conjuntos exercícios resolvidos

8/13/2019 Conjuntos Exerccios Resolvidos

1/5

Semi-Extensivo Matemtica A1

1

A

ab

cd

e

AULA 01

CONJUNTOS: DEFINIES,PROPRIEDADES e OPERAES

CONCEITOS PRIMITIVOS

O conceito de conjunto PRIMITIVO, ou seja, NODEFINIDO. Tudo que nos d a idia de coleo ouagrupamentos pode ser exemplificado como um conjunto.Todo conjunto tem elementos: uma coleo de CDs umconjunto, um CD qualquer dessa coleo um elementodesse conjunto.

NOTAO DE CONJUNTOS:

Pela designao de seus elementos:

A = { 1,2,3,4,5}B = { a,b,c,d,}

Observe que para designar um conjunto, normalmenteutilizamos uma letra maiscula de nosso alfabeto, j quandoa letra representar um elemento, esta dever ser minscula.

Por uma propriedade caracterstica de seus elementos:

A = { x / x vogal } = { a , e , i , o , u }B = { x / x nmero primo} = { 2, 3, 5, 7, 11, ... }

Por um diagrama:

Relaes de Pertinncia:

Considere o conjunto A e um elemento x:

Se x um elemento de um conjunto A, ento:x A (l-se: x pertence ao conjunto A).

Se x no um elemento do conjunto A, ento:x A (l-se: x no pertence ao conjunto A).

Subconjunto e relao de incluso:

Sejam A e B dois conjuntos tais que o nmero deelementos do conjunto A menor que o nmero deelementos do conjunto B. Se todo elemento de A tambmelemento de B, dizemos que A um subconjunto de B eindicamos por:

A B (l-se: A est contido em B) ouB A (l-se: B contm A).

Caso existir pelo menos um elemento de A que no elemento de B dizemos que A no subconjunto de B, eindicamos por:

A B (l-se: A no est contido em B) ouB A (l-se: B no contm A)

Quando um conjunto no possuir elemento algum conhecido como conjunto vazio e representado por:

{A = =

Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. O conjuntovazio subconjunto de A, de B e de qualquer outro conjunto.

A; B

Todo e qualquer conjunto est contido (ou contm) elemesmo:

A A A A ou B B B B

Conjunto das partes de um conjunto:

Seja um conjunto A com k elementos, o conjunto daspartes de A o conjunto formado por todos os subconjuntosde A, ou seja:

P(A) = { X / X A }

Igualdade de Conjuntos:

Sejam dois conjuntos A e B. Podemos afirmar que A igual a B (A = B) se, e somente se, A subconjunto de B e B subconjunto de A, ou seja:

A = B A B e B A

OPERAES COM CONJUNTOS:

Reunio ou Unio:Dados dois conjuntos A e B, define-se a unio de A e B

(A B) como sendo o conjunto formado pelos elementos deA ou de B, ou seja:

A B = { x / x A ou x B }

Pelo mtodo dos diagramas:

Interseco:Dados dois conjuntos A e B, define-se a interseco de

A e B (A B) como sendo o conjunto formado peloselementos de A e de B,ou seja :

A B = { x / x A e x B }


Observao: Quando A B = dizemos que os conjuntosA e B so disjuntos.

Subtrao de conjuntos:Dados dois conjuntos A e B, define-se a diferena de A

e B (A B), como o conjunto formado pelos elementos de Aque no pertencem a B, ou seja:

A B = { x / x A e x B }


Observao: Se B A, a diferena A B denomina-se

complementar de B em relao a A e indica-se por BAC ou B .


2/5


2

A B

7

5

4 6

2

3

1

8

20

30

10130

140

140220

M

P

F

Nmero De Elementos De Um Conjunto Fini to

Seja A um conjunto com um nmero finito deelementos, indica-se por ( )An o nmero de elementos deA .

Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Valem asseguintes propriedades:

( ) ( ) ( )BAnAnBAn = ( ) ( ) ( ) ( )BAnBnAnBAn +=

( ) ( )[ ] k2APnkAn == Lembre-se de que P(A), o conjunto das partes de A.

EXERCCIOS RESOLVIDOS

1) Considerando cada uma das seguin tes sentenas:

1) {2, 3} {2, 3}2) {2, 5}3) 3 {3, 4, 5}4) {2, 4, 6}

5) {4} { }6) 0

podemos afirmar que:a) 2, 3, 5 e 6 so verdadeiras.b) 1, 3, 4 e 5 so verdadeiras.c) 3, 4, 5 e 6 so verdadeiras.d) todas so verdadeiras.e) todas so falsas.

Resoluo:

Analisando as proposies:1) {2, 3} {2, 3} (verdadeira). Todo conjunto est contido

nele mesmo.

2) {2, 5} (falsa). Como est sendo utilizada umarelao de pertinncia ento o smbolo considerado um elemento.

3) 3 {3, 4, 5} (verdadeira). O nmero 3 elemento doconjunto dado.

4) {2, 4, 6} (verdadeira). O conjunto vazio subconjunto de qualquer conjunto.

5) {4} { } (verdadeira). Mesma justificativa daproposio anterior.

