conceitos básicos 1.pdfsistema de coordenadas cartesianas quantifica a direção em um espaço...
TRANSCRIPT
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Prof. Nelson Luiz Reyes Marques
Mecânica Geral Básica
Conceitos Básicos
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Unidades - o sistema métrico
O sistema internacional de unidades (SI)
o sistema MKS
Baseado em potências de 10 de unidades de base
Todas as outras unidades derivam destas 7 unidades
(Área: m2)
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Unidades - o sistema métrico
Definição das unidades de base
1 quilograma de massa é definido
como a massa do protótipo
internacional do quilograma,
mantido em Paris
1 segundo é o intervalo de tempo
durante o qual há 9.192.631.770
oscilações da onda eletromagnética
que corresponde à transição entre
dois estados específicos do átomo
de césio-133
1 metro é a distância que um feixe
de luz no vácuo se propaga em
1/299.792.458 de um segundo
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Unidades - o sistema métrico
Prefixos de potências de 10
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Vetores
Grandeza escalar: grandeza física descrita por um número e
obedecem as leis da aritmética e da álgebra elementar. Ex:
temperatura, 25ºC.
Grandeza vetorial: grandeza física descrita por um módulo
(quantidade ou tamanho), juntamente com uma direção e sentido no
espaço. Ex: deslocamento de um avião.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Vetores
Vetores são comumente usados em física
É preciso manipulá-los sem dificuldades
Vetor
Ponto de partida e ponto
de chegada
Caracterizado por: Módulo
Direção
Sentido
Unidade
Nota: uma grandeza representada sem a direção é escalar
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Sistema de coordenadas cartesianas
Usado na representação de vetores
Quantifica a direção em um espaço bidimensional
Usado na representação de vetores
Duas direções perpendiculares
x para a direita
y para cima
Posição do ponto p especificado
por( Px , Py )
Px e Py são números reais positivos ou negativos
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Também podemos definir um sistema de coordenadas
unidimensional
Convencionalmente chamado de eixo x
Qualquer ponto P neste espaço unidimensional pode ser definido
pela especificação de um número
O valor da coordenada x , Px
Sistema de coordenadas cartesianas
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Sistema de coordenadas cartesianas
Quantifica a direção em um espaço tridimensional
A terceira direção se
projeta para fora
do plano da página
Mais eixos ortogonais são
usados em teorias modernas
(mas são bastante abstratos
e difíceis de representar em
um papel bidimensional
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Sistema de coordenadas cartesianas
Quantifica a direção em um espaço tridimensional
A terceira direção se projeta
para fora do plano da página.
Mais eixos ortogonais são
usados em teorias modernas
(mas são bastante abstratos
e difíceis de representar em
um papel bidimensional
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Sistema de coordenadas cartesianas
Regra da mão direita
Convenção do sistema de coordenadas cartesianas destro (mais
sobre sistemas de coordenadas 3D ao longo do semestre)
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Sistema de coordenadas cartesianas
liga P e Q
A liga R e S
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Sistema de coordenadas cartesianas
Mude para a origem
para simplificar
a representação
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Adição de Vetores
Conforme aprendemos: é possível mover vetores no espaço sem alterar seus valores
O comprimento permanece o mesmo
A direção permanece a mesma
Mova o vetor B de modo que sua origem fique junto à ponta do vetor A
O vetor de adição C então a ponta da origem do vetor A para a ponta do vetor B
Você pode fazer isso na ordem inversa
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Adição de Vetores
B
B
C
C
QPR
BPQQPR
cos2222
• Lei dos cossenos,
• Lei dos senos,
senC senB senA
Q R P
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Adição de Vetores
• Soma de três ou mais vetores por meio
da aplicação sucessiva da regra do
triângulo.
• Regra do polígono para a soma de três ou
mais vetores.
• A adição de vetores é associativa,
SQPSQPSQP
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Para cada vetor existe um outro vetor de igual comprimento
apontando na direção oposta
Subtração de vetores
Para obter o vetor ,
somamos o vetor a ,
seguindo o procedimento para
adição de vetores
Subtração de vetores
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Subtração de vetores
Inverta a ordem e use ao invés de . Qual é o resultado?
