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Questões de Matemática – Aula 1

Emerson Marcos Furtado1

Tópicos abordados:

Conjuntos

Números e operações

Equações do 1.º e 2.º graus

1. (FCC) – Comparados os totais de documentos protocolados no mês de janeiro por dois funcionários do Tribunal de Contas, constatou-se que: Samuel havia protocolado 498 documentos, 123 a mais que o triplo da quantidade de documentos protocolados por Cirino. Sabedor disso e pretendendo calcular a quantidade de documentos protocolados por Cirino nesse mês, outro funcionário efetuou 498 +123 e, em seguida, dividiu o resultado obtido por 3, concluindo, então, que Cirino havia protocolado 207 processos. Com referência aos cálculos efetuados por tal funcionário, é verdade que:

a) não estão corretos. Primeiramente, ele deveria ter efetuado 498 - 123 e, em seguida, calculado o valor de 375 / 3, obtendo assim, o resultado pretendido.

b) não estão corretos. Primeiramente, ele deveria ter efetuado 123 . 3 e, em seguida, calculado o valor de 498 – 369, obtendo assim, o resul-tado pretendido.

c) estão incompletos. Ele ainda deveria ter efetuado 207 . 3 para, en-tão, obter o resultado pretendido.

d) não estão corretos. Primeiramente, ele deveria ter efetuado 498 / 3 e, em seguida, calculado o valor de 166 –123 a fim de obter o resul-tado pretendido.

e) estão corretos.

1 Mestre em Métodos Nu-méricos pela UniversidadeFederal do Paraná (UFPR)Licenciado em Matemáti-ca pela UFPR. Professor doEnsino Médio de colégiosnos estados do Paraná eSanta Catarina desde 1992;professor do Curso Positivode Curitiba desde 1996; pro-fessor da Universidade Posi-tivo, de 2000 a 2005; autor delivros didáticos, destinados aconcursos públicos, nas áreasde Matemática, MatemáticaFinanceira, Raciocínio Lógicoe Estatística; sócio-diretor doInstituto de Pesquisas e Pro-jetos Educacionais Práxis, de2003 a 2007; sócio-professordo Colégio Positivo de Join-ville desde 2006; sócio-diretor da empresa Teorema– Produção de MateriaisDidáticos Ltda. desde 2005;autor de material didáticopara o Sistema de Ensino doGrupo Positivo, de 2005 a2009; professor do CEC –Concursos e Editora de Curi-tiba, desde 1992, lecionandoas disciplinas de RaciocínioLógico, Estatística, Matemá-tica e Matemática Financeira;consultor da empresa Result– Consultoria em Avaliaçãode Curitiba, de 1998 a 2000;consultor em EstatísticaAplicada com projetos depesquisa desenvolvidos nasáreas socioeconômica, qua-lidade, educacional, indus-trial e eleições desde 1999;membro do Instituto dePromoção de Capacitaçãoe Desenvolvimento (IPRO-CADE) desde 2008; autor dequestões para concursos pú-blicos no estado do Paranádesde 2003.


1

Solução:

As quantidades de documentos protocolados são dadas por:

Cirino: C documentos �

Samuel: 3C � + 123 documentos (123 a mais que o triplo)

Se Samuel protocolou 498 documentos, então:

3C + 123 = 498

3C = 498 – 123

Logo, para obter a quantidade de documentos protocolados por Cirino, o correto seria efetuar 498 – 123 e, em seguida, dividir o resultado obtido por 3.

Resposta: A

2. (Esaf ) – Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía e, ao sair de cada uma das lojas pagou R$2,00 de estacionamento. Se no final ainda tinha R$8,00, que quantia Pedro tinha ao sair de casa?

a) R$220,00

b) R$204,00

c) R$196,00

d) R$188,00

e) R$180,00

Solução:

O problema pode ser resolvido de dois modos principais: modo algébri-co e modo aritmético. Supondo que Pedro possuísse x reais ao sair de casa, temos:


2

1.º modo: Algébrico

Entra Gasta Estacionamento Sobra

1.ª loja xx

22

x - 4

2

Sobra da 1.ª loja:


1.ª loja xx

22

x - 4

2

2.ª lojax - 4

2

x - 4

42

x - 12

4

Sobra da 2.ª loja:


1.ª loja xx

22

x - 4

2

2.ª lojax - 4

2

x - 4

42

x - 12

4

3.ª lojax - 12

4

x - 12

82

x - 28

8

Sobra da 3.ª loja:


1.ª loja xx

22

x - 4

2

2.ª lojax - 4

2

x - 4

42

x - 12

4

3.ª lojax - 12

4

x - 12

82

x - 28

8

4.ª lojax - 28

8

x - 28

162

x - 60

16


3

Sobra da 4.ª loja:

Se ao final ele possuía R$8,00, então:

x - 60

16 = 8

x – 60 = 16 . 8

x – 60 = 128

x = 128 + 60

x = 188

2.º modo: Aritmético

Final: R$8,00

Estacionamento: 8 + 2 = 10

4.ª loja: 10 . 2 = 20


3.ª loja: 22 . 2 = 44


2.ª loja: 46 . 2 = 92


1.ª loja: 94 . 2 = 188

Resposta: D

3. (Esaf ) – Foi feita uma pesquisa de opinião para determinar o nível de aprovação popular a três diferentes propostas de políticas governa-mentais para redução da criminalidade. As propostas (referidas como A, B e C) não eram mutuamente excludentes, de modo que o entre-vistado poderia se declarar ou contra todas elas, ou a favor de apenas uma, ou a favor de apenas duas, ou a favor de todas as três. Dos entre-vistados, 78% declararam-se favoráveis a pelo menos uma delas. Ainda do total dos entrevistados, 50% declararam-se favoráveis à proposta A, 30% à proposta B e 20% à proposta C. Sabe-se, ainda, que 5% do total


