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Experiências em Ensino de Ciências – V3(1), pp. 23-45, 2008

ATIVIDADES MATEMÁTICAS ALTERNATIVAS PARA O ENSINO DE FUNÇÕES: ANÁLISE DE UMA APLICAÇÃO JUNTO A ALUNOS DO ENSINO MÉDIO

(Alternative mathematical activities to the teaching of functions: an analysis of an application at high school level)

Renata Cristina Geromel Meneghetti [[email protected]]1

Julyette Priscila Redling [[email protected]]2

USP - Universidade de São Paulo – São Carlos-SP – Brasil ICMC – Instituto de Ciências Matemáticas e Computação

Caixa Postal 68, CEP 13560-970, São Carlos, SP Apoio FAPESP

Resumo

Neste artigo focalizamos a aplicação de um conjunto de atividades matemáticas alternativas para o ensino de Funções. Tais atividades foram elaboradas levando-se em consideração duas abordagens metodológicas de ensino: (i) atividades investigativas e (ii) uma proposta pedagógica na qual propõe-se que o conhecimento matemático seja desenvolvido mediante um equilíbrio entre os aspectos lógico e intuitivo. Tivemos como propósito analisar o potencial didático-pedagógico deste tipo de abordagem metodológica no Ensino Médio. Seguindo uma abordagem de pesquisa qualitativa - estudo de caso - a aplicação do material se deu em uma escola pública do interior de São Paulo, numa 3ª série deste nível de ensino. Verificamos que tal abordagem mostrou-se como uma alternativa ao favorecimento de uma aprendizagem mais significativa para o ensino de funções, permitindo aos uma maior compreensão do conceito de função e suas aplicações. Percebemos também que tarefas alternativas tais como as que abordamos neste artigo, tornam-se ainda mais potentes, do ponto de vista didático-pedagógico, quando também levam em consideração a contextualização dos conteúdos envolvidos. Ainda destacamos que o professor teve um papel importante no processo de ensino e aprendizagem dos alunos, principalmente referente à passagem do intuitivo para o lógico. Palavras-chave: funções; atividades investigativas; proposta pedagógica; ensino médio.

Abstract

In this paper we address the application of some alternative mathematical activities to the teaching of functions. Such activities have been elaborated considering two methodological approaches to mathematics teaching and learning: (a) activities of mathematics investigation and (b) a pedagogical proposal which defends that the mathematical knowledge is developed by means of a balance between the logical and intuitive aspects. We intended to analyze the didactic pedagogical potential of these types of activities in high school. Following a qualitative research – a case study - the activities were used in a public Brazilian high school, in the State of São Paulo. We verified that such approaches showed as an alternative in the direction a more meaningful learning about functions, they enabled the students to get a better understanding of the function concept and its applications. We also perceived that alternative tasks such as the ones that we approached in this paper can become still more powerful from the didactic-pedagogical point of view when also they take in consideration the contextualization of the involved contents. We still stress that the teacher had a decisive paper in the teaching and learning process of the students, mainly in the passage from the intuitive to the logical aspects of knowledge. Key words: functions; investigative activities; pedagogical proposal; high school.

1 Docente do Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação da Universidade de São Paulo - ICMC-USP-São Carlos-SP. Doutora em Educação Matemática – UNESP-Rio Claro. 2 Foi bolsista de Iniciação Científica (FAPESP) por dois anos enquanto aluna de graduação do curso de Licenciatura em Ciências Exatas – IFSC, IQSC e ICMC-USP. Atualmente é professora do ensino básico e atua na rede pública do interior do Estado de São Paulo.

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Introdução

Nos últimos tempos, o Ensino Médio de Matemática, na maioria das vezes, tem sido marcado pela tendência que Fiorentini (1995) denomina de tecnicista, na qual a Matemática se reduz a um conjunto de técnicas, regras, algoritmos, sem grande preocupação em fundamentá-los ou justificá-los. Esse autor coloca ainda que tal tendência foi marcante no ensino brasileiro de Matemática principalmente no final da década de 60 até final da de 70. Entretanto, percebe-se que esse é um aspecto que ainda persiste nesse nível de ensino, embora historicamente outras tendências, como a construtivista e a sócioetnocultural, tenham surgido no ensino de matemática no Brasil.

Essa percepção é fruto do contato que a primeira autora deste artigo tem tido com o ensino e aprendizagem de matemática no Ensino Médio tanto por meio dos estágios supervisionados da disciplina de Prática de Ensino (a qual desde 1996, em geral, tem sido ministrado em cursos de licenciatura sob a responsabilidade do ICMC-USP), quanto por meio de plantões de dúvidas de matemática, oferecidos aos alunos do ensino básico pelo CDCC_ Centro de Divulgação Cultural e Científica da USP, atividade que nos últimos anos foi coordenada pela primeira autora.

No âmbito geral, os PCN(s)+3 destacam que, tradicionalmente, no Brasil, o Ensino Médio organizou-se em duas modalidades: (i) a pré-universitária e a (ii) profissionalizante. A primeira enfatizando uma divisão disciplinar do aprendizado e a segunda, o treinamento para afazeres prático. (Brasil, 1999b, p.8)

Levando isso em consideração, as novas diretrizes para o Ensino Médio passam a concebê-lo como parte integrante da Educação Básica e de direito de todo cidadão.4 O Ensino Médio como complementação da Educação Básica, em qualquer modalidade, tem por missão “[...] preparar para a vida, qualificar para a cidadania e capacitar para o aprendizado permanente, em eventual prosseguimento dos estudos ou diretamente no mundo de trabalho.” (Brasil, 1999b, p.8).

Referente à Matemática, os PCN(s) enfatizam que “O Ensino Médio precisa desenvolver o saber matemático científico e tecnológico como condição de cidadania e não como prerrogativa de especialistas.” (Brasil, 1999a, p.210).

Tais fatos exigem novas orientações teóricas e metodológicas para esse nível de ensino. Com intuito de colaborar com outras abordagens metodológicas e refletir sobre as mesmas, focalizamos neste artigo a aplicação de uma metodologia alternativa para o ensino e aprendizagem da Matemática do Ensino Médio, com objetivo de proporcionar ao aluno deste nível uma aprendizagem mais significativa5 dos conceitos matemáticos, em prol de ambos objetivos: (i) a formação do aluno enquanto cidadão e (ii) a preparação para o ensino universitário, buscando proporcionar ao aluno do Ensino Médio de Matemática, propostas didáticas que favoreçam a comunicação e argumentação, compreensão e investigação de problemas, construção de conceitos matemáticos, desenvolvimento de atitudes de aprendizagem e de convívio social. (Brasil, 1999a, p. 42)

A respeito da passagem do Ensino Médio para o Ensino Universitário, atualmente sabemos que, embora em proporções diferentes, dois instrumentos têm sido fundamentais para o acesso do

3 Orientações Educacionais Complementares dos Parâmetros Curriculares Nacionais. 4 L.D.B n. 9.394/96 in Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio, p.46-47. 5 Por aprendizagem significativa entendemos aquela que leva o aluno a melhor compreender os conceitos estudados, e nesse sentido concordamos com Ronca (1980) que esse tipo de aprendizagem deve estabelecer uma relação entre o que o aluno aprende e o que ele já sabe, isto é, a conexão dos conceitos aprendidos com outros a ele relacionados.

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aluno ao Ensino Superior: os “vestibulares” e o ENEM6 (Exame Nacional do Ensino Médio). Esse processo de admissão ao Ensino Superior cria no aluno uma expectativa muito grande com respeito ao Ensino Médio. Levando isso em consideração, pretendíamos trabalhar essa etapa de ensino seguindo uma abordagem diferente da tradicional, porém usando questões dos vestibulares e dos ENEMs como ponto de partida, visto que pelo menos uma parte dos alunos nessa fase estão ‘motivados’ para ingressar no Ensino Superior (poder cursar uma faculdade faz parte dos anseios profissionais de muitos desses alunos). Logo a estratégia metodológica foi de aproveitar esse fator favorável e tentar desenvolver um trabalho alternativo para o Ensino Médio, como segue.