O vetor resultante é exatamente o oposto de
As regras para adição e subtração de vetores são exatamente as mesmas que para números reais
Na subtração de vetores a ordem faz diferença
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Vetores unitários
Representação de vetores para vetores unitários:
Caso 2D
A projeção
no eixo y
fornece um
componente x
y A
𝑖 = 𝑥 = (1,0,0)𝑗 = 𝑦 = (0,1,0)
𝑘 = 𝑧 = (0,0,1)
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Método de adição de vetores por meio de suas
componentes
A adição de vetores também pode ser feita utilizando componentes cartesianas e vetores unitários.
Representação das componentes
Adição de vetores
Componentes do vetor de adição
com
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Adição de dois vetores bidimensionais
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Subtração de vetores
Exatamente o mesmo procedimento para adição de vetores
Vetor de diferença:
Com componentes:
com
Uma equação com vetores é o mesmo que três equações escalares!
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Multiplicação de um vetor com um escalar
Imagine somar um vetor a ele mesmo três vezes
O vetor resultante é três vezes mais comprido e tem a mesma
direção que os vetores originais
Para a multiplicação de um vetor com um escalar, obtemos
As componentes são
• Multiplicação de um vetor
por um escalar.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Vetores e as Leis da Física
Liberdade de escolha do sistema de coordenadas;
As relações entre vetores não dependem da origem ou da
orientação dos eixos;
As leis da física também não dependem da escolha do sistema
de coordenadas.
Se os eixos giram, as componentes mudam, mas o vetor
permanece o mesmo.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 1
Encontre, no plano, a resultante de uma força de 300 N a 30° e
uma força de −250 N a 90°, utilizando o método do
paralelogramo. Veja a Fig. (a). Encontre, também, o ângulo α
entre a resultante e o eixo y. Os ângulos são sempre medidos
no sentido anti-horário com início no eixo x positivo.)
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Agora, aplicando a lei dos senos, temos
Exemplo 1
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1 Um bloco de 80 kg é posicionado em um plano inclinado de 20° com a
horizontal. Qual é a componente gravitacional (a) normal ao plano inclinado e
(b) paralela ao plano inclinado?
a) A componente normal forma um ângulo
de 20° com o vetor força gravitacional
(o peso), o qual tem intensidade de
80(9,8) = 784 N. A componente normal
é
(b) A componente paralela é
Exemplo 2
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Produto Escalar
Definição: Sejam u e v. O produto escalar entre esses
vetores, denotado por u · v , é um número real determinado
por u · v = |u|·|v|·cos, onde é o ângulo entre u e v.
2) u · v = 0
Propriedades:
1) Comutativa: u · v = v · u, u e v
um deles é o vetor nulo ou se u e v
são ortogonais ( = 90º)
4) (mu)·(nv ) = (m·n)·(u · v ), u e v e m e nR
5) ( u + v)·w = ( u · w )+( v · w )
3) u · u = | u |2
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Encontre o ângulo entre os vetores = (2,4) e = (-1,2).
cos... vuvu
u
v
. = 2.(-1) + 4.2 = 6 u
v
2042 22 u
52)1( 22 v
Portanto, 6,05.20
6cos
Usando a calculadora, descobrimos que o ângulo é aproximadamente
53º.
Exemplo 3
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Produto Vetorial
Definição: Sejam u e v. O produto vetorial entre esses
vetores, denotado por u v , é vetor com as seguintes
características:
Módulo:
Direção:
Sentido:
Ortogonal ao plano que contem u e v.
Regra da mão direita.
u x v = u v senθ
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Produto Vetorial
Propriedades do Produto Vetorial
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Produto Vetorial
Diferentemente do produto escalar, que dá como resultado um
número, o produto vetorial tem como resultado, um outro vetor.
Definição: Sejam = a1î + b1ĵ + c1k e = a2î + b2ĵ + c2k dois vetores em
3. Seu produto vetorial é o vetor x definido por:
222
111
cba
cba
kji
vu
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo:
Sejam =2î + j + 2k e = 3î –j – 3k, então:
2 1 2 1 12 5 ( 1, 12, 5)
3 1 3
i j k
u v i j k
Exemplo 4
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Produto Vetorial
Produto vetorial
O produto vetorial de um vetor consigo mesmo não forma ângulo.
