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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

CONDIÇÕES DE ENERGIA DE HAWKING E ELLIS EA EQUAÇÃO DE RAYCHAUDHURI

CRISLANE DE SOUZA SANTOS

NATAL-RNABRIL 2011

CRISLANE DE SOUZA SANTOS

CONDIÇÕES DE ENERGIA DE HAWKING E ELLIS EA EQUAÇÃO DE RAYCHAUDHURI

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-

Graduação em Física do Departamento de Física Teórica e Expe-

rimental da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como

requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Física.

Orientador: Prof. Dr. Janilo Santos

NATAL-RNABRIL 2011

Aos meus queridos pais, Creusa e Auto, que me inspiram a

cada dia que acordo.

i

AGRADECIMENTOS

• A Deus, O Criador de todas as coisas e fonte de amor, paz e sabedoria, elementos

indispensáveis na elaboração da minha dissertação.

• Aos meus pais, Auto e Creusa, pelo amor incondicional.

• Aos meus irmãos Anne Caroline Souza, Danilo Souza e Gislande Souza pela cumpli-

cidade e amizade.

• Ao Lívio, pela compreensão e paciência.

• Ao meu orientador, Dr. Janilo Santos, pela sua dedicação, paciência, e sobre tudo

disponibilidade em transmitir conhecimentos.

• Aos amigos em especial, Juliana Cerqueira e Noelia Souza pelo apoio constante.

• A todos os meus colegas do DFTE/UFRN em especial Eliângela Paulino, Flodoaldo

de Lima, Msc. Hidalyn Mattos, Msc. Marcelo Brito e Nyladih Mattos pelo ambiente

de amizade e companheirismo criado durante a parte curricular, e que permitiram

tornar este curso um espaço de crescimento.

• Ao Drs. Antônio Macedo e Gabriel Alves Mendes pela ajuda na resolução de pro-

blemas técnicos, pelo apoio e pela amizade quando sempre se fez necessário.

• A todos os professores da PPGF-UFRN em particular Dr. Ananias Mariz, Dr.

Dory Hélio Anselmo, Dr. Francisco Alexandre, Dr. Luciano Silva e Dr. José Re-

nan de Medeiros que direta ou indiretamente contribuíram para a minha formação

acadêmica .

• Aos funcionários do PPGF-UFRN em especial Celina Pinheiro e Maria Deílda "por

estarem sempre por perto".

• Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPQ) pelo

apoio financeiro.

ii

“A coisa mais bela que o homem pode experimentar é o mis-

tério. É essa emoção fundamental que está na raiz de toda

ciência e toda arte.”

Albert Einstein

iii

Resumo

Na teoria da Relatividade Geral de Einstein as equações de campo relacionam a geome-

tria do espaço-tempo com o conteúdo de matéria e de energia, fontes do campo gravitaci-

onal. Esse conteúdo é descrito por um tensor de segunda ordem, conhecido como tensor

energia-momento. Por outro lado, os tensores energia-momento que possuem significado

físico não são especificados por essa teoria. Na década de 70, Hawking e Ellis estabele-

ceram algumas condições, consideradas plausíveis do ponto de vista físico, com o intuito

de limitar as arbitrariedades desses tensores. Essas condições ficaram conhecidas como

condições de energia de Hawking-Ellis, desempenham papéis importantes no cenário da

gravitação. Elas são largamente usadas como poderosas ferramentas de análise, desde a

demonstração de importantes teoremas relativos ao comportamento de campos gravitaci-

onais e geometrias associadas, comportamento quântico da gravitação, até as análises de

modelos cosmológicos. Nesta dissertação apresentamos uma dedução rigorosa das várias

condições de energia em voga atualmente na literatura científica, tais como: Condição

de Energia Nula (NEC), Condição de Energia Fraca (WEC), Condição de Energia Forte

(SEC), Condição de Energia Dominante (DEC) e Condição de Energia Dominante Nula

(NDEC). Tendo em mente as aplicações mais corriqueiras em Gravitação e Cosmologia,

as deduções foram feitas inicialmente para um tensor energia-momento de um fluido per-

feito generalizado e depois estendidas aos campos escalares com acoplamento mínimo

e não-mínimo ao campo gravitacional. Apresentamos também um estudo sobre as pos-

síveis violações de algumas dessas condições de energia, visando o estudo da natureza

singular de algumas soluções exatas da Relatividade Geral de Einstein, em 1955, o físico

indiano Raychaudhuri derivou uma equação que hoje é considerada fundamental para

o estudo da atração gravitacional da matéria, a qual ficou conhecida como equação de

Raychaudhuri. Essa célebre equação é considerada o alicerce da compreensão da atração

gravitacional em Astrofísica e Cosmologia e dos teoremas de Singularidades, como por

exemplo, o teorema de Hawking e Penrose sobre a singularidade do colapso gravitacio-

nal. Nesta dissertação derivamos a equação de Raychaudhuri, o teorema de Frobenius e

o teorema da Focalização para congruências tipo-tempo e tipo-nulas de uma variedade

pseudo-riemanniana. Discutimos o significado geométrico e físico dessa equação, sua

conexão com as condições de energia, e algumas de suas inúmeras aplicações.

Palavras-chaves: Relatividade Geral, Condições de Energia, Equação de Ray-

chaudhuri.

iv

Abstract

In the Einstein’s theory of General Relativity the field equations relate the geometry of

space-time with the content of matter and energy, sources of the gravitational field. This

content is described by a second order tensor, known as energy-momentum tensor. On

the other hand, the energy-momentum tensors that have physical meaning are not spec-

ified by this theory. In the 70′s, Hawking and Ellis set a couple of conditions, considered

feasible from a physical point of view, in order to limit the arbitrariness of these tensors.

These conditions, which became known as Hawking-Ellis energy conditions, play impor-

tant roles in the gravitation scenario. They are widely used as powerful tools for analysis;

from the demonstration of important theorems concerning to the behavior of gravitational

fields and geometries associated, the gravity quantum behavior, to the analysis of cosmo-

logical models. In this dissertation we present a rigorous deduction of the several energy

conditions currently in vogue in the scientific literature, such as: the Null Energy Con-

dition (NEC), Weak Energy Condition (WEC), the Strong Energy Condition (SEC), the

Dominant Energy Condition (DEC) and Null Dominant Energy Condition (NDEC). Bear-

ing in mind the most trivial applications in Cosmology and Gravitation, the deductions

were initially made for an energy-momentum tensor of a generalized perfect fluid and

then extended to scalar fields with minimal and non-minimal coupling to the gravita-

tional field. We also present a study about the possible violations of some of these energy

conditions. Aiming the study of the single nature of some exact solutions of Einstein’s

General Relativity, in 1955 the Indian physicist Raychaudhuri derived an equation that is

today considered fundamental to the study of the gravitational attraction of matter, which

became known as the Raychaudhuri equation. This famous equation is fundamental for

to understanding of gravitational attraction in Astrophysics and Cosmology and for the

comprehension of the singularity theorems, such as, the Hawking and Penrose theorem

about the singularity of the gravitational collapse. In this dissertation we derive the Ray-

chaudhuri equation, the Frobenius theorem and the Focusing theorem for congruences

time-like and null congruences of a pseudo-riemannian manifold. We discuss the geo-

metric and physical meaning of this equation, its connections with the energy conditions,

and some of its several aplications.

Keywords: General Relativity, Energy Conditions, Raychaudhuri Equation.

v

LISTA DE FIGURAS

2.1 As regiões sombreadas no plano ρ − p são aquelas que obedecem as condições de

energia designadas. São ilustradas a Condição de Energia Fraca (WEC), a Condição

de Energia Nula (NEC), a Condição de Energia Dominante (DEC), a Condição de

Energia Dominante Nula (NDEC), a Condição de Energia Forte (SEC) e a condição

w ≥ −1 (Figura reportada da referência [20]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Limitações das condições de energia nos potenciais de campos fantasmas. No in-

tervalo (I) os campos fantasmas não violam a SEC, mas violam WEC. No intervalo

(II), ambas (SEC e WEC) são violadas enquanto que na região (III) campos fantas-

mas não violam WEC, mas violam SEC. (Figura retirada da referência [28]). . . . . 32

3.1 O movimento interno de um meio deformável bi-dimensional. (Figura repro-

duzida da referência [17]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Vetor de desvio entre duas geodésicas vizinhas. (Figura retirada da referência [17]). 42

3.3 Familia de hipersuperfícies ortogonais à congruência de geodésicas nulas. (Figura

extraída da referência [17]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4 No eixo vertical temos os valores da função dada por (3.124) para diferentes valores

dos parâmetros ( ΩΛ0 e Ωm0): ΩΛ0 = 1/3 e Ωm0 = 2/3 (verde); ΩΛ0 = 0.6 e Ωm0 =

0.4 (azul); ΩΛ0 = 0.7 e Ωm0 = 0.3 (preto); ΩΛ0 = 0.8 e Ωm0 = 0.2 (vermelho). . . . . 70

vi

LISTA DE SIGLAS

CDM Cold Dark Matter

DEC Dominant Energy Condition

FLRW Friedmann-Lamaître- Robertson- Walker

NDEC Null Dominant Energy Condition

NEC Null Energy Condition

SEC Strong Energy Condition

WEC Weak Energy Condition

vii

SUMÁRIO

Lista de siglas vii

Introdução 1

1 Relatividade Geral: Uma Breve Revisão 6

1.1 Algumas Relações Essenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 O Tensor Energia-Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 O modelo cosmológico de Friedmann-Lamaître-Robertson-Walker (FLRW) 10

1.4 Expansão do Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Condições de Energia 15

2.1 As Condições de Energia na Relatividade Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Condição de Energia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2 Condição de Energia Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.3 Condição de Energia Forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.4 Condição de Energia Dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.5 Condição de Energia Dominante Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Condições de Energias Médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

viii

2.3 Aplicações das Condições de Energias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.1 Condições de Energias e a Expansão Acelerada do Universo . . . . . 25

2.3.2 Condições de Energias para o Campo Escalar . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.3 Campo Escalar com Acoplamento Gravitacional Não Mínimo . . . . 28

2.4 Violações das condições de energia: Alguns exemplos . . . . . . . . . . . . . 30

3 A Equação de Raychaudhuri 33

3.1 Cinemática de Um Meio Deformável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1 Expansão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.2 Distorção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.3 Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.4 Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Congruência de Geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.1 Congruência de Geodésicas Tipo-Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.1.1 Métrica Transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.1.2 Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2.1.3 Teorema de Frobenius para Congruências Tipo-Tempo . . . 45

3.2.1.4 A Equação de Raychaudhuri para Congruências Tipo-Tempo 47

3.2.1.5 Teorema da Focalização para Congruências Tipo-Tempo . . 50

3.2.2 Congruência de Geodésicas Tipo-Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.2.1 Métrica Transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.2.2 Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.2.3 Teorema de Frobenius para Congruências de Geodésicas

Tipo-Nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.2.4 Equação de Raychaudhuri para Congruências de Geodési-

cas Tipo-Nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2.2.5 Teorema da Focalização para Congruências de Geodésicas

Tipo-Nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

ix

3.2.3 O Termo de Aceleração e Parametrizações Não Afim . . . . . . . . . 58

3.2.4 Cálculo da Evolução para Expansão: Exemplos . . . . . . . . . . . . 60

3.3 Aplicações da Equação de Raychaudhuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3.1 Teoremas de Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3.2 Astrofísica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3.3 Modelos Cosmológicos de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker . 67

4 Conclusões e Perspectivas 71

4.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2 Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Referências bibliográficas 74

Apêndice 80

A Geodésicas 80

x

INTRODUÇÃO

"A vida sem ciência é uma espécie de

morte. "

Sócrates

Através dos séculos, o homem sempre esteve em busca de teorias que descrevessem

o Universo. Em sua eterna tentativa de compreender a Natureza e os fenômenos ao seu

redor, ele tem formulado teorias e modelos que respondem às suas indagações. Encon-

trar leis que regem o Cosmo sempre foi um anseio humano. Um dos principais objetivos

dos pesquisadores da antiguidade era entender a interação entre corpos distantes e sug-

erir leis que descrevessem a física do problema. Foram muitas as especulações filosóficas

e qualitativas neste sentido. Entretanto, foi somente no século XVII que o físico inglês

Isaac Newton propôs um tratamento mais formal sobre o processo de interação à distân-

cia de corpos materiais. Chamado de lei da Gravitação Universal. Ela estabelece que dois

corpos se atraem com uma força que é proporcional ao produto das massas dos corpos in-

teragentes e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles, cujo módulo

é dado por

F = Gm1m2

r2, (1)

onde m1 e m2 são as massas dos corpos interagentes, r é distância e G é a constante da

gravitação universal (G = 6, 67x10−11Nm2kg−2). Essa lei prevê as órbitas da Terra, da Lua

1

e dos planetas com precisão. Na teoria da gravitação newtoniana, a interação gravitaci-

onal à distância se dá de forma instantânea, em outras palavras, os efeitos gravitacionais

ocorrerem a uma velocidade infinita.

Albert Einstein, em 1905, munido de interpretações inovadoras de alguns con-

ceitos fundamentais tais como espaço, tempo, matéria e energia, propôs a teoria da Relati-

vidade Especial. Essa teoria tem como pressuposto fundamental que a velocidade da luz é

a mesma para todos os observadores (como demonstrado pelo experimento de Michelson-

Morley) e se mostrou bem sucedida ao descrever o que acontece quando alguma matéria

se desloca em velocidade próxima à da luz [1]. Entretanto, passa ao largo com relação

à teoria da gravidade de Newton, no que diz respeito ao pressuposto que as interações

ocorrem de forma instantânea nessa teoria. Einstein, entre 1908 e 1915, fez uma série de

tentativas visando obter uma teoria de gravidade que fosse compatível com a Relativi-

dade Especial. Por fim, em 1916, ele propôs uma nova teoria de gravidade, chamada de

teoria da Relatividade Geral. Nessa teoria, a gravidade não é uma força e sim uma con-

sequência do fato que o espaço-tempo não é plano, como considerado anteriormente, ou

seja, ele é curvo ou "arqueado" pela distribuição de massa e energia presente.

A teoria da Relatividade Geral é uma teoria geométrica do campo gravitacional.

Apesar de brilhante e inovadora, ela é considerada uma teoria extremamente complexa,

mesmo quando restringimos nossa atenção ao regime puramente clássico. As equações

de campo de Einstein

Gµν = χTµν ,

relacionam a geometria de um dado espaço-tempo à sua distribuição de matéria. No lado

esquerdo temos o tensor de Einstein (Gµν = Rµν − 12gµνR) o qual é definido em termos do

tensor métrico gµν (descreve a geometria do espaço-tempo) e suas derivadas. O primeiro

termo da direita na equação é a constante de acoplamento χ entre o campo e a geometria, o

segundo é o tensor energia-momento Tµν que contém em sua estrutura matemática todas

as informações referentes à energia e aos momentos do campo. Um fato interessante é que

o tensor de Einstein obedece a uma equação de conservação: ∇µGµν = 0, um resultado

de natureza puramente geométrico oriundo das chamadas identidades de Bianchi. Como

os tensores representativos das distribuições de matéria-energia Tµν também obedecem a

mesma lei de conservação, isto nos leva a pensar nas equações de Einstein sem especi-

ficar a teoria da matéria da qual Tµν é derivado. Tal fato nos deixa com um grande leque

2

de arbitrariedades referentes a esse tensor. Considere, por exemplo, a seguinte questão:

quais métricas obedecem as equações de Einstein? Na ausência de vínculos em Tµν , a

reposta é qualquer métrica. Basta simplesmente escolhermos uma métrica, tomarmos

suas derivadas, calcularmos o tensor de Riemann, a partir dele encontrarmos o tensor de

Ricci e em seguida o escalar de Ricci (escalar de curvatura) e por fim, teremos tudo que

precisamos para montar o tensor de Einstein. Esse tensor define naturalmente um Tµν . As-

sim, temos inúmeras possibilidades inquietantes de fontes para os campos gravitacionais.

Entretanto, o que de fato é relevante do ponto de vista físico, são as soluções para as equa-

ções de Einstein na presença de fontes realísticas de energia e momento. Coube então aos

físicos Stephen Hawking e George Ellis, na década de 70, fazerem uma análise de quais

protagonistas poderiam fazer parte deste cenário, interpretando os papéis das fontes de

energia e momento. Para tal feito, eles estabeleceram algumas exigências de natureza pu-

ramente física (embasadas nas formas conhecidas de matéria) sobre as componentes do

tensor energia-momento. Este trabalho foi feito inicialmente para um Tµν de um fluido

perfeito (caracterizado por uma densidade ρ e pressão P ). Essas exigências físicas pas-

saram a ser chamadas de condições de energia da Relatividade Geral. Elas devem ser

suficientemente gerais para satisfazer todos os campos (pelo menos em um nível clássico)

e devem ser invariantes sob mudança de sistemas de coordenadas. Atualmente as condi-

ções de energia mais discutidas na literatura são: Condição de Energia Nula, Condição de

Energia Fraca, Condição de Energia Forte e Condição de Energia Dominante.

As recentes descobertas no campo da Cosmologia Observacional levaram a uma

evidência cada vez mais crescente que o Universo atual está submetido a uma expan-

são acelerada. Com isso, são inúmeros os trabalhos que surgem com esse enfoque e com

eles, diversas maneiras de interpretar e explicar a aceleração cosmológica. Esses cientistas

propõem modelos e/ou campos de matéria como solução para o problema da aceleração

cósmica. O modelo mais aceito atualmente é o chamado "modelo da concordância", que

supõe a existência de uma componente energética chamada energia escura, a qual seria

responsável pela aceleração em escala cosmológica. Outra forma de explicar a expansão

do Universo, sem a necessidade de supor a existência de energia escura, é uma modifi-

cação na teoria da gravidade de Einstein. Tais teorias denominadas "teorias de gravidade

modificada" alteram a Relatividade Geral, em maior ou menor grau.

As condições de energia de Hawking-Ellis contribuem, na investigação dessas

teorias de gravidade modificadas, para delimitar seus parâmetros. Do ponto de vista

teórico, as condições de energia têm sido usadas principalmente como hipótese inicial

3

para provar diversos teoremas da teoria da Relatividade Geral, tais como teoremas da sin-

gularidades (garantindo, sob certas circunstâncias, o colapso gravitacional e/ou a existên-

cia da singularidade do Big Bang), teorema da censura topológica (proibindo a existência

de "buracos-de-minhoca"), teorema da censura superluminosa (limitando a intensidade

do fechamento dos cones de luz na presença de fortes campos gravitacionais), teorema

da energia positiva (garantindo que a massa de um sistema gravitacional complexo seja

sempre positiva).

Em 1955, o físico indiano Almakumar Raychaudhuri (1923-2005) [2], com o intuito

de estudar a natureza singular de algumas soluções exatas da Relatividade Geral, obteve

uma equação que descrevia a evolução da expansão de uma congruência de geodésicas.

