conjuntos - caderno de conteudo - edicao 6

8/12/2019 Conjuntos - Caderno de Conteudo - Edicao 6

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COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES

www.matematicarlos.com.br

5 55 5

COPYRIGHT Prof. Carlos Eduardo M.Pires,2014Edição VI6.ª EDI !O " 2014

O #$E %OC& PRECI'( '()ER 'O)RE





4 44 4

1. Conjuntos __________________________________ 051.1. Conjunto1.2. Representação de um conjunto

I – Extensão ou elementarII – Compreensão ou forma abstrataIII – !a"rama de #ennI# – Representação num e!xo

1.$. Elementos1.%. &ubconjunto1.5. Conjuntos com elementos 'ue são conjuntos1.(. Conjunto)&olução1.*. Conjunto das partes de um conjunto

2. +!pos de conjuntos conforme a 'uant!dade de elementos_ 0,2.1. Conjunto #a-!o2.2. Conjunto n!t/r!o2.$. Conjunto n! erso

$. omes de conjuntos conforme os t!pos de conjuntos____ 0,$.1. atura!s$.2. Inte!ros$.$. Rac!ona!s$.%. Irrac!ona!s$.5. Rea!s

%. !a"rama de #enn______________________________ 10%.1. Contando uma !st3r!a%.2. 4e!tura de d!a"ramas de #enn

5. peraç6es com conjuntos________________________ 125.1. n!ão5.2. Intersecção5.$. !ferença5.%. Complementar

(. Reta num7r!ca________________________________ 15(.1.1. Reta num7r!ca natural(.1.2. Reta num7r!ca dos n8meros !nte!ros(.1.$. Reta num7r!ca dos n8meros rac!ona!s(.1.%. Reta num7r!ca dos n8meros Irrac!ona!s(.1.5. Reta num7r!ca dos n8meros Rea!s

*. &!na!s______________________________________ 1*

SUMÁRIO





5 55 5

1 – OS CONJUNTOS1.1 * CO+ $+TO

É um grupo ou coleção de coisas

E!emplo" V#rios alu$os reu$idos em ums% lugar &orma um co$'u$(o de Alu$os

V#rias re)is(as reu$idas $um s% lugar&ormam um co$'u$(o de re)is(as

É impor(a$(e sa*er +ue s% , co$'u$(o se-ou)er delimi(ação de espaço

Logo. / eleme$(os sol(os $ão são umco$'u$(o. mas uma coleção

Mas se eu coloco esses / eleme$(os emum diagrama. ou de$(ro de c-a)es. oude$(ro de +ual+uer s0m*olo. a0 ser# umco$'u$(o

Para dar $ome a um co$'u$(o. usamosle(ras mai1sculas

E!emplo"Co$'u$(o A. Co$'u$(o 2. Co$'u$(o 3.

Os o*'e(os de$(ro de um co$'u$(orece*em o $ome de E-EME+TO'.

Logo. $um co$'u$(o -# eleme$(os. ame$os +ue es(e'a )a4io

1.2 " REPRE'E+T( !O DE $MCO+ $+TO

Represe$(a5se um co$'u$(o de +ua(ro&ormas"

I * E TE+'!O ou /ORM( E-EME+T(R A 6 7 8.9.:./.;<

A &orma eleme$(ar ou e!(e$sãosimplesme$(e ci(a os eleme$(os +ueper(e$cem ao co$'u$(o

É &ei(a coloca$do e$(re c-a)es oseleme$(os separados por )0rgulas

=# casos em +ue , $ecess#rio separareleme$(os com po$(o e )0rgula

E!emplo" O co$'u$(o dos decimais "9.:. :.;. /.>. ?.@. 9 ;.9;. / 9;9.99

Bua$(os eleme$(os (emos acima

Perce*eu o +ua$(o , complicadodis(i$guir os eleme$(os As )0rgulas dosdecimais são co$&u$didas com as )0rgulasde separação

Por isso. em casos como decimais.cos(uma5se separar os eleme$(os $ãocom )0rgulas. mas com po$(o e )0rgulas "A 6 7 9.: :.; /.> ?.@ 9 ;.9; / 9;9.99 <ão &icou mais &#cil

ão colo+ue e para &i$ali4ar a ci(açãoAo colocar +ual+uer le(ra. )ocG es(ar#di4e$do +ue ela , um eleme$(o E!" 78.9.: e /<

Ci(ar os eleme$(os em ou(ra ordem $ãoal(era um co$'u$(o. pois a ordemse+He$cial $ão al(era"7 ? . . > . 9 . ; . : . 8 . / . . @ <

Ci(ar eleme$(os repe(idos (am*,m $ãoal(era o co$'u$(o"7 8 . 8 . 9 . 9 . : . : . / . ; . ; . ; . . . .

