concreto armado i autor ing. fernando de macedo rev.1.pdf

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO. EXTENSIÓN VALENCIA. INGENIERÍA CIVIL (42). CONCRETO ARMADO II.

Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380

1

CAPÍTULO Nº 1 .: "ANÁLISIS Y DISEÑO DE LOSAS MACIZAS Y NERVADAS"

Las losas o placas son elementos que reciben las cargas verticales (permanentes y

accidentales) directamente. Son elementos característicos cuyas dimensiones en planta son muy

grandes en comparación con su altura, y generalmente reciben sus cargas perpendicularmente a

su plano. Pueden ser armadas en una o dos direcciones, dependiendo de las condiciones de sus

apoyos.

A continuación, en la Fig. 1-1, se ilustran los dos tipos de armado característico en losas.

VISTA EN PLANTA

1.1.- ANÁLISIS DE LOSAS CON APOYOS EN SU PERIFERIA :

Supóngase una losa con cuatro (4) apoyos :

Dos (2) Apoyos

ARMADA EN (1) DIRECCIÓN

Cuatro (4) Apoyos

ARMADA EN (2) DIRECCIONES

Fig. 1-1. Losas Armadas en Una (1) y Dos (2) Direcciones

Lx

Ly

PLANTA

dMáx

Lx

Ly

ISOMETRÍA

c.g.

Fig. 1-2. Planta e isometría de losa



2

El dibujo de isometría muestra la forma típica como cualquier elemento (en el caso que nos

ocupa una losa o placa) sometido a una carga vertical normal a su plano, tiene la tendencia a

deflectar.

El punto donde ocurre la máxima deflexión dependerá de las condiciones en las cuales

esté apoyada la losa. Para este caso en que la losa es simétrica y está apoyada en su periferia, el

punto de deflexión máxima (d Máx) ocurrirá en el centro geométrico (c.g.) de la figura. Por todo

esto podemos concluir que :

• Si : Lx = Ly . La carga que gravita sobre la losa, se distribuye equitativamente en

ambas direcciones.

• Si : Lx ‡ Ly . La carga que gravita sobre la losa, se distribuye proporcionalmente en

relación a las luces.

Análisis :

Si La losa está apoyada en su periferia; como lo muestra la Fig. 1-3 :

La deflexión máxima viene expresada por la fórmula : dMáx = 5 * Q * L^4 384 * E * I

Por otro lado, si nos fijamos en la figura de Isometría en planta, se observa claramente que la flecha máxima es la misma independientemente del lado (Lx ó Ly) que se observe, por lo tanto : dx = dy

Lx

Ly

PLANTA

Qtot (Carga)

Lx Ly

Qx (Kg/m) Qy (Kg/m)

Qtot (Carga) = Qx + Qy ec.(i)

dx dy

Fig. 1-3. Distribución de la carga segùn lado X ó Y



3

Si :

dx = 5 * Qx * Lx ^4 Y dy = 5 * Qy * Ly ^4 384 * E * I 384 * E * I

Igualando dx = dy , tenemos :

5 * Qx * Lx ^4 = 5 * Qy * Ly ^4 , de donde : Qx * Lx ^4 = Qy * Ly ^4 ec.(ii) 384 * E * I 384 * E * I

Veamos ahora como se distribuyen las cargas en la losa según las luces de los tramos :

Si Lx = Ly : (Las luces de los tramos son las mismas).

La ec.(ii) queda : Qx * (Ly) ^4 = Qy * Ly ^4

Qx = Qy

Aplicando la ec. (i) Q tot = Qx + Qy , tenemos : Qtot = Qx + (Qx)

Qtot = 2 Qx , por lo que :

Qx = 0.50 Qtot , y

Qy = 0.50 Qtot Esto significa que las cargas sobre la losa se distribuyen en partes

Iguales tanto para Lx (50% Qtot) como para Ly (50% Qtot). El

armado se puede hacer en cualquiera de las direcciones, o en

ambas.

Si Lx = 2* Ly : ( Lx es el doble de Ly).

La ec.(ii) queda : Qx * (2*Ly) ^4 = Qy * Ly ^4

16 *Qx = Qy

Aplicando la ec. (i) Q tot = Qx + Qy , tenemos : Qtot = Qx + (16*Qx)

Qtot = 17 Qx , por lo que :

Qx = 0.06 Qtot , y

Qy = 0.94 Qtot Esto significa que las cargas sobre la losa se distribuyen casi

totalmente hacia la dirección Ly (94% Qtot). En este caso, siendo Ly

la longitud más corta, es preferible armar la losa en esa dirección.

Es decir colocar los nervios apoyados en Lx (La luz más larga).



4

Si Lx = 1.5 * Ly : ( Lx es 1.5 veces mayor que Ly).

La ec.(ii) queda : Qx * (1.5*Ly) ^4 = Qy * Ly ^4

5.06 *Qx = Qy

Aplicando la ec. (i) Q tot = Qx + Qy , tenemos : Qtot = Qx + (5.06*Qx)

Qtot = 6.06 Qx , por lo que :

Qx = 0.17 Qtot , y

Qy = 0.83 Qtot Aquí también las cargas se distribuyen en mayor proporción hacia

la dirección Ly (83% Qtot). En este caso, sigue siendo preferible

armar la losa en la dirección Ly. Es decir colocar los nervios

apoyados en Lx (La luz más larga).

" SEGÚN LOS ANÁLISIS HECHOS, SE PUEDE CONCLUIR QUE EL ARMADO DE LAS

LOSAS O PLACAS DEBE HACERSE PROCURANDO APOYAR LOS NERVIOS EN LAS

LUCES MÁS LARGAS, ES DECIR COLOCAR LOS NERVIOS PARALELOS A LAS LUCES

MÁS CORTAS ".

Ejemplo : Armar la losa vista en planta de la forma más conveniente.

PLANTA

4.00

2

1

6.00 A B

L-1

6.00 A B

4.00

2

1

4.00

2 1

L-1

La losa L-1 , se arma apoyada en las vigas de los ejes 1 y 2. Por lo que el nervio es de 4.00 mts., de longitud.

Fig. 1-4. Armado de losa en planta



5

1.2.- DISTRIBUCIÓN DE LOSAS EN PLANTA :

1.2.1.- Recomendaciones :

• Las losas es preferible apoyarlas en las luces más largas, es decir que se arman

paralelas a las luces más cortas.

• Se escoge un ancho de franja unitario con su longitud tentativa de nervio y se hace un

barrido en planta. Donde la longitud tentativa del nervio NO se pueda mantener,

termina una losa y se comienza con otra losa.

• Es preferible que la disposición de losas vistas en planta tengan todas la misma

orientación de los nervios. Sin embargo cuando NO sea posible hay que recurrir a la

ortogonalidad de los nervios.

Ejemplos :

Ejemplo Nº 1:

1 2 3 4

D

C

B

A

4.00 5.00 4.00

6.00

5.00

4.00

PLANTA

1 2 3 4

4.00 5.00 4.00

PLANTA

L-1

L-2

Fig. 1-5(1). Ejemplo de Distribución de losa en planta



6

Ejemplo Nº 2:

1 2 3 4

4.00 5.00 4.00

L-1

L-2

Siguiendo las recomendaciones (1.2.1) , la

distribución de losas en planta se orienta en

función de obtener la menor longitud de

nervio. Hecha la distribución, se pueden

definir tanto las vigas de apoyo (1, 2, 3 y 4),

como las columnas (Generalmente en las

intersecciones de los ejes).

Según la configuración del dibujo de planta,

se obtuvieron dos (2) losas L-1 y L-2 PERFILES DE ANÁLISIS

1 2 3 4

5.50 5.00 4.00

D

C

B

A

4.50

5.00

5.00

PLANTA

1.50 6.00

5

1.50

VACÍO



7

1 2 3 4

5.50 5.00 4.00

D

C

B

A

4.50

5.00

5.00

PLANTA

1.50 6.00

5

1.50

VACÍO

L-1

L-2

L-1

L-2

L-3

L-4

D C B A 4.50 5.00 5.00 1.50

L-1

L-2

L-3 L-1

L-4

PERFILES DE ANÁLISIS

En este ejemplo, la distribución de losas

está limitada a la distribución arquitectónica

del plano de planta. No obstante se siguen

aplicando las recomendaciones (1.2.1) en

virtud de que los nervios se han colocado

paralelos a las luces cortas.

Esto obliga a la disposición de cuatro (4)

perfiles de losas denominados L-1 , L-2 ,

L-3 y L-4 , que a su vez determinan la

disposición de las vigas de apoyo y las

columnas.

Fig. 1-5(2). Ejemplo de Distribución de losa en planta



8

1.3.- CONSIDERACIONES PARA EL DISEÑO DE LOSAS :

1.3.1.- Acero Longitudinal (As) : El refuerzo principal de las losas o placas es el que vá

destinado a soportar la flexión en el elemento. Dependiendo de si la losa es maciza o nervada la

disposición del refuerzo longitudinal (As) podrá variar en cuanto al número de barras, no obstante

es indispensable garantizar una mínima cantidad de refuerzo que viene dado por la expresión :

Ecuación utilizada para el Cálculo de As :

As = Mu / (Ø*Fy*Ju*d)

Procedimiento de cálculo :

1.- K = Mu / (f'c*b*d^2)

2.- (0.9w) - (0.531w^2) = K (El menor valor de w)

3.- Ju = 1 - (0.59*w) (0.80 < Ju < 0.99)

4.- As = Mu / (Ø*Fy*Ju*d) ( Ø = 0.90 )

Teniendo en cuenta que : La cuantía calculada

en el paso nº 2.- (0.9w) - (0.531w^2) = K . NO

debe superar el valor de cuantía máxima dado

por norma :

w ≤ w Máx (w :Cuantía Geométrica)

w Máx = 0.75*wb (wb :Cuantía Balanceada)

wb = 0.85*b1*[ 6300/(6300+Fy) ]

donde : (b1 = 0.85)

b = 50 cm

d

bw =10 cm

As (Apoyos)

As (Tramos)

SECCIÓN DE LOSA NERVADA

As mín = (14/Fy) * b * d (Para Losas Nervadas).

As mín = 0.0018 * b * h (Para Losas Macizas)

La separación Máxima entre barras NO

Excederá (2*h) ó (35 cm) La que sea mayor. hSECCIÓN DE

LOSA MACIZA

b = 100 cm

As (Tramos) Fig. 1-6. Secciones de Losas nervada y maciza



9

1.3.2.- Acero de Repartición (Por Retracción) : La disposición de este refuerzo tiene la

finalidad de evitar las fisuras en la superficie del concreto debido al proceso de retracción

(consecuencia directa del proceso de fraguado). El más utilizado es la malla electrosoldada

(Truckson), sin embargo cuando se trata de losas macizas el acero de repartición será la cantidad

mínima exigida, la cual viene expresada por la fórmula : As mín = 0.0018 * b * h .

As (Repartición) = As mín = 0.018 * b * h

1.3.3.- Sobre Cargas (qcv) : Llamadas también cargas accidentales. Cuando su

valor supere al de las cargas permanentes (qcm), se debe "mover" la sobre carga a los sitios más

desfavorables según sea el caso.

La carga total mayorada (qu), viene dada por la expresión : qu = (1.4*qcm) + (1.7*qcv)

Si qcv > qcm . Se debe hacer movimiento de qcv.

Ej.:

4.00 4.00 4.00

1 2 3 4

1.4*qcm

1.7*qcv qu

4.00 4.00 4.00

1 2 3 4

qu = (1.4*qcm) + (1.7*qcv)

1º CASO :



10

Hacer el movimiento de qcv, implica que para cada uno de los cuatro (4) casos que se

presentan, hay que hacerles su respectivo análisis (Diagramas de Corte y Momento flector) para

trabajar con los valores más críticos que arrojen estos análisis.

NOTA : Obsérvese que para el 2º CASO, la carga a mover (1.7*qcv) también se debería

analizar cuando esté situada en los dos tramos adyacentes ubicados hacia la derecha. No obstante

los resultados serán los mismos, pero ubicados en sitios inversos de la figura.

4.00 4.00 4.00

1 2 3 4

1.4*qcm

1.7*qcv

2º CASO :

La carga variable mayorada (1.7*qcv) se analiza en dos (2) tramos adyacentes. La carga permanente mayorada (1.4*qcm) siempre se mantiene sobre todos los tramos.

1.4*qcm

1.7*qcv

3º CASO :

La carga variable mayorada (1.7*qcv) se analiza en dos (2) tramos extremos. La carga permanente mayorada (1.4*qcm) siempre se mantiene sobre todos los tramos.

1.7*qcv

1.4*qcm

1.7*qcv

4º CASO :

La carga variable mayorada (1.7*qcv) se analiza en el tramo central. La carga permanente mayorada (1.4*qcm) siempre se mantiene sobre todos los tramos.

Fig. 1-7. Movimiento de Cargas Variables (qcv)



11

1.3.4.- Control de Deflexiones : Este aparte se refiere a la altura o espesor que deben

tener los elementos horizontales (Losas o Vigas) para que la deflexión producida por las cargas

gravitacionales sea despreciable. El espesor de los elementos se calcula en función de la tabla 9.5

(a) de las Normas COVENÍN-MINDUR 1753.

Tabla 9.5 (a)

Altura Mínima o espesor mínimo de Losas armadas en una dirección, a menos que se

calculen las flechas.

Miembros

Altura o Espesor mínimo h

Simplemente

Apoyado

Un Extremo

Contínuo

Ambos Extremos

Contínuos Voladizos

Miembros que NO soportan NI están unidos a elementos NO estructurales

susceptibles de ser dañados por grandes flechas

Losas

Macizas L/20 L/24 L/28 L/10

Losas

Nervadas

ó Vigas

L/16 L/18 L/21 L/8

Ejemplo : Calcular la altura o espesor mínimo de la losa "Maciza" para NO chequear

deflexiones.

L L L L

A B C D

5.00 5.00 4.00 1.00

Fig. 1-8. Cálculo de espesor de losa segùn tabla 9.5(a)



12

Se analiza cada tramo por separado :

Tramo A - B : Tiene continuidad después del apoyo B. Por lo tanto : L/24 = 5.00/24 = 0.21 m

Tramo B - C : Tiene continuidad a ambos lados de los apoyos. Por lo que : L/28 = 5.00/28 = 0.18 m Tramo C - D : Tiene continuidad a ambos lados de los apoyos. Por lo que : L/28 = 4.00/28 = 0.14 m

Volado : Se aplica la condición para voladizos : L/10 = 1.00/10 = 0.10 m

Para obtener un espesor de losa uniforme en todos los tramos, se escoge el mayor valor , por lo

tanto la Losa Maciza mostrada tendrá un espesor de 21 centímetros para NO chequear

deflexiones.

1.3.5.- Chequeo de Esfuerzos Cortantes : Como las Losas no llevan refuerzos

transversales o estribos, el Concreto debe ser capaz de absorber los esfuerzos cortantes. En tal

sentido se debe cumplir la condición :

Vu ≤ Ø*Vn , donde : Vn = Vc + Vs . Si (Vs = 0) entonces :

Vu ≤ Ø*Vc Vc = 0.53 * (√f'c) * b * d

Vu ≤ Ø * 0.53 * (√ f'c) * b * d En caso de NO cumplirse la condición, se debe hacer

macizado por corte, o en última instancia aumentar el espesor de la losa.

Si por ejemplo :

1 2 3 4

4.00 5.00 4.00

PLANTA

L-1

L-2

1 2 3 4

4.00 5.00 4.00

L-1

L-2

Se escoge el mayor valor de espesor de

Losa, para que la planta sea uniforme.

Fig. 1-9. Cálculo de hmín de losa . Tabla 9.5(a)



13

Vu : Corte Mayorado (Kg). Ø : Factor de minoración = 0.85

Vn : Corte Máximo o nominal (Kg). Vc : Corte que resiste el concreto (Kg).

Vs : Corte que resiste el refuerzo (Kg). b : Base de la sección de viga o losa (cm).

d : Altura útil de la viga o losa. (cm).

1.4.- LOSAS MACIZAS : Su sección es maciza de concreto armado. Se usan característicamente para losas de

escaleras, de entrepiso y también de techo. Las losas más económicas de este tipo son aquellas

en las cuales las luces oscilan entre los 3.00 a 5.00 m., No obstante se pueden encontrar losas

macizas que superen los 5.00 m., de longitud.

1.4.1.- Ejemplo de Diseño de Losa Maciza :

Diseñar la losa de la Fig. 1-11., (Como maciza) que aparece en el plano de planta a

continuación, con sus respectivos datos :

Pasos a seguir :

1.- Determinar espesor de losa.

2.- Análisis de Cargas actuantes.

3.- Análisis de solicitaciones.

4.- Chequeo de esfuerzos cortantes.

5.- Diseño de los refuerzos.

6.- Despiece de la Losa.

As mín = 0.0018 * b * h

q (placa) = d concreto * b * h (d concreto = 2500 Kg/m3)

SECCIÓN DE LOSA MACIZA

h

b = 100 cm

Fig. 1-10. Secciòn de losa maciza



14

Tramo 1 - 2 = Tramo 3 - 4 (Un ext. Contínuo) : L/24 = 4.00/24 = 0.17 m.

Tramo 2 - 3 (Ambos ext. Contínuos) : L/28 = 4.00/28 = 0.14 m.

Se escoge espesor de Losa Maciza = 17 cms.

4.00 4.00 4.00

1 2 3 4

L - E

MACIZA

PASOS A SEGUIR :

1.- Determinar h mín para NO chequear deflexiones :

Datos :

Fy = 4200 Kg/cm2

f'c = 210 Kg/cm2

Vigas de apoyo = 0.30 x 0.60

Uso Residencial. (qcv = 175 Kg/m2)

Acabado : Piso cerámica. (d = 80 Kg/m2)

1 2 3 4

A

B

C

D

L-E

600

600

700

4.00 4.00 4.00

PLANTA DE ENTREPISO

Fig. 1-11. Ejemplo de Diseño de Losa Maciza



15

2.- Análisis de Cargas Actuantes : A continuación se procede a determinar las cargas permanentes

(qcm) y las cargas accidentales (qcv) para su posterior mayoración (qu).

Cargas Permanentes (qcm) :

q placa = d concreto * b * h = 2500 (Kg/m3) * 1.00 (m) * 0.17(m) = 425.00 Kg/m

q mortero = d mortero * b * e = 2150 (Kg/m3) * 1.00 (m) * 0.03 (m) = 64.50 Kg/m

q cerámica = d cerámica * b = 80 (Kg/m2) * 1.00 (m) = 80.00 Kg/m

qcm = 569.50 Kg/m

Cargas Accidentales (qcv) :

Para uso residencial qcv = 175 (Kg/m2) * 1.00 (m) = 175.00 Kg/m qcv = 175 Kg/m

Carga en servicio (qserv) : qserv = 569.50 + 175 = qserv = 744.50 Kg/m

Carga Mayorada (qu) : qu = (1.4 *qcm) + (1.7*qcv) = (1.4*569.50) + (1.7*175) = 1094.80 Kg/m

qu = 1095 Kg/m

Factor de Mayoración de cargas (Fm) : Fm = qu / qserv = 1094.80 / 744.50 = Fm = 1.47

3.- Análisis de Solicitaciones (Diagramas de corte y Momento Flector) : Este paso corresponde a la

determinación de los cortes y los momentos flectores en la viga. Recuerde que las condiciones de

apoyo de la viga o losa, determinan su grado de Estaticidad. Esto significa que el análisis puede

ser de viga Isostática o Hiperestática.

El ejemplo que nos ocupa corresponde al caso de viga Hiperestática (Más de dos (2)

apoyos), por lo tanto lo primero que se determinará será los momentos de empotramiento

(Momentos en los apoyos).

0.020.03

0.17

b = 1.00 Cerámica

MorteroPlaca

Fig. 1-12. Sección de análisis de cargas



16

En el caso de Losas, podemos asumir que el momento de empotramiento de los apoyos

externos es nulo. Sin embargo el diseño del refuerzo en estos apoyos externos se hará con un

momento estimado de M = (qu * L^2) / 24 .

Ecuación de los tres (3) Momentos. Ecuación para determinar los Momentos de

empotramiento : M1*L1 + 2M2*(L1 + L2) + M3*L2 + (6Aa/L1) + (6Ab/L2) = 0

Donde : M1, M2, M3 : Momentos en los apoyos .

L1, L2 : Luces de los tramos adyacentes. (Lo que significa que la ecuación se

limita a dos (2) tramos.

(6Aa/L1) , (6Ab/L2) : Términos que dependen de la distribución de la carga (qu)

en el tramo.

Aplicando la ecuación al caso propuesto tenemos :

qu

L

(6Aa/L) = (6Ab/L) = [qu*(L^3) / 4]

Aplicando la ecuación queda : M1*4 + 2M2*(4 + 4) + M3*4 + (1095*(4^3)/4) + (1095*(4^3)/4) = 0 Como M1 = 0 . Tenemos : 16M2 + 4M3 + 35040 = 0 (Ec. I)

qu = 1095 (Kg/m)

4.00 4.00

1 2 3

M1 = 0 M2 M3

Apoyos 1 - 2 - 3

Aplicando la ecuación queda : M2*4 + 2M3*(4 + 4) + M4*4 + (1095*(4^3)/4) + (1095*(4^3)/4) = 0 Como M4 = 0 . Tenemos : 4M2 + 16M3 + 35040 = 0 (Ec. II)

qu = 1095 (Kg/m)

4.00 4.00

2 3 4

M2 M3 M4 = 0

Apoyos 2 - 3 - 4 :

Fig. 1-13. Aplicaciòn de Ec. de los (3) Momentos



17

Se tienen dos ecuaciones (I y II) con dos incógnitas (M2 y M3), planteando el sistema de

ecuaciones queda :

16M2 + 4M3 + 35040 = 0 (Ec. I)

4M2 + 16M3 + 35040 = 0 (Ec. II) . Resolviendo queda ; M2 = M3 = - 1752 Kg*m

Ahora se procede al análisis (Diagramas de corte y momento) del elemento :

4.- Chequeo de Esfuerzos Cortantes : Consiste en

verificar que los esfuerzos cortantes actuantes en la

losa, NO superen la capacidad Normativa que tiene

la sección de concreto en resistir corte. Aplicando la

consideración 1.3.5.- Chequeo de Esfuerzos

Cortantes Vu ≤ Ø * 0.53 * (√ f'c) * b * d

Queda : Vu ≤ 0.85 * 0.53 * (√ 210) * 100 * 14

Vu ≤ 9.139,71 Kg.

Queda verificado el corte, ya que el mayor valor de

esfuerzo cortante según el diagrama de corte, es de

2.628,00 Kg.

SECCIÓN DE LOSA MACIZA

h = 17 cm

b = 100 cm

d

d = h - recubrimiento = 17 - 3

d = 14 cm.

Mu (Kg*m) + + +

- -

0.80 1.11

1752 1752

1401.60 438

2628

1752

+ + +

- - -

qu = 1095 (Kg/m)

4.00 4.00 4.00

1 2 3 4

L - E

MACIZA

0 0 1752 1752

Vu(Kg)

2190

2190

2628

1752

1401.60 1.11 0.80

As - (cm2)

As + (cm2)

3.06 3.06 3.41 3.41

3.06 3.06 3.06

Fig. 1-14. Cálculo de solicitaciones



18

5.- Diseño de los Refuerzos : El diseño del acero de refuerzo consiste en determinar el diámetro y

número de barras de acero (por sección de losa) necesarias para resistir los momentos flectores

tanto en los apoyos como en los tramos. Sin embargo recuérdese que la mínima cantidad de

acero vá de acuerdo a la consideración 1.3.1.-Acero Longitudinal

As mín = 0.0018 * 100 * 17 = 3.06 cm2/m (si se escoge la barra de menor diámetro Ø = 3/8" )

Para Ø = 3/8" . As = 0.71 cm2 Dividiendo As mín entre el área de acero escogido :

(3.06 cm2/m) / (0.71 cm2/Barra) = 4.31 Barras/m = 5 Barras/m . Para determinar la separación:

(1.00m) / (5 Barras/m) = 0.20 m . Por lo tanto la mínima cantidad de acero queda expresada :

As mín = As repartición Ø 3/8" c/.20 (As = 3.55 cm2/m)




LOSA MACIZA

b = 100 cm

As (Tramos)

APOYO

M -

TRACCIÓN

COMPRESIÓN

APOYO

As -

Acero en los Apoyos :



19

Apoyo 2 = Apoyo 3 : Mu = - 1752 Kg*m

1.- K = Mu / (f'c*b*d^2) = 1752 Kg*m / (210 Kg/cm2 * 1.00m * (14cm)^2) = 0.0426

2.- (0.9w) - (0.531w^2) = K (El menor valor de w) = (0.9w) - (0.531w^2) = 0.0426

3.- Ju = 1 - (0.59*w) = 1 - (0.59*0.049) = 0.971 (0.80 < Ju < 0.99)

4.- As = Mu / (Ø*Fy*Ju*d) = - 1752 Kg*m / (0.90 * 4200Kg/cm2 * 0.971 * 0.14m) = 3.41 cm2/m ( Ø = 0.90 )

Separación y Diámetro de barras :

Diámetro de barra escogido = 3/8" (As = 0.71 cm2)

Número de barras por ancho de losa : N = As (calculada) / As (Barra escogida)

N = (3.41 cm2/m) / (0.71 cm2/barra) = 4.80 = 5

Separación de barras : S = (1.00m) / (5 Barras 3/8")

S = 0.20 m

Por lo tanto la cantidad de acero en los apoyos 2 y 3 queda expresada :

As (apoyos 2 = 3) Ø 3/8" c/.20 (As = 3.55 cm2/m)

Apoyo 1 = Apoyo 4 : En apoyos externos cuando el momento flector es igual a cero (0), el refuerzo

se diseña con un valor de momento dado por la fórmula : M = qu * L^2/ 24

Por lo que : M = (1095 Kg/m) * (4.00m^2) / 24 = 730 Kg*m

1.- K = Mu / (f'c*b*d^2) = 0.0177

2.- (0.9w) - (0.531w^2) = K . w =0.0199 < w Máx (w Máx = 0.325)

w = 1.646

0.049 < w Máx (w Máx = 0.325)



20

3.- Ju = 1 - (0.59*w) . Ju = 0.988

4.- As = Mu / (Ø*Fy*Ju*d) = 1.40 cm2/m < As mín . Por lo tanto los apoyos 1 y 4 se reforzarán

con: As mín Ø 3/8" c/.20 (As = 3.55 cm2/m)

Tramo 1 - 2 = Tramo 3 - 4 : Mu = + 1401.60 Kg*m

Como el procedimiento de cálculo es el mismo, tenemos :

As = 2.71 cm2/m. < As mín Ø 3/8" c/.20 (As = 3.55 cm2/m)

Tramo 2 - 3 : Mu = + 439.00 Kg*m


As = 0.84 cm2/m. < As mín Ø 3/8" c/.20 (As = 3.55 cm2/m)

Acero en los Tramos :

APOYO

As +

APOYO

TRAMO

APOYO

M + TRACCIÓN

COMPRESIÓN

APOYO



21

6.- Despiece de Losa : El despiece de la losa, es la representación en dibujo de los cálculos que la

preceden. Este despiece incluye básicamente: Dibujo del perfil y sección típica de la losa indicando

los ejes estructurales; detalle del diámetro, colocación y longitud del refuerzo. Para el ejemplo

propuesto todos estos detalles los representaremos en toda su dimensión en el capítulo Nº 2,

correspondiente a ADHERENCIA Y ANCLAJE.

Sin embargo a continuación se presenta un despiece típico donde NO incluiremos (Hasta

el siguiente capítulo) las longitudes de los refuerzos :

El despiece de Losas, es la representación gráfica de todos los análisis hechos

previamente. El despiece como tal, no es más que el dibujo representativo (Del elemento que se

diseña) plasmado en los planos estructurales del proyecto.

4.00 4.00 4.00

1 2 3 4

L - E

MACIZA

h = 0.17

DESPIECE DE LOSA :

0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15

Ø 3/8" c/.20 Ø 3/8" c/.20 Ø 3/8" c/.20 Ø 3/8" c/.20

Ø 3/8" c/.20

REPARTICIÓN Ø 3/8" c/.20



22

1.5.- LOSAS NERVADAS : Su sección es en " T " de concreto armado. Son más livianas que las losas macizas (Y por

ende más económicas). Son buenas aislantes tanto térmicas como acústicas. Su espesor o altura

es generalmente de 15, 20, 25 y 30 cms. Las losas más económicas de este tipo son aquellas en

las cuales las luces oscilan entre los 5.00 a 6.00 m., No obstante se pueden encontrar losas

macizas que superen los 6.00 m., de longitud.

Las Losas Nervadas que se estudiarán en el presente capítulo, son las definidas en el

punto 8.10 ENTREPISOS NERVADOS de las Normas COVENÍN-MINDUR 1753. Los nervios

allí definidos y proyectados más comunmente son de las siguientes características :

Macizado por Corte : En " Losas Nervadas " , debe verificarse el esfuerzo cortante en las

zonas de apoyos para satisfacer la condición de corte, de lo contrario se deben macizar las zonas

de los apoyos. Sin embargo se recomienda macizar por lo menos 10 cms., a cada lado de las

caras de los apoyos, como se muestra en la figura :

As mín = (14/Fy) * b * d

q (secc) = d concreto * Area secc.

(d concreto = 2500 Kg/m3)


50 cm

d

bw = 10 cm

As - (Apoyos)

As + (Tramos)

5 cm

h (Bloque) Bloque Piñata

Bloque Piñata

Bloque Piñata

0.10 0.10 0.40

MALLA ELECTROSOLDADA

Alturas comerciales de Bloque Piñata y pesos de

Losa Nervada :

h Bloque (cm) h Losa (cm) Peso (Kg/m2)

15 .................. 20 ........... 270

20 .................. 25 ........... 315

25 .................. 30 ............ 360

30 .................. 35 ............ 415



23

1.5.1.- Ejemplo de Diseño de Losa Nervada :

A continuación se diseñará la Losa Maciza del ejemplo anterior, pero como Losa Nervada,

con los mismos datos :

4.00 4.00 4.00

1 2 3 4

L - E

NERVADA

PASOS A SEGUIR :

1.- Determinar h mín para NO chequear deflexiones :

L. Macizado = 0.10 m

L. Macizado = 0.10 m

VIG

A D

E A

POYO

VIGA DE APOYO

PLANTA

CORTE



24

Tramo 1 - 2 = Tramo 3 - 4 (Un ext. Contínuo) : L/18 = 4.00/18 = 0.22 m. (El mayor)

Tramo 2 - 3 (Ambos ext. Contínuos) : L/21 = 4.00/21 = 0.19 m.

Se toma el mayor valor. Sin embargo, según la sección de Losa Nervada, se debe escoger

un bloque piñata (de medidas comerciales) cuya altura sumada a los 5 cms., de loseta de igual o

superior a los 22 cms., calculados.

Por lo tanto se escogerá un bloque piñata de 20 cms., de altura, para que en definitiva la

Losa Nervada sea de 25 cms., de espesor.

Se escoge espesor de Losa Nervada = 25 cms.

2.- Análisis de Cargas Actuantes : A continuación se procede a determinar las cargas permanentes



q Losa Nervada = d Losa * b = 315 (Kg/m2) * 0.50 (m) = 157.50 Kg/m



q tabiquería = d tabiquería * b = 150 (Kg/m2) * 0.50 (m) = 75.00 Kg/m

qcm = 304.75 Kg/m Cargas Accidentales (qcv) :

Para uso residencial qcv = 175 (Kg/m2) * 0.50 (m) = 87.50 Kg/m qcv = 87.50 Kg/m

Como (qcv = 87.50 Kg/m) < (qcm = 304.75 Kg/m). NO es necesario hacer movimiento de (qcv).

b =50 cm

d = 22 cm

bw = 10 cm

5 cm

h (Bloque) = 20 cm 1/2 Bloque

1/2 Bloque

2 cm 3 cm

Cerámica

Mortero



25

Carga en servicio (qserv) : qserv = 304.75 + 87.50 = qserv = 392.25 Kg/m

Carga Mayorada (qu) : qu = (1.4 *qcm) + (1.7*qcv) = (1.4*304.75) + (1.7*87.50) = 575.40 Kg/m

qu = 576 Kg/m


3.- Análisis de Solicitaciones (Diagramas de corte y Momento Flector) :

Resolviendo el sistema de ecuaciones queda :

16M2 + 4M3 + 18432 = 0 (Ec. I)

4M2 + 16M3 + 18432 = 0 (Ec. II) . Resolviendo queda ; M2 = M3 = - 921.60 Kg*m

Aplicando la ecuación queda : M1*4 + 2M2*(4 + 4) + M3*4 + (576*(4^3)/4) + (576*(4^3)/4) = 0 Como M1 = 0 . Tenemos : 16M2 + 4M3 + 18432 = 0 (Ec. I)

qu = 576 (Kg/m)

4.00 4.00

1 2 3

M1 = 0 M2 M3

Apoyos 1 - 2 - 3

Aplicando la ecuación queda : M2*4 + 2M3*(4 + 4) + M4*4 + (576*(4^3)/4) + (576*(4^3)/4) = 0 Como M4 = 0 . Tenemos : 4M2 + 16M3 + 18432= 0 (Ec. II)

qu = 576 (Kg/m)

4.00 4.00

2 3 4

M2 M3 M4 = 0

Apoyos 2 - 3 - 4 :



26

Diagramas de corte y momento :

5.- Diseño de los Refuerzos : El diseño del acero de refuerzo consiste en determinar el diámetro de

barras de acero (por sección "T" de losa) necesarias para resistir los momentos flectores tanto en

los apoyos como en los tramos. Sin embargo recuérdese que la mínima cantidad de acero vá de

acuerdo a la consideración 1.3.1.-Acero Longitudinal

4.- Chequeo de Esfuerzos Cortantes : Aplicando la

consideración 1.3.5.- Chequeo de Esfuerzos

Cortantes Vu ≤ Ø * 0.53 * (√ f'c) * b * d

Queda : Vu ≤ 0.85 * 0.53 * (√ 210)* 10 * 22

Vu ≤ 1.436,24 Kg.

Queda verificado el corte, ya que el mayor valor de

esfuerzo cortante según el diagrama de corte, es de

1.152,00 Kg. No obstante en Losas Nervadas se

hace un macizado por corte de 10 cms., medido a

cada lado de los apoyos de la Losa.


d = 22 cm.

Mu (Kg*m) + + +

- -

0.80 1.11

921.60 921.60

737.28 230.40

1382.40

921.60

+ + +

- - -

qu = 576 (Kg/m)

4.00 4.00 4.00

1 2 3 4

L - E

NERVADA

0 0 921.60 921.60

Vu(Kg)

1152

1152

1382.40

921.60

737.28 1.11 0.80

As - (cm2)

As + (cm2)

0.73 0.73 1.18 1.18

0.90 0.73 0.90

b = 50 cm

d

bw

As (Apoyos)

As (Tramos)




27

As mín = (14/Fy) * 10 * 22 = 0.73 cm2 (si se escoge la barra de menor diámetro Ø = 3/8" )

Por lo tanto la mínima cantidad de acero queda expresada :

As mín = 1 Ø 3/8" (As = 0.71 cm2)

Apoyo 2 = Apoyo 3 : Mu = - 921.60 Kg*m

1.- K = Mu / (f'c*bw*d^2) = 921.60 Kg*m / (210 Kg/cm2 * 0.10m * (22cm)^2) = 0.091

2.- (0.9w) - (0.531w^2) = K (El menor valor de w) = (0.9w) - (0.531w^2) = 0.091

b = 50 cm

d

bw

As (Apoyos)

As (Tramos)




APOYO

M -

TRACCIÓN

COMPRESIÓN

APOYO

As - b = 0.50

bw = 0.10



28

3.- Ju = 1 - (0.59*w) = 1 - (0.59*0.108) = 0.937 (0.80 < Ju < 0.99)

4.- As = Mu / (Ø*Fy*Ju*d) = - 1752 Kg*m / (0.90 * 4200Kg/cm2 * 0.937 * 0.14m) = 1.18 cm2 ( Ø = 0.90 )

Diámetro de barras :

Diámetro de barra escogido = 1/2 " (As = 1.27 cm2)

Por lo tanto la cantidad de acero en los apoyos 2 y 3 queda expresada :

As (apoyos 2 = 3) 1 Ø 1/2 " (As = 1.27 cm2)

Apoyo 1 = Apoyo 4 : En apoyos externos cuando el momento flector es igual a cero (0), el refuerzo

se diseña con un valor de momento dado por la fórmula : M = qu * L^2/ 24

Por lo que : M = (576 Kg/m) * (4.00m^2) / 24 = 384 Kg*m

1.- K = Mu / (f'c*bw*d^2) = 0.0378

2.- (0.9w) - (0.531w^2) = K . w =0.0431 < w Máx (w Máx = 0.325)

3.- Ju = 1 - (0.59*w) . Ju = 0.975

4.- As = Mu / (Ø*Fy*Ju*d) = 0.47 cm2 < As mín . Por lo tanto los apoyos 1 y 4 se reforzarán con:

As mín 1 Ø 3/8" (As = 0.71 cm2)

w = 1.587

0.108 < w Máx (w Máx = 0.325)



29

Tramo 1 - 2 = Tramo 3 - 4 : Mu = + 737.28 Kg*m

1.- K = Mu / (f'c*b*d^2) = 0.0145 (Cuando se trate de (As) por (M+) el valor de (b) es = 50 cm ).

