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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CAMPUS DE FOZ DO IGUAÇU
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE SISTEMAS DINÂMICOS E ENERGÉTICOS
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA DE AUTOEXCITAÇÃO EM GERADORES DE INDUÇÃO CONFORME SUAS
CONDIÇÕES OPERATIVAS
GIOVANO MAYER
FOZ DO IGUAÇU 2012
Giovano Mayer
Condições de Existência de Autoexcitação em Geradores de
Indução Conforme suas Condições Operativas
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas Dinâmicos e Energéticos como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Engenharia de Sistemas Dinâmicos e Energéticos. Área de concentração: Sistemas Dinâmicos e Energéticos.
Orientador: Dr. Romeu Reginatto
Foz do Iguaçu 2012
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Resumo
A utilização de fontes alternativas de energia requer equipamentos de conversão eletromecânica que apresentem baixos custos de implantação, operação e manutenção. Desta forma, pequenos recursos energéticos não ligados ao sistema elétrico de potência (SEP) podem ser beneficiados pelo emprego do gerador de indução (GI) com rotor em gaiola, que apresenta tais características. Quando operado de forma isolada, o GI é denominado de SEIG – Self Excited Induction Generator, e nesta configuração sua autoexcitação é promovida através do acoplamento de capacitores apropriados aos terminais do estator da máquina. A existência da autoexcitação no GI depende do valor do capacitor conectado ao estator, da velocidade mecânica e da carga. Este trabalho tem por objetivo estudar as condições de existência da autoexcitação em geradores de indução visando sua aplicação em sistemas isolados de geração. Neste sentido, inicialmente as condições de existência de autoexcitação são colocadas em termos de parâmetros, unidades e grandezas apropriadas, a fim de explicitar as relações com as características operativas da máquina. Também é considerado que o gerador de indução é acoplado a uma carga que contém componentes tanto ativos quanto reativos parametrizados em termos de potência. Os capacitores de autoexcitação são representados por sua potência reativa denominada de potência reativa de autoexcitação (PRAE). São definidas regiões de existência de autoexcitação explicitando condições para a existência e a manutenção da autoexcitação em torno de regiões operativas (RO) do gerador. Através da análise da existência da autoexcitação em torno da RO e da representação da PRAE e da carga em termos de potência, são estabelecidos procedimentos de projeto do SEIG. Com estes procedimentos, o dimensionamento do SEIG fica em função da carga máxima a ser acionada, da pior condição de fator de potência da mesma e da velocidade mínima de autoexcitação do gerador. O processo de autoexcitação do gerador e os procedimentos de projeto são analisados com o auxílio de simulações dinâmicas do modelo completo do SEIG, incluindo o modelo não linear da indutância de magnetização representando a saturação magnética. Uma bancada laboratorial foi desenvolvida para possibilitar estudos com geração assíncrona, em particular com o SEIG. Os parâmetros do gerador foram levantados experimentalmente e utilizados em todo o trabalho, inclusive nas simulações dinâmicas apresentadas. Os resultados foram confrontados também com dados experimentais de testes de autoexcitação obtidos com a bancada desenvolvida.
Palavras chave: Geradores de Indução Autoexcitados (SEIG), Autoexcitação de Geradores, Máquina Assíncrona.
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Abstract
The use of alternative sources of energy requires electromechanical conversion equipments that exhibit low installation, operating and maintenance costs. In such way, small energy resources that are not connect to the power system (PS) can be benefited by the use of squirrel-cage induction generators (IG) which show such characteristics. When operating in an isolated mode, the IG is called SEIG - Self Excited Induction Generator, and in this configuration its self excitation is promoted through the connection of appropriate capacitors to the terminals of the machine stator. The existence of self-excitation in the IG depends on the value of the capacitor connected to the stator, the mechanical velocity and the load. This work aims to study the conditions of existence of self-excitation in induction generators having in mind applications in isolated generators systems. Towards this goal, initially the conditions for the existence of self-excitation are stated in terms of appropriate parameters, units and quantities, so as to highlight its relations with the operative characteristics of the machine. It is considered that the induction generator is connected to a load that contains both reactive and active components, parameterized in terms of its rated power. The self-excitation capacitors are represented by its reactive power, called self-excitation reactive power (PRAE). Self-excitation existence regions are defined which explicitate conditions for the existence and maintenance of self-excitation over, a region of operating conditions (OR) of the generator. Through the analysis of the existence of the self-excitation over the OR and the parameterization of the PRAE and the load in terms or rated power, procedures for SEIG design are established. With these procedures, the design of the SEIG is defined by the maximum load power, the worse load power factor condition, and the minimum self-excitation speed of the generator. The process of self-excitation of the generator and the design procedures are analyzed with the aid of dynamic simulations of the SEIG complete model, including the non linear model of the magnetizing inductance representing the magnetic saturation. A laboratorial bench was developed to allow studies with asynchronous generation, in particular with the SEIG. The parameters of the generator were identified experimentally and used all along the work, especially in the dynamic simulations showed. The results were also compared with experimental data collected from self-excitation tests performed with the developed laboratory bench.
Keywords: Self Excited Induction Generator (SEIG), Self excitement Generators, Asynchronous Machine.
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Aos meus pais.
À minha querida esposa.
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Agradecimentos
Agradeço a Universidade Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE, pela oportunidade de realizar este trabalho junto ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas Dinâmicos e Energéticos (PGESDE) e a Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR – Campus Medianeira, por ceder laboratórios, instalações e equipamentos que permitiram o desenvolvimento da parte experimental do mesmo.
Durante o curso de mestrado, muitas pessoas colaboraram dando apoio e incentivo ao desenvolvimento da pesquisa, portanto, agradeço a todos que de forma direta ou indireta auxiliaram no desenvolvimento deste trabalho, destacando algumas pessoas que foram fundamentais.
A minha família e especialmente à minha esposa pela força, apoio, dedicação, conforto e sobretudo compreensão durante todo o curso de mestrado.
Ao meu orientador Romeu Reginatto pelo apoio e experiência transmitida em nossas conversas que foram fundamentais no desenvolvimento e término do trabalho e que, além disso, sempre transmitiu segurança e mostrou caminhos quando estes pareciam inexistentes.
Aos professores e colaboradores do PGESDE e aos colegas da UTFPR, Marcos Fischborn, Yuri Ferruzzi, Estor Gnoatto, Adriano de Andrade Bresolin e Alberto Noboru Miyadaira pelo apoio e incentivo durante o desenvolvimento deste trabalho.
A todos os colegas de mestrado com quem tive a oportunidade de estudar e trocar experiências, em especial a Marcos Guilherme Zanchettin pelo apoio e amizade.
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Sumário
Lista de Figuras xv
Lista de Tabelas xxi
Lista de Siglas xxiii
Lista de Símbolos xxv
1 Introdução 1
1.1 Tipos de Geradores Utilizados em Fontes Alternativas de Energia .......................... 1
1.2 Geradores de Indução Operando de Forma Isolada ................................................. 3
1.3 Autoexcitação em Geradores de Indução ................................................................ 4
1.4 Objetivos do Trabalho ............................................................................................ 8
1.4.1 Objetivo Geral ............................................................................................ 8
1.4.2 Objetivos Específicos ................................................................................. 9
1.5 Estrutura do Trabalho ............................................................................................. 9
2 Modelo Matemático do SEIG para o Estudo do Processo de Autoexcitação 11
2.1 Esquema de Ligação do SEIG ............................................................................... 11
2.2 Modelo Matemático do Gerador de Indução para o Estudo da Autoexcitação ....... 12
2.2.1 Estabilidade do Equilíbrio I = 0 para a Análise do Processo de
Autoexcitação em Geradores de Indução................................................... 15
xii
2.2.2 Análise do Determinante da Matriz Impedância do Gerador de Indução e
Formas de Autoexcitação .......................................................................... 18
2.3 Parametrização da Carga e dos Capacitores de Autoexcitação em Termos de
Potência e Tensão Nominais .................................................................................. 21
2.4 Acoplamento da Carga e dos Capacitores de Autoexcitação ao GI ........................ 23
2.5 Condições de Existência de Autoexcitação ........................................................... 25
2.6 Regiões de Existência de Autoexcitação ............................................................... 31
2.7 Conclusões ........................................................................................................... 32
3 Condições de Existência de Autoexcitação em Torno das Condições Operativas 33
3.1 Definição das Condições de Existência de Autoexcitação em Torno das Regiões
Operativas do SEIG ............................................................................................... 34
3.1.1 Existência de Autoexcitação em Torno da RO para Cargas Ativas ............ 35
3.1.2 Influência do FP na Existência de Autoexcitação em Torno da RO ........... 38
3.1.3 Análise da Frequência Elétrica da Tensão Gerada em Torno da RO .......... 40
3.2 Garantia de Autoexcitação em Torno da RO e Procedimentos de Projeto .............. 44
3.2.1 Procedimentos de Projeto .......................................................................... 46
3.2.2 Efeito da Variação das Resistências de Estator e Rotor nas Superfícies de
Projeto ...................................................................................................... 48
3.2.3 Influência da Variação de 퐿 nas Superfícies de Projeto ......................... 49
3.3 Conclusões ........................................................................................................... 50
4 Dinâmica do Processo de Autoexcitação do SEIG 53
4.1 Modelo Matemático do SEIG para Simulações Dinâmicas .................................... 53
4.2 Modelo Matemático do SEIG Considerando a Dinâmica da Indutância de
Magnetização........................................................................................................ 58
4.2.1 Dinâmica da Indutância de Magnetização e Ajuste de Curvas ................... 64
xiii
4.3 Simulação do SEIG .............................................................................................. 68
4.3.1 Disparo da Autoexcitação e Amplitude da Tensão Gerada ........................ 69
4.3.2 Saturação e Autoexcitação sob o Ponto de Vista Dinâmico ....................... 71
4.3.3 Simulação do SEIG para Diferentes Cargas em Torno da RO ................... 75
4.3.4 Condições de Manutenção da Autoexcitação sob o Ponto de Vista Dinâmico
................................................................................................................. 81
4.3.5 Regime Operativo ..................................................................................... 83
4.4 Conclusões ........................................................................................................... 85
5 Bancada para Estudos com Geração Assíncrona e Resultados Experimentais 87
5.1 Bancada para Estudos com Geração Assíncrona ................................................... 87
5.1.1 Conjunto Mecânico MP e GI e sua Especificação ..................................... 90
5.1.2 Quadros de Comando e Força ................................................................... 91
5.1.3 Sensores Utilizados para Aquisição de Dados ........................................... 94
5.1.4 Sistema de Aquisição de Dados e Controle de Velocidade da MP ............. 95
5.2 Resultados Experimentais ..................................................................................... 97
5.2.1 Resultados Experimentais Sobre a Existência de Autoexcitação ................ 97
5.2.2 Existência e Manutenção da Autoexcitação ............................................. 100
5.2.3 Resultados Experimentais das Condições Operativas .............................. 103
5.3 Conclusões ......................................................................................................... 104
6 Conclusões 107
6.1 Sugestão de Trabalhos Futuros ........................................................................... 110
Referências Bibliográficas 111
A Ensaios Realizados para a Obtenção dos Parâmetros do Gerador de Indução 115
xiv
B Características Eletromecânicas do GI 135
xv
Lista de Figuras
1.1 Possíveis pontos de operação do SEIG. ................................................................ 5
2.1 Esquema de ligação típica do SEIG. .................................................................... 12
2.2 Circuito que representa o modelo do gerador de indução. (a) Eixo d. (b) Eixo q. 13
2.3 Posição das raízes do polinômio da matriz impedância em função da variação de 휔
e 퐿 . .................................................................................................................. 21
2.4 Circuito por fase com os capacitores de autoexcitação e carga RL. ...................... 22
2.5 Conexão da carga e dos capacitores de autoexcitação nos terminais do GI. (a) Eixo
d. (b) Eixo q. ........................................................................................................ 24
2.6 Fluxograma do algoritmo implementado. ............................................................. 27
2.7 Localização das raízes de P(s) em função da variação da PRAE. .......................... 28
2.8 Localização das raízes de P(s) em função da variação da PRAE com baixo valor de
퐿 . ..................................................................................................................... 28
2.9 Localização da Raiz 1 em função do aumento da PRAE. ..................................... 29
2.10 Localização da Raiz 1 em função da variação de 휔 . ........................................... 29
2.11 Parâmetros que influenciam na autoexcitação do SEIG. ....................................... 30
2.12 Regiões de existência da autoexcitação para diferentes cargas ativas (FP=1.0).
Linhas tracejadas: Limites de velocidade mínima. Linhas contínuas: Limites de
velocidade máxima. ............................................................................................. 31
3.1 Definição da RO e seu envolvimento por regiões de existência de autoexcitação.
Linhas pontilhadas - RO: Horizontal superior - 휔 , horizontal inferior -
휔 , vertical - 푃 . Linhas tracejadas - Região de existência de
autoexcitação produzida por uma 푃푅퐴퐸 . Linhas contínuas - Região de existência
xvi
de autoexcitação produzida por uma 푃푅퐴퐸 . .................................................. 35
3.2 Regiões de existência de autoexcitação produzidas por uma 푃푅퐴퐸 (linhas
tracejadas) e uma 푃푅퐴퐸 (linhas contínuas) que não propiciam a autoexcitação
frente a RO. ........................................................................................................ 36
3.3 Regiões de existência de autoexcitação em torno da RO. Curvas tracejadas -
푃푅퐴퐸 . Curvas contínuas - 푃푅퐴퐸 . ............................................................ 37
3.4 Existência da autoexcitação em torno da RO para cargas com 퐹푃 = 1.0. ............ 37
3.5 Variação da região de existência de autoexcitação frente a cargas indutivas. Linha
tracejada - Região de existência de autoexcitação para 푃푅퐴퐸 e 퐹푃 = 1.0. Linhas
contínuas - Região de existência de autoexcitação para 푃푅퐴퐸 e 퐹푃 = 0.9. .... 38
3.6 Valores mínimos de PRAE para diferentes FP e 푃 = 1.1푝푢. Linha pontilhada
- Variação da PRAE para diferentes FP e 휔 . Linha contínua - Variação da
PRAE para diferentes FP e 휔 . ................................................................ 39
3.7 Variação da frequência elétrica em função da PRAE e da carga com 퐹푃 = 1.0
considerando 휔 = 0.9 푝푢. ..................................................................... 41
3.8 Variação da frequência elétrica em função da PRAE e da carga com 퐹푃 = 1.0
considerando 휔 = 1.1 푝푢. ..................................................................... 42
3.9 Variação da frequência elétrica em função da PRAE para diferentes valores de carga
com 퐹푃 = 0.3 considerando 휔 = 0.9 푝푢. .............................................. 42
3.10 Variação da frequência elétrica em função da PRAE para diferentes valores de carga
com 퐹푃 = 0.7 considerando 휔 = 0.9 푝푢. .............................................. 43
3.11 Variação da frequência elétrica em função da PRAE para diferentes valores de carga
com 퐹푃 = 0.7 considerando 휔 = 1.05 푝푢. ....................................................... 44
3.12 Superfícies de existência de autoexcitação em torno das condições operativas de
carga, FP e velocidade do rotor. .......................................................................... 45
3.13 Superfície superior 푆 de existência de autoexcitação em torno da RO. ............... 45
3.14 Superfície 푆 de projeto da PRAE para carga de 1.1pu. ....................................... 46
3.15 Curvas de nível para dimensionar a 푃푅퐴퐸 para o SEIG considerado neste
trabalho (carga de 1.1pu). ................................................................................... 47
xvii
3.16 Superfícies de projeto para diferentes valores de temperatura de operação do GI. 49
3.17 Variação da 푆 em função do aumento ou da diminuição de 퐿 . ........................ 50
4.1 Autoexcitação do SEIG com 퐿 constante. .......................................................... 56
4.2 Comportamento não linear da indutância de magnetização em função da corrente de
magnetização para o gerador em estudo neste trabalho. ........................................ 57
4.3 Descontinuidade da derivada da função de 퐿 (푖 ). ............................................. 64
4.4 Aproximação continuamente diferenciável e divergência dos polinômios 푏 e 푏. ... 66
4.5 Curvas de 퐿 e 퐿 para toda a faixa de 푖 . .......................................................... 67
4.6 Simulação do SEIG sem a dinâmica de 퐿 . ......................................................... 68
4.7 Simulação do SEIG considerando a dinâmica de 퐿 . ........................................... 69
4.8 Disparo da Autoexcitação. (a) Com magnetismo residual no rotor. (b) Com tensão
inicial em 푉 . ................................................................................................... 70
4.9 Tensão gerada em função do aumento da velocidade mecânica: (a) 휔 = 0.9푝푢. (b)
휔 = 1.0푝푢. (c) 휔 = 1.1푝푢. ............................................................................ 70
4.10 Curva de magnetização e trechos de operação. ..................................................... 71
4.11 Autoexcitação do GI sem carga com 푃푅퐴퐸 = 0.374푝푢 dimensionda para carga
nula. (a) Tensão 푉 . (b) Indutância de magnetização. (c) Corrente de Magnetização.
............................................................................................................................. 72
4.12 Autoexcitação do GI sem carga com 푃푅퐴퐸 = 0.614푝푢 dimensionada para
푃 = 1.1푝푢 (퐹푃 = 1.0) e 휔 = 0.9푝푢. (a) Tensão 푉 . (b) Indutância
de magnetização. (c) Corrente de Magnetização. .................................................. 72
4.13 Autoexcitação e sua perda por aplicação de sobrecarga. (a) Corrente de
magnetização. (b) Fluxo magnético. ..................................................................... 73
4.14 Dinâmica de 퐿 na autoexcitação e na perda da mesma devido a aplicação de
sobrecarga no GI. A autoexcitação é perdida em 푡 = 7푠. .................................... 74
4.15 Autoexcitação e sua perda por aplicação de sobrecarga. (a) Tensão 푉 . (b) Corrente
da carga eixo direto. ............................................................................................. 75
4.16 Autoexcitação do gerador de indução para 휔 = 0.9푝푢 e 푃 = 0.0푝푢 (퐹푃 = 1.0).
xviii
(a) 푃푅퐴퐸 = 0.374푝푢. (b) 푃푅퐴퐸 = 0.370푝푢. .................................................... 76
4.17 Localização da raiz 1 para 푃푅퐴퐸 = 0.370푝푢 e 푃푅퐴퐸 = 0.374푝푢. .................... 77
4.18 Tensões e correntes para o caso 1(b). (a) Tensão fase “a”. (b) Corrente fase “a”. 78
4.19 Correntes na fase “a” dos capacitores e da carga para o caso 1(b). ...................... 78
4.20 Velocidade mecânica (a) e indutância de magnetização (b). ................................ 79
4.21 Aplicação de carga e variação de velocidade mecânica. (a) Tensão da fase "a". (b)
Corrente de estator da fase "a". .......................................................................... 80
4.22 (a) Variação de 휔 . (b) Comportamento de 퐿 com a aplicação de carga e variação
de 휔 . ................................................................................................................. 80
4.23 Aplicação de 0.2pu de carga e variação de velocidade no trecho BC da curva de
Magnetização. . (a) Velocidade mecânica 휔 . (b) Corrente de magnetização 푖 (c)
Indutância de magnetização 퐿 . ......................................................................... 82
4.24 Manutenção e perda da autoexcitação pela aplicação de carga. (a) Corrente de
magnetização. (b) Fluxo magnético. Curva azul – Aplicação de 푃 =
1.1푝푢(퐹푃 = 0.0). Curva vermelha – Aplicação de 푃 = 1.175푝푢(퐹푃 =
0.0). .................................................................................................................... 83
4.25 Variação da frequência elétrica da tensão gerada para 푃푅퐴퐸 = 1.74푝푢, 휔 =
1.05푝푢 e aplicação de carga. Curva preta – 푃 = 0.0푝푢. Curva vermelha –
푃 = 1.1푝푢퐹푃 = 1.0. Curva azul - 푃 = 1.1푝푢퐹푃 = 0.0. ............... 84
4.26 Variação da frequência elétrica da tensão gerada para 푃푅퐴퐸 = 1.74푝푢, 휔 =
1.05푝푢 e aplicação de carga. Curva preta – 푃 = 0.0푝푢. Curva ver –
푃 = 1.1푝푢 (퐹푃 = 0.7). ........................................................................... 84
5.1 Esquema de montagem mecânica e elétrica do SEIG. ......................................... 88
5.2 Diagrama unifilar e esquema de funcionamento da bancada para estudos com
geração assíncrona. ............................................................................................. 89
5.3 Conjunto mecânico MP e GI. .............................................................................. 91
5.4 Montagem mecânica do conjunto MP (esquerda) e GI (direita) e conexão dos
terminais elétricos de potência e sensores de temperatura STe. ............................ 91
xix
5.5 Leiaute do quadro de comando e força da MP e do GI. ........................................ 92
5.6 Leiaute do banco de capacitores BC. ................................................................. 93
5.7 Configuração final dos quadros de comando e força MP/GI (esquerda) e BC (direita).
........................................................................................................................... 94
5.8 Tela do programa desenvolvido em LabView para manipulação e aquisição de dados.
........................................................................................................................... 97
5.9 Superfície de projeto para 푃 = 0.0푝푢. ............................................................. 98
5.10 Resultados experimentais de existência de autoexcitação. Conexão do BC em
푡 = 3.85푠. (a) Tensão fase “a”. (b) Velocidade mecânica. .................................. 99
5.11 Simulação do SEIG para as mesmas condições da Figura. 5.10. (a) Tensão fase “a”.
(b) Velocidade mecânica. ................................................................................... 99
5.12 Perda da autoexcitação devido a diminuição da velocidade em 푡 = 20푠. (a) Tensão
fase “a”. (b) Velocidade mecânica. .................................................................... 100
5.13 Superfície de projeto da PRAE para 푃 = 1.1푝푢. .............................................. 101
5.14 Resultados experimentais da existência e manutenção da autoexcitação. Aplicação
de 1.1pu de carga em 푡 = 9.75푠. (a) Tensão fase “a”. (b) Corrente da carga. (c)
Velocidade mecânica. ........................................................................................ 101
5.15 Simulação do SEIG com aplicação de carga para as mesmas condições da Figura
5.14. (a) Tensão fase “a”. (b) Corrente da carga. (c) Velocidade mecânica. ........ 102
5.16 Resultados experimentais da aplicação de sobrecarga em 푡 = 8.85푠 (com perda da
autoexcitação) e retirada da mesma em 푡 = 25푠 (com retomada da autoexcitação).
(a) Tensão fase "a". (b) Corrente Carga. (c) Velocidade mecânica. ..................... 102
5.17 Simulação do SEIG para aplicação de sobrecarga em 푡 = 8.85푠 e retirada da mesma
em 푡 = 25푠 nas mesmas condições da Figura 5.16. (a) Tensão fase "a". (b) Corrente
da Carga. (c) Velocidade mecânica. ................................................................... 103
5.18 Resultados experimentais da variação da frequência elétrica com a aplicação de
sobrecarga (1.4pu) em 푡 = 4.1푠 e velocidade mecânica 휔 = 1.05푝푢. (a) Tensão
fase "a". (b) Corrente da Carga. .......................................................................... 104
xx
5.19 Comportamento da frequência elétrica com a aplicação da carga no ensaio
experimental mostrado na Figura 5.18. (a) Antes da conexão da carga. (b) Depois da
conexão da carga. .............................................................................................. 104
1.1A Características construtivas e elétricas do Gerador de Indução. .......................... 115
1.2A Circuito equivalente do Gerador de Indução em regime permanente. ................. 116
1.3A Configuração da ligação dos enrolamentos do gerador e ligação dos equipamentos
utilizados no ensaio DC. .................................................................................... 118
1.4A Esquema de ligação do Gerador de Indução e de demais equipamentos para o ensaio
a vazio. .............................................................................................................. 120
1.5A Perdas por atrito e ventilação obtidos a partir do ensaio a vazio. ........................ 122
1.6A Circuito equivalente do gerador de indução no ensaio a vazio e à velocidade
síncrona. ............................................................................................................ 122
1.7A Configuração dos equipamentos no ensaio a vazio e à velocidade síncrona. ....... 123
1.8A Circuito equivalente para o ensaio a vazio à velocidade síncrona. ..................... 124
1.9A Circuito equivalente para o GI com rotor bloqueado. ......................................... 126
1.10A Parâmetros do circuito equivalente e em regime permanente para o GI. ......... 129
1.11A Ensaio a vazio e à velocidade síncrona. (a) Circuito equivalente. (b) Aproximação
do circuito equivalente. .................................................................................. 130
1.12A Diagramas fasoriais para o ensaio a vazio e à velocidade síncrona. (a) Diagrama
fasorial para o circuito equivalente. (b) Diagrama fasorial para a aproximação do
circuito equivalente. ....................................................................................... 131
1.13A Curva de magnetização para o GI. .................................................................. 132
1.14A Variação de 퐿 em função da tensão interna Vi'. ........................................... 133
1.15A Variação da tensão Vi' em função de 푖 . ........................................................ 133
xxi
Lista de Tabelas
B.1 Parâmetros elétricos do gerador de indução. ....................................................... 135
B.2 Parâmetros mecânicos do gerador de indução. .................................................... 135
xxii
xxiii
Lista de Siglas
BC Banco de Capacitores C Chave contatora CC Corrente contínua CLP Controlador lógico programável CM Condição de manutenção da autoexcitação D Disjuntor de manobra e proteção DC Tensão Contínua DFIG Doubly Fed Induction Generator ENC Sensor de velocidade do tipo encoder FP Fator de Potência FS Fator de Sobrecarga GI Gerador de Indução H Henry HP Potência mecânica Hz Hertz IF Inversor de frequência IHM Interface Homem Máquina MCH Micro Centrais Hidrelétricas MP Máquina Primária NA Contato normalmente aberto NF Contato normalmente fechado PCH Pequenas Centrais Hidrelétricas PRAE Potência Reativa de Autoexcitação PRCC Potência Reativa Capacitiva de Carga PGESDE Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas Dinâmicos e Energéticos PROINFA Programa de Incentivo as Fontes Alternativas SEP Sistema Elétrico de Potência SEIG Self-Excited Induction Generator RO Região Operativa RPS Rotações por segundo
xxiv
RPM Rotações por minuto SC Sensor de corrente SIT Fusíveis ultrarrápidos ST Sensor de tensão STe Sensor de temperatura TC Transformador de corrente TTL Transistor-Transistor Logic UNIOESTE Universidade Estadual do Oeste do Paraná UTFPR Universidade Tecnológica Federal do Paraná V Volts Vac Tensão alternada VAR Volt-Ampere reativo Vcc Tensão contínua W Watt
xxv
Lista de Símbolos
퐶 Capacitor de autoexcitação 퐼 Corrente base 퐼 Fasor corrente nos capacitores de autoexcitação 퐼 Corrente nominal do gerador – ligação estrela 퐼 Fasor corrente na resistência de carga
퐼 Fasor corrente na indutância de carga
푖 Corrente de estator – eixo direto 푖 Corrente de rotor – eixo direto 푖 Corrente de estator – eixo em quadratura
푖 Corrente de rotor – eixo em quadratura
푖 Corrente de magnetização – eixo direto 푖 Corrente de magnetização – eixo em quadratura
푖 Corrente de magnetização 푖 Corrente de rotor k Quilo 퐾 Amplitude de corrente 퐾 Amplitude de tensão 푘 Constante (234.5 para o cobre eletrolítico com 100% de condutividade) 퐿 Indutância base 퐿 Indutância de magnetização 퐿 Indutância de magnetização máxima 퐿 Indutância de magnetização no equilíbrio 퐼 = 0 퐿 Indutância de dispersão do estator 퐿 Indutância de dispersão do rotor M Mega 푃 Potência base 푃 Potência operativa mínima
푃 Potência operativa máxima
푃푅퐴퐸 Potência reativa de autoexcitação mínima 푃푅퐴퐸 Potência reativa de autoexcitação máxima
xxvi
푟 Resistência de carga 푅 Resistência de estator somada à resistência de carga 푅 Resistência a ser corrigida 푅 Resistência corrigida RL Carga elétrica em termos de resistência e indutância 푅 Resistência da carga
푅 Resistência de rotor 푅 Resistência de estator 푅 Região de existência de autoexcitação 푆 Superfície intermediária 푆 Superfície inferior
푆 Superfície superior 푆 Superfície de projeto
s Frequência complexa 푇 Torque mecânico 푡 Temperatura final para a resistência a ser corrigida
푡 Temperatura inicial para a resistência a ser corrigida 푉 Tensão base 푉 Tensão de fase
푉 Tensão no rotor 푉 Fasor tensão de fase do estator 푉 Tensão do estator – eixo direto 푉 Tensão do rotor – eixo direto 푉 Tensão do estator – eixo em quadratura
푉 Tensão do rotor – eixo em quadratura
푉 Tensão residual de rotor – eixo direto 푉 Tensão residual de rotor – eixo em quadratura
푋 Reatância capacitiva de autoexcitação 푋 Reatância indutiva da carga
푍 Impedância base 푍 Impedância equivalente
Δ 휔 Variação da frequência elétrica 휆 Fluxo magnético de estator - eixo direto 휆 Fluxo magnético de rotor - eixo direto 휆 Fluxo magnético residual de rotor - eixo direto 휆 Fluxo magnético de estator - eixo em quadratura
xxvii
휆 Fluxo magnético de rotor - eixo em quadratura
휆 Fluxo magnético residual de rotor - eixo em quadratura
휆 Fluxo magnético no entreferro 휆 Fluxo magnético de estator 휆 Fluxo magnético de rotor 휔 Frequência base em rad/s 휔 Frequência elétrica 휔 Velocidade do rotor em rad/s 휔 Frequência síncrona em rad/s 휔 Velocidade mecânica nominal em rad/s 휔 Velocidade mecânica mínima em rad/s 휔 Velocidade mecânica máxima em rad/s 휔 Velocidade mecânica operativa
휔 Velocidade mecânica operativa mínima em rad/s
휔 Velocidade mecânica operativa máxima em rad/s * Ponto de equilíbrio
xxviii
1
Capítulo 1
Introdução
1.1 Tipos de Geradores Utilizados em Fontes Alternativas de Energia
Atualmente as questões ambientais e o desenvolvimento sustentável são discussões de âmbito global. Os efeitos provocados por tais questões influenciam as políticas governamentais de vários países os quais estão preocupados, por exemplo, com o aquecimento global e suas consequências. Baseado em tais fatos, a utilização de fontes alternativas de energia vem ganhando grande espaço nos sistemas energéticos em todo o mundo, pois contribuem na diversificação da matriz energética global na tentativa de torná-la menos dependente de combustíveis fósseis.
No Brasil, o Programa de Incentivo as Fontes Alternativas de Energia (PROINFA), findado em 2010, buscou incentivar a instalação de centrais eólicas, centrais térmicas a biogás ou biomassa e pequenas centrais hidrelétricas (PCH). O resultado deste programa foi significativo, pois trouxe um aumento de aproximadamente 1423MW de potência eólica instalada entre 2007 e 2010 e cerca de 1191MW de potência instalada em PCH durante o mesmo período (PROINFA, 2012).
Embora tal aumento de potência seja pequeno quando comparado com a potência total instalada no Sistema Elétrico de Potência (SEP), os aumentos de potência instalada desta natureza são grandes se comparados com a potência instalada que faz uso de tais fontes alternativas antes do PROINFA. Sob o ponto de vista de estudos em sistemas elétricos, o crescente aumento da utilização de tais fontes conectadas ao SEP, demanda a análise e novos estudos sobre o impacto que pode ocorrer, sob o ponto de vista de planejamento e operação, por exemplo, com a inserção de tais fontes em um sistema de potência predominantemente hidroelétrico.
O crescente aumento da utilização destas fontes promoveu a abertura e a aplicação de novas tecnologias de geração de energia elétrica. Neste contexto, a energia eólica é a que mais contribuiu para a difusão no país de novos geradores utilizados para a conversão eletromecânica de energia. A grande parte dos geradores que operam no sistema elétrico
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brasileiro é do tipo síncrono e tais equipamentos são consagrados por apresentarem excelentes características de controle quando operam em sistemas interligados ou até mesmo isolados. O principal inconveniente deste tipo de máquina é que estas podem apresentar custos elevados de instalação e manutenção e a sua aplicabilidade em pequenos recursos energéticos torna-se questionável (Wang and Kuo, 2002).
Dentre as novas tecnologias de geração associadas à geração eólica interligada ao sistema elétrico, destacam-se os geradores síncronos especiais e os geradores de indução com rotor bobinado. Os geradores síncronos especiais possibilitam a maximização da energia eólica dentro de uma faixa de variação de velocidade do vento (Tarnowski, 2006). Em turbinas eólicas, a velocidade das pás do aerogerador é muito inferior à velocidade síncrona e para que o gerador possa gerar potência a uma determinada frequência da rede, o número de polos deste tipo de máquina é aumentado, o que o leva a ser chamado de gerador síncrono especial. Faz parte ainda desta tecnologia um conversor da mesma potência do gerador, cuja finalidade é permitir o desacoplamento da frequência do gerador da frequência da rede, permitindo a geração para uma maior faixa de variação de velocidade de vento, o que caracteriza este tipo de geração como geração a velocidade variável (Tarnowski, 2006).
