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CONTROLADOR PID SINTONIZADO POR ALGORITMO GENÉTICO GUIADO POR

OTIMIZAÇÃO COLABORATIVA

CAIO E. SILVA, VALCERES V. R. E SILVA, LANE M. R. BACCARINI

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA, UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL REI

PRAÇA FREI ORLANDO 170, SÃO JOÃO DEL REI, 36307-352, MG, BRASIL

E-MAILS: [email protected], [email protected], [email protected]

Abstract The complexity of the most real engineering control systems motivates the development of optimization-based de-

sign frameworks and computer aided control system design methods to search for acceptable designs with low computational

load. In this work, proportional, integral and derivative controllers are tuned and optimized for the three operating conditions of a

nonlinear system, the CSTR, using three genetic algorithms in synergy with collaborative optimization. This approach searches

for the best combination of controllers parameters, establishing in the search algorithm specific performance criteria the reactor

must have at each operating condition. Collaborative optimization in synergy with genetic algorithm has shown itself an interest-

ing tool, not demanding a large number of individuals and taking a small time for convergence. Besides, it allowed that specific

performance were included in the designed cost function for each plant operating point, which does not occur when the same cost

function is used for all operating points.

Keywords CSTR, PID control, collaborative optimization, genetic algorithm.

Resumo A complexidade de grande parte de sistemas de controle em engenharia tem motivado o estudo de estruturas de proje-

to baseadas em otimização, e de métodos de projeto assistidos por computador para busca de bons controles com baixa carga

computacional. Neste trabalho, controladores de ações proporcional, integral e derivativa para os vários pontos de operação de

um sistema não linear, o CSTR, são projetados e otimizados, por três estruturas utilizando algoritmos genéticos guiados pela oti-

mização colaborativa. Esta aproximação visa encontrar a melhor combinação dos parâmetros dos controladores, introduzindo no

algoritmo de busca o desempenho específico que o reator deve apresentar em cada condição de operação. A otimização colabora-

tiva se mostrou uma ferramenta interessante em sinergia com o algoritmo genético, não sendo necessário um número elevado de

indivíduos e levando um tempo pequeno para convergência. Além disso, permitiu que desempenhos específicos fossem incluídos

na função de custo projetada para cada ponto de operação da planta, o que não acontece quando uma mesma função de custo é

utilizada para todos os pontos de operação.

Palavras-chave CSTR, controle PID, otimização colaborativa, algoritmo genético.

1 Introdução

A habilidade de selecionar a técnica mais apro-

priada para projetar um controlador para um proble-

ma particular, e aplicá-la de forma eficaz, pode ser

ainda um trabalho difícil mesmo para problemas

relativamente simples. Embora haja uma considerá-

vel quantidade de técnicas disponíveis para projetar

controladores para sistemas cada vez mais comple-

xos e exigentes, isto tem motivado o desenvolvimen-

to de estruturas de projeto baseadas em otimização

para procurar por soluções com menor carga compu-

tacional.

Algoritmos genéticos têm sido amplamente aplicados

na otimização de parâmetros de controladores. Têm o

potencial de procurar soluções em superfícies com-

plexas da função objetivo, incorporando o conheci-

mento do projetista tanto na formulação como na

solução de problemas (Goldberg, 1989). Aplicações

off-line destes algoritmos têm sido utilizadas com os

mais diversos propósitos (Jaen-Cuellar, 2013; Herre-

ros et al., 2002). Aplicações on-line têm sido tais

como um mecanismo de aprendizado para identificar

características de sistemas desconhecidos ou não

estacionários, ou para sintonia de controladores adap-

tativos de plantas conhecidas ou não (Coelho e Coe-

lho, 1999).

Problemas de otimização multidisciplinar (OMD)

complexos têm utilizado a otimização colaborativa

(OC) para guiar processos de otimização. A ideia

principal é criar sub-sistemas para seguirem com

otimizações locais. Em seguida, elementos de toma-

da de decisão são usados para assegurar a viabilidade

do procedimento. Aplicações desta metodologia em

sinergia com otimização multiobjetiva podem ser

encontradas em (Silva et al., 2007; Zhang et al.,

2009; Allison, 2004).