. 8 . 9 <

II " COMPREE+'!O ou /ORM(()'TR(T(

A 6 7 J∈ I K J< <

É *as(a$(e &le!0)el para ser mo$(ada

D# ideia de como são os seus eleme$(os.me$cio$a$do deles as suas propriedades

ou pre'udicados +ue se de&i$em ore&erido co$'u$(o

A )a$(agem des(a &orma , +ue ga$-a(empo. )is(o +ue $ão precisaria ci(areleme$(o por eleme$(oO*ser)e" ( 3 ar 5 1 11 7





6 66 6

A+ui di4 +ue J , um eleme$(o ge$,rico doco$'u$(o

3 ar8 5 , &ei(a uma pr,)ia de +ue (ipode eleme$(o es(amos $os propo$do a

descre)er1 118 N Podemos dar uma ou)#rias propriedades +ue )e$-am ade(ermi$ar os eleme$(os "

A 6 7 !∈ I K : ≤ ! ≤ 98 <A 6 7 !∈ IR K √ ; ≤ ! ≤ √ 988 <

E$(re(a$(o , *om e)i(ar complicar a &ormaa*s(ra(a A&i$al. es(a &orma ser)e para&acili(ar a compree$são e $ão complicarai$da mais

III " DI(GR(M( DE %E++

Os diagramas de Ve$$ são %(imos)isuali4adores de um ou )#rios co$'u$(os

São mui(o usados para operação e$(reco$'u$(os )eremos mais adia$(e

E!emplo"

Dado o co$'u$(o A 6 7 9 . : . / . ; . <.represe$(e5o pelo diagrama de Ve$$"

A9 : /

;

a )erdade. pegamos os eleme$(os ecolocamos de$(ro de um c0rculo

Veremos mais so*re Ve$$ e sua -is(%riaem Diagrama de Ve$$

I% " REPRE'E+T( !O +$M EI O

É claro +ue s% poderão ser represe$(ados$o ei!o os eleme$(os +ue &orem $1meros

É impor(a$(e +ue se respei(e as relaç esde gra$de4a

E!emplo"

Represe$(ar o co$'u$(o 26 7 >. ?. :. . @<$a re(a $um,rica

59 8 9 : / ; > ? @ 985555Q5555Q5555Q5555Q5555Q5555Q5555Q5555Q5555Q555

2 9 6 : ;

1.< * E-EME+TO'

É o +ue se (em $os co$'u$(osPode ser le(ras. $1meros. e(c o $ossocaso. serão $1meros. pois o co$'u$(o emes(udo , $um,rico

Para dar $ome aos eleme$(os. usamosle(ras mi$1sculasE!" Eleme$(o a. Eleme$(o =. Eleme$(o

Co$&orme o $1mero de eleme$(os. elerece*e $omes di&ere$(es" Va4io.U$i(#rio

1.4 * '$)CO+ $+TO

É um co$'u$(o me$or de$(ro de ou(roco$'u$(o maior

A relação e$(re co$'u$(os e su*co$'u$(os, represe$(ada com os si$ais ⊂. ⊄ ou ⊃

Di4emos +ue um Su*co$'u$(o A es(#co$(ido $o Co$'u$(o 2 " A⊂ 2 ou 2 ⊃ A

A 6 7 8.9.:./.; <2 6 7 8.9.:./.;. .>.?.@. .98.99 <Logo. A⊂ 2

O*ser)e +ue (odo eleme$(o de A ,(am*,m eleme$(o de 2 Logo. A⊂ 2

o diagrama (emos o su*co$'u$(o de$(rodo co$'u$(o"

) (

0 1 2< 4

9 6 : ; > 10 11





7 77 7

1.9 * CO+ $+TO' COM E-EME+TO'#$E '!O CO+ $+TO'.

A relação e$(re eleme$(os e co$'u$(ossão represe$(ados com o si$al ∈

E$(re Su*co$'u$(os e Co$'u$(os sãoreprese$(ados pelo si$al ⊂

E$(re(a$(o. +ua$do um co$'u$(o &or umeleme$(o. o si$al de relação e$(re elesser# ∈ e $ão ⊂ 5 O co$'u$(o M 6 7 7a< .7*< . 7c< . 7d< . 7a.*.c< <

Logo. 7a<∈ 7 7a< . 7*< . 7c< . 7d< . 7a.*.c< <.e $ão 7a<⊂ 7 7a< . 7*< . 7c< . 7d< . 7a.*.c<<

1.6 * CO+ $+TO"'O-$ !O

É o co$'u$(o da respos(a

oda a respos(a e$(re operaç es ser# umCo$'u$(o Solução"S6 7 a. * . c . d . e <

1.: * CO+ $+TO D(' P(RTE' DE $MCO+ $+TO

É represe$(ado por P J . se$do !6 $omedo eleme$(o

LG5se " P de ! ou P de A ou P de+ual+uer $ome +ue (e$-a o eleme$(o

Serão (odos os Su*co$'u$(os poss0)eisde um co$'u$(o

De(ermi$ar P A , o mesmo +uede(ermi$ar (odos os su*co$'u$(os +uepodemos (er em um Co$'u$(o A