O outro tipo de gerador mencionado anteriormente e utilizado nestas aplicações é o gerador de indução com rotor bobinado ou de dupla alimentação, cuja tecnologia é denominada DFIG – Doubly Fed Induction Generator. Nesta tecnologia existe a necessidade de uma caixa de amplificação de velocidade para aproximar a frequência elétrica do gerador da frequência da rede em que está conectado. Esta tecnologia utiliza um conversor de potência ligado aos enrolamentos do rotor (via anéis coletores) cuja potência é de aproximadamente 25% da potência do gerador.
O DFIG é conectado diretamente à rede elétrica através dos terminais do estator e também através dos terminais do rotor, via conversor de potência. Isso permite também, como no caso do gerador síncrono especial, a geração com frequência constante e velocidade de rotação variável e com controle desacoplado das potências ativas e reativas geradas (Tarnowski, 2006). Esta tecnologia torna-se atrativa, fato que pode ser verificado pela ampla utilização da mesma em novos empreendimentos de geração eólica (Tarnowski, 2006; Akhmatov, 2003; Lara-Anaya et al., 2009).
Uma terceira tecnologia associada inicialmente com a geração eólica, teve início na Dinamarca em 1980 e trata-se do gerador de indução com rotor em gaiola (GI) (Tarnowski, 2006). Quando ligado em um sistema elétrico, os terminais do estator são conectados diretamente à rede e como o escorregamento de tais máquinas é função da frequência e da tensão aplicada ao estator (constante) os geradores de indução com rotor em gaiola e conectados ao SEP, operam com uma velocidade fixa e um pouco acima da velocidade síncrona (Tarnowski, 2006).
Nesta configuração não existe a necessidade de conversores de potência, no entanto é necessária uma caixa de amplificação de velocidade. O principal problema deste tipo de tecnologia está relacionado com a operação do gerador sempre em velocidade fixa, o que o
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torna incapaz de extrair a máxima potência para uma faixa de variação de velocidade do vento. Além disso, necessitam de potência reativa advinda da rede para propiciar sua autoexcitação o que prejudica a estabilidade de tensão nos pontos da rede elétrica em que são conectados (Tarnowski, 2006).
Geralmente esse tipo de gerador utiliza banco de capacitores chaveados para diminuir o impacto causado pelo consumo de potência reativa da rede. Outro problema que este tipo de gerador propicia é o pobre controle de potência ativa entregue ao sistema, ou seja, quando ocorrem variações de velocidade de vento (rajadas de vento) surgem grandes variações de potência gerada. As principais vantagens na aplicação deste tipo de gerador em sistemas interligados, é que estes equipamentos são robustos, de simples operação e construção, apresentam elevada relação entre potência e peso, além de exigirem baixa manutenção, tornando-o uma tecnologia de custos reduzidos (Tarnowski, 2006). A baixa manutenção está ligada diretamente à inexistência de anéis coletores no rotor da máquina, diferentemente dos geradores síncronos e do DFIG.
Estudos mais aprofundados sobre as tecnologias DFIG e do GI com rotor em gaiola conectados em sistemas elétricos podem ser encontrados em (Pereira, 2007; Tarnowski, 2006; Lara-Anaya et al., 2009; Rocha, 2005; Zanchettin, 2012; Akhmatov, 2003; Rodrigues et al., 2002).
1.2 Geradores de Indução Operando de Forma Isolada
Embora a tecnologia que adota os geradores de indução com rotor em gaiola conectado a sistemas de potência esteja praticamente obsoleta face às tecnologias de velocidade variável, este tipo de gerador ainda apresenta características interessantes quando operado de forma isolada (Lara-Anaya et al., 2009; Patel, 2006).
Pequenos recursos hidrelétricos denominados de micro centrais hidráulicas (MCH), pequenos recursos eólicos e pequenas fontes alternativas de geração a biogás ou biomassa e que operam de forma isolada, necessitam de equipamentos de conversão eletromecânica de energia que apresentem baixo custo (Singh and Tandon, 2010; Smith, 1996; Scherer et al., 2011).
Neste contexto é possível observar que os geradores de indução com rotor em gaiola apresentam grandes vantagens se comparados com geradores síncronos ou com o DFIG, pois são equipamentos que além de apresentarem baixo custo, são robustos, possuem elevada relação entre potência e peso, apresentam sistema natural de proteção contra sobrecargas, exigem pouca manutenção, não necessitam de dispositivos de sincronização e o sistema de excitação que utilizam é mais simples do que os sistemas de excitação utilizados em máquinas síncronas (Idjdarene et al., 2010; Chan, 1999; AL-Bahrani and Malik, 1990; Wang and Kuo, 2002).
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Os geradores de indução com rotor em gaiola apresentam vantagens também em relação a geradores que possuem imãs permanentes como excitação de campo. Neste tipo de máquina, a variação da velocidade do rotor provoca a variação linear da tensão terminal gerada. No caso do gerador de indução, a variação da velocidade do rotor também provoca o aumento da tensão gerada, porém a variação desta é bem menor. Isso se deve ao fato de que o gerador de indução opera em um ponto de saturação do fluxo magnético, o que limita as variações da tensão gerada (Seyoum, 2003).
A aplicação dos geradores de indução encontra espaço em pequenos sistemas de geração com potência de até 50kW (Marra and Pomilio, 2000) e que não necessitem de uma regulação apurada de tensão e frequência (Idjdarene et al., 2010), principal problema quando operado desta forma. Tais geradores podem operar de forma isolada onde não existe viabilidade econômica da conexão do usuário com as redes de distribuição da concessionária, como por exemplo, em pequenas comunidades isoladas e pequenas propriedades agrícolas (Singh and Tandon, 2010).
Quando operam de forma isolada, os geradores de indução necessitam de capacitores ligados em paralelo aos terminais do estator a fim de propiciar sua autoexcitação. Chan and Lai (2001) apresentam a sigla SEIG – Self Excited Induction Generator para denominar o gerador de indução autoexcitado operando de forma isolada.
A autoexcitação é apresentada na literatura como sendo um processo de ressonância e é analisada geralmente por dois métodos: O primeiro avalia a impedância ou a admitância resultante do equacionamento do circuito equivalente do gerador de indução em regime permanente e o segundo faz uma análise dos autovalores da matriz das equações do modelo dinâmico do mesmo.
As duas formas de análise da autoexcitação em geradores de indução podem ser verificados, por exemplo, em Elder and Woodward (1983), Tandon et al. (1984), Singh and Tandon (2010), Bodson and Kiselychnyk (2010a), AL-Bahrani and Malik (1990), Idjdarene et al. (2010) e vários outros trabalhos citados em Bansal (2005).
1.3 Autoexcitação em Geradores de Indução
A autoexcitação pode ser entendida de uma forma geral, como sendo um processo ressonante que ocorre entre o magnetismo residual existente no rotor e o capacitor conectado em paralelo ao estator da máquina. Quando o rotor é acionado por uma máquina primária (MP), o magnetismo residual do rotor cria uma tensão induzida de pequena amplitude que é aplicada aos terminais dos capacitores. Esta tensão induzida possibilita a circulação de uma pequena corrente magnetizante que por sua vez gera um fluxo magnético no entreferro da máquina. O novo fluxo faz com que a tensão induzida aumente de valor e seja devolvida novamente aos terminais do estator. Com o rotor do gerador em movimento, este processo
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ressonante (amplificação da tensão) é repetido até que a reta imposta pela reatância capacitiva encontre a saturação da máquina, momento em que ocorre a estabilização da tensão (Bhim, 1981; Trap, 2008). A energia cinética fornecida pelo eixo do rotor (torque mecânico) faz com que ocorra a conversão eletromecânica de energia via entreferro da máquina, mantendo a autoexcitação e a entrega de potência via estator (Grantham and Mismail, 1989).
A Figura 1.1 mostra a curva da tensão de fase versus a corrente de magnetização (푉 x 푖 ) para o gerador utilizado neste trabalho. Esta curva é uma aproximação polinomial de 3 ordem dos dados obtidos através do ensaio a vazio do gerador (Anexo A). O efeito que o valor do capacitor provoca na tensão terminal pode ser verificado na Figura 1.1, onde as retas representam as reatâncias capacitivas que dependem do valor do capacitor e da frequência elétrica. Se um capacitor de valor C1 for conectado aos terminais do gerador, este irá operar no ponto P1 cuja tensão de fase é maior que em P2. O ponto P2 é a interceptação da reta da reatância capacitiva imposta por um capacitor C2 de menor valor que C1. Diante disso, dependendo do valor do capacitor acoplado aos terminais do estator da máquina, a curva 푉 x 푖 pode ser interceptada em vários pontos e consequentemente a tensão terminal pode apresentar diferentes valores.
Figura 1.1: Possíveis pontos de operação do SEIG.
A reta de maior inclinação da Figura 1.1 é a reta da reatância capacitiva produzida por um capacitor C3 menor que C2. Para tal capacitância, não existe nenhum ponto de intersecção com a curva 푉 푥 푖 e desta forma a autoexcitação não ocorre nesta condição.
Embora a análise descrita anteriormente possa ser utilizada para a compreensão de uma forma bastante simplificada de como ocorre o processo de autoexcitação, esta análise não leva em consideração a carga conectada nos terminais do gerador. Além disso, os parâmetros do gerador e a velocidade do rotor, que também são indispensáveis em um estudo mais aprofundado do processo de autoexcitação, ficam intrínsecos à curva 푉 푥 푖 .
0 2 4 6 8 10 120
50
100
150
200
250
Corrente de Magnetização im (A)
Tens
ão d
e Fa
se V
f (V)
Vf x imC1 FC2 FC3 F
P2
P1
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Elder and Woodward (1983) estão entre os primeiros autores a explicarem como ocorre a ressonância e a autoexcitação de uma forma mais aprofundada. O processo é explicado por eles sem a presença de carga na máquina de indução, ou seja, apenas com o capacitor ligado em paralelo à mesma. Os autores dividem a análise da autoexcitação em dois circuitos, sendo que o primeiro é um circuito RLC série cujos parâmetros da máquina envolvidos na análise são a resistência e a indutância de estator, a indutância de magnetização, além do capacitor de autoexcitação. A fim de representar a pequena tensão existente gerada pelo magnetismo residual do rotor, neste circuito é inserida uma fonte de tensão senoidal cuja amplitude depende do magnetismo residual do rotor e da velocidade do mesmo. O segundo circuito equivalente proposto por Elder and Woodward (1983), para explicar o processo de autoexcitação é denominado de circuito assíncrono. Este circuito possui duas malhas que são divididas pela indutância de magnetização e leva em consideração todos os parâmetros da máquina. O equacionamento de ambos os circuitos em termos da corrente de rotor leva a uma equação na forma 푉 = 푍 푖 , onde 푖 representa a corrente de rotor. Os autores explicam que a tensão no rotor 푉 é nula (curto-circuito) e como a corrente não pode ser, a única forma de se obter a igualdade da equação descrita anteriormente, é que deve existir alguma condição onde a impedância equivalente 푍 = 0. A impedância equivalente do circuito resulta em um polinômio de terceira ordem em s (frequência complexa), cujos parâmetros dependem da velocidade do rotor, do capacitor de autoexcitação e dos demais parâmetros do gerador. Dependendo da velocidade do rotor e do valor do capacitor conectado aos terminais do gerador, uma das raízes do polinômio possui parte real positiva o que caracteriza instabilidade e por consequência autoexcitação.
Murthy et al.(1982) analisam a autoexcitação através do equacionamento do circuito do gerador de indução em regime permanente e com carga resistiva. A análise também é realizada sobre a impedância equivalente do circuito que resulta em um polinômio de terceira ordem onde 푍 é uma função da velocidade do rotor 휔 e da reatância de magnetização 푋 . Um método interativo (Newton-Raphson) é responsável por encontrar pelo menos uma raiz do polinômio com parte real positiva, sendo mantida constante a velocidade do rotor e sendo variada a reatância de magnetização. A parte imaginária da raiz que possui parte real positiva é uma aproximação da frequência elétrica da tensão gerada, como exposto também em Elder and Woodward (1983). Em Tandon et al. (1984) e Haque (2009) é feita a mesma análise, porém uma carga RL é inserida no circuito equivalente do gerador de indução. O resultado é um polinômio de impedância 푍 de quarta ordem cuja solução (por método interativo) também retorna a existência da autoexcitação que depende do valor da velocidade, da reatância de magnetização, dos parâmetros do gerador, da carga e do capacitor de autoexcitação.
Grantham and Mismail (1989) e Grantham and Seyoum (2008) fazem uma análise do desempenho em regime permanente e transitório do gerador de indução levando em consideração o estudo da autoexcitação. O modelo do GI é apresentado nos eixos d e q e o equacionamento resultante da matriz de impedância do sistema resulta em um polinômio de oitava ordem. Novamente como apresentado em Elder and Woodward (1983), Tandon et al.
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(1984) e Haque (2009), a solução do polinômio é obtida através de métodos interativos e quando pelo menos uma raiz possui parte real positiva, a autoexcitação ocorre.
O gerador de indução operando com cargas desequilibradas e em regime permanente é estudado em Wang and Huang (2004). Neste trabalho, o modelo do gerador é apresentado em dois circuitos, o de sequência positiva e o de sequência negativa. Embora os autores mostrem que a autoexcitação ocorre para determinados valores de capacitância e com velocidade do rotor constante, o processo de autoexcitação não é analisado. O mesmo ocorre em Neam et al. (2007) onde o equacionamento do GI é apresentado nos eixos d e q sem carga e as questões de autoexcitação são apresentadas sob o ponto de vista informativo em termos da variação da velocidade do rotor e do valor do capacitor conectado aos terminais do estator.
Bodson and Kiselychnyk (2010a) apresentam o modelo dinâmico do gerador de indução nos eixos d e q considerando carga resistiva, cujo equacionamento resulta em uma matriz de impedâncias com termos em s. A análise das raízes do polinômio característico desta matriz resulta em condições analíticas de existência de autoexcitação. A partir das condições analíticas obtidas, curvas de existência de autoexcitação são traçadas para diferentes valores de velocidade do rotor, capacitor de autoexcitação e carga resistiva acoplada ao gerador de indução.
Segundo Elder and Woodward (1983), Murthy et al. (1982), Chan and Lai (2001) e vários outros autores, a autoexcitação ocorre somente se existir magnetismo residual no rotor. Bodson and Kiselychnyk (2010a) apresentam outra condição de existência de autoexcitação, ou seja, além de existir magnetismo residual no rotor, a ocorrência de autoexcitação depende também de valores máximos de carga imposta ao gerador. Tais valores de carga dependem da resistência do estator e do fator de acoplamento, que por sua vez depende das reatâncias de dispersão e de magnetização da máquina. Em Bodson and Kiselychnyk (2010b) é mostrado que a tensão inicial existente nos capacitores pode promover a autoexcitação mesmo não havendo magnetismo residual no rotor e dependendo da amplitude da tensão inicial existente nos capacitores, a autoexcitação pode ocorrer de forma mais rápida ou de forma mais lenta.
Embora os métodos apresentados para a análise da autoexcitação permitam de uma forma geral, seja do ponto de vista analítico ou através de simulações, que se encontre pelo menos um valor de velocidade e um valor de capacitor para que ocorra a autoexcitação sob certa condição de carga, as condições de existência de autoexcitação em geradores de indução são tipicamente apresentadas na literatura em termos de parâmetros e variáveis da máquina e da carga que são pouco representativos sob o ponto de vista de estudos em sistemas elétricos de potência, com isso, o dimensionamento e a aplicação do SEIG ficam dificultados. Sob essa ótica surgem algumas questões relacionadas ao projeto do SEIG e que impactam diretamente na utilização desta forma de geração: (i) Como a potência e a característica da carga influenciam na autoexcitação sob certas condições de velocidade e potência do capacitor de autoexcitação? (ii) Em que condições a autoexcitação pode ser perdida? (iii) Como os capacitores de autoexcitação devem ser dimensionados a fim de manter a autoexcitação dentro de um determinado limite de velocidade mecânica e carga elétrica imposta ao GI? A obtenção das respostas para tais perguntas motivam esta dissertação.
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Não é objetivo desta dissertação estudar as questões de desempenho do SEIG nem de controle da tensão e da frequência do gerador, estando esta focada somente na análise da existência e garantia da autoexcitação sob determinadas condições operativas de velocidade mecânica, da potência e do FP da carga acoplada a ele.
Alguns resultados preliminares e que fazem parte desta dissertação são apresentados em:
Mayer and Reginatto (2012a). Caracterização da Autoexcitação de Geradores de Indução em Grandezas Usualmente Utilizadas em Sistemas Elétricos de Potência e Aplicação em Sistemas Isolados de Geração. SBSE, Goiânia, GO, Brasil, 2012.
Mayer and Reginatto (2012b). Condições de Existência de Autoexcitação em Geradores de Indução Conforme suas Condições Operativas. SEPOPE, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 2012.
Em Mayer and Reginatto (2012a) as condições analíticas descritas em Bodson and Kiselychnyk (2010a) são apresentadas em termos de grandezas usualmente utilizadas em estudos de sistemas elétricos de potência. As variáveis envolvidas no equacionamento e no processo de autoexcitação como tensão, corrente, potência e velocidade do rotor são apresentadas em pu sendo adotadas como base as grandezas nominais do próprio gerador. Neste trabalho a carga elétrica imposta ao GI é apresentada em termos de potência ativa e os capacitores de autoexcitação são apresentados em termos de potência reativa capacitiva, denominada potência reativa de autoexcitação. É introduzido também o conceito de região de existência de autoexcitação, identificando regiões operativas de velocidade mecânica do gerador de indução nas quais a autoexcitação é garantida.
O trabalho apresentado em Mayer and Reginatto (2012a), é ampliado em Mayer and Reginatto (2012b). Neste último estudo, a carga passa a conter componentes ativas e reativas indutivas, o que possibilita analisar a existência de autoexcitação para uma faixa de veloci-dade mecânica do rotor, de potência reativa de autoexcitação e carga com distintos valores de FP. Uma análise inicial da variação da frequência elétrica em função do aumento ou da dimi-nuição da potência reativa de autoexcitação também é apresentada.
1.4 Objetivos do Trabalho
1.4.1 Objetivo Geral
O objetivo desta dissertação é desenvolver ferramentas que auxiliem no projeto do SEIG sob o ponto de vista da garantida de existência da autoexcitação em torno de condições operativas de velocidade, de potência e do FP da carga.
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1.4.2 Objetivos Específicos
Os objetivos específicos abordados neste trabalho são:
Apresentar o modelo matemático do gerador de indução e da carga em termos de potência e em pu, objetivando o estudo da autoexcitação.
Mostrar a influência que a carga, a velocidade e os capacitores de autoexcitação exercem sobre a existência da autoexcitação em termos de unidades mais usualmente utilizadas em sistemas elétricos de potência, facilitando o dimensionamento do SEIG.
Apresentar as condições de existência de autoexcitação em torno das condições operativas do GI, isto é, para valores de velocidade e carga compatíveis com as condições nominais do gerador.
Apresentar regiões de existência de autoexcitação nas quais a autoexcitação é garantida para determinadas condições operativas do GI em termos de velocidade, carga e fator de potência.
Utilizar o modelo dinâmico do gerador para simular e verificar as condições de existência de autoexcitação bem como a dinâmica do processo da autoexcitação da máquina, conforme as condições operativas do gerador de indução.
Projetar e desenvolver um protótipo de uma bancada para estudos com geração assíncrona (SEIG).
Utilizar a bancada desenvolvida para aquisitar dados experimentais das condições de existência de autoexcitação do SEIG em torno das condições operativas e confrontar com as análises teóricas desenvolvidas.
1.5 Estrutura do Trabalho
Este trabalho está organizado em seis capítulos cujos são explicitados a seguir.
No Capítulo 2 é apresentado o modelo matemático do SEIG nos eixos d e q em pu e tanto a carga quanto os capacitores de autoexcitação são apresentados em termos de potência. Desta forma o modelo matemático é apresentado em unidades usualmente utilizadas em estudos de sistemas elétricos de potência, o que facilita a análise da existência de autoexcitação. Neste capítulo são apresentadas também as variáveis que influenciam no processo de autoexcitação do GI e é introduzido o conceito das regiões de existência da autoexcitação.
O Capítulo 3 aborda as condições de existência da autoexcitação em torno das condições operativas do gerador de indução. Neste capítulo é mostrada a faixa de existência de autoexcitação em torno das regiões operativas de velocidade mecânica e potência da carga
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para diferentes valores de FP, além disso, são apresentados procedimentos que auxiliam no projeto do SEIG.
O quarto capítulo apresenta o modelo dinâmico do SEIG com saturação e são apresentadas simulações que mostram que a existência da autoexcitação em torno das regiões operativas é condizente com as análises teóricas desenvolvidas, e estas, portanto, podem ser utilizadas no projeto do SEIG.
No Capítulo 5 é apresentado em linhas gerais o projeto e a execução da bancada para estudos com geração assíncrona. Com a utilização desta bancada, são obtidos resultados experimentais que são confrontados com os resultados teóricos obtidos anteriormente.
O capítulo seis apresenta as conclusões e contribuições do trabalho.
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Capítulo 2
Modelo Matemático do SEIG para o Estudo do Processo de Autoexcitação
Este capítulo desenvolve o modelo matemático do SEIG adequado para os estudos das condições de existência de autoexcitação. A modelagem do SEIG inclui o gerador de indução, os capacitores de autoexcitação e a carga conectada a seus terminais.
Inicialmente é apresentada a estrutura física do SEIG que é composto através da conexão do gerador de indução com os capacitores de autoexcitação e com as cargas elétricas. A seção 2.2 desenvolve o modelo do gerador de indução nos eixos d e q e em pu sem levar em consideração a conexão da carga ou dos capacitores de autoexcitação. Com isto, a condição de equilíbrio 퐼 = 0 é analisada e são apresentadas as possíveis formas de autoexcitação. Na seção 2.3 os capacitores de autoexcitação e a carga elétrica conectada aos terminais do gerador são apresentados e modelados em termos de potência e em pu.
O modelo completo do SEIG resultante da conexão da carga e dos capacitores de autoexcitação ao modelo do gerador de indução é apresentado na seção 2.4. A partir disso, na seção 2.5 são mostradas as condições de existência da autoexcitação e as variáveis que influenciam na mesma. As regiões de existência da autoexcitação são definidas na seção 2.6 e as conclusões do capítulo são apresentadas na seção 2.7.
2.1 Esquema de Ligação do SEIG
Quando operado de forma interligada ao SEP, o GI consome potência reativa da rede que está conectado a fim de propiciar sua autoexcitação (Patel, 2006) e quando operado de forma isolada, sua autoexcitação é obtida através da conexão de capacitores aos terminais do estator da máquina. A figura 2.1 mostra o esquema de ligação típica de um SEIG.
Na Figura 2.1, 푇 representa o torque mecânico fornecido pela máquina primária, 퐶 é a nomenclatura designada para o banco de capacitores de autoexcitação, RL representa a carga em termos de resistência e indutância e 푉 é o fasor tensão de fase de estator para uma
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das fases do GI.
Em sistemas reais, a máquina primária depende da fonte primária de energia sendo explorada pelo gerador. Na Figura 2.1, a nomenclatura MP representa uma máquina primária genérica que pode ser eólica, hidráulica ou térmica.
Figura 2.1: Esquema de ligação típica do SEIG.
2.2 Modelo Matemático do Gerador de Indução para o Estudo da Autoexcitação
O modelo matemático para a máquina assíncrona operando como gerador ou como motor é praticamente o mesmo, salvo algumas considerações no que diz respeito ao torque e ao fluxo de potência. O fluxo de potência é considerado positivo saindo da máquina e o torque é positivo quando este é aplicado ao eixo do rotor via MP. A modelagem do gerador de indução com rotor em gaiola é obtida fazendo-se algumas considerações típicas do estudo de máquinas elétricas, como simetria elétrica e espacial entre as três fases do estator e do rotor, distribuição senoidal do fluxo no entreferro, circuito magnético linear e perdas magnéticas e mecânicas nulas (Krause et al., 2002; Reginatto, 2006). O circuito da Figura 2.2, representa o modelo do gerador de indução nos eixos d e q considerando o referencial estacionário, em termos de um circuito elétrico equivalente.
As equações de fluxo são descritas por
⎩⎨
⎧휆 = 퐿 푖 + 퐿 푖휆 = 퐿 푖 + 퐿 푖
휆 = 퐿 푖 + 퐿 푖 + 휆휆 = 퐿 푖 + 퐿 푖 + 휆
(2.1)
onde 퐿 = 퐿 + 퐿 e 퐿 = 퐿 + 퐿 . Os valores 휆 e 휆 representam os fluxos residuais do rotor quando as correntes de estator e rotor são nulas, ou seja, 휆 = 휆 | e 휆 =휆 | .
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Figura 2.2: Circuito que representa o modelo do gerador de indução. (a) Eixo d. (b) Eixo q.
Considerando a velocidade do rotor 휔 constante e equacionando as malhas dos circuitos (a) e (b) da Figura 2.2 é possível escrever
−푉 + 푅 푖 + 휆 = 0
−푉 + (푅 + 푠퐿 )푖 + 푠퐿 푖 + 퐿 푖 (0) + 퐿 푖 (0) = 0 (2.2)
−푉 − 푅 푖 − −휔 푛 휆 + 휆 = 0
−푉 + 푠퐿 푖 + (푅 + 푠퐿 )푖 +휔 푛 퐿 푖 + 휔 푛 퐿 푖 + 휔 푛 휆
+ 퐿 푖 (0) + 퐿 푖 (0) = 0 (2.3)
−푉 + 푅 푖 + 휆 = 0
−푉 + (푅 + 푠퐿 )푖 + 푠퐿 푖 +퐿 푖 (0) + 퐿 푖 (0) = 0 (2.4)
−푉 + 푅 푖 − 휔 푛 휆 + 휆 = 0
−푉 −휔 푛 퐿 푖 − 휔 푛 퐿 푖 + 푠퐿 푖 + (푅 + 푠퐿 )푖 −휔 푛 휆 + (2.5)
14
+퐿 푖 (0)+퐿 푖 (0) = 0,
onde 푅 e 푅 representam respectivamente as resistências de rotor e estator, 퐿 é a indutância de magnetização e 푛 é o número de pares de polos.
Os termos que contém 휆 e 휆 nas equações (2.3) e (2.5) tornam-se tensões residuais, pois são rotacionados pelo rotor com velocidade 휔 . Portanto, tais termos podem ser escritos na forma
푉 = 휔 푛 휆 (2.6)
−푉 = 휔 푛 휆 . (2.7)
Como o rotor do gerador de indução é em gaiola (curto-circuito), as tensões 푉 e 푉 são nulas.
Substituindo as equações (2.6) e (2.7) em (2.3) e (2.5) respectivamente, as equações (2.2) a (2.5) resultam no sistema matricial
−푉 + 퐴퐼 + 퐼 = 0 (2.8)
onde
푉 =
⎣⎢⎢⎡
푉−푉 푉
푉 ⎦⎥⎥⎤, 퐴 =
(푅 + 푠퐿 ) 푠퐿 0 0푠퐿 (푅 + 푠퐿 ) 휔 푛 퐿 휔 푛 퐿
0 0 (푅 + 푠퐿 ) 푠퐿−휔 푛 퐿 −휔 푛 퐿 푠퐿 (푅 + 푠퐿 )
,
퐼 =
⎣⎢⎢⎡푖푖푖푖 ⎦⎥⎥⎤, 퐼 =
⎣⎢⎢⎢⎡퐿 푖 (0) + 퐿 푖 (0)퐿 푖 (0) + 퐿 푖 (0)퐿 푖 (0) + 퐿 푖 (0)퐿 푖 (0) + 퐿 푖 (0)⎦
⎥⎥⎥⎤.
As correntes iniciais nas indutâncias 퐿 , 퐿 e 퐿 podem ser consideradas nulas, portanto 퐼 = 0. Com esta consideração a equação (2.8) pode ser escrita na forma
−푉 + 퐴퐼 = 0 . (2.9)
Nas equações (2.8) e (2.9) ainda resta definir os valores de 푉 e 푉 para completar o
15
modelo do SEIG. Estes valores dependem da carga conectada ao gerador e serão incorporados ao modelo nas seções seguintes.
Considerando a potência trifásica 푃 como potência base, a tensão RMS entre fases 푉 como a tensão base e a frequência nominal 휔 do gerador como a frequência base, a impedância base, a corrente base e a indutância base são definidas por
푍 = , 퐼 = e (2.10)
퐿 =푍휔
. (2.11)
Dividindo as resistências e as indutâncias de (2.2) a (2.5) por 푍 e 퐿 respectivamente, a matriz 퐴 pode ser reescrita em valores por unidade. Por questão de simplicidade a matriz 퐴 em pu continua a ser chamada da mesma forma.
2.2.1 Estabilidade do Equilíbrio 푰 = ퟎ para a Análise do Processo de Autoexcitação em Geradores de Indução
Nesta seção considera-se que o gerador esta conectado a uma carga resistiva de valor 푟 . Com isso a equação (2.9) pode ser reorganizada na forma
퐵퐼 + 퐴퐼 + 푉 = 0, (2.12)
onde
푉 =
0−푉
0푉
, 퐴 =
푅 + 푟푐푠 0 0 00 휔 푛 퐿 푅 휔 푛 퐿0 푅 + 푟푐푠 0 0
−휔 푛 퐿 0 휔 푛 퐿 푅
, 퐼 =
⎣⎢⎢⎡푖푖푖푖 ⎦⎥⎥⎤, 퐼 =
⎣⎢⎢⎡횤 횤 횤 횤 ⎦⎥⎥⎤
퐵 =
퐿 0 퐿 0퐿 0 퐿 00 퐿 0 퐿0 퐿 0 퐿
.
16
A equação matricial (2.12) pode ser escrita em termos de corrente como variáveis de estado e resulta em
퐵퐼 = 푉 − 퐴퐼. (2.13)
Se 푉 = 0, então 퐼 = 0 será um ponto de equilíbrio do sistema (2.13). O equilíbrio 퐼 = 0 é o ponto de equilíbrio onde todas as correntes envolvidas no circuito da Figura 2.2 são nulas. Embora os circuitos (a) e (b) da Figura 2.2 mostram o gerador com os terminais do estator sem a conexão de nenhum outro elemento (carga elétrica ou capacitor de autoexcitação), se existir magnetismo residual no rotor do gerador existirão correntes circulando pelo rotor do mesmo. Logo, no equilíbrio 퐼 = 0 o magnetismo residual é considerado nulo.
A autoexcitação ocorre quando o ponto de equilíbrio 퐼 = 0 torna-se instável devido aos valores dos parâmetros do GI, da carga e dos capacitores de autoexcitação quando estes são conectados aos terminais do gerador (Olorunfemi, 1995). Todos os parâmetros do gerador podem ser considerados a princípio constantes, com exceção da indutância de magnetização 퐿 que varia com a corrente de magnetização 푖 . Logo, dependendo do valor inicial da indutância de magnetização, denominada de 퐿 , da carga e dos capacitores de autoexcitação, o ponto de equilíbrio 퐼 = 0 torna-se instável e o processo de autoexcitação ocorre.
Bodson and Kiselychnyk (2012) analisam a estabilidade do SEIG em torno do ponto de equilíbrio 퐼 = 0 (designado pelo símbolo *) que pode ser obtido fazendo V = 0 na equação (2.13). Desta forma, a análise do equilíbrio em torno deste ponto (I = I∗ + δI) resulta em
퐵(퐼∗ + 훿퐼) 퐼∗ + 훿퐼 = −퐴(퐼∗ + 훿퐼)(퐼∗ + 훿퐼). (2.14)
Usando o fato que 퐼∗ = 0 e 퐼∗ = 0 e desconsiderando os termos de segunda ordem que surgem dos termos multiplicativos de (2.14) como apresentado por Bodson and Kiselychnyk (2012), o sistema em torno do ponto de equilíbrio resulta em
퐵(퐼∗) 훿퐼 = −퐴(퐼∗)훿퐼. (2.15)
O sistema é estável se todos os autovalores da matriz 퐾∗ apresentada na equação (2.16) possuírem parte real negativa (Bodson and Kiselychnyk, 2012). Se um dos autovalores apresentar parte real positiva, ocorre a instabilidade e a autoexcitação é estabelecida.
17
퐾∗ = −퐵(퐼∗) 퐴(퐼∗). (2.16)
É possível observar que 퐵(퐼∗) e 퐴(퐼∗) correspondem às matrizes B e A da equação (2.13) para 퐿 = 퐿 . A existência de magnetismo residual no rotor do gerador desloca o ponto de equilíbrio para 퐼 ≠ 0. As condições de estabilidade do ponto de equilíbrio, neste caso, diferem de (2.16) e são desenvolvidas em Bodson and Kiselychnyk (2012). Estas condições não são consideradas neste trabalho por serem pouco representativas para fins de projeto do SEIG, foco principal deste trabalho. Como será visto adiante, tipicamente 퐿 cresce para valores de corrente próximos de zero, de maneira que garantir a autoexcitação com 퐿 = 퐿 , tende a garantir a existência de autoexcitação para este novo ponto de equilíbrio que ocorre quando o magnetismo residual deixa de ser nulo.
