Translao, rotao para caracterizao de Cnicas Lucas Lugo Guimares ITA T-18 MuitasvezesemvestibularescomooITAeoIMEotempoparaaresoluodeuma questo extremamente reduzido sendo necessrio o uso de tcnicas e manipulaes que visam a diminuio do tempo da resoluo evitando o clculo desnecessrio e redundante. Esse texto tem como objetivo explicar uma tcnica aprendida na matria de MAT-17 (Geometria Analtica e Vetores) do 1 semestre do ciclo fundamental do ITA para a caracterizao de cnicas. 1.Translao Semprequeaequaoaseranalisadaapresentartermoslinearesemxouydeve-se primeirotransladaroseixoscoordenadosdemodoaeliminarpelomenosumdosdoistermos lineares.Para obter as equaes pertinentes a essa translao considere a cnica genrica abaixo:

2 + +2 + + + = 0 Nesse caso efetuaremos a translao dos eixos fazendo a seguinte substituio: = + = + (2 +2 +2) +( +)( +) +(2 +2 +2) +( +) +( +) + = 0 Expandindo e agrupando os termos:

2 + +2 +(2 + +) +(2 + +) + = 0 Com

= 2 + +2 + + + Para que elimine-se os termos lineares deve-se ter: { +2 + = 02 + + = 0 Note que existem casos em que no possvel resolver o sistema acima, nesses casos no possvelremoverambostermoslinearesaomesmotempooqueindicaqueacnicaouo conjunto vazio ou ento uma parbola. Nesses casos pertinente utilizar uma das duas equaes de maneira a descobrir h e k de modo que ao menos um termo linear seja removido. 2.Rotao necessrio rotacionar a cnica nas vezes em que essa apresentar termo misto, ou seja, nasvezesemquesetem 0naequaogeraldacnica.possveldemonstrarquea transformaoquelevadeumsistemadecoordenadas(, )paraoutrosistema(, )quese diferenciam apenas pelo ngulo de seus eixos da forma: = cos sen = sen + cos Entretanto, esse texto no se preocupa na deduo dessa transformao, mas sim em suas consequncias que permitem o desenvolvimento de mtodos prticos para a obteno da equao rotacionada da cnica. Caso prtico: = = Ocasoprticoestudadodizrespeitosequaesincompletasdecnicasemqueno existem termos lineares, ou seja, casos em que o sistema utilizado para a obteno do centro de translaotemsoluo(osoutroscasosdevemserresolvidosdemaneirausual,utilizandoo ngulo de rotao). Mostrarei agora que nesse caso especfico no necessria a determinao do ngulo de rotao para a construo da equao final.A equao da cnica tem esse formato:

2 + +2 + = 0 Substituindo a transformao para a rotao: ( cos sen)2 +( cos sen)( sen + cos ) +( sen + cos )2+ = 0 Expandindo e agrupando os termos:

2(cos2 +cos sin + sin2) +(2( ) cos sen +(cos2 sen2))+2(sen2 cos sin + cos2) + = 0 Com as frmulas de arco duplo:

2(cos2 +cos sin + sin2) +(( ) sen2 +cos 2)+2(sen2 cos sin + cos2) + = 0 De modo que os novos coeficientes , , e F sero:

= cos2 +cos sin + sin2

= sen2 cos sin + cos2

= ( ) sen2 +cos 2

= Observe agora a seguinte propriedade:

+ =cos2 +cos sin + sin2 +sen2 cos sin + cos2

+ =(cos2 +sen2) +(cos sin cos sin) +(cos2 +sen2)

+ = +Ou seja, a soma dos coeficientes dos termos quadrticos invariante sob a rotao! Alm disso, observe essa outra propriedade:

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= [( ) sen2 +cos 2]2 + 4(cos2 + cos sen + sen2)(sen2 cos sen + cos2)

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= ( )2sen22 +2( ) sen2 cos 2 +2cos22 + (2cos2 +2 sen2 +sen2)(2sen2 +2 cos2 sen2)

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= ( )2sen22 +( ) sen4 +2cos22 + (2cos2 +2 sen2)(2sen2 +2 cos2) + +sen2 (2cos2 +2 sen2 2sen2 2 cos2) +2sen22

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= 2 +sen22 + sen22 2 sen22 +( ) sen4 + sen22 sen22 4(cos4 +sen4) + sen4 ( ) Note que: 4 = 4(cos2 +sen2)2 = 4(cos4 +sen4) +8cos2 sen2 4(cos4 +sen4) = 4 2sen22

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= 2 2 sen22 (4 2sen22)

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= 2 4E portanto o discriminante da equao geral tambm um invariante na rotao! Relembrando que o objetivo da rotao eliminar o termo misto na equao rotacionada deseja-se obter em que = 0, sendo assim observe o que podemos obter apenas pelo uso dos invariantes:

2 4 = 4

= 14(2 4)

+ = + Que um problema de soma e produto e equivalente a resolver a equao quadrtica:

2 ( +) 14(2 4) = 0Essaequaoportantoutilizadaparaencontrarmososcoeficientesdeuevapsa transformao sem ter que calcular o ngulo de rotao propriamente dito. Obs.: Uma dvida que pode surgir nesse ponto : Qual das duas solues deve ser escolhida para A e para C? A resposta simples:

= cos2 +cos sin + sin2 sen2 +cos sin cos2

= sin2 +( ) cos 2 E tambm

= ( ) sen2 +cos 2 = 0 = cos 2sen2 Assim:

= sin2 + cos 2sen2cos 2

= (sin2 +cos22sen2 )

= (sin22 +cos22sen2) E portanto a diferena deve ter o mesmo sinal de B considerando que a rotao sempre de um ngulo no primeiro quadrante. Exemplo resolvido [IME] Determine o lugar geomtrico definido pela equao em R: 22 4 +42 2 8 +9 = 0 Como proposto nesse texto, iniciaremos a resoluo procurando eliminar os termos lineares: = + = +{ + 2 + = 02 + + = 0 {4 +4 2 = 08 4 8 = 0 = 52 = 3E portanto a equao da cnica torna-se:

2 + +2 +2 + +2 + + + = 0 22 4 +42 4 = 0 Para eliminar o termo misto faamos o uso dos invariantes da rotao:

+ = 2 + 4 = 6 4

= (4)2 4 2 4

= 4

2 6 4 = 0 = 6 36 4 1 42= 3 5 Como deve-se ter A-C com mesmo sinal de B:

= 3 5 = 3 +5 E a equao rotacionada finalmente: (3 5 )2 +(3 +5)2 4 = 0

2(43 5)+

2(43 +5) = 1 Como 3 5 > 0 o lugar geomtrico portanto uma elipse. Para fins de comparao resolva a mesma questo encontrando o ngulo de rotao e perceba que esse mtodo de fato poupa um tempo crucial na soluo da questo.