Controle da Atitude de Satélites Artificiais

André Chavenco de Souza1, Luiz de Siqueira Martins Filho1

1Centro de Engenharia, Modelagem e Ciências Sociais Aplicadas, Universidade Federal do ABC, Santo André, São Paulo, Brasil

O controle da atitude de satélites é um problema clássico da área de sistemas de controle que é amplamente estudado,

devido à crescente importância econômica e tecnológica proveniente da construção, desenvolvimento e utilização de satélites. Buscam-se abordagens eficientes, em termos de velocidade de processamento computacional, que possam solucionar esse problema.

O trabalho visa estudar a modelagem cinemática e dinâmica do movimento de um satélite artificial em torno de seu centro de gravidade, através de abordagens da mecânica clássica para o movimento de um corpo rígido. As parametrizações de atitude, que descrevem a orientação do satélite artificial em relação à um referencial, também foram objeto de estudo. As representações abordadas foram Ângulos de Euler e Quaternions, que são muito utilizadas pela comunidade aeronáutica.

Foi estudada a teoria de controle (linear e não linear) que compreende o sistema dinâmico. Devido à facilidade de implementação, o modelo foi submetido a um controlador Propocional-Derivativo (PD) para que fosse possível fazer um controle que comande o sistema para um estado desejado. Para uma simulação mais realista, foi incluído o modelo dos jatos dinâmicos de gás. Na execução desse trabalho foi utilizado o modulador PWPF (Pulse Width-Pulse Frequency).

Palavras-chave: Satélites Artificiais, Controle de Atitude, Sistemas Dinâmicos Não-Lineares.

I. INTRODUÇÃO

Atualmente, as atividades espaciais fazem parte do nosso cotidiano. Atitudes rotineiras, como ver televisão ou viajar de avião foram facilitadas graças ao desenvolvimento da indústria aeroespacial. Nesse contexto, os satélites artificiais possuem importância significativa, devido as suas diversas funcionalidades.

Um satélite artificial é um engenho colocado na órbita de qualquer corpo celeste. Através de câmeras e sensores, os satélites podem coletar dados e transmiti-los para a Terra onde, posteriormente, serão tratados e analisados. Eles geram conhecimento e prestam serviços em setores estratégicos, como localização e posicionamento, telecomunicações, meteorologia e observação da Terra entre outros [1].

Posto em órbita, para executar suas funções corretamente, o controle da atitude (orientação de um corpo em relação a um referencial inercial) do satélite se faz necessário. O processo de obtenção de dados relativos à atitude de espaçonaves envolve sensores, que captam os dados, nelas instalados e sofisticados procedimentos de tratamento.

O controle da atitude de satélites é um problema clássico da área de sistemas de controle que é amplamente estudado. Buscam-se abordagens eficientes, em termos de velocidade de processamento computacional, que possam solucionar esse problema.

Os dados utilizados são referentes ao satélite PMM (Plataforma Multi-Missão) que vem sendo desenvolvido pelo Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) no âmbito do Programa Espacial Brasileiro da Agência Espacial Brasileira (AEB).

II. REPRESENTAÇÃO DA ATITUDE

Há várias formas de se representar a atitude de um corpo rígido. Neste trabalho, serão abordadas duas representações: Ângulos de Euler e Quaternions.

A. Ângulos de Euler

Nesta formulação, a orientação de um referencial não-inercial em relação a um inercial é descrita através de

rotações consecutivas entorno dos três eixos do referencial do corpo [3].

A seqüência de rotação mais utilizada pela comunidade aeronáutica é a 3 – 2 – 1 [2]. Assim, a matriz de rotação, para essa seqüência, é dada pela eq. (1), onde a letra maiúscula representa a função trigonométrica e o subcrito representa o ângulo (Cθ = cos θ; SΦ = sen Φ).

��� � � Cθ � Cθ ��S� Sθ Cψ � C� S� Sθ Sψ � C� � S� ��C� Sθ Cψ � S� C� Sθ Sψ � S� � C� ��� (1)

B. Representação Quaterniana

Esta representação utiliza o Eixo de Euler, contido na formulação Euleriana de representação de atitude.