4

dos entrevistados se declararam favoráveis a todas as três propostas. Assim, a porcentagem dos entrevistados que se declararam favoráveis a mais de uma das três propostas foi igual a:

a) 17%

b) 5%

c) 10%

d) 12%

e) 22%

Solução:

Organizando as informações em diagramas, temos:

A B

C

a b

c

zy

x

5%

20%

30%

50%Contra as três

22%

Se 78% declararam-se favoráveis a pelo menos uma delas, então:

a + b + c + x + y + z + 5% = 78%

a + b + c + x + y + z = 78% – 5%

a + b + c + x + y + z = 73%


5

Utilizando os percentuais totais dos 3 conjuntos, temos:

a + x + y + 5% = 50%

b + x + z + 5% = 30%

c + y + z + 5% = 20%

Somando as três equações, temos:

(a + b + c + x + y + z) + (x + y + z) + (5% + 5% + 5%) = 100%

(73%) + (x + y + z) + (15%) = 100%

x + y + z = 100% – 73% – 15%

x + y + z = 12%

A porcentagem dos entrevistados que se declararam favoráveis a mais de uma das três propostas é dada por:

x + y + z + 5% = (x + y + z) + 5% = (12%) + 5% = 17%

Resposta: A

4. (Esaf ) – Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados, 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de to-dos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como ga-tos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é:

a) 50

b) 10

c) 20

d) 40

e) 70


6

Solução:

Sejam:

C � A quantidade de cães da clínica

G � A quantidade de gatos da clínica

A quantidade de animais que agem como cães é igual à quantidade de cães que agem como cães, adicionada da quantidade de gatos que agem como cães. Logo:

0,80 . (C + G) = 0,90 . C + 0,10 . G

0,80 . C + 0,80 . G = 0,90 . C + 0,10 . G

0,80 . G – 0,10 . G = 0,90 . C – 0,80 . C

0,70 . G = 0,10 . C

Multiplicando ambos os membros da equação por 10, temos:

7G = C

Se 10 gatos estão hospedados na clínica veterinária, então:

7 . 10 = C

C = 70

Portanto, 70 cães estão hospedados na clínica.

Resposta: E

5. (FCC) – No esquema se tem representada a multiplicação de dois nú-meros inteiros, no qual alguns algarismos foram substituídos pelas le-tras A, B, C e D.

A B 2 C

X 4

1 5 7 D 2


7

Completado o diagrama corretamente, é verdade que:

a) C = D + 1

b) B = A2

c) A + B = C + D

d) A – C = 5

e) A = D0

Solução:

Pelo esquema, temos:

4 . C = ?2

Ou seja, o produto de 4 por C é um número cujo algarismo das unidades é igual a 2.

Existem apenas duas possibilidades:

C = 3 4 . 3 = 12

C = 8 4 . 8 = 32

Tablet

Vamos analisar cada uma delas.

Se C = 3, temos:

A B 2 3

X 4

1 5 7 D 2

1

A B 2 3

X 4

1 5 7 9 2

1


8

Nesse caso, teríamos D = 9 e o produto de 4 pelo algarismo B deveria resultar em um número cujo algarismo das unidades é igual a 7. Isso é im-possível, pois o produto de um número inteiro por 4 resulta sempre em um número par que não pode terminar com 7.

Logo, a hipótese de que C = 3 está descartada. Só resta a hipótese de que C = 8:

A B 2 8

X 4

1 5 7 D 2

3

A B 2 8

X 4

1 5 7 1 2

3

Nessa hipótese, teríamos D = 1. Além disso, (4 . B + 1) deve ser um número cujo algarismo das unidades terminaria em 7. Nesse caso, existem duas possibilidades:

B = 4 4 . 4 + 1 = 17

B = 9 4 . 9 + 1 = 37

Para B = 4, por exemplo, teríamos:

A 4 2 8

X 4

1 5 7 1 2

1

Nesse caso, (4 . A + 1) deveria resultar em 15, o que é impossível, observe:


9

4 . A + 1 = 15

4 . A = 15 – 1

4 . A = 14

Não existe A inteiro tal que 4 . A = 14.

Assim, a hipótese de que B = 4 está descartada.

Se B = 9, temos:

A 9 2 8

X 4

1 5 7 1 2

3

Nessa hipótese, teríamos:

4 . A + 3 = 15

4 . A = 15 – 3

4 . A = 12

A = 3

O esquema, então, teria a seguinte forma:

3 9 2 8

X 4

1 5 7 1 2

Portanto:

A = 3

B = 9

C = 8

D = 1


10

A única relação verdadeira entre as incógnitas é:

B = A2

9 = 32 Verdadeira

Resposta: B

6. (FCC) – Considere três números estritamente positivos e siga as instru-ções abaixo.