2.- (0.9w) - (0.531w^2) = K . w =0.0162 < w Máx (w Máx = 0.325)

3.- Ju = 1 - (0.59*w) . Ju = 0.990

4.- As = Mu / (Ø*Fy*Ju*d) = 0.90 cm2 > As mín . Por lo tanto los Tramos extremos se reforzarán

con:

As Tramo 1 - 2 = Tramo 3 - 4 : 1 Ø 1/2 " (As = 1.27 cm2)

Tramo 2 - 3 : Mu = + 238.40 Kg*m


As = 0.29 cm2 < As mín As Tramo 2 - 3 = 1 Ø 3/8" (As = 0.71 cm2)


M + TRACCIÓN

COMPRESIÓN

As +

b = 0.50

bw = 0.10



30

6.- Despiece de Losa : Para el ejemplo propuesto los detalles de los refuerzos, los

representaremos en toda su dimensión en el capítulo Nº 2, correspondiente a ADHERENCIA Y

ANCLAJE. Sin embargo a continuación se presenta un despiece típico donde NO incluiremos

(Hasta el siguiente capítulo) las longitudes de los refuerzos :

1.6.- LOSAS DE ESCALERAS :

El diseño de losas de escaleras, involucra todos los aspectos para la consideración de

diseño de losas vistos hasta ahora. Las losas de escaleras, varían significativamente dependiendo

del tipo. Los tipos de escaleras más comunes son : De una (1) rampa, de dos (2) rampas,

helicoidales, autoportantes, ortopoligonales, etc. Siendo tanta la variedad, no obstante todas se

asemejan a una losa maciza; por lo que su diseño involucra los aspectos considerados para el

diseño de losas macizas.

A continuación se ilustrará un ejemplo de diseño de una losa (La más común) de escalera

de una (1) rampa.

4.00 4.00 4.00

1 2 3 4

L - E

NERVADA

h = 0.25

DESPIECE DE LOSA :

0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15

1 Ø 3/8" 1 Ø 1/2" 1 Ø 1/2"

1 Ø 3/8"

0.25 0.25 0.25 0.250.25 0.25 MACIZADOS

1 Ø 3/8"

1 Ø 1/2" 1 Ø 1/2"



31

EJEMPLO DE DISEÑO DE LOSA DE ESCALERA :

Para este caso específico, se tomarán como parámetros de diseño :

Acero : Fy = 4200 Kg/cm2.

Concreto : f'c = 210 Kg/cm2.

Vigas de apoyo : (0.30 x 0.50)

Carga Variable o Accidental : qcv = 300 Kg/m2.

Se utilizará el mismo procedimiento de diseño utilizado para las losas Macizas, señalado

en el capítulo 1.4.- LOSAS MACIZAS .

De acuerdo al planteamiento arquitectónico, los peldaños de la escalera tendrán 0.30 m de

Huella y 0.165 m de Contrahuella. Estas dimensiones son las más aceptadas ya que proporcionan

comodidad para el tránsito. Por otro lado, usualmente el número de huellas a salvar entre un

descanso y otro NO debería pasar de Diez (10).

1 2 3

4.85 2.40

1.65

1.65

2.70 1.00 1.10

CORTE

A

3

B 4.80

1.00 1.00 1.40 1.40

4.85

2.40

2.70

1.15

1.00

2

1 PLANTA



32

A continuación se plantea la estructuración de la escalera :

2.-Análisis de Cargas Actuantes : (qcm y qcv)


q placa = d concreto * b * h = 2500 (Kg/m3) * 1.00 (m) * 0.20 (m) = 500.00 Kg/m

q escalón = d concreto * nº esc. * A.esc. = 2500 (Kg/m3) * 3.33 * (0.30*0.165/2) = 206.04 Kg/m



qcm = 850.54 Kg/m

A

3

B

4.80

1.00 1.00 1.40 1.40

4.85

2.40

2.70

1.15

1.00

2

1

LE-1

LE-2

PLANTA

1.- Espesor de la losa : (h mín)

Tramo 2 - 3 : L/20 = 4.85 / 20 = 0.24 m.

Nota : Las losas de escaleras, dependiendo

del uso (residencial ó Inst. públicas) suelen

ser de 0.15 m a 0.20 m., de espesor.

Como para este ejemplo NO hay

especificaciones de uso, se hará de 0.20

m., y se chequeará la deflexión ( δ ).

0.20

0.30

0.165

3.33 Esc,/m

DETALLE DE ESCALÓN :

1.00m (Escalera) / 0.30m/Escalón = 3.33 Esc

0.020.03

0.20

b = 1.00 Cerámica

MorteroPlaca



33

Cargas Accidentales (qcv) :

qcv = 300 (Kg/m2) * 1.00 (m) = 300.00 Kg/m qcv = 300 Kg/m

Carga en servicio (qserv) : qserv = 850.54 + 300 = qserv = 1150.54 Kg/m

Carga Mayorada (qu) : qu = (1.4 *qcm) + (1.7*qcv) = (1.4*850.54) + (1.7*300) = 1700.76 Kg/m

qu = 1700.75 Kg/m


3.- Análisis de Solicitaciones (Diagramas de corte y Momento Flector) :

Las consideraciones especiales para determinar los momentos de los apoyos y del tramo,

se basan en que la losa es inclinada e isostática. Se resolverán los diagramas de corte (Vu) y

momento (Mu) teniendo en cuenta el grado de inclinación de la escalera.

En el esquema de la izquierda (CARGAS ACTUANTES) se aprecia el modelo que sirve de

base para el análisis del elemento. En el esquema de la derecha (FUERZAS EQUIVALENTES) se

observan las consideraciones hechas en el elemento. estas son básicamente :

• Se asume el elemento simplemente apoyado.

• Se hace descomposición de fuerzas en el tramo inclinado del elemento, en función del

grado de inclinación.

2 3

4.85

1.65

2.70 1.00 1.10

qu = 1700.75 (Kg/m)

CARGAS ACTUANTES

2 3

4.85

1.65

Lr = 2.70 1.00 1.10

qu*Lr

α

qu*Lr *sen α qu*Lr *cos α

3.16 = Lr / cos α

4124.32 Kg

4124.32 Kg

FUERZAS EQUIVALENTES



34

Diagramas de Corte (Vu ) y Momento flector (Mu) :

CARGAS

2 3

4.85

1.65

Lr = 2.70 1.00 1.10

qu*Lr

α

qu*Lr *sen α qu*Lr *cos α

3.16 = Lr / cos α

4124.32 Kg

4124.32 Kg

qu = 1700.75 (Kg/m)

qu = 1700.75

Lr = 2.70

qu*Lr *cos α = qu' * Lr / cos α

qu' = qu * cos2 α (α = 31.43º) qu'

Vu (Kg)

1.67 4124.32

4124.32

+

-

2423.57

2253.50 2423.57

α

2423.57 * cos α

(2067.98)

2423.57 * sen α

(1263.79)

2067.98

1949.96

α

1949.96 * cos α

(1663.86)

1130.75

qu*Lr *sen α =

(2394.54)

1263.79

1130.75

α 1130.75 * sen α

(589.64)

Resultante = 2253.50

(1663.80 + 589.64)

Mu (Kg*m)

1.67

+

+

+

3273.95 3273.95

5000.71 3507.80 3507.80

Nota : Nótese que el resultado del momento máximo del tramo

(5000.71 Kg*m) , equivale al momento máximo de un

elemento similar (Simplemente apoyado) totalmente horizontal

que se determina por la expresión (M = qu * L2 / 8) .



35

4.- Chequeo de esfuerzos cortantes (Vu) : Vu ≤ Ø * 0.53 * (√ f'c) * b * d

Queda : Vu ≤ 0.85 * 0.53 * (√ 210) * 100 * 17

Vu ≤ 11.098,22 Kg.

Queda verificado el corte, ya que el mayor valor de esfuerzo cortante según el diagrama

de corte, es de 4.124,32 Kg.

5.- Diseño de los refuerzos (As) :

As mín = 0.0018 * 100 * 20 = 3.60 cm2/m (si se escoge la barra de menor diámetro Ø = 3/8" )

Para Ø = 3/8" . As = 0.71 cm2 Dividiendo As mín entre el área de acero escogido :

(3.60 cm2/m) / (0.71 cm2/Barra) = 5.07 Barras/m = 5 Barras/m . Para determinar la separación:

(1.00m) / (5.00 Barras/m) = 0.20 m . Por lo tanto la mínima cantidad de acero queda expresada :

As mín = As repartición Ø 3/8" c/.20 (As = 3.55 cm2/m)

Acero en los apoyos : Cuando en un apoyo externo, donde M- = 0. Se diseña para un valor

de momento igual a : M = qu * L2 / 24

Apoyos 2 = 3 : Mu = 1700.75 * (4.852) / 24 = 1666.91 Kg*m

1.- K = Mu / (f'c*b*d^2) = 0.027




LOSA MACIZA

b = 100 cm

As (Tramos)



36

2.- (0.9w) - (0.531w^2) = K . w =0.031 < w Máx (w Máx = 0.325)

3.- Ju = 1 - (0.59*w) . Ju = 0.982

4.- As = Mu / (Ø*Fy*Ju*d) = 2.64 cm2/m < As mín . Por lo tanto los apoyos 1 y 4 se reforzarán

con: As mín Ø 3/8" c/.20 (As = 3.55 cm2/m)

Acero en los tramos :

Tramo 2 - 3 : Mu = + 5000.71 Kg*m


As = 8.26cm2/m. > As mín Ø 1/2" c/.15 (As = 8.47 cm2/m)

2 3

4.85

2.70 1.00 1.10

LE - 1

MACIZA h = 0.20

1.65


0.15 0.15 0.15 0.15

Ø 3/8" C/0.20 0.15

Ø 3/8" C/0.20 0.15 0.15

Ø 3/8" C/0.20 Ø 3/8" C/0.20

Ø 1/2" C/0.15

Ø 1/2" C/0.15

Ø 3/8" C/0.20 0.10

0.10

REFUERZO ESCALONES

3 Ø 3/8"

0.30

0.165

Ø 1/2" C/0.15

DETALLE ESCALONES



37

2 3

4.85

1.65

1.65

2.70 1.00 1.10

LE - 2

MACIZA h = 0.20


Ø 3/8" C/0.20

Ø 3/8" C/0.20

Ø 3/8" C/0.20

Ø 3/8" C/0.20

Ø 1/2" C/0.15

Ø 1/2" C/0.15

0.15 0.15

0.15

0.15 0.15

0.15 0.15

3 Ø 3/8"

0.30

0.165

Ø 1/2" C/0.15

Ø 3/8" C/0.20 0.10

0.10

REFUERZO ESCALONES

DETALLE ESCALONES



38

NOTA : La armadura de las losas de escaleras, deben ser verificadas por anclaje. Esto corresponde al Tema Nº 2 "ADHERENCIA Y ANCLAJE". No obstante el procedimiento y las consideraciones para tales chequeos, son los mismos

aplicables a losas macizas, del cual se ilustra un ejemplo ampliamente desarrollado en el tema referido.

1.7.- EJEMPLO DE MOVIMIENTO DE CARGAS (qcv) :

En el tema Nº 1.3.- CONSIDERACIONES PARA EL DISEÑO DE LOSAS, se mencionó una

consideración especial para el diseño. Tal consideración se refiere al movimiento de cargas. Y dice

textualmente : 1.3.3.- Sobre Cargas (qcv) : Llamadas también cargas accidentales. Cuando

su valor supere al de las cargas permanentes (qcm), se debe "mover" la sobre carga a los sitios

más desfavorables según sea el caso.

La carga total mayorada (qu), viene dada por la expresión : qu = (1.4*qcm) + (1.7*qcv)

Si qcv > qcm . Se debe hacer movimiento de qcv.

A continuación se ilustrará un caso de movimiento de cargas, tomando como ejemplo de

diseño, el resuelto en el aparte : 1.5.1.- EJEMPLO DE DISEÑO DE LOSA NERVADA. Con Fy =

4200 Kg/cm2 y f'c = 210 Kg/cm2. Para tal fín modificaremos algunos datos del ejemplo propuesto :

Se escoge espesor de Losa Nervada = 25 cms.

Análisis de Cargas Actuantes : A continuación se procede a determinar las cargas permanentes


Cargas Permanentes (qcm) : Solo para fines didácticos NO se considerará la influencia del peso

de la tabiquería.

4.00 4.00 4.00

1 2 3 4

L - E

NERVADA

SECCIÓN DE ANÁLISIS :



39

q Losa Nervada = d Losa * b = 315 (Kg/m2) * 0.50 (m) = 157.50 Kg/m



qcm = 229.75 Kg/m

Cargas Accidentales (qcv) : Se asumirá el valor de (qcv) para áreas públicas (Salón de fiesta).

Para Salones de fiesta (qcv) = 500 (Kg/m2) * 0.50 (m) = 250.00 Kg/m qcv = 250.00 Kg/m

Como (qcv = 250.00 Kg/m) > (qcm = 229.75 Kg/m). ES necesario hacer movimiento de (qcv) a los

sitios más desfavorables.

Carga en servicio (qserv) : qserv = 229.75 + 250.00 = qserv = 479.75 Kg/m

Carga Mayorada (qu) : qu = (1.4 *qcm) + (1.7*qcv) = (1.4*229.75) + (1.7*250.00) = 746.65 Kg/m

qu = 746.65 Kg/m


Análisis de Solicitaciones (Diagramas de corte y Momento Flector) moviendo (1.7 qcv) : En este

paso se moverá (1.7 qcv) a los sitios que se consideren afecten los ptos., máximos de corte (Vu) y

momento flector (Mu). Los diagramas a continuación, se resolvieron directamente.

b =50 cm

d = 22 cm

bw = 10 cm

5 cm

h (Bloque) = 20 cm 1/2 Bloque

1/2 Bloque

2 cm 3 cm

Cerámica

Mortero



40

qu = 746.65 (Kg/m)

4.00 4.00 4.00

1 2 3 4

CASO 1

0 0 1194.64 1194.64

1791.96

1194.64

+ + +

- - - Vu(Kg)

1493.30

1493.30

1791.65

1194.64

Mu (Kg*m) + + +

- -

0.80 1.11

1194.64 1194.64

955.71 298.66 955.71 1.11 0.80

(1.4 qcm) = 321.65 (Kg/m)

4.00 4.00 4.00

1 2 3 4

CASO 2

0 0 854.64 854.64

856.96

429.64

+ + +

- - - Vu(Kg)

1493.30

1493.30

856.96

429.64

Mu (Kg*m) + + +

- -

1.33 0.69

854.64 854.64

286.94 638.66 286.94 0.69 1.33

(1.7 qcv) = 425.00 (Kg/m)

(1.4 qcm) = 321.65 (Kg/m)

4.00 4.00 4.00

1 2 3 4

CASOS

3 Y 4

0 0 1307.97 741.31

1820.29

1166.31

+ + +

- - -

Vu(Kg)

1634.97

1351.64

828.63

457.97

Mu (Kg*m) + + +

- -

0.88 1.05

1307.97 741.31

910.92 482.10 326.04 0.67 1.15

(1.4 qcm) = 321.65 (Kg/m)

4.00 4.00 4.00

1 2 3 4

CASO 5

0 0 854.64 854.64

1706.96

1279.64

+ + +

- - -

Vu(Kg)

643.30

643.30

1706.96

1279.64

Mu (Kg*m) + +

- -

0.57

854.64 854.64

1096.55

211.34

1096.55 0.57

(1.7 qcv) = 425.00 (Kg/m)

(1.7 qcv) (1.7 qcv)



41

Analizando cuidadosamente cada caso planteado, se obtienen los valores críticos de Corte

(Vu) y Momento flector (Mu). Estos valores son :

Para Corte :

(apoyos 1 y 4) ⇒ Vu = 1279.64 Kg CASO 5

(apoyos 2 y 3) ⇒ Vu (Máx) = 1820.29 Kg CASOS 3 Y 4

Para Momento flector :

En los Apoyos (Mu -) : (Apoyos 1 y 4) ⇒ Mu = qu*L2/24 = (746.65 * 42)/24 = 497.77 Kg*m.

(Apoyos 2 y 3) ⇒ Mu = 1307.97 Kg*m CASOS 3 Y 4

En los Tramos (Mu +) : (Tramo 1-2 = 3-4) ⇒ Mu = 1096.55 Kg*m CASO 5

(Tramo 2 - 3) ⇒ Mu = 638.66 Kg*m CASO 2

Chequeo de Esfuerzos Cortantes : Aplicando la consideración 1.3.5.- Chequeo de Esfuerzos

Cortantes Vu ≤ Ø * 0.53 * (√ f'c) * b * d Vu ≤ 0.85 * 0.53 * (√ 210)* 10 * 22

Vu ≤ 1.436,24 Kg.

Queda verificado el corte, excepto en los apoyos 2 y 3 , ya que el mayor valor de esfuerzo

cortante según el diagrama de corte CASOS 3 Y 4, es de 1820.29 Kg. En estos apoyos se

determinará la longitud de macizado requerida para resistir ese esfuerzo cortante. No obstante en

los otros apoyos, se hará un macizado por corte de 10 cms., medido a cada lado de los apoyos de

la Losa.


d = 22 cm.


b = 50 cm

d

bw

As (Apoyos)

As (Tramos)



42

Cálculo de las Longitudes de Macizado en apoyos ( 2 y 3 ) : CASOS 3 Y 4

Diseño de los Refuerzos : Se hará según los valores máximos obtenidos en los casos citados. Sin

embargo recuérdese que la mínima cantidad de acero vá de acuerdo a la consideración 1.3.1.-Acero Longitudinal


As mín = (14/Fy) * 10 * 22 = 0.73 cm2 (Se escoge la barra de menor diámetro Ø = 3/8" )

As mín = 1 Ø 3/8" (As = 0.71 cm2)


Apoyo 1 = Apoyo 4 : Para : Mu = - 497.77 Kg*m ⇒ (As = 0.62 cm2)

As (apoyos 1 = 4) 1 Ø 3/8 " (As = 0.71 cm2)

L1 (Macizado) :

2.44 = L1 (macizado) 1820.29 1820.29 - 1436.24

L1 (Macizado) = 0.51 m .

L2 (Macizado) :

2.19 = L2 (macizado) 1634.97 1634.97 - 1436.24

L2 (Macizado) = 0.27 m .

2

Vu (Kg)

1820.29

1634.97

-

+

1436.24

1436.24

L1 (Macizado) = 0.51 m

L2 (Macizado) = 0.27 m

L (tramo) = 4.00 m L (tramo) = 4.00 m

2.44

2.19



43

Apoyo 2 = Apoyo 3 : Para : Mu = - 1307.97 Kg*m ⇒ (As = 1.73 cm2)

As (apoyos 2 = 3) 1 Ø 5/8 " (As = 1.98 cm2)


Tramo 1 - 2 = Tramo 3 - 4 : Para : Mu = + 1096.55 Kg*m ⇒ (As = 1.34 cm2)

As (Tramos 1 - 2 = 3 - 4) 1 Ø 5/8 " (As = 1.98 cm2)

Tramo 2 - 3 : Para : Mu = + 638.66 Kg*m ⇒ (As = 0.77 cm2)

As (Tramos 2 - 3) 1 Ø 1/2 " (As = 1.27 cm2)

En el despiece de la Losa Nervada NO se considerarán las longitudes del refuerzo,

ya que forma parte del tema siguiente. Por lo tanto el dibujo queda de la siguiente manera :

4.00 4.00 4.00

1 2 3 4

L - E

NERVADA

h = 0.25

DESPIECE DE LOSA :

0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15

1 Ø 3/8" 1 Ø 5/8" 1 Ø 5/8"

1 Ø 1/2"

0.51 0.27 0.27 0.510.25 0.25MACIZADOS

1 Ø 3/8"

1 Ø 5/8" 1 Ø 5/8"



44

Fuerzas Cortantes : V = CV * W * L

Reacciones en apoyos : R = CR * W * L

W ⇒ Carga Uniforme Distribuida.

L ⇒ Luz del tramo.

0.39 0.61 0.53 0.47 0.49 0.51 0.50 1.01 0.96 1.14 0.39

0.39 0.61 0.53 0.47 0.49 0.51 1.02 0.96 1.14 0.39

0.39 0.61 0.53 0.47 0.50 0 97 1 14 0 39

0.39 0.61 0.54 0.46 0.92 1.10 0.40

Lc

0.40 0.60 0.50 1.10 0.40

0.375 0.6251.25 0.375

0.50 0.50

Lc

0.125

- 0.106 - 0.077 - 0.085

0.040 0.043 0.034 0.076

- 0.106 - 0.077 - 0.087

0.043 0.034 0.076

- 0.105 - 0.079

0.046 0.035 0.076

- 0.107 - 0.071

0.039 0.076

- 0.100

0.025 0.080

- 0.125

0.070

Coeficiente (Cm) para Momentos en

Apoyos y Tramos : M = Cm * W * L2

W ⇒ Carga Uniforme Distribuida.

L ⇒ Luz del tramo.

ANEXOS (1.- TABLAS PARA CÁLCULO DE CORTES Y MOMENTOS)



45

CAPÍTULO Nº 2 .: " ADHERENCIA Y ANCLAJE "

En este capítulo se estudiarán los conceptos que fijan pauta para la aplicación de las

Normas COVENÍN-MINDUR 1753, señaladas en el capítulo 12. LONGITUDES DE DESARROLLO

Y EMPALMES DE LAS ARMADURAS. Para una comprensión más profunda de este tema, es

imprescindible leer detenidamente tanto el capítulo referido como sus comentarios.

En líneas generales el término Longitud de desarrollo se puede definir como : " La longitud

que necesita una barra de refuerzo para desarrollar en su totalidad los esfuerzos de adherencia ".

A simple vista esta definición no dice mucho, pero una vez que se entienda que una barra

de acero embutida dentro de una pieza de concreto es capaz de desplazarse de su posición;

debido a (por ejemplo) esfuerzos de flexión, nos damos cuenta que es necesario proporcionarle a

la armadura una longitud tal; que garantice la presencia de la barra de refuerzo más allá de la zona

donde ocurre la flexión.

El origen del esfuerzo de adherencia se debe a :

• La adhesión de naturaleza química existente entre el acero de refuerzo y el concreto.

• La fricción que se genera entre el acero de refuerzo y el concreto, que se desarrolla

como consecuencia de la tendencia de la barra a deslizar.

As

Di Di

SECCIÓN DE CONCRETO REFORZADO SOMETIDA A CARGA

CARGA

Dtot Dtot

TENDENCIA DE LA BARRA A DESLIZAR DEBIDO A LA FLEXIÓN



46

• El acero de refuerzo corrugado que genera una reacción. Es decir; apoyo directo de las

corrugaciones del refuerzo contra el concreto.

2.1.- ESFUERZOS DE ADHERENCIA :

Suponiendo un elemento sometido a cargas :

BARRA CORRUGADA Ø Barra

x

Una sección de ese elemento presentaría las siguientes solicitaciones :

dx

C

T

V Z

M C + DC

V + DV

T + DT

M + DM

BARRA DE REFUERZO

Donde : M = T * Z y V = DM / dx

DM = DT * Z

DT = DM / Z

Siendo : C : Esfuerzo de Compresión.

T : Esf. De Tracción.

V : Esf. De Corte.

M : Momento flector.

Z : Altura útil del elemento.

D : Variación del esfuerzo.

dx : Diferencial de longitud.



47

2.2.- LONGITUD DE DESARROLLO :

Se define como la distancia requerida para que una barra de refuerzo pueda desarrollar

completamente su esfuerzo adherente.

A continuación se presenta una ilustración que muestra los conceptos definidos :

ANALIZANDO LOS ESFUERZOS EN LA BARRA DE REFUERZO :

T T + DT

m (Esfuerzos de Adherencia)

dx

T (Kg)

m (Kg/cm2)

T + (m*So*dx) = T + DT

m = (1/So) * (DT/dx)

Como : DT = DM / Z , tenemos :

m = 1 * DM So*Z dx

Si : V = DM / dx , la ecuación queda :

m = 1 * V ESFUERZO DE So*Z ADHERENCIA

So : Sumatoria del perímetro de la barra.

So = p * D (D : Diámetro de la barra).

Perímetro

D

Perímetro



48

2.3.- FORMAS DE FALLA :

Las formas características como se presentan las fallas dependerá básicamente del

recubrimiento de concreto que tenga la barra de refuerzo. Es decir :

Ld

B

A

T

Barra de refuerzo embutida en Concreto.

Esfuerzos de adherencia ( f ) :

En tramo A - B :

f = T / Ab T : Tensión (Kg)

Ab : Área de la barra (cm2)

En pto. B :

f = 0 Entre A y B el esfuerzo " f " se

transmite de la barra al concreto.

Ø Grande

Poco recubrimiento

Se fractura el cilindro de

concreto debido al poco

recubrimiento.

NO HAY ADHERENCIA.

Ø Pequeño

Mucho recubrimiento

Hay fractura en el concreto. Sin embargo HAY BUENA ADHERENCIA



49

T máx - T mín = m*So*L (Como Tmín = 0)

m = T máx ≤ mu (Condición) So*L

La longitud (Ld) a la cual los esfuerzos de

adherencia son menores que los de la falla,

será : (Despejando L de la ecuación)

L ≥ T máx y queda : Ld ≥ T máx So*mu So*mu

m ≤ mu (Condición deseada)

BARRA DE REFUERZO

FISURAS

El objetivo es procurar que los

esfuerzos de adherencia sean

menores ( o iguales ) que los

esfuerzos que producen la falla.

DT = 0 dx

DT = 0 dx

T (Kg) (Tracción)

m = 0 m = 0 m (Kg/cm2) (Esf. Adher)

En las fisuras NO hay adherencia

Si se trata de una viga reforzada sometida a cargas :

P P fs = 0 fs = 0

fs = Máx fs = Máx L

M (Kg*m) = 0 T (Kg) = 0

M máx T máx

M máx T máx

M = 0 T = 0

+

T máx = fs máx * Area barra

2.4.- DETERMINACIÓN DE LA LONGITUD DE DESARROLLO : Suponiendo un segmento de viga :

m ≤ mu m : Esfuerzo de adherencia.

mu : Esfuerzo de falla.

Donde : mu = K * f'c



50

Como : T máx = fs máx * Area barra , la expresión Ld queda :

Longitud de desarrollo : Ld ≥ fs máx * Area barra So*mu

Longitud mínima requerida para que se cumpla : m ≤ mu

Donde el término (1 / p * d * K ) será un valor conocido que dependerá del número y

diámetro (Ø) de las barras, y " K " un coeficiente que dependerá no solo del diámetro de la barra,

si no también de la separación entre barras y su función en las secciones de estudio.

2.5.- ARTÍCULOS DE LAS NORMAS COVENÍN-MINDUR QUE DAN PAUTA PARA EL CÁLCULO DE LONGITUDES DE DESARROLLO, SOLAPES Y GANCHOS ESTÁNDAR. (CAPÍTULO 12 NORMAS 1753). A continuación se citará textualmente el capítulo 12 de las Normas referidas, y

posteriormente se ilustrarán algunos de los artículos para una mejor comprensión. Es importante

recordarle al lector que para profundizar el entendimiento de este tema, debe referirse a los

comentarios que aparecen en las propias Normas.

Ahora bien como : mu = K * f'c , la expresión Ld se transforma a:

Siendo :

So = p * d

fs máx = Fy

Esta expresión corresponde al instante

donde se alcanza la falla m ≤ mu

Ld ≥ fs máx * Area barra So*mu

Ld ≥ Fy * Area barra p * d * K * f'c

Finalmente :

Ld ≥ 1 * Fy * Area barra p * d * K f'c



51

CAPÍTULO 12 : LONGITUDES DE DESARROLLO Y EMPALME DE LAS ARMADURAS.

12.1 LONGITUDES DE DESARROLLO DE LAS ARMADURAS - GENERALIDADES. En cualquier sección de un miembro de concreto armado la tracción o compresión en las

armaduras se transferirá a cada lado de dicha sección mediante prolongación del refuerzo o

anclaje, en forma de gancho o dispositivo mecánico, o una combinación de ambos. En las barras

sometidas a tracción el anclaje puede lograrse utilizando ganchos, los cuales no se considerarán

efectivos para transferir la compresión.

12.2 LONGITUDES DE DESARROLLO PARA BARRAS Y ALAMBRES ESTRIADOS

EN TRACCIÓN.

12.2.1 La longitud de desarrollo (Ld) en cm, para barras y alambres estriados sometidos a

tracción, se calculará multiplicando la longitud básica de desarrollo (Ldb) de la sección 12.2.2 por el

factor o los factores de modificación de las secciones 12.2.3 y 12.2.4, pero (Ld) no será menor

que el valor especificado en la sección 12.2.5 .

12.2.2 La longitud básica de desarrollo (Ldb), en cm, será :

a. Para barras Nº 11 ó menores ......................... 0.06*Ab*Fy / √ f'c ≥ 0.006*db*Fy

b. Para barras Nº 14 ........................................... 0.82 * Fy / √ f'c

c. Para barras Nº 18 ........................................... 1.10 * Fy / √ f'c

d. Para alambre estriado .................................... 0.11 * db * Fy / √ f'c

12.2.3 La longitud básica de desarrollo (Ldb), se multiplicará por los siguientes factores

según sean aplicables :

a. Armaduras Superiores.

Para armaduras superiores ........................................... 1.40

(A los efectos de longitud de desarrollo

se define como armadura superior, a la

armadura horizontal que tiene por debajo

30 cm, de concreto o más).

b. Resistencia Cedente.

Para armaduras con Fy mayor de 4200 Kg/cm2 ........ ( 2 - 4200/Fy)



52

c. Concretos con Agregados Livianos.

Cuando se especifica fct y el concreto se

Dosifica de acuerdo con el artículo 4.2 ...................... 1.8*( √ f'c) / fct ≥ 1

Cuando no se especifique fct :

Concreto "Totalmente liviano" .................................... 1.33

Concreto "Liviano con arena" ..................................... 1.18

Cuando se utiliza reemplazo parcial de arena puede

Interpolarse linealmente.

12.2.4 La longitud básica de desarrollo (Ldb) modificada por los factores apropiados de la

sección 12.2.3, puede multiplicarse por los siguientes factores de reducción según sean aplicables:

a. Separación de las Armaduras :

Para las armaduras con separación de centro a centro

igual o mayor de 15 cm ubicadas a 8 cm o más desde

la cara del miembro al borde de la barra, medidos en

la dirección de la separación ...................................... 0.80

b. Exceso de Armaduras :

Para las armaduras en exceso de las que se requieren

por análisis de un miembro sometido a flexión, el

factor es : .................................................................... As (requerido)__ As (proporcionado)

c. Zunchos :

Para las armaduras encerradas por zunchos de diámetro

no menor que nº 2 y con un paso no mayor de 10 cm ..... 0.75

12.2.5 La longitud de desarrollo (Ld) no será menor de 30 cm, excepto en el cálculo de los

empalmes por solape según el artículo 12.14 y del desarrollo de las armaduras transversales

según el artículo 12.12 .

12.3 LONGITUDES DE DESARROLLO PARA BARRAS ESTRIADAS COMPRIMIDAS.

12.3.1 La longitud de desarrollo (Ld), en centímetros, para barras estriadas sometidas a

compresión se calculará multiplicando la longitud básica de desarrollo (Ldb) de la sección 12.3.2

por los factores de modificación de la sección 12.3.3, pero (Ld) no será menor de 20 cm.



53

12.3.2 La longitud básica de desarrollo (Ldb),

cm, será : .................................................. 0.08*db*Fy / (√ f'c) ≥ 0.004*db*Fy

12.3.3 La longitud básica de desarrollo (Ldb) puede multiplicarse por los siguientes

factores según sean aplicables :

a. Exceso de Armaduras.

Para las armaduras en exceso de las que se requieran

por análisis ............................................................. As (requerido)__ As (proporcionado)

b. Zunchos.

Para las armaduras encerradas por zunchos de diámetro

no menor que nº 2 y con un paso no mayor de 10 cm ....... 0.75

12.4 LONGITUDES DE DESARROLLO PARA GRUPOS DE BARRAS.

La longitud de desarrollo (Ld) de las barras individuales de un grupo, sometidas a tracción

o a compresión, será la de la barra individual incrementada en un 20 % para grupos de 3 barras, y

un 33 % para grupos de 4 barras.

12.5 LONGITUDES DE DESARROLLO PARA BARRAS CON GANCHOS ESTÁNDAR

EN TRACCIÓN.

12.5.1 La longitud de desarrollo (Ldh) para barras estriadas sometidas a tracción que

terminan en ganchos estándar, tal como los definidos en el artículo 7.1, se calculará multiplicando

la longitud básica de desarrollo (Lhb) de la sección 12.5.2 por los factores de modificación de la

sección 12.5.3. Sin embargo, Ldh no será menor que 8db ni inferior a 15 cm.

12.5.2 Para barras con esfuerzo cedente Fy de 4200 Kg/cm2 la longitud básica de

desarrollo (Lhb) de una barra con gancho sometida a tracción se definirá por la expresión :

Lhb = 320 * db / w f'c .

12.5.3 Para obtener la longitud de desarrollo (Ldh) se multiplicará la longitud (Lhb)

por los factores indicados a continuación, que sean aplicables :



54

a. Resistencia Cedente.

Barras con Fy diferente de 4200 Kg/cm2 ............................... Fy / 4200

b. Recubrimientos.

Barras nº 11 y menores, con un recubrimiento lateral

medido perpendicularmente al plano del gancho no menor

de 6.0 cm, y ganchos a 90º cuya extensión recta tenga

un recubrimiento no menor de 5 cm ........................................ 0.70

c. Ligaduras o Estribos.

Barras nº 11 y menores, cuando se confinan los ganchos

por medio de estribos cerrados o hélices con separación

no mayor de 3db, donde db es el diámetro de la barra

con gancho ............................................................................. 0.80

d. Exceso de Armaduras.

Cuando hay armaduras en exceso de las que se requieran

por análisis, y no se exige específicamente que el anclaje

o la longitud de desarrollo sea suficiente para que la barra

alcance el esfuerzo cedente Fy, el factor es : ....................... As (requerido)__ As (proporcionado)

e. Concretos con Agregados Livianos.

Para concreto estructural con agregados livianos ................. 1.30

12.5.4 Cuando se requiera anclar las barras mediante ganchos en los extremos

discontínuos de los miembros y los recubrimientos, tanto lateral como superior e inferior, sean

menores de 6 cm, se confinarán los ganchos de estas barras mediante estribos cerrados o hélices

con separación no mayor de de 3db, siendo db el diámetro de la barra confinada. En este caso no

se aplicará el factor de modificación de la sección 12.5.3 (c). Si el análisis indica que el gancho no

es necesario, no se aplicarán las disposiciones de la presente sección. Véase en el comentario la

Figura C-12.5.4 .

12.5.5 Los ganchos no se considerarán efectivos para la longitud de desarrollo de

armaduras comprimidas.



55

12.6 ANCLAJES MECÁNICOS.

12.6.1 Puede utilizarse como anclaje cualquier dispositivo mecánico capaz de desarrollar

las resistencias de las armaduras sin dañar el concreto.

12.6.2 Deberán presentarse a la autoridad competente los resultados de los ensayos que

demuestren la idoneidad de dichos dispositivos mecánicos.

12.6.3 La longitud de desarrollo de las armaduras puede estar constituída por la

combinación de un anclaje mecánico más la longitud adicional comprendida entre la sección crítica

y el anclaje.

12.7 LONGITUDES DE DESARROLLO PARA MALLAS SOLDADAS DE ALAMBRES

ESTRIADOS SOMETIDAS A TRACCIÓN.

12.7.1 La longitud de desarrollo (Ld), en cm, de mallas soldadas de alambres estriados,

medida desde la sección crítica hasta el extremo del alambre, se calculará como el producto de la

longitud básica (Ldb) establecida en la sección 12.7.2 ó 12.7.3 multiplicada por el factor o

factores de modificación aplicables de las secciones 12.2.3 y 12.2.4; pero (Ld) no será menor de

20 cm, excepto cuando se calculen los empalmes por solape según el artículo 12.17 y se calcule

el desarrollo de las armaduras transversales según el artículo 12.12 .