Essa equação é hoje considerada fundamental para o estudo da atração gravitacional da

matéria quando se leva em conta algumas das condições de energia juntamente com uma

teoria de gravidade. Por meio dela, Raychaudhuri mostrou a natureza repulsiva de uma

constante cosmológica positiva nas equações de Einstein. A equação de Raychaudhuri

possui também aplicações em diversos contextos físicos, visto que essa equação codifica

informações geométricas sobre os fluxos. Entre as aplicações dentro da RG, podemos citar

como sua principal utilidade a compreensão dos problemas de singularidade é a mais

saliente delas. Em Astrofísica e Cosmologia, essa equação é considerada o alicerce para o

estudo do colapso gravitacional. Os modelos cosmológicos que obedecem à condição de

energia forte fazem uso desta equação como base nos cálculos para a estimativa da idade

do Universo.

Esta dissertação está estruturada da forma descrita a seguir. No capítulo 1, fare-

mos uma breve revisão da teoria da Relatividade Geral mostrando suas principais idéias.

Falaremos também, de forma sucinta, sobre o modelo de Universo de Friedmann-Lamaître-

Robertson- Walker (FLRW). No capítulo 2, deduziremos de forma rigorosa as condições

de energia (Condição de Energia Nula, Condição de Energia Fraca, Condição de Energia

Forte, Condição de Energia Dominante e Condição de Energia Dominante Nula) para o

tensor energia-momento de um fluido perfeito generalizado. Em seguida, deduziremos as

mesmas condições para um campo escalar com acoplamento mínimo e não-mínimo com

campo gravitacional. Apresentaremos um exemplo de aplicação das condições de energia

em Cosmologia e também um estudo sobre as possíveis violações de algumas dessas con-

dições. No capítulo 3, derivaremos com detalhes a equação de Raychaudhuri, o teorema

de Frobenius e o teorema da Focalização para congruências tipo-tempo e tipo-nulas de

uma variedade pseudo-riemanniana. Discutiremos o significado e algumas das inúmeras

4

aplicações da equação de Raychaudhuri, em especial do teorema da Focalização. No capí-

tulo 4, apresentaremos nossas conclusões e perspectivas de trabalhos futuros.

A assinatura usada no decorrer de toda a dissertação é (−,+,+,+) e usamos c = 1.

Os índices gregos variam de 0 a 3 e os índices latinos de 1 a 3.

5

CAPÍTULO 1

RELATIVIDADE GERAL: UMA BREVE REVISÃO

"Os conceitos e princípios fundamentais

são invenções livres do espírito humano".

Albert Einstein

A teoria da Relatividade Especial, proposta por Einstein em 1905, fundamenta-

se nos seguintes postulados: i) as leis físicas devem ser as mesmas para quaisquer ob-

servadores inerciais; ii) a velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor para todos

esses observadores. Entretanto, Einstein não acreditava que sua teoria estivesse completa.

Havia pelo menos dois pontos nebulosos nessa teoria. Primeiro, nenhuma interação física

poderia se propagar mais rápido que a velocidade da luz, o que contradizia a teoria da

gravitação de Newton. Na teoria newtoniana a gravidade era uma força que agia instan-

taneamente sobre os objetos a qualquer distância. O segundo ponto era que as descrições

de movimento eram restritas aos referenciais inerciais.

Em 1916, Einstein completou sua teoria chamada de teoria da Relatividade Geral

(RG), baseada em potenciais e expressa em uma linguagem puramente geométrica, onde

a pressão, assim como a densidade é uma fonte de gravitação. Essa teoria postula o fato

que sistemas acelerados são fisicamente equivalentes àqueles submetidos a campos gra-

vitacionais,ou seja, a massa inercial e massa gravitacional são equivalentes "princípio da

equivalência".

6

Capítulo 1. Relatividade Geral: Uma Breve Revisão 7

Na RG, a massa causa curvatura no espaço-tempo. É essa curvatura que obser-

vamos como campo gravitacional. A relação entre a curvatura do espaço-tempo e a dis-

tribuição de matéria é dada por

Gµν = χTµν , (1.1)

onde χ = 8πG é a constante de acoplamento entre a geometria do espaço-tempo e a

matéria, G é a constante gravitacional de Newton (G = 6, 67x10−11Nm2kg−2), Tµν é o

tensor energia-momento, Gµν é o tensor de Einstein, (Gµν = Rµν − 12gµνR); Rµν é o tensor

de Ricci, R é o escalar de curvatura e gµν o tensor métrico do espaço-tempo. As equações

de Einstein (1.1) relacionam a geometria do espaço-tempo com o conteúdo da matéria e

da energia (fontes do campo gravitacional). Essas fontes são especificadas por Tµν . Essa

é a teoria que generaliza a Relatividade Especial para o caso de referenciais não inerciais

e se reduz à teoria de gravitação de Newton no regime não relativístico. De acordo com

o princípio da equivalência [3], em cada ponto do espaço-tempo imerso em um campo

gravitacional arbitrário é possível estabelecermos um sistema de referências localmente

inercial, onde valem as leis da Relatividade Especial. A RG se alicerça em mais alguns

princípios e conceitos fundamentais, entre eles destacamos: i) o Princípio Geral da Relati-

vidade (as leis das físicas devem ser as mesmas em referenciais inerciais ou não inerciais);

2) Princípio da Covariância Geral (as leis da Física devem ter a mesma forma em todos os

sistemas de coordenadas).

Einstein em 1917, numa tentativa de usar suas equações para explicar o Universo

como todo mantido unido pela gravitação, modificou suas equações com a introdução da

famosa constante cosmológica (Λ) a fim de obter um Universo estático. Naquela época, não

havia qualquer razão para supor que o Universo estivesse se expandindo ou contraindo.

A constante cosmológica age como uma força repulsiva que previne o colapso do Universo

pela atração gravitacional. Assim as suas equações (1.1) tomaram a seguinte forma

Gµν + Λgµν = 8πGTµν , (1.2)

o Universo de Einstein era estático, com uma densidade que era fixada pela constante

cosmológica Λ e pelo valor de G. Contudo, na década de 20, a descoberta por Edwin

Hubble de uma relação entre "redshift1"e distância, acabou com qualquer interesse no

Universo estático de Einstein.1Em português significa desvio para o vermelho.


1.1 Algumas Relações Essenciais

Nesta seção iremos introduzir certas relações do campo da geometria diferencial

que são essenciais para a construção das equações de Einstein, bem como aos cálculos

posteriores que aparecem no decorrer desta dissertação [4, 5, 6].

O tensor de Riemann é a quantidade geométrica que nos informa sobre a cur-

vatura de um espaço-tempo. Esse tensor é definido como

Rλµνκ = Γλµκ,ν −Γλµν ,κ−ΓλσκΓ

σµν + ΓλσνΓ

σµκ. (1.3)

A vírgula denota a derivada parcial ordinária ∂/∂xν , e as conexões Γλµν são dadas em

termos da métrica e suas derivadas

Γλµν =1

2gλσ (gνσ,µ +gσµ,ν −gµν ,σ ) . (1.4)

A nulidade de todas as componentes do tensor de Riemann implica que a forma métrica

fundamental descreve uma variedade plana, o que significa que não há a presença de um

campo gravitacional (ver demonstração em [6]).

Outro tensor fundamental é o tensor de Ricci. Este tensor é de segunda ordem, e

é construído a partir da contração do tensor de Riemann [3, 6]

Rµκ = gλνRλµνκ = Rνµνκ. (1.5)

Este tensor é simétrico e possui a princípio um total de 10 componentes independentes,

isso devido as propriedades de anti-simetria do tensor de Riemann. O Tensor de Ricci está

diretamente relacionado, via equações de Einstein, ao conteúdo físico do espaço-tempo

representado pelo tensor energia-momento. Com a contração do tensor de Ricci, temos o

escalar de curvatura, também conhecido como escalar de Ricci, definido por

R = gµνRµν . (1.6)


O escalar de curvatura é uma medida do "raio de curvatura" da variedade. Para uma

esfera bidimensional de raio a = cte., temos R = 2/a2. Tendo o tensor de Ricci e o escalar

de Ricci, pode-se montar facilmente o tensor de Einstein, um tensor de segunda ordem

definido como

Gµν = Rµν −1

2gµνR, (1.7)

o qual obedece a lei da conservação∇νGµν = 0.

1.2 O Tensor Energia-Momento

Nas teorias de campo é possível definir um tensor de segunda ordem que con-

densa em sua estrutura matemática as informações referentes à energia e aos momentos

do campo. Assim definimos

Tµν = − 2√−g

δSmδgµν

, (1.8)

onde δ/δgµν é a derivada funcional com respeito à métrica, Sm =∫d4x√−gLM(gµν , φ) é a

ação da matéria, g é o determinante da métrica gµν , LM é a densidade de lagrangiana da

métrica e φ refere-se aos campos de matéria. Cada componente deste tensor possui um

significado físico:

• Componente temporal (T00)→ densidade de energia do campo.

• Componente espaço-temporais (T0i = Ti0) → densidade de fluxo de momento e

energia (quantidade de energia que atravessa a superfície xν = cte. por unidade de

tempo).

• Componentes espaciais (Tij)→ tensor pressão dos constituintes.

A equação (1.8) obedece a lei da conservação (∇νTµν = 0) alem de representar a conser-

vação do tensor energia-momento.

Um exemplo típico de Tµν é o tensor energia-momento de um fluido perfeito,


descrito abaixo, caracterizado por uma densidade de massa-energia ρ e pressão P ,

T µν = (ρ+ P )UµUν + Pgµν , (1.9)

onde Uµ = dxµ/dτ é a quadri-velocidade do fluido.

Na próxima seção iremos ver um exemplo de como são usadas as equações de

Einstein no contexto cosmológico na tentativa de descrever o surgimento e evolução do

Universo.

1.3 O modelo cosmológico de Friedmann-Lamaître-Robertson-

Walker (FLRW)

O modelo de Friedmann-Lamaître-Robertson-Walker (FLRW) supõe que o Uni-

verso seja espacialmente homogêneo e isotrópico numa escala igual ou superior a 100Mpc2 [7]. Abaixo de 100Mpc, encontram-se inhomogeneidades locais como galáxias, aglome-

rados, etc. O elemento de linha de FLRW em coordenadas esféricas (r, θ, φ) e o tempo

próprio (t) é dado por

dS2 = −dt2 + a2(t)

[dr2

1− kr2+ r2dθ2 + r2sin2(θ)dφ2

], (1.10)

onde a(t) é o fator de escala cósmico da parte espacial da geometria, k (parâmetro de

curvatura) pode assumir os seguintes valores:

• k = 0, o setor espacial é plano;

• k = 1, o setor espacial é esférico ou fechado;

• k = −1, o setor espacial é hiperbólico ou aberto.

A métrica (1.10) está escrita no chamado sistema de coordenadas comóveis e ad-

mite como fonte de curvatura um fluido perfeito, cujo tensor energia-momento é dado

pela expressão (1.9). Com isso, temos as equações de Einstein para a componente tempo-

ral21parsec(pc) = 3, 26 anos luz


(a

a

)2

=8πGρ

3− k

a2. (1.11)

Esta é a chamada equação de Friedmann. Essa equação trata da velocidade de expansão

ou contração do Universo. Caso seja usado qualquer uma das componentes espaciais

combinada com a equação (1.11) encontramos

a

a= −4πG

3(ρ+ 3P ). (1.12)

Esta é a chamada equação da aceleração ou segunda equação de Friedmann. Ela refere-se

à aceleração ou desaceleração da expansão ou contração. O ponto sobre o fator de escala

representa a derivada com relação ao tempo.

Manipulando as equações (1.11) e (1.12), podemos expressar a densidade de ener-

gia e a pressão, dadas respectivamente por

ρ =3

8πG

[(a

a

)2

+k

a2

], (1.13)

P = − 1

8πG

[2a

a+

(a

a

)2

+k

a2

]. (1.14)

Como foi dito na seção anterior, Einstein estava interessado em uma solução para

o Universo estático, então ele propôs a constante cosmológica. Com a inclusão de Λ nas

equações de Einstein, as equações (1.11) e (1.12) passaram a ser escritas como

(a

a

)2

=8πGρ

3+

Λ

3− k

a2, (1.15)

(a

a

)= −4πG

3(ρ+ 3P ) +

Λ

3. (1.16)

Essas equações admitem a solução estática com curvatura espacial positiva e todos os

parâmetros ρ, p e Λ sendo não negativos, a qual é chamado "Universo Estático de Einstein".


1.4 Expansão do Universo

As primeiras indicações observacionais sobre a expansão do Universo foram apre-

sentadas por Vesto Slipher em 1912 e demonstrada por Hubble em 1929, quando esse ob-

servou um deslocamento nas linhas espectrais das galáxias distantes. Com estas observa-

ções, Hubble obteve uma relação entre a distância (r) de um dado objeto e sua velocidade

de recessão

v(r) = H0r, (1.17)

onde H0 é o parâmetro de Hubble ( H0 = 73.8± 2.4kms−1Mpc−1 [8]). A maioria das galáx-

ias observadas por Hubble tinha um espectro de emissão deslocados para comprimentos

de ondas maiores, o que para uma dada fonte define o parâmetro de redshift

z =λ0 − λeλe

, (1.18)

onde λe é o comprimento de onda emitido pela fonte e λ0 é o comprimento de onda me-

dido pelo observador. O comprimento de onda aumenta com a expansão do Universo, ou

seja, λ(t) ∝ a(t), o redshift z e o fator de escala a(t) estão relacionados por [3]

1 + z =a0

a(t), (1.19)

o índice 0 indica que a grandeza foi tomada no tempo presente. A descoberta de que o

Universo estava em expansão eliminou o modelo do Universo estático.

As observações cosmológicas são baseadas principalmente em radiação eletro-

magnética recebida de fontes distantes. Uma forma muito conhecida de verificar a distân-

cia de um objeto celeste é examinar o deslocamento de suas linhas espectrais, e relacionar

com a distância-luminosidade, dL(z) dada por [9]

dL(z) = a0(1 + z)r(a). (1.20)

Da equação (1.10), podemos mostrar que para um raio de luz que se propaga com θ = φ =


cte, a distância radial pode ser escrita como

r(a) =H−1

0

a0

√|ΩK |

SK

[√|ΩK |I(a)

], (1.21)

onde ΩK = −k/(a0H0)2 é uma definição habitual do parâmetro de curvatura ligado dire-

tamente à geometria espacial do universo, I(a) é dado por

I(a) = a0H0

∫ a

a0

da

aa, (1.22)

sendo que a função SK(x) tem a seguinte forma

SK(x) =

(x) se ΩK < 0,

x se ΩK = 0,

(x) se ΩK > 0.

(1.23)

O principal objeto de referência usado na medida de distâncias cosmológicas são

as chamadas Supernovas do Tipo Ia. Elas são corpos celestes bastante brilhantes e podem

ser observadas em alto redshift. Esses objetos são chamados de velas padrão devido a sua

luminosidade incomum e de terem curvas de luz bem calibradas. Observações recentes,

utilizando Supernovas do tipo Ia [10, 11, 12, 13, 14], indicam que o Universo vem passando

por uma fase de expansão acelerada, contrariando o que se pensava até então. Isso se

tornou um grande problema para a Cosmologia, pois um Universo acelerado não condiz

com o contexto da RG, se levarmos em consideração apenas a matéria ordinária existente

atualmente. A expansão acelerada viola a condição de energia forte.

O candidato mais simples que forneceria a última fase acelerada do Universo,

dentro do contexto da RG, seria a constante cosmológica. Sendo considerada um termo de

energia, a constante cosmológica pode representar a energia do vácuo associada aos cam-

pos de matéria. Entretanto, o valor teórico da densidade de energia do vácuo no modelo

padrão da Física de Partículas diverge em mais de 120 ordens de grandeza com os valores

observacionais. Outra alternativa para tentar explicar a expansão acelerada do Universo

levando-se em conta que a gravidade é bem descrita pela RG, seria considerar campos

escalares com propriedades não usuais, ou seja, sua equação de estado efetiva teria uma

pressão negativa, o que teria consequências diretas nas condições de energia, como vere-

mos a seguir no próximo capítulo. Até o final do século passado consideravam-se fluidos


fisicamente aceitáveis, apenas aqueles que satisfizessem as condições de energia da Re-

latividade Geral Clássica. Uma outra perspectiva seria acreditar que a RG não funciona

bem em escalas cosmológicas, necessitando portanto de outro formalismo ou modificação,

para que pudesse apresentar tal panorama. Dentro desta linha de pesquisa, as chamadas

teorias f(R) de gravidade [15] têm recebido bastante atenção da comunidade científica.

As condições de energia da RG é uma das diversas maneiras de testar a viabilidade destas

teorias modificadas de gravidade, campos de matéria e/ou modelos. No próximo capítulo

iremos estudar um pouco mais sobre estas condições.

CAPÍTULO 2

CONDIÇÕES DE ENERGIA

"O mais incompreensível do mundo é que

seja compreensível. "

Albert Einstein

Condições de energia são um crescendo de exigências, com forte embasamento

nas formas mais conhecidas de matéria, impostas sobre o tensor energia momento na RG.

Estas condições foram estabelecidas inicialmente por Hawking e Ellis como exigências

de natureza física sobre as componentes do tensor energia-momento, com o intuito de

limitar as arbitrariedades deste tensor. A seguir apresentaremos uma dedução detalhada

das condições de energia em voga atualmente na literatura científica e discutimos também

alguns exemplos de suas aplicações e violações.

2.1 As Condições de Energia na Relatividade Geral

Como é bem entendido na RG, a distribuição de energia-momento e qualquer ten-

são devido a matéria, ou a qualquer outro campo não gravitacional é descrito pelo tensor

energia-momento Tµν . Esse tensor é simétrico e representa as várias contribuições de dife-

rentes campos de matéria. Os tensores energia-momento que possuem significado físico

15

Capítulo 2. Condições de Energia 16

não são especificados pelas equações de campo de Einstein. Qualquer métrica, na ausên-

cia de vínculos em Tµν , obedece estas equações de campo, ou seja, pode-se pensar nelas

sem restringir a teoria da matéria da qual Tµν é derivado. Isto nos leva a lidar com um

grande número de ambiguidades referentes a esse tensor. Surge então a necessidade de

limitar as arbitrariedades de Tµν impondo a ele certas restrições. Observações a esse res-

peito foram pioneiramente feitas por Hawking e Ellis em [16]. Espera-se que no contexto

da Relatividade Geral Clássica, Tµν satisfaça certas condições, tais como a densidade de

energia positiva e o domínio da densidade de energia sobre a pressão. Estas condições são

chamadas de condições de energia e elas devem ser mantidas para qualquer tipo de fonte

de campo (pelo menos ao nível clássico). Em Relatividade Geral Clássica há vários tipos

de condições de energias apropriadas para diferentes circunstâncias. Elas são usadas para

atribuir restrições adicionais aos tensores energia-momento gerais em diferentes situações

físicas e derivar resultados gerais. Em busca da compreensão de algumas propriedades

das equações de Einstein, considera-se tipos específicos de fontes para tais equações; com

este procedimento extrai-se características genéricas que serão usadas para desenvolver

teoremas matemáticos poderosos relativos ao comportamento de campos gravitacionais e

geometrias associadas.