E!plicação"VocG '# parou para pe$sar em +ua$(ossu*co$'u$(os pode (er um co$'u$(o

E!emplo" Co$'u$(o A 6 7 a.* < Bua$(ossu*co$'u$(os )ocG pode (er

Ve'a" 7a< . 7 *< . 7 a.* < podem sersu*co$'u$(os de A , s% &a4er (rocasposs0)eis

Fa4e$do (e$(a(i)as co$seguimos &ormar /

su*co$'u$(osMas $ão podemos es+uecer +ue oCo$'u$(o Va4io pode ser Su*co$'u$(o de+ual+uer ou(ro co$'u$(o

Logo. i$),s de /. (eremos ;"

7a< . 7 *< . 7 a.* < .∅

E!is(e uma &%rmula para sa*er isso"

: n Dois ele)ado a $

O e!poe$(e n , a +ua$(idade deeleme$(os +ue o co$'u$(o (em

o caso A 6 7 a.* <. (emos : eleme$(os

E$(ão. n 6 :

oga $a &%rmula"

: n = :T dois ele)ado ao +uadrado 6 ;

o Co$'u$(o A )ocG poder# (er ;su*co$'u$(os. como )imos acima

Ou(ro e!emplo" 2 6 7 m.$.p <

emos (rGs eleme$(os. e$(ão. n 6 /

oga $a &%rmula": n = : dois ao cu*o 6 :!:!: 6 @

São @ su*co$'u$(os em 2 6 7 m.$.p <

São eles"7 m < . 7 $ < . 7 p < . 7 m.$ < . 7 m.p . 7 $.p < .7 m.$.p < .∅

@ mesmo W





8 88 8

2 – TIPOS DE CONJUNTOSCON ORME ! "U!NTID!DE

DE E#EMENTOS

2.1 * CO+ $+TO %(?IO

ão possui $e$-um eleme$(o

Represe$(a5se com c-a)es )a4ia 7 < oucom uma *ola com um (raço $o meio"∅

u$ca colo+ue ∅ de$(ro das c-a)es" 7 ∅<VocG es(aria di4e$do +ue -# um eleme$(ode$(ro do co$'u$(o Para di4er +ue o

eleme$(o es(# )a4io. ou dei!e as c-a)es)a4ia. ou escre)a ∅ . mas $u$ca de$(rodas c-a)es

O co$'u$(o Va4io , su*co$'u$(o de+ual+uer ou(ro co$'u$(o

Bual+uer co$'u$(o (em como su*co$'u$(oo Co$'u$(o Va4io

Logo.∅ ⊂ 7 +ual+uer co$'u$(o <

2.2 * CO+ $+TO $+IT@RIO

Bua$do possui ape$as um eleme$(o

E!" 7 9 < . 7 5: < . 7 ? < . 7 ! < . 7 !X <

A$alise essa +ues(ão"

Se'a o Co$'u$(o do preço de umamercadoria" Y :.::

Bua$(os eleme$(os (Gm esse co$'u$(o

Respos(a" um eleme$(o

Bue eleme$(o , esse

O :

um co$'u$(o. eleme$(os repe(idos sãoco$(ados ape$as uma )e4

2.< * CO+ $+TO $+I%ER'O

É a+uele +ue (em (odos os eleme$(os +uese dese'a (ra*al-ar

É represe$(ado geralme$(e pela le(ra U

$ – NOMES DECONJUNTOS CON ORMEOS TIPOS DE N%MEROS

Vamos es(udar Co$'u$(os um,ricos. +ue, o mesmo +ue Co$'u$(os de $1meros

Co$&orme o (ipo de $1meros. ele rece*e$omes di&ere$(es"

a(urais. I$(eiros. Racio$ais ouFracio$#rios. Irracio$ais e Reais

<.1 * +(T$R(I' A I+ B

São $1meros a par(ir de 4ero. a(, oi$&i$i(o

E!emplo"8.9.:./.;. .>.?.@. .98.99.9:.9/.9;.9

em começo ão (em &im

Para represe$(ar uma se+uG$cia i$&i$i(a.usamos re(icG$cias

7 8.9.:./.;. .> < $ão (em &im

7 8.9.:./.;. .>< (em &im

Mas as re(icG$cias s% represe$(am oi$&i$i(o +ua$do ela es(# $o &i$al doseleme$(os

79.:./.;. .>.?.@. 8<

es(e caso. a se+uG$cia $ão , i$&i$i(o

Usamos a re(icG$cia para mos(rar +uesegue ap%s o . mas (ermi$a $o 8





9 99 9

O me$or $1mero a(ural , Zero 8

=#. ai$da. alguma polGmica +ua$(o ao$1mero 4ero. pois algu$s $ão o acei(amcomo $1mero $a(ural

ão e!is(e o maior $1mero $a(ural ,i$&i$i(o

Seu s0m*olo , I

odo $1mero do Co$'u$(o a(ural ser#SEMPRE posi(i)o. com e!ceção do 4ero.+ue $ão , posi(i)o $em $ega(i)o

ão precisa aprese$(ar os $1meros$a(urais com o si$al de [ $a &re$(e[9.[:.[/

ão , $ecess#rio escre)er I [ Seescre)er s% I . '# sa*e +ue , posi(i)o

ão e!is(e I 5 . por+ue $ão (em a(urais$ega(i)o

\ , um su*co$'u$(o de . +ue sig$i&ica(odos os $1meros de . me$os o Zero

As(erisco 6 1meros a(urais semo Zero

<.2 * I+TEIRO' A ? B

São os $1meros a(urais mais os seussim,(ricos. ou se'a. os $ega(i)os

E!emplo"