O sistema utilizado para definir a estratégia de con-

trole através da otimização do controlador em tempo

real é um reator químico Continuous Stirred Tank

Reactor (CSTR), que é um processo diabático, não

linear, com uma reação irreversível de primeira or-

dem e exotérmica. Apresenta um comportamento

dinâmico em malha aberta muito variável devido à

sensibilidade paramétrica, vários pontos de operação

e oscilações sustentadas (Russo, 1996).

Neste trabalho, controladores de ações proporcional,

integral e derivativa (PID) sem e em otimização

colaborativa foram propostos, e o algoritmo genético

foi utilizado para encontrar e otimizar seus parâme-

tros. Esta aproximação visa encontrar a melhor com-

binação de parâmetros do controlador, considerando

no algoritmo de busca o desempenho específico que

o reator deve apresentar em cada condição de opera-

ção.

Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

2962

Processo CSTR

Controlador

0

x2f

0

m

x2

Saidas x2

x1

Saidas x1

Referencia

K X2f

m

Resposta x1

Resposta x2

2 O Processo CSTR

O reator CSTR constitui um processo diabático,

não linear, com uma reação irreversível de primeira

ordem exotérmica. Apresenta comportamento dinâ-

mico em malha aberta muito variável devido à sensi-

bilidade paramétrica. Possui vários pontos de opera-

ção e oscilações sustentadas. As equações que mode-

lam seu comportamento (Equações 1-3) são geradas

pelas relações do equilíbrio de massa e energia (Rus-

so Jr., 1996):

11211 xxqxkxx

d

df

(1)

fqxmxqxkxxd

d22212

(2)

2

22

1

expx

xxk (3)

sendo x1 a concentração, x2 a temperatura (variável

controlada), e m a temperatura do invólucro de res-

friamento (variável manipulada), todas apresentadas

na literatura na forma adimensional. K(x2) é uma

função adimensional e os valores dos parâmetros são

apresentados na Tabela 1.

Tabela 1. Valores dos parâmetros para o processo.

Para os parâmetros dados na Tabela 1, o processo

exibe três pontos de operação (Tabela 2) sendo que o

segundo é instável. A Tabela 2 traz os valores das

variáveis x1 e x2 em regime estacionário.

Tabela 2. Pontos de operação do CSTR.

1 2 3

x1s 0,8560 0,5528 0,2354

x2s 0,8859 2,7517 4,7050

m 0 0 0

Um modelo em malha aberta para este sistema foi

criado na plataforma SIMULINK do MatLab®, base-

ado na dinâmica e nas equações que modelam este

sistema. A temperatura foi realimentada neste mode-

lo e foi inserido um bloco controlador (Figura 1).

Figura 1. Modelo do CSTR em malha fechada com controlador.

Um controlador para este sistema tem como especifi-

cações de desempenho (Russo Jr., 1996):

manter o erro estacionário (erp) menor que 1%,

sobressinal (Mp) não deve ultrapassar 15%,

menor tempo de subida (tr) possível,

menor tempo de acomodação (ts) possível.

Figura 2. Detalhes do controlador PID implementado.

Onde u(t) é o sinal de controle e e(t) é o sinal de erro.

O sinal de controle u(t) é a soma dos termos: propor-

cional ao erro, proporcional a integral do erro e pro-

porcional a derivada do erro. Os parâmetros do con-

trolador são: o ganho proporcional Kp, o ganho inte-

gral Ki e o ganho derivativo Kd.

Na Figura 2, são apresentados os detalhes do contro-

lador PID implementado neste estudo; controlador

PID contínuo, paralelo, com filtro no termo derivati-

vo, e N = 1500.

3 Algoritmo Genético

O algoritmo genético (AG) é um algoritmo de

busca paralela que tende a ser conveniente como uma

metodologia de pesquisa e otimização em espaços de

soluções irregulares, multidimensionais, complexos e

multimodais. Normalmente trabalha com uma popu-

lação de pontos ou soluções e leva esta população a

uma melhoria no seu desempenho, encorajando a

reprodução e repartindo os bons atributos entre os

vários membros da população. Soluções em uma

iteração ou geração sofrem um número de transfor-

mações de forma a obter soluções melhores na pró-

xima geração.

O AG começa pela criação de uma população de

possíveis soluções que é composta de um conjunto

de indivíduos de tamanho pré-determinado, como

apresentado na Tabela 3. Os indivíduos desta popu-

lação, possíveis soluções do problema, são codifica-

dos e então chamados de genótipos ou cromossomos.

