consolo curto - eduardo thomas

Consolos Curtos Notas de aula

Parte 1

Prof. Eduardo C. S. Thomaz

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CONSOLOS CURTOS 1-SUMÁRIO Um consolo curto geralmente é definido geometricamente como sendo uma viga em balanço na qual a relação entre o comprimento ( a ) e a altura ( h ) é menor que 1.

Esta relação limite 1=ha , no entanto, tem também um significado ligado ao tipo

de funcionamento estrutural do balanço. Analisaremos as condições de ruptura por flexão ou por força cortante de um balanço e determinaremos quando um tipo de ruptura prevalece sobre o outro.

Ensaios de Cristina Haguenauer [26] e[27] Com base em diversos ensaios citados na bibliografia será apresentada uma sugestão para o cálculo da armadura para consolos curtos. Apresentaremos também um detalhe de armadura para um exemplo específico de um consolo curto, suporte de uma ponte rolante.


Parte 1


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2- INTRODUÇÃO Em vigas em balanço faz-se o dimensionamento usual de vigas de concreto armado , isto é, calcula-se : 1. A armadura longitudinal de flexão 2. A tensão de compressão no concreto no bordo comprimido 3. A armadura transversal ( estribo) 4. A tensão de compressão no concreto na direção das bielas. Essas bielas são as diagonais na treliça de Mörsch. 5. A armadura longitudinal ao longo da altura da viga .

Essa armadura, chamada de ferro costela, é normalmente definida por um

valor mínimo pré-fixado, aliás erroneamente pela antiga norma NB01/78,

Ver [18].

A nova norma NBR6118 / 2002 modificou o valor de armadura mínima de

ferro costela. Ver [25]

Quando a viga em balanço tem o comprimento menor que a altura, passa a ser chamada de consolo curto e alguns dos dimensionamentos acima citados são erroneamente executados ou até não são feitos, por se desconhecer o real funcionamento de um tal tipo de estrutura. Na realidade, existem vários estudos de diversos pesquisadores que podem levar a conclusões para o dimensionamento de um consolo curto. Ver as referências [1], [2] etc... A seqüência natural a ser seguida no dimensionamento será:

1. Definir as dimensões ( b, h ) da seção de concreto do consolo curto.

2. Calcular a armadura longitudinal de flexão do bordo tracionado

3. Determinar a armadura longitudinal ao longo da altura da viga (costela)

4. A armadura de estribos, embora não seja importante nos consolos

curtos.


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3- RELAÇÃO LIMITE

ha QUE DEFINE UM CONSOLO CURTO.

Consideremos uma viga em balanço ( Figura 1) carregada com uma carga concentrada P. Desprezando o peso próprio da viga, temos os diagramas de momento fletor ( figura 2) e de força cortante ( figura 3 )

Momento Fletor

Força Cortante


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3.1 - Dimensionamento à flexão segundo a NB1-78 Na seção do engaste temos o momento fletor : M max. = P. a Numa seção normalmente armada, a ruptura do concreto ocorre no mesmo instante em que o aço atinge a tensão de escoamento. Os elongamentos são os indicados na figura 4 abaixo.

O alongamento εyd do aço é definido como na figura 5.

o4,07%2.100.000

1,1550000,002Esfyd0,002ydε =+=+=

d0,4624d4,073,53,5d

εydεcdεcdx ⋅=⋅+=⋅+

=

d0,3700,8xy ⋅==

d0,8152ydz ⋅=−=

dbfcd0,315yb0,85fcdRc ⋅⋅⋅=⋅⋅= fydAsRt ⋅=


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)(,,

mínimaarmaduraàecorrespondquedbfcd040dbfcd2560zRczRtMu

2

2

⋅⋅⋅≥

⋅⋅⋅=×=×=

Mdfydd

fydzMdAs ⋅⋅

=⋅

=815,0

aPMmáxMd ⋅⋅=⋅= 4,1.4,1 Como MuMd ≤

2db41fck2560aP41 ⋅⋅×≤⋅⋅,

,, logo : da

fck0,131db

Pτ ⋅≤⋅

=

3.2 – Dimensionamento ao cisalhamento ( NB1-78) Esmagamento da biela

/cm2kgf 45) 2250kgf/cmfck até prevalece ( 0,25fcd τwd =≤

fcd0,25dbP1,4

dbVdwdτ ⋅≤

⋅⋅

=⋅

=

fck0,1281,41,4fck0,25

dbVwτ ⋅=

×⋅=

⋅=

Na figura 6 estão indicadas as tensões τ correspondentes aos dimensionamentos à flexão e ao cisalhamento. Como se observa, para o aço

CA50B, a relação 02,1da= é o limite que define a mudança do tipo de ruptura.