5?.5>.5 .5;.5/.5:.59.8.9.:./.;. .>.?.@. O co$'u$(o dos $1meros I$(eiros $ão (emcomeço e $em &im

Re(icG$cias (a$(o para a es+uerda +ua$(opara a direi(a

ão e!is(e me$or $1mero I$(eiro. por seri$&i$i(o

ão e!is(e o maior $1mero I$(eiro ,i$&i$i(o

Seu s0m*olo , Z

O co$'u$(o Z (em su*co$'u$(os "

Z \ . Z5 . Z[ . Z\5 . Z\[

Z\ 6 1meros I$(eiros sem o Zero7 5:.59.9.:. <

Z56 1meros I$(eiros $ão posi(i)os i$cluio Zero 7 5;.5/.5:.59.8<

Z[6 1meros I$(eiros $ão $ega(i)os i$clui o Zero

78.9.:./.;. <

Z\56 1meros I$(eiros s% $ega(i)os sem oZero7 5/.5:.59<

Z\[ 6 1meros I$(eiros s% posi(i)os sem oZero79.:./.;. <

A$alise"Z , i$&i$i(o para a direi(a e para aes+uerda # Z[ , i$&i$i(o s% para adirei(a. e Z5 para a es+uerda Z[ 6 I

$a(urais

<.< * R(CIO+(I' A # B

São (odos os $1meros I$(eiros. mais as&raç es ou decimais

E!emplo"

5 .5@.*1952.5?.5>.*165<.5 .5;.5/.5:Repare +ue al,m dos i$(eiros. &oramacrescidas algumas &raç es

Por isso os Racio$ais são (am*,mco$-ecidos como $1meros /ra=io rios

Mas por+ue a &ração 9;K/ es(# e$(re o ; eo Para sa*er es(a respos(a. )e'a em

FRA]^ES e DECIMAIS. e RE AUMÉRICA





10 10 10 10

O co$'u$(o dos $1meros racio$ais $ão(em começo $em &im

Seu s0m*olo , B

O co$'u$(o B (em su*co$'u$(os"

B\ 6 1meros Racio$ais sem o Zero

B[ 6 1meros Racio$ais $ão $ega(i)osou posi(i)os i$clui$do o Zero

B5 6 1meros Racio$ais $ão posi(i)os ou$ega(i)os i$clui$do o Zero

B\[ 6 1meros Racio$ais posi(i)os sem o4ero

B\5 6 1meros Racio$ais $ega(i)os semo 4ero

Buem são os $1meros Racio$ais"9 odo $1mero a(ural: odo $1mero I$(eiro/ odo $1mero &racio$#rio (oda &ração ; odo decimal e!a(o

odo decimal peri%dico

<.4 * IRR(CIO+(I'

8.9; ?

Ser# um $1mero racio$al +ua$do"

a (i)er re(icG$cias i$&i$i(o

* $ão &or uma d04ima os algarismos $ãose repe(em em se+uG$cia

A represe$(ação dele pode ser seupr%prio $ome Irracio$al . I ou Ir .depe$de$do do au(or

=# au(ores +ue e!pressam os Irracio$aiscomo B_B_ 6 Co$'u$(os Reais e!clui$do osRacio$ais B 6 Irracio$ais

Um $1mero irracio$al pode aparecerdis&arçado $um rai4 $ão e!a(a√ / 6 9.?/:8 8@

Assim como uma &ração )ira decimale!a(o ou peri%dico. uma rai4 +uadrada$ão e!a(a )ira um decimal irracio$al

O $1mero Irracio$al mais &amoso , oπ

PI . +ue )ale /.9;9 :

<.9 " RE(I'

São (odos os $1meros +ue e!is(em

Bual+uer $1mero racio$al. irracio$al.a(ural e i$(eiro são $1meros reais

Ape$as os $1meros +ue $ão e!is(em $ãoper(e$cem ao co$'u$(o dos $1merosReais

Mas. e!is(e $1mero +ue $ão e!is(e

Sim As ra04es $ega(i)as. por e!emplo

Bua$(o , √ 5;

ão e!is(e rai4 +uadrada de $1mero$ega(i)o Logo. esse $1mero $ão , real

CuriosidadesF

O ad'e(i)o real começou a ser usadopara dis(i$guir esses $1meros de$1meros como √59. +ue era a$(igame$(ee$carados como `irreais ou `imagi$#rios

& – DI!'R!M! DE (ENNOs diagramas de Ve$$ são %(imos

)isuali4adores de um ou )#rios co$'u$(osSão mui(o usados para operação e$(reco$'u$(os )eremos mais adia$(e

Dado o co$'u$(o A 6 7 9 . : . / . ; . <.represe$(e5o pelo diagrama de Ve$$"

(.1 .2 .<

.4 .9





11111111

Contando uma história...Contando uma história...Contando uma história...Contando uma história... A HISTÓRIA DE JOHN VENN