12.7.2 La longitud de desarrollo básica (Ldb), en cm, de las mallas soldadas de alambres

estriados con un alambre transversal como mínimo dentro de la longitud de desarrollo, a no menos

de 5 cm del punto de la sección crítica, será :

Ld = 0.11*db* (Fy - 1400) / (√ f'c) ≥ 0.76*Aw*Fy / (sw * √ f'c)

12.7.3 La longitud de desarrollo básica (Ldb) de las mallas soldadas de alambres

estriados, sin alambres transversales dentro de la longitud de desarrollo, se determinará tal como si

fuesen alambres estriados solos.

12.8 LONGITUDES DE DESARROLLO PARA MALLAS SOLDADAS DE ALAMBRES LISOS SOMETIDAS A TRACCIÓN.

La resistencia cedente para las mallas de alambres lisos se considerará desarrollada



56

mediante una franja que incluya dos alambres transversales, con el más cercano a no menos de

5.0 cm de la sección crítica. Sin embargo, la longitud de desarrollo básica (Ldb) medida desde la

sección crítica al alambre transversal más alejado no será menor que :

Ldb ≥ Aw * Fy / (sw * √ f'c)

Modificada por los siguientes factores :

a. Exceso de Armaduras.

Para las armaduras en exceso de las requeridas

por análisis ............................................................................ As (requerido)___ As (proporcionado)

b. Concreto de Agregados Livianos.

Para concreto estructural con agregados livianos ................ El factor de la secc. 12.2.3

Pero (Ld) no será menor de 15 cm, excepto al calcular los empalmes por solape según el

artículo 12.18 .

12.9 LONGITUDES DE DESARROLLO DE LAS ARMADURAS DE MIEMBROS

SOMETIDAS A FLEXIÓN - GENERALIDADES.

12.9.1 Las armaduras en tracción pueden desarrollarse doblándolas a través del alma a

fín de anclarlas o hacerlas contínuas con las armaduras del lado opuesto del miembro.

12.9.2 En los miembros sometidos a flexión, las secciones críticas para el desarrollo de

las armaduras están situadas en los puntos de esfuerzo máximo y donde se interrumpen o doblan

las armaduras adyacentes dentro del tramo, debiéndose cumplir las disposiciones de la sección

12.10.3 .

12.9.3 Las armaduras se prolongarán más allá de la sección en la cual ya no se requieren

para resistir flexión, una distancia igual a la altura útil del miembro ó 12 db, la que sea mayor

excepto en los extremos simplemente apoyados y en el extremo libre de los voladizos.

12.9.4 Las armaduras que se continúan tendrán una prolongación no menor que la

longitud de desarrollo (Ld), más allá de la sección donde se doblan o interrumpen las armaduras en

tracción que no se requieren más para resistir flexión.



57

12.9.5 Las armaduras de flexión no se interrumpirán en una zona sometida a tracción a

menos que se satisfaga una de las siguientes condiciones :

12.9.5.1 Cuando la fuerza cortante en el punto de interrupción no excede de 2/3 de la

permitida, tomando en cuenta la resistencia al corte de las armaduras del miembro.

12.9.5.2 Cuando a lo largo de cada barra que se interrumpe se coloquen estribos con un

área superior a la que se requiere para corte y torsión, dentro de una distancia desde el extremo

igual a 3/4 de la altura útil del miembro. El exceso del área de estribos no será menor que

4.20*bw*s / Fy, y su separación (s) no excederá de ( d / 8 bb ), donde bb es la relación del área

de las armaduras interrumpidas al área total de las armaduras de tracción en esa sección.

12.9.5.3 Para barras nº 11 y menores, cuando las armaduras que continúan tengan un

área igual al doble de las requeridas por flexión en el punto de interrupción y la fuerza cortante no

exceda las 3/4 partes de la permitida.

12.9.6 Se proveerán anclajes extremos adecuados para las armaduras en tracción en

miembros sometidos a flexión donde los esfuerzos de las armaduras no sean directamente

proporcionales al momento, como ocurre en las zapatas con superficies superiores inclinadas,

escalonadas o de sección variable; ménsulas, vigas pared, o miembros en los cuales las

armaduras en tracción no sean paralelas al borde comprimido.

12.10 LONGITUDES DE DESARROLLO DE LAS ARMADURAS PARA MOMENTOS POSITIVOS.

12.10.1 Al menos una tercera parte de las armaduras para momentos positivo se

prolongará hasta los apoyos si estos son exteriores y una cuarta parte si son interiores. Se

recomienda que tales armaduras penetren dentro del apoyo al menos 15 cm.

12.10.2 Cuando un miembro sometido a flexión sea parte de un sistema primario

resistente a cargas laterales, las armaduras para resistir momentos positivos que deben

prolongarse dentro del apoyo según la sección 12.10.1, se anclarán para desarrollar en tracción

en la cara del apoyo la resistencia cedente especificada Fy.

12.10.3 La armadura en tracción para momentos positivos se prolongará más allá de un

extremo simplemente apoyado o de un punto de inflexión en una distancia (Ld) dada por la fórmula



58

(12 - 1), excepto que dicha condición no necesita cumplirse en apoyo simple cuando las barras se

anclan mediante un gancho estándar o un anclaje mecánico equivalente a un gancho estándar

(Véase la figura C - 12.10.3(a)).

Ld ≤ La + Mn (12-1) Vu

donde :

La : En un apoyo será la prolongación recta de la armadura más allá del centro de apoyo. En un

punto de inflexión La se limitará a la altura útil del miembro ó 12 db, el que sea mayor.

Mn : Es la resistencia nominal a momento, suponiendo que todas las armaduras de la sección

poseen un esfuerzo igual a la resistencia cedente especificada Fy.

Vu : Es la fuerza cortante mayorada en la sección.

El valor de Mn/Vu puede aumentarse un 30 % cuando los extremos de las armaduras

están en un apoyo comprimido.

12.11 LONGITUDES DE DESARROLLO DE LAS ARMADURAS PARA MOMENTOS

NEGATIVOS.

12.11.1 Las armaduras destinadas a resistir momentos negativos de los miembros se

anclarán en o a través de los miembros que les sirven de apoyo mediante prolongación, ganchos o

anclajes mecánicos.

12.11.2 Las armaduras que resisten momentos negativos se prolongarán dentro del tramo

como se requiere en el artículo 12.1 y la sección 12.9.3 .

12.11.3 Al menos un tercio del total de las armaduras en tracción colocadas para resistir

momentos negativos en un apoyo se prolongará más allá del punto de inflexión una distancia no

menor que la altura útil del miembro, 12 db o L/16 de la luz libre, la que sea mayor.

12.12 LONGITUDES DE DESARROLLO DE LAS ARMADURAS TRANSVERSALES EN VIGAS.



59

12.12.1 Las armaduras transversales de las vigas se colocarán tan cerca de las

superficies comprimidas o traccionadas del miembro, como lo permitan los requisitos de

recubrimiento y la proximidad de otras armaduras.

12.12.2 Los extremos de los estribos de una sola rama, o los que tienen forma de U

simple, o de U múltiple, se anclarán según una de las siguientes formas :

12.12.2.1 Mediante un gancho estándar más una prolongación de 0.50 Ld. La parte de

una rama del estribo correspondiente a 0.50 Ld se tomará como la distancia entre la mitad de la

altura útil del miembro, d/2, y el punto donde comienza el gancho (Punto de tangencia).

12.12.2.2 mediante una prolongación de d/2 por encima o por debajo de la mitad de la

altura, en la zona comprimida del miembro para una longitud de desarrollo total (Ld), pero no

menor de 24 db , o en el caso de barras o alambres corrugados, no menor de 30 cm.

12.12.2.3 Para barras Nº 5 o alambres de 16 mm y menores, se podrá anclar con un

doblez alrededor de las armaduras longitudinales de al menos 135 grados, más una prolongación

de 0.33 Ld para estribos con esfuerzos de diseño que excedan 2800 Kg/cm2 .

La prolongación de 0.33 Ld de una rama de estribo, se tomará como la distancia entre la

mitad de la altura útil del miembro, d/2 , y el punto donde comienza el gancho (Punto de

tangencia).

12.12.2.4 Para cada rama de una malla soldada de alambres lisos, que forma estribos en

U simple, se podrá anclar ya sea por :

a. Dos alambres longitudinales en la parte superior de la U , separados a 5 cm.

b. Un alambre longitudinal ubicado a no más de d/4 de la cara comprimida, y un segundo

alambre más cerca de la cara comprimida y separado no menos de 5 cm del primero.

El segundo alambre puede ubicarse en la rama del estribo más allá del doblez, o en un

doblez cuyo diámetro interno no sea menor que 8 db.

12.12.2.5 para los estribos de una rama constituídos por una malla soldada de alambre

liso o estriado, cada extremo se anclará de la siguiente manera :

a. Mediante dos alambres longitudinales con una separación mínima de 5 cm.

b. Con el alambre interno a una distancia de la línea media de la viga (d/2) de por lo

menos d/4 ó 5 cm, la que fuese mayor.



60

c. El alambre longitudinal externo en el borde traccionado tendrá un recubrimiento igual

que la armadura de flexión primaria más próxima a dicho borde.

12.12.3 Entre extremos anclados, cada doblez en la parte contínua de un estribo en U

simple o múltiple encerrará una barra longitudinal.

12.12.4 Si las barras longitudinales que se doblan para resistir cortes se prolongan en una

zona de tracción, serán contínuas con las armaduras longitudinales. Si se prolongan en una zona

de compresión, se anclarán más allá de la mitad de la altura útil (d/2), según la longitud de

desarrollo que se obtiene del artículo 12.2 para aquella parte de Fy que debe satisfacer la fórmula

(11-14).

12.12.5 Los pares de estribos en U colocados para formar un estribo cerrado se

considerarán empalmados correctamente cuando las longitudes de solape sean 1.70 Ld. En los

miembros que tengan por lo menos 45 cm de altura, tales empalmes pueden considerarse

adecuados cuando Ab*Fy no sea mayor de 4000 Kgf por rama y las ramas de estribos se

prolonguen en toda la altura disponible del miembro.

12.13 EMPALMES DE LAS ARMADURAS - GENERALIDADES.

12.13.1 Los empalmes de las armaduras se harán únicamente como lo requieren los

planos estructurales, las especificaciones, o como lo autorice el Ingeniero Responsable.

12.13.2 Empalmes por solape.

12.13.2.1 Para las barras mayores de la Nº 11 no se usarán empalmes por solape con

excepción de lo establecido en las secciones 12.15.2 y 15.8.2.4 .

12.13.2.2 Los empalmes por solape de barras de un grupo se basarán en las longitudes

de solape que se requieren para las barras individuales, incrementándolas en un 20 % para los

grupos de 3 barras y un 33 % para los grupos de 4 barras. En ninguna sección de un grupo de

barras podrá haber más de un empalme por solape de barras individuales.

12.13.2.3 En miembros sometidos a flexión las barras empalmadas por solape que no

estén en contacto, no se separarán transversalmente más de un quinto de la longitud requerida

para los solapes, ni más de 15 cm.



61

12.13.3 Empalmes Soldados y Conexiones Mecánicas.

12.13.3.1 Para empalmar las armaduras se autoriza la soldadura y conexiones

mecánicas.

12.13.3.2 Excepto lo establecido en estas normas, todas las soldaduras cumplirán con las

normas AWS D 1.4, "Structural Welding Code-Reinforcing Steel" , de la Sociedad Americana de

Soldadura.

12.13.3.3 Un empalme total soldado es aquel que tiene soldadas las barras a tope y es

capaz de desarrollar un esfuerzo de tracción de por lo menos 125 % de la resistencia cedente

especificada Fy de la barra.

12.13.3.4 Una conexión total mecánica desarrollará en tracción y en compresión, según

se requiera, por lo menos un 125 % de la resistencia cedente especificada Fy de la barra.

12.13.3.5 Los empalmes soldados y las conexiones mecánicas que no cumplan con los

requisitos de la sección 12.13.3.3 ó 12.13.3.4 pueden utilizarse de acuerdo con la sección

12.14.4.

12.14 EMPALMES DE BARRAS Y ALAMBRES ESTRIADOS SOMETIDOS A

TRACCIÓN .

12.14.1 La longitud mínima de solape para barras y alambres corrugados sometidos a

tracción será la que se requiere para los empalmes Clases A, B o C, definidos en la tabla 12.14,

pero no menor de 30 cm, donde :

Empalme Clase A ............................................................. 1.00 Ld

Empalme Clase B ............................................................. 1.30 Ld

Empalme Clase C ............................................................. 1.70 Ld

Siendo Ld la longitud de desarrollo en tracción para la resistencia cedente especificada Fy

de acuerdo con el artículo 12.2 .

12.14.2 Los empalmes por solape de barras y alambres estriados en tracción se

clasificarán según la tabla 12.14 .



62

Tabla 12.14

Tipos de Empalmes por Solape Sometidos a Tracción

As (proporcionado) (*) As (requerido)

Porcentaje de (As) empalmado dentro de la Longitud de Solape requerida

50 % 75 % 100%

Igual o Mayor de 2 CLASE A CLASE A CLASE B

Menor de 2 CLASE B CLASE C CLASE C

(*) Relación del área de las armaduras proporcionadas en el empalme respecto al área

de las armaduras requeridas por análisis.

12.14.3 Los empalmes soldados o las conexiones mecánicas utilizadas donde el área de

las armaduras colocadas sea menor del doble de lo que se requiere por análisis, cumplirán los

requisitos de la subsección 12.13.3.3 ó 12.13.3.4 .

12.14.4 Los empalmes soldados o las conexiones mecánicas utilizadas donde el área de

las armaduras colocadas sea por lo menos el doble de lo que se requiere por análisis, cumplirán

los siguientes requisitos :

12.14.4.1 Los empalmes se escalonarán al menos cada 60 cm, de tal manera que

desarrollen como mínimo en cada sección, el doble de la fuerza de tracción calculada para dicha

sección, pero con un esfuerzo no menor de 1400 Kgf/cm2 para el área total de las armaduras

colocadas.

12.14.4.2 En las armaduras empalmadas la fuerza de tracción que se desarrolla en cada

sección se puede evaluar en base a la resistencia especificada del empalme. En las armaduras no

empalmadas la fuerza de tracción se evaluará con aquella fracción de Fy definida por la relación

entre la Longitud de Desarrollo real más corta de cada barra y el valor de Ld que se requiere para

desarrollar la resistencia cedente especificada Fy.

12.14.5 Los empalmes de las barras de un tensor, serán empalmes totales realizados

mediante soldaduras o conexiones mecánicas, según la subsección 12.13.3.3 ó 12.13.3.4 , y

estos empalmes, para barras adyacentes, se escalonarán a una distancia de 75 cm como mínimo.



63

12.15 EMPALMES DE BARRAS SOMETIDAS A COMPRESIÓN.

12.15.1 la longitud mínima para los empalmes por solape sometidos a compresión, será la

longitud de desarrollo a compresión calculada de acuerdo con el artículo 12.3 , pero no menor que:

a. 0.007 Fy db , para Fy > 4200 Kgf/cm2 .

b. (0.013 Fy - 24) db , para Fy .

Para f'c menor de 210 Kgf/cm2 la longitud de solape se incrementará en 1/3 .

12.15.2 Cuando las barras que se solapan están en compresión y ellas son de diferente

diámetro, la longitud del solape se calculará considerando la longitud mayor entre :

a. La longitud de empalme por solape en compresión de la barra de menor diámetro.

b. La longitud de desarrollo en compresión de la barra de mayor diámetro.

Se prohibe el empalme por solape de barras Nº 14 y Nº 18; sin embargo, se permite

empalmes por solape en compresión, solamente, de las barras Nº 14 y Nº 18 con barras Nº 11 o

menores.

12.15.3 En miembros comprimidos armados con ligaduras donde estas tengan un área

efectiva no menor que 0.0015 hs en toda la longitud de solape, la longitud del empalme puede

multiplicarse por 0.85 pero no será menor de 30 cm. Para la determinación del área efectiva se

utilizarán las ramas de las ligaduras perpendiculares a la dimensión h .

12.15.4 En miembros comprimidos zunchados, la longitud de los empalmes por solape

de las barras dentro de los zunchos puede multiplicarse por 0.75 , pero la longitud de solape no

será menor de 30 cm.

12.15.5 Los empalmes soldados y las conexiones mecánicas cumplirán con los requisitos

de la subsección 12.13.3.3 ó 12.13.3.4 .

12.15.6 Empalmes a tope.

12.15.6.1 En barras que se requieren para resistir solamente compresión, el esfuerzo de

compresión puede transmitirse por contacto de los extremos cortados perpendicularmente y

alineados concéntricamente mediante un dispositivo adecuado.

12.15.6.2 Los extremos de las barras se terminarán como superficies planas y

perpendiculares a sus ejes dentro de una tolerancia de 1.5 grados, y se dispondrán dentro de una



64

tolerancia de 3 grados respecto al plano de contacto después de ensamblarse.

12.15.6.3 Los empalmes por contacto de los extremos se utilizarán únicamente en

miembros armados con ligaduras y estribos cerrados o hélices.

12.16 REQUISITOS ESPECIALES PARA LOS EMPALMES EN COLUMNAS.

12.16.1 Donde los esfuerzos en las barras longitudinales de una columna, calculados

para diversas combinaciones de cargas mayoradas, varían desde el valor de Fy en compresión

hasta la mitad de Fy en tracción o menos, pueden utilizarse los siguientes tipos de empalme :

Solapes, soldaduras a tope, conexiones mecánicas, o uniones por contacto de los extremos. La

resistencia total a tracción suministrada en cada cara de la columna mediante empalmes

exclusivamente, o por empalmes en combinación con barras contínuas sometidas a esfuerzo

cedente especificado Fy, será al menos dos veces la tracción calculada para la cara

correspondiente, pero no menor que la resistencia requerida por la sección 12.16.3 .

12.6.2 Donde los esfuerzos en las barras longitudinales de una columna calculados para

cualquier combinación de cargas mayoradas, sean superiores a 0.5 Fy en tracción, solamente se

utilizarán empalmes por solape diseñados para desarrollar la resistencia cedente especificada Fy

en tracción, o empalmes totales, ya sea soldados o por conexiones mecánicas, de acuerdo con la

sección 12.13.3.3 ó 12.13.3.4 .

12.6.3 En las secciones transversales de las columnas donde haya empalmes, se

proporcionará en cada cara de la columna una resistencia mínima a tracción igual al producto de

1/4 del área de las armaduras verticales en esa cara por Fy .

12.17 EMPALMES DE LAS MALLAS SOLDADAS DE ALAMBRES ESTRIADOS SOMETIDAS A TRACCIÓN.

12.17.1 La longitud mínima de los empalmes por solape de las mallas soldadas de

alambres estriados sometidos a tracción, medida entre los extremos de cada malla, no será menor

de 1.70 Ld ni 20 cm, y la separación entre los alambres transversales más alejados de la parte

superpuesta de las mallas no será inferior a 5 cm. En lo anterior Ld será la longitud de desarrollo

correspondiente a la resistencia cedente especificada Fy, según el artículo 12.7 .



65

12.17.2 Los empalmes de las mallas soldadas de alambres estriados que no contengan

ningún alambre transversal, se determinarán como se hace con los alambres estriados.

12.18 EMPLAMES DE LAS MALLAS SOLDADAS DE ALAMBRES LISOS SOMETIDAS

A TRACCIÓN.

La longitud mínima de los empalmes por solape de las mallas soldadas de alambres lisos

satisfará los siguientes requisitos :

12.18.1 Cuando el área de armadura provistas en el lugar del empalme sea menor que el

doble de la requerida por el análisis estructural, la longitud del solape, medida entre los alambres

transversales más alejados de cada malla, no será menor que la separación típica de estos, más 5

cm, ni inferior a 1.50 Ld ni 15 cm. En lo anterior Ld será la longitud de desarrollo correspondiente

a la resistencia cedente especificada Fy, según el artículo 12.8 .

12.18.2 Cuando el área de las armaduras suministrada en el lugar del empalme sea al

menos el doble de la requerida por el análisis estructural, la longitud del solape, medida entre los

alambres transversales más alejados de cada malla, no será menor de 1.50 Ld ni 10 cm, donde

Ld será la longitud de desarrollo para la resistencia cedente especificada Fy, según el artículo 12.8.

A continuación se ilustrarán algunos de los artículos citados, para su mejor comprensión :

Secc. 12.5 Longitud de desarrollo (Ldh) para barras con ganchos estándar en tracción :

12 Øb

Øb

MANDRIL 16 Øb LONGITUD RECTA DEL GANCHO

DETALLE DEL GANCHO ESTÁNDAR

≥ Ldh Recubrimiento

Ldh = Lhb * Fact. Modif.

Lhb = 320*Øb / √ f'c



66

Secc. 12.10 Longitud de desarrollo (Ld) de armaduras para momentos positivos (As +) :

Secc. 12.11 Longitud de desarrollo (Ld) de armaduras para momentos negativos (As -) :

1.3 Mn/Vu

Máx Ld

Nota : El factor 1.3, es aplicable solo si la reacción comprime el concreto que rodea los extremos de la armadura.

CRITERIO PARA DETERMINAR EL DIÁMETRO (ó Ld) MÁX., DE BARRA EN

UN EXTREMO SIMPLE APOYADO.

15 cms.

P.I.

La Mn/Vu

Máx Ld

Prolongación a partir de P.I.

CONCEPTO PARA DETERMINAR EL DIÁMETRO MÁX., DE BARRA EN EL PTO. DE

INFLEXIÓN (P.I.)

≥ Ldh

Secc. Crítica

ANCLAJE EN COLUMNA EXTERIOR ANCLAJE EN VIGA ADYACENTE

P.I.

d 12Øb L/16

Ld

Usualmente el anclaje, forma parte de la armadura de la viga adyacente.

Prolongación de al menos (1/3) de (As -)



67

Secc. 12.9 (Ld) de las armaduras de miembros sometidos a Flexión - Generalidades :

(Al menos 1/3 de As -)

d 12Øb L/16

Prolongación As -

Prolongación As + d 12Øb

Prolongación As + (En apoyo)

1/4 As + (En apoyos externos)

1/3 As + (En apoyos internos)

Hasta este pto. Trabaja " B "

En este tramo Trabaja solo " A "

P.I. M (Kg*m)

M -

As -

M +

P.I.

"C" "D"

"B" "A"

As +

Ld "C"

Prolongación As -

Ld "D" Prolongación As -

Hasta este pto. Trabaja " D "

En este tramo Trabaja solo " C "

Al menos 15 cms.

Prolongación As + (En apoyo)

Ld "B"

Prolongación As +

(Ld) DE LAS ARMADURAS EN FLEXIÓN



68

2.6.- APLICACIÓN DE LA NORMATIVA PARA EL CÁLCULO DE LA LONGITUD DE DESARROLLO EN ELEMENTOS DE CONCRETO ARMADO. A continuación se procederá a determinar la longitud de los refuerzos de los ejemplos de

losas diseñadas, aplicando la normativa referente al capítulo de ADHERENCIA Y ANCLAJE.

Ejemplo 1 : Losa Maciza L - E (h = 0.17)

Para determinar la longitud del refuerzo que resiste la flexión, es necesario conocer la

ubicación de los puntos de inflexión (Del diagrama de momento flector). En tal sentido se hará un

análisis pormenorizado para cada apoyo (As -), y después para los tramos (As +).

A continuación se reproduce el diagrama de momento flector que está determinado en el

ejemplo del Tema Nº 1 referente al ANÁLISIS Y DISEÑO DE LOSAS MACIZAS Y NERVADAS.

4.00 4.00 4.00

1 2 3 4

L - E

MACIZA

h = 0.17

DESPIECE DE LOSA :

0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15

Ø 3/8" c/.20 Ø 3/8" c/.20 Ø 3/8" c/.20 Ø 3/8" c/.20

Ø 3/8" c/.20




69

Diagrama de Momento Flector de la Losa Maciza L - E (h = 0.17) :

DISEÑO DEL REFUERZO SUPERIOR (As -) ó DE LOS APOYOS :

Apoyos 1 = 4 :

qu = 1095 (Kg/m)

4.00 4.00 4.00

1 2 3 4

L - E

MACIZA

0 0 1752 1752

Mu (Kg*m) + + +

- -

0.80 1.11

1752 1752

1401.60 438

1401.60 1.11 0.80


Lhb = 320*Øb / √ f'c

Lhb = 320*(0.95) / √ 210

Lhb = 20.98 cm.

≥ Ldh 0.025

1

L/4

16Øb

0.15 0.15

0.275

Ø 3/8"

Si la longitud básica de desarrollo (Lhb), es menor que el ancho disponible (0.275), NO es necesario aplicar ningún factor de modificación, o lo que es igual Fact. Modif. = 1 . Luego : Ldh = 20.98 * 1 = 20.98 cm. Por lo tanto : 0.275 ≥ Ldh = 20.98 cm.



70

Apoyos 2 = 3 :

Long. recta del gancho :

16Øb = 16*0.95 = 15.20 cm = 0.15 m.

Long. total de la barra :

(4/4) + (0.15-0.025) + (0.15) = 1.275 m

L tot. = 1.30 m .

16Øb = 0.15

Ø 3/8" x 1.30 c/.20

2

Mu (Kg*m)

+ +

-

1752

0.80 1.11

d = 14 cm .

12Øb = 12*(0.95) = 11.40 cm .

L/16 = 4/16 = 25 cm . (El mayor)

Prolongación 25 cm Prolongación

1.05 1.36

0.15 0.15 1.21 0.90

≥ Ld ≥ Ld

LOSA

VIGA

Ld = Ldb * Fact. Modif. Ldb = 0.06*Ab*Fy / √ f'c ≥ 0.006*Øb*Fy Ldb = 12.34 cm ≥ 23.94 cm (El mayor) Fact. Modif.= 1.40 (Para As - ) Ld = 23.94 * 1.40 = 33.52 cm. Ld = 33.52 cm (Chequeado el anclaje)

Ya que : 0.90 ≥ Ld (33.52 cm)

Y : 1.21 ≥ Ld (33.52 cm)

Ø 3/8" x 2.45 c/.20


(0.80) + (1.11) + (2*0.25)

= 2.41 m

L tot. = 2.45 m .



71

DISEÑO DEL REFUERZO INFERIOR (As +) ó DE LOS TRAMOS : Para determinar la longitud del refuerzo para resistir los momentos positivos, se aplica lo

concerniente al capítulo 12.10 LONGITUDES DE DESARROLLO DE LAS ARMADURAS PARA

MOMENTOS POSITIVOS.


prolongará hasta los apoyos si estos son exteriores y una cuarta parte si son interiores. " Se

recomienda que tales armaduras penetren dentro del apoyo al menos 15 cm ".

Es decir :

2

Mu (Kg*m)

+ +

-

1752

0.80 1.11

LOSA

VIGA

As +

Prolongación d ó

12Øb Prolongación d ó

12Øb

As +



72

Al prolongar las barras (As +) 15 cms, dentro de los apoyos, tenemos que las barras se

tocan a tope. En la práctica se estila colocar una sola barra ininterrumpida (corrida) para evitar las

conexiones a tope, así como el desperdicio de barras.

En definitiva la longitud total de la barra para resistir momentos positivos (As +) será :

4.00 (Tramo 1 - 2) + 4.00 (Tramo 2 - 3) + 4.00 (Tramo 3 - 4) = 12.00 m

Nota : Las medidas comerciales de las barras de refuerzo es hasta los 12.00 mts., de

longitud, por lo tanto, si la longitud total del refuerzo supera los 12.00 m., es necesario empalmar

por solape.

Chequeo del Anclaje de Barras para resistir momentos positivos (As +) :

Ld ≤ La + Mn Donde : La = 15 cms. (prolongación dentro del apoyo). Vu Vu = 2628 Kg (El mayor valor del diagrama de corte).

Sin embargo las armaduras para resistir momentos positivos (As +) se prolongarán hasta los

apoyos, y penetrarán al menos 15 cms., dentro del apoyo. Por lo tanto :

Prolongación dentro del apoyo

LOSA

As +

0.15 0.15

2

VIGA

As +

0.15 0.15


Ø 3/8"

APOYO INTERNO 1

0.15 0.15


0.15

APOYO EXTERNO

Ø 3/8"



73

Si : Ld = 30 cm. (Para Ø 3/8")

Mn = As*Fy*(d - a/2) As = 3.55 cm2 (Ø 3/8" c/.20) As +

Fy = 4200 Kg/cm2

d = 14 cm.

a = As*Fy___ b = 100 cm. (Losa Maciza) 0.85*f'c*b f'c = 210 Kg/cm2

a = 3.55 cm2 * 4200 Kg/cm2___ = 0.84 cm 0.85 * 210 Kg/cm2 * 100 cm

Mn = 3.55 cm2 * 4200 Kg/cm2 * (14 - 0.84/2) cm . Mn =2024.78 Kg*m

Ld ≤ 2024.78 Kg*m + 0.15 m . Ld (0.30m) ≤ 0.92 m. CHEQUEA EL ANCLAJE 2628 Kg DE (As +)

El despiece de la losa con la respectiva longitud de los refuerzos, se presenta a

continuación :

4.00 4.00 4.00

1 2 3 4

L - E

MACIZA

h = 0.17

DESPIECE DEFINITIVO DE LOSA :

0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15

Ø 3/8" x 1.30 c/.20 Ø 3/8" x 2.45 c/.20

1.36

Ø 3/8" x 12.00 c/.20


0.15

Ø 3/8" x 1.30 c/.20

0.15

Ø 3/8" x 2.45 c/.20

1.36



74

Ejemplo 2 : Losa Nervada L - E (h = 0.25)

Al igual que el ejemplo anterior, se hará un análisis para cada apoyo (As -), y después para

los tramos (As +).

A continuación se reproduce el diagrama de momento flector que está determinado en el

ejemplo del Tema Nº 1 referente al ANÁLISIS Y DISEÑO DE LOSAS MACIZAS Y NERVADAS.

Diagrama de Momento Flector de la Losa Nervada L - E (h = 0.25) :

qu = 576 (Kg/m)

4.00 4.00 4.00

1 2 3 4

L - E

NERVADA

0 0 921.60 921.60

Mu (Kg*m) + + +

- -

0.80 1.11

921.60 921.60

737.28 230.40

737.28 1.11 0.80

DESPIECE DE LOSA :

4.00 4.00 4.00

1 2 3 4

L - E

NERVADA

h = 0.25 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15

1 Ø 3/8" 1 Ø 1/2" 1 Ø 1/2"

1 Ø 3/8"

0.25 0.25 0.25 0.250.25 0.25 MACIZADOS

1 Ø 3/8"

1 Ø 1/2" 1 Ø 1/2"



75

DISEÑO DEL REFUERZO SUPERIOR (As -) ó DE LOS APOYOS :

Apoyos 1 = 4 :


Lhb = 320*Øb / √ f'c

Lhb = 320*(0.95) / √ 210

Lhb = 20.98 cm.

≥ Ldh 0.025

1

L/4

16Øb

0.15 0.15

0.275

1 Ø 3/8"

Si la longitud básica de desarrollo (Lhb), es menor que el ancho disponible (0.275), NO es necesario aplicar ningún factor de modificación, o lo que es igual Fact. Modif. = 1 . Luego : Ldh = 20.98 * 1 = 20.98 cm. Por lo tanto : 0.275 ≥ Ldh = 20.98 cm.

Long. recta del gancho :

16Øb = 16*0.95 = 15.20 cm = 0.15 m.


(4/4) + (0.15-0.025) + (0.15) = 1.275 m

L tot. = 1.30 m .

16Øb = 0.15

1 Ø 3/8" x 1.30



76

Apoyos 2 = 3 :

DISEÑO DEL REFUERZO INFERIOR (As +) ó DE LOS TRAMOS : Para determinar la longitud del refuerzo para resistir los momentos positivos, se aplica lo

concerniente al capítulo 12.10 LONGITUDES DE DESARROLLO DE LAS ARMADURAS PARA

MOMENTOS POSITIVOS.

2

Mu (Kg*m)

+ +

-

921.6

0.80 1.11

d = 22 cm .

12Øb = 12*(1.27) = 15.24 cm .

L/16 = 4/16 = 25 cm . (El mayor)

Prolongación 25 cm Prolongación

1.05 1.36

0.15 0.15 1.21 0.90

≥ Ld ≥ Ld

LOSA

VIGA

Ld = Ldb * Fact. Modif. Ldb = 0.06*Ab*Fy / √ f'c ≥ 0.006*Øb*Fy Ldb = 22.08 cm ≥ 32.00 cm (El mayor) Fact. Modif.= 1.40 (Para As - ) Ld = 32.00 * 1.40 = 44.80 cm. Ld = 44.80 cm (Chequeado el anclaje)

Ya que : 0.90 ≥ Ld (44.80 cm)

Y : 1.21 ≥ Ld (44.80 cm)

1 Ø 1/2" x 2.45


(0.80) + (1.11) + (2*.025)

= 2.41 m

L tot. = 2.45 m .



77


prolongará hasta los apoyos si estos son exteriores y una cuarta parte si son interiores. " Se

recomienda que tales armaduras penetren dentro del apoyo al menos 15 cm ".

Es decir :

2

Mu (Kg*m)

+ +

-

921.6

0.80 1.11

LOSA

VIGA

As + (1 Ø 3/8")

Prolongación d ó

12Øb Prolongación d ó

12Øb

As + (1 Ø 1/2")

Sin embargo las armaduras para resistir momentos positivos (As +) se prolongarán hasta los

apoyos, y penetrarán al menos 15 cms., dentro del apoyo. Por lo tanto :



78

Al prolongar las barras (As +) 15 cms, dentro de los apoyos, tenemos que las barras se

tocan a tope. Si las barras fueran del mismo diámetro, se coloca una sola barra ininterrumpida

(corrida) para evitar las conexiones a tope. Sin embargo como se tienen barras de distinto diámetro

( 1 Ø 1/2" en el tramo 1 - 2) , ( 1 Ø 3/8" en el tramo 2 - 3) y ( 1 Ø 1/2" en el tramo 3 - 4) ; estas

se colocarán "tocándose" a tope.

No obstante, es común (y preferible desde el punto de vista del rendimiento en obra)

encontrar una solución práctica que consiste en colocar una sola barra (De 1/2" ) que abarque los

tres (3) tramos, es decir 1 Ø 1/2" x 12.00 m

En definitiva la longitud total de la barra para resistir momentos positivos (As +) será :

1 Ø 1/2" x 4.00 (Tramo 1 - 2) ; 1 Ø 3/8" x 4.00 (Tramo 2 - 3) ; 1 Ø 1/2" x 4.00 (Tramo 3 - 4)

Chequeo del Anclaje de Barras para resistir momentos positivos (As +) :

Ld ≤ La + Mn Donde : La = 15 cms. (prolongación dentro del apoyo).

Vu Vu = 1382.40 Kg (El mayor valor del diagrama de corte).


LOSA

As +

0.15 0.15

2

VIGA

As +

0.15 0.15


1 Ø 3/8"

APOYO INTERNO 1

0.15 0.15


0.15

APOYO EXTERNO

1 Ø 1/2" 1 Ø 1/2"



79

Si : Ld = 32 cm. (Para Ø 1/2")

Mn = As*Fy*(d - a/2) As = 1.27 cm2 (1 Ø 1/2" ) As + (Tramos externos)

Fy = 4200 Kg/cm2

d = 22 cm.

a = As*Fy___ b = 10 cm. (Losa Nervada) 0.85*f'c*b f'c = 210 Kg/cm2

a = 1.27 cm2 * 4200 Kg/cm2___ = 2.99 cm 0.85 * 210 Kg/cm2 * 10 cm

Mn = 1.27 cm2 * 4200 Kg/cm2 * (22 - 2.99/2) cm . Mn =1093.78 Kg*m

Ld ≤ 1093.78 Kg*m + 0.15 m . Ld (0.32m) ≤ 0.94 m. CHEQUEA EL ANCLAJE 1382.40 Kg DE (As +)

El anclaje se verificó para la barra de mayor diámetro, ya que esta es la condición más

desfavorable.

El despiece de la losa con la respectiva longitud de los refuerzos, se presenta a

continuación :

DESPIECE DE LOSA : 4.00 4.00 4.00

1 2 3 4

L - E

NERVADA

h = 0.25 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15

1 Ø 3/8" x 1.30 1 Ø 1/2" x 2.45

1 Ø 3/8" x 4.00

0.25 0.25 0.25 0.250.25 0.25MACIZADOS

1 Ø 1/2" x 4.00 1 Ø 1/2" x 4.00

0.15

1 Ø 3/8" x 1.30

0.15

1 Ø 1/2" x 2.45

1.36 1.36



80

CAPÍTULO Nº 3 .: "ANÁLISIS Y DISEÑO DE VIGAS"

Las Vigas son elementos estructurales que dependiendo del uso de la edificación (con o

sin riesgo), deben ser diseñadas para resistir tanto las cargas gravitacionales, como las

accidentales (sismos, vientos, empujes laterales,....). En tal sentido las vigas se diseñarán para

soportar las siguientes combinaciones de cargas :

U = 1.4 CM + 1.7 CV

U = 0.75*(1.4CM + 1.7CV) +/- S Donde :

U = 0.90*(CM + CV) +/- S CM: Carga permanente.