Partindo de questões dos vestibulares (FUVEST7 E VUNESP8) e dos ENEMs elaboramos algumas atividades alternativas para o ensino de funções levando-se em consideração duas abordagens metodológicas, a saber: (i) atividades investigativas, nas quais é importante apresentar aos alunos um conjunto de propostas de trabalho interessantes, que envolvam conceitos matemáticos fundamentais e que os alunos tenham oportunidade para experimentar, discutir, formular, conjecturar, generalizar, provar, comunicar as suas idéias e tomar decisões (Serrazina L. et al., 2002, p.1); e (ii) a proposta de Meneghetti (2001) e Meneghetti & Bicudo (2003), na qual se procura desenvolver o conhecimento matemático mediante um equilíbrio entre os aspectos lógico e intuitivo, em níveis cada vez mais elaborados, num processo dinâmico, que se dá em forma de uma espiral.

Aspectos Metodológicos

Focalizamos no presente artigo a aplicação de três dessas atividades, visando investigar a viabilidade de tal proposta do ponto de vista didático-pedagógico no Ensino Médio de matemática, especificamente no nosso caso, o ensino de funções.

As atividades foram aplicadas por meio de mini-curso promovido pelo CDCC – Centro de Divulgação Cientifica e Cultural – USP - São Carlos, sob coordenação da primeira autora deste trabalho9, a uma classe de treze alunos do terceiro ano do Ensino Médio de uma escola pública de São Carlos, mediante acordo estabelecido com a professora de matemática desta turma.

A realização do mini-curso se deu vinculada aos estágios supervisionados da disciplina “Prática de Ensino de Matemática” e foi aplicado pela segunda autora, denominada aqui de professora-aplicadora (PA), sob orientação da primeira. Esta atividade também foi parte do desenvolvimento do projeto de Iniciação Científica, financiado pela FAPESP. Na aplicação tivemos ainda o acompanhamento de outra estagiária, a qual pertence ao mesmo grupo de pesquisa e desempenhou o papel de observadora participante11.

Buscando atender aos objetivos do projeto, a intervenção realizada insere-se numa abordagem qualitativa de pesquisa, seguindo os pressupostos de um estudo de caso, que segundo

6 Para admissão à universidade, por exemplo, no caso da FUVEST, a nota do vestibular tem peso 4 e a do ENEM peso 1. 7 A FUVEST (Fundação Universitária para o Vestibular) é responsável pela realização dos exames vestibulares de algumas escolas do Estado de São Paulo de nível superior, inclusive da Universidade de São Paulo-USP. 8 A VUNESP (Vestibular da Universidade Paulista) é responsável pela realização do vestibular da UNESP (Universidade Estadual Paulista) e outras universidades públicas e particulares, além de concursos públicos do Estado de São Paulo. 9 Na ocasião a primeira autora deste trabalho colaborava com o CDCC na coordenação de atividades de matemática para alunos do Ensino Fundamental e Médio oferecidas por este centro. 11 Segundo Lüdke & André (1986, p.30) o observador participante participa do real conhecimento da comunidade, grupo ou situação determinada, ou seja, ele assume até certo ponto, o papel de um membro do grupo, tendo sempre o cuidado de não tornar a pesquisa tendenciosa.

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Lüdke & André (1986, p.20) possui as seguintes características gerais: enfatiza a interpretação em contexto, busca retratar a realidade de informação; revela experiências e permite generalizações; utiliza uma linguagem e uma forma mais acessível do que os outros tipos de pesquisa e pode ser apresentado na forma de desenhos, fotografias, colagens, discussões, etc.

O trabalho de campo teve duração de duas semanas, num total de dez horas-aula, e seguiu as seguintes etapas: (i) aplicação de um questionário de identificação e realização de uma avaliação diagnóstica inicial; (ii) aplicação das atividades investigativas elaboradas; (iii) aplicação da avaliação diagnóstica final e (iv) avaliação do mini-curso. Durante o desenvolvimento das atividades propostas foi permitido aos alunos usar calculadora e consultar livros didáticos.

Como instrumentos de coleta de dados utilizamos relatórios da aplicação, dados referentes às avaliações diagnósticas inicial e final e relatórios dos alunos a respeito do desenvolvimento das atividades investigativas. Além disso, combinamos as anotações das observações com o material transcrito de gravações e filmagens.

Considerações Teóricas

O Ensino Médio de Matemática

Os PCN(s) (Brasil, 1999a, p. 111) afirmam que o conhecimento matemático é necessário em uma grande variedade de situações, como apoio a outras áreas do conhecimento, sendo também instrumento para lidar com situações cotidianas, ou como forma de desenvolver habilidades de pensamento, isto é, aprender Matemática de uma forma contextualizada, integrada e relacionada a outros conhecimentos traz em si o desenvolvimento de competências e habilidades que são essencialmente formadoras. No Ensino Médio, etapa final da escolaridade básica, a Matemática deve ser compreendida como uma parcela do conhecimento humano, essencial para a formação de todos os jovens, proporcionando a construção de uma visão de mundo, para ler e interpretar a realidade e para desenvolver capacidades que deles serão exigidas ao longo da vida social e profissional.

Ainda segundo os PCN(s) (Brasil, 1999a, p. 111), nessa etapa da escolaridade, a Matemática vai além de seu caráter instrumental, colocando-se como ciência, com características próprias de investigação e de linguagem e com papel integrador importante junto às demais Ciências da Natureza. Aprender Matemática de uma forma contextualizada, integrada e relacionada a outros conhecimentos traz em si o desenvolvimento de competências e habilidades que são fundamentalmente formadoras, à medida que familiarizam o aluno, capacitando-o para compreender e interpretar situações, para se apropriar de linguagens específicas, argumentar, analisar e avaliar, tirar conclusões próprias, tomar decisões, generalizar e para muitas outras ações necessárias à sua formação.

De acordo com a Proposta Curricular (São Paulo, 1991, p. 7-8), há duas vertentes básicas, amplamente difundidas, a partir das quais se justifica a inclusão da Matemática nos currículos escolares: (i) ela é necessária em ações práticas que envolvem aspectos quantitativos; (ii) desenvolve o raciocínio lógico, a capacidade de abstrair, generalizar, projetar aquilo que é imediatamente sensível.

No entanto, tal proposta ainda salienta que não é tão simples entrar em um acordo sobre o modo como um currículo deve ser estruturado para que tais objetivos sejam alcançados. Assim, algumas vezes, uma ênfase exagerada em aspectos práticos pode ultrapassar o senso comum. Outras vezes, pretende-se o desenvolvimento das estruturas lógicas do pensamento através de caminhos tão

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formais e tão distanciados de qualquer significado imediato que o ensino de matemática passa a parecer apenas um efetivo exercício para o desenvolvimento do raciocínio.

Esses dois aspectos são, de fato, componentes básicos e essenciais no currículo, não sendo, no entanto, qualquer um deles suficiente para caracterizar o papel que a matemática deve desempenhar. Da mesma forma, para o entendimento da função desempenhada pela matemática no currículo, aplicações práticas e desenvolvimento do raciocínio devem ser considerados elementos inseparáveis. Conseguir uma situação de equilíbrio é a maior e mais difícil tarefa do professor de matemática.

O Ensino de Função

Função no Ensino Médio aparece como um conteúdo vinculado à Álgebra. Sobre a Álgebra, Alonso & Moraes (2003) enfatizam que esta deve constituir em uma forma de refletir aspectos da realidade, isto é, de compreender e descrever os movimentos da vida. Porém, salienta estes autores, que o modo como os professores vêm trabalhando os conceitos algébricos em sala de aula, dando maior importância ao formalismo, ao rigor matemático, à memorização, à repetição dos conteúdos, e às fórmulas, ao invés de transferir o cotidiano dos alunos para a sala, faz com que os conceitos algébricos acabem se tornando de difícil entendimento para os alunos.