Fig. 6


Parte 1


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Variando a percentagem de armadura de flexão )( Lρ teríamos curvas diversas para a ruptura por flexão. (Figura 7)

Como se observa, a relação

da limite varia com a armadura de flexão )( Lρ

usada.


Parte 1


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4- VERIFICAÇÃO DA TENSÂO DE COMPRESSÃO NO CONCRETO PARA ( a/d )<1

Ensaio C.Haguenauer [26]

Considerando a hipótese de formação de

uma só biela, quando 1da

<

, temos

sen2αdb0,2P

cosααsend0,4bPσ

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅=

cdfsen2αdb0,2

dPdσ ≤

⋅⋅⋅=

αsen2cdf0,2db

dPdτ ⋅⋅≤

⋅=

Para 0,8dao45α == teríamos

1sen2α = ; cdf0,2db

dPdτ ⋅≤

⋅=⇒


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Variando

da obtemos :

da

limiteτd

Observação

1,0 0,195 fcd

0,8 0,200 fcd

0,7 0,198 fcd

0,6 0,192 fcd

0,5 0,180 fcd

0,2fcdτd ≅

0,4 0,160 fcd

0,3 0,132 fcd

0,2 0,094 fcd

0,1 0,049 fcd 0 0

Nessa faixa de ( a/d ) a hipótese de uma biela única contraria os resultados experimentais

Para consolos muito curtos, com 500,da ≤ , pode-se observar que a hipótese de uma só biela conduz a resultados em desacordo com as experiências. Por isso a ACI recomenda o uso da teoria de Cisalhamento-Atrito ( “Shear Friction”).


Parte 1


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Segundo a Teoria da Costura, formam-se bielas comprimidas a 45o, como mostrado na figura 10

Teoria da costura

Fig. 10

Ensaio de.C Haguenauer [ 26 ]

A teoria Cisalhamento- Atrito = “Shear Friction” não é a mesma coisa que a regra da “Costura”, embora os resultados finais sejam semelhantes. Segundo a Teoria de Cisalhamento–Atrito = “Shear - Friction” , a presença de armadura, atravessando a plano de cisalhamento, impede o afastamento das duas partes fazendo surgir uma força normal N, que aumenta o atrito entre as duas partes (Figura 11) .

Teoria do Cisalhamento – Atrito ( “ Shear – friction” )

Figura 11

Orientação geral da fissura


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EXEMPLOS de consolos muito curtos mostrados por Fritz Leonhardt.

Ver Ref. [17] Vários tipos de suportes são executados com placas comprimidas por forças de protensão.

PROTENSÃO

, Figura 12 A

O atrito é muito importante no funcionamento desses tipos de apoio e para isso as forças de protensão devem ser corretamente dimensionadas. A força P, a ser suportada pela placa de apoio, deve ser equilibrada pela força Z de tração e pela força inclinada D , como mostrado na figura12A. Para o bom funcionamento das forças de atrito, a força de protensão V deve ser maior que a força Z obtida decompondo a força P em duas direções.

Figura 12 B

O assentamento da placa de aço deve ser feito com argamassa resistente, para permitir uma perfeita transmissão dos esforços. O concreto da parede deve ser rugoso . Para isso usar jato de areia, para retirar a nata do concreto, deixando aparente o agregado. Não deve ser usado apicoamento, pois isso pode fraturar o concreto da parede, reduzindo a sua resistência.