Para escrever as condições de energia em uma forma concreta admite-se a seguinte

decomposição para o tensor energia momento

Tαβ = ρ0eα(0)e

β(0) + P1e

α(1)e

β(1) + P2e

α(2)e

β(2) + P3e

α(3)e

β(3), (2.1)

Pi são chamadas pressões principais e ρ0 densidade de energia; eα(A) (α,A = 0, 1, 2, 3)

formam uma base ortonormal (ortogonal e normalizada), onde usamos eα(A)eβ(B) para sim-

plificar o produto tensorial eα(A) ⊗ eβ(B). Essas bases ortogonais satisfazem as seguintes

relações:

gαβ eα(A)e

β(B) = ηAB, (2.2)

eβ(A)eβ(B) = ηAB, (2.3)

e(C)β eβ(B) = δCB , (2.4)


gαβ = ηAB e(A)α e

(B)β , (2.5)

onde gαβ é o tensor métrico cuja inversa pode ser expressa também em termos das bases

vetoriais

gαβ = ηAB eα(A)eβ(B). (2.6)

Aqui ηABηAC = δCB , ηAB é a inversa de ηAB que é o tensor métrico do espaço-tempo de

Minkowski e δCB é a delta de Kronecker. Equações como (2.6) são conhecidas como re-

lações de completeza. As equações (2.1) e (2.2) implicam que as quantidades ρ e Pi são

autovalores do tensor energia-momento e eα(A) são os autovetores normalizados [17].

As condições de energia podem ser declaradas, de maneira que sejam invariante

de coordenadas, em termos de Tµν e campos vetoriais de características fixas (tipo-espaço,

tipo-nulo e tipo-tempo). Algumas dessas condições são escritas em termos de um vetor

vα normalizado, tipo-tempo, dirigido para o futuro, representando a quadri-velocidade

de um observador no espaço-tempo. Este vetor pode ser decomposto como [17]

vα = γ(eα(0) + aeα(1) + beα(2) + ceα(3)), (2.7)

onde γ = (1 − a2 − b2 − c2)−12 foi obtido através da condição de normalização do vetor

vα (gαβvαvβ = −1). a,b e c são funções arbitrárias das coordenadas, restritas por a2 + b2 +

c2 < 1. As demais condições de energia são escritas em termos de um vetor kα tipo-nulo,

direcionado para o futuro, o qual pode ser expressado como [17]

kα = (eα(0) + a′eα(1) + b′eα(2) + c′eα(3)), (2.8)

onde a′, b′, c′ são funções arbitrárias das coordenadas, restritas pela relação a′2+b′2+c′2 = 1;

assim, a normalização desse vetor tipo-nulo é sempre arbitrária.

2.1.1 Condição de Energia Fraca

A Condição de Energia Fraca ( Weak Energy Condition - WEC) é a afirmação que

Tαβvαvβ ≥ 0 para qualquer vetor tipo-tempo vα dirigido para o futuro.

Ao substituir as equações (2.1) e (2.7), na sua forma covariante, na expressão de


Tαβvαvβ , obtemos

Tαβvαvβ = (ρ+ P1a2 + P2b

2 + P3c2)γ2. (2.9)

Como Tαβvαvβ ≥ 0 então,

ρ+ P1a2 + P2b

2 + P3c2 ≥ 0. (2.10)

Seja a = b = c = 0 na equação acima encontraremos que ρ ≥ 0. Com a escolha particular

de c = b = 0 o resultado obtido será (ρ+ a2P1) ≥ 0. Como a2 < 1 então, a2P1 < P1, ou seja,

podemos escrever que

ρ+ P1 ≥ 0. (2.11)

Fazendo a = c = 0 e como b2 < 1 então P2b2 < P2, podemos escrever que

ρ+ P2 ≥ 0. (2.12)

Finalmente, escolhendo a = b = 0 e como c2 < 1, obtemos

ρ+ P3 ≥ 0. (2.13)

As restrições impostas pela WEC podem ser reescritas da seguinte forma

ρ ≥ 0 e ρ+ Pi ≥ 0, (i = 1, 2, 3). (2.14)

Para fluidos barotrópicos existe uma relação simples entre a pressão e a densidade

de energia (equação de estado) dada por

P = wρ, (2.15)

onde w pode ser uma constante, mas pode também ser uma função do tempo. Con-

siderando que ρ > 0, dividindo a segunda das equações (2.14) por ρ, podemos expressar

a WEC como a exigência que w ≥ −1.

Em resumo, do ponto de vista físico, a WEC exprime o fato que um observador

comóvel (vα = eα(0)) com o fluido representado por (2.15), mede uma densidade de energia


ρ a qual é positiva. Quanto às pressões, apesar de poderem ser negativas (tensões), a WEC

exige o limite inferior Pi ≥ −ρ.

2.1.2 Condição de Energia Nula

A Condição de Energia Nula (Null Energy Condition - NEC) faz a mesma exigên-

cia que a WEC, com a excessão que há uma substituição de vα por um vetor kα tipo-nulo,

arbitrário e futuro dirigido, tal que Tαβkαkβ ≥ 0. Substituindo as equações (2.1) e (2.8) na

sua forma covariante na equação acima, encontraremos que

Tαβkαkβ = (ρ+ P1a′2 + P2b

′2 + P3c′2), (2.16)

e a exigência Tαβkαkβ ≥ 0 fornece

ρ+ P1a′2 + P2b

′2 + P3c′2 ≥ 0. (2.17)

Impondo b′ = c′ = 0 na equação acima e usando a relação a′2 + b′2 + c′2 = 1, encontramos

que (ρ+P1) ≥ 0. Seguindo o mesmo raciocínio, obteremos relações análogas para P2 e P3,

ou seja, de forma genérica,

ρ+ Pi ≥ 0, (i = 1, 2, 3). (2.18)

A NEC é um caso especial da WEC e corresponde a uma exigência mais fraca do

que a anterior. A violação da NEC implica em instabilidades sob pequenas perturbações

numa ampla classe de modelos, incluindo teorias de gauge e fluidos perfeitos [18].

2.1.3 Condição de Energia Forte

A equação de Einstein pode ser escrita como Rαβ = 8πG(Tαβ − T

2gαβ), onde T =

gαβTαβ . Conforme vimos na seção anterior, Tαβvαvβ representa a densidade de energia

medida por um observador comóvel com o fluido. Acredita-se que para a matéria, assim

como para os campos clássicos esta densidade de energia seja não-negativa. Contudo,

parece razoável exigirmos que as tensões, representadas pelo traço T , não se tornem tão


negativas ao ponto de superar a contribuição da energia, isto é, exigiremos que

Rαβvαvβ = 8πG

(Tαβv

αvβ +T

2

)≥ 0. (2.19)

Esta exigência é chamada Condição de Energia Forte (Strong Energy Condition - SEC).

Usando a equação (2.9), depois de um pouco de álgebra encontraremos que

γ2(ρ+ P1a2 + P2b

2 + P3c2) ≥ 1

2(ρ− P1 − P2 − P3). (2.20)

Escolhendo a = b = c = 0, teremos

ρ+ P1 + P2 + P3 ≥ 0. (2.21)

Por outro lado, escolhendo somente b = c = 0, temos que γ2 = 1/1− a2 e assim

ρ+ P1 + P2 + P3 ≥ a2(P2 + P3 − P1 − ρ). (2.22)

Esta equação pode ser reescrita como

ρ+ P1 + (P2 + P3)1− a2

1 + a2≥ 0, (2.23)

e tomando o limite de a → 1, obteremos ρ + P1 ≥ 0. Escolhendo a = c = 0 e a = b = 0

encontraremos, de modo análogo, as relações

ρ+ P2 + (P1 + P3)1− b2

1 + b2≥ 0 (2.24)

e

ρ+ P3 + (P1 + P2)1− c2

1 + c2≥ 0. (2.25)

Novamente, tomando os limites de b → 1 e c → 1, obteremos ρ + P2 ≥ 0 e ρ + P3 ≥ 0,

respectivamente. Em resumo, temos as seguintes exigências para a SEC

ρ+ Pi ≥ 0 e ρ+∑i

Pi ≥ 0 (i = 1, 2, 3). (2.26)


Vemos que a SEC é mais exigente (mais forte) que a NEC e que a violação da NEC implica

automaticamente a violação da SEC.

2.1.4 Condição de Energia Dominante

Para um observador com quadri-velocidade vα, a quantidade −Tαβ vβ representa o

fluxo de matéria (quadri-corrente) visto por ele. A condição de energia dominante (Do-

minant Energy Condition - DEC) além de exigir que Tαβvαvβ ≥ 0 para qualquer vetor

tipo-tempo dirigido para o futuro vα, exige adicionalmente que −Tαβ vβ não seja um vetor

tipo-espaço, ou seja, Tαβ Tαλvβvλ ≤ 0. O significado físico desta exigência é que a veloci-

dade do fluxo de matéria é sempre menor que a velocidade da luz. Considerando que

Tαβ vβ = (−ρeα(0) + aP1eα(1) + bP2e

α(2) + cP3e

α(3))γ (2.27)

chegamos ao seguinte resultado

γ2(−ρ2 + a2P 21 + b2P 2

2 + c2P 23 ) ≤ 0. (2.28)

Tomando na equação acima a = b = c = 0, temos como resultado ρ2 ≥ 0. Com a exigência

adicional que −Tαβ vβ seja dirigido para o futuro, será selecionado o ramo positivo ρ ≥ 0.

Por outro lado, se for escolhido b = c = 0 encontrará ρ2 ≥ a2P 21 , para qualquer a2 < 1,

obtemos ρ ≥ |P1| tendo tomado a direção futura para −Tαβ vβ . Relações semelhantes são

encontradas para P1 e P2 seguindo o mesmo raciocínio. Então, a DEC pode ser escrita

resumidamente como segue

ρ ≥ 0 e ρ ≥ |Pi| (2.29)

A DEC implica a WEC e consequentemente a NEC, mas não necessariamente a SEC. A

NEC, DEC e SEC são suposições matematicamente independentes . A DEC é equivalente

a exigência de ρ ≥ |P |. Seu significado físico é que a densidade de energia deve ser sempre

não negativa e maior ou igual a magnitude da pressão.


2.1.5 Condição de Energia Dominante Nula

A condição de energia dominante nula (Null Dominant Energy Condition - NDEC)

são as mesmas exigências da DEC, porém, somente para vetores tipo-nulos. Então, será

exigido que Tαβkαkβ ≥ 0 e que Tαβ Tσαkβkσ ≤ 0, temos então

ρ2 − P 21 a′2 − P 2

2 b′2 − P 2

3 c′2 ≥ 0 (2.30)

Fazendo a′ = b′ = c′ = 0 na equação anterior produz ρ2 ≥ 0, mas para o caso particular

de b′ = c′ = 0 encontramos ρ ≥ ±P1, relações iguais são obtidas para as demais pressões.

Resumindo, a NDEC poder ser expressa como

P = −ρ (2.31)

Na condição de energia dominante nula a pressão e a densidade de energia permitidas

são as mesmas assim como para a DEC, porém agora densidades de energias negativas

são permitidas, desde que P = −ρ. Em outros trabalhos a NDEC exclui as mesmas fontes

excluídas pela DEC, exceto para uma energia de vácuo negativa. Em grande parte da literatura

a NDEC deixou de ser abordada separadamente da DEC, nas próximas seções faremos o

mesmo.

Em resumo, temos

NEC =⇒ ρ+ P ≥ 0, (2.32)

WEC =⇒ ρ+ P ≥ 0 e ρ ≥ 0, (2.33)

SEC =⇒ ρ+ P ≥ 0 e ρ+ 3P ≥ 0, (2.34)

DEC =⇒ −ρ ≤ P ≤ ρ e ρ ≥ 0, (2.35)

NDEC =⇒ −ρ ≤ P ≤ ρ e ρ = −P . (2.36)

Observe que a violação da NEC implica na violação de todas as outras condições de ener-

gia, já a violação da WEC, apesar de não implicar necessariamente a violação da NEC ou

da SEC, leva a violação da DEC. Se considerarmos como ponto de partida que todas as

formas de energia devem apresentar ρ > 0, o que parece razoável do ponto de vista da

física clássica, então qualquer modelo cosmológico com w < −1 viola todas as condições


de energia. Na figura 2.1 são ilustradas todas as condições de energia.

As condições de energia não estão diretamente relacionadas à conservação de

energia. São as identidades de Bianchi que garantem ∇µTµν = 0, independentemente

de qualquer restrição imposta a T µν .

Figura 2.1: As regiões sombreadas no plano ρ − p são aquelas que obedecem as condições deenergia designadas. São ilustradas a Condição de Energia Fraca (WEC), a Condição de EnergiaNula (NEC), a Condição de Energia Dominante (DEC), a Condição de Energia Dominante Nula(NDEC), a Condição de Energia Forte (SEC) e a condição w ≥ −1 (Figura reportada da referência[20]).


2.2 Condições de Energias Médias

As condições de energias podem ser violadas, como será visto na seção (2.4) ,

porém, há um limite da extensão pela qual as condições de energias podem ser violadas

globalmente [21, 22]. Surgem então neste contexto as versões médias das condições de

energias, as quais se mostram muito úteis. As condições de energias médias são um

pouco mais fracas, pois elas permitem violações localizadas das condições de energia en-

quanto que "em média", as condições de energia são mantidas quando integradas junto as

geodésicas tipo-tempo ou nulas. São as seguintes:

• Condição de Energia Nula Média ( Averaged null energy condition-ANEC) exige

que em uma curva nula Γ ∫Γ

TµνKµKνdλ ≥ 0. (2.37)

Aqui λ é um parâmetro afim generalizado da curva nula e Kµ é o seu vetor tangente

à curva.

• Condição de Energia Fraca Média ( Averaged weak energy condition-AWEC) exige

que em uma curva tipo-tempo Γ∫Γ

TµνVµV νdτ ≥ 0, (2.38)

onde τ é o parâmetro tempo próprio da curva tipo-tempo e V µ é o vetor tangente

correspondente.

• Condição de Energia Forte Média ( Averaged strong energy condition-ASEC) exige

que em uma curva tipo-tempo Γ tenhamos∫Γ

TµνV µV ν +1

2Tdτ ≥ 0. (2.39)


2.3 Aplicações das Condições de Energias

As condições de energia da RG são usadas na dedução de teoremas gerais e po-

derosos sobre o comportamento de campos gravitacionais e geometrias associadas. Pode-

mos citar, por exemplo, os teoremas de singularidades de Hawking e Penrose (garante,

sob certas circunstâncias, o colapso gravitacional e/ou a existência da singularidade do

Big Bang), teorema da censura topológica (proíbe a existência de "buracos-de-minhoca"),

teorema da censura superluminosa (limita a intensidade do fechamento dos cones de luz

na presença de fortes campos gravitacionais), teorema da energia positiva (garante que a

massa de um sistema gravitacional complexo seja sempre positiva).

As condições de energia também são usadas como uma forma de testar a viabil-

idade de teorias alternativas de gravidade e campos escalares exóticos propostos como

tentativa de explicar a expansão acelerada do Universo. Recentemente, vários autores

[23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30] têm usado condições clássicas de energia da RG para estudar

alguns aspectos da expansão acelerada do Universo. Em particular Shojai et al. [31] faz-

eram um estudo inicial dessas condições para teorias de gravidade f(R) na formulação

de Palatini, enquanto que Santos et al. [32] derivaram as condições apropriadas de energia

para teorias de gravidade f(R) no formalismo métrico-variacional. Tanto na ref.[32] como

na [33], foi derivados alguns limites impostos por estas condições sobre classes de teorias

f(R). Nas seções a seguir mostraremos alguns exemplos específicos de uso das condições

de energia em Cosmologia.

2.3.1 Condições de Energias e a Expansão Acelerada do Universo

Em [27, 29, 30] Santos et al. utilizaram as equações (1.13) e (1.14) para obter as

condições de energia (2.32),(2.33),(2.34) e (2.35) em um conjunto de restrições dinâmicas


relacionadas ao fator de escala (a(t)) e suas derivadas para o modelo cosmológico FLRW

NEC =⇒ − aa

+

(a

a

)2

+k

a2≥ 0, (2.40)

WEC =⇒(a

a

)2

+k

a2≥ 0, (2.41)

SEC =⇒ a

a≤ 0, (2.42)

DEC =⇒ −2

[(a

a

)2

+k

a2

]≤ a

a≤(a

a

)2

+k

a2, (2.43)

(2.44)

onde claramente é observado que a restrição da NEC é parte dos vínculos da WEC. Nesta

forma as condições de energia foram usadas para estudar funções cosmológicas tais como

distância-luminosidade e "lookback-time". Para a distância luminosidade, por exemplo,

temos que sua relação com as medidas de módulo de distância µ(z), para um objeto no

redshift z, é

µ(z) ≡ m(z)−M = 5 log10 dL(z) + 25, (2.45)

onde m e M são respectivamente, as magnitudes aparentes e absolutas, e dL é dado pela

equação 1.20. Afim de obter restrições sobre os valores de µ(z), Santos et al. [27, 29] uti-

lizaram as exigências das condições de energia (2.40)-(2.43) após uma primeira integração

das mesmas. Comparando com os dados observacionais de supernovas Tipo Ia (gold

sample) [27, 29] mostraram que a NEC, WEC e DEC são violadas em redshifts ≈ 0, 2.

2.3.2 Condições de Energias para o Campo Escalar

O campo escalar é uma função continua do espaço-tempo φ(xµ) que descreve uma

partícula de spin zero. Esse tipo de campo é a base de vários modelos cosmológicos o que

o torna fundamental, por exemplo, no modelo de quintessência, o qual trata a energia

escura como um campo escalar.

