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1. CONTROLADOR DE POSIÇÃO PID
O controlador é uma das peças fundamentais de um sistema de completo de controle. A
ele cabe a tarefa global num estado/posição pré determinado. O tipo de controlador mais
utilizado é o PID (Proporcional/Integral/Derivativo). Este tipo de controlador possui um
bom desempenho desde que o sistema a controlar seja conhecido, bem comportado (lineare invariante no tempo) e os parâmetros do controlador bem ajustados. A sua principal
limitação, derivada do procedimento de ajuste, é ser sensível às diferentes condições de
funcionamento. Nesta situação, a utilização de um controlador adaptativo com ganhosvariáveis é vantajoso.
Para podermos comparar o controlador proposto neste projeto de pesquisa (não linear
utilizando lógica reprogramável), foi realizado durante esta etapa deste projeto de pesquisa
um estudo inicial de um controlador PID com ganhos variáveis (é realizada uma tabela de
ganhos em função de suas principais configurações inerciais). Isto se deve ao fato de que
num manipulador robótico, durante a execução de uma determinada trajetória, apresentará
uma grande variação de seus parâmetros dinâmicos (termos inerciais, coeficientes de atrito,efeitos gravitacionais), acarretando na mudança dos parâmetros do controlador projetado
em função de sua configuração inercial.
Assim sendo, apresentaremos a seguir os métodos utilizados na determinação dos
valores utilizados no controlador PID.
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Modelagem Matemática e Controle de Sistemas Dinâmicos não Lineares - Outubro de 1999
1.1 - Projeto de um Controlador de posição PID
As equações dinâmicas de um robô manipulador com n graus de liberdade podem ser
obtidas através do lagrangeano:
d
dt
L
q
L
qT
∂
∂
∂
∂⋅
− = , L= K-V (1)
onde:
K é a energia cinética
V é a energia potencial
T é a força generalizada
q é a coordenada generalizada
As equações de movimento, para um robô com n graus de liberdade, são da forma:
r T q Bq J T ++=⋅⋅⋅
(2)onde:
J é o momento de inércia
B é o atrito viscoso do motor
T r é o torque resistente
O presente trabalho tem como objetivo a modelagem de sistemas mecânicos comum naárea de robótica, onde, através de simulações, via SIMULINK™, poderemos analisar o
comportamento do sistema em questão.
O procedimento para cálculo dos ganhos do regulador PID, será realizado em cada
junta, para diferentes configurações inerciais, considerando-se o efeito da inércia
equivalente no eixo de rotação do motor (cálculo do raio de giração e massa equivalente).
As constantes acima serão descritas como se segue:
J= Jm + mk 2
B= Cm
Tr= mgk senθ
Onde k é o raio de giração
Para o cálculo dos ganhos do regulador PID, o sistema será linearizado para as
diferentes configurações inerciais que para pequenos ângulos, temos:
senθ≈θ
Aplicando a transformada de Laplace:
τ(s) = Js2 + cs + Ct (3)
A função de transferência será:
( )
t C cs Js
sT
++
=2
1(4)
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Através do critério de estabilidade de Routh-Hurwitz, podemos verificar a estabilidade
do sistema e aplicando o método de Ziegler-Nichols vamos encontrar os valores utilizados
no controlador PID. Estas simulações nos darão as bases necessárias para que possamos
comparar os resultados obtidos com o do controlador proposto.
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1.2 - Análise de Estabilidade do Sistema
Para a determinação dos ganhos do regulador PID, inicialmente será realizado um teste
de estabilidade das raízes (através da verificação do lugar das raízes) . O teste de Routh-
Hurwitz é um método numérico para determinar a posição das raízes em relação ao plano
real imaginário (número de raízes com parte real no semi-plano direito (SPD) e raizesimaginárias de um polinômio). As características polinomiais, o qual é o denominador do
T(s) é expresso como se segue:
01
1
1 ...)( asasasas p n
n
n
n++++= −
− (5)
Uma tabela de números ai é montada como se segue:
sn an an-2 an-4
sn-1
an-1 an-3 an-5
sn-2
b1 b2 b3
sn-3 c1 c2 c3
sn-4 d1 d2 d3
.
.
.
s0
A primeira linha começa com as constantes an de mais alta ordem e as outras
constantes são colocadas como vemos acima. A segunda linha começa com a segunda
constante (an-1) de mais alta ordem e então as constantes seguintes. As duas primeiras
linhas são formadas dos coeficientes de p(s). As linhas subsequentes são formadas como se
segue:
1
321
1 1
31
2
−
−−−− −
==−
−−
−
n
nnnn
a
aa
aa
a
aaaab
n
nn
nn
1
541
11
51
4
−
−−−− −
==−
−−
−
n
nnnn
a
aa
aa
a
aaaab
n
nn
nn
A quarta linha é formada como se segue:
1
1221
1 1
21
31
b
abab
c
nn
b
bb
aa nn
−−− −
==
−−
1
1351
2 1
31
51
b
ababc nn
b
bb
aa nn
−−− −
==−−
As demais linhas são conseguidas da mesma forma.