Eles são coincidentes. Logo, î x î = j x j = k x k = 0
i x i = j x j = k x k = 0
i x j = k
j x k = i
k x i = j
i x k = - j
j x i = - k
k x j = - i
i k
j
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Calcule a área do paralelogramo ABCD, sendo AB=(1,1,-1) e
AD=(2,1,4).
Área = || AB x AD ||
AB x AD =
B C
D A
)1,6,5(65)21()24()14(
412
111 kjikji
kji
Exemplo 5
25 36 1 62 7,87A X B
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Demonstração
Mostre que o produto vetorial entre dois vetores P e Q pode ser
escrito por
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Demonstração
Escrevem-se os vetores dados na forma de suas componentes e
expande-se o produto vetorial para obter
Mas i × i = j × j = k × k = 0; i × j = k e j × i = − k, etc.
Portanto,
Esses termos podem ser agrupados como
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Demonstração
ou na forma de determinante como
Tenha o cuidado de observar que as componentes escalares do
primeiro vetor P no produto vetorial devem ser escritas na
linha do meio do determinante.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 6
2 - 39
As duas forças atuam sobre
um parafuso A. Determine
sua resultante.
SOLUÇÃO:
• Solução gráfica - construímos um
paralelogramo com lados nas
mesmas direções de P e Q
desenhados em escala. Avaliamos
graficamente a resultante que é
equivalente à diagonal em direção e
proporcional em módulo.
• Solução trigonométrica – usamos a
regra do triângulo para soma de
vetores em conjunto com a lei dos
cossenos ou a lei dos senos para
encontrar a resultante de P e Q.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 6
• Solução gráfica - Um paralelogramo com
lados iguais a P e Q é desenhado em
escala. A intensidade e o ângulo que
define a direção da resultante (diagonal do
paralelogramo) são medidos,
35N 98 R
• Solução gráfica – Um triângulo é
desenhado com P e Q no padrão ponta-a-
cauda e em escala. A intensidade e o
ângulo que define a direção da resultante
(terceiro lado do triângulo) são medidos,
35N 98 R
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 6
• Solução trigonométrica – Aplicamos a
regra do triângulo. Pela lei dos
cossenos,
155cosN60N402N60N40
cos2
22
222 BPQQPR
A20α
15,04A
97,73N
60N155sen
R
QBsen Asen
R
Bsen
Q
Asen
N73,97R
Pela lei dos senos,
04,35
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 7
a) A força de tração em cada um dos cabos para = 45o,
b) O valor de para o qual a tração no cabo 2 é mínima.
Uma barcaça é puxada por dois rebocadores. Se a resultante das
forças exercidas pelos rebocadores é 22.250 N dirigida ao longo
do eixo da barcaça, determine:
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 7
SOLUÇÃO:
• Obtemos uma solução gráfica aplicando a Regra do Paralelogramo
para soma vetorial. O paralelogramo tem lados nas direções dos
dois cabos e diagonal na direção do eixo da barcaça com
comprimento proporcional a 22.250 N.
• O ângulo para a tração mínima no cabo 2 é determinado
aplicando-se a Regra do Triân-gulo e observando o efeito de
variações em a.
• Obtemos uma solução trigonométrica aplicando a Regra do
Triângulo para soma vetorial. Com a intensidade e a direção da
resultante conhecida e as direções dos outros dois lados,
paralelas aos cabos dados, aplicamos a Lei dos Senos para
encontrar as trações nos cabos.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 7
• Solução gráfica – Aplicamos a regra do
paralelogramo conhecendo a direção e a
intensidade da resultante e as direções
dos lados
N500.11N200.16 21 TT
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 7
• Solução trigonométrica - Regra do
triângulo e Lei dos Senos
105
250.22
304521
sen
N
sen
T
sen
T
N 517.11N288.16 21 TT
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 7
• O ângulo para tração mínima no cabo 2
é determinado aplicando a regra do
triângulo e observando o efeito de
variações em .
