. Quando esta

razão é fixa, o volume celular é inversamente proporcional à concentração total

de iões exteriores à célula 2[Cl-]e = [Cl-]e + [Na+]e + [K+]e. Assim, quanto mais

diluído é o ambiente extra-celular, mais a célula aumenta o seu volume.



Quanto mais baixo for a razão [Na+]e/[K+]e, aumenta , originando

aumento do volume celular. Se a razão tender para 0, pode ocorrer lise celular.

Por último, com o conhecimento do volume celular, pode determinar-se o

estado de equilíbrio ou de repouso, o potencial de membrana v. Para isso,

substituímos 2.2.29 em 2.2.26. O resultado é

11 (2.2.36)

então,

)11log()/(log)/( kkTqkTv (2.2.37)

Como .0,1 v É a partir do potencial negativo da célula que se

processam os mecanismos de controlo do volume celular.

2.3 - As equações de Hodkin-Huxley para o potencial de acção do

neurónio

As alterações nas condutâncias da membrana gk e gNa levam a

discrepâncias no estado de equilíbrio celular, por isso INa, IK e ICl não são iguais

a zero. Como a reacção dos neurónios é rápida, da ordem dos milisegundos, a

capacitância da membrana celular não pode ser negligenciada, do mesmo

modo que era quando considerávamos mudanças lentas na regulação do

volume celular. Nestas circunstâncias de mudança rápida de condutância, a

equação fundamental que rege a diferença de potencial v através da

membrana celular pode ser deduzida do seguinte modo:

1º Diferenciando a equação 2.2.4 em ordem ao tempo, obtemos

))(()()( iii ClqVdtdKVq

dtdNaVq

dtdvC (2.3.1)

De notar que (Vq[Na+]i) é a quantidade de carga dentro da célula

contribuída pelos iões Na+. No entanto a taxa de mudança desta quantidade é -

INa. Em paralelo, a taxa de mudança de (Vq[K+]i) é –Ik e de (V(-q)[Cl-]i) é -ICl

Então, tendo em conta as equações para INa, IK e ICl (2.2.1,2,3), tem-se,

0)()()( ClClKKNaNa EvgEvgEvgvC (2.3.2)

onde,



i

eNa Na

NaqkTE log (2.3.3)

i

eK K

KqkTE log (2.3.4)

i

eCl Cl

ClqkTE log (2.3.5)

Uma vez que se considerou a simplificação de 1:1 Na+-K+, as correntes

anulam-se.

Com a proporção correcta (3:2 ou 2:3 Na+-K+) a bomba iria dar uma

contribuição para a equação (2.3.1).

Considerando agora que a célula é tão grande e que o fluxo de iões é

tão pequeno que a concentração interna dos vários iões muda lentamente

durante o potencial de acção.

De facto, as mudanças na concentração são tão pequenas, que mesmo

numa célula em que o mecanismo de bomba de sódio-potássio seja alterado,

pode gerar milhões de potenciais de antes de se verificar uma variação relativa

nas concentrações.

Matematicamente, expressa-se isto tratando as quantidades ENa, EK e

ECl como sendo constantes.

Para já, a sua relação é:

NaClK EEE 0 (2.3.6)

A equação (2.3.2) pode-se escrever da seguinte forma:

0)( EvgvC (2.3.7)

onde

ClKNa gggg (2.3.8)

é a condutância total da membrana, e onde:

ClKNa

ClClKKNaNa

gggEgEgEg

E (2.3.9)

é uma média dos potenciais de equilíbrio ENa, EK e Ecl.

Agora, verifica-se que as equações (2.3.7) e (2.3.2) são equivalentes.

De acordo com a equação (2.3.7), o potencial de membrana, v,

aproxima-se sempre do valor instantâneo de E.

Quando, 0vEv



0vEv

A célula ajusta-se a E, alterando simplesmente as condutâncias da

membrana.

Em repouso, v e E aproximam-se de ECl.

No início dos potenciais de acção, os canais de sódio abrem

dramaticamente aumentando gNa. Isto torna E próximo de ENa. Mais tarde, os

canais de sódio fecham e os canais de potássio abrem. Isto torna E próximo de

EK e v (pot. de membrana) aproxima-se de E, assim, torna-se mais negativo

que o resto do potencial da célula.