CV: Carga variable.

S : Sismo.

3.1.- CONDICIONES GEOMÉTRICAS : (Capítulo 18.2.1 (ND3) Normas 1753).

En ND2 no se especifican dimensiones.

b

h Secc. Transv. 1.- b/h ≥ 0.30

2.- bmín = 25 cm.

bmáx = bcol + 2*(0.75hviga) .

bcol 0.75hviga 0.75hviga

bmáx

3.- e ≤ 0.25 bcol

bcol

Eje Columna

Eje Viga

e



81

3.2.- ARMADURA LONGITUDINAL : (Capítulo 18.2.2 (ND3) Normas 1753).

1.- Cuantías de Armadura : (14/Fy ≤ r ≤ 0.025)

Si : As = r*b*d. Entonces : Asmín = (14/Fy)*b*d

Asmáx = 0.025*b*d

2.- En c/esquina de una sección transversal de la viga, debe colocarse al menos

una cabilla igual o mayor a la Nº 4.

Ej:

3.3.- DISPOSICIÓN DE LA ARMADURA LONGITUDINAL : (Capítulo 18.8.2.2 Normas 1753).

3.4.- ARMADURA TRANSVERSAL :

En los elementos sometidos a flexión, la armadura transversal debe ser capaz de resistir la

fuerza cortante en los apoyos, arriostrar la armadura longitudinal y confinar el concreto en aquellas

zonas donde se considere posible la formación de rótulas plásticas. (Cap. 18.2.3.1).

Zonas Confinadas (Cap. 18.8.2.3.1) : La armadura transversal deberá confinar, por medio

de estribos cerrados, la porción comprendida entre la cara del apoyo y una distancia igual a 2hviga

en ambos extremos de la viga.

Separación máxima de estribos (Cap. 18.8.2.3.2) : Se dispondrán estribos cerrados a lo

largo del eje longitudinal de las vigas, y su separación NO excederá el valor d/2. En zonas confinadas la separación de estribos no debe exceder el menor de los siguientes valores :

a.- d/4 .

b.- 8 veces el diámetro de la menor barra longitudinal arriostrada.

c.- 24 veces el diámetro del estribo.

d.- 30 cm.

Ø ≥ 1/2"

Ø ≥ 1/2" b

d d = hviga - 5.0 cms.



82

Ej.:

3.5.- ANCLAJES DE BARRAS : Longitud de anclaje de barras con gancho estándar (Lah) : (Cap. 18.4.4). En concretos

normales y cuando se trate de barras nº 3 a nº 11, la longitud de anclaje (Lah) para una barra con

gancho estándar de 90º a tracción, será por lo menos igual a 8Øb , 15 cm o la longitud requerida

por la fórmula :

Lah = 0.06 Øb * Fy * (√ f'c).

Longitud de anclaje de barras rectas (Las) : (Cap. 18.4.4.2). Para barras sin

ganchos cuyos diámetros no excedan al de la barra nº 11, la longitud de anclaje (Las), deberá ser

por lo menos igual a 2.5 veces la longitud exigida (Lah) para As(+) , y 3.5 veces (Lah) para As(-) .

Las ≥ 2.5 Lah (Para barras inferiores As(+) ).

Las ≥ 3.5 Lah (Para barras superiores As(-) ).

La longitud de anclaje (Las) deberá estar contenida en el núcleo confinado de una columna

o en un miembro de borde de un muro. Cualquier porción de (Las) NO contenida en un núcleo

confinado deberá incrementarse en un 60% .

VIGA

2hviga 2hviga

ZONA CONFINADA

COLUMNA COLUMNA

hviga

As Inf.

As Sup.

El gancho de 90º deberá estar situado dentro del núcleo confinado de una columna o de un miembro de borde. La longitud recta del gancho medirá al menos 16 veces el diámetro de la barra.

COLUMNA

>= Lah

16*Øb



83

3.6.- CARGAS QUE ACTÚAN SOBRE LAS VIGAS :

Las fuerzas a considerar para el diseño de vigas, son básicamente :

A.- Cargas debido a peso propio de la viga. B.- Cargas transmitidas por las losas. C.- Cargas transmitidas por tabiquería. D.- Cargas debidas a empujes laterales (Sismos, vientos, y cualquier otra).

Las cargas por empujes laterales (D) se verán en materias como Fundaciones y muros,

Sismos, Proyectos estructurales.

A.- Cargas debido a peso propio de la viga (Kg/m) : Se determinan según el área de la

sección transversal de la viga y el peso específico del concreto armado.

B.- Cargas transmitidas por las losas (Kg/m) : Son las reacciones (Obtenidas del

diagrama de esfuerzo cortante de losa(s) ) que actúan directamente sobre la viga a analizar.

b

h Secc. Transv.

A.- Wpp = d concreto * b * h (d concreto = 2500 Kg/m3)

I III II

W Losa (Kg/m)

R IIIR IIR I

Viga I Viga II Viga III

V (Kg) v III

v I

v II (izq)

v II (der)

+

- -

+ DIAGRAMA DE CORTE DE LOSA

R I = v I

R II = v II (izq) + v II (der)

R III = v III

En Losas macizas : W Losa = Ri

En Losas nervadas : W Losa = 2*Ri

B.- W L osa (Kg/m)



84

C.- Cargas transmitidas por tabiquería : Se determinan según el peso específico de los

tabiques y su altura respectiva.

En definitiva la carga total vertical sobre las vigas será : W viga = Wpp + W Losa + W tab.

3.6.1.- Ejemplo de Diseño de Viga (SIN CARGA SÍSMICA) : Diseñar la viga V-2 que sirve de apoyo a la losa nervada (L-E) calculada en el ejercicio

correspondiente al capítulo de losas nervadas.

Procedimiento :

C.- W tab. = d tabiq. * h pared (d tabiquería = 180 Kg/m2)

NERVADA

Datos : Fy = 4200 Kg/cm2

f'c = 210 Kg/cm2

h pared = 2.50 m

Vigas de apoyo = 0.30 x 0.60

Columnas = 0.40 x 0.40

1 2 3 4

A

B

C

D

L-E

6.00

6.00

7.00

4.00 4.00 4.00

qu = 633 (Kg/m)

4.00 4.00 4.00

1 2 3 4

L-E

Vu (Kg)

1520

1266

+ + +

- - -



85

1.- Determinar las cargas que actúan sobre la viga (W viga) : Carga por peso propio : Wpp = 2500 Kg/m3 * 0.30 m * 0.60 m * (1.50 Mayoración) = 675,00 Kg/m

Reacción de la losa : W Losa = (1266Kg + 1520Kg) / 0.50m = 5.720,00 Kg/m

Carga por tabiquería : W Tab. = 180 Kg/m2 * 2.50 m * (1.50 Mayoración) = 675,00 Kg/m

W viga = 7.070,00 (Kg/m).

2.- Determinar los diagramas de Vu y Mu :

3.- Diseño de los refuerzos (As y Av) :

3.1.- Acero por flexión (As) : As mín = (14/Fy) * b * d = (14/4200) * 30cm * 55cm = 5.50 cm2

As mín = 5.50 cm2. 3 Ø 5/8". (As = 5.94 cm2)

(As) Apoyos : A = D : Mu = -15.908,00 Kg*m

As = 8.00 cm2. 4 Ø 5/8". (As = 7.92 cm2)

B = C : Mu = -32.833,00 Kg*m

As = 18.15 cm2. 4 Ø 5/8" + 3 Ø 7/8". (As = 19.53 cm2).

Nota : En apoyos externos, los momentos de empotramiento se pueden asumir como : M = (W u * L^2) / 16

W u = 7070 (Kg/m)

A B C D

6.00 7.00 6.00

Vu (Kg) + + +

- - -

18389

Mu (Kg*m) + + +

- - - -

0.82 1.22 1.22 1.50 1.50 0.82

15908 15908

32833 32833

18389

24031

8008 8008

24031 24745

24745

10471

V-2



86

(As) Tramos : A-B = C-D : Mu = + 8.008,00 Kg*m

As = 3.96 cm2. < As mín 3 Ø 5/8". (As = 5.94 cm2)

Tramo : B-C : Mu = + 10.471,00 Kg*m

As = 5.23 cm2. < As mín 3 Ø 5/8". (As = 5.94 cm2)

3.1.1.- Chequeo de Anclajes :

Lah = 0.06 Øb * Fy / (√ f'c).

Lah = (0.06 * 1.59 cm * 4200 Kg/cm2) / 210 Kg/cm2

Lah = 27,65 cm.

Como 0.365 > 0.2765 (La barra con gancho queda

Anclada).

Apoyos A = D :

Apoyos B = C :

El chequeo del anclaje de las barras rectas, se

verificará con la barra de mayor diámetro. Ya

que si queda comprobado el chequeo para

estas barras, es lógico suponer que también

chequeará para las barras de menor diámetro.

Long. Total = 1.22 + 1.50 + (2*0.55) = 3.82 m.

Long. Total = 3.90 m (ó 4.00 mts)

Mu (Kg*m)

B

1.22 1.50

30056

d = 55 cm. (Se escoge por ser el mayor).

12*Ø b = 12 * 2.22 cm = 26.67 cm.

L/16 = 7.00m / 16 = 43.75 cm.

d = 55 cm.

12*Ø b = 12 * 2.22 cm = 26.67 cm.

L/16 = 6.00m / 16 = 37.50 cm.

3 Ø 7/8" x 3.90

2.05

0.40

1.85 1.65

≥ Las≥ Las

Las = 3.5 * Lah

Las = 3.5 * 0.2765 = 0.9678

1.85 > 0.9678 (Chequea por la derecha).

1.65 > 0.9678 (Chequea por la izquierda). El chequeo de anclaje de las barras rectas se mide desde la cara del elemento que sirve de soporte (Cara de columna) hasta el extremo donde termina la barra.

1.85 = 2.05 (Ext. derecho barra) - 0.20 (1/2 Columna).

1.65 = 1.85 (Ext. izquierdo barra) - 0.20 (1/2 Columna).

COLUMNA

VIGA

>= Lah

COLUMNA (0.40 x 0.40)

0.035 0.365

Ø 5/8"

0.20 0.20

16*Øb



87

3.1.2.- Empalme por solape de barras y Longitud total de barras :

Los empalmes por solape de barras de un grupo, se basarán en las longitudes de solape

que se requieren para las barras individuales, incrementándolas en un 20% para los grupos de tres

(3) barras y un 33% para los grupos de cuatro (4) barras. En ninguna sección de un grupo de

barras podrá haber más de un empalme por solape de barras individuales. (Cap. 12.13.2.2).

Empalme de barras sometidas a compresión : (Cap. 12.15).

Longitud de desarrollo básica para barras comprimidas (Ldb) :

(0.08*Øb*Fy) / (√ f'c) ≥ 0.004*Øb*Fy.

Por lo tanto la longitud de solape mínima será de 36.87 cm. Sin embargo como se

solaparán cuatro (4) barras, la longitud de solape debe incrementarse un 33%.

W u = 6472 (Kg/m)

A B C D

6.00 7.00 6.00

Mu (Kg*m) + + +

- - - -

0.82 1.22 1.22 1.50 1.50 0.82

15908 15908

32833 32833

8008 8008 10471

V-2

As(-)

As(+)

L solape As(-)

0.25 0.25

0.25 0.25

El acero superior As(-) se empalmará en el tramo central de la viga. En esta zona As(-) se encuentra sometida a compresión. Por lo tanto el empalme se diseñará a compresión.

El acero inferior As(+) se empalmará en el tramo central de la viga. En esta zona As(+) se encuentra sometida a tracción. Por lo tanto el empalme se diseñará a tracción.

4 Ø 5/8"

3 Ø 5/8" 3 Ø 5/8"

4 Ø 5/8"

L solape As(+)

(0.08 * 1.59cm * 4200 Kg/cm2) / 210 Kg/cm2 ≥ 0.004 * 1.59 cm * 4200 Kg/cm2

36.87 cm ≥ 26.71 cm



88

Longitud de solape definitiva para As(-) = 36.87 cm * 1.33 = 49.04 cm

Longitud de solape definitiva para As(-) = 50 cm.

Longitud total de las barras superiores (As - ) : Como las barras superiores (4 Ø 5/8") se

empalmarán en el tramo central de la viga, la longitud total de las barras se calculará incluyendo la

porción de longitud de solape, la cual corresponderá a ambos grupos de barras (es decir, la

longitud total incluirá la mitad de la longitud de solape).

Ltot. = 1. (Long. del gancho) +

2. (Porción de barra contenida del eje de columna hacia la izquierda) +

3. (Long. del tramo A - B) +

4. (1/2 Long. del tramo central) +

5. (1/2 de la long. de solape)

Ltot. = 1.(0.25) + 2.(0.20-0.035) +3.(6.00) + 4.(7.00/2) + 5.(0.50/2) =10.165 m (Se asume):

Ltot. = 10.20 m.

Empalme de barras sometidas a tracción : (Cap. 12.14).

As(proporcionado) / As (requerido) 5.94 cm2 / 4.77 cm2 = 1.25 < 2.

Por empalmarse el 100% de las barras, y por ser la relación de As < 2. El empalme será

Clase C. Para el Empalme Clase C, la longitud de solape a tracción será de : 1.7 * Ld .

Longitud de desarrollo básica para barras traccionadas (Ldb) :

(0.06*Ab*Fy) / (√ f'c) ≥ 0.006*Øb*Fy.

Si la longitud de desarrollo básica de armaduras en tracción (Ø 5/8") es de 40.07 cm, la

longitud de solape de barras en tracción será : 1.7 * 40.07 cm = 68.12 cm. Sin embargo como se

solaparán tres (3) barras, la longitud de solape debe incrementarse un 20%.

Longitud de solape definitiva para As(+) = 68.12 cm * 1.20 = 81.74 cm

Longitud de solape definitiva para As(-) = 90 cm.

(0.06 * 1.98cm * 4200 Kg/cm2) / 210 Kg/cm2 ≥ 0.006 * 1.59 cm * 4200 Kg/cm2

34.43 cm ≥ 40.07 cm



89

Longitud total de las barras inferiores (As + ) : Como las barras inferiores (3 Ø 5/8")

también se empalmarán en el tramo central de la viga, la longitud total de las barras se calculará tal

como se hizo con las barras superiores (As -).

Ltot. = 1. (Long. del gancho) +

2. (Porción de barra contenida del eje de columna hacia la izquierda) +

3. (Long. del tramo A - B) +

4. (1/2 Long. del tramo central) +

5. (1/2 de la long. de solape)

Ltot. = 1.(0.25) + 2.(0.20-0.035) +3.(6.00) + 4.(7.00/2) + 5.(0.90/2) =10.365 m (Se asume):

Ltot. = 10.40 m.

Nota :Si se considera la diferencia (en longitud) que existen entre las barras superiores

(4 Ø 5/8" x 10.20 ) con las barras inferiores (3 Ø 5/8" x 10.40 ) , nos damos cuenta que es tan

pequeña la diferencia (apenas 0.20 m) que es preferible dejar todas las barras (De Ø 5/8") en

10.40 m. Esto dá mayor ventaja constructiva.

3.2.- Acero por corte (Av) :

Se colocarán estribos cerrados a lo largo del eje longitudinal de la viga y su separación NO

será mayor de :

d/2 = 55cm/2 = 27.50 cm (En zonas NO confinadas).

En zonas confinadas (2*hviga) :

a.- d/4 . = 55cm/4 = 13.75 cm

b.- 8 veces el diámetro de la menor barra longitudinal arriostrada. = 8*1.59 cm = 12.72 cm (X)

c.- 24 veces el diámetro del estribo. (Se escoge: Ø 3/8") = 24*0.95 cm = 22.80 cm

d.- 30 cm. = 30 cm (El mayor)

(X) Se escoge 12.72 cm (ó 12.50 cm, por facilidad constructiva) por ser la separación

mínima requerida.



90

Chequeo por corte : Vu ≤ Ø * Vn. (Ø = 0.85)

Vu ≤ 0.85 * 38.914,31

Vu ≤ 33.077,16 Kg. Siendo el mayor de valor de Vu 22.652,00 Kg (Obtenido del

diagrama de corte Vu de la viga), el esfuerzo cortante en la viga

NO supera el admisible (33.077,16 Kg).

Vn = Vc + Vs Vc = 0.53 * f'c * b * d = 0.53 * 210 * 30 * 55 = 12.672,71 Kg

Vs = (Av * Fy * d) / S = (2*0.71 * 4200 * 55) / 12.50 = 26.241,60 Kg

Vn = 12.672,71 + 26.241,60 = 38.914,31 Kg.

1.20 1.20

ZONA CONFINADA

COLUMNA (0.40x0.40) COLUMNA

hviga = 0.60

As Inf.

As Sup.

Estribos cada 0.125 m (Zona Conf.)

Estribos cada 0.125 m (Zona Conf.)

En Zonas NO confinadas la separación de estribos será a cada 0.25 m. (Por ser el doble de 0.125m).

DETALLE DE LA DSIPOSICIÓN DE ESTRIBOS :



91

4.- Despiece de la Viga :

V-2

A B C D

6.00 7.00 6.00

0.25 0.25

0.25 0.25

4 Ø 5/8" x 10.40

3 Ø 5/8" x 10.40 3 Ø 5/8" x 10.40

4 Ø 5/8" x 10.40

0.40 0.40 0.40 0.40

(0.30x0.60) (0.30x0.60) (0.30x0.60)

1.20 1.20 1.20 1.20 1.20 1.20 C/0.125 C/0.125 C/0.125C/0.125C/0.125C/0.125

C/0.25 C/0.25 C/0.25Separación de Estribos Ø 3/8"

3 Ø 7/8" x 3.90 3 Ø 7/8" x 3.90 2.05 2.05

0.25

0.15

0.15 0.55 0.55

0.25 ESTRIBOS Ø 3/8" x 1.90

0.30

0.60

Ø 5/8"

Ø 7/8"

SECCIÓN TÍPICA DE VIGA (V-2) :



92

3.7.- PREDIMENSIONADO DE VIGAS (Por carga Vertical) : Método Empírico : Este método, basado en la teoría de rotura, permite obtener el área de

la sección transversal de una viga, en función de las cargas y ancho tributario. La mínima

dimensión de la base de la viga NO será menor de 25 cms. La altura dependerá de las

características que se deseen, pero teniendo en cuenta las consideraciones dadas en el capítulo

3.1.- CONDICIONES GEOMÉTRICAS.

3.7.1.- Solicitaciones básicas que actúan sobre las vigas : Flexión ............... 60 % (La ppal)

Corte .................. 30%

Carga Axial ......... 5%

Torsión ................ 5%

Por lo tanto se predimensionarán las vigas en función de la resistencia a flexión :

Supongamos que se tiene un pórtico típico, sometido a carga vertical (Distribuida) :

3.7.2.- Cargas actuantes sobre las vigas (Wv) :

Wv = (PpLosa + S.C.Losa) * aTribut. + PpViga + PTabiq., donde :

PpLosa : Peso propio de Losa (Kg/m2) (Losas Nervadas armadas en una dirección)

Para Losas nervadas el peso es : h (cm) Peso (KG/m2)

20 ................... 270

25 .................... 315

30 .................... 360

35 .................... 415

Wv (Kg/m)

(b x h)

Lv

Lv

Wv (Kg/m)

M (Kg*m) +

- -

Wv * (Lv^2) / 24

Wv * (Lv^2) / 12 Wv * (Lv^2) / 12

Momento Estimado : Me = Wv * (Lv^2) 11



93

En Losas macizas el peso (en Kg/m2) se obtiene multiplicando el peso específico del

concreto armado (g = 2500 Kg/m3) por el espesor de la losa maciza (h losa).

S.C.Losa : Sobre carga de losa (Kg/m2). (Tabla 5.1. Normas COVENÍN-MINDUR 2002)

Depende del ambiente y uso de la edificación, y varía entre 100 y 500 Kg/m2 .

aTribut. : Ancho tributario (m2).

Se determina estimando la porción de Losa que descansa sobre la viga a

predimensionar.

PpViga : Peso propio de viga (Kg/m)

El peso propio de la viga puede estimarse en 300 Kg/m .

PTabiq. : Peso de la tabiquería (Kg/m)

El peso de la tabiquería se obtiene de la tabla 4.3. de las Normas COVENÍN-

MINDUR 2002.

(Sin Frisar) (Frisada) Espesor (cm) Kg/m2 Kg/m2

Bloques de arcilla 10 .............. 120 .......... 180

15 ............. 170 .......... 230

20 .............. 220 .......... 280

6.00

4.00 4.00

C B A

2

1

2.00 2.00 PLANTA

aTribut. (VIGA - B)

ANCHO TRIBUTARIO (VIGA - B)

Fig. 3.7.2



94

Ej.: Supongamos que se desea determinar la carga sobre la viga (Wv) del dibujo de planta

(Fig. 3.7.2), si esa viga "B" soporta una losa nervada de 25 cms., de espesor y una tabiquería de

15 cms., de espesor (frisada) y 2.30 mts., de altura.

Sol.: Wv = (PpLosa + S.C.Losa) * aTribut. + PpViga + PTabiq.

PpLosa = 315 Kg/m2 S.C.Losa = 175 Kg/m2 aTribut. = 4.00 m

PpViga = 300 Kg/m

PTabiq = 230 Kg/m2 * 2.30 m = 529 Kg/m

Wv = (315 + 175) * 4 + 300 + 529

Wv = 2789 Kg/m

3.7.3.- Dimensiones :

La estimación de las dimensiones se determinan en función de las condiciones de diseño

para elementos sometidos a flexión planteadas por la teoría de la rotura:

Mu ≤ Ø*Mn (Condición de diseño) . Si consideramos que ; Mn = As*Fy* (d- a/2), tenemos :

Mu ≤ Ø*(As *Fy*(d-a/2) . como : As = r*b*d . y a = (As*Fy) / (0.85*f'c*b), queda :

Mu ≤ Ø* (r*b*d) * Fy * (d- (As*Fy) / (1.70*f'c*b)) . Como w = r * f'c/Fy , todo se reduce a:

Mu ≤ b*d^2 * Ø* f'c * w * (1 - 0.59* w). Si llamamos Ru = Ø* f'c * w * (1 - 0.59* w) , queda :

Mu ≤ b*d^2 * Ru . Como Mu = Me * Fm (Fm : Factor de mayoración = 1.50), queda :

Me * Fm ≤ b*d^2 * Ru . Si se despejan las incógnitas y se trabaja en la condición límite :

b * d^2 = Me * Fm / Ru Ecuación para predimensionar



95

Ejemplo : Predimensionar la (viga - B) de la Fig. 3.7.2, de 6.00 m., de longitud.

Datos : Fy = 4200 Kg/cm2

f'c = 210 Kg/cm2

La carga de la viga (Wv), se determinó previamente (Wv = 2789 Kg/m).

Sol.: La viga se predimensionará según la ec., b * d^2 = Me * Fm / Ru , en tal sentido se

determinará cada término por separado :

Me : Momento Estimado : Me = Wv * (Lv^2) = 2789(Kg/m) * (6 m^2) = 9127.64 Kg*m 11 11 Me = 9127.64 Kg*m Fm : El factor de mayoración (De cargas) se determina según los datos de PpLosa y S.C.Losa

PpLosa = 315 Kg/m2 S.C.Losa = 175 Kg/m2

Si : qu = q serv. * Fm , (qu = 1.4*qcm + 1.7*qcv) , y qserv = qcm + qcv , entonces :

qu = (1.4*315) + (1.7*175) = 738.50 Kg/m2

qserv = 315 + 175 = 490 Kg/m2

Fm = qu / qserv = 738.50 / 490 = 1.507 . Por lo tanto : Fm = 1.51

Ru : Ru = Ø* f'c * w * (1 - 0.59* w)

Ø = 0.90 (Factor de minoración de la capacidad resistente)

f'c = 210 Kg/cm2

w = r * f'c / Fy (r : Cuantía geométrica de armadura) , Se toma una cuantía promedio :

r prom. = (rmín + rMax) / 2

rmín = 14 / Fy = 14 / 4200 = 0.0033

rMax = 0.75 * rb. rb = 0.85 * b1 * (f'c / Fy) * ( 6300 / (6300 + Fy )). (b1=0.85). rb = 0.0217

rMax = 0.75 * 0.0217 = 0.016

r prom. = (0.0033 + 0.016) / 2

r prom. = 0.0098

w = r * f'c / Fy = 0.0098 * 210 / 4200

w = 0.196

Ru = Ø* f'c * w * (1 - 0.59* w) = 0.90 * 210 * 0.196 * (1 - 0.59*0.196) = 32.745

Ru = 32.75 (Kg/cm2)



96

Ahora se procede a aplicar la ecuación de predimensionado : b * d^2 = Me * Fm / Ru

b * d^2 = 9127.64 (Kg*m) * (100 cm/m) * 1.51 / 32.75 (Kg/cm2)

b * d^2 =42084.69 cm^3 .

Si fijamos el valor de la base (b) con su condición mínima, tenemos :

b = 25 cms.

d = (42084.69 / 25)^1/2 = 41.03 cm. Por lo que la altura total será de :

h = 41.03 cms + 5.00 cms = 46.03 cms. (Redondeamos al sumando de 5 más cercano)

h = 50 cms.

Por lo tanto las dimensiones definitivas de la viga serán : (0.25 x 0.50)

Es importante tener presente que cuando se predimensionen vigas, se deben tomar en

cuenta las consideraciones geométricas dadas al inicio del capítulo ( 3.1.- CONDICIONES

GEOMÉTRICAS ). No obstante las condiciones geométricas de una viga, por lo general están

condicionadas al planteamiento arquitectónico de la estructura a proyectar.

Dependiendo de la geometría que se quiera obtener en la viga, se puede fijar una dimensión y despejar para obtener la otra dimensión de la sección transversal. Teniendo siempre en cuenta que la mínima dimensión que debe tener la base (b) de la viga es de 25 cms.

b

d h = d + 5 cms



97

3.8.- MÉTODO DEL PORTAL :

* Método aproximado para analizar estructuras aporticadas sometidas a cargas

horizontales.

* Mientras más simétrica sea la estructura, los resultados serán más confiables.

* Su aplicación facilita el diseño de vigas y columnas sometidos a cargas horizontales.

HIPÓTESIS :

1.- La fuerza cortante total de todas las columnas de un determinado piso, es igual y opuesto a la suma de

todas las fuerzas horizontales H(n-i) que actúan por encima de ese piso.

2.- La fuerza cortante en las columnas exteriores es igual. En las columnas internas también son iguales y equivalen al doble de las exteriores.

3.- Los ptos., de inflexión (donde, M=0) de todos los elementos, se ubican en el pto., medio de la luz.

Excepto en las columnas de Base.

1 32L1 L2

Hn

H(n-1)

H(n-2)

V1(n-1) V3(n-1)V2(n-1)

V1n V3nV2n

V1(n-2) V3(n-2)V2(n-2)

HIPÓTESIS :

1.- SVin = Hn SVi(n-1) = H(n-1) + Hn

2.- V1 = V3 V2 = 2*V1



98

EJEMPLO : Determinar la envolvente de diseño (por momento flector) debido a las cargas

horizontales, en vigas y columnas del pórtico mostrado. Según los datos suministrados :

DATOS:

L1 = L2 = 6.00 mts. “Fundación Rígida”

h = 3.00 mts.

Hn = 1000 Kg.

H(n-1) = 2000 Kg.

1 32L1 L2

h

h

Hn

H(n-1)

h 2h/3

FUNDACIÓN RÍGIDA

h/3 h

FUNDACIÓN FLEXIBLE

COLUMNAS DE BASE (Ptos. De Inflexión)

SOLUCIÓN :

1 326.00 6.00

3.00

3.00

1000

2000

V’ V’2V’

V V2V

Hipótesis nº2 : V 2V V

V’ 2V’ V’ Hipótesis nº1 : Nivel Techo (Hn) : V + 2V + V =1000 Kg V = 1000/4 V = 250 Kg Nivel 1º ( H(n-1) ) : V’ + 2V’ + V’ = 2000+1000 Kg V’ = 3000/4 V’ = 750 Kg



99

El análisis se efectúa equilibrando cada junta o nodo de la estructura. Dicho equilibrio

implica : S M = 0. S Fy = 0. S Fx = 0. (Ecuaciones de equilibrio estático).

Nivel Techo EQUILIBRIO DE JUNTAS

1000

V=250 375

375 125

125

750

2V=500 125

750

750

375 375 125

250

V=250 125

250

375

375

125

Nivel 1º

3.00

1.50

1 2

3.00 3.00 3.00 3

1.50

1.00

2000

V’=750

125

250

750

375 1125

375

500

1500

2V’=1500 375

1500

500

1500

1125 750 1125

375 500

V’=750

125 250

500

375 750

375 1125

500

Columnas de Base

2.00

750 750 1500

1500 1500 3000

ENVOLVENTE DE DISEÑO EN VIGAS ENVOLVENTE DE DISEÑO EN COLUMNAS

375

375

375

375

112

1125

112

1125

375

375

375

375

750

750

750

1500

750

1500

1500

3000

(Valores en Kg*m)



113

CAPÍTULO Nº 5 .: "ANÁLISIS Y DISEÑO DE ELEMENTOS SOMETIDOS A

FLEXO-COMPRESIÓN"

Las Columnas, así como las vigas son elementos estructurales que dependiendo del uso

de la edificación (con o sin riesgo), deben ser diseñadas para resistir tanto las cargas

gravitacionales, como las accidentales (sismos, vientos, empujes laterales,....). En tal sentido las

columnas se diseñarán para soportar las siguientes combinaciones de cargas :

U = 1.4 CM + 1.7 CV

U = 0.75*(1.4CM + 1.7CV) +/- S Donde :

U = 0.90*(CM + CV) +/- S CM: Carga permanente.

CV: Carga variable.

S : Sismo.

5.1.- CONDICIONES GEOMÉTRICAS : (Capítulo 18.3.1 (ND3) Normas 1753).

En ND2 no se especifican dimensiones.

5.2.- ARMADURA LONGITUDINAL : (Capítulo 18.3.3 (ND3) Normas 1753).

1.- Cuantías Máximas y mínimas de acero : (0.01 ≤ r ≤ 0.06)

Si : As = r * b * h. Entonces : Asmín = 0.01 * b * h

Asmáx = 0.06 * b * h

2.- En c/esquina de la sección transversal de una columna, debe colocarse al menos una

cabilla igual o mayor a la Nº 2.

b

h Secc. Transv.

2.- b/h ≥ 0.40

1.- bmín = 30 cm.

Ø ≥ 1/2"

Ø ≥ 1/2" b

h

Ej :



114

5.3.- DISPOSICIÓN DE LA ARMADURA LONGITUDINAL : (Cap. 18.3.3.3 Normas 1753).

5.4.- ARMADURA TRANSVERSAL :

Las principales funciones de la armadura transversal, es la de lograr el confinamiento del

concreto y servir de soporte lateral a las barras de refuerzo longitudinal de las columnas. La

Norma Venezolana (COVENÍN-MINDUR 1753) especifica que " Todas las barras longitudinales en

compresión deben estar encerradas por ligaduras ". Estas ligaduras se ajustarán a las siguientes

disposiciones :

• Para barras longitudinales menores o (a lo sumo ) iguales a Ø 1/2 " ⇒ Ligaduras de Ø 1/4 " .

• Para barras longitudinales de Ø 1/2 " hasta barras de Ø 13/8 " ⇒ Ligaduras de Ø 3/8 " .

• Para barras longitudinales mayores de Ø 13/8 " y grupos de barras ⇒ Ligaduras de Ø 1/2 " .

(Cap. 7.10.5.3) Las ligaduras se dispondrán de tal forma que cada barra longitudinal

alternada y cada barra esquinera tengan un soporte lateral proporcionado por el doblez de una

ligadura que tenga un ángulo interno no mayor de 135 grados. Ninguna barra sin soporte lateral

estará separada de la barra soportada lateralmente más de 15 cm., libres medidos sobre la

COLUMNA

VIGA

h libre

h libre 2

ZONA DE EMPALME Long. solape

VIGA

Empalmes : Los empalmes por solape solo

se permitirán en la mitad central de la luz

libre del miembro (de la columna), y deben

ser diseñados como empalmes a tracción.



115

ligadura (Figuras 5.4. (a) , (b) y (d) ). Cuando las barras longitudinales estén localizadas sobre el

perímetro de un círculo, se puede emplear una ligadura circular.

En columnas, donde la geometría de la sección dificulte el arriostramiento de las barras

con ligaduras cerradas, se permite el uso de ligaduras de una rama para el soporte lateral de

barras opuestas. (Figura 5.4. (c) )

Fig. 5.4 :

≤ 15 cm ≤ 15 cm

Puede ser ≥ 15 cm

Fig. 5.4. (a)

135 º (Máx)

≤ 15 cm ≤ 15 cm

Puede ser ≥ 15 cm

Fig. 5.4. (b)

Ligaduras de Una (1) Rama

Ligadura o Estribo

Fig. 5.4. (c)

Estribo Estribo

Fig. 5.4. (d)



116

Las ligaduras o estribos cerrados deben colocarse de tal forma y a una separación tal, que

garanticen el confinamiento del núcleo de concreto en elementos comprimidos. Esta separación

"mínima" viene dada según estipulación normativa :

(Cap. 10.13.8.5) La separación de las ligaduras no excederá de :

16 veces el diámetro de las barras longitudinales. (16 * Ø barra)

48 veces el diámetro de las ligaduras. ( 48 * Ø estribo)

La mitad de la menor dimensión de la sección transversal del miembro.

No obstante; teniendo en cuenta las consideraciones para edificaciones sismoresistentes,

la disposición de las armaduras de confinamiento y corte deben satisfacer además los siguientes

requisitos :

Zonas a Confinar (Lo) (Cap. 18.3.4.2) ND2 y ND3: La armadura transversal (que confina,

por medio de estribos cerrados) deberá colocarse en los extremos de la columna en una longitud

por lo menos igual al mayor de los siguientes valores :

a.- La mayor dimensión de la sección transversal.

b.- (1/6) de la altura libre del elemento.

c.- 45 cm.

Separación de estribos en zonas confinadas (Para ND3 y ND2) :

Separación máxima de estribos (En zonas confinadas. Cap. 18.3.4.4) ND3 : La

separación de las armaduras de refuerzo transversal en la dirección del eje del miembro NO será

mayor que el MENOR de los siguientes valores :

a.- (1/4) de la menor dimensión del elemento .

b.- 10 cm.

Separación máxima de estribos (So) (En zonas confinadas. Cap. 18.8.3.2.2) ND2 : La

separación So, en la dirección del eje del miembro, de la longitud (Lo) de confinamiento, no deberá

exceder el menor de los siguientes valores :

a.- 8 veces el diámetro de la menor barra longitudinal arriostrada.

b.- 24 veces el diámetro del estribo.

c.- (1/2) de la menor dimensión de la sección transversal del miembro.

d.- 30 cm.



117

Cuando se trate de zonas NO confinadas, la separación de estribos No excederá el valor

de : 2 * So.

La disposición de las armaduras tanto para resistir esfuerzos cortantes como para resistir

compresión axial y momentos flectores debe cumplir con los requisitos establecidos en las normas

COVENÍN-MINDUR 1753 a las cuales se refieren los epígrafes anteriores. No obstante a su vez

debe satisfacer los requerimientos que resulten del análisis estructural del elemento.

Por redundante que parezca, la aclaratoria siempre es válida en virtud que las columnas

(en conjunto con las vigas) son las principales responsables de proporcionar estabilidad (Rigidez) a

la edificación que se desee proyectar. De allí que un escrupuloso cuidado en el diseño, redundará

en estructuras confiables.

COLUMNA (b x h)

H Viga

H Viga

DIS

POSI

CIÓ

N D

E E

STR

IBO

S

Lo

Lo

(So)

(S

o)

2*(S

o)

H Libre

16*Øb Ejemplo de Disposición :

Donde : Lo : Zona Confinada. (So) : Separación Máx. de Estribos en zonas Confinadas. 2*(So) : Separación de estribos en zonas NO confinadas.



118

5.5.- CAPACIDAD DE SOPORTE DE MIEMBROS SOMETIDOS A FLEXO-COMPRESIÓN :

En consecuencia a las disposiciones de diseño que plantea la Teoría de la Rotura, la carga

de diseño de los elementos sometidos a flexo-compresión será :

Área de la secc. Transv.: A tot = a * b

Área de concreto: Ac = A tot. - As

La carga (Pn) que actúa sobre la sección transversal

de la columna, la deben resistir todos los materiales

que conforman su sección transversal.

Esto significa que :

(Kg) (Kg)

Pn (Kg) = (P concreto) + (P acero de refuerzo)

Pn = (Ac*f'c) + (As*Fy)

Si minoramos la capacidad resistente del concreto

(Teoría de Rotura), tenemos :

Pn = 0.85* (Ac*f'c) + (As*Fy) (Ec. 5.5.1)

Donde : Ac : Área que ocupa el concreto (cm2)

As : Área de la armadura de refuerzo (cm2)

f'c : Resistencia del concreto (Kg/cm2)

Fy : Esfuerzo de fluencia del acero (Kg/cm2)

COMPRESIÓN AXIAL

Pn (Kg)

a

b

As

Pu ≤ Ø * Pn (Ec. 5.5.2) (Ø = 0.70) Para columnas con estribos.