Nasceu no dia 4 de agosto de 1834 em Hu !Ing ate""a! e mo""eu no dia 4 de a#"i de 1$%3em &am#"idge! Ing ate""a'

Veio de uma Ig"e(a de )undo E*ang+ ico e,uando e e ent"ou em -on*i e e na.acu dade de &aius &am#"idge em 18/3 e ete*e um e*e contato com i*"os de ,ua ,ue"ti0o e 0ode se" dito ,ue tin2a come ado oseu con2ecimento de ite"atu"a'

E e se )o"mou em 18/ ! e dois anos de0ois)oi o"denado um 0ad"e'

Em 185% e e *o tou a 6ni*e"sidade de&am#"idge como um con)e"encista em&i7ncia o"a ! estudando e ensinando 9gicae teo"ia da 0"o#a#i idade' E e desen*o *eu a

9gica matem tica de :oo e e + con2ecido 0e o seu diag"ama de "e0"esenta" con(untos e

as sua uni;es e inte"se ;es'Venn conside"ou t"7s discos R! S! e T comosu#con(untos t<0icos de um con(unto 6' Asinte"se ;es destes discos e seuscom0 ementos di*idem 6 em 8 "egi;es n o (usta0ostas! das ,uais a uni o d %/5com#ina ;es de :oo ean di)e"entes docon(unto o"igina R! S! T'

E e esc"e*eu a >9gica de &2ance em 1855!,ue ?e@nes desc"e*eu como Bnota*e menteo"igina e conside"a*e mente in) uenciou odesen*o *imento da teo"ia de estat<sticasB'

Venn 0u# icou >9gica Sim#9 ica em 1881 eOs C"inc<0ios da >9gica Em0<"ica em 188$' Osegundo destes + menos o"igina ! mas o 0"imei"o )oi desc"ito 0o" ?e@nes como 0"o*a*e mente o seu t"a#a 2o mais du"adou"oem 9gica'

Em 1883 Venn )oi e eito um mem#"o daSociedade Rea '

A 0a"ti" da<! ca""ei"a de e mudou de di"e o'E e ( tin2a dei ado a Ig"e(a em 18 ! mas! ointe"esse de e *i"ou ago"a a 2ist9"ia' E eesc"e*eu uma 2ist9"ia da sua )acu dade! 0u# icando T2e :iog"a02ica Histo"@ o)-on*i e and &aius &o ege 134$F18$ em18$ '

E e em0"eendeu a imensa ta"e)a de com0i a"uma 2ist9"ia da 6ni*e"sidade de &am#"idge'O 0"imei"o *o ume )oi 0u# icado em 1$%%' E e)oi a(udado 0e o seu )i 2o nesta ta"e)a ,ue )oidesc"ita 0o" out"o 2isto"iado" nesses te"mosBG di)<ci 0a"a ,ua ,ue" um ,ue n o *iu ot"a#a 2o em sua )a#"ica o 0e"ce#e" aimensa ,uantia de 0es,uisa en*o *ida nesteg"ande em0"eendimento'B

Venn te*e tam#+m out"as 2a#i idades einte"esses! inc usi*e uma 2a#i idade "a"a deconst"ui" m ,uinas' E e usou a sua 2a#i idade 0a"a const"ui" uma m ,uina 0a"a #o as dec"ic et ,ue e"a t o #oa ,ue ,uando o timeaust"a iano de c"ic et *isitou &am#"idge em1$ $! a m ,uina de Venn )oi uti i ada 0o"uma de suas 0"inci0ais est"e as ,uat"o *e es'

4.2 " -EIT$R( DE DI(GR(M( DE %E++

Os co$'u$(os de A e 2 $ão possuemeleme$(os comum"

( )

Os co$'u$(os de A e 2 possuemeleme$(os comum"

( )

O co$'u$(o 2 es(# co$(ido $o co$'u$(o A

(





12 12 12 12

) – OPER!*+ESCOM CONJUNTOS

A relação e$(re os co$'u$(os e $1meros ,e!pressa com si$ais peculiares∅. ∪. ∩. ∩. =. >. <. =. ∈. ∉

)e'a em os si$ais

Ou(ra &orma de represe$(ar operaçãoe$(re co$'u$(o mui(o usada , a(ra),s dediagramas de Ve$$

9.1 * $+I!O DE CO+ $+TO'

É +ua$do )ocG pega (odos os eleme$(osde cada co$'u$(o e coloca (odos em ums%

am*,m c-amado de Reu$ião deco$'u$(os

Represe$(a5se U$ião com o s0m*olo∪

É u$ir os eleme$(os +ue es(ão em gruposdi&ere$(es. &a4e$do um s% co$'u$(o com(odos os eleme$(os

E!emplo"Dois irmãos colecio$am gi*is da M $ica

uma cai!a es(ão re)is(as do irmão mais)el-o. e $a ou(ra cai!a es(ão gi*is doirmão mais $o)o

C-amemos de CO U OS as cai!aso$de os irmãos guardam as re)is(as

emos e$(ão dois co$'u$(os" O co$'u$(ode re)is(as do irmão mais )el-o V e oco$'u$(o de re)is(as do irmão mais $o)o