Finalmente todas as condutâncias tomam os valores normais, E e v

voltam aos valores de repouso, próximos de Ecl.

Hodgkin e Huxley através de experiências realizadas no axónio gigante

da lula descobriram como se alteram as condutâncias de Na+ e K+.

Esquema da membrana celular do modelo Hodgkin-Huxley.

Estes cientistas implementaram um circuito electrónico, para forçar o

potencial de membrana a seguir o sinal de entrada introduzido pelo cientista.

Hodgkin e Huxley usaram sinais em forma de degraus de modo a que, a

voltagem seja constante. Se v é constante, então 0vC . Assim, toda a

corrente gerada por este circuito vai fluir pelos canais da membrana. As

propriedades dos canais da membrana conduzem a uma dependência na

voltagem. Uma parte importante do trabalho de Hodgkin e Huxley foi concluir

que a voltagem era a variável certa a manipular/controlar.

Outro procedimento experimental feito por estes cientistas foi colocar um

fio de prata a todo o comprimento do axónio, que só é possível por este ser

gigante. Este fio, bom condutor de electricidade devido à sua composição de

prata, tem o efeito de eliminar quaisquer diferenças de voltagem que se

possam desenvolver entre algumas zonas do axónio. Matematicamente, fica



assegurado que o potencial de membrana v é apenas função do tempo t, e não

só da posição ao longo do axónio.

O ponto mais alto da teoria introduzida por Hodgkin e Huxley foi o facto

de conseguirem prever o comportamento do potencial de acção do nervo num

axónio sem espaços onde não há propagação; mais especificamente, eles

conseguiram prever a velocidade com que o potencial de acção se propaga ao

longo de um axónio deste tipo. Esta propagação necessita da introdução da

variável espacial x; que será desprezada. A versão de equações de Hodgkin-

Huxley que a seguir se consideram são um sistema de equações diferenciais

ordinárias, considerando o tempo a única variável independente. Esta versão é

adequada para o modelo de quase todos os fenómenos associados com

potenciais de acção para o neurónio, excepto para a propagação do potencial

de acção como uma onda.

Na sua investigação, Hodgkin e Huxley avançaram também para o

estudo da intervenção farmacológica no sentido de descobrirem o

funcionamento dos diferentes canais (sódio e potássio), principalmente para a

obtenção das correntes iónicas dos respectivos canais. Estudando a variação

destas correntes com o tempo, em resposta a entradas em degrau, eles

obtiveram o modelo matemático para cada corrente. Esta teoria relativa aos

canais membranares é consistente com estudos/medidas feitas no axónio

gigante da lula, a qual não deve ser considerada universal, uma vez que

existem inúmeros tipos de canais membranares diferentes em diferentes tipos

de neurónios com algumas propriedades distintas.

A verdadeira descoberta de Hodgkin e Huxley foi conseguir caracterizar

o comportamento dos canais de sódio (Na+) e potássio (K+) do axónio gigante

da lula.

Começando pelo estudo e citação dos postulados dos dois cientistas

para o comportamento do canal de potássio (caso mais simples):

1. Cada canal de K+ possui quatro portas. Cada porta pode estar aberta

ou fechada. O canal de K+ (como um todo) está aberto se e só se

todas as suas quatro portas estiverem abertas.

2. Todas as quatro portas no interior do referido canal são idênticas.

(Como se assume que existe apenas um tipo de canal de K+,

também todos os diferentes canais de K+ são idênticos entre si).



3. As diferentes portas no interior de um canal de K+ funcionam

independentemente umas das outras. (Do mesmo modo, também as

diferentes portas em diferentes canais de K+ funcionam

independentemente uns dos outros.)

4. A taxa (probabilidade por unidade de tempo) de abertura e

encerramento de uma porta de um canal de K+ é uma função

especificada da voltagem para a taxa de abertura e também uma

função especificada da voltagem para a taxa de encerramento.

É de salientar que o conceito de ‘aberto’ se refere ao estado de

condução de uma porta ou canal, isto é, estes estão ‘abertos’ quando permitem

a passagem de corrente iónica.

Passaremos, agora, à formulação matemática dos postulados anteriores.