O tensor energia-momento de um campo escalar geral é dado por

T (φ)µν = ∇µφ∇νφ− gµν

(1

2∇αφ∇αφ+ V (φ)

), (2.46)


onde V (φ) é o potencial. Podemos determinar uma densidade de energia ρ(φ) e uma

pressão p(φ) para o campo escalar fazendo as contrações [34]

ρ(φ) = T (φ)µν U

µUν e p(φ) =1

3T (φ)µν h

µν , (2.47)

onde Uµ é um vetor tipo-tempo normalizado (UµU ν) e hµν é um projetor espacial

hµν = gµν + UµUν . (2.48)

A partir de (2.46), obtemos

ρ(φ) = φ2 +1

2gαβ∇αφ∇βφ+ V (φ), (2.49)

p(φ) =φ2

3− 1

6gαβ∇αφ∇βφ− V (φ), (2.50)

aqui φ = Uµ∇µφ, é a derivada ao longo da curva xµ(t). As condições de energia para o

campo escalar são

NEC =⇒ φ2 +1

4gαβ∇αφ∇βφ ≥ 0, (2.51)

WEC =⇒ φ2 +1

2gαβ∇αφ∇βφ+ V (φ) ≥ 0, (2.52)

SEC =⇒ φ2 − V (φ) ≥ 0, (2.53)

DEC =⇒ φ2 +∇αφ∇αφ+ 3V (φ) ≥ 0. (2.54)

Para não sobrecarregar as equações, tanto acima como nas próximas seções, explicitare-

mos apenas a exigência adicional presente em cada condição de energia. Em muitas situ-

ações o campo escalar é função apenas do tempo, isto é, φ = φ(t). Nesses casos as equações

(2.49) e (2.50) reduzem-se a

ρ(φ) =

(1 +

1

2g00

)φ2 + V (φ), (2.55)


p(φ) =1

3

(1 +

1

2g00

)φ2 − V (φ), (2.56)

Para as geometrias de FLRW, as condições de energia para o tensor energia-momento do

campo escalar são

NEC =⇒ 1

2φ2 ≥ 0, (2.57)

WEC =⇒ 1

2φ2 + V (φ) ≥ 0, (2.58)

SEC =⇒ φ2 − V (φ) ≥ 0, (2.59)

DEC =⇒ V (φ) ≥ 0. (2.60)

2.3.3 Campo Escalar com Acoplamento Gravitacional Não Mínimo

Nas teorias escalares-tensoriais de gravitação é natural que o campo escalar φ se

acople ao escalar de curvatura R do espaço-tempo, conforme descrito pela ação [35]

S =

∫d4x√−g[(

1

16πG− ξφ2

2

)R− 1

2gµν∇µφ∇νφ− V (φ)

]+ Sm, (2.61)

onde ξ é a constante (adimensional) de acoplamento, e Sm é a ação para todas as formas

de matéria não associadas ao campo φ. ξ = 0 é o chamado acoplamento mínimo, o caso

especial ξ = 1/6 é denominado acoplamento conforme. A extremização da ação (2.61) em

relação a gµν leva às equações de Einstein generalizadas

Rµν −R

2gµν = χef

(Tmµν + T φµν

), (2.62)

onde χef ≡ 8πG/(1− 8πGξφ2) é o acoplamento efetivo do campo escalar com a curvatura

R, Tmµν é o tensor da matéria não representado por φ e T φµν é o tensor do campo escalar

tendo em conta o acoplamento não mínimo

T φµν = ∇µφ∇νφ− gµν[

1

2∇αφ∇αφ+ V (φ)

]− ξHµνφ

2, (2.63)

sendo o operador Hµν = ∇µ∇ν − gµν e ≡ gµν∇µ∇ν . Observe que no caso de acopla-

mento mínimo (ξ = 0) o tensor acima reduz-se aquele dado pela equação (2.46). A densi-


dade de energia e pressão associadas ao tensor (2.63) são

ρφ = φ2 +1

2∇αφ∇αφ+ V (φ)− ξ (UµUν∇µ∇ν + )φ2, (2.64)

pφ =1

3φ2 − 1

6∇αφ∇αφ− V (φ)− ξ

3(UµUν∇µ∇ν − 2)φ2. (2.65)

As condições de energia para o campo escalar com acoplamento gravitacional não

mínimo são então

NEC =⇒ φ2 +1

4∇αφ∇αφ− ξ (UµUν∇µ∇ν + 4)φ2 ≥ 0, (2.66)

WEC =⇒ φ2 +1

2∇αφ∇αφ+ V (φ)− ξ (UµUν∇µ∇ν + )φ2 ≥ 0, (2.67)

SEC =⇒ φ2 − V (φ)− ξ(UµUν∇µ∇ν +

3

2

)φ2 ≥ 0, (2.68)

DEC =⇒ φ2 +∇αφ∇αφ+ 3V (φ)− ξ(UµUν∇µ∇ν +

5

2

)φ2 ≥ 0. (2.69)

Das equações anteriores, podemos observae que para o acoplamento mínimo (ξ = 0), es-

tas desigualdade reduzem-se àquelas dadas pelas equações (2.51)-(2.54). Mas para ξ 6= 0,

as possibilidades de violação das condições energia aumentam bastante. Para um obser-

vador comóvel no Universo FLRW, onde φ = φ(t), estas condições reduzem-se a

NEC =⇒ φ2 + 4ξd2φ2

dt2≥ 0, (2.70)

WEC =⇒ 1

2φ2 + V (φ) ≥ 0, (2.71)

SEC =⇒ φ2 − V (φ) +1

2ξd2φ2

dt2≥ 0, (2.72)

DEC =⇒ V (φ) +1

2ξd2φ2

dt2≥ 0. (2.73)

Novamente, vemos que para o acoplamento mínimo (ξ = 0) com a geometria do

modelo padrão, as inequações acima reproduzem as obtidas nas equações ( 2.57)-(2.60).

Apesar de parecer a mais natural, a maneira acima como apresentamos as condições de

energia para o campo escalar com acoplamento não mínimo, ela ainda é motivo de debates

e controvérsias na literatura científica [36, 34]. O principal problema reside nas ambigu-


idades na definição do tensor energia-momento do campo escalar com acoplamento não

mínimo ( em [36], por exemplo, são apresentadas três diferentes maneiras de se obter

esse tensor a partir da ação (2.61))1. Como consequência, tem-se diferentes definições

para a densidade de energia, para a pressão e para a equação de estado, fornecendo di-

ferentes vínculos via consideração de energia, o que gera diferentes interpretações. Por

exemplo, modelos cosmológicos de quintessência com acoplamento não mínimo são fre-

quentemente constrangidos por dados observacionais via uma equação de estado efetiva

[37, 38]. Como ambiguidades nas definições de densidade de energia e pressão levam a

ambiguidades na equação de estado, é preciso cuidado com as interpretações dos resul-

tados referentes a acoplamento não-mínimo entre a gravidade e um campo escalar. Na

referência [39] são usados experimentos na escala do sistema solar para limitar os valo-

res de ξ a ‖ξ‖ ≤ 10−2. Contudo, os resultados de [36] mostraram que para acoplamento

mínimo, as três definições do tensor T (φ)µν coincidem com a apresentada em (2.46)

2.4 Violações das condições de energia: Alguns exemplos

No decorrer desta última década, percebeu-se que havia efeitos quânticos capazes

de violar todas as condições de energia. Porém, esses efeitos são por definição propor-

cionais a ~, assim os físicos relativísticos, não se preocuparam muito. Entretanto, recen-

temente tornou-se claro que há sistemas clássicos que parecem também violar todas as

condições de energia. A seguir veremos alguns exemplos.

• Campos Escalares Clássicos.

As condições de energia para um campo escalar φ(xµ), expostas nas equações (2.51),

(2.52), (2.53) e (2.54), mostram claramente que todas podem ser violadas, depen-

dendo do gradiente espacial do campo. Nos modelos cosmológicos homogêneos o

campo escalar só pode variar com o tempo e nesse caso, conforme se vê nas equa-

ções (2.57)-(2.60), a NEC é sempre obedecida, mas as outras condições de energia

podem ser violadas. Também podemos notar que as condições de energia para um

campo escalar com acoplamento não mínimo, equações (2.66) a (2.69), podem ser

todas infringidas. Sendo que para ξ 6= 0, as possibilidade de violações aumentam

consideravelmente. Para um observador comóvel no Universo de FLRW, todas elas

1Contudo, para acoplamento mínimo as três definições de T (φ)µν coincidem.


essas condições ainda podem ser desobedecidas. Neste caso específico, com a ex-

ceção da WEC, ξ deixa todas as outras condições mais vulneráveis.

• Campos Fantasma

O campo fantasma foi proposto em 2002 [40] como uma fonte alternativa de energia

capaz de explicar a expansão acelerada do Universo. É caracterizado por possuir

o termo cinético negativo e um parâmetro da equação de estado wφ < −1, o que

leva a uma densidade de energia crescente com a expansão do Universo. O tensor

energia-momento de um campo fantasma tem a seguinte forma

T φµ ν = −φ,µ φ,ν +gµν [1

2gαβφ,α φ,β −V (φ)], (2.74)

onde V (φ) é o potencial do campo fantasma. Seja φ = φ(t) uma função somente do

tempo evoluindo em um espaço-tempo isotrópico e homogêneo (FLRW), de modo

que gµνφµφν = −φ2, onde foi usada a seguinte definição φ,µ≡ φµ. Quando as con-

dições de energias são impostas sobre o tensor energia-momento deste campo fan-

tasma, elas requerem [28]

WEC =⇒ −1

2φ2 + V (φ) ≥ 0, (2.75)

NEC =⇒ −1

2φ2 ≥ 0, (2.76)

SEC =⇒ φ2 + V (φ) ≤ 0, (2.77)

DEC =⇒ −1

2φ2 + V (φ) ≥ 0. (2.78)

Quando mantemos o caráter tipo tempo lorentziano de φµ ou seja (gµνφµφν = −φ2)

verificamos que a NEC e a DEC não podem ser mantidas. Como a violação da

NEC leva a violação de todas as outras condições de energias, concluimos que o

campo fastasma viola todas as condições de energia. Contudo, tendo em vista di-

versas observações cosmológicas que apontam para uma equação de estando onde

W < −1, Santos e Alcaniz [28] fizeram um estudo descartando as exigências da

NEC e a DEC (veja Barceló e Visser [24] para uma interessante discussão sobre o

quão fundamental devem ser admitidas algumas das condições de energia) para o

tensor energia-momento do campo fantasma. Das equações (2.75)-(2.78), vemos que

a WEC é preservada apenas para potenciais positivos uma vez que V (φ) ≥ φ2/2,

porém a SEC não pode ser satisfeita a menos que V (φ) seja negativo e V (φ) ≤ −φ2.


Contudo, existe um intervalo no valor do potencial−φ2 < V (φ) < φ2/2 em que tanto

a SEC como a WEC são violadas. A figura (2.2) mostra tais violações.

Embora os dados observacionais da Cosmologia mostrem que a SEC está sendo vio-

lada no presente estágio do Universo, nota-se que uma função potencial V (φ) pode

ser construída tal que esta condição de energia não seja violada no passado (inter-

valo I da figura (2.2)), embora a WEC seja ainda violada nesta época. Ou seja, a

fonte de gravitação representada por (2.74) pode explicar a expansão desacelerada,

seguida da fase atual acelerada, mas as custas de propriedades bastantes exóticas de

matéria.

São conhecidas muitas outras violações das condições de energia como por exem-

plo, o efeito Casimir, o qual viola as condições de energia fraca e dominate, as partículas

massivas de Dirac num campo de Kerr violam a WEC, a evaporação Hawking que viola

a NEC, etc.

Figura 2.2: Limitações das condições de energia nos potenciais de campos fantasmas. No inter-valo (I) os campos fantasmas não violam a SEC, mas violam WEC. No intervalo (II), ambas (SEC eWEC) são violadas enquanto que na região (III) campos fantasmas não violam WEC, mas violamSEC. (Figura retirada da referência [28]).

CAPÍTULO 3

A EQUAÇÃO DE RAYCHAUDHURI

"Nenhuma grande descoberta foi feita ja-

mais sem um palpite ousado. "

Isaac Newton

Em meados do século XX, a Cosmologia era uma ciência que começava a se desenvolver,

visto que já existia as soluções de FLRW. A teoria da RG, neste mesmo período, estava

com aproximadamente quarenta anos estava jovem! Entretanto, a compreensão de suas

soluções, como por exemplo a mais simples delas, a solução de Schwarzshild, não era

completa [41]. Havia um ponto obscuro na teoria da gravitação de Einstein que inquietava

alguns relativistas daquela época. A teoria admitia soluções caracterizadas por singulari-

dades tais como divergência de curvatura do espaço-tempo, divergência de natureza física

como nas densidades, e divergência de parâmetros cinemáticos como expansão. Tomando

como exemplo o modelo de FLRW, a prevista singularidade do Big Bang está relacionada

às hipóteses de homogeneidade e isotropia deste modelo, ou é algo intrínseco a teoria da

RG [42, 43]?

Foi neste período, no começo de 1950, que Almakumar Raychaudhuri deu in-

ício a análise de algumas destas questões de RG. Um dos primeiros frutos de seu tra-

balho naquela época foi o célebre artigo "Cosmologia Relativística I" [2], publicado em

1955. Neste artigo, Raychaudhuri derivou pela primeira vez e de maneira notável a

equação fundamental da atração gravitacional para a matéria sem pressão, hoje conhecida

33

Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri 34

como equação de Raychaudhuri. Neste trabalho, ele assume o Universo representado por

uma geometria dependente do tempo, mas não o considera homogêneo e isotrópico. A

derivação desta equação como apresentada neste artigo, é um pouco diferente da mostrada

na literatura atual, pois ele usou coordenadas especiais neste trabalho.

Em 1955, enquanto lidavam com Cosmologia newtoniana, Heckmann e Sckuck-

ing em [44] chegaram a um conjunto de equações, onde uma delas é a equação de Ray-

chaudhuri (para o caso newtoniano). No ano de 1957, Raychaudhuri [45] re-derivou

suas equações de uma maneira um pouco diferente onde os resultados carregavam uma

similaridade com a aproximação moderna para tal derivação. Neste artigo, também foi

mostrado que o trabalho de Heckmann e Sckucking para o caso newtoniano poderia ser

generalizado para o cenário totalmente relativístico. Ainda neste ano, uma carta [46]

por Raychaudhuri foi publicada onde aponta que Komar no ano de 1956 ao investigar

a questão da permanência ou não de singularidades nos modelos cosmológicos sob con-

dições mais gerais, obteve as mesmas conclusões [47] (relativas as condições de existências

destas singularidades) que Raychaudhuri em [2]. Nos artigos [2, 45] a equação de Ray-

chaudhuri é quase inteiramente restrita à Cosmologia. Foi Ehlers [48] que estendeu esta

equação à matéria arbitrária. Este é um trabalho importante que inclui a aceleração das

linhas de universo da matéria e tensores arbitrários. Nele também aparecem, aparente-

mente pela primeira vez, as derivações das equações de evolução do tensor de distorção1

e rotação. Apesar de ter sido mencionado neste artigo, foi somente depois dos trabalhos de

Penrose [49] e Hawking [50, 51] que Raychaudhuri recebeu o merecido reconhecimento.

E foi neste período que o termo "equação de Raychaudhuri" veio a ser usado na literatura

Física.

Após meio século de discussões e análises dessa equação em diversos cenários,

nos dias atuais são bem conhecidas sua importância e aplicabilidade, sendo conside-

rada o alicerce para a compreensão da atração gravitacional em Astrofísica e Cosmolo-

gia. Modelos cosmológicos os quais obedecem as condições de energias, fazem uso desta

equação como base das estimativas da idade do Universo. Sua generalização para o caso

de geodésicas nulas, conhecida como equação de Raychaudhuri nula, desempenha um pa-

pel central na óptica geométrica em um espaço tempo curvo, como explorado por Sachs,

Ehlers, Penrose e outros [16]. As versões tipo-nula e tipo-tempo desta equação, quando

combinadas, possuem um papel central em muitos teoremas de singularidades - a apli-

cação mais simples é para o caso do Universo de Friedmann. E é claro, não poderíamos

1Em inglês, Shear


deixar de mencionar que esta equação é a base do poderoso e conhecido teorema de Pen-

rose e Hawking, que mostra a existência de singularidades [4, 16].

Neste capítulo, iremos considerar primeiramente a evolução de uma congruência

tipo-tempo, seguido de um estudo semelhante para uma congruência tipo-luz. Iremos de-

duzir as versões nula e tipo-tempo da equação de Raychaudhuri, do teorema de Frobenius

e do teorema da Focalização. Para uma melhor compreensão da equação de Raychaud-

huri, faremos inicialmente um estudo da cinemática de um meio deformável.

3.1 Cinemática de Um Meio Deformável

Nesta seção, abordaremos o movimento de um meio deformável com o intuito de

auxiliar a compreensão dos conteúdos que serão estudados posteriormente. Sob um ponto

de vista puramente cinemático, em um contexto newtoniano, estudaremos o movimento

interno de um meio deformável bi-dimensional. Considere um deslocamento suficiente-

mente pequeno ξa a partir de um ponto de referência O como ilustrado na figura (3.1).

Sobre este deslocamento podemos escrever

dξa

dt= Ba

b (t)ξb +O(ξ2), (3.1)

onde Bab é um tensor do tipo (1, 1). A dependência temporal desse tensor é determinada

pela dinâmica média. Para intervalos de tempos pequenos a equação acima pode ser

Figura 3.1: O movimento interno de um meio deformável bi-dimensional. (Figura reproduzidada referência [17]).


resolvida usando o teorema do valor médio∫ b

a

f(x)dx = (b− a)f(Xm), (3.2)

aqui Xm é o ponto médio. Então a equação (3.1) é reescrita como

ξa(t1)− ξa(t0) =

∫ t1

t0

[Bab (t)ξb +O(ξ2)]dt, (3.3)

a qual tem como solução a seguinte expressão

ξa(t1) = ξa(t0) + [Bab (tm)ξb(tm)]∆t, (3.4)

onde tm = t0 + ∆t/2 e desprezamos os termos de O(∆t2). Expandindo em série de Taylor

a equação (3.4) e desprezando novamente os termos de O(∆t2), temos

ξa(t1) = ξa(t0) + ∆ξa(t0), (3.5)

onde

∆ξa(t0) = Bab (t0)ξb(t0). (3.6)

Para uma melhor compreensão da ação de Bab em um meio deformável, consideremos

nesse meio bi-dimensional um círculo descrito por ξa(t0) = r0(cosφ, sinφ) com raio inicial

denotado por r0. Quando um meio deformável se encontra sob a ação de uma força, pode

ocorrer efeitos de diferente natureza: a expansão, a rotação ou a distorção desse meio. A

seguir será descrito cada um desses efeitos de forma sucinta .

3.1.1 ExpansãoSuponhamos que o tensorBa

b seja proporcional a matriz identidade, de modo que o traço

deste tensor é dado por Baa ≡ θ. Logo, esta matriz pode ser escrita como

Bab =

(12θ 0

0 12θ

).


Substituindo os valores da matriz acima na equação (3.6), obtemos os seguintes resultados

∆ξ1(t0) =1

2θr0∆t cosφ,

∆ξ2(t0) =1

2θr0∆t sinφ, (3.7)

que podem ser reunidos no vetor da seguinte forma

∆ξa(t0) =1

2θr0∆t(cosφ, sinφ). (3.8)

Fazendo uso destes resultados na equação (3.5), encontramos os valores de ξa para t1 como

descrito abaixo

ξ1(t1) = r0(cosφ+1

2θ∆t cosφ),

ξ2(t1) = r0(sinφ+1

2θ∆t sinφ). (3.9)

A partir das equações (3.9), determinamos o novo raio após o deslocamento (ver fig 3.1)

por meio da seguinte expressão

r1 = [(ξ1(t1))2 + (ξ2(t1))2]12 , (3.10)

a qual nos fornece

r1 = r0(1 + θ∆t)12 . (3.11)

Expandindo em série de Taylor e desprezando termos de ordem superior( O(∆t2) ) cheg-

amos ao resultado

r1 = r0 +1

2r0θ∆t. (3.12)

A mudança entre as duas áreas (definida como ∆A = A1 −A0, onde A0 é a área no tempo

t0 e A1 a área no tempo t1) é dada pela expressão

∆A = A0θ∆t, onde θ =1

A0

∆A

∆t. (3.13)

Chamaremos θ de parâmetro de expansão, pois a expressão que o descreve representa

uma mudança fracionária da área por unidade de tempo. Se tal mudança for negativa


ocorrerá uma contração da área (meio bi-dimensional), por outro lado se for positiva ocor-

rerá uma expansão da área da figura. Na verdade θ pode depender do tempo e da escolha

do ponto de referência O.