Segundo Fiorentini et al. (1993), tradicionalmente o ensino de Álgebra se sustenta na crença de que o pensamento algébrico só se manifesta e se desenvolve a partir do cálculo literal. No entanto, essa relação de subordinação do pensamento algébrico à linguagem desconsidera o fato de que, a linguagem algébrica é também resultado de uma forma especial de pensamento e de leitura do mundo, não se reduzindo somente a um instrumento técnico-formal para facilitar a resolução de certos problemas. Na busca por uma caracterização do pensamento algébrico, esses autores concluem que não existe uma única forma de se expressar o pensamento algébrico, embora essa forma de pensamento manifesta-se em todos os campos da matemática e de outras áreas do conhecimento, tal manifestação não significa apenas a aplicação da álgebra no sentido instrumental, mais do que isso, o pensamento algébrico está na base da construção e da compreensão desses campos e áreas. Por fim, eles indicam como elementos caracterizadores do pensamento algébrico: a percepção de regularidades e de aspectos invariantes (em contraste com outros que variam), as tentativas de expressar ou explicitar a estrutura de uma situação-problema e o processo de generalização.

Fiorentini et al. (2005) afirmam que a realização de atividades exploratório-investigativas12 visam levar os alunos a pensarem de maneira genérica, percebendo regularidades e explicitando-as através de expressões matemáticas. Esta pode ser uma alternativa poderosa para o desenvolvimento inter-relacionado do pensamento e da linguagem algébrica dos alunos, propondo assim, este tipo de atividade como mais uma concepção de educação algébrica.

De acordo com os PCN(s) (Brasil, 1999a, p. 120-121) a Álgebra na vivência cotidiana se apresenta com grande importância enquanto linguagem, como na variedade de gráficos presentes diariamente nos noticiários e jornais, e também enquanto instrumento de cálculos de natureza financeira e prática, em geral. No Ensino Médio, esse tema aborda números e variáveis em conjuntos infinitos e quase sempre contínuos, no sentido de serem completos. Os objetos de estudo são os campos numéricos dos números reais e, eventualmente, os números complexos, as funções e as equações de variáveis ou incógnitas reais. Os procedimentos básicos desse tema se referem a 12 São atividades que tendem a ser mais livres e menos sistemáticas que as demais, usadas para introduzir um novo tema de estudo ou para problematizar e produzir significados a um conceito matemático, permitindo aos alunos várias alternativas de exploração e investigação. (Fiorentini et al., 2005, p.2-3).

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calcular, resolver, identificar as variáveis, traçar e interpretar gráficos e resolver equações, de acordo com as propriedades das operações no conjunto dos números reais e as operações válidas para o cálculo algébrico. Esse tema apresenta fortemente o caráter de linguagem com seus códigos (números e letras) e regras (as propriedades das operações), formando os termos desta linguagem, denominadas de expressões, que por sua vez, compõem as igualdades e desigualdades.

O estudo das funções possibilita ao aluno assimilar a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e estruturar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da própria matemática. Assim, a ênfase do estudo dos diferentes tipos de funções deve estar no conceito de função e em suas propriedades em relação às operações, na interpretação de seus gráficos e nas aplicações dessas funções. (Brasil, 1999a, p.121)

Atividades Investigativas

De acordo com Ponte (2003, p.2), “‘Investigar’ não é mais do que procurar conhecer, compreender, encontrar soluções para os problemas com os quais nos deparamos”. Ainda, George Pólya (1975, p.vii)13 apud Ponte et al. (2003, p. 15-16), chama-nos a atenção para o contraste entre duas imagens da matemática: “A matemática tem duas faces; é a ciência rigorosa de Euclides, mas é também algo mais [...] a matemática em construção aparece como uma ciência experimental, indutiva”.

Uma investigação matemática desenvolve-se geralmente em torno de um ou mais problemas. O primeiro grande passo de qualquer investigação é identificar claramente o problema a ser resolvido, por isso não é de se admirar que, em Matemática, exista uma relação muito próxima entre problemas e investigações. O matemático inglês Ian Stewart [(1995, p.17)14 apud Ponte et al. (2003, p.16-17)] indica quais são, em suas concepções, as características dos bons problemas: “Um bom problema é aquele cuja solução, em vez de simplesmente conduzir a um beco sem saída, abre horizontes inteiramente novos (...)”. Porém, não se conseguindo resolver o problema, o trabalho continua valendo a pena por causa das descobertas imprevisíveis que proporciona, como afirma o matemático inglês Andrew Wiles no livro de Singh (1998, p.184)15 apud Ponte et al. (2003, p.17).

Segundo Ponte (2003), pode-se dizer que a realização de uma investigação matemática está ligada a quatro momentos principais:

- o primeiro abrange o reconhecimento da situação e a elaboração de questões; - o segundo refere-se ao processo de formulação de conjecturas; - o terceiro inclui a realização de testes; - o quarto diz respeito à argumentação, à demonstração e à avaliação do trabalho realizado.

Para Serrazina et al. (2002, p.1) neste tipo de atividade é importante apresentar aos alunos um conjunto de propostas de trabalho interessantes, que envolvam conceitos matemáticos fundamentais em que os alunos tenham oportunidade para experimentar, discutir, formular, conjecturar, generalizar, provar, comunicar as suas idéias e tomar decisões. Segundo Ponte (2003), quanto ao contexto referencial, uma tarefa investigativa pode ser contextualizada numa situação real ou formulada em termos puramente matemáticos.

13 PÓLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1975. 14 STEWART, I. Os problemas da Matemática. Lisboa: Gradiva, 1995. 15 SINGH, S. A solução do último teorema de Fermat. Lisboa: Relógio d’Água Editores, 1998.

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Em síntese, podemos dizer que as investigações matemáticas diferenciam-se das demais por serem situações-problema desafiadoras e abertas, permitindo aos alunos apresentarem várias formas de explorar e investigar o problema.

Assim, a utilização de tarefas investigativas nas aulas de matemática é uma perspectiva de trabalho pedagógico em que o professor pode lançar mão para a realização de um ensino significativo da matemática. (Fiorentini et al., 2005, p.2)

Para Serrazina et al. (2002, p.13) o conceito de investigação matemática, como atividade de ensino-aprendizagem ajuda a trabalhar dentro da sala de aula o espírito da atividade matemática genuína, constituindo, por isso, uma importante ferramenta educativa, além de proporcionar uma experiência produtiva em nível dos processos envolvidos na matemática e no pensamento matemático. Assim diversos trabalhos tais como Goldenberg (1999), Fonseca (2000) e Ponte et al. (2003), têm apontado que atividades investigativas motivam os alunos, favorecem a aprendizagem e a criação de um ambiente propício para as mesmas. Por motivos como esses, Ponte et al. (2003) defendem que investigações podem se constituir num poderoso processo de construção de conhecimento.

Segundo Ponte (2003, p.3), hoje muitos trabalhos têm sido realizados, especialmente em Portugal, dando ênfase à utilização de investigação em Matemática. Mas, o que não tem sido tão discutido é a importância que as atividades de investigação podem ter no processo de ensino-aprendizagem da matemática, o que justifica a realização de pesquisas nesta direção, tal como a que focalizamos neste artigo.

Ainda, tal autor salienta que se pretendemos que os alunos desenvolvam plenamente as suas habilidades matemáticas e assumam uma visão mais ampla desta ciência, então as tarefas investigativas devem ter um papel fundamental na sala de aula. Ernest (1996) enfatiza que a investigação deve ocupar um lugar central no currículo de matemática.

Proposta Pedagógica do Equilíbrio entre o Intuitivo e o Lógico do Conhecimento

Filósofos e matemáticos, desde a época de Platão, nem sempre estiveram de acordo quanto à natureza do saber matemático. A esse respeito, Meneghetti (2001) e Meneghetti & Bicudo (2003), ao analisar as concepções do conhecimento geral e do conhecimento matemático nas principais correntes filosóficas, de Platão (427 – 347 a. C.) ao início do século XX, chegam às seguintes considerações:

Antes de Kant (1724-1804), na História da Filosofia da Matemática, foi possível obter duas posições:

(a) aqueles que buscaram fundamentar o saber matemático inteiramente na razão. Dizemos que nesse grupo há prevalência do aspecto lógico do conhecimento;

(b) aqueles que buscaram fundamentar o saber matemático exclusivamente na intuição ou experiência. Dizemos que nesse grupo é privilegiado o aspecto intuitivo do conhecimento.