Parte 1


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Teoria do Cisalhamento–Atrito ou “ Shear – friction”

→σ

σ←

De um modo geral, os resultados da teoria de cisalhamento-atrito ( “Shear – Friction”) têm sido analisados usando a fórmula :

+⋅⋅+= σyfρµoτuτ

onde:

uτ = tensão última de cisalhamento

2cmkgf 40oτ ≅ é o valor de τu para 0σyfρ =+⋅

e a norma americana ACI não

considera o “ oτ ” na sua formulação.

aço sobre concreto 0,7 concreto sobre concreto 1,0

mconcretage de junta sem 1,4 µ = equivale a um coeficiente de atrito.

O valor de (µ ) observado nos ensaios é da ordem de 0,7 a 0,8 , porém é adotado pela ACI como sendo 1.0µ = , visto que a parcela oτ não é considerada. Ver

figura 22. ρ= porcentagem de armadura que atravessa o plano de cisalhamento, em relação à área

de concreto. fy = tensão de escoamento do aço. Não adianta ser muito elevada pois não seria atingida na ruptura do consolo. σ = tensão normal à fissura , provocada por cargas externas, sendo

tração-compressão σ +

=


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Uma observação feita por Robinson [2] sobre a inclinação das fissuras em consolos curtos por ele ensaiados:

Figura 14

Ensaio de.C. Haguenauer [ 26 ]

“ O ângulo α das fissuras varia com a relação

ha segundo a relação:

( )2,5ha2522,5graus) em ( α ±×+=

”

Quando o 22,5α0ha →→

, isto é , um valor intermediário entre a teoria da costura, na

qual o45α = , e a teoria do cisalhamento-atrito ( “Shear – Friction”) na qual o 0α =

Para o 45 2,542,5α0,8ha ≅±=→=

Resumindo o que foi analisado anteriormente, poderíamos dividir os consolos definidos pela

relação

ha em 3 tipos :

• Normal .............................................

<ha0,1

• Curto ............................. 0,1ha5,0 ≤≤

• Muito Curto.......... 5,0ha <

Ver figura 15 adiante.


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Resumo dos cálculos elaborados com os diferentes modelos Na figura 15 abaixo estão mostrados os valores da tensão admissível de cisalhamento, ( em estado limite de utilização ), para consolos muito curtos, curtos e normais.

Figura 15


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5- ENSAIOS DE MATTOCK [5]

Estes ensaios, mostrados adiante, esclarecem a influência da atuação de um momento fletor ou de uma força normal na resistência ao cisalhamento de uma seção de concreto. Ver figuras 16 a 23. 5.1 – EFEITO DO MOMENTO FLETOR

Figura 16


Parte 2


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Resultados dos ensaios de Mattock

Conclusão dos ensaios de Mattock [5] : A atuação de um momento no plano de cisalhamento, menor ou igual ao momento último de flexão, não reduz a resistência à transmissão do cisalhamento.


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5.2 – EFEITO DA FORÇA NORMAL

s

←traçãoσ

a

traçãoσ→ a

Figura 19

CORPOS DE PROVA NÃO PRÉ-FISSURADOS

42 kgf/cm2

fyρσ ⋅+


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CORPOS DE PROVA PRÉ-FISSURADOS

28 kgf/cm2

Figura 21

fyρσ ⋅+

Com base nos ensaios de corpos de prova indicados na Fig.19, Mattock [5] concluiu :

• Uma força de tração, atuando na seção, causa uma redução da resistência ao cisalhamento igual a uma diminuição da armação tal que σfyρ =⋅ .

• Onde σ é a tensão normal devida à força normal atuante. • Ver figuras 20 e 21. acima


Parte 2


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6 - COMPARAÇÃO COM AS FÓRMULAS DE MATTOCK E DE BIRKLELAND

Tendo em vista a possibilidade da existência de fissuras causadas por juntas de concretagem, pela retração, foram realizados ensaios em corpos pré-fissurados.

Figura 22

Segundo Mattock [5], a tensão última de cisalhamento vale :

• 0,30fck)Nσfy(ρ0,8282cmkgfτu

)(≤+⋅⋅+=

• Devendo ser usado um mínimo :

≥+⋅ 2kgf/cm 14)Nσfy(ρ

• Com 0Nσ = e com fy = 5000 ( kgf/cm2) teremos : 0,28%mín.ρ =


Parte 2


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7- COMPARAÇÃO COM AS NORMAS ACI E PCI

Foram também realizados ensaios em corpos de prova pré-fissurados, com tensão de tração no plano submetido ao cisalhamento . Ver figura 23.