3.1.2 Distorção

Será analisado agora o caso para o qual Bab é simétrico e de traço livre, ou seja, a

soma de sua diagonal principal será igual a zero. A matriz para este caso especial de Bab

pode escrita como

Bab =

(σ+ σx

σx −σ+

).

Seguindo os mesmos passos da seção (3.1.1) para o cálculos de ∆ξa, ξa(t1) e r1, podemos

obter os respectivos valores

∆ξa(t0) = r0∆t(σ+ cosφ+ σx sinφ,−σ+ sinφ+ σx cosφ), (3.14)

ξ1(t1) = r0[cosφ+ ∆t(σ+ cosφ+ σx sinφ)],

ξ2(t1) = r0[sinφ+ ∆t(σx cosφ− σ+ sinφ)], (3.15)

r1 = r0[1 + ∆t(σ+ cos 2φ+ σx sin 2φ)]. (3.16)

Lembramos que termos de O(∆t2) foram desprezados durante os cálculos. Na expressão

(3.16) se for feito σx = 0, teremos uma elipse com eixo maior orientado ao longo de φ = 0.

Por outro lado, se for feita outra escolha σ+ = 0 teremos então uma elipse com eixo maior

orientada por φ = π/4. Em resumo, temos uma elipse orientada em um ângulo arbitrário.

A área da figura não muda com a ação da parte simétrica de traço livre do tensor Bab, o

que se tem na realidade é uma deformação da área ocasionada por σ+ = 0 ou σx = 0 os

quais chamaremos de parâmetros de distorção. Essa transformação pode variar de acordo

com o meio.


3.1.3 Rotação

É ocasionada por Bab anti-simétrico, cuja representação matricial pode ser dada

por

Bab =

(0 w

−w 0

).

Mais uma vez usando a equação (3.5) e (3.6) juntamente com os dados da matriz acima,

encontramos os seguintes resultados

∆ξa(t0) = wr0∆t(sinφ,− cosφ), (3.17)

ξ1(t1) = r0[cosφ+ w∆t sinφ)],

ξ2(t1) = r0[sinφ− w∆t cosφ]. (3.18)

Definindo φ′ = φ − w∆t podemos com um pouco de álgebra e uso de séries de Taylor de

senos e cossenos, reescrever o lado direito de cada equação em (3.18), respectivamente

cosφ′ ∼= cosφ+ w∆t sinφ,

sinφ′ ∼= sinφ− w∆t cosφ. (3.19)

Assim sintetizamos uma expressão para ξa como segue

ξa(t1) = r0[cosφ′, sinφ′], (3.20)

e consequentemente temos da equação (3.10) que

r1 = [(r0 cosφ)2 + (r0 sinφ)2]12 ,

r1 = r0 (3.21)

Ao supor Bab anti-simétrico, podemos observar que o único efeito devido a atuação deste

tensor sobre o sistema é uma rotação de w∆t, o novo ângulo após esta transformação será

φ′ = φ− w∆t. Logo, definimos w como o parâmetro de rotação.


3.1.4 Caso Geral

Vimos que Bab pode agir de várias maneiras com conseqüências diferentes ( ro-

tação, deformação ou expansão). O efeito mais geral de Bab sobre o sistema é a combi-

nação linear destas três ações supracitadas, o qual escreveremos em termos de matrizes

como segue

Bab =

(12θ 0

0 12θ

)+

(σ+ σx

σx −σ+

)+

(0 w

−w 0

),

ou alternativamente como uma combinação linear das componentes do tensor (simétrico

sem traço, anti-simétrico e o traço )

Bab =θ

2δab + σab + wab. (3.22)

Novamente, chamamos de expansão escalar o traço de Bab e denotamos θ = Baa . A parte

simétrica sem traço (tensor distorção) é expressa como σab = B(ab) − 12δab e a rotação (a

parte anti-simétrica) escrevemos como wab = B[ab]. Todo esse estudo pode ser feito em um

meio deformável tri-dimensional. O raciocínio é análogo, e as expressões obtidas como

resultados são semelhantes com as obtidas em um meio bi-dimensional. A expansão,

para o caso tri-dimensional, representa a mudança fracionária de volume por unidade de

tempo θ = ∆V∆t

1V0

. As expressões neste meio para as componentes do tensor, traço, parte

simétrica de traço livre e parte anti-simétrica são dadas abaixo

Bab =θ

3δab + σab + wab,

θ = Baa ,

σab = B(ab) −1

3θδab,

wab = B[ab]. (3.23)

3.2 Congruência de Geodésicas

Considere uma variedade M e sejaO uma região aberta contida em M . Uma con-

gruência em O é um termo usado para designar uma família de curvas tais que em cada


ponto deO passa uma, e apenas uma, curva desta família. As congruências que estudare-

mos são compostas de geodésicas, curvas que representam um caminho de comprimento

extremo entre dois pontos, parametrizadas arbitrariamente.

Estamos interessados em estudar, no âmbito de RG, tanto o movimento de corpos

de testes livres quanto o de raios de luz. Um corpo de teste é um corpo cuja massa é tão

pequena que a curvatura que ele produz no espaço-tempo não tem significado por si só, ao

contrário, seu movimento é devido à curvatura produzida por outros corpos com massas

significativas [52]. Na RG os corpos de testes são consideradas livres quando não estão

sob qualquer influência com excessão da curvatura do espaço-tempo (livres das forças

elétricas, por exemplo). Nessa teoria a gravitação não é uma força, mas uma propriedade

da geometria do espaço-tempo. Partículas que se movem livremente em resposta apenas

à geometria do espaço-tempo seguem geodésicas.

Analisaremos separadamente congruências de geodésicas tipo-tempo e tipo- nula.

Não serão abordadas geodésicas tipo-espaço, pois além do estudo destas ser idêntico ao

das geodésicas tipo-tempo, elas são menos interessante do ponto de vista físico. Mais pre-

cisamente, queremos analisar o comportamento do vetor de desvio ~ξ, entre duas geodési-

cas vizinhas tipo-tempo na congruência, como uma função do tempo próprio τ , ao longo

destas curvas usadas como referência. Em seguida abordaremos de maneira similar as

geodésicas nulas, também com o objetivo de analisar a evolução das congruências no

tempo. É importante que esteja claro que um desvio geodésico na RG, significa apenas

uma manifestação da curvatura.

3.2.1 Congruência de Geodésicas Tipo-Tempo

Considere uma congruência de geodésicas tipo-tempo parametrizadas por τ . Nesta

congruência são escolhidas duas geodésicas vizinhas γ0 e γ1 e entre elas é introduzida uma

família de geodésicas. Para cada geodésica um índice S ∈ [0, 1] é atribuído, de forma que

S = 0 em γ0 e S = 1 em γ1 (ver figura (3.2)). Estas curvas serão descritas por relações

de xα(S, τ), onde S especifica a geodésica e τ é um parâmetro afim ao longo da geodésica

especificada. Com esta configuração, temos interesse em dois vetores:

• Um vetor ~U tangente à curva, a quadri-velocidade, tal que ~U = Uαeα, UαUα = −1 e

Uα = ∂xα/∂τ .


• Um vetor ~ξ o qual aponta nas direções transversais ao fluxo da congruência, o vetor

de desvio geodésico, denotado por ~ξ = ξαeα onde ξα = ∂xα/∂S.

Figura 3.2: Vetor de desvio entre duas geodésicas vizinhas. (Figura retirada da referência [17]).

A equação da geodésica tipo-tempo parametrizada por τ (parâmetro afim) é dada

por ∇~U~U = 0. Também podemos escrevê-la como Uα;β U

β = 0 (para um estudo mais

detalhado da equação da geodésica veja apêndice (A)).

A derivada absoluta de ~ξ na direção de ~U é dada por

∇~U~ξ = ξβ;α U

αeβ =

(∂ξβ

∂xα+ Γβραξ

ρ

)∂xα

∂τeβ,

=

(∂2xβ

∂τ∂S+ Γβρα

∂xρ

∂S

∂xα

∂τ

)eβ. (3.24)

Levando em consideração que Γβρα é simétrico nos índices inferiores e que ρ e α são índices

mudos na equação (3.24), podemos trocar ρ por α e vice-versa, obtendo assim a equação

ξβ;α Uαeβ =

(∂2xβ

∂τ∂S+ Γβρα

∂xα

∂S

∂xρ

∂τ

)eβ. (3.25)

Seguindo os mesmo passos calculamos∇~ξ~U , a derivada absoluta de ~U na direção de ~ξ

∇~ξ~U = Uβ;α ξ

αeβ =

(∂2xβ

∂τ∂S+ Γβρα

∂xα

∂S

∂xρ

∂τ

)eβ. (3.26)


Isto mostra que∇~U~ξ = ∇~ξ

~U , ou seja,

Uβ;α ξα = ξβ;α U

α. (3.27)

Como Dξα/dτ = ξα;β Uβ temos que D/dτ = Uβ∇β ; portanto

D

dτ(ξαUα) = (ξαUα);β U

β = ξα;β UαUβ + ξαUα;β U

β. (3.28)

Substituindo (3.27) na equação acima e usando o fato que Uα;β Uβ = 0 (equação da

geodésica) juntamente com o fato que Uλ;β Uλ = 0, uma vez que Uα;β = (gαλUλ);β =

Uλ;β gαλ e que (UλUλ);β = 2Uλ;β Uλ, sendo (UλUλ = constante), concluímos que

D

dτ(ξαUα) = 0. (3.29)

Este resultado é muito importante, pois diz que (ξαUα) = constante. Isso permite que a

parametrização das geodésicas sejam ajustadas em γ0, de modo que ξα seja ortogonal em

toda parte a Uα, ou seja, ξαUα = 0. Este resultado implica que o vetor do desvio geodético

aponta na direção transversal ao fluxo da congruência. Resumindo, temos as seguintes

relações

UαUα = 0, Uα;β Uβ = 0, Uα;β Uα = 0, Uα;β ξ

β = ξα;β Uβ e Uαξα = 0. (3.30)

3.2.1.1 Métrica Transversal

O vetor de desvio aponta na direção transversal ao fluxo das congruências (como

dito na subseção anterior). Logo, a métrica que descreve o espaço-tempo pode ser decom-

posta em duas partes, a horizontal (−UαUβ) e a parte transversal (hαβ), como

gαβ = hαβ − UαUβ. (3.31)

A métrica transversal é tri-dimensional e puramente espacial, uma vez que ela é orto-

gonal à Uα: hαβUβ = 0 = hαβUα. Em um referencial de Lorentz comóvel, em algum

ponto p dentro da congruência temos gαβ.= diag(−1, 1, 1, 1), hαβ

.= diag(0, 1, 1, 1) e Uα

.=

diag(−1, 0, 0, 0). Algumas relações são relevantes como hαµhµβ = hαβ e o traço desta métrica

é dado por hαα = 3.


3.2.1.2 Cinemática

Consideremos o Universo como sendo um fluido perfeito composto de partícu-

las que se movem ao longo de um conjunto de curvas tipo-tempo. Estudaremos sua cin-

emática do ponto de vista da RG. Comecemos nosso estudo com a definição de um campo

tensorial dado por

Bαβ = Uα;β . (3.32)

Observe que assim como hαβ , este tensor é puramente transversal

BαβUα = Uα;β U

α =1

2(UαUα);β = 0. (3.33)

A ação de Bαβ sobre o vetor do desvio geodético ~ξ é dada por

Bαβ ξ

β = Uα;β ξβ, (3.34)

e usando a equação (3.27) temos que

Bαβ ξ

β = ξα;β Uβ. (3.35)

Conforme visto antes, o lado direito da equação (3.35) representa o transporte paralelo

do vetor de desvio ~ξ na direção do vetor tangente ~U ao longo da congruência. Esta

equação nos diz que Bαβ determina a evolução deste vetor de desvio. Ela mede o quão

falho é o transporte de ~ξ ao longo da congruência [20, 17]. A equação (3.35) é análoga a

equação (3.1), com excessão dos termos de O(ξ2). Estes termos foram desprezados du-

rante a análise da evolução do vetor de desvio de um meio deformável.

Como qualquer outro tensor Bαβ pode ser decomposto como sendo a soma de

suas partes simétrica e anti-simétrica. Sabemos que a parte anti-simétrica do tensor possui

traço igual a zero, logo o traço do tensor está contido no traço da parte simétrica. Assim

podemos dividir a parte simétrica em duas partes, simétrica de traço livre (sem traço) e

o traço. Similar a seção (3.1.1), chamaremos o traço do tensor de θ, a parte simétrica sem

traço de σαβ e a parte anti-simétrica de wαβ . Escreveremos esse tensor como

Bαβ =1

3θhαβ + σαβ + wαβ, (3.36)


onde θ é a expansão (ou contração) escalar, σαβ representa o tensor distorção, e wαβ o

tensor rotação. Essas quantidades estão relacionadas à geometria da área transversal or-

togonal às linhas de fluxo. Elas são dadas, respectivamente, por

θ = Bαα = Uα;α ,

σαβ = B(αβ) −1

3θhαβ,

wαβ = B[αβ ]. (3.37)

No estudo anterior (seção (3.1.1)), encontramos equações similares que descrevem

a evolução do vetor de desvio (~ξ) com relação ao tempo próprio. O efeito do tensor Bαβ

sobre o meio estudado (nosso caso particular um fluido), no âmbito da RG, pode ser con-

siderado análogo ao efeito deste tensor no meio deformável no contexto newtoniano. Essa

analogia com a deformação elástica ou fluxo de fluido é tomada como um auxílio visual

para a compreensão das mudanças na geometria da área transversal. De modo análogo,

conforme veremos adiante, a evolução do tensor Bαβ dado por (3.36) nos dá a evolução

da geometria da área transversal às linhas de fluxo. Em particular se θ > 0 a congruência

estará divergindo, as geodésicas tendem a se separar; por outro lado se θ < 0 a congruên-

cia estará convergindo, as geodésicas tendem a se unir. O estudo da evolução de Bαβ é de

grande utilidade para o conhecimento do teorema a seguir.

3.2.1.3 Teorema de Frobenius para Congruências Tipo-Tempo

Teorema 3.2.1 Uma congruência de curvas tipo-tempo dá origem a uma hipersuperfície ortogonal

se e somente se U[α;β Uγ ] = 0, onde Uα é o vetor tangente às curvas.

Quando isso ocorre, a congruência é em todos os lugares ortogonal à uma família de

hipersuperfície tipo-espaço folheando O. Para demonstrarmos esse teorema, começamos

observando que uma congruência será ortogonal a uma hipersuperfície se Uα for pro-

porcional a normal nα desta hipersuperfície em todos os pontos. Supondo que estas são

descritas por equações do tipo φ(xα) = c, onde c é uma constante específica de cada hiper-

superfície então nα ∝ φ,α. Portanto, para algum fator de proporcionalidade µ, o qual pode

ser determinado da condição de normalização (UαUα = −1), escrevemos

Uα = −µφ,α , (3.38)


cuja a derivada covariante é dada por

Uα;β = −µφ;α β − µ,β φ,α . (3.39)

Construindo o tensor totalmente anti-simétrico,

U[α;β Uγ ] ≡1

3!(Uα;β Uγ + Uγ;α Uβ + Uβ;γ Uα − Uβ;α Uγ − Uα;γ Uβ − Uγ;β Uα) , (3.40)

e usando (3.39) podemos reescrevê-lo como

U[α;β Uγ ] =1

3![(−µφ;α β − µ,β φ,α +µφ;β α + µ,α φ,β )Uγ +

+(−µφ;β γ − µ,γ φ,β +µφ;γ β + µ,β φ,γ )Uα +

+(−µφ;γ α − µ,α φ,γ +µφ;α γ + µ,γ φ,α )Uβ]. (3.41)

Seja φ;α β = φ;β α e substituindo (3.38) na equação (3.41), chegamos ao seguinte resultado

U[α;β Uγ ] = 0. (3.42)

Então concluímos que uma hipersuperfície ortogonal ⇒ U[α;β Uγ ] = 0. O inverso, o qual

diz que U[α;β Uγ ] = 0 implica a existência de um campo escalar φ tal que Uα ∝ φ,α tam-

bém é verdade, mas sua demonstração é mais trabalhosa. Com a equação (3.42) podemos

decidir apenas com as bases dos campos vetoriais, sem a necessidade de encontrar explici-

tamente φ, se Uα determina ou não uma hipersuperfície ortogonal. É relevante destacar

que na dedução da equação (3.42), não foi usada a equação da geodésica (Uα;β Uβ = 0) e

nem o fato de que Uα é normalizado, o que a torna mais geral.

Retornando ao nosso estudo de congruências geodésicas e usando a definição de

anti-simetria de um tensor, ou seja,

B[αβ ] =1

2(Uα;β −Uβ;α ), (3.43)

podemos escrever a equação (3.40) como

3!U[α;β Uγ ] = 2[(B[αβ ])Uγ + (B[γα])Uβ + (B[βγ ])Uα],

= 2[wαβUγ + wγαUβ + wβγUα]. (3.44)


Se multiplicarmos (3.44) porUγ e impormos a exigência do teorema de Frobenius (U[α;β Uγ ] =

0), temos

wαβ = 0. (3.45)

A equação 3.45 foi obtida utilizando a propriedade, UγUγ = −1 e as condições de ortog-

onalidade wγαUγ = wβγUγ = 0. assim podemos inferir que a existência de uma hipersu-

perfície ortogonal ⇒ wγα = 0. Pode-se demonstrar também que se wαβ = 0 então as

geodésicas tipo-tempo determinam hipersuperfícies ortogonais a Uα em todos os pontos.

Este resultado é importante para o cálculo de wαβ a partir da métrica da variedade, como

por exemplo, para a geometria de Friedmann subjacente ao modelo padrão da Cosmolo-

gia, wαβ = 0, que mostraremos mais adiante. Isto implica que as geodésicas tipo-tempo

serão ortogonais, em todos os pontos ao nosso mundo tridimensional. Por outro lado, a

existência ou não de vértices (wαβ 6= 0) é um fato passível de observação.