Uma posição intermediária aos dois grupos é possível ser verificada em Kant, para o qual

todo conhecimento parte da experiência; entretanto, o conhecimento deve tornar-se independente dela, pois a ciência deve ser universal e necessária.

Entretanto, essa posição é abandonada nas filosofias que pretendiam dar conta da natureza do conhecimento matemático no final do século XIX e início XX, a saber, o logicismo, o formalismo e o intuicionismo.

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O fato é que, embora essas três correntes tenham tentado fornecer à matemática uma fundamentação sólida, todas falharam em seus propósitos, e a natureza do saber matemático passou a ser novamente questionada. [Snaper (1979)16, apud Meneghetti & Bicudo (2003)]. Meneghetti & Bicudo (2003) procuram mostrar que tal crise é produto de se considerar os aspectos intuitivo e lógico sempre como excludentes e, a partir desse estudo, propõem que no processo de constituição do conhecimento matemático não seja possível atribuir maior valor para o aspecto intuitivo ou para o lógico, ou mesmo concebê-los como excludentes. Eles ainda defendem que o intuitivo apóia-se no lógico e vice-versa, em níveis cada vez mais elaborados, num processo gradual e dinâmico, tomando a forma de uma espiral, sendo que o equilíbrio entre os aspectos lógico e intuitivo deve estar presente em cada um dos níveis dessa espiral.

Segundo Meneghetti (2008), embora o termo intuitivo possa tomar diversos significados, em tal proposta esse termo está significando um conhecimento de apreensão imediata, sem intermediário, podendo ser de origem empírica (conhecimento empírico) ou a priori (conhecimento que não depende da experiência).17 Inspirada nos trabalhos de Frege (1879, 1959), a lógica neste caso está sendo considerada como uma linguagem puramente formal, a qual não necessita ser suplementada por qualquer razão intuitiva. Assim, entendemos que é por meio da lógica que sistematizamos, ou seja, formalizamos o conhecimento e o mesmo adquire o caráter de necessidade e universalidade.

Numa análise das correntes filosóficas da matemática pós-crise fundamentalista Meneghetti (2008) observa que idéias colocadas na proposta em questão ganham forças quando analisamos as atuais reivindicações para a Filosofia da Matemática que, entre outras colaborações, reconhecem a importância dos aspectos empíricos e intuitivos na constituição do saber matemático e também da refutação do caráter absoluto de tal conhecimento. A questão do equilíbrio dinâmico para os aspectos lógicos e intuitivos abordada por tal proposta, no que se refere ao processo de elaboração do conhecimento, mostra uma afinidade com o que é posto nas idéias de construtivismo social tal como colocado por Ernest (1991)18 apud Meneghetti (2008); as quais defendem que o conhecimento subjetivo19 relaciona-se com o conhecimento objetivo20 por meio de um ciclo criativo, através do qual um contribui para a renovação do outro. A questão dos níveis no processo de constituição do conhecimento defendidos pela proposta pode ser justificada cognitivamente com Vygotsky (1991, p.71,72 e 95)21 apud Meneghetti (2008) quando diz que à medida que o intelecto se desenvolve, velhas generalizações são substituídas por generalizações de tipos cada vez mais elevadas. A aquisição de conceitos novos e mais elevados transforma os significados dos conceitos anteriores.

Uma análise de uma aplicação da proposta descrita acima – para o caso de frações – é tratada em Meneghetti & Nunes (2006), em que se discute sobre a fundamentação, elaboração, aplicação e avaliação de um material pedagógico desenvolvido como suporte para o processo de ensino-aprendizagem dos números racionais. Dessa aplicação, chegou-se à conclusão de que a proposta metodológica que estrutura o material, aliada a uma postura em consonância com seu suporte teórico, mostrou-se eficiente do ponto de vista didático-pedagógico, por favorecer aos alunos a construção dos conceitos matemáticos envolvidos.

16SNAPPER, E. The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuicionism and Formalism. Math. Mag. vol. 52, n.4, sep., p.207-216, 1979. 17 Esse foi um dos sentidos adotado por Kant, sendo escolhido aqui primeiro por ser genérico - ao conceber o intuitivo como um conhecimento de apreensão imediata, e por reconhecer que esse tipo de conhecimento pode ser dado tanto relacionado com a experiência como não. 18 ERNEST, P. The philosophy of mathematics education. London: Falmer.1991. 19 Referente à criação pessoal do indivíduo. 20 No sentido de ser socialmente aceito. 21 VYGOTSKY, L. Pensamento e linguagem. 3.ed. São Paulo: M. Fontes, 1991.

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Descrição do Material

Como já havíamos mencionado, três atividades foram aplicadas: a primeira dessas foi reformulada a partir de uma questão do ENEM de 2004, a segunda do ENEM de 2000 e a terceira do vestibular da UNESP de 2003. Uma aplicação piloto dessas atividades foi efetuada em um curso de Prática de Ensino ministrado pela primeira autora deste artigo, o que permitiu um aprimoramento do material. Abaixo seguem as três atividades em suas formas finais, ou seja, na forma como foram propostas aos alunos do Ensino Médio.

1 ª ATIVIDADE PROPOSTA

Imagine que seu amigo esteja procurando emprego, e que você para ajudá-lo compra um jornal e seleciona os seguintes anúncios:

- Vendedores de lona 10 vagas para estudantes, 18 a 20 anos, com experiência. Salário: R$ 350,00∗ + comissão de R$ 0,50 por m2 vendido. - Vendedores de loja 8 vagas para pessoas com idade entre 18 e 35 anos, sem experiência. Salário: R$ 630,00 + comissão de 6% sobre o valor total de venda por mês. - Vendedores autônomos Trabalhe vendendo os produtos de nosso catálogo (cosméticos, roupas, utensílios domésticos, eletroeletrônicos, bijuterias, etc.) e ganhe de 20% a 35% sobre cada produto vendido. Você seria capaz de verificar qual dessas propostas de emprego seria mais vantajosa para seu amigo?

Existe alguma que será sempre mais vantajosa que as outras? Estude vários casos e justifique.

2 ª ATIVIDADE PROPOSTA

Um boato tem um público alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem, além, de apresentar uma máxima rapidez de propagação quando o boato passa a ser conhecido por um certo número de pessoas.

a) Você seria capaz de indicar intuitivamente qual dos gráficos abaixo melhor representa essa situação? Que tipo de função esse gráfico representa? Justifique. Sendo R (rapidez de propagação) e x (número de pessoas que conhecem o boato).

I) II) III) IV) V) b) José Roberto toma um táxi comum que cobra uma taxa fixa pela bandeirada + um certo valor por km

rodado. Você conseguiria atribuir valores para essa situação e representar sua função? Que tipo de função você construiu? Algum dos gráficos abaixo representa a função que você encontrou? Justifique todas as suas respostas.

∗ Na época em que o material foi aplicado esse valor correspondia ao salário mínimo do Brasil.

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I) II) III) IV) V) c) Pedro e Renata formam um casal diferente: em suas famílias as pessoas vivem bastante. Contando os

ascendentes de Pedro e os de Renata e depois somando-os, foi possível perceber que: o número de bisavôs/bisavós é o dobro do número de avós/avôs que é o dobro do número dos pais, isto é, o número de ascendentes dobra a cada geração anterior. Identifique intuitivamente a função presente na situação e indique qual dos gráficos abaixo representa essa situação. Justifique sua resposta. Sendo y (número de ascendentes) e x (geração).

I) II) III) IV) V) d) Construa novas situações que utilizem o(s) mesmo(s) tipo(s) de funções que vocês identificaram.