(Ø = 0.75) Para columnas zunchadas.

Pu : Carga de diseño.

Pn : Carga máxima (Donde ocurre la falla). Pu = (1.4*Pcm) + (1.7*Pcv)



119

Los ejemplos que se presentan a continuación, ilustran la forma de diseñar columnas

sometidas a carga axial (Únicamente), y en donde los efectos de la esbeltez de la columna no

sean considerables :

Ejemplo Nº 5.5.1.- Determinar la capacidad de carga de diseño (Pu) de una columna de

0.30 x 0.40, reforzada con 8 Ø 5/8" , confinada con estribos, si f'c = 250 Kg/cm2 y Fy = 4200

Kg/cm2 .

R.-

Ejemplo Nº 5.5.2.- Si se desea diseñar una columna que soporte 150 toneladas de carga

vertical, pero que sus medidas se limiten a 0.30 x 0.30 de sección transversal. ¿ Cual será el

refuerzo necesario ?. Asumir : f'c = 210 Kg/cm2 y Fy = 4200 Kg/cm2.

R.- En este caso se debe determinar el valor de As. El resultado debe cumplir el requisito mínimo de

cuantía de armadura (r mín = 0.01), por otro lado, como no se indica el tipo de confinamiento que tendrá la

columna, se escoge el más común. Estribos cerrados (Ø = 0.70).

0.40

0.30

8 Ø 5/8" (As = 15,84 cm2)

Pn = 0.85* (Ac*f'c) + (As*Fy) (Ec. 5.5.1)

Ac = A tot. - As

Ac = (30cm*40cm) - (15,84 cm2) = 1.184,16 cm2

Pn = ( 0.85 * 1.184,16 * 250 ) + (15,84 * 4200)

Pn = 318.162,00 Kg (Carga de falla de la columna)

Pu = 0.70 * 318.162,00

Pu = 222.713,40 Kg (Carga de diseño de la columna).

Pu ≤ Ø * Pn (Ec. 5.5.2) (Ø = 0.70)

Nota : Con los datos que se dan de la columna, se deduce que ella soporta hasta 318,16 toneladas (En ese momento ocurre la falla). Sin embargo se diseña para que soporte hasta 222,71 Ton.



120

La escogencia de las barras de acero para cubrir As = 13.34 cm2, depende de la simetría

(respecto al número de barras de acero) que se quiera obtener en la sección transversal de la

columna. En principio podemos hacer la escogencia por tanteos, es decir :

Para : Ø 1/2" (As = 1.27 cm2) : 13.34 cm2 / 1.27 cm2 (Barra) = 10.50 (11 Barras de Ø 1/2")

Ø 5/8" (As = 1.98 cm2) : 13.34 cm2 / 1.98 cm2 (Barra) = 6.73 (7 Barras de 5/8")

Tenemos dos opciones (De las muchas) posibles . En cualquier caso:

1.- Es preferible que el número de barras en la sección transversal de una columna sea par. Esto

significa que se colocarán 12 Ø 1/2" u 8 Ø 5/8" .

2.- Si queremos la mayor simetría posible (entre otras consideraciones por efectos sísmicos), en

una sección "cuadrada" (0.30 x 0.30) la simetría es igual con ocho (8) que con doce (12) barras.

3.- La diferencia que pueda existir entre ambas, estará en la disponibilidad en mercado de las

barras, o en la cantidad de acero suministrada, por ej.: 12 Ø 1/2" = (As = 15.24 cm2)

8 Ø 5/8" = (As = 15.84 cm2)

En condición límite : Pu = Ø*Pn . Por lo tanto :

Pu = Ø * [(0.85*Ac*f'c) + (As*Fy)] Ac = Atot - As

(Pu/Ø) = (0.85*(Atot -As)*f'c) + (As*Fy)

(150000 / 0.70) = (0.85*(900-As)*210) + (As*4200)

214285,71 = 160650 - 178.50 As +4200 As

53635.71 = 4021.50 As

As = 13.34 cm2. > As mín

A tot = 30cm * 30cm = 900 cm2

Pu = 150.000,00 Kg

As mín = 0.01*(A secc. Transv.)

As mín = 0.01*(30cm*30cm)

As mín = 9.00 cm2

8 Ø 5/8"

0.30

0.30

12 Ø 1/2"

0.30

0.30

Opciones Posibles :



121

La diferencia sigue siendo mínima, por lo tanto ambas opciones son aceptables. Sin embargo por

comodidad constructiva, en la práctica muchos profesionales se inclinarán por 8 Ø 5/8" .

Ejemplo Nº 5.5.3.- En este caso se desea diseñar una columna que sea capaz de resistir

una carga a compresión de 365 toneladas. Utilizar f'c = 210 Kg/cm2. Y Fy = 4200 Kg/cm2 .

R.- Nótese que no se disponen de muchos datos de diseño, por lo que en casos como

estos, depende de la habilidad e ingenio del proyectista proponer una solución que satisfaga los

requerimientos técnicos.

Planteando la ecuación de diseño :

Pu = Ø * [(0.85*Ac*210) + (As*4200)]

365000 = 0.85 * [(178.5*Ac) + (4200*As)]

(365000/0.85) = (178.5 * Ac) + (4200 * As) . La ec. queda : 521428.57 = 178.5*Ac + 4200*As (i)

521428.57 = 178.5(A tot - As) + 4200*As

521428.57 = 178.5*A tot - 178.5*As + 4200*As

521428.57 = 178.5*A tot + 4021.50*As (ii)

Se tiene una ecuación con dos incógnitas (A tot y As). Dependiendo de las condiciones

que se planteen podemos asumir cualquiera de las dos incógnitas, es decir :

A.- Se pueden fijar las medidas de la columna (A tot), y así determinar As.

B.- Se puede estimar una cuantía de armadura (As), y así determinar A tot.

A.- Fijando A tot : En este caso se procede por tanteos partiendo de la condición más

económica, es decir, de las consideraciones geométricas mínimas (Dadas al inicio del capítulo). Si

la dimensión mínima de una columna es de 0.30, la otra dimensión también puede ser la mínima

(0.30). Por lo tanto :

Pn = 0.85* (Ac*f'c) + (As*Fy)

Pu ≤ Ø * Pn (Ø = 0.70) En este caso ya se presume que las

columnas estarán confinadas con estribos

cerrados (Ø = 0.70).

Si sustituímos los datos en la ecuación :



122

A tot ⇒ 30cm x 30cm . A tot = 900 cm2. En este caso la ecuación (ii) queda :

521428.57 = 178.5*A tot + 4021.50*As

521428.57 = (178.5*900) + 4021.50*As

521428.57 = 160650 + 4021.50*As . despejando queda : As = 89.71 cm2 . Sin embargo entre las condiciones de cuantías mínimas y máximas de armadura plantedas

al inicio del capítulo, tenemos : (0.01 <= r <= 0.06). Si : As = r * b * h.

Entonces : Asmín = 0.01 * b * h = 0.01* 900 cm2 = 9.00 cm2

Asmáx = 0.06 * b * h = 0.06 * 900 cm2 = 54.00 cm2 (que supera en mucho el valor de

89.71 cm2). Por lo tanto las dimensiones mínimas (0.30x 0.30) No satisfacen los

requerimientos de carga.

Como es necesario aumentar la sección, se puede tantear con aumentos de 5 centímetros en

las dimensiones de la sección transversal a : 0.35 x 0.35.


521428.57 = 178.5*A tot + 4021.50*As

521428.57 = (178.5*1225) + 4021.50*As

521428.57 = 218662.50 + 4021.50*As . despejando queda : As = 75.29 cm2 .

Asmáx = 0.06 * b * h = 0.06 * 1225 cm2 = 73.50 cm2 (que supera el valor de 75.29 cm2).

Por lo tanto las dimensiones (0.35x 0.35) No satisfacen los requerimientos de carga.

Tercer tanteo: 0.40 x 0.40 :


521428.57 = 178.5*A tot + 4021.50*As

521428.57 = (178.5*1600) + 4021.50*As

521428.57 = 285600 + 4021.50*As . despejando queda : As = 58.64 cm2 . Asmáx = 0.06 * b * h = 0.06 * 1600 cm2 = 96.00 cm2 (NO supera el valor máximo).

Por lo tanto As = 58.64 cm2 se distribuye con : 16 Ø 7/ 8" (As = 62.08 cm2) ó

12 Ø 1" (As = 60.84 cm2) (Mejor opción)



123

En definitiva la columna que resista la carga de 365 ton., deberá tener una sección transversal de 0.40 x 0.40 y reforzada con 12 Ø 1" .

B.- Fijando As : En este caso podemos fijar la cuantía mínima de armadura y determinar el

área total necesaria.

Al principio del capítulo se plantearon las cuantías mínimas y máximas de armadura que

debe tener las sección transversal de la misma. Estos límites son :

(0.01 ≤ r ≤ 0.06). Si : As = r * b * h. Entonces : Asmín = 0.01 * b * h = 0.01* A tot.

Asmáx = 0.06 * b * h

Trabajando en condición mínima (La más económica) : As = 0.01* Atot.

La ecuación (ii), 521428.57 = 178.5*A tot + 4021.50*As queda :

521428.57 = 178.5*A tot + 4021.50*0.01*A tot

521428.57 = 178.5*A tot + 40.215*A tot

521428.57 = 218.715*A tot. Por lo que : A tot = 2384.05 cm2

Si se asume que la columna es cuadrada : b = (A tot) ^ (1/2)

b = (2384.05 cm2) ^(1/2) = 48.82 cm . Se asume b = 50 cm. Y la columna será de : 0.50 x 0.50 .

Su refuerzo será : As = 0.01*50*50 = 25.00 cm2 .

Opciones : 20 Ø 1/2 " (As = 25.40 cm2) 14 Ø 5/8 " (As = 27.72 cm2) 10 Ø 3/4" (As = 28.50 cm2)

8 Ø 7/8" (As = 31.04 cm2). ⇒ (Ver ejemplo de despiece (5.6) de esta opción, a

continuación).

12 Ø 1"

0.30

0.30



124

5.6.- EJEMPLO DE DESPIECE DE COLUMNA DE DOS (2) PISOS : Para ND2.

0.50

0.50

8 Ø 7/8 "

0.45

0.45 0.

45 0.45

0.15 0.15

Estribos Ø 3/8" x 2.10

0.16 0.16

0.32 0.32

0.32 0.32

Lig. Ø 3/8" x 1.60

Opción 1 :

0.50

0.50

8 Ø 7/8 "

0.45

0.45

0.45 0.45

0.15 0.15


0.15 0.15

0.45

0.15

0.45

0.15

Grapa Ø 3/8" x 0.75

Opción 2 :

Grapa Ø 3/8" x 0.75

COLUMNA (0.50 x 0.50)

Viga (0.30x0.45)

Viga (0.30x0.45)

DIS

PO

SIC

IÓN

DE

ES

TRIB

OS

Ø 3

/8 "

0.50

0.

50

C/ .

25

C/ .

25

C/ .

50

H Libre = 2.55

COLUMNA (0.50 x 0.50)

H Libre = 2.55

0.50

0.

50

C/ .

50

C/ .

25

C/ .

25

C/ .

25

Viga de Fundación

(0.35 x 0.50)

8 Ø

7/8

" x

7.6

0

0.36

0.36

C/ .

25



125

5.7.- LAS COLUMNAS COMO ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXO - COMPRESIÓN :

Las columnas son elementos que forman parte del sistema de pórticos de una estructura.

Su función principal es la de transmitir las cargas de la Superestructura a la Infraestructura

(fundación) ; y a su vez ayudar a mantener los desplazamientos laterales de los pórticos dentro

de parámetros razonables o permitidos.

Esta doble función implica que estos elementos deben ser capaces de resistir Compresión

axial y Flexión lateral. El hecho de que la sección transversal de las columnas sea

comparativamente mucho menor que la dimensión correspondiente a su eje longitudinal, hace

suponer que estos elementos están sometidos a esfuerzos de flexión considerables. Es por esta

razón que se dice que las columnas son elementos sometidos a Flexo-Compresión.

No obstante, y dependiendo de donde se ubique la carga axial en la sección transversal

de la columna, la flexo-compresión se clasificará en :

• Flexo-Compresión Normal.

• Flexo-Compresión Oblicua.

5.7.1.- Flexo-Compresión Normal :

Se dice que un elemento está sometido a Flexo-Compresión Normal, cuando la carga axial

concentrada (Pu) está aplicada sobre uno de los ejes principales de inercia de la sección

transversal del elemento. Si la carga (Pu) NO coincide o NO está aplicada en el centro geométrico

de la sección transversal de la columna, se crea una excentricidad (e) que genera a su vez un

momento flector (Mu).

Pu e

e Pu

x

y

Pu Mu = Pu * e

x

y

x , y : Ejes ppales. de Inercia



126

Cuando la carga axial (Pu) actúa en combinación con el momento flector (Mu = Pu * e) ,

existe flexo-compresión en el elemento capaz de ocasionar la falla (o agotamiento) de la sección.

La falla se puede presentar en cualquiera de las siguientes formas :

• Falla en compresión (I) ⇒ Hay carga axial solamente ( e = 0 ) en compresión.

• Falla en tracción (II) ⇒ Hay carga axial solamente ( e = 0 ) en tracción.

• Falla en flexión pura (III) ⇒ La carga axial es despreciable ( e = ∞ ).

• Falla en flexo-compresión (IV) ⇒ Ocurren simultáneamente Pu y Mu ( e ≠ 0 ).

Si se analiza en detalle cada uno de los tipos de falla, podemos obtener los valores

máximos que puede resistir un elemento en flexo-compresión. Si estos valores los representamos

gráficamente en un sistema de ejes cartesianos de coordenadas, en donde las ordenadas

representen el valor de carga axial (Pu) y las abscisas representen el valor de momento flector

(Mu); obtendremos una gráfica que se conoce con el nombre de diagrama de interacción .

Un diagrama de interacción típico de un elemento de sección plana sometido a flexo-

compresión se presenta a continuación :

En el diagrama de interacción se identifican los cuatro (4) puntos característicos (o de

agotamiento) que lo conforman. El segmento que une los ptos., (I) y (IV), es aproximadamente

una recta; y constituye la falla en compresión del elemento. Por otra parte el segmento que une los

ptos., (IV) , (III) y (II) se aproxima a una curva; y esta representa la falla en tracción del elemento.

En este segmento, a medida que disminuye la carga (Pu); también disminuye el momento (Mu).

Falla Balanceada (IV)

Pu

Mu = Pu * e

θ

Compresión Pura (I)

Flexión Pura (III)

Tracción Pura (II)

e = Tg (θ) = Mu/Pu



127

El perímetro que envuelve el diagrama se conoce como perímetro plano de agotamiento (o

falla) de la sección. Este perímetro puede obtenerse para cualquier elemento de concreto armado

en flexo-compresión normal, si se conocen :

1.- Las dimensiones de la sección transversal del elemento.

2.- Las características y calidad de los materiales que componen el elemento (Fy ; f'c).

3.- La cantidad y distribución de las barras de acero de refuerzo en la pieza.

A continuación graficaremos un diagrama de interacción de la columna cuyo despiece

aparece en el ejemplo ( 5.6.). Los datos son los siguientes :

Ejemplo Nº 5.7.1.1.- Graficar el diagrama de interacción de una columna sometida a flexo-

compresión normal, cuya sección transversal es de 0.50 x 0.50, con refuerzo 8 Ø 7/8", y con f'c =

210 Kg/cm2 y Fy = 4200 Kg/cm2.

R.- Se hallan los ptos., representativos del diagrama de interacción :

Pto ( I ) : Falla en Compresión. Pto ( II ) : Falla en Tracción. Pto ( III ) : Falla en Flexión pura. Pto ( IV ) : Falla Balanceada.

Pto ( I ) : Falla en Compresión: Se obtiene aplicando la ecuación de capacidad de

soporte para elementos en flexo-compresión (Ec. 5.5.2) y (Ec. 5.5.1).

Pu ≤ Ø * Pn (Ec. 5.5.2) Pn = 0.85* (Ac*f'c) + (As*Fy) (Ec. 5.5.1)

En este caso : Ac = A tot.

La expresión queda : Pu = Ø * [ 0.85* (A tot. * f'c) + (As*Fy) ] , donde :

A tot = 50 cm * 50 cm = 2500 cm2.

As = 8 Ø 7/8" = 31.04 cm2. Por lo tanto :

Pu = 0.70 * [ ( 0.85 * 2500 cm2 * 210 Kg/cm2 ) + (31.04 cm2 * 4200 Kg/cm2) ]

Pu = 403.632, 60 Kg ≈ 403,63 Ton. (Falla en compresión pura).



128

Pto ( II ) : Falla en Tracción: Se obtiene aplicando la ecuación de capacidad de soporte

para elementos en flexo-compresión (Ec. 5.5.2) y (Ec. 5.5.1), obviando la capacidad de resistir

compresión (del concreto).

La expresión queda : Pu = Ø * (As*Fy) , donde :

Pu = 0.70 * (31.04 cm2 * 4200 Kg/cm2)

Pu = 91.257,60 Kg ≈ 91,26 Ton. (Falla en tracción pura).

Pto ( IV ) : Falla Balanceada: Se obtiene aplicando las condiciones de falla balanceada

que establece la Norma COVENÍN-MINDUR 1753 en su capítulo 10.3.2.

(Cap. 10.3.2.) Se define que en una sección existen las condiciones de deformación

balanceada cuando la armadura más traccionada alcanza la deformación correspondiente a su

esfuerzo cedente especificado Fy y simultáneamente el concreto en compresión alcanza la

deformación máxima de 0.003 .

Falla

en

Com

pres

ión

ε u = 0.003

ε y

Armadura

C < Cb Cb

C > Cb d

Falla

Bal

ance

ada

Falla

en

Trac

ción

Cb = d * ε u = d * ( 6300 ) ε u + ε y 6300 + Fy

Figura C-10.3.2. POSICIÓN DEL EJE NEUTRO PARA LAS FALLAS EN TRACCIÓN, BALANCEADA Y EN COMPRESIÓN.



129

Para imponer las condiciones de falla balanceada, se refleja el comportamiento en la

sección transversal de la columna :

Datos : Fy = 4200 Kg/cm2. f'c = 210 Kg/cm2. As = 31.04 cm2. A tot. = 2500 cm2

Cálculo de F (i) : F (i) = ε (i) * Ey . Siempre que : F (i) ≤ Fy. (Fy = 4.200 Kg/cm2).

F1 = ε 1 * Ey = 0.0022 * 2.100.000 = 4.620 Kg/cm2 > Fy (4.200 Kg/cm2)

F2 = ε 2 * Ey = 0.00022 * 2.100.000 = 462 Kg/cm2

Fy = ε y * Ey = 0.002 * 2.100.000 = 4.200 Kg/cm2

Cálculo de P (i) : P (i) = F(i) * As (i)

P1 = 4.200 Kg/cm2 * 11.64 cm2 = 48.888 Kg . (Sentido : ← )

P2 = 462 Kg/cm2 * 7.76 cm2 = 3.585,12 Kg . (Sentido : ← )

Py = 4.200 Kg/cm2 * 11.64 cm2 = 48.888 Kg . (Sentido : → )

Pc = 0.85 * f'c * a * b = 0.85 * 210 Kg/cm2 * 22.95 cm * 50 cm = 204.828,75 Kg. (Sentido : ← )

P (i) (Kg) y (i) (m) M (i) (Kg*m)

48.888,00 0.20 9.777,60

3.585,12 0.00 0.00

- 48.888,00 0.20 9.777,60

204.828,75 0.135 27.651,88

Σ P (i) = Pu = 208.413 Ton. Σ M (i) = Mu = 47.21 Ton*m. (Falla Balanceada).

Diagrama de deformaciones Balanceada

0.50

0.50

8 Ø 7/ 8 "

0.05

0.05

0.20

0.20

d = 0.45 E.N

Cb = 0.27

ε u = 0.003

ε 1=0.0022

ε 2=0.00022

ε y=0.002

a=

22.9

5cm

0.85 f'c

P1

P2

Py

Pc = 0.85*f'c*a*b

Diagrama de esfuerzos

a = β1 * Cb (β1=0.85)

F (i) = ε (i) * Ey ≤ Fy

P(i) = F(i) * As(i)

Ey : Módulo de Elast. Del Acero.

( Ey = 2.100.000 Kg/cm2 )

( Fy = 4.200 Kg/cm2 )



130

Pto ( III ) : Falla en Flexión pura : Se obtiene por tanteos, hasta lograr un valor de (C) tal,

que se anule el valor de Pu.

1º Tanteo. Para C = 15 cm. :


F1 = ε 1 * Ey = 0.002 * 2.100.000 = 4.200 Kg/cm2

F2 = ε 2 * Ey = 0.002 * 2.100.000 = 4.200 Kg/cm2

Fy = ε y * Ey = 0.006 * 2.100.000 = 12.600 Kg/cm2 > Fy (4200 Kg/cm2 )


P1 = 4.200 Kg/cm2 * 11.64 cm2 = 48.888 Kg . (Sentido : ← )

P2 = 4.200 Kg/cm2 * 7.76 cm2 = 32.592 Kg . (Sentido : → )



P (i) (Kg) y (i) (m) M (i) (Kg*m)

48.888,00 0.20 9.777,60

- 32.592,00 0.00 0.00

- 48.888,00 0.20 9.777,60

113.793,75 0.186 21.165,64

Σ P (i) = Pu = 81.20 Ton. (Pu ≠ 0). Σ M (i) = Mu = 40.72 Ton*m.

Diagrama de deformaciones

0.50

0.50

8 Ø 7/ 8 "

0.05

0.05

0.20

0.20

d = 0.45 E.N

C = 0.15

ε u = 0.003

ε 1=0.002

ε 2=0.002

ε y = 0.006 > εs

a=

12.7

5cm

0.85 f'c

P1

P2

Py

Pc = 0.85*f'c*a*b


a = β1 * C (β1=0.85)

F (i) = ε (i) * Ey ≤ Fy

P(i) = F(i) * As(i)


( Ey = 2.100.000 Kg/cm2 )

( Fy = 4.200 Kg/cm2 )



131

2º Tanteo. Para C = 7.75 cm. :


F1 = ε 1 * Ey = 0.0011 * 2.100.000 = 2.310 Kg/cm2

F2 = ε 2 * Ey = 0.007 * 2.100.000 = 14.700 Kg/cm2 > Fy (4200 Kg/cm2 )

Fy = ε y * Ey = 0.014 * 2.100.000 = 29.400 Kg/cm2 > Fy (4200 Kg/cm2 )


P1 = 2.310 Kg/cm2 * 11.64 cm2 = 26.888,40 Kg . (Sentido : ← )

P2 = 4.200 Kg/cm2 * 7.76 cm2 = 32.592 Kg . (Sentido : → )



P (i) (Kg) y (i) (m) M (i) (Kg*m)

26.888,40 0.20 5.377,68

- 32.592,00 0.00 0.00

- 48.888,00 0.20 9.777,60

58.815,75 0.217 12.763,02

Σ P (i) = Pu = 4,22 Ton. (Pu ≈ 0). Σ M (i) = Mu = 27,92 Ton*m. (Falla en flexión pura).

Diagrama de deformaciones

0.50

0.50

8 Ø 7/ 8 "

0.05

0.05

0.20

0.20

d = 0.45 E.N

C = 0.0775

ε u = 0.003

ε 1=0.0011

ε 2=0.007 > εs

ε y = 0.014 > εs

a=

6.59

cm

0.85 f'c

P1

P2

Py

Pc = 0.85*f'c*a*b


a = β1 * C (β1=0.85)

F (i) = ε (i) * Ey ≤ Fy

P(i) = F(i) * As(i)


( Ey = 2.100.000 Kg/cm2 )

( Fy = 4.200 Kg/cm2 )



132

Representando los puntos calculados en el diagrama de interacción correspondiente queda

una gráfica como la siguiente :

Usualmente, los elementos sometidos a flexo-compresión se calculan por medio de una

serie de diagramas de interacción que abundan en los textos que abordan este tema (Algunos de

los cuales se anexan al final de este tema) . Estos diagramas (que se asemejan al del ejemplo

anterior) están graficados considerando :

1.- Las características de los materiales (Fy ; f'c) .

2.- El factor de minoración de capacidad resistente para columnas con estribos (Ø = 0.70) .

3.- La relación entre la distancia que contiene al núcleo de la sección y la distancia total del mismo

lado ( g = h - 2rec ) . Los valores de ( g ) varían según sea el recubrimiento entre 0.70 y 0.90 . h

En estos diagramas de interacción, el eje de las ordenadas representa los valores de carga

específica que se designa con la sigla ( ν ) ; y en el eje de las abscisas se representan los valores

de momento específico que se designa con la sigla ( μ ). Donde :

ν = Pu y μ = Mu = ν * e f'c * b*h f'c * b2 * h b

Falla Balanceada (IV) Pu = + 208,413 Ton Mu = 47,21 Ton*m

Pu (Ton)

Mu (Ton*m)

θ

Compresión Pura (I) Pu = + 403,63 Ton

Flexión Pura (III) Pu ≈ 0 Ton Mu = 27,92 Ton*m Tracción Pura (II)

Pu = - 91,26 Ton

e = Tg (θ) = Mu/Pu

DIAGRAMA DE INTERACCIÓN (EJEMPLO Nº 5.7.1.1)



133

Los términos que incluyen las expresiones son :

Pu : Carga límite especificada que resiste la columna.

Mu: Momento flector límite (o de falla) que resiste la columna.

f'c : Resistencia específica a compresión del concreto.

b : Lado de la secc. transversal de la columna, paralelo al eje donde se ubica Pu.

h : Lado de la secc. transversal de la columna, perpendicular al eje donde se ubica Pu.

e : Excentricidad respecto al centro de inercia de la sección transversal.

Por otra parte las curvas de los diagramas de interacción, corresponden a diferentes

valores adimensionales de la expresión (ρt.m) usualmente comprendidos entre 0.01 y 1.00 . La

expresión (ρt.m), se conoce también con el nombre de cuantía mecánica de armadura, y se

designa con la letra ( ω ).

Si :

ρt = As y m = Fy Siendo : A tot = b * h (Área de la secc) Atot 0.85*f'c

Entonces : ω = ρt.m = As * Fy Atot 0.85*f'c

Pu e

e Pu

h

b

b

h

Pu Mu = Pu * e

x

y

x , y : Ejes ppales. de Inercia



134

En resumen, para diseñar elementos en flexo-compresión utilizando los diagramas de

interacción, se procede de la siguiente forma :

1. Debe conocerse previamente las dimensiones transversales del elemento, la carga de

falla (Pu) y el momento flector de falla (Mu).

2. Se determinan los valores de :

2.1.- ( g ) : g = h - 2rec ( 0.70 ≤ g ≤ 0.90). Donde : (rec = recubrimiento) h

2.2.- ( ν ) : ν = Pu f'c * b*h

2.3.- ( μ ) : μ = Mu = ν * e f'c * b2 * h b 3. Se escoge la tabla (o Ábaco) que coincida con los valores de Fy , f'c y el valor de ( g )

determinado en el paso 2.1.

4. En la tabla escogida, se intersectan los valores específicos de ( ν ) y de ( μ ) para

obtener la curva que representa el valor correspondiente de ( ρt.m ).

5. Con el valor obtenido de ( ρt.m ; Usualmente comprendido entre 0.01 y 1.00 ), se

despeja ( ρt ) conociendo el valor de ( m ) : m = Fy

0.85*f'c

6. Se determina el refuerzo necesario ( As ) despejándolo de la expresión ρt = As A tot.

Donde A tot; es el área de la secc. transversal de la columna.

TABLAS (o ÁBACOS) :

Los diagramas de interacción (o Ábacos) para el diseño de elementos sometidos a flexo-

compresión, varían según la forma de la sección transversal de la columna (Ya sea rectangular o

circular), las características de los materiales ( Fy y f'c ), y el valor de ( g ) comprendido

generalmente entre 0.70 y 0.90. A continuación se presentan dos (2) diagramas de interacción

típicos. Sin embargo al final del tema, se anexan los diagramas de secciones más comunmente

usados, así como los valores tabulados de cada diagrama.

Posteriormente, se ilustrará su aplicación con la resolución de un diseño de columna.



135

ÁBACO Nº 3

pt*m = 1.000.90

0.70pt*m = 0.500.30

0.10pt*m = 0.01

e/t =

0.0

5

e/t =

0.1

0

e/t = 0.

15

e/t =

0.20

e/t = 0.25

e/t = 0.30

e/t = 0.40

e/t = 0.50

e/t = 0.60

0.700.801.001.502.004.006.000.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

1.30

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.22

0.24

0.26

Mu (Específico) ⇒ μ = ν*e/h = Mu / (f'c* b*h2)

Pu (E

spec

ífico

) =

Pu

/ (f'c

*b*h

)

b

h

gh

Pu

e

Fy = 4200 Kg/cm2

f'c ≤ 280 Kg/cm2

g = 0.80

ÁBACO Nº 4

pt*m = 1.000.900.70

pt*m = 0.500.300.10pt*m = 0.01

e/t =

0.0

5

e/t =

0.1

0

e/t =

0.15

e/t =

0.20

e/t = 0.25

e/t = 0.30

e/t = 0.40

e/t = 0.50

e/t = 0.60

0.700.801.001.502.004.006.000.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

1.30

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.22

0.24

0.26


Pu (E

spec

ífico

) =

Pu

/ (f'c

*b*h

)

b

h

gh

Pu

e

Fy = 4200 Kg/cm2

f'c ≤ 280 Kg/cm2

g = 0.90

Ejemplo Nº 5.7.1.2 :

Con : ν = 0.181

Y : μ = 0.133

Se obtiene ρt.m ≈ 0.35

Y e/h = 0.70



136

Ejemplo Nº 5.7.1.2.- Diseñar una columna sometida a flexo-compresión normal, cuya

sección transversal es de 0.50 x 0.50, sometida a una carga Pu = 95 Ton., un momento flector Mu

= 35 Ton*m; y con f'c = 210 Kg/cm2 y Fy = 4200 Kg/cm2.

R.- 1.- Siendo una columna rectangular, se supondrá una distribución uniforme del

refuerzo en todas las caras de la columna ; así como un recubrimiento uniforme de 2.50 cm.

2.- Calculando el valor de g : g = h - 2rec = 50 cm - 2*2.50 cm = 45 cm = 0.90 h 50 cm 50 cm

Hallando los valores de carga y momento específicos :

ν = Pu = 95000 Kg = 0.181 f'c * b*h 210 Kg/cm2 * 50 cm * 50 cm

μ = Mu = 3500000 Kg*cm = 0.133 f'c * b2 * h 210 Kg/cm2 * (50 cm)2 * 50 cm

3.- Utilizamos la tabla correspondiente a los valores de : g = 0.90 ; Fy = 4200 Kg/cm2 ; f'c

= 210 Kg/cm2 . (Ábaco Nº 4).

4.- En la tabla escogida (El ábaco Nº 4 de los diagramas anexos), se intersectan los

valores específicos de ( ν ) y de ( μ ) para obtener la curva correspondiente de ( ρt.m ). En este

caso, el pto., de intersección se encuentra en la recta (e/h = 0.7); y entre las curvas ρt.m = 0.30

y ρt.m = 0.40 . Para obtener el valor más real posible se interpola entre las dos curvas

obteniéndose un valor aproximado de ρt.m = 0.35 .

Pu Mu = Pu * e

Mu

b = 0.50

h = 0.50

y

x



137

La línea recta e/h = 0.7, nos indica una excentricidad de cálculo que se obtiene despejando

( e ) de la expresión : e = 0.7 * 50 cm = 35 cm. La excentricidad mínima para el diseño de

elementos en flexo-compresión se suele tomar como el 10 % de la dimensión de la sección. En

nuestro caso : e mín = 10 % (50 cm) = 0.1 * 50 = 5 cm. Por lo que : Excentricidad de cálculo :

e = 35 cm > e mín (5 cm)

5.- Con el valor obtenido de ρt.m = 0.35 , se despeja ρt , conociendo el valor de m :

m = Fy = 4200 Kg/cm2 = 23.529 ⇒ ρt = 0.35 / m

0.85*f'c 0.85 * 210 Kg/cm2

ρt = 0.35 / m = 0.35 / 23.529 = 0.015 (Cuantía geométrica de armadura)

Nota : Aunque no se hace mención, la cuantía geométrica de armadura para el diseño ( r ) ; debe superar el

requerimiento mínimo establecido por la Norma COVENÍN-MINDUR. Este requerimiento se menciona en el punto 5.2.- ARMADURA LONGITUDINAL que establece los parámetros de cuantías máximas y mínimas en :

(0.01 ≤ r ≤ 0.06 )

6. Se determina el refuerzo necesario ( As ) despejándolo de la expresión ρt = As A tot.

Donde A tot; es el área de la secc. transversal de la columna.

As = ρt * A tot. = 0.015 * 50 cm * 50 cm = 37.50 cm2 (Refuerzo necesario)

Se presentarán dos (2) opciones (De las muchas posibles ) para la distribución del refuerzo

en la sección transversal de la columna.

Opción 1 ⇒ 10 Ø 7/8 " (As = 38.70 cm2)

Opción 2 ⇒ 4 Ø 7/8 " + 4 Ø 1 " (As = 35.80 cm2) (Distribución más simétrica).

Analicemos por separado cada una de las opciones propuestas :

Opción 1 ( 10 Ø 7/8 " ) : Como el número de barras imposibilita una distribución simétrica

en la sección transversal, se buscará orientar el lado de la sección que tenga mayor número de

barras; en dirección perpendicular al momento flector (Mu), de forma tal que contribuya a dar más

soporte al elemento.



138

Por otra parte también se considerará la disposición de la armadura para resistir corte,

según lo expuesto en el punto 5.4.- ARMADURA TRANSVERSAL . ya que " no puede haber

barras sin soporte lateral, alejadas más de 15 cm., de las que posean soporte lateral " .

Opción 2 ( 4 Ø 7/8 " + 4 Ø 1 " ) : En esta propuesta, el número de barras posibilita una

distribución simétrica en la sección transversal, además el acero proporcionado se acerca más al

valor real de cálculo. Por otra parte, como también se considera la disposición de las armaduras

para resistir corte; su distribución varía notablemente.

M

y

x

0.45

0.45 0.

45 0.45

0.15 0.15


0.15

0.45

0.15

Grapa Ø 3/8" x 0.75

0.50

0.50

10 Ø 7/8 "

Opción 1 :

0.45

0.45

0.45 0.45

0.15 0.15


0.16 0.16

0.32 0.32

0.32 0.32

Lig. Ø 3/8" x 1.60

0.50

0.50

Opción 2 :

4 Ø 1 "

4 Ø 7/8 "



139

5.7.2.- Flexo-Compresión Oblícua :

La flexo-compresión oblicua ( o esviada) ocurre cuando la carga de falla (Pu) NO coincide

o NO está aplicada en ningún punto de los ejes principales de inercia (x ; y) de la sección

transversal del elemento. Dicho de otro modo; cuando la carga (Pu) está ubicada fuera de los ejes

principales de inercia, se dá lugar a una excentricidad que ocurre tanto en un lado de la sección

transversal del elemento, como en el otro (ex ; ey) . Estas excentricidades originan momentos

flectores de falla en ambas direcciones (Mux ; Muy). (Ver figura 5.7.2.1).

El diagrama de interacción que se genera en flexo-compresión oblicua, debe ser

representado en un sistema de tres (3) ejes de coordenadas. En este sistema, el eje de las

ordenadas estará representado por los valores de (Pu); y los otros dos (2) ejes de las abscisas

por los valores de (Mux) y (Muy) . Cuando se grafica este diagrama, se dá origen a un volumen

cónico-convexo de interacción que representa todas las posibles combinaciones que producen la

falla en el elemento. Este volumen de interacción , se asemeja mucho al de la figura 5.7.2.2.

y

x h

b

c.g

Pu e

ex

ey

Mux = Pu * ex Muy = Pu * ey

Figura 5.7.2.1.

Falla Balanceada

Pu

Mux = Pu * ex

Compresión Pura

Tracción PuraMuy = Pu * ey

FIGURA 5.7.2.2

VOLUMEN DE INTERACCIÓN

(Ver Fig. 5.7.2.3. )

Plano de Momento Específico (μo)



140

En el volumen de interacción que se genera, se pueden identificar los puntos

característicos que identifican la falla del elemento. A diferencia del caso de la flexo-compresión

normal, el cálculo de los puntos que identifican el volumen de interacción en flexo-compresión

oblicua es muy complicado. Para simplificar este cálculo se emplea lo que se conoce

comunmente como el método de cálculo del momento específico.

