controlo de sistemas

Controlo de SistemasLicenciatura em Engenharia Mecanica3o ano, e 4o/5o anos do ramo de Automacao e Robotica

Miguel Ayala Botto

Prof. Associado, IST

Fevereiro 2007

Instituto Superior TecnicoDepartamento de Engenharia Mecanica

Seccao de SistemasAv. Rovisco Pais, 1049-001, Lisboa

Tel: 218 419 028 Fax: 21 841 80 97Email: [email protected]

Indice i

Indice

Indice i

Lista de Smbolos vii

Lista de Abreviacoes ix

1 Introducao 1

2 Introducao ao controlo automatico de sistemas 3

2.1 Evolucao historica do controlo automatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Conceitos basicos e terminologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Controlo por realimentacao (feedback control) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.1 Controlo por realimentacao manual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.2 Controlo por realimentacao automatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Controlo directo (feedforward control) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.1 Controlo directo manual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.2 Controlo directo automatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5 Controlo por realimentacao/directo automatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6 Controlo em cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.7 Controlo de sistemas com atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7.1 Preditor de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.8 Exemplos de sistemas de controlo automatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Efeitos da realimentacao 29

3.1 Efeito nas perturbacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

ii INDICE

3.2 Efeito no rudo dos sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Efeito nas variacoes dos parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4 Efeito nas caractersticas da resposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Analise de estabilidade e construcao do LGR 37

4.1 Criterio de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Construcao do Lugar Geometrico das Razes (LGR) . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2.1 Regras construtivas do LGR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.2 Exemplo de construcao do LGR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2.3 LGR de sistemas com atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5 Margens de estabilidade na resposta em frequencia 63

5.1 Margem de ganho e margem de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Situacoes nao regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3 Sistemas com atraso no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.4 Diagramas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.4.1 Diagrama polar de sistemas com atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.4.2 Margens de estabilidade num diagrama polar . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6 Criterio de estabilidade de Nyquist 82

6.1 Mapeamento de funcoes complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.2 Criterio de estabilidade de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.3 Exemplos de aplicacao do criterio de estabilidade de Nyquist . . . . . . . . . . . 93

7 Erros estacionarios e a precisao do anel fechado 96

7.1 Entrada degrau unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

INDICE iii

7.2 Entrada rampa unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.3 Entrada parabola unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.4 Exemplo de calculo dos erros estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

8 Projecto de controladores PID 104

8.1 As accoes basicas de controlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.1.1 Accao proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.1.2 Accao integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8.1.3 Accao derivativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8.2 Controlador PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.3 Controlador PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.4 Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.5 Exemplo comparativo de controladores PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.6 Projecto de controladores PID via metodos de Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . 114

8.6.1 Metodo do ganho crtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.6.2 Metodo da curva de reaccao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.7 Projecto de controlador PID via LGR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.8 Aspectos praticos na implementacao de controladores PID . . . . . . . . . . . . 127

9 Projecto de compensadores de avanco e de atraso 128

9.1 Compensador de avanco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9.2 Projecto de compensador de avanco baseado na resposta em frequencia . . . . . 133

9.2.1 Exemplo: projecto em frequencia de compensador de avanco . . . . . . . 134

9.3 Projecto de compensador de avanco baseado no LGR . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.3.1 Exemplo: projecto via LGR de compensador de avanco . . . . . . . . . . 138

iv INDICE

9.4 Compensador de atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

9.5 Projecto de compensador de atraso baseado na resposta em frequencia . . . . . 146

9.5.1 Exemplo: projecto em frequencia de compensador de atraso . . . . . . . 147

9.6 Projecto de compensador de atraso baseado no LGR . . . . . . . . . . . . . . . 150

9.6.1 Exemplo: projecto via LGR de compensador de atraso . . . . . . . . . . 152

10 Introducao aos sistemas de controlo digital 156

10.1 Conversor Analogico/Digital (A/D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

10.1.1 Escolha do perodo de amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

10.2 Conversor Digital/Analogico (D/A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

10.2.1 Efeitos da colocacao de um ZOH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

11 Equivalentes discretos de sistemas contnuos 167

11.1 Aproximacao com retentor de amostras de ordem zero (ZOH) . . . . . . . . . . 168

11.2 Aproximacao da equacao diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

11.2.1 Aproximacao rectangular para a frente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

11.2.2 Aproximacao rectangular para tras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

11.2.3 Aproximacao trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

11.2.4 Exemplo comparativo da aproximacao da equacao diferencial . . . . . . . 173

11.3 Aproximacao por mapeamento de polos e zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

11.4 Exemplo comparativo entre aproximacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

12 Projecto de controladores PID digitais via metodo da emulacao 179

12.1 PID digital via aproximacao rectangular para a frente . . . . . . . . . . . . . . . 179

12.2 PID digital via aproximacao rectangular para tras . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

INDICE v

12.3 PID digital via aproximacao trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

12.4 PID digital via aproximacao com ZOH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

12.5 Exemplo de projecto de controlador PID digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

12.6 Consideracoes sobre a implementacao de PID digitais . . . . . . . . . . . . . . . 190

13 Projecto de controladores digitais via metodo directo 191

13.1 Especificacoes de desempenho em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

13.1.1 Especificacoes de desempenho no regime transitorio . . . . . . . . . . . . 192

13.1.2 Especificacoes de desempenho no regime estacionario . . . . . . . . . . . 196

13.2 O LGR no plano Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

13.2.1 Exemplo de projecto de controlador digital via LGR . . . . . . . . . . . . 201

A Diagramas de blocos de sistemas contnuos 207

A.1 Elementos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

A.2 Combinacoes especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

A.3 Simplificacao de diagramas de blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

B Diagrama de blocos de sistemas discretos 217

B.1 Funcoes de transferencia de configuracoes em serie . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

B.2 Funcoes de transferencia de configuracoes em anel fechado . . . . . . . . . . . . 220

C Resposta de sistemas de segunda ordem 225

C.1 Resposta ao degrau unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

C.2 Resposta em frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

D Tabela com transformadas de Laplace e Z 233

D.1 Tabela com transformadas Z com e sem ZOH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

vi INDICE

Lista de Smbolos vii

Lista de Smbolos

Alguns smbolos poderao ter pontualmente um significado diferente.

Gp(s) Funcao de transferencia do processo

Gc(s) Funcao de transferencia do controlador

H(s) Funcao de transferencia da realimentacao

GD(s) Funcao de transferencia da perturbacao

R(s) Transformada de Laplace da referencia do anel de controlo

Y (s) Transformada de Laplace da sada

U(s) Transformada de Laplace da entrada

E(s) Transformada de Laplace do erro a` entrada do controlador

Et(s) Transformada de Laplace do erro de seguimento

D(s) Transformada de Laplace da perturbacao

N(s) Transformada de Laplace do rudo de leitura

Atraso no tempo, ou atraso de transporte

T Constante de tempo

K Ganho estatico

Z Numero de polos instaveis do anel fechado

P Numero de polos instaveis do anel aberto

N Numero de envolvimentos em torno do ponto crtico de estabilidade

ess Erro estacionario

N Numero de envolvimentos em torno do ponto crtico de estabilidade

t Variavel tempo

Kp Coeficiente de erro estatico de posicao, e constante proporcional do controlador PID

Kv Coeficiente de erro estatico de velocidade

Ka Coeficiente de erro estatico de aceleracao

Ti Constante integral do controlador PID

Td Constante derivativa do controlador PID

Kcr Ganho crtico de estabilidade

Pcr Perodo crtico de estabilidade

Mp Maximo de sobreimpulso

ts Tempo de estabelecimento

tr Tempo de crescimento

tp Tempo de pico

viii Lista de Smbolos

Coeficiente de amortecimento

n Frequencia natural

d Frequencia natural amortecida

Magnitude da parte real de polo no plano S

sd Localizacao dos polos desejados no plano complexo

ctr Frequencia central do compensador avanco/atraso

ctr Fase na frequencia central do compensador avanco/atraso

cg Frequencia de cruzamento de ganho

cf Frequencia de cruzamento de fase

T0 Perodo de amostragem

F0 Frequencia de amostragem

fb Largura de banda em Hz

b Largura de banda em rad/s

HGp(z) Transformada Z de Gp(s) com ZOH na entrada

Gc(z) Funcao de transferencia em Z do controlador

R(z) Transformada Z da referencia do anel de controlo

Y (z) Transformada Z da sada

U(z) Transformada Z da entrada

E(z) Transformada Z do erro a` entrada do controlador

Lista de Abreviacoes ix

Lista de Abreviacoes

FT Funcao de Transferencia

P Proporcional

PI Proporcional, Integral

PD Proporcional, Derivativo

PID Proporcional, Integral, Derivativo

LGR Lugar Geometrico das Razes

MG Margem de Ganho

MF Margem de Fase

SPE Semi Plano Esquerdo

SPD Semi Plano Direito

A/D Analogico/Digital

D/A Digital/Analogico

ZOH Zero Order Hold

FOH First Order Hold

11 Introducao

Este documento e a Sebenta da disciplina Controlo de Sistemas, do 3o ano da Licenciaturaem Engenharia Mecanica, e dos curricula de transicao dos 4o e 5o anos do ramo de Automacaoe Robotica, Instituto Superior Tecnico. Esta sebenta contempla toda a materia leccionadana disciplina. O desenvolvimento dos assuntos e acompanhado de forma gradual por umaquantidade significativa de problemas resolvidos, facilitando assim a apreensao dos conceitos.

Objectivos gerais:Introducao aos conceitos basicos de analise e projecto de sistemas de controlo automatico. Oaluno devera ficar apto a utilizar um conjunto de ferramentas de analise qualitativa e quan-titativa para projecto de controladores de sistemas SISO de dinamica linear, ou linearizavel,representados via funcao de transferencia. O estudo desenvolve-se inicialmente tendo comobase o tempo contnuo (controladores analogicos), e terminando no projecto de controladoresdigitais (tempo discreto). O formalismo sistemico adoptado no desenvolvimento das materiaspermite que estas sejam aplicadas de forma transparente em qualquer domnio da engenharia.

Referencias:Os graficos com exemplos de simulacoes foram obtidos atraves do software Matlabr. Algunsdos exemplos e ilustracoes foram retirados de sites na Internet devidamente referenciados, bemcomo do seguinte conjunto de obras bibliograficas (ordem alfabetica do 1o autor):

1. P.M. Anacleto, E.C. Fernandes, M.V. Heitor, and S.I. Shtork. Swirl flow structure and flame cha-racteristics in a model lean premixed combustor, Combustion Science and Technology, 175:13691388,2003.

2. G.W. Celniker and J.K. Hedrick. Rail vehicle active suspensions for lateral ride and stability improve-ment, Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 104:100106, 1982.

3. David J. DeFatta, Joseph G. Lucas, William S. Hodgkiss. Digital Signal Processing: a system designapproach, John Wiley & Sons, 1988.

4. Gene F. Franklin, J. David Powell, Abbas Emamo-Naeini. Feedback Control of Dynamic Systems (3rdEdition), Addison-Wesley, 1994.

5. Gene F. Franklin, J. David Powell, Michael L. Workman. Digital control of dynamic systems (2ndEdition), Addison-Wesley, 1990.

6. Rolf Isermann. Digital Control Systems. Volume 1: Fundamentals, Deterministic Control (2nd, revisededition), Springer-Verlag, 1989.

7. Benjamin C. Kuo. Digital Control Systems, Holt-Saunders International Editions, 1980

8. P. Lueg. Process of silencing sound oscillations, US Patent 2043416, June 9, 1936.

9. Paul W. Murrill. Fundamentals of Process Control Theory, Instrumentation Society of America, 1981.

10. Katsuhiko Ogata. Discrete-time control systems, Prentice-Hall, Inc., 1987.

11. Katsuhiko Ogata. Engenharia de Controle Moderno, Prentice-Hall, Brasil, 1970.

12. Katsuhiko Ogata. Modern Control Engineering (3rd Edition), Prentice-Hall, Inc., 1997.

13. Maria Isabel Ribeiro. Analise de Sistemas Lineares, IST Press, 2002.

14. Dale E. Seborg, Thomas F. Edgar and Duncan A. Mellichamp. Process Dynamics and Control, JohnWiley & Sons, 1989.

15. A. Frank DSouza. Design of Control Systems, Prentice-Hall International, 1988.

c Miguel Ayala Botto, 2006 Controlo de Sistemas

2Controlo de Sistemas c Miguel Ayala Botto, 2006

32 Introducao ao controlo automatico de sistemas

Controlo: procedimento que permite que uma determinada variavel de um sistema atinja umvalor especfico desejavel, denominado por valor de referencia.

2.1 Evolucao historica do controlo automatico

O exemplo mais antigo que ha memoria consiste no sistema de controlo do nvel de vinhonuma pipa, independentemente da quantidade de copos extrados!

Nota: este mecanismo ainda hoje e utilizado em nossas casas... onde?

Nas civilizacoes gregas e arabes, encontram-se varios exemplos de sistemas de controloidenticos ao anterior, e cujo objectivo consistia em determinar com exactidao o tempo(relogio de agua de Ktesibios, 270 A.C.): a medida do tempo era retirada a partir daquantidade de agua extrada do tanque a velocidade constante.

Um problema que apaixonou os engenheiros durante varias decadas foi o controlo da velo-cidade de rotacao de um disco. O metodo mais promissor foi desenvolvido pelo engenheiroescoces James Watt, em 1788, consistindo na utilizacao de um pendulo canonico, fly-ballgovernor, para o controlo da velocidade de rotacao de uma maquina a vapor:


4 O estudo teorico deste mecanismo desenvolvido por James Watt espoletou o desenvolvi-mento da teoria de controlo.

Foi igualmente importante o desafio levantado por varios investigadores ao constataremque o fly-ball governor nem sempre era estavel: G.B. Airy, professor de matematica e deastronomia da Universidade de Cambridge (1826-1835), constatou que este mecanismoera capaz de instabilizar o seu telescopio num movimento de rotacao a velocidade cons-tante (and the machine became perfectly wild). Foi assim que o estudo da solucao deequacoes diferencias, desenvolvido essencialmente por matematicos, se torna no primeirocontributo importante para a teoria de controlo:

J. Maxwell, 1868: On Governors, primeiro estudo sistematico sobre a estabilidadedas equacoes diferenciais do fly-ball governor, linearizadas em torno de um ponto deequilbrio. A estabilidade do sistema estaria dependente das razes de um determi-nado polinomio, denominado por equacao caracterstica: estas teriam que ter partereal negativa. Maxwell conseguiu ainda estabelecer as condicoes que se teriam deverificar nos coeficientes por forma a garantir que todas as razes dos polinomios de2a e 3a ordens teriam parte real negativa.

E.J. Routh, 1877: conseguiu estabelecer o criterio para analise da estabilidade de poli-nomios de qualquer ordem inteira, ainda hoje denominado por criterio de Routh-Hurwitz (E.J. Routh foi vencedor do Adams Prize). No entanto, a sua aplicacaopara polinomios de ordem elevada era difcil.

H. Nyquist, 1932: na sua tese de doutoramento apresenta um metodo para determi-nar a estabilidade com base num grafico com a resposta em frequencia do sistema(integracao dos conceitos de resposta em frequencia com algebra de variaveis com-plexas). Ainda hoje e reconhecido como o mais importante Teorema de estabilidade:Criterio de Estabilidade de Nyquist.

Callender et. al, 1936: descrevem o conceito de controlador PID, proporcional-inte-gral-derivativo. Ainda hoje, cerca de 80% dos controladores industriais sao PID.

H. Bode, 1945: com base no trabalho de Nyquist, desenvolveu metodologias para oprojecto de sistemas de amplificacao por feedback, por necessidade pratica da BellTelephone Laboratories em evitar a distorcao causada pelo uso de amplificadores nascomunicacoes a longa distancia. As metodologias de amplificacao por feedack saoainda hoje extensivamente usadas no projecto de sistemas de controlo.

W. Evans, 1948: trabalhando no guiamento e controlo de sistemas aeronauticos, desen-volveu ummetodo que permitia seguir graficamente o caminho percorrido pelas razesde um polinomio caracterstico quando um parametro varia. Este metodo e uma im-portante ferramenta de ajuda para o projecto de sistemas de controlo, designa-sepor root locus method, ou Metodo do Lugar Geometrico das Razes.

Controlo de Sistemas c Miguel Ayala Botto, 2006

5R. Kalman, 1950-1960: clivagem entre o controlo classico (baseado na representacaoem funcao de transferencia) e o denominado controlo moderno (baseado na repre-sentacao em espaco de estados). O estudo de problemas multivariaveis (estimuladosobretudo pelo programa espacial Norte Americano do presidente J.F. Kennedy),associado ao advento da era digital, fez com que se considerasse de novo as equacoesdiferenciais ordinarias como modelo do sistema.

1960-1980: com base numa representacao de estado, desenvolveram-se as teorias deControlo Optimo, Controlo Robusto e Controlo Predictivo. Com base numarepresentacao em funcao de transferencia, desenvolveram-se as teorias de ControloAdaptativo e Controlo Estocastico.

1980-2000: desenvolvimento de tecnicas de Controlo de Sistemas Nao Lineares,usando conceitos derivados da analise do comportamento de equacoes diferenciasnao lineares (teoria de estabilidade Lyapunov), e/ou recorrendo a modelos de redesneuronais, fuzzy, ou neuro-fuzzy. Com a introducao do PC em 1983, surgem ferra-mentas de apoio ao projecto de sistemas de controlo, assistindo-se a` uniao entre ocontrolo classico e o moderno.

2000-: controlo de sistemas distribudos, sistemas de supervisao, sistemas de deteccao defalhas e de diagnostico automatico, sistemas hbridos (robotica movel), modelacaoe controlo de sistemas biologicos, aplicacoes em biomedicina, modelacao e controlousando smart materials, etc...

Conclusao: o progresso da disciplina de engenharia, controlo automatico, ao longo da historiada humanidade esteve sempre ligado com a necessidade de resolver problemas de ndole pratica.Os desenvolvimentos historicos que mais contriburam para o seu desenvolvimento, foram:

1. A preocupacao dos Gregos e Arabes em terem uma medida precisa do tempo (entre 300A.C. e 1200 D.C.).

2. A Revolucao Industrial na Europa (terceiro quartel do seculo 18).

3. O incio das comunicacoes telefonicas em massa, e as Primeira e Segunda Guerras Mun-diais (entre 1910 e 1945).

4. O incio da era espacial e o advento dos computadores (entre 1950 e 1960).

5. Preocupacoes ambientais e energeticas, e expansao para novos domnios de aplicacao nasareas da medicina e biologia.


62.2 Conceitos basicos e terminologia

As variaveis envolvidas sao:

-

-

-Sistema

ouProcesso -

-

-

? ? ? ? ?

Perturbacoes

Variaveiscontroladas

Variaveismanipuladas

Os objectivos tpicos em controlo automatico podem ser divididos em:

Regulacao: estabilizar o sistema (ex: manter a temperatura numa sala, velocidade constantede um CD, cruise control num automovel, posicao do pendulo invertido, etc...).

Seguimento: seguir uma referencia variante no tempo (ex: pintura ou soldadura com roboindustrial, trajectoria de um mssil, output de uma linha industrial, etc...).

A estrategia mais classica de controlo: controlo por realimentacao ou feedback control :


72.3 Controlo por realimentacao (feedback control)

2.3.1 Controlo por realimentacao manual

Princpio basico de funcionamento:

Exemplo 1: operador de um comboio electrico

Exemplo 2: condutor de um automovel

Outros exemplos: tomar duche, andar de bicicleta, etc...


82.3.2 Controlo por realimentacao automatico

Exemplo 1: Termostato num sistema de aquecimento

Exemplo 2: controlo do caudal de sada de um reservatorio

Exemplo 3: gestao da producao industrial

Outros exemplos: cruise control, seleccao natural, aprendizagem, etc...


9Vantagens do controlo por realimentacao:

E uma das tecnicas de controlo mais simples que pode ser desenvolvida, aplicavel nagrande maioria dos sistemas de controlo automatico.

Exerce uma accao correctiva.

Requer um conhecimento mnimo do processo a controlar.

Nao implica o conhecimento das perturbacoes que afectam o sistema.

Torna facil, robusto e versatil o projecto de controladores PID.

Desvantagens do controlo por realimentacao:

A correccao so e feita apos ser detectado o desvio da variada controlada. Mesmo teorica-mente, o controlo por realimentacao perfeito e impossvel.

Nao existe accao predictiva de controlo que possa compensar os efeitos de perturbacoesconhecidas ou mensuraveis.

Nao e satisfatorio para controlar sistemas com elevado atraso no tempo. Nalgumas si-tuacoes demonstra-se que o sistema de controlo por realimentacao e sempre instavel.

E impraticavel sempre que nao for possvel medir on-line a variavel controlada.


10

2.4 Controlo directo (feedforward control)

Conceito basico de controlo directo:

Anel de controlo directo:

Diagrama de blocos do anel de controlo directo:


11

2.4.1 Controlo directo manual

Princpio basico de funcionamento:

Exemplo 1: regulacao da temperatura numa arca fechada

Outros exemplos: velejar, estudar para o 2o exame, etc...

2.4.2 Controlo directo automatico

Exemplo: controlo de atitude numa aeronave, musica de fundo nas estacoes do Metro.


12

Vantagens do controlo directo:

Permite contrariar os efeitos de grandes perturbacoes.

O controlador directo determina a variacao necessaria a ocorrer na variavel manipuladapor forma a minorar o efeito da perturbacao na variavel controlada.

Tem um caracter preventivo.

Desvantagens do controlo directo:

As perturbacoes deverao ser conhecidas e medidas on-line.

O modelo do processo a controlar tem que ser conhecido com exactidao.

Os controladores directos ideais podem nao ser fisicamente realizaveis.

Nao introduz nenhuma accao correctiva, ou seja, se a variavel controlada se afasta dareferencia o sistema de controlo nada sente.

O projecto de um controlador directo e complexo.

E raramente utilizado sozinho, normalmente utiliza-se como complemento ao controlo porrealimentacao.


13

2.5 Controlo por realimentacao/directo automatico

Exemplo 1: controlo da temperatura ambiente num compartimento

Exemplo 2: controlo da temperatura de um processo qumico industrial

Outros exemplos: piloto automatico, guiar um automovel numa estrada (portuguesa!), edu-car uma crianca, tirar um curso superior, etc...


14

2.6 Controlo em cascata

Consiste na inclusao de um anel de realimentacao no interior de outro anel de realimentacao:

- m

- Gc1(s) - m

- Gc2(s) - Gp2(s) - m+ + - Gp1(s) - m+ + -

H1(s)

6

H2(s)

6

?

GD2(s)

?

?

GD1(s)

?R(s) Y2(s) Y1(s)

D2(s) D1(s)

Anel interior

onde:

Gc1(s) Controlador Mestre. Gc2(s) Controlador Escravo. Gp1(s) Processo Primario. Gp2(s) Processo Secundario.

Metodologia: dividir o processo a controlar em dois sub-processos, Gp1(s) e Gp2(s), e projec-tar dois controladores independentes para cada um deles, Gc1(s) e Gc2(s), respectivamente.

O controlador mestre recebe a indicacao do erro e a sua accao de correccao e a alteracao dareferencia do anel interior. Esta referencia interior e, por sua vez, comparada com a variavelintermedia, sendo a diferenca a entrada do controlador escravo.


15

Caractersticas e vantagens do controlo em cascata:

Quando nao e possvel medir as perturbacoes on-line, e caso o sistema seja lento, osdesvios provocados na variavel controlada poderao assim ser mais rapidamente corrigidospelo anel interior (controlador escravo).

O controlador mestre (anel exterior) fica apenas concentrado no desvio da variavel con-trolada relativamente a` referencia que se pretende seguir, sem se preocupar com asperturbacoes.

Um criterio possvel para seleccionar a variavel intermedia e concentrar o maximo deperturbacoes no anel interior, e o maximo de atraso (ou constantes de tempo elevadas),no anel exterior.

Procede-se primeiro ao projecto do controlador escravo (anel interior), e so depois se passaao projecto do controlador mestre (anel exterior). A dinamica do anel interior deve serrapida.

Desvantagem do controlo em cascata:

Nem sempre e possvel encontrar uma variavel intermedia: como dividir o processo?

Exemplo: manter constante a temperatura de um reactor


16

Opcao 1: sem controlo em cascata

- m

- Control.I

- Valvula - m+ + - Distrib.agua - Paredereactor - m++

- Reactor -? ?

Sensor

6

Tref

Tws TF

T

Problemas:

Se a unica perturbacao a ocorrer fosse uma variacao na temperatura do reagente deentrada no reactor, TF , entao um simples controlo por realimentacao seria suficiente.

No entanto, qualquer perturbacao que ocorra na temperatura da agua de arrefecimento,Tws, apenas seria sentida pelo sensor de temperatura mergulhado no interior do reactor,T . Entretanto...

Opcao 2: com controlo em cascata

- m

-Control.I

- m

-Control.II

-Valvula - m+ +-Distrib.agua - Paredereactor - m++

- Reactor -? ?

Sensor

6

Sensor

6

Anel interior

Tref

Tws TF

TTwi

Vantagens:

Ao utilizar um sensor de temperatura intermedio, Twi , e possvel compensar imediata-mente qualquer perturbacao que surja na temperatura da agua de arrefecimento, Tws.

Melhora o desempenho do sistema de regulacao de temperatura no interior do reactor.


17

Exemplo: bola na barra

Opcao 1: sem controlo em cascata

- m

- Controlador - Motor - Barra+ Bola-

6

xref x

Problemas:

Difcil projectar um controlador eficiente (sistema instavel com polos na origem). As perturbacoes na barra afectam a posicao da bola.

Opcao 2: com controlo em cascata

- m

- ControladorMestre

- m

- ControladorEscravo

- Motor - Barra+ Bola-

66

xref x

Vantagens:

A realimentacao da velocidade angular da barra traz duas vantagens: As perturbacoes na barra sao eliminadas pelo controlador escravo.

Torna-se mais facil projectar um controlador mestre eficiente.


18

2.7 Controlo de sistemas com atraso

-

Sistemacomatraso -

-atraso

u(t) y(t)

Um sistema com atraso (puro) no tempo e um sistema que nao responde imediatamente a umasolicitacao: apresenta um tempo morto, ou dead time, antes de responder. Esta caractersticae tambem designada por atraso de transporte ou transport delay.

Exemplo: resposta a um degrau unitario de um sistema de primeira ordem, com constante detempo T =1 segundo, e atraso no tempo de =2 segundos.

y(t) = 1(t ) e(t) = 1(t 2) e(t2)

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo [s]

y(t)

Aplicando transformada de Laplace a y(t), resulta:

Y (s) = L[y(t)] = L[1(t 2) e(t2)] =?Pela expressao da transformada de Laplace de uma funcao transladada no tempo:

L[f(t )] = esL[f(t)] = esF (s)resulta, neste caso:

Y (s) = L[1(t 2) e(t2)] = e2sL[1 et] = e2s [1s 1s+ 1

]Y (s) = e2s

1

s(s+ 1)=

e2s

s+ 1 1s= G(s) U(s) G(s) = 1

s+ 1e2s

Conclusao: a representacao do atraso no tempo de segundos, para uma funcao de trans-ferencia generica, corresponde a multiplicar o seu numerador pelo termo nao linear, es.


19

Exemplo: tomar um duche com o esquentador na cozinha.

Situacao 1: Sensor de temperatura localizado no interior da caldeira:

Controlo deficiente, pois o sensor encontra-se demasiado longe da torneira!

Situacao 2: Sensor de temperatura localizado perto da torneira:

Atraso na alteracao da temperatura desejada: atraso = distancia(sensor-caldeira)velocidade de escoamento

Possibilidade de instabilizacao!


20

Efeito do atraso no tempo no anel de controlo:

O atraso no tempo, , e uma nao-linearidade, das mais difceis de lidar num anel decontrolo por realimentacao:

Y (s)

U(s)= Gp(s) = G

(s) es

O atraso diminui a estabilidade relativa do anel fechado, podendo mesmo causar a insta-bilidade do sistema de controlo:

- m

- Gc(s) - G(s) - es -

6

Gp(s)

R(s) Y (s)

A equacao caracterstica do anel fechado inclui o termo do atraso:

1 +Gc(s)G(s)es = 0

Este problema seria eliminado se existisse uma forma de separar fisicamente o atraso doresto do sistema, i.e., se fosse possvel conceber o seguinte anel de controlo:

- m

- Gc(s) - G(s) - es -

6

R(s) Y (s)

A equacao caracterstica do anel fechado nao incluiria o termo do atraso:

1 +Gc(s)G(s) = 0

Como resolver o problema da inseparabilidade fsica do atraso e assim eliminar o termodo atraso da equacao caracterstica do anel de realimentacao convencional?

ou

Como tornar equivalentes os diagramas de blocos anteriores?

... atraves do Preditor de Smith!


21

2.7.1 Preditor de Smith (1957, O.J.M. Smith)

Seja a funcao de transferencia do sistema que se pretende controlar:

Gp(s) = G(s)es

Seja a funcao de transferencia do modelo do sistema que se pretende controlar:

Gp(s) = G(s)es

onde G(s) e correspondem a` estimacao de G(s) e , respectivamente.

1. A ideia basica surgiu a partir da estrategia de controlo IMC (Internal Model Control):

- m

- Gc(s) - G(s) - es -

6

m+

6

6

G(s)es

Gp(s)

R(s) Y (s)

errode

modelacao

No caso da identificacao ser perfeita, o erro de modelacao e zero, e consequentemente:

A realimentacao da sada e eliminada. O bloco controlador, Gc(s), funcionara como um controlador em anel aberto.

2. O Preditor de Smith consiste na estrategia IMC modificada de acordo com:

- m

- Gc(s) - G(s) - es -

6

m+

6

m+

6

G(s)es

Gp(s)

R(s) Y (s)

+errode

modelacao


22

3. No caso de modelacao perfeita o Preditor de Smith torna-se equivalente a:

- m

- Gc(s) - G(s) - es -

G(s)

6

Gp(s)

R(s) Y (s)

o que, por sua vez, e equivalente a:

- Gc(s)1+Gc(s)G(s)

- G(s) - es -

Gp(s)

R(s) Y (s)

ou ainda:

- Gc(s)G(s)1+Gc(s)G(s)

- es -R(s) Y (s)

Donde se demonstra que com o Preditor de Smith e possvel eliminar o termo do atraso doanel de controlo por realimentacao convencional:

- m

- Gc(s) - G(s) - es -

6

R(s) Y (s)

Conclusao: o controlador, Gc(s), e projectado para controlar o processo sem o termo deatraso, G(s), e depois implementado na estrategia de controlo do Preditor de Smith.


23

2.8 Exemplos de sistemas de controlo automatico

SegWayr Human Transporter

Motivacao: sistema pratico de transporte de pessoas sobre rodas, economico, e utilizavel porpessoas com incapacidades motoras (e.g., doentes com Parkinson).

Modo de funcionamento: princpio do pendulo invertido, ou estabilizacao dinamica.

Caso a pessoa se incline para a frente ou para tras, as rodas movimentam-se no sentidocorrecto e com a velocidade adequada por forma a recuperar o equilbrio.

Esquema do anel de controlo:

Mais informacao em: http://www.segway.com


24

Suspensao activa

Objectivo: encontrar um compromisso entre conforto (baixas relacoes de transmissibilidadenas altas frequencias), e seguranca (deslocamentos limitados da massa suspensa nas baixasfrequencias).


Fa = cax+ bax+ ka(x x0)

cax - termo responsavel pela estabilidade (ground force). bax - termo responsavel pelo conforto.

Numa suspensao passiva tradicional: F = b(x x0) + k(x x0)

101 100 101102

101

100

101

/ n

|x/x 0|

aumento da rigidez numa suspenso activa

aumento da rigideznuma suspenso passiva

Suspensao passiva: o aumentoda rigidez (seguranca) origina umadiminuicao do conforto.

Suspensao activa: e possvel aumen-tar a seguranca melhorando simultane-amente o conforto.

Efeito do aumento da rigidez da suspensao (coeficiente de amortecimento)


25

Camara de combustao LPP (Lean premixed prevaporized)

Objectivo: garantir uma baixa concentracao de NOx nos gases de escape de uma camara decombustao, atraves da diminuicao da temperatura adiabatica em condicoes de excesso de ar(razao de equivalencia < 1), sem afectar a eficiencia da combustao.

Nas altas temperaturas, por oxidacao doazoto atmosferico resultante da reaccao en-tre este e o oxigenio atmosferico, resulta oaparecimento do NOx termico.

Problemas:

instabilidade da chama em regimes de maxima potencia. vibracoes indesejaveis originadas pela instabilidade termo-acustica (acoplamento dinamicoque se verifica entre a libertacao de calor da chama e o campo acustico por ela provocado).

sao necessarias grandes variacoes do caudal de ar para acompanhar as variacoes depotencia exigidas pelos varios regimes de funcionamento.

Esquema do anel de controlo: (Camara LPP existente no Laboratorio do Centro de Termo-dinamica Aplicada e Mecanica de Fludos, Departamento de Engenharia Mecanica, IST Lisboa).


26

Manipulador robotico rgido

Motivacao: um manipulador robotico pode manipular objectos num ambiente fsico. Porexemplo, os robos industriais sao especialmente versateis e particularmente vocacionados paratarefas como o manuseamento, transporte e montagem de componentes, soldadura, pintura desuperfcies, etc.

Robo manipulador rgido IRB 2000 da ABB existente no Departamento de Engenharia Mecanicado Instituto Superior Tecnico (6 graus de liberdade):

Objectivo: determinacao da evolucao no tempo dos binarios aplicados em cada junta, (t),que garantam o seguimento de uma determinada trajectoria no espaco de trabalho.


onde:

q - posicoes angulares de cada junta (qd - posicoes desejadas, ou de referencia). - binarios aplicados em cada junta. {X, Y, Z} - posicao cartesiana do elemento terminal.


27

Controlo activo de rudo

Motivacao: preocupacao ambiental e de saude publica. Uma exposicao continuada a nveissonoros de elevada intensidade pode provocar alteracoes psicologicas e/ou fisiologicas no serhumano, ou mesmo lesoes mecanicas permanentes no sistema auditivo.

Objectivo: utilizacao de tecnicas de controlo por realimentacao para cancelamento activo derudo (ao inves de utilizar materiais com propriedades absorventes, espessos, e de custo elevado).

Configuracao esquematica: (Paul Lueg, 1936, US Patent 2043416)

Ideia basica: geracao e sobreposicao intencional ao rudo indesejavel de uma onda acustica,com a mesma amplitude e em oposicao de fase: interferencia destrutiva.

A - fonte sonora indesejavel. M - microfone: capta onda sonora indesejavel. V - controlador: amplifica e inverte a fase do sinal lido por M . L - altifalante: emite onda sonora de cancelamento.

Exemplo de aplicacao: conduta de ar condicionado (Laboratorio de Acustica, DepartamentoEngenharia Mecanica, IST).


28

Controlo da anestesia em intervencoes cirurgicas

Objectivo: controlo automatico da infusao de drogas num paciente durante a intervencaocirurgica, por forma a minimizar os seus efeitos nocivos a longo prazo:

Quantidades demasiado elevadas: a administracao de quantidades elevadas de farma-cos anesteticos provoca sequelas neuro-fisiologicas graves, estando inclusivamente associ-ada ao aparecimento de doencas cronicas (cancro). Quando o apagao e muito profundo,a probabilidade de morte apos um ano aumenta.

Quantidades demasiado baixas: quando a quantidade de droga administrada e infe-rior ao valor mnimo estabelecido, o paciente pode acordar durante a intervencao. Atomada de consciencia, mesmo que por breves instantes e sem sensacao de dor, pode sercausadora de problemas psicologicos no futuro (depressoes). Igualmente grave podera sera possibilidade do paciente se movimentar durante a intervencao.

As 3 drogas que intervem numa anestesia: relaxante muscular (atracurium, cisatracu-rium, vecuronium e rocuronium), anestetico ou hipnotico (profopol) que cria um estado deinconsciencia, e um analgesico (remifentanil) que elimina a sensacao de dor.

Dificuldades: como medir o estado hipnotico? Como saber se o doente esta a sentir dor?Como quantificar a reaccao ao estmulo cirurgico (noxicepcao)?


Legenda: DOA-Depth Of Anesthesia; BIS-BI-Spectral index (100-acordado, 0-coma), EMG-Electromiograma, EEG-Electroen-

cefalograma, ECG-Electrocardiograma.

Nota: foi desenvolvido por investigadores portugueses um controlador automatico para re-gulacao do bloqueio neuromuscular utilizando controladores PID sintonizados pelos metodosde Ziegler-Nichols (ver pagina 114). Consultar as referencias: PID control strategies for the automatic control ofneuromuscular blockade, Teresa Mendonca, Pedro Lago, Control Engineering Practice, 6, 12251231, 1998; Control of neuromuscular blockade in the

presence of sensor faults, Joao M. Lemos et. al., IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 52(11), 19021911, 2005.


29

3 Efeitos da realimentacao

Questao: porque controlo por realimentacao da sada?

Efeitos da realimentacao:

Reduz o efeito das perturbacoes externas que afectam o sistema. Reduz o efeito de variacoes nos parametros do sistema. Altera as caractersticas da resposta transitoria e estacionaria do sistema, com con-sequencias na estabilidade do anel de controlo.

3.1 Efeito nas perturbacoes

Anel aberto:

Considerar o seguinte sistema em anel aberto, sem perturbacoes:

- K - Gp(s) -R(s) Y (s)

Y (s) = KGp(s)R(s) Y (s)R(s)

= KGp(s)

Considere-se agora o mesmo sistema sujeito a uma perturbacao D(s) na sua entrada:

- K - i+ + - Gp(s) -?R(s)D(s)

Y (s)

Y (s) = Gp(s)D(s) +KGp(s)R(s)

Y (s) = YD(s)|R(s)=0 + YR(s)|D(s)=0 Princpio da Sobreposicao

Nota: a resposta do sistema corresponde a` soma algebrica da resposta do sistema a` entradaperturbacao, com a resposta do sistema a` entrada de referencia.

Questao: sera que D(s) afecta muito a resposta do sistema a` referencia R(s)? Ou, de outromodo, qual o impacto do termo Gp(s)D(s) na resposta do sistema?


30

Exemplo: comparar as respostas dos seguintes sistemas para uma entrada de referencia emdegrau unitario, considerando D(s) uma perturbacao com evolucao temporal conhecida.

Sistema A: sem perturbacao Sistema B: com perturbacao

- 2 -1

s+1-R(s) Y(s) - 2 - i+ + - 1s+1 -?R(s)

D(s)

Y(s)

Resposta do sistema A: Resposta do sistema B:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo [s]

y(t)

Sistema sem perturbao

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo [s]

y(t)

Sistema com perturbao

Conclusao: a perturbacao D(s) afectou bastante a resposta do sistema.

Questao: sera que o efeito de D(s) pode ser minorado caso se opte por fechar o anel atravesda realimentacao da sada?

Resposta: sim. Este e um dos benefcios importantes da realimentacao.


31

Anel fechado:

Considerar o anel de controlo com o sistema sujeito a uma perturbacao D(s) na sua entrada:

- i+

- K - i+ + - Gp(s) -?6

R(s)

D(s)

Y(s)

Y (s) = Gp(s)D(s) +KGp(s)R(s)KGp(s)Y (s)

Y (s) =Gp(s)

1 +KGp(s)D(s) +

KGp(s)

1 +KGp(s)R(s)

Y (s) = YD(s)|R(s)=0 + YR(s)|D(s)=0 Princpio da Sobreposicao

Nota: tal como no caso anterior, a resposta do sistema corresponde a` soma algebrica da res-posta do sistema a` entrada perturbacao, com a resposta do sistema a` entrada de referencia.

Questao: sera que o impacto de D(s) na resposta do sistema e agora menor que no caso dosistema em anel aberto?

Pela analise da equacao final:

Y (s) =Gp(s)

1 +KGp(s) 0, se K

D(s) +KGp(s)

1 +KGp(s)R(s)

Conclusao: e possvel diminuir o impacto da perturbacao D(s) na sada do sistema, bastandopara isso aumentar o valor do ganho K.

Nota: fica ao cuidado do leitor demonstrar que a mesma conclusao se tiraria caso a perturbacaoafectasse de forma aditiva a sada do sistema, de acordo com:

- i+

- K - Gp(s) - i+ + -?6

R(s)

D(s)

Y(s)


32

Exemplo: comparar as respostas dos seguintes sistemas considerando D(s) uma perturbacaocom evolucao temporal semelhante a` apresentada no exemplo anterior (ver pagina 30).

- i+

- K -1

s(s+1)-

6

R(s) Y(s) - i+

- K - i+ + - 1s(s+1) -?6

R(s)

D(s)

Y(s)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Tempo [s]

y(t)

K = 1

d(t)

com perturbao

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

Tempo [s]

y(t)

K = 5com perturbao

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Tempo [s]

y(t)

K = 15

com perturbao

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Tempo [s]

y(t)

K = 30

com perturbao

As figuras anteriores mostram, tal como previsto, que o efeito das perturbacoes na respostado sistema vai diminuindo a` medida que o ganho K do anel aberto aumenta. Quanto maior ovalor do ganho K, mais insensvel (robusto) e o sistema de controlo a`s perturbacoes.

Questao: sera que se pode entao concluir que se deve sempre escolher o maior valor possvelpara K?

Resposta: nao! Para alem de haver restricoes fsicas que limitam o valor maximo de K, valoreselevados deste parametro amplificam o rudo de leitura dos sensores e levam, geralmente, a`instabilidade do anel de controlo.


33

3.2 Efeito no rudo dos sensores

O rudo esta sempre presente nas medidas de sensores analogicos. Como e que este afecta aresposta do sistema de controlo por realimentacao? Como podera ser atenuado?

Seja o seguinte sistema de controlo por realimentacao com perturbacao aditiva D(s) na entradado sistema, e rudo de leitura N(s) no sensor de medida:

- i+

- K - i+ + - Gp(s) -??i6 ++

R(s)

D(s)

Y(s)

N(s)

Desenvolvendo o diagrama de blocos, resulta:

Y (s) =Gp(s)

1 +KGp(s)D(s) +

KGp(s)

1 +KGp(s)R(s) KGp(s)

1 +KGp(s)N(s)

Analise da resposta do sistema de controlo:

1. Bom seguimento da referencia R(s):

Y (s)

R(s)=

KGp(s)

1 +KGp(s) 1 K elevado!

2. Boa rejeicao da perturbacao D(s):

Y (s)

D(s)=

Gp(s)

1 +KGp(s) 0 K elevado!

3. Boa rejeicao do rudo de leitura N(s):

Y (s)

N(s)= KGp(s)

1 +KG(ps) 0 K baixo!

Conclusao: devera existir um compromisso na escolha do valor de K por forma a garantirsimultaneamente as especificacoes de desempenho. E possvel compatibilizar os resultados an-teriores se considerarmos, ao inves de K, uma funcao de transferencia K(s). A ideia e projectar(moldar) K(s) respeitando as seguintes condicoes:

Baixas frequencias: |K(s)Gp(s)| 1, banda [0 , r] [0 , d]. Altas frequencias: |K(s)Gp(s)| 1, banda [n , +].

Nota: esta tecnica de projecto de controladores denomina-se por moldagem do ganho (loopshaping), e esta fora do ambito desta cadeira.


34

3.3 Efeito nas variacoes dos parametros

No projecto de um controlador e necessario ter em consideracao que o modelo do sistema acontrolar pode deixar de ser valido. Isto acontece sempre que haja variacoes nos parametrosdevido, e.g., ao envelhecimento dos seus componentes, a erros de modelacao, tolerancias defabrico, etc.

Questao: sera que num anel de realimentacao e possvel diminuir a sensibilidade a variacoesnos parametros da funcao de transferencia do sistema a controlar?

- i+

- K - Gp(s) -6

R(s) Y(s)

Funcao de transferencia do anel fechado:

Y (s)

R(s)=

KGp(s)

1 +KGp(s)= GAF (s)

Analise da sensibilidade:

A sensibilidade de GAF (s) a variacoes de Gp(s), SG, pode ser determinada atraves da seguinteexpressao:

SG =dGAF (s)/GAF (s)

dGp(s)/Gp(s)=dGAF (s)

dGp(s) Gp(s)GAF (s)

Desenvolvendo:

SG =K[1 +KGp(s)]KGp(s)K

[1 +KGp(s)]2 Gp(s)GAF (s)

=K

[1 +KGp(s)]2 Gp(s)GAF (s)

Substituindo GAF (s) na expressao acima, resulta:

SG =1

1 +KGp(s)

Conclusao: a insensibilidade (robustez) a possveis variacoes nos parametros do sistema acontrolar Gp(s) pode ser aumentada se for usado um valor elevado para o ganho K do anel derealimentacao.


35

3.4 Efeito nas caractersticas da resposta

1. Resposta transitoria: a realimentacao afecta sobretudo a resposta transitoria do sistemaa controlar, podendo melhorar significativamente a resposta do sistema em termos de sobreim-pulso, tempo de pico, tempo de crescimento, tempo de estabelecimento (ou equivalentes naresposta em frequencia). Por efeito da realimentacao pode um sistema originalmente instavelem anel aberto tornar-se estavel quando a sua sada e realimentada. No entanto, o contrariotambem pode acontecer: um sistema originalmente estavel em anel aberto pode instabilizarquando a sua sada e realimentada.

Exemplo 1: anel de controlo estabiliza sistema instavel em anel aberto.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Tempo [s]

y(t)

- i+

- 2(s1)(s+2) -

6

R(s) Y(s)

Exemplo 2: anel de controlo instabiliza sistema estavel em anel aberto.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Tempo [s]

y(t)

- i+

- 15(s+1)(s+2)(s+0.5)

-

6

R(s) Y(s)


36

2. Resposta estacionaria: a realimentacao pode eliminar completamente o erro estacionariono seguimento a referencias. No entanto, o contrario tambem pode acontecer: um sistemacom erro estacionario nulo em anel aberto (ganho unitario) pode ver este aumentado quandointegrado num anel de realimentacao.

Exemplo 1: anel de controlo com erro estacionario nulo para sistema em anelaberto no limite de estabilidade.

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y(t)

Tempo [s]

- i+

- 1s(s+1)

-

6

R(s) Y(s)

Exemplo 2: anel de controlo com erro estacionario nao nulo para sistema em anelaberto com ganho unitario.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y(t)

Tempo [s]

- i+

- 1s+1

-

6

R(s) Y(s)

CONCLUSAO FINAL

Para se tirar o maximo partido de um anel de controlo por realimentacao e necessario terpresente e conjugar todos os seus efeitos, por forma a obter-se o melhor desempenho possvelpara o sistema em anel fechado.


37

4 Analise de estabilidade e construcao do LGR

4.1 Criterio de Routh-Hurwitz

Seja o seguinte polinomio em s:

P (s) = ansn + an1sn1 + + a1s+ a0n = (s s1)(s s2) (s sn1)(s sn)

A condicao necessaria para que todas as razes de P (s) tenham parte real negativa (estaveis),e que se verifiquem simultaneamente as seguintes condicoes:

Todos os coeficientes ai, i = 0, . . . , n 1, sejam diferentes de zero. Todos os coeficientes aj, j = 0, . . . , n, tenham o mesmo sinal.

caso contrario, o polinomio tera razes com parte real positiva (instaveis).

Tabela de Routh-Hurwitz

sn an an2 an4 0

sn1 an1 an3 an5 0

sn2 b1 b2

sn3 c1 c2 ...

......

s0 k1

onde:

b1 =an1an2 anan3

an1b2 =

an1an4 anan5an1

c1 =b1an3 an1b2

b1c2 =

b1an5 an1b3b1

Criterio de Routh-Hurwitz: o numero de mudancas de sinal na primeira coluna da tabela,indica o numero de razes instaveis do polinomio P (s), i.e., o numero de razes que pertencemao semi-plano direito do plano complexo.


38

Exemplo: aplicacao do criterio de Routh-Hurwitz:

Considere-se o seguinte polinomio:

P (s) = s4 + 2s3 + 3s2 + 4s+ 5 = 0

A construcao da tabela de Routh-Hurwitz origina:

s4 1 3 5

s3 2 4 0

s2 1 5

s1 6

s0 5

Como ha duas mudancas de sinal na primeira coluna da tabela de Routh-Hurwitz (do 1 6,e do 6 5), o polinomio P (s) tera duas razes com parte real positiva. Na realidade, opolinomio em forma factorizada e: P (s) = (s 0.29 1.42j)

2 razes instaveis

(s+ 1.29 0.86j).

Caso particular 1: termo nulo na primeira coluna


P (s) = s3 + 2s2 + s+ 2 = 0


s3 1 1

s2 2 2

s1 0

s0 2

Como o sinal do coeficiente acima do zero ( 0+) e o mesmo do coeficiente abaixo deste, istosignifica que o polinomio P (s) tem um par de razes imaginarias: P (s) = (s+ 2)(s j).


39

Considere-se agora o seguinte polinomio:

P (s) = s3 3s+ 2 = 0


s3 1 3

s2 0 2

s1 3 2

s0 2

Como ha sempre duas trocas de sinal nos elementos da primeira coluna, quer 0+ ou 0,o polinomio P (s) tem duas razes com parte real positiva: P (s) = (s+ 2)(s 1)2.

Caso particular 2: linha nula na tabela de Routh-Hurwitz


P (s) = s5 + 2s4 + 24s3 + 48s2 25s 50 = 0

A construcao da tabela de Routh-Hurwitz ate a` linha s3, origina:

s5 1 24 25

s4 2 48 50 Polinomio auxiliar, Pa(s)

s3 0 0

Nesta circunstancia, define-se o polinomio auxiliar formado pelos coeficientes da linha anterior:

Pa(s) = 2s4 + 48s2 50


40

O desenvolvimento continua, substituindo-se na tabela de Routh-Hurwitz o polinomio auxiliarpelo polinomio resultado da derivada de Pa(s) em ordem a s:

Pa(s)

ds= 8s3 + 96s

A nova tabela de Routh-Hurwitz sera dada por:

s5 1 24 25

s4 2 48 50

s3 8 96 Coeficientes de dPa(s)ds

s2 24 50

s1 112.7 0

s0 50

Como ha uma mudanca de sinal na primeira coluna da tabela de Routh-Hurwitz, o polinomioP (s) tera uma raiz com parte real positiva: P (s) = (s+ 1)(s 1)(s 5j)(s+ 2).

Nota: o criterio de Routh-Hurwitz pode tambem ser utilizado para a analise de estabilidade desistemas de controlo. E possvel avaliar a estabilidade de um anel de controlo por variacao deum unico parametro, sem ter que calcular explicitamente a localizacao dos polos do anel fechado!

- j+

- s+as(s2+s+1)

-

6

R(s) Y (s)

Questao: que valores pode a tomar (ou, qual a localizacao do zero) por forma a nao instabi-lizar o anel de controlo?

Funcao de transferencia do anel fechado:Y (s)

R(s)=

s+ a

s(s2 + s+ 1) + s+ a=

s+ a

s3 + s2 + 2s+ a


41

Equacao caracterstica do anel fechado: s3 + s2 + 2s+ a = 0


s3 1 2

s2 1 a

s1 2 a 0

s0 a

Para se garantir a estabilidade do anel de controlo e necessario garantir que nao haalteracoes de sinal nos elementos da primeira coluna da tabela, ou seja:

0 < a < 2

caso contrario, o sistema de controlo instabiliza!

Visualizacao da resposta do sistema, y(t), considerando um degrau unitario, R(s) = 1/s, comoentrada de referencia no anel de controlo:

Caso, a = 1 (zero em s=1): Caso, a = 3 (zero em s=3):

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo [s]

y(t)

s3+s2+2s+1

s+1 =

R(s) Y(s)

Plos: 0.57, 0.211.31j

0 5 10 15 20 2525

20

15

10

5

0

5

10

15

20

Tempo [s]

y(t)

R(s) Y(s)

=

s+3

s3+s2+2s+3

Plos: 1.28, 0.141.53j

Nota: a simples deslocacao do zero do sistema, de s=1 para s=3, torna o anel de controloinstavel!


42

4.2 Construcao do Lugar Geometrico das Razes (LGR)

Recordando o sistema de controlo por realimentacao:

- h+

- Gc(s) - Gp(s) -

H(s)

6

R(s) E(s) U(s) Y(s)

Pergunta: como garantir que o controlador Gc(s) nao instabiliza o anel de controlo? Comogarantir que os polos da funcao de transferencia do anel fechado nao estao localizados no semi-plano direito do plano complexo?

Exemplo: pretende-se que o seguinte sistema siga, o melhor possvel, um degrau unitario:

Gp(s) =10

(s+ 1)(s+ 2)

Para tal, resolvemos seguir o conselho de um colega mais velho (que dizia que sabia imensosobre seguimento de referencias!), e implementamos o seguinte anel de controlo:

- j+

- 1s

- 10(s+1)(s+2)

-

6

R(s) Y (s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

Tempo (seg.)

Ampl

itude

RESPOSTA DE Gp(s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102

1

0

1

2

3

4

5

Tempo (seg.)

Ampl

itude

ANEL FECHADO

Questao: o que falhou no raciocnio do colega mais velho?


43

Analise de estabilidade do anel de controlo:

Estabilidade absoluta: polos da FT anel fechado localizados no SPD. Sim ou nao? Criterio de Routh-Hurwitz. X

Estabilidade relativa: proximidade dos polos da FT anel fechado ao eixo imaginario. Metodo do Lugar Geometrico das Razes (LGR, ou root locus).

O metodo do Lugar Geometrico das Razes

O metodo do LGR e um metodo grafico que permite visualizar a localizacao no plano complexodos polos da FT do anel fechado, a` medida que um unico parametro do anel de controlo varia.Este parametro e o:

GANHO DA FUNCAO DE TRANSFERENCIA DO ANEL ABERTO!

Seja entao o seguinte sistema de controlo generico:

- j+

- Gc(s) - Gp(s) -

H(s)

6

R(s) E(s) U(s) Y(s)

onde:

Funcao de transferencia do anel aberto:Gc(s)Gp(s)H(s) = KG(s), onde G(s) e uma funcao de transferencia de ganho unitario.

Funcao de transferencia do anel fechado:Gc(s)Gp(s)

1 +Gc(s)Gp(s)H(s)=

Gc(s)Gp(s)

1 +KG(s)

Equacao caracterstica do anel fechado: 1 +KG(s) = 0


44

Pergunta: em que consiste o metodo do LGR?

Resposta: consiste na visualizacao do caminho que as razes da equacao caractersticado anel fechado fazem no plano complexo, 1 +KG(s) = 0, em funcao da variacao do ganhoda funcao de transferencia do anel aberto, definido pelo parametro real, K:

LGR 1 +KG(s) = 0, com K ], +[

Exemplo: o meu primeiro LGR.

Determinar a localizacao dos polos da FT do anel fechado do seguinte sistema de controlo, a`medida que o ganho K varia entre 0 e +:

- j+

- K -1

s+1-

6

R(s) Y (s)

Funcao de transferencia do anel aberto:Gc(s)Gp(s)H(s) = KG(s) = K

1

s+ 1


1 +Gc(s)Gp(s)H(s)=

K

s+ 1 +K

Equacao caracterstica do anel fechado: s+ 1 +K = 0

A localizacao dos polos da FT do anel fechado:

s = 1K, com K [0, +[ Atribuindo valores a K temos a seguinte localizacao dos polos da FT do anel fechado:

K = 0 s = 1K = 1 s = 2K = 2 s = 3

...

K = + s =


45

O respectivo LGR para K [0, +[ e:

6 5 4 3 2 1 01

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1O meu primeiro LGR

Eixo Real

Eixo

Imag

inr

io

K = 0 K = 1 K = 2 K = +

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo (seg.)

Ampl

itude

ANEL FECHADO

k = 1

k = 3

k = 10

Exemplo: o meu segundo LGR.

Determinar a localizacao dos polos da FT do anel fechado do seguinte sistema de controlo,considerando que o parametro K pode tomar valores entre 0 e +:

- j+

- K -1

s+1-

1s

6

R(s) Y (s)

Funcao de transferencia do anel aberto:

Gc(s)Gp(s)H(s) = KG(s) = K1

s(s+ 1)


1 +Gc(s)Gp(s)H(s)=

Ks

s2 + s+K

Equacao caracterstica do anel fechado: s2 + s+K = 0

A localizacao dos polos da FT do anel fechado:

s =11 4K

2, com K [0, +[


46

Atribuindo valores a K temos a seguinte localizacao dos polos da FT do anel fechado:

K = 0 s1 = 1 , s2 = 0K = 1/4 s1 = s2 = 0.5K = 1 s1,2 = 1

3j

2...

O respectivo LGR para K [0, +[ e:

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.24

3

2

1

0

1

2

3

4O meu segundo LGR

Eixo Real

Eixo

Imag

inr

io

K = 0 K = 0 K = 1/4

K = +

K = +

0 5 10 151

0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tempo (seg.)

Ampl

itude

ANEL FECHADO

K = 5

K = 1 K = 0.25

K = 0.1

Comentarios:

Para valores de K [0 0.25], os polos do anel fechado ficam localizados sobre o eixoreal, donde a resposta do sistema de controlo segue um perfil exponencial.

Para valores de K > 0.25, os polos do anel fechado ficam localizados na mesma rectavertical, i.e., possuem todos a mesma parte real com parte imaginaria tanto maior quantomaior for o valor de K. A resposta do sistema de controlo e cada vez mais oscilatoria, comcada vez maior sobreimpulso, embora o tempo de estabelecimento permaneca inalteravel.

O erro estacionario de seguimento ao degrau e sempre igual a 1. Seria capaz de o calcularanaliticamente? (Sugestao: calcular limt[y(t) r(t)]=lims0 s[Y (s)R(s)])

Questao: como representar o LGR para sistemas cuja equacao caracterstica e um polinomiode ordem elevada? Como saber quais os pontos do plano complexo por onde passa o caminhodos polos da FT do anel fechado quando o ganho da FT do anel aberto, K, varia?

Solucao: regras construtivas do LGR!


47

4.2.1 Regras construtivas do LGR

Seja a seguinte configuracao generica de um anel de controlo por realimentacao:

- j+

- Gc(s) - Gp(s) -

H(s)

6

R(s) E(s) U(s) Y(s)

onde a funcao de transferencia do anel aberto e dada por:

Gc(s)Gp(s)H(s) = K.G(s) = K.

(sz1+ 1)(

sz2+ 1) (

szm

+ 1)

(sp1+ 1)(

sp2+ 1) (

spn+ 1)

onde:

G(s) com ganho unitario. Os termos zi C, i = 1, . . . ,m e pj C, j = 1, . . . , n, ou seja, zi e pj correspondem azeros e polos, reais ou complexos conjugados, respectivamente.

A equacao caracterstica do anel fechado e:

1 +KG(s) = 0

KG(s) = 1

Ideia basica: um numero complexo s= a bj pertence ao LGR sse, para um determinadovalor do ganho da FT do anel aberto, K, verificar simultaneamente as seguintes condicoes:

|KG(s)| = 1 Condicao de Modulo

arg [KG(s)] = 180(2n+ 1), n = 0, 1, 2, . . . Condicao de Argumento

Conclusao: o LGR corresponde assim ao conjunto de pontos no plano complexo que verificamsimultaneamente as condicoes de modulo e de argumento, para diferentes valores do ganho K.


48

Regras para o Tracado doLugar Geometrico das Razes

Regras gerais:

A funcao de transferencia G(s) tem n polos, pj (j = 1, . . . , n), em zeros, zi (i = 1, . . . ,m). O numero de ramos do LGR e igual ao numero de razes da equacao caracterstica. Comose supoe sempre que nm, o numero de ramos do LGR e sempre igual ao numero depolos de G(s), ou seja n.

Todos os ramos do LGR comecam nos polos de G(s), para K=0, e terminam nos zerosde G(s), para K=. Se o numero de polos for maior que o numero de zeros, i.e., n>m,entao existirao (nm) ramos que terminam no infinito.

O LGR e sempre simetrico em relacao ao eixo real. Se nm+2, o centro de gravidade do caminho dos polos no LGR e constante qualquerque seja o K:

nj=1

Re(pj) = cte

LGR para o caso: K ]0, +[

1. Marcar no plano complexo os n polos () e os m zeros () de G(s).2. Um ponto do eixo real pertence ao LGR se a soma do numero de polos e zeros (reais

e complexos) a` sua direita for mpar.

3. As (nm) assmptotas dos ramos do LGR que terminam no infinito sao rectas quefazem um angulo com o eixo real, contado no sentido directo (em graus), de:

=180(1 + 2k)

nm , n > m

k = 0 (1a assmptota), k = 1 (2a assmptota), . . ., ate k = (n m) 1 (ultimaassmptota).

4. As assmptotas do LGR intersectam-se num ponto do eixo real dado por:

c =

nj=1Re(pj)

mi=1Re(zi)

nm , n > m

onde pj e zi correspondem aos n polos e m zeros de G(s), respectivamente.

5. Os pontos de convergencia/divergencia do LGR sobre o eixo real correspondem a`srazes reais da seguinte equacao:

d

ds[G1(s)] = 0, G1(s) =

nj=1(s pj)mi=1(s zi)


49

6. O angulo de sada de um ramo do LGR num polo complexo, l, e o angulo dechegada de um ramo do LGR a um zero complexo, l, contados no sentido directo(em graus), sao obtidos respectivamente por:

l = 180

nj 6=l

j +mi=1

i , l = 180

mi6=l

i +nj=1

j

e medidos de acordo com a seguinte figura:

Angulo de sada de p3: 3 = 180 1 2 4 + 1 + 2.

LGR para o caso: K ], 0[

1. igual ao caso anterior.

2. Um ponto do eixo real pertence ao LGR se a soma do numero de zeros e polos (reaise complexos) a` sua direita for par.

3. As (nm) assmptotas dos ramos do LGR que terminam no infinito sao rectas quefazem um angulo com o eixo real, contado no sentido directo (em graus), de:

=360k

nm, n > m

k = 0 (1a assmptota), k = 1 (2a assmptota), . . ., ate k = (n m) 1 (ultimaassmptota).




50

6. O angulo de sada de um ramo do LGR num polo complexo, l, e o angulo dechegada de um ramo do LGR a um zero complexo, l, contados no sentido directo,sao obtidos respectivamente por:

l = nj 6=l

j +mi=1

i , l = mi6=l

i +nj=1

j

e medidos de acordo com a seguinte figura:

Angulo de sada de p3: 3 = 1 2 4 + 1 + 2.

Nota final: as regras anteriores sao aplicadas directamente considerando que a funcao detransferencia do sistema, G(s), foi factorizada na forma:

G(s) =

(sz1+ 1)(

sz2+ 1) (

szm

+ 1)

(sp1+ 1)(

sp2+ 1) (

spn+ 1) , onde: {zi, pj} C

Isto significa que, caso surjam termos no numerador (ou denominador) expressos na forma(s/zi + 1) (ou (s/pj + 1)), e necessario alterar a sua representacao para (s/zi 1) (ou(s/pj 1)) por forma a estarem em consonancia com a forma factorizada de G(s). No en-tanto, devido a` troca de sinal que resulta desta alteracao, sempre que estes termos ocorramum numero mpar de vezes na funcao de transferencia G(s) e necessario trocar as regras parao tracado do LGR: para K > 0 aplicam-se as regras para K < 0, e vice-versa.

Exemplo:

G(s) =

( s

z1+ 1)

(sp1+ 1)(

sp2+ 1) =

(

sz1 1)

(sp1+ 1)(

sp2+ 1) Regras do LGR trocam.

G(s) =

( s

z1+ 1)

(sp1+ 1)( s

p2+ 1) =

(sz1 1)

(sp1+ 1)(

sp2 1) Regras do LGR mantem-se.


51

Exemplo: voltemos ao caso apresentado no incio:

- j+

- 1s

- 10(s+1)(s+2)

-

6

R(s) Y (s)

onde se obteve uma resposta instavel em anel fechado:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102

1

0

1

2

3

4

5

Tempo (seg.)

Ampl

itude

ANEL FECHADO

Questao: teria sido possvel prever este comportamento atraves do LGR?

Funcao de transferencia do anel aberto:

Gc(s)Gp(s)H(s) =10

s(s+ 1)(s+ 2)= 5

2

s(s+ 1)(s+ 2) Ganho unitario

= 51

s(s+ 1)( s2+ 1)

= KG(s)

O LGR de G(s) para K [0, +[ e:

6 5 4 3 2 1 0 1 24

3

2

1

0

1

2

3

4LGR

Eixo Real

Eixo

Imag

inr

io

K = 5

K=0 K=0 K=0K=+

K=+

K=+

Localizacao dos polos da FT anel fechado (K = 5): 3.31 e 0.15 1.73i. O sistema e instavel!


52

Relacao entre LGR e a resposta no tempo

A cada valor de K corresponde uma determinada localizacao dos polos da funcao de trans-ferencia do anel fechado. A` medida que K aumenta, a localizacao dos polos do sistema evoluide acordo com:

Para 0 < K < 0.2: 3 polos reais e estaveis. Para 0.2 < K < 3: 1 polo real, e 2 polos complexos conjugados, estaveis. Para K > 3: 1 polo real estavel, e 2 polos complexos conjugados instaveis.

Resposta ao degrau unitario do anel fechado, para diferentes valores de K:

0 100 200 300 400 500 6000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo [s]

y(t)

K = 0.01

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo [s]

y(t)

K = 0.1

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo [s]

y(t)

K = 1

0 5 10 158

6

4

2

0

2

4

6

8

Tempo [s]

y(t)

K = 5

Questao: observe bem a diferenca entre a resposta do anel fechado para K = 0.01 e K = 0.1.Consegue encontrar uma justificacao para esta diferenca?


53

4.2.2 Exemplo de construcao do LGR

Tracar o LGR do seguinte sistema de controlo, considerando K > 0 e K < 0:

- j+

- K - Gp(s) -

H(s)

6

R(s) Y(s)

Gp(s) =3.713s2 + 59.41s+ 609

(s+ 3)(s2 + 4s+ 29),

zeros : {8 10j}

polos : {3;2 5j}

H(s) =1

s+ 7, polo: {7}

A funcao de transferencia do anel aberto e:

G(s) =3.713s2 + 59.41s+ 609

s4 + 14s3 + 90s2 + 374s+ 609

Aplicacao das regras gerais:

Sistema com n=4 polos, em=2 zeros, ou seja, o LGR tera 4 ramos, 2 dos quais terminamno infinito.

O LGR e simetrico em relacao ao eixo real. Como n=m+2, o centro de gravidade do caminho dos polos no LGR e constante paraqualquer valor de K.

Caso K > 0:

1. Marcar no plano complexo os 4 polos () e os 2 zeros () de G(s).2. Os pontos do eixo real no segmento de recta [7 3] pertencem ao LGR.3. As 2 assmptotas dos ramos do LGR que terminam no infinito sao rectas que fazem um

angulo com o eixo real, contado no sentido directo (em graus), de:

1 =180(1 + 2.0)

2= 90

2 =180(1 + 2.1)

2= 270


54

4. As assmptotas obtidas no ponto anterior intersectam-se no seguinte ponto sobre o eixoreal:

c =

4j=1Re(pj)

2i=1Re(zi)

nm =(7 3 2 2) (8 8)

2=14 + 16

2= 1

5. Os pontos de convergencia/divergencia do LGR sobre o eixo real correspondem a`s razesreais da seguinte equacao:

d

ds[G1(s)] = 0 d

ds

[s4 + 14s3 + 90s2 + 374s+ 609

3.713s2 + 59.41s+ 609

]= 0

7.426s5 + 230.21s4 + 4099.5s3 + 29536s2 + 105100s+ 191590

(s4 + 14s3 + 90s2 + 374s+ 609)2= 0

7.426s5 + 230.21s4 + 4099.5s3 + 29536s2 + 105100s+ 191590 = 0

(s+ 5.45)(s+ 10.44 13.8j)(s+ 2.33 3.2j) = 0Donde, o unico ponto de convergencia/divergencia e: s=-5.45

6. Calculo dos angulos de sada e chegada aos polos e zeros complexos, respectivamente.

Calculo do angulo de sada em p3:

10 8 7 3 2 0 215

10

5

0

5

10

15Plos (x) e Zeros (o)

Eixo Real

Eixo

imag

inr

io

z1

z2

p1

p2

p3

p4

1 2

4

1

2

3 = 180 (1 + 2 + 4) + 1 + 2

3 = 180 [arctan (1) + arctan (5) + 90] + [270 + arctan(6/5)] + arctan (15/6)

3 = 345.5


55

Calculo do angulo de chegada em z1:

10 8 7 3 2 0 215

10

5

0

5

10

15Plos (x) e Zeros (o)

Eixo Real

Eixo

imag

inr

io

z1

z2

p1 p2

p3

p4

1 2

4

2

3

1 = 180 2 + (1 + 2 + 3 + 4)

1 = 180 90 +

90 + arctan (1/10) 1

+90 + arctan (5/10) 2

+

90 + arctan (6/5) 3

+90 + arctan (6/15) 4

= 203.4Finalmente:

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 450

40

30

20

10

0

10

20

30

40

50LGR para K>0

Eixo Real

Eixo

Imag

inr

io

K=0

K=0 K=0

K=+

K=+

K=+

K=+


56

Caso K < 0:

1. Marcar no plano complexo os 4 polos () e os 2 zeros () de G(s).2. Os pontos do eixo real nos segmentos de recta [ 7] e [3 +] pertencem ao LGR.3. As 2 assmptotas dos ramos do LGR que terminam no infinito sao rectas que fazem um

angulo com o eixo real, contado no sentido directo (em graus), de:

1 =360 0

2= 0

2 =360 1

2= 180

4. As assmptotas obtidas no ponto anterior estao sobre o eixo real, logo nao faz sentidocalcular o ponto de interseccao.

5. Nao ha nenhum ponto de convergencia/divergencia do LGR sobre o eixo real, visto ques=5.45 nao pertence ao LGR (ver ponto 2. anterior).

6. Calculo dos angulos de sada e chegada aos polos e zeros complexos, respectivamente.

Calculo do angulo de sada em p3 (ver grafico da pagina 54):

3 = (1 + 2 + 4) + 1 + 23 = [arctan (1) + arctan (5) + 90] + [270 + arctan(6/5)] + arctan (15/6)3 = 165.5

Calculo do angulo de chegada em z1 (ver grafico da pagina 55):

1 = 2 + (1 + 2 + 3 + 4)

1 = 90 +90 + arctan (1/10)

1

+90 + arctan (5/10) 2

+

90 + arctan (6/5) 3

+90 + arctan (6/15) 4

1 = 23.4

Donde, finalmente:


57

14 12 10 8 6 4 2 0 2 415

10

5

0

5

10

15LGR para K 0. Para determinar exactamenteestes valores limite, recorre-se ao criterio de estabilidade de Routh-Hurwitz (ver pagina 37):

Equacao caracterstica do anel fechado:

1 +KG(s) = 0 s4 + 14s3 + (90 + 3.713K)s2 + (374 + 59.41K)s+ 609 + 609K = 0

Tabela de Routh-Hurwitz:

s4 1 90 + 3.713K 609 + 609K

s3 14 374 + 59.41K 0

s2 a = 14(90+3.713K)1.(374+59.41K)14

609 + 609K

s1 a(374+59.41K)14(609+609K)a

s0 609 + 609K

Deixa-se ao cuidado do leitor mostrar que a gama de valores de K que garante que naoha alteracoes de sinal na 1a coluna da tabela de Routh-Hurwitz e:

K ] 1 3[

ou seja, dentro deste intervalo o sistema de controlo e estavel!


58

4.2.3 LGR de sistemas com atraso

Vimos atras que o atraso no tempo (atraso de transporte), e um elemento comum na maiorparte dos sistemas fsicos:

Gp(s) = Gp(s) e

s, = atraso no tempo

Suponhamos o seguinte sistema de controlo por realimentacao de um sistema com atraso notempo:

- j+

- K - Gp(s)es -

6

R(s) Y (s)

Funcao de transferencia do anel fechado:

Y (s)

R(s)=

KGp(s)es

1 +KGp(s)es

Equacao caracterstica do anel fechado: 1 +KGp(s)es = 0

Questao: como representar a evolucao das razes da equacao caracterstica, em funcao doparametro K?

ou

Questao: como tracar o LGR do sistema de controlo?

Solucao: aproximacao do termo nao racional, es, por uma fraccao racional de ordem n,com n N, usando a aproximacao de Pade:

Preserva a amplitude unitaria de es. Aproxima, o melhor possvel, a caracterstica de fase de ejw.


59

Henri Euge`ne Pade nasceu a 17 de Dezembro de 1863 em Abbeville, Picardia, noroeste de Franca. Entrou para a Ecole Normale

Superieure de Paris, em 1883. Passados tres anos graduou-se em Matematicas (Agregation de Mathematiques) e iniciou a carreira

ensinando em escolas secundarias. O seu primeiro artigo sobre desenvolvimentos matematicos foi publicado em 1888. Em 1889

Pade foi para a Alemanha para continuar os seus estudos, passando por Leipzig e Gottingen, trabalhando com Klein e Schwarz.

Mais tarde, em 1890, regressa a Franca onde continua a ensinar em escolas secundarias enquanto tira o doutoramento sob a

supervisao de Hermite. Em 21 de Junho 1892, Pade defende em Paris a sua tese de doutoramento, Sur la representation

approchee dune fonction par des fractions rationelles. Nesta tese, Pade apresenta o primeiro estudo sistematico daquilo que

e hoje conhecido por aproximacao de Pade, aproximacoes racionais de funcoes descritas em series de potencias. Durante

o resto da sua vida continuou a investigar este tema, tendo recebido em 1906 o Grand Prix of the French Academy, tendo

nesse mesmo ano sido nomeado Reitor da Faculdade de Ciencias da Universidade de Bordeaux. Pade deixou a universidade

em 1908 tornando-se Reitor da Academia de Besancon, e em 1917 Reitor da Academia de Dijon. Entre 1923 e 1934, ano em

que se reformou, foi Reitor de Aix-Marseille. Pade faleceu a 9 de Julho 1953 em Aix-en-Provence, Franca.

Ideia basica da aproximacao de Pade: estabelecer equivalencias entre os parametros daexpansao em serie de Taylor da funcao transcendental, es, e os parametros da expansao emserie de uma funcao racional cujo numerador e um polinomio de grau p, e o denominador umpolinomio de grau q. Ao resultado, denomina-se uma aproximacao de Pade (p,q) de es:

es Np(s)Dq(s)

= , 0

Aproximacao em serie de Taylor de es:

es = 1 s+ 12!(s)2 1

3!(s)3 +

1

4!(s)4

Considerando a expansao de uma funcao racional com polinomios de ordem 1:

N1(s)

D1(s)=

b0s+ b1a0s+ 1

= b1 + (b0 a0b1)s a0(b0 a0b1)s2 + a20(b0 a0b1)s3 + Igualando as duas series ate aos termos de terceira ordem:1 s+ 1

2!(s)2 1

3!(s)3 + = b1 + (b0 a0b1)s a0(b0 a0b1)s2 + a20(b0 a0b1)s3 +

Igualando os coeficientes de cada serie:b1 = 1

b0 a0b1 = a0(b0 a0b1) = 1

22

a20(b0 a0b1) = 1

63

...

... infinitas equacoes e apenas 3 incognitas!


60

Considerando apenas as tres primeiras equacoes, tira-se: b1 = 1, a0 = 2 e b0 = 2 , donderesulta a seguinte aproximacao de Pade (1,1) de es:

es 12s

1 + 2s

As aproximacoes de Pade (2, 2) e (3, 3) de es, originam:

es 12s+ (s)

2

12

1 + 2s+ (s)

2

12

es 12s+ (s)

2

10 (s)3

120

1 + 2s+ (s)

2

10+ (s)

3

120

Aproximacoes de Pade de es podem ser obtidas em Matlab: [num,den]=pade[, n]

Conclusao: qualquer que seja a aproximacao de Pade usada, resulta uma funcao racional ondeas razes do denominador (polos) tem sempre parte real negativa, e as razes do numerador (ze-ros) sao simetricas a`queles, i.e., situam-se sempre no SPD (fase nao-mnima):

8 6 4 2 0 2 4 6 810

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10Mapeamento de plos e zeros

Eixo Real

Eixo

Imag

inr

io

Aproximacoes de Pade (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) e (6, 6), do termo es.


61

Exemplo: tracar o LGR do seguinte anel de controlo, onde K ]0, +[:

- j+

- K -e5s

(10s+1)(60s+1)-

6

R(s) Y (s)

Funcao de transferencia do anel fechado:Y (s)

R(s)=

Ke5s

600s2 + 70s+ 1 +Ke5s

Equacao caracterstica do anel fechado: 600s2 + 70s+ 1 +Ke5s = 0 ...!

Aproximacao do atraso de acordo com a aproximacao de Pade (1,1):

e5s s+ 0.4s+ 0.4

O anel de controlo aproximado sera:

- j+

- K -s+0.4

(10s+1)(60s+1)(s+0.4)-

6

R(s) Y (s)

O LGR para K > 0:

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4LGR sistema sem atraso

Eixo Real

Eixo

Imag

inr

io

K = 0 K = 0

K = +

K = +

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4LGR com aprox. atraso Pad (1,1)

Eixo Real

Eixo

Imag

inr

io

K = 15.4

K = 0 K = +


62

Adoptando outras aproximacoes para o atraso de acordo com a aproximacao de Pade:

e5s s2 1.2s+ 0.48s2 + 1.2s+ 0.48

, aproximacao de Pade (2,2).

e5s s5 + 6s4 16.8s3 + 26.88s2 24.19s+ 9.68

s5 + 6s4 + 16.8s3 + 26.88s2 + 24.19s+ 9.68, aproximacao de Pade (5,5).

Os respectivos LGR para K > 0:

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.55

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5LGR com aprox. atraso Pad (2,2)

Eixo Real

Eixo

Imag

inr

io

6 4 2 0 2 4 65

4

3

2

1

0

1

2

3

4


Eixo Real

Eixo

Imag

inr

io

Os respectivos LGR para K < 0:

2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 21

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


Eixo Real

Eixo

Imag

inr

io

6 5 4 3 2 1 0 1 210

8

6

4

2

0

2

4

6

8


Eixo Real

Eixo

Imag

inr

io


63

5 Margens de estabilidade na resposta em frequencia

E possvel analisar a estabilidade de um anel de controlo por realimentacao (determinar alocalizacao dos polos da funcao de transferencia do anel fechado), com base apenas na:

Funcao de transferencia do anel aberto. Variacao de um parametro (ganho da FT anel aberto).

A mesma analise pode ser feita com base na:

Resposta em frequencia da funcao de transferencia do anel aberto. Variacao de um parametro (ganho da FT anel aberto).

Exemplo: seja o seguinte sistema de controlo por realimentacao, com K > 0:

- j+

- K -1

s(s+1)2-

6

R(s) Y (s)

2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.52.5

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5LGR

Eixo Real

Eixo

Imag

inr

io

K = 0 K = 0

K = +

K = +

K = 2

K = 2

Recordar: um numero complexo s=a bj pertence ao LGR sse, para um determinado valordo ganho da FT do anel aberto, K, verificar simultaneamente as seguintes condicoes:

|KG(s)| = 1, Condicao de Modulo

arg[KG(s)] = 180(2n+ 1), n = 0, 1, 2, . . . Condicao de Argumento

Isto e valido, neste exemplo, particularmente para: K=2 e s={2, j1.0,j1.0}.


64

Representemos entao a resposta em frequencia da funcao de transferencia do anel aberto,KG(j), considerando valores de K inferiores e superiores a K = 2:

102 101 100 101 102150

100

50

0

50

100

Frequncia [rad/s]

Mag

nitu

de [d

B]

DIAGRAMA DE BODE

102 101 100 101 102

270

180

90

Frequncia [rad/s]

Fase

[]

K=0.1 K=2

K=100

Da observacao do grafico constata-se que para K=2 e =1 rad/s:

|KG(j)| = 1, Modulo da FT anel aberto no ponto crtico de estabilidade

arg[KG(j)] = 180, Fase da FT anel aberto no ponto crtico de estabilidade

Conclusoes:

O diagrama de Bode de um sistema no limite de estabilidade em anel fechado, i.e.,cujo K e tal que um ou mais polos do anel fechado se localizam sobre o eixo imaginario,satisfaz as condicoes de modulo e de argumento na frequencia desses polos,neste caso para s=j=j1.0, ou seja, =1 rad/s.

O diagrama de Bode de um sistema estavel em anel fechado, i.e., cujoK e tal que todosos polos do anel fechado se localizam no SPE, satisfaz a seguinte condicao: |KG(j)| < 1,para a frequencia onde arg[KG(j)] = 180.

O diagrama de Bode de um sistema instavel em anel fechado, i.e., cujo K e tal quepelo menos um dos polos do anel fechado se localiza no SPD, satisfaz a seguinte condicao:|KG(j)| > 1, para a frequencia onde arg[KG(j)] = 180.


65

5.1 Margem de ganho e margem de fase

Duas quantidades permitem analisar a estabilidade relativa do anel de controlo:

Margem de Ganho (MG): factor pelo qual o ganho K da FT do anel aberto pode ser au-mentado ate se atingir a instabilidade do anel fechado.

Margem de Fase (MF): fase que pode ser subtrada a` fase da FT do anel aberto ate seatingir a instabilidade do anel fechado.

Questao: como quantificar os valores da MG eMF directamente a partir do Diagrama de Bode?

Frequencia de cruzamento de ganho (cg): frequencia para a qual a curva de magnitudesno Diagrama de Bode cruza os 0 dB, ou, frequencia para a qual o modulo da funcao detransferencia do anel aberto e, |KG(j)| = 1.

Frequencia

controlo de sistemas

Documents