Outra forma de verificação da existência da autoexcitação é equacionar o circuito da Figura 2.2 em termos de impedância (Seyoum, 2003). Considerando que a indutância de magnetização e a velocidade são constantes, a equação (2.13) é linerar e invariante no tempo. Aplicand a transformada de Laplace, considerando as correntes iniciais todas nulas, a equação (2.13) pode ser escrita na forma
(푠퐵∗ + 퐴∗)퐼(푠) = 푉 . (2.17)
onde 퐵∗ = 퐵(퐼∗) e 퐴∗ = 퐴(퐼∗). O desenvolvimento do primeiro termo entre parêntesis do lado esquerdo da equação (2.17) resulta em uma matriz 푍∗ denominada matriz impedância
푍∗ = (푠퐵∗ + 퐴∗). (2.18)
Igualando o determinante da matriz 푍∗ a zero é possível obter um polinômio em s e o estudo das condições de existência de raízes com parte real positiva para este polinômio são suficientes para determinar a existência da autoexcitação (Bodson and Kiselychnyk, 2010a; Seyoum, 2003).
É possível observar que as equações (2.16) e (2.18) representam a mesma condição de estabilidade o que mostra que estudar os autovalores da matriz impedância é equivalente ao estudo da estabilidade do ponto de equilíbrio 퐼 = 0, para fins de determinação de existência da autoexcitação.
A matriz impedância se diferencia da matriz da matriz 퐴 da equação (2.9) apenas pelas alterações que ocorrem nos valores de 퐿 , 퐿 e 퐿 que passam a ser denominadas de 퐿 , 퐿 e 퐿 e da resistência da carga 푟 acoplada aos terminais do estator.
A apresentação da equação (2.17) na forma matricial é apresentada na equação (2.19).
18
(푅 + 푟 + 푠퐿 ) 푠퐿 0 0푠퐿 (푅 + 푠퐿 ) 휔 푛 퐿 휔 푛 퐿
0 0 (푅 + 푟 + 푠퐿 ) 푠퐿−휔 푛 퐿 −휔 푛 퐿 푠퐿 (푅 + 푠퐿 )
.
⎣⎢⎢⎡푖푖푖푖 ⎦⎥⎥⎤
=
0−푉
0푉
(2.19)
O sistema de equações provenientes de (2.19) pode ser resolvido para qualquer valor de corrente através da regra de Cramer (Seyoum, 2003). Para 푖 , por exemplo,
푖 =
푑푒푡
⎣⎢⎢⎡
0 푠퐿 0 0−푉 (푅 + 푠퐿 ) 휔 푛 퐿 휔 푛 퐿
0 0 (푅 + 푟푐푠 + 푠퐿 ) 푠퐿푉 −휔 푛 퐿 푠퐿 (푅 + 푠퐿 )⎦
⎥⎥⎤
푑푒푡
(푅 + 푟푐푠 + 푠퐿 ) 푠퐿 0 0푠퐿 (푅 + 푠퐿 ) 휔 푛 퐿 휔 푛 퐿
0 0 (푅 + 푟푐푠 + 푠퐿 ) 푠퐿−휔 푛 퐿 −휔 푛 퐿 푠퐿 (푅 + 푠퐿 )
=det [푈]det [푍∗]
(2.20)
A matriz 푈 do numerador da equação (2.20) possui os parâmetros do gerador no equilíbrio 퐼 = 0, tensões residuais e velocidade do rotor. O determinante desta matriz afeta a amplitude da corrente gerada (Seyoum, 2003). Outro fator que deve ser analisado no determinante de 푈 é que se as condições iniciais do vetor 푉 forem todas nulas, como de fato ocorre no equilíbrio 퐼 = 0, o det 푈 é nulo e a autoexcitação não ocorre.
Na equação (2.20) é possível observar que mesmo havendo magnetismo residual, se o determinante da matriz 푍∗ não possuir raízes com parte real positiva, a autoexcitação não ocorre, pois neste caso 푖 , e as demais variáveis não apresentariam comportamento divergente ao longo do tempo. A análise do determinante da matriz impedância para o caso onde uma carga resistiva é conectada aos terminais do gerador é feita na seção 2.2.2.
2.2.2 Análise do Determinante da Matriz Impedância do Gerador de Indução e Formas de Autoexcitação
Na seção 2.2.1 foi verificado que se houver instabilidade do equilíbrio 퐼 = 0 a autoexcitação pode ocorrer. A autoexcitação desenvolvida a partir da existência de magnetismo residual no rotor chama-se autoexcitação espontânea (Bodson and Kiselychnyk, 2010b).
A ordem do polinômio em s que resulta do determinante da matriz 푍∗ da equação (2.18) pode ser reduzida através da simplificação da matriz, que pode ser reescrita em termos de variáveis complexas (Bodson and Kiselychnyk, 2010a). O sistema matricial apresentado na
19
equação (2.19) pode ser escrito na forma
(푅 + 푠퐿 ) 푠퐿푠퐿 − 푗휔 푛 퐿 (푅 + 푠퐿 ) − 푗휔 푛 퐿 .
푖 + 푗푖푖 + 푗푖 =
0−푉 + 푗푉
, (2.21)
onde 푅 = 푅 + 푟 .
A matriz complexa de dimensão 2x2 da equação (2.21) é designada por 푍∗ e o determinante desta matriz possui duas raízes complexas conjugadas, ao passo que a matriz 4x4 푍∗ da equação (2.19) possui determinante com quatro raízes reais.
O polinômio P(s) do determinante de 푍∗ resulta em
푃(푠) = 푑푒푡 푍∗(푠) = 푎 푠 + (푎 + 푗푛 휔 푏 )푠 + (푎 + 푗푛 휔 푏 ) (2.22)
onde
푎 = 퐿 퐿 − 퐿
푎 = 퐿 푅 + 퐿 푅
푏 = (퐿 − 퐿 퐿 )
푎 = 푅 푅
푏 = −퐿 푅 (2.23)
O método de Routh-Hurwitz pode ser utilizado para o estudo da estabilidade de um sistema, pois determina a existência ou não de raízes de um polinômio com termos reais no lado direito do plano complexo. Quando o polinômio possui termos imaginários, uma extensão do método de Routh-Hurwitz para polinômios complexos, apresentado por Frank (1946) pode ser aplicado para esta análise.
Segundo Frank (1946), um polinômio com termos complexos apresenta todas as suas raízes no lado esquerdo do plano complexo se e somente se todos os seus menores mínimos Δ , Δ , Δ forem positivos. Para um polinômio de segunda ordem na forma
푝(푠) = 푠 + (푝 + 푗푞 )푠 + (푝 + 푗푞 ) (2.24)
os mínimos menores resultam em
20
Δ = 푝
Δ = 푑푒푡푝 푞1 −푞
(2.25)
O termo 푎 da equação (2.23) é sempre positivo, pois 퐿 = 퐿 + 퐿 e 퐿 = 퐿 , logo 퐿 .퐿 é maior que 퐿 . Se o termo 푎 é sempre positivo o termo 푏 será sempre negativo.
Para a análise de um polinômio com termos complexos utilizando o método de Routh-Hurwitz, o termo 푎 deveria ser 1 como mostrado no polinômio (2.24). Embora o valor de 푎 não seja unitário, ele é positivo e a análise dos menores mínimos Δ e Δ são suficientes (Bodson and Kiselychnyk, 2010a). Os menores mínimos para o polinômio (2.22) resultam em:
Δ = 푎
Δ = 푑푒푡 푎 푏 푛 휔1 −푏 푛 휔
(2.26)
O menor mínimo Δ é positivo, pois o resultado de 퐿 푅 + 퐿 푅 é sempre um número positivo. Resolvendo o determinante Δ ,
Δ = −푏 푛 휔 − 푎 (푏 푛 휔 ) (2.27)
e como 푏 e 푏 são negativos, o menor mínimo Δ será sempre positivo indiferente do valor da velocidade mecânica do rotor.
Este fato é óbvio, pois a análise da matriz impedância do GI apresentada para este caso foi desenvolvida com a máquina com uma carga resistiva e sem os capacitores de autoexcitação. Se uma carga reativa indutiva for conectada aos terminais do gerador, as raízes do polinômio característico do sistema ainda permanecem todas no lado esquerdo do plano complexo, independentemente do valor de velocidade 휔 .
O gráfico da Figura 2.3 mostra a localização das raízes 1 e 2 do polinômio da matriz impedância para variações do valor da indutância de magnetização 퐿 e da velocidade 휔 . A seta vertical indica o sentido do aumento da velocidade. Pode-se observar que a raiz 1 muda de posição de forma significativa devido ao aumento ou a diminuição da velocidade 휔 . A raiz 2 sofre uma variação quase que imperceptível de posição devido ao aumento ou a diminuição de 휔 . A seta horizontal indica o sentido do aumento da indutância de
21
magnetização para ambas as raízes. Observa-se que quanto maior o valor de 퐿 (da esquerda para a direita), mais as raízes 1 e 2 aproximam-se do eixo imaginário.
Quando capacitores são conectados aos terminais do GI, a matriz impedância aumenta sua dimensão para três. Ao ser acionado com uma determinada velocidade mecânica 휔 e dependendo das condições iniciais (푉 ≠ 0), a terceira raiz (complexa conjugada) aloca-se no semiplano direito do plano complexo e a autoexcitação ocorre. A conexão dos capacitores no GI altera a forma do vetor 푉 , pois podem existir tensões iniciais nos capacitores de autoexcitação, fato que será apresentado na seção 2.4.
A tensão inicial proveniente dos capacitores é capaz de produzir uma corrente inicial nos eixo d e q que por sua vez produz uma corrente inicial de magnetização capaz de promover também a autoexcitação. Quando a autoexcitação inicia-se através da aplicação de uma tensão no estator do gerador via capacitores, ela é chamada de autoexcitação forçada.
Figura 2.3: Posição das raízes do polinômio da matriz impedância em função da variação de 휔 e 퐿 .
2.3 Parametrização da Carga e dos Capacitores de Autoexcitação em Termos de Potência e Tensão Nominais
Geralmente na literatura a carga e os capacitores de autoexcitação conectados ao SEIG aparecem em termos pouco representativos do ponto de vista de estudos de sistemas elétricos. Em Haque (2010a) apenas a carga é apresentada em termos ativos e reativos e o estudo não analisa o processo de autoexcitação. A parametrização da carga e dos capacitores de autoexcitação em termos de potência e em pu, permite que uma visão mais clara das
-0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Eixo Real
Eix
o Im
agin
ário
Raiz 2
Raiz 1Aumentode r
Aumento de Lm0
22
condições de existência da autoexcitação do SEIG possa ser alcançada. Desta forma, tanto a carga quanto os capacitores de autoexcitação são modelados em termos de impedância constante.
A Figura 2.4 mostra o esquema de conexão de uma carga RL série nos terminais de uma das fases do gerador de indução.
Figura 2.4: Circuito por fase com os capacitores de autoexcitação e carga RL.
Igualando as impedâncias vistas pela tensão 푉 no circuito da Figura 2.4, a carga RL pode ser escrita em termos de sua própria potência aparente nominal 푆 e tensão nominal 푉 . A potência aparente nominal representada pelos seus termos ativos 푃 e reativos 푄 pode ser verificada na equação
푆 = 푃 + 푗푄 . (2.28)
A equação (2.29) mostra a potência aparente em função da tensão nominal.
푆 = 푃 + 푗푄 =푉푅
+푉
−푗푋 (2.29)
Igualando as partes reais e imaginárias da equação (2.29) aos respectivos termos que contém 푅 e 푋 , a resistência e a indutância da carga podem ser escritas em termos de potência ativa e reativa respectivamente
푅 =푉푃
, (2.30)
23
퐿 =푉
2휋푓 푄 . (2.31)
O termo que aparece no denominador da equação (2.31) é a frequência nominal da carga.
Realizando um procedimento similar para os capacitores de autoexcitação e considerando sua potência reativa nominal 푄 , a capacitância de autoexcitação 퐶 pode ser escrita na forma
퐶 =푄
2휋푓 푉 . (2.32)
Na prática cargas capacitivas não são comuns, porém o equacionamento da carga em termos de RLC generaliza a conexão de cargas ativas, reativas capacitivas e indutivas no gerador de indução. No caso de conexão de cargas capacitivas aos terminais do GI, esta pode ser somada diretamente aos capacitores de autoexcitação e resulta em uma capacitância equivalente em termos de potência reativa capacitiva
퐶 =푄 + 푄
2휋푓 푉 . (2.33)
Na equação (2.33) a parcela 푄 representa a potência reativa capacitiva dos capacitores de autoexcitação, chamada deste ponto em diante de potência reativa de autoexcitação (PRAE). A parcela 푄 representa a parcela de potência reativa capacitiva de uma eventual carga capacitiva, designada deste ponto em diante por potência reativa capacitiva de carga (PRCC).
2.4 Acoplamento da Carga e dos Capacitores de Autoexcitação ao GI
A conexão da carga e dos capacitores de autoexcitação aos terminais do GI resulta nos circuitos (a) e (b) da Figura 2.5
Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff para os nós 1 e 2 dos circuitos (a) e (b) da Figura 2.5 e utilizando a transformada de Laplace, é possível escrever as equações das correntes nos ramos paralelos da carga e do capacitor de autoexcitação nos eixos d e q.
24
푖 + 푉 푌 + 푠푉 퐶 +푉 푌푠
+ 퐶 푉 (0) + 푌 푖 (0) = 0 (2.34)
푖 + 푉 푌 + 푠푉 퐶 +푉 푌푠
+ 퐶 푉 (0) + 푌 푖 (0) = 0 (2.35)
Figura 2.5: Conexão da carga e dos capacitores de autoexcitação nos terminais do GI. (a) Eixo d. (b) Eixo q.
Os termos 푖 (0) e 푖 (0) representam as correntes iniciais nos elementos indutivos da carga e tais termos podem ser considerados nulos. Os termos 퐶 푉 (0) e 퐶 푉 (0) representam as tensões iniciais existentes nos capacitores de autoexcitação, ou seja
푉퐶푒푞 푑푠 = 푉 | (2.36)
푉퐶푒푞 푞푠 = 푉 | (2.37)
Com o auxílio das equações (2.36) e (2.37), as equações (2.34) e (2.35) podem ser reescritas de forma mais simplificada
푖 + 푉 (푌 + 푠푌 + 푌 /푠) + 푉 = 0 (2.38)
푖 + 푉 (푌 + 푠푌 + 푌 /푠) + 푉 = 0 (2.39)
25
Nas equações (2.38) e (2.39), 푌 , e 푌 representam as admitâncias em termos de potência para as parcelas ativas e reativas da carga. Tais admitâncias são definidas por
푌 =1푅
⇒ 푌 =푃푉
(2.40)
푌 =1퐿
⇒ 푌 =2휋푓 푄푉
. (2.41)
A PRAE em termos de admitância é apresentada por
푌 = 1/퐶 ⇒ 푌 = 2휋푓 푉
푄 + 푄=
2휋푓 푉푄
. (2.42)
Se as equações (2.40), (2.41) e (2.42) forem multiplicadas respectivamente por 푍 , 퐿 e 1/푍 휔 , tais admitâncias ficam expressas em pu.
Inserindo as equações (2.38) e (2.39) na equação matricial apresentada em (2.9), as equações que representam o SEIG com carga e com os capacitores de autoexcitação resultam na equação matricial (2.43). A matriz 6x6 desta equação é a matriz impedância para o SEIG, designada por 푀퐼 .
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡(푅 + 푠퐿 ) 푠퐿 −1 0 0 0
푠퐿 (푅 + 푠퐿 ) 0 푛푝휔 퐿 푛푝휔 퐿 0
1 0 (푌 + 푠푌 +푌푠
) 0 0 0
0 0 0 (푅 + 푠퐿 ) 푠퐿 −1−푛푝휔 퐿 −푛푝휔 퐿 0 푠퐿 (푅 + 푠퐿 ) 0
0 0 0 1 0 (푌 + 푠푌 +푌푠
)⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
⎣⎢⎢⎢⎢⎡푖푖푉푖푖푉 ⎦
⎥⎥⎥⎥⎤
=
⎣⎢⎢⎢⎢⎡−푉 −푉
0푉 −푉
0 ⎦⎥⎥⎥⎥⎤
(2.43)
2.5 Condições de Existência de Autoexcitação
Na seção 2.2.2 verificou-se que a análise das raízes do polinômio do determinante da matriz impedância possibilita identificar a existência da autoexcitação. O determinante da matriz 푀퐼 resulta em um polinômio em s de oitava ordem. Se a matriz for reduzida reescrevendo-se a equação (2.43) em termos de variáveis complexas na forma
26
(푅 + 푠퐿 ) 푠퐿 −1푠퐿 − 푗휔 푛푝퐿 (푅 + 푠퐿 )− 푗휔 푛푝퐿 0
1 0 푌 + 푠푌 +푌푠
.푖 + 푗푖푖 + 푗푖푉 + 푗푉
=
⎣⎢⎢⎢⎡
0
−푉 + 푗푉
−푉 − 푗푉 ⎦⎥⎥⎥⎤ (2.44)
o polinômio do determinante desta matriz também é reduzido.
A matriz 3x3 da equação (2.44) é denominada por 푀퐼 e seu determinante resulta em um polinômio em s de quarta ordem com coeficientes complexos. O polinômio deste determinante é apresentado por
푃(푠) = 푑푒푡푀퐼 = 푠 (푎 ) + 푠 (푎 + 푗푛푝휔 푏 ) + 푠 (푎 + 푗푛푝휔 푏 ) +
+푠(푎 + 푗푛푝휔 푏 ) + (푎 + 푗푛푝휔 푏 ) (2.45)
onde,
푎 = (퐿 퐿 − 퐿 )푌
푎 = (퐿 퐿 − 퐿 )푌 + (푅 퐿 + 푅 퐿 )푌
푏 = (퐿 − 퐿 퐿 )푌 = −(퐿 퐿 − 퐿 )푌 = −푎
푎 = (푅 퐿 + 푅 퐿 )푌 + (퐿 퐿 − 퐿 )푌 + 푅 푅 푌 + 퐿
푏 = −((퐿 퐿 − 퐿 )푌 + 퐿 푅 푌 )
푎 = 푅 + 푅 푅 푌 + (푅 퐿 + 푅 퐿 )푌
푏 = −(퐿 푅 푌 + 퐿 ) − (퐿 퐿 − 퐿 )푌
푎 = 푅 푅 푌
푏 = −퐿 푅 푌 . (2.46)
Quando a carga conectada aos terminais do gerador é puramente ativa, o determinante da matriz 푀퐼 reduz-se a um polinômio de terceira ordem. A análise dos menores mínimos Δ , Δ e Δ deste polinômio, possibilita encontrar expressões analíticas em termos de velocidade do rotor e valor de capacitância de autoexcitação para que existam raízes com parte real positiva e, portanto, autoexcitação (Bodson and Kiselychnyk, 2010a).
Como o determinante da matriz 푀퐼 resulta em um polinômio de quarta ordem, condições analíticas de verificação de existência de raízes com parte real positiva não são possíveis de serem obtidas. Devido a isso, as condições de existência da autoexcitação podem ser obtidas por meio de soluções numéricas com a implementação de um algoritmo desenvolvido conforme mostra o fluxograma da Figura 2.6.
O algoritmo consiste em verificar para quais condições de carga em termos de potência e FP, de velocidade do rotor 휔 e de PRAE, existe pelo menos uma das raízes (complexa
27
conjugada) do determinante de 푀퐼 com parte real positiva.
Todos os resultados obtidos deste ponto em diante, dizem respeito a uma máquina específica cujos parâmetros e características podem ser verificadas nos Apêndices A e B.
A utilização do algoritmo permite visualizar também o movimento das raízes do polinômio (2.45), que pode ser visualizado na Figura 2.7. Nesta figura o SEIG está com carga nula e velocidade mecânica nominal. Nota-se que uma das raízes é nula, o que indica que o polinômio (2.45) torna-se de terceira ordem para os casos onde a carga é nula ou puramente ativa como mencionado anteriormente (Bodson and Kiselychnyk, 2010a). As setas indicam o movimento das raízes em função do aumento da PRAE e nota-se que apenas a raiz 1 (para certos valores de PRAE) passa para o semiplano direito do plano complexo, o que indica a autoexcitação.
Figura 2.6: Fluxograma do algoritmo implementado.
Na seção 2.2.2 foi mostrado que quando uma carga ativa está conectada aos terminais do GI sem a conexão de capacitores de autoexcitação, as raízes movimentam-se ao longo do plano complexo com a variação de 휔 e de 퐿 . Na prática a indutância de magnetização varia de um valor inicial 퐿 até um valor final 퐿 que depende do valor da corrente de magnetização. Esta característica impõe ao SEIG a estabilização da tensão através da saturação de 퐿 e será mais bem analisada no Capítulo 4.
28
Figura 2.7: Localização das raízes de P(s) em função da variação da PRAE.
A Figura 2.8 mostra para a mesma variação da PRAE utilizada no gráfico da Figura 2.7 o que ocorre com a raiz 1 quando 퐿 possui seu valor muito baixo. É possível observar que independente do aumento da PRAE, nenhuma raiz consegue atingir o semiplano direito.
Figura 2.8: Localização das raízes de P(s) em função da variação da PRAE com baixo valor de 퐿 .
A localização da raiz 1 em função da variação da PRAE, considerando a velocidade mecânica nominal e um 퐿 que propicia a autoexcitação pode ser observada na Figura 2.9. Nesta figura a seta indica a direção da raiz em função do aumento da PRAE e é possível observar que a autoexcitação fica compreendida entre um valor mínimo e máximo de PRAE, definidos por 푃푅퐴퐸 e 푃푅퐴퐸 . Portanto, se a potência reativa de autoexcitação, ou uma carga
-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
Eixo Real
Eix
o Im
agin
ário
Raiz 1
-6.6 -6.4 -6.2 -6 -5.8 -5.6 -5.4 -5.2
x 10-3
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Eixo Real
Eix
o Im
agin
ário
Raiz 1
29
capacitiva de elevado valor for conectada aos terminais do GI, a autoexcitação também pode ser perdida.
Figura 2.9: Localização da Raiz 1 em função do aumento da PRAE.
Quando a velocidade mecânica do rotor 휔 sofre variações, a raiz 1 responsável pela instabilidade do sistema e, portanto, da autoexcitação, também muda de posição. A Figura 2.10 mostra a localização da raiz 1 com a variação da velocidade 휔 .
Figura 2.10: Localização da Raiz 1 em função da variação de 휔 .
Nesta figura foi considerado um 퐿 e uma PRAE que propiciam a autoexcitação e a seta indica a direção da raiz com o aumento da velocidade do rotor. Nota-se que existem limites de velocidade mecânica denominados de 휔 e 휔 para que a autoexcitação ocorra.
-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
Eixo Real
Eix
o Im
agin
ário
PRAEmin
PRAEmax
0 0.05 0.1 0.15 0.2-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Eixo Real
Eix
o Im
agin
ário
r max
r min
30
A Figura 2.11 sintetiza as variáveis que influenciam no processo de autoexcitação do SEIG. O valor de 퐿 é a primeira condição que aparece de cima para baixo na Figura 2.11 e dependendo do seu valor e demais condições como velocidade, PRAE e carga, a raiz 1 do polinômio 푃(푠) representado na figura pela letra “X”, pode situar-se em um dos lados do eixo imaginário (Im) do plano complexo.
O valor da velocidade mecânica 휔 pode fazer com que a raiz de 푃(푠) situe-se no semiplano direito do plano complexo a partir de um determinado valor mínimo, porém, se a velocidade aumentar para um valor máximo, a raiz volta para o semiplano esquerdo e a autoexcitação não ocorre.
A PRAE também apresenta limites mínimos e máximos de valores que fazem com que a raiz do polinômio possa situar-se tanto no semiplano direito quanto no semiplano esquerdo do plano complexo.
Figura 2.11: Parâmetros que influenciam na autoexcitação do SEIG.
A última condição de existência de autoexcitação representada na Figura 2.11 é a condição da carga aplicada aos terminais do gerador, representada na figura em termos de potência ativa e reativa. Embora a aplicação da carga no gerador ainda não tenha sido analisada, esta sempre força a raiz 1 de 푃(푠) a situar-se no semiplano esquerdo do plano complexo. Quando uma carga é aplicada nos terminais do gerador, para que a autoexcitação ocorra deve existir uma condição de velocidade mecânica e PRAE que possibilitem que a parte real da raiz 1 fique situada inicialmente no semiplano direito do plano complexo, o que garante a autoexcitação.
31
2.6 Regiões de Existência de Autoexcitação
Na seção 2.5 verificou-se que existem limites de velocidade mecânica e de PRAE que garantem a autoexcitação desde que a indutância de magnetização inicial 퐿 não tenha valor pequeno. Na prática, o valor de 퐿 sempre é capaz de promover a autoexcitação, pois a indutância de magnetização inicial depende única e exclusivamente de aspectos construtivos do gerador.
Considerando que 퐿 é capaz de promover a autoexcitação, a existência da mesma fica associada às variações da PRAE, de 휔 e da carga aplicada ao GI. A Figura 2.12 mostra que as três condições citadas anteriormente delimitam regiões de existência de autoexcitação no SEIG definidas na figura por 푅 onde N é o número da região.
Figura 2.12: Regiões de existência da autoexcitação para diferentes cargas ativas (FP=1.0). As curvas são fechadas à esquerda, embora não apareçam assim por questões numéricas. Linhas tracejadas: Limites de velocidade mínima. Linhas contínuas: Limites de velocidade máxima.
As curvas foram traçadas para diferentes valores de carga aplicadas no gerador sempre com 퐹푃 = 1.0. A região 푅 , que envolve as demais, é para o caso de carga nula. A região 푅 resulta da condição de carga nominal na máquina e a região 푅 é para uma sobrecarga de 2.5pu. As regiões 푅 e 푅 resultam respectivamente das condições de 0.5pu e de 1.1pu de carga no gerador.
Pode-se observar que existem duas velocidades mecânicas do gerador que delimitam a existência da autoexcitação para cada condição de carga. Os limites mínimos de velocidade 휔 são representados pelas curvas tracejadas e os limites máximos 휔 são representados pelas curvas contínuas.
O aumento da carga faz com que a região de existência de autoexcitação diminua, tanto
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
1
2
3
4
5
6
7
PRAE (pu)
r (p
u)
R0
R1
R3
R4
R2
32
pela diminuição do intervalo de velocidade mecânica em que a autoexcitação ocorre, quanto pelo aumento da PRAE necessária para que a mesma ocorra.
É possível observar na Figura 2.12 que a autoexcitação existe para valores de potência de carga muito acima do valor nominal do próprio GI (푅 ). Estas regiões são apenas teóricas e na prática não podem ser atingidas, logo, um estudo mais detalhado sobre a existência da autoexcitação em torno das condições operativas de velocidade mecânica e potências envolvidas deve ser realizado e é objetivo do próximo capítulo.
2.7 Conclusões
Neste capítulo foi mostrada a configuração típica de um SEIG e o modelo matemático do mesmo foi apresentado nos eixos d e q e em pu de tal forma a facilitar a análise da existência da autoexcitação. A análise da matriz impedância mostrou que se as condições iniciais de magnetismo residual ou tensão inicial nos capacitores de autoexcitação forem nulas, a autoexcitação não pode existir. Além disso, foi verificado que o estudo das raízes do polinômio em s resultante da matriz de impedância do sistema é suficiente para predizer a existência ou não da autoexcitação.
O método de redução da ordem da matriz impedância obtida do modelo matemático do GI reduziu a ordem do polinômio do determinante da mesma. A análise do determinante da matriz impedância resultante do equacionamento do GI com carga ativa e sem capacitores de autoexcitação mostrou que as raízes situam-se sempre no semiplano esquerdo do plano complexo, indiferente da velocidade do rotor. A variação da indutância de magnetização mostrou que as raízes movem-se da esquerda para a direita, mas indiferente da velocidade do rotor, estas nunca chegam ao lado direito do plano complexo. Tal fato mostra que a indutância de magnetização inicial é fundamental no processo da autoexcitação.
A representação da carga e dos capacitores de autoexcitação em termos de potência e em pu, permitem uma melhor visualização da existência da autoexcitação, já que unidades mais usualmente utilizadas em sistemas elétricos foram utilizadas.
Com o auxilio de um algoritmo, a análise do determinante da matriz de impedância resultante do modelo do GI com as respectivas cargas e PRAE, mostrou que para certas condições de velocidade do rotor, de carga e de PRAE uma das raízes pode atingir o semiplano direito do plano complexo, o que significa instabilidade e autoexcitação.
Foi verificado que a autoexcitação fica reestrita em regiões denominadas regiões de existência de autoexcitação e que tais regiões dependem da velocidade do rotor, da carga e da PRAE. As regiões de existência de autoexcitação podem existir, por exemplo, para valores de potência de carga que do ponto de vista operativo nunca serão atingidas (elevadas sobrecargas), portanto, a autoexcitação deve ser analisada em torno das condições operativas do gerador de indução.
33
Capítulo 3
Condições de Existência de Autoexcitação em Torno das Condições Operativas
As regiões de existência de autoexcitação apresentadas no Capítulo 2 podem existir sob o ponto de vista teórico para valores de potência de carga, PRAE e velocidade mecânica que fogem das condições nominais de operação do SEIG. Neste capítulo as condições de existência de autoexcitação são analisadas em torno das condições nominais de operação do SEIG, denominadas de regiões operativas. Tais regiões são definidas pela velocidade mecânica e pela carga conectada aos terminais do gerador. Objetiva-se estudar as condições de existência de autoexcitação para condições realistas de operação do gerador, bem como determinar valores para a PRAE que assegurem a existência de autoexcitação sobre determinadas condições de carga e velocidade do gerador.
Primeiramente na seção 3.1.2, as condições de existência de autoexcitação são apresentadas com o SEIG operando somente com carga ativa. Em seguida, na seção 3.1.3 é apresentada a influência do FP da carga, tanto na autoexcitação do SEIG como na garantia de autoexcitação em torno das regiões operativas. Na seção 3.1.4 é feita uma análise da frequência elétrica da tensão gerada para diferentes valores de carga, FP e PRAE.
A seção 3.2 analisa a influência da variação dos parâmetros da máquina sobre a existência de autoexcitação em torno da região operativa do gerador. São estudadas as influências das resistências de estator e rotor e o valor da indutância de magnetização inicial. Nesta mesma seção são apresentadas ferramentas que podem ser utilizadas para o dimensionamento da PRAE e que auxiliam no projeto do SEIG. As conclusões do capítulo são descritas na seção 3.3.
34
3.1 Definição das Condições de Existência de Autoexcitação em Torno das Regiões Operativas do SEIG
A análise do determinante da matriz impedância do SEIG possibilita a verificação das condições de existência de autoexcitação e define, portanto, regiões de existência da mesma. Como apresentado no Capítulo 2, a existência de autoexcitação fica delimitada por regiões cujos limites dependem da velocidade mecânica do gerador, da PRAE e da carga.
Na Figura 2.12 é possível verificar que ser for fixada uma carga e uma PRAE, pode-se encontrar uma faixa de velocidades mecânicas dentro da qual a autoexcitação ocorre. Por outro lado, se agora a análise for feita de tal forma a fixar uma carga e uma velocidade mecânica, é possível obter uma faixa de valores de PRAE, compreendida entre uma 푃푅퐴퐸 e uma 푃푅퐴퐸 , que garante a autoexcitação. Esta última situação é explorada neste capítulo por explicitar a faixa de valores de PRAE que garante a autoexcitação para uma dada condição de operação de interesse e, portanto, pode orientar no projeto do SEIG.
A definição de uma região operativa RO onde deve existir autoexcitação para o SEIG está diretamente associada à potência nominal do gerador 푃 , e a velocidade nominal 휔 do gerador. A potência elétrica das máquinas de indução geralmente apresenta um fator de sobrecarga denominado por FS, logo a potência máxima gerada pelo GI depende do FS, o que na prática fica compreendido entre valores que vão de 1.0 a 1.15 vezes a potência nominal, ou seja, se 퐹푆 = 1.15 a potência máxima operativa que pode ser gerada, definida por 푃 , é a potência nominal acrescida de 15%. Tipicamente o gerador deve operar em qualquer valor de potência gerada até este valor máximo.
A velocidade do gerador influencia diretamente na frequência elétrica da tensão gerada (Bodson and Kiselychnyk, 2010a), portanto, se o mesmo operar dentro de um limite de velocidade mínima e máxima, a frequência da tensão gerada sofrerá variações em torno destas variações de velocidade mecânica. Como o escorregamento é tipicamente pequeno, a faixa de velocidade de operação do gerador deve ficar próxima da velocidade nominal, devendo abranger uma faixa definida por 휔 a 휔 .
