MATEMÁTICA DISCRETA

TEORIA DOS CONJUNTOS

PROFESSORWALTER PAULETTE FATEC SP

2009 02

TEORIA DOS CONJUNTOS

2

1. CONCEITO DE CONJUNTOSA teoria dos conjuntos tem inicio com o matemático Georg Cantor ( 1845-1918).

Como na Geometria Euclidiana adota-se ponto, reta e plano como conceitos primitivos e são aceitas sem definição, assim também são conceitos primitivos:

Conjunto, elemento e a relação de pertinência.

Podemos descrever um conjunto, citando um a um seus elementos, ou apresentando uma propriedade característica dos mesmos.

Para dar nome aos conjuntos usamos as letras maiúsculas A, B, C, etc. e colocamos seus elementos entre chaves. Os objetos que compõem os conjuntos são denominados elementos.

Exemplo 1:Chamamos de A o conjunto dos números pares e indicamos por: A= {0,2,4,6,8,...}

e representamos pelo diagrama de Venn (John Venn,(1834– 1923), matemático e lógico inglês), como:

A

Para indicarmos que um elemento a pertence a um conjunto A escrevemos a Î A ( leia: a pertence a A) caso contrário ( leia: a não pertence a A)

Exemplo 2:Seja A = {1,2,3,4,5}. Nesse caso lê-se :

(2 pertence a A) (não pertence a A)

2. INCLUSÃO DE CONJUNTOS

Definição 01: Dizemos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo

elemento de A é também um elemento de B.

Notação: ( A é subconjunto de B ), caso contrário A B .

Exemplo 3:a) Se A={1,2} e B={1,2,3,4}, então b) Se A={2,3} e B={1,2,3,4}, então

3. IGUALDADE

2

3

Definição 02: Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos.

SimbolicamenteA = B Û e .

Exemplo 4: Seja A={1,2} e B ={1,2}, nesse caso A = B ,pois, e .

Exercícios de aplicação 1: Use a noção de pertence e a definição de subconjunto e coloque (V) se as

sentenças forem verdadeiras e (F) se as sentenças forem falsas.1) Sejam A = {1,2,3,4} e B = {1,3,4}, então

a) B A ( ) d) {1,2} A ( )b) 3 A ( ) e) {1,2} A ( )c) 2∉B ( ) f) {4} A ( )

2) Sejam A = {a, b,{a},{a, b}} e B = {a, b,{a, b}}, então a) B A ( ) d) {a, b} A ( ) e) {a, b} A ( ) b) a A ( ) c) b B ( ) f) {a} Î A ( )

3)Sejam A={1,2,{1,2}} e B={{1,2,3},3}, complete com a) A.........B c) {1,2,3}.......B

b) {1,2}.....A d) 3.............B

4. CONJUNTO VAZIO

Definição 03: Chama-se conjunto vazio aquele que é formado por nenhum elemento.

O Símbolo usual para conjunto vazio é

Exemplo 5:O conjunto dos números que multiplicados por zero produz resultado 3 é vazio.

Simbolicamente

5. CONJUNTOS DAS PARTES

Definição 04: Chama-se conjunto das partes de um conjunto A, e se indica P(A), ao conjunto de

todos os subconjuntos do conjunto A.

Exemplo 6: Se A = {a, b, c}, então o conjunto das partes de A é formado por:

P(A) = {{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}, }. Nesse caso o número de elementos de P(A) é 8 = ( 2 elevado ao número de elementos de A )

Exemplo 7:

3

4

Dar o número de elementos do conjunto das partes de A, n(A) sendo:

a) A=b) A={a}c) A= {a, b}d) A= {a, b, c}

Resolução:

(a) A = , P(A) ={ } , logo n(P(A)) = 1 = 2°

(b) A = {a}, P(A)= { , {a}}, logo n(P(A)) = 2 = 2¹

(c) A = {a, b}, P(A) = {{a},{b},{a, b}, }. logo n(P(A)) = 4 = 2²

(d) A={a,b,c},P(A)={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A, }, logo n(P(A))=8 =2³.Dessa maneira podemos escrever:

Se n(A) = , então n(P(A)) = 2° = 1Se n(A) = 1, então n(P(A)) = 2¹ = 2Se n(A) = 2, então n(P(A)) = 2² = 4Se n(A) = 3, então n(P (A)) = 2³ = 8.........................................................Se n(A) = n, então n(P(A)) = 2n (nÎ{0,1,2,3,4,5,6,7,...})

Conclusão: Para sabermos quantos elementos têm o conjunto das partes de A, n(P(A)) é sò

escrever:

6. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

Na teoria dos números temos as operações adição e multiplicação, o mesmo ocorre na teoria dos conjuntos.

6.1 - União ( )

Definição 05: Sejam A e B dois conjuntos. Chama-se união do conjunto A com o conjunto B, ao conjunto de todos os elementos de A ou de B.

Em símbolos:

Exemplo 8:Sejam A = {1,3,5,7} e B = {2,3,4,6}, então A B = {1,2,3,4,5,6,7} A

1 B 7 3 4 2 5 6

6.2 - Intersecção ( )

Definição 06: Sejam A e B dois conjuntos. Chama-se intersecção dos conjuntos A e B, ao conjunto formado pelos elementos que estão em A e estão em B.

4

5

Em símbolos: Exemplo 9:Sejam A = {a, b, c, d} e B={b, c, d, e}, então {b, c, d}

A b B a c e d

PROPRIEDADES

Aceitamos as propriedades da união e da intersecção que seguem, sem demonstração. Para um maior entendimento faça o diagrama de Venn hachurando a região definida pela propriedade.

P1 . Se , então A B = A e A B = B

A B = A A B = B

P2 . A A =A e A A = A (Idempotência)

P3 . A ∩ϕ=ϕ e A = A

P4 . e A B = B A (Comutativa)

P5 . e (A B) C = A (B C) (Associativa)

P6 . e A (B C) = (A B) (A C) (Distributiva) 6.3 - DIFERENÇA (-)

Definição 07: Dados os conjuntos A e B, denominamos conjunto diferença de A em relação a B,

ao conjunto dos elementos B que não são elementos de A.

Em símbolos:

5

6

Exemplos 10:1) Se A = {a, b, c, d} e B={b, c, d, e}, então A-B = {a}2) Se A = {a, b, c, d} e B={ c, d}, então A-B = {a,b}3) Se A = {1,2,3,4} e B={1,2,3}, então A-B = {4}

6.4 - COMPLEMENTAR ( )

Definição 08: Se , chama-se conjunto complementar de A em relação a B ao conjunto dos

elementos de B que não são elementos de A.

Em símbolos:

Exemplos 11:

Demonstrar que A-(BÈC)= (A-B)Ç(A-C)Solução:

A-(BÈC)=

=

=

= =(A-B)Ç(A-C)

Exemplo 12:Sejam A = {1,2,3} e B={1,2,3,4,5}, então B-A={4,5}

Propriedades:

1.

2. e Leis de De Morgan

3.

6

7

4. 5.

6.5 - DIFERENÇA SIMÉTRICA

Definição 09: Definimos diferença simétrica e indicamos por A ∆ Bao conjunto

A ∆ B= ( A−B )∪ (B−A )= ( A∪B )−( A ∩ B)Propriedades:

1. A ∆ A=∅2. A ∆ B=B ∆ A3. A ∆∅=A

6.6– NÚMERO DE ELEMENTOS DE CONJUNTOS FINITO

Número de elementos de dois conjuntos: Número de elementos para três conjuntos:

Exemplo 13:Três Cursos universitários são os mais procurados, para o vestibular, pelos alunos

de em uma Escola de Ensino Médio, são eles: Administração (A), Biologia (B) e Contábeis (C). Após a pesquisa foram apresentados os seguintes resultados.