A representação mais comumente utilizada desta

cadeia cromossômica é a representação binária. Po-

rém são usuais outras representações como, por

exemplo, representação inteira, real, etc. Independen-

te da representação cromossômica utilizada no AG, o

procedimento básico para otimização é o mesmo em

cada iteração, e este procedimento é apresentado na

forma de um fluxograma na Figura 3. Os indivíduos

são escolhidos com base na habilidade de adaptação

dos progenitores e seus descendentes, os quais cons-

tituirão a nova geração de indivíduos da população

(Goldberg, 1989). Seja esta uma representação biná-

ria ou real, ambas utilizarão as mesmas operações

q fx1 fx2

8,0 0,072 0,3 20,0 1,0 1,0 1,0


2963

entre os indivíduos para reprodução: seleção, recom-

binação e mutação.

Seleção: Os melhores indivíduos da po-

pulação, que são definidos por meio de

avaliação de aptidão, são selecionados

para gerar descendentes por meio de re-

combinação e mutação;

Recombinação/Reprodução: Novos in-

divíduos são criados pela combinação

de características genéticas de indiví-

duos progenitores;

Mutação: Um novo indivíduo é criado

fazendo modificações a um indivíduo

selecionado. As modificações podem

consistir na mudança de um ou mais va-

lores na representação, adicionan-

do/deletando partes da representação

(Renner e Ekárt, 2003).

Avaliação: Nesta etapa, todos os indiví-

duos da população são avaliados para

determinar quão adaptados estes indiví-

duos estão. Para esta avaliação, nor-

malmente são utilizadas funções basea-

das em penalidade.

Figura 3. Fluxograma do AG. Fonte: Adaptado de (Kunjur e

Krishnamurty, 1997).

Na Tabela 3, pode se observar a faixa de valores que

os indivíduos do AG, ou seja, os ganhos do controla-

dor PID, podem assumir. Estas faixas foram inicial-

mente estabelecidas aleatoriamente e os valores ini-

ciais foram modificados ao longo do desenvolvimen-

to do trabalho.

Tabela 3. Faixa de valores das variáveis do controlador.

Limite

Inferior 0,15 0 0

Limite

Superior 225 180 60

A Tabela 4 apresenta os parâmetros do AG imple-

mentado, onde parte destes foram definidos a princí-

pio, como o método de seleção e a codificação, e os

demais foram sendo ajustados ao longo das simula-

ções realizadas.

Tabela 4. Parâmetros do AG.

Método de seleção AUE (Amostragem

Universal Estocástica)

Codificação Binária

Precisão da

representação binária 32 bits

Probabilidade de

cruzamento 50%

Probabilidade de

mutação 1%

Método de

recombinação

Ponto de cruzamento

único

Tamanho da população 15 indivíduos

Número de variáveis 3

Número de gerações 10

Intervalo de geração 0,9

4 Otimização Colaborativa

A otimização colaborativa (OC) é uma proposta

de arquitetura de projeto desenvolvida para aplicação

em sistemas multidisciplinares complexos, e com

aplicações na análise distribuída em sistemas de

grande escala. Propõe uma decomposição para pro-

blemas de otimização que requerem múltiplas análi-

ses para avaliar a solução. Formulações em um nível

simples dependem de tomadas de decisão centraliza-

das a nível do sistema global. Se o número de variá-

veis de decisão é elevado, isto pode provocar um

esforço elevado para este agente de tomada de deci-

são (Safavi, 2013).

Aplicações desta metodologia em sinergia com

otimização podem ser encontradas em projetos na

construção civil (Flager, 2009), na otimização de

sistemas de sensoriamento remoto (Jafarsalehi et al.,

2012), e na otimização paramétrica de controladores

(Silva et al., 2007).

A ideia por trás da otimização colaborativa é criar

subsistemas para seguirem com otimizações locais.

Elementos de tomada de decisão podem ser usados

para assegurar a viabilidade do procedimento. Permi-

te paralelização, melhora custos computacionais e

complexidade organizacional.

5 Estruturas de projeto do controlador PID

O algoritmo genético foi utilizado na otimização

dos parâmetros Kp, Ki e Kd do controlador PID. A

simulação do modelo não linear do CSTR em

SIMULINK na plataforma MatLab® foi utilizada

como função objetivo (Figura 1).

O cromossomo para o controlador PID é dividido em

três seções cada uma correspondendo a um parâme-

tro deste controlador (Figura 4).