• A tração mínima no cabo 2 ocorre quando
T1 e T2 são perpendiculares
30sen N) (22.250T2N11500T2
30 cos N 22.250T1 N16200T1
3090 60
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 8
Quatro forças atuam no parafuso A, como mostrado na figura.
Determine a resultante das quatro forças no parafuso.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 8
SOLUÇÃO:
• Decompomos cada força em componentes retangulares.
• Calculamos a intensidade e a direção da resultante.
• Determinamos os componentes da resultante somando os
componentes correspondentes de cada uma das forças.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 8
• Decompomos cada força em componentes retangulares.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 8
1
2
3
4
Força Intens. (N) Comp. x (N) Comp. y, (N)
150 129.9 75.0
80 27.4 75.2
110 0 110.0
100 96.6 25.9
199,1 14,3
F
F
F
F
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 8
• Calculamos a intensidade e a direção da resultante.
22 3,141,199 RN 199,6R
1,4
• Determinamos os componentes da resultante somando os
componentes correspondentes de cada uma das forças.
N1,199
N3,14 tg
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Equilíbrio de uma Partícula
• Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre uma
partícula é zero, a partícula está em equilíbrio.
• Para uma partícula em equilíbrio
sob a ação de duas forças, ambas
as forças devem ter:
- mesma intensidade
- mesma linha de ação
- sentidos opostos
• Primeira Lei de Newton : Se a força resultante em uma partícula é
nula, a partícula permanecerá em repouso ou se moverá em
velocidade constante em linha reta.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Equilíbrio de uma Partícula
• Para uma partícula sob a ação de três ou mais forças:
- a solução gráfica gera um polígono fechado
- solução algébrica:
00
0
yx FF
FR
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Diagrama espacial : Um
esboço mostrando as
condições físicas do
problema.
Diagrama de Corpo Livre:
Um esboço mostrando
apenas as forças que
atuam sobre a partícula
escolhida para análise.
Diagramas de Corpo Livre
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 9
Determinar as tensões sobre as cordas AC e BC. Se M pesa 40
lb-f
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 9
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 9
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 10
Determinar as tensões sobre as cordas AC e BC. Se M
pesa 40 lb-f
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 10
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 10
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 11
SOLUÇÃO:
• Construímos um diagrama de
corpo livre para a partícula na
junção da corda e do cabo.
• Aplicamos as condições de equilíbrio criando um polígono
fechado a partir das forças aplicadas na partícula.
• Aplicamos relações trigonométricas para determinar a
intensidade das forças desconhecidas.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 11
• Construímos um diagrama de corpo
livre para a partícula A.
• Aplicamos as condições de
equilíbrio.
• Calculamos as intensidades das
forças desconhecidas.
58sen
N 15.750
2sen 120sen
ACAB TT
N16.084ABT
N648ACT
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 12
Deseja-se determinar a força de arrasto no casco de um novo barco a
vela a uma dada velocidade. Um modelo é colocado em um canal de
teste e são usados três cabos para alinhar sua proa com a linha de
centro do canal. A uma dada velocidade, a tração é de 180 N no cabo
AB e de 270 N no cabo AE.
Determine a força de arrasto exercida no casco e a tração no cabo
AC.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 12
• Escolhendo o casco como um corpo
livre, desenhamos o diagrama de
corpo livre.
26,60
75,1m 1,2
m 2,1 tg
56,20
375,0m 1,2
m 0,45 tg
• Expressamos as condições de
equilíbrio para o casco escrevendo
que a resultante de todas as forças
é zero.
0 DAEACAB FTTTR
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 12
• Decompomos a equação vetorial de
equilíbrio em duas equações para as
componentes. Resolvemos para as
trações desconhecidas nos dois
cabos.
jN 270 T0,9363N 89,29
iFT0,3512N 156,29
0R
iFF
jN 270T
jT0,9363iT0,3512
j20,56 cos Ti20,56sen TT
jN 89,29iN 156,29
j60,26 cos N 180i60,26sen N 180T
AC
DAC
DD
AE
ACAC
ACACAC
AB
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 12
jN 270T0,9363N 89,29
iFT0,3512N 156,29
0R
AC
DAC
Esta equação só é satisfeita se cada componente da resultante é igual
a zero.