1) Formulação de Euler-Rodrigues Também conhecida como formulação quaterniana, envolve apenas uma troca de variáveis, que é uma forma mais conveniente de representar os quatro parâmetros [2]. Um quaternion e é definido como:

� � ���������� � ���

� cos Θ/2 �� sin Θ/2�� sin Θ/2�� sin Θ/2!""# (2)

Utilizando entidades trigonométricas, observa-se que um quarternion tem módulo unitário. A matriz de rotação �� é dada por: �� � ���$ � ��$ � ��$ � ��$ 2%���� � ����& 2%���� � ����&2%���� � ����& ��$ � ��$ � ��$ � ��$ 2%���� � ����&2%���� � ����& 2%���� � ����& ��$ � ��$ � ��$ � ��$

� (3)

C. Relações entre as representações

Para transformar a um quaternion em ângulo de Euler, temos a seguinte relação:

'()*+ � ,atan 2/20���� � ����1, %��$ � ��$ � ��$ � ��$&3 asin /20���� � ����13atan 2/20���� � ����1, %��$ � ��$ � ��$ � ��$&4 (4)

III. MODELAGEM MATEMÁTICA: CINEMÁTICA E

DINÂMICA

A seguir, serão apresentadas as equações que modelam o comportamento de um corpo rígido.

A. Equações da Cinemática

As equações da cinemática relacionam as velocidades angulares inerciais e não-inerciais também e permitem atualizar a atitude de um corpo rígido no tempo. As soluções obtidas são os ângulos que representam a atitude do corpo e as suas derivadas temporais.

Para a representação através dos ângulos de Euler, a equação da cinemática é dada por:

�(5)5*5 � � 1789) 'cos ) sin ( sin ) cos ( sin )0 cos ( cos ) � sin ( cos )0 sin ( cos ( + ';�;�;� + %5&

, onde (5 , )5 e *5 representam a taxa de variação temporal dos ângulos de Euler e ;�, ;� e ;� são componentes do vetor ;==> que representa a velocidade angular no sistema de referência fixado no corpo. Observa-se a existência de uma singularidade para θ = π/2. Já para a representação quaterniana, a equação da cinemática é dada por:

�5 � ,��5��5��5��5 4 � ?$ ,��� ��� ����� ��� ������� ���� �����4 ';�;�;� + (6)

, onde �5 é a taxa de variação temporal do quartenion. Ao se comparar as equações 5 e 6, observa-se que, apesar de ter uma linha a mais, a equação 6 é numericamente mais fácil de integrar que a 5, devido a presença de funções trigonométricas nesta última. A ausência de singularidades também é um atrativo para a utilização da parametrização através de quaternions.

B. Equações da Dinâmica

A dinâmica de um satélite artificial é modelada através das equações de momento de Euler. Ela relaciona a reação de um torque com a taxa temporal da quantidade de momento angular sobre um ponto qualquer do corpo rígido em questão.

Caso a taxa de momento angular esteja sobre o centro de massa, a equação da dinâmica se torna:

@A� � B�;5 � � ;�;�%B� � B�&A� � B�;5 � � ;�;�%B� � B�&A� � B�;5 � � ;�;�%B� � B�&C (7)

, onde I é o tensor de inércia nos eixos principais, M são os momentos aplicados e ω são as velocidades angulares.

Essas três equações descrevem a movimentação de atitude de qualquer corpo rígido. São equações não-lineares de primeira ordem e não há solução geral para elas, pois o torque não é especificado. Algumas soluções fechadas podem ser encontradas em casos específicos [3].

IV. RESULTADOS E SIMULAÇÕES

Foi feito um diagrama de blocos desenvolvido no ambiente MATLAB/SIMULINK e utilizado na simulação das equações de movimento. Constam nesse diagrama os blocos das equações de movimento (6DoF) modulação do sinal (PWPF – ver Anexo 1) e ao controle PD (Proporcional e Derivativo). No problema em questão, só serão utilizadas a entrada de momento angular e as saídas de velocidade angular e ângulo. As condições iniciais adotadas foram: ) � ( � * � 1 DEF e )5 � (5 � *5 � 1 DEF/9. As referências escolhidas foram entradas nulas. O método de integração usado foi o Runge-Kutta de 4ª Ordem com passo 0.02. A matriz de inércia do PMM é:

G � '305.89126 0 00 314.06488 00 0 167.33919+

Inicialmente, a simulação foi feita sem o modulador PWPF e com os seguintes ganhos proporcionais e derivativos (Tabela I). Esses valores de ganhos deram origem a um sistema superamortecido. Foram comparadas as representações de atitude que são objeto de estudo. Os resultados estão no Gráfico 1.