Assim, como a frequência da tensão gerada é uma função direta da velocidade mecânica 휔 e como em condições normais de operação a potência da carga deve ficar limitada a 푃 , busca-se analisar a existência de autoexcitação para todas as possíveis condições operativas do gerador delimitadas pela RO, a qual é dada em termos da faixa de velocidade mecânica do rotor (휔 a 휔 ) e da faixa de potência gerada (0 a 푃 ). A definição da RO permite, portanto, encontrar as condições de existência da autoexcitação e de garantia da mesma para todas as condições de operação do GI.
Neste trabalho, a faixa de velocidade mecânica operativa do gerador é considerada entre
35
uma velocidade mínima 휔 = 0.9푝푢 e uma velocidade máxima 휔 = 1.1푝푢, o que garante que a frequência elétrica da tensão gerada sofra variações em torno destes dois limites de velocidade. Tal faixa de velocidade é definida também pelo fato de que quando o gerador assume carga, a velocidade da máquina primária pode sofrer variações transitórias de velocidade abaixo de 1.0pu. Também é considerado que a potência 푃 vale 1.1pu, de maneira que a RO envolverá 10% de sobrecarga no gerador. A Figura 3.1, mostra os limites de velocidade mecânica adotados e a faixa de carregamento de 0 a 푃 = 1.1푝푢 com 퐹푃 = 1.0 que formam a RO considerada. Tais limites de velocidade operativa e de potência máxima formam o retângulo de linhas pontilhadas que pode ser observado no gráfico. A linha horizontal superior do retângulo representa a velocidade operativa máxima 휔 , a linha horizontal inferior representa a velocidade operativa mínima 휔 e a linha vertical do retângulo representa o limite operativo imposto por 푃 .
Figura 3.1: Definição da RO e seu envolvimento por regiões de existência de autoexcitação. Linhas pontilhadas - RO: Horizontal superior - 휔 , horizontal inferior - 휔 , vertical - 푃 . Linhas tracejadas - Região de existência de autoexcitação produzida por uma 푃푅퐴퐸 . Linhas contínuas - Região de existência de autoexcitação produzida por uma 푃푅퐴퐸 .
3.1.1 Existência de Autoexcitação em Torno da RO para Cargas Ativas
A Figura 3.1 também mostra as regiões de existência de autoexcitação conjuntamente com a RO do gerador. A curva tracejada delimita a região de velocidade e potência de carga em que ocorre autoexcitação para uma 푃푅퐴퐸 , sendo a parte superior da curva associada ao limite da velocidade máxima 휔 e a parte inferior ao limite de velocidade mínima 휔 . A curva contínua faz o mesmo para uma 푃푅퐴퐸 . Logo, se a PRAE aumentar demasiadamente, a velocidade máxima 휔 representada pela curva linha contínua
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Potência da Carga (pu)
r (p
u)
Direção 2
Direção 1 Região Operativa RO
r max
r min
r max
r min
36
superior desce no sentido da “Direção 2” indicada na Figura 3.1. Se a 푃푅퐴퐸 diminuir, a curva de linha tracejada inferior da velocidade mínima 휔 sobe no sentido da “Direção 1” indicada na Figura 3.1. Em ambos os casos as regiões de existência de autoexcitação produzidas pelas duas PRAEs afastam-se da região operativa RO. A Figura 3.2 mostra o que ocorre com a diminuição da 푃푅퐴퐸 e o aumento da 푃푅퐴퐸 . Nota-se que a autoexcitação não pode ocorrer para nenhuma condição de carga dentro da RO, além disso, para a 푃푅퐴퐸 a partir de aproximadamente 1.0pu de potência ativa de carga, a autoexcitação não existe para nenhuma velocidade mecânica do gerador.
Figura 3.2: Regiões de existência de autoexcitação produzidas por uma 푃푅퐴퐸 (linhas tracejadas) e uma 푃푅퐴퐸 (linhas contínuas) que não propiciam a autoexcitação frente a RO.
Para que a RO seja envolvida tanto pela curva tracejada inferior quanto pela curva contínua superior, a 푃푅퐴퐸 deve aumentar e a 푃푅퐴퐸 deve diminuir. A Figura 3.3 mostra esta condição. Nesta figura, com a diminuição da 푃푅퐴퐸 , o limite superior de velocidade 휔 para que ocorra a autoexcitação produzida pela 푃푅퐴퐸 ultrapassa o limite da velocidade operativa 휔 , garantindo autoexcitação para toda a RO. Entretanto, essa PRAE é muito elevada (cerca de 10pu para o GI em estudo) para ser utilizada na prática. Por outro lado, se a 푃푅퐴퐸 aumentar para 0.614pu (para o GI em estudo), o retângulo que define a RO fica acima da curva tracejada inferior que indica o limite da velocidade 휔 onde ocorre a autoexcitação, desta forma a RO fica novamente envolvida por uma condição de 푃푅퐴퐸 capaz de propiciar a autoexcitação em torno das condições operativas do gerador de indução.
Pode-se observar que o limite inferior de velocidade 휔 para que a autoexcitação ocorra é o que determina a inclusão ou não da RO na região de existência de autoexcitação quando a PRAE está próxima do valor nominal de potência do gerador. Isso mostra que a 푃푅퐴퐸 , dimensionada para a velocidade de autoexcitação mínima 휔 , é capaz de
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Potência da Carga (pu)
r (p
u)
RO
37
propiciar a autoexcitação para todas as condições operativas de velocidade mecânica e carregamento do gerador. A 푃푅퐴퐸 está muito acima da potência nominal do gerador, o que torna sua aplicação economicamente inviável e pode, portanto, ser desprezada das análises em torno dos limites operativos de velocidade mecânica e carregamento da máquina que delimitam a RO. Como resultado, do ponto de vista prático um valor de 푃푅퐴퐸 e de velocidade 휔 são suficientes para assegurar uma região de existência de autoexcitação que envolve toda a RO.
Figura 3.3: Regiões de existência de autoexcitação em torno da RO. Curvas tracejadas -푃푅퐴퐸 . Curvas contínuas - 푃푅퐴퐸 .
A Figura 3.4 mostra os valores da velocidade em função da 푃푅퐴퐸 em torno da RO.
Figura 3.4: Existência da autoexcitação em torno da RO para cargas com 퐹푃 = 1.0.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Potência da Carga (pu)
r (p
u)
r min
RO
0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.650.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
X: 0.614Y: 0.9
PRAE (pu)
r(p
u)
PRp=0.0pu PRp=1.1pu
38
Cada curva corresponde aos diferentes valores de carga ativa, partindo da carga 0.0pu até o limite de potência 푃 = 1.1푝푢, da esquerda para a direita, com um acréscimo de 0.1pu.
Com o auxílio das curvas do gráfico da Figura 3.4, os valores de 푃푅퐴퐸 podem ser facilmente encontrados para valores de velocidade mecânica do gerador compreendida entre 휔 e 휔 . Para o gerador em estudo, o maior valor de 푃푅퐴퐸 (0.614 pu) ocorre para carga ativa máxima de 1.1pu e velocidade mecânica mínima de 0.9pu. Portanto, do gráfico da Figura 3.4 pode-se concluir que com uma 푃푅퐴퐸 = 0.614푝푢 a autoexcitação é garantida para toda a faixa de carregamento de potência ativa do gerador desde a velocidade operativa mínima de 0.9pu a uma velocidade máxima de 1.1pu.
3.1.2 Influência do FP na Existência de Autoexcitação em Torno da RO
Em condições normais de operação, é necessário que o SEIG forneça potência para diferentes valores de carga e FP, portanto, a análise da influência do FP na autoexcitação em torno da RO deve ser analisada.
A Figura 3.5 mostra a influência que o FP da carga insere no deslocamento da região de existência de autoexcitação em torno da RO para o SEIG em estudo. Ambas as curvas foram traçadas para uma 푃푅퐴퐸 e para a mesma potência de carga, porém para dois valores distintos de FP. A curva de linha tracejada leva em consideração a carga máxima 푃 =1.1푝푢 com 퐹푃 = 1.0 e a curva linha contínua considera 푃 = 1.1푝푢 com 퐹푃 = 0.9.
Figura 3.5: Variação da região de existência de autoexcitação frente a cargas indutivas. Linha tracejada - Região de existência de autoexcitação para 푃푅퐴퐸 e 퐹푃 = 1.0. Linhas contínuas - Região de existência de autoexcitação para 푃푅퐴퐸 e 퐹푃 = 0.9.
É possível observar que a redução do FP da carga modifica substancialmente os valores
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60
0.5
1
1.5
2
2.5
Potência da Carga (pu)
r (p
u)
C
B
D
A
RO
39
da velocidade mínima 휔 e velocidade 휔 onde é garantida a existência da autoexcitação. Para o caso de 퐹푃 = 1.0, a RO é completamente envolvida pela região de existência de autoexcitação, porém, quando o FP diminui, a área ABCD da RO deixa de ser envolvida pela região de existência de autoexcitação. Portanto, frente a cargas indutivas, a 푃푅퐴퐸 deve ser maior para possibilitar que toda a RO seja novamente envolvida pela região de existência de autoexcitação e por consequência 휔 envolva os limites operativos de velocidade mecânica.
A Figura 3.6 mostra que à medida que o fator de potência diminui, maior deve ser o valor da PRAE conectada ao SEIG a fim de propiciar a autoexcitação em torno da RO.
Figura 3.6: Valores mínimos de PRAE para diferentes FP e 푃 = 1.1푝푢. Linha pontilhada - Variação da PRAE para diferentes FP e 휔 . Linha contínua - Variação da PRAE para diferentes FP e 휔 .
A curva contínua superior mostra os valores mínimos de autoexcitação para a faixa de FP entre 0 a 1.0 e para uma potência operativa máxima de 1.1pu considerando a velocidade operativa mínima 휔 . A curva tracejada mostra o mesmo caso, mas com velocidade de operação máxima 휔 .
Pode-se observar que se o SEIG operar com 휔 a autoexcitação também existirá, logo, a autoexcitação existe para toda a RO se a 푃푅퐴퐸 propiciar a autoexcitação para a maior potência de carga com o menor FP e para a menor velocidade operativa dada por 휔 = 0.9 푝푢.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
FP
PR
AE
(pu) r opr max
r opr min
40
3.1.3 Análise da Frequência Elétrica da Tensão Gerada em Torno da RO
Na seção 3.1.2 verificou-se que a autoexcitação existe para toda a RO se uma 푃푅퐴퐸 propiciar a autoexcitação com uma 휔 = 0.9푝푢, porém, sob o ponto de vista operativo do gerador é necessário saber como se comporta a frequência elétrica da tensão gerada. Condições analíticas desenvolvidas por Bodson and Kiselychnyk (2010a) mostram os valores de frequência mínima e máxima da tensão de saída que estão diretamente associadas às velocidades 휔 e 휔 . O objetivo desta seção é analisar o comportamento da frequência elétrica da tensão gerada para cargas ativas e com 퐹푃 < 1.0 em torno da RO.
Segundo Chan and Lai (2001), Tandon et al. (1984), Grantham and Mismail (1989) e Bodson and Kiselychnyk (2010a), a frequência elétrica da tensão gerada pode ser obtida através do polinômio do determinante da matriz impedância do sistema. O polinômio em s da equação (2.45) pode ser escrito na forma fatorada
푃(푠) = [푠 + (훼 ± 푗휔 )]. [푠 + (훼 ± 푗휔 )]. [푠 + (훼 ± 푗휔 )]. [푠 + (훼 ± 푗휔 )] = 0. (3.1)
Seyoum (2003) menciona que o processo de autoexcitação pode ser compreendido de uma forma simplificada através da análise de um circuito RLC série com uma tensão inicial no capacitor. Para este exemplo, a resposta temporal da corrente no circuito é da forma 푖(푡) = 퐾 푒 cos (휔 푡), onde 훿 representa a parte real da raiz do polinômio característico do circuito RLC série, 휔 é a frequência elétrica dada pela parte imaginaria desta raiz e 퐾 é a amplitude da corrente. Para o caso do circuito RLC série, o valor de 훿 será sempre positivo e a exponencial será amortecida fazendo com que 푖(∞) = 0퐴.
No caso do gerador de indução a análise é semelhante. Se por exemplo, 훼 da equação (3.1) for positivo, a tensão de saída do gerador escrita na forma 푉(푡) = 퐾 푒 cos (휔 푡), onde 퐾 é a amplitude da tensão inicial (proveniente do magnetismo residual do rotor ou da tensão inicial dos capacitores de autoexcitação), tende a crescer no decorrer do tempo o que ocasiona a autoexcitação. A frequência da tensão gerada é 휔 , ou seja, o termo imaginário da raiz que apresenta parte real positiva. A tensão V(t) estabiliza-se quando a indutância de magnetização satura (isso será mais bem apresentado no Capítulo 4) fazendo com que 훼 torne-se nulo. Nesta condição o gerador passa a operar em um ciclo limite e a parte imaginária da raiz que possui parte real positiva é uma aproximação da frequência elétrica da tensão gerada (Bodson and Kiselychnyk, 2010a).
A Figura 3.7 mostra o valor aproximado da frequência elétrica para valores de potência ativa compreendidos entre 0 a 1.1pu e em função da PRAE, sempre com 휔 = 0.9 푝푢. Cada curva deste gráfico representa uma potência, iniciando na potência 푃 = 0.0푝푢 (curva superior) até a potência 푃 = 1.1 푝푢 (curva inferior). O início de cada curva representa o valor mínimo da PRAE necessária para promover a autoexcitação na respectiva
41
condição de carga da curva.
A Figura 3.7 mostra também que o aumento da carga ativa no gerador reduz a frequência elétrica, o que mostra a regulação insatisfatória da frequência elétrica mesmo com uma velocidade operativa constante. Pode-se observar que mesmo se a PRAE for a mínima necessária para promover a autoexcitação com carga nula, a frequência elétrica da tensão gerada fica abaixo da velocidade mecânica 휔 = 0.9 푝푢, ou seja, o escorregamento para o caso do gerador de indução será sempre negativo.
O aumento da PRAE também reduz o valor da frequência elétrica para qualquer valor de carga ativa e isso se deve ao fato da mesma impor carga ao sistema. Esta variação pode ser observada para a curva de 푃 = 0.0푝푢, logo se a PRAE aumentar, a frequência elétrica diminui de um valor Δ 휔 indicada pela cota da linha vertical vermelha.
Figura 3.7: Variação da frequência elétrica em função da PRAE e da carga com 퐹푃 = 1.0 considerando 휔 = 0.9 푝푢.
O gráfico da Figura 3.8 é o mesmo gráfico apresentado na Figura 3.7, porém para este caso a velocidade mecânica é 휔 = 1.1푝푢. Neste gráfico é possível observar o aumento da frequência elétrica em função do aumento da velocidade mecânica para todas as condições de carga ativa do gerador.
A variação da frequência elétrica que ocorre para cada PRAE com a variação da carga zero até o valor máximo 푃 = 1.1푝푢 pode ser definida por
Δ휔 = 휔 −휔 . (3.2)
Tal variação é mostrada na Figura 3.8 com o auxílio das cotas verticais na cor vermelha. É
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0.87
0.875
0.88
0.885
0.89
0.895
0.9
0.905
PRAE (pu)
Freq
uênc
ia E
létri
ca
e (pu)
PRAE min P opr min=0.0pu
e
P opr max=1.1pu
42
possível observar para este caso, que o aumento da PRAE diminui Δ휔 e aproxima a frequência elétrica para variações menores e mais próximas a 1.0pu.
Figura 3.8: Variação da frequência elétrica em função da PRAE e da carga com 퐹푃 = 1.0 considerando 휔 = 1.1 푝푢.
Os gráficos das Figuras 3.7 e 3.8 consideram apenas cargas resistivas acopladas aos terminais do gerador. A Figura 3.9 mostra o que ocorre com a frequência elétrica da tensão gerada quando a carga apresenta 퐹푃 = 0.3. Novamente cada curva representa uma potência de carga no gerador variando de 0pu a 1.1pu sempre com o mesmo fator de potência e com 휔 = 0.9 푝푢.
Figura 3.9: Variação da frequência elétrica em função da PRAE para diferentes valores de carga com 퐹푃 = 0.3 considerando 휔 = 0.9 푝푢.
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.51
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.06
1.07
1.08
1.09
1.1
PRAE (pu)
Freq
uênc
ia E
létri
ca
e (pu)
ei
ef
ei
ef
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50.865
0.87
0.875
0.88
0.885
0.89
0.895
0.9
0.905
PRAE (pu)
Freq
uênc
ia E
létri
ca
e (pu)
ei
ef ei
ef
P0
43
Percebe-se que o FP da carga altera o comportamento que a PRAE exerce sobre a frequência elétrica. Nas condições em que 퐹푃 < 1.0, existe um ponto 푃 cuja PRAE deste ponto propicia o menor Δ휔 , porém tal ponto varia de posição. Se FP aproximar-se de zero, o ponto 푃 avança no sentido anti-horário indicado pela seta na figura e se FP aproximar-se de 1 o ponto 푃 avança no sentido horário. É possível observar ainda que para este caso (퐹푃 =0.3) a 푃푅퐴퐸 que propicia a autoexcitação para todas as condições de carga é a que produz a menor variação de Δ휔 . Variações menores de frequência elétrica podem ser obtidas também em torno de 푃 , porém, a PRAE necessária para tais condições é maior que a 푃푅퐴퐸 .
A Figura 3.10 mostra o mesmo gráfico da Figura 3.9, mas agora com 퐹푃 = 0.7. É possível observar nesta figura o deslocamento do ponto 푃 quando o FP tende a 1.0. Neste caso, menores variações de Δ휔 podem ser obtidas se a PRAE aumentar consideravelmente de valor, o que do ponto de vista econômico não é atrativo
Figura 3.10: Variação da frequência elétrica em função da PRAE para diferentes valores de carga com 퐹푃 = 0.7 considerando 휔 = 0.9 푝푢.
Outro fator importante a ser analisado é que o valor da frequência elétrica está bem abaixo de 1.0 pu. Se a velocidade mecânica aumentar, o ponto 푃 apresentado na Figura 3.10 tende a movimentar-se para cima e para a esquerda como mostra a Figura 3.11.
O aumento da velocidade mecânica promove novamente a diminuição de Δ휔 e os valores de frequência elétrica variam em torno de 1.0pu. Isso mostra que o gerador deve operar com uma velocidade mecânica acima de 1.0pu, porém não superior a 1.1pu, pois neste caso a frequência elétrica da tensão gerada é muito superior à frequência que a cargas ligadas ao SEIG operam.
Da análise da frequência elétrica é possível observar que existe uma PRAE ideal capaz de propiciar a menor variação de frequência elétrica para toda a faixa de carregamento da
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.86
0.865
0.87
0.875
0.88
0.885
0.89
0.895
0.9
0.905
PRAE (pu)
Freq
uênc
ia E
létri
ca
e (pu)
ei
ef
P0
44
carga e para diferentes FP. Associada a esta PRAE, existe uma velocidade mecânica que faz com que a frequência elétrica da tensão gerada situe-se em torno de 1.0pu. Estas duas condições originam um ponto de operação ideal.
Figura 3.11: Variação da frequência elétrica em função da PRAE para diferentes valores de carga com 퐹푃 = 0.7 considerando 휔 = 1.05 푝푢.
Para o gerador em estudo, um ponto ideal de operação é obtido com a velocidade mecânica 휔 = 1.05 푝푢 e com a 푃푅퐴퐸 (1.74pu) resultante da velocidade 휔 =0.9 푝푢 e da máxima potência de carga com o menor FP.
É possível observar que o valor de velocidade 휔 = 1.05 푝푢 encontra-se dentro da RO, que por sua vez envolve também as condições operativas de frequência elétrica. Para o ponto de operação mencionado anteriormente (푃푅퐴퐸 = 1.74푝푢,휔 = 1.05 푝푢), para qualquer condição de carga e FP a variação da frequência elétrica não ultrapassa 3%.
3.2 Garantia de Autoexcitação em Torno da RO e Procedimentos de Projeto
Nas seções 3.1.2 e 3.1.3 foram analisadas as condições de existência de autoexcitação do SEIG em torno da RO. Nesta seção busca-se desenvolver procedimentos de projeto do SEIG, o que implica na necessidade da determinação da PRAE que garanta a autoexcitação para toda a RO.
O algoritmo resultante do fluxograma apresentado na seção 2.5 pode ser utilizado para gerar superfícies de existência de autoexcitação. A Figura 3.12 mostra superfícies geradas
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.97
0.98
0.99
1
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.06
PRAE (pu)
Freq
uênc
ia E
létri
ca
e (pu)
ei
ef P0
45
variando-se a potência da carga de 푃 = 0.0푝푢 a 푃 = 1.1푝푢 e fator de potência de 퐹푃 = 0 a 퐹푃 = 1.0.
Cada superfície desta figura representa um valor de velocidade mecânica do rotor e o eixo “Z” representa os valores de 푃푅퐴퐸 necessária para que a autoexcitação ocorra para as diferentes condições de carga e FP.
A seta na figura indica o sentido do aumento do valor de velocidade operativa de 0.9pu a 1.1pu, logo a superfície superior definida por 푆 representa a velocidade de 0.9pu, a superfície intermediária definida por 푆 representa a velocidade de 1.0pu e a superfície inferior definida por 푆 representa a velocidade de 1.1pu.
Figura 3.12: Superfícies de existência de autoexcitação em torno das condições operativas de carga, FP e velocidade do rotor.
Figura 3.13: Superfície superior 푆 de existência de autoexcitação em torno da RO.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.5
1
1.5
2
FP
X: 1.1Y: 0Z: 1.16
X: 1.1Y: 0Z: 1.74
Potência da Carga (pu)
PR
AE
(pu)
00.2
0.40.6
0.81
1.2 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.5
1
1.5
2
FP
Potência da Carga (pu)
PR
AE
(pu)
46
Ainda da Figura 3.12, é possível observar que a superfície 푆 , obtida a partida da menor velocidade mecânica operativa (휔 = 0.9 푝푢), situa-se acima das demais superfícies, o que garante que se a PRAE for dimensionada a partir desta superfície, a autoexcitação é garantida para velocidades operativas maiores. A superfície 푆 é apresentada novamente na Figura 3.13.
A Figura 3.13 mostra também que a diminuição do FP da carga faz com que a PRAE deva ser maior a fim de garantir a existência de autoexcitação e para valores de FP compreendidos entre 0.6 e 1.0 ocorrem as maiores variações de PRAE.
3.2.1 Procedimentos de Projeto
Embora a Figura 3.13 forneça uma visão geral do valor da 푃푅퐴퐸 a ser adotada em função da carga e do fator de potência, a superfície 푆 é resultado de uma única velocidade operativa. Sob o ponto de vista de projeto, o SEIG deve fornecer potência desde a 푃 =0.0푝푢 a 푃 = 1.1푝푢 e para qualquer valor de FP. Se a carga operativa for fixada em seu valor máximo 푃 = 1.1푝푢, é possível criar uma superfície de projeto 푆 que é função do FP e da velocidade mecânica. Tal superfície proposta neste trabalho possibilita o dimensionamento da 푃푅퐴퐸 para que exista autoexcitação em qualquer condição de potência que se encontre dentro da RO. A Figura 3.14 mostra a superfície 푆 .
Figura 3.14: Superfície 푆 de projeto da PRAE para carga de 1.1pu.
A Figura 3.15 mostra as curvas de nível para a superfície 푆 e que contém os limites de velocidade impostas pela RO (휔 = 0.9 푝푢 a 휔 = 1.1 푝푢). Com o auxílio das curvas de nível da superfície de projeto é possível especificar a 푃푅퐴퐸 em função da
0.850.9
0.951
1.051.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.5
1
1.5
2 X: 0.9Y: 0Z: 1.74
FP
X: 0.9Y: 1Z: 0.62
r (pu)
PR
AE
(pu)
47
velocidade e do FP da carga. Se por exemplo, for considerada que 휔 = 0.9푝푢 e que o FP mínimo da carga conectada ao gerador chega a 0.5, o ponto de encontro entre as duas retas que delimitam tal limite de operação para o SEIG, resulta no ponto “A” da Figura 3.15. Se o valor da 푃푅퐴퐸 dimensionada ficar compreendida entre aproximadamente 1.64 <푃푅퐴퐸 < 1.70푝푢, para qualquer carga compreendida entre 푃 = 0.0푝푢 a 푃 = 1.1푝푢 com FP variando de 0.5 a 1.0 a autoexcitação é garantida.
Para o mesmo caso mencionado anteriormente, mas agora considerando 퐹푃 = 1.0, a 푃푅퐴퐸 deve ficar entre os valores das curvas de nível compreendidas entre aproximadamente 0.57 < 푃푅퐴퐸 < 0.64푝푢 (ponto B da Figura 3.15). O valor exato da 푃푅퐴퐸 pode ser verificado na superfície 푆 da Figura 3.14 e vale 푃푅퐴퐸 = 0.62푝푢.
Figura 3.15: Curvas de nível para dimensionar a 푃푅퐴퐸 para o SEIG considerado neste trabalho (carga de 1.1pu).
A análise da frequência elétrica apresentada na seção 3.1.3, mostra que a frequência elétrica da tensão gerada somente estará próxima a 1.0pu quando a velocidade do rotor estiver acima de 1.0pu. Portanto, a princípio se a velocidade operativa 휔 ficar sempre acima de 1.0pu, as curvas de nível da Figura 3.15 mostram que para este caso uma 푃푅퐴퐸 = 1.37푝푢 garante a autoexcitação para 퐹푃 = 0 a 퐹푃 = 1.0. Tal fato é tentador do ponto de vista de projeto uma vez que a redução da PRAE impacta diretamente nos custos envolvidos do SEIG, mas levar em consideração esta análise pode resultar em inexistência de autoexcitação durante a aplicação da carga no gerador, pois como o gerador opera de forma isolada, a variação da velocidade da máquina primária MP para valores abaixo de 1.0pu pode ocorrer por alguns segundos devido à regulação da MP e isso pode propiciar a perda da autoexcitação. Este fato será mais bem analisado no Capítulo 4.
As análises desenvolvidas anteriormente e propostas neste trabalho, mostram que a 푆 e suas curvas de nível podem ser utilizadas com bastante precisão no projeto do SEIG. Para a
r (pu)
FP
0.572230.63865
1.7014
1.6351.
3693
0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
A
B
r opr maxr opr min
48
obtenção da 푆 é necessário conhecer os parâmetros do GI em estudo e aplicar o algoritmo do fluxograma apresentado no Capítulo 2.
Quando o SEIG encontra-se em operação, os parâmetros do GI tais como as resistências de estator e rotor alteram-se devido ao aumento da temperatura. A seção 3.2.2 mostra o que ocorre com a 푆 devido às variações de tais parâmetros.
3.2.2 Efeito da Variação das Resistências de Estator e Rotor nas Superfícies de Projeto
As resistências de estator e rotor aumentam ou diminuem em função da temperatura da máquina de indução (Chapman, 2005; Seyoum, 2003). O valor da resistência de estator ou rotor pode ser corrigido através da equação
푅 = 푅 .푘 (3.3)
apresentada na NBR 5383-1-2002. Nesta equação, 푅 é a resistência corrigida, 푅 é a resistência inicial a ser corrigida e o termo 푘′ é o resultado do quociente obtido de
푘 = (푡 + 푘 )/(푡 + 푘 ) , (3.4)
onde 푡 e 푡 são respectivamente as temperaturas inicial e final para a resistência a ser corrigida e 푘 = 234.5 (constante para o cobre eletrolítico com 100% de condutividade).
Para máquinas de indução de classe F, por exemplo, a temperatura máxima pode chegar a 155C em condições de sobrecarga. Considerando uma temperatura inicial 푡 = 25°퐶 e uma temperatura 푡 = 155°퐶, o fator multiplicativo 푘 vale 1.501. Logo para uma condição máxima de temperatura, tanto a resistência de rotor quanto a resistência de estator podem aumentar cerca de 50%. A Figura 3.16 mostra as duas superfícies 푆 formadas a partir dos dois valores de temperatura mencionados anteriormente.
É possível observar na Figura 3.16 que quando a temperatura aumenta, a superfície de projeto tende a subir no sentido do eixo “Z”, aumentando os valores de 푃푅퐴퐸 para todas as condições de operação do gerador. A figura mostra que existe uma diferença de 0.03pu entre as PRAEs obtidas das superfícies (para 휔 = 0.9 e 퐹푃 = 1.0). Embora tal variação seja significativa sob o ponto de vista da PRAE, em condições nominais o gerador opera com uma temperatura de 80°퐶 e para este caso as superfícies 푆 obtidas a partir da temperatura de 25°퐶 e 80°퐶 são praticamente iguais, não comprometendo as curvas de nível de 푆 obtidas a
49
partir de uma temperatura à 25°퐶. Isso mostra que as variações de resistência de estator e rotor devido ao aumento da temperatura não influenciam na autoexcitação do SEIG em torno da RO.
Figura 3.16: Superfícies de projeto para diferentes valores de temperatura de operação do GI.
3.2.3 Influência da Variação de 푳풎ퟎ nas Superfícies de Projeto
Na seção 2.2 do Capítulo 2, a Figura 2.3 mostra a influência que a variação da indutância de magnetização causa na localização das raízes do polinômio P(s) da equação (2.22). Na seção 2.5, a Figura 2.8 mostra que quando a indutância de magnetização 퐿 apresenta um valor muito pequeno, qualquer valor de 휔 ou de PRAE inserido no SEIG é incapaz de fazer com que a parte real da raiz 1 de P(s) atinja o lado direito do plano complexo, o que deixa o equilíbrio 퐼 = 0 instável e propicia a autoexcitação.
A Figura 3.17 mostra para o gerador em estudo, o que ocorre com a superfície 푆 se o valor de 퐿 fosse maior ou menor. O aumento de 0.2pu (0.04H) em 퐿 dá origem à superfície 푆 e a diminuição de 0.2pu em 퐿 origina a superfície 푆 .
Pode-se observar que ao contrário das variações das resistências de estator e rotor analisadas na seção 3.2.2, a variação de 퐿 altera significativamente o valor da PRAE necessária para que ocorra a condição de existência de autoexcitação no gerador de indução. Logo, quanto maior 퐿 menor será a PRAE necessária para propiciar a autoexcitação em todas as condições operativas do gerador.
Neste ponto é importante enfatizar que embora a indutância de magnetização dependa do fluxo magnético do entreferro da máquina e da corrente de magnetização sob o ponto de vista dinâmico, o que será verificado no próximo capítulo, o seu valor inicial 퐿 é um parâmetro que depende dos aspectos construtivos do gerador, logo o valor da PRAE, de 퐿 ,
0.850.9
0.951
1.051.1
1.15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.5
1
1.5
2
FP
X: 0.9Y: 1Z: 0.65
X: 0.9Y: 1Z: 0.62
r (pu)
PR
AE
(pu)
Sp a 155oC
Sp a 25oC
50
da carga e do seu FP, definem se o estado 퐼 = 0 é ou não instável e por consequência se existe ou não a condição de existência de autoexcitação.
Figura 3.17: Variação da 푆 em função do aumento ou da diminuição de 퐿 .
3.3 Conclusões
Neste capítulo a definição de uma região operativa definida pelos limites mínimos e máximos de velocidade mecânica e pela potência máxima da carga conectada ao gerador, propiciou a análise da autoexcitação em torno das condições que um SEIG opera do ponto de vista prático. A definição da região operativa possibilita que a análise da autoexcitação do SEIG seja realizada de forma mais prática e em torno das condições de operação do gerador, permitindo que uma PRAE seja mais facilmente obtida. Desta análise é possível verificar que se a PRAE for dimensionada para a menor velocidade operativa e para a maior carga com o menor FP, tal PRAE propicia a autoexcitação para todas as demais condições de carga, FP e velocidade mecânica contidas na região operativa do gerador.
A PRAE calculada para esta condição faz também com que o valor da frequência elétrica da tensão gerada situe-se dentro da região operativa e se o gerador operar com uma velocidade acima de 1.0pu e abaixo de 1.1pu, a frequência elétrica da tensão gerada fica próxima a 1.0pu com variações menores que 3% para qualquer condição de carga e FP.
As variações das resistências de estator e rotor devido às variações de temperatura, não influenciam nas condições de existência da autoexcitação em torno da região operativa e, portanto, tais variações de resistência não precisam ser levadas em consideração no projeto do SEIG.
Ao contrário das variações de resistência mencionadas anteriormente, o valor de 퐿 é
0.850.9
0.951
1.051.1
1.15
00.2
0.40.6
0.81
0
0.5
1
1.5
2
FP
X: 0.9Y: 1Z: 0.54
X: 0.9Y: 1Z: 0.75
r (pu)
PR
AE
(pu)
Sp
SLm -
SLm +
51
o parâmetro que mais influencia no dimensionamento da PRAE, logo seu valor é fundamental para a definição de uma PRAE que propicie a autoexcitação em toda região operativa e para todas as condições de carga e FP. Como cada máquina apresenta um determinado valor de 퐿 , pois este depende dos aspectos construtivos, é possível verificar que para duas máquinas de mesma potência, a que apresenta um 퐿 maior necessita de menos PRAE para promover sua autoexcitação.