0270T0,9363N 89,29:0
0FT0,3512N 156,29:0
AC
DAC
y
x
F
F
N 5,88
N 193
D
AC
F
T
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Momento (Torque) de uma Força
O momento da força F sobre o
ponto O é definido como o
produto do vetor
MO = r x F
Onde r é o is vetor posição e F é a força de aplicada no corpo rígido,
e Θ é o ângulo formado entre a linha de ação de r e F.
O
d A
F
Mo
r
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Momento (Torque) de uma Força
MO = r x F
O
d A
F
Mo
r
A magnitude do momento de F
sobre O pode ser escrito como:
MO = rF sin = Fd
onde d é a distância perpendicular de O até a linha de
ação de F.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Momento (Torque) de uma Força
O momento de uma força em relação a um ponto ou a um eixo,
fornece uma medida da tendência dessa força provocar a rotação
de um corpo em torno do ponto ou do eixo.
Para problemas em duas dimensões é mais conveniente se
utilizar uma formulação escalar e para problemas em três
dimensões a formulação vetorial é mais conveniente.
Quanto maior a força ou a distância (braço de momento), maior é
o efeito da rotação.
A tendência de rotação também é chamada de torque, momento
de uma força ou simplesmente momento.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Momento (Torque) de uma Força
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1 Uma barra de peso desprezível está sob a ação das forças F1 = 4 N;
F2 = 6N; F3 = 8 N e F4 = 10 N.
A B C
D
F1
F2
F3
F4
a) Determinar o momento de cada força em relação ao ponto B.
b) Calcule o momento resultante em relação ao ponto B e indique o
sentido em que a barra gira.
Dados: AB= 1m;
BC = CD = 2m.
Exemplo 13
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 13
Solução:
a) MF1,B = + F1 . BA = 4 . 1 = 4 Nm
MF2,B = 0
MF3,B = - F3 . CB = - 8 . 2 = - 16 Nm
MF4,B = + F4 . DB = 10 . 4 = 40 Nm
b) M = MF1,B + MF2,B + MF3,B + MF4,B
= 4 + 0 - 16 + 40 = 28 Nm
Como M > 0 , a barra gira no sentido anti-horário
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Centro de massa
Posição do centro de massa
de um sistema de N partículas:
0
1
2
i
ir
Média ponderada pelas massas das posições das partículas
N
i
i
N
i
ii
N
NNcm
m
rm
mmm
rmrmrmR
1
1
21
2211
...
...
Em componentes:
N
i
i
N
i
ii
N
NNcm
m
xm
mmm
xmxmxmX
1
1
21
2211
...
... (idem para y e z)
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Centro de massa – exemplos em 1D: 2 partículas
21
2211
mm
xmxmX CM
(a) 2
2121
xxxmm CM
x
xCM
1x 2x
(b) 121 xxmm CM x
xCM
2x
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Centro de massa – exemplos em 1D: 2 partículas
21
2211
mm
xmxmX CM
(c) Em geral, o centro de massa é um ponto intermediário entre x1
e x2:
2CM1 xXx
Lm
LmmXCM
3
2
3
20
x
xCM m
x=0 2m
x=L
2/3 1/3
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Centro de massa – exemplo: sistema de 3 partículas em 2D
CM
CM
0×1+ 0×2 + 4×4x = m = 2,3 m
1+ 2 + 4
0×1+3×2 + 0×4y = m = 0,9 m
1+ 2 + 4
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Centro de massa – exemplo: sistema de 3 partículas em 2D
Distribuições contínuas de massa (qualitativo)
Objeto homogêneo com centro geométrico: CM no centro
Objeto com eixo de simetria: CM ao longo do eixo
Note que o c.m. pode estar localizado fora do objeto
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Equilíbrio de Forças e Momento
Um corpo rígido está em equilíbrio sob a ação das forças
quando este sistema de forças é equivalente a zero, ou
seja (vetorialmente):
𝑅 = 0 →
ou, na sua forma escalar
Devem ser considerados os efeitos das forças aplicadas no corpo,
assim como as reações de apoio (que funcionam, na generalidade dos
casos como incógnitas).