Cursos A B C A e B A e C B e C A e B e CPreferência 90 130 170 20 40 30 10

Determinar:a) Quantos alunos consultados preferem só o Curso de Administração (A)?b) Quantos alunos consultados preferem só dois Cursos?c) Quantos alunos consultados preferem Administração (A) ou Contábeis (C) ?d) Quantos alunos consultados preferem Administração (A) e não Contábeis (C)?

Resolução: Usando a representação de Venn podemos escrever o número de alunos com suas preferências.

Portanto, a) Os alunos consultados que preferem só o Curso de Administração são 40. b) Os alunos consultados que preferem só dois Cursos são 60.

7

8

c) Os alunos consultados que preferem Administração (A) ou Biologia(B) são 200. d) Os alunos consultados que preferem Administração e não Contábeis são 50.Exercícios de aplicação 2:

1. Sejam X, Y e Z os conjuntos tais que n(Y È Z) = 20, n(X Ç Y)= 5, n(X Ç Z)=4, n(X Ç Y Ç Z) = 1 e n(X È Y È Z) = 22, determinar o número de elementos do conjunto X - (Y Ç Z).

2. Assinale a resposta correta.

a) A - (B Ç C) ( ) b) (B Ç C) - A( ) c) C - (A Ç B) ( )

3. Três produtos A, B e C são consumidos. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram colhidos os resultados.

Produtos A B C A e B A e C B e C A e B e CConsumidores 100 140 180 20 40 30 10

Determinar:a) Quantas pessoas consultadas consomem só o produto A?b) Quantas pessoas consultadas consomem só dois produtos?c) Quantas pessoas consultadas consomem A ou B ?d) Quantas pessoas consultadas consomem A e não consomem C ?

4. De um torneio de atletismo, tem-se as informações no quadro sobre as proveniências e sexos dos participantes. Determine o número de mulheres de Rio Pardo.

Cidades \ Sexos Homens Mulheres TotalRIO PRETO 4 3RIO CLARO a bRIO PARDO a bRIO BRANCO 8 b

TOTAL 2b 17

5. O quadro indica o resultado de uma pesquisa feita sobre as pessoas que freqüentam cinema (C), teatro (T), e shows musicais ao vivo (S).

Entretenimentos C T S C,T C,S T,S C,T,SParticipantes (%) 80 15 6 6 4 3 2

Verifique se esta pesquisa feita é consistente.

8

9

Exercícios de aplicação 3:

01)Se então é igual a

(A) (B) (C) (D) (E) nda

02)Se o conjunto A tem 20 elementos, o conjunto tem 12 elementos e o conjunto tem 50 elementos, então o conjunto B tem

(A) 20 (B) 38 (C) 50 (D) 42 (E) nda

03) Indique a resposta verdadeira.

(A)

(B)

(C)

(D) (E) nda

04) Sejam os conjuntos A,B e C finitos. Se )=18, n( )=20 e

, então é

(A) 10 (B) 20 (C) 25 (D) 30 (E) 40

05) O quadro indica o resultado de uma pesquisa com pessoas que lêem os jornais A, B e C

Jornais A B C A,B A,C B,C A,B,CLeitores 100 90 110 15 20 30 5

Nestas condições podemos dizer que lêem

(A) só A 75 pessoas. (B) só B 57 pessoas (C) só C 64 pessoas (D) dois jornais 50 pessoas (E) os três jornais 10 pessoas

06) Use a noção de pertence e a definição de subconjunto e coloque (V) se as sentenças forem verdadeiras e (F) se as sentenças forem falsas.