A condição de existência da autoexcitação em torno da região operativa pode ser apresentada também em gráficos na forma de superfícies e cujas alturas retornam diretamente o valor da PRAE necessária para se obter autoexcitação com determinada condição de carga e FP. Tais superfícies podem gerar curvas de nível que possibilitam o dimensionamento da PRAE necessária para promover a autoexcitação para todas as condições dentro da região operativa.
Os conceitos propostos neste capítulo auxiliam na definição de uma PRAE que garanta autoexcitação em torno da região operativa do gerador de indução para qualquer carga e FP e tais conceitos auxiliam, portanto, no dimensionamento do SEIG.
52
53
Capítulo 4
Dinâmica do Processo de Autoexcitação do SEIG
O modelo matemático do SEIG mostrado no Capítulo 2 foi apresentado de tal forma a permitir a visualização do que ocorre com as raízes do polinômio característico da matriz impedância do sistema e permitir, portanto, que as regiões de existência de autoexcitação fossem visualizadas. No Capítulo 3, a definição de uma região operativa em torno das condições nominais de operação do GI, permitiu que fossem obtidas superfícies e curvas de nível que auxiliam no dimensionamento do SEIG. Neste capítulo é apresentado o modelo dinâmico do SEIG, cujas simulações são realizadas de modo a verificar se a PRAE obtida dos procedimentos de projeto apresentados no Capítulo 3, de fato propiciam a autoexcitação.
Na seção 4.1 é apresentado o modelo do SEIG usualmente utilizado para simulações dinâmicas. Em seguida, na seção 4.2, a dinâmica da indutância de magnetização é inserida no modelo, o que o torna mais completo sob o ponto de vista real. Na seção 4.3 são realizadas simulações que permitem validar os procedimentos de projeto apresentados no Capítulo 3, verificar as diferentes formas de disparo da autoexcitação e o efeito que a curva de saturação provoca na mesma. Além disso, nesta seção também é apresentada a condição de manutenção da autoexcitação e uma análise da frequência elétrica da tensão gerada. Finalmente a seção 4.4 apresenta as conclusões do capítulo.
4.1 Modelo Matemático do SEIG para Simulações Dinâmicas
Para simulações dinâmicas, é interessante escrever o modelo do gerador na forma de variáveis de estado. De uma forma geral, o modelo do gerador de indução pode ser apresentado por diferentes variáveis de estado, como por exemplo, corrente de eixo direto e quadratura, corrente de magnetização e fluxo ou somente fluxo (Levi, 1995). Neste capítulo, o modelo será reapresentado com correntes de eixo direto e quadratura como variáveis de estado e todas as considerações sobre o modelo já mencionadas no Capítulo 2 continuam
54
sendo válidas.
O modelo dinâmico do gerador de indução tendo os fluxos magnéticos como variáveis de estado foi apresentado no Capítulo 2 nas equações (2.2) a (2.5). Após algumas manipulações, estas equações foram reescritas na forma matricial apresentada na equação (2.12), onde as correntes aparecem como variáveis de estado. Embora as equações mencionadas anteriormente representem o modelo do gerador de indução, algumas adequações nestas equações devem ser realizadas a fim de permitir a simulação do processo de autoexcitação do SEIG.
Por questões de comodidade, as equações dos fluxos magnéticos e do modelo do gerador apresentado no Capítulo 2 são novamente apresentadas nas equações (4.1) e (4.2) a (4.5), porém agora expresso com todas as variáveis e parâmetros em pu (por unidade) com tensão, potência e frequência base dadas por 푉 , 푃 e 휔 respectivamente.
⎩⎨
⎧휆 = 퐿 푖 + 퐿 푖휆 = 퐿 푖 + 퐿 푖
휆 = 퐿 푖 + 퐿 푖 + 휆휆 = 퐿 푖 + 퐿 푖 + 휆
(4.1)
−푉 + 푅 푖 +
휆휔
= 0
−푉 + 푅 푖 +1휔
(푠퐿 푖 + 푠퐿 푖 ) = 0 (4.2)
−푉 − 푅 푖 − −휔 휆 +
휆휔
= 0
−푉 + 푅 푖 +휔 퐿 푖 + 퐿 푖 + 휆 +1휔
(푠퐿 푖 + 푠퐿 푖 ) = 0
−푉 + 푅 푖 + 휔 퐿 푖 + 휔 퐿 푖 + 휔 휆 +1휔
(푠퐿 푖 + 푠퐿 푖 ) = 0 (4.3)
−푉 + 푅 푖 +
휆휔
= 0
−푉 + 푅 푖 +1휔
(푠퐿 푖 + 푠퐿 푖 ) = 0 (4.4)
−푉 + 푅 푖 − 휔 휆 +
휆휔
= 0
55
−푉 + 푅 푖 − 휔 퐿 푖 + 퐿 푖 + 휆 + 1휔
(푠퐿 푖 + 푠퐿 푖 ) = 0
−푉 + 푅 푖 − 휔 퐿 푖 − 휔 퐿 푖 −휔 휆 +1휔
(푠퐿 푖 + 푠퐿 푖 ) = 0 (4.5)
Considerando que as tensões de rotor são nulas e que os termos 휔 휆 e 휔 휆 tratam-se das tensões residuais definidas no Capítulo 2, o modelo pode ser escrito na forma matricial
−푉 + 퐴퐼 + 퐵퐼 = 0 (4.6)
onde
푉 =
⎣⎢⎢⎡
푉푉
−푉 푉 ⎦
⎥⎥⎤
, 퐴 =
푅 0 0 00 푅 0 00 휔 퐿 푅 휔 퐿
−휔 퐿 0 휔 퐿 푅
, 퐼 =
⎣⎢⎢⎡푖푖푖푖 ⎦⎥⎥⎤, 퐼 =
⎣⎢⎢⎡횤 횤 횤 횤 ⎦⎥⎥⎤
퐵 =1휔
퐿 0 퐿 00 퐿 0 퐿퐿 0 퐿 00 퐿 0 퐿
.
Isolando o vetor 퐼 da equação (4.6), esta pode ser reescrita na forma
퐼 = − 퐵 (퐴퐼) + 퐵 푉 . (4.7)
A inversa da matriz B resulta em
1퐿
−퐿 0 퐿 00 −퐿 0 퐿퐿 0 −퐿 00 퐿 0 −퐿
onde 퐿 = 퐿 − 퐿 퐿 .
Desenvolvendo a equação 4.7, o modelo do gerador de indução resulta nas equações de estado (4.8) a (4.11).
56
횤 =
1퐿휔
( 퐿 푅 푖 − 퐿 휔 푖 − 퐿 푅 푖 − 퐿 퐿 휔 푖 − 푉 퐿 + 퐿 푉 ) (4.8)
횤 =
1퐿휔
( 퐿 휔 푖 + 퐿 푅 푖 + 퐿 퐿 휔 푖 − 퐿 푅 푖 + 푉 퐿 + 퐿 푉 ) (4.9)
횤 =
1퐿휔
( −퐿 푅 푖 + 퐿 퐿 휔 푖 + 퐿 푅 푖 + 퐿 퐿 휔 푖 + 푉 퐿 − 퐿 푉 ) (4.10)
횤 =
1퐿휔
( −퐿 퐿 휔 푖 − 퐿 푅 푖 − 퐿 퐿 휔 푖 + 퐿 푅 푖 − 푉 퐿 − 퐿 푉 ) (4.11)
As equações (4.8) a (4.11) juntamente com as equações que envolvem a carga e a PRAE (ainda não apresentadas), completam o modelo dinâmico do gerador de indução. Se neste modelo a indutância de magnetização for considerada constante, o processo de autoexcitação nunca chega a estabilizar-se em torno de um ponto de equilíbrio. A Figura 4.1 mostra o resultado da simulação para o caso onde a indutância de magnetização é considerada constante e, portanto, a amplitude da tensão gerada aumenta indefinidamente ao longo do tempo.
Figura 4.1: Autoexcitação do SEIG com 퐿 constante.
No Capítulo 3 foi verificado que a indutância de magnetização 퐿 e as demais condições de velocidade, carga e FP e PRAE, definem a condição de existência de autoexcitação. Como mencionado naquele capítulo, 퐿 depende dos parâmetros construtivos da máquina, mas do ponto de vista dinâmico o valor da indutância de magnetização varia em função da corrente de magnetização e do fluxo magnético. Logo, a indutância de
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
t(s)
Tens
ão d
e ei
xo d
ireto
Vds
(pu)
Tensão Vds
Valor RMS
57
magnetização deve ser encarada como uma função da corrente de magnetização no modelo dinâmico do SEIG.
Como pode ser observado na Figura 2.2, as correntes 푖 e 푖 que representam as correntes de magnetização de eixo direto e em quadratura, circulam pela indutância de magnetização 퐿 . Tais correntes são obtidas através da soma vetorial das correntes de eixo direto e quadratura de estator e rotor na forma
푖 = 푖 + 푖 (4.12)
푖 = 푖 + 푖 . (4.13)
A corrente de magnetização é então obtida como
푖 = 푖 + 푖 . (4.14)
A Figura 4.2 mostra a curva da indutância de magnetização em função da corrente de magnetização obtida experimentalmente para o SEIG em estudo neste trabalho. Esta curva foi obtida através do ensaio do gerador de indução a vazio e à velocidade síncrona. Maiores detalhes sobre o ensaio e sobre a metodologia utilizada para a realização do mesmo são apresentados no Apêndice A.
Figura 4.2: Comportamento não linear da indutância de magnetização em função da corrente de magnetização para o gerador em estudo neste trabalho.
0 2 4 6 8 10 12 140.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
Corrente de Magnetização im(A)
L m(H
)
Dados Experimentais
Polinômio 4a OrdemDados Experimentais
Polinômio 3a Ordem
Extrapolação Pol. 4a Ordem
58
A representação de 퐿 (푖 ) pode ser obtida por uma aproximação polinomial dos dados experimentais levantados. A aproximação desta função por polinômios é bastante utilizada na literatura e pode ser verificada em Bodson and Kiselychnyk (2012) e Idjdarene et al. (2010). A aproximação foi realizada em dois trechos, resultando nos polinômios (a) e (b) definidos por
0 < 푖 ≤ 2,65퐴 ⇒ 퐿 (푖 ) = −0.0001푖 + 0.002푖 − 0.0190푖 + 0.0555 푖 + 0.1656 (푎)
2,65 < 푖 ≤ 13,5퐴 ⇒ 퐿 (푖 ) = 0.00004351푖 − 0.00020814푖 − 0.01762푖 + 0.2592 (푏) (4.15)
O primeiro trecho dos dados experimentais resulta em um polinômio de 4ª ordem e o segundo trecho em um polinômio de 3ª ordem. Na Figura 4.2 pode-se observar que esta aproximação polinomial é bem representativa dos dados experimentais.
Se 푖 = 0A no polinômio (a), 퐿 = 0.1656퐻, logo o valor da indutância de magnetização inicial vale 퐿 = 0.1656퐻. O comportamento da indutância de magnetização frente a corrente de magnetização influencia diretamente na saturação da tensão gerada. É possível observar que 푖 = 0A corresponde ao equilíbrio 퐼 = 0 analisado na seção 2.2.1, logo 퐿 é o valor da indutância que possibilita e influencia nas condições de existência de autoexcitação.
Embora o conjunto de equações (4.8) a (4.15) juntamente com as equações da carga e da PRAE sejam largamente utilizadas nas simulações dinâmicas do SEIG, como apresentado, por exemplo, em Idjdarene et al. (2010), Seyoum (2003), Kumar and Kishore (2006) e vários outros trabalhos, a dinâmica da indutância de magnetização não é levada em consideração neste caso. Uma melhor aproximação do modelo é obtida quando esta dinâmica é considerada (Bodson and Kiselychnyk, 2010b) e isso será apresentado na seção 4.2.
4.2 Modelo Matemático do SEIG Considerando a Dinâmica da Indutância de Magnetização
Quando a dinâmica da indutância de magnetização é levada em consideração no modelo do SEIG, obtém-se uma melhor proximidade entre o resultado de simulações e dos dados experimentais, principalmente na forma da exponencial crescente ou decrescente resultante do processo de autoexcitação ou perda da mesma (Bodson and Kiselychnyk, 2010b). A inserção da dinâmica da indutância no modelo do SEIG foi apresentada por Bodson and Kiselychnyk (2010b) e o equacionamento é apresentado a seguir.
A indutância instantânea de magnetização é definida por
59
퐿 = 휆 /푖 (4.16)
onde 휆 é o fluxo magnético no entreferro e corresponde à soma dos fluxos de estator e rotor.
A dinâmica da indutância de magnetização pode ser obtida através da derivada de 퐿 com relação a corrente de magnetização
푑퐿푑푖
=푑(휆 /푖 )
푑푖=푑휆푑푖
1푖
+ 휆푑(1/푖 )푑푖
=푑휆푑푖
1푖
− 휆1푖
. (4.17)
Organizando os termos da equação (4.17) a mesma pode ser reescrita na forma
푑퐿푑푖
=푑휆푑푖
1푖
−휆푖
1푖
. (4.18)
Na equação (4.18) o termo 휆 /푖 é igual a 퐿 , logo esta equação pode ser apresentada na forma
푑퐿푑푖
=퐿푖
−퐿푖
(4.19)
onde 퐿 = 푑휆 /푑푖 (Bodson and Kiselychnyk, 2010b).
A equação (4.19) mostra a derivada da indutância de magnetização em função da corrente de magnetização. É possível escrever 퐿 em termos de suas derivadas temporais obtendo-se primeiramente a derivada da corrente de magnetização no tempo dada pela equação (4.14) (Bodson and Kiselychnyk, 2010b). Desta forma, a derivada da amplitude da corrente de magnetização no tempo torna-se
푑푖푑푡
=1
2 푖 + 푖(2푖
푑푖푑푡
+ 2푖푑푖푑푡
) (4.20)
e que pode ser simplificada, pois 푖 = 푖 + 푖 resultando em
60
푑푖푑푡
=1푖
(푖푑푖푑푡
+ 푖푑푖푑푡
) . (4.21)
Substituindo a equação (4.21) em (4.19) é possível escrever a indutância de magnetização em função de derivadas temporais e resulta em
푑퐿푑푡
=푑퐿푑푖
푑푖푑푡
=퐿 − 퐿푖
1푖
(푖푑푖푑푡
+ 푖푑푖푑푡
)
푑퐿푑푡
=푑퐿푑푖
푑푖푑푡
=퐿 − 퐿푖
(푖푑푖푑푡
+ 푖푑푖푑푡
). (4.22)
Lembrando que 퐿 = 퐿 + 퐿 e 퐿 = 퐿 + 퐿 as equações de fluxo (2.1) apresentadas no Capítulo 2, podem ser reescritas na forma
⎩⎪⎨
⎪⎧ 휆 = 퐿 푖 + 퐿 (푖 + 푖 )
휆 = 퐿 푖 + 퐿 (푖 + 푖 )휆 = 퐿 푖 + 퐿 (푖 + 푖 ) + 휆휆 = 퐿 푖 + 퐿 푖 + 푖 + 휆 .
(4.23)
Substituindo as equações (4.12) e (4.13) em (4.23), as equações de fluxo resultam em
⎩⎨
⎧휆 = 퐿 푖 + 퐿 푖휆 = 퐿 푖 + 퐿 푖
휆 = 퐿 푖 + 퐿 푖 + 휆휆 = 퐿 푖 + 퐿 푖 + 휆 .
(4.24)
Com o auxílio das equações (4.24), as equações do modelo apresentadas pelas equações (4.1) a (4.5) podem ser escritas levando em consideração a derivada temporal da indutância de magnetização (Bodson and Kiselychnyk, 2010b). Os passos de cálculo podem ser verificados nas equações (4.25) a (4.28).
−푉 + 푅 푖 +휆휔
= 0
61
−푉 + 푅 푖 +1휔
푑푑푡
(퐿 푖 + 퐿 푖 ) = 0
−푉 + 푅 푖 +1휔
퐿 횤 +1휔
퐿 횤 +1휔
푑퐿푑푡
푖 = 0 (4.25)
−푉 − 푅 푖 − −휔 휆 +휆휔
= 0
−푉 − 푅 푖 +휔 퐿 푖 + 퐿 푖 + 휆 +1휔
푑푑푡
(퐿 푖 + 퐿 (푖 ) + 휆 ) = 0
−푉 + 푅 푖 + 휔 퐿 푖 +휔 퐿 푖 +휔 휆 +
1휔
퐿 횤 +1휔
퐿 횤 +
+ 1휔
푖푑퐿푑푡
= 0 (4.26)
−푉 + 푅 푖 +휆휔
= 0
−푉 + 푅 푖 +1휔
푑푑푡
(퐿 푖 + 퐿 푖 ) = 0
−푉 + 푅 푖 +1휔
퐿 횤 +1휔
퐿 횤 +1휔
푖푑퐿푑푡
= 0 (4.27)
−푉 + 푅 푖 − 휔 휆 +휆휔
= 0
−푉 + 푅 푖 − 휔 퐿 푖 + 퐿 푖 + 휆 + 1휔
푑푑푡
(퐿 푖 + 퐿 푖 + 휆 ) = 0
−푉 + 푅 푖 − 휔 퐿 푖 − 휔 퐿 푖 –휔 휆 +
1휔
퐿 횤 +1휔
퐿 횤 +
+1휔
푖푑퐿푑푡
= 0 (4.28)
A equação (4.22) apresenta dois termos de corrente em função de derivadas temporais. Como 푖 = 푖 + 푖 e 푖 = 푖 + 푖 , a derivada de tais variáveis podem ser substituídas por
횤 = 횤 + 횤 (4.29)
횤 = 횤 + 횤 (4.30)
62
e resultam em
푑퐿푑푡
=퐿 − 퐿푖
푖 (횤 + 횤 ) + 푖 횤 + 횤 . (4.31)
Nas equações (4.25) a (4.28), o termo 푑퐿 /푑푡 pode ser substituído pela equação (4.31) e com o auxílio das equações (4.12), (4.13), (4.29) e (4.30) o modelo do SEIG com a dinâmica da indutância de magnetização resulta nas equações
푉 + 푅 푖 +1휔
퐿 횤 +1휔
퐿 횤 +1휔
푑퐿푑푡
푖 = 0
푉 = −
1휔
(퐿 + 퐿 + 푖퐿 − 퐿푖
)횤 −1휔
(퐿 + 푖퐿 − 퐿푖
)횤 −
−1휔
푖 푖퐿 − 퐿푖
횤 −1휔
푖 푖퐿 − 퐿푖
횤 − 푅 푖 (4.32)
푉 = −푅 푖 − 휔 퐿 푖 − 휔 퐿 푖 − 휔 휆 −
1휔
퐿 횤 −1휔
퐿 횤 −
− 1휔
푖푑퐿푑푡
= 0
푉 = − 1휔
(퐿 + 푖퐿 − 퐿푖
)횤 − 1휔
퐿 + 퐿 + 푖퐿 − 퐿푖
+ 횤
− 1휔
푖 푖퐿 − 퐿푖
횤 − 1휔
푖 푖퐿 − 퐿푖
횤 −푅 푖 − 휔 퐿 푖
− 휔 푖 (퐿 + 퐿 ) − 휔 휆
(4.33)
푉 = −푅 푖 −1휔
퐿 횤 −1휔
퐿 횤 −1휔
푖푑퐿푑푡
푉 = −
1휔
푖 푖퐿 − 퐿푖
횤 −1휔
푖 푖퐿 − 퐿푖
횤 −
−1휔
(퐿 + 퐿 + 푖퐿 − 퐿푖
)횤 −1휔
(퐿 + 푖퐿 − 퐿푖
)횤 − 푅 푖 (4.34)
63
푉 = −푅 푖 +휔 퐿 푖 + 휔 퐿 푖 +휔 휆 −
1휔
퐿 횤 −1휔
퐿 횤
−1휔
푖푑퐿푑푡
푉 = −1휔
푖 푖퐿 − 퐿푖
횤 −1휔
푖 푖퐿 − 퐿푖
횤 −1휔
퐿 + 푖퐿 − 퐿푖
횤
−1휔
퐿 + 퐿 + 푖퐿 − 퐿푖
횤 + 푖퐿 푖 + 휔 (퐿 + 퐿 )푖
− 푅 푖 +휔 휆
(4.35)
Chamando 퐿 = 퐿 + 푖 , 퐿 = 퐿 + 푖 , 퐿 = 푖 푖 e
휔 = , as equações (4.32) a (4.35) resultam em um sistema de equações não lineares que
podem ser escritas na forma matricial,
푉 = 퐵퐼 + 퐴퐼 + 퐶 (4.36)
onde
퐵 =
−휔 (퐿 + 퐿 ) −휔 퐿 −휔 퐿 −휔 퐿−휔 퐿 −휔 (퐿 + 퐿 ) −휔 퐿 −휔 퐿−휔 퐿 −휔 퐿 −휔 (퐿 + 퐿 ) −휔 퐿−휔 퐿 −휔 퐿 −휔 퐿 −휔 (퐿 + 퐿
,
퐼 =
⎣⎢⎢⎡푖푖푖푖 ⎦⎥⎥⎤, 퐼 =
⎣⎢⎢⎡횤 횤 횤 횤 ⎦⎥⎥⎤ ,푉 =
⎣⎢⎢⎡푉푉푉푉 ⎦
⎥⎥⎤,
퐴 =
−푅 0 0 00 −푅 −휔 퐿 −휔 (퐿 + 퐿 )0 0 −푅 0
휔 퐿 휔 (퐿 + 퐿 ) 0 −푅
,퐶 =
0−휔 휆
0휔 휆
.
A equação (4.36) pode ser escrita na forma de variáveis de estado,
퐼 = 퐵 푉 − 퐵 퐴퐼 − 퐵 퐶 (4.37)
e resulta no modelo final do gerador de indução contendo o modelo dinâmico da indutância de magnetização.
64
4.2.1 Dinâmica da Indutância de Magnetização e Ajuste de Curvas
Os polinômios apresentados na equação (4.15) representam os valores da indutância de magnetização em função da corrente de magnetização. A dinâmica da indutância de magnetização apresentada na equação (4.19) é reapresentada novamente na equação (4.38).
푑퐿푑푖
=퐿푖
−퐿푖
⇒푑퐿푑푖
=푑휆푚/푑푖푚
푖−퐿푖
(4.38)
Como 휆 = 퐿 푖 , o termo 퐿 é o resultado obtido da derivada da indutância de magnetização multiplicada pela corrente de magnetização 푖 . Como 퐿 é definida por dois polinômios, o mesmo acontecerá com 퐿 . A partir da equação (4.15) chega-se aos polinômios (푎) e (푏) .
0 < 푖 ≤ 2,65퐴 ⇒ 퐿 (푖 ) = −0.0005푖 + 0.008푖 − 0.0570푖 + 0.111 푖 + 0.1656 (푎)
2,65 < 푖 ≤ 13,5퐴 ⇒ 퐿 (푖 ) = 0.00001741푖 − 0.0006244푖 − 0.03524푖 + 0.2592 (푏) (4.39)
A Figura 4.3 mostra a curva de 퐿 (푖 ) na cor preta e a sua derivada na cor azul. Embora a aproximação polinomial de 퐿 seja contínua, a mesma não é diferenciável no ponto de contato dos dois polinômios, o que causa a descontinuidade visível na curva da derivada de 퐿 .
Figura 4.3: Descontinuidade da derivada da função de 퐿 (푖 ).
0 2 4 6 8 10 12
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Corrente de Magnetização im(A)
L m e
sua
der
ivad
a (H
)
Descontinuidade
65
Para eliminar tal descontinuidade sem modificar significativamente a aproximação polinomial já obtida, é proposto neste trabalho um terceiro polinômio que visa suavizar a curva de 퐿 em uma vizinhança do ponto de descontinuidade da derivada de 퐿 . Este polinômio deve garantir a continuidade tanto de 퐿 quanto de 퐿 , eliminando a descontinuidade existente na transição do polinômio (a) para o polinômio (b) em 퐿 .
Sejam 푖 e 푖 duas correntes de magnetização distintas e próximas do ponto de descontinuidade 푖 = 2.65퐴, tais que 푖 ≤ 2.65 ≤ 푖 . Um polinômio de terceira ordem na forma
푃(푖 ) = 훼0 + 훼1푖 + 훼2푖 + 훼3푖 (4.40)
pode ser obtido através da solução do sistema de equações apresentado na equação
⎣⎢⎢⎢⎡1 푖 푖 푖1 푖 푖 푖0 1 2푖 3푖0 1 2푖 3푖 ⎦
⎥⎥⎥⎤ 훼훼훼훼
=
⎣⎢⎢⎡푝 (푖 )푝 (푖 )푝 (푖 )푝 (푖 )⎦
⎥⎥⎤. (4.41)
A obtenção de um melhor ajuste do polinômio de terceira ordem pode ser mais bem alcançada se for considerado um intervalo maior entre os valores de 푖 e 푖 para a transição entre os polinômios (a) e (b). Para esta aproximação foi considerado 푖 = 2.58퐴 e 푖 =3.05퐴.
Na equação (4.41), 푝 (푖 ), 푝 (푖 ), 푝 (푖 ) e 푝 (푖 ), são os valores de 퐿 e da sua derivada para os respectivos polinômios (a) e (b) nos pontos de corrente mencionados anteriormente.
A solução da equação (4.41) resulta no polinômio (c).
푃(푖 ) = 0.007903푖 − 0.076060푖 + 0.225420푖 + 0.001200 (c) (4.42)
Este polinômio garante a continuidade de 퐿 e de sua derivada nos pontos 푖 e 푖 , os quais dividem a aproximação polinominal de 퐿 agora em três trechos.
Na Figura 4.4 é possível observar as curvas de 퐿 (curva de cor preta) e de 퐿 (curva de cor azul) com o ajuste do polinômio apresentado na equação (4.42) e que aparece na cor vermelha.
66
Figura 4.4: Aproximação continuamente diferenciável e divergência dos polinômios 푏 e 푏.
A indutância de magnetização satura para valores de 30 a 40% da corrente nominal do gerador (Seyoum, 2003) e para valores elevados de 푖 os valores de 퐿 e de 퐿 tendem a zero. O gráfico da Figura 4.4 mostra que os polinômios 푏 e 푏 não representam esta característica e divergem a partir de um determinado valor de corrente de magnetização. A fim de fazer com que 퐿 e 퐿 aproximem-se de zero quando a corrente de magnetização for elevada, uma nova aproximação das curvas é proposta com a utilização de exponenciais. Os pontos 푃 , 푃 , 푃 e 푃 mostrados no gráfico da Figura 4.4, podem ser utilizados para fazer esta aproximação que pode ser obtida da equação (4.43).
퐿 (푖 ) = 훽푒 (4.43)
onde 훾 = [log 푃 (푖 ) − log 푃 (푖 ) ]/(푃 − 푃 ), 훽 = 푃 (푖 )/푒 e os valores 푃 , 푃 , 푃 , 푃 são os respectivos valores de corrente de magnetização e 푃 (푖 ) e 푃 (푖 ) são os respectivos valores de 퐿 ou 퐿 para o ponto de corrente em questão.
Como resultados, as funções 퐿 e 퐿 são aproximadas por quatro trechos, de acordo com cada intervalo da corrente de magnetização, na forma:
Para 0 < 푖 ≤ 2,58퐴 ⇒ 퐿 (푖 ) ⇒ (푎) e 퐿 (푖 ) ⇒ (푎).
퐿 (푖 ) = −0.0001푖 + 0.002푖 − 0.0190푖 + 0.0555 푖 + 0.1656 (푎)
퐿 (푖 ) = −0.0005푖 + 0.008푖 − 0.0570푖 + 0.1110 푖 + 0.1656 (푎) (4.44)
0 5 10 15
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Corrente de Magnetização im(A)
L m e
L L
(H)
Divergênciados polinômios
P22P21
P12P11
67
Para 2,58 < 푖 ≤ 3.05퐴 ⇒ 퐿 (푖 ) ⇒ (푐) e 퐿 (푖 ) ⇒ (푐).
퐿 (푖 ) = 0.007903푖 − 0.07606푖 + 0.22542 푖 + 0.0012 (푐)
퐿 (푖 ) = 0.031612푖 − 0.22818푖 + 0.45084 푖 + 0.0012 (푐) (4.45)
Para 3,05 < i ≤ 10.0A ⇒ L (i ) ⇒ (b) e para 3,05 < i ≤ 9.50A L (i ) ⇒ (b).
퐿 (푖 ) = 0.0000435푖 − 0.000208푖 − 0.01762푖 + 0.2592 (푏)
퐿 (푖 ) = 0.000174푖 − 0.000624푖 − 0.03524푖 + 0.2592 (푏) (4.46)
Para 푖 > 10,0퐴 ⇒ 퐿 (푖 ) ⇒ (푑) e para 푖 > 9.5퐴 퐿 (푖 ) ⇒ (푒).
퐿 (푖 ) = 0.1937푒 . (푑)
퐿 (푖 ) = 0.0240푒 . (푒) (4.47)
A Figura 4.5 mostra as curvas de 퐿 e 퐿 para toda a faixa de existência de 푖 . As curvas de cor verde representam as aproximações exponenciais definidas pelas nomenclaturas (d) e (e).
Figura 4.5: Curvas de 퐿 e 퐿 para toda a faixa de 푖 .
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Corrente de Magnetização im(A)
L m e
L L
(H)
68
4.3 Simulação do SEIG
As equações (4.7) e (4.37) definem o modelo dinâmico do GI respectivamente sem e com a dinâmica da indutância de magnetização. O modelo completo do SEIG é finalizado com a apresentação das equações da carga e da PRAE, apresentadas anteriormente no Capítulo 2, mas agora na forma
푑푉푑푡
= 푌 (푖 − 푉 푌 − 퐼 ) (4.48)
푑푉푑푡
= 푌 (푖 − 푉 푌 − 퐼 ) (4.49)
onde 퐼 = 푌 ∫푉 e 퐼 = 푌 ∫푉 .
A implementação do modelo dinâmico e as simulações foram realizadas no ambiente SIMULINK do MATLAB. As Figuras 4.6 e 4.7 mostram respectivamente as simulações para os modelos com e sem a dinâmica da indutância de magnetização.
Figura 4.6: Simulação do SEIG sem a dinâmica de 퐿 .
Pode-se observar que a envoltória da tensão gerada difere consideravelmente entre os dois modelos e pode ser mais bem visualizada através dos valores RMS para os dois modelos, ambos plotados no mesmo gráfico da Figura 4.7. Nota-se que no modelo sem a dinâmica de 퐿 , o regime permanente é atingido em um tempo maior que no modelo que considera a dinâmica de 퐿 . Como este último modelo é mais completo, é provável que o mesmo
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
t(s)
Tens
ão d
e ei
xo d
ireto
Vds
(pu)
Tensão Vds
Valor RMS
69
represente melhor o comportamento real do SEIG e será, portanto, utilizado deste ponto em diante.
Figura 4.7: Simulação do SEIG considerando a dinâmica de 퐿 .
4.3.1 Disparo da Autoexcitação e Amplitude da Tensão Gerada
Foi verificado nas seções 2.2 a 2.4, que se o equilíbrio 퐼 = 0 for instável devido aos próprios parâmetros internos do gerador e às condições de carga, PRAE e velocidade mecânica, a autoexcitação ocorre se existirem condições iniciais de magnetismo residual no rotor ou tensão inicial nos capacitores de autoexcitação definidas no vetor de condições iniciais 푉 .
A Figura 4.8 (a) mostra o disparo da autoexcitação através da existência de magnetismo residual no rotor do gerador (autoexcitação espontânea) e o gráfico da Figura 4.8 (b) o disparo com uma tensão inicial nos capacitores de autoexcitação (autoexcitação forçada).
Embora a autoexcitação ocorra quando existe magnetismo residual no rotor, a estabilização da tensão é alcançada em um tempo maior se comparada ao caso onde existe uma tensão inicial 푉 no capacitor de autoexcitação. Para o caso da Figura 4.8 (b), a tensão inicial no capacitor de autoexcitação aplicada equivale a 0.66pu e se a mesma for aumentada, a autoexcitação irá ocorrer em um tempo menor. Tal fato ocorre, pois a corrente de magnetização aumenta imediatamente quando existe uma tensão inicial nos capacitores de autoexcitação, o que por consequência aumenta o fluxo magnético no entreferro do gerador e propicia o disparo da autoexcitação. As simulações apresentadas nas Figuras 4.8 e 4.9 consideram uma tensão inicial 푉 | = 0.579푝푢.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
t(s)
Tens
ão d
e ei
xo d
ireto
Vds
(pu)
Tensão Vds
Valor RMS com dinâm. Lm
Valor RMS sem dinâm. Lm
70
Figura 4.8: Disparo da Autoexcitação. (a) Com magnetismo residual no rotor. (b) Com tensão inicial em 푉 .
A amplitude do valor da tensão gerada depende da velocidade mecânica do rotor (Seyoum, 2003). A Figura 4.9 mostra os valores da tensão gerada em torno da RO, desta forma os gráficos (a), (b) e (c) da figura resultam das mesmas condições de carga, PRAE e 푉 | , porém com velocidades mecânicas de 0.9, 1.0 e 1.1pu respectivamente.