O irmão mais $o)o $ão (em a coleçãocomple(a S% (em os $1meros 9.:./.>.?.@e O irmão mais )el-o (am*,m $ão (em acoleção comple(a Ele (em os e!emplares

9.:.;. .>.?.98.99 e 9:

Logo"Co$'u$(o V 6 79.:./.>.?.@. <Co$'u$(o 6 79.:.;. .>.?.98.99.9:<

Os dois irmãos c-egam ao acordo e

resol)em u$ir suas coleç esPegaram uma (erceira cai!a. para &a4eruma s% coleção

Assim. (emos V ∪ 679.:./.;. .>.?.@. .98.99.9:<Comple(ou a coleção

Resumi$do"U$ião de Co$'u$(os. , &ormar um (erceiroco$'u$(o com eleme$(os do primeiro maisos eleme$(os do segu$do

Os eleme$(os repe(idos $ão de)em serme$cio$ados $o Co$'u$(o U$ião

E!emplo"O*ser)e +ue $a cai!a do irmão mais)el-o (i$-am se(e re)is(as a cai!a doirmão mais $o)o (i$-am $o)e re)is(as

a (erceira cai!a de)eria (er ? [ 6 9>re)is(as

E$(re(a$(o &oram e$co$(radas ape$as 9:re)is(as O +ue aco$(eceu

Aco$(eceu +ue os e!emplares 9.:.> e ?eram repe(idos. e $ão -a)ia $ecessidadede coloc#5los $a (erceira cai!a

Assim. co$clui5se +ue"a u$ião de co$'u$(os. os $1merosrepe(idos co$(am ape$as uma )e4. $ãose$do $ecess#ria sua repe(ição"A 6 78.9.:./< 2 6 7:./.;. <A∪ 2 6 7 8.9.:.:././.;. < 6 7 8.9.:./.;. <

Como desco*rir a +ua$(idade deeleme$(os $uma U$ião de Co$'u$(os

Veremos a &%rmula em seguida





13 13 13 13

C(-C$-(+DO ( #$(+TID(DE DEE-EME+TO' +$M( $+I!O DE

CO+ $+TO'F%rmula"$ A∪ 2 6 $ A [ $ 2 5 $ A∩ 2

O*ser)e" $ 6 $1mero de eleme$(os

Se$do $ A 6 98.$ A∩2 6 / e$ A∪ 2 6 9:.

calcular o $1mero de eleme$(os de 2

oga$do $a &%rmula "$ A∪ 2 6 $ A [ $ 2 5 $ A∩ 2

9: 6 98 [ $ 2 5 /9: 5 98 [ / 6 $ 2

6 $ 2 Respos(a " eleme$(os

A u$ião pode ser e$(re dois ou maisco$'u$(os

Represe$(a$do a U$ião de doisCo$'u$(os $o DIAbRAMA de Ve$$"

É s% pi$(ar (udo

9.2 * I+TER'EC !O DE CO+ $+TO'

São os eleme$(os comu$s e$(re osco$'u$(os

Bua$do dois co$'u$(os (Gm eleme$(ossemel-a$(es. di4emos +ue ossemel-a$(es são a i$(erseção e$(re eles

E!emplo"As +ua(ro re)is(as repe(idas +ue $ão&oram colocadas $a cai!a das re)is(as $oirmão mais $o)o e o irmão mais )el-o $oe!emplo a$(erior

Usa$do os Co$'u$(os"V 6 79.:./.>.?.@. <

679.:.;. .>.?.98.99.9:<

O*ser)e +ue os $1meros 9.:.> e ?

aparecem (a$(o $o primeiro co$'u$(o.+ua$(o $o segu$do co$'u$(o

Di4emos +ue a I$(ersecção dos co$'u$(osA e 2 6 9.:.>.?

A represe$(ação da i$(erseção , ∩

Dado A 6 7 8.9.:./ < e 2 6 7 9.:./.;<.de(ermi$e A∩ 2 "

A ∩ 2 6 7 9.:./ <

Bua$do $ão -ou)er eleme$(os emcomum repe(idos . , por+ue $ão -ou)ei$(erseçãoDi4emos +ue o co$'u$(o &icar# )a4io.por+ue $ão (e)e eleme$(os repe(idos"

A 6 7 8.9.:./ < . 2 6 7 ;. .>.? <De(ermi$e A∩ 2"

A ∩ 2 6 7 < ou∅

Bua$do $ão -# i$(erseção e$(re doisco$'u$(os. di4emos +ue eles sãoDIS U OS

Lem*re5se"Ou use 7 < ou use∅

u$ca use 7 ∅ <Para di4er +ue o co$'u$(o es(# )a4io. )ocGde)e dei!ar o espaço e$(re as c-a)es)a4io

Pode -a)er i$(ersecção e$(re dois oumais co$'u$(os

Em seguida. )amos represe$(ar ai$(ersecção $o diagrama de Ve$$





14 14 14 14

A i$(ersecção , a #rea pi$(ada

O*ser)e +ue $o caso a*ai!o $ão -# #reapi$(ada

A ∩ 2 6 7 < ou∅

Di4emos +ue $ão -# i$(ersecção e$(re osco$'u$(os

9.< * DI/ERE+ ( DE CO+ $+TO'