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 14
Uma força vertical de 450 N é aplicada na
extremidade de uma alavanca que está
ligada ao eixo em O.
Determine:
a) o momento da força em relação a O;
b) a força horizontal aplicada em A que gera
o mesmo momento;
c) a força mínima aplicada em A que gera o
mesmo momento;
d) a posição de uma força vertical de 1.080 N
para que ela gere o mesmo momento;
e) se alguma das forças obtidas nas partes b,
c e d é equivalente à força original
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 14
a) O momento em relação a O é igual ao
produto da força pela distância
perpendicular entre a linha de ação da
força e O. Como a força tende a girar
a alavanca no sentido horário, o vetor
momento aponta para dentro do plano
que contém a alavanca e a força.
m 0,3N 450
cm 3060coscm 60
O
O
M
d
FdMm N 135 OM
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 14
b) Para a força horizontal aplicada em A que gera o mesmo
momento tem-se,
m 52,0
m N 351
m 0,52m N 135
cm 5260sen cm 60
F
F
FdM
d
O
N 6,259F
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 14
c) A força mínima aplicada em A que gera o mesmo momento deve
atuar a uma distância perpendicular é máxima de O, ou seja,
quando F é perpendicular a OA.
m ,60
m N 135
m. ,60m N 351
F
F
FdMO
N 225F
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 14
d) Para determinar o ponto de aplicação de uma força vertical de
1.080 N que gera o mesmo momento em relação a O temos,
cm 12,560 cos
m 125,0N .0801
m N 135
N 1.080m N 351
OB
d
d
FdMO
cm 25OB
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 14
e) Embora cada uma das forças nas letras b), c) e
d) gere o mesmo momento que a força de 450
N, nenhuma tem sua mesma intensidade,
direção e sentido, ou sua mesma linha de ação.
Portanto, nenhuma das forças é equivalente à
força de 450 N.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Momento de um Binário
• Duas forças F e -F de mesma intensidade,
linhas de ação paralelas e sentidos opostos
formam um binário.
• Momento do binário:
FdrFM
Fr
Frr
FrFrM
BA
BA
sen
• O vetor que representa o momento do
binário é independente da escolha da
origem dos eixos coordenados, isto é, trata-
se de um vetor livre que pode ser aplicado
a qualquer ponto produzindo o mesmo
efeito
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Momento de um Binário
Dois binários terão momentos iguais se
• 2211 dFdF
• os dois binários estiverem em planos
paralelos, e
• os dois binários tiverem o mesmo
sentido ou a tendência de causar
rotação na mesma direção.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 15
Para a viga acima, reduza o sistema de forças dado a (a) um sistema
força-binário equivalente em A e (b) um sistema força binário
equivalente em B.
Observação: Como as reações de apoio não estão incluídas, esse
sistema não manterá a viga em equilíbrio.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 15
SOLUÇÃO:
a) Calculamos a força resultante para as forças mostradas e o binário
resultante para os momentos das forças em relação a A.
b) Encontramos um sistema força-binário em B equivalente ao
sistema força-binário em A.
c) Determinamos o ponto de aplicação para a força resultante de tal
forma que seu momento em relação a A seja igual ao binário
resultante em A.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 15
SOLUÇÃO:
a) Calculamos a força e o binário
resultantes em A.
jjjj
FR
N 250N 100N 600N 150
jR
N600
ji
jiji
FrM R
A
2508,4
1008,26006,1
kM R
A
mN 1880
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
1
Exemplo 15
b) Encontramos um sistema força-binário
em B equivalente ao sistema força-
binário em A.
A força fica inalterada pelo movimento
do sistema força-binário de A para B.
jR
N 600
O binário em B é igual ao momento em
relação a B do sistema força-binário
encontrado em A.
kk
jik
RrMM AB
R
A
R
B
mN 2880mN 1880
N 600m 8,4mN 1880
kM R
B
mN 1000