Figura 4.9: Tensão gerada em função do aumento da velocidade mecânica: (a) 휔 = 0.9푝푢. (b) 휔 = 1.0푝푢. (c) 휔 = 1.1푝푢.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
0
1
t(s)
(a)
Vds
(pu)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
0
1
Vds
(pu)
t(s)
(b)
Vceq0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-101
X: 1.933Y: 0.7698
t(s)
(a)
Vds
(pu)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-101
X: 1.933Y: 0.8977
t(s)
(b)
Vds
(pu)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-101
X: 1.933Y: 0.979
t(s)
(c)
Vds
(pu)
Vds
RMS
71
4.3.2 Saturação e Autoexcitação sob o Ponto de Vista Dinâmico
Seyoum (2003) menciona que a curva de 퐿 푥 푖 apresentada novamente na Figura 4.10, apresenta trechos que tornam o SEIG instável ou estável. Desta forma o trecho AB é dito instável e o trecho BC estável. Na verdade, deve-se diferenciar a condição de existência de autoexcitação da condição de operação na qual o SEIG acomoda quando autoexcitado. A primeira depende unicamente de 퐿 , que determina a estabilidade do equilíbrio 퐼 = 0. A segunda depende do comportamento de 퐿 em função de 푖 e determina a acomodação do SEIG em determinada amplitude e frequência de tensão gerada e que está associada à existência de um ciclo-limite (Bodson and Kiselychnyk, 2010a).
Observa-se que durante o processo de autoexcitação, que se inicia no trecho AB da curva de magnetização, se a região de existência de autoexcitação produzida pela PRAE dimensionada a partir de 휔 e 푃 não envolver mais a RO (diminuição da velocidade mecânica ou aumento da carga elétrica) a autoexcitação é perdida. Na prática o SEIG é acionado sem carga e isso faz com que a RO seja sempre envolvida pela região de existência de autoexcitação promovida pela PRAE originada do dimensionamento mencionado anteriormente.
Figura 4.10: Curva de magnetização e trechos de operação.
Uma vez que a autoexcitação ocorre, o gerador passa do trecho AB da curva de magnetização e só acomoda no trecho BC, no qual 퐿 decresce com o aumento de 푖 . Isso pode ser observado na Figura 4.11, que mostra o processo de autoexcitação para o gerador operando sem carga e com PRAE dimensionada para carga nula.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.05
0.1
0.15
0.2
X: 5.42Y: 0.1645
Corrente de Magnetização im(A)
L m (H
)
A
B
C
X: 11.24Y: 0.09805
P1
P2
72
Figura 4.11: Autoexcitação do GI sem carga com 푃푅퐴퐸 = 0.374푝푢 dimensionada para carga nula. (a) Tensão 푉 . (b) Indutância de magnetização. (c) Corrente de Magnetização.
A Figura 4.12 mostra as mesmas condições de velocidade e carga para o caso anterior, porém a PRAE é aumentada para 푃푅퐴퐸 = 0.614푝푢 (dimensionada a partir de 푃 com 퐹푃 = 1.0 e 휔 = 0.9푝푢).
Figura 4.12: Autoexcitação do GI sem carga com 푃푅퐴퐸 = 0.614푝푢 dimensionada para 푃 = 1.1푝푢 (퐹푃 = 1.0) e 휔 = 0.9푝푢. (a) Tensão 푉 . (b) Indutância de magnetização. (c) Corrente de Magnetização.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-101
t(s)
(a)
Vds
(pu)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
0.10.2
X: 2.541Y: 0.1673
t(s)
(b)
L m (H
)
X: 42.56Y: 0.1645
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
t(s)
(c)
I m(A
)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-101
t(s)
(a)
Vds
(pu)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.10.2
X: 0.1557Y: 0.169
t(s)
(b)
L m (H
)
X: 4.752Y: 0.09806
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
10
t(s)
(c)
I m(A
)
73
É possível observar que além da autoexcitação ocorrer em um tempo menor quando a PRAE é maior, a corrente de magnetização torna-se aproximadamente duas vezes maior, o que resulta em um 퐿 final menor. Além disso, a amplitude da tensão gerada é maior quando a PRAE é maior. Os valores de 퐿 atingidos em regime permanente nos dois casos são representados pelos pontos 푃 e 푃 na Figura 4.10. A partir do ponto 푃 (caso em que 푃푅퐴퐸 = 0.614푝푢), se uma carga for aplicada até o limite de 1.1pu, a corrente de magnetização diminui devido à existência de corrente na carga e o valor de 퐿 tende a excursionar no sentido da seta indicada na Figura 4.10. Embora o valor de 퐿 excursione em direção ao ponto 퐵, até este não ser atingido não ocorre a perda de autoexcitação. Isto porque o valor de 퐿 aumenta com a redução da corrente de magnetização e o aumento de 퐿 reforça a autoexcitação do gerador. Desta forma o trecho 퐵퐶 constitui o trecho em que a operação do gerador é possível, uma vez autoexcitado. Entretanto, nesta condição o gerador não opera em um ponto de equilíbrio e sim em um ciclo-limite.
Um caso de perda de autoexcitação é apresentado nos gráficos da Figura 4.13. Para este caso é aplicada uma 푃푅퐴퐸 = 0.614푝푢 e velocidade mecânica 휔 = 0.9푝푢. No instante 푡 = 4.0푠 a carga 푃 = 1.1푝푢 com 퐹푃 = 1.0 é conectada aos terminais do gerador. Devido à conexão da carga, a corrente de magnetização e o fluxo magnético (Figuras 4.13 (a) e (b)) diminuem imediatamente, porém estabilizam-se no instante 푡 = 6푠. No instante 푡 = 7푠 é aplicado mais 0.25pu de carga resultando em uma sobrecarga total de 0.35pu, o que faz com que a corrente de magnetização e o fluxo voltem a diminuir chegando a zero e a autoexcitação seja perdida.
Figura 4.13: Autoexcitação e sua perda por aplicação de sobrecarga. (a) Corrente de magnetização. (b) Fluxo magnético.
A Figura 4.14 mostra as variações que 퐿 sofre à medida que a carga é aplicada ao gerador. Na aplicação da sobrecarga máxima (0.35pu), 퐿 atinge o ponto B da curva de magnetização o que desencadeia a perda da autoexcitação.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
5
10
t(s)
(a)
i m (A
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.5
1
t(s)
(b)
Flux
o (W
b)
74
Sob o ponto de vista da autoexcitação, quanto menor o valor de 퐿 obtido com a saturação através do aumento da PRAE, mais carga pode ser conectada aos terminais do GI até que o ponto B da curva de magnetização seja atingido.
Figura 4.14: Dinâmica de 퐿 na autoexcitação e na perda da mesma devido à aplicação de sobrecarga no GI. A autoexcitação é perdida em 푡 = 7푠.
Embora o aumento da PRAE permita que mais carga seja conectada aos terminais do GI, isso leva o gerador a operar com mais saturação o que pode provocar aumento nas perdas da máquina.
Outro fato a ser analisado é que quando a carga 푃 = 1.1푝푢 é aplicada, o valor de 퐿 chega próximo ao valor de 퐿 sem perda de autoexcitação. Devido ao fato de 퐿 atingir um valor máximo que ocorre para 푖 ≠ 0퐴 (ponto B da Figura 4.10), a sobrecarga necessária para fazer com que a autoexcitação seja perdida depende deste valor máximo denomindado 퐿 . Somente se tal valor for alcançado a autoexcitação é perdida. Eventualmente este ponto pode ser alcançado transitoriamente sem ocorrer à perda de autoexcitação, contudo o ponto de operação deve situar-se na região de 퐿 entre o trecho BC.
É possível então afirmar que se a sobrecarga máxima admitida pelo SEIG corresponde ao valor máximo de 퐿 , quanto maior for este valor, maior é a sobrecarga suportável considerando a velocidade mecânica constante. Logo 퐿 garante que uma sobrecarga maior que 푃 pode ocorrer sem a perda da autoexcitação se a PRAE foi projetada a partir da 푃 e 휔 .
Os gráficos (a) e (b) da Figura 4.15 mostram o comportamento da tensão e da corrente da carga ao longo tempo para o último caso analisado. Nesta figura é possível observar que para a condição de sobrecarga logo acima de 1.1pu, a autoexcitação é perdida e o valor da tensão leva um longo tempo para chegar a zero como mencionado em Bodson and Kiselychnyk (2012).
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
0.05
0.1
0.15
0.2
t(s)
L m (H
)
75
Figura 4.15: Autoexcitação e sua perda por aplicação de sobrecarga. (a) Tensão 푉 . (b) Corrente da carga eixo direto.
4.3.3 Simulação do SEIG para Diferentes Cargas em Torno da RO
Nas seções 4.3.1 e 4.3.2, os resultados obtidos para tensões e correntes foram apresentados em termos de eixo direto e quadratura proveniente do modelo matemático do SEIG. A transformada inversa
푑푞표 =
⎣⎢⎢⎢⎡
cos (휃) sin (휃) 1
cos (휃 −2휋3
) sin (휃 −2휋3
) 1
cos (휃 +2휋3
) sin (휃 +2휋3
) 1⎦⎥⎥⎥⎤
(4.50)
quando aplicada a quaisquer variáveis apresentados nos eixos 푑푞표, permitem que estas sejam expressas no eixo de coordenadas 푎푏푐, sendo 휃 = ∫휔 (푡)푑푡 (Reginatto, 2006). Desta forma uma variável 푓 qualquer (tensão ou corrente) apresentada inicialmente nos eixos 푑푞표 pode ser apresentada no sistema de coordenadas 푎푏푐 através da utilização da equação (4.51).
⎣⎢⎢⎢⎡
cos (휃) sin (휃) 1
cos (휃 −2휋3
) sin (휃 −2휋3
) 1
cos (휃 +2휋3
) sin (휃 +2휋3
) 1⎦⎥⎥⎥⎤ 푓푓 푓
=푓푓푓
(4.51)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-1
0
1
t(s)
(a)
Vds
(A)
Vds(pu)
RMS (pu)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-1
0
1
t(s)
(b)
Cor
rent
e da
car
ga (A
)
Icarga ds(pu)
RMS (pu)
76
Embora a seção 4.3.2 tenha mostrado que a autoexcitação ocorre para alguns valores de 푃푅퐴퐸, 휔 e potência da carga 푃 , o objetivo desta seção é mostrar que as análises desenvolvidas no Capítulo 3 sobre o dimensionamento da PRAE e da existência da autoexcitação em torno da RO com o auxílio da superfície 푆 e de suas curvas de nível, são válidas e podem ser utilizadas no projeto do SEIG. Para isso são utilizados dois casos base apresentados a seguir.
Caso 1: Dimensionamento da PRAE e Existência de Autoexcitação para 흎풓 = ퟎ.ퟗ풑풖 e Variação de 푷풏
Da superfície 푆 obtida para o SEIG em estudo neste trabalho, é possível obter os seguintes valores de PRAE e condições:
(a) 휔 = 0.9푝푢 e 푃 = 0푝푢 (퐹푃 = 1.0) ⇒ 푃푅퐴퐸 = 0.374푝푢
(b) 휔 = 0.9푝푢 e 푃 = 1.1푝푢(퐹푃 = 0.0) ⇒ 푃푅퐴퐸 = 1.74푝푢
A Figura 4.16 (a) mostra que a autoexcitação ocorre para a condição mínima de 푃푅퐴퐸 = 0.374푝푢 e carga nula, embora o tempo de estabilização da amplitude da tensão gerada seja longo.
Figura 4.16: Autoexcitação do gerador de indução para 휔 = 0.9푝푢 e 푃 = 0.0푝푢 (퐹푃 =1.0). (a) 푃푅퐴퐸 = 0.374푝푢. (b) 푃푅퐴퐸 = 0.370푝푢.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-1
0
1
t(s)
(a)
Va (p
u)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-0.01
0
0.01
t(s)
(b)
Va (p
u)
77
A Figura 4.16 (b) mostra a não ocorrência de autoexcitação para a mesma condição de carga e velocidade, porém com uma 푃푅퐴퐸 = 0.370푝푢.
A Figura 4.17 mostra a posição da “raiz 1” para as duas condições de PRAE (0.374pu e 0.370pu). Isso comprova que a existência de uma raiz com parte real positiva, o que caracteriza a instabilidade do equilíbrio 퐼 = 0, é o que determina a existência ou não na autoexcitação conforme mencionado nos Capítulos 2 e 3.
Figura 4.17: Localização da raiz 1 para 푃푅퐴퐸 = 0.370푝푢 e 푃푅퐴퐸 = 0.374푝푢.
Os valores RMS da tensão na fase “a” e da corrente de estator para o Caso 1 (b), cujo dimensionamento da PRAE é obtido a partir da condição de 휔 = 0.9푝푢 e 푃 =1.1푝푢 com 퐹푃 = 0, podem ser observados na Figura 4.18.
Para este caso, no instante 푡 = 3푠 a carga 푃 = 1.1푝푢(퐹푃 = 0.0) é conectada aos terminais do gerador e embora ocorra uma queda de tensão, a autoexcitação não é perdida. Os demais casos compreendidos pelas combinações de carga variando de 푃 = 0.0푝푢 a 푃 = 1.1푝푢 (퐹푃 = 0.0 a 퐹푃 = 1.0) e velocidade mecânica 휔 = 0.9푝푢 a 휔 = 1.1푝푢 estão contidos na RO e são envolvidos pela região de existência de autoexcitação promovida pela PRAE de 1.74pu.
Utilizando o valor da corrente base 퐼 = 19.737퐴, é possível observar que a corrente de estator apresenta uma sobrecarga de aproximadamente 47.4% sem a conexão da carga (퐼 = 14.1퐴). Logo, o GI não pode operar para a condição de carga nula e PRAE de 1.74pu. Este caso será mais bem analisado na seção 4.3.5.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x 10-5
0.898
0.8985
0.899
0.8995
0.9
0.9005
0.901
0.9015
Eixo real
Eix
o im
agin
ário
Posição da raiz 1 para PRAE=0.374pu
Posição da raiz 1 para PRAE=0.370pu
78
Figura 4.18: Tensões e correntes para o caso 1(b). (a) Tensão fase “a”. (b) Corrente fase “a”.
A Figura 4.19 mostra a corrente nos capacitores e na carga para a fase “a”.
Figura 4.19: Correntes na fase “a” dos capacitores e da carga para o caso 1(b).
A Figura 4.20 mostra os gráficos da velocidade mecânica (constante) e da indutância de magnetização para o caso em análise.
0 1 2 3 4 5 6 70
0.5
1
X: 5.54Y: 0.5851
t(s)
(a)
Va (p
u)
0 1 2 3 4 5 6 70
0.5
1
1.5
X: 5.54Y: 0.201
t(s)
(b)
Corre
nte
de E
stat
ora (p
u)
0 1 2 3 4 5 6 70
0.5
1
1.5
X: 5.54Y: 0.9161
t(s)
(a)
Cor
rent
e C
ap. a (p
u)
0 1 2 3 4 5 6 70
0.5
1
1.5
X: 5.54Y: 0.7152
t(s)
(b)
Cor
rent
e C
arga
a (pu)
79
Figura 4.20: Velocidade mecânica (a) e indutância de magnetização (b).
Caso 2: Aplicação de Carga e Variação da Velocidade Mecânica para o Caso 1(b)
O caso 1(b) mostrou que mesmo para a condição de maior carga e 퐹푃 = 0, a autoexcitação não é perdida se a velocidade mecânica permanecer constante (Figura 4.20 (a)). Na prática quando a carga é aplicada aos terminais do gerador, o aumento do torque elétrico faz com que torque mecânico seja exigido da máquina primária, o que por consequência provoca a queda da velocidade por certo tempo até que a mesma seja reestabelecida pelo controle de velocidade da MP.
A Figura 4.21 mostra os resultados das simulações para o caso 1(b) que considera a aplicação de 푃 = 1.1푝푢(퐹푃 = 0.0) no instante 푡 = 3푠 e, além disso, no instante de 푡 = 3푠 a 푡 = 5푠 é aplicada uma variação negativa de 0.05 pu de velocidade mecânica (variação em degrau) simulando a diminuição de velocidade decorrente da aplicação da carga no gerador.
É possível observar nas Figuras 4.21(a) e 4.21(b) que a autoexcitação começa a ser perdida no instante de aplicação da carga e da variação da velocidade, porém quando a velocidade volta para a condição mínima estabelecida pela RO (휔 ), a autoexcitação é mantida e os valores de tensão e corrente de estator voltam aos valores simulados anteriormente sem a consideração da variação de velocidade (Figuras 4.18 (a) e (b)).
A Figura 4.22 (a) mostra a variação de velocidade e a Figura 4.22 (b) a curva de 퐿 ao longo do tempo.
0 1 2 3 4 5 6 70
0.5
1
t(s)
(a)
r (p
u)
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
t(s)
(b)
L m (H
)
80
Figura 4.21: Aplicação de carga e variação de velocidade mecânica. (a) Tensão da fase "a". (b) Corrente de estator da fase "a".
Figura 4.22: (a) Variação de 휔 . (b) Comportamento de 퐿 com a aplicação de carga e variação de 휔 .
Pode ser verificado que o ponto 퐿 pode eventualmente ser alcançado do ponto de vista transitório sem que ocorra a perda da autoexcitação como mencionado na seção 4.3.2, porém, se o valor da velocidade não retornar para os limites de velocidade estabelecidos pela RO, a perda da autoexcitação é inevitável.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1X: 9.691Y: 0.5851
t(s)
(a)
Va (p
u)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
X: 9.481Y: 0.201
t(s)
(b)
Cor
rent
e de
Est
ator
a (pu)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
X: 0.2168Y: 0.215
t(s)
L m (H
)
X: 4.389Y: 0.2145
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
t(s)
r (p
u)
81
4.3.4 Condições de Manutenção da Autoexcitação sob o Ponto de Vista
Dinâmico
Na seção 4.3.3 verificou-se que a autoexcitação existe para valores de PRAE obtidas para as condições de carga e velocidade mecânica analisadas no Capítulo 3. Nesta seção é analisada qual é a condição que possibilita a permanência da autoexcitação quando o gerador já se encontra em operação. A condição de permanência de autoexcitação é denominada de condição de manutenção CM.
Na seção 4.3.2 a curva de magnetização 퐿 (푖 ) foi dividida nos trechos AB e BC. O trecho AB apresenta os menores valores de 푖 e, portanto, a autoexcitação geralmente ocorre neste trecho da curva uma vez que a corrente de magnetização produzida pelo magnetismo residual do rotor ou pela tensão inicial dos capacitores de autoexcitação é pequena, o que resulta em valores de 퐿 que vão de 퐿 a 퐿 .
Depois que a autoexcitação ocorre devido à instabilidade do equilíbrio 퐼 = 0 ocasionado pelo valor de 퐿 e demais condições de carga, PRAE e velocidade mecânica, o gerador passa a operar no trecho BC da curva de 퐿 (푖 ). Mesmo se a PRAE conectada ao SEIG é resultante do dimensionamento obtido a partir de 푃 = 0.0푝푢 e 휔 =0.9푝푢, o gerador irá operar no trecho BC da curva de magnetização (ponto 푃 da Figura 4.10) de tal forma que 퐿 < 퐿 .
A condição de manutenção CM pode ser apresentada da seguinte forma:
Se o gerador encontra-se operando no trecho BC da curva de magnetização,
consequentemente 퐿 < 퐿 e a autoexcitação é mantida se:
(a) A carga aplicada no gerador e a velocidade mecânica não saem da RO e
permaneçam fora da mesma.
Se a condição (a) for satisfeita, 퐿 nunca atinge 퐿 e se mantém neste valor, o que acarretaria na perda da autoexcitação. Esta condição é suficiente para permitir que o SEIG opere sem perder a autoexcitação para as condições de carga compreendida entre 푃 a 푃 com o fator de potência variando de 퐹푃 = 0.0 a 퐹푃 = 1.0. Logo, quanto maior o valor da PRAE obtida a partir do dimensionamento de 휔 e 푃 (퐹푃 = 0.0), menor o valor de 퐿 no trecho BC da curva de magnetização e maior é a carga suportada sem a perda da autoexcitação.
A Figura 4.23 mostra o SEIG operando com uma 푃푅퐴퐸 = 0.374푝푢 obtida da condição de 휔 = 0.9푝푢 e 푃 = 0.0푝푢. No instante 푡 = 30푠, o SEIG encontra-se no trecho BC da curva de magnetização e é aplicada uma carga de 0.2pu com uma variação de
82
0.05pu de velocidade mecânica. É possível observar que a autoexcitação é mantida, pois mesmo com a aplicação de carga ao SEIG, 퐿 não atinge 퐿 e se mantém neste valor.
Figura 4.23: Aplicação de 0.2pu de carga e variação de velocidade no trecho BC da curva de Magnetização. (a) Velocidade mecânica 휔 . (b) Corrente de magnetização 푖 (c) Indutância de magnetização 퐿 .
Se uma 푃푅퐴퐸 = 1.74푝푢 obtida da condição de 휔 = 0.9푝푢 e 푃 =1.1푝푢(퐹푃 = 0.0) for conectada nos terminais do GI, a manutenção da autoexcitação é mantida para qualquer condição de carga, FP e velocidade que estejam contidos na RO e que, portanto, satisfazem a CM.
As Figuras 4.24(a) e (b) mostram respectivamente a corrente de magnetização e o fluxo magnético para este caso. No instante 푡 = 2.0푠 é aplicada a carga máxima 푃 =1.1푝푢(퐹푃 = 0.0) e uma variação de 0.05pu da velocidade durante 1s (curvas de cor azul). Observa-se que tanto a corrente de magnetização quanto o fluxo magnético voltam a aumentar desde que a velocidade retorne para dentro das condições de velocidade da RO. Isso implica na manutenção da autoexcitação.
As curvas de cor vermelha mostram a queda da corrente de magnetização e do fluxo magnético e, portanto a perda da autoexcitação, se uma carga de 푃 = 1.175푝푢(퐹푃 = 0.0) é aplicada no mesmo instante e para a mesma variação de velocidade mecânica.
É possível verificar que a autoexcitação neste caso não é perdida para um valor imediatamente superior a 푃 = 1.1푝푢(퐹푃 = 0.0), e isso se deve ao fato da curva de magnetização apresentar um 퐿 , o que permite sobrecargas superiores a 푃 conforme mencionado na seção 4.3.2.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
0.10.2
t(s)(b)
i m (p
u)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0.5
1
t(s)(a)
r (p
u)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
0.1
0.2
t(s)(c)
L m (H
)
83
Figura 4.24: Manutenção e perda da autoexcitação pela aplicação de carga. (a) Corrente de magnetização. (b) Fluxo magnético. Curva azul – Aplicação de 푃 = 1.1푝푢(퐹푃 =0.0). Curva vermelha - Aplicação de 푃 = 1.175푝푢(퐹푃 = 0.0).
Todas as análises desenvolvidas mostram que se a PRAE for dimensionada a partir de 푃 (퐹푃 = 0.0) e 휔 , qualquer condição de carga aplicada ao SEIG e que se encontre dentro da RO, não acarreta em perda da autoexcitação desde que a velocidade do rotor retorne ao seu valor inicial (휔 ). Embora tal fato seja atrativo do ponto de vista de projeto, a seção 4.3.3 mostrou que a corrente de estator torna-se muito elevada se tal PRAE for utilizada sem a conexão de nenhuma carga nos terminais do gerador.
4.3.5 Regime Operativo
No Capítulo 3, a análise da frequência elétrica da tensão gerada mostrou que existe um valor de PRAE que permite variações de frequência inferiores a 3% para qualquer condição de carga envolvida pela RO. Para o SEIG em estudo, uma 푃푅퐴퐸 = 1.74푝푢 e uma velocidade 휔 = 1.05푝푢, a princípio permitem esta condição de frequência elétrica. A Figura 4.25 mostra que se o SEIG operar com esta velocidade e PRAE, para qualquer condição de carga que se encontre dentro da RO, a frequência elétrica da tensão gerada não varia mais do que 3%. No gráfico da Figura 4.25, a curva na cor preta é a tensão gerada para carga nula, a curva vermelha para 푃 = 1.1푝푢(퐹푃 = 1.0) e a curva azul para 푃 = 1.1푝푢(퐹푃 =0.0). É possível observar que para a condição de carga nula ou carga máxima ativa, a frequência elétrica é igual e vale 62.5Hz. Quando a carga máxima é reativa indutiva, o valor da frequência elétrica aumenta (conforme análise do Capítulo 3) para 66.67Hz, ocorrendo
0 1 2 3 4 5 6 70
10
20
30
t(s)
(a)
i m (A
)
0 1 2 3 4 5 6 70
0.5
1
1.5
t(s)
(b)
Flux
o M
agné
tico
(Wb)
84
uma variação de 4.16%.
Figura 4.25: Variação da frequência elétrica da tensão gerada para 푃푅퐴퐸 = 1.74푝푢, 휔 = 1.05푝푢 e aplicação de carga. Curva preta – 푃 = 0.0푝푢. Curva vermelha – 푃 = 1.1푝푢(퐹푃 = 1.0). Curva azul - 푃 = 1.1푝푢(퐹푃 = 0.0).
Embora a variação de frequência elétrica verificada sob o ponto de vista dinâmico seja maior que a analisada no Capítulo 3, para as condições reais de carga normalmente conectadas em sistemas elétricos, ou seja, com FP entre 0.6 a 0.85 (Idjdarene et al., 2010) a frequência elétrica não sofre variações maiores que 3% como mostra a Figura 4.26.
Figura 4.26: Variação da frequência elétrica da tensão gerada para 푃푅퐴퐸 = 1.74푝푢, 휔 = 1.05푝푢 e aplicação de carga. Curva preta – 푃 = 0.0푝푢. Curva ver – 푃 =1.1푝푢(퐹푃 = 0.7).
1.825 1.83 1.835 1.84 1.845
-1
-0.5
0
0.5
1
X: 1.826Y: 0.9722
t(s)
Tens
aõ n
a fa
se "
a" (p
u)
X: 1.828Y: 1.032 X: 1.842
Y: 0.9722
X: 1.844Y: 1.032
X: 1.831Y: -1.22
X: 1.846Y: -1.22
1.825 1.83 1.835 1.84 1.845 1.85
-1
-0.5
0
0.5
1X: 1.826Y: 0.9715
t(s)
Tens
ão n
a fa
se "
a" (p
u)
X: 1.842Y: 0.9715
X: 1.829Y: 1.179
X: 1.845Y: 1.178
85
A curva de cor preta da Figura 4.26 mostra a tensão gerada para a condição de carga nula, 푃푅퐴퐸 = 1.74푝푢 e 휔 = 1.05푝푢. A curva de cor verde mostra a tensão gerada para as mesmas condições de PRAE e velocidade, porém com 푃 = 1.1푝푢(퐹푃 = 0.7). É possível observar que a frequência elétrica da tensão gerada não sofre nenhuma alteração.
Embora a 푃푅퐴퐸 = 1.74푝푢 atenda as condições de frequência elétrica e de autoexcitação para toda a região operativa, como mencionado nas seções 4.3.3 e 4.3.4 a corrente de estator torna-se elevada.
Do ponto de vista prático, se o gerador em estudo operar com 휔 = 1.05푝푢, uma 푃푅퐴퐸 = 0.5푝푢 pode inicialmente ser aplicada. Tal PRAE faz com que a corrente de estator fique próxima a corrente nominal. À medida que carga indutiva é aplicada, mais PRAE pode ser conectada (até o limite de 푃푅퐴퐸 = 1.74푝푢) a fim de manter a autoexcitação. Para este caso, se carga ativa for aplicada até o limite 푃 = 1.1푝푢(퐹푃 = 1.0) nos terminais do gerador, a corrente de estator ficará sempre dentro dos limites nominais de operação.
4.4 Conclusões
Neste capítulo o modelo do SEIG é apresentado de uma forma mais completa, pois leva em consideração a dinâmica da indutância de magnetização o que permite que tal modelo represente melhor o SEIG. Através das simulações deste modelo, é possível observar que as superfícies de projeto e suas curvas de nível podem ser utilizadas no projeto do SEIG, pois a autoexcitação é garantida para todas as condições de potência elétrica da carga que são envolvidas pela região operativa. Mesmo para as condições transitórias de velocidade que ocorrem na prática durante a aplicação da carga, a autoexcitação é mantida se a velocidade voltar à condição inicial.
Se o SEIG encontra-se autoexcitado, o mesmo admite uma sobrecarga maior que a potência máxima operativa devido ao valor de 퐿 da curva de magnetização. Portanto, a característica da curva de magnetização intrínseca a cada máquina, pois esta depende dos aspectos construtivos da mesma, permite que maiores sobrecargas sejam suportadas pelo SEIG sem a perda da autoexcitação. Logo, geradores que apresentam curvas de magnetização com 퐿 mais elevados suportam maiores sobrecargas.
A frequência elétrica da tensão gerada situa-se dentro de variações menores que 3% quando o FP da carga encontra-se acima de 0.6 e a velocidade mecânica em 1.05pu, com a PRAE projetada a partir da potência operativa máxima e da menor velocidade mecânica. As simulações mostram que embora esta PRAE mantenha as variações da frequência elétrica da tensão gerada em condições aceitáveis para sistemas operando de forma isolada e que esta PRAE propicia e mantém a autoexcitação para todas as condições de carga aplicada ao GI, tal PRAE faz com que a corrente de estator do gerador apresente sobrecarga quando a potência da carga aplicada ao SEIG é nula.
86
Este problema pode ser resolvido com a conexão de 0.5pu de PRAE (para o gerador em estudo), o que faz com que a corrente de estator fique dentro dos valores nominais de operação. A medida que a carga é conectada, PRAE pode ser inserida ou retirada a fim de permitir que a corrente do estator não ultrapasse as condições nominais de corrente.
87
Capítulo 5
Bancada para Estudos com Geração Assíncrona e Resultados Experimentais
As análises desenvolvidas nos capítulos anteriores mostram que a autoexcitação nos geradores de indução em torno das regiões operativas depende da PRAE, da velocidade mecânica do rotor e da carga e seu FP. As simulações dinâmicas comprovam que se a PRAE for dimensionada para a velocidade operativa mínima e carga máxima com o menor FP, esta PRAE é capaz de envolver as demais condições em torno da RO. A fim de confrontar os resultados obtidos nos capítulos anteriores, neste capítulo é apresentado em linhas gerais o protótipo de uma bancada para estudos com geração assíncrona e alguns resultados experimentais obtidos com a mesma.
Na seção 5.1 é apresentada a bancada experimental desenvolvida e embora o desenvolvimento desta bancada seja parte integrante dos objetivos deste trabalho de dissertação, são apresentadas apenas suas características básicas, ficando os detalhes técnicos específicos apresentados em Mayer (2012). A bancada foi desenvolvida no laboratório de Máquinas Elétricas com recursos da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR Campus Medianeira.
Os resultados experimentais obtidos com o protótipo são apresentados na seção 5.2, os quais são confrontados com simulações do modelo dinâmico do SEIG empregando a modelagem dinâmica desenvolvida no Capítulo 4. Por fim, a seção 5.3 mostra as conclusões do capítulo.
5.1 Bancada para Estudos com Geração Assíncrona
Com o objetivo de possibilitar a obtenção de dados experimentais de um sistema de geração assíncrona, foi implementado o protótipo laboratorial de um SEIG. O protótipo contempla a estrutura apresentada no Capítulo 2 e reproduzida na Figura 5.1 por questão de simplicidade. Consiste em um conjunto mecânico composto por duas máquinas de indução acopladas eixo a eixo e que desempenham o papel da máquina primária MP e do gerador de
88
indução GI, este último conectado a carga e aos capacitores de autoexcitação.
Figura 5.1: Esquema de montagem mecânica e elétrica do SEIG.
Além da montagem mecânica do conjunto constituído pela MP e pelo GI, dois quadros de comando e força, responsáveis pelo acionamento, controle e aquisição de dados, foram montados e formam a bancada para estudos com geração assíncrona.
A Figura 5.2 mostra um diagrama unifilar esquemático que permite visualizar os principais componentes que constituem a bancada e entender o funcionamento da mesma. Nesta figura estão destacados através de retângulos de linhas vermelhas tracejadas, o “CONJUNTO MECÂNICO”, o quadro de comando e força da MP e do GI, denominado “QUADRO MP/GI” e o quadro de comando e força do banco de capacitores de autoexcitação, denominado de “QUADRO BC”.
O barramento da esquerda do quadro MP, denominado “Barramento Geral do Quadro”, é responsável por fornecer potência via inversor de frequência IF para a MP. O barramento da direita denominado “Barramento Geral do GI”, faz a conexão entre os terminais do GI, o quadro BC e as cargas.