9

10

i) Sejam A = {a, b,{a},{a, b}} e B = {a, b,{a, b}}, então

a) B A ( ) b) a A ( ) c) b ÏB ( )

d) {a,b} B ( ) e) {a} A ( )

ii) Sejam A={1,2,{1,2}} e B={{1,2,3},3}, complete com .a) A.........B c) {1,2,3}...........B

b) {1,2}.......A d) 2.............B

07) Determinar A B e A Ç B, sendo:

a) A = {1,2,3,4} e B = {0,3,4,5}

AÈB = AÇB =

b) A = {a, c, e, g} e B = {b, d, f, g}

AÈB = AÇB =

08) Sejam A = {0,1,{2},{0,1}} e B = {1,{2},{0,1}} e C = {0,1,2,{2},{0,1}}. Determinar:

a) AÇB = b)BÇC = c) (AÇB)ÇC = d) C-(AÈB)=

9) No diagrama hachurar o que se pede

a) A-(BÈC) b)(A-B)Ç(A-C)

Exercícios de aplicação 4:

1. Sendo A= {x Î N x< 5} e B= {x Î N x<5}, assinale com (V) as sentenças

a) A Ì B ( ) d) A Ç B = {0,1,2} ( )

b) A É B ( ) e) A - B = {3,4,5} ( )

10

11

c) A B = {1,2,3,4} ( ) f) B - A = Æ ( )

2. Hachurar o diagrama usando a lei C - (A B)

3. Assinale a resposta correta no diagrama:

a) A Ç B b) (A Ç B) - C c) C - (A Ç B) d) A Ç B Ç C

4. Seja A = {0, Æ}, determinar o conjunto das partes de A , ( )).

5. Sejam A, B e C os conjuntos finitos. Se n(A Ç B) = 30, n(A Ç C) = 20 e n(A Ç B Ç C) = 15, então o n(A Ç (B C)) é:

a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 e) n.d.a.6. Se n(A) = 90, n(B) = 50 e n(A Ç B) = 30 então n(A B) é:

a) 60 b) 90 c) 100 d) 110 e) n.d.a.

7. Sobre os membros de uma comissão sabe-se que:a) 9 são solteiros; b) 5 são homensc) 10 não são mulheres casadas; d) 8 não são homens solteiros. Pede - se:

11

12

1) Quantos membros existem nessa comissão ? 2) Quantos membros dessa comissão são homens casados ?

8. Sendo A={1, 2, {1}} e B={1, {1}, {1,2}}. Coloque (V) ou (F)

a) A B ( )c) {1, 2} Î B ( )b) {1, 2} B ( )d) {1, 2} Ì A ( )

9. Sendo:

A = {n Î N n < 1}

B = {n Î N -1 < n}

C = {n Î N -2< n <1} Determinar: a) A Ç B Ç C

b) A - (B Ç C)

c) C - (A Ç B)

Exercícios de aplicação 5:

1) Em uma agência de turismo, o quadro de funcionários era composto por pessoas que falavam apenas um dos seguintes idiomas (além do português): francês, inglês e espanhol. Sabendo que 70 falavam inglês; 40, francês; e 60% falavam espanhol, quantos funcionários da empresa falam espanhol ou francês?

(A) 205 (B) 165 (C) 235 (D) 110 (E) 2752) Em um grupo há 40 homens e 40 mulheres. 30% dos homens fumam e 6 mulheres fumam. A porcentagem de fumantes no grupo é

(A) 20%. (B) 24%. (C) 26,25%. (D) 22,5%. (E) 28,5%.

3) Em um grupo de 30 gatos, há gatos brancos e gatos pretos.Nesse grupo, existem 20 gatos machos, 15 gatos pretos, e sabe-se que 4 fêmeas são brancas. O número de machos pretos é:

(A) 7. (B) 9. (C) 8. (D) 11. (E) 10.

4) Os elementos dos dois conjuntos a seguir são números naturais: A = {1,2,3,...,48} B = {15,16,17,...,63} . O número de elementos do conjunto é:

12

13

(A) 48. (B)34. (C) 33. (D) 63. (E) 35.