I. Adicionar 3 unidades a cada um deles.

II. Adicionar os três resultados encontrados em I.

III. Multiplicar por 3 o resultado encontrado em II.

IV. Subtrair 6 do resultado encontrado em III.

V. Adicionar 15 ao resultado encontrado em IV.

VI. Dividir por 3 o resultado encontrado em V.

VII. Subtrair o resultado encontrado em II do resultado encontrado em VI.

O resultado encontrado em VII é:

a) a soma dos três números considerados.

b) o triplo da soma dos três números considerados.

c) 2

d) 3

e) 4

Solução:

Sejam a, b e c os números dados. Vamos seguir as instruções:

I. Adicionar 3 unidades a cada um deles:

(a + 3), (b + 3), (c + 3)

II. Adicionar os três resultados encontrados em I:

(a + 3) + (b + 3) + (c + 3) = (a + b + c) + 9


11

III. Multiplicar por 3 o resultado encontrado em II:

[(a + b + c) + 9] . 3 = (a + b + c) . 3 + 9 . 3 = (a + b + c) . 3 + 27

IV. Subtrair 6 do resultado encontrado em III:

[(a + b + c) . 3 + 27] – 6 =

(a + b + c) . 3 + 21

V. Adicionar 15 ao resultado encontrado em IV:

[(a + b + c) . 3 + 21] + 15 =

(a + b + c) . 3 + 36

VI. Dividir por 3 o resultado encontrado em V:

(a + b + c) . 3 + 36

3

(a + b + c) . 3

3

36

3= + = (a + b + c) + 12

VII. Subtrair o resultado encontrado em II do resultado encontrado em VI:

[(a + b + c) + 12] – [(a + b + c) + 9] = a + b + c + 12 – a – b – c – 9 = 12 – 9 = 3

Logo, o resultado encontrado em VII é igual a 3.

Resposta: D

7. (Cesgranrio) – Considerando-se N um número inteiro e positivo, anali-se as afirmações seguintes, qualquer que seja o valor de N:

I. N2 + N + 1 é um número ímpar;

II. N . (N + 1) . (N + 2) é um número múltiplo de 3;

III. N2 tem uma quantidade par de divisores;

IV. N + (N + 1) + (N + 2) é um número múltiplo de 6.

A quantidade de afirmações verdadeiras é

a) 1

b) 2

c) 3


12

d) 4

e) 0

Solução:

I. Verdadeira

Fatorando, temos:

N2 + N + 1 = N . (N + 1) + 1

Observe que N . (N + 1) é o produto de dois números inteiros consecuti-vos. Logo, necessariamente um deles é par e o outro é ímpar. Como o produ-to de um número par por um ímpar é sempre par, conclui–se que N . (N + 1) é par. Logo, N . (N + 1) + 1 é ímpar.

II. Verdadeira

O produto de três números inteiros consecutivos, N . (N + 1) . (N + 2), é um número múltiplo de 3, pois um dos números é necessariamente múltiplo de 3.

III. Verdadeira

Para cada divisor positivo de N2, existe um divisor negativo. Logo, neces-sariamente a quantidade de divisores de qualquer número inteiro é par.

IV. Falsa

Para N = 2, por exemplo, temos:

N + (N + 1) + (N + 2) = 2 + (2 + 1) + (2 + 2) = 9

O número 9 não é um número múltiplo de 6.

Logo, exatamente três afirmações são verdadeiras.

Resposta: C

8. (Esaf ) – Uma escola de idiomas oferece apenas três cursos: um curso de Alemão, um curso de Francês e um curso de Inglês. A escola possui 200 alunos e cada aluno pode matricular-se em quantos cursos dese-jar. No corrente ano, 50% dos alunos estão matriculados no curso de Alemão, 30% no curso de Francês e 40% no de Inglês. Sabendo-se que


13

5% dos alunos estão matriculados em todos os três cursos, o número de alunos matriculados em mais de um curso é igual a

a) 30

b) 10

c) 15

d) 5

e) 20

Solução:

Se adicionarmos os percentuais de alunos matriculados em Alemão, Fran-cês e Inglês, teremos:

50% + 30% + 40% = 120%

Se o total de alunos é igual 100%, então, necessariamente, 20% dos alunos foram contabilizados mais de uma vez. Os alunos que se matricula-ram em um único curso foram contabilizados uma única vez. Logo, foram contabilizados corretamente. Os alunos que se matricularam nos três cursos foram contabilizados 3 vezes. Como desejamos contabilizá-los apenas uma vez, é necessário subtrair o percentual igual a 5% duas vezes, para se encon-trar o percentual de alunos que se matricularam em exatamente dois cursos. Assim, o percentual de alunos matriculados em exatamente dois cursos é dado por:

20% – 2 . 5% = 20% – 10% = 10%

Logo, o percentual de alunos que se matricularam em mais de um curso é dado por:

5% + 10% = 15%

Como existem 200 alunos, temos:

0,15 . 200 = 30

Portanto, 30 alunos estão matriculados em mais de um curso.

Resposta: A


14

9. (Cesgranrio) – Uma escola organiza, para ocupar os seus recreios, um torneio de futebol de botão, com 16 participantes, que seguirá a tabe-la abaixo.

1.ª FASEJOGO 1: A x BJOGO 2: C x DJOGO 3: E x FJOGO 4: G x HJOGO 5: I x JJOGO 6: K x LJOGO 7: M x NJOGO 8: O x P

2.ªFASEJOGO 9: vencedor do jogo 1 x vencedor do jogo 2JOGO 10: vencedor do jogo 3 x vencedor do jogo 4JOGO 11: vencedor do jogo 5 x vencedor do jogo 6JOGO 12: vencedor do jogo 7 x vencedor do jogo 8

FASE SEMIFINALJOGO 13: vencedor do jogo 9 x vencedor do jogo 10JOGO 14: vencedor do jogo 11 x vencedor do jogo 12

FINALJOGO 15: vencedor do jogo 13 x vencedor do jogo 14

Os jogos vão sendo disputados na ordem: primeiro, o jogo 1, a seguir, o jogo 2, depois, o jogo 3 e assim por diante. A cada recreio, é possível realizar, no máximo, 5 jogos. Cada participante joga uma única vez a cada recreio. Quantos recreios, no mínimo, são necessários para se chegar ao campeão do torneio?