3a ATIVIDADE PROPOSTA

Você é o dono de uma fazenda que está passando por um período prolongado de seca. Nela existe um reservatório que é controlado para não desperdiçar água. Sabendo – se que no momento inicial do período de seca o reservatório estava cheio, isto é, com sua capacidade máxima, indicada por q0, desafio você a responder: a) Se ao final do 1º mês de seca, o reservatório ficou com metade (50.000 L)da quantidade inicial de água (q0 ) e que no 2º mês a quantidade de água chegou a 12.500 L, você saberia dizer o que acontecerá ao final do sexto mês de seca? Você poderia dizer como se comportou a variação de água nesse período? A partir de suas respostas anteriores seria possível escrever uma expressão que pudesse representar essa situação? b) Se no ano anterior no mesmo período, a quantidade de água desse reservatório apos o 1º mês de seca, chegou a 49.998 L e que no 2º mês a quantidade diminuiu para 24.995 L. O que você poderia concluir ao final do sexto mês de seca? Como se comportou a variação de água nesse período? É possível escrever uma expressão que pudesse representar essa situação? c) Como você poderia explicar o fenômeno ocorrido no mesmo período de seca em anos diferentes, se o reservatório é o mesmo? Investigue as possibilidades d) Você conseguiria explicar esse fenômeno matematicamente? Descreva tudo o que você conseguir relacionar.

Aplicação do Material

Nessa fase, pretendíamos avaliar os principais aspectos referentes à estruturação das atividades elaboradas para o ensino de funções, com o propósito de verificar se as mesmas proporcionariam aos alunos uma aprendizagem mais significativa dos conceitos envolvidos. Uma das professoras de Matemática da escola onde a aplicação foi realizada concordou em nos ceder uma de suas turmas para que efetuássemos o estudo. Os alunos dessa sala pertenciam a faixa etária entre 17-18 anos e residiam na zona rural da cidade de São Carlos, na qual ajudavam seus pais no período da manhã e estudavam a tarde. Nosso trabalho de campo teve duração de duas semanas, num total de 10 horas-aula.

No primeiro dia de mini-curso a Professora Aplicadora (PA) explicou aos alunos em que consistiria o mini-curso e o que seria focalizado. A partir daí foi pedido que eles respondessem a um questionário de identificação contendo informações pessoais (idade, endereço, etc.). Em seguida foi

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aplicada uma avaliação diagnóstica inicial, que teve por finalidade verificar os conhecimentos prévios dos alunos22.

A avaliação diagnóstica pode ser definida segundo Steffe & Thompson (2000, p. 290) como uma ferramenta conceitual que os investigadores usam para organização das atividades, visando explorar a matemática dos estudantes, focalizando o progresso de compreensão dos mesmos e não somente a compreensão de seus conhecimentos atuais.

No início da avaliação, os alunos disseram que não conseguiriam resolver os exercícios porque eram muito difíceis. Percebendo isso, a PA concedeu a utilização de livros didáticos para consulta e os incentivou a solicitarem sua ajuda. Entretanto, a PA manteve a postura de não lhes oferecer respostas prontas, mas fazê-los refletir sobre suas próprias dúvidas. Tal conduta fora adotada durante todo o processo de intervenção.

Durante a fase de aplicação do material, os alunos foram organizados em grupos de livre escolha e de no máximo três integrantes. Entendemos que o trabalho grupal é importante na construção dos conceitos, pois, segundo Mauri (2003, p.92), “a atividade desenvolvida pelo aluno na construção dos conhecimentos não pode ser realizada de maneira solitária, justamente pela natureza dos saberes culturais. O aluno precisa do auxílio de outros, que o ajudem no processo de representação ou atribuição de significados”. Além disso, o trabalho em grupo proporciona ao professor um melhor contato com os alunos, prestando as ajudas adequadas quando necessário conforme o grau de realização da tarefa e das dificuldades apresentadas por eles. (Zabala, 2003, p. 189).

A primeira atividade trabalhada com os alunos envolvia uma situação contextualizada muito recorrente: anúncio de emprego para vendedores. Após a entrega da folha contendo a atividade, e de uma folha em branco (para a confecção do relatório do grupo), foi realizada uma leitura da atividade junto aos alunos, visando esclarecer alguns termos que pudessem levar a dúvidas posteriores. Ao final desta leitura, a PA enfatizou que eles deveriam encontrar qual das propostas de emprego seria a mais vantajosa e justificar a opção escolhida. Os alunos poderiam resolver esta atividade sem precisar utilizar o conceito formal de função afim.

Após os alunos terminarem a resolução, a PA iniciou a formalização dos conceitos envolvidos. Utilizando a lousa a PA fez uma introdução sobre o conceito de função e de domínio, contradomínio e imagem. A partir daí, introduziu-se o conceito de função do 1º grau e sua representação gráfica, relacionando isso com a atividade que eles tinham acabado de fazer.

A intenção desse fechamento foi promover, nesse nível, o que Meneghetti & Bicudo (2003) defendem, a saber, um equilíbrio entre os aspectos intuitivos e lógicos do conhecimento. Além disso, segundo Ponte (2003), o fechamento corresponde ao quarto e último momento da aplicação de uma atividade investigativa, que consiste na argumentação e demonstração dos conceitos envolvidos, sendo importante para a sistematização e formalização desses conceitos, a fim de que se tornem compreensíveis aos alunos.

A segunda atividade foi aplicada no terceiro dia do mini-curso. As três situações problema tratadas nessa atividade envolviam respectivamente função do 2º grau, do 1º grau e exponencial. O procedimento adotado durante a realização desta atividade foi o mesmo que o da anterior, ou seja, a atividade foi lida junto aos alunos, alguns esclarecimentos foram feitos, enfatizou-se que eles teriam que associar cada situação a seus respectivos gráficos, e apresentar uma justificativa.

22 Assim, os dados sobre sua resolução da avaliação diagnóstica inicial não foram retomados nem discutidos com os alunos.

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Terminada a atividade, a PA trabalhou novamente com os alunos a formalização dos conceitos envolvidos; discutiu com os alunos as definições das funções envolvidas, suas características e representações gráficas.

A aplicação da terceira atividade ocorreu no 4º dia do mini-curso. Nesta oportunidade os alunos já familiarizados com este tipo de atividades, logo se organizaram em grupos e iniciaram o trabalho, sem necessidade do auxílio do professor.

Após todos terminarem a atividade, trabalhou-se novamente a formalização dos conceitos envolvidos, destacando as características das funções do 1º grau e exponencial, sempre relacionando com a atividade focalizada.

No último dia foi aplicado aos alunos um diagnóstico final, o qual abordava as mesmas questões (situações-problema) do diagnóstico inicial, com o propósito de verificar se haveria mudanças nos esquemas de conhecimento dos alunos. Por esquema de conhecimento entende-se a representação que uma pessoa tem em um determinado momento, sobre uma parcela da realidade. (Mauri, 2003). Na seqüência, foi solicitado aos alunos que respondessem a um questionário de avaliação do mini-curso. O questionário continha oito perguntas, todas relacionadas ao mini-curso e as atividades nele propostas. Neste, pedia-se que os alunos apontassem as atividades de que mais gostaram e apresentassem sugestões. Deixamos os alunos bem à vontade para manifestarem suas opiniões.

Análise da Aplicação

Sobre o Questionário e Diagnóstico Inicial

Além de informações sobre a faixa etária e a localização dos alunos, a partir da verificação do questionário inicial, verificamos que a principal fonte de informação dos alunos sobre assuntos relacionados à álgebra eram respectivamente livros didáticos e aulas expositivas. Os alunos também responderam que já haviam aprendido o tema função no primeiro ano do Ensino Médio, mas não recordavam muita coisa porque o assunto foi tratado superficialmente.

A avaliação diagnóstica inicial era composta de exercícios que envolviam: definir função; verificar se uma relação representa ou não uma função; identificar domínio, contradomínio e imagem; construir gráficos. Além disso, essa avaliação possuía três situações-problema envolvendo, respectivamente, função do 1º grau, do 2º grau e exponencial.