Quando a MP é posta em funcionamento a uma determinada velocidade configurada no inversor, o fechamento da chave contatora C1 conecta o GI ao seu barramento geral. O quadro BC é responsável pela aplicação de PRAE no barramento geral do GI, logo, com o fechamento das chaves contatoras C2 e C7, a autoexcitação pode ocorrer e o SEIG passa a operar. Logo abaixo do barramento geral do GI, está localizado o “Barramento da Carga” e o fechamento das chaves contatoras C3 a C5, fazem a conexão da carga ao barramento geral do GI. A chave contatora C6 pode ser utilizada para a conexão do GI em paralelo com a rede da concessionária, mas este caso foge ao escopo deste trabalho.
A bancada possui vários sensores de tensão, denominados por ST e sensores de corrente denominados por SC, que são responsáveis pela medição dos valores instantâneos de tais grandezas. O conjunto mecânico possui sensores de temperatura STe inseridos no enrolamento do estator de ambas as máquinas e que são utilizados para o monitoramento destas grandezas durante a operação do SEIG. O GI possui acoplado diretamente ao seu eixo, um sensor de velocidade do tipo encoder incremental, denominado na Figura 5.2 por ENC.
89
Figura 5.2: Diagrama unifilar e esquema de funcionamento da bancada para estudos com geração assíncrona.
Todos os sinais dos sensores seguem para um sistema de aquisição de dados da National Instruments - cDAQ 9178. Tal sistema de aquisição possui módulos específicos para leitura de sinais analógicos de corrente, tensão e velocidade (frequência de pulsos). Este dispositivo possui ainda módulos específicos de saída analógica em corrente e que podem ser utilizados para fazer o controle da velocidade da MP via inversor de frequência. Módulos de saídas digitais também estão presentes na configuração do cDAQ e são utilizados para o fechamento das chaves contatoras apresentadas na Figura 5.2.
Os dados aquisitados pelo cDAQ 9178 podem ser encaminhados ao computador via
90
conexão USB. O software LABVIEW permite via programação, que todos os sinais provenientes dos sensores sejam visualizados e gravados em arquivos que podem ser utilizados posteriormente na análise dos resultados experimentais. O software permite também que sinais digitais sejam encaminhados para os quadros de comando e força, fazendo com que a abertura e o fechamento das chaves contatoras sejam feitas de forma remota.
5.1.1 Conjunto Mecânico MP e GI e sua Especificação
O conjunto mecânico é constituído por duas máquinas acopladas eixo a eixo e que desempenham o papel da máquina primária MP e do gerador de indução GI. O gerador de indução com rotor em gaiola possui potência de 7.5kW, 380V, IV polos e corrente nominal de 14.1A quando ligado em dupla estrela. A potência do GI foi definida como sendo suficiente para ensaios com cargas reais (sob o ponto de vista de potência e FP) e que possa atender via simulação laboratorial, cargas elétricas que representem pequenas propriedades, como exposto no Capítulo 1. As demais características eletromecânicas das máquinas podem ser observadas no Apêndice B.
Geralmente as montagens laboratoriais que envolvem geração assíncrona, utilizam como MP máquinas síncronas ou máquinas CC (Idjdarene et al., 2010; Bodson and Kiselychnyk, 2012; Seyoum, 2003) por apresentarem um controle de velocidade de fácil implementação. Como a potência da máquina primária deve ser no mínimo igual à potência do gerador, a utilização de máquinas CC ou síncrona para esta finalidade torna-se inviável sob o ponto de vista econômico. Devido a isso, optou-se pela utilização de uma segunda máquina assíncrona de mesmas características do gerador de indução para desempenhar o papel da MP.
A montagem do conjunto mecânico resultou em um trabalho de conclusão do curso de Tecnologia em Manutenção Industrial da UTFPR – Campus Medianeira (Betzek, F., 2011), o qual documenta todas as etapas da montagem mecânica do conjunto assim como os resultados dos ensaios de vibração realizados para diferentes valores de velocidade da MP. O alinhamento final dos eixos das máquinas permitiu que as vibrações mecânicas ficassem compreendidas dentro dos limites estabelecidos por norma, logo, o conjunto pode operar para qualquer velocidade até 1.1pu. A Figura 5.3 mostra os detalhes do projeto mecânico do conjunto MP e GI.
A montagem mecânica final e os detalhes das ligações dos terminais elétricos de potência e dos sensores de temperatura STe podem ser observados na Figura 5.4.
91
Figura 5.3: Conjunto mecânico MP e GI.
Figura 5.4: Montagem mecânica do conjunto MP (esquerda) e GI (direita) e conexão dos terminais elétricos de potência e sensores de temperatura STe.
5.1.2 Quadros de Comando e Força
Como mencionado anteriormente, a bancada para estudos com geração assíncrona possui dois quadros de comando e força. O leiaute do quadro MP/GI pode ser observado na Figura 5.5 e é constituído por um único módulo dividido em três partes delimitadas na figura por retângulos de linha tracejada na cor vermelha. Na “Parte A” está localizado o barramento geral do quadro (1) e os sensores que fazem a medição da tensão e da corrente da MP (6 e 10).
92
Este barramento geral é responsável pela alimentação de todos os sensores da bancada, além de fornecer potência à MP via inversor de frequência (7). O inversor é protegido contra curto-circuito e sobrecargas por fusíveis ultrarrápidos e disjuntor (3).
Figura 5.5: Leiaute do quadro de comando e força da MP e do GI.
A “Parte B” deste quadro possui o barramento geral do GI (11) responsável pela conexão entre o GI e a PRAE proveniente do BC. Tal conexão é feita através das chaves contatoras (20) e (21). O barramento de carga (17) permite o acoplamento da carga ao barramento geral através do acionamento das chaves contatoras (18). Todas as chaves
93
contatoras deste quadro podem ser acionadas de forma manual, através das chaves seletoras (15), ou de forma remota via saída digital do cDAQ através do acionamento dos relés auxiliares (2). Os sensores (12,13,14 e16) são responsáveis pela medição dos valores de corrente e tensão do barramento da carga. Na “Parte C” encontram-se todos os bornes de saída e entrada do quadro.
O leiaute do quadro de comando e força do BC pode ser verificado na Figura 5.6. O banco de capacitores possui potência total de 4.0pu (30kVAr em 380Vac) dividida em cinco módulos trifásicos que podem ser ligados individualmente no barramento geral do quadro (5). Cada módulo trifásico é composto por células capacitivas monofásicos, desta forma três células trifásicas são compostas por nove capacitores monofásicos de 2.5kVar. As outras duas células trifásicas são compostas respectivamente por três células monofásicas de 1.7kVAR e três células trifásicas de 0.83kVAr.
Figura 5.6: Leiaute do banco de capacitores BC.
94
O fechamento de todas as células monofásicas é efetuado com o acionamento das chaves contatoras (7), que podem ser acionadas de forma manual via chaves seletoras (2), ou de forma remota via saída digital do cDAQ através do acionamento dos relés auxiliares (10).
Os sensores (8, 9 e 11) fazem a leitura da corrente e da tensão fornecida pelo BC, cuja potência é disponibilizada no borne (17) quando as chaves contatoras (6) são acionadas de forma manual ou remota.
Como existe grande flexibilidade no fechamento de células capacitivas monofásicas, o banco pode fornecer diferentes valores de PRAE. Além disso, a comutação das chaves contatoras (6) faz com que a ligação estrela ou delta seja aberta, o que permite que a PRAE aplicada no barramento do GI torne-se desequilibrada.
A Figura 5.7 mostra a configuração final dos quadros.
Figura 5.7: Configuração final dos quadros de comando e força MP/GI (esquerda) e BC (direita).
5.1.3 Sensores Utilizados para Aquisição de Dados
Os sensores de corrente utilizados em ambos os quadros e que medem o valor desta grandeza apresentam duas configurações. A primeira utiliza sensores encapsulados em um formato industrial próprio para montagens em painéis industriais e possuem uma janela onde é inserido o condutor cuja corrente se deseja medir, desta forma não necessita de elementos shunts ou TCs. A segunda configuração utiliza sensores de efeito Hall e transdutores de corrente que possibilitam a medição de elevados valores de corrente.
Todos os sensores de corrente utilizados no quadro MP/GI foram especificados de tal forma a permitirem a medição do valor de pico máximo da corrente (em regime permanente) para qualquer configuração de fechamento do GI ou da MP (dupla estrela, delta simples ou
95
duplo delta) o que resultou em uma faixa de medição de 50A de pico. O sinal de saída de todos os sensores de corrente é analógico de 0 a 20mA de tal forma que reproduz o formato da onda do sinal medido, porém em torno do valor DC de 10mA de offset.
A configuração que usa sensores por efeito Hall foi utilizada para possibilitar que elevados valores de corrente provocados por transientes (fechamento da carga ou do BC) possam ser medidos. Tais sensores também reproduzem o formato da onda do sinal de corrente a ser medido com um offset de 10mA DC e saída de 0 a 20mA, porém o valor máximo de pico que pode ser medido é de 250A. Tais sensores foram utilizados tanto no quadro MP/GI quanto no quadro BC.
Os sensores de tensão também possuem sinal de saída de 0 a 20mA e reproduzem o formato de onda do sinal medido utilizando a mesma lógica dos sensores de corrente. Todos os sensores foram montados de tal forma a medirem sempre o valor da tensão de fase do barramento em que estão conectados. Foram utilizados sensores com medição de tensão de pico máxima de 350V e de 1500V. Desta forma, além da medição de sinais transientes de tensão, é possível medir a tensão do GI mesmo quando este for ligado em 440Vac (delta simples).
Todos os sensores de corrente ou tensão utilizados nos quadros MP/GI ou BC podem realizar medições de sinais DC ou que possuem frequência de até 2000Hz. Isso garante que mesmo sinais com componentes harmônicos de elevada ordem sejam medidos. Além disso, todos os sensores apresentam erro de 1% a uma temperatura de 70C.
A medição da velocidade é realizada por um sensor do tipo encoder incremental de 1024 pulsos TTL, denominado anteriormente por ENC. Para o gerador operando a uma velocidade de 1.1pu, a velocidade do eixo resulta em 1980RPM. Assim, como o encoder fornece 1024 pulsos por rotação, o sinal do trem de pulsos possui uma frequência máxima de 33792Hz.
Os sensores de temperatura denominados por STe e que se encontram alojados no estator das máquinas MP e GI são do tipo PT100. O sinal proveniente dos mesmos é convertido em um sinal analógico de tensão com o auxílio de transdutores de temperatura, cujas especificações técnicas estão disponíveis em Mayer (2012). Isso possibilita que as medições de temperatura sejam feitas através do sistema de aquisição de dados.
5.1.4 Sistema de Aquisição de Dados e Controle de Velocidade da MP
O sistema de aquisição de dados é composto por um compact DAQ (cDAQ 9178) da National Instruments que possui capacidade de inserção de oito módulos e que são responsáveis pela medição dos sinais provenientes dos sensores. Os módulos apresentam as seguintes características:
96
Módulo NI 9203 – Possui oito canais de entradas analógicos de 0 a 20mA com 16 bits de resolução com clock interno que permite uma taxa de aquisição máxima de 25k amostras/s por canal.
Módulo NI 9219 – Este módulo possui quatro canais de entradas analógicas que permitem a medição de tensão de 0 a 10Vcc ou corrente 25mA com 24 bits de resolução.
Módulo NI 9265 – Possui quatro saídas analógicas de 0 a 20mA com 16 bits de resolução e tempo de resposta de 3s quando apenas uma saída é utilizada.
Módulo NI 9401 – Possui 8 canais digitais rápidos que podem ser configurados tanto como entradas ou saídas do tipo TTL. Possui clock interno (120MHz) o que possibilita aquisição de sinais de elevada frequência (30MHz para duas entradas).
Os sinais provenientes dos sensores de corrente e tensão são aquisitados diretamente pelos módulos NI 9203 a uma taxa de amostragem de 1000 amostras/s. Os sinais provenientes dos sensores de temperatura STe, depois de convertidos para valores proporcionais de tensão, podem ser medidos pelo módulo NI 9219 a uma taxa de amostragem de 100 amostras/s.
A velocidade pode ser medida através do módulo NI 9219 com o auxílio de uma placa conversora de trem de pulsos em valores proporcionais de tensão, adaptada de Miyadaira (2012). Os dados necessários para a configuração desta placa são os valores da frequência máxima do trem de pulsos (33792Hz) e a faixa de tensão proporcional resultante, configurada de 0 a 3.3V.
Todas as medições feitas pelo sistema de aquisição de dados podem ser visualizadas on-line através da utilização do software LabView, responsável por possibilitar que uma interface homem máquina IHM seja estabelecida.
Este software possui linguagem gráfica de programação e além de permitir a visualização das grandezas aquisitadas, possibilita a manipulação dos sinais e a gravação dos mesmos. A Figura 5.8 mostra a tela do programa desenvolvida para a presente aplicação e que permite, por exemplo, a definição dos canais físicos do cDAQ, a escolha das grandezas a serem medidas, o número de amostras, a taxa de amostragem e o envio das medições para arquivo.
O controle de velocidade da MP foi obtido com o auxílio do inversor utilizado para acioná-la. Este inversor implementa técnicas de controle em malha aberta de velocidade e também possibilita o uso de um controlador PI interno para efetuar o controle de velocidade em malha fechada. Neste trabalho foi utilizado o acionamento com controle de velocidade em malha aberta com controle vetorial de fluxo e compensação de escorregamento. As respostas da velocidade assim que aplicada a carga no gerador, foram imediatas, com baixos erros de sobre sinal, tempo de acomodação rápido e erro de regime quase nulo. Como o enfoque do trabalho é sobre a autoexcitação, a maior preocupação não está relacionada com o tempo da resposta da velocidade e sim com seu valor final. Não obstante, foram feitas tentativas de
97
implementação do controle de velocidade em malha fechada com o auxílio do LabView e do módulo de medição NI 9265, as quais se revelaram pouco úteis devido à necessidade de modificação dos ajustes do controlador toda vez que novos ensaios eram realizados.
Figura 5.8: Tela do programa desenvolvido em LabView para manipulação e aquisição de dados.
5.2 Resultados Experimentais
Alguns resultados experimentais obtidos com a utilização da bancada para estudos com geração assíncrona são apresentados nesta seção. Os experimentos estão divididos em três partes. A primeira parte mostra do ponto de vista prático, a existência e o processo da autoexcitação para uma determinada condição de velocidade mecânica do gerador, PRAE e potência da carga. Tais resultados são apresentados na seção 5.2.1. A segunda parte, apresentada na seção 5.2.2, mostra os resultados do SEIG operando com uma PRAE e velocidade mecânica de tal forma que quando a carga (퐹푃 = 1.0) é conectada aos terminais do gerador, a autoexcitação não é perdida, o que comprova os resultados apresentados nos Capítulos 3 e 4. Na terceira parte, descrita na seção 5.2.3, a velocidade mecânica é fixada em 1.05pu e são apresentados os resultados experimentais relacionados às condições dinâmicas operativas de frequência elétrica da tensão gerada.
5.2.1 Resultados Experimentais Sobre a Existência de Autoexcitação
Uma superfície de projeto 푆 pode ser utilizada para encontrar as condições de
98
existência de autoexcitação para uma condição real de PRAE fornecida pelo BC e para 푃 = 0.0푝푢. A Figura 5.9 mostra que o valor mínimo de velocidade mecânica necessária para que ocorra a autoexcitação com uma 푃푅퐴퐸 = 0.452푝푢 é de aproximadamente 휔 =0.817푝푢. Um valor de PRAE experimental que o BC pode fornecer é 0.453푝푢, ou seja, um valor um pouco acima do valor verificado na Figura 5.9, logo, para a condição real de PRAE aplicada, o valor de velocidade deve ser menor e resulta em 휔 = 0.815푝푢. (valor calculado através do algoritmo do fluxograma apresentado no Capítulo 2). Desta forma, a MP foi ajustada inicialmente para operar com uma velocidade de 0.815pu e o BC configurado para fornecer uma PRAE de 0.453pu. Nesta condição a autoexcitação deve ocorrer.
Figura 5.9: Superfície de projeto para 푃 = 0.0푝푢.
O BC foi conectado ao barramento geral do GI no instante de tempo 푡 = 3.85푠 e os resultados experimentais da tensão do gerador durante o processo da autoexcitação podem ser verificados na Figura 5.10 (a).
A velocidade da MP foi ajustada via inversor de frequência em 0.815pu, porém as medições de velocidade mostram que a mesma permaneceu um pouco acima de 0.813pu, como pode ser verificado na Figura 5.10 (b).
O valor da tensão residual medida nos terminais do GI antes da conexão do BC (0.013pu) foi utilizado para a obtenção (via simulação) de um magnetismo residual que proporcionasse esta mesma amplitude de tensão para o GI operando sem PRAE. Aplicando este valor de magnetismo residual no modelo dinâmico, foi obtido o resultado de simulação apresentado na Figura 5.11.
0.80.85
0.90.95
11.05
1.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.3
0.4
0.5
FP
X: 0.8174Y: 1Z: 0.4522
r (pu)
PR
AE
(pu)
99
Figura 5.10: Resultados experimentais de existência de autoexcitação. Conexão do BC em 푡 = 3.85푠. (a) Tensão fase “a”. (b) Velocidade mecânica.
Figura 5.11: Simulação do SEIG para as mesmas condições da Figura. 5.10. (a) Tensão fase “a”. (b) Velocidade mecânica.
Observa-se que os resultados concordam quanto à existência de autoexcitação, contudo o resultado de simulação mostra o processo ocorrendo de maneira mais abrupta. Além disso, a tensão atingida em regime permanente é maior no resultado experimental que no simulado (0.13pu). Tais diferenças podem ser resultado da imprecisão da modelagem do comportamento não linear da indutância de magnetização, o que resulta em valores menores
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-1
-0.5
0
0.5
1
t(s)
Va(p
u)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450.81
0.811
0.812
0.813
t(s)
r(p
u)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-1
-0.5
0
0.5
1
t(s)(a)
Va (p
u)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450.81
0.811
0.812
0.813
t(s)(b)
r (p
u)
100
de tensão e consequentemente de corrente.
A Figura 5.12 (a) e (b) mostra os resultados experimentais de tensão e velocidade para o gerador operando nas mesmas condições apresentadas anteriormente (푃푅퐴퐸 = 0.453푝푢 e 휔 = 0.813푝푢). No instante 푡 = 20푠, a velocidade é propositalmente diminuída e atinge o valor de 0.76pu, por consequência a autoexcitação é perdida.
Figura 5.12: Perda da autoexcitação devido a diminuição da velocidade em 푡 = 20푠. (a) Tensão fase “a”. (b) Velocidade mecânica.
5.2.2 Existência e Manutenção da Autoexcitação
A 푆 apresentada no Capítulo 3 que leva em consideração a 푃 = 1.1푝푢 é apresentada novamente na Figura 5.13.
Nesta figura é possível observar que uma 푃푅퐴퐸 = 0.620푝푢 é capaz de garantir a autoexcitação e a permanência da mesma para qualquer condição de carga aplicada ao gerador (푃 = 0.0푝푢 a 푃 = 1.1푝푢 com 퐹푃 = 1.0) desde que 휔 = 0.9푝푢. O BC pode fornecer uma potência reativa de autoexcitação prática de 푃푅퐴퐸 = 0.667푝푢. Logo, para uma velocidade mecânica de 0.85pu, a autoexcitação deve ser mantida quando aplicada 푃 = 1.1푝푢.
A Figura 5.14(a), (b) e (c) mostra respectivamente a tensão de estator, a corrente da carga e a velocidade mecânica obtida experimentalmente. No instante 푡 = 9.75푠, a carga (푃 = 1.1푝푢 e 퐹푃 = 1.0) é aplicada no barramento geral do GI e embora ocorra uma queda de tensão, a autoexcitação não é perdida, o que está em acordo com os resultados do Capítulo 3. Na Figura 5.14(b), é possível observar que no instante da aplicação da carga a corrente drenada pela mesma é maior que 1.0pu, o que indica de fato a aplicação da sobrecarga neste
0 10 20 30 40 50 60
-1
0
1
t(s)(a)
Va(p
u)
0 10 20 30 40 50 600.5
0.6
0.7
0.8
t(s)(b)
r(p
u)
101
instante de tempo.
Figura 5.13: Superfície de projeto da PRAE para 푃 = 1.1푝푢.
Figura 5.14: Resultados experimentais da existência e manutenção da autoexcitação. Aplicação de 1.1pu de carga em 푡 = 9.75푠 (a) Tensão fase “a”. (b) Corrente da carga. (c) Velocidade mecânica.
A Figura 5.15(a), (b) e (c), mostra respectivamente os valores de tensão de estator, corrente da carga e velocidade mecânica para a simulação deste caso. É possível observar que o valor da corrente da carga simulada é menor que o valor da corrente obtida experimentalmente.
0.8
0.9
1
1.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
FP
X: 0.8529Y: 1Z: 0.6671
r (pu)
X: 0.9008Y: 1Z: 0.6192
PRA
E (p
u)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-101
t(s) (a)
Va(p
u)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
0.6
0.8
t(s)(c)
r(p
u)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-101
t(s)(b)
Cor
rent
e C
arga
(pu)
102
Figura 5.15: Simulação do SEIG com aplicação de carga para as mesmas condições da Figura 5.14. (a) Tensão fase “a”. (b) Corrente da carga. (c) Velocidade mecânica.
Conforme as análises do Capítulo 4, quando uma sobrecarga maior que a dimensionada a partir da 푆 é aplicada ao SEIG, a autoexcitação é perdida. Esta perda de autoexcitação é ilustrada na Figura 5.16, que mostra os resultados experimentais obtidos quando uma sobrecarga de 1.35pu é aplicada aos terminais do gerador no instante 푡 = 8.85푠.
Figura 5.16: Resultados experimentais da aplicação de sobrecarga em 푡 = 8.85푠 (com perda da autoexcitação) e retirada da mesma em 푡 = 25푠 (com retomada da autoexcitação). (a) Tensão fase "a". (b) Corrente Carga. (c) Velocidade mecânica.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-1
0
1
t(s)(a)
Va (p
u)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-1
0
1
t(s)(b)
Cor
rent
e C
arga
(pu)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
0.6
0.8
t(s)(c)
r (p
u)
0 5 10 15 20 25 30 35-101
t(s)(a)
Va(p
u)
0 5 10 15 20 25 30 35
0.6
0.8
t(s)(c
r(p
u)
0 5 10 15 20 25 30 35-101
t(s)(b)
Cor
rent
e C
arga
(pu)
103
É possível observar que a autoexcitação é perdida e somente volta a existir se a condição de sobrecarga for retirada. No instante 푡 = 25푠, toda a carga é retirada e a autoexcitação inicia-se novamente. A Figura 5.17 mostra os resultados da simulação obtidos para o mesmo caso. Novamente percebe-se a concordância geral dos resultados experimentais e de simulação.
Figura 5.17: Simulação do SEIG para aplicação de sobrecarga em 푡 = 8.85푠 e retirada da mesma em 푡 = 25푠 nas mesmas condições da Figura 5.16. (a) Tensão fase "a". (b) Corrente da Carga. (c) Velocidade mecânica.
5.2.3 Resultados Experimentais das Condições Operativas
As simulações apresentadas no Capítulo 4 mostram que se velocidade mecânica do gerador ficar situada acima de 1.0pu, a frequência elétrica da tensão gerada aproxima-se de 휔 = 1.0푝푢 quando a PRAE dimensionada for resultante de 휔 = 0.9푝푢 e 푃 = 1.1푝푢. A Figura 5.18 mostra os resultados experimentais para este caso. No instante 푡 = 4.1푠 a carga de aproximadamente 1.4pu (퐹푃 = 1.0) é conectada aos terminais do gerador. Na Figura 5.18(a) é possível verificar o comportamento da tensão e na Figura 5.18(b) o comportamento da corrente da carga.
A Figura 5.19 mostra novamente o gráfico da Figura 5.18(a), mas agora evidenciando o valor da frequência elétrica antes e depois da aplicação da carga. Na Figura 5.19(a) pode ser observado o comportamento da frequência elétrica da tensão gerada antes da aplicação da carga e na Figura 5.19(b), depois que a carga é aplicada. É possível observar que a frequência elétrica da tensão gerada não sofre alteração, o que está em acordo com os resultados obtidos no Capítulo 4 via simulação.
0 5 10 15 20 25 30 35-1
0
1
t(s)
Va (p
u)
0 5 10 15 20 25 30 35
-1
0
1
t(s)
Cor
rent
e C
arga
(pu)
0 5 10 15 20 25 30 35
0.6
0.8
t(s)
r (p
u)
104
Figura 5.18: Resultados experimentais da variação da frequência elétrica com a aplicação de sobrecarga (1.4pu) em 푡 = 4.1푠 e velocidade mecânica 휔 = 1.05푝푢. (a) Tensão fase "a". (b) Corrente da Carga.
Figura 5.19: Comportamento da frequência elétrica com a aplicação da carga no ensaio experimental mostrado na Figura 5.18. (a) Antes da conexão da carga. (b) Depois da conexão da carga.
5.3 Conclusões
O desenvolvimento da bancada para estudos com geração assíncrona e a utilização da
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2
-1
0
1
2
t(s)
Cor
rent
e C
arga
(pu)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2
-1
0
1
2
t(s)
Va(p
u)
3.85 3.86 3.87 3.88 3.89 3.9 3.91 3.92 3.93 3.94 3.95-2
-1
0
1
2
X: 3.877Y: 1.675
t(s)(a)
Va(p
u)
X: 3.893Y: 1.694
6.85 6.86 6.87 6.88 6.89 6.9 6.91 6.92 6.93 6.94 6.95-2
-1
0
1
2
X: 6.876Y: 1.424
t(s)(b)
Va(p
u)
X: 6.892Y: 1.404
105
mesma, possibilitou que resultados experimentais fossem obtidos para algumas condições operativas do gerador de indução.
Embora os valores de tensão e corrente obtidos experimentalmente e via simulação apresentem uma pequena variação na amplitude, os resultados práticos mostram que a autoexcitação existe para as condições de PRAE e velocidade mecânica do gerador definidas pela 푆 , indicando que tais superfícies e suas curvas de nível podem ser utilizadas no dimensionamento do SEIG em torno das regiões operativas da máquina.
Pode-se observar que os resultados apresentados nos Capítulos 3 e 4 sobre a frequência elétrica da tensão gerada são pertinentes, pois a frequência elétrica permanece inalterada quando a PRAE dimensionada a partir da condição de 휔 e 푃 é aplicada ao SEIG mesmo quando uma sobrecarga maior que 푃 é aplicada aos terminais do gerador.
106
107
Capítulo 6
Conclusões
Este trabalho apresentou uma análise do processo e da existência de autoexcitação em torno de regiões operativas do gerador de indução de tal forma a possibilitar que o projeto de sistemas de geração que operam de forma isolada e que utilizam geradores de indução (GI) seja facilitado.
A modelagem do GI em pu, da carga e da potência reativa de autoexcitação (PRAE) em termos de potência, tendo como base a potência nominal do próprio gerador, facilita a análise das condições de existência de autoexcitação, pois as grandezas envolvidas ficam expressas em termos habitualmente usados em estudos de sistemas elétricos. Além disso, neste trabalho, a carga é apresentada com componentes ativas e reativas, o que possibilita visualizar o processo de autoexcitação e o comportamento da mesma, diante de cargas que contém tanto componentes ativos quanto reativos.
A autoexcitação é provocada pela instabilidade do equilíbrio 퐼 = 0, cuja análise possibilitou concluir que a observação das raízes do polinômio do determinante da matriz impedância do sistema é suficiente para verificar as condições de existência de autoexcitação. Logo, se ao menos uma raiz apresentar parte real positiva, o equilíbrio 퐼 = 0 torna-se instável, o que caracteriza a autoexcitação. A análise da estabilidade do equilíbrio 퐼 = 0 permitiu também mostrar que a autoexcitação ocorre somente se existir magnetismo residual no rotor do gerador ou tensão inicial nos capacitores de autoexcitação.
Quando o gerador é operado somente com carga resistiva e sem os capacitores de autoexcitação, as raízes do polinômio característico da matriz impedância movimentam-se da esquerda para a direita no plano complexo quando ocorre o aumento da velocidade mecânica do gerador, porém nunca atingem o lado direito do plano complexo, o que indica que não ocorre autoexcitação. Quanto maior o valor da indutância de magnetização inicial, mais as raízes do determinante da matriz impedância se aproximam do eixo imaginário do plano complexo com o aumento da velocidade. Isso mostra que a indutância de magnetização inicial é fundamental no processo de autoexcitação.
Dependendo do valor da PRAE, da carga conectada nos terminais do gerador e da velocidade mecânica, uma das raízes do polinômio (complexa conjugada) tende a movimentar-se para o lado direito do plano complexo, tornando o equilíbrio 퐼 = 0 instável e
108
caracterizando a autoexcitação. A determinação destas condições é feita numericamente, uma vez que soluções analíticas são possíveis de ser obtidas apenas para o caso em que a carga é puramente ativa.
A autoexcitação do gerador de indução ocorre em regiões denominadas regiões de existência de autoexcitação, as quais dependem da velocidade do rotor, da carga e da PRAE. As regiões de existência de autoexcitação podem existir, por exemplo, para valores de potência de carga, PRAE e velocidade mecânica que do ponto de vista operativo nunca são atingidas (elevadas sobrecargas, PRAEs e velocidades mecânicas) e que fogem, portanto, das condições operativas reais do SEIG. Em função disso, a autoexcitação foi analisada em torno das condições reais de operação do gerador de indução, definidas pela região operativa RO, constituindo uma das importantes contribuições deste trabalho pelo seu impacto no projeto do SEIG.
A RO foi definida pelos limites mínimos e máximos de velocidade mecânica compreendida entre 0.9pu e 1.1pu e pela potência máxima da carga conectada ao gerador, sendo adotado o valor máximo de sobrecarga 푃 = 1.1푝푢 (퐹푆 = 1.1) admitida pelo mesmo. A definição da RO propiciou a análise da autoexcitação em torno das condições que um SEIG opera do ponto de vista prático. Foi verificado que em torno da RO, existe um valor de PRAE que promove a autoexcitação e que garante a autoexcitação para todas as condições operativas definidas pela RO. Desta forma existe uma 푃푅퐴퐸 que promove a autoexcitação e cujo valor fica mais próximo do valor da potência nominal do gerador. Tal PRAE é obtida dimensionando a mesma para a menor velocidade operativa e para a maior carga com o menor FP.
A PRAE calculada para esta condição faz também com que o valor da frequência elétrica da tensão gerada situe-se dentro da região operativa. Se o gerador em estudo neste trabalho e cujos parâmetros podem ser verificados nos Apêndices A e B, operar com uma velocidade acima de 1.0pu e abaixo de 1.1pu, a frequência elétrica da tensão gerada fica próxima a 1.0pu com variações menores que 4.2% para qualquer condição de carga e FP.
A análise das condições de existência de autoexcitação em torno da região operativa possibilitou que superfícies de projeto 푆 fossem obtidas. Tais superfícies podem ser obtidas a partir do conhecimento dos parâmetros da máquina em análise, da matriz impedância do SEIG e da aplicação do algoritmo desenvolvido neste trabalho. Essas superfícies e suas curvas de nível, quando traçadas em torno dos limites de velocidade mecânica admitidos pela RO e para a 푃 , possibilitam o dimensionamento da PRAE de tal forma a promover a existência da autoexcitação para as demais condições de carga, FP e velocidade mecânica, sendo úteis no dimensionamento do SEIG.
A 푆 foi utilizada também para analisar a influência que a variação das resistências de estator e rotor devido à variação de temperatura, provocam nas condições de existência de autoexcitação em torno da RO. Foi observado que tais variações apresentam influência pouco significativa e podem ser desprezadas no projeto do SEIG.
109
Embora a análise das raízes do determinante da matriz impedância do sistema seja suficiente para predizer a existência ou não da autoexcitação em torno da RO e permitiram que a 푆 fosse obtida, as condições dinâmicas de corrente e tensão fornecidas pelo gerador não podem ser calculadas a partir desta análise.
O modelo dinâmico do SEIG foi apresentado de tal forma que a não linearidade da indutância de magnetização, obtida experimentalmente, fosse levada em consideração. Este modelo permitiu analisar a dinâmica do processo de autoexcitação sendo possível verificar o comportamento temporal da corrente e da indutância de magnetização quando o processo de autoexcitação ocorre. Com as simulações realizadas a partir do modelo dinâmico, foi possível verificar que a autoexcitação é garantida para todas as condições de potência elétrica da carga que são envolvidas pela RO, portanto, a 푆 e suas curvas de nível podem ser utilizadas no dimensionamento do SEIG. Mesmo para as condições transitórias de velocidade que ocorrem na prática durante a aplicação da carga, a autoexcitação é mantida se a velocidade voltar para a faixa compreendida pela RO.
As simulações permitiram verificar também que se o SEIG encontra-se autoexcitado, o mesmo admite uma sobrecarga maior que a potência máxima operativa de projeto. Isso se deve ao fato de que a curva de magnetização apresenta um valor máximo, superior ao valor inicial correspondente a corrente de magnetização nula. Como a característica da curva de magnetização é intrínseca a cada máquina e depende dos aspectos construtivos da mesma, esta capacidade de sobrecarga suportada pelo SEIG sem a perda da autoexcitação depende de cada máquina. Logo, geradores que apresentam curvas de magnetização com 퐿 mais elevados suportam maiores sobrecargas.