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

Solução:

Vamos resolver o problema começando a análise pelos últimos jogos. A final deverá ser realizada em um único dia. Nenhum jogo poderá ser realiza-do junto com o jogo final. Para a fase semifinal é necessário mais um dia. A 2.ª fase será realizada em um único dia e mais nenhum jogo será realizado neste mesmo dia. Para a 1.ª fase serão necessários dois dias, pois, no máximo, 5 jogos poderão ser realizados em um mesmo dia. Desta forma, serão 2 dias para a 1.ª fase, 1 dia para a 2.ª fase, 1 dia para a semifinal e 1 dia para a final, totalizando 2 + 1 + 1 + 1 = 5 dias.

Resposta: C


15

10. (Funrio) – Em uma reunião de agentes da Polícia Rodoviária Federal, verificou-se que a presença por estado correspondia a 46% do Rio de Janeiro, 34% de Minas Gerais e 20% do Espírito Santo. Alguns agentes do Rio de Janeiro se ausentaram antes do final da reunião, alterando o percentual de agentes presentes do Rio de Janeiro para 40%. O per-centual referente ao número de agentes que se retirou em relação ao total inicialmente presente na reunião é de

a) 6%

b) 8%

c) 12%

d) 10%

e) 15%

Solução:

A pergunta não esclarece se o percentual de agentes que se retiraram se refere ao total de agentes da reunião ou ao total de agentes do Rio de Janei-ro. Como não esclarece, subentende-se que o percentual que se pretenda encontrar refira-se ao total de agentes presentes à reunião.

Assim, podemos construir uma regra de três envolvendo a parte constan-te (MG + ES):

54% 60%

x 100%

100 . 54 = 60x

60x = 5 400

x = 5 400/60

x = 90

Resolvendo, obtemos para x um valor igual a 90%. Portanto, conclui-se que 100% – 90% = 10% foi a redução em relação à quantidade de agentes presentes à reunião.

Resposta: D


16

11. (Esaf ) Uma curiosa máquina tem duas teclas, A e B, e um visor no qual aparece um número inteiro x. Quando se aperta a tecla A, o número do visor é substituído por 2x + 1. Quando se aperta a tecla B, o número do visor é substituído por 3x – 1. Se no visor está o número 5, o maior número de dois algarismos que se pode obter, apertando-se qualquer sequência das teclas A e B, é

a) 87

b) 95

c) 92

d) 85

e) 96

Solução:

Para resolver este problema, podemos elaborar algumas hipóteses quanto à sequência das teclas acionadas.

1.ª hipótese: Acionando apenas a tecla A um total de 5 vezes

Início: x = 5

Tecla A: 2x + 1 = 2 . 5 + 1 = 10 + 1 = 11

Tecla A: 2x + 1 = 2 . 11 + 1 = 22 + 1 = 23

Tecla A: 2x + 1 = 2 . 23 + 1 = 46 + 1 = 47

Tecla A: 2x + 1 = 2 . 47 + 1 = 94 + 1 = 95

Tecla A: 2x + 1 = 2 . 95 + 1 = 190 + 1 = 191

Nesta hipótese o maior número de dois algarismos seria igual a 95.

2.ª hipótese: Acionando apenas a tecla B um total de 3 vezes

Início: x = 5

Tecla B: 3x – 1 = 3 . 5 – 1 = 15 – 1 = 14

Tecla B: 3x – 1 = 3 . 14 – 1 = 42 – 1 = 41

Tecla B: 3x – 1 = 3 . 41 – 1 = 123 – 1 = 122


17

Nesta hipótese o maior número de dois algarismos seria igual a 41.

3.ª hipótese: Acionando a tecla A, a tecla B e a tecla B, nesta ordem

Início: x = 5

Tecla A: 2x + 1 = 2 . 5 + 1 = 10 + 1 = 11

Tecla B: 3x – 1 = 3 . 11 – 1 = 33 – 1 = 32

Tecla B: 3x – 1 = 3 . 32 – 1 = 96 – 1 = 95

Nesta hipótese o maior número de dois algarismos também seria igual a 95.

Mesmo com outras hipóteses, não é possível atingir o número 96.

Resposta: B

12. (Funrio) – Uma pesquisa realizada com 1 000 universitários revelou que 280, 400 e 600 desses universitários são alunos de cursos das áre-as de tecnologia, saúde e humanidades, respectivamente. Ela mostrou também que nenhum dos entrevistados é discente de cursos das três áreas e que vários deles fazem cursos em duas áreas. Sabendo que a quantidade de estudantes que fazem cursos das áreas de humanida-des e saúde é igual ao dobro da quantidade dos que realizam cursos das áreas de humanidades e tecnologia que, por sua vez, é igual ao dobro dos que fazem cursos das áreas de tecnologia e saúde, a quanti-dade de entrevistados que fazem apenas cursos da área de tecnologia é igual a

a) 160

b) 280

c) 200

d) 240

e) 120


18

Solução:

Sendo, T o conjunto dos universitários da área de tecnologia, S o conjunto dos universitários da área de saúde, H o conjunto dos universitários da área de humanidades, de acordo com o enunciado, podemos escrever:

n(T) = 280, n(S) = 400, n(H) = 600 e, ainda:

n(T e S e H) = 0

n(T e H) = 2 . n(T e S)

n(S e H) = 2 . n(T e H) = 2 . [ 2 . n(T e S)] = 4 . n(T e S)