Tal avaliação foi muito importante, pois permitiu-nos identificar as maiores dificuldades dos alunos. Observamos que dos alunos que participaram dessa avaliação, a maioria apresentava dificuldades consideráveis com o conceito formal de função, segue uma exemplificação.

Figura 1

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Nesse caso percebe-se que o aluno apesar de mostrar certa familiaridade com os termos, não consegue expressar adequadamente o conceito de função, parece não compreender uma função como sendo uma correspondência unívoca entre cada elemento do conjunto A com um único elemento do conjunto B.

Quando foi pedido aos alunos responderem quais os tipos de função que eles conheciam, menos da metade deles conseguiu citar ou exemplificar. Neste caso, chamou-nos atenção a resposta de uma aluna, a qual escreveu que os tipos de função que ela conhecia era diafragma e gráfico (figura 2). Isso nos levou a acreditar que gráfico para esta aluna é visto como um tipo de função e não como uma forma de representação da mesma. Com relação ao outro exemplo citado pela aluna (diafragma), acreditamos que ela estava se referindo a diagramas (no caso, os diagramas de Venn23).

Figura 2

Assim, a partir de respostas como esta foi possível perceber que os alunos apresentavam algumas dificuldades e confusões quanto a definição de função.

No exercício 2, demos quatro relações e solicitamos que os alunos verificassem se eram funções ou não e a partir disso definissem seus domínios, contradomínios e imagens. Somente quatro alunos conseguiram efetuar esta tarefa. Os demais, embora tenham conseguido identificar corretamente que duas relações representavam funções e as outras duas não, apresentaram dificuldades conceituais com respeito às definições de domínio, contradomínio e imagem (figura 3).

Figura 3

23 Segundo (Machado, 1988), trata-se de indicações de elementos de um conjunto dentro de uma curva fechada simples (não entrelaçada).

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Nesta figura observamos que embora as relações 1 e 2 não representem funções, os campos de domínio, contradomínio e imagem foram preenchidos. Além disso, observamos ainda que, referentes aos casos 3 e 4, os contradomínios são concebidos como o conjunto complementar da imagem da função e não como o conjunto de chegada da função.

No exercício 3 solicitava-se que a partir da observação de alguns gráficos os alunos identificassem qual deles representavam uma função. Verificamos que a maioria dos alunos conseguiu executar a tarefa. Porém, em suas justificativas, eles se pautaram em traçar uma linha vertical sobre o gráfico e verificar se a mesma o cortava em um único ponto.

Com relação às três situações-problema propostas nesta avaliação, que envolviam função de 1º grau, 2º grau e exponencial, solicitava-se que os alunos resolvessem os problemas, identificassem a função correspondente e a representassem graficamente. Ficou evidente nas duas primeiras situações24 que a maioria dos alunos25, embora tenha conseguido resolver e identificar as funções correspondentes às situações-problema teve muita dificuldade nas construções dos gráficos26, como exemplificado nas situações abaixo.

Figura 4 Figura 5

É possível observar nas ilustrações acima que os alunos, apesar de terem conseguido identificar as funções e saber que as características dos gráficos das funções afim e quadrática são respectivamente uma reta e uma parábola, não conseguiram interpretar os dados dos exercícios e suas representações gráficas adequadamente. Uma vez que a reta do gráfico mostrado na figura 4 deveria cortar o eixo das ordenadas (no ponto 350, representando a parcela fixa do salário do vendedor). Quanto à figura 5, correspondente a segunda situação-problema, percebemos que o aluno conseguiu identificar, através da função do 2º grau dada, que a parábola que representava o

244) A remuneração de um vendedor de uma loja de calçados é feita em duas parcelas. Uma parcela fixa de R$ 350,00 e uma parcela variável correspondente a uma comissão de 20% do total de vendas realizadas no mês. Construa a função descrita nessa situação, identifique-a e represente-a graficamente. Se esse vendedor vender R$ 1.200,00 em mercadoria no mês, quanto ele receberá? E se ele vender R$ 1.000,00? 5) Uma bola é lançada do solo verticalmente para cima e tem sua posição em função do tempo expressa pela função H(t) = 40t – 5t2, onde H representa a altura em metros e t representa o tempo em segundos. Em quais instantes a bola estará a uma altura de 60 metros? Identifique o tipo de função que é trabalhada nesse exercício e a represente graficamente. 25Na situação-problema (quarto exercício) que envolvia função do 1º grau, 11 alunos conseguiram resolvê-la e 10 identificá-la; no quinto exercício, 9 alunos conseguiram resolver e identificar como sendo do 2º grau a função presente na situação-problema proposta. 26Com relação à construção dos gráficos, 11 alunos não conseguiram construir corretamente o gráfico representando a função do 1º grau e 9 erraram na construção do gráfico da função do 2o grau.

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movimento de uma bola lançada verticalmente do solo teria a concavidade voltada para baixo mas, não representou a continuidade da função.

Quanto à terceira situação-problema, correspondente ao sexto exercício do diagnóstico27, observamos que a maioria dos alunos não conseguiu resolver o problema e nem identificar o tipo de função, demonstrando basicamente não possuírem nenhum conhecimento sobre função exponencial.

Durante a aplicação das atividades, constatamos que o trabalho efetuado gerou um ambiente de discussão e ajuda mútua. Além disso, o trabalho em grupo favoreceu a relação professor-aluno, uma vez que possibilitou o atendimento da PA a todos os grupos.

Sobre as atividades alternativas

A respeito da análise da aplicação das três atividades alternativas trabalhadas chegamos às seguintes considerações. Sobre a primeira, percebemos que os alunos se interessaram bastante pelo trabalho, mas mostraram-se confusos quanto ao que fazer. Acreditamos que isso tenha ocorrido por eles não estarem acostumados a trabalhar com este tipo de atividade. Porém, o fato da atividade versar sobre um assunto familiar aos alunos contribuiu muito para despertar o interesse deles pelo problema. Eles conseguiram estabelecer comparações entre as propostas sem precisar fazer uso de definições formais. Com isso entendemos que a contextualização das situações-problema foi bastante importante para o envolvimento inicial dos alunos com as atividades propostas.

Verificamos, em relação às possíveis soluções da primeira atividade, foram simuladas diversas situações a respeito das três propostas. Os alunos justificaram detalhadamente cada uma delas fazendo uma comparação de todas as exigências necessárias (número de vagas, idade, experiência, salário) para pleitear as vagas de emprego das três propostas. Eles conseguiram analisar qual das propostas era a mais vantajosa, como pode ser observado no excerto a seguir, tirado do relatório de um dos grupos:

“Pensamos nos três possíveis casos de vendas. No primeiro ‘o vendedor de lona’, achamos um pouco menos vantajoso pelo fato de exigir experiência. Já no segundo caso, do vendedor de loja, a vantagem é melhor, pois não é necessário experiência e o salário é mais vantajoso do que o primeiro. E o terceiro caso, do vendedor autônomo, é um pouco melhor e um pouco ruim. O lado bom é porque não precisa ter entre 18 e 20 anos como no primeiro anúncio, nem ter de 18 a 35 anos, como no segundo, e também não é necessário ter experiência. O lado ruim é que o salário não é fixo e sim 20% a 35% do valor de cada produto vendido. Achamos que o emprego mais vantajoso será dos vendedores de loja, porque terá um salário fixo e uma comissão de 6% do total de vendas do mês; e também porque mesmo ele não vendendo a mercadoria ele irá ganhar o salário fixo. Mas nem sempre será a mais vantajosa, porque dependerá dos valores que serão vendidos.”

27Inicia-se a criação de certa bactéria em um laboratório. Estudos indicam que o número inicial é de 200 bactérias. A cada duas horas a quantidade dobra. A fórmula que representa essa situação é dada por:

N(t) = N0 . K tOnde: N0 – número inicial de bactérias t - tempo K – constante Determine o numero de bactérias, 12 horas apos o inicio do estudo. Que tipo de função esta sendo trabalhada nessa situação? Represente-a graficamente.