Si en flexo-compresión normal, el momento específico es : μ = Mu f'c * b*h2

En flexo-compresión oblicua el momento específico será : μ o = μx + μy

Donde : μx = Mux Y μy = Muy f'c * b2 * h f'c * b * h2 Estos valores de momento específico, se determinan del volumen de interacción, como lo

muestra la figura 5.7.2.3.

La relación entre el ancho del núcleo y el lado total (g), se determina para cada lado de la

sección transversal . Es decir :

qx = b y qy = h b - 2rec h - 2rec

La carga específica ( ν ) se determina como en la flexo-compresión normal : ν = Pu f'c * b*h


Mux

θ

Muy

Mux Muy Mu


Mux

Muy

θ Muy

Mux

Mu

Figura 5.7.2.3.



141

El cálculo de un elemento en flexo-compresión oblicua, se ilustra a continuación :

Ejemplo Nº 5.7.2.1.- Diseñar la columna sometida a flexo-compresión oblicua, cuya

sección transversal es de 0.55 x 0.65, con f'c = 250 Kg/cm2 y Fy = 4200 Kg/cm2. Si está

sometida a las siguientes acciones :

Solicitaciones en servicio : P (Ton) Mx (Ton*m) My (Ton*m) Cargas Permanentes (CM) : 20 8 5

Cargas variables (CV) : 14 7 3

Sismo X (Sx) : 9 6 7

Sismo Y (Sy) : 8 7 4

Nota : Las solicitaciones se obtienen del análisis estructural que se hace a los pórticos que conforman la

superestructura. Aunque este análisis es riguroso, se han tomado valores indicativos para la resolución del

ejemplo.

R.- Las combinaciones de carga a que se hacen referencia al inicio de este tema, se

aplicarán para cada una de las solicitaciones dadas. De esta forma se precisará cual será la

combinación más desfavorable para utilizarla en el diseño del elemento.

Las combinaciones de carga con las cuales deben diseñarse las columnas son :

U = 1.4 CM + 1.7 CV

U = 0.75*(1.4CM + 1.7CV) +/- S

U = 0.90*(CM + CV) +/- S

Mux

b = 0.55

h = 0.65

y

x

Muy



142

Calculando el valor de g : gx = b - 2rec = 55 cm - 2*2.50 cm = 50 cm = 0.909 b 55 cm 55 cm

gy = h - 2rec = 65 cm - 2*2.50 cm = 60 cm = 0.923 h 65 cm 65 cm

Adoptamos g = 0.90


ν = Pu = Pu f'c * b*h 250 Kg/cm2 * 55 cm * 65 cm

μ x = Mux = Mux f'c * b2 * h 250 Kg/cm2 * (55 cm)2 * 65 cm

μ y = Muy = Muy f'c * b * h2 250 Kg/cm2 * 55 cm * (65 cm)2

μ o = μ x + μ y

ω = ρt.m ⇒ Se obtiene del diagrama de interacción respectivo. (Ábaco Nº 4. Anexos)

Los resultados del análisis se presentan tabulados a continuación :

Nº CASO Pu

(Ton) Mux

(Ton*m)Muy

(Ton*m) ν μx μy μo ω = ρt.m

1 1.4 CM + 1.7 CV 51.80 23.10 12.10 0.058 0.047 0.021 0.068 0.15

2 0.75*(1.4CM + 1.7CV) + Sx 47.85 23.33 16.08 0.054 0.047 0.028 0.075 0.15

3 0.75*(1.4CM + 1.7CV) - Sx 29.85 11.33 2.08 0.033 0.023 0.004 0.027 0.05

4 0.75*(1.4CM + 1.7CV) + Sy 46.85 24.33 13.08 0.052 0.049 0.023 0.072 0.15

5 0.75*(1.4CM + 1.7CV) - Sy 30.85 10.33 5.08 0.035 0.021 0.009 0.030 0.05

6 0.90*(CM + CV) + Sx 39.60 19.50 14.20 0.044 0.040 0.025 0.065 0.15

7 0.90*(CM + CV) - Sx 21.60 7.50 0.20 0.024 0.015 0.0003 0.015 0.05

8 0.90*(CM + CV) + Sy 38.60 20.50 11.20 0.043 0.042 0.019 0.061 0.15

9 0.90*(CM + CV) - Sy 22.60 6.50 3.20 0.025 0.013 0.006 0.019 0.05



143

Chequeando excentricidad : e/h = 1.00

ex = 1.00 * 55 cm ⇒ ex = 55cm .

ey = 1.00 * 65 cm ⇒ ey = 65cm . (En cada caso cumple e ≥ 10% Lado sección).

Para el cálculo de As, se toma de la tabla se toma el valor más desfavorable :

ω = ρt.m = 0.15.

Con el valor obtenido de ρt.m = 0.15 , se despeja ρt , conociendo el valor de m :

m = Fy = 4200 Kg/cm2 = 19.765 ⇒ ρt = 0.15 / m

0.85*f'c 0.85 * 250 Kg/cm2

ρt = 0.15 / m = 0.15 / 19.765 = 0.008 (Cuantía geométrica de armadura) .

Se adopta ρ mín = 0.01

Se determina el refuerzo necesario ( As ) despejándolo de la expresión ρt = As A tot.

As = ρt * A tot. = 0.01 * 55 cm * 65 cm = 35.75 cm2 (Refuerzo necesario).

Opción ⇒ 4 Ø 7/8 " + 4 Ø 1 " (As = 35.80 cm2) .

0.55

0.65

Opción :

4 Ø 1 "

4 Ø 7/8 "

0.50

0.50

0.60

0.60

0.15 0.15


0.16

0.37 0.37

0.37 0.37

Lig. Ø 3/8" x 1.80

0.16



144

5.8.- EFECTO DE LA ESBELTEZ EN COLUMNAS :

Como yá se mencionó en el pto., 5.7.- LAS COLUMNAS COMO ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXO-COMPRESIÓN ; las columnas son elementos cuya sección transversal es

comparativamente mucho menor que su respectiva altura medida a lo largo de su eje longitudinal.

Estando las columnas apoyadas verticalmente, es de suponer que su flexión lateral respectiva sea

considerable.

Si la altura de la columna vá en aumento, la posible flexión lateral también se magnifica

dando origen a la falla del elemento por flexión pura. Cuando esto ocurre, se debe a que la

columna es esbelta. Un elemento de esbeltez considerable, rompe bajo una carga de compresión

menor que un elemento menos esbelto de las mismas dimensiones de sección transversal.

La Norma COVENÍN-MINDUR 1753 establece en su capítulo 10 (FLEXIÓN Y CARGAS

AXIALES) que los efectos de esbeltez en las columnas, pueden evaluarse utilizando un

procedimiento aproximado basado en la magnificación de los momentos flectores.

Si se analiza en detalle una de las formas típicas de falla en elementos esbeltos; en la cual

existe una carga en compresión axial que provoca flexión lateral como lo muestra la figura

5.8.1.(a), nos dá una idea del comportamiento del elemento.

P

P

L

Pcr

Pcr

δ

Figura 5.8.1.

(a) (b)



145

Si esta carga en compresión aumenta hasta el punto donde la flexión sea la máxima que

pueda soportar la columna (Figura 5.8.1.(b)), se obtendrá el valor de la carga de agotamiento (Pcr)

y el valor de flecha máxima ( δ ). A partir de este análisis el físico francés Euler propuso la fórmula

para columnas largas o muy esbeltas. La fórmula que propone Euler es la siguiente :

Pcr = π2 * E * I (k * L)2 Donde : Pcr : Carga crítica que pandea la columna.

E : Módulo de elasticidad del concreto.

I : Momento de Inercia de la sección.

k : Factor de longitud efectiva.

L : Longitud no arriostrada de la columna.

Si : I = r2 * A Siendo : r : Radio de giro en la secc. transversal.

A : Área de la sección transversal.

Pcr , se transforma a : Pcr = π2 * E * (r2 * A) (k * L)2

Pcr = π2 * E * r2 ⇒ Pcr = π2 * E A (k * L)2 A (k *L/r)2

La expresión (k *L/r) se denominará ⇒ Razón de esbeltez.

Dependiendo de las condiciones de fijación de los elementos, el factor de longitud efectiva

( k ) también variará. Este factor modifica la longitud real de la columna en una longitud

equivalente que determina la distancia entre los punto de inflexión. La figura 5.8.2. muestra los

respectivos valores teóricos de ( k ) según el tipo de vinculación.

Pcr

Pcr

L

Pcr

Pcr

Pcr

Pcr

Pcr

Pcr

Pcr

Pcr

Pcr

Pcr

k = 0.50 k = 0.70 k = 1.00 k = 1.00 k = 2.00 k = 2.00

FIGURA 5.8.2



146

5.8.1.- Consideraciones para los efectos de Esbeltez :

Las Normas A.C.I., y las Normas COVENÍN-MINDUR 1753 en su capítulo 10.11.4

Consideración de los efectos de esbeltez, establecen ciertas consideraciones de los efectos de

esbeltez que se deben tomar en cuenta. Estas consideraciones son :

10.11.4.1.- Para los miembros comprimidos arriostrados contra desplazamientos laterales,

los efectos de esbeltez pueden despreciarse cuando :

k *Lu / r < 34 - 12*(M1/M2) Donde : M1 y M2 : Momentos en los extremos.

10.11.4.2.- Para miembros comprimidos NO arriostrados contra desplazamientos laterales,

los efectos de esbeltez pueden despreciarse cuando :

k *Lu / r < 22

10.11.4.3.- Para todos los miembros comprimidos se hará un análisis tal como se define en

la sección 10.10.1, cuando :

k *Lu / r > 100

• Lu : Será la longitud NO arriostrada del elemento comprimido.

• El radio de giro ( r ) será igual a :

Secc. Rectangulares : 0.30 veces la dimensión menos estable de la secc. transversal del

miembro comprimido.

Secc. Circulares : 0.25 veces el diámetro de la sección transversal del miembro comprimido.

• El factor de longitud efectiva ( k ) se determinará mediante la aplicación del nomograma

(anexo) Figura 5.8.3., determinando previamente los valores de los factores ψA y ψB en los

extremos de cada elemento comprimido analizado. En el respectivo nomograma, el valor de

( k ) se obtiene uniendo mediante una línea recta los valores de ψA y ψB ; el punto de

intersección dará el valor de ( k ).



147

Para la utilización de los nomogramas, se determinan los valores respectivos en los nodos del

elemento comprimido ( ψA ) y ( ψB ), y dependiendo si el pórtico es arriostrado o nó; se utiliza el

nomograma correspondiente. La intersección de los valores determinará el valor del factor de

longitud efectiva ( k ).

Cuando el miembro comprimido está en la base de la edificación, se recomienda adoptar el

valor de (ψ), según la vinculación a tierra, como se muestra a continuación :

PÓRTICOS ARRIOSTRADOS PÓRTICOS NO ARRIOSTRADOS

ψ = ∑ ( E*I / L)COL DE MIEMBROS COMPRIMIDOS ∑ ( E*I / L)VIGA DE MIEMBROS SOMETIDOS A FLEXIÓN

k ⇒ FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA.

FIGURA 5.8.3. NOMOGRAMA PARA LA DETERMINACIÓN DE LONGITUD EFECTIVA ( k )

∞ ψA

50.0 10.0

5.0 3.0

2.0

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5

0.4 0.3

0.2

0.1

0

∞

ψB

50.0 10.0 5.0 3.0

2.0

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5

0.4 0.3

0.2

0.1

0

k

1.0

0.9

0.8

0.7 0.6 0.5

k = 1.32

∞ ψA

100.0 50.0 30.0 20.0

10 0

3.0 2.0 1.0

0

9 08 07 06 0

5 04 0

20.0 10.0 5.0

4.0 3.0 2.0 1.5

1.0

k ∞ ∞ ψB

100.0 50.0 30.0 20.0

10 0

3.0 2.0

1.0

0

9 08 07 06 05 0

4 0



148

Ejemplo de cómo determinar ( ψ ) :

5.8.2.- Magnificación de los Momentos : (Capítulo 10.11.5, Normas 1753)

El diseño de columnas en concreto armado se hace en función de la rotura, es decir

mediante la mayoración de las cargas permanentes (qcm) y accidentales (qcv) provenientes del

análisis de la estructura. Esto se resumen en la expresión :

qu = 1.4*(qcm) + 1.7*(qcv)

Los momentos magnificados se calculará por la expresión :

Mc = δb*M2b + δs*M2s donde : M2b ⇒ Momento debido a las acciones gravitacionales.

M2s ⇒ Momento debido a las acciones laterales.

A

B ψΒ

ψΑ Si el apoyo en B es empotrado: ψΒ = 1

Si el apoyo en B es articulado : ψΒ = 10

El factor ( ψ ) se determinará con la expresión :

ψ = ∑ ( E*I / L)COLUMNA ∑ ( E*I / L)VIGA

ψA = ( E*I AB / L AB) ( E*I1 / L1)

ψB = ( E*I AB / L AB) + ( E*I BD / L BD) ( E*I3 / L3) + ( E*I2 / L2)

ψD = 1.00

A

B

D

C

1

2 3



149

δb = Cm ≥ 1.00 Y : 1 - Pu / Ø*Pc

δs = 1 (Si el pórtico está arriostrado contra desp. Lateral δs = 0) 1 - ∑ Pu / Ø * ∑ Pu

Pc = π2 * E*I Se puede adoptar : E*I = (Ec * Ig / 5) + Es * Ise (k*Lu)2 1 + βd

Si no se disponen de datos sobre el refuerzo, se puede adoptar : E*I = (Ec * Ig / 2.5) 1 + βd

Ec : Módulo de elasticidad del concreto (Ec = 15100 * √ f'c ).

Es : Módulo de elasticidad del acero (Es = 2.100.000 Kg/cm2 ).

Ig : Momento de inercia de la sección gruesa de la columna.

Ise : Momento de inercia de la armadura respecto al eje baricéntrico de la columna.

βd : Relación entre el momento por carga permanente y el momento total. βd = M(cm) M(total)

Cm = 0.6 + 0.4* M1b ≥ 0.4 (Con arriostramiento Lateral, sin cargas transversales intermedias). M2b

Cm = 1.00 (Para todos los demás casos).

M1b : Menor momento mayorado en el extremo NO producido por desplazamientos laterales.

M2b : Mayor momento mayorado en el extremo NO producido por desplazamientos laterales.

Ejemplo Nº 5.8.1.- : Diseñar la columna AB (ver figura) que forma parte de un pórtico que

NO está arriostrado contra desplazamientos laterales, cuya sección transversal es de 0.55 x 0.55 y

de luz libre NO arriostrada = 5.20 m; considerando (De ser necesario) los efectos que producen la

esbeltez en el elemento. Se há determinado que en todas las vigas se cumple que : IVIGA / LVIGA =

850 cm3 . Además los datos de carga y características de los materiales son los siguientes :

Solicitaciones en servicio : P (Ton) M (Ton*m)

Cargas Permanentes (CM) : 20.90 12.56

Cargas variables (CV) : 42.80 31.40

Acero : Fy = 4200 Kg/cm2.

Concreto : f'c = 250 Kg/cm2.

4.80

5.20

5.20

A

B (0.5

5 x

0.55

) (0

.55

x 0.

55)

(0.5

5 x

0.55

)

C



150

R.- Siendo un pórtico NO arriostrado contra desplazamientos laterales, se comenzará

verificando la esbeltez :

1.- Chequeo de esbeltez : Se determina la razón de esbeltez dad por la expresión :

k *Lu / r Donde : Lu = 5.20m = 520 cm

r = 30 % (Dimensión elemento) = 0.3* 0.55 = 0.165m = 16.5 cm.

Si : k *Lu / r < 22 ⇒ Pueden despreciarse los efectos de la esbeltez.

k : El factor ( ψ ) se determinará con la expresión :

ψ = ∑ ( E*I / L)COLUMNA Donde : E*I = (Ec * Ig / 2.5) ∑ ( E*I / L)VIGA 1 + βd Ec = 15100 * √ f'c = 15100 * √ 250 = 238752 Kg/cm2.

Ig = b * h3 = (55)4 = 762552.08 cm4. 12 12

βd = M(cm) = 12.56 = 0.286 M(total) (12.56 + 31.40)

E*I = (238752 * 762552.08 / 2.5) E*I = 5.663 x 1010 Kg*cm2. 1 + 0.286

ψA = ∑ ( E*I / LAB)COLUMNA + ∑ ( E*I / LAC)COLUMNA = (5.663 x 1010 /520) + (5.663 x 1010 /480) ∑ ( E*I / L)VIGA 238752 * 850

ψA = 1.12

ψB = ∑ ( E*I / LAB)COLUMNA* 2 = (5.663 x 1010 /520) * 2 ∑ ( E*I / L)VIGA 238752 * 850

ψB = 1.07

Con los valores de : ψA = 1.12 y ψB = 1.07 , se determina el valor de ( k ) en el

nomograma (5.8.3) respectivo (Pórticos NO arriostrados), obteniéndose un valor de : k = 1.32

Calculando la razón de esbeltez : k *Lu / r = 1.32 * 5.20 / 0.165 = 41.60 > 22

Por lo tanto es necesario considerar los efectos de la esbeltez.



151

2.- Magnificación de Momentos : Mc = δb*M2b + δs*M2s

Para este caso se despreciarán los momentos por desplazamientos laterales (M2s = 0) , por

lo que la expresión se reduce a :

Mc = δb*M2b . Donde : δb = Cm ≥ 1.00 1 - Pu / Ø*Pc

Cm = 0.6 + 0.4* M1b ≥ 0.4 (Con arriostramiento Lateral, sin cargas transversales intermedias). M2b

Cm = 1.00 (Para todos los demás casos).

Como el presente es para caso SIN arriostramiento lateral, se tomará : Cm = 1.00

Pu = 1.4*(Pcm) + 1.7*(Pcv) = ( 1.4*20.90) + (1.7*42.80) = Pu = 102.02 Ton.

La carga crítica : Pc = π2 * E*I = π2 * 5.663 x 1010 = Pc = 1186.292 Ton. (k*Lu)2 (1.32 * 520) 2

δb = 1.00 ≥ 1.00 ⇒ δb = 1.14 1 - 102.02 / (0.70*1186.292)

El momento mayorado será : M2b = 1.4* M(cm) + 1.7*M(cv) = (1.4*12.56) + (1.7*31.40) =

M2b = 70.964 Ton*m .

Por lo que el Momento magnificado será : Mc = δb*M2b = 1.14 * 70.964 = 80.90 Ton*m

Mc = 80.90 Ton*m .

3.- Diseño de la Columna : Siendo una columna rectangular, se supondrá una distribución

uniforme del refuerzo en todas las caras de la columna ; así como un recubrimiento uniforme de

2.50 cm.

Calculando el valor de g : g = h - 2rec = 55 cm - 2*2.50 cm = 50 cm = 0.90 h 55 cm 55 cm


ν = Pu = 102.02 * 1000 Kg = 0.135 f'c * b*h 250 Kg/cm2 * 55 cm * 55 cm



152

μ = Mu = 80.90 * 1000*100 Kg*cm = 0.195 f'c * b2 * h 250 Kg/cm2 * (55 cm)2 * 55 cm

Utilizamos la tabla (Ábaco Nº 4) correspondiente a los valores de : g = 0.90 ; Fy = 4200

Kg/cm2 ; f'c = 250 Kg/cm2 . Se obtiene : ρt.m = 0.72 .

La línea recta e/h = 1.50, nos indica una excentricidad de cálculo : e = 1.5 * 55 cm = 82.50

cm. La excentricidad es el 10 % de la dimensión de la sección. En nuestro caso : e mín = 10 %

(55 cm) = 0.1 * 55 = 5.50 cm. Por lo que : Excentricidad de cálculo : e = 82.50 cm > e mín (5

cm).

Con el valor obtenido de ρt.m = 0.72 , se despeja ρt , conociendo el valor de m :

m = Fy = 4200 Kg/cm2 = 19.765 ⇒ ρt = 0.72 / m

0.85*f'c 0.85 * 250 Kg/cm2

ρt = 0.72 / m = 0.72 / 19.765 = 0.036 (Cuantía geométrica de armadura)

Se determina el refuerzo necesario ( As ) despejándolo de la expresión ρt = As A tot.

As = ρt * A tot. = 0.036 * 55 cm * 55 cm = 108.90 cm2 (Refuerzo necesario)

Opción ⇒ 22 Ø 1 " (As = 111.54 cm2)

La disposición del refuerzo (longitudinal y transversal) en la sección de la columna se hará

según lo dispuesto en el Capítulo Nº 7 (SEPARACIÓN DEL REFUERZO) de las Normas

COVENÍN-MINDUR 1753. El detalle se muestra a continuación :

Opción :

0.50

0.50

0.50 0.50

0.25

0.25


La Norma permite "agavillar" hasta

un máximo de tres (3) barras en las

esquinas de las columnas, siempre

y cuando estén firmemente sujetas

entre sí.

22 Ø 1 "

0.55

0.55



153

5.9.- PREDIMENSIONADO DE COLUMNAS (Por carga Vertical) :

Método Empírico : Este método, basado en la teoría de rotura, permite obtener el área de

la sección transversal de una columna en función de su área de carga tributaria estimada. La

mínima dimensión de cualquiera lado de la sección transversal de una columna NO será menor de

25 cms., NO obstante, como se mencionó en el punto 5.1. CONDICIONES GEOMÉTRICAS , con

la entrada en vigencia de la normativa Venezolana Sismoresistente (1756-99) las columnas

tendrán una dimensión de al menos 30 cms., en la cara de menor tamaño.

Supongamos un plano de planta, en el que se desea estimar las dimensiones de las columnas :

6.00

6.00

4.00 4.00 4.00

At(C-3)

C B A D

3

2

1

At(B-2)

At(D-1)

2.00

3.00

2.00 2.00

2.00 2.00

3.00

3.00

3.

00

PLANTA

El área tributaria de una columna, es la porción

estimada (según el plano de planta) que soporta

dicha columna, incluyendo los pesos de los

elementos que formen parte de la planta.

Para el ejemplo propuesto se han destacado tres (3)

columnas características , para estimar el área

tributaria de cada una, estas son :

Columna central (B-2) . At (B-2) = 6 * 4 = 24.00 m2 Columna lateral (C-3) . At (C-3) = 4 * 3 = 12.00 m2

Columna esquinera (D-1). At (D-1) = 3 * 2 = 6.00 m2

Pn = 0.85* (Ac*f'c) + (As*Fy)

Ac = A tot. - As Para facilitar el cálculo, obviamos la existencia de refuerzo (As = 0)

Pu ≤ Ø * Pn (Ø = 0.70)

La ecuación para predimensionar se deduce a partir de la condición de diseño de elementos

sometidos a flexo-compresión :



154

En este punto, es necesario considerar que según la ubicación de la columna (Central,

lateral, esquinera) los esfuerzos no son los mismos, por lo tanto se debe aplicar un Factor de

Volcamiento (fv) de acuerdo a la ubicación, es decir :

Pu = Ø * 0.85*A tot *f'c * fv . Si, Pu = P serv * FM :

Pserv * FM = Ø * 0.85*A tot *f'c * fv . Despejando A tot :

A tot = (P serv * FM) / (Ø * 0.85 * f'c * fv) (FM =1.50)

La ecuación básica para el predimensionado (5.6.A) A tot = (P serv * FM) / (Ø * 0.85 * f'c * fv)

puede simplificarse si se agrupan apropiadamente los términos que son independientes :

Términos Independientes ;

Factor de Mayoración ( FM ) : FM = 1.50

Factor de minoración ( Ø ) : Ø = 0.70

Factor de Volcamiento ( fv ) : fv = Dependiendo de la ubicación de la columna.

Si estos términos independientes se agrupan en uno solo, que designaremos con la letra (a) , queda :

a = (Ø*0.85*fv) / FM

Con (Ø = 0.70) y (FM = 1.50 ) tendremos : Ubic. Columna (fv) (a)

Esquineras ................. 0.50........ 0.20

Laterales .................... 0.63........ 0.25

Centrales ................... 0.70 ....... 0.28

Por lo que la ecuación básica de predimensionado (5.6.A), queda simplificada a: Atot = Pserv / (a*f'c)

Que será la ecuación simplificada que se utilizará para el predimensionado de columnas .

Por lo tanto la ecuación queda :

Pn = 0.85*A tot *f'c . Trabajando en la ec., de diseño :

Pu = Ø * 0.85*A tot *f'c .

Factor de Volcamiento (fv) :

Ubic. Columna (fv)

Esquineras ................. 0.50

Laterales .................... 0.63

Centrales ................... 0.70



155

La carga en servicio (Pserv) se obtiene según los elementos estructurales y NO

estructurales, área tributaria y números de pisos que soporta la columna.

Pserv = ( Wg * At) * Nº de pisos , donde : Wg : Peso estimado de los elementos (Kg/m2)

At : Área tributaria de la columna. (m2)

(Tabla 5.1) Wg : Peso estimado de los elementos (Kg/m2)

h (cm)

Losa

LOSA

NERVADA VIGA COLUMNA

PISO +

FRISO TABIQUES TOTAL

20 270 100 100 150 220 840

25 315 125 100 150 220 910

30 360 140 100 150 220 970

Nótese que la tabla no considera el peso de una losa maciza. De ser el caso que exista, el

peso (en Kg/m2) de la losa maciza se determina multiplicando el peso específico del concreto

armado; por la altura (ó espesor) de la sección de losa que se analiza.

Ejemplo : Predimensionar las columnas (B-2), (C-3) y (D-1) del dibujo de planta señalado al

inicio del capítulo, considerando que la edificación es de dos (2) pisos, con losas de 25 cm., de

espesor tanto en entrepiso como en techo. Tomar f'c = 210 Kg/cm2 .

R.- Las áreas tributarias de las columnas señaladas ya fueron determinadas y explicadas

anteriormente :

Columna central (B-2) . At (B-2) = 6 * 4 = 24.00 m2 Columna lateral (C-3) . At (C-3) = 4 * 3 = 12.00 m2 Columna esquinera (D-1). At (D-1) = 3 * 2 = 6.00 m2 Para determinar la carga estimada que gravita sobre la columna, consideramos que las

losas soportan todos los elementos que aparecen en la tabla 5.1, por lo tanto para una losa

nervada de 25 cm., de espesor, la carga total que gravita sobre ella es de 910 Kg/m2. Con este

dato determinamos Pserv para cada columna :



156

Pserv = ( Wg * At) * Nº de pisos

Columna central (B-2) : Pserv = (910 Kg/m2 * 24 m2) * 2 pisos = 43.860,00 Kg

Columna lateral (C-3) : Pserv = (910 Kg/m2 * 12 m2) * 2 pisos = 21.840,00 Kg

Columna esquinera (D-1) : Pserv = (910 Kg/m2 * 6 m2) * 2 pisos = 10.920,00 Kg

Luego se determina el área de la sección transversal que requiere la columna :

Atot = Pserv / (a*f'c)

Columna central (B-2) ( a = 0.28) : A tot = 43860 / (0.28 * 210) = 745,92 cm2

Columna lateral (C-3) ( a = 0.25) : A tot = 21840 / (0.25 * 210) = 416,00 cm2

Columna esquinera (D-1) ( a = 0.20) : A tot = 10920 / (0.20 * 210) = 260,00 cm2

Ahora las dimensiones finales de la columna se determinan considerando que la mínima

dimensión que debe tener una columna es de 30 cm. Supongamos que las columnas serán de

geometría cuadrada :

Nótese que para cualquiera de las columnas la dimensión de los lados está por debajo de

la dimensión mínima recomendada. Por lo tanto todas las columnas (B-2), (C-3) y (D-1) serán de 0.30 x 0.30 .

NOTA : Es normal encontrar situaciones o condiciones en las cuales la aplicación del

procedimiento de predimensionado se dificulte, estas situaciones pueden ser :

• Que por la geometría (Vista en planta) se dificulte la determinación del área tributaria de la

columna. En este caso lo mejor es determinar un área tributaria aproximada.

Columna central (B-2) : b = Atot = 745,92 cm2 = 27, 31 cm

Columna lateral (C-3) : b = Atot = 416,00 cm2 = 20,40 cm

Columna esquinera (D-1) : b = Atot = 260,00 cm2 = 16, 12 cm



157

• Es lógico suponer que en una edificación de varios niveles, en el nivel de techo la carga (sobre

la columna a predimensionar) sea menor que en las columnas de los niveles de entrepiso,

debido al espesor de losa y peso de tabiquería.

• Las dimensiones de la sección transversal de la columna es normal limitarlas al espacio

arquitectónico. Esto no representa ningún problema siempre que se tome en cuenta que la

dimensión mínima (En ND2 y ND3) debe ser de al menos 30 cm.



158

ÁBACO Nº 1

pt*m = 1.000.90

0.70pt*m = 0.500.30

0.10pt*m = 0.01

e/t =

0.0

5

e/t =

0.1

0

e/t =

0.15

e/t = 0.

20

e/t = 0.25

e/t = 0.30

e/t = 0.40

e/t = 0.50

e/t = 0.60

0.700.801.001.502.004.006.000.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

1.30

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.22

0.24

0.26


Pu (E

spec

ífico

) =

Pu

/ (f'c

*b*h

)

b

h

gh

Pu

e

Fy = 3500 Kg/cm2

f'c ≤ 280 Kg/cm2

g = 0.80

ÁBACO Nº 2

pt*m = 1.000.900.70

pt*m = 0.500.30

0.10pt*m = 0.01

e/t =

0.0

5

e/t =

0.1

0

e/t =

0.15

e/t =

0.20

e/t = 0.25

e/t = 0.30

e/t = 0.40

e/t = 0.50

e/t = 0.60

0.700.801.001.502.004.006.000.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

1.30

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.22

0.24

0.26


Pu (E

spec

ífico

) =

Pu

/ (f'c

*b*h

)

b

h

gh

Pu

e

Fy = 3500 Kg/cm2

f'c ≤ 280 Kg/cm2

g = 0.90

ANEXOS (I) : DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN DE COLUMNAS



159

ÁBACO Nº 3

pt*m = 1.000.90

0.70pt*m = 0.500.30

0.10pt*m = 0.01

e/t =

0.0

5

e/t =

0.1

0

e/t = 0.

15

e/t =

0.20

e/t = 0.25

e/t = 0.30

e/t = 0.40

e/t = 0.50

e/t = 0.60

0.700.801.001.502.004.006.000.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

1.30

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.22

0.24

0.26


Pu (E

spec

ífico

) =

Pu

/ (f'c

*b*h

)

b

h

gh

Pu

e

Fy = 4200 Kg/cm2

f'c ≤ 280 Kg/cm2

g = 0.80

ÁBACO Nº 4

pt*m = 1.000.900.70

pt*m = 0.500.300.10pt*m = 0.01

e/t =

0.0

5

e/t =

0.1

0

e/t =

0.15

e/t =

0.20

e/t = 0.25

e/t = 0.30

e/t = 0.40

e/t = 0.50

e/t = 0.60

0.700.801.001.502.004.006.000.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

1.30

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.22

0.24

0.26


Pu (E

spec

ífico

) =

Pu

/ (f'c

*b*h

)

b

h

gh

Pu

e

Fy = 4200 Kg/cm2

f'c ≤ 280 Kg/cm2

g = 0.90



160

ÁBACO Nº 5

0.10

e/t =

0.0

5

e/t =

0.1

0

e/t =

0.15

e/t =

0.20

e/t = 0.25

e/t = 0.30

e/t = 0.40

e/t = 0.50

e/t = 0.60

0.700.801.001.502.004.006.000.00

0.100.20

0.300.40

0.50

0.600.70

0.80

0.901.00

1.101.20

1.30

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.22

0.24

0.26


Pu (E

spec

ífico

) =

Pu

/ (f'c

*b*h

)Fy = 4200 Kg/cm2

f'c ≤ 280 Kg/cm2

g = 0.80

gDe

PuD

ÁBACO Nº 6

0.10

e/t =

0.0

5

e/t =

0.1

0

e/t =

0.15

e/t = 0.