Se a quantidade total de universitários é igual a 1 000, temos:

n(T) + n(S) + n(H) – n(T e S) – n(T e H) – n(S e H) + n(T e S e H) = 1 000

280 + 400 + 600 – n(T e S) – 2.n(T e S) – 4.n(T e S) + 0 = 1 000

1 280 – 7.n(T e S) = 1 000

1 280 – 1 000 = 7.n(T e S)

280 = 7.n(T e S)

n(T e S) = 40

Logo:

n(T e H) = 2 . n(T e S) = 2 . 40 = 80

Assim, a quantidade de universitários que fazem apenas cursos da área de Tecnologia é dado por:

n(T) – n(T e S) – n(T e H) = 280 – 40 – 80 = 160

Resposta: A

13. (Cesgranrio) – Existe uma regra prática de divisibilidade por 7 com o seguinte procedimento:


19

Separa-se o último algarismo da direita. Multiplica-se esse algarismo por 2 e tal resultado é subtraído do número que restou sem o algarismo à direita. Procede-se assim, sucessivamente, até se ficar com um número múltiplo de 7, mesmo que seja zero.

Veja os exemplos a seguir:

1.º) 23 457 é múltiplo de 7

–2 3 4 5 7 1 4 (7 . 2 = 14)

–2 3 3 1 2 (1 . 2 = 2)

–2 3 1 2 (1 . 2 = 2)

2 1 (que é múltiplo de 7)

2.º) 2 596 não é múltiplo de 7

–2 5 9 6 1 2 (6 . 2 = 12)

–2 4 7 1 4 (7 . 2 = 14)

1 0 (que não é múltiplo de 7)

Seja a um algarismo no número a13 477 307. O valor de a para que este número seja divisível por 7 é

a) 1

b) 3

c) 5

d) 7

e) 9

Solução:

Número: a13 477 307

Passo 1: a1 347 730 – 7 . 2 = a1 347 730 – 14 = a1 347 716

Passo 2: a 134 771 – 6 . 2 = a 134 771 – 12 = a 134 759


20

Passo 3: a13 475 – 9 . 2 = a13 475 – 18 = a13 457

Passo 4: a1 345 – 7 . 2 = a1 345 – 14 = a1 331

Passo 5: a 133 – 1 . 2 = a 133 – 2 = a 131

Passo 6: a13 – 1 . 2 = a13 – 2 = a11

Passo 7: a1 – 1 . 2 = a1 – 2 = (10a + 1) – 2 = 10a – 1

Quando um número de dois algarismos é igual a 31, por exemplo, significa que tal número tem 3 dezenas e 1 unidade, ou seja, 31 = 10 . 3 + 1.

Em relação ao número 71, por exemplo, temos 71 = 10 . 7 + 1.

Como poderíamos desmembrar o número de dois algarismos da forma “a1”?

O número “a1” possui “a” dezenas e 1 unidade, logo, a1 = 10 . a + 1.

Substituindo valores de a que estão presentes nas alternativas, temos:

a = 1 10a – 1 = 10 . 1 – 1 = 9 não é múltiplo de 7


a = 5 10a – 1 = 10 . 5 – 1 = 49 múltiplo de 7



Logo, para a = 5 o número é divisível por 7.

Resposta: C

14. (F.C.Chagas) – O número 1001011, do sistema binário de numeração, no sistema decimal de numeração equivale a um número x tal que

a) 0 < x < 26

b) 25 < x < 51

c) 50 < x < 75

d) 74 < x < 100

e) x > 99


21

Solução:

Um número no sistema binário é escrito como a soma dos produtos de potências de 2 (com expoentes consecutivos) cujos coeficientes podem ser apenas os algarismos 0 ou 1. Desta forma, temos:

(1001011)2 = 1 . 26 + 0 . 25 + 0 . 24 + 1 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + 1 . 20

(1001011)2 = 64 + 0 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1

(1001011)2 = (75)10

O número 2 escrito junto ao número 1001011 representa a base do siste-ma de numeração, ou seja, é o sistema binário. Analogamente, o número 75, escrito no sistema decimal apresenta base 10. Assim, o número 1001011 no sistema binário corresponde ao número 75 no sistema decimal. O número 75 está compreendido entre 74 e 100.

Resposta: D

15. (Funrio) – Do seu copo de suco, Isabela bebeu inicialmente 100ml. De-pois, bebeu 1/4 do que restava e, depois de algum tempo, ela bebeu o restante que representava 1/3 do volume inicial. O copo continha inicialmente uma quantidade de suco, em ml, igual a

a) 180

b) 160

c) 200

d) 220

e) 210

Solução:

Se Isabela bebeu, ao final, 1/3 do volume inicial, então ela havia bebido 2/3 do volume no início. Se V é o volume inicial, temos:

1

4

2

3100 + . (V - 100) = . V

Multiplicando por 12 membro a membro, temos:


22

1 200 + 3 . (V – 100) = 8 . V

1 200 + 3 . V – 300 = 8 . V

900 = 8V – 3V

900 = 5V

V = 180

Logo, o copo continha inicialmente 180ml de suco.

Resposta: A

16. (F.C.Chagas) – Considere um número natural qualquer X e siga as se-guintes instruções:

I. Multiplique esse número por 3.

II. Adicione 9 ao resultado obtido em I.

III. Subtraia 6 do resultado obtido em II.

IV. Divida por 3 o resultado obtido em III.

V. Subtraia o número X do resultado obtido em IV.

O resultado obtido em V é igual a:

a) X

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

Solução:

Início: X

Instrução I: 3 . X

Instrução II: 3 . X + 9

Instrução III: (3 . X + 9) – 6 = 3X + 3 = 3 . (X + 1)


23

Instrução IV: 3 . (X + 1) / 3 = X + 1

Instrução V: (X + 1) – X = 1

Logo, o resultado obtido em V é igual a 1.