2964

Figura 4. Estrutura do cromossomo PID.

A otimização segue usando na função de custo uma

função de agregação simples com penalidade para as

restrições.

Uma estrutura de nível simples e duas estruturas em

otimização colaborativa (OC1 e OC2) foram utiliza-

das pelo AG na busca pelos melhores parâmetros

PID para a planta nas seguintes condições:

PID nos três pontos de operação sem otimização

colaborativa,

PID nos três pontos de operação em otimização

colaborativa e,

PI no primeiro e terceiro pontos de operação e

PD no segundo, todos em otimização colaborati-

va.

O projeto deve satisfazer o objetivo e restrições,

sendo:

Objetivo: minimizar o erro em regime permanente.

Restrições: minimizar sobressinal, minimizar tempo

de acomodação e minimizar tempo de subida.

As duas estruturas OC´s são decompostas em duas

formas diferentes:

Em OC1, na otimização do segundo ponto de

operação, o processo de otimização é guiado por

uma função de custo cujo objetivo é a minimiza-

ção do sobressinal máximo, adicionado a uma

penalidade mais rigorosa pela violação das espe-

cificações de tempo de subida, tempo de acomo-

dação e erro estacionário nesta ordem, como se-

gue:

Minimizar: sobressinal máximo + penalidade pela

violação das restrições.

Penalidade para tempo de subida

Se acima do valor máximo:

penalidade = 800*(exp (valor atual) +

punição)

Ou: penalidade = 0

Penalidade para tempo de acomodação


penalidade = 25*(exp (valor atual) + pu-

nição)

Ou: penalidade = 0

Penalidade para erro em regime permanente


penalidade = exp (valor atual) + punição

Ou: penalidade = 0

Em OC2, na otimização do primeiro e terceiro

pontos de operação, o processo de otimização é

guiado por uma função de custo cujo objetivo é a

minimização do erro em regime estacionário,

adicionado a uma penalidade mais rigorosa pela

violação das especificações de sobressinal má-

ximo, tempo de acomodação e tempo de subida

nesta ordem, como segue:

Minimizar: erro em regime permanente + penalidade

pela violação das restrições.

Penalidade para sobressinal máximo


penalidade = 800*(exp (valor atual) +

punição)

Ou: penalidade = 0

Penalidade para tempo de acomodação


penalidade = 25*(exp (valor atual) + pu-

nição)

Ou: penalidade = 0

Penalidade para tempo de subida


penalidade = exp (valor atual) + punição

Ou: penalidade = 0

Por fim, para a estrutura de nível simples, foi

utilizada a mesma função de custo de OC2.

As soluções são determinadas a partir da avaliação

das especificações para as entradas em degrau de

zero ao primeiro ponto de operação, e entre os pontos

de operação na ordem crescente. Para obter os me-

lhores controladores, os indivíduos são introduzidos

no bloco do controlador do modelo CSTR. O indiví-

duo que apresentou o melhor desempenho foi seleci-

onado para o ponto de operação em questão. Este

processo foi repetido de forma sequencial e automá-

tica do 1° ao 3° ponto de operação. Bons resultados

foram obtidos e todas as especificações do processo

foram atendidas para todos os níveis de otimização.

6 Resultados

As respostas da temperatura, variável controlada,

para os degraus entre zero e primeiro ponto de opera-

ção e entre os demais pontos de operação de forma

crescente são mostradas em um mesmo gráfico na

Figura 5.

Figura 5. Resposta da temperatura nos três pontos de opera-

ção.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

1

2

3

4

5

Tempo(s)

Te

mp

era

tura

PI - PD - PI com OC

PID sem OC

PID com OC

referência

Kp Ki Kd


2965

As Figuras 6(a, b, c) mostram as convergências dos

AG’s para as estruturas escolhidas em cada um dos

pontos de operação simulados: (a) convergência para

um degrau entre zero e o primeiro ponto de operação;

(b) convergência para um degrau entre o primeiro e o

segundo pontos de operação, e (c) convergência para

um degrau entre o segundo e o terceiro pontos de

operação. A penalidade é determinada pelos pesos

associados aos objetivos e restrições utilizadas em

cada uma das funções de custo.

(a)

(b)

(c)

Figura 6. Convergência dos três algoritmos genéticos para os três

pontos de operação.