Figura 23

fyρσN ⋅+

• Segundo a norma ACI = American Concrete Institute

1,4µcom

2cmkgf56800psi

0,2fck 0,2fc' )Nσyf(ρµuτ

==

≅≤+⋅⋅=

• Segundo a norma PCI = Prestressed Concrete Institute

( )( ) ( )

1,4µcom

2cmkgf841200psi

0,25fck fc' 0,25 0,5

Nσyfρ300)Nσyf(ρµuτ )(

=

=

≅≤+

+⋅⋅+⋅⋅=

psipsipsi


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8 - CONCLUSÕES PARA PROJETO 8.1 Resumo da limitação da tensão “τ ” para evitar o esmagamento do concreto em um consolo curto Conforme mostrado a seguir, na figura 24, foram comparados os ensaios de Mattock [5] com as recomendações das normas CEB/ 78 , ACI-318/77 e DIN 1045/78, para um concreto com fck =210 kgf/cm2. Conforme indicado na figura 24, sugerimos que se adote na NB1, tanto nas vigas esbeltas como nos consolos curtos e muito curtos, a limitação 0,25fcdτwd ≤ .

Teríamos então um critério uniforme independente da relação

da .

TENSÃO LIMITE DE CISALHAMENTO EM ESTADO DE UTILIZAÇÃO

Figura 24


Parte 3


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8.2 – Armadura do bordo superior ≡Armadura de flexão

Ensaio de C.Haguenauer [ 26 ]

Força na armadura de flexão : Hd0,80aPT +××=

No estado limite último teremos: H1,4d0,8

aP1,4Td ×+×××=

×+

××××=== H1,4d0,8

aP1,4fyk1,15

1,15fykTd

fydTdAs daí resultando:

a

Ac= Armadura de costela

P As = Armadura de flexão

≅ 0,8d d

Fendilhamento da Biela comprimida

HT

Fig. 25


Parte 3


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×+×××= H1,6

daP2,0

fyk1As com o mínimo :

0,15% fykfck0,04

dbAsρs

×≥

×=

8.3- Armadura de costela ( costura )

××

=≥×

=

1,15fyk

dbP1,4

fyddτ

db(costela)c.A

necessária costelaρ , onde :

AC. = Área do ferro de costela

com os limites : 45kgf/cm20,25fcd

dτ ≤ sendo 24350kgf/cmfyd ≤

ferros costelas

Ensaio de.Haguenauer [ 26 ]

Essa armadura de costura também funciona como fretagem evitando o fendilhamento da biela quando ( a/d ) > 0,50.

8.4 – Valor mínimo da armadura de costela ( costura) ... db

cAcρ ×=

• Segundo a norma americana ACI :

dbsA

0,50sρ0,50db

cA mínima costelaρ

××=×≥

×= , isto é:

(flexão)sA0,50mínimacostelaA ×=

• Segundo a nova norma NBR 6118 /2002 : %0,20mínima costelaρ ≥ .


Parte 3


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• Segundo Mattock: [5] : 214kgf/cmfymínima. costelaρ )( ≥× .

• Com fy = 5000 kgf/cm2 teremos %0,28mínima costelaρ ≥ .

É necessária uma transição entre o consolo muito curto e o consolo normal.

Uma alternativa é a apresentada na figura 26 abaixo.

Fig. 26

A norma NB 1/ 78 recomendava uma taxa de armadura mínima de 0,1%. A nova norma NBR 6118 / 2002 recomenda agora uma taxa de armadura mínima de ferro costela de 0,2 % .


Parte 3


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Na transição “ Consolo Curto x Consolo Normal ” , isto é, na transição Cisalhamento X Flexão, foi considerado que a relação ( a / d ) limite, varia de 1,0 a 1,45 conforme mostrado na tabela adiante.

Limite de

da para os diversos aços :

Aço

da limite

CA 25 1,45 CA 32 1,32

CA 40 A 1,34 CA 40 B 1,07 CA50 A 1,28 CA50 B 1,02 CA 60 A 1,21 CA 60 B 0,98

• Nos aços sem patamar de escoamento, do tipo B, a relação limite

da é ≅ 1,0.