É (odo eleme$(o +ue (em $o primeiroco$'u$(o. +ue $ão (em $o segu$do

É represe$(ado com o si$al de su*(raçãoN

A N 2 6 Di&ere$ça e$(re A e 2

ão co$&u$dir a A N 2 com 2 N A

E!emplo I"A 6 7 8.9.:./ < . 2 6 7 :./.;. .> <

De(ermi$e A N 2"A52 6 7 8.9 <Pegamos o Co$'u$(o A e (iramos oseleme$(os +ue es(ão em 2

De(ermi$e 2 N A"

25A 6 7;. .><iramos de 2 os eleme$(os de A

O*ser)e o es+uema"

A 6 8 . 9 . : . /2 6 : . / . ; . . >

Colo+ue um so*re o ou(roOl-e para o 2Ris+ue os $1meros repe(idos e$(re o 2 eo A. ou se'a. eleme$(os +ue es(ão umso*re o ou(ro

es(e caso serão dois" : e /

Se eu +uero A52. ol-o para o +ue so*rou$o A. ou se'a. 8 e 9

Se +uero 2 N A. ol-o para o +ue so*rou$o 2. ou se'a. ;. e >

Represe$(a$do $o diagrama a Di&ere$çae$(re co$'u$(os"

2as(a pi$(ar o A. e $ão pi$(ar o 2

9.4 * COMP-EME+T(R DE $MCO+ $+TO.

É o mesmo +ue di&ere$ça e$(re co$'u$(os.ape$as i$)er(e$do a ordem deles

A represe$(ação , " Bc

A Compleme$(ar de 2 em relação a A

A le(ra +ue es(i)er em cima ou $a &re$(e.ser# COMPLEME AR DE

A le(ra +ue es(i)er em*ai!o ser# EMRELA] O A





15 15 15 15

Ou(ra &orma de represe$(ar oCompleme$(ar de algum co$'u$(o. , s%colocar o $ome do co$'u$(o e um (raçoso*re ele

2 se lG compleme$(ar de 2

O*ser)e +ue $a represe$(ação Bc A

Aparece o A primeiro e depois o 2

a -ora de ler. usa a ordem co$(r#ria"

Compleme$(ar de 2 em relação a A

Mas. para resol)er. resol)e $a mesmaordem" A N 2

, – RET! NUM-RIC!6.1.1 * Re a +u 3ri=a a ural.

race uma re(a "

DG um $ome a es(a re(a le(ra mi$1scula

Mar+ue um po$(o $ela. +ue ser# o po$(oorigem

DG um $ome a esse po$(o de origem"Po$(o A

Colo+ue uma r,gua em cima des(a re(a

Colo+ue o 4ero da r,gua em cima doPo$(o A

A par(ir dai. mar+ue 9 po$(o em cima decada ce$(0me(ro a(, c-egar $o 9 cm

ire a r,guaOs $1meros de 8 em dia$(e per(e$ce a+ue co$'u$(o $um,rico a(urais

Podemos di4er +ue es(a re(a $um,rica ,uma RE A UMÉRICA A URAL

Lem*re5se +ue a dis( $cia de um po$(opara o ou(ro de)e ser a mesma

%s dei!amos um espaço de 9 cm. mas oespaço pode ser +ual+uer um. co$(a$do

+ue se'am sempre co$grue$(esEm*ora (e$-a +ue (er o mesmo espaçoe$(re um e ou(ro. $i$gu,m )ai &icarmedi$do os espaços Por isso ser#$ormal )ocG da+ui para &re$(e &a4er e )erre(as $umeradas com dis( $cias $ãoe!a(as e$(re um $1mero e ou(ro

O*ser)e +ue o $1mero começa $o Zero.e )ai aume$(a$do para o i$&i$i(o " 8.9.:

6.1.2.a * Re a +u 3ri=a ?.Pegue a re(a +ue )ocG '# $umerou. e &açao mesmo processo. s% +ue des(a )e4para o lado es+uerda o co$(r#rio Os $1meros $a(urais mais os seussim,(ricos opos(os per(e$cem aoco$'u$(o $um,rico I$(eiro

O*ser)e +ue o primeiro i$(eiro , i$&i$i(o $ão (em começo

Mas $es(a re(a.o 9 represe$(ado , o 599

A re(a )ai cresce$do " 599.598.5 [email protected]?.5>

Perce*eu +ue +ua$(o mais o $1merocresce. me$or &ica o $1mero a*solu(o

Veremos es(e es(udo agora

6.1.2. * #ual 3 o aior J eroK

Para sa*er +ual o $1mero , maior. )e'a aposição de am*os $a Re(a um,rica

O $1mero +ue es(i)er f direi(a ser# maior'# +ue , cresce$(e para a direi(a

Assim. +ua$(o mais o $1mero es(i)er fdirei(a. maior ser# ele





16 16 16 16

Ve'a +ue e$(re o : e o 98. o : es(# fes+uerda e o 98 f direi(a Logo o 98 ,maior

o caso dos $1meros $a(urais $ão ,

mui(o di&0cilSem precisar )er $a Re(a um,rica. )ocG '# sa*e +ue 98 > : 98 , maior +ue :