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Quanto ao cálculo dos salários em cada proposta, como os alunos não sabiam que estavam trabalhando com uma atividade que envolvia o conceito de função afim, eles criaram suas próprias estratégias para conseguir calcular esses salários. Um único grupo conseguiu apresentar as funções de cada proposta. Os outros três utilizaram regra de três em suas resoluções, como no exemplo abaixo:

Vendedor autônomo 20% a 35% sobre cada produto

Cosmético = R$20,00 22% x 100x = 440 Ganhou 22% na venda = R$4,40 100% 20 x = 4,4 Roupa = R$10,00 20% x 100x = 200 Ganhou 20% na venda = R$2,00 100% 10 x = 2

Utensílio Doméstico = R$5,00 20% x 100x = 100 Ganhou 20% na venda = R$1,00 100% 5 x = 1

Eletro-Eletrônico = R$500,00 35% x 100x = 17500 Ganhou 35% na venda = R$ 175,00 100% 500 x = 175

Bijuteria = R$5,00 20% x 100x = 100 Ganhou 20% na venda = R$1,00 100% 5 x = 1

Total = R$ 183,4 por dia R$ 183,4 x 20 dias = R$3.668,00 por mês

Assim, todos conseguiram desenvolver a atividade e chegar a uma conclusão quanto à proposta mais vantajosa. Com isso, constatamos que esta atividade favoreceu o desenvolvimento da criatividade dos alunos, abrindo possibilidades para diversas maneiras de solucionar o problema a partir de seus conhecimentos prévios e sem que eles precisassem, de antemão, dos conceitos formais sobre o assunto.

Referente à segunda atividade, ao iniciarmos a análise dos relatórios dos quatro grupos, constatamos que todos se empenharam em justificar com suas próprias palavras cada uma das repostas, analisando, em cada situação, gráfico por gráfico até encontrarem aquele que representava cada situação. A resolução abaixo exemplifica a respostas de um dos grupos para o item (a), a qual contextualizava a situação sobre a propagação de um boato e envolvia função do 2º grau:

“Gráfico I – Não representa porque num dos intervalos o boato ocorreu dessa maneira: começou, depois pulou e não continuou, logo depois começou novamente e parou e começou de novo; Gráfico II – Não representa, pois é constante, isto é, não varia. Conforme o x aumenta o y se mantém constante; Gráfico III – Não representa, porque é um gráfico de parábola, decrescente e o boato não diminui e depois aumenta; Gráfico IV – Não representa, porque é um gráfico decrescente, ou seja, o boato só diminui; Gráfico V – Esse representa, porque o boato começa pequeno e depois vai aumentando, pois uma pessoa vai falando para outra, até que ele vai sendo esquecido e diminui.”

Quanto ao item (b), todos os grupos conseguiram identificar a função como sendo do 1º grau, alguns construíram uma função que representasse a situação e a partir dela encontraram o gráfico correspondente. Porém, ao analisarmos as respostas dadas para o item (c) esta atividade, verificamos que nenhum grupo conseguiu resolvê-la por completo. Dos quatro grupos, somente dois iniciaram uma resolução, embora tenham conseguido encontrar alguns valores, não conseguiram identificar a função correspondente.

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Ainda sobre este item, a passagem dos dados para a expressão da função ou para seu gráfico também não foi conseguida por nenhum dos grupos. Assim, após a entrega dos relatórios de resolução, a PA promoveu uma discussão a fim de que a passagem acima referida fosse compreendida e os conceitos fossem formalizados. Portanto, aqui destacamos a importância da intervenção do professor na discussão dos dados e formalização dos conceitos envolvidos.

Além disso, no último item desta atividade, ao analisarmos as situações criadas pelos alunos, percebemos que eles procuraram se basear nas situações que já estavam presentes na própria atividade, ou seja, não houve inovação, como pode ser observado no excerto abaixo:

“Gustavo tinha um caminhão que utilizava para fazer pequenos fretes. Ele cobrava R$50,00 mais 20% de R$50,00 por Km rodado para ir buscar e depois fazer a entrega. Quanto Gustavo iria receber por 45.000 km rodados? Represente com um gráfico e diga qual é a função.”

Observamos que esta situação proposta tem características semelhantes àquela que foi trabalhada no item (b) desta mesma atividade. Portanto, nenhum dos grupos conseguiu apresentar uma nova situação envolvendo a função exponencial.

Quanto à análise da aplicação da terceira atividade, percebemos que a maioria dos grupos teve raciocínio muito parecido durante a resolução dos itens (a) e (b), e resolveram-na experimentalmente, não conseguindo chegar a uma expressão que representasse a função. Ilustramos isso na figura abaixo referente à resolução do item (a) desta atividade por um dos grupos.

Figura 6

Entretanto, um dos grupos nos chamou a atenção, pois, conseguiu encontrar as funções que representavam as duas situações e construir seus respectivos gráficos. Como pode ser visto na figura abaixo referente à resolução do item (a) dessa atividade por este grupo:

Para justificar o item (c), que era interdisciplinar, todos os grupos responderam que sendo o reservatório o mesmo, o fator que o levou a esvaziar mais em um ano do que no outro, foi o período de seca mais rigoroso e foi por isso que em um ano gastou-se mais água. Porém, o item (d), em que se pedia que se explicasse matematicamente o fenômeno da seca, não foi respondido por nenhum grupo.

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Figura 7

Com isso concluímos que apesar dos alunos terem conseguido encontrar as duas funções

presentes na atividade, muitos ainda demonstraram ter bastante dificuldade quanto à generalização das funções e a construção de seus gráficos. Essa foi mais uma situação que nos evidenciou a dificuldade que os alunos têm em generalizar e formalizar os conceitos, reforçando a importância do professor em auxiliá-los nessa tarefa.

Verificamos, portanto, que é possível com este tipo de atividades, partindo dos conhecimentos prévios dos alunos, aos poucos chegar aos conceitos formais dos conteúdos abordados. Assim, a passagem do intuitivo para o lógico foi sendo obtida paulatinamente, e se deu em diversos momentos, exigindo uma forte atuação do professor nessa direção.

Quanto à análise da avaliação diagnóstica final, observamos uma melhora geral dos alunos e detectamos principalmente uma mudança nas formas de representação dos conceitos. Segundo Mauri (2003, p.95), tais mudanças denotam uma alteração em seus esquemas de conhecimento.

A título de ilustração, abaixo apresentamos um caso referente às resoluções, inicial e final, de uma aluna referente a uma questão do diagnóstico.

Aluna G (Diagnóstico Inicial)

Aluna G (Diagnóstico Final)

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Comparando essas duas situações (resolução no início e final) podemos observar que houve mudanças na forma dela representar os conceitos abordados. No primeiro momento é possível verificar que a aluna G coloca que existe duas variáveis x e y, tais que para cada x existe um y correspondente, porém, ela esquece de esclarecer que existe somente um único valor com esta característica. No segundo momento, verificamos que há maior clareza na forma de se colocar a definição e os termos matemáticos aparecem com maior precisão; alguns símbolos que não apareciam no início são utilizados, tais como pertence (∈), para todo (∀ ), existe um único (∃ !), etc.

Isso também ficou evidente em outras situações. Por exemplo, na resolução do exercício em que se pedia que fosse verificado se as quatro relações propostas eram ou não funções e a partir disso definir seus domínios, contradomínios e imagens, a maioria dos alunos conseguiu resolver o solicitado, diferentemente do ocorrido na avaliação diagnóstica inicial, na qual apenas quatro alunos haviam alcançado esse resultado.

Na resolução do terceiro exercício deste diagnóstico, observamos que todos conseguiram associar as funções a seus respectivos gráficos. Entretanto, percebemos que mesmo tendo sido trabalhada formalmente a definição de uma função a partir dos gráficos, os alunos continuaram justificando suas resoluções usando uma abordagem mais intuitiva, ou seja, traçando linhas verticais sobre os gráficos. Portanto, nesse caso entendemos que a abordagem intuitiva prevaleceu mais do que a lógica. Isso para nós reforçou a importância desse tipo de abordagem no processo de aprendizagem.