A Tabela 5(a-b) mostra os valores obtidos para as

especificações de desempenho do controlador para

cada uma das estratégias de controle nos três pontos

de operação. Nota-se que a otimização colaborativa

ajudou no processo de busca, melhorando o desem-

penho da variável controlada em todos os cenários e

para todos os pontos de operação.

Tabela 4. Desempenho da variável controlada (a) e (b)

Pontos

operação

Sobressinal

(%)

Erro estacio-

nário (%) Controlador

1°

0 1,4287 PID

(sem OC)

0 0,2298 PI-PD-PI (com

OC2)

0 1,5533 PID

(com OC2)

2°

0 1,6268 PID

(sem OC)

0 2,4924 PI-PD-PI (com

OC1)

0 1,897 PID

(com OC1)

3°

0,53685 0,53685 PID

(sem OC)

3,0869 3,0528 PI-PD-PI (com

OC2)

0 1,0605 PID

(com OC2)

(a)

Pontos

operação

Tempo de

acomodação

(s)

Tempo de

subida (s) Controlador

1°

6,0378e-5 2,4553e-5 PID

(sem OC)

1722,5e-5 881,33e-5 PI-PD-PI (com

OC2)

4,2637e-5 2,2078e-5 PID

(com OC2)

2°

5,6357e-5 3,0206e-5 PID

(sem OC)

15,005e-5 6,5785e-5 PI-PD-PI (com

OC1)

4519e-5 18,883e-5 PID

(com OC1)

3°

3234,9e-5 1609,6e-5 PID

(sem OC)

4801e-5 3800e-5 PI-PD-PI (com

OC2)

9,7480e-5 5,9226e-5 PID

(com OC2)

(b)

No 1° ponto de operação, onde o objetivo era mini-

mizar o erro em regime permanente, a estratégia PID

com OC2 obteve o melhor resultado. Para a mesma,

foi obtido um erro em regime permanente pouco

superior às outras estratégias, mas esta obteve uma

resposta com tempos de subida e de acomodação

muito inferiores às outras estratégias.


mizar o sobressinal, a estratégia de controle PID sem

OC foi melhor. Além de manter a resposta sem so-

bressinal, obteve também os menores tempos de

subida, de acomodação e erro em regime permanen-

te.


mizar o erro em regime permanente, a estratégia PID

com OC2 obteve o melhor resultado. Para a mesma,

foi obtido um erro em regime permanente pouco

superior à estratégia PID sem OC, porém, esta obteve

uma resposta sem sobressinal e valores de tempo de

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.024

1.0245

1.025

1.0255

1.026

1.0265x 10

4

Geração

Penalid

ade

Min = 10243.9317

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.017

1.0171

1.0171

1.0172

1.0172

1.0173

1.0173

1.0174

1.0174

1.0175x 10

4

Geração

Penalid

ade

Min = 10170.3755

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.005

1.0055

1.006

1.0065

1.007

1.0075

1.008

1.0085

1.009

1.0095

1.01x 10

4

Geração

Penalid

ade

Min = 10052.2709


2966

subida e de acomodação muito inferiores às outras

estratégias.

7 Conclusão

A otimização colaborativa se mostrou uma fer-

ramenta interessante em sinergia com o algoritmo

genético. No caso deste trabalho, guiou o processo de

busca pela otimização paramétrica de controladores

PID para uma planta CSTR.

Esta técnica permite que desempenhos específicos

sejam incluídos na função de custo projetada para

cada ponto de operação da planta, ao contrário de

usar uma mesma função de custo para todos estes

pontos. Neste caso, é de interesse reduzir o erro em

regime permanente nos 1° e 3° pontos de operação e

o sobressinal no 2°. Estas especificações foram al-

cançadas de forma mais satisfatória com a utilização

da otimização colaborativa.

A escolha de estratégias de controle envolvendo

controladores proporcionais, integrais e derivativos

foi feita devido à facilidade de implementação des-

tes.

O algoritmo genético tem se mostrado uma ferramen-

ta poderosa na determinação e otimização de parâme-

tros de controladores devido à facilidade de imple-

mentação do mesmo. O número de indivíduos neces-

sários não foi elevado e o tempo de convergência dos

parâmetros dos controladores foi pequeno.

Agradecimentos

Os autores agradecem à Fundação de Amparo à Pes-

quisa no Estado de Minas Gerais (FAPEMIG) e à

Universidade Federal de São João del-Rei (UFSJ)

pelo suporte financeiro dado a esta pesquisa.

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