Tabela I - Ganhos de controle

Proporcionais Derivativos kp1 3500 kd1 2000 kp2 5000 kd2 2000 kp3 5000 kd3 6000

Gráfico 1 - Variações de Φ (esq.), θ e Ψ (dir.)

A seguir, o modulador PWPF foi inserido no sistema e foi simulada a condição de superamortecimento com e sem o modulador (Gráfico 2).

Os parâmetros do modulador estão na Tabela II e foram estabelecidos de acordo com [5]. Os ganhos de

controle estão na Tabela 1. T1, T2 e T3 são ganhos multiplicativos de saída do filtro.

Tabela II - Parâmetros do modulador km1=6 tm1=0.02 kpm1=20 T1=2750 UON=0.4 km2=6 tm2=0.02 kpm2=20 T2=2500 UOFF=0.15 km3=6 tm3=0.02 kpm3=20 T3=1100 -

Gráfico 2 - Variações dos ângulos Φ (esq.), θ e Ψ (dir.) utilizando o modulador Analisando os resultados obtidos para o sistema

superamortecido com o modulador PWPF (Gráfico 2), infere-se que as respostas obtidas foram semelhantes às curvas obtidas sem a utilização do modulador, ou seja, o

modulador não modificou significativamente a resposta do sistema. O Gráfico 3 representa os momentos de entrada em função do tempo de simulação.

Gráfico 3 - Momentos aplicados nas direções x (esq), y e z (dir) Observando os três últimos gráficos, conclui-se

que o objetivo principal do modulador PWPF, que é discretizar os momentos de entrada sem alterar de forma significativa a saída, foi atingido com sucesso. Durante a realização deste projeto, os parâmetros do filtro e os ganhos de controle foram diversas vezes e notou-se que:

Os ganhos proporcionais influenciam diretamente no tempo em que o sinal leva para convergir para zero. Quanto maior o ganho, menor é o tempo de convergência. Já os ganhos derivativos influenciam diretamente no tipo de amortecimento do sistema. Ganhos mais altos levam a um sistema superamortecido, ao passo que ganhos menores levam a sistemas sub-amortecidos. O parâmetro tm está relacionado com a “filtragem” do sinal. Quanto menor o valor de tm, mais filtrado é o sinal, ou seja, com menos ondulações. O parâmetro UON interfere no momento de entrada. Seu valor define quando a entrada vai estar no nível “ligado” ou “desligado”.

V. CONCLUSÕES

A formulação quaterniana apresenta vantagens significativas em relação à formulação através dos ângulos de Euler. São elas a ausência de singularidades e redução do tempo computacional, em termos de processamento. Os resultados da simulação comprovam que ambas as formulações fornecem o mesmo resultado.

Apesar da forte não-linearidade do problema em questão, foi possível controlar a saída do sistema através da variação dos ganhos proporcionais e derivativos.

Foi inserido um modulador PWPF na entrada do sistema, com o objetivo de discretizar o momento de entrada. Os resultados comprovam que a resposta do sistema não é alterada relevantemente com a inserção

deste. Este resultado é importante, pois, de acordo com a referência [5], com a adoção desse modulador, pode-se economizar até 30% de combustível.

VI. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] - www.aeb.gov.br/ - acessado em 05/02/2009; [2] - Phillips,W. F., Hailey, C. E., and Gebert, G. A., “A Review of Attitude Representation Used for Aircraft Kinematics”, Journal of Aircraft, Aug. 2000. [3] – Kaplan, M. H., “Modern Spacecraft Dynamics & Control”, John Wiley and Sons, New York, USA, 428 p. [4] - Santana A.C., “Controle da Atitude em Satélites Artificiais” - Trabalho de Graduação, 2008; [5] – Krovel, T.D., “Optimal Tuning of PWPF Modulator for Attitude Control”, Master Thesis, Norwegian University of Science and Technology, Trondheim/Norwegian, 2005.

VII. ANEXO 1: MODULADOR PWPF (PULSE WIDTH-PULSE

FREQUENCY

Para implementar o controle de um satélite, é necessário converter os sinais contínuos para sinais discretos, que é a forma em que funcionam os atuadores de um satélite. Sua composição básica é um ganho inicial, um filtro e um Schmidt-trigger (Ver Figura 1).

Figura 1 - Modulador PWPF

Após passar pelo modulador, o sinal só admite dois valores: zero (atuador desligado) e um (atuador ligado).