Com relação às três situações-problema28 propostas no diagnóstico final, foi possível perceber que as situações envolvendo as funções de 1º e 2º graus foram resolvidas por todos, e mais da metade dos alunos conseguiu construir seus respectivos gráficos. Lembramos que, no momento inicial referente a essa mesma atividade, apesar da maioria dos alunos terem conseguido resolver as situações-problema e identificar as funções, eles tiveram muitas dificuldades na construção de seus gráficos.

Quanto à situação-problema envolvendo função exponencial (exercício 6), assunto inicialmente detectado como de maior dificuldade, diferentemente do que ocorreu na avaliação diagnóstica inicial na qual somente 3 alunos haviam conseguido resolvê-la, nesta, mais da metade dos alunos conseguiu resolver por completo tal situação problema29, chegando numa expressão para a função e conseguindo representá-la graficamente.

Foi ainda possível perceber que nem todos os grupos alcançaram o mesmo nível de compreensão em todas as atividades realizadas. Isso não nos impede de acreditar que o uso regular desse tipo de metodologia pode contribuir muito para o aprendizado dos alunos, uma vez que este tipo de atividade proporcionou um amadurecimento cognitivo para uma parte significativa dos alunos.

Assim, percebeu-se que o trabalho efetuado influenciou positivamente no processo de ensino e aprendizagem desses alunos. Estes ao realizarem a avaliação diagnóstica inicial demonstraram ter quase nenhum conhecimento sobre o assunto. No decorrer do trabalho verificou-se que as resoluções foram se apresentando de forma mais clara, com menos erros conceituais e os esquemas de conhecimento desses alunos também foram se alterando.

28 Correspondentes aos exercícios 4, 5 e 6 do diagnóstico. 29 Esta questão tratava do cultivo de bactérias em laboratório num determinado intervalo de tempo.

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Figura 8

Com relação ao questionário final aplicado aos alunos, verificamos que o mini-curso foi bem avaliado. A maioria considerou o assunto importante e a linguagem utilizada adequada. Das três atividades trabalhadas, identificamos, por esse questionário e pela observação diária, que os alunos gostaram mais da primeira atividade, a qual referia à procura de emprego. A nosso ver isso está relacionado à natureza do assunto, o tema pode ter despertado o interesse dos alunos, talvez em função do contexto social no qual eles estavam inseridos (eles já trabalhavam e, portanto, eles viviam esta realidade). Assim, pareceu-nos que quanto mais familiar o assunto ao aluno, maior será seu envolvimento com as atividades; o que ressalta a importância da contextualização dos conteúdos no ensino de matemática.

Considerações Finais

Alguns autores, tais como Moura (2002), Alonso & Moraes (2003), e Ponte (2003), têm argumentado que os conceitos algébricos quando trabalhados com ênfase no formalismo e no rigor matemático, trabalhando memorização e repetição de conteúdos e fórmulas, podem causar grandes dificuldades quanto ao entendimento dos alunos. Concordamos com a colocação de Perrenoud (2000, p. 9) de que “Diferenciar o ensino é fazer com que cada aprendiz vivencie, tão freqüentemente quanto possível, situações fecundas de aprendizagem”.

Nosso objetivo na realização desta investigação, pautada na aplicação de materiais didáticos alternativos para o ensino de funções, foi analisar o potencial didático-pedagógico deste tipo de abordagem no Ensino Médio. Uma análise da aplicação efetuada nos permitiu chegar aos seguintes resultados.

Verificamos que essa abordagem mostrou-se como uma alternativa ao favorecimento de uma aprendizagem mais significativa para o ensino de funções, visto que permitiu o estabelecimento de uma relação entre o que os alunos já sabiam e o que lhes estava sendo apresentado, possibilitando o surgimento de diversas soluções a partir de seus conhecimentos prévios. Tais fatores, segundo Moreira & Masini (1982), Moura (2002), Tavares (2008), são de extrema relevância para constituírem este tipo de aprendizagem. Além disso, verificamos uma mudança nos esquemas de conhecimento desses alunos. Para Mauri (2003, p.86), a modificação dos esquemas de conhecimento dos alunos é um dos objetivos fundamentais da educação escolar, uma vez que essa autora concebe que aprender algo é equivalente à elaboração de uma representação pessoal do conteúdo em estudo.

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Quanto à resolução das atividades, observamos um favorecimento ao desenvolvimento da criatividade dos alunos, além de possibilitar um ambiente de discussão, reflexão e interação entre os mesmos. Esses são fatores inerentes à própria atividade investigativa, e já foram destacados em outros trabalhos, tais como em Fonseca (2000), Ponte et al. (2003), Fiorentini et al. (2005).

Ainda percebemos que embora os alunos inicialmente tenham apresentado resistências ao desenvolvimento deste tipo de atividade, aos poucos foram se envolvendo com o trabalho realizado. Ponte (2003) e Fiorentini et al. (2005) salientam que é comum que os alunos apresentem um estranhamento inicial ao trabalhar com investigações matemáticas por não conhecerem essa nova metodologia. Assim, o papel do professor junto aos grupos é de extrema importância para que se motivem e se interessem pelas atividades.

Quanto às dificuldades apresentadas durante as resoluções destacamos principalmente duas: (i) aquelas referentes às generalizações e formalizações dos resultados; o que do nosso ponto de vista dizem respeito à dificuldade dos alunos de passar do nível intuitivo de conhecimento para o lógico; e (ii) as concernentes à criação de novas situações-problema abordando o conteúdo trabalhado; sobre este ponto, verificamos que as situações apresentadas pelos alunos não foram inovadoras, visto que se mostraram semelhantes a outras anteriormente focalizadas.

Sobre o primeiro aspecto observamos que o papel da Professora Aplicadora mostrou-se importante, uma vez que ao fazer o fechamento das atividades promoveu-se uma discussão sobre as diversas resoluções, culminando nas generalizações e formalizações dos conceitos.

Referente à segunda dificuldade, acreditamos que criar novas situações exigem de fato um grau mais elaborado de resolução o que é difícil para alunos que tiveram contato com esse tipo de abordagem pela primeira vez.

Verificamos também que as atividades cujas resoluções despertaram maiores interesses e envolvimentos dos alunos foram aquelas que estavam mais diretamente relacionadas aos seus cotidianos, ou seja, as que lhes eram mais familiares. De forma geral, os PCN(s) destacam a importância da contextualização: “[...] aprender Matemática de uma forma contextualizada, integrada e relacionada a outros conhecimentos traz em si o desenvolvimento de competências e habilidades que são essencialmente formadoras”. (Brasil, 1999a, p. 111). Esse fato parece nos indicar que tarefas alternativas tais como as que abordamos neste artigo, tornam-se ainda mais potentes do ponto de vista didático-pedagógico, quando também se considera a contextualização dos conteúdos envolvidos.

Os dados apresentados neste trabalho mostram que não é uma tarefa fácil mudar a tradição dos processos de ensino-aprendizagem de Matemática, mas que existem fortes indícios de que é possível explorar tal metodologia com êxito, visto que, embora tenham apresentado dificuldades iniciais com a “nova metodologia”, os alunos tiveram um bom envolvimento com o trabalho realizado, e o grau de participação e motivação foi aumentando à medida que eles iam se familiarizando com esse tipo de atividade, favorecendo a uma aprendizagem mais significativa dos conceitos de funções e suas aplicações.

Em síntese, o estudo por nós desenvolvido apresenta indícios de que o desenvolvimento de Investigações Matemáticas em sala de aula, incorporadas à Proposta Pedagógica de Meneghetti & Bicudo (2003), representam um contexto rico e desafiador de aprendizagem tanto para o aluno quanto para o professor, uma vez que o aluno passa a constituir-se sujeito de seu próprio conhecimento e o professor pode encontrar na realização desse tipo de atividade um modo significativo de ensinar, compreender e trabalhar a Matemática com seus alunos, de modo a despertar neles o interesse por esta área do saber.

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Referências

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