3.2.1.4 A Equação de Raychaudhuri para Congruências Tipo-Tempo

A equação de evolução do campo tensorial Bαβ é dada por

D

dτ(Bαβ) = Bαβ;µ U

µ = Uα;β µUµ. (3.46)

Mas Uα;β µ = [∇µ,∇β]Uα + Uα;µ β e como [∇µ,∇β]Uα = RλαβµUλ podemos escrever a

equação (3.46) como

D

dτ(Bαβ) = (Uα;µ β +Rλ

αβµUλ)Uµ,

= (Uα;µ β +RναβµUν)Uµ. (3.47)

mas Uα;µ βUµ = (Uα;µ U

µ);β −Uα;µ Uµ;β e Uα;µ U

µ = 0. Substituindo essas expressões em

(3.47) teremos a equação da evolução do tensor Bαβ

D

dτ(Bαβ) = −Uα;µ U

µ;β +RναβµUνUµ,

= −BαµBµβ −RανβµU

νUµ. (3.48)

Podemos também calcular a evolução de cada componente do tensor Bαβ (simétrica sem

traço, anti-simétrica e traço) fazendo as decomposições apropriadas. A mais usada é a


equação de evolução para a expansão, a qual será detalhada adiante, as demais serão

apenas apresentadas.

Tomando o traço da equação (3.48), obtemos

D

dτ(Bα

α) = −BαµBµα −Rβ

ν βµUνUµ,

Dθ

dτ= −BαµB

µα −RνµUνUµ. (3.49)

Usando a equação (3.36) para calcular BαµBµα, chegamos a

BαµBµα =

θ2

3+ σαµσ

αµ − wαµwαµ. (3.50)

Substituindo (3.50) em (3.49), encontramos a equação de evolução para a expansão de

congruências de geodésicas tipo-tempo, mais conhecida como a equação de Raychaudhuri

dada por

Dθ

dτ= −θ

2

3− σαµσαµ + wαµw

αµ −RαµUαUµ. (3.51)

Essa é a equação chave para a prova de teoremas de singularidades. A equação de evolução

para a parte simétrica sem traço σµν é dada por

Dσµνdτ

= −2

3θσµν − σµασαν − wµρwρν +

1

3hµν(σαβσ

αβ − wαβwαβ) + CανµβUαUβ +

1

2Rµν ,(3.52)

onde Rµν é a parte sem traço de Rµν projetada espacialmente e Cανµβ é o tensor de Weyl.

Esses tensores são definidos respectivamente como

Rµν = hαµhβµRαβ −

1

3hµνh

αβRαβ, (3.53)

e

Cανµβ = Rανµβ −2

(n− 2)

(gα[µRβ ]ν − gν [µRβ ]α

)+

2

(n− 1)(n− 2)gα[µgβ ]νR. (3.54)


Finalmente a equação de evolução para a parte anti-simétrica wµν é dada por

Dwµνdτ

= −2

3θwµν + σαµwνα − σανwµα. (3.55)

Devemos ressaltar que estas equações de evolução (e suas generalizações) são

essencialmente afirmações geométricas, sendo independentes de qualquer referência às

equações de campo de Einstein. Vamos estudar agora a equação (3.51) no contexto da

gravidade de Einstein. Onde a congruência de geodésicas tipo-tempo representa o movi-

mento de partículas livres (linhas de universo). Usando a equação de Einstein para a RG,

escreveremos o último termo de (3.51) como

RαµUαUµ = 8πG

(Tαµ −

1

2gαµT

)UαUµ. (3.56)

Ao analisar o lado direito desta equação, vemos que TαµUαUµ representa fisicamente a

densidade de matéria como medida por um observador com quadri-velocidade Uµ. Como

estudado no capítulo anterior, a condição de energia fraca é posta como TαµUαUµ ≥ 0, em

outras palavras a WEC exige que para toda matéria fisicamente razoável, a densidade de

energia não seja negativa. Outra condição de energia que também pode ser aplicada aqui

é a condição de energia forte, que exige(Tαµ − 1

2gαµT

)UαUµ ≥ 0, ou seja, ela impõe que

a tensão da matéria não seja exageradamente negativa. Portanto, se a SEC se mantêm,

podemos afirmar que

RαµUµUα ≥ 0. (3.57)

Observemos o segundo e terceiro termo de (3.51), como o tensor de rotação e deformação

são ortogonais à quadri-velocidade, dizemos que eles são tensores puramente espaciais, o

que significa

σαµσαµ ≥ 0 e wαµw

αµ ≥ 0, (3.58)

onde o sinal de igualdade se mantêm somente se o tensor for identicamente nulo.

Quando utilizamos a equação de Einstein com a constante cosmológica a equação

de Raychaudhuri é reescrita como

Dθ

dτ= −θ

2


αµ − χ(TαµU

αUµ +1

2T

)+ Λ. (3.59)


Ao analisar esta equação vemos que a rotação e a constante cosmológica faz com que

se expanda, ao passo que a distorção contribui para o colapso gravitacional. O papel

do termo(TαµU

αUµ + 12T)

depende da SEC. Se essa condição de energia for válida, a

contribuição é para o colapso gravitacional, porém se a SEC for violada, a contribuição é

para a expansão.

3.2.1.5 Teorema da Focalização para Congruências Tipo-Tempo

Muitos resultados importantes para a teoria da RG, relacionados com a equação

de Raychaudhuri, são oriundos de um teorema simples, conhecido como teorema da Fo-

calização, que enunciado a seguir.

Teorema 3.2.2 Considere uma congruência de geodésicas tipo-tempo determinando uma hipersu-

perfície ortogonal. Se para essa congruência RαµUαUµ ≥ 0 ( o que ocorre se a gravidade for de-

scrita pelas equações de Einstein e se a matéria obedecer a SEC), então podemos escrever a equação

de Raychaudhuri como

Dθ

dτ+θ2

3≤ 0. (3.60)

Integrando esta equação obtemos

1

θ(τ)≥ 1

θ0

+τ

3, (3.61)

onde θ0 ≡ θ(τ = 0). Isto mostra que se a congruência é inicialmente convergente (θ0 < 0),

então θ(τ) −→ −∞ dentro de um tempo próprio τ ≤ 3/|θ0|. No cenário físico, este re-

sultado tem um papel crucial, pois mostra que as geodésicas convergirão para um ponto,

o qual é chamado de cáustica, onde a equação de Raychaudhuri perde sua validade. A

cáustica é uma singularidade da congruência, porém, ela não indica qualquer singular-

idade na estrutura do espaço-tempo [4]. Entretanto, nas provas dos teoremas de singu-

laridade aproveita-se essa propriedade da equação de Raychaudhuri para mostrar que o

espaço-tempo deve ser geodesicamente incompleto [4, 20]. Uma singularidade na estru-

tura do espaço-tempo implica uma focalização de geodésicas, o contrário nem sempre é

válido. Um exemplo seria uma geodésica do tipo-tempo que "termina" em um intervalo

de tempo próprio finito (geodésicas incompletas).


3.2.2 Congruência de Geodésicas Tipo-Nula

Os raios de luz também são importantes no estudo da geometria do espaço-tempo.

O seu movimento se dá ao longo de geodésicas nulas, para as quais dS2 = 0. Para o estudo

das congruências de geodésicas nulas, será considerada a mesma configuração geométrica

da seção anterior, com a exceção que o campo vetorial tangente será indicado por vetores

nulosKα e as geodésicas serão parametrizadas pela variável λ (parâmetro afim desta con-

figuração). Assim, o deslocamento ao longo de uma curva da congruência será descrito

por dxα = Kαdλ. Novamente o vetor de desvio será indicado por ~ξ e assim como anteri-

ormente, será ortogonal ao campo tangente ~K. Temos as seguintes relações:

1. KαKα = 0;

2. Kα;βKβ = 0;

esta é a equação da geodésica para a congruência nula.

3. Kα;β ξβ = ξα;βK

β ;

o transporte paralelo de ~ξ na direção de ~K será igual ao transporte paralelo de ~K

na direção de ~ξ. Essa demonstração, por ser análoga a demonstração feita para con-

gruência de geodésicas tipo-tempo, não será novamente provada.

4. Kαξα = 0, ou seja, ~ξ é ortogonal à ~K;

mais uma vez, a demonstração desta propriedade segue de forma similar a que fize-

mos para vetores tipo-tempo (~U ) e não reproduziremos aqui.

As propriedades transversais da congruência, assim como na subseção (3.2.1), são as que

mais nos interessam. Elas são determinadas pelo vetor de desvio ~ξ. Em outras palavras,

o que realmente será estudado é o que acontece no cone de luz (parte transversal). A

condição Kαξα = 0 falha ao remover uma eventual componente de ~ξ na direção de ~K, a

qual será isolada usando a métrica transversal hαβ .


3.2.2.1 Métrica Transversal

Na congruência de geodésicas nulas, a métrica transversal escrita da forma tradi-

cional não funciona (hαβKβ = Kα 6= 0 ). Para resolver esse problema, vamos inicial-

mente para um sistema de Lorentz local (sistema inercial) e em um ponto P deste sis-

tema, introduzimos as novas coordenadas u = t − x e v = t + x. O elemento de linha

ds2 = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2, em relação a estas novas coordenadas será escrito como

ds2 .= −dudv + dy2 + dz2. Supomos que Kα é tangente às curvas u = constante, assim o

elemento de linha transversal será dS2 .= dy2 +dz2. A métrica transversal é bi-dimensional

hαβ.= (0, 0, 1, 1), isto está relacionado com o fato que deslocamento ao longo do cone de

luz, ds2 = 0. Em síntese, queremos uma métrica escrita em termos de dois vetores nulos

(Kα e Nα), tal que NαKα 6= 0. Com esse objetivo, introduziremos outro campo vetorial

nulo Nα que atenda as exigências necessárias. Como sabemos que a normalização de um

vetor tipo-nulo é arbitrária, podemos impor que NαKα = −1. No referencial de Lorentz

se definirmos Kα.= ∂αu podemos escolher, por exemplo, Nα

.= 1

2∂αv . Definimos

hαβ = gαβ +KαNβ +KβNα, (3.62)

de forma que essa métrica satisfaça as seguintes propriedades

hαβKβ = hαβN

β = 0, hαα = 2 e hαµhµβ = hαβ . (3.63)

É claro que as condições NβNβ = 0 e KβNβ = −1 não determinam Nβ de forma única.

A métrica transversal não será única para este caso. Entretanto, veremos que as quanti-

dades fisicamente relevantes, como por exemplo a expansão da congruência, serão inde-

pendentes das nossas escolhas para o vetor nulo auxiliar [9, 17].

3.2.2.2 Cinemática

O estudo cinemático das congruências nulas será feito de forma análoga ao estudo

de congruências de geodésicas tipo-tempo. Alguns cuidados adicionais devem ser toma-

dos em relação as quantidades puramente transversais. Como fizemos anteriormente,


introduziremos um campo tensorial

Bαβ = Kα;β , (3.64)

o qual nos fornece a medida do quanto é falho o transporte paralelo de ~ξ ao longo da

congruência. Como antes, a ação de Bαβ sobre o desvio geodético é dada por

BαβK

β = Kα;β ξβ. (3.65)

A equação (3.65) possui uma componente transversal que devemos remover. Tal procedi-

mento, será iniciado com o isolamento da parte puramente transversal do vetor de desvio,

a qual denotaremos por ξα. Aplicando hαβ a ξα, temos

ξα ≡ hαµξµ,

= (δαµ +KαNµ +NαKµ)ξµ,

= ξα + (Nµξµ)Kα. (3.66)

A derivada covariante de ξµ na direção de Kµ (∇ ~K ξ) representa a velocidade relativa de

duas geodésicas vizinhas

ξµ;βKβ = (hµνξ

ν);βKβ,

= hµνBνβξ

β + hµν ;β ξνKβ. (3.67)

Mas hµν ;β ξνKβ = KµNν ;β ξ

νKβ e finalmente podemos reescrever (3.67) como

ξµ;βKβ = hµνB

νβξ

β +Nν ;β ξνKβKµ. (3.68)

Esta é a velocidade relativa de duas geodésicas vizinhas. Como vemos, ela tem uma com-

ponente ao logo de Kµ, a qual isolaremos novamente usando a métrica transversal

(ξα;βKβ ) ≡ hαµ

(ξµ;βK

β),

= hαµ(hµνB

νβξ

β +Nν ;β ξνKβKµ

),

= hανBνβξ

β,

= hαµBµν ξ

ν . (3.69)

Para simplificarmos esta equação, fazeremos algumas substituições. Primeiramente tro-


caremos ξν por ξν , isto é possível porque BνβK

β = 0. Depois inseriremos a relação ξν ≡hνβ ξ

β , uma vez que ξν é puramente transversal. Por último definimos a parte puramente

transversal de Bµν como Bαβ = hµαhνβBµν , temos então(ξµ;βK

β)˜= Bα

β ξβ. (3.70)

A parte puramente transversal de Bµν pode ser expressa mais explicitamente usando hαβ ,

de modo que

Bαβ = hµαhνβBµν ,

= (gµα +KαNµ +NαK

µ)(gνβ +KβNν +NβK

ν)Bµν ,

= Bαβ +KαNµBµβ +KβN

µBαµ +KαKβNµNνBµν . (3.71)

O comportamento puramente transversal da congruência nula é governado pela equação

(3.70), onde Bαβ ξ

β é interpretado fisicamente como a velocidade transversal relativa entre

duas geodésicas vizinhas. Decompondo o tensor Bαβ em suas componentes irredutíveis

temos

Bαβ =1

2θhαβ + σαβ + wαβ, (3.72)

onde θ é a expansão (ou contração) escalar, σαβ é o tensor distorção, e wαβ é o tensor

rotação, dados respectivamente por

θ = Bαα ,

σαβ = B(αβ) −1

2θhαβ,

wαβ = B[αβ ]. (3.73)

A expansão pode ser explicitada, usando a equação (3.71), assim

θ = gαβBαβ,

= gαβBαβ,

= Kα;α . (3.74)

Vemos assim que a escolha do vetor nulo não exerce nenhuma influência sobre

θ e como era de se esperar, a expansão é única. Assim como no caso das congruências


das geodésicas tipo-tempo, o estudo da evolução das congruências tipo-luz é facilitado

usando-se o teorema de Frobenius para o cone de luz, conforme a seguir.

3.2.2.3 Teorema de Frobenius para Congruências de Geodésicas Tipo-Nulas

Teorema 3.2.3 A congruência de curvas tipo-nula define uma hipersuperfície ortogonal se e so-

mente se K[α;βKγ ] = 0, onde Kα é a tangente às curvas.

A prova deste teorema é idêntica a que fizemos na seção (3.2.1.3) (para congruência de

geodésicas tipo-tempo). Então nos limitaremos apenas em citar os passos principais da

demonstração. Observemos inicialmente que Kγ deve ser proporcional à normal φ,α de

uma família de hipersuperfícies descritas por φ(xα) = constante (Kα = −µφ,α ), para al-

gum escalar µ. Estas hipersuperfícies devem ser claramente nulas (gαβφ,α φ,β ∝ gαβKαKβ =

0). O vetor Kβ é também tangente às hipersuperfícies, isto porque Kαφ,α = 0. Kα é

ao mesmo tempo paralelo e ortogonal à φ,α (veja o teorema (3.2.4)). As geodésicas são

chamadas de geradores de hipersuperfícies, e elas estão situadas dentro das hipersuper-

fícies como ilustrado na figura (3.3). Seguindo passos semelhantes ao caso das congruên-

cias tipo-tempo, mostra-se que o vetor nulo Kα obedece à relação K[α;βKγ] = 0. Por outro

lado, esse fato implica que B[αβ ]Kγ +B[γα]Kβ +B[βγ ]Kα = 0. Quando multiplicamos esta

expressão por Nγ ( lembrando que NγKγ = −1), obtemos

B[αβ ] = B[γα]NγKβ +B[βγ ]KαN

γ,

=1

2(BγαKβ −BαγKβ +BβγKα −BγβKα)Nγ,

= Bγ [αKβ ]Nγ +K[αBβ ]γN

γ. (3.75)

Usando a expressão (3.71) podemos escrever a parte anti-simétrica de Bαβ como

2B[αβ ] = Bαβ +KαBµβNµ +KβBαµN

µ +KαKβBµνNµNν −

−Bβα −KβBµαNµ −KαBβµN

µ −KβKαBµνNµNν , (3.76)

B[αβ ] = B[αβ ] −Bµ[αKβ ]Nµ −K[αBβ ]µN

µ. (3.77)


Substituindo (3.75) nesta expressão e lembrando que µ é um índice mudo, temos

B[αβ ] = 0. (3.78)

Vemos assim que hipersuperfícies ortogonais =⇒ wαβ = 0.

Figura 3.3: Familia de hipersuperfícies ortogonais à congruência de geodésicas nulas. (Figuraextraída da referência [17]).

Finalmente para validar algumas afirmações supracitadas, demonstramos aqui

um teorema sobre o produto escalar de dois vetores nulo.

Teorema 3.2.4 Em um espaço vetorial real V quadri-dimensional provido da métrica lorentziana

gαβ = diag(−1, 1, 1, 1), dois vetores nulos são ortogonais se e somente se eles são colineares.

Demonstração: sejam A e B dois vetores nulos em V, ou seja,

A.A = B.B = 0. (3.79)

Se A e B são colineares, A = yB(y 6= 0), então tomando o produto interno de ambos

os membros desta equação por A e usando a equação (3.79), obtemos A.B = 0, o que

mostra que eles também são ortogonais. Reciprocamente, suponhamos que os vetores

nulo A e B são ortogonais, isto é, A.B = 0. É sempre possível escolher uma base na qual

gαβ = diag(−1, 1, 1, 1) com A = (a, a, 0, 0) e B = (b, c, d, 0), onde a 6= 0 e b2 = c2 + d2.

Portanto, A.B = 0 implica que b = c e consequentemente d = 0. Logo os vetores são

colineares.


3.2.2.4 Equação de Raychaudhuri para Congruências de Geodésicas Tipo-Nulas

A derivação da equação de evolução paraBαβ em uma congruência de geodésicas

nulas, segue o mesmo caminho usado para o cálculo da evolução desse tensor no caso de

geodésicas tipo-tempo

d

dλ(Bαβ) = Bαβ;µK

µ = Kα;β µKµ,

= Kα;µ βKµ +RναβµK

νKµ,

= Kα;µ βKµ −RανβµK

νKµ,

= −Kα;µKµ;β −RανβµK

νKµ,

= −BαµBµβ −RανβµK

νKµ. (3.80)

Esta é a equação de evolução para Bαβ . Quando tomamos o traço dessa equação temos

d

dλ(Bα

α) = −BαµBµα −RνµK

νKµ︸︷︷︸ν−→α

,

dθ

dλ= −BαµB

µα −RαµKαKµ. (3.81)

Como BαµBµα = BαµB

µα = θ2

2+ σαµσ

µα − wαµwµα, a equação (3.81), se torna

dθ

dλ= −θ

2

2− σαµσµα + wαµw

µα −RαµKαKµ. (3.82)

Esta é a equação de Raychaudhuri para uma congruência de geodésicas nulas. Notemos

que essa equação é invariante sob uma mudança de vetor auxiliar nulo Nα. lembramos

também que o tensor distorção e rotação são puramente transversais, assim σαµσµα ≥ 0 e

wαµwµα ≥ 0, com a igualdade ocorrendo somente se o tensor for nulo.