5) Durante uma viagem, choveu cinco vezes. A chuva caía pela manhã ou à tarde, nunca durante a manhã e à tarde no mesmo dia. Houve seis manhãs e três tardes sem chuva durante a viagem. Quantos dias duraram a viagem?

(A) 10 (B) 9 (C) 8 (D) 6 (E) 7

6) Após uma pesquisa realizada numa cidade, constatou-se que as famílias que consomem arroz não consomem macarrão.Sabe-se que 40% consomem arroz;30%consomem macarrão; 15% consomem feijão e arroz; 20% consomem feijão e macarrão; 60% consomem feijão. Calcule a percentagem correspondente às famílias que não consomem nenhum desses três produtos.

(A) 4% (B) 5% (C) 6% (D) 7% (E) 8%

7) Um banco de sangue catalogou 60 doadores assim distribuídos: 29 com sangue do tipo 0; 30 com fator Rh negativo; 14 com fator Rh positivo e tipo sanguíneo diferente de 0. Quantos doadores possuem tipo sanguíneo diferente de 0 e fator Rh negativo?

(A) 19 (B) 18 (C) 20 (D) 21 (E)17

Exercícios de aplicação 6:

1. Coloque (V) nas verdadeiras e (F) nas falsas. (Justificando)

( ) a)

( ) b)

13

14

( ) c)

2. é igual a

a) b) c)

3.Mostre que

4. Mostre que

5. Prove que para quaisquer A e B,

14

15

6. Coloque (V) nas verdadeiras e (F) nas falsas. (Justificando)

a)A△B=A△B

b)

c) A ∩ ( B△C )=( A ∩B )△ ( A ∩C)

d) A△ ( A−B )=A ∩ B

7. Sabendo-se que e n ( A△B )=7 determinar .

15

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8. Se A e B são subconjuntos de U tais que . Se é ímpar, mostre

que

Exercícios de aplicação 7:

1)Em um grupo de 18 pessoas, o número de pessoas casadas é igual ao número de homens solteiros. Há 10 pessoas solteiras e o número de homens casados é igual ao números de mulheres casadas. Qual o número de mulheres solteiras?

2)Em um grupo de 20 pessoas, 14 são não fumantes. O número de não fumantes estrangeiros é simultaneamente o quádruplo do número de fumantes brasileiros e o dobro do número de fumantes estrangeiros.Quantos são os brasileiros não fumantes?

3)Use o P.I.F. e mostre a lei de De Morgan generalizada.

A1 ∩ A2∩ …∩ An=A1∪ A2∪… An

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4)Mostre que a sentença é verdadeira[ A−( B−C )]∪ ( A−C )=A

Respostas dos exercícios de aplicação 1. 1) V,V,V,F,V,F 2) V,V,F,V,V,V 2)

Respostas dos exercícios de aplicação 2. 1) 9 elementos 2) F,V,F 3) a) 50 b) 60 c) 220 d) 604) 6 mulheres 5) É consistente

Respostas dos exercícios de aplicação 3.1) B 2) D 3) D 4) D 5) D 6) i)V,V,F,V,V ii) 7) a) {0,1,2,3,4,5}, {3,4} b) { a,b,c,d,e,f,g} , {g} 8) a) {1,{2},{0,1}} b) {1,{2},{0,1}} c) {1,{2},{0,1}} d)= {2}

Respostas dos exercícios de aplicação 4:1) F,V,F,F,F,V 3) d)

4) = 5) c) 6) d) 7) 1) 12membros

2) 1 membro 8) F,V,V,V. 9) a) b) c)

Respostas dos exercícios de aplicação 5:1) A 2) D 3) B 4) B 5) E 6) B 7) E

Respostas dos exercícios de aplicação 6:1) F,F,V 2) a 6 a) V b) V c)V d) V 7) 3

Respostas dos exercícios de aplicação 7:1) 2 2) 6

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