• Nos outros aços a relação limite

da atinge o valor 1,45 .

Fig. 27


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Entre um consolo muito curto e uma viga esbelta comum em balanço, deve haver também uma transição para os estribos.

• Abaixo sugerimos zonas de transição para os dois tipos de armadura, tanto para o ferro costela ( costura) como também para os estribos.

• A transição sugerida abaixo é feita para o aço CA50B , que é o mais usado nas estruturas de concreto armado.

Armadura de Costura ( Costela ) - Aço CA 50B

Figura 28 A

Armadura de Estribos – Aço CA 50B

Figura 28 B

costelaρ

1,00,5

=

fydτd

costelaρ

costelaρ ≥ 0,2 %

da

1,5


Parte 4


1

9 Exemplo numérico Analisemos um consolo curto suportando uma viga de ponte rolante conforme a figura 30 abaixo. Considerar o concreto com fck =200 kgf/cm2 e aço com fyk = 5000 kgf/cm2

Figura 30

9.1 – Verificação do concreto:

1,00,915550

da

<== logo devemos verificar ao cisalhamento 0,25fcddb

dPdτ ≤

×= .

×≤

××=

1,4fck0,25

dbP1,4

dτ

( )( ) ( )

×≤×

×=1,4

2cmkgf2000,25

cm55cmkgf320001,42cmkgfdτ b

Logo : b > 23 cm. Usaremos b= 25 cm


Parte 4


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Tensão limite de cisalhamento Com as dimensões adotadas, a tensão no concreto será:

( )( ) ( )

=×

= 2cmkgf23,3

cm55cm25kgf32000τ

OK

=×<=×= 2cm

kgf2cmkgf

2cmkgf

2cmkgf 35,7

1,4

2000,2532,623,31,4dτ

9.2 – Armadura de flexão Aço CA50

×+×××= H1,6

daP2,0

fyk1As com o mínimo :

0,15% fykfck0,04

dbAsρs

×≥

×=

( ) ( )( )

( ) 212,6cm=×+×

××=

kgf30001,6m0,55

m0,50kgf320002,02cmkgf5000

1As

Ac= Armadura de costela

P As = Armadura de flexão

≅ 0,8d d

Fendilhamento da Biela comprimida

HT

Fig. 25

a


Parte 4


3

Armadura mínima de flexão :

0,15%

%0,1650002000,04 db

0,15% fykfck0,04

dbflexãoAs =×××=×

××≥

( ) ( )

=××≥ 2cm2,2cm55cm250,16%As

Logo As = 12,6 cm2

9.3 – Verificação da segurança à fadiga do aço da armadura de flexão: Variação da força de tração no aço:

( ) ( )( ) ( )kgf34000m0,550,8

m0,50kgf30000aço∆T =×

×=

Variação da tensão de tração no aço

( )

=== 2cmkgf27002cm12,6

kgf34000Asaço∆T

aço∆σ

Segundo a norma DIN 1045 item 17.8, o limite admissível da variação de tensão, para que não haja fadiga no aço, é o seguinte :

≤ 2cmkgf1400∆σ

A armadura necessária, segundo a DIN 1045 item 17.8, seria então:

( ) ( )

==≥ 2cm24,3

2cmkgf1400kgf34000

2cmkgf1400kgf∆T2cmAs

Usaremos 16 φ 16mm = 32cm2 .


Parte 4


4

9.4 Armadura de costela ( costura ) – Aço CA50

Figura 31

• ( ) 0,75%1,15500023,31,4

fyddτ

costelaρ =×==

As costela = ( 0,75 % ) × (25cm × 55cm)= 10,3 cm2 = 14 φ 10mm. Usando 16 φ 10mm, A s = 16 x 0,8 cm2 = 12,8 cm2 .