20

e/t = 0.25

e/t = 0.30

e/t = 0.40

e/t = 0.50

e/t = 0.60

0.700.801.001.502.004.006.000.00

0.100.200.300.400.500.600.700.800.901.001.101.201.30

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.22

0.24

0.26


Pu (E

spec

ífico

) =

Pu

/ (f'c

*b*h

)

Fy = 4200 Kg/cm2

f'c ≤ 280 Kg/cm2

g = 0.90

gDe

PuD



161

ÁBACO Nº 1 :

Columnas Rectangulares (Fy = 3500 Kg/cm2. f'c ≤ 280 Kg/cm2. g = 0.80 )

ν (Carga Esp.)

pt*m=1.00 pt*m=0.90 pt*m=0.80 pt*m=0.70 pt*m=0.60 pt*m=0.50 pt*m=0.40 pt*m=0.30 pt*m=0.20 pt*m=0.10 pt*m=0.01

μ (Momento específico)

0.00 0.214 0.196 0.176 0.158 0.136 0.116 0.096 0.074 0.052 0.030 0.0060.10 0.229 0.211 0.193 0.175 0.153 0.135 0.117 0.099 0.081 0.063 0.0430.20 0.236 0.218 0.200 0.182 0.160 0.142 0.124 0.106 0.088 0.070 0.0520.25 0.236 0.218 0.200 0.182 0.160 0.142 0.124 0.106 0.088 0.070 0.0520.30 0.234 0.216 0.198 0.180 0.158 0.140 0.122 0.104 0.086 0.068 0.0500.40 0.220 0.202 0.184 0.166 0.144 0.126 0.108 0.090 0.072 0.054 0.0380.50 0.200 0.182 0.164 0.146 0.124 0.106 0.088 0.070 0.052 0.034 0.0180.60 0.178 0.160 0.142 0.124 0.102 0.084 0.066 0.048 0.030 0.012 00.65 0.166 0.148 0.130 0.112 0.090 0.072 0.054 0.036 0.018 00.70 0.152 0.134 0.116 0.098 0.076 0.058 0.040 0.022 0 0.76 0.138 0.120 0.102 0.084 0.062 0.044 0.026 0 0.80 0.126 0.108 0.090 0.072 0.050 0.032 0.014 0.82 0.120 0.102 0.084 0.066 0.044 0.026 0 0.88 0.104 0.086 0.068 0.050 0.028 0 0.90 0.096 0.078 0.060 0.042 0.020 0.93 0.086 0.068 0.050 0.032 0 0.99 0.067 0.049 0.031 0 1.00 0.062 0.044 0.026 1.04 0.050 0.032 0 1.10 0.024 0 1.15 0 1.20

ÁBACO Nº 2 :


ν pt*m=1.00 pt*m=0.90 pt*m=0.80 pt*m=0.70 pt*m=0.60 pt*m=0.50 pt*m=0.40 pt*m=0.30 pt*m=0.20 pt*m=0.10 pt*m=0.01(Carga Esp.) μ (Momento específico)

0.00 0.235 0.217 0.192 0.170 0.150 0.126 0.104 0.080 0.056 0.030 0.0000.10 0.251 0.233 0.215 0.194 0.172 0.150 0.132 0.114 0.096 0.076 0.0560.20 0.258 0.240 0.222 0.202 0.182 0.162 0.144 0.126 0.108 0.088 0.0700.25 0.258 0.240 0.223 0.205 0.183 0.165 0.147 0.129 0.111 0.091 0.0730.30 0.256 0.239 0.222 0.202 0.183 0.165 0.147 0.129 0.111 0.091 0.0730.40 0.244 0.224 0.204 0.185 0.167 0.149 0.131 0.113 0.095 0.075 0.0590.50 0.222 0.202 0.184 0.165 0.145 0.127 0.109 0.091 0.073 0.053 0.0370.60 0.197 0.179 0.161 0.142 0.122 0.104 0.086 0.068 0.050 0.032 00.65 0.184 0.166 0.148 0.129 0.109 0.091 0.073 0.055 0.037 00.70 0.170 0.151 0.132 0.113 0.093 0.075 0.057 0.039 0 0.76 0.150 0.131 0.112 0.093 0.073 0.055 0.037 0 0.80 0.140 0.120 0.100 0.080 0.060 0.042 0.024 0.82 0.135 0.116 0.097 0.077 0.055 0.037 0 0.87 0.114 0.095 0.076 0.055 0.033 0 0.90 0.104 0.085 0.063 0.041 0.019 0.93 0.096 0.078 0.055 0.033 0 0.99 0.070 0.051 0.027 0 1.00 0.066 0.047 0.022 1.04 0.052 0.033 0 1.10 0.026 0 1.15 0 1.20

ANEXOS (II) : DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN TABULADOS



162

ÁBACO Nº 3 : Columnas Rectangulares (Fy = 4200 Kg/cm2. f'c ≤ 280 Kg/cm2. g = 0.80 )


0.00 0.210 0.190 0.170 0.152 0.130 0.110 0.090 0.068 0.046 0.024 0.0000.10 0.225 0.205 0.187 0.169 0.147 0.129 0.111 0.093 0.075 0.057 0.0410.20 0.230 0.210 0.192 0.174 0.152 0.134 0.116 0.098 0.080 0.062 0.0460.25 0.228 0.208 0.190 0.172 0.150 0.132 0.114 0.096 0.078 0.060 0.0440.30 0.225 0.205 0.187 0.169 0.147 0.129 0.111 0.093 0.075 0.057 0.0410.40 0.208 0.188 0.170 0.152 0.130 0.112 0.094 0.076 0.058 0.040 0.0240.50 0.190 0.170 0.152 0.134 0.112 0.094 0.076 0.058 0.040 0.022 0.0060.60 0.170 0.150 0.132 0.114 0.092 0.074 0.056 0.038 0.020 0.002 00.65 0.159 0.139 0.121 0.103 0.081 0.063 0.045 0.027 0.009 00.70 0.148 0.128 0.110 0.092 0.070 0.052 0.034 0.016 0 0.76 0.132 0.112 0.094 0.076 0.054 0.036 0.018 0 0.80 0.122 0.102 0.084 0.066 0.044 0.026 0.008 0.83 0.116 0.096 0.078 0.060 0.038 0.020 0 0.87 0.100 0.080 0.062 0.044 0.022 0 0.90 0.092 0.072 0.054 0.036 0.014 0.94 0.080 0.060 0.042 0.024 0 0.99 0.062 0.042 0.024 0 1.00 0.06 0.040 0.022 1.05 0.042 0.022 0 1.10 0.025 0 1.16 0 1.20

ÁBACO Nº 4 :



0.00 0.235 0.212 0.192 0.168 0.149 0.127 0.103 0.078 0.056 0.030 0.0000.10 0.244 0.228 0.208 0.189 0.169 0.150 0.129 0.108 0.087 0.066 0.0440.20 0.254 0.236 0.217 0.198 0.180 0.162 0.142 0.124 0.104 0.085 0.0670.25 0.253 0.234 0.218 0.200 0.181 0.163 0.144 0.126 0.108 0.091 0.0720.30 0.250 0.232 0.215 0.196 0.179 0.162 0.143 0.125 0.107 0.090 0.0740.40 0.234 0.215 0.198 0.180 0.162 0.145 0.129 0.112 0.097 0.080 0.0650.50 0.212 0.195 0.177 0.159 0.141 0.125 0.109 0.092 0.075 0.058 0.0400.60 0.188 0.170 0.153 0.136 0.119 0.101 0.084 0.065 0.046 0.025 00.65 0.176 0.157 0.140 0.123 0.105 0.086 0.067 0.048 0.030 00.70 0.163 0.144 0.127 0.110 0.090 0.071 0.050 0.030 0 0.76 0.149 0.130 0.112 0.094 0.074 0.054 0.030 0 0.80 0.134 0.115 0.097 0.077 0.057 0.034 0.010 0.82 0.128 0.110 0.092 0.072 0.050 0.027 0 0.87 0.110 0.090 0.070 0.050 0.028 0 0.90 0.100 0.080 0.062 0.040 0.017 0.93 0.092 0.072 0.052 0.030 0 0.99 0.068 0.048 0.026 0 1.00 0.064 0.044 0.021 1.04 0.050 0.030 0 1.10 0.026 0 1.15 0 1.20



163

ÁBACO Nº 5 :

Columnas Circulares (Fy = 4200 Kg/cm2. f'c ≤ 280 Kg/cm2. g = 0.80 )

ν pt*m=1.00 pt*m=0.90 pt*m=0.80 pt*m=0.70 pt*m=0.60 pt*m=0.50 pt*m=0.40 pt*m=0.30 pt*m=0.20 pt*m=0.10 pt*m=0.01

(Carga Esp.) μ (Momento específico)

0.00 0.146 0.136 0.124 0.110 0.095 0.082 0.069 0.056 0.040 0.021 0.0000.10 0.157 0.145 0.135 0.123 0.111 0.099 0.087 0.075 0.063 0.048 0.0360.15 0.158 0.148 0.137 0.126 0.116 0.104 0.092 0.080 0.068 0.056 0.0480.20 0.157 0.146 0.136 0.125 0.115 0.103 0.091 0.082 0.073 0.062 0.0520.30 0.148 0.138 0.128 0.118 0.108 0.098 0.088 0.078 0.068 0.060 0.0500.40 0.136 0.126 0.116 0.106 0.096 0.086 0.077 0.068 0.057 0.046 0.0360.50 0.120 0.110 0.100 0.090 0.080 0.070 0.060 0.048 0.035 0.020 00.55 0.112 0.102 0.092 0.081 0.070 0.057 0.044 0.032 0.018 00.60 0.103 0.093 0.083 0.071 0.059 0.044 0.029 0.016 0 0.64 0.094 0.084 0.074 0.062 0.050 0.036 0.020 0 0.69 0.084 0.074 0.064 0.047 0.030 0.016 0 0.70 0.082 0.072 0.062 0.042 0.026 0.011 0.73 0.074 0.064 0.054 0.034 0.020 0 0.78 0.061 0.048 0.035 0.016 0 0.80 0.054 0.040 0.026 0.010 0.83 0.044 0.030 0.016 0 0.88 0.028 0.013 0 0.90 0.020 0.005 0.92 0.015 0 0.98 0

ÁBACO Nº 6 :

Columnas Circulares (Fy = 4200 Kg/cm2. f'c ≤ 280 Kg/cm2. g = 0.90 )


0.00 0.163 0.153 0.135 0.121 0.106 0.090 0.075 0.056 0.040 0.021 0.0000.10 0.174 0.160 0.146 0.134 0.122 0.107 0.093 0.080 0.065 0.050 0.0350.15 0.176 0.163 0.150 0.139 0.125 0.111 0.099 0.086 0.074 0.059 0.0450.20 0.175 0.162 0.149 0.138 0.126 0.114 0.100 0.088 0.076 0.064 0.0500.30 0.167 0.154 0.142 0.132 0.120 0.108 0.096 0.084 0.073 0.062 0.0520.40 0.151 0.140 0.129 0.119 0.104 0.093 0.082 0.071 0.060 0.047 0.0360.50 0.134 0.122 0.110 0.100 0.086 0.074 0.061 0.049 0.035 0.019 00.55 0.124 0.112 0.100 0.089 0.074 0.061 0.047 0.033 0.017 00.60 0.113 0.101 0.089 0.077 0.062 0.047 0.032 0.016 0 0.64 0.102 0.088 0.074 0.062 0.052 0.038 0.020 0 0.69 0.091 0.077 0.063 0.046 0.034 0.018 0 0.70 0.088 0.074 0.060 0.045 0.030 0.014 0.73 0.082 0.068 0.054 0.036 0.022 0 0.78 0.064 0.050 0.036 0.017 0 0.80 0.059 0.045 0.030 0.014 0.83 0.053 0.039 0.023 0 0.88 0.035 0.021 0 0.90 0.025 0.011 0.92 0.020 0 0.98 0



164

CAPÍTULO Nº 6 .: "DISEÑO DE FUNDACIONES"

En el presente capítulo, estudiaremos las consideraciones para el diseño de fundaciones

basados en la Norma COVENÍN-MINDUR 1753, Capítulo 15, Fundaciones.

El tipo de cimentación que se suelen proyectar en el campo de la Ingeniería Civil, está

directamente relacionado con las características del suelo donde se apoyará la superestructura.

Las características que conforman el suelo de cimentación, son competencia directa de los

Geólogos (llamados en algunos países Ingenieros Geodésicos) o los Ingenieros Civiles

especializados en suelos. Estos son los responsables de elaborar un informe detallado que

proporcione la suficiente información en cuanto a las características del suelo a fundar. Es común

observar en los informes de estudios de suelos, no solo los detalles de la tipología del suelo; si no

también una o más recomendaciones del tipo de cimentación a emplear.

Estas Cimentaciones se clasifican en : A.- Profundas (Pilotes, Zapatas, ...) y

B.- Superficiales. (Losas de Fundación).

En el siguiente capítulo, estudiaremos el diseño de las fundaciones más comunmente

utilizadas : Las Zapatas , las Losas de Fundación. Y se incluirá el diseño de Vigas de Riostras.

6.1.- DISEÑO DE FUNDACIÓN PROFUNDA (Zapata) :

A continuación se presenta en detalle, una fundación típica consistente de Zapata,

Pedestal y Viga de Arriostre.

ZAPATA

PEDESTAL

VIGA DE ARRIOSTRE

COLUMNA

VISTA DE PERFIL

VIGAS DE ARRIOSTRE

PEDESTAL

ZAPATA

VISTA DE PLANTA



165

En el diseño de este tipo de fundaciones, es necesario considerar los efectos de

punzonamiento del pedestal sobre la zapata, así como las solicitaciones típicas de cualquier

elemento de concreto armado. Es una práctica recomendable proporcionarle a la zapata un asiento

de piedra picada de al menos Diez (10) centímetros de espesor, para mejorar la capacidad

portante del suelo a fundar. No obstante en los siguientes ejemplos se hará énfasis en el diseño

por flexión (Momento) y por esfuerzo cortante.

6.1.1.- Consideraciones Geométricas : El dimensionado tanto de la zapata como del pedestal lo podemos expresar gráficamente

de la siguiente manera :

Donde : W = B/4 Siempre que W (mín) = 30 cm.

6.1.2.- Esfuerzos Actuantes :

Tanto el dimensionado de la zapata, como su diseño a flexión y a corte dependerán de la

capacidad de soporte del suelo de fundación. Este dato se obtiene de un estudio detallado del

suelo, donde se indica su capacidad portante a la profundidad de desplante que sugiera dicho

estudio de suelo. No obstante si no se dispone de información alguna en este aspecto se puede

considerar una capacidad de soporte mínima de 1.00 Kg/cm2, así como una profundidad de

desplante de al menos 1.50 m.

B (mín = 1.00 m)

W (mín = 0.30 m)

PLANTA

h (mín = 0.30 m)

Desplante (mín = 1.50 m)

P (ton)

PERFIL B

B

W W



166

Para el diseño del Pedestal, lo consideraremos como una prolongación de la columna.

6.1.3.- Diseño de la Zapata :

El diseño de zapatas se asemeja en mucho al diseño de una losa maciza (o placa). Es por

esto que para determinar tanto el espesor de la zapata, como la disposición de la armadura de

refuerzo, se tienen en cuenta las consideraciones para el diseño de losas macizas.

Los esfuerzos actuantes en la zapata, se pueden representar gráficamente como lo

muestra la figura :

La figura de la izquierda, muestra la tendencia de la zapata a flectar debido a las cargas

que actúan sobre ella (Superestructura). Esto nos indica la porción de zapata sometida a momento

flector que debe ser reforzada con acero estructural.

La figura de la derecha muestra la tensión que produce el suelo sobre la base de la zapata

y la disposición y ubicación de la armadura de refuerzo en la zapata (Emparrillado), conforme a la

flexión que se produce y se muestra en la figura de la izquierda.

P (ton)

CARGAS ACTUANTES DE LA SUPERESTRUCTURA (Ton)

CAPACIDAD DE SOPORTE DEL SUELO (Kg/cm2)

σ (Kg/cm2) B (m)

L

EMPARRILLADO



167

Para estimar las dimensiones de la Zapata, es necesario conocer la tensión (o Capacidad

de soporte) en el suelo ( σ ). Para poder aplicar la ecuación de tensión o compresión axial, en

función de la carga aplicada ( P ) y el área del elemento comprimido (Zapata). La ecuación queda :

σ = P / A. (Evidentemente, los datos de la ecuación se deben trabajar en las mismas

unidades métricas).

6.1.4.- Diseño del Pedestal: Como ya lo mencionamos anteriormente, podemos considerar el pedestal como una

prolongación de la columna. En tal sentido, si la profundidad de desplante o la altura del pedestal,

no es de tal magnitud que implique una consideración especial en cuanto al diseño del refuerzo o

acero principal de la sección, se puede prolongar el mismo acero de la sección transversal de la

columna. El refuerzo por esfuerzo cortante (Estribos), por tratarse de una zona NO sometida a

movimientos de vibración, se dispondrán según la separación especificada para zonas No

confinadas.

W = B/4 Siempre que W (mín) = 30 cm.

A continuación ilustraremos el diseño de fundación según el ejemplo que se presenta :

Nota : Separación máxima de estribos (So) (En zonas confinadas. Cap.

18.8.3.2.2) ND2 : La separación So, en la dirección del eje del

miembro, de la longitud (Lo) de confinamiento, no deberá exceder el

menor de los siguientes valores :

a.- 8 veces el diámetro de la menor barra longitudinal arriostrada.

b.- 24 veces el diámetro del estribo.

c.- (1/2) de la menor dimensión de la sección transversal del miembro.

d.- 30 cm. Cuando se trate de zonas NO confinadas, la separación de

estribos No excederá el valor de : 2 * So. ZAPATA

PEDESTAL (W x W)

VIGA DE ARRIOSTRE

COLUMNA (A x A)

Sep

arac

ión

de E

strib

os

(Zon

a N

O C

onfin

ada)

Separación de Estribos en Columna

(Zona Confinada)

A

W

(So)



168

EJEMPLO 6.1. : Diseñar la fundación de forma "CUADRADA" , asumiendo que sobre

ella se apoyará una columna cuya sección transversal es de 0.30 x 0.30 y que tiene un refuerzo

principal consistente en 8 Ø 5/8" , y con los datos que se dan a continuación :

σ Actuante = 100.000 Kg / (225*225) cm2 = 1.98 Kg/cm2 < σ Adm (2.00) O.K.

Para determinar las dimensiones del pedestal, procedemos a aplicar la expresión :

W = B/4 Siempre que W (mín) = 30 cm.

W = 2.25 / 4 = 0.563 m . Se escoge W = 0.60 m

Por lo tanto la sección transversal del pedestal será de : 0.60 x 0.60

B

W

h

Desplante (h = 2.00 m)

P = 100 ton

Acero : Fy = 4200 Kg/cm2

Concreto : f'c = 250 Kg/cm2

Capacidad port. Del suelo : σ = 2.00 Kg/cm2

Factor de Seguridad : F.M. = 1.60

(Factor de Mayoración)

1.00 m

B

B

W

W

Al igual que en losas macizas, adoptamos un ancho de franja unitario.

Si : σ = P / A Despejando A , queda :

A = 100.000 Kg / 2.00 Kg/cm2

A = B^2 = 50.000 cm2

B = 223.61 cm . Adoptamos :

B = 2.25 m .

Por lo que la zapata será de : 2.25 x 2.25



169

Con las dimensiones calculadas, se determina el momento flector en la zapata :

Espesor de la zapata :

Se determina según la tabla 9.5 (a) de las normas COVENÍN-MINDUR 1756.

Para una losa maciza en voladizo : L / 10 = 0.825m / 10 = 0.0825 m = 8.25 cm

Sin embargo el espesor mínimo de la zapata será de al menos 30 cm.

Por lo tanto : h = 0.30 m . Este espesor, debe verificarse para los esfuerzos cortantes.

Chequeo del Esfuerzo Cortante en la Zapata :

La Norma Venezolana COVENÍN-MINDUR define como la sección crítica para el cálculo de

los esfuerzos de corte, el perímetro ubicado a una distancia de ( d/2 ) medida perpendicularmente

desde el plano de la zapata. Los dibujos que se muestran a continuación nos lo explican un poco

mejor :

W = 0.60

h = 0.30

d = 0.22 (0.30 - 0.08)

0.08 (Aprox.)

0.30

DETALLE PARA DETARMINAR ( d )

1.98 Kg/cm2 * (100cm)2 = 19800 Kg/m2 (1.00 m)2

q = 19800 Kg/m2 * 1.00 m (Ancho unitario)

q = 19800 Kg/m

Como F.M. = 1.60 . Entonces :

qu = 19800 * 1.60

qu = 31680 Kg/m . Luego :

Mu = qu * l2 = 31680 * (0825) 2 2 2

Mu = 10781 Kg*m

B = 2.25

W = 0.60

h

P

1.98 Kg/cm2

0.825

Mu (Kg*m)



170

Perímetro donde actúa el esfuerzo cortante (bo) :

bo = 4 * [ 0.60 + ( d/2 + d/2) ] = 4 * 0.82 = 3.28 m.

El perímetro (bo) de la zapata, que se encuentra sometido a corte tiene la tendencia que se

muestra a continuación :

Donde : βc : Es la relación del lado largo al lado corto del área cargada. (βc = 2.25/2.25 = 1)

d : Altura útil de la zapata. (d = 22 cm)

bo : Perímetro de la sección crítica. (bo = 328 cm)

0.60

0.30 d = 0.22

d/2 d/2

0.82

B = 2.25CORTE

2.25

2.25

d/2

d/2 d/2

d/2

0 82

0.82

PLANTA

REQUISITOS ESPECIALES PARA EL

DISEÑO A CORTE EN PLACAS Y

ZAPATAS. (Norma COVENÍN-MINDUR

1753. Cap. 11) :

11.10.2 A menos que se coloquen

armaduras de corte según...., el diseño de

las placas o zapatas para la acción en dos

direcciones se basará en la fórmula Vu ≤

Ø*Vn, en la cual Vn no se tomará mayor

que :

Vc = (0.53 + 1.06 )*(f'c)^1/2 bo * d βc

Vc = 1.06 * (f'c)^1/2 bo * d (La menor)

ZAPATA

PEDESTAL

ZAPATA

Vu



171

Aplicando la ecuación tenemos :

Vu ≤ Ø * Vn . Siendo : Vn ≤ Vc y Vu = 100000 Kg * 1.60 (F.M.). Vu = 160000 Kg

Vc = (0.53 + 1.06 )*(f'c)^1/2 bo * d ≤ 1.06 * (f'c)^1/2 bo (Ecuación 11-32) βc

Vc = (053 + 1.06) * (250) ^1/2 * 328 * 22 ≤ 1.06 * (250) ^1/2 * 328 * 22

Vc = 181411.02 Kg ≤ 120940.68 Kg

Por lo tanto se asume Vn = Vc = 120940.68 Kg

Luego de la expresión Vu ≤ Ø * Vc , donde (Ø = 0.85) queda :

160000 Kg ≤ 0.85 * 120940.68 Kg

160000 Kg ≤ 102799.58 Kg (Como No se cumple la condición, se puede proceder a : )

1. Aumentar la altura útil (d) de la zapata (o el espesor de la losa) y rechequear la

condición.

2. Colocar refuerzo (o armadura) para resistir corte .

3. Una combinación de las alternativas anteriores.

1. Aumentando espesor de la losa : Esto puede hacerse por tanteo hasta cumplir la

condición Vu ≤ Ø * Vc o despejando el valor (d) en la expresión usada para determinar Vc .

Si : Vc = 1.06 * (f'c)^1/2 bo * d (La menor)

Y : bo = [ 60 cm + (d/2 + d/2) ] * 4 . bo = 240 + 4d

Vc = 1.06 * (250)^1/2 * (240 + 4d) * d

Vc = 4022.42d + 67.04 d^2 . Pero como Vu ≤ Ø * Vc

160000 ≤ 0.85 * (4022.42d + 67.04 d^2 ) (Ecuación cuadrática)

67.04 d^2 + 4022.42 d - 188235.29 = 0 De donde : d = - 90.89 cm ó

d = 30.89 cm

Si adoptamos d = 32 cm. El espesor total de la zapata será : h = d + 8cm . h = 40 cm



172

Luego se procede a verificar que los esfuerzos de corte sean menores que los admitidos

por la Norma, según la ecuación 11-32 .

Vc = (0.53 + 1.06 )*(f'c)^1/2 bo * d ≤ 1.06 * (f'c)^1/2 bo (Ecuación 11-32) βc

Donde : βc : Es la relación del lado largo al lado corto del área cargada. (βc = 2.25/2.25 = 1)

d : Altura útil de la zapata. (d = 32 cm)

bo : Perímetro de la sección crítica. (bo = 368 cm)

Vc = (053 + 1.06) * (250) ^1/2 * 368 * 32 ≤ 1.06 * (250) ^1/2 * 368 * 32

Vc = 296049.90 Kg ≤ 197366.60 Kg

Por lo tanto se asume Vn = Vc = 197366.60 Kg

Luego de la expresión Vu ≤ Ø * Vc , donde (Ø = 0.85) queda :

160000 Kg ≤ 0.85 * 197366.60 Kg

160000 Kg ≤ 167761.61 Kg (En este caso queda verificada la condición de diseño)

Por lo tanto el espesor definitivo de la zapata será de h = 0.40 m .

Diseño del refuerzo principal a flexión (Emparrillado) de la zapata :

Refuerzo de la zapata (Emparrillado) :

As mín = 0.0018*b*h = 0.0018 *100*30 = 5.40 cm2/m ⇒ Ø 3/8" C/.13 (As = 5.46 cm2/m)

As = Mu / (Ø*Fy*Ju*d) = 10781 Kg*m / ( 0.90 * 4200 Kg/cm2 * 0.972 * 0.32 m)

As = 9.17 cm2 / m ⇒ Opciones : A.- Ø 1/2" C/.13 (As = 9.77 cm2 / m)

B.- Ø 5/8" C/.21 (As = 9.43 cm2 / m)

La decisión de escoger alguna de las opciones planteadas (A ó B), así como cualquier otra

alternativa, dependerá del criterio del calculista. Desde el punto de vista del autor, es aconsejable

adoptar una disposición que se acerque lo más posible al As calculado (9.17 cm2). Por otra parte

al tener un área de zapata de 2.25 m x 2.25 m , nos arroja una idea del emparrillado a armar, por



173

lo que es preferible adoptar una alternativa en la cual las cabillas del emparrillado NO estén tan

próximas unas de otras.

Por lo antes expuesto la opción escogida será :

Emparrillado ⇒ Ø 5/8" C/.21 (As = 9.43 cm2 / m) (En cada sentido)

Diseño del Pedestal :

Las dimensiones del pedestal fueron determinadas según la expresión W = B/4 , la cual

resultó con un pedestal de una sección transversal de 0.60 x 0.60 . El refuerzo principal (o por

flexión) del pedestal, será el mismo refuerzo que viene de la columna apoyada. Este refuerzo dado

previamente como dato inicial de este ejemplo está conformado por 8 Ø 5/8", y su distribución

será como la mostrada en la siguiente figura :

La separación de estribos (Armadura de corte) se hará de acuerdo a lo especificado en el

Capítulo 18.8.3.2.2 ND2 : La separación So, en la dirección del eje del miembro, de la longitud

(Lo) de confinamiento, no deberá exceder el menor de los siguientes valores :

a.- 8 veces el diámetro de la menor barra longitudinal arriostrada. = 8 * 1.59 = 12.72 cm . (Menor).

b.- 24 veces el diámetro del estribo. = 24 * 0.95 = 22.80 cm

c.- (1/2) de la menor dimensión de la sección transversal del miembro. = 60/2 = 30.00 cm

d.- 30 cm.

Cuando se trate de zonas NO confinadas, la separación de estribos No excederá el valor

de : 2 * So. = 2 * 12.72 = 25.44 cm. En definitiva la separación de estribos será ⇒ 25.00 cm

0.50

0.50

0.50

0.50

0 150 15

Estribos Ø 3/8" x 2.30 C/.25

0.60

0.60

8 Ø 5/8"



174

Despiece y Detalles de la Fundación :

10 Ø 5/8" x 2.60 0.25 0.25

10Ø

5/8"

x2.

600.

25

0.25

1.125 1.125

0.30 0.30

1.12

5 1.

125

0.30

0.3

0

PLANTA

ZAPATA

ZAPATA

PEDESTAL(0.60 x 0.60)

VIGA DE ARRIOSTRE

COLUMNA (0.30 x 0.30)

Estr

ibos

Ø 3

/8"

C/.2

5

2.00

0.40

2.25 x 2.25

0.10 (Lecho de Piedra Picada)

Emparrillado :

10 Ø 5/8" x 2.60 En C/Sentido

0.50

0.50

0.50

0.50

0.15 0.15

Estribos Ø 3/8" x 2.30 C/.25

0.60

0.60

8 Ø 5/8"

SECCIÓN DE PEDESTAL

DESPIECE TÍPICO DE FUNDACIÓN



175

6.2.- DISEÑO DE VIGAS DE RIOSTRAS :

El diseño de vigas de riostras (o de arriostre) se fundamenta en el hecho de que su función

primordial, es la de proporcionar estabilidad en los elementos que componen la Infraestructura de

una edificación. La estabilidad que se busca es fijar el posicionamiento de los elementos, dando

soporte lateral y vertical (es decir, evitar desplazamientos y asentamientos diferenciales) como lo

muestra la figura a continuación :

Las vigas de riostras son elementos que se disponen de tal forma que se logre la unión

ortogonal (Vista en planta) de las fundaciones . Esta disposición ortogonal, así como los materiales

que las componen, hacen de las vigas de riostras elementos con alta rigidez.

Todas estas características hacen que la estabilidad que se busca, no solo sea privilegio

de la infraestructura, si no también de la superestructura.

6.2.1.- Consideraciones Generales :

• Las vigas de riostras por estar en contacto directo con el terreno de fundación, NO

pueden sufrir agrietamiento alguno que contamine y/o perjudique las características de

los materiales que la componen (Acero de refuerzo y concreto). Por esta razón NO se

recomienda diseñarlas por la teoría de la sección agrietada.

• Las vigas de riostras se diseñan de diversas maneras. El aspecto más relevante a

tomar en cuenta, son las condiciones de carga a la cual estará sometida. Por esta

razón No es extraño encontrar que pueden ser diseñadas más como vigas de cargas

que como vigas de arriostre.

VIGA DE RIOSTRA

VISTA DE PLANTA

Desplazamiento

VIGA DE RIOSTRA COLUMNA

VISTA DE PERFIL

Asent. Diferencial

INFRAESTRUCTURA

SUPERESTRUCTURA



176

• En general se considera que las vigas de riostras aunque puedan en sus extremos

estar sometidas a flexión y en menor medida a torsión, en realidad trabajan a tensión

axial en la mayor parte de su tramo. Para tal efecto es de aplicación usual que la

sección transversal de las vigas de riostras deben diseñarse para que sean capaces de

resistir entre un 10% a un 15% de la carga axial de diseño que transmite la columna

que soporta a la fundación.

Nota : Algunos calculistas consideran el efecto del momento flector que transmite la base de la columna a la viga

de riostra. En tales casos se considera el efecto de la flexión en la sección transversal respectiva.

6.2.2- Consideraciones de Diseño :

El método propuesto para el diseño de vigas de riostras, será el de la sección

transformada. Dado que los materiales que componen las vigas de riostras son una combinación

de Acero (Fy) y Concreto (f'c) , este método consiste en homogeneizar la sección transversal de

la viga en un solo material (su equivalente en concreto) mediante la aplicación de un coeficiente

que relaciona los módulos de elasticidad del acero de refuerzo (Es) y del Concreto (Ec) , conocido

como relación modular, y que se designa con la letra (h). Es decir : h = Es / Ec . (Se

recomienda adoptar h = 15).

Si se analiza en detalle una sección transversal de viga de riostra, así como las tensiones

que actúan en ella, podremos representarla de la siguiente manera :

SECC. NO AGRIETADA ( b )

SECC. TRANSFORMADA ( c )

(Usar) h = 15

SECC. DE VIGA ( a )

h*As (Relación Modular)

h*As' (Relación Modular)

As

As'

fct

DIAG. DE TENSIONES ( d )

h*As *fct

h*As' *fct

Tc

b

h

FIGURA 6.2.2.



177

En la figura 6.2.2., se identifica el procedimiento para transformar una sección compuesta

(Acero y concreto) a su equivalente en concreto. Partiendo como dato la sección transversal típica

de una viga ( Fig. a ), esta se lleva su forma NO agrietada en donde se agrupan las armaduras

superiores en (As ') y las inferiores en (As) (Fig. b ). Esta sección se transforma, convirtiendo el

acero de refuerzo (As' y As) en su equivalente de concreto mediante la relación modular (h),

teniéndose como área de acero transformada a concreto = h*As' y h*As (Fig. c ). Luego en la

sección transformada se analiza el comportamiento de las tensiones ocurridas, concentrando los

esfuerzos de tracción en cargas puntuales, convirtiendo el concreto de (fct) a (Tc) ; y las

transformadas de (h*As') y (h*As) a (h*As' *fct) y (h*As * fct) respectivamente (Fig. d ).

Donde :

As' : Área de acero superior (Compresión).

As : Área de acero inferior (Tracción).

h : Relación modular.

fct : Resistencia del concreto a tracción.

Tc : Esfuerzo concentrado (a tracción) de la sección transversal de la viga.

Hipótesis de Cálculo :

Con la sección transversal de la viga (Fig. a ) y el diagrama de tensiones (Fig. d ) , se

procederá a plantear las hipótesis de cálculo para obtener el área de la sección transversal

necesaria, así como las áreas de acero respectivas.

Asumiendo como condición de diseño que la capacidad máxima de tensión en la viga está

comprendida entre un 10 % a un 15%, y que la resistencia a tracción del concreto (fct) es un 10

% de su resistencia a compresión (f'c) , tenemos :

Σ P ≤ (0.10 ~ 0.15 ) Pu (Trabajando en la condición máxima: P (n) = 0.15 Pu).

P (n) = Σ F (x) ≤ h*As' *fct + Tc + h*As *fct . Si : As' + As = As tot

Tenemos : P (n) ≤ h*fct *As tot + Tc Como : Tc = Ac * fct

P (n) ≤ h*fct *As tot + Ac * fct Siendo : Ac = b*h (Área secc. transv.)

P (n) ≤ h*0.10f'c *As tot + Ac * 0.10f'c fct = (10 %) f'c = 0.10*f'c



178

Sustituyendo el valor de (P (n) = 0.15 Pu) , tenemos :

P (n) = 0.15 Pu ≤ 0.10f'c * (h * As tot + Ac ) . Adoptando h = 15 :

0.15 Pu ≤ 0.10f'c * (15 * As tot + Ac ). Despejando Ac :

Ac ≥ 0.15 Pu - 15As tot Ec. (6 - 1) 0.10 f'c

La ecuación (6-1) queda : Ac ≥ 1.50 Pu - 15As tot . Donde : Ac = b * h f'c

6.2.3.- Diseño del refuerzo :

La figura 6.2.2. (b) , muestra la sección de la viga de riostra donde aparecen (As') y (As).

Si agrupamos los esfuerzos totales que se producen tanto en (As') como en (As) , tendremos :

T' = As' * Fy ; T = As * Fy. Como condición : Σ P (n) ≤ Ø (Σ T) (Ø = 0.70)

Si : Σ P (n) ≤ Ø (T' + T) ; Donde : P (n) = 0.15 Pu. Tendremos :

0.15 Pu ≤ Ø * [(As' * Fy) + (As * Fy)]

0.15 Pu ≤ Ø *Fy* As tot . Despejando As tot :

As tot ≥ 0.15 Pu Ec. (6 - 2) Para determinar la cantidad total de acero. Ø * Fy

Es importante recordar que la cantidad mínima de acero de refuerzo (En una (1) fibra)

viene dada por la expresión As (mín) = (14 / Fy) * b * d . Y tomando en cuenta que " en

c/esquina de una sección transversal de la viga, debe colocarse al menos una cabilla igual o

mayor a la Nº 4" (Cap. 18.2.2., Normas COVENÍN-MINDUR 1753).

6.2.4.- Dimensionado de la sección transversal :

Conocido el valor de (As tot) según (6 - 2), se pueden determinar las dimensiones de la

sección transversal de la viga, aplicando la ec. (6 - 1), donde Ac = b*h. No obstante simplificando

las ecs. (6 - 1) y (6 - 2) se puede obtener :



179

Ac ≥ 1.50 Pu - 15As tot Ec. (6 - 1) As tot ≥ 0.15 Pu Ec. (6 - 2) f'c Ø * Fy

Sustituyendo (Ac ) por (b*h) ; y As tot de (6 - 2) en (6 - 1) , tenemos :

Ac = b*h ≥ 1.50 Pu - 15 * (0.15 Pu ) f'c Ø * Fy

b*h ≥ 1.50 Pu - 2.25 Pu

f'c Ø * Fy

b*h ≥ 1.50 Pu * ( 1 - 1.50 ) Ec. (6 - 3). Para Dimensionar la viga. f'c Ø * Fy

Es importante destacar que las dimensiones de las vigas de riostras son afectadas (entre

otras cosas) procurando rendimiento en su construcción. La base (b) de estas vigas tienen por lo

general 30 cm., debido a que la excavación (y conformación) del terreno de apoyo (generalmente

hecho de forma manual) se hacen con instrumentos (Palas) que dan al terreno esa dimensión. La

altura (h) de la viga aunque condicionada por la expresión (6 - 3) ó (6 - 1) buscando la esbeltez de

la sección transversal del elemento NO debería ser inferior al valor de la base (b).

6.2.5.- Criterios mínimos de diseño :

Se establecerán como una guía práctica de aplicación tomando en cuanta todo lo anterior.

Sin embargo estos criterios mínimos NO constituyen de forma alguna una Norma de estricto

cumplimiento.

• Se recomienda tomar como dimensiones mínimas de la sección transversal de vigas

de riostras 0.30 x 0.30 .

• La mínima cantidad de acero de refuerzo (el longitudinal ó As' y As) será de al

menos 1 Ø 1/2" en c/esquina de la sección transversal de la viga.

• Se recomienda que el diámetro mínimo de estribo a utilizar sea de Ø 3/8" cerrados con

ganchos.

• Los estribos por tratarse de zonas NO confinadas, pueden limitarse a una separación

de (d/2). Siendo (d) la altura útil del la sección transversal del elemento.



180

• El recubrimiento mínimo aconsejado del refuerzo (Cap. 7.7.1. NORMAS COVENÍN-

MINDUR 1753) más cercano al ambiente exterior (estribos) será de 7 cms., medido

lateralmente a cada lado de la cara de la viga. Y 7 cms., también, medido

perpendicularmente desde la base de la viga.

A continuación se ilustrará un ejemplo de aplicación para el diseño de vigas de riostras.

EJEMPLO 6.2. : Diseñar una viga de riostra que sirva de soporte y unión a dos (2)

fundaciones idénticas del ejemplo 6.1., con los datos que allí aparecen.

Aplicando la Ec. (6 - 3), se tiene : b*h ≥ 1.50 Pu * ( 1 - 1.50 )

f'c Ø * Fy

b*h ≥ 1.50 (100.000) * ( 1 - 1.50 ) 250 0.70 * 4200

b*h ≥ 523.47 cm2 .

Adoptando (b mín) = 30 cm. Se tiene: h ≥ 523.47 / 30. h ≥ 17.45 cm .

Se adopta (h mín) = 30 cm.

Dimensiones de la sección transversal de la viga ⇒ (0.30 x 0.30) .

Calculando el refuerzo necesario según la Ec. (6 - 2) : As tot ≥ 0.15 Pu Ø * Fy

2.25

0.60

0.40

Desplante (h = 2.00 m)

P = 100 ton

Datos :



Carga Col.: Pu = 100 Ton.

Fact. Minoración : Ø = 0.70



181

As tot ≥ 0.15 * 100.000 As tot ≥ 5.10 cm2. 0.70 * 4200

Teniendo que : As tot = As' + As. Si se reparten por igual As' y As , tendremos :

As' = As = 5.10 / 2 = 2.55 cm2 ≥ As mín . ⇒ (2 Ø 1/2" )

Si comparamos ese valor con la cantidad mínima requerida dada por la expresión :

As mín = (14/Fy) * b * d = (14/4200) * 30 * 25 = 2.50 cm2 .

Por lo tanto la viga de riostra del ejemplo 6.2. será :

0.20

0.15

0.15

0.20

0.150.15

Estribos Ø 3/8" x 1.00 C/.11 4 Ø 1/2"

0.30

0.30

0.07 0.07

0.07

0.025

SECCIÓN TRANSVERSAL

DE VIGA

PEDESTAL(0.60 x 0.60)

VIGA DE RIOSTRA(0.30 x 0.30)

COLUMNA (0.30 x 0.30)

Estr

ibos

Ø 3

/8"

C/.2

5

Estribos Ø 3/8" x 1.00 C/.11Estribos Ø 3/8" x 1.00 C/.11

PERFIL LONGITUDINAL



182

EJEMPLO 6.2. : Diseñar una viga de riostra que sirva de soporte y unión a dos (2)

columnas que transmitirán la misma carga y momento. Adicionalmente diseñar la viga para que

sea capaz de absorber un 30 % del momento flector de la columna .

Aplicando la Ec. (6 - 3), se tiene : b*h ≥ 1.50 Pu * ( 1 - 1.50 ) f'c Ø * Fy

b*h ≥ 1.50 (380.000) * ( 1 - 1.50 ) 250 0.70 * 4200

b*h ≥ 1989.18 cm2 .

Adoptando (b) = 40 cm. Se tiene: h ≥ 1989.18 / 30. h ≥ 49.73 cm .

Se adopta (h) = 50 cm.

Dimensiones de la sección transversal de la viga ⇒ (0.40 x 0.50) .