Resposta: E

17. (CESPE – UnB) – O Tribunal de Contas da União (TCU) conta com um organograma com a seguinte estrutura. Unidades básicas: Secretaria--Geral de Controle Externo (SEGECEX), Secretaria-Geral das Sessões (SGS), Secretaria-Geral de Administração (SEGEDAM). Unidades de apoio estratégico: Secretaria de Planejamento e Gestão (SEPLAN), Se-cretaria de Tecnologia da Informação (SETEC) e Instituto Serzedello Corrêa (ISC).

A SEGECEX tem por finalidade gerenciar a área técnico-executiva de con-trole externo visando prestar apoio e assessoramento às deliberações do Tribunal.

Integram a estrutura da SEGECEX: Secretaria Adjunta de Fiscalização de Pessoal (SEFIP), Secretaria de Fiscalização de Obras e Patrimônio da União (SECOB), Secretaria de Fiscalização de Desestatização (SEFID), Secretaria de Fiscalização e Avaliação de Programas de Governo (SEPROG), Secretaria de Macroavaliação Governamental (SEMAG), Secretaria de Recursos (SERUR) e trinta e duas Secretarias de Controle Externo (SECEX), sendo seis localizadas em Brasília, sede do TCU, e vinte e seis nas capitais dos estados da Federação. A SGS tem por finalidade prestar apoio e assistência ao funcionamento do Plenário e das Câmaras e gerenciar as bases de informação sobre normas, jurisprudência e deliberações do Tribunal. A SEGEDAM tem por finalidade planejar, organizar, dirigir, controlar, coordenar, executar e supervisionar as atividades administrativas necessárias ao funcionamento do Tribunal, con-tando, para tanto, com a Secretaria de Recursos Humanos (SEREC), a Secreta-ria de Orçamento, Finanças e Contabilidade (SECOF), a Secretaria de Material, Patrimônio e Comunicação Administrativa (SEMAT) e a Secretaria de Enge-nharia e Serviços Gerais (SESEG).

Disponível em: <www.tcu.gov.br>. Adaptado.

Considere que A seja o conjunto dos órgãos que integram a SEGECEX e B, o conjunto dos órgãos que integram a SEGEDAM. Com base nas informações do texto acima, julgue os itens a seguir.


24

1. ( ) A B ≠ Ø

2. ( ) O número de secretarias de A B é menor que o somatório do número de secretarias de A e B.

3. ( ) A SERUR é um subconjunto da SEGECEX.

4. ( ) A SESEG é um elemento do conjunto B.

Solução:

A partir das informações, podemos constituir os seguintes conjuntos:

A = {SEFIP, SECOB, SEFID, SEPROG, SEMAG, SERUR, SECEX}

B = {SEREC, SECOF, SEMAT, SESEG}

1. Errado

Não há secretaria comum entre os conjuntos A e B, ou seja, A B = Ø.

2. Errado

Como não há secretaria comum entre os conjuntos A e B, temos:

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)

n(A B) = n(A) + n(B) – n(Ø)

n(A B) = n(A) + n(B) – 0

n(A B) = n(A) + n(B)

Logo, o número de secretarias de A B é igual à soma do número de secretarias de A e B.

3. Errado

A SERUR é um elemento do conjunto A (SEGECEX).

4. Correto

A SESEG é um elemento do conjunto B.

Resposta: 1. E; 2. E; 3. E; 4. C

18. (F.C.Chagas) – Um seminário foi constituído de um ciclo de três con-ferências: uma de manhã, outra à tarde e a terceira à noite. Do total


25

de inscritos, 144 compareceram de manhã, 168 à tarde e 180 à noite. Dentre os que compareceram de manhã, 54 não voltaram mais para o seminário, 16 compareceram às três conferências e 22 comparece-ram também à tarde, mas não à noite. Sabe-se também que 8 pessoas compareceram à tarde e à noite, mas não de manhã. Constatou-se que o número de ausentes no seminário foi de um oitavo do total de inscri-tos. Nessas condições, é verdade que:

a) 387 pessoas compareceram a pelo menos uma das conferências.

b) 282 pessoas compareceram a somente uma das conferências.

c) 108 pessoas compareceram a pelo menos duas conferências.

d) 54 pessoas inscritas não compareceram ao seminário.

e) o número de inscritos no seminário foi menor que 420.

Solução:

As informações podem ser organizadas de acordo com os seguintes diagramas:

M T

N

54 t

n

8m

22

16

180

Ausentes

x

144 168


26

Para encontrar os valores de m, t e n, podemos escrever:

54 + 22 + 16 + m = 144 m = 144 – 92 m = 52

22 + 16 + 8 + t = 168 t = 168 – 46 t = 122

16 + 8 + m + n = 180 16 + 8 + 52 + n = 180 n = 180 – 76 = 104

A quantidade de inscritos é dada por:

54 + 22 + 16 + 52 + 122 + 8 + 104 + x = 378 + x

Se a quantidade de ausentes é um oitavo da quantidade total de inscritos, esta é dada por:

(378 + x) / 8 = x

378 + x = 8x

378 = 8x – x

378 = 7x

x = 54

Logo,

54 foram os ausentes;

378 + 54 = 432 foram os inscritos;

378 pessoas compareceram a pelo menos uma das conferências;

54 + t + n = 280 pessoas compareceram a somente uma das conferências;

22 + 16 + 8 + m = 98 pessoas compareceram a pelo menos duas conferências;

O número de inscritos no seminário foi maior que 420 (432).