Os valores da frequência elétrica da tensão gerada foram analisados com o auxílio do modelo dinâmico. Para a máquina utilizada neste trabalho, as variações de frequência elétrica da tensão gerada são menores que 3% quando o FP da carga encontra-se acima de 0.6 e a velocidade mecânica em 1.05pu, com a PRAE projetada a partir da potência operativa máxima e da menor velocidade mecânica. As simulações mostram que embora esta PRAE mantenha as variações da frequência elétrica da tensão gerada em condições aceitáveis para sistemas operando de forma isolada e que esta PRAE propicia e mantém a autoexcitação para todas as condições de carga aplicada ao GI, tal PRAE faz com que a corrente de estator do gerador apresente valores acima dos valores nominais quando a potência da carga aplicada ao SEIG é nula ou com 퐹푃 = 1.0. Na prática como o GI parte sem carga, uma PRAE mínima pode ser aplicada a fim de propiciar a autoexcitação e a manutenção da mesma pode ser obtida com a aplicação de mais PRAE a partir do momento que o SEIG começa a admitir carga elétrica em seus terminais.
O desenvolvimento da bancada para estudos com geração assíncrona e a utilização da mesma, possibilitou verificar de forma experimental todas as análises de existência de autoexcitação desenvolvidas no trabalho. Os resultados experimentais obtidos mostram que as análises desenvolvidas sobre a existência de autoexcitação, assim como os resultados obtidos da simulação do modelo dinâmico, são concordantes, seja do ponto de vista de valores de
110
potência de autoexcitação e velocidade mecânica, quanto das comparações dinâmicas do modelo.
A concepção da bancada permite que vários tipos de ensaio com o gerador de indução possam ser realizados, dentre eles a conexão de cargas desequilibradas, aplicação de elevados valores de potência reativa de autoexcitação, variação da velocidade em tempos pré-determinados e a conexão do gerador em paralelo com a rede da concessionária. Isso faz com que a mesma possa ser utilizada em trabalhos futuros e alguns são destacados a seguir.
6.1 Sugestão de Trabalhos Futuros
Como sugestão de trabalhos futuros, os seguintes assuntos podem ser abordados:
Análise e estudo do ciclo limite, que é a condição de operação do SEIG, sob o ponto de vista da amplitude da oscilação. Isso possibilita a análise da amplitude da tensão gerada, o que permite determinar as condições operativas dinâmicas de tensão e corrente para os pontos de equilíbrio do ciclo limite em que o SEIG opera.
Obter uma função analítica da superfície de projeto que permita o dimensionamento
da PRAE a ser conectada ao SEIG. Tal função pode ter como variáveis a potência da carga e seu FP e a velocidade mecânica do gerador. Isso possibilita que a PRAE seja encontrada de uma forma mais prática do ponto de vista de projeto.
Associar a função de projeto com o estudo do ciclo limite de tal forma a possibilitar
o cálculo da tensão e da corrente para cada condição operativa do gerador de indução, impedindo que valores indesejáveis de corrente sejam obtidos devido a aplicação da PRAE.
Analisar o processo de autoexcitação em condições de carga e potência reativa de
autoexcitação desequilibradas.
Analisar as condições dinâmicas de existência de autoexcitação incluindo o modelo matemático da máquina primária e de sua regulação de velocidade.
111
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115
Apêndice A
Ensaios Realizados para a Obtenção dos Parâmetros do Gerador de Indução
1.0 Introdução
A máquina utilizada como gerador consiste em um motor de indução com rotor em gaiola de esquilo de barras simples, categoria “D”. O material do rotor é de cobre, fato que caracteriza uma resistência de rotor menor quando comparado a máquinas de indução com rotor em alumínio. O motor é de alto rendimento e segundo o fabricante, este melhor desempenho é obtido com a aplicação de materiais de maior pureza, no caso do cobre que constituí os enrolamentos do estator e barras do rotor e melhores características magnéticas das chapas que formam o núcleo do estator. Além de tais melhorias do ponto de vista dos materiais empregados, a carcaça do gerador é de alumínio, o que possibilita maior desempenho no resfriamento e dissipação do calor.
A potência do gerador é de 7.5kW, IV polos e pode ser acionado em três níveis de tensão como pode ser observado na Figura 1.1A.
Figura 1.1A: Características construtivas e elétricas do Gerador de Indução.
116
O monitoramento da velocidade da máquina pode ser obtido com o auxílio de um encoder incremental TTL de 1024 pulsos acoplado diretamente no eixo da máquina. A fim de se obter valores reais da temperatura interna, o equipamento possui três sensores de temperatura do tipo PT100 a dois fios alojados no estator conforme mostra a Figura 1.1A. O equipamento possui grau de isolação F(155C) e em condições nominais trabalha á uma temperatura de 80C.
Os parâmetros da máquina de indução são fundamentais para a modelagem matemática do equipamento. Nesta modelagem os parâmetros: Resistência de estator e rotor, reatâncias de dispersão de estator e rotor e reatância de magnetização devem ser conhecidos. Tais parâmetros são obtidos através de alguns ensaios realizados na máquina e do equacionamento do circuito do gerador em regime permanente. Alguns destes ensaios são normatizados pela NBR 5383-1 (2002), Máquinas Elétricas Girantes Parte 1: Motores de indução trifásicos, que é aplicada nos ensaios de motores de indução trifásicos e podem ser utilizados na obtenção dos parâmetros da máquina independente do modo de funcionamento desta, ou seja, modo motor ou modo gerador. Para a obtenção dos parâmetros do gerador, os seguintes ensaios realizados são suficientes:
Ensaio de resistência de estator Ensaio a vazio à velocidade síncrona Ensaio com rotor bloqueado Ensaio à velocidade síncrona
A Figura 1.2A mostra o circuito equivalente por fase do gerador de indução em regime permanente.
Figura 1.2A: Circuito equivalente do Gerador de Indução em regime permanente.
Nesta figura,
푅 Resistência de estator
푋 Reatância de dispersão do estator
117
푅 Resistência de rotor
푋 Reatância de dispersão do rotor
푋 Reatância de magnetização
푅 Resistência que representa as perdas no núcleo do estator (ferro)
퐼 Corrente total do ramo magnetizante
푖 Corrente de magnetização
퐼 Corrente das perdas no núcleo
퐼 Corrente do estator
퐼 Corrente do rotor
푉 Tensão aplicada ao estator
푆 Escorregamento.
2.0 Resistência de Estator
Um dos métodos apresentados na NBR 5383-1 para a medição da resistência de estator é o método da queda de tensão ou método DC. Este método é utilizado para medições de baixas resistências e consiste na aplicação direta de corrente contínua nos enrolamentos do estator da máquina com o auxílio de uma fonte DC.
Segundo Chapman (2005), a resistência de estator é independente da resistência de rotor (푅 ) e das reatâncias de dispersão (푋푙 e 푋푙 ), logo a corrente contínua que circula no enrolamento não produz nenhuma tensão induzida no rotor e não existe, portanto, nenhum fluxo resultante de corrente no rotor, o que possibilita a medição direta da resistência de estator.
A NBR 5383-1 menciona que a corrente a ser aplicada no ensaio não deve ser superior a 15% da corrente nominal a fim de evitar o superaquecimento do estator, porém, Chapman (2005) afirma que melhores resultados são obtidos quando a corrente contínua aplicada no ensaio chega a valores mais próximos da corrente nominal. A fim de obter a menor corrente nominal possível nos enrolamentos do estator, foi utilizado o fechamento dos terminais do estator em estrela série. Quando ligado desta forma, o gerador pode operar com uma corrente nominal de 7.58A.
A Figura 1.3A mostra o esquema de ligação dos terminais do gerador e a configuração final dos equipamentos utilizados neste ensaio. Nesta figura, A e V representam respectivamente uma fonte de corrente contínua e um voltímetro.
118
Figura 1.3A: Configuração da ligação dos enrolamentos do gerador e ligação dos equipamentos utilizados no ensaio DC.
Chapman (2005) e Seyoum (2003), mencionam que a resistência de estator altera-se de forma significativa com o aumento da temperatura, logo o ensaio pode ser realizado com a máquina em temperatura nominal de operação ou a resistência calculada a uma temperatura menor que a temperatura de operação pode ser corrigida através da equação seguinte apresentada na NBR 5383-1.
푅 = 푅(푡 + 푘 )(푡 + 푘 )
A(01)
Onde:
푅 Resistência de estator corrigida para a temperatura nominal de operação
푅 Resistência de estator a temperatura não corrigida
푡 Temperatura durante o ensaio
푡 Temperatura a ser corrigida
푘 Constante (234,5 para o cobre eletrolítico com 100% de condutividade).
Durante o ensaio, as medições de temperatura foram obtidas através do sistema de aquisição de dados cDAQ da National Instruments e dos sensores de temperatura mencionados anteriormente. Segundo a NBR 5383-1 (2002), o ensaio deve ser repetido para todas as fases. O Quadro 1.1 mostra os valores de tensão e corrente obtidos nas medições.
O cálculo da resistência de estator pode ser obtido através da equação A(02).
푅 é = 푉 é
퐼 é=
14,4445,006
= 2,886Ω A(02)
119
Como existem quatro enrolamentos ligados em série, (ver Figura 1.3A), a resistência de estator a uma temperatura de 25C resulta em,
푅 = 푅 é
4=
2,8864
= 0,721Ω. A(03)
Quadro 1.1: Valores obtidos no ensaio DC
3.0 Ensaio a Vazio
O ensaio a vazio é geralmente utilizado para a obtenção da resistência que representa as perdas no núcleo do estator (푅 ), perdas rotacionais ocasionadas por atrito e ventilação e auxilia na determinação das reatâncias de magnetização e de dispersão do estator e do rotor. Neste ensaio, a máquina é acionada com tensões trifásicas equilibradas a frequência nominal. As seções 3.1 e 3.2 mostram dois ensaios a vazio, o primeiro para determinar as perdas por atrito e ventilação e o segundo para auxiliar na determinação dos demais parâmetros do gerador.
3.1 Ensaio a Vazio para a Obtenção das Perdas por Atrito e Ventilação
Segundo Del Toro (1994), quando a máquina de indução opera a vazio e com tensão nominal, esta absorve potência ativa necessária para alimentar as perdas no cobre do estator, as perdas por atrito e ventilação e as perdas no núcleo do estator. A equação
Temp. Inicial - Graus 24,92 Temp. Final - Graus 25,19Fases VDC (V) I (A) Req
R - S 14,45 5,01 2,884R - S 14,58 5,03 2,899R - S 14,5 5,00 2,900R - T 14,39 5,02 2,867R - T 14,45 5,00 2,890R - T 14,58 5,00 2,916S - T 14,32 5,00 2,864S - T 14,38 4,99 2,882S - T 14,35 5,00 2,870
VDC (V) Média 14,444I (A) Média 5,006Req Média 2,886
Ensaio - Resistência de Estator - Configuração dos enrolamento -Estrela Série
120
푃 = 푃 + 푃 + 푃 A(04)
mostra tal balanço de potências, onde:
푃 Potência ativa medida no ensaio a vazio
푃 Perdas no cobre do estator
푃 Perdas por atrito e ventilação
푃 Perdas no núcleo do estator.
A NBR 5383-1 mostra que as perdas por atrito e ventilação podem ser obtidas medindo-se os valores de potência, corrente e tensão (a frequência nominal), variando-se a tensão do valor desde 125% da tensão nominal até o valor de tensão mínimo que ocasiona o aumento da corrente. Quando isso ocorre, a velocidade do rotor começa a ficar muito abaixo da velocidade síncrona e a tensão aplicada não é mais capaz de suprir as perdas rotacionais e as perdas no cobre e no ferro.
Como a tensão inicial a ser aplicada no ensaio é muito elevada, Del Toro (1994) menciona que neste ensaio a tensão inicial a ser aplicada pode ser a tensão nominal.
A Figura 1.4A mostra o esquema de ligação do gerador de indução (GI) e dos demais dispositivos utilizados neste ensaio.
Figura 1.4A: Esquema de ligação do Gerador de Indução e de demais equipamentos para o ensaio a vazio.
Na figura 1.4A, “P1” e “P2” representam dois wattímetros utilizados para a medição de potência trifásica pelo método dos dois wattímetros. “A” e “V” representam amperímetros e voltímetros utilizados para as medições de corrente de linha e tensão de fase. O Quadro 1.2 mostra os resultados obtidos neste ensaio. A corrente IL é obtida da média das correntes de linha e a potência trifásica perdida no cobre do estator P pode ser calculada por,
121
푃 = 3푅 퐼 A(05)
onde 푅 = 0.721Ω (25).
Quadro 1.2: Levantamento das perdas por Atrito e Ventilação.
A NBR 5383-1 define que a extrapolação da curva da potência de entrada (푃 )
Tensão Fase (V)Tensão Linha (V)
calculadoIL (A) Pentrada (w) P cu s (w) calculado
221 382,78 7,13 409 109,96210 363,73 6,16 360 82,08205 355,07 5,79 349 72,51200 346,41 5,5 337 65,43195 337,75 5,25 321 59,62190 329,09 4,81 310 50,04185 320,43 4,59 298 45,57180 311,77 4,4 298 41,88175 303,11 4,16 281 37,43170 294,45 3,98 271 34,26165 285,79 3,78 264 30,91160 277,13 3,64 253 28,66155 268,47 3,47 247 26,04150 259,81 3,34 238 24,13145 251,15 3,21 232 22,29140 242,49 3,07 226 20,39135 233,83 2,94 218 18,70130 225,17 2,83 216 17,32125 216,51 2,73 209 16,12120 207,85 2,56 203 14,18115 199,19 2,45 197 12,98110 190,53 2,4 191 12,46105 181,87 2,31 184 11,54100 173,21 2,22 180 10,6695 164,54 2,11 174 9,6390 155,88 2,03 169 8,9185 147,22 1,92 164 7,9780 138,56 1,82 161 7,1675 129,90 1,75 157 6,6270 121,24 1,63 152 5,7565 112,58 1,58 147 5,4060 103,92 1,49 143 4,8055 95,26 1,42 142 4,3650 86,60 1,39 137 4,1848 83,14 1,32 135 3,7746 79,67 1,32 134 3,7745 77,94 1,29 133 3,6044 76,21 1,35 135 3,94
Temp. Inicial. (C °) 23,4Temp. Final (C °) 26,8RPM Inicial 1797RPM Final 1791
Ensaio a vazio - Perdas por Atrito , Ventilação e Ferro - Ensaio trifásico
122
diminuída da potência das perdas no cobre do estator (푃 ) em função da variação da tensão aplicada, resulta nas perdas por atrito e ventilação. O valor de 푃 aproxima-se de 104W e pode ser verificada na Figura 1.5A.
Figura 1.5A: Perdas por atrito e ventilação obtidos a partir do ensaio a vazio.
3.2 Ensaio a Vazio à Velocidade Síncrona
O levantamento do valor da reatância de magnetização 푋 é encontrado parcialmente no ensaio a vazio à velocidade síncrona. Quando operado a vazio, o rotor da máquina gira com velocidade próxima a velocidade síncrona, logo o escorregamento é praticamente nulo. Chapman (2005) e Del Toro (1994) simplificam o circuito equivalente da máquina de indução considerando o lado direito do circuito da Figura 1.2A em aberto (푅 /0 → ∞). A Figura 1.6A mostra o circuito equivalente para esta consideração.
Figura 1.6A: Circuito equivalente do gerador de indução no ensaio a vazio e à velocidade síncrona.
0 50 100 150 200 250 300 350
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
Tensão de Linha(V)
Pot
ênci
a A
tiva(
W)
Dados ExperimentaisPolinômio 2 OrdemExtrapolação da Curva
123
Embora esta simplificação seja válida, Seyoum (2003) menciona que resultados mais satisfatórios são obtidos se de fato o rotor do gerador for acionado por uma máquina primária até que atinja a velocidade síncrona, fazendo com que realmente os parâmetros do rotor sejam desacoplados do resto do circuito.
A fim de que a velocidade do gerador de indução atingisse à velocidade síncrona, o eixo do mesmo foi acoplado diretamente ao eixo de outra máquina de indução de mesmas características elétricas e mecânicas do gerador e denominada por máquina primária MP. Com o auxílio de um inversor de frequência, parametrizado com controle vetorial de fluxo, a MP foi acionada a 1800RPM.
A Figura 1.7A mostra os esquemas de ligação elétrica dos dispositivos de medição para este ensaio e o esquema do acoplamento mecânico entre o GI e a MP. O Quadro 1.3 mostra os resultados obtidos nas medições.
Quadro 1.3: Medições obtidas no ensaio a vazio e á velocidade síncrona.
O valor de tensão apresentado no Quadro 1.3 é resultado da média das tensões de fase e a corrente é a média das correntes de linha nas três fases. A potência denominada por 푃 é a potência trifásica obtida no ensaio.
Figura 1.7A: Configuração dos equipamentos no ensaio a vazio e à velocidade síncrona.
Vvazio sinc.(V) Ivazio sinc.(A) Pvazio sinc.(W) Velocidade (RPM)
221 7,68 400 1800
Ensaio a vazio á velocidade síncronaTemp. Inicial e Final 42,8 - 43C °
124
Neste ensaio, como a frequência é mantida constante, o ramo paralelo da Figura 1.6A composto por 푅 e 푋 pode ser transformado em uma impedância série equivalente e resulta em
푅 ∥ 푗푋 ⇒ 푍 = 푅 + 푗푋 A(06)
onde,
푅 =
푅 푋푅 + 푋
푋 =푅 푋푅 + 푋
.
A(07)
O circuito equivalente para este ensaio pode ser verificado na Figura 1.8A.
Figura 1.8A: Circuito equivalente para o ensaio a vazio à velocidade síncrona.
Se os parâmetros 푅 e 푋 forem novamente convertidos para um ramo série equivalentes, podemos escrever as equações A(07) na forma
푅 =
푅 + 푋푅
푋 =푅 + 푋푋
.
A(08)
A resistência, a reatância e a impedância total do circuito podem ser escritas por
125
푅 = 푅 + 푅 , A(09)
푗푋 = 푗푋 + 푗푋 , A(10)
|푍 | = 푅 + 푗푋 . A(11)
O fator de potência FP do circuito da Figura 1.8A pode ser calculado por,
퐹푃 = 푃 − 푃
3.푉 퐼 =
400 − 1043.221.7,68
= 0,0581 . A(12)
A impedância total do circuito da Figura 1.8A pode ser obtida através da equação A(13).
|푍 | =푉
퐼 =
2217,68
⇒ |푍 | = 28.78Ω A(13)
Com os dados obtidos de A(12) e A(13), o valor de 푅 pode ser encontrado com o auxílio da equação A(14).
푅 = 푍 .퐹푃 ⇒ 푅 = 1,673Ω A(14)
A correção da resistência a vazio para a temperatura de 25C (ensaio realizado a aproximadamente 43C) resulta em 푅 = 1,565Ω. Com o auxílio da equação A(09), 푅 resulta em 푅 = 푅 − 푅 ⇒ 푅 = 0,844Ω.
Com os valores obtidos em A(13) e A(14), a reatância indutiva (corrigida para 25C) pode ser calculada por
푋 = 푍 − 푅 = 28,78 − 1,565 = 28,74Ω. A(15)
Da equação A(10)
126
푗푋 = 푗푋 −푗푋 . A(16)
Ou seja, a reatância de magnetização fica em função de 푋 que será obtido a partir do ensaio com rotor bloqueado.
4.0 Ensaio com Rotor Bloqueado
O ensaio com rotor bloqueado (curto-circuito) auxilia na determinação das reatâncias de dispersão e resistência do rotor. Esse teste consiste no travamento mecânico do eixo do rotor e na aplicação de tensão trifásica equilibrada na máquina até que a corrente de estator atinja o valor nominal. Com o rotor bloqueado, o escorregamento torna-se igual a 1 e o circuito equivalente do gerador nesta condição pode ser observado na Figura 1.9A.
Na Figura 1.9A, 퐼 e 푉 representam respectivamente a corrente e a tensão aplicada ao estator da máquina.
Segundo Chapman (2005), este ensaio pode apresentar um problema, pois quando operando em condições normais, a frequência que o estator fica submetido é a mesma que a da rede de alimentação e como normalmente o escorregamento é baixo, a frequência da corrente induzida no rotor também é baixa (1 a 3 Hz). Portanto, neste ensaio, a frequência que o rotor fica submetido é igual à frequência aplicada no estator. Em motores de classe B e C, a resistência do rotor é projetada para ser uma função da frequência do rotor, logo, na partida a resistência é alta (rotor bloqueado) e diminui com o aumento da velocidade do rotor. Uma das alternativas para este ensaio e apresentadas por Chapman (2005), é realizar o ensaio com uma frequência igual ou menor a 25% da frequência nominal. Chapman (2005) menciona ainda que tal metodologia pode ser adotada para máquinas do tipo A e D.
Figura 1.9A: Circuito equivalente para o GI com rotor bloqueado.
Fitzgerald at al. (2006) afirma que motores da classe A e D e de potência menor que 25HP, podem ser ensaiados com frequência nominal, porém, é imprescindível que durante o
127
ensaio a corrente alcance o valor mais próximo possível da corrente nominal, pois as reatâncias de dispersão são afetadas significativamente pela saturação do estator. Como a máquina em teste é da classe D e sua potência é de 7.5kW, o ensaio pode ser realizado com frequência de 60Hz.
A impedância total do circuito da Figura 1.9A pode ser obtida de,
푍 = 푅 + 푗푋 = 푅 + 푗푋 + (푅 + 푗푋 ) ∥ (푅 + 푗푋 ). A(17)
Segundo Chapman (2005), para máquinas da classe D, 푋 = 푋 . Levando isso em consideração e substituindo 푅 = (푅 − 푅 ) e 푗푋 = (푗푋 − 푗푋 ) na equação A(17), após algumas manipulações algébricas, 푍 pode ser separado em suas partes reais e imaginárias e resulta em,
푅 =푅 − 푅 푅 + 푅 푅 − 푅 푅 − 푋 푋 + 2푋 푋 − 푋
푅 − 푅 A(18)
푋 =
−푅 푋 − 푅 푋 + 푅 푋 − 푅 푋 + 푅 푋 + 푋 푅2(푅 − 푅 )
. A(19)
O valor da tensão apresentada no Quadro 1.4 é resultado da média das tensões de fase e a corrente é a média das correntes nas três fases. A potência denominada por 푃 é a potência trifásica obtida no ensaio.
Quadro 1.4: Medições obtidas no ensaio com rotor bloqueado.
O fator de potência FP do circuito da Figura 1.9 pode ser calculado por,
퐹푃 = 푃
3.푉 퐼=
62540,67.13,87
= 0,3693. A(20)
A impedância total do circuito da Figura 1.9A pode ser obtida através da equação A(21).
Temp. Inicial e Final(C °) Vbloqueado (V) Ibloqueado (A) Pbloqueado (W)
40,67 13,87 625
31,4 - 43,8Ensaio com rotor bloqueado
128
푍 =푉퐼
=40.6713,87
⇒ 푍 = 2,932Ω A(21)
Com os dados obtidos de A(20) e A(21), o valor de 푅 pode ser encontrado.
푅 = 푍 .퐹푃 ⇒ 푅 = 1,083Ω A(22)
A correção da resistência bloqueada para a temperatura de 25C (ensaio realizado a aproximadamente 44C) resulta em 푅 = 1,01Ω.
Com os valores obtidos em A(21) e A(22) a reatância indutiva pode ser calculada por
푋 = 푍 − 푅 = 2,932 − 1,01 = 2,753Ω. A(23)
Substituindo 푅 obtido através da equação A(18) na equação A(19), após algumas simplificações é possível escrever
푎 푋 + 푏 푋 + 푐 = 0 A(24)
sendo que,
푎 = 푋 − 푋
푏 = −2(푋 푎 + 푏 푐 )
푐 = 푐 푋 − 푑 푋 + 푋 푋 푎
푏 = 푅 − 푅
푐 = 푅 − 푅
푑 = 푅 − 푅 . A(25)
Embora a equação A(24) apresenta duas soluções na forma
푋 =
−푏 ± 푏 − 4푎 푐2푎
A(26)
129
Seyoum (2003) mostra que a solução que leva em consideração o termo negativo da equação A(26), ou seja,
푋 =
−푏 − 푏 − 4푎 푐2푎
A(27)
é que realmente possui significado físico.
Substituindo os valores de 푅 , 푋 , 푅 e 푋 encontrados a partir das equações A(22), A(23), A(18) e A(19) nas equações A(25) e resolvendo A(27), é possível encontrar o valores 푋 = 푋 que resulta em 푋 = 푋 = 1,4091Ω.
A solução da equação A(18) obtida com a substituição de 푋 resulta em 푅 = 0,3948Ω.
Finalmente com tais parâmetros calculados, 푋 pode ser calculado com o auxílio da equação A(11) apresentada novamente em A(28) e resulta em
푗푋 = 푗푋 − 푗푋 ⇒ 푗푋 = 28,74 − 1,4091 = 27,33Ω. A(28)
Com o valor de 푅 obtido de A(09), 푅 e 푗푋 podem ser calculados a partir da equação A(8) apresentada novamente em A(29).
푅 =
푅 + 푋푅
⇒ 푅 =0,844 + 27,33
0,844⇒ 푅 = 885,83Ω
푋 =푅 + 푋푋
⇒ 푋 =0,844 + 27,33
27,33⇒ 푋 = 27,36Ω
A(29)
O circuito equivalente em regime permanente por fase pode ser visualizado na Figura 1.10A.
Figura 1.10A: Parâmetros do circuito equivalente e em regime permanente para o GI.
130
5.0 Curva de Magnetização
Em regime permanente a reatância de magnetização 푋 é constante e a máquina opera em um ponto onde a corrente de magnetização encontra-se saturada. O valor da indutância de magnetização dada por
퐿 = 푋
2πf A(30)
onde f é a frequência síncrona, é importante para verificar o comportamento do gerador em regime permanente, porém, a dinâmica da máquina e a autoexcitação dependem exclusivamente da curva 퐿 x 푖 denominada de curva de magnetização, como apresentado em Bodson and Kiselychnyk (2010b) e Kalemen et al. (2012).
De uma forma geral, a curva de magnetização é obtida através do ensaio a vazio á velocidade síncrona. As ligações dos equipamentos e acoplamentos mecânicos são os mesmos já apresentados na Figura 1.7A. Quando o gerador atinge a velocidade síncrona com o auxílio da máquina primária, a tensão nos terminais do estator do gerador é aumentada de zero até atingir aproximadamente 120% da tensão nominal. Como apresentado por Seyoum (2003), Kalemen et al. (2012), as medições das tensões, correntes e potências ativas auxiliam na determinação da curva. A Figura 1.11A(a) mostra o circuito equivalente para este ensaio.
Figura 1.0.11A: Ensaio a vazio e à velocidade síncrona. (a) Circuito equivalente. (b) Aproximação do circuito equivalente.
O diagrama fasorial para o circuito da Figura 1.11A(a) pode ser observado na Figura 1.12A(a) e os valores da tensão interna 푉 e da corrente 푖 resultam em
푉 = 푉 − (푅 + 푗푋 ) |퐼 | A(31)
131
푖 = 퐼 sinφ A(32)
Figura 1.12A: Diagramas fasoriais para o ensaio a vazio e à velocidade síncrona. (a) Diagrama fasorial para o circuito equivalente. (b) Diagrama fasorial para a aproximação do circuito equivalente.
O ângulo φ (Fator de potência) pode ser obtido a partir dos valores medidos de corrente, tensão e potência com o auxílio da equação A(20). A tensão interna 푉 calculada com a equação A(31) resulta em um fasor cujo ângulo α depende da resistência de estator e da reatância de dispersão de estator, portanto, para cada valor de tensão, corrente e potência medida no ensaio, um valor de 푋 deve ser encontrado a fim de possibilitar o cálculo de 퐿 a partir da equação A(33).
퐿 =
푉2πf 푖
A(33)
Na prática, o valor de 푋 para cada valor de tensão aplicada e corrente resultante no gerador não é calculado. A aproximação geralmente utilizada é assumir o circuito da Figura 1.11A(b), onde a resistência de perdas no ferro do estator é eliminada (muito maior 푋 ) e a queda de tensão sobre todo o ramo indutivo torna-se
푉 = 푉 − 푅 퐼 . A(34)
Como 푋 ≪ 푋 o ângulo α′ verificado no diagrama fasorial da Figura 1.12A(b) pode ser considerado nulo e 푋′ = 푋 + 푋 , portanto,
퐿′ = |푉 ′|
2πf 푖. A(35)
132
A equação A(35) é uma boa aproximação de 퐿 e geralmente é utilizada nos modelos do gerador de indução, como apresentado por Seyoum (2003), Bodson and Kiselychnyk (2010a) e vários outros trabalhos. Stankovic et al. (2003), apresentam outro método de ensaio que permite encontrar 퐿 sem o termo de 퐿 embutido nos resultados, porém as curvas obtidas com o ensaio proposto por tais autores são idênticas ás curvas obtidas com os ensaios convencionas e diferem apenas por um pequeno deslocamento da curva no sentido do eixo das abscissas.
O gráfico da Figura 1.13A mostra a curva de magnetização obtida no ensaio. A aproximação dos pontos experimentais pode ser definida por dois polinômios “a” e “b”, apresentados na equação A(36).
0 < 푖 ≤ 2,66퐴 ⇒ 퐿 (푖 ) = −0.0001푖 + 0.002푖 − 0.0190푖 + 0.0555 푖 + 0.1656 (푎)
2,66 < 푖 ≤ 13,5퐴 ⇒ 퐿 (푖 ) = 0.00004351푖 − 0.00020814푖 − 0.01762푖 + 0.2592 (푏) A(36)
A linha tracejada da Figura 1.13A é a extrapolação do polinômio “a” até 푖 = 0퐴. Devido à impossibilidade de medições de potência ativa para pequenos valores de corrente (escala dos dispositivos de medição), a extrapolação da curva possibilita uma aproximação de 퐿 para valores de corrente de magnetização próximos a zero (퐿 (0) = 퐿 = 0.1656퐻).
Figura 1.13A: Curva de magnetização para o GI.
A Figura 1.14A mostra a curva da indutância de magnetização em função da tensão interna 푉 ′ de fase, cuja aproximação resulta no polinômio de quarta ordem da equação A(37).
0 2 4 6 8 10 12 140.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
Corrente de Magnetização im(A)
L m(H
)
Dados Experimentais
Polinômio 4a OrdemDados Experimentais
Polinômio 3a Ordem
Extrapolação Pol. 4a Ordem
133
퐿 (푉 ′) = −1푥10 푉 ′ + 6푥10 푉 ′ − 2푥10 0푉 ′ + 0.0016 푉 ′+ 0.1605 A(37)
Figura 1.14A: Variação de 퐿 em função da tensão interna Vi'.
A Figura 1.15A mostra a curva da tensão 푉 ′ de fase em função da corrente de magnetização, cuja aproximação resulta no polinômio de terceira ordem da equação A(38).
푉 (푖 ) = 0.18226푖 − 5.6394푖 + 63.2870푖 − 10.8159 A(38)
Figura 1.15A: Variação da tensão Vi' em função de 푖 .
0 50 100 150 200 2500.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
Tensão de Fase Vi´(V)
L m(H
)
Dados Experimentais
Polinômio 4a OrdemExtrapolação da Curva
2 4 6 8 10 12 140
50
100
150
200
250
Corrente de magnetização im(H)
Tens
ão d
e fa
se in
tern
a V
i´(V
)
Dados Experimentais
Polinômio 3a OrdemExtrapolação da Curva
134
135
Apêndice B
Características Eletromecânicas do GI
Tabela B.1: Parâmetros elétricos do gerador de indução.
Parâmetro Especificação do Parâmetro Valor 푘푊(퐶푉) Potência 7.5kW(10CV) 푛 Número de polos 4 V Tensões de alimentação 220/380/440V 퐼 Corrente nominal em dupla estrela 14.1A 퐼 /퐼 Corrente de rotor bloqueado 8.5 cos휑 Fator de potência a 100% da potência nominal 0.84 Rendimento a 100% da potência nominal 89.50% FS Fator de serviço 1.15 푡 Tempo máximo com rotor bloqueado 6s 푅 Resistência de estator 0.721Ω a 25C 푅 Resistência de rotor 0.395Ω a 25C 푅 Perdas no núcleo 885.83Ω a 25C 퐿 Indutância de dispersão do estator 3.737mH 퐿 Indutância de dispersão do rotor 3.737mH 퐿 Indutância de magnetização em regime
permanente 72.575mH
Tabela B.2: Parâmetros mecânicos do gerador de indução.
Parâmetro Especificação do Parâmetro Valor Carcaça Tipo e tamanho da carcaça 132S 푅푃푀 Velocidade mecânica em rotações por minuto 1770RPM 퐶 Conjugado nominal 4.05kgf.m 퐶 /퐶 Conjugado com rotor bloqueado 260% 퐶 ./퐶 Conjugado máximo 310% J Momento de Inércia 0.0035kg.m2