Calculando el refuerzo necesario según la Ec. (6 - 2) : As tot ≥ 0.15 Pu Ø * Fy

As tot ≥ 0.15 * 380.000 As tot ≥ 19.39 cm2. 0.70 * 4200

Teniendo que : As tot = As' + As. Si se reparten por igual As' y As , tendremos :

As' = As = 19.39 / 2 = 9.69 cm2 (I) Acero por tensión.

Datos :



Carga Col.: Pu = 380 Ton.

Momento diseño: Mu = 48*(0.3) = 14.40 Ton*m

Fact. Minoración : Ø = 0.70

B

W

h

Desplante

Pu = 380 ton



183

Si comparamos ese valor con la cantidad mínima requerida dada por la expresión :

As mín = (14/Fy) * b * d = (14/4200) * 40 * 45 = 6.00 cm2 .

El diseño por momento flector será según la expresión : As = Mu 0.90*Fy*Ju*d

As = 14.40 * 1000 = 8.90 cm2 (II) Acero por flexión. 0.90 * 4200 * 0.951 * 0.45

Por lo tanto el refuerzo ppal., será : 9.69 cm2 (I) + 8.90 cm2 (II) = 18.59 cm2 ⇒ (5 Ø 7/8" ) .

Despiece de Viga de riostra del ejemplo 6.3. :

SECCIÓN TRANSVERSAL

DE VIGA

0.25

0.40

0.25

0.40

0.150.15

Estribos Ø 3/8" x 1.60 C/.225

10 Ø 7/8 "

0.40

0.50

0.07

0.07

0.025

0.07

VIGA DE RIOSTRA (0.40 x 0.50) PEDESTAL

(W x W )

COLUMNA

Estribos Ø 3/8" x 1.60 C/.225

PEDESTAL (W x W )

COLUMNA

PERFIL LONGITUDINAL



184

CAPÍTULO Nº 7 .: "DISEÑO DE ELEMENTOS SOMETIDOS A TORSIÓN"

El fenómeno de la torsión ocurre cuando en un elemento actúan simultáneamente un par

de esfuerzos orientados en sentido contrario y en planos diferentes. La figura 7.1., ilustra la manera

como obran estos esfuerzos :

En cada Dos (2) capas adyacentes, deben existir en la sección transversal, un par de

esfuerzos que llamaremos Momento de Resistencia Interno (Ti1; Ti2) . La suma de estos

Momentos de Resistencia Internos, deben ser de igual magnitud pero de sentido contrario a uno

(1) de los Momentos de Torsión externos (T1 ó T2).

A continuación se muestran algunos de los elementos estructurales que por su forma o por

su función; deben ser considerados los esfuerzos de Torsión.

7.1.- SISTEMAS ESTRUCTURALES SOMETIDOS A TORSIÓN : 7.1.1.- Escaleras Helicoidales : Las escaleras helicoidales son estructuras de gran

elegancia, peso y funcionalidad; que se incluyen en un diseño con el objeto de acentuar la belleza

de una obra arquitectónica. Las más comunes de este tipo de escaleras son (1).- Las apoyadas en

eje central (Escaleras de caracol), y (2).- Con apoyo externo .

T1

T2

Esfuerzos Cortantes

T1

Ti1

T2 Ti2

Condición de Equilibrio :

MInt. = MExt.

Ti1 + Ti2 = T2



185

(1).- Apoyadas en eje central (Escaleras de caracol) :

En este ejemplo, los peldaños de la escalera se apoyan en una columna central. Tanto los

peldaños como la columna están sometidos a flexión y a torsión.

(2).- Con apoyo externo :

En este ejemplo, los peldaños de la escalera se apoyan en un muro exterior o perimetral.

Tanto los peldaños como el muro están sometidos a flexión y a torsión.

7.1.2.- Escaleras de Losa Helicoidal : Este tipo de escalera se caracteriza por el hecho

de que su sección transversal es una losa maciza. Esto implica que se diseña según los criterios

de losas o placas macizas, pero teniendo en cuenta los esfuerzos adicionales (como la Torsión)

que se generan.

PLANTA CORTE

Peldaño

ISOMETRÍA

PLANTA CORTE

Peldaño Muro de Apoyo



186

7.1.3.- Vigas en Balcón : Las vigas en balcón son elementos relativamente complicados

en los que predominan las solicitaciones por flexión y por torsión. Generalmente se utilizan cuando

existen escaleras helicoidales de apoyo externo.

7.1.4.- Vigas que Soportan Volados : Las losas en voladizos producen esfuerzos de

corte y torsión en el elemento que les sirve de apoyo. Su uso es de lo más común.

PLANTA

A

A

A

A

B

B

B

B C C

ISOMETRÍA

Diseño :

Sección A - A : Apoyo

Sección B - B : L/4

Sección C - C : L/2

L : Longitud Escalera.

PLANTA ISOMETRÍA

PLANTA

Viga que soporta Volado

Armadura por Torsión

ISOMETRÍA



187

7.1.5.- Vigas Contínuas de Planta Circular : Son empleadas en el proyecto de

estanques y silos de almacenamiento, así como cualquier edificación de geometría tubular.

7.2.- MODOS DE FALLA DE ELEMENTOS SOMETIDOS A TORSIÓN :

7.2.1.- En Volados ⇒ Falla por Torsión - Corte.

7.2.2.- En Ménsulas ⇒ Falla por Torsión - Corte.

Apoyos

α

Sección de Máx. Torsión

( α depende del Nº de apoyos)

PLANTA

SECCIONES CRÍTICAS :

• Apoyos.

• Tramos.

ISOMETRÍA

δ

Superficie de Falla

Zonas de Falla As ppal.

El Refuerzo ppal., se diseña para soportar la Torsión Cortante generada.



188

Tipos de Fallas en Ménsulas :

7.3.- FUNCIÓN DEL ACERO DE REFUERZO :

Acero Ppal. (Longitudinal) ⇒ Se diseña para que sea capaz de absorber los esfuerzos

generados por la Torsión.

Estribos (Ligaduras) ⇒ Se encargan de impedir la formación de grietas en el concreto,

producidos por esfuerzos de Corte, Tracción y Retracción.

7.4.- RESISTENCIA A LA TORSIÓN DE ELEMENTOS RECTANGULARES DE CONCRETO ARMADO :

La Norma COVENÍN-MINDUR 1753, indica las regulaciones a considerar para el diseño de

los elementos sometidos a Torsión y Corte. Esto corresponde al Capítulo 11 de las Normas

mencionadas, las cuales son de obligatoria referencia. En estas se menciona que los efectos de la

Torsión en elementos rectangulares, se considerarán cuando :

Tu > Ø * ( 0.13 √f'c * ∑ x2y ) (Cap. 11.5.1 Normas COVENÍN-MINDUR 1753).

No obstante el diseño de elementos sometidos a torsión debe satisfacer la condición :

Tu ≤ Ø * Tn . Siendo : Tn = Tc + Ts

Superficie de

Grieta

Falla por detalle inadecuado

de la Armadura

Agrietamiento

Falla por poca altura en la

cara externa de la Ménsula

h (Insuf.)

Agrietamiento

Aplastamiento del Concreto.

(Placa de apoyo inadecuada).



189

Y :

Donde : Tu : Momento torsor mayorado en la sección de estudio.

Tn : Resistencia nominal a momento torsor.

Tc : Resistencia nominal a momento torsor que resiste el concreto.

Ts : Resistencia nominal a momento torsor que resisten las armaduras.

Ø : Factor de minoración de la capacidad resistente ( Ø = 0.85 para torsión).

∑ x2y : Propiedades de la sección rectangular sometida a torsión.

7.4.1.- Determinación de ( ∑ x2y ) para secciones en "T", "Rectangulares", y en "L" :

∑ x2y ⇒ x : Lado menor de la sección.

y : Lado mayor de la sección.

h

H

B

b = 3h b = 3h

∑ x2y = B2H + 2(h2b) = B2H + 6h3

b

h

∑ x2y = b2h

b

h

∑ x2y = h2b

Ct = bw * d ∑ x2y Tc = 0.21 * √f'c * ∑ x2y

0.4 Vu Ct * Tu

2 1 +

Vu : Fuerza cortante mayorada en la sección.

bw : Ancho o base de la sección.

d : Altura útil del elemento.

Ts = At * αt * x1 * y1 * Fy S

At : Área de acero de la armadura para resistir corte..

X1 : Dimensión corta del estribo cerrado.

y1 : Dimensión larga del estribo cerrado.

Fy : Resistencia cedente ( = 4200 Kg/cm2).

S : Separación de estribos. αt = 0.66 + 0.33 y1 ≤ 1.50 x1

S ≤ x1 + y1 4

30 cm (La menor)

Siempre y cuando : Ts ≤ 4Tc



190

La Norma COVENÍN-MINDUR 1753, establece que para miembros con sección rectangular

con o sin alas, la sumatoria (∑ x2y) se extenderá a los rectángulos componentes de la sección,

pero los anchos de los salientes del ala utilizados en el diseño no excederán de tres (3) veces su

espesor.

7.4.2.- Cálculo del Acero Longitudinal (Al) : El área requerida de las barras

longitudinales (Al) distribuídas en el perímetro de los estribos cerrados, será el mayor de los

valores calculados por las expresiones siguientes :

Al = 2 At * ( x1 + y1 ) S

Al = [ 28*S*bw * ( Tu ) - 2 At ] * ( x1 + y1 ) Pero NO necesita ser mayor a : Fy Tu + Vu S 3Ct

Al = [ 28*S*bw * ( Tu ) - 3.5 bw*S ] * ( x1 + y1 ) Fy Tu + Vu Fy S

3Ct

7.4.3.- Ejemplo de Diseño de Viga sometida a Torsión : A continuación se ilustrarán dos

(2) ejemplos de diseño de viga sometida a torsión, tomando como dato base en las características

de los materiales los valores de f'c = 210 Kg/cm2 (Para el concreto) y Fy = 4200 Kg/cm2 (Para el

acero).

H

h

b

B

∑ x2y = BH2 + b2h

(b < h)

(B > H)

h

H

B

b b

∑ x2y = B2H + 2(bh2)

(b > h)

(B < H)

∑ x2y = B2H + bh2

h

H

B

b

(b > h)

(B < H)



191

Ejemplo Nº 1 : Diseñar la viga del eje " C " que soporta un volado, si su sección transversal

es de 0.35 x 0.60.

R.-

1.- Se determina la torsión producida por el volado, cuya carga o reacción es de 3675 Kg :

A B C

3

2

1

5.50 5.50

7.00

7.

00

PLANTA

1.80

LOS

A

1837.5 Kg 6125 Kg 3675 Kg

Reacciones por

C/Nervio (1 m)

de Losa (Pu)

LOSA

bw =0.35

h =0.60

Secc. Transversal

0.175

3675 Kg

En la secc. Transversal : Pu = 3675 Kg

Torsión producida : tu = 3675 Kg * 0.175 m = 643.13 Kg*m / ml

Torsión en los apoyos externos de la viga : Tu(1,3) = 1688.22 Kg*m

Torsión en el apoyo interno de la viga : Tu(2) = 5627.39 Kg*m



192

Se analizará la torsión más desfavorable, que es en el apoyo central Tu(2) = 5627.39 Kg*m

2.- Condición : Tu > Ø * ( 0.13 √f'c * ∑ x2y ) (Si cumple, hay que considerar torsión)

3.- Se determina la capacidad del concreto de resistir torsión :

1688.22 Kg 5627.39 Kg 1688.22 Kg

1 2 3 7.00 7.00

Tu = 643.13 (Kg/m) VIGA " C " Torsión en los apoyos :

b

h

∑ x2y = b2h

∑ x2y = b2h = 352 * 60 = 73500 cm3

Ø = 0.85

f'c = 210 Kg/cm2

Tu > 0.85 * (0.13√ 210 * 73500)

Tu > 117695.34 Kg*cm = 1176.95 Kg*m

Como : Tu (5627.39) > 1176.95 ⇒ Se debe considerar la torsión.

Tc = 0.21 * √f'c * ∑ x2y

0.4 Vu Ct * Tu

2 1 +

Tc = 0.21 * √210 * 73500 cm3

0.4 *18375 Kg 0.0262 cm-1 * 562739 Kg*cm

2 1 +

Donde : Ct = bw * d = 35cm * 55cm = 0.0262 cm-1

∑ x2y 73500 cm3

Vu : Para determinar el corte mayorado (Vu) :

qu = 3675 + (2500Kg/m3 * 0.35m * 0.60m) = 4200 (Kg/m)

qu = 4200 (Kg/m)

7.00 Vu (1) = 11025 Kg Vu (2) = 18375 Kg

1 2

Tc = 200179.16 Kg*cm = 2001.79 Kg*m



193

4.- Se determina la capacidad del acero de refuerzo de resistir torsión :

Se asumen estribos Ø 3/8" ⇒ (At = 0.71 cm2)

Fy = 4200 Kg/cm2

αt = 0.66 + 0.33 y1 = 0.66 + 0.33 * 55 = 1.265 ≤ 1.50 x1 30

Ts = 0.71cm2 * 1.265 *30cm * 50cm * 4200 Kg/cm2 = 282917.25 Kg*cm 20 cm

Ts = 2829.17 Kg*m (Siempre y cuando : Ts ≤ 4Tc) ⇒ 2829.17 ≤ 4*2001.79 Kg*m O.K

5.- Se verifican las condiciones de diseño :

Tu ≤ Ø * Tn . Siendo : Tn = Tc + Ts = 2001.79 + 2829.17 ⇒ Tn = 4830.96 Kg*m

Tu ≤ 0.85 * 4830.96 ⇒ Tu (5627.39 Kg*m) ≤ 4106.32 Kg*m (NO CUMPLE)

En este caso se modifican (Tc) y/o (Ts) de manera tal de satisfacer las condiciones de

diseño. Trabajando en la condición límite, se modificará la separación de estribos en función de la

torsión existente en la sección :

Si : Tu ≤ Ø * Tn ⇒ 5627.96 ≤ Ø*Tn ⇒ 5627.96 / 0.85 ≤ Tn ⇒ Tn ≥ 6621.13 Kg*m.

Siendo : Tn = Tc + Ts ⇒ 6621.13 = 2001.79 + Ts ⇒ Ts ≥ 4619.34 Kg*m

Ts = At * αt * x1 * y1 * Fy ⇒ 461934 Kg*cm = 0.71cm2*1.265*30cm*50cm*4200 Kg/cm2

S S

S ≤ 12.25 cm ⇒ Se adopta como separación de estribos : S = 12 cm.

6.- Cálculo del Acero Longitudinal (Al) . Se determina según las ecuaciones dadas por :

Ts = At * αt * x1 * y1 * Fy S

S ≤ x1 + y1 = 30 + 55 = 21.25 cm = 20 cm (La menor) 4 4

30 cm



194

Al = 2 At * ( x1 + y1 ) (Ec. 1) S

Al = [ 28*S*bw * ( Tu ) - 2 At ] * ( x1 + y1 ) (Ec.2) Fy Tu + Vu S 3Ct Pero NO necesita ser mayor a :

Al = [ 28*S*bw * ( Tu ) - 3.5 bw*S ] * ( x1 + y1 ) (Ec.3) Fy Tu + Vu Fy S

3Ct

(Ec. 1) : Al = 2 *0.71 cm2 * ( 30cm + 55cm ) ⇒ Al = 10.06 cm2 12cm

(Ec. 2) : Al = [ 28*12cm*35cm * ( 562796 Kg*cm ) - 2 *0.71cm2 ] * ( 30cm + 55cm) 4200Kg/cm2 562796Kg*cm + 18375 Kg 12 cm

3*0.0262 cm-1

Al = 3.95 cm2

Se escoge el valor de la (Ec. 1) ⇒ Al = 10.06 cm2 . Por ser el mayor, y NO es necesario

calcular el valor de la (Ec. 3).

Por lo tanto el acero longitudinal ( Al ) será : 10.06 cm2 : Opción ⇒ 8 Ø 1/2" (10.16 cm2)

7.- La distribución del acero de refuerzo será :

Secc. Transversal 0.35

0.60

8 Ø 1/2" (Refuerzo por Torsión)

(Refuerzo por Flexión)



195

Ejemplo Nº 2 : Diseñar la viga mostrada, con los datos indicados :

R.-

1.- Se determina la torsión producida por la carga o reacción Pu = 5500 Kg :

Se analizará la torsión en los apoyos Tu(Ap) = 5293.75 Kg*m

2.- Condición : Tu > Ø * ( 0.13 √f'c * ∑ x2y ) (Si cumple, hay que considerar torsión)

En la secc. Transversal : Pu = 5500 Kg

Torsión producida : tu = 5500 Kg * 0.275 m = 1512.50 Kg*m / ml

Torsión en los apoyos de la viga : Tu(Ap) = 5293.75 Kg*m

0.275

5500 Kg

Tu = 5293.75 Kg

7.00

tu = 1512.50 (Kg/m) VIGA

Torsión en los apoyos :

Tu = 5293.75 Kg

∑ x2y = b12 h + b2

2 h1 = (352 * 60) + (152 * 20) = 78000 cm3

Ø = 0.85

f'c = 210 Kg/cm2

Tu > 0.85 * (0.13√ 210 * 78000)

Tu > 124901.18 Kg*cm = 1249.01 Kg*m

Como : Tu (5293.75) > 1249.01 ⇒ Se debe considerar la torsión.

b1

h

∑ x2y = b2h

b2

h1

7.00

VIGA

bw =0.35

h =0.60

Secc. Transversal

0.15

Pu = 5500 Kg

0.10

h1 = 0.20



196

3.- Se determina la capacidad del concreto de resistir torsión :

4.- Se determina la capacidad del acero de refuerzo de resistir torsión :

Se asumen estribos Ø 3/8" ⇒ (At = 0.71 cm2)

Fy = 4200 Kg/cm2

αt = 0.66 + 0.33 y1 = 0.66 + 0.33 * 55 = 1.265 ≤ 1.50 x1 30

Ts = 0.71cm2 * 1.265 *30cm * 50cm * 4200 Kg/cm2 = 282917.25 Kg*cm 20 cm

Ts = 2829.17 Kg*m (Siempre y cuando : Ts ≤ 4Tc) ⇒ 2829.17 ≤ 4*1994.66 Kg*m O.K

5.- Se verifican las condiciones de diseño :

Tu ≤ Ø * Tn . Siendo : Tn = Tc + Ts = 1994.66 + 2829.17 ⇒ Tn = 4823.83 Kg*m

Tu ≤ 0.85 * 4823.83 ⇒ Tu (5293.75 Kg*m) ≤ 4100.26 Kg*m (NO CUMPLE)

Tc = 0.21 * √f'c * ∑ x2y

0.4 Vu Ct * Tu

2 1 +

Tc = 0.21 * √210 * 78000 cm3

0.4 *21087.5 Kg 0.0247 cm-1 * 529375 Kg*cm

2 1 +

Donde : Ct = bw * d = 35cm * 55cm = 0.0247 cm-1

∑ x2y 78000 cm3

Vu : Para determinar el corte mayorado (Vu) :

qu = 5500 + (2500Kg/m3 * 0.35m * 0.60m) = 6025 (Kg/m)

qu = 6025 (Kg/m)

7.00 Vu (1) = 21087.5 Kg

Vu (2) = 21087.5 Kg

Tc = 199466.05 Kg*cm = 1994.66 Kg*m

Ts = At * αt * x1 * y1 * Fy S

S ≤ x1 + y1 = 30 + 55 = 21.25 cm = 20 cm (La menor) 4 4

30 cm



197

En este caso se modifican (Tc) y/o (Ts) de manera tal de satisfacer las condiciones de

diseño al igual que en el ejemplo anterior. Trabajando en la condición límite, se modificará la

separación de estribos en función de la torsión existente en la sección :

Si : Tu ≤ Ø * Tn ⇒ 5293.75 ≤ Ø*Tn ⇒ 5293.75 / 0.85 ≤ Tn ⇒ Tn ≥ 6227.94 Kg*m.

Siendo : Tn = Tc + Ts ⇒ 6227.94 = 1994.66 + Ts ⇒ Ts ≥ 4233.28 Kg*m

Ts = At * αt * x1 * y1 * Fy ⇒ 423328 Kg*cm = 0.71cm2*1.265*30cm*50cm*4200 Kg/cm2

S S

S ≤ 13.37 cm ⇒ Se adopta como separación de estribos : S = 13 cm.

6.- Cálculo del Acero Longitudinal (Al) . Se determina según las ecuaciones dadas por :

(Ec. 1) : Al = 2 *0.71 cm2 * ( 30cm + 55cm ) ⇒ Al = 9.28 cm2 13cm

(Ec. 2) : Al = [ 28*13cm*35cm * ( 529375 Kg*cm ) - 2 *0.71cm2 ] * ( 30cm + 55cm) 4200Kg/cm2 529375Kg*cm + 21087.5 Kg 13 cm

3*0.0247 cm-1

Al = 3.61 cm2

Se escoge el valor de la (Ec. 1) ⇒ Al = 9.28 cm2 . Por ser el mayor.

Por lo tanto el acero longitudinal ( Al ) será : 9.28 cm2 : Opción ⇒ 8 Ø 1/2" (10.16 cm2)

7.- La distribución del acero de refuerzo será :

Secc. Transversal 0.35

0.60

10 Ø 1/2" (Refuerzo por Torsión)

(Refuerzo por Flexión)

0.15

0.20



198

7.5.- RESISTENCIA A LA TORSIÓN EN ELEMENTOS TIPO MÉNSULAS :

Las Ménsulas son elementos estructurales de amplia difusión y que son utilizados

dependiendo de las características de los elementos que soportan y del material que estén hechas,

ya que pueden ser de planchas ancladas de acero o de concreto reforzado. Las ménsulas; por ser

elementos que sirven de soporte, ayudan significativamente a resistir los esfuerzos cortantes.

En el cálculo y diseño de ménsulas los aspectos más importantes a destacar son :

• Dimensionado de la ménsula.

• Diseño del refuerzo metálico.

• Diseño de la plancha de apoyo.

El diseño de ménsulas de concreto armado se rige por las disposiciones contenidas en el

capítulo 11.8. DISPOSICIONES ESPECIALES PARA MÉNSULAS , de las Normas COVENÍN-

MINDUR 1753. Estas disposiciones son :

11.8.1.- La relación (Luz de corte / espesor) (a/d), será menor o igual a uno (1). Siendo la

luz de corte medida desde la cara del apoyo.

11.8.2.- La altura de la ménsula en su borde externo será igual o mayor que la mitad en su

borde interno.

7.5.1.- Consideraciones de Diseño para el Dimensionado de Ménsulas :

N ≤ V (1).- a/d ≤ 1 (11.8.1.) (d ≈ 50 - 60 cm) (2).- d1 ≤ d/2 (11.8.2.) (3).- (Recomendación)

v

≥ 5 cms

a V

N

d1 = h1c

d

Fig. 7.5.1. (Ménsula Típica)



199

7.5.2.- Consideraciones para el Diseño del Refuerzo Metálico en Ménsulas :

Donde : bw * d = Área de concreto. (Se toma Vn LA MENOR).

(1).- La secc. crítica se diseña para resistir : Esfuerzos : Corte Momento torsor Tracción

Vu + [ Vu*a + Nuc (h-d) ] + Nuc

(2).- Factor de minoración : Ø = 0.85 (3).- Resistencia al Corte asignada al concreto : 0.2*f'c*bw*d Concretos Normales ⇒ Vn ≤ 56*bw*d (0.2 - 0.07 ª/d) *f'c*bw*d Concretos Livianos ⇒ Vn ≤ (56 - 20 ª/d)*bw*d

a

Vu

Nuc

h d

Secc. Crítica

Fig. 7.5.2. (Diseño del Refuerzo)

(4).- c = (2.5 cm + 10cm) + Lp

(5).- bm = Ancho de Viga (bviga) a : En elementos sometidos a esfuerzos cortantes

(bien sea flectores, torsionales, etc.), se recomienda

ubicar el pto., de aplicación de la fuerza ( V ), a (2/3)

partes de la dimensión perpendicular ( ⊥ ) a la fuerza

de la sección analizada.

Fig. 7.5.1.1. (Diseño de Ménsulas)

a ≈ (2/3) c

d1 d

c

CORTE

bm

Lp ≈ 10 cm ≥ 2.5 cm

2.5

cm

(mín

) 2.

5 cm

(m

ín)

PLANTA

bp = bm - 5.0 cm



200

(4).- Armadura para resistir Corte (Avf) : La armadura para resistir corte, se calculará en

función de la resistencia nominal al corte dada por la fórmula Vu ≤ Ø * Vn , teniendo en cuenta

que el diseño de la armadura de corte por fricción viene dado por la expresión :

Vn = Avf * Fy *m ( m : Coeficiente de fricción )

( l : Factor de Corrección)

CONDICIONES m Tipo de Concreto l

Concreto vaciado monolíticamente 1.4*l Con Agregado normal 1.00

Concreto vaciado sobre concreto endurecido (Rugoso) 1.0*l Con Agregado Liviano

Concreto vaciado sobre concreto endurecido (Liso) 0.6*l Liviano con Arena 0.85

Concreto anclado a acero estructural 1.4*l Totalmente Liviano 0.75

(Tabla 7.5.2.4.)

(5).- Armadura para resistir Momento Torsor (Af) : La armadura para resistir momento

torsor, se calculará en función de los esfuerzos que actúan en la sección crítica (Fig.7.5.2.), que

viene dado por la expresión :

Mu = Vu *a + Nu*(h-d)

Y la armadura necesaria (Af) se determina según la expresión para el cálculo de elementos

sometidos a momento flector dado por la fórmula :

Mu = Ø*As*Fy*ju*d . Despejando As : As = Mu / (Ø*Fy*ju*d)

Y como Af = As ⇒ Af = Mu / (Ø*Fy*ju*d) ( Ø = 0.90 Flexión)

( ju ≈ 0.90 )

(6).- Armadura (An) para resistir Tracción (Nuc) : La armadura requerida para resistir los

esfuerzos de tracción, se calculará según la expresión :

Nuc ≤ Ø*An*Fy , Donde : Nuc ≥ 0.2*Vu



201

(7).- Armadura Ppal. (De Flexión Traccionada) (As) : Deberá satisfacer los siguientes

requerimientos :

7.5.3.- Consideraciones para el Diseño de la Plancha de Apoyo en Ménsulas :

Pero debe satisfacer la Cuantía Geométrica expresada por : ρ = As ≥ 0.04 * f'c b*d Fy

Af + An As ≥ 2 Avf + An 3

Datos de Plancha : fn ≤ 56 Kg/cm2 (Esf. Normal Tracc.)

G ≤10 Kg/cm2 (Esf. Corte)

Δt = 20 (Adimensional)

(1).- Se halla bp : bp = bv - 5.0 cm

(2).- Se halla Lp : Lp = V bp*fn

fh : Esfuerzo Tangencial : fh = N ⇒ N = 0.2*V bp*Lp

Siempre que : fh ≤ 0.5*G. Si no cumple : Lp ≥ N bp*0.5G

(3).- Se halla espesor de la Plancha : t = 0.0008*Lviga (4).- Se verifica (t) : ΔL1 = 0.0000143Δt*Lviga

ΔL2 = (t / G) * fh

Siempre que : t ≥ 2ΔL

(5).- Seleccionar nº de láminas (n) .

El mayor

Fig. 7.5.3. (Diseño de Plancha de Apoyo)

CORTE

bm

Lp ≈ 10 cm ≥ 2.5 cm

2.5

cm

(mín

) 2.

5 cm

(m

ín)

PLANTA

bp = bm - 5.0 cm

V

N

(6).- Se calcula el factor de forma ( ff ) : ff = bp * Lp * (n + 1) (bp + Lp)*t (7).- Se chequea ( ff ) : ff > 3 (Si no chequea, se debe aumentar el nº de láminas (n), y/o

modificar las dimensiones de la plancha).



202

A continuación se ilustrará un ejemplo de diseño de ménsula :

Ejemplo Nº 3 : Diseñar la ménsula mostrada, que sirve de apoyo a una viga que ejerce una

reacción de 18.00 Ton.

I.- Diseño de la Plancha de Apoyo : Se aplicará lo expuesto en el aparte 7.5.3.-

Consideraciones para el Diseño de la Plancha de Apoyo en Ménsulas.

(1).- Base de la Plancha: bp = bv - 5.0 cm = 35cm - 5.0 cm ⇒ bp = 30 cm.

(2).- Largo de la Plancha :Lp = V = 18000 Kg = 10.71 cm ≈ 12 cm ⇒ Lp = 12 cm. bp*fn 30cm * 56 Kg/cm2

Chequeo : (fh ≤ 0.5G) fh = N = 0.2*18000 Kg = 10 Kg/cm2 bp*Lp 30cm * 12cm

fh ≤ 0.5* 10 Kg/cm2 ⇒ fh (10 Kg/cm2) ≤ 5 Kg/cm2 (NO CUMPLE)

a

d1 d

c

CORTE

bv

Lp

PLANTA

bp

V = 18000 Kg

DATOS :

V = 18000 Kg.

Ancho de Viga : bv = 0.35 m

Long. Viga : L viga = 7.00 m



DATOS DE LA PLANCHA DE APOYO :

Esf. Normal Tracc.: fn = 56 Kg/cm2

Esf. Corte: G =10 Kg/cm2

Δt = 20



203

Si no cumple : Lp ≥ N ≥ 0.2*18000 Kg ≥ 24 cm bp*0.5G 30cm * 0.5*10 Kg/cm2

Se adopta : Lp = 25 cm

Luego : fh = N = 0.2*18000 Kg = 4.80 Kg/cm2 (Nuevo valor de fh ). bp*Lp 30cm * 25cm

fh ≤ 0.5* 10 Kg/cm2 ⇒ fh (4.80 Kg/cm2) ≤ 5 Kg/cm2 (SI CUMPLE)

(3).- Se halla espesor de la Plancha : t = 0.0008*Lviga = 0.0008 * 7000 mm = 5.60 mm

Se adopta : t = 12 mm (Medida comercial).

(4).- Se verifica (t) : ΔL1 = 0.0000143Δt*Lviga = 0.0000143*20*7000 mm = 2.00 mm

ΔL2 = (t / G) * fh = ( 12mm / 10 Kg/cm2) * 4.80 Kg/cm2 = 5.76 mm (El mayor)

Siempre que : t ≥ 2ΔL ⇒ t ≥ 2*5.76 mm ⇒ t (12 mm) ≥ 11.52 mm (O.K.)

(5).- Se selecciona nº de láminas de la plancha (n) : se asume n = 0 (Para NO agregar mas

láminas).

(6).- Se calcula el factor de forma ( ff ) : ff = bp * Lp * (n + 1) = 30cm * 25cm * (0 + 1) (bp + Lp)*t (30cm + 25cm)*1.20cm

ff = 11.36

(7).- Se chequea ( ff ) : ff > 3 ⇒ ff (11.36) > 3 (O.K.)

Por lo tanto las dimensiones de la Plancha de Apoyo serán : Largo : Lp = 25 cm.

Ancho : bp = 30 cm.

Espesor : t = 12.0 mm.

II.- Dimensionado de la Ménsula : Aplicando la teoría respectiva a 7.5.1.-

Consideraciones de Diseño para el Dimensionado de Ménsulas :

(1).- a/d ≤ 1 (Se escoge d ≈ 60 cm) (2).- d1 ≤ d/2

v≥ 5 cms

(3).- (Recomendación)



204

III.- Diseño del Refuerzo Metálico : Aplicando el punto 7.5.2.- Consideraciones para el

Diseño del Refuerzo Metálico en Ménsulas .

III.1.- Diseño a Corte : Se determina la armadura (Avf) con la expresión :

Vn = Avf * Fy *m ⇒ Avf = Vn / (Fy *m)

Se obtienen los valores ( m : Coeficiente de fricción ) y ( l : Factor de Corrección). De la

Tabla 7.5.2.4. ⇒ ( m = 1.4 l) y (l = 1.00).

(4).- c = (2.5 cm + 10cm) + Lp = 12.5cm + 25cm

= 37.50 cm. Se adopta c = 40 cm. (5).- bm = Ancho de Viga (bviga) = 30 cm.

a = (2/3) c = (2/3)*40cm = 26.67 cm ⇒ a = 30 cm

Con : d = 60 cm. Se chequea que : a/d ≤ 1

(30cm/60cm) ≤ 1 ⇒ 0.50 ≤ 1 (O.K.)

Luego : d1 ≤ d/2 ⇒ d1 ≤ 60/2 ⇒ d1 ≤ 30 cm

a ≈ (2/3) c = 30cm

d1 = 30cm d =h = 60cm

c = 40cm

bv = bm = 30cm

Lp = 25cm

V = 18000 Kg

2.50cm 12.50cm

(1).- La secc. crítica se diseña para resistir : Esfuerzos : Corte Momento torsor Tracción

Vu + [ Vu*a + Nuc (h-d) ] + Nuc

(2).- Factor de minoración : Ø = 0.85 (3).- Resistencia al Corte asignada al concreto : 0.2*f'c*bw*d Concretos Normales ⇒ Vn ≤ 56*bw*d

30cm

Vu =18000 Kg

Nu = 0.2Vu

60cm 55cm

Secc. Crítica



205

Como : Vu ≤ Ø*Vn. Vu = V * F.M. (F.M.≈ 1.50 Fact. Mayoración)

(Ø = 0.85 ) Vu = 18000 Kg * 1.50 ⇒ Vu = 27000 Kg.

27000 Kg ≤ (0.85) *Vn ⇒ Vn = 31765 Kg

Chequeando : Vn ≤ 0.2*f'c*bw*d = 0.2 * 210Kg/cm2 * 30cm * 55cm = 69300 Kg

Vn ≤ 56*bw*d = 56 * 30cm * 55cm = 92400 Kg

En cualquier caso Vn (31765 Kg) es menor que los valores dados por las expresiones.

Luego : Avf = 31765 Kg / (4200 Kg/cm2 * 1.40) ⇒ Avf = 5.40cm2

Se escogen estribos cerrados (2 ramas) de Ø = 3/8" (As =0.71 cm2). Por lo tanto :

5.40 cm2 / (2*0.71cm2) = 3.80 ⇒ 4 Estribos cerrados de Ø 3/8" (Avf = 5.68 cm2).

III.2.- Diseño a Momento Torsor : Se determinará la armadura para resistir momento torsor

(Af), según la expresión dada por la fórmula : Af = Mu / (Ø*Fy*ju*d) , con (Ø = 0.9 y ju = 0.90)

pero teniendo en cuenta que el momento en la sección se determina por : Mu = Vu *a + Nu*(h-d)

Vu = 2700 Kg . a = 30 cm. h = 60cm. d = 55cm.

Nu = 0.2Vu = 0.2*27000Kg = 5400 Kg

Mu = 27000Kg * 0.30m + 5400Kg * (0.60m - 0.55m) ⇒ Mu = 8370 Kg*m

Af = 8370 Kg*m / (0.9 * 4200 Kg/cm2 * 0.9 * 0.55m) ⇒ Af = 4.47 cm2

Escogiendo barras de Ø = 1/2" como refuerzo, tendremos :

4.47 cm2 / 1.27 cm2 =3.52 ⇒ 4 Barras de Ø 1/2" (Af = 5.08 cm2).

III.3.- Diseño a Tracción : Para calcular la armadura (An) para resistir tracción (Nu),

procedemos con la expresión : Nuc ≤ Ø*An*Fy , Donde : Nuc ≥ 0.2*Vu

An ≥ Nuc / Ø*Fy = 0.2 * 27000Kg / (0.85 * 4200 Kg/cm2) ⇒ An ≥ 1.51 cm2

Se escoge ⇒ 3 Ø 3/8" (2.13 cm2).

III.4.- Armadura Ppal. De Flexión Traccionada (As) : Deberá satisfacer los siguientes

requerimientos :



206

Pero debe satisfacer la Cuantía Geométrica expresada por : ρ = As ≥ 0.04 * f'c ⇒ As ≥ 0.04 * f'c b*d = 0.04 * 210 Kg/cm2 * 30cm * 55cm =3.30 cm2 b*d Fy Fy 4200Kg/cm2

Armadura Ppal. De Flexión Traccionada (As) ⇒ 6 Ø 1/2" (As = 7.62 cm2)

DESPIECE DE LA MÉNSULA :

Pero debe satisfacer la Cuantía Geométrica expresada por : ρ = As ≥ 0.04 * f'c b*d Fy

Af + An As ≥ 2 Avf + An 3 Af + An = 5.08 cm2 + 2.13 cm2 = 7.21 cm2. (El Mayor) As ≥ 2 Avf + An = 2 * 5.68 cm2 + 2.13 cm2 = 5.92 cm2

3 3

0.30 0.60

0.40

CORTE

0.35

0.25

PLANTA

0.30

6 Ø 1/2"

0.15

0.55

0.15

4 Ø 1/2"

As

Af

Estribos Cerrados 4 Ø 3/8"Avf

Plancha de Apoyo 300x250x12

3 Ø 3/8"

0.1250.025

0.025

0.025

concreto armado i autor ing. fernando de macedo rev.1.pdf

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