Resposta: D

19. (Cesgranrio) – Jonas possui 15 bolas visualmente idênticas. Entretanto, uma delas é um pouco mais pesada do que as outras 14, que têm to-das o mesmo peso.


27

Dig

ital J

uice

.

Utilizando uma balança de dois pratos, semelhante à da figura acima, o número mínimo de pesagens, com que é possível identificar a bola que destoa quanto ao peso é

a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

Solução:

Uma estratégia para descobrir a mais pesada seria separar as 15 bolas em três grupos de cinco bolas. Tomar dois desses grupos e colocar um em cada prato. Se houver equilíbrio, certamente a bola pesada estará no grupo que não foi colocado em algum prato. Se houver desequilíbrio, será possível identifi-car qual o grupo mais pesado e, portanto, a qual grupo pertence a bola mais pesada. Seja qual for a situação, será possível restringir a bola mais pesada a um grupo de apenas 5 bolas. Este grupo de 5 bolas a qual pertence a bola mais pesada será dividido em três novos grupos: um com uma única bola e os outros dois cada um com duas bolas. Colocaremos em cada prato, simultaneamente, um grupo com 2 bolas. Se houver equilíbrio na pesagem, certamente a bola mais pesada será a que não foi colocada em qualquer prato. Se não houver equilíbrio, será possível identificar a qual grupo de duas bolas pertencerá a bola mais pesada. Em seguida, poderíamos realizar uma última pesagem com as duas bolas do grupo mais pesado. Colocaríamos uma em cada prato para


28

definitivamente identificar a mais pesada. Portanto, 3 pesagens seriam sufi-cientes para se identificar a bola que destoa quanto ao peso.

Resposta: C

20. (Cesgranrio) – Certo técnico de suporte em informática começou a re-solver um problema em um computador às 14h40min. Se ele levou 75 minutos para solucionar o problema, a que horas ele terminou esse serviço?

a) 16h05min

b) 15h55min

c) 15h45min

d) 15h35min

e) 15h25min

Solução:

O tempo de 75 minutos que o técnico levou para solucionar o problema corresponde a 1 hora e 15 minutos. Se ele iniciou às 14h40min, conclui às:

(14 + 1)h (40 + 15)min = 15h55min

Resposta: B

21. (F.C.Chagas) – Certo dia, X funcionários e o presidente da empresa em que trabalham estavam sentados em torno de uma mesa circular. Num dado momento, o presidente começou a passar aos funcionários um pacote com 29 balas e, sucessivamente, cada um retirou uma única bala a cada passagem do pacote. Considerando que 1 < X < 15 e que o presidente retirou a primeira e a última bala do pacote, o número de funcionários que estavam sentados à mesa poderia ser

a) 14

b) 12

c) 9

d) 6

e) 4


29

Solução:

Se havia X funcionários mais o presidente, então existiam (X + 1) pessoas na mesa circular. Considerando que cada funcionário pegou k balas, k natu-ral e maior que 1, que o pacote continha 29 balas e que o presidente pegou uma bala a mais do que qualquer funcionário, podemos escrever:

k . X + (k + 1) = 29

k . X + k = 29 – 1

k . (X + 1) = 28

Como (X + 1) e k são números inteiros positivos, necessariamente, ambos são divisores de 28. Logo (X + 1) é um elemento do conjunto {1, 2, 4, 7, 14, 28} e, portanto, X é um elemento do conjunto {1, 3, 6, 13, 27}. Portanto, o número de funcionários que estavam sentados à mesa poderia ser igual a 6.

Resposta: D

22. (F.C.Chagas) – A tabela abaixo permite exprimir os valores de certas grandezas em relação a um valor determinado da mesma grandeza to-mado como referência. Os múltiplos e submúltiplos decimais das unida-des derivadas das unidades do Sistema Internacional de Unidades (SI) podem ser obtidos direta ou indiretamente dos valores apresentados e têm seus nomes formados pelo emprego dos prefixos indicados

NOME SÍMBOLO FATOR PELO QUAL A UNI-DADE É MULTIPLICADA

tera T 1012 = 1 000 000 000 000

giga G 109 = 1 000 000 000

mega M 106 = 1 000 000

quilo k 103 = 1 000

hecto h 102 = 100

deca da 10 = 10

deci d 10-1 = 0,1

centi c 10-2 = 0,01

mili m 10-3 = 0,001

micro μ 10-6 = 0,000 001

nano n 10-9 = 0,000 000 001

pico p 10-12 = 0,000 000 000 001

(Quadro Geral de unidades de Medida, 2.ª ed. INMETRO. Brasília, 2000)


30

Assim, por exemplo, se a unidade de referência fosse o grama (g), tería-mos 35mg = 35 . 10–3g = 0,035g. Considerando o byte (b) como unidade de referência, a expressão (0,005Gb) . (0,12μb)

0,25Mb é equivalente a:

a) 2,4μb

b) 2,4cb

c) 0,24mb

d) 0,24nb

e) 0,024dab

Solução:

(0,005 Gb) . (0,12 μb)

0,25 Mb

(0,005 . 109b) . (0,12 . 10-6b)

0,25 . 106b=

(5 . 10-3 . 109) . (12 . 10-2 . 10-6)

25 . 10-2 . 106

(0,005 Gb) . (0,12 μb)

0,25 Mb= b

(0,005 Gb) . (0,12 μb)

0,25 Mb

10-3 . 109 . 10-2 . 10-6

10-2 . 106

5 . 12

25( (( (= . b

(0,005 Gb) . (0,12 μb)

0,25 Mb

10-3+9-2-6

10-2+6( (

= (2,4) . b

(0,005 Gb) . (0,12 μb)