A equação de evolução do vetor de distorção para esta congruência é

dσαµdλ

= −θσαµ − hναhβµCαλµσKλKσ, (3.83)

e para a rotação,

dwαµdλ

= −θwαµ. (3.84)


3.2.2.5 Teorema da Focalização para Congruências de Geodésicas Tipo-Nulas

Estudaremos agora a versão nula do teorema da Focalização.

Teorema 3.2.5 Considere uma congruência de geodésicas nulas que geram uma hipersuperfície

ortogonal. Se RαβKαKβ ≥ 0 ( o que ocorre se a condição de energia nula for válida e a gravidade

for descrita pelas equações de Einstein), então podemos escrever a equação de Raychaudhuri para

uma congruência nula como

dθ

dλ+θ2

2≤ 0. (3.85)

Integrando esta equação obtemos que θ−1(λ) ≥ λ/2 + θ−10 , onde θ0 ≡ θ(0). Isto mostra

que se a congruência é inicialmente convergente (θ0 < 0), θ(λ) −→ −∞ dentro de um

parâmetro de λ ≤ 2/|θ0|. Como para o caso de uma congruência de geodésicas tipo-

tempo, isto geralmente sinaliza a ocorrência de uma caústica para os raios de luz.

3.2.3 O Termo de Aceleração e Parametrizações Não Afim

A derivação da equação de Raychaudhuri, como dito de início, fez-se exclusiva-

mente para as curvas geodésicas. Para o caso não geodésico de congruências tipo-tempo

ou tipo-nula será diferente. A equação para a evolução da expansão muda, pois passa a

possuir o termo (Uα;µ Uµ);β . Este termo pode também ser escrito como ∇β(Uµ∇µUα), nós

o chamaremos de termo de aceleração, uma vez que a quadri-aceleração é definida como

aα = Uα;µ Uµ [9, 20, 41]. A equação de Raychaudhuri para a expansão agora é dada como

Dθ

dτ= −θ

2


αµ +∇µ(Uµ∇µUα)−RαµUαUµ. (3.86)

Para a parametrização não afim de congruência de geodésicas nulas, temos que

Kα∇αKβ = fKβ (com f = f(λ)) e a expansão passa a ser dada por Θ = ∇αK

α − f .

Demonstração: usando a equação (3.71) e as relações Kα∇αKβ = fKβ e NβK

β = −1,


temos

Kα;β = Kα;β +KβNµKα;µ +KαN

µKµ;β +KαKβNµNνKµ;ν +

+NαKµKµ;β +NαN

νKβKµKµ;ν . (3.87)

Por outro lado temos que Kα;β = (gαλKλ);β , pois gαλ;β = 0, e (KλKλ);β = 2Kλ;βKλ. Logo

Kα;βKα = 0, então a equação acima se reduz a

Kα;β = Kα;β +KβNµKα;µ +KαN

µKµ;β +KαKβNµN νKµ;ν . (3.88)

Tomando o traço desta equação, chegamos a

Kα;α = Kα;α−f, (3.89)

e definindo Θ = Kα;α, encontraremos a relação procurada

Θ = Kα;α−f. (3.90)

Retomando a equação de Raychaudhuri (3.82) para a expansão, temos a seguinte forma

dΘ

dλ− fθ +

1

2Θ2 + σ2 + w2 = −RαβK

αKβ. (3.91)

Observemos nesta equação a presença do termo linear (em θ). As conclusões sobre a fo-

calização das geodésicas não mudam, exceto pela diferença nos valores da expansão. Este

tipo de situação de geodésicas nulas com parametrização não afim aparece em diferentes

problemas da RG, tais como:

• Estudo das geodésicas para uma distribuição de matéria com momento angular J

e simetria axial (geometria de Kerr). Mostra que nos processos onde o buraco ne-

gro troca massa M e momento angular J com sua vizinhança, a seguinte relação é

obedecida [9],

δM − ΩHδJ =f

8πδA, (3.92)

onde ΩH é a velocidade angular referente ao horizonte, A é a área do horizonte f é

uma constante sobre toda uma superfície do horizonte.


• É muito comum, principalmente, em teorias escalares tensoriais de gravitação, fazer-

se uso das chamadas "transformações conforme". Duas métricas são ditas conformes

quando existe uma função das coordenadas Ω(x) tal que [16],

gµν = Ω2(x)gµν . (3.93)

Os símbolos de Christoffell para essas duas métricas estão relacionadas por

Γαµν = Γαµν +(δαµ∂ν + δαν ∂µ − gµν∂α

)ln Ω, (3.94)

e em geral, se a curva xα(λ) é uma geodésica na métrica gµν , ela não será uma

geodésica na métrica gµν . Contudo, se a geodésica for tipo-nula, temos a seguinte

relação entre as equações

d2xα

dλ2+ Γαµν

dxµ

dλ

dxν

dλ=d2xα

dλ2Γαµν

dxµ

dλ

dxν

dλ+ 2

d ln Ω

dλ

(dxα

dλ

)= 0, (3.95)

mostrando que xα é ainda uma geodésica, mas λ não é mais um parâmetro afim na

nova métrica.

• Nas teorias f(R) de gravidade na formulação de Palatini [15], o processo de extrem-

ização da lagrangeana induz uma nova métrica hµν na variedade, a qual está rela-

cionada com a métrica gµν original pela relação

hµν = f′gµν , (3.96)

onde f′ = df/dR. Comparando (3.96) e (3.93), vemos que duas métricas estão rela-

cionadas por um tipo de transformação conforme (Ω =√

f’), de modo que as relações

(3.94) e (3.95) continuam válidas para essas teorias de gravidade.

3.2.4 Cálculo da Evolução para Expansão: Exemplos

Para uma breve ilustração, calculamos a evolução da expansão, a distorção e a ro-

tação para as duas métricas do espaço-tempo mais conhecidas, a de Friedmann-Lemaître-

Robertson-Walker e a de Schawarzschild.


Métrica de FLRW

Examinaremos a evolução das linhas de universo comóveis do espaço-tempo de

FLRW, cuja métrica, em coordenadas esféricas, é dada por (1.10). O vetor tangente à con-

gruência é tipo-tempo e é dado por Uα = ∂xα/∂t. O cálculo de Bαβ nos fornece então

Bαβ = −Γ0αβU0,

=1

2∂0gαβ,

= diag

(0,

aa

1− kr2, aar2, aar2 sin2 θ

), (3.97)

onde o ponto indica a derivada em relação ao tempo. Por outro lado, da equação (3.31),

podemos obter a métrica transversal hαβ

hαβ = diag

(0,

a2

1− kr2, a2r2, a2r2 sin2 θ

). (3.98)

Se multiplicarmos a equação acima por (a/a), temos exatamente o lado direito de (3.97),

ou seja,

Bαβ =a

ahαβ. (3.99)

Porém, sabemos que o tensor Bαβ tem a seguinte expressão

Bαβ =1

3θhαβ + σαβ + wαβ. (3.100)

Comparando com a expressão (3.99) para Bαβ , concluímos que

θ =3a

a; σαβ = wαβ = 0, (3.101)

para a geometria de FLRW. A equação de Raychaudhuri então se reduz a

dθ

dτ+

1

3θ2 = −RαβU

αUβ. (3.102)

Observe que esta equação é de natureza puramente geométrica. Para esta geometria vi-


mos que θ = 3a/a, e um cálculo simples mostra que

dθ

dτ+

1

3θ2 = 3

a

a. (3.103)

Ou seja, o lado esquerdo de (3.102) responde pela aceleração do fator de escala da geome-

tria de FLRW. Um cálculo simples mostra que neste caso

RαβUαUβ = −3

d

dt

(a

a

)− 3

(a

a

)2

= −3a

a. (3.104)

Ou seja, considerada apenas geometricamente, a expressão (3.102) é na verdade uma iden-

tidade, e não deveria ser chamada de equação. Por outro lado, se considerarmos uma teo-

ria métrica de gravidade, tal como a RG de Einstein, com um fluido perfeito como fonte

da gravitação, então o lado direito de (3.102) pode ser escrito como

RαβUαUβ = 4πG(ρ+ 3P ). (3.105)

Neste sentido, é válido chamar a expressão (3.102) de equação de Raychaudhuri. Substi-

tuindo (3.103) e (3.105) em (3.102) temos

a

a= −4πG

3(ρ+ 3P ). (3.106)

que é conhecida como a segunda equação de Friedmann. Vemos então que se

a SEC e a gravidade de Einstein forem válidas, a expansão do modelo cosmológico de

FLRW deve se dar desaceleradamente.

Métrica de Schawarzschild

Karl Schwarzschild em 1916, poucos meses depois que Einstein publicou suas

equações de campo para o vazio, obteve uma das soluções exatas das equações de Ein-

stein. Essa solução, hoje conhecida como solução de Schawarzchild, representa o exterior

de uma distribuição de matéria-energia com simetria esférica em repouso. Os sistemas

com simetria esférica são razoavelmente simples. Entretanto, esses sistemas são fisica-

mente relevantes, uma vez que muitos objetos em Astrofísica são aproximadamente es-

féricos. Essa solução também alicerça alguns testes clássicos da RG, como por exemplo, o


deslocamento de linhas espectrais pela presença do campo gravitacional, o desvio de um

feixe de luz que passa perto de uma estrela. A geometria de Schawarzchild é dada por

dS2 = −fdt2 + f−1dr2 + r2dΩ2, (3.107)

onde dΩ2 = dθ2 + sin2 θdθ e f = 1 − 2M/r com M = Gm, m é a massa da fonte, G é a

constante gravitacional, e r é o raio da distribuição de matéria-energia. Quando r → ∞o espaço-tempo de Schawarzchild se aproxima do espaço-tempo de Minkowski. Estu-

daremos agora uma congruência de geodésicas radiais tipo-tempo, no espaço-tempo de

Schawarzschild. Para geodésicas radiais U θ = Uφ = 0. Como ξαUα = constante ao longo

da curva tipo-tempo γ, temos a liberdade de escolher o valor desta constante. Escol-

heremos então ξαUα = −1 −→ Utξ

t + Urξr = −1. Uma vez que ξr = 0, escolhendo

ξt = ∂t/∂S = 1, temos que Ut = −1, logo U t = gttUt = 1/f . Da condição de normal-

ização (gαβUαUβ = −1), encontramos que U r = ±√

2M/r. O sinal superior aplica-se às

geodésicas saindo e o inferior às geodésicas entrando. A quadri-velocidade é portanto

escrita como

~U = Uα∂α = f−1∂t ±√

2M

r∂r. (3.108)

A expansão é calculada como

θ = Uα;α =1√−g(√−gUα

),α = ±3

2

√2M

r3(3.109)

Verificamos que a congruência é convergente (θ < 0) se as geodésicas estão entrando e

divergente (θ > 0) se as geodésicas estão saindo. Observemos também que podemos

escrever

Uαdxα = −dt± f−1

√2M

rdr, (3.110)

o que mostra que Uα pode ser escrito como o gradiente de uma função, Uα = −φ,α, onde

φ = t∓ 4M

[√r

2M+

1

2

(√r

2M− 1√

r2M

+ 1

)]. (3.111)

Pelo teorema de Frobenius temos então que wαβ = 0. As componentes não nulas do tensor


distorção são

σtt = ∓2M

r2

√2M

r; σrr = ∓

√2Mr3(

1− 2Mr

)2

σtr = ∓2Mr2

1− 2Mr

; σθθ = ±√Mr

2=

1

sin2 θσφφ (3.112)

A evolução da expansão é calculada como

dθ

dτ=

dθ

dr

dr

dτ= −9M

2r3, (3.113)

Isso demonstra que dθ/dτ é negativo para ambos os casos como previsto pelo teorema da

focalização.

3.3 Aplicações da Equação de Raychaudhuri

As equações de Raychaudhuri possuem aplicações em diversos contextos físicos.

Desde sua obtenção, elas têm sido usadas de forma intensiva para melhorar nosso en-

tendimento sobre situações tanto dentro como fora da RG. Sua vasta aplicabilidade é de-

vido ao fato que essas equações codificam afirmações geométricas sobre fluxos. Como é

do conhecimento de todos, fluxos estão presentes em inúmeros contextos da Física. Nesta

seção, iremos analisar algumas aplicações das equações de evolução para a expansão na

RG, Astrofísica e Cosmologia.

3.3.1 Teoremas de Singularidades

Dentro da RG, a aplicação das equações de Raychaudhuri para a compreensão dos

problemas de singularidade é a mais saliente de todas. Os Teoremas de Singularidades

foram as primeiras e mais conhecidas aplicações da Equação de Raychaudhuri. Nesta

subseção falaremos um pouco sobre singularidades e em seguida sobre o mais básico dos

teoremas de Singularidades.

Na física gravitacional, uma singularidade é grosseiramente definida como regiões


do espaço-tempo onde várias grandezas físicas (tais como a curvatura ou densidade de

energia) tornam-se infinitas, ou seja, não são mais definíveis e portanto as leis físicas são

"quebradas". Singularidades podem ser encontradas em vários espaço-tempos impor-

tantes, tais como a métrica de Schwarzschild para um buraco negro e o "Big- Bang" na

métrica FLRW, desenvolvidas para descrever nosso Universo. Uma abordagem natural na

RG é considerar o espaço-tempo como consistindo de uma variedadeM e uma métrica gµνdefinida em toda a variedade. Dessa forma, a singularidade do Big Bang não é conside-

rada como parte da variedade FLRW, ou seja, não pode ser considerada como um "lugar"

no espaço-tempo.

Caracterizar singularidades através da divergência da curvatura não é uma opção

satisfatória, visto que há várias possibilidades de comportamentos patológicos, envol-

vendo a curvatura ou os escalares formados a partir dela. A proposta mais apropriada,

segundo Wald [4], é utilizar os buracos formados com a remoção das singularidades como

critério para presença delas. Essas lacunas seriam detectadas pela existência de geodési-

cas que teriam comprimento afim finito, ou seja, geodésicas que são inextensíveis (não

podem ser continuadas). Tais geodésicas são ditas incompletas. Assim, pode-se definir

um espaço-tempo inextensível como sendo singular se possuir ao menos uma geodésica

incompleta. Ainda de acordo com Wald [4] é intuitivo fisicamente que espaço-tempo que

são incompletos com relação às geodésicas tipo-nula ou tipo-tempo, sejam considerados

singulares. Pois, nesse caso, seria possível que uma partícula caindo livremente, como um

fóton, acabasse sua existência dentro de um intervalo de tempo finito, ou começasse sua

existência num tempo finito no passado. Mesmo sem definir singularidades satisfatoria-

mente, seria justificável caracterizar tais espaço-tempos como singulares.

As primeiras soluções exatas da teoria da RG mostraram que se a matéria contida

no Universo obedece às equações de movimento da relatividade de Einstein, juntamente

com a hipótese de homogeneidade e isotropia, então o Universo deve ter sido originado

num tempo finito em uma época de densidade e curvatura infinitas. Tal anomalia porém,

durante bastante tempo, não foi objeto de estudos detalhados. Acreditava-se que ela sur-

gia devido ao alto grau de simetria exigido nas condições consideradas para a resolução

de tais equações, não sendo assim característica intrínseca da teoria. Raychaudhuri ainda

em seu artigo de 1955 [2], apontou certa conexão entre sua equação e a existência de sin-

gularidades. Entretanto, foi por volta dos anos 60 e 70, que Hawking, Penrose e Ge-

roch [16, 49, 50, 51, 53] mostraram que singularidades, como por exemplo a da origem do

Universo, são características inevitáveis de uma grande classe das teorias de gravitação.


Eles obtiveram um conjunto de teoremas conhecidos como teoremas de singularidades,

os quais atestam que as singularidades não podem ser removidas das teorias gravitacio-

nais geométricas. As demonstrações de tais teoremas foram feitas por meio de análises de

alto rigor das propriedades globais de um espaço-tempo geral, sob condições particulares

plausíveis fisicamente, como por exemplo a positividade da energia. À luz desses teore-

mas, não nos resta outra opção senão aceitar as singularidades e procurar interpretá-las

no contexto das aplicações teóricas da RG. No caso particular do Universo homogêneo e

isotrópico de FLRW, basta o seguinte teorema básico de singularidade [54] para inferir a

existência de um ponto singular em um instante de tempo passado finito

Teorema 3.3.1 Em um Universo homogêneo e isotrópico onde ρ + 3P ≥ 0 e wαβ = 0, para

qualquer instante no qual H0 = θ0/3 > 0, então houve um tempo passado t0 < H−10 tal que a→ 0

quando t→ t0, onde ocorreu uma singularidade do espaço-tempo, tal que ρ→∞ e P →∞.

Vemos aqui a Condição de Energia Forte (SEC) como uma hipótese fundamental para a

obtenção de uma singularidade no Universo. Os teoremas de Singularidade de Hawking e

Penrose utilizam esse resultado ( e sua versão nula) como parte essencial de suas demon-

strações. Para maiores discussões sobre esses teoremas bem como suas demonstrações,

ver refs. [16, 4].

3.3.2 Astrofísica

São muitas as aplicações da equação de Raychaudhuri no contexto da Astrofísica,

tais como o estudo de lentes gravitacionais e o estudo singular de desenvolvimento de

"cracks" em objetos esféricos. Ambas as aplicações fazem uso da versão nula destas equa-

ções. Entretanto, escolhemos como exemplo o uso das equações de Raychaudhuri no

estudo de modelos de estrelas estáticas [55]. Para este estudo, vamos considerar a estrela

como sendo um corpo composto de gás com simetria esférica. Utilizaremos a equação

(3.86) para estudarmos a evolução deste sistema. Como a estrela é estática, θ = w = σ = 0.

Logo, para a teoria da relatividade de Einstein, a equação (3.86) reduz-se a

Uµ;µ =G

2(ρ+ 3P ), (3.114)


aqui Uµ;µ = ∇µ(Uα∇αUµ) e G é a constante gravitacional. Usando a equação de conser-

vação do tensor energia-momento, encontramos a aceleração em função do gradiente da

pressão

(ρ+ P )Uµ +∇µP = 0. (3.115)

Substituindo (3.115) na equação (3.114), encontramos

((∇µP )/(ρ+ P )) ;µ = −1

2G(ρ+ 3P ). (3.116)

Esta é a equação do equilíbrio entre a atração gravitacional e a pressão hidrostática para

uma estrela estática. No caso newtoniano, nas equações correspondentes, temos ρ+P → ρ

e ρ + 3P → ρ, lembrando que ρ em Newton é a densidade de matéria. É essa diferença

que faz com que o colapso gravitacional na RG seja muito mais grave que na teoria de

Newton.

