matemÁtica teoria dos conjuntos conjuntos: lista, coleção, agrupamento ou classe de objetos bem...
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MATEMÁTICA
TEORIA DOS CONJUNTOS
Conjuntos:Lista, coleção, agrupamento ou classe de objetos bem definidos
Objetos:Qualquer coisa: números, pessoas, letras, rios, etc... .
Elementos ou membros de um conjunto
Exemplos :
1. Os números 1, 3, 7 e 10
2. As vogais do alfabeto: a, e, i, o e u
3. As pessoas que habitam a Terra
4. Os alunos que faltaram à aula
5. Os times de futebol do estado de São Paulo
6. Os números 2, 4, 6, 8, ...
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TEORIA DOS CONJUNTOS
Notação:
Elementos:
Letras maiúsculas: A, B, X, Y, ...
• Descrição pela citação dos elementos:
Conjuntos:
Letras minúsculas: a, b, x, y, ...
, , , ,A a e i o u
1,3,7,10B
• Descrição por uma propriedade:
A = { x I x é uma pessoa que habita a Terra }
B = { x I x é um rio do Brasil }
X = { x I x é um número primo positivo }
2,4,6,8,...X
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Diagrama de Euler - Venn:
, , , ,A a e i o u
1,3,7,10B
Aa e io u
B1 3 7
10
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, , , ,A a e i o u
X = { x I x é um número primo positivo }
a A
b A
e A
w A
• a pertence ao conjunto A
• b NÃO pertence ao conjunto A
2 X
8 X
13 X
1 X
1 Não é um número primo
MATEMÁTICA
TEORIA DOS CONJUNTOS
Conjunto
Universo
A
b A
e A
w A
Aa e io u
bw
U
a
É o conjunto mais amplo em que está inserido o conjunto em estudo
Ex: U pode ser o conjunto das letras do alfabeto e A o conjunto das vogais
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• Conjunto Unitário : Aquele que possui um único elemento
A = { 2 }
B
a
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A = { x I x é um habitante da Terra com mais de 200 anos }
• Conjunto Vazio : Aquele que não possui nenhum elemento
A = { }
OBS: Conjunto unitário da letra norueguesa Ǿ
Não representa um conjunto vazio
A = Ǿ
ou A = Ǿ
A = {Ǿ }
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• Conjuntos Iguais : Dois conjuntos são iguais se, e somente se,
possuem os mesmos elementos
A = { a, b, c, d, e } B = { a, b, c, d, e } A = B
Ex:
A B x x A x B
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• A = { 1, 2, 3, 4 } B = { 3, 1, 4, 2 } A = B
• C = { 5, 6, 5, 7 } D = { 7, 5, 7, 6 } C = D
• A1 5
79
10
B1 5
7
810
A ≠ B
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• Subconjuntos : A é subconjunto de B se cada elemento do conjunto A
é também elemento do conjunto B .
x x A x B A é subconjunto de B
A 1 57
9
10
BU
A é subconjunto de B
A B
B A
A está contido em B
B contém A
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TEORIA DOS CONJUNTOS
A a bd
c
e
BU
C não é subconjunto de D
A B
B A
A está contido em B
B contém A
C = { 5, 6, 3, 2 } D = { 3, 5, 7, 6 }
A é subconjunto de B
C D C não está contido em D
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• O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto
A
OBS :
A
• Qualquer conjunto é subconjunto dele mesmo
A A A A
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Conjunto das Partes: Chamamos de conjunto das Partes do conjunto A
e representamos por P(A), o conjunto de todos os
subconjuntos do conjunto A.
C = { x, y, z } P(A) = { Ǿ, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y. z}, {x, y, z} }
n(A) = número de elementos de A = 3
n(P(A)) = número de elementos do conjunto das Partes de A = 2n(A) = 23 = 8
n(P(A)) = 2n(A)