0,25 Mb

10-2

104( (

= (2,4) . b

(0,005 Gb) . (0,12 μb)

0,25 Mb= (2,4) . (10-2-4)b = (2,4) . (10-6)b = 2,4μb

Resposta: A

23. (Esaf ) – Sabe-se que todo o número inteiro n maior do que 1 admite pelo menos um divisor (ou fator) primo. Se n é primo, então tem so-mente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n é uma potência de um primo p, ou seja, é da forma ps, então 1, p, p2, ..., ps são os divisores positivos


31

de n. Segue-se daí que a soma dos números inteiros positivos meno-res do que 100, que têm exatamente três divisores positivos, é igual a:

a) 25

b) 87

c) 112

d) 121

e) 169

Solução:

Os números inteiros positivos que possuem exatamente três divisores positivos tem a forma p2, em que p é um número primo, pois os divisores positivos são p0, p1 e p2.

Logo, temos as seguintes possibilidades:

p = 2 p2 = 22 = 4 < 100

p = 3 p2 = 32 = 9 < 100

p = 5 p2 = 52 = 25 < 100

p = 7 p2 = 72 = 49 < 100

Assim, a soma é dada por:

4 + 9 + 25 + 49 = 87

Resposta: B

24. (F.C.Chagas) – Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcio-nário responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a seguinte resposta: “O total de livros do acervo é o resultado da adição de dois números naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos substituídos por letras.”

+ MARRA

TORTA

MARRA

Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então, ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros do acervo dessa biblioteca é um número


32

a) menor que 70 000.

b) compreendido entre 70 000 e 75 000.

c) compreendido entre 75 000 e 80 000.

d) compreendido entre 80 000 e 85 000.

e) maior que 85 000.

Solução:

Na soma das unidades, o valor A adicionado ao valor A deve resultar em um número cujo algarismo das unidades também é igual a A. Logo, A = 0, pois esta é a única possibilidade de a soma de dois algarismos resultar em um número cujo algarismo das unidades é o próprio número (0 + 0 = 0). Temos ainda que R > 5, pois do contrário, ocorreria de a soma “R + R” ter o algarismo das unidades igual a T (ordem das dezenas) e, ainda, também ter algarismo das unidades igual a R (ordem das centenas). Observe ainda que M < 5, pois, do contrário, M + M seria um número de dois algarismos. Desta forma, temos as seguintes possibilidades:

1.ª hipótese: R = 6

Neste caso, T = 2 e R = 3, o que seria contraditório, pois existiriam dois valores distintos de R.


Nesta, T = 4 e R = 5, o que também seria contraditório, pois existiriam dois valores distintos de R.


Nesta, T = 6 e R = 7, o que também seria contraditório, pois existiriam dois valores distintos de R.


Nesta, T = 8, O = 1 e M = 4.

Esta é a única hipótese viável.

Logo, o número resultante para as letras MARRA é igual a 40990 e a soma resultante, TORTA, perfaz o total de 81 980, número este compreendido entre 80 000 e 85 000.


33

Resposta: D

25. (Esaf ) – Em um grupo de 30 crianças, 16 têm olhos azuis e 20 estudam canto. O número de crianças deste grupo que têm olhos azuis e estu-dam canto é

a) exatamente 16.

b) no mínimo 6.

c) exatamente 10.

d) no máximo 6.

e) exatamente 6.

Solução:

Vamos organizar as informações em dois conjuntos (olhos azuis e canto), supondo que possam existir alunos que não tenham olhos azuis nem estu-dem canto:

y 20 - y16 - y

Nenhum

x

16 20Olhos Azuis Canto

Se existem 30 crianças, podemos escrever:

(16 – y) + y + (20 – y) + x = 30

36 – y + x = 30

y = x + 6

Como qualquer quantidade de pessoas não pode ser negativa, temos x ≥ 0 e, portanto, y ≥ 6, observe:

y = x + 6

y – 6 = x

x ≥ 0 y – 6 ≥ 0 y ≥ 6


34

Ou seja, no mínimo 6 alunos têm olhos azuis e estudam canto.

Resposta: B

26. (Esaf ) – Se A = {x IR/ –1 < x < 1}, B = {x IR/ 0 ≤ x < 2} e

C = {x IR/ –1 ≤ x < 3}, então o conjunto (A B) – (B C) é dado por:

a) { x IR/ –1 ≤ x < 0}

b) { x IR/ 0 ≤ x < 1}

c) Ø

d) { x IR/ 0 ≤ x < 3}

e) { x IR/ 2 < x < 3}

Solução:

A intersecção entre os conjuntos A e B é o conjunto, representado por A B, formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. Desta forma, temos:

A B = {x IR/ –1 < x < 1} {x IR/ 0 ≤ x < 2}

A B = {x IR/ 0 ≤ x < 1}

Observe que os elementos comuns a A e a B pertencem ao intervalo 0 ≤ x < 1.

B C = {x IR/ 0 ≤ x < 2} {x IR/ –1 < x < 3}

B C = {x IR/ 0 ≤ x < 2} = B, pois B C.

Da mesma forma, os elementos comuns a B e a C pertencem ao intervalo

0 ≤ x < 2.

A diferença entre os conjuntos (A B) e (B C), nesta ordem, é o con-junto, representado por (A B) – (B C), formado pelos elementos que pertencem (A B), mas não pertencem a (B C), logo, temos:

(A B) – (B C) = {x IR/ 0 ≤ x < 1} – {x IR/ 0 ≤ x < 2}

(A B) – (B C) = Ø, pois todo elemento de (A B) também é de (B C).

Resposta: C


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conjuntos, números e operações e equações de primeiro e segundo graus.pdf

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