6) 0 (falsa). O conjunto vazio no tem nenhumelemento

R: Alternativa b

2) (ACAFE) Suponho que:A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A B = {4, 5}A B = {1, 2, 3},ento o conjunto B :

a) {6, 7, 8}b) {4, 5, 6, 7, 8}c) {1, 2, 3, 4}d) {4, 5}e)

Resoluo:Pelos diagramas:

R: Alternativa b

3) (UDESC) Numa pesquisa de preferncia pelasdisciplinas de: matemtica (M), fsica (F) eportugus (P), feitas aos alunos de um colgio,foram colhidos os seguintes resultados:

Disciplina M F P M eF P e M F e P M,F e P

Alunos 400 300 200 150 50 30 20

Considerando que todos responderam que gostamde pelo menos uma disciplina, podemos dizer queo total de alunos consultados foi de:

a) 900b) 500c) 690d) 140e) 650

Resoluo:Pelos diagramas:

N = 220 + 140 + 140 + 130 + 30 + 20 + 10 = 690

R: Alternativa C

EXERCCIOS DE SALA

1) Sendo { }5,4,3,2,1A = , assinale (V) ou (F) conformeas sentenas sejam VERDADEIRAS ou FALSAS:

a) ( V) A1 b) ( V) A0 c) ( F) A

d) ( F) { } A2 e) ( V) { } A3 f) ( V) { } A4,3,2 g) ( V) { } A6,3,2 / h) ( V) { } A5,4,3,2,1,1,1 =

2) Sejam os conjuntos: { }A 1,0,1,2= ,{ }2B y / y x e x A= = e { }3C w / w y e y B= = .

Determine:a) A B Cb) A B Cc) (A B) (C A)d) n [P(B)] que representa o nmero de elementos das

partes de B.

Resoluo:Determinando os conjuntos:

A = {-1,0,1,2}B = {1,0,4}

C = {1,0,64}Realizando as operaes:A B C = {0,1}

A B C= {-1,0,1,2,4,64}(A - B) (C - A) = {-1,2} {64} =

n [P(B)] = 23= 8


3/5


4/5


4

S = 64 1S = 63.

R: Alternativa d

17) Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b, c, d} eC = {a, c, d, e}, ento o conjunto definido por(A C) (C B) (A B C) :a) { a, b, c, e }

b) { a, b, c, }c) { b, c, d, e }d) { a, b, c, d, e }e)

Resoluo:

{ } { } { }

{ }

Efetuando a operao:

(A - C) ( C - B) (A B C)

b a, e c

a,b,c,e

R: Alternativa a

18) Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 6, 9} e B = {3, 6, 9},ento o conjunto complementar de B em A :a) {1, 2, 3}b) {1, 3}c) {1, 2}d) {3, 6, 9}e) {1, 2, 3, 6, 9}

Resoluo:

Pelo diagrama de Venn Euler

Ento: { }ABC A B 1, 2= = R: Alternativa c

19) Um levantamento socioeconmico entre os habitantesde uma cidade revelou que, exatamente:

17% tm casa prpria; 8% tm casa prpria e automvel; 22% tm automvel.

Dessa maneira podemos dizer que o percentual doshabitantes que no tm casa prpria nem automvel de:a) 31%b) 49%c) 57%d) 69%e) 73%

Resoluo:Pelo diagrama de Venn Euler:

O percentual de habitantes que no possui casa prpria nemautomvel de: 100 ( 9 + 8 +14) = 69%

R: Alternativa d.

20) Com o objetivo de analisar o consumo de trs marcasA, B, e C de um mesmo produto, fezse umapesquisa em que foram consultadas 1000 pessoas. Oresultado da pesquisa encontrase na tabela abaixo:

Marca A B C A e B A e C B e C A,B e Cnmerode

estudantes

400

450

520 100 200 300 60

Analisando estes resultados, qual o nmero depessoas que NO consomem nenhuma das marcas?

Resoluo:Pelo diagrama de Venn Euler:

O total de pessoas que consome pelo menos uma das trsmarcas : 160+40+60+140+240+80+110 = 830, logo, onmero de pessoas que no consome nenhum dos trs

produtos de: 1000 830 = 170

R: 170 pessoas no consomem nenhuma das trsmarcas

21) Em uma pesquisa de mercado sobre uso de novosartigos de consumo, obteve-se a seguinte

amostragem de dados:Artigo deconsumo

A B C A e B B e CNenhum

dos artigosNmero derespostaspositivas

400 1200 900 200 500 200

Foram consultadas m pessoas, verificando-se que npessoas NO utilizam o artigo A e p pessoas.SOMENTE utilizam artigo B. sabendo que os usuriosde A no so usurios de C, os valores para m, n e pso, respectivamente:a) 2000, 1800 e 1200b) 2000, 1600 e 500c) 2700, 1600 e 500d) 2700, 1800 e 1200

e) 3400, 1600 e 1200Resoluo:

Pelo diagrama de Venn Euler:

Encontrando os valores de m, n e p:m = 200+200+500+500+400+200 = 2000

n = 500+500+400+200= 1600p = 500

R: Alternativa b

200


5/5


5

22) Numa turma de alunos, existem 35 rapazes (queusam cala jeans ou no), 18 pessoas que usamcala jeans, 15 moas que no usam cala jeans e 7rapazes que usam cala jeans. O nmero deestudantes que so rapazes ou usam cala jeans :

a) 42b) 46c) 50

d) 54e) 61

Resoluo:

Esse estilo de problema pode ser facilmente resolvido com oauxlio de uma tabela:

Rapazes moas Totalusam jeans 7 11 18

no usam jeans 28 15 43Total 35 26 61

O nmero de estudantes que so rapazes ou usam calas

jeans de: 35 + 11 = 46R: Alternativa b

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