Os 1meros I$(eiros ega(i)os e!igemmaior a(e$ção

Bual $1mero , maior 5: ou 598O*ser)e" agora o resul(ado $ão ser# 598

Isso por+ue $a Re(a um,rica o 598 es(#f es+uerda e o 5: es(# f direi(a

Logo. o maior $1mero ser# a+uele +uees(i)er f direi(a $a Re(a um,rica

ei(o Mais F#cil" Para sa*er +ual $1mero, maior. , s% )er "

Dois 1meros Posi(i)os " Maior Valor

A*solu(oDois 1meros ega(i)os " Me$or ValorA*solu(o

Um 1mero Posi(i)o e um 1meroega(i)o" O $1mero posi(i)o

6.1.<.a * Re a +u 3ri=a #.

É impor(a$(e sa*er +ue e$(re os pri$cipais$1meros +ue )imos a(, agora osi$(eiros . e!is(em $1meros +ue $ão sãoi$(eiros São par(e de um i$(eiro

E!emplo " i$-a 9 Real i$(eiro em uma$o(a Bueria di)idir em ; par(es i)e +ue(rocar por ; moedas de 8.: Cadamoeda )ale 9K; do real

Se$do 9K; um $1mero +ue $ão , i$(eiro.mas uma &ração. em +ue posição de)eriaele es(ar colocado $a re(a $um,rica

Mui(os colocariam 9K; depois do 9 e a$(esdo ; Mas es(# errado

Para sa*er em +ue posição ele de)ees(ar. )ocG de)e (ra$s&orm#5lo em

decimal ou se'a. de)e resol)er essadi)isão. '# +ue 9K; , a mesma coisa +ue9"; 6 8.:

e$do o $1mero 8.: . '# podemos coloc#5lo $a re(a Logo. ele ser# maior +ue 8 eme$or +ue 9 a re(a. es(ar# e$(re o 8 e9

E$(re um $1mero e ou(ro -# i$&i$i(os$1meros racio$ais e irracio$ais

6.1.<. * #ual 3 a aior fraL oK

A maior &ração ser# a+uela +ue es(i)er fes+uerda $a re(a $um,rica ou o maiordecimal

E!emplo"E$(re K9: e ?K@. +ue , o maior

Parece +ue K9: , maior +ue ?K@. mas$ão ,

umeradores iguais e de$omi$adoresdi&ere$(es. maior &ração ser# o de me$orde$omi$ador de$omi$ador , a+ua$(idade +ue se di)ide Bua$(o mais)ocG di)ide. me$or &ica a &ração

umeradores di&ere$(es ede$omi$adores iguais. maior &ração ser#

a de $umerador maiorMas )ocG $ão precisa decorar isso 2as(a)ocG resol)er a &ração. e com o resul(ado

+ue ser# um decimal ou $1mero i$(eiro .)ocG )er# +ual , maior

E!emplo"K9: 6 8.?

?K@ 6 8.@?Como 8.@? , maior +ue 8.? . a maior

&ração ser# ?K@





17 17 17 17

6.1.4 * Re a +u 3ri=a Ir

Os irracio$ais $a maioria das )e4esaparecerão em decimais

Pelos decimais )ocG sa*er# o$de elede)e &icar $a re(a $um,rica

E!emplo"π 6 /.9;9 : Ele &icar# $a re(a depoisdo /. a$(es do ;

Mas os Irracio$ais podem aparecer emra04es "√ /

es(e caso. *as(a resol)er e ac-ar odecimal +ue ela represe$(a"√ / 6 9.?/:8 8@Assim √/ &ica depois do 9 e a$(es do :

6.1.9 * Re a +u 3ri=a RDi&icilme$(e )ocG )ai ou)ir &alar de re(a$um,rica dos $1meros $a(urais. i$(eiros.racio$ais ou irracio$ais

Ser# mais comum )ocG )er Re(a$um,rica dos $1meros Reais. +uee$glo*a (odos os $1meros

/ SIN!IS A , igual a 2 AA , di&ere$(e a 2 A≠ 2a per(e$ce a A a∈ Aa $ão per(e$ce a A a∉ AA es(# co$(ido em 2 A⊂ 2A $ão es(# co$(ido em 2 A⊄ 2A co$(,m 2 ⊃ 2Co$'u$(o Va4io ∅ ou 7 <Co$'u$(o U$i)erso ∪ A u$ião 2 ∪ 2A i$(erseção 2 A∩ 2A me$os 2 A maior +ue 2 A> 2A me$or +ue 2 A< 2A maior ou igual a 2 A≥ A me$or ou igual a 2 A≤ 2Co$'u$(o dos $1meros a(urais Co$'u$(o dos $1meros I$(eiros ZCo$'u$(o dos $1meros Racio$ais BCo$'u$(o dos $1meros Reais R

Compleme$(ar de A em relação a 2 Bc A

conjuntos - caderno de conteudo - edicao 6

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