3.3.3 Modelos Cosmológicos de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

Conforme vimos antes, para a métrica de FLRW, dada pela equação (1.10), temos

que σαβ = wαβ = 0 e a equação (3.51) reduz-se a

dθ

dτ= −1

3θ2 −RαβU

αUβ, (3.117)

o último termo do lado direito desta equação pode ser reescrito como

RαβUαUβ =

(R00 +

R11

a2

)(U0)2 − R11

a2, (3.118)

onde consideramos a geometria plana (k = 0). Os dois termos do lado direito de (3.118)

podem ser reescritos, em termos da função de Hubble (H), como(R00 +

R11

a2

)= −2H e

R11

a2= H + 3H2, (3.119)


onde o ponto denota a derivada com relação ao tempo. Portanto temos

RαβUαUβ = −H

[1 + 2(U0)2

]− 3H2. (3.120)

A equação (3.117) pode ser reescrita como

dθ

dτ+θ2

3= H

[1 + 2(U0)2

]+ 3H2. (3.121)

Mas, H = − (1 + z)HdH/dz e finalmente temos a expressão para evolução da expansão

em termos da função de Hubble e do redshift (z),

dθ

dτ+θ2

3= − (1 + z)H

dH

dz

[2(U0)2 + 1

]+ 3H2, (3.122)

ou para um observador comóvel, lembrando que dθ/dτ + θ2/3 = 3a/a

1

H20

a

a= −1

2(1 + z)

d

dz

(H

H0

)2

+

(H

H0

)2

. (3.123)

Conforme vimos na dedução da equação de Raychaudhuri, dθ/dτ mede a aproximação,

ou o afastamento, das linhas de universo que representam uma congruência, possivel-

mente de geodésicas. Junto com uma teoria de gravidade, dθ/dτ + θ2/3 < 0 significa

gravidade atrativa, enquanto que dθ/dτ + θ2/3 > 0 significa gravidade com efeito repul-

sivo. Vale ressaltar, conforme discutido na subseção (3.2.4), que a medida da aceleração

(ou desaceleração) no modelo FLRW de Universo, é dada pela soma dθ/dτ+θ2/3. A seguir

faremos um estudo da equação de Raychaudhuri na forma (3.123) considerando o modelo

padrão cosmológico.

O Modelo ΛCDM

O modelo padrão da Cosmologia, conhecido como modelo ΛCDM incorpora uma

constante cosmológica Λ às equações de Einstein. Além disto supõe a existência da chamada

matéria escura fria, a qual, juntamente com a matéria bariônica normal, explica toda a

dinâmica a nível de galáxias e aglomerados de galáxias. Para o estudo deste modelo, de-

vemos utilizar a equação de Raychaudhuri mais geral dada por (3.59). Neste caso, em vez


de (3.123), obtemos para o modelo FLRW a equação

1

H20

a

a= ΩΛ0 −

1

2Ωm0

(1 + z)3 , (3.124)

onde ΩΛ0 = Λ/3H20 e Ωm0 = 8πGρ0/3H

20 (parâmetro de densidade da matéria). O índice

zero refere-se aos valores para o Universo hoje. O lado esquerdo de 3.124 coincide para z =

0, com o valor negativo do parâmetro de desaceleração hoje, definido por q0 = − 1H2

0

(aa

)0

[3].

Na figura (3.4) apresentamos um estudo da equação (3.124) para alguns valores

de ΩΛ0 e Ωm0 . As regiões onde a função é menor ou igual a zero representam o resultado

esperado pela RG, a expansão do Universo. A única possibilidade do Universo ser sem-

pre desacelerado é quando ΩΛ0 = 0. Observe que para os valores ΩΛ0 = 1/3 e Ωm0 = 2/3

(curva verde) o Universo estaria desacelerando até os dias atuais, sendo que a aceleração

somente seria possível em um futuro próximo. O parâmetro de desaceleração atual para

esse caso seria nulo. Para valores próximos daqueles determinados pelas observações

atuais, isto é, 70% de ΩΛ0 e 30% de Ωm0 , temos regime de transição z ≤ 0, 67 com corre-

spondente valor de q0 = −0, 55. Quanto maior a relação de ΩΛ0/ΩΛ0 , mais cedo começa a

expansão acelerada do Universo. Por exemplo, para 60% de ΩΛ0 e 40% de Ωm0 , o regime

de gravidade repulsiva começa em z ≤ 0, 44 com q0 = −0, 4. Ressaltamos que mesmo para

pequenas proporções de ΩΛ0(observe a curva verde), no futuro haveria regime de gravi-

dade repulsiva. Isto torna claro que o modelo é incompatível com a gravidade atrativa

que conhecemos.


Figura 3.4: No eixo vertical temos os valores da função dada por (3.124) para diferentes valoresdos parâmetros ( ΩΛ0 e Ωm0): ΩΛ0 = 1/3 e Ωm0 = 2/3 (verde); ΩΛ0 = 0.6 e Ωm0 = 0.4 (azul);ΩΛ0 = 0.7 e Ωm0 = 0.3 (preto); ΩΛ0 = 0.8 e Ωm0 = 0.2 (vermelho).

CAPÍTULO 4

CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS

“ Toda a nossa ciência, comparada com a

realidade, é primitiva e infantil e, no en-

tanto, é a coisa mais preciosa que temos. "

Albert Einstein

4.1 Conclusões

Nesta dissertação, após uma breve apresentação da teoria da RG e do modelo

padrão de FLRW da Cosmologia, fazemos uma dedução rigorosa das condições de ener-

gia de Hawking-Ellis para o tensor energia-momento de um fluido perfeito gerneralizado.

Em seguida, deduzimos as mesmas condições para um campo escalar com acoplamento

mínimo e não mínimo ao campo gravitacional. Discutimos as condições de energia em

face das ambiguidades na definição do tensor energia-momento com acoplamento não

mínimo. Mostramos que as condições de energia na RG estabelecem vínculos sobre o

conteúdo de matéria e energia do Universo, mostramos também como usar esses vínculos

para investigar alguns aspectos relativos ao problema da expansão acelerada do Universo,

bem como para estabelecer limites nos parâmetros das teorias f(R) de gravidade. Obser-

vamos também que violações das condições de energia levam a fontes de matéria-energia

71

Capítulo 4. Conclusões e Perspectivas 72

de caráter exótico, tais como densidade de energia negativa e velocidade super-luminosa

(mostramos, por exemplo, que fluidos com equação de estado onde w < −1 violam todas

as condições de energia).

No capítulo 3, derivamos com detalhes a equação de Raychaudhuri, o teorema

de Frobenius e o teorema da Focalização para congruências tipo-tempo e tipo-nula de

uma variedade pseudo-riemanniana. Como exemplo, calculamos a evolução da expan-

são para o modelo cosmológico de FLRW e para a métrica de Schawarzchild, mostramos

que para essas duas soluções das equações de Einstein a evolução da expansão é sempre

negativa como esperado. Mostramos que dθ/dτ mede a aproximação, ou o afastamento,

das linhas de universo que representam uma congruência. Concluímos que a equação

de Raychaudhuri, no contexto de uma teoria de gravidade, dθ/dτ + θ2/3 < 0 significa

gravidade atrativa, enquanto dθ/dτ + θ2/3 > 0 significa gravidade com efeito repulsivo.

Mostramos também que, de uma maneira geral, os termos de rotação e a constante cos-

mológica quando presentes na equação de Raychaudhuri contribuem para a expansão,

ao passo que a distorção contribui para o colapso gravitacional. A contribuição do termo

RαµUαUµ depende da condição de energia forte, se essa condição de energia for válida, a

contribuição é para o colapso gravitacional, se ela for violada, a contribuição é para a ex-

pansão acelerada. Em particular verificamos que o modelo cosmológico Λ CDM, mesmo

para pequenos percentuais da contribuição ΩΛ, leva sempre a efeitos repulsivos de gravi-

dade.

4.2 Perspectivas

Dentro das teorias alternativas de gravidade tais como a teoria escalar-tensorial

de Brans-Dicke [63] e nas teorias f(R), um problema muito debatido na literatura atual é

sobre o "frame" correto para se discutir as previsões dessas teorias: o "frame" de Jordan

ou o "frame" de Einstein? (ver, e.g.,[64]). Como se sabe, esses dois "frames" são rela-

cionados por uma transformação conforme da métrica gµν . Contudo, a lagrangeana de

Einstein-Hilbert, que fornece as equações de movimento da gravitação, não é invariante

por transformação conforme. Isto leva, em algumas situações, a previsões físicas dife-

rentes, dependentes do "frame"em que as equações são discutidas. Apesar das condições

de energia serem formuladas em um contexto independente, quando elas são usadas em

conjunto com uma teoria de gravitação o "frame" em questão passa a ser importante.

Capítulo 4. Conclusões e Perspectivas 73

Como continuação do nosso trabalho, vamos investigar a validade das diversas condi-

ções de energia para os dois "frames", ou seja, como uma transformação conforme do

campo gravitacional afeta as condições de energia de Hawking-Ellis. Pretendemos tam-

bém desenvolver as condições de energia apropriadas para as teorias f(R) de gravidade

na formulação de Palatini e tentar estabelecer vínculos e/ou limites para os parâmetros

dessas teorias.

Poucos anos atrás, Simon et al.[65] fizeram determinações da função de Hubble

H(z) para 9 valores diferentes do redshift z, número este ampliado mais recentemente

para 11 determinações por Stern et al. [66]. Temos então 11 medidas de H(z) no intervalo

0.1 ≤ z ≤ 1.75. Essas medidas têm sido amplamente usadas, em diferentes análises, tais

como vínculos sobre teorias f(R) [67], cosmografia [68]. Neste contexto, pretendemos

usar a equação de Raychaudhuri, escrita na forma

1

H20

a

a= −1

2(1 + z)

d

dz

(H

H0

)2

+

(H

H0

)2

,

para testá-la com as determinações de H(z), tendo como vínculo a imposição da atrativi-

dade da gravidade, ou seja, devemos ter dθ/dτ + θ2/3 negativo.

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APÊNDICE A

GEODÉSICAS

Uma geodésica é uma curva que extremiza a distância entre dois pontos. Para a

derivação de sua equação consideremos uma curva γ descrita pelas relações xα(λ), onde λ

é um parâmetro arbitrário, como por exemplo, o tempo próprio (τ ), ou a distância própria

S. Seja P e Q dois pontos nesta curva localizados em xα e xα + dxα respectivamente. O

comprimento do arco entre P e Q, é dado pela integral de dS,

SPQ =

∫ Q

P

dS =

∫ Q

P

√±gµνdxµdxν . (A.1)

Mas

dxµ =dxµ

dλ,

(A.2)

de modo que temos,

SPQ =

∫ Q

P

dS =

∫ Q

P

√±gµν xµxνdλ. (A.3)

O sinal positivo(negativo) é escolhido se a curva é tipo-espaço (tipo-tempo). Assumiremos

que γ é contínua em todo lugar. Dizemos também que SPQ é invariante sob reparametriza-

ção da curva λ −→ λ′(λ).

Demonstração: se λ = λ′(λ) temos que dxµ

dλ= dxµ

dλ′dλ′

dλ. Substituindo essa expressão

80

Apêndice A. Geodésicas 81

em (A.3), obtemos

SPQ =

∫ Q

P

√±gµν

dxµ

dλ′dλ′

dλ

dxν

dλ′dλ′

dλdλ,

=

∫ Q

P

√±gµν

dxµ

dλ′dxν

dλ′dλ′,

=

∫ Q

P

√±gµν xµ′xν ′dλ′. (A.4)

Suponhamos que esta curva seja deformada, de modo que xµ(λ) −→ xµ(λ) + δxµ(λ). En-

tretanto, os pontos P e Q são fixos, assim δ(P ) = δ(Q) = 0.

Como dito anteriormente, a geodésica é um caminho de comprimento extremo,

em geral o mínimo. Utilizaremos o cálculo variacional para minimizar o comprimento de

ano dado por (A.3)

δ

∫ Q

P

dS = δ

∫ Q

P

√±gµν xµxνdλ︸︷︷︸

I

= 0. (A.5)

Fazendo L = (±gµν xµxν)12 temos que

δI =

∫ Q

P

2

(∂L

∂gµνδgµν +

∂L

∂xµδxµ)dλ = 0,

δI =

∫ Q

P

∂L

∂gµν

gµν∂xα

δxαdλ︸︷︷︸A

+

∫ Q

P

∂L

∂xµdδxµ

dλdλ︸︷︷︸

B

= 0. (A.6)

Integrando B por partes temos∫ Q

P

∂L

∂xµdδxµ

dλdλ = −

∫ Q

P

δxµd

dλ

(∂L

∂xµ

)dλ. (A.7)

Substituindo (A.7) em (A.6) temos

δI =

∫ Q

P

[∂L

∂xα− d

dλ

(∂L

∂xµ

)]δxαdλ = 0. (A.8)

Como os δxα são arbitrários a integral acima será nula somente se o integrando for igual


a zero. Assim temos uma expressão conhecida como a equação de Euler-Lagrange.

∂L

∂xα− d

dλ

(∂L

∂xα

)= 0. (A.9)

Considerando L = (gµν xµxν)

12 , temos

∂L

∂xα=

1

2L(gµν ,α x

µxν) , (A.10)

d

dλ

∂L

∂xα=

1

L

(dgµνdλ

xν + gµν xβ − 1

L

dL

dλgµν x

ν

). (A.11)

Substituindo as equações (A.10) e (A.11) em (A.9) temos

1

L

(dgµνdλ

xν + gµν xν − 1

L

dL

dλgµν x

ν

)− 1

2L(gµν ,α x

µxν) = 0. (A.12)

Definindo

f ≡ 1

L

dL

dλ=, (A.13)

temos

dgµνdλ

xν + gµν xν − fgµν xν −

1

2gµν ,α x

µxν = 0,

gµν ,σ xσxν + gµν x

ν − 1

2gµν ,α x

µxν = fgµν xν . (A.14)

Multiplicando a expressão acima por gµρ encontramos

gµρgµν ,σ xσxν︸︷︷︸

µ−→α e σ−→µ

+xρ − 1

2gµρgµν ,α x

µxν = fxρ,

gαρ(gαν ,µ−

1

2gµν ,α

)xµxν + xρ = fxρ. (A.15)

Qualquer tensor pode ser escrito como a soma de suas partes anti-simétrica e simétrica.

Então iremos reescrever gαν ,µ xµxν , e em seguida trocar µ por ν, obtendo

gαν ,µ xµxν =

(gα(ν ,µ )

)xµxν . (A.16)


Substituindo na equação (A.15) temos que

gαρ[

1

2(gαν ,µ +gαµ,ν −gµν ,α )

]︸︷︷︸

Γρµν

xµxν + xρ = fxρ,

xρ + Γρµν xµxν = fxρ. (A.17)

Esta é a equação da geodésica escrita de uma forma um pouco mais geral, que não re-

stringe o parâmetro que é usado para descrevê-la. A variável λ é um parâmetro arbitrário.

Na literatura é corriqueiro encontrarmos essa mesma equação escrita como Uα;β Uβ =

fUα, sendo Uα = dxα/dλ tangente à geodésica. Em geral, o tempo próprio τ é escol-

hido como parâmetro quando a geodésica é do tipo-tempo e a distância própria quando a

geodésica é tipo-espaço. Essa escolha deve ser feita depois da extremização. Para ambos

os tipos, L = 1, f = 0 e a equação da geodésica (A.17) passa ser escrita como

xρ + Γρµν xµxν = 0, (A.18)

e esta é a equação da geodésica parametrizada por um parâmetro afim. Assim como ante-

riormente, ela pode ser escrita comoUµ;ν Uν = 0. Ela nos diz que o vetorUν é transportado

paralelamente ao longo da curva (para nosso caso uma geodésica). Essas equações são in-

variantes por reparametrização do tipo λ −→ λ = aλ′+b, com a e b, sendo constantes. Para

demonstrar essa afirmação vamos substituir na equação (A.18) as expressões dλ′/dλ = a,

dxµ/dλ = adxµ/dλ′ e d2xµ/dλ2 = a2d2xµ/dλ′2 temos

a2

(d2xµ

dλ′2+ Γρµν

dxµ

dλ

dxν

dλ

)= 0,

d2xµ

dλ′2+ Γρµν

dxµ

dλ

dxν

dλ= 0. (A.19)

Os parâmetros que se relacionam a S e τ por transformações lineares e que preser-

vam a forma da equação (A.18), são chamados parâmetros afim.

A forma geral para a equação da geodésica entretanto é Uα;β Uβ = fUα. Por

continuidade deve ser válida também para geodésicas nulas, onde ao longo das mesmas

temos que dS = dτ = 0. Para ser válida a afirmação anterior λ não pode ser um parâmetro

afim. Contudo, a partir da equação (A.17) podemos introduzir um novo parâmetro λ∗,

tal que a equação (A.17) tomará a forma da equação (A.18). Em outras palavras, serão

encontrados parâmetros afim para geodésicas nulas, tal que a relação entre os parâmetros


λ e λ∗ seja

dλ∗

dλ= exp

[∫ λ

f(λ′)dλ′]. (A.20)

Demonstração: primeiro, reescreveremos a equação (A.17), usando as expressões

Uα = dxα/dλ e ddλ

= dλ∗

dλddλ∗

:

dλ∗

dλ

dUα

dλ∗+ Γαµν

dxµ

dλ∗dxν

dλ∗

(dλ∗

dλ

)2

= fdxα

dλ∗

(dλ∗

dλ

), (A.21)

mas

dUα

dλ∗=

d

dλ∗

(dλ∗

dλ

dxα

dλ∗

)=d2xα

dλ∗2dλ∗

dλ+

d

dλ∗

(dλ∗

dλ

)dxα

dλ∗, (A.22)

substituindo a equação (A.22), na equação (A.21) temos

d2xα

dλ∗2

(dλ∗

dλ

)+dxα

dλ∗d

dλ∗

(dλ∗

dλ

)+ Γαµν

dxµ

dλ∗dxν

dλ∗

(dλ∗

dλ

)= f

dxα

dλ∗, (A.23)

dividindo a equação acima por y ≡ dλ∗/dλ (supondo que dλ∗/dλ 6= 0), encontramos

d2xα

dλ∗2+ Γαµν

dxµ

dλ∗dxν

dλ∗︸︷︷︸DUα

dλ∗

=1

yfdxα

dλ− dy

dλ∗dxα

dλ∗, (A.24)

DUα

dλ∗=dxα

dλ∗

(f

y− 1

y

dy

dλ∗

), (A.25)

se f/y = 1ydydλ∗

temos o resultado procurado, DUα/dλ∗ = 0, assim

dy

y=

1

yfdλ∗, (A.26)

e a equação acima quando integrada nos fornece

y = exp

[∫ λ

f(λ)dλ

]=⇒ dλ∗

dλ= exp

[∫ λ

f(λ′)dλ′]. (A.27)

.


Observação

A quantidade escalar ε = UαUα é constante ao longo de geodésicas parametrizadas

por parâmetro afim ( tipo-tempo, tipo-espaço, ou tipo-nulo). Demonstração:

dε

dλ= (UαUα);β U

β,

= Uα;β Uβ + Uα;β U

β,

= 0, (A.28)

logo ε = constante. Quando escolhemos o tempo próprio e a distância própria como

parâmetros, então temos ε = ∓1 respectivamente e para uma geodésica nula temos ε = 0.

condiÇÕes de energia de hawking e ellis e a … · •a todos os professores da ppgf-ufrn em...

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