• Segundo a norma ACI : 12,6cm20,50fadiga)semão0,5As(flexAc ×=≥ =6,3cm2

• Se usarmos a transição para 0,91=

da obteremos :

As costela = 7,2 cm2. Ver fig 31. Usando 16 ferros de 8mm= 8,0 cm2

9.5 Armadura de estribo – Aço CA50 Segundo a figura 18B a porcentagem mínima de estribos vale 0,14% .

Considerando : espaçamento entre estribos = 12cm ; largura do consolo = 25cm As estribo = 0,14% x 12cm x 25cm = 0,42cm2 = estribo 6,3mm. Usar 8mm

1,0 0,5 da

costelaA

1,5

0,91

210,3cmAcfydτd

costelaρ =⇒=

Ac=7,2cm2

ρ costela mín. =0,2% Ac=2,8cm2


Parte 4


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9.6 – Tirante pendurando a carga - Aço CA50 A Viga contínua de concreto armado transmite a força cortante máxima através de uma biela inclinada que se apóia na parte inferior da armadura de suspensão. Ver figura 32.

Figura 32

Considerando o carregamento sem causar fadiga:

210,3cm1,15)2kgf/cm(5000)kgf(320001,4

fydTdAt =×==

Considerando o carregamento como sendo repetido e causando fadiga no aço, seguiremos a recomendação da Norma alemã DIN 1045 – item 17.8:

)2cm/kgf(1400∆σ ≤

Força variável de tração: T= 30000 kgf.

221,4cm)2m1400(kgf/c

30000kgf 2kgf/cm1400

∆TAt ===

Usaremos 16 ferros 12,5mm = 20cm2.


Parte 4


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9.7 – Detalhes da Armadura Teremos o detalhe para a armadura do consolo indicado nas páginas 32 e 33. Os ferros teriam a forma indicada nas figuras 34 a 36 com raios de dobramento de estribo definidos pela NB1

Vista Lateral

Planta

4x4 ferros 8mm

2 estribos 8mm


Parte 4


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DETALHE DOS FERROS DAS ARMADURAS

ARMADURA DE FLEXÃO

Fig. 34 Em planta

ARMADURA DE COSTELA ( COSTURA)

Fig. 35 Em planta

ARMADURA DO TIRANTE ( ARMADURA DE SUSPENSÃO)

Fig. 36 Em vista lateral

16 φ 8mm


Parte 5


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REFERÊNCIAS : 1 ) Franz, Gotthard -Konstruktionslehre des Stahlbetons -Grundlagen und Bauelemente -Springer Verlag 1964. 2) Robinson, Jacques Ramsay -Éléments construtifs spéciaux du Béton Armé. Eyrolles 1975. 3) Hermansen, Bjorn R. and Cowan, John - Modified Shear-Friction Theory for Bracket Design - ACI Journal / February 1974. 4) Steinle, Alfred - Zur Frage der Mindestabmessungen von Konsolen. Beton-und Stahlbetonbau 6 / 1975. 5) Mattock Alan H., L. Johal , H. C. Chen - Shear transfer in reinforced concrete with moment or tension acting across the shear plane-PCI Journal July-August 1975. 6) Mattock Alan H. and K. C. Chen and K. Soongswang -The behaviour of reinforced Concrete Corbels. PCI Joumal / March-April 1976. 7 ) Franz, Gotthard –Stützenkonsolen - Beton und Stahlbetonbau 4/1976. 8) Mattock, Alan H. -Design proposals for reinforced concrete corbels. PCI Journal / May -June 1976. 9) Cortini Primo, Jacques Fauchart Studio sperimentali di giunti orizzontali fra pannelli prefabricati per muri. Annales de l'Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics. 10) H. P. J. Taylor and J. L. Clarke Some detailing problems in concrete frame structures -The Structural Engineer / January 1976 / No. 1 / Volume 54. 11) Daschner F. - Notwendige Schubbewehrung zwischen Betonfertigteilen und Ortbeton. Lehrstuhl fuer Massivbau. Institut fuer Bauingenieurwesen Technische Universitaet, Muenchen 1976. 12) Robinson J. R. -L'Armature des Consoles Courtes. -Aus Theorie und Praxis des Stahlbetonbaues -1969 -Wilhelm ErnSt & Sohn. 13) Deutscher Ausschuss fuer Stahlbeton Heft 220 -Bemessung von Beton und Stahlbeton-bauteilen, nach DIN 1045 / Dezember 1978.

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