Considere-se uma população (à partida grande) de canais de K+, e a

população de portas que existem no interior desses canais, os quais

denominamos por portas de K+. Seja n(t) a fracção de portas de K+ que estão

abertas num determinado tempo t (ou então, pode-se dizer que n(t) é a

probabilidade de que uma porta K+ esteja aberta no intervalo de tempo t).

Portanto, a dinâmica de n(t) é dada por:

nvnvdtdn

nn )()1)(( (2.3.10)

Aqui )(vn é a taxa de abertura para as portas de K+, que é dependente

da voltagem v; do mesmo modo, )(vn é a taxa de encerramento para as

mesmas, sendo função também da voltagem v. É importante referir que )(vn é

uma função crescente e que )(vn é uma função decrescente, donde se pode

inferir que, aumentando o potencial de membrana (no interior da célula

relativamente ao exterior) se aumenta a tendência para a abertura das portas

de K+ e diminui a tendência destas de fecharem o que, por consequência,

aumenta a condutância de K+. Como o potencial de repouso é negativo, um

aumento no potencial partindo do repouso causa uma diminuição da magnitude

do potencial e a este aumento chama-se “despolarização”.

Analisando a equação anterior, vê-se que a constante de abertura

)(vn está multiplicada pelo termo (1-n), pois esta é a fracção de portas de K+



fechadas. Por exemplo, se n=1 num instante particular, então todas as portas

estão já abertas, logo a taxa de abertura nesse instante é zero. Tomando o

mesmo raciocínio, constata-se que a constante )(vn está multiplicada por n,

pois as portas têm de estar abertas (daí o termo n – fracção de portas abertas)

para poderem fechar.

Para a teoria de Hodgkin-Huxley sobre os canais de potássio ficar

completa, é necessário especificar a condutância de K+ em termos da fracção n

de portas abertas. Como existem quatro portas independentes em cada canal e

cada uma tem a probabilidade n de estar aberta, então a probabilidade de que

todas as quatro portas estejam abertas é igual a n4. Assim, a referida

condutância gk deve ser proporcional a n4. Os referidos cientistas usaram a

notação kg para exprimir a constante de proporcionalidade. Tem-se, portanto:

4ngg kk (2.3.11)

De notar que quando n=1 (situação hipotética de que todas as portas em

todos os canais de K+ estejam abertas), então kg é a condutância de K+.

Outra importante descoberta feita por Hodgkin-Huxley foi a sua teoria

sobre os canais de Na+.

O comportamento destes é qualitativamente diferente do observado nos

canais de K+, no que diz respeito ao seguinte: quando é aplicada uma entrada

em degrau nestes canais, a condutância de potássio aumenta até estabilizar

num nível elevado, nível este que se prolonga durante o tempo em que é

mantida a elevada voltagem na entrada. Em contraste, com o mesmo tipo de

entrada, a condutância de Na+ aumenta apenas durante um curto intervalo e

logo a seguir decai até um nível mais baixo, mesmo se a elevada voltagem for

mantida. Este fenómeno é conhecido por ‘inactivação de Na+’. Para o

descrever, Hodgkin e Huxley assumiram que existem dois tipos de portas

dentro de cada canal de Na+ e que reagem de maneira diferente ao aumento

do potencial de membrana: as “rápidas portas-m”, que são facilmente abertas

com este, e as “lentas portas-h”, que têm a resposta oposta. Assim o aumento

na condutância de Na+ acontece quando as portas-m estão abertas e as

portas-h não estão ainda fechadas. A ‘inactivação de Na+’ é uma consequência

do eventual encerramento das portas-h.



Concluindo o estudo do comportamento dos canais de sódio, a teoria de

Hodgkin e Huxley para estes deriva das seguintes afirmações:

1. Cada canal de Na+ tem quatro portas. Cada porta pode estar aberta

ou fechada. O canal de Na+ como um todo está aberto se e só se

todas as suas quatro portas estiverem abertas.

2. No entanto, as quatro portas não são idênticas. Três delas são de um

tipo: “portas-m”, e a outra é a chamada “porta-h”. Todas as portas-m

são idênticas entre si (quer estejam no mesmo canal de Na+ ou não),

e as portas-h são também idênticas entre si; porém, as propriedades

de ambas as portas são diferentes.

3. As diferentes portas no interior de um canal de Na+ funcionam

independentemente umas das outras, qualquer que seja o seu tipo.

(Também as diferentes portas em diferentes canais de Na+

funcionam independentemente umas das outras.)

4. A taxa (probabilidade por unidade de tempo) de abertura ou

encerramento para uma porta de um canal é uma função da

voltagem v para a abertura e da mesma forma também o é para o

encerramento. Estas taxas para as portas-m são qualitativamente

diferentes das taxas das portas-h: as primeiras são estimuladas a

abrir com o aumento de voltagem, e as portas-h fecham com este

aumento.

Como foi feito no caso dos canais de potássio, podem ser transferidos os

postulados da teoria da matemática. Considerando uma grande quantidade de

canais de sódio. Seja m(t) a fracção de abertura das portas m em ordem ao

tempo e seja h(t) a fracção de abertura das portas h em ordem ao tempo. m(t)

e h(t) satisfazem as equações diferenciais do mesmo modo que a equação

(2.3.10):

mvmvm mm )()1)(( (2.5.12)

hvhvh hh )()1)(( (2.5.13)



Estas funções, )(vm , )(vm , )(vh e )(vh as constantes de abertura e

de encerramento das portas m e h, respectivamente. De notar que )(vm e

)(vh são funções crescentes de v e )(vm e )(vh são funções decrescentes

de v. (ver anexo I )

Assim, um aumento de voltagem é favorável à abertura e desfavorável

ao encerramento das portas m, mas tem efeito contrário nas portas h.

Outro ponto de interesse, é que as diferentes portas tem uma resposta

diferente à voltagem aplicada, sendo as portas m 10 vezes mais rápidas que as

portas h. As portas para os canais de potássio (portas n) são mais lentas que

as portas dos canais de sódio (portas h).

Para completar a teoria dos canais de sódio, tem de ser especificado

que a condutância de Na+ (gNa), como uma função de m e h , que são fracções

de abertura das portas m e h respectivamente. Em cada canal de sódio existem

3 portas m e uma h; com probabilidade m de que qualquer porta deste tipo

esteja aberta e probabilidade h de que esta porta esteja aberta. E, como as

portas abrem e fecham independentemente (acontecimentos independentes) a

probabilidade de todas as portas estarem abertas (funcionando o canal como

um todo) é de m3h. A condutância de Na+ é proporcional à probabilidade de os

quatro canais estarem abertos em simultaneo, e é dada por:

hmgg NaNa3 (2.3.14)

sendo Nag a condutância hipotética de Na+ quando todos os canais de sódio

estão abertos simultaneamente.

Então as equações de Hodgkin-Huxley para o potencial de acção para o

neurónio no caso onde não há propagação, podem ser resumidas:

)()( 0 tiEvgdtdvC (2.2.16)

onde )(0 ti é a corrente aplicada (por unidade de área de membrana) em função

do tempo e E é o potencial reverso. Isto pode representar corrente directa

aplicada (eléctrodo) ou corrente sináptica que flui naturalmente neurónio a



neurónio, uma vez que os canais estão abertos para o neurotransmissor. Em

cada caso, )(0 ti representa sempre uma função do tempo.

De lembrar que a condutância total da membrana (por unidade de área)

é dada por:

LKNa gggg (2.2.17)

e que

LKNa

LLKKNaNa

gggEgEgEg

E (2.2.18)

é a média ponderada dos potenciais reversos, pesadas pelas condutâncias.

Os potenciais reversos ENa EK e EL são constantes.

As condutâncias gNa gK e gL são dadas por:

hmgg NaNa3 (2.2.19)

4ngg KK (2.2.20)

LL gg (2.2.21)

onde Nag , Kg e Lg são constantes.

As variáveis características dos canais, m,h e n obedecem às seguintes

equações diferenciais:

mvmvm mm )()1)(( (2.2.22)

hvhvh hh )()1)(( (2.2.23)

nvmvn nn )()1)(( (2.2.24)

Estas seis funções de variável v que aparecem como coeficientes nestas

equações representam as constantes de abertura ou encerramento dos

diferentes tipos de portas descritas anteriormente. Estas constantes foram

medidas por Hodgkin e Huxley e posteriormente inseridas nas fórmulas

anteriores.

Estas fórmulas são escritas num sistema específico de unidades, em que o v é

em milivolts (10-3 V) e as constantes e o inverso de milisegundo (1/(10-3

segundos).

)10/)45(exp(1

10/)45(0.1)(

vvvm (2.3.25)



)18/)70(exp(0.4)( vvm (2.3.26)

)20/)70(exp(07.0)( vvh (2.3.27)

)10/)40(exp(1

10.1)(

vvh (2.3.28)

)10/)60(exp(1

10/)60(1.0)(

vvvn (2.3.29)

80

70exp125.0)(

vvn (2.3.30)

Diagrama que representa a complexidade da membrana celular, com as portas n, h e

m, os canais e as correntes.

Finalmente as constantes que aparecem nas equações de Hodgkin-Huxley têm

os seguintes valores:

20.1

scentímetroosmilisegundesmicroamperC (2.3.31)

2

/120

scentímetromilivoltesmicroampergNa (2.3.32)

2

/36

scentímetromilivoltesmicroampergK (2.3.33)

milivoltsENa 45 (2.3.34)

milivoltsEK 82 (2.3.35)



Diagrama de um circuito eléctrico que descreve o fluxo de corrente através da

membrana do modelo de Hodgkin-Huxley.

(ver anexos II e III)



- Análise das equações obtidas e resultados em Simulink -

Partindo das seguintes equações (resultantes da teoria de Hodkin-Huxley):

mvmvm mm )()1)(( (2.2.22)

hvhvh hh )()1)(( (2.2.23)

nvmvn nn )()1)(( (2.2.24)

Ou escritas de outra forma tem-se:

)()()( vmvvm mmm (2.2.25)

)()()( vhvvh hhh (2.2.26)

)()()( vnvvn nnn (2.2.27)

Implementando-as no Simulink obtém-se o diagrama de blocos:



Gráficos 1, 2 e 3

Os gráficos referem-se respectivamente ao fluxo iónico através das

portas m, h e n, sendo as duas primeiras constituintes dos canais de sódio e a

última constituinte dos canais de potássio.

Comparando os gráficos (gráf. 1, 2 e 3) temos que:

- no gráfico 1, referente às portas m (canais de sódio), verifica-se que

com o aumento da voltagem, tais portas abrem, facilitando o fluxo iónico

através da membrana, atingindo um valor final 1 que corresponde ao facto de

todas as portas m estarem abertas;

- no gráfico 2, referente às portas h (canais de sódio), verifica-se que

com o aumento de voltagem, tais portas tendem a fechar, não havendo,

consequentemente, passagem de iões;

- no gráfico 3, referente às portas n (canais de potássio), verifica-se que

com o aumento da voltagem, tais portas abrem, facilitando o fluxo iónico na

membrana, atingindo um valor final de 1, que corresponde ao facto de todas

essas portas estarem abertas;



Comparando o primeiro e o último gráfico, verifica-se, tal como seria de

esperar, uma maior rapidez das portas m em relação às portas n, sendo por

isso o fluxo iónico do primeiro caso mais acentuado nos primeiros instantes que

no terceiro caso, acabando depois, como já foi referido anteriormente, tender

ambos para o mesmo plateau de 1.

O transporte activo de iões para o interior da célula cria um gradiente

osmótico que faz com que a água tenda a passar por osmose para o interior da

célula. Neste caso, a bomba sódio-potássio é um excelente regulador do

volume celular, pois controla a concentração iónica total no interior da célula,

visto que quando saem 3 iões Na+ entram 2 K+, ou no caso inverso, quando

entram 3 iões Na+ e saem 2K+, não variando por isso significativamente a

concentração iónica total da célula, mantendo assim o seu volume constante.



- Conclusão -

Durante o crescimento celular, o volume aumenta proporcionalmente

com o número de macromoléculas carregadas negativamente produzidas pela

célula. Porém as células têm nas suas membranas bombas sódio-potássio que

são responsáveis não só pelo processo de difusão activa de iões de Na+ e K+,

como também é responsável por manter o volume celular constante, como

verificaram Hodgkin e Huxley na sua teoria sobre a regulação do volume

celular.

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