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1.3 - Determinação dos ganhos de um regulador PID
Após verificar a estabilidade do sistema, vamos calcular os ganhos do regulador PID.
Neste trabalho os ganhos do regulador PID para diferentes configurações inerciais serão
calculados e validados a partir de simulação computacional, utilizando métodos baseados
na otimização do comportamento da resposta do sistema, tradicionalmente utilizados emaplicações industriais.
1.3.1 – Método de Ziegler-Nichols
A figura 1 mostra o diagrama de blocos de um sistema do qual se deseja calcular os
ganhos do regulador PID, onde Gc(s) é equação do regulador PID e Gp(s) é a equação do
sistema.
Fig. 1 Esquema de um sistema para o cálculo do PID
A equação do regulador é dado por:
( ) sK s
K K sG
d
i
pc++= (6)
onde:
K p é o ganho proporcional
K i é o ganho integral
K d é o ganho derivativo
O método de Ziegler-Nichols para o cálculo dos ganhos do compensador, consiste em
dois passos:
1. Um compensador proporcional é aplicado:
pc K sG =)(
O Ganho é ajustado até o sistema tornar-se marginalmente estável. Este valor de ganho
é denominado K po, e o período de oscilação T o.2. O compensador é definido por:
( )
++= sT
sT K sG d pc
1
11 (7)
Onde teremos:
i
p
iT
K K =
d pd T K K =Os valores para o cálculo dos ganhos do compensador é dado pela tabela 1
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Tabela 1: Ganhos do compensador PID
Tipo de compensador Kp Ti Td
P K p=0,5K po ∞ 0
PI K p=0,45K po T i=0,83T o 0
PID K p=0,6K po T i=0,5T o T d =0,125T o
Como neste trabalho de pesquisa, o modelo matemático é perfeitamente conhecido, a
metodologia de cálculo dos parâmetros do regulador será realizada utilizando a mesma
metodologia apresentada anteriormente, mas com o ajuste do ganho Kp realizado através
do critério de Routh-Hurwitz (a linha do polinômio s2 é forçada a zero, consequentemente
o sistema é marginalmente estável).
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1.3.2 – Método de Chien-Hrones-Reswick (CHR)
Este método consiste em simular o sistema em malha aberta e obter uma curva resposta
como mostra a figura 2.
Fig. 2 Esquema para obtenção da curva resposta
Se a curva resposta é obtida como vimos acima, os ganhos do PID são obtidos como se
segue:
1. Com o auxilio da curva resposta obteremos os valores de T e L
Fig. 3 Curva resposta para o método CHR
2. Os valores para a escolha do compensador são dadas pela razão:
L
T R =
Uma tabela para os diferentes tipos de compensador e para os ganhos do compensador
são dados na tabela 2 (onde K p=G p(0)).
Tabela 2 Valores para o tipo e os ganhos do controlador
Tipo de compensador R
P R>10
PI 7,5<R<10
PID 3<R<7,5
Kp Ti Td
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P
g
pK
RK 3,0= ∞ 0
PI
g
pK
RK 35,0=
T i=1,2T g 0
PID
g
pK
RK 6,0= T i=T g T d =0,5T u
Este método deverá ser aplicado para cálculo dos ganhos do regulador na bancadaexperimental desenvolvida, tendo em vista a incerteza no cálculo dos parâmetros reais para
a obtenção do modelo matemático exato do sistema em estudo. Uma verificação e
comparação deste método em relação ao método de Ziegler Nichols também deverá ser
realizado.
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1.3.2 – Resultados do cálculo do PID
Apresentaremos a seguir as configurações do robô, as constantes do PID obtida e seus
respectivos resultados.
A massa do sistema será considerada em seus centros de massa dos braços do robô para
podermos obter a curva característica e calcular o valor das constantes utilizadas no PID (ocálculo para o momento de inércia do sistema será apresentado no anexo IV).
Os valores utilizados nesta simulação, configuração conforme figura 4, foi:
m = 0,2 Kg;l = 0,2 m;
g = 9,8 m/s2.
Fig. 4 Configuração do sistema
Os valores do PID foram respectivamente 1,2, 0,6 e 0,3. Os resultados obtidos comessas simulações são:
Gráfico 1 Curva para o PID com valores 1,2; 0,6 e 0,3
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Considerando mais um braço (ver fig. 5) do robô, devemos ter:
l = l1 = l2 = 0,2m;
m = m1 = m2 = 0,2 Kg;
Fig. 5 Configuração do robô com 2 braços
Para essa configuração os valores do PID são 4,8; 0.125 e 0.03,repectivamente, onde o
gráfico obtido é:
Gráfico 1 Curva para o PID com valores 1,2; 0,6 e 0,3
- Para o segundo braço totalmente esticado, figura 6:
Fig. 6 Segundo braço totalmente esticado
Os valores do PID são 6,6; 0,1 e 0,025 e o gráfico obtido é apresentado abaixo.
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Gráfico 1 Curva para o PID com valores